Upload
others
View
6
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Permasalahan Garis Singgung dan Kecepatan
Permasalahan Garis Singgung
Apa yang dimaksud garis singgung?
Garis Singgung?
(a) (b)
𝑡𝑡𝐶𝐶
𝑡𝑡
𝑠𝑠
Contoh 1
Tentukan persamaan garis singgung parabola 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 pada titik 𝑃𝑃 1, 1 .
𝑃𝑃 1, 1
0
𝑄𝑄 𝑥𝑥, 𝑥𝑥2
𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2
𝑥𝑥
𝑦𝑦
Garis Potong
Gradien garis potong 𝑃𝑃𝑄𝑄adalah
𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃 =𝑥𝑥2 − 1𝑥𝑥 − 1
Misalkan, untuk 𝑥𝑥 = 1,5:
𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃 =1,5 2 − 11,5 − 1
= 2,5
𝑃𝑃 1, 1
0
𝑄𝑄 𝑥𝑥, 𝑥𝑥2
𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑅𝑅
𝑡𝑡
Pendekatan Gradien
𝒙𝒙 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷
2 31,5 2,51,1 2,11,01 2,011,001 2,001
𝒙𝒙 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷
0 10,5 1,50,9 1,90,99 1,990,999 1,999
Berdasarkan tabel di samping, maka gradien garis singgung parabola adalah
𝑚𝑚 = lim𝑃𝑃→𝑃𝑃
𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃
dan
𝑚𝑚 = lim𝑥𝑥→1
𝑥𝑥2 − 1𝑥𝑥 − 1
= 2
Persamaan Garis Singgung
Berdasarkan investigasi sebelumnya diperoleh gradien garis singgung 𝑚𝑚 = 2 dan melalui titik 𝑃𝑃 1, 1 . Maka, persamaan garis singgung tersebut adalah𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 𝑚𝑚 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1𝑦𝑦 − 1 = 2 𝑥𝑥 − 1𝑦𝑦 − 1 = 2𝑥𝑥 − 2
𝑦𝑦= 2𝑥𝑥 − 1
𝑃𝑃 1, 1
0
𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 1
𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2
𝑥𝑥
𝑦𝑦
1−1−1
1
Ilustrasi Proses Limit
Permasalahan Kecepatan
Bagaimana mendefinisikan kecepatan sesaat?
Contoh 2
Misalkan sebuah bola dijatuhkan dari puncak Gama Tower di Jakarta, 290 meter di atas permukaan tanah. Tentukan kecepatan bola tepat setelah 5 detik dijatuhkan.
Kecepatan
Jarak 𝑠𝑠 yang telah ditempuh bola setelah jatuh 𝑡𝑡 detik dapat dirumuskan
𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 4,9𝑡𝑡2
Rumus kecepatan rata-rata adalah
kecepatan rata−rata =perubahan posisi
waktuBerapakah kecepatan bola tepat ketika 𝑡𝑡 = 5 detik?
Pendekatan Kecepatan Sesaat
Kecepatan rata-rata ketika 𝑡𝑡 = 5 detik sampai 𝑡𝑡 = 5,1:
kecepatan rata-rata = perubahan posisiwaktu
=𝑠𝑠 5,1 − 𝑠𝑠 5
5,1 − 5
=4,9 5,1 2 − 4,9 5 2
5,1 − 5= 49,49 m/s
Kecepatan rata-rata pada selang 5 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,1 adalah 49,49 m/s.
Kecepatan Sesaat
Berdasarkan tabel di samping kecepatan rata-ratanya akan mendekati —? —.Kecepatan sesaat ketika 𝑡𝑡 = 5didefinisikan sebagai nilai limit kecepatan rata-rata tersebut selama periode waktu yang terus menerus semakin singkat, yang dimulai dari 𝑡𝑡 = 5.
Selang Waktu Kecepatan rata-rata (m/s)
5 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,1 49,495 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,055 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,01
5 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,0055 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,001
Hubungan Garis Singgung & Kecepatan Sesaat
0 𝑡𝑡
𝑠𝑠
𝑃𝑃
𝑄𝑄
𝑎𝑎 𝑎𝑎 + ℎ
𝑠𝑠 = 4,9𝑡𝑡2
Gradien garis potong = kecepatan rata-rata
0 𝑡𝑡
𝑠𝑠
𝑃𝑃
𝑠𝑠 = 4,9𝑡𝑡2
Gradien garis singgung = kecepatan sesaat
Latihan SoalTitik 𝑃𝑃 3,−1 terletak pada kurva 𝑦𝑦 = ⁄1 2 − 𝑥𝑥 .(a) Jika 𝑄𝑄 adalah titik 𝑥𝑥, ⁄1 2 − 𝑥𝑥 , gunakan kalkulator untuk
menentukan gradien garis potong 𝑃𝑃𝑄𝑄 (sampai 6 angka di belakang koma) untuk nilai-nilai 𝑥𝑥 berikut:(i) 2,5 (ii) 2,9 (iii) 2,99 (iv) 2,999(v) 3,5 (vi) 3,1 (vii) 3,01 (viii) 3,001
(b) Dengan menggunakan hasil di bagian (a), perkirakan gradien garis singgung kurva pada titik 𝑃𝑃 3,−1 .
(c) Dengan menggunakan gradien di bagian (b), tentukan persamaan garis singgung pada titik 𝑃𝑃 3,−1 .
Kuis
1. Jika 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2, tentukan 𝑓𝑓 2+ℎ −𝑓𝑓 2ℎ
dan sederhanakan hasilnya.
2. Tentukan domain fungsi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥−2𝑥𝑥2−1
.
3. Misalkan 𝐴𝐴 −7, 4 dan 𝐵𝐵 5,−12 adalah titik-titik pada bidang. Tentukan persamaan garis sumbu dari 𝐴𝐴𝐵𝐵.(Catatan: Garis sumbu adalah garis yang tegak lurus dan membagi ruas garis sama panjang.)
#HaveANiceDay