PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASAPersamaan Diferensian Biasa Orde n Koefisien Konstan

Resmawan

UNIVERSITAS NEGERI GORONTALO

November 2018

resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 1 / 51

4 PDB Orde n 4.3 PD Linear Orde n Homogen Koefisien Konstan

4.3 PD Linear Orde n Homogen Koefisien Konstan

4.3 PD Linear Orde n Homogen Koefisien Konstan

resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 28 / 51

4 PDB Orde n 4.3 PD Linear Orde n Homogen Koefisien Konstan

4.3 PD Linear Orde n Homogen Koefisien Konstan

Perhatikan bentuk umum

any (n) + an−1y (n−1) + · · ·+ a2y ′′ + a1y ′ + a0y = 0 (11)

dimana koefisien-koefisien an, an−1, · · · , a0 adalah konstanta danan 6= 0.Solusi umum persamaan (11) dapat diperoleh dengan pendekatanyang sama dengan PD Orde dua homogen. Andaikan basis-basissolusinya adalah

y = eλx

Maka turunan-turunannya terhadap x adalah

y ′ = λeλx , y ′′ = λ2eλx , · · · y (n−1) = λn−1eλx , y (n) = λneλx (12)

resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 29 / 51

4 PDB Orde n 4.3 PD Linear Orde n Homogen Koefisien Konstan

4.3 PD Linear Orde n Homogen Koefisien Konstan

Subtitusi persamaan (12) ke persamaan (11) menghasilkan(anλn + an−1λ

n−1 + · · ·+ a2λ2 + a1λ+ a0)eλx = 0

Karena eλx 6= 0, maka

anλn + an−1λn−1 + · · ·+ a2λ2 + a1λ+ a0 = 0 (13)

yang disebut Persamaan Karakteristik, sehingga solusi umumdiberikan oleh

y = c1eλ1x + c2eλ2x + · · ·+ cneλnx

resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 30 / 51

4 PDB Orde n 4.3 PD Linear Orde n Homogen Koefisien Konstan

4.3 PD Linear Orde n Homogen Koefisien Konstan

Langkah-Langkah menentukan solusi umum:

1 Menentukan polinomial persamaan karakteristik2 Menentukan akar-akar persamaan karakteristik3 Membentuk solusi umum berdasarkan akar-akar pada langkah ke−2,yang terdiri dari beberapa kasus:

Kasus Akar-Akar Real Tak Berulang (Akar Real Berbeda)Kasus Akar-Akar Real Berulang (Akar Real Sama)Kasus Akar-Akar Kompleks Konjugate Tak BerulangKasus Akar-Akar Kompleks Konjugate Berulang

resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 31 / 51

4 PDB Orde n 4.3.1 Kasus Pertama: Akar-Akar Real Berbeda

4.3.1 Kasus Akar-Akar Real Berbeda

4.3.1 Kasus Pertama: Akar-Akar Real Berbeda

resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 32 / 51

4 PDB Orde n 4.3.1 Kasus Pertama: Akar-Akar Real Berbeda

4.3.1 Kasus Akar-Akar Real Berbeda

Andaikan sebuah persamaan diferensial linear homogen orde n dengankoefisien konstan (11) dan jika persamaan karakteristik padapersamaan (13) , semuanya bilangan real berbeda, yakni

λ1,λ2, · · · ,λn

maka basis-basis solusinya diberikan oleh

y1 = eλ1x , y2 = eλ2x , · · · , yn = eλnx

Dengan demikian solusi umum diberikan oleh

y (x) = c1eλ1x + c2eλ2x + · · ·+ cneλnx (14)

dimana c1, c2,···cn konstanta.

resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 33 / 51

4 PDB Orde n 4.3.1 Kasus Pertama: Akar-Akar Real Berbeda

4.3.1 Kasus Akar-Akar Real Berbeda

Example

Carilah solusi umum persamaan diferensial berikut:

1 y ′′′ − 2y ′′ − 5y ′ + 6y = 02 y (4) − 5y ′′′ + 5y ′′ + 5y ′ − 6y = 0

resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 34 / 51

4 PDB Orde n 4.3.1 Kasus Pertama: Akar-Akar Real Berbeda

4.3.1 Kasus Akar-Akar Real Berbeda

Solution1 Untuk soal nomor 1, diperoleh persamaan karakteristik

λ3 − 2λ2 − 5λ+ 6 = 0.

dengan metode horner, diperoleh

λ3 − 2λ2 − 5λ+ 6 = (λ− 1)(λ2 − λ− 6

)= (λ− 1) (λ+ 2) (λ− 3)

yang berarti akar-akar persamaan karakteristik adalah

λ1 = 1,λ1 = −2, dan λ3 = 3

sehingga, solusi umum adalah

y = c1ex + c2e−2x + c3e3xresmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 35 / 51

4 PDB Orde n 4.3.2 Kasus Kedua: Akar-Akar Real Sama

4.3.2 Kasus Akar-Akar Real Sama

4.3.2 Kasus Kedua: Akar-Akar Real Sama

resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 36 / 51

4 PDB Orde n 4.3.2 Kasus Kedua: Akar-Akar Real Sama

4.3.2 Kasus Akar-Akar Real Sama

Andaikan sebuah persamaan diferensial linear homogen orde n dengankoefisien konstan (11) dan jika persamaan karakteristik padapersamaan (13) , memuat m akar-akar real sama, yakni

λ1 = λ2 = · · · = λm = λ

maka basis-basis solusinya diberikan oleh

y1 = eλx , y2 = xeλx , y3 = x2eλx , · · · , ym = xm−1eλx

Dengan demikian solusi umum diberikan oleh

y (x) =(c1 + c2x + c3x2 · · ·+ cmxm−1

)eλx (15)

dimana c1, c2,···cm konstanta.

resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 37 / 51

4 PDB Orde n 4.3.2 Kasus Kedua: Akar-Akar Real Sama

4.3.2 Kasus Akar-Akar Real Sama

Example

Carilah solusi umum persamaan diferensial berikut:

1 y ′′′ − y ′′ − y ′ + y = 02 y (4) − 6y ′′′ + 13y ′′ − 12y ′ + 4y = 0

resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 38 / 51

4 PDB Orde n 4.3.2 Kasus Kedua: Akar-Akar Real Sama

4.3.2 Kasus Akar-Akar Real Sama

Solution1 Persamaan Karakteristik

λ3 − λ2 − λ+ 1 = 0.

dengan metode horner, diperoleh

λ3 − λ2 − λ+ 1 = (λ− 1)(λ2 − 1

)= (λ− 1) (λ− 1) (λ+ 1)

yang berarti akar-akar persamaan karakteristik adalah

λ1 = λ2 = 1, dan λ3 = −1

sehingga, solusi umum adalah

y = (c1 + c2x) ex − c3e−xresmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 39 / 51

4 PDB Orde n 4.3.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks Konjugate

4.3.3 Kasus Akar-Akar Kompleks Konjugate Tak Berulang

4.3.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks Konjugate Tak Berulang

resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 40 / 51

4 PDB Orde n 4.3.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks Konjugate

4.3.3 Kasus Akar-Akar Kompleks Konjugate Tak Berulang

Andaikan sebuah persamaan diferensial linear homogen orde n dengankoefisien konstan (11) dan jika persamaan karakteristik padapersamaan (13) , memuat akar-akar kompleks konjugate, yakni

λ12 = a± bi

maka basis-basis solusinya diberikan oleh

y1 = eax cos bx dan y2 = eax sin bx

Dengan demikian solusi umum diberikan oleh

y (x) = eax (c1 cos bx + c2 sin bx) (16)

dimana c1, c2 konstanta.

resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 41 / 51

4 PDB Orde n 4.3.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks Konjugate

4.3.3 Kasus Akar-Akar Kompleks Konjugate Tak Berulang

Example

Carilah solusi umum persamaan diferensial berikut:

1 y ′′′ − 4y ′′ + 9y ′ − 10y = 02 y (4) − 10y ′′′ + 41y ′′ − 76y ′ + 52y = 03 y (4) − 4y ′′′ + 9y ′′ − 16y ′ + 20y = 0

resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 42 / 51

4 PDB Orde n 4.3.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks Konjugate

4.3.3 Kasus Akar-Akar Kompleks Konjugate Tak berulang

Solution2. Untuk kasus nomor 2, diperoleh Persamaan Karakteristik

λ3 − 10λ3 + 41λ2 − 76λ+ 52 = 0.

dengan metode horner, diperoleh

λ3 − 10λ3 + 41λ2 − 76λ+ 52 = (λ− 2)(λ3 − 8λ2 + 25λ− 26

)= (λ− 2) (λ− 2)

(λ2 − 6λ+ 13

)= (λ− 2)2

((λ− 3)2 + 4

)

resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 43 / 51

4 PDB Orde n 4.3.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks Konjugate

4.3.3 Kasus Akar-Akar Kompleks Konjugate Tak berulang

Solution2. yang berarti akar-akar persamaan karakteristik adalah

λ12 = 2 dan λ34 = 3± 2i

sehingga, solusi umum adalah

y = (c1 + c2x) e2x + (c3 cos 2x + c4 sin 2x) e3x

resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 44 / 51

4 PDB Orde n 4.3.4 Kasus Keempat: Akar-Akar Kompleks Konjugate Berulang

4.3.4 Kasus Akar-Akar Kompleks Konjugate Berulang

4.3.4 Kasus Keempat: Akar-Akar Kompleks Konjugate Berulang

resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 45 / 51

4 PDB Orde n 4.3.4 Kasus Keempat: Akar-Akar Kompleks Konjugate Berulang

4.3.4 Kasus Akar-Akar Kompleks Konjugate Berulang

Andaikan sebuah persamaan diferensial linear homogen orde n dengankoefisien konstan (11) dan jika persamaan karakteristik padapersamaan (13) , memuat akar-akar kompleks konjugate berulang,yakni

λ12 = a± bi dan λ34 = a± bimaka basis-basis solusinya diberikan oleh

y1 = eax cos bx , y2 = eax sin bx , y3 = xeax cos bx , y4 = xeax sin bx

Dengan demikian solusi umum diberikan oleh

y (x) = eax (c1 cos bx + c2 sin bx) + xeax (c3 cos bx + c4 sin bx) (17)

dimana c1, c2, c3, c4 konstanta.

resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 46 / 51

4 PDB Orde n 4.3.4 Kasus Keempat: Akar-Akar Kompleks Konjugate Berulang

4.3.4 Kasus Akar-Akar Kompleks Konjugate Berulang

Example

Carilah solusi umum persamaan diferensial berikut:

y (4) + 8y ′ + 16y = 0

resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 47 / 51

4 PDB Orde n 4.3.4 Kasus Keempat: Akar-Akar Kompleks Konjugate Berulang

4.3.4 Kasus Akar-Akar Kompleks Konjugate berulang

SolutionPersamaan Karakteristik

λ4 + 8λ2 + 16 = 0.

Tulis kembali persamaan karakteristik menjadi

λ4 + 8λ2 + 16 =(λ2 + 4

) (λ2 + 4

)yang berarti akar-akar persamaan karakteristik adalah

λ12 = ±2i dan λ34 = ±2i

resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 48 / 51

4 PDB Orde n 4.3.4 Kasus Keempat: Akar-Akar Kompleks Konjugate Berulang

4.3.4 Kasus Akar-Akar Kompleks Konjugate berulang

Solutionsehingga, solusi umum adalah

y = e0 (c1 cos 2x + c2 sin 2x) + xe0 (c3 cos 2x + c4 sin 2x)

= c1 cos 2x + c2 sin 2x + c3x cos 2x + c4x sin 2x

= (c1 + c3x) cos 2x + (c2 + c4x) sin 2x

resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 49 / 51

4 PDB Orde n * Soal-Soal Latihan 8

* Soal-Soal Latihan 8

ProblemCarilah solusi umum dari persamaan diferensial berikut:

1 y (4) − 5y ′′ + 4y = 02 y (4) + 3y ′′′ + 5y ′′ + y ′ − 10y = 03 y (4) − 6y ′′′ + 17y ′′ − 20y ′ + 8y = 0Carilah solusi umum dan solusi khusus dari persamaan diferensialdengan nilai awal berikut

4 y ′′′ + 3y ′′ + y ′ − 5y = 0; y (0) = 0, y ′ (0) = 4, dan y ′′ (0) = 05 2y (4) − 11y ′′′ + 21y ′′ − 16y ′ + 4y = 0; y (0) = 0, y ′ (0) =2, y ′′ (0) = 2, dan y ′′′ (0) = 0

6 y (4) − 6y ′′′ + 13y ′′ − 12y ′ + 4y = 0; y (0) = 0, y ′ (0) =0, y ′′ (0) = 2, dan y ′′′ (0) = 4

resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 50 / 51

3. Penutup

" Terima Kasih, Semoga Bermanfaat "

resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 51 / 51