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THERMODYNAMIK 1Patrik Rohner, 10. Dez. 08 Christian Forster, 5. Dez. 07
[email protected] [email protected]
THERMODYNAMIK 1 --
KONZEPTE UND DEFINITIONEN
KONSTANTEN
- Avogadro-Zahl N A=6.022 ∙1026 1kmol
- Bolzmannkonstante k B=1.38 ∙10−23 J
K- Gaskonstante
R=R0=8.314kJ
kmol K=N A ∙ kB
- Normdruck p0=101325 Pa=1.01325 ¿- Normalfallbeschleunigung g0=9.81ms
−2
- Normtemperatur T 0=298K ≅ 25 °C- Tripelpunkt Wasser T c=273.16K=0.01 ° CEINHEITEN
- Molmasse M : [ kgkmol ]
N= mM∙ N A=n∙ N A
- Druck p :[ Nm2 ]= [Pa ]1 ¿105Pa
- Spezifisches Volumen v=Vm
= 1ρ[m
3
kg]
1 l=0.001m3
- Innere Energie U : [kJ ] , u :[ kJkg ] , u :[ kJkmol
]
- Enthalpie H : [kJ ] , h :[ kJkg ] , h :[ kJkmol
]
- Entropie
S :[ kJK ] , s :[ kJkgK ] , s : [ kJ
kmolK ]
- Gaskonstante
R :[ JkgK ]= R ∙1000
M,R : [ kJkgK ]= R
M
- Kraft F : [N ]=[ kg ms2
]
- Energie E : [J ]=[ kgm2
s2]
- Exergie Ex : [J ]=[ kg m2
s2]
- Leistung P : [W ]=[ Js]=[ kgm
2
s3]
- Arbeit
W=∫ F ds=∫V 1
V 2
p (v ) dV [Nm ]=[J ]
- Kinetische Energie KE=12mw2
- Potentielle Energie PE=mgz
W>0 Vom System geleistete Arbeit = abgeführte Arbeit
W<0 Am System geleistete Arbeit = zugeführte Arbeit
Q>0 Dem System zugeführte Wärme
Q<0 Vom System abgegebene Wärme
SI-PRÄFIXE
P Peta- 1015 k Kilo- 103 m Milli- 10−3
T Tera- 1012 h Hekto- 102 μ Mikro- 10−6
G Giga- 109 d Dezi- 10−1 n Nano- 10−9
M Mega- 106 c Zenti- 10−2 p Pico- 10−12
Zustandsgrössen
Thermische- Druck p - Temperatur T- Volumen V - Masse m- Stoffmenge n
Kalorische - Innere Energie U (T, (Epot))- Entropie S (T,p) - Enthalpie H (T,p)
Prozessgrössen- Wärme Q - Arbeit W
Intensive Grössen: ändern ihre Werte bei der gedachten Teilung des (homogenen) Systems nicht (p,T)
Extensive Grössen: Sind auf Masseneinheiten bezogen (m, V)
Spezifische Grössen: x= Xm
extensive Zustandsgrössen in intensive
umgewandelt:
Molare Grössen u :U=n∙u=mM∙u ,u= u
M
Bezieht sich auf N A Moleküle. Bsp: Molares Volumen
v=Mρ
[ m3
kmol]
THERMODYNAMISCHES SYSTEM
Massenstrom-System- geschlossenes System: Anz. im System enthaltene Moleküle konst.- offenes System: Es fliessen Massenströme über die Syst. Grenze
Wärmestromsystem- adiabates Systeme: Keine thermische E über Syst. Grenze = isoliert- diathermes Systeme: nicht isoliert
physikalisch-chemisches System- homogenes System: physikalische und chemische
Zusammensetzung ist überall gleich.- heterogenes System: Bsp: Mineralien ein nur chemisch homogenes System kann auch 2 Phasen
beinhalten; das System [H2O (l) und H2O (g)] ist chemisch homogen aber phisikalisch heterogen
Nullter Hauptsatz: Wenn sich zwei Systeme mit einem dritten im Gleichgewicht befinden, sind sie auch untereinander im thermischen GG.
ELEMENTE DER KINETISCHEN GASTHEORIEPerfektes Gas Ideales Gas Realgas
Innere Energie
U U=Eth U=Eth+Em, pot
Therm. Energie
EthEth=∑
i=1
N mM
2∙wi
2
Temperatur T T=13Eth
NT=1
fE th
N
N= mM∙ N A n=
mM∙ N A ∙
1Vρ=m
Vv=V
m Thermische Energie Bewegung aller Moleküle (Translation, Rotation,
Oszillation) ergibt eine endliche Menge von kinetischer E = Eth
Eth=∑i=1
N mM
2∙wi
2 ,Eth=Eth
N=mM
2∙wi
2 , eth=E th
N ∙mM=wi2
2 Wärme Q Über Systemgrenze transportierte thermische Energie. Abs. Temperatur Die Temperatur ist gleich der thermischen Energie
dividiert durch die Anz. Freiheitsgrade.
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2Phasenraum
Isotherme
v
Isobare
gesättigter flüssiger Zustand
trocken gesättigter Dampf
v
Eth=N ∙ f2kb ∙T ,E th=
f2kb ∙ T ,e th=
f2kb ∙ TmM
k b beschreibt die Umrechnung der Temp. als Energie in J nach Kelvin.
Innere Energie bei perfekten Gasen △U=△E th
u=32RT
Innere Energie bei idealen Gasen △U=△E th
u= f2RT f : Anz. Freiheitsgrade. Daraus folgt : cv=
f2R und
c p=( f2+1)R c p−cv=R gilt weiterhin (auch bei realen
Gasen)
Einatomig: f=3 Bsp: He (Translation in 3 Richtungen)Zweiatomig: f=5 Bsp: O2, N2 (Translation und Rotation)Dreiatomig: f=5 Bsp: CO2 (Translation und Rotation)Dreiatomig: f=12 Bsp: CO2 (ab 1800K auch Oszillation)
Innere Energie bei realen Gasen △U=△E th+△ Epot Druck Kraftwirkung der Moleküle bezogen auf eine Flächeneinheit.
p0=13∙m ∙n ∙w0
2 , p=n∙k B ∙ T , p∝T ,n
Enthalpie bei perfekten Gasen h=u+ pv=52RT
Enthalpie bei idealen Gasen h=u+ pv=( f2+1)RT
Enthalpie bei realen Gasen ist in Tabellen nachzuschlagen
1. HAUPTSATZ: ENERGIE EINES SYSTEMS
Energie im System: E=KE+PE+U bleibt konstant.U ist die innere Energie und umfasst Wärme-, Elektrische-, Bindungs-E, …
ΔE=Q−W=Q−∫ pdV=∆KE+∆PE+∆U
mit ∆ KEund ∆ PE vernachlässigt:
△U=Q−W=Q−∫ pdV
DER ERSTE HAUPTSATZ ALS LEISTUNGSBILANZ
dEdt
=Q−W dUdt
=mc dTdt
U (T 2 )−U (T 1 )=m∫T 1
T 2
c (T )dT
ENERGIEANALYSE VON KREISPROZESSEN
QKP=W KP △U=0
DIE P-V-T-BEZIEHUNG
Dampfmassenteil:
x=v x−v fv g−v f
=mx−m f
mg−mf⋯TR∷ xvap (v , v f , vg)
2-Phasenraum: v ( x ,T )=x ∙ vg (T )+(1−x )∙ v f (T )
Linear Interpolieren: y=y2− y1x2−x1
(x−x1 )+ y1
TR∷ ipl (x1 , x , x2 , y1 , y2 )
DIE IDEALE GASGLEICHUNG
pv=RT pV=mRT pV=n RT
p=ρRT ρ=1vR= R
M U=U (T ) c p−cv=R
IDEALE GASE: POLYTROPE ZUSTANDSÄNDERUNGEN
p ∙V n=konst T2T1
=(p2p1
)n−1n =(
V 1
V 2)n−1
W=∫V 1
V 2
p (V )dV
n: Polytropenkoeffizient
Für ideale Gase gilt: u (T ) , h(T )
Folgende Formeln gelten nur für ideale Gase
n=1 ISOTHERMER PROZESS
T=const .→ p ∙V=const .
W 12=p1V 1⋅ ln (V 2
V 1)=mRT ⋅ ln(V 2
V 1)
W 12=p1V 1⋅ ln( p1p2 )=mRT ⋅ ln(p1p2 )
W 12=p2V 2⋅ ln (V 2
V 1)=p2V 2⋅ ln( p1p2 )∆U=0⟹Q12=W 12
n=0 ISOBARER PROZESS
p=const .→T /V=const .W 12=p1 (V 2−V 1 )
W 12=m p1 (v2−v1 )=mR (T2−T1 ) T 1V 1
=T2V 2
∆Q=∆ H=m∙c p∙∆T
n=∞ ISOCHORER PROZESS
V=const .→T / p=const .
W 12=0T1p1
=T 2p2
∆U=Q12→Q12=m(u2−u1)
Q12=m∙cV ∙(T 2−T 1)
p T
Seite 2
ISENTHALPER PROZESSH=const .→U+ p ∙V=const .∆ H=0→H1=H 2
dH=d (U+ pV )=dU+d ( pV )=mcV dT+mRdT=mc pdT
dH=0=mc pdT→dT=0⇛ im idealen Gas auf der Isothermen!
n=κ ISENTROPER PROZESS
S=const .→ p ∙V κ=const . Isentrop = adiabatisch und reversibel
n=κ=c pcv
Q12=0
p ∙V κ=const .T ∙V κ−1=const .
p1−κ ∙T κ=const .∆U=−W 12→W 12=U1−U2
W 12=m ∙(u¿¿1−u2)¿
W 12=m ∙cV ∙(T 1−T 2)
W 12=m∙ Rκ−1
∙(T 1−T 2)
W 12=p1V 1
κ
1−κ∙ [V 2
1−κ−V 11−κ ]
W 12=p1V 1
1−κ∙ [( p1p2)
1−κκ −1]
n≠1 ALLGEMEINER PROZESS
p ∙V n=const .p ∙V n=const .
T n ∙ p1−n=const .
T ∙vn−1=const .
W 12=R ∙m1−n
(T 2−T1)
W 12=p2V 2−p1V 1
1−n
W 12=p1V 1
n
1−n (V 21−n−V 1
1−n )
REALE GASE: POLYTROPE ZUSTANDSÄNDERUNGENAllgemein:
ΔU=m(u2−u1)=m(cv2T 2−ucv1T 1)Isotherm: ΔU=Q−W⟺W=Q−ΔUIsobar: W 12= p1 (V 2−V 1 )=m p1(v2−v1)
Isochor: W 12=0
Isentrop/adiabat: ΔQ=0
THERMODYNAMISCHE ZUSTANDSDATEN
Enthalpie (Wärmefunktion) H=U+ pV h=Hm
=u+ pv
pV ist die Arbeit die nötig ist um das Volumen V des Systems gegen die Wirkung des Aussendrucks p aufzuspannen.
Verdampfungsenthalpie h fg=hg−h fEnergie die nötig ist um ein Fluid unter konst. Druck und Temp gasförmig zu machen.
Wärmemenge △Q=m∙c ∙△TSpezifische Wärmekapazität c Energie die nötig ist um 1kg der Masse um 1K zu erwärmen. Man unterscheidet zwischen cvund c p:
Wärmezufuhr bei konstantem Volumen (isochore Wärmekap.)
cv=( ∂U∂T
)v[ kJkg K
] (Verwenden in Verbindung
mit u)
du=( ∂U∂T
)v⏟
cv
dT +¿ ( ∂U∂ v
)Tdv bei dv=0
⇒du=cv dT
Wärmekapazität bei konstantem Druck (isobare Wärmekap.)
c p=( ∂h∂T
)p[ kJkg K
] (Verwenden in Verbindung
mit h)
dh=( ∂h∂T
)p⏟
c p
dT+¿ ( ∂h∂ p
)Tdpbei dp=0
⇒dh=cpdT
MATHEMATISCHES
z (x , y )dt→dz=(∂ z∂ x )
ydx+( ∂z∂ y )
xdy ∂∂ y [( ∂ z∂ x )
y ]x= ∂∂x [( ∂ z∂ y )
x] yMit ( ∂x∂ y )
z(∂ y∂ x )
z=1 und ( ∂ y∂ z )
x( ∂z∂ x )
y( ∂x∂ y )
z=−1
MAXWELL‘SCHE GLEICHUNGEN DER THERMODYNAMIK
Aus 1. & 2. HS du=T ∙ds−p ∙dv (1)dh=T ∙ds+v ∙dp (2)
Freie Enthalpie (nach Gibbs) g=h−T ∙ sdt
→dg=dh−Tds−sdT
- Mit G=H−T ∙S=U+ p ∙V−T ∙ S
- ∆G<0→ exergon, spontan
- ∆G=0→ Gleichgewichtszustand
- ∆G>0→ endergon, nicht spontanFreie Energie (nach Helmholz) ψ=u−T ∙ s dt
→dψ=du−Tds−sdT
Mit (1) & (2) d ψ=−p ∙dv−s ∙ dT (3)dg=v ∙dp−s ∙ dT (4)
VERMISCHUNGBei der Vermischung zweier Tanks können folgende Vereinfachungen getroffen werden: PE=0 ,KE=0 wenn nicht besondere Situation
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Q=0 falls adiabat
W=0 falls keine Volumenausdehnung
Sind alle diese Bedingungen erfüllt, gilt Q−W=∆U+∆ KE+∆ PE→∆U=0Wird geheizt/gekühlt, d.h. ist das System nicht mehr adiabat, giltQ−W=∆U+∆ KE+∆ PE→∆U=Q
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↓ Ventouri – Düse für den Unterschallbereich → Laval – Düse für den Überschallbereich (Mach-Zahl beim Austritt > 1)
1. HAUPTSATZ IN OFFENEN SYSTEMENDer Massenstrom über die Systemgrenze und die damit verbundenen Energieströme werden in die Energiebilanz mit einbezogen.
MASSENSTROMBILANZ
dM S
dt=∑ mi=inlet−∑ me=exit stationärer Betrieb
⇒
∑ mi=∑ me
In Integralform: ddt (∫V ρdV )+∫A ρ(w ∙ d A ¿)=0¿
In differentieller Form: ¿ ( p ∙ w )=0 → quellenfrei
ENERGIESTROM-BILANZ
Energiezunahme = Energiezunahme durch Wärme und Arbeit + Energie der Eintretenden Masse – Energie der austretenden Masse.
Die Arbeit wird dabei in zwei Komponenten zerlegt:(1) Anteil der nicht mit Massenstrom über Systemgrenze verbunden
ist. z.B. Bewegliche Kolben oder elektrische Flüsse → W s gewünschte Arbeit.
(2) Notwendige Arbeit zum Ein- und Ausschieben des bewegten Fluids.Einschiebeleistung: W i=p i Aiw i Ausschiebeleistung: W e
d E s
dt=Q−W s+∑ mi(hi+
wi2
2¿+g zi)−∑ me (he+
w e2
2¿+g ze)¿¿
- h=u+ pv Enthalpie; w2
2 kinetische Energie; g z potentielle
Energie- △E=△U=m2u2−m1u1 wenn KE ,PEvernachlässigt
werden.
- stationär: d E s
dt=0 , mi=me⟹
⟹ Q−W s=m ∙[he−hi+ 12 ∙ (w e2−w i
2)+g∙ ( ze−zi )]- isoliert: Q=0- keine Arbeit: W s=0 (z.B. beim Wärmetauscher)
- 3-d: m=Vv =ρ V beim idealen Gas: m=
p VRT
- 1-d:
m=Vv =
Awv
beim idealen Gas:
m= pAwRT
DÜSE UND DIFFUSOR
Düse (Nozzle) Eine Düse ist eine Verengung in
einer Strömung. Die Enthalpie des Fluids wird in kinetische Energie umgewandelt (Beschleunigung).
w2>w1 p2< p1 h2<h1Bsp. stationär (E=0), isoliert (Q=0), Arbeit wird keine
abgegeben (W s=0), pot. Energie wird vernachlässigt.
h1+w12
2=h2+
w22
2=const . Interpretation: w↑,h↓,
uconst ., p↓ Diffusor (Diffuser) Ein Diffusor ist eine Erweiterung in einer Strömung. Anwendungsbeispiel ist ein Überschallflugzeug, wo die Luft auf Geschwindigkeit unter M=1 abgebremst werden muss. Umgekehrter Vorgang wie Düse: w2<w1 p2> p1 h2>h1 Isentroper Düsenwirkungsgrad
ηD, s=w22
w2, max2 =
h2−h1h2 , s−h1
(falls adiabat) → tatsächliches h2
TURBINE
Gas durchströmt die Turbine und wird dabei von einem hohen Druckniveau auf ein tiefes entspannt. Dabei wird Arbeit geleistet.Bsp E=0 ,E pot=0 →
0=−W S+ Q+m(h1+w122 )−m(h2+w222 )
h1,2 lassen sich aus Tabellen ablesen. 2. Zustand ev. im 2 Phasengebiet.
Bei Kraftwerken soll w2 möglichst klein sein, bei Jet – Turbinen soll der Rückstoss möglichst gross sein.
Isentroper Turbinenwirkungsgrad ηT ,s=WW rev
=h1−h2h1−¿h2 ,s¿
(falls adiabat)
KOMPRESSOR / PUMPE
Kompressor: Durch aufwenden von Arbeit wird Druck des Fluids erhöht. Pumpe: Durch aufwenden von Arbeit wird ein Massenstrom erzeugt, bei möglichst geringem Druckanstieg. - isentrop & inkompressibel: h2 , s−h1=v ∆ p Isentroper Kompressorwirkungsgrad Vergleich der isentrop minimal aufzuwendenden Arbeit mit realer Arbeit:
ηK , s=W rev
W=h1−¿ h2,s
h1−h2¿
WÄRMEÜBERTRAGER
Bei Durchströmung soll möglichst viel Wärme aufgenommen/abgegeben werden. Arbeit wird keine geleistet, W s=0. Wärmetransport mit
Umgebung meist vernachlässigbar, Q=0.
wenn ∆ KE und ∆ PE≈0
⟹0=m1 (h2−h1 )+m3 (h4−h3 )
DROSSELELEMENTE (THROTTLING DEVICES)
In der Drossel wird ein Fluid entspannt. Bsp.: Kompressions-wärmepumpen und –kältemaschinen
⟹ p2< p1W 12=0Q12=0h1=h2
ISENTROPE ENTSPANNUNG IN EINER TURBINE 1
stationäres System, ohne Änderung der KE und PE, überhitztes Gebiet:
−W s=m∙ [he−hi ]⟹W s=m∙ [hi−he ]⟹ W s=m∙ [h1−h2 ]Gegeben: m , p1 , p2 , T 1, h1 , s1Gesucht: T 2, h2⟹W sVorgehen: - S=const .
- in Tabelle A-4 bei p2 , S2⇒T2 , h2 finden
- nun mit h1 , h2⟹ W sfinden
ISENTROPE ENTSPANNUNG IN EINER TURBINE 2
stationäres System, ohne Änderung der KE und PE, 2-Phasen Gebiet:
−W s=m∙ [he−hi ]⟹W s=m∙ [hi−he ]⟹ W s=m∙ [h1−h2 ]Gegeben: m , p1 , p2 , T 1, h1 , s1
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Gesucht: T 2 , h2⟹W s
Vorgehen: - in Tabelle A-3: nach sf , sgsuchen.
- aus xvap (s , sf , sg) = x2 berechnen. ⟹h2 ,T 2- nun mit h1 , h2⟹ W sfinden
ADIABATE IRREVERSIBLE ENTSPANNUNG TURBINE 1
Wie Bsp. isentrop, aber neu irreversibel mit ηT ,s=0,9Vorgehen:i. Punkt 2S finden: Vorgehen wie wenn reversibel ⇒T 2 ,h2, S
ii. ∆ hrev=h2 ,S−h1iii. ∆ hirr=ηT , s(h¿¿2, S−h1)¿iv. ∆ hirr=h2−h1v. h2=∆hirr+h1vi. h2>h2, S
vii. Mit h2 , T2 ist der Zustand bekannt, aus der Tabelle können alle geforderten Werte herausgelesen werden.
viii. W s ,irr=m ∙ [h1−h2 ] oder auch mit
W s ,irr=W s ,rev ∙ ηT , six. im h-s Diagramm ersichtlich: h2>h2, S die Punkte 2 und 2S liegen
beide auf p2.
ADIABATE IRREVERSIBLE ENTSPANNUNG TURBINE 2
Wie Bsp. isentrop, aber neu irreversibel mit ηT ,s=0,9Vorgehen:i. Punkt 2S finden: Vorgehen wie wenn reversibel ⇒ x2 , S⇒ h2 ,S , T 2
ii. W s ,irr=W s ,rev ∙ ηT , siii. h2=∆hirr+h1iv. Check h2<,>h2 , gv. Falls h2>h2, g mit h2 , T2⟹ alle Werte
vi. Falls h2<h2, g mit h2 , T2⟹x2
mit h2 , x2⟹ alle Werte
2. HAUPTSATZ DER THERMODYNAMIKBedeutung: - Wärme kann nicht von selbst (spontan) von einem Körper mit tieferer
Temperatur auf einen Körper mit höherer Temperatur übertragen werden. (Clausius).
- Ein Kreisprozess kann zugeführe Wärme nicht zu 100% in Arbeit umwandeln. Es gibt immer Abwärme (Kelvin-Planck).
- Der Thermodynamische Teufel ist unfähig, er kann nur Arbeit in Wärme, aber nicht Wärme in Arbeit umwandeln.
REVERSIBLE UND IRREVERSIBLE PROZESSEReversibel d.h. umkehrbar, ist ein Prozess wenn der Ausgangszustand im System und der Umgebung wieder hergestellt werden kann. Die Arbeit um das System wieder in den Ausgangszustand zu bringen soll also ohne Verlust gespeichert werden. Abgeführe Temperatur müsste bei der gleichen Temperatur gespeichert werden. Praktisch nicht möglich.Irreversibel d.h. unumkehrbar, sind Prozesse, wenn sie irreversible Teilprozesse enthalten z.B.:- Wärmeübertragung- Reibung- Expansion zu tieferem Druck,
thermodynamischen Ungleichgewicht- Vermischung Stoffe unterschiedlicher
Temperaturen- spontane chemische Reaktionen
REVERSIBLE VS. IRREVERSIBLE EXPANSION
|W rev|>|W irr|∆U rev=∆U irr
|Qrev|>|Qirr|Der Teufel bremst die Expansion; es wird weniger Arbeit geleistet, es muss dafür aber auch weniger Wärme zugeführt werden.
Irreversibilität im p-v Diagramm nicht zu erkennen
REVERSIBLE VS. IRREVERSIBLE KOMPRESSION
|W rev|<|W irr|∆U rev=∆U irr
|Qrev|<|Qirr|Der Teufel bremst die Kompression; es muss mehr Arbeit geleistet werden, mehr Wärme wird frei.
Irreversibilität im p-v Diagramm nicht zu erkennen
REVERSIBLE VS. IRREVERSIBLE ADIABATISCHE EXPANSION
|W rev|>|W irr||∆U rev|>|∆U irr||Qrev|=|Q irr|=0
Der Teufel bremst die Expansion; es wird weniger Arbeit geleistet, Wärme rückgeführt, Abnahme der inneren Energie geringer.
Irreversibilität im p-v
Diagramm erkennbar.
p ∙V ηi (κ−1)+1=const .
cv ∙ ln(TT0
)+
ηi ∙R ∙ ln( vv0 )=0s=cv ∙ ln (
TT 0
)+
R ln( vv0 )+s0∆ s=(1− 1ηi )cV ln TT 0DER CARNOT KREISPROZESSDer Carnot Prozess ist ein idealisierter reversibler Kreisprozess. Er dient zur Definition der theoretisch maximalen umsetzbaren Wärmemenge in Arbeit
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Die Abblidungen zeigen den Carnot-Wärme-Kraft-Prozess im p-V – Diagramm links und im T-S – Diagramm rechts. (1=C, 2=D, 3=A, 4=B)
1-2: Isotherm Komprimieren: W 12 wird aufgewendet. Da isotherme Reaktion geht Wärme Qab an kaltes Reservoir. 2-3: Adiabatisch Komprimieren: Arbeit wird hineingesteckt, die Temperatur steigt. Es findet kein Wärmeaustausch statt. Entropie konstant. 3-4: Isotherm Expandieren: Das System leistet Arbeit W34. Da isotherme Reaktion muss Wärme Qzu dazukommen4-1: Adiabatisch Expandieren: Es wird Arbeit geleistet. Entropie konstant.Beim idealen Gas: 1-2: Q=W, 2-3: Q=0,
3-4: Q=W, 4-1: Q=0
WÄRME-KRAFT-PROZESS
Carnot Prozess im Uhrzeigersinn. Der Prozess liefert Arbeit. Wärme aus dem heissen Reservoir und Abwärme an das kalte Reservoir.
1 → 2
W 12=p1V 1⋅ ln (V 2
V 1)
Q12=p1V 1⋅ ln (V 2
V 1)
2 → 3 W 23=m∙(u2−u3)Q23=0
3 → 4 W 34=p3V 3 ⋅ ln (V 4
V 3)
Q34=p3V 3 ⋅ ln(V 4
V 3)
4 → 1 W 41=m∙(u4−u1)Q41=0
↑ Das linke Bild zeigt den Wärme-Kraft – Prozess im UZS,
die Differenz aus QH und QC ist gerade die geleistete
Arbeit.↗ Das rechte Bild zeigt den Wärme-Kraft – Prozess links und den Kältemaschinen – Prozess rechts. Links wird “die Wärme in Arbeit umgewandelt“; rechts wird “die Arbeit in Kälte umgewandelt“.
KÄLTEMASCHINEN- UND WÄRMEPUMPENPROZESS
Carnot Prozess im Gegenuhrzeigersinn. Es muss Arbeit hineingesteckt werden um Wärme aus dem kalten Reservoir an das Heisse abzugeben.
−W KP=Qzu−Q ab (−W ) weil am System geleistete Arbeit.
1 → 2 W 12=m ∙(u1−u2)Q12=0
2 → 3
W 23=p2V 2⋅ ln (V 3
V 2)
Q23=p2V 2⋅ ln(V 3
V 2)
3 → 4 W 34=m∙(u3−u4)Q34=0
4 → 1 W 41=p4V 4 ⋅ ln(V 1
V 4)
Q41=p4V 4⋅ ln(V 1
V 4)
Kältemaschine Nutzen ist dem kalten Reservoir abgeführte Wärme:
Leistungsziffer ε k=Qab
−W S=
QC
−W S=
QC
QH−QC
wenn reversibel ε k=ε k ,max=TC
T H−T C
Wärmepumpe Nutzen ist dem warmen Reservoir zugeführe Wärme:
Leistungsziffer εw=Q zu
−W S=
QH
−W S=
QH
QH−QC
wenn reversibel εw=εw ,max=1+TC
T H−TC=1+εk
DER THERMISCHE WIRKUNGSGRAD
ALLGEMEIN
Der thermische Wirkungsgrad ist das Verhältnis zwischen Nutzen, meist mechanische Arbeit, und aufgewendeter Energie, meist Wärme.
ηth=NuztenAufwand
=W nutz
Qzu
Für Kreisprozesse: QKP=W KP , △U=0
⟹ηth=W nutz
Qzu=Qzu−Q ab
Qzu=1−
Q ab
Qzu=1−
QC
QH
Einige Wirkungsgrade realer KreisprozesseKombikraftwerk 50-60% Windkraftwerk Bis 50% Elektromotor 20-99%Leichtwassereaktor 30-40% Brennstoffzelle 20-70% Glühlampe 3-5%
Solarzelle 5-25% Dieselmotor Bis 45% LED 5-25%Kohlekraftwerk 25-50% Ottomotor Bis 37% Lautsprecher 0.3%Wasserkraftwerk 80-95% Turbinentriebwerk 40%
WIRKUNGSGRAD DES CARNOT PROZESSES
Wäre T C /T H gerade null, so wäre der Wirkungsgrad gerade 1. Aber aus dem 2.
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Hauptsatz folgt, dass zwingend ein Teil der zugeführen Wärmemenge an das kalte Reservoir abgegeben werden muss: ηc<1. Der Carnot Wirkungsgrad ist der höchst mögliche Umwandlungsgrad von Q in W. Er geht mit mit steigender Temperatur T H→∞ oder mit
T C=0 gegen 1. (T H=1500K ,TC=T 0→ηc≈0.75)
ηc=NutzenAufwand
=WQ
=1−Qab
Q zu=1−
TC
T H
QC
QH=T C
T H (reversibel)
Der thermische Wirkungsgrad eines irreversiblen Wärmekraftprozesses ist immer geringer als derjenige eines reversiblen.
WIRKUNGSGRAD ISENTROPE PROZESSE
reversibel – keine Dissipation – kein Wärmetransport – adiabat Isentroper Düsenwirkungsgrad
ηD, s=w22
w2, max2 =
h2−h1h2 , s−h1
Isentroper Turbinenwirkungsgrad
ηT ,s=WW rev
=h1−h2h1−¿h2 , s¿
Isentroper Kompressorwirkungsgrad
ηK , s=W rev
W=h1−¿ h2,s
h1−h2¿
inkompressibel , T=const △ h=h2−h1=v¿)
ENTROPIEDie Entropie S ist ein Mass für die Unordnung im System.
Sy=Sx+∫x
y dQrev
TG
[ kJK ]Ein Prozess wird spontan immer in der Richtung ablaufen, dass die Entropie zunimmt. Die Entropie ist ein Mass für die Irreversibilität.
isentrop d.h. d s=0 ist ein Prozess, wenn kein Wärmeaustausch stattfindet (adiabat) und der Prozess reversibel ist.
- überhitzter Dampf s (T , p )- gesättigter Zustand T↔ p s (T )bzw . s( p)
- Nassdampfgebiet s ( x ,T )- unterkühlte Flüssigkeit s(T , p)≈s (T ) inkmprssibel
T-S – DIAGRAMM
Im Nassdampfgebiet gilt: s= x ∙ sg+(1−x ) ∙ s fIm Gebiet der unterkühlten Flüssigkeit gilt:
s (T , p )=s(T )Im grau schattierten Bereich gilt:
h(T , p)≈h(T )
Dort sind die Molekülabstände gross, die Drücke daher klein und zu vernachlässigen, womit die Enthalpie nur noch eine Funktion der Temperatur sind.
H-S – DIAGRAMM AKA MOLLIER - DIAGRAMM
Position des kritischen Punktes beachten !
Im Nassdampfgebiet gilt: h=x ∙hg+(1−x )∙ h f
Im grau schattierten Bereich verlaufen die Isothermen horizontal, somit ist die Temperatur dort nicht mehr von der Entropie abhängig, sondern alleine von der Enthalpie.
TdS GLEICHUNGEN
Die TdS Gleichungen stellen Beziehungen der verschiedenen Grössen der Thermodynamik her. Auch 1. Hauptsatz in Differentialen:
T ∙dS=dU+ pdV T ∙dS=dH−Vdp
T ∙ds=du+ pdv T ∙ds=dh−vdpT ∙d s=d u+ pd vT ∙d s=dh−v dp
Gilt für reversible und irreversible Prozesse.
Bei Verdampfung/Kondensation gilt: p=const .⟹T ∙ds=dh Aus der Integration
(T=const.) folgt T ∙ ( sg−sf )=(hg−h f )
CLAUSIUS UNGLEICHUNG
Entropiezuwachs: △ S=△QT G
=S2−S1
Clausius: ∮ δQTG
=QH
T H−QC
TC≤0
für Carnot-Prozess:
∮ δQTG
=QH
T H−QC
TC=△ Szu−△ Sab=0
∮ δQT
: Umlaufintegral über Kreisprozess. Q: zugeführte
Wärmemenge. T: absolute Temperatur an Systemgrenze wo Wärme übertragen wird, d.h. Temperatur des Reservoirs, gegen das gearbeitet wird.
ENTROPIEÄNDERUNG IDEALER GASE
Allgemein:
Air (A-22):
s (T 2 , p2 )−s (T 1 , p1 )=s0 (T 2 )−s0 (T 1 )−R ∙ ln (p2p1
)
else (A-23ff):
s (T 2 , p2 )−s (T 1 , p1 )=s0 (T 2 )−s0 (T 1 )−R ∙ ln (p2p1
)
s0 für einen Referenzdruck, R ln ( p2p1 ) ist dann der
Druckkorrekturterm
c=const .⟹ s0 (T , p )=c p (T ) ∙ ln( TT0 )(T,p): s2−s1=c p ∙ ln(T 2T 1 )−R ∙ ln( p2p1 )(T,v): s2−s1=cv ∙ ln(T 2T 1 )−R ∙ ln( v2v1 )
Isothremer Prozess:
s0 (T 2)−s0 (T 1)=0 yields→
s2−s1=R ∙ ln (p2p1
)
ISENTROPER PROZESS BEIM IDEALEN GAS
s2−s1=0 mit
κ=c pcv, c p=cv+R→c p=R ∙ κ
κ−1, cv=R ∙ 1
κ−1
Seite 8
⟹ T 2T 1
=( p2p1 )κ−1κ =( v2v1 )
1−κ
undp2p1
=( v1v2 )κ
(siehe auch p.2)
ENTROPIEÄNDERUNG INKOMPRESSIBLER STOFFE
v=const . ⟹ s2−s1=∫T 1
T 2 c(T )T
dt
v , c=const . ⟹ c p=cv=c⟹
s2−s1=c ln(T2T1 )ENTROPIEBILANZ FÜR GESCHLOSSENE SYSTEME
Serz=S2−S1−∑ QT G
[kJ /kgK ]
Serz=S−∑ QTG
[kW /kgK ]
stationärer Prozess: △ S=S2−S1=0 Kreisprozess Zustand ist am Ende wieder der selbe
Serz , KP=−∑ QTG
reversibler Prozess: Serz=0 dS=dQT G
T G: Temp. an Grenze der Wärmeübertragung
Entropie Produktion Serzbei nicht reversiblen Prozessen.
Serz ist keine Zustandsgrösse! Im realen Kreisprozess wird Entropie erzeugt, die Entropie S hat jedoch nach jedem Zyklus wieder den selben Wert.
ENTROPIEBILANZ FÜR OFFENE SYSTEME
Serz⏟1
= S⏟2
−∑ QTG⏟3
+∑ mese⏟4
−∑ mi si⏟5
1. Erzeugungsrate im System2. Zunahme des Entropieinhaltes des Systems3. Entropietransport über Systemgrenze per Wärmeleitung4. Mit Masse ausströmender Entropiestrom5. Mit Masse einströmender Entropiestrom
stationärer Prozess , 1 Massenstrom:
Serz=−∑ QTG
+m(se−si)
STATIONÄRE INTERN REVERSIBLE PROZESSE
Entropiebilanz für offene Systeme mit ∂∂ t
=0 , me=mi ,
Serz=0 :
0=−∑ QTG
+m ∙ ( s2−s1 )⟹Qrev
m=∫
1
2
Tds
1. HS mit d E s
dt=0 und
Qrev
m=∫
1
2
TdsTds=dh−vdp→
h2−h1−∫1
2
v dp :
W rev
m=−∫
1
2
v dp−w22−w1
2
2−g (z2−z1)
Berechnung des Integrals −∫1
2
vdp mit p ∙ vn=const .
n=1 (isotherm):
−∫1
2
vdp=−p1 v1⏟const .
lnp2p1ideales Gas
⇒−RT1 ln
p2p1
n≠1 (polytrop):
−∫1
2
vdp= −nn−1 (p2 v2−p1v1 )iG
⇒− nn−1
R (T 2−T 1)
In Düsen/Diffusoren: W rev=0 folgt der stationäre Bernoulli
∫1
2
v dp+w22−w1
2
2+g ( z2−z1 )=0 inkompr .
→
pρ+w22
2+gz=const .
Für isotherme Prozesse gilt auch (mit vdp=dh−T ds )
W rev
m=T (s2−s1 )−( p2
V 2
m−p1
V 1
m)−
w22−w1
2
2−g (z2−z1)
EXERGIE
Exergie ist ein Mass für die vorhandene Arbeitsmöglichkeit der Energie. Es ist der Anteil des Energieinhaltes eines Systems, der maximal mittels eines reversiblen Prozesses in Arbeit umgewandelt werden kann.Anergie ist der Energieanteil, der nach dem Erreichen des Gleichge-wichtes im System zurückbleibt und nicht mehr in Arbeit umgewandelt werden kann.Die Exergie eines isolierten, geschlossenen Systems kann nur abnehmen. Zum Beispiel wird im System Motor und Umgebung bei der Verbrennung keine Energie, wohl aber Exergie verbraucht.
EXERGIE FÜR GESCHLOSSENE SYSTEME
E x=U−U0+p0 (V−V 0 )−T 0 (S−S0 )+KE+PE
ex=u−u0+ p0 (v−v0 )−T 0 ( s−s0 )+ke+ pe
mit KE=mw2
2, PE=mgz , ke=w2
2, pe=gz
EXERGIEDIFFERENZ FÜR GESCHLOSSENE SYSTEME
△E x=E x ,2−Ex ,1=△U+ p0 (V 2−V 1 )−T 0 (S2−S1 )+∆ KE+∆ PE△ ex=ex ,2−ex ,1=△ u+ p0 (v2−v1 )−T 0 (s2−s1 )+∆ke+∆ pe
EXERGIE FÜR OFFENE SYSTEME
E x ,str=m [ (h−h0 )−T 0 ( s−s0 )+ke+ pe ] ex , str=(h−h0 )−T0 ( s−s0 )+ke+ pe
EXERGIEDIFFERENZ FÜR OFFENE SYSTEME
△ Ex , str=Ex, str ,2−Ex , str, 1=m [ (h2−h1)−T 0 ( s2−s1 )+∆ke+∆ pe ]△ ex ,str=ex, str ,2−ex ,str ,1= (h2−h1)−T 0 ( s2−s1 )+∆ke+∆ peEXERGIEVERLUST : : GOUY-STODOLA-THEOREM
Die verlorene Arbeitsmöglichkeit ist die Differenz zwischen der maximal möglichen und der effektiv vorhandenen Arbeitsleistung. Max. verlorene Arbeit kann als Exergieverlust betrachtet werden. Exergie Entropie
E x ,Verlust=T0 ∙ Serz=W Verlust=W rev−W [kJ ]
EXERGIEBILANZ FÜR GESCHLOSSENE SYSTEME
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△E x=∫(1− T 0T G
)δQ⏟E x,Q
−(W−p0∆V )⏟Ex,W⏟
reversibel
− T0 ∙ Serz⏟Ex ,Verlust⏟
irrreversibel
T 0: Umgebungstemperatur TG: Temperatur am Ort der Q-Übertragung
∫(1− T 0TG )δQ=Q12−T 0 ∙∆ S=Q12−T 0 ∙m∙[s20−s1
0−R ∙ ln( p2p1 ) ]
stationärer Prozess: △Ex=0 reversibler Prozess: T 0∙ Serz=0 keine Arbeit: W−p0∆v=0
EXERGIEÄNDERUNGSGESCHWINDIGKEIT
dE x
dt=Ex=∑ (1−T 0
T i)Qi−(W−p0
dVdt )−T 0 ∙ Serz
Gouy – Stodola: −d Ex ,irr
dt=E x ,v=T 0 ∙ Serz
Bei Wärmeübergang: - stationäres System: d Ex
dt=0 , Q1=Q2=Q
- keine Arbeit: W−p0dVdt
=0
E x ,v=T 0 ∙ Serz=∑ (1−T 0T i
)Qi=Q(T 0T1−T0T2 )
−d E x ,irr
dt=Ex ,v=T 0 ∙ Serz=Q(T 0T 1−
T 0T 2 )
EXERGIEBILANZ FÜR OFFENE SYSTEME
d Ex
dt=∑ mi ex ,str ,i−∑ meex , str, e−(W s−p0
dVdt )+∑ Qi(1−T 0
T i)−T0 Serz
d Ex
dt=∑ mi ∙ ex , str ,i−∑ me ∙ ex , str ,e−W s+∑ Qi(1−T 0
T i)−T 0∙ Serz
↑ wobei angenommen wurde, dass dVdt
=0 Jeder Term enthält 100% nutzbare Energie. reversibler Prozess: T 0 ∙ Serz=0
stationär, 1 Massenstrom: d Ex
dt=0 , mi=me=m
∑ (1−T o
T i)Qi−W s−T 0 Serz=m [h2−h1−T 0 ( s2−s1 )+∆ke+∆ pe ]
oder anderst geschrieben:
∑ (1−T o
T i)Qi−W s−T 0 Serz=Ex ,str ,e−E x , str, i
DER EXERGETISCHE WIRKUNGSGRAD (2 N D LAW EFF.)
Der energetische Wirkungsgrad η bewertet die Nutzung der Energie in
der Quantität, währenddessen der exergetische Wirkungsgrad ε die Nutzung der Exergie in der Quantität bewertet – und damit die qualitative Nutzung der Energie beschreibt.
Ganz allgemein gilt: ε ↑ @ {(T N−T 0 )↑ , (T Q−T N )↓} Energetisch:
η= genutzter Energiestromzugeführter Energiestrom
=W S
QQbeiWärmeströmen
⇒
QN
Exergetisch:
ε= genutzter Exergiestromzugefuehrter Exergiestrom beiWärmeströmen
⇒
(1− T 0T N ) ∙ QN
(1−T 0T Q
=η((1−T 0T N )
(1− T0T Q
) )wobei Indizes: Q: Quelle, N: Nutz, 0: Umgebung
εη=1−T 0/T N
1−T 0/TQ
ε⟶η≡Ex ,Verlust⟶0
für T N⟶TQ≡Serz⟶0
oder T 0⟶0
Bsp.: {T 0 = 0°C , T Q = 800°C ,
T N = 24°C} ⟹ {η = 90%
ε ≅ 10% }
BEISPIELE VON EXERGETISCHEN WIRKUNSGRADEN
offenes System mit Leistung:
ε=Ex , Nutz
m(ex ,str ,1−ex , str, 2)=
E x , Nutz
Ex , Nutz+T 0 ∙ Serz
- bei Nutzung der Abwärme E x , Nutz=QA ∙(1− T 0T A
)+W S
- ohne Nutzung der Abwärme E x , Nutz=W S
Turbine:
ε=W S
m(ex ,str ,1−ex , str , 2)=
W S
W S+T 0 ∙ Serz Pumpe/Kompressor:
ε=m(ex ,str , 2−ex , str, 1)
W invest=W invest−E x , v
W invest
¿−W S−T 0 ∙ Serz
−W SQ verl=0
⇒
(h2−h1 )−T 0(s2−s1)(h2−h1)
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Wärmetauscher ohne Vermischung:
ε=mC(ex , str , C ,e−ex , str ,C ,i)mH (ex , str ,H , i−ex , str ,H , e)
Wärmetauscher mit Vermischung:
ε=mC ,i(ex, str ,e−ex, str ,C , i)mH ,i(ex, str , H ,i−ex, str ,e)
EX-PRÜFUNGSAUFGABE : : KOMPRESSIONSWÄRMEPUMPE
1: gesättigeter Dampf12: isobare Überhitzung23: irr. adiabat. Verdichtung34: isobare Abkühlung, vollständige Kondensation 45: Unterkühlung an Sättigl.56: isentrope Drosselung61: isobare Verdampfung
Geg.: W heiz , ηK , s Ges.: m ,Q12 ,Q61 , WKomp , εWVorgehen: i. mit Tabellen:
ηK , s→h1 , h2…h6 bestimmen
ii. W heiz=−Q34=m(h3−h4)iii. Q12=m(h2−h1)iv. Q61=m(h1−h6)v. W Komp=m(h2−h3)
vi. εW=Qzu /heiss
−W S=
−W heiz
−W Komp
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