Upload
lamtu
View
254
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
PERANGKAT PEMBELAJARAN
MATA KULIAH : TEORI GRAPH
KODE : MKK519515
DOSEN : EDY MULYONO, M.Pd.
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA
SUKOHARJO
KONTRAK PEMBELAJARAN
TEORI GRAPH MKK519515
Semester V / 2 SKS
Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh :
EDY MULYONO, M.Pd.
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA
SUKOHARJO
A. Identitas Mata Kuliah
Mata Kuliah : TEORI GRAPH
Semester / SKS : III / 2 SKS
Pengampu Mata Kuliah : EDY MULYONO, M.Pd.
Kode Mata Kuliah : MKK519515
B. Manfaat Mata Kuliah
Setelah mengikuti kuliah ini diharapkan mahasiswa dapat :
1. Memiliki pemahaman tentang konsep dasar teori graph, jejak, lintasan, karakteristik graph
khusus, pohon, graph euler, graph hamilton, pohon, graph bidang dan pewarnaan.
2. Mampu menerapakan konsep teori graph dalam kehidupan nyata.
C. Deskripsi Mata Kuliah
Teori Graph adalah mata kuliah yang mempelajari tentang konsep-konsep dasar pada graph yang
meliputi pengertian, dan karakteristik graph-graph khusus. Selain itu juga akan dibahas mengenai
graph euler, graph hamilton, graph bidang dan pewarnaan.
D. Kompetensi Dasar dan Indikator
Kompetensi Dasar Indikator
1. Mendefinisikan berbagai
macam konsep graph dan
membuat beberapa graph
khusus.
1.1 Menjelaskan definisi dasar graph
1.2 Menentukan sifat isomorphisme graph
1.3 Mengidentifikasi sifat bipartite pada graph
1.4 Menentukan subgraph dari suatu graph
1.5 Menentukan path dan cycle pada suatu graph
1.6 Membuat tree serta menetukan bridge dan cut vertex
1.7 Menggunakan konsep minimum spanning tree dalam
pemecahan masalah
1.8 Mengidentifikasi graph euler dan graph hamilton
1.9 Mengidentifikasi sifat ke-planar-an graph
1.10 Menentukan dual dari plane graph
2. Menggunakan konsep graph
dalam pemecahan masalah.
2.1 Menentukan bilangan kromatis pada pewarnaan graph
2.2 Menggunakan konsep pewarnaan dalam pemecahan
masalah
E. Organisasi Materi
F. Pendekatan Dan Strategi Pembelajaran
Strategi pembelajaran yang digunakan mengarah pada Active Learning. Metode-metode yang
digunakan adalah sebagai berikut :
1. Practice Rehearsal Pairs
2. Kelompok Belajar (The Study Group)
3. Two stay two stray
4. Gallery of Learning
5. The Learning Cell
G. Sumber Belajar
[1] Rinaldi Munir. 2010. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika
[2] Drs. Jong Jek Siang, M.Sc. 2009. Matematika Diskrit. Yogyakarta: Andi offset
[3] Modul Kuliah
KD I KD II
H. Penilaian Dan Kriteria Pembelajaran 1. Presensi dan Keaktifan : 30 %
2. Tugas Terstruktur : 20 %
3. UTS : 20 %
4. UAS : 30 %
100 %
I. Jadwal Perkuliahan
Pertemuan P E M B E L A J A R A N
1 Materi :
Menjelaskan definisi dasar graph
2 Materi :
Menentukan sifat isomorphisme graph
3 Materi :
Mengidentifikasi sifat bipartite pada graph
4 Materi :
Menentukan subgraph dari suatu graph
Menentukan path dan cycle pada suatu graph
5 Materi :
Membuat tree serta menetukan bridge dan cut vertex
6 Materi :
Menggunakan konsep minimum spanning tree dalam pemecahan masalah
7 QUIZ I
8 Ujian Tengah Semester
9 Materi :
Mengidentifikasi graph euler
10 Materi :
Mengidentifikasi graph hamilton
11 Materi :
Mengidentifikasi sifat ke-planar-an graph
12 Materi :
Menentukan dual dari plane graph
13 Materi :
Menentukan bilangan kromatis pada pewarnaan graph
Menggunakan konsep pewarnaan dalam pemecahan masalah
14 QUIZ II
15 REVIEW:
Persiapan Ujian Semester
16 Ujian Akhir Semester
UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
SILABUS
Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Kode Mata Kuliah : MKK519515
Mata Kuliah : TEORI GRAPH
Bobot : 2 SKS
Semester : V
Mata Kuliah Prasyarat : Logika dan Himpunan, Riset Operasi
Standar Kompetensi : Memiliki pemahaman tentang konsep dasar teori graph, jejak, lintasan, karakteristik graph khusus, pohon, graph euler, graph
hamilton, pohon, graph bidang dan pewarnaan dan mampu menerapakan konsep teori graph dalam permasalahan kehidupan nyata.
Kompetensi Dasar Indikator Pengalaman Belajar Materi Pokok
Alokasi
Waktu
(menit)
Sumber/ Bahan/
Alat
Penilaian/
Evaluasi
1. Mendefinisikan
berbagai macam
konsep graph
dan membuat
beberapa graph
khusus.
1.1 Menjelaskan definisi dasar graph
1.2 Menentukan sifat isomorphisme
graph
1.3 Mengidentifikasi sifat bipartite
pada graph
1.4 Menentukan subgraph dari suatu
graph
1.5 Menentukan path dan cycle pada
suatu graph
1.6 Membuat tree serta menetukan
bridge dan cut vertex
1.7 Menggunakan konsep minimum
spanning tree dalam pemecahan
masalah
1.8 Mengidentifikasi graph euler dan
graph hamilton
1.9 Mengidentifikasi sifat ke-planar-
an graph
1.10 Menentukan dual dari plane
graph
Tatap muka
Memberikan teori dasar yang ada pada
graph
Menjelaskan sifat sifat khusus pada graph
: isomorphisme, dan bipartisi graph.
Memberikan penjelasan tentang Sub
Graph, Path dan Cycle
Menjelaskan tentang Tree dan Aplikasinya
Menjelaskan tentang Euler Graph dan
Hamiltonian Cycle
Menjelsakan tentang sifat keplanar-an
graph.
Kegiatan terstruktur
Mendiskusikan sifat pada berbagai jenis
graph
Post-test
Graph theory
Trees
Euler tour dan
Hamiltonian Cycle
Plane dan Planar
Graph
12 150 Sumber :
Buku panduan
mata kuliah
TEORI GRAPH
Alat :
Laptop, LCD,
Whiteboard
Bentuk
evaluasi :
Pre-test
Post-test
Instrumen :
Lembar
Kerja
Individu
Lembar
Kegiatan
kelompok
2. Menggunakan
konsep graph
dalam
pemecahan
masalah.
2.1 Menentukan bilangan kromatis
pada pewarnaan graph
2.2 Menggunakan konsep pewarnaan
dalam pemecahan masalah
Tatap muka
Memberikan deskripsi singkat tentang
jenis pewarnaan graph.
Memberikan deskripsi singkat tentang
cara pewarnaan graph.
Menjelaskan tentang aplikasi pewarnaan
graph.
Kegiatan terstruktur
Mendiskusikan berbagai permasalahan
yang dapat diselesaikan dengan graph
Post-test
Colouring 2 150 Sumber :
Buku panduan
mata kuliah
TEORI GRAPH
Alat :
Laptop, LCD,
Whiteboard
Bentuk
evaluasi :
Pre-test
Post-test
Instrumen :
Lembar
Kerja
Individu
Lembar
Kegiatan
kelompok
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.
Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Mata Kuliah : TEORI GRAPH
Kode Mata Kuliah : MKK519515
Bobot : 2 SKS
Semester : V
Pertemuan ke- : 1 s.d 4
Standart Kompetensi : Memiliki pemahaman tentang konsep dasar teori graph, jejak, lintasan,
karakteristik graph khusus, pohon, graph euler, graph hamilton, pohon, graph
bidang dan pewarnaan dan mampu menerapakan konsep teori graph dalam
permasalahan kehidupan nyata.
Kompetensi Dasar : 1. Mendefinisikan berbagai macam konsep graph dan membuat beberapa
graph khusus.
Indikator : 1.1 Menjelaskan definisi dasar graph
1.2 Menentukan sifat isomorphisme graph
1.3 Mengidentifikasi sifat bipartite pada graph
1.4 Menentukan subgraph dari suatu graph
1.5 Menentukan path dan cycle pada suatu graph
Tujuan : Menjelaskan definisi graph, unsur-unsur pada graph dan kekhususan bentuk
graph tertentu
Menentukan sifat isomorphisme dari dua buah graph
Mengidentifikasi graph bipartite dan non-bipartite
Mengkonstruk sub graph dan spanning sub graph
Menentukan walk, trail, path dan cycle yang aa pada suatu graph
MATERI
DEFINISI GRAPH
Definisi
Suatu graph G = {V(G), E(G)} terdiri atas dua buah himpunan berhingga. V(G) adalah himpunan vertex
(titik) pada graph, yang sering dinotasikan dengan V, yang merupakan himpunan tak kosong dan
terdiri atas elemen-elemen yang dinamakan dengan vertices. E(G) adalah himpunan edge (sisi) pada
graph, yang sering dinotasikan dengan E, yang mungkin merupakan himpunan kosong. Elemen-
elemen pada E dinamakan dengan edges.
Definisi
Definisi lain tentang Graph adalah sebagai berikut.
Suatu graph (undirected graph) G terdiri dari suatu himpunan vertex V (node) dan himpunan edge
(arcs) E sedemikian sehingga tiap edge eE dikawankan dengan suatu pasangan tak berurut vertex.
Jika ada edge tunggal e dikawankan dengan vertex-vertex v dan w, maka dapat ditulis e = (v, w) atau
e = (w, v). Dalam hal ini (v, w) menyatakan suatu edge dalam undirected graph dan bukan pasangan
berurutan.
Suatu directed graph (digraph) G terdiri dari suatu himpunan vertex (node ) V dan himpunan edge
(arcs) E sedemikian sehingga tiap edge eE dikawankan dengan suatu pasangan berurutan vertex-
vertex. Jika ada edge tunggal e dikawankan dengan pasangan berurutan vertex-vertex (v, w), maka
dapat ditulis e = (v, w).
Definisi
Diketahui suatu graph G = {V(G), E(G)}. Jika ada edge eE yang dikawankan dengan sepasang vertex
yang identik (v, v), atau dapat ditulis e = (v, v) maka e disebut sebagai loop.
Definisi
Diketahui suatu graph G = {V(G), E(G)}. Jika ada edge e1, e2 E dengan e1 = (u, v) dan e2 = (u, v) maka
e1 dan e2 disebut sebagai parallel edges atau multiple edges.
Definisi
Diketahui suatu graph G = {V(G), E(G)}.
a. Sebuah vertex vV yang tidak terhubung dengan setiap egde pada graph G dikatakan sebagai
isolated vertex.
b. Jika ada dua buah vertex u,vV terhubung dengan sebuah sisi eE maka dapat dikatakan bahwa
vertex u,v incident dengan edge e, serta dapat pula dikatakan bahwa vertex u dan vertex v adjacent.
Definisi
a. Suatu graph G dikatakan simple graph jika graph tersebut tidak memiliki loop dan parallel edge.
b. Kn adalah suatu complete graph dengan n vertex jika setiap vertex dihubungkan dengan vertex yang
lain oleh sebuah edge (tidak ada loop dan multiple edges).
Definisi
Sebuah graph G1 = {V1, E1} dikatakan isomorphic dengan graph G1 = {V2, E2} jika ada korespondensi satu-
satu antara himpunan vertex V1 dengan V2, dan ada korespondensi satu-satu antara himpunan edge E1
dan E2. Dengan kata lain, jika e1 adalah sebuah edge pada G1 yang incident dengan u1 dan v1 pada G1
maka e2 pada G2 yang berkorespondensi dengan e1 harus incident dengan u2 dan v2 pada G2 yang juga
berkorespondensi dengan u1 dan v1.
Contoh
Perhatikan pasangan graph isomorphic berikut. Dapatkah anda jelaskan mengapa pasangan graph berikut
isomorphic?
(a) (b)
(c)
Gambar 1. 1 Contoh Isomorphism graph
Definisi
a. Bipartite graph adalah suatu graf yang vertex-vertex nya dapat dipartisi menjadi himpunan disjoint V1
dan V2 dengan setiap edge incident pada satu vertex di V1 dan satu vertex di V2.
b. Km,n adalah complete bipartite graph dengan m dan n vertex jika graph tersebut mempunyai disjoint
set V1 dengan m vertex dan V2 dengan n vertex. Setiap vertex dalam V1 dikawankan dengan setiap
vertex dalam V2 oleh sebuah edge. (Tidak ada parallel edges).
Contoh
Perhatikan graph berikut.
Graph G1 Graph G2
Gambar Bipartite Graph
Graph G1 memiliki 6 vertex, yaitu a, b, c, d, e, dan f. Apabila keenam vertex tersebut dikelompokkan
menjadi 2, yaitu E1 = {a, c, f} dan E2 = {b, d, f} kemudian kita letakkan setiap vertex menurut
kelompoknya, maka diperoleh posisi vertex seperti Gambar 1. 2. Setiap dua vertex yang adjacent
pada G1, juga harus adjacent pada G2. Sehingga graph yang baru diperoleh adalah seperti G2. Pada
G2, setiap vertex anggota E1 tidak berpasangan dengan anggota E1, demikian pula untuk setiap vertex
anggota E2 tidak berpasangan dengan anggota E2 juga. Artinya setiap edge incident dengan satu
vertex di E1 dan satu vertex di E2. Karena pada graph G1 vertex-vertex nya dapat dipartisi menjadi
himpunan disjoint E1 dan E2 dengan setiap edge incident pada satu vertex di E1 dan satu vertex di E2
maka graph G1 adalah suatu Bipartite Graph.
Perhatikan pula bahwa :
vertex a adjacent dengan vertex b, d, dan f
vertex c adjacent dengan vertex b, d, dan f
vertex e adjacent dengan vertex b, d, dan f
Artinya, setiap vertex dalam E1 dikawankan dengan setiap vertex dalam E2 oleh sebuah edge.
Hal ini berarti, graph G1 adalah sebuah comlplete bipartite graph (K3,3). Mengapa K3,3?
DERAJAT VERTEX
Definisi
Misalkan v adalah suatu vertex pada graph G. Derajat dari vertex v (d(v)) adalah banyaknya edge yang
incident dengan v. Apabila vertex v incident dengan sebuah loop maka derajat dari v adalah dua.
Contoh
Perhatikan graph berikut.
Gambar 1. 2
Tentukan derajat setiap vertex pada graph tersebut!
a b
c
d e
f
a
b
c
d
e
f
Teorema (Handshaking Theorem)
Untuk setiap graph G dengan e edge dan n vertex, v1, v2, ..., vn, berlaku:
n
1iivd = 2e
(Jelaskan!)
Suatu vertex dikatakan ganjil atau genap bergantung pada derajat vertex tersebut, ganjil atau genap.
Akibat teorema
Untuk setiap graph G ada sebanyak genap vertex yang berderajad ganjil. (Buktikan!)
SUBGRAPHS
Definisi
Misalkan H adalah suatu graph dengan V(H) adalah himpunan vertex pada H dan dan E(H) adalah
himpunan edge pada H. G suatu graph dengan V(G) adalah himpunan vertex pada G dan dan E(G)
adalah himpunan edge pada G. H adalah subgraph dari G jika V(H) V(G) dan E(H) E(G). Atau
dengan istilah lain dapat dikatakan pula bahwa G adalah supergraph dari H. Sebagai contoh,
perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar
Berdasarkan gambar di atas terlihat bahwa G3 G1, G2 G1. Mengapa ? Jelaskan!
Apakah setiap graph yang isomorphic dengan subgraph dari G juga merupakan subgraph dari G?
Jelaskan!
Definisi
Spanning subgraph dari G adalah suatu subgraph H dari G, dengan V(H) = V(G), H dan G adalah himpunan
vertex yang sama.
PATHS DAN CYCLES
Definisi
Sebuah walk (jalan) dari graph G adalah barisan berhingga W = v0 e1 v1 e2 v2 ... vn–1 en vn yang
berawal dari vertex v0 dan berakhir di vn dan sering dinamakan dengan v0 – vn walk.
Jika setiap edge e1, e2, ..., en pada walk W = v0 e1 v1 e2 v2 ... vn–1 en vn semuanya berbeda maka W
disebut sebagai trail (jejak).
Misal v0 dan vn adalah vetex-vertex dalam suatu graph. Suatu path (lintasan) dari v0 ke vn dengan
panjang n adalah suatu barisan bergantian dari (n + 1) vertex dan n edge yang dimulai dari vertex v0
dan berakhir di vertex vn, (v0, e1, v1, e2, v2, ... , vn-1, en, vn) dengan edge ei incident pada vertex vi-1 dan
vi untuk i = 1, 2, ..., n, dan vertex v0, v1, ..., vn semuanya berbeda.
a b
c d
a b
c d
e f
g h
e f
g h
G1 G2 G3
Contoh
Perhatikan graph berikut
Gambar 1. 3
Buatlah path dengan panjang 12!
Definisi
Suatu graph G dikatakan connected jika diberikan sebarang vertex v dan w, maka terdapat suatu path dari
v ke w. Jika tidak demikian dikatakan disconnected.
Definisi
Ambil sebarang vertex u pada graph G, misalkan C(u) adalah himpunan semua vertex pada G yang
connected dengan u, maka subgraph dari G yang termuat dalam C(u) disebut connected component yang
memuat u.
Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.
Gambar 1. 4 Graph dengan enam buah connected component
Banyak component dari graph G dinotasikan dengan (G).
Definisi
Suatu cycle (circuit) adalah suatu path dengan panjang tidak nol dari v ke v dengan tidak ada edge
yang diulang.
Contoh
Perhatikan graph berikut.
Gambar 1. 5
Dapatkah anda menemukan simple path, cycle, dan simple cycle pada graph tersebut?
METODE PEMBELAJARAN
Learning Cell
LANGKAH PEMBELAJARAN
PERTEMUAN 1
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan a. Apersepsi
Memberi gambaran tentang pemanfaatan graph dan memberikan
gambaran tentang permasalahan sehari-hari yang memanfaatkan
teori graph.
5 menit
2. Penyajian Eksplorasi a. Memberikan definisi dasar pada graph dan beberapa jenis graph
khusus.
b. Menjelsakan tentang isomorphisme graph.
c. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok.
Elaborasi a. Memberikan lembar kerja kepada setiap kelompok yang berisi
contoh permasalahan tentang isomorphisma graph.
b. Setiap kelompok dibagi lagi menjadi 2 grup. Setiap grup
menuliskan permasalahan tentang isomorphisme graph.
c. Pada kesempatan pertama, grup I bertugas sebagai penanya dan
grup II menjawab pertanyaan. Setelah itu, bergantian grup II
bertanya, dan grup I menjawab.
Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan
hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal.
10 menit
20 menit
5 menit
5 menit
5 menit
20 menit
15 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Secara individu, mahasiswa diminta membuat satu sebuah graph
dengan ketentuan tertentu, kemudian diminta membuat sebuah
graph yang isomorphic dengan graph tersebut.
15 menit
PERTEMUAN 2
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan a. Apersepsi
Memberi gambaran tentang bipartisi graph.
b. Motivasi
Memberikan gambaran tentang permasalahan sehari-hari yang
memanfaatkan teori graph.
5 menit
2. Penyajian Eksplorasi a. Memberikan definisi bipartisi graph.
b. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok.
Elaborasi a. Memberikan lembar kerja kepada setiap kelompok yang berisi
contoh permasalahan tentang bipartisi graph.
b. Setiap kelompok dibagi lagi menjadi 2 grup. Setiap grup
menuliskan permasalahan bipartisi graph.
c. Pada kesempatan pertama, grup I bertugas sebagai penanya dan
grup II menjawab pertanyaan. Setelah itu, bergantian grup II
bertanya, dan grup I menjawab.
Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan
hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal.
20 menit
5 menit
5 menit
10 menit
20 menit
20 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Secara individu, mahasiswa diminta membuat satu sebuah graph
dengan ketentuan tertentu, kemudian diminta menentukan apakah
graph tersebut bipartisi atau tidak.
15 menit
PERTEMUAN 3
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan a. Apersepsi dan motivasi
Memberikan gambaran tentang permasalahan sehari-hari yang
memanfaatkan teori graph.
5 menit
2. Penyajian Eksplorasi a. Memberikan definisi subgraph dan spanning sub graph.
b. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok.
Elaborasi a. Memberikan lembar kerja kepada setiap kelompok yang berisi
contoh permasalahan tentang subgraph dan spanning sub graph.
b. Setiap kelompok dibagi lagi menjadi 2 grup. Setiap grup
menuliskan permasalahan subgraph dan spanning sub graph.
c. Pada kesempatan pertama, grup I bertugas sebagai penanya dan
grup II menjawab pertanyaan. Setelah itu, bergantian grup II
bertanya, dan grup I menjawab.
Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan
hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal.
20 menit
5 menit
5 menit
10 menit
20 menit
20 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Secara individu, mahasiswa diminta membuat satu sebuah graph
dengan ketentuan tertentu, kemudian diminta menentukan sub
graph dan spanning subgraphnya.
15 menit
PERTEMUAN 4
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi Memberikan gambaran tentang permasalahan sehari-hari yang
memanfaatkan teori tentang path dan cycle.
5 menit
2. Penyajian Eksplorasi a. Memberikan definisi tentang walk, trail, path, dan cycle.
b. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok.
Elaborasi a. Memberikan lembar kerja kepada setiap kelompok yang berisi
contoh permasalahan tentang path dan cycle.
b. Setiap kelompok dibagi lagi menjadi 2 grup. Setiap grup
menuliskan permasalahan path dan cycle.
c. Pada kesempatan pertama, grup I bertugas sebagai penanya dan
grup II menjawab pertanyaan. Setelah itu, bergantian grup II
bertanya, dan grup I menjawab.
Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan
hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal.
20 menit
5 menit
5 menit
10 menit
20 menit
20 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Secara individu, mahasiswa diminta membuat satu sebuah graph
dengan ketentuan tertentu, kemudian diminta menentukan walk,
trai, path, and cycle.nya.
15 menit
MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD, Laptop
SUMBER BELAJAR
[1] Rinaldi Munir. 2010. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika
[2] Drs. Jong Jek Siang, M.Sc. 2009. Matematika Diskrit. Yogyakarta: Andi offset
[3] Modul Kuliah
PENILAIAN
1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test
2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian
SOAL 1
1. Buatlah sebuah graph yang isomorphic dengan graph berikut!
2. Diantara graph berikut mana yang saling isomorphic?
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
Gambar 1. 6
SOAL 2
Perhatikan gambar berikut
G1 G2
Apakah kedua graph di atas merupakan bipartite graph? Jelaskan !
SOAL 3
Berikan contoh 3 spanning subgraph dari graph berikut.
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.
Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Mata Kuliah : TEORI GRAPH
Kode Mata Kuliah : MKK519515
Bobot : 2 SKS
Semester : V
Pertemuan ke- : 5 s.d 6
Standart Kompetensi : Memiliki pemahaman tentang konsep dasar teori graph, jejak, lintasan,
karakteristik graph khusus, pohon, graph euler, graph hamilton, pohon, graph
bidang dan pewarnaan dan mampu menerapakan konsep teori graph dalam
permasalahan kehidupan nyata.
Kompetensi Dasar : 1. Mendefinisikan berbagai macam konsep graph dan membuat beberapa
graph khusus.
Indikator : 1.6 Membuat tree serta menetukan bridge dan cut vertex
1.7 Menggunakan konsep minimum spanning tree dalam pemecahan
masalah
Tujuan : Mengkonstruksi tree serta menetukan bridge dan cut vertex.
Memecahkan beberapa permasalahan menggunakan konsep minimum
spanning tree.
MATERI
DEFINISI DAN SIFAT SEDERHANA
Definisi
Tree adalah acyclic dan connected graph.
Suatu tree T adalah suatu graf sederhana yang memenuhi : jika v dan w vertex-vertex dalam T, maka
terdapat dengan tunggal simple path dari v ke w.
Suatu rooted tree adalah suatu tree dimana vertex tertentu dijadikan sebagai akar.
Level dari suatu tree adalah panjang dari simple path dari root v.
Height dari suatu tree adalah maksimum level dari tree.
Contoh
Perhatikan graph berikut
Gambar 2. 1 Contoh Rooted Tree
Berdasarkan contoh di atas diperoleh bahwa tree di atas memiliki height (maksimum level) 2.
root level 0
level 1
level 2
Teorema : Characterisation of Trees
Misal T adalah suatu graf dengan n vertex. Pernyataan berikut adalah ekuivalen :
a. T adalah suatu tree
b. T connected dan acyclic
c. T connected dan mempunyai (n – 1) edge
d. T acyclic dan mempunyai (n – 1) edge
Teorema
T adalah sebuah tree yang paling tidak terdiri atas 2 vertex, jika P = u0 u1 ... un adalah path terpanjang
pada T, maka u0 dan u1 keduanya berderajat 1. (Jelaskan!)
Akibat teorema
Setiap tree T yang paling tidak terdiri atas 2 vertex pasti memiliki lebih dari 1 vertex yang berderajat 1.
Definisi
Misal T adalah suatu tree dengan root v0. Andaikan bahwa x, y dan z adalah vertex-vertex dalam T dan (v0,
v1, ... , vn) adalah simple path dalam T. Maka
a. vn-1 adalah parent (orang tua) dari vn
b. v0, v1, ... , vn-1 adalah ancestors (nenek moyang) dari vn
c. vn adalah child (anak) dari vn-1
BRIDGES
Teorema
Misalkan e adalah salah satu edge pada graph G, dan G – e adalah subgraph dari G dengan
menghilangkan edge e, maka (G) (G – e) (G) + 1.
Buktikan!
Definisi
Suatu egde e pada graph G dikatakan sebagai bridge (a cut edge) jika grapg G – e memiliki lebih banyak
connected components dari pada graph G.
Contoh
Perhatikan graph berikut.
Gambar 2. 2 Graph dengan menghilangkan 3 buah bridge
SPANNING TREE
Definisi: Spanning Tree
Suatu tree T adalah spanning tree dari suatu graf G jika T adalah subgraf dari G yang memuat semua
vertex dari G.
Contoh
Perhatikan graph berikut.
Gambar 2. 3
Tentukan 2 buah spanning tree dari graph di atas!
Definisi : Minimum Spanning Tree
Misal G adalah suatu graf berbobot. Suatu MST dari G adalah suatu spanning tree dari G dengan
bobot minimum.
Contoh
Perhatikan gambar graph berbobot berikut.
Graph G
Gambar graf berbobot G di atas menunjukkan enam kota dan biaya pembangunan jalan yang
menghubungkan di antara pasangan kota tertentu.
PROBLEM
Membangun sistem jalan dengan beaya terendah yang menghubungkan enam kota tersebut.
Solusi
Dinyatakan dengan subgraf berupa suatu spanning tree karena harus memuat semua vertex (sehingga
bahwa tiap kota termuat dalam sistem jalan itu) dan terhubung (sehingga bahwa sebarang kota bisa
dicapai dari kota yang lain), serta harus mempunyai path yang tunggal diantara sepasang vertex (karena
suatu graf yang memuat multiple path di antara sepasang vertex tidak mungkin menyatakan sistem beaya
B
A
C
D E
F
6
4
6
2 4
1
5 2
2
3
minimum). Sehingga yang diperlukan adalah suatu spanning tree dengan jumlah bobot yang dimilikinya
minimum. Tree semacam ini disebut dengan Minimum Spanning Tree (MST).
PRIM’S ALGORITHM
Algoritma ini mencari MST dalam connected, weighted graph G.
Input : Connected, weighted graph G with vertices v1, v2, ..., vn.
Output : MST T
1. Initialisation
Let T be the graph consisting of the vertex v1 and no edges.
2. Done?
If T has n – 1 edges, STOP. (T is a MST.)
3. Add edge
Among all the edges not in T that are incident on a vertex in T and do not complete a cycle if added to
T, select one having minimum weight and add it and the vertices on which it is incident to T. If more
than one edge has the same minimum weight, select (vi, vj) with the smallest i, say vi0. If two or more
edges (vi0, vj) have the same minimum weight, select the edge with the smallest j. Go to line 2.
Contoh
Dengan Prim’s Algorithm di atas, dapat ditentukan MST dari graph G pada Gambar 2.3.
a. Pilih salah satu vertex, misal dipilih vertex A.
b. Banyak edge pada graph G ada 10 dengan 5 vertex, sehingga e > n – 1 artinya algorithm harus
dilanjutkan.
c. Berikut adalah urutan pemilihan edge-nya.
(A, E) – (E, F) – (F, C) – (F, B) – (E, D)
(Jelaskan mengapa demikian?)
Sehingga diperoleh minimum spanning tree dengan bobot 9 sebagai berikut.
Gambar 2. 4 MST dari graph G dengan Prim’s Algorithm
Apakah ada MST yang lain selain bentuk di atas??
KRUSKAL’S ALGORITHM
Algoritma ini mencari MST dalam connected, weighted graph G.
Input : Connected, weighted graph G with vertices v1, v2, ..., vn
Output : MST T
1. Initialisation
Let T be the graph consisting of no vertevertices and no edges.
2. Done?
If T has n – 1 edges, STOP. (T is a MST.)
B
A
C
D E
F
2
2
6
2 4
1
5 2
2
3
3. Add edge
Among all the edges that if added to would not complete a cycle, choose one of minimum weight. If
more than one edge has the same minimum weight, select(vi, vj) with the smallest i, say vi0. If two or
more edges (vi0, vj) have the same minimum weight, select the edge with the smallest j. Add the edge
and the vertices on which it is incident to T. Go to Line 2.
Contoh
Dengan Prim’s Algorithm di atas, dapat ditentukan MST dari graph G pada Gambar 2.3.
a. Pilih satu edge dengan bobot terkecil, yaitu (F, C).
b. Banyak edge pada graph G ada 10 dengan 5 vertex, sehingga e > n – 1 artinya algorithm harus
dilanjutkan.
c. Berikut adalah urutan pemilihan edge-nya.
(F, C) – (F, E) – (E, D) – (E, A) – (A, B)
Sehingga diperoleh minimum spanning tree dengan bobot 9 sebagai berikut.
Gambar 2. 5 MST Graph G dengan Kruskal’s Algorithm
Apakah ada MST lain yang bisa diperoleh dari Kruskal’s Algorithm selain bentuk di atas??
CUT VERTICES
DefinisI
Suatu vertex v pada graph G disebut sebagai cut vertex (articulation point) dari graph G jika (G – v)>(G).
Contoh
Perhatikan cut vertex dari graph G berikut.
Gambar 2. 6 Cut vertex pada graph G
Jika ada, tentukan cut vertex yang lain!
B
A
C
D E
F
2
2
6
2 4
1
5 2
2
3
METODE PEMBELAJARAN
Two Stay Two Stray dan Gallery of Learning
LANGKAH PEMBELAJARAN
PERTEMUAN 5
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi Mengulas beberapa jenis graph, path dan cycle.
5 menit
2. Penyajian Eksplorasi Memberi penjelasan tentang tree, bridge dan cut vertex.
Elaborasi a. Memberikan permaslahan tentang tree, bridge dan cut vertex.
b. Kegiatan Kelompok
Meminta mahasiswa secara berkelompok untuk menentukan
penyelesaiannya.
Setiap kelompok menempelkan hasil diskusinya pada tempat
yang telah disediakan.
c. Diskusi antar kelompok
3 orang anggota kelompok diberi tugas untuk tetap berada di
posisi semua untuk menjelaskan apabila ada pertanyaan
atau koereksi yang nantinya diberikan kelompok lain.
3 orang yag lain ditugaskan untuk berkeliling dari satu
kelompok ke kelompok yang lain untuk mengomentari dan
bertanya pekerjaan kelompok lain.
Eksplanasi Diskusi kelas untuk membahas beberapa permasalahan yang
sudah dibuat dikerjakan mahasiswa.
20 menit
5 menit
15 menit
5 menit
30 menit
15 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Penarikan kesimpulan mengenai tree, bridge dan cut vertex.
5 menit
PERTEMUAN 6
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi Menjelaskan penerapan graph dalam pemecahan beberapa
permasalahan.
5 menit
2. Penyajian Eksplorasi Memberi penjelasan tentang Minimum Spanning Tree..
Elaborasi a. Memberikan permaslahan Minimum Spanning Tree dalam
kehidupan sehari-hari.
b. Kegiatan Kelompok
Meminta mahasiswa secara berkelompok untuk menentukan
penyelesaiannya.
Setiap kelompok menempelkan hasil diskusinya pada tempat
yang telah disediakan.
c. Diskusi antar kelompok
3 orang anggota kelompok diberi tugas untuk tetap berada di
posisi semua untuk menjelaskan apabila ada pertanyaan
atau koereksi yang nantinya diberikan kelompok lain.
3 orang yag lain ditugaskan untuk berkeliling dari satu
kelompok ke kelompok yang lain untuk mengomentari dan
bertanya pekerjaan kelompok lain.
Eksplanasi Diskusi kelas untuk membahas beberapa permasalahan yang
sudah dibuat dikerjakan mahasiswa.
20 menit
5 menit
15 menit
5 menit
30 menit
15 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Penarikan kesimpulan mengenai kegunaan Minimum Spanning
Tree.
5 menit
MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD, Laptop
SUMBER BELAJAR
[1] Rinaldi Munir. 2010. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika
[2] Drs. Jong Jek Siang, M.Sc. 2009. Matematika Diskrit. Yogyakarta: Andi offset
[3] Modul Kuliah
PENILAIAN
1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test
2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian
3. Contoh instrumen : Terlampir
SOAL
1. Tentukan semua bridges yang terdapat pada graph berikut.
Gambar 2. 7
2. Suatu graph G disebut unicyclic jika graph tersebut adalah suatu connected graph dan memuat tepat
satu cycle. Berikan contoh unicyclic graph!
3. Buktikab bahwa suatu graph G dengan n vertex dan e edge disebut unicyclic jika dan hanya jika G
connected dan n = e.
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.
Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Mata Kuliah : TEORI GRAPH
Kode Mata Kuliah : MKK519515
Bobot : 2 SKS
Semester : V
Pertemuan ke- : 9 s.d 10
Standart Kompetensi : Memiliki pemahaman tentang konsep dasar teori graph, jejak, lintasan,
karakteristik graph khusus, pohon, graph euler, graph hamilton, pohon, graph
bidang dan pewarnaan dan mampu menerapakan konsep teori graph dalam
permasalahan kehidupan nyata.
Kompetensi Dasar : 1. Mendefinisikan berbagai macam konsep graph dan membuat beberapa
graph khusus.
Indikator : 1.8 Mengidentifikasi graph euler dan graph hamilton
Tujuan : 1.8.1 Mengidentifikasi graph euler.
1.8.2 Mengidentifikasi graph hamilton.
MATERI
EULER TOUR
Definisi
Sebuah trail pada graph G disebut sebagai Euler trail jika memuat setiap edge pada G
Tour pada graph G adalah sebuah jalan tertutup (closed walk) yang memuat setiap edge pada graph
G paling tidak sekali.
Euler tour pada graph G adalah sebuah tour yang memuat setiap edge pada graph G dengan tepat
sekali.
Suatu graph G dikatakan Euler Graph jika graph tersebut memiliki Euler tour.
Contoh
Perhatikan graph G1 dan G2 berikut.
G1 G2
Gambar 1
Apakah graph G1 dan G2 merupakan Euler graph? Jelaskan!
Teorema
Jika G adalah sebuah graph yang setiap vertex-nya memiliki derajat minimal 2, maka G memuat cycle.
Teorema
Sebuah connected graph G adalah suatu Euler Graph jika dan hanya jika derajat dari setiap vertex-nya
adalah genap.
HAMILTONIAN GRAPHS
Definisi
Hamiltonian path adalah pada graph G adalah sebuah path yang melalui setiap vertex pada graph G.
Hamiltonian cycle (Hamiltonian circuit) pada graph G adalah cycle yang memuat setiap vertex pada
graph G.
Suatu graph G disebut sebagai Hamiltonian graph jika graph tersebut memuat Hamiltonian cycle.
Contoh (Travelling Salesman Problem)
Perhatikan gambar berikut.
Gambar di atas menunjukkan 20 kota yang harus dikunjungi oleh seorang salesman.
PROBLEM
carilah jalur tertutup dengan mengunjungi tiap kota dengan tepat sekali dan kembali ke kota semula !
SOLUSI
Ada. Bisa dimulai dari sebarang titik !!!
Cycle yang ditemukan disebut dengan Hamiltonian cycle.
Salah satu solusinya adalah sebagai berikut :
Definisi
Suatu simple graph G disebut sebagai maximal non-Hamiltonian graph jika graph G bukan Hamiltonian
graph, tetapi dengan penambahan beberapa edge yang menghubungan vertex yang tidak adjacent pada
graph G dapat membentuk Hamiltonian graph.
NON-HAMILTONIAN GRAPH
Perhatikan aturan berikut.
Showing That a Graph Is not Hamiltonian
Rule 1 : If a vertex v has degree 2, then both of its incident edges must be part of any
Hamiltonian cycle.
Rule 2 : During the construction of a hamiltonian cycle, no cycle can be formed until all the
vertices have been visited.
Rule 3 : If during the construction of a Hamiltonian cycle two of the edges incident on a vertex v
are shown to be required, then all other incident edges can be deleted.
METODE PEMBELAJARAN
Practice Rehearsal Pairs
LANGKAH PEMBELAJARAN
PERTEMUAN 9
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan a. Apersepsi
Mengulas kembali tentang Minimum Spanning Tree .
b. Motivasi
1. Memberikan permasalahan Jembatan Konigsberg.
2. Mengungkapkan kesulitan yang dialami pada saat
menentukan solusinya
5 menit
10 menit
2. Penyajian Eksplorasi
Memberi penjelasan tentang Euler trail, Euler Tour, dan Euler Graph.
Elaborasi
a. Meminta mahasiswa berkelompok.
b. Memberikan mahasiswa permasalahan tentang Euler Graph.
c. Setiap kelompok dibagi menjadi dua tim, dan setiap tim harus
menyelesaiakan permassalahan yang ada pada LKM.
d. Setelah selesai, salah satu tim diminta menjelaskan kepada tim
yang lain. Pada tahap berikutnya kedua tim bertukar peran.
Eksplanasi
Dosen memberikan beberapa pertanyaan kepada mahasiswa
tentang permasalahan Euler Graph.
10 menit
5 menit
5 menit
20 menit
20 menit
15 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi
Menyimpulkan apa yang dipelajari secara klasikal tentang ciri dari
euler graph.
10 menit
PERTEMUAN 10
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan a. Apersepsi
Mengulas kembali tentang Euler Graph.
b. Motivasi
1. Memberikan permasalahan yang akan diselesaikan dengan
Hamiltoian Graph.
2. Mengungkapkan kesulitan yang dialami pada saat
menentukan penyelesaian pada kasus tersebut
5 menit
10 menit
2. Penyajian Eksplorasi
Memberi penjelasan tentang Hamiltonian Graph.
10 menit
Elaborasi
a. Meminta mahasiswa berkelompok, dan memberikan mahasiswa
permasalahan yang menyangkut Hamiltoian.
b. Setiap kelompok dibagi menjadi dua tim, dan setiap tim harus
menyelesaiakan permassalahan yang ada pada LKM.
c. Setelah selesai, salah satu tim diminta menjelaskan kepada tim
yang lain. Pada tahap berikutnya kedua tim bertukar peran.
Eksplanasi
Dosen memberikan beberapa pertanyaan kepada mahasiswa
tentang permasalahan tidak seimbang.
5 menit
5 menit
20 menit
20 menit
15 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi
Menyimpulkan apa yang dipelajari secara klasikal tentang ciri
Hamiltonian Graph
10 menit
MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD, Laptop
SUMBER BELAJAR
[1] Rinaldi Munir. 2010. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika
[2] Drs. Jong Jek Siang, M.Sc. 2009. Matematika Diskrit. Yogyakarta: Andi offset
[3] Modul Kuliah
PENILAIAN
1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test
2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian
3. Contoh Instrumen : terlampir
SOAL 1
Perhatikan graph berikut.
Apakah graph di atas merupakan maximal non-Hamiltonian graph? Jelaskan!
SOAL 2
Perhatikan dua graph berikut.
Graph G Graph H
Diantara dua graph di atas, manakah yang memiliki Euler Tour dan Euler Trail?
SOAL 3
Perhatikan gambar berikut.
Gambar 3. 2
Selidiki apakah graph di atas adalah non-hamiltonian graph!
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.
Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Mata Kuliah : TEORI GRAPH
Kode Mata Kuliah : MKK519515
Bobot : 2 SKS
Semester : V
Pertemuan ke- : 11 s.d 12
Standart Kompetensi : Memiliki pemahaman tentang konsep dasar teori graph, jejak, lintasan,
karakteristik graph khusus, pohon, graph euler, graph hamilton, pohon, graph
bidang dan pewarnaan dan mampu menerapakan konsep teori graph dalam
permasalahan kehidupan nyata.
Kompetensi Dasar : 1. Mendefinisikan berbagai macam konsep graph dan membuat beberapa
graph khusus.
Indikator : 1.9 Mengidentifikasi sifat ke-planar-an graph
1.10 Menentukan dual dari plane graph
Tujuan : Mengidentifikasi sifat ke-planar-an pada suatu graph.
Menentukan dual dari suatu plane graph dan sebaliknya
MATERI
PLANE DAN PLANAR GRAPH
Definisi
Plane graph adalah suatu graph yang digambarkan dalam suatu bidang datar, yang setiap pasang
edge-nya hanya bertemu pada setiap titik akhir (jika kedua edge tersebut bertemu pada satu titik).
Planar graph adalah suatu graph yang isomorphic dengan plane graph, dengan kata lain, graph
tersebut dapat digambar ulang sebagai plane graph.
Contoh
G1 G2 G3 G4
Gambar 4. 1 Lima buah planar graph
Definisi
Jordan curve adalah sebuah bidang yang dibatasi oleh kurva kontinu yang tidak memiliki potongan,
dengan titik asal dan titik akhirnya berhimpit.
Contoh Perhatikan beberapa kurva berikut.
Manakah diantara kurva di atas yang merupakan Jordan curve?
Teorema 4. 1
K5, complete graph dengan 5 vertex adalah non planar.
Jelaskan!
Latihan 4. 1
Tunjukkan bahwa jika e adalah suatu edge pada K5, maka K5 – e adalah planar graph.
Perhatikan graph berikut.
Apakah graph di atas merupakan planar graph? Jelaskan!
FORMULA EULER
Definisi
Suatu plane graph G membuat beberapa partisi dari suatu bidang datar menjadi sejumlah daerah
yang disebut sebagai face.
Teorema (Euler Formula)
(Buktikan!) Jika G adalah suatu connected plane graph, misalkan n adalah banyaknya vertex, e adalah
banyaknya edge, dan f adalah banyaknya face pada graph G, maka berlaku:
n – e + f = 2
Latihan
Perhatikan gambar graph berikut!
Uji kebenaran Formula Euler pada graph diatas!
DUAL DARI PLANE GRAPH
Definisi
Diketahui G adalah sebuah plane graph. Dual dari graph G yang dinyatakan dengan G* didefinisikan
sebagai berikut.
Untuk setiap face f pada graph G berkorespondensi dengan vertex f* pada graph G* dan setiap edge
e pada G berkorespondensi dengan edge e* pada G* sedemikian sehingga jika edge e terdapat pada
perbatasan 2 buah edge f dan g, maka edge e* incident dengan vertex f* dan g* pada G*.
(Jika edge e adalah sebuah bridge, maka kita menghilangkan edge e kemudian korespondensi edge
e* adalah sebuah loop yang incident dengan vertex f* di G*)
Contoh
Perhatikan gambar dua buah graph berikut.
Gambar Sebuah Plane Graph dan dualnya
METODE PEMBELAJARAN
Two Stay Two Stray dan Gallery of Learning
LANGKAH PEMBELAJARAN
PERTEMUAN 11
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi Mengulas tentang Euler Graph dan Hamiltonian Graph
5 menit
2. Penyajian Eksplorasi Memberi penjelasan tentang Plane dan Planar Graph.
Elaborasi a. Memberikan permasalahan tentang Plane dan Planar Graph
b. Kegiatan Kelompok
Meminta mahasiswa secara berkelompok untuk menentukan
penyelesaiannya.
Setiap kelompok menempelkan hasil diskusinya pada tempat
yang telah disediakan.
c. Diskusi antar kelompok
3 orang anggota kelompok diberi tugas untuk tetap berada di
posisi semua untuk menjelaskan apabila ada pertanyaan
atau koereksi yang nantinya diberikan kelompok lain.
3 orang yag lain ditugaskan untuk berkeliling dari satu
kelompok ke kelompok yang lain untuk mengomentari dan
bertanya pekerjaan kelompok lain.
Eksplanasi Diskusi kelas untuk membahas beberapa permasalahan yang
sudah dibuat dikerjakan mahasiswa.
20 menit
5 menit
20 menit
5 menit
20 menit
20 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Penarikan kesimpulan mengenai ke-planar-an graph.
5 menit
PERTEMUAN 12
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi Memberikan contoh permasalahan Plane Graph dan aplikasi dual
dari plane graph.
5 menit
2. Penyajian Eksplorasi Memberi penjelasan tentang teknik penyusunan dual dari suatu
plane graph.
Elaborasi a. Memberikan permaslahan Dual dari Plane Graph.
b. Kegiatan Kelompok
Meminta mahasiswa secara berkelompok untuk menentukan
penyelesaiannya.
Setiap kelompok menempelkan hasil diskusinya pada tempat
yang telah disediakan.
c. Diskusi antar kelompok
3 orang anggota kelompok diberi tugas untuk tetap berada di
posisi semua untuk menjelaskan apabila ada pertanyaan
atau koereksi yang nantinya diberikan kelompok lain.
3 orang yag lain ditugaskan untuk berkeliling dari satu
kelompok ke kelompok yang lain untuk mengomentari dan
bertanya pekerjaan kelompok lain.
Eksplanasi Diskusi kelas untuk membahas beberapa permasalahan yang
sudah dibuat dikerjakan mahasiswa.
20 menit
5 menit
20 menit
5 menit
20 menit
20 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Penarikan kesimpulan mengenai Dual dari suatu Plane Graph.
5 menit
MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD, Laptop
SUMBER BELAJAR
[1] Rinaldi Munir. 2010. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika
[2] Drs. Jong Jek Siang, M.Sc. 2009. Matematika Diskrit. Yogyakarta: Andi offset
[3] Modul Kuliah
PENILAIAN
1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test
2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian
3. Contoh Instrumen : terlampir
SOAL
1. Perhatikan kedua graph berikut.
Gambar 4. 2
Tentukan dual dari kedua graph di atas!
2. Perhatikan kedua graph berikut.
Graph G1 Graph G2
Gambar 4. 3
a. Apakah kedua graph di atas adalah sepasang isomorphic graph?
b. Gambarkan dual dari kedua graph di atas!
c. Apakah dual dari kedua graph di atas adalah sepasang isomorphic graph? Jelaskan!
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.
Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Mata Kuliah : TEORI GRAPH
Kode Mata Kuliah : MKK519515
Bobot : 2 SKS
Semester : V
Pertemuan ke- : 13
Standart Kompetensi : Memiliki pemahaman tentang konsep dasar teori graph, jejak, lintasan,
karakteristik graph khusus, pohon, graph euler, graph hamilton, pohon, graph
bidang dan pewarnaan dan mampu menerapakan konsep teori graph dalam
permasalahan kehidupan nyata.
Kompetensi Dasar : 2. Menggunakan konsep graph dalam pemecahan masalah.
Indikator : 2.1 Menentukan bilangan kromatis pada pewarnaan graph
2.2 Menggunakan konsep pewarnaan dalam pemecahan masalah
Tujuan : Menentukan bilangan kromatis pada pewarnaan graph, dan melakukan
pewarnaan pada graph
Menggunakan konsep pewarnaan dalam pemecahan masalah
MATERI
PENDAHULUAN
Macam Pewarnaan Graph
1. Pewarnaan simpul (vertex colouring)
yaitu teknik mewarnai semua vertex pada graph sehingga tidak ada vertex – vertex yang saling
adjacent memiliki warna yang sama dan jumlah warna yang digunakan diusahakan seminimal
mungkin.
2. Pewarnaan sisi (edge colouring)
3. Pewarnaan wilayah(face colouring)
Pewarnaan edge dan face hanyalah bentuk lain dari pewarnaan vertex dan dapat diubah kembali
menjadi model pewarnaan vertex.
VERTEX COLOURING
Definisi 5. 1 Bilangan kromatik
Jumlah warna minimum yang dapat digunakan untuk mewarnai semua vertex disebut bilangan
kromatik dari graph G, dan disimbolkan dengan χ(G).
Sifat-sifat bilangan kromatik
1. χ(G) = 1 jika dan hanya jika G adalah graph kosong. (mengapa?)
2. χ(G) ≥ 3 jika dan hanya jika Gmemiliki subgraph yang merupakan K3.
3. Untuk setiap graph planar berlaku χ(G) ≤ 4.
4. Graph lengkap Kn memiliki χ(G) = n.
5. Graph Lingkaran Cn memiliki χ(G) =2 bila n genap dan χ(G) =3 bila n ganjil.
6. Bipartite graph selalu bisa diwarnai dengan2 warna.
7. Graph yang berupa pohon selalu dapat diwarnai dengan2 warna.
ALGORITMA PEWARNAAN
1. Untuk inisialisasi, catat semua vertex yang ada beserta derajat tiap vertex.
2. Urutkan vertex berdasarkan derajatnya dari besar ke kecil.
3. Cari vertex dengan derajat terbesar dan belum terwarnai, berikan warna ke vertex tersebut.
4. Cari vertex lain yang belum diwarnai, tidak adjacent dengan vertex langkah nomor 3, dan tidak
adjacent dengan vertex berwarna sama.
5. Ulangi ke langkah nomor 3 sampai semua vertex terwarnai.
Contoh 5. 1
Perhatikan graph berikut
Gambar 5. 1
Bagaimana cara memberikan warna di setiap vertex pada graph tersebut?
SOLUSI
Berikut adalah solusinya.
EDGE AND FACE COLOURING
Contoh 5. 2
Perhatikan kembali graph pada gambar 5.2 dalam Contoh 5.1. Bagaimana hasilnya jika kita akan
memberikan warna pada setiap edge-nya?
SOLUSI
Bagaimana dengan face colouring?
Contoh 5. 3
Perhatikan graph berikut.
Gambar 5. 2
Hasil dari face colouring adalah sebagai berikut.
Gambar 5. 3
Bagaimana bisa demikian?
METODE PEMBELAJARAN
Kelompok belajar (The Study Group)
LANGKAH PEMBELAJARAN
PERTEMUAN 13
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi Memberikan gambaran tentang manfaat pewarnaan graph dalam
menyelesaikan permasalahan.
15 menit
2. Penyajian Eksplorasi Memberikan penjelasan tetang jenis dan teknik pewrnaan graph.
Elaborasi a. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok.
b. Setiap kelompok diminta menentukan penyelesaian
permasalahan pewarnaan graph.
Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan
hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal.
5 menit
10 menit
50 menit
50 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Menyimpulkan cara penentuan solusi pada permasalahan pewarnaan
graph
20 menit
MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD, Laptop
SUMBER BELAJAR
[1] Rinaldi Munir. 2010. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika
[2] Drs. Jong Jek Siang, M.Sc. 2009. Matematika Diskrit. Yogyakarta: Andi offset
[3] Modul Kuliah
PENILAIAN
1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test
2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian
3. Contoh Instrumen :
APLIKASI COLOURING
Latihan 5. 1
1. Berikut ini adalah peta dari suatu kecamatan yang terdiri dari 5 kelurahan. Warnailah peta tersebut
dengan warna minimal!
2. Misalkan terdapat delapan orang mahasiswa (M1, M2, M3, M4, ... , M8) dan lima buah mata kuliah
yang dapat dipilihnya (A, B, C, D, E). Tabel berikut memperlihatkan matriks antara mahasiswa dan
mata kuliah yang dipilihnya. Angka 1 menunjukkan bahwa mahasiswa memilih mata kuliah tersebut.
Mahasiswa Mata Kuliah
A B C D E
M1 1 1
M2 1 1
M3 1 1
M4 1 1
M5 1 1
M6 1 1
M7 1 1
M8 1 1
Berapa paling sedikit jumlah hari yang dibutuhkan untuk jadwal ujian tersebut sedemikian sehingga
semua mahasiswa dapat mengikuti ujian mata kuliah yang diambilnya tanpa bertabrakan waktunya
dengan jadwal ujian kuliah lain yang juga diambilnya?