1

PERSAMAAN &PEMODELAN MATEMATIKA

Jong Jek Siang

2

Persamaan• Memuat 2 ruas yang dihubungkan dengan

tanda sama dengan (=). • Dalam pemrograman disebut Assingment

(pemberian nilai variabel)Contoh : x = 5

• Biasanya memuat variabel• Masalah : menentukan nilai variabel

Contoh : 2(x – 5) + 3x = 3(x-1)• Semua variabel berpangkat 1 persamaan

linier

3

Contoh (1)Ardi bersama 3 temannya menyelesaikan proyek dengan kontrak sebesar Rp 3.400.000. Disamping itu ia baru saja menerima uang pemberian kakaknya sebesar Rp 450.000. Jika penghasilan proyek dibagi rata, berapa uang Ardi ?

Penyelesaian :

Misal x adalah jumlah keseluruhan uang Ardi

Uang dari proyek = Rp 3.400.000 / 4

Maka x = 3.400.000 / 4 + 450.000 = Rp 1.300.000

4

Contoh (2)Andre, Bismar dan Charlie adalah 3 bersaudara. Umur Andre 5/3 kali umur Bismar dan Umur Charlie 2/3 kali umur Bismar. Jika jumlah umur mereka adalah 30 tahun, berapa umur Andre ?

Penyelesaian :

Misal A, B, C adalah umur Andre, Bismar dan Charlie

Didapat persamaan :

5

3A B=

2

3C B=

30A B C+ + =5 2

303 3B B B+ + =

5 3 230

3 3 3B B B+ + =

1030

3B =

( )330 9

10B = =

5 5(9) 15

3 3A B= = =

5

Penyelesaian Persamaan• Hilangkan semua kurung dan bentuk

pembagian (jika ada) • Bawa semua suku yang memuat variabel ke

sisi kiri dan suku konstan ke sisi kanan• Selesaikan persamaan

6

Contoh (3)Carilah x yang memenuhi persamaan :

2(x+1) – 3x = 2(x-3) – 4x + 3

Penyelesaian :

Hilangkan semua kurung. Persamaan menjadi :

2x + 2 – 3x = 2x – 6 – 4x + 3

-x + 2 = -2x – 3

-x + 2x = -3 – 2

x = -5

7

Contoh (4)Carilah x yang memenuhi persamaan :

Penyelesaian :

Hilangkan suku pembagian dengan cara mengalikan silang kedua ruas. Didapat :

5 (2x + 3) = 4 (-2 (3x – 2))

Hilangkan semua kurung :

10 x + 15 = -8 (3x – 2)

10 x + 15 = -24 x + 16

10 x + 24 x = 16 – 15

34 x = 1

x = 1/34

( )2 3 22 3

4 5

xx − −+ =

8

Sistem Persamaan LinierAdalah beberapa persamaan (linier) yang memuat beberapa variabel yang harus diselesaikan bersama-samaPenyelesaian SPL adalah nilai2 variabel yang kalau disubstitusikan ke semua persamaan akan bernilai benar

Contoh :

x + 4y = 5

5x – 2y = 3

x = 5 dan y = 0 bukan penyelesaian karena hanya benar untuk persamaan pertama saja

9

Penyelesaian SPLCara Eliminasi : mengurangi jumlah variabel sehingga tinggal satu variabel, kemudian dicari nilainyaCara Substitusi : mensubstitusikan nilai sebuah variabel ke persamaan lain

Contoh : Selesaikan SPL berikut dengan cara eliminasi !

x + 4y = 5

5x – 2y = 3

Utk melakukan eliminasi, koefisien salah satu variabel harus disamakan

10

Penyelesaian SPL - Eliminasi

Misal koefisien y disamakan

4 5

5 2 3

x y

x y

+ =− =

1

2

××

4 5

10 4 6

x y

x y

+ =− = +

11 11x =

1x =

1 4 5y+ =4 4y =

1y =

11

Penyelesaian SPL - Substitusi

Salah satu variabel disubstitusikan ke persamaan lain

4 5 5 4x y x y+ = → = −

Contoh : Selesaikan SPL berikut dengan cara substitusi !

x + 4y = 5

5x – 2y = 3

5 2 3x y− =( )5 5 4 2 3y y− − =25 20 2 3y y− − =

22 22y− = −1y =

5 4(1)x = −1x =