PERSAMAAN KUADRAT

Pengertian Persamaan Kuadrat

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Dimana a, b, c є R dan a ≠ 0.

Koefisien x2 konstanta

Koefisien x

Bentuk Lain Persamaan Kuadrat :

Dengan demikian persamaan kuadrat adalah persamaan berderajat dua dalam x

Cara- cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

a. Memfaktorkan

untuk bentuk ax2 + bx + c = 0), maka kalian harus menentukan dua buah bilangan yang

jumlahnya b dan hasil kalinya c

b. Melengkapkan kuadrat sempurna

ialah mengubah suatu bentuk kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna.

Misalnya x2 – 2x diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna x2 – 2x + 1 = (x - 1)

c. Menggunakan rumus kuadrat

Dengan b2 – 4ac ≥

Nilai diskriminan (D)

ax2 + bx + c = 0

(jika b = 0) disebut Persamaan Kuadrat

Sempurna : ax2 + c = 0

(jika c = 0) disebut Persamaan Kuadrat Tak

Lengkap : ax2 + bx = 0

x1,2 = -b ± √ b2 – 4ac

2a

Jika b2 – 4ac < 0 maka persamaan kuadrat tidak memiliki penyelesaian

Jika b2 Jika b2 – 4ac = 0 maka persamaan kuadrat memiliki tepat satu penyelesaian

Jika b2 – 4ac > 0 maka persamaan kuadrat memiliki dua penyelesaian

Menyusun Persamaan Kuadrat

Untuk akar-akar sebuah persamaan yang telah diketahui.

Memakai faktor :

Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar

Diperoleh dari penjumlahan dan perkalian rumus abc

x1 + x2 = - b + √ b2 – 4ac + - b - √ b2 – 4ac 2a 2a

= -2b 2a

= -b a

x1 x x2 = - b + √ b2 – 4ac x - b - √ b2 – 4ac 2a 2a

= b 2 – (b 2 – 4 ac) 4a2

= 4ac 4a2

= c a

Sehingga dapat dinyatakan

(x - x1) (x – x2) = 0

x2 – (x1 + x2) x + x1.x2 = 0

Contoh

Contoh 1 :

☺ Bagaimana merubah persamaan 2x2 = 3x - 8 ke dalam bentuk umum???

Penyelesaian : 2x2 = 3x – 8

<=> 2x2 - 3x = 3x-3x -8 (kedua ruas dikurangi 3x)

<=> 2x2 – 3x = -8

<=> 2x2 - 3x + 8 = -8 + 8 (kedua ruas ditambah 8)

<=> 2x2 – 3x + 8 = 0

Jadi a = 2, b = - 3 dan c = 8

Contoh 2 :

Cara memfaktorkan

Contoh : x2 – 5 x + 6 = 0

<=> ( x-2 ) ( x-3 ) = 0

<=> x- 2 = 0 atau x - 3 = 0

<=> x = 2 atau x = 3

Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {2, 3}

Contoh 3

Cara Melengkapakan Kuadrat

Contoh : Menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x2 + 2x – 15 = 0 !

Jawab : x2 + 2x – 15 = 0

x2 + 2x = 15

Agar x2 + 2x menjadii bentuk kuadrat sempurna, harus ditambah dengan kuadrat

dari setengah koefisien x + (½ x 2)2 = 12 = 1

Dengan menambahkan 1 pada kedua ruas, diperoleh :

x2 + 2x + 1 = 15 + 1

<=> (x + 1)2 = 16

<=> x + 1 = ± √16

<=> x + 1 = ± 4

<=> x + 1 = 4 atau x + 1 = -4

<=> x = 4 - 1 atau x = -4 -1

<=> x = 3 atau x = -5

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3, -5}

Contoh 4

a. Menggunakan rumus kuadrat

Menentukan himpunan penyelesaian persamaan x2 + 4x – 12 = 0

a =1 b = 4 c = -12

penyelesaian

x1,2 = - b ± √b 2 – 4ac 2a

<=> x1,2 = - 4 ± √42 – 4 x 1x (-12)2 x 1

<=> x1,2 = - 4 ± √16 + 48 2

<=> x1,2 = - 4 ± √64 2

<=> x1,2 = - 4 ± 8 2

<=> x1,2 = - 4 + 8 atau x1,2 = - 4 - 8 2 2

<=> x1 = 2 atau x2 = -6jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-6, 2}

Contoh 5 : Bagaimana menetukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 5???

Cara 1 : x1 = 2 dan x2 = 5Maka (x-x1) (x-x2) = 0<=> (x-2) (x-5) = 0<=> x2 – 7x + 10 = 0Jadi persamaan kuadratnya x2 – 7x + 10 = 0

Cara 2 : x1 = 2 dan x2 = 5Maka x2 – (x1+x2)x + x1.x2 = 0Dengan (x1 + x2) = 2 + 5 = 7

x1. x2 = 2.5 = 10

Jadi persamaan kuadratnya x2 – 7x + 10 = 0

Contoh 6 : penerapan Persamaan Kuadrat

Luas sebidang tanah berbentuk persegi panjang, yaitu 4.320 m2. Jika panjang tanah itu

12m lebih panjang daripada lebarnya, berapakah panjang dan lebar tanah tersebut?

Penyelesaian :

Misalnya panjang tanah x meter dan lebar 4 meter maka

Y = ( x- 12) meter

Luas tanah = x . y

4.320 = x . y

<=> 4.320 = x . (x-12)

<=> x2 – 12x – 4320 = 0

<=> (x- 72) (x + 60) = 0

<=> x - 72 = 0 atau x + 60 = 0

<=> x = 72 atau x = - 60

karena panjang tanah harus positif, nilai yang memenuhi adalah x = 72.

Untuk x = 72 maka y = x – 12 = 72 – 12 = 60

Jadi, panjang tanah adalah 72 meter dan lebar tanah adalah 60 meter.

LATIHAN

☺ Nyatakan persamaan 2 (x2 + 1) = x (x + 3) ke dalam bentuk umum persamaan kuadrat !

☺ Tentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat 2x2 – 5x – 3 = 0, jika x є R!

☺ Tentukan persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya adalah 3 dan 0 !

☺ Jumlah dua bilangan cacah adalah 12. jika hasil kali dua bilangan itu 35. Tentukan kedua

bilangan cacah yang dimaksud !

Pemyelesaian

1) 2 (x2 + 1) = x (x + 3)

<=> 2x2 + 2 = x2 + 3x

<=> 2x2 – x2 + 2 = x2 – x2 + 3x (kedua ruas dikurangi x2)

<=> x2 + 2 = 3x

<=> x2 – 3x + 2 = 3x – 3x (kedua ruas dikurangi 3x)

<=> x2 – 3x + 2 = 0

Jadi, a = 1, b = -3, dan c = 2

2) Dua bilangan yang jumlahnya -5

Dan hasil kalinya 2 x (-3) = -6 adalah 1 dan -6 sehingga diperoleh

2x2 – 5x – 3 = 0

<=> (2x + 1) (2x – 6) = 0

<=> 2x + 1 = 0 atau 2x – 6 = 0

<=> x = - 1 atau x = 3

2

Jadi HP = {- 1, 3}

2

3) dengan cara memfaktor

x1 = 3 dan x2 = 0

(x - x1) (x – x2) = 0

(x – 3) (x-0) = 0

x (x – 3) = 0

x2 – 3x = 0

Jadi, persamaan kuadrat yang dimaksud adalah x2 – 3x = 0

4) Misalkan kedua bilangan itu x dan y maka x + y = 12

Dan xy = 35. Oleh karena itu, kita peroleh persamaan berikut :

x (12 – x) = 35 (karena y = 12 – x)

<=> 12x – x2 = 35

<=> x2 – 12 = -35

<=> x2 – 12x 36 = -35 +36

<=> (x – 6)2 = 1

<=> x – 6 = ±1

<=> x - 6 = 1 atau x – 6 = -1

<=> x = 1 = 6 atau x = -1 + 6

<=> x = 7 atau x = 5

jika x = 7 maka y = 12 - 7 = 5

jika x = 5 maka y = 12 – 5 = 7

jadi, kedua bilangan yang dimaksud adalah 5 dan 7