PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA - repository.ung.ac.idrepository.ung.ac.id/get/kms/15080/resmawan-pd-linear-orde-2-homogen... · PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Persamaan Diferensian Biasa

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASAPersamaan Diferensian Biasa Orde n Koefisien Konstan

Resmawan

UNIVERSITAS NEGERI GORONTALO

November 2018

[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 1 / 30

4 PDB Orde n 4.1 Pengertian dan Klasifikasi

4.1 Pengertian dan Klasifikasi





DefinitionPersamaan Diferensial linear biasa orde n adalah persamaan diferensialyang memuat turunan ke-n dari suatu fungsi yang tak diketahui

y (n) =dnydxn

yang secara umum dapat ditulis dalam bentuk

an (x) y (n)+ an−1 (x) y (n−1)+ · · ·+ a2 (x) y ′′+ a1 (x) y ′+ a0 (x) y = r (x)(1)

dimana an, an−1, · · · , a1, a0 dengan an 6= 0 dan r adalah fungsi dari x .

PD ini dikatakan linear karena pangkat tertinggi dari fungsi danturunan-turunannya, y (n), y (n−1), · · · , y ′′, y ′, dan y yang takdiketahui berderajat satu.




Berdasarkan nilai koefisien pada persamaan (1) , Persamaan DiferensialLinear diklasifikasikan sebagai berikut:

1 Persamaan Diferensial Homogen Koefisien Konstan, jikakoefisien an, an−1, ..., a1, a0 adalah konstan dan r (x) = 0.

any (n) + an−1y (n−1) + · · ·+ a2y ′′ + a1y ′ + a0y = 0

2 Persamaan Diferensial Homogen Koefisien Variabel, jika koefisienan, an−1, ..., a1, a0 merupakan fungsi-fungsi x , an 6= 0, dan r (x) = 0.Contoh PD jenis ini adalah persamaan Cauchy homogen orde ke−n

anxny (n) + an−1xn−1y (n−1) + · · ·+ a2x2y ′′ + a1xy ′ + a0y = 0




3. Persamaan Diferensial Non Homogen Koefisien Konstan, jikakoefisien an, an−1, ..., a1, a0 adalah konstan, an 6= 0, dan r (x) 6= 0.

any (n) + an−1y (n−1) + · · ·+ a2y ′′ + a1y ′ + a0y = r (x)

4. Persamaan Diferensial Non Homogen Koefisien Variabel, jikakoefisien an, an−1, ..., a1, a0 merupakan fungsi-fungsi x , an 6= 0, danr (x) 6= 0. Contoh PD jenis ini adalah persamaan Cauchy nonhomogen orde ke−n

anxny (n) + an−1xn−1y (n−1) + · · ·+ a2x2y ′′ + a1xy ′ + a0y = r (x)


4 PDB Orde n 4.2 PD Linear Orde Dua Homogen Koefisien Konstan

4.2 PD Linear Orde Dua Homogen Koefisien Konstan





Misal PD Linear Orde Dua Koefisien Konstan

ay ′′ + by ′ + cy = r(x) (2)

Persamaan (2) disebut linear karena pangkat tertinggi dari y ′′, y ′, dany adalah satu.Jika r (x) = 0, maka persamaan (2) disebut PD homogen denganbentuk

ay ′′ + by ′ + cy = 0 (3)

dengan a, b, c konstanta.Solusi umum dari PD homogen (3) berbentuk

y = c1y1 + c2y2

dimana c1, c2 konstan dan y1, y2 fungsi-fungsi dari x , yang disebutbasis penyelesaian y . Andaikan basis penyelesaian berbentuk

y = eλx (4)




makay ′ = λeλx dan y ′′ = λ2eλx (5)

Jika persamaan (4) dan (5) disubtitusi ke persamaan (3) , maka(aλ2 + bλ+ c

)eλx = 0

Karena eλx 6= 0, maka

aλ2 + bλ+ c = 0 (6)

Persamaan (6) disebut Persamaan Karakteristik yang akar-akarnyadiberikan oleh

λ12 =−b±

√b2 − 4ac2a

(7)




Selanjutnya, solusi umum persamaan diferensial homogen akanbergantung pada akar-akar persamaan karakteristik (7) yang terdiriatas 3 kasus:

1 λ1 dan λ2 merupakan dua akar real berbeda.Kasus ini terjadi jika

D = b2 − 4ac > 02 λ1 dan λ2 merupakan dua akar real kembar.Kasus ini terjadi jika

D = b2 − 4ac = 03 λ1 dan λ2 merupakan dua akar kompleks.Kasus ini terjadi jika

D = b2 − 4ac < 0


4 PDB Orde n 4.2.1 Kasus Pertama Dua Akar Real Beda

4.2.1 Kasus Pertama: Dua Akar Real Beda





Jika diskriminan persamaan karakteristik lebih besar dari nol

D = b2 − 4ac > 0

Maka persamaan karakteristik mempunyai akar-akar real berbeda,yaitu

λ1 =−b+

√b2 − 4ac2a

; λ2 =−b−

√b2 − 4ac2a

Dalam kasus ini, basis-basis solusi diberikan oleh

y1 = eλ1x dan y2 = eλ2x

Dengan demikian, solusi umum persamaan diferensial homogen (3)diberikan oleh

y (x) = c1eλ1x + c2eλ2x (8)

dimana c1 dan c2 konstanta.




Examples

Carilah solusi umum dari persamaan diferensial berikut:

1 y ′′ + 4y ′ − 12y = 02 y ′′ − 4y ′ + 3y = 03 2y ′′ − 5y ′ + 3y = 0; y (0) = 6, y ′ (0) = 13




Solution1 Persamaan karakteristik yang bersesuaian

λ2 + 4λ− 12 = 0 λ1 = 2(λ− 2) (λ+ 6) = 0 λ2 = −6

sehingga solusi umum PD adalah

y = c1e2x + c2e−6x

2 Dengan cara sama

λ2 − 4λ+ 3 = 0 λ1 = 1(λ− 1) (λ− 3) = 0 λ2 = 3

sehingga diperoleh solusi y = c1ex + c2e3x




Solution3. Persamaan karakteristik yang bersesuaian

2λ2 − 5λ+ 3 = 0 λ1 =32

(2λ− 3) (λ− 1) = 0 λ2 = 1

sehingga solusi umum PD adalah

y = c1e32 x + c2ex

y ′ =32c1e

32 x + c2ex

Dengan nilai awal y (0) = 6, y ′ (0) = 13 diperoleh

6 = c1 + c226 = 3c1 + 2c2




Solution3. Dengan demikian,

26 = c1 + 2c226 = 3c1 + 2 (6− c1)c1 = 14

c2 = −8

sehingga solusi kuhusus PD adalah

y = 14e32 x − 8ex


4 PDB Orde n 4.2.2 Kasus Kedua Akar Real Kembar

4.2.2 Kasus Kedua: Akar Real Kembar





Jika diskriminan persamaan karakteristik sama dengan nol

D = b2 − 4ac = 0

Maka persamaan karakteristik mempunyai akar-akar real kembar,yaitu

λ12 =−b2a


y1 = eλx dan y2 = xeλx


y = (c1 + xc2) eλx (9)

dimana c1 dan c2 konstanta.




Examples


1 y ′′ − 8y ′ + 16y = 02 y ′′ − 4y ′ + 4y = 0; y (0) = 4, y ′ (0) = 3




Solution1 Diketahui persamaan karakteristik

λ2 − 8λ+ 16 = 0

(λ− 4) (λ− 4) = 0

λ12 = 4

Maka solusi umum PD adalah

y = (c1 + xc2) e4x


4 PDB Orde n 4.2.3 Kasus Ketiga Akar-Akar Kompleks

4.2.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks





Jika diskriminan persamaan karakteristik kurang dari nol

D = b2 − 4ac < 0Maka persamaan karakteristik mempunyai akar-akar kompleks, yaitu

λ1 = α+ βi dan λ2 = α− βi

dimana

α =−b2a; β =

√b2 − 4ac2a


y1 = e(α+βi )x dan y2 = e(α−βi )x


y = (c1 cos βx + c2 sin βx) eαx (10)

dimana c1 dan c2 [email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 21 / 30



Problem

Buktikan kebenaran persamaan (10)




Examples


1 y ′′ − 6y ′ + 13y = 02 4y ′′ − 4y ′ + 5y = 0; y (0) = 2, y ′ (0) = 11




Solution1 Persamaan karakteristik

λ2 − 6λ+ 13 = 0

λ12 =−b±

√b2 − 4ac2a

=6±√−162

= 3± 2i

sehingga solusi umum adalah

y = (c1 cos 2x + c2 sin 2x) e3x




Solution2. Persamaan karakteristik

4λ2 − 4λ+ 5 = 0

λ12 =−b±

√b2 − 4ac2a

λ12 =4±√−648

=12± i

sehingga solusi umum adalah

y = (c1 cos x + c2 sin x) e12 x




Solution

2. Dengan nilai awal y (0) = 2, y ′ (0) = 11 dan selanjutnya

y ′ =12e12 x (c1 cos x + c2 sin x) + (−c1 sin x + c2 cos x) e

12 x

Maka

2 = (c1 cos 0+ c2 sin 0) e0 ⇔ c1 = 2

11 =12c1 + c2 ⇐⇒ c2 = 10

Solusi Khusus PDy = (2 cos x + 10 sin x) e

12 x


4 PDB Orde n * Soal-Soal Latihan 7

* Soal-Soal Latihan 7

ProblemCarilah solusi umum dari persamaan diferensial berikut:

1 y ′′ − 4y ′ + 3y = 02 y ′′ − 2y ′ + 10y = 03 2y ′′ + 7y ′ − 4y = 04 4y ′′ − 4y ′ + y = 0Carilah solusi umum dan solusi khusus dari persamaan diferensialdengan nilai awal berikut

5 y ′′ + 2y ′ − 3y = 0; y (0) = 2, y ′ (0) = 86 y ′′ − 6y ′ + 25y = 0; y (0) = 6, y ′ (0) = 87 y ′′ + 4y ′ − 5y = 0; y (0) = 3, y ′ (0) = 28 y ′′ + 4y ′ + 4y = 0; y (0) = 2, y ′ (0) = 5


3. Penutup

" Terima Kasih, Semoga Bermanfaat "


Documents

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA - repository.ung.ac.idrepository.ung.ac.id/get/kms/15080/resmawan-pd-linear-orde-2-homogen... · PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Persamaan Diferensian Biasa