1

PHÂN TÍCH Fourier

Phạm Thế BảoKhoa Toán – Tin học

Trường ĐHKKHTN Tp.HCM

Tỷ lệ ảnh

Ảnh này quá lớn làm saocho vừa màn hình Làmcho vừa màn hình. Làmsao ta giảm được?Làm sao có ảnh chỉ bằng½ kích thước ban đầu?

Phạm Thế Bảo

2

sub-sampling

1/4

1/8

Bằng cách giảm số lượng dòng vàcột của ma trận ảnh ½

- Cách này được gọi là sub-sampling Phạm Thế Bảo

sub-sampling

1/4 (2x zoom) 1/8 (4x zoom)

Tại sao chất lượng ảnh lại kém đi?

1/2

Phạm Thế Bảo

3

Ảnh nhân tạo

Cấu trúc bị vỡ ra

Phạm Thế Bảo

Một điều tệ trong video

• Hình dung một cái bánh xe lăn qua phải (xoay theo chiều kimđồng hồ). Chúng ta đánh dấu một điểm và quan sát.• Nếu thiết bị đóng mở thấy kính làm việc trong một phần của

f ( f / fthời gian một frame (thời gian frame là 1/30 giây, film và videolà 1/24 giây).

Thời gianmở ống kính

Thời gian

Không thấy điểm đánh dấu, ta cảm thấy bánh xe quay chậmvề phía sau (ngược chiều kim đồng hồ)

4

AliasTín hiệu vào:

Xem hàng rào lùi xaSinh ra tình trạng alias

Ra bằng Matlab:

Tại sao? x = 0:.05:5; imagesc(sin((2.^x).*x))Tại sao?

Aj-aj-aj:Alias!

Không đủ mẫu

Alias• Xảy ra khi tỷ lệ mẫu không đủ để lấy đủ chi tiết trongảnh.

• Có thể chúng ta có ảnh/tín hiệu sai – một alias

Xảy ở đâu trong đồ họa?• Trong quá trình tổng hợp ảnh:

• Chuyển từ tín hiệu liên tục sang tín hiệu rời rạc• Ví dụ: ray tracing, vẽ đường, hàm vẽ, ...

• Trong quá trình xử lý ảnh: • Tái tạo mẫu có tín hiệu rời rạc ở các tỷ lệ ảnh khác nhau

Ví d ả h th hỏ hó t• Ví dụ: cong ảnh, thu nhỏ, phóng to, ...

Để làm đúng thì chúng ta cần phải hiểu cấu trúc của tínhiệu/ảnh của mình

Vào phần của ông Fourier…Phạm Thế Bảo

5

Jean Baptiste Fourier (1768-1830)Có ý tưởng điên rồ

(1807):Bất kỳ hàm có chu kỳ nàocó thể được viết lại nhưcó thể được viết lại nhưtổng có thêm trọng số củahàm sin và cos của cáctần số khác nhau.

Tin được không? • Không những Lagrange,

Laplace Poisson và nhiềuLaplace, Poisson và nhiềungười khác bác bỏ.

• Không được dịch sang tiếngAnh cho đến 1878!

Nhưng điều này là thật!• Được gọi với tên là chuỗi

Fourier

Tổng của SinCác khối của ta:

)+φωxAsin(Thêm để đủ tín hiệu f(x) mà ta muốn!

Có bao nhiêu bậc tự do?

Kiểm sóat cái nào?Kiểm sóat cái nào?

Cái nào được mã hóa từthô đến mịn cấu trúc củatín hiệu?

Phạm Thế Bảo

6

Biến đổi FourierChúng ta muốn hiểu rõ tần số ω của tín hiệu của mình. Táitham số hóa tín hiệu bằng ω thay cho x:

f(x) F(ω)Biến đổi

)+φωxAsin(

f(x) F(ω)Fourier

Với mỗi ω từ 0 to vô cực, F(ω) giữ biên độ A và pha φ tương ứng của

• Làm thế nào F giữ được? Bí quyết dựa trên số phức!

)()()( ωωω iIRF +=

F(ω) f(x)Biến đổi Fourier ngược

)()()( ωωω i22 )()( ωω IRA +±=

)()(tan 1

ωωφ

RI−=

Chúng ta cũng có thể truy ngược:

Phổ tần sốThông thường, biên độ được quan tâm nhiều hơn pha:

Phạm Thế Bảo

7

Thời gian và tần sốVí dụ : g(t) = sin(2pf t) + (1/3)sin(2p(3f) t)

Thời gian và tần sốVí dụ : g(t) = sin(2pf t) + (1/3)sin(2p(3f) t)

= +

8

FT: một biến đổi nhỏ cơ bảnM * f(x) = F(ω)

* =

.

.

. Phạm Thế Bảo

M-1 * F(ω) = f(x)

IFT: một biến đổi nhỏ cơ bản

* =

.

.

. Phạm Thế Bảo

9

Cuối cùng: Toán học !!!

+-i xBieán ñoåi Fourier: F( )= f(x)e dxωω

∞

∫

1( ) ( )2

-

Bien ñoi Fourier: F( )= f(x)e

Bieán ñoåi Fourier ngöôïc: i x

dx

f x F e dω

ω

ω ωπ

∞

+∞

−∞

=

∫

∫

Phạm Thế Bảo

Cuối cùng: Toán học !!!

1

+-i x

-

Bieán ñoåi Fourier: F( )= f(x)e dxωω∞

∞

+∞

∫

…không thật sự ghê:Được ẩn dưới:

)sin()cos( xixe xi ωωω +=

)+=+ xAxQxP sin()sin()cos( φ

)+φωxAsin(Pha có thể được mã

1( ) ( )2

Bieán ñoåi Fourier ngöôïc: i xf x F e dωω ωπ

−∞

= ∫

Chuyển tín hiệu f(x) theo thời gian tại tần số ω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ = +±= −

QPQPΑ 122 tanφ

Pha có thể được mãbởi một cặp sin/cos

Phạm Thế Bảo

10

Mở rộng cho 2D

trong Matlab, kiểm tra: imagesc(log(abs(fftshift(fft2(im)))));

Phạm Thế Bảo

11

Đây làbiến đổibiên độcủa ảnhcon báo ởtrên

Phạm Thế Bảo

Đây làbiến đổipha củaảnh conbáo ở trên

Phạm Thế Bảo

12

Phạm Thế Bảo

Biến đổibiên độ

Phạm Thế Bảo

13

Biến đổipha

Phạm Thế Bảo

Những điều hấp dẫn của FT trên ảnhPhổ biên độ của tất cả các ảnh tự nhiên khá

giống nhau• Nhiều trong tần số thấp, giảm trong tần số cao

ấ• Bất kỳ ảnh nào cũng vậy? Hay đây là đặc tính của cuộcsống?

Hầu hết thông tin trong ảnh nằm ở pha, khôngở biên độ• Dường như sự thật ở trong cuộc sống• Không có lý do rõ ràng

Phạm Thế Bảo

14

Tái cấu trúcảnh dựa trênpha ảnh conngựa vằn vàbiên độ ảnhcon báo

Phạm Thế Bảo

Tái cấu trúcảnh dựa trênpha ảnh conbáo và biênđộ ảnh conngựa vằn

Phạm Thế Bảo

15

Ví dụ lý thuyết xoắn2D

f(x,y) |F(sx,sy)|

*

h(x,y) |H(sx,sy)|

g(x,y) |G(sx,sy)|

Phạm Thế Bảo

Lọc băng thông thấp, dải bước sóng, băng thông cao

Băng thông thấp:

Dải bước sóng:

Băng thông cao?Phạm Thế Bảo