Upload
natalia-indriani
View
411
Download
15
Embed Size (px)
Citation preview
Permutasi dan Permutasi dan KombinasiKombinasiMatematika Diskrit
Pengantar Permutasi -Pengantar Permutasi -Faktorial Faktorial Misalkan n adalah bilangan bulat
positif. Besaran n faktorial (n!) didefinisikan sebagai hasil kali semua bilangan bulat antara n hingga 1. Untuk n = 0 atau dengan kata lain 0! didefinisikan =1.
n! = n.(n-1)(n-2)... 10! = 1.
Pengantar Permutasi -Pengantar Permutasi -Faktorial Faktorial Contoh:Tuliskan 10 faktorial pertama :
Penyelesaian: 0! = 11! = 12! = 2.1 = 23! = 3.2.1= 64! = 4.3.2.1 = 24Dst.....
Pengantar Permutasi -Pengantar Permutasi -Faktorial Faktorial Latihan Soal
1.
2.
PermutasiPermutasi Permutasi adalah penyusunan
kembali suatu kumpulan objek dalam
urutan yang berbeda dari urutan yang
semula.
Urutan diperhatikan
Perulangan tidak diperbolehkan
PermutasiPermutasi Misalkan Masalah penyusunan kepanitiaan yang
terdiri dari Ketua, Sekretaris dan Bendahara dimana
urutan dipertimbangkan merupakan salah satu
contoh permutasi. Jika terdapat 3 orang (misalnya
Amir, Budi dan Cindy) yang akan dipilih untuk
menduduki posisi tersebut, maka dengan
menggunakan Prinsip Perkalian kita dapat
menentukan banyaknya susunan panitia yang
mungkin, yaitu:
PermutasiPermutasi Pertama menentukan Ketua, yang dapat
dilakukan dalam 3 cara.
Begitu Ketua ditentukan, Sekretaris dapat ditentukan dalam 2 cara.
Setelah Ketua dan Sekretaris ditentukan, Bendahara dapat ditentukan dalam 1 cara.
Sehingga banyaknya susunan panitia yang mungkin adalah 3.2.1 = 6.
PermutasiPermutasi Secara formal, permutasi dapat
didenisikan sebagai berikut.
Denisi 3.1
Permutasi dari n unsur yang berbeda
x1,x2, .. ,xn adalah pengurutan dari n
unsur tersebut.
PermutasiPermutasi Contoh 3.1
Tentukan permutasi dari 3 huruf yang
berbeda, misalnya ABC !
Penyelesaian
Permutasi dari huruf ABC adalah
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
Sehingga terdapat 6 permutasi dari huruf
ABC.
PermutasiPermutasi Teorema 3.1
Terdapat n! permutasi dari n unsur yang
berbeda.
PermutasiPermutasi Contoh 3.2
Gunakan Teorema 3.1 untuk mencari berapa
banyak permutasi dari huruf ABC ?
Penyelesaian
Terdapat 3 unsur dari huruf ABC, jadi
banyaknya permutasinya adalah 3!, atau
Terdapat 3.2.1 = 6 permutasi dari huruf ABC.
PermutasiPermutasi Contoh 3.3
Berapa banyak permutasi dari huruf
ABCDEF jika huruf ABC harus selalu
muncul bersama?
PermutasiPermutasi Penyelesaian :
Karena huruf ABC harus selalu muncul
bersama, maka huruf ABC bisa dinyatakan
sebagai satu unsur. Dengan demikian
terdapat 4 unsur yang dipermutasikan,
sehingga banyaknya permutasi adalah
4.3.2.1 = 24
1. Misalkan dalam kelas matematika
diskrit ada 20 mhs. Akan di pilih
seorang yang akan menjadi ketua
kelas dan seorang bendahara. Ada
berapa banyak cara untuk memilih
ketua dan bendahara??
PermutasiPermutasi
Soal latihan :
2. Berapa banyak kata yang dapat
terbentuk dari kata “BOSAN” ???
PermutasiPermutasi
Soal latihan :
3. Berapakah jumlah kemungkinan
membentuk 3 angka dari 5 angka berikut
: 1, 2, 3, 4, 5, jika:
a.Tidak boleh ada pengulangan angka;
b.Boleh ada pengulangan angka.
PermutasiPermutasi
Soal latihan :
4. Terdapat 5 buku kimia, 4 buku fisika dan
2 buku matematika yang masing-masing
buku berbeda satu sama lain. Berapa
banyak cara untuk menyusun buku – buku
tersebut ke dalam sebuah rak jika setiap
buku dikelompokan sesuai dengan
jenisnya ? ?
PermutasiPermutasi
PermutasiPermutasi Definisi 3.2
Permutasi-r dari n objek adalah jumlah
kemungkinan urutan r buah objek yang
dipilih dari n buah objek, dengan r ≤ n, yang
dalam hal ini, pada setiap kemungkinan
urutan tidak ada objek yang sama. Dan
dapat di notasikan dengan P(n,r).
Teorema 3.2
Banyaknya permutasi-r dari n unsur yang
berbeda adalah
PermutasiPermutasi
Atau dengan kata lain, secara umum permutasi r objek dari n buah objek dapat di hitung dengan persamaan berikut :
Jika r = n, maka persamaan menjadi
PermutasiPermutasi
PermutasiPermutasi Contoh 3.4
Tentukan permutasi-3 dari 5 huruf
yang berbeda, misalnya ABCDE.
Contoh 3.5
Gunakan Teorema 3.2 untuk
menentukan permutasi-3 dari 5
huruf yang berbeda, misalnya
ABCDE.
PermutasiPermutasi
Penyelesaian Karena r = 3 dan n = 5 maka permutasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah
Jadi banyaknya permutasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah 60.
PermutasiPermutasi
1. Sebuah undian dilakukan
menggunakan angka yang terdiri
dari 7 digit. Jika digit – digit dalam
suatu angka diharuskan berbeda
satu dengan yang lain, ada berapa
kemungkinan nomor undian???
PermutasiPermutasi
2. Berapa banyak jumlah urutan
berbeda yang dihasilkan jika
memasukan 6 buah bola yang
berbeda kedalam 3 buah kotak, dan
masing – masing kotak hanya boleh
diisi 1 buah bola???
PermutasiPermutasi
3. Berapa banyak String yang dapat
dibentuk yang terdiri dari 4 huruf
berbeda dan diikuti dengan 3 angka
yang berbeda pula ??
PermutasiPermutasi
4. Tentukan banyaknya susunan 3
huruf berbeda yang dapat diperoleh
dari kata SMART???
PermutasiPermutasi
5. Berapa banyak permutasi dari
cara duduk yang dapat terjadi jika 8
orang disediakan 4 buah kursi,
sedangkan satu orang di antaranya
selalu duduk d kursi tertentu ??
PermutasiPermutasi
6. Misalkan X={a, b, c, d}
a. Hitunglah Permutasi dari X
b. Hitunglah Permutasi-3 dari X
PermutasiPermutasi