Dr. Kusman Sadik, M.Si

Sekolah Pascasarjana Departemen Statistika IPB

Semester Ganjil 2019/2020

Analisis Deret Waktu (STK 651)

IPB University─ Bogor Indonesia ─ Inspiring Innovation with Integrity

Pemodelan Data Deret Waktu

(AR dan MA)

2

The forecasting methods based on the smoothing

may be inefficient and sometimes inappropriate

because they do not take advantage of the serial

dependence in the observations in the most effective

way.

To formally incorporate this dependent structure, in

this course we will explore a general class of models

called autoregressive integrated moving average

models or ARIMA models (also known as Box-Jenkinsmodels).

3

AR(p) : Autoregressive ber-ordo p

I(d) : Integrated ber-ordo d

MA(q) : Moving Average ber-ordo q

4

Model Stasioner:

AR(p), MA(q), dan ARMA(p, q)

Model Tidak-Stasioner:

ARI(p, d), IMA(d, q), dan ARIMA(p, d, q)

5

E(Yt) = E(Yt-1 ) = … = E(Yt-k ) Konstan

V(Yt) = V(Yt-1 ) = … = V(Yt-k ) Konstan

6

Peristilahan

Autocovariance : Koragam Diri

Autocorrelation : Korelasi Diri

7

8

9

10

11

Misalkan diketahui data deret waktu sebagai berikut: 2, 3, 2, 5.

Hitung secara manual penduga fungsi autokorelasi (ACF) untuk k = 1

dan 2:

r1 = {(3-3)(2-3)+(2-3)(3-3)+(5-3)(2-3)}/{(-1)2+(0)2+(-1)2+(2)2} = - 0.333

r2 = {(2-3)(2-3)+(5-3)(3-3)}/{(-1)2+(0)2+(-1)2+(2)2} = 0.167

= 3

> data <- c(2, 3, 2, 5)

> acf(data, lag.max = 3, plot = FALSE)

Autocorrelations of series ‘data’, by lag

0 1 2 3

1.000 -0.333 0.167 -0.333

Program R

12

(Langkah Acak)

13

14

et ~ Normal(0, σe2)

(4.1.4)

15

Pada beberapa software, termasuk R, untuk pertimbangan

komputasi penulisan model MA(q) menggunakan tanda plus

pada parameter θ, yaitu:

Hal ini harus diperhatikan pada saat pendugaan parameter,

karena Program R akan menghasilkan penduga θ yang

berlawanan tanda (plus / minus) dengan model MA(q)

pada persamaan (4.1.4) di atas.

Untuk pembangkitan data MA di R bisa menggunakan

persamaan (4.1.4), yang berbeda hanya saat pendugaan.

16

Karena et ~ Normal(0, σe2) maka:

E(et) = E(et-1 ) = … = E(et-k ) = 0

V(et) = V(et-1 ) = … = V(et-k ) = (σe)2

E(et.ek) = 0 untuk semua t ≠ k

17

V(Yt) = V(et - θet-1)

= V(et) + θ2V(et-1)

= σe2 + θ2σe

2

Cov(-θet-1 , et-1)

= -θCov(et-1 , et-1)

= -θVar(et-1)

= -θσe2

18

19

ACF / Autocorrelation Function : ρk = (γk/γ0)

20

t = k Cov(αet , θek) = (αθ)σe2

t ≠ k Cov(αet , θek) = 0

21

22

23

24

Var(Yt) = Var(ϕYt-1 + et) = ϕ2Var(Yt-1) + Var(et)

25

26

27

28

29

30

Ordo (nilai q) pada model MA(q) dapat diidentifikasi

dari plot ACF-nya.

Ordo (nilai p) pada model AR(p) TIDAK dapat

diidentifikasi dari plot ACF-nya karena polanya

berbentuk eksponensial.

Ordo pada model AR(p) dapat diidentifikasi dari plot yt

dengan yt-k, untuk k = 1, 2, 3, …

31

32

33

34

35

36

# Simulasi Data MA(1) dan AR(1)

# Install packages : "forecast", "TTR", "TSA", "graphics"

library("forecast")

library("TTR")

library("TSA")

library("graphics")

set.seed(1001)

e <- rnorm(175,0,1)

n <- length(e)

# Membangkitkan X, MA(1) dengan tetha = 0.95

tetha <- 0.95

x <- c(1:n)

for (i in 2:n) { x[i] <- e[i] - tetha*e[i-1] } # Model MA Cryer 4.1.4

x.ma1 <- x[-c(1:50)] # membuang 50 data pertama

plot.ts(x.ma1, lty=1)

points(x.ma1)

acf(x.ma1, lag.max=20) # menampilkan plot acf

acf(x.ma1, lag.max=20, plot=FALSE) # menampilkan nilai acf

37

# Membangkitkan y, AR(1) dengan Phi = 0.85

y <- c(1:n)

for (i in 2:n) { y[i] <- 0.85*y[i-1] + e[i] }

y.ar1 <- y[-c(1:50)] # membuang 50 data pertama

plot.ts(y.ar1, lty=1)

points(y.ar1)

plot(x=zlag(y.ar1,1),y=y.ar1,xlab=expression(Y[t-1]),

ylab=expression(Y[t]),type='p')

plot(x=zlag(y.ar1,2),y=y.ar1,xlab=expression(Y[t-2]),

ylab=expression(Y[t]),type='p')

acf(y.ar1, lag.max=20) # menampilkan plot acf

acf(y.ar1, lag.max=20, plot=FALSE) # menampilkan nilai acf

38

39

40

> acf(x.ma1, lag.max=20, plot=FALSE) # menampilkan nilai acf

Autocorrelations of series ‘x.ma1’, by lag

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-0.390 -0.055 -0.029 0.009 -0.001 0.026 -0.113 0.105 -0.113 0.195 -0.045

12 13 14 15 16 17 18 19 20

-0.149 0.137 -0.051 -0.029 -0.060 0.058 -0.007 0.116 -0.157

41

42

43

44

45

46

1. Misalkan diketahui data deret waktu sebagai berikut: 3, 8, 5, 9, 12, 20.

Hitung secara manual penduga fungsi autokorelasi (ACF) untuk k = 1, 2,

dan 3, kemudian bandingkan hasilnya dengan keluaran Program R.

2. Melalui Program R, bangkitkan data yt, (n = 165), berupa MA(2) dengan

θ1 = 0.65 dan θ2 = - 0.85 serta et ~ Normal(0,1). Gunakan 150 data terakhir,

kemudian buat correlogramnya. Apa yang dapat disimpulkan dari

correlogram tersebut?

3. Melalui Program R, bangkitkan data yt, (n = 165), berupa AR(2) dengan

Φ1 = 0.75 dan Φ2 = - 0.65 dan et ~ Normal(0,1). Gunakan 150 data terakhir:

a. Buatlah correlogramnya. Apa yang dapat disimpulkan dari correlogram

tersebut?

b. Buatlah plot antara yt dengan yt-1. Apa kesimpulan Anda?

c. Buatlah plot antara yt dengan yt-2. Apa kesimpulan Anda?

d. Buatlah plot antara yt dengan yt-3. Apa kesimpulan Anda?

47

48

Montgomery, D.C., et.al. 2008. Forecasting Time Series Analysis

2nd. John Wiley.

Cryer, J.D. and Chan, K.S. 2008. Time Series Analysis with

Application in R. Springer.

Cowpertwait, P.S.P. and Metcalfe, A.V. 2009. Introductory Time

Series with R. Springer New York.

Wei, William, W.S. 1990. Time Series Analysis, Univariate and

Multivariate Methods. Adison-Wesley Publishing Company Inc,

Canada.

49

Bisa di-download di

kusmansadik.wordpress.com

50