Perímetros, Áreas y VolúmenesDepartamento de Matemáticas

Datos Unidad

Las figuras geométricas pueden ser de lados curvos o ladosrectos.

Las figuras geométricas más conocidas son:

Cuadrado

TriánguloCircunferencia

Rectángulo

Las figuras geométricas de lados rectos, también reciben elnombre de POLÍGONOS.

Los polígonos se agrupan según el número de lados

TRIÁNGULOS

El triángulo es un polígono de tres lados

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

Clasificación según sus lados.

Clasificación según sus ángulos.

CUADRILÁTEROS

El cuadrilátero es un polígono de cuatro lados

PERÍMETRO

El perímetro de una figura plana es la suma de laslongitudes de sus lados. Esa suma representa una medidade longitud. Por ello, las unidades utilizadas son el metro ytodos sus múltiplos y submultiplos.

Ejemplo. Calcula el perímetro de la siguiente figura

1,5 2,5 3 2 9 P cm

MÚLTIPLOS Y SUB MÚLTIPLOS DEL METRO.

ÁREA

El área de una figura plana es la medida de la superficieque ocupa.El metro cuadrado es la cantidad de superficie queocupa un cuadrado de 1 metro de lado.

Tomemos como unidad de medida un cuadrado,

Entonces, el área de la figura tomando como unidad demedida el cuadrado es:

2( )m

u

28 u

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

CUADRADO

𝑃 = 4 𝐿𝐴 = 𝐿2

RECTÁNGULO

𝑃 = 2 (𝑎 + 𝑏)𝐴 = 𝑎 ∙ 𝑏

ROMBOIDE

𝑃 = 2 ∙ (𝑎 + 𝑏)𝐴 = 𝑎 ∙ ℎ

ROMBO

𝑃 = 4𝐿

𝐴 =𝐷 ∙ d

2

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

TRIÁNGULO

𝑃 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2

TRAPECIO

𝑃 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝐵

𝐴 =𝐵 + 𝑏

2∙ ℎ

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

CÍRCULO

𝑃 = 2𝜋𝑟

𝐴 = 𝜋 ∙ 𝑟2

POLÍGONO REGULAR

𝑃 = 𝐿 + 𝐿 + 𝐿 + 𝐿 + 𝐿

𝐴 =𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 ∙ 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎

2

ÁREA Y VOLUMEN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

Cuerpos Geométricos

Si observamos, diversos objetos ocupan un lugar en el espacio físico a nuestro alrededor.

Todos tienen un largo, un alto y un ancho, es decir, tienen tres dimensiones.

Los cuerpos geométricos son sólidos limitados por una o más superficies.

Cuerpos GeométricosCuerpos Geométricos

Los que estudiaremos son objetos tridimensionales.

Por ejemplo, cuerpos compuestos por polígonosiguales, un dado, o cuerpos completamenteredondos, como una pelota de Ping Pong.

Podemos clasificar en poliedros o cuerpos redondosde acuerpo a la naturaleza de sus caras.

PoliedrosPoliedros

Cuerpo geométrico delimitadopor superficies planas en formade polígonos. Lo forman:

• Caras: Superficies poligonalesplanas que limitan al poliedro.

• Aristas: Lados que forman alpoliedro.

• Vértices: Son el punto deintersección de dos aristas.

Poliedros

• Diagonales: Segmentosque unen dos vértices endiferentes caras.

• Planos diagonales: Son formados por cuatro vértices.

• Ángulos diedros:Formados por dos carascontiguas que compartenuna arista.

• Ángulos poliédricos:Formados por tres o mascaras que comparten unmismo vértice.

1) Número de caras:

N° de Caras

Nombre N° de Caras Nombre

4 Tetraedro 9 Eneaedro

5 Pentaedro 10 Decaedro

6 Hexaedro 11 Endecaedro

7 Heptaedro 12 Dodecaedro

8 Octaedro 20 Icosaedro

Poliedros

Los poliedros los podemos clasificar bajo tresdiferentes criterios:

Poliedros

2) Medida de los ángulos diedros:

a) Poliedros cóncavos:Son aquellos con al menosun ángulo diedro mayorque 180°.

Poliedros

Poliedros

b) Poliedros convexos:Son aquellos cuerposgeométricos que poseentodos sus ángulos diedrosmenores que 180°.

Poliedros

3) Congruencia de las caras y de los ángulos diedros

a) Poliedros Regulares: Cuerpos Geométricos cuyas caras corresponden a polígonos regulares congruentes entre si y cuyos ángulos diedros poseen todos la misma medida.

Estudiaremos dos casos

PoliedrosPoliedros

Poliedros

1. Tetraedro: Formado por 4 triángulos equiláteroscongruentes, 4 vértices, 4 ángulos triedros, 6 aristas y6 ángulos diedros.

Poliedros

𝐴𝑡𝑒𝑡𝑟𝑎𝑒𝑑𝑟𝑜 = 𝑎2 3

𝑉𝑡𝑒𝑡𝑟𝑎𝑒𝑑𝑟𝑜 =2

12𝑎3

Poliedros

2. Hexaedro o Cubo:El cubo esta formado por 6 cuadrados congruentes, 8vértices, 8 ángulos triedros, 12 aristas y 12 ángulosdiedros.

Poliedros

𝐴𝑐𝑢𝑏𝑜 = 6𝑎2

𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜 = 𝑎3

b) Poliedros Irregulares:Son aquellos cuyas caras no sontodas polígonos regularescongruentes entre si, es decir,las caras poligonales puedenpresentar distinta forma.

Poliedros

Estudiaremos los poliedrosirregulares mas comunesque son los prismas y laspirámides.

1. Prisma:Es el poliedro que esta formado por dos polígonoscongruentes y paralelos entre si (caras basales), y portantos paralelogramos como lados tiene una cara basal(caras laterales).

PoliedrosPoliedros

Poliedros

a) Prisma de base rectangular (paralelepípedo):

𝐴𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡 = 2(𝑎𝑏 + 𝑎ℎ + 𝑏ℎ)

𝑉𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ ℎ

Poliedros

b) Prisma de base triangular:

Poliedros

𝐴𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 = 2 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙

𝑉𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 = 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑜

𝐴𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 = 𝑏(ℎ + 𝑎)

𝑉𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 =𝑏 ∙ ℎ

2∙ 𝑎

Poliedros

Pirámide:Es el poliedro que estáformado por una carapoligonal (cara basal), y portantos triánguloscomo lados tienen la carabasal (caras laterales).

Las caras laterales concurren aun punto en comúndenominado vértice de lapirámide.

Poliedros

PoliedrosPoliedros

Para determinar el volumen de una pirámidepodemos utilizar teorema que establece que todoprisma triangular se puede dividir en tres pirámidesequivalentes, es decir, con el mismo volumen.

Este resultado para cualquier tipo de pirámide con la cual se trabaje.

𝐴𝑝𝑖𝑟á𝑚𝑖𝑑𝑒 = 𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 + 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒

𝑉𝑝𝑖𝑟á𝑚𝑖𝑑𝑒 =1

3∙ 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒∙ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

Poliedros

Cuerpos Redondos

1) Cilindro:Cuerpo redondo que se genera al rotar un rectángulo sobre uno de sus lados.

Cuerpos Redondos

𝐴𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 2 ∙ 𝐴𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 + 𝐴𝑟𝑒𝑐𝑡

𝐴𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 2𝜋𝑟(𝑟 + ℎ)

𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝜋𝑟2ℎ

Cuerpos Redondos

𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

Cuerpos Redondos

2) Cono:Cuerpo redondo que se genera al rotar un triangulorectángulo sobre uno de sus catetos.

Cuerpos Redondos

𝐴𝑐𝑜𝑛𝑜 = 𝐴𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 + 𝐴𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑖𝑟𝑐

𝐴𝑐𝑜𝑛𝑜 = 𝜋𝑟(𝑟 + 𝑔)

𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 =𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜

3

𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 =1

3𝜋𝑟2ℎ

Cuerpos Redondos

Cuerpos Redondos

3) Esfera:Cuerpo redondo que se genera al rotar un semicírculosobre su diámetro.

Cuerpos Redondos

Cuerpos Redondos

𝐴𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 4𝜋𝑟2

𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 =4

3𝜋𝑟3

Cuerpos Redondos