Phuong trinhluonggiackhongmaumuc[phongmath]

01699257507 Phương trình lượng giác không mẫu mực http://nguyentatthu.violet.vn

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa 1

Chuyên ñề: Phương trình lượng giác không mẫu mực

ðể giải phương trình lượng giác không mẫu mực, ta sử dụng các phép biến ñổi lượng giác, ñưa phương trình ñã cho về những dạng phương trình ñã biết. Khi thực hiện các phép biến ñổi cần chú ý một số nguyên tắc sau

1. ðưa về cùng một hàm số lượng giác: Trong một phương trình nếu các hàm số lượng giác có mặt trong phương trình có thể cùng biểu diễn qua ñược một hàm số lượng giác thì ta ñưa phương trình ñã cho về hàm chung ñó rồi sử sụng phương pháp ñặt ẩn phụ ñể chuyển về phương trình ñại số.

Ví dụ 1: Giải phương trình : + − − =cos 3x cos 2x cos x 1 0 ( ðH Khối D – 2006 ). Ta thấy các hàm số lượng giác có mặt trong phương trình ñều biểu diễn ñược qua cosx. Do ñó ta chuyển phương trình ñã cho về phương trình chỉ chứa hàm số cosx.

⇔ − + − − − = ⇔ + − − =3 2 3 2PT 4 cos x 3 cos x (2 cos x 1) cos x 1 0 2 cos x cos x 2 cos x 1 0

ðặt t cos x, t 1= ≤ . Ta có: = ±+ − − = ⇔ − + = ⇔ = −

3 2 2t 1

2t t 2t 1 0 (t 1)(2t 1) 0 1t

2

.

* = ± ⇔ = ± ⇔ = ⇔ = πt 1 cos x 1 sin x 0 x k

* π π= − ⇔ = − = ⇔ = ± + π1 1 2 2

t cos x cos x k22 2 3 3

.

Ví dụ 2: Giải phương trình : 6 23 cos 4x 8 cos x 2 cos x 3 0− + + = (Dự bị Khối B – 2003 ).

Ta chuyển phương trình về phương trình chỉ chứa cos 2x

PT ⇔ − − + + + + ⇔ − + =2 3 23(2 cos 2x 1) (1 cos 2x) 1 cos 2x 3 cos 2x(cos 2x 3 cos 2x 2) 0

cos 2x 0 x k4 2

cos 2x 1 x k

π π = = +⇔ ⇔ = = π

.

2. ðưa về cùng một cung: Trong một phương trình lượng giác thường xuất hiện hàm số lượng giác của

các cung khác nhau (chẳng hạn cung x; x, 3x...3

π − ), khi ñó ta có thể tìm cách ñưa về cùng một cung nếu

có thể ñược

Ví dụ 3: Giải phương trình : 1 1 7

4 sin( x)sin x 3 4

sin(x )2

π+ = −π−

(ðH Khối A – 2008 )

Trong phương trình có ba cung 3 7

x; x ; x2 4

π π− − nên ta tìm cách chuyển ba cung này về cùng một cung x

Ta có: 3

sin(x ) sin (x ) 2 sin(x ) cos x2 2 2

π π π− = + − π = + =

( )7 1sin( x) sin 2 (x ) sin(x ) sin x cos x

4 4 4 2

π π π− = π − + = − + = − +

PT 1 1

2 2(sin x cos x) (sin x cos x)( 2 sin 2x 1) 0sin x cos x

⇔ + = − + ⇔ + + =

LuckyStar

ebook.here.vn



sin x cos x 0 x k41

5sin 2xx k ; x k2 8 8

π + = = − + π⇔ ⇔ π π= − = − + π = − + π

.

Ví dụ 4: Giải phương trình : 2 sin x(1 cos 2x) sin 2x 1 2 cos x+ + = + (ðH Khối D – 2008 ). Ta chuyển cung 2x về cung x.

PT ⇔ + = + ⇔ + = +24 sin x cos x 2 sin x cos x 1 2 cos x 2 sin x cos x(2 cos x 1) 2 cos x 1

π= + π⇔ + − = ⇔ π = ± + π

x k4(2 cos x 1)(sin 2x 1) 02

x k23

.

3. Biến ñổi tích thành tổng và ngược lại: Trong phương trình xuất hiện tích của các hàm số lượng giác sn và cos thì ta có thể biến ñổi thành tổng (múc ñích là tạo ra những dại lượng giống nhau ñể thực hiện các phép rút gọn). Nếu xuất hiện tổng thì ta biến ñổi về tích (Mục ñích làm xuất hiện thừa số chung ), ñặc biệt là ta sẽ gép những cặp sao cho tổng hoặc hiệu hai cung bằng nhau.

Ví dụ 5: Giải phương trình : =sin 2x. cos 3x sin 5x. cos 6x .

PT

π= ⇔ − = − ⇔ = ⇔ π π = +

x k1 1 6sin 5x sin x sin11x sin x sin 5x sin11x2 2

x k16 8

Ví dụ 6: Giải phương trình : + + = + +sin x sin 2x sin 3x cos x cos 2x cos 3x . PT ⇔ + + = + +(sin x sin 3x) sin 2x (cos x cos 3x) cos 2x ⇔ + = + ⇔ + − =2 sin 2x cos x sin 2x 2 cos 2x cos x cos 2x (2 cos x 1)(sin 2x cos 2x) 0

π = ± + π= −⇔ ⇔ π π= = +

21 x k2cos x 32sin 2x cos 2x x k

8 2

.

4. Hạ bậc: Khi giải phương trình lượng giác ta phải sử dụng các công thức biến ñổi lượng giác. Tuy nhiên những công thức này chỉ sử dụng khi hàm số lượng giác có số mũ bằng 1, do ñó nếu trong phương trình có số mũ của các hàm số lượng giác là chẵn thì ta có thể hạ bậc ñể thuận tiện cho việc biến ñổi .

Ví dụ 7: Giải phương trình : 2 2 2 2sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x− = − (ðH Khối B – 2002 ).

Áp dụng công thức hạ bậc, ta có: 1 cos 6x 1 cos 8x 1 cos10x 1 cos12x

PT cos 6x cos 8x cos10x cos12x2 2 2 2

− + − +⇔ − = − ⇔ + = +

π= + π =⇔ = ⇔ ⇔ = π π = =

x kcos x 022 cos 7x cos x 2 cos11x cos x

cos11x cos 7xx k ; x k

2 9

.

Ví dụ 8: Giải phương trình : − =2 2cos 3x cos 2x cos x 0 ( ðH Khối A – 2005 ). PT ⇔ + − − = ⇔ − =(1 cos 6x) cos 2x 1 cos 2x 0 cos 6x. cos 2x 1 0 (1)



⇔ + − =cos 8x cos 4x 2 0π⇔ + − = ⇔ = ⇔ =22 cos 4x cos 4x 3 0 cos 4x 1 x k2

.

Nhận xét: * Ở (1) ta có thể sử dụng công thức nhân ba, thay = −3cos 6x 4 cos 2x 3 cos 2x và chuyển về phương trình trùng phương ñối với hàm số lượng giác cos 2x . * Ta cũng có thể sử dụng các công thức nhân ngay từ ñầu, chuyển phương trình ñã cho về phương trình chỉ

chứa cosx và ñặt = 2t cos x Tuy nhiên cách ñược trình bày ở trên là ñẹp hơn cả vì chúng ta chỉ sử dụng công thức hạ bậc và công thức biến ñổi tích thành tổng ( Vì công thức nhân ba chúng ta không ñược học).

5. Chuyển hai hàm số tan và cot về hai hàm sin và cos: Nếu trong phương trình xuất hiện tan, cot và sin, cos thì ta thay tan, cot bởi sin và cos và lúc ñó chúng ta dễ dàng tìm ñược lời giải hơn. Chú ý khi gặp phương trình chứa tan hay cot, ta nhớ ñặt ñiệu kiện cho phương trình !

Ví dụ 9: Giải phương trình : ( )− = − 25 sin x 2 3 1 sin x tan x (ðH Khối B – 2004 ).

ðiều kiện : π≠ ⇔ ≠ + πcos x 0 x k2

PT ⇔ − = − ⇔ − = −−

2 2

2 2

sin x sin x5 sin x 2 3(1 sin x) 5 sin x 2 3(1 sin x)

cos x 1 sin x

⇔ − = ⇔ − + = ⇔ + − =+

22 2sin x

5 sin x 2 3 (5 sin x 2)(1 sin x) 3 sin x 2 sin x 3 sin x 2 01 sin x

π= + ππ⇔ = = ⇔ π = + π

x k21 6sin x sin52 6

x k26

.

Ví dụ 10: Giải phương trình : π− − =

2 2 2x xsin tan x cos 0

2 4 2 (ðH Khối D – 2003 ).

ðiều kiện : π≠ ⇔ ≠ + πcos x 0 x k2

.

PT π⇔ − − − + = ⇔ − − + =

−

2 2

2 2

sin x sin x1 cos(x ) (1 cos x) 0 (1 sin x) (1 cos x) 0

2 cos x 1 sin x

⇔ − + = ⇔ − − + + =+

22sin x

(1 cos x) 0 (1 cos x) (1 cos x)(1 sin x) 01 sin x

= π = ⇔ − − = ⇔ ⇔ π= = + π

x k2cos x 1(1 cos x)(cos x sin x) 0

tan x 1 x k4

.

Trên là một số nguyên tắc chung thường ñược sự dụng trong các phép biến ñổi phương trình lượng giác. Mục ñích của các phép biến ñổi ñó là nhằm các mục ñích sau: 1. ðưa phương trình ban ñầu về phương trình lượng giác thường gặp (Thường là ñưa về phương trình ña thức ñối với một hàm số lượng giác) Ví dụ 1: Giải phương trình : 1 3 tan x 2 sin 2x+ = (ðH Công ðoàn – 2000).



Giải: ðiều kiện : cos x 0 x k2

π≠ ⇔ ≠ + π

PT 2sin x1 3 4 sin x cos x cos x 3 sin x 4 sin x cos x

cos x⇔ + = ⇔ + = . ðây là phương trình ñẳng cấp bậc ba

nên ta chia hai vế của phương trình cho 3cos x (do cos x 0≠ ), ta ñược phương trình :

2 2

2 2

1 tan x3 4 tan x 1 tan x 3 tan x(1 tan x) 4 tan x

cos x cos x+ = ⇔ + + + =

3 23 tan x tan x tan x 1 0 tan x 1 x k4

π⇔ + − + = ⇔ = − ⇔ = − + π thỏa ñiều kiện .

Nhận xét: ðể giải phương trình này ngay từ ñầu ta có thể chia hai về của phương trình cho 2cos x hoặc sử

dụng công thức 2 2 2

2 sin x cos x 2 tan xsin 2x

sin x cos x 1 tan x= =

+ + và chuyển phương trình ban ñầu về phương trình chỉ

chứa hàm tan như trên.

Ví dụ 2: Giải phương trình : 2

cot x tgx 4 sin 2xsin 2x

− + = ( ðH Khối B – 2003 ).

Giải: ðiều kiện:sin 2x 0 x k2

π≠ ⇔ ≠

PT 2 2cos x sin x 14 sin 2x cos x sin x 4 sin 2x. sin x cos x 1

sin x cos x sin x cos x⇔ − + = ⇔ − + =

2 2 1cos 2x 2 sin 2x 1 0 2 cos 2x cos 2x 1 0 cos2x

2⇔ + − = ⇔ − − = ⇔ = − (do

sin 2x 0 cos2x 1≠ ⇔ ≠ ± )

x k3

π⇔ = ± + π .

Chú ý : Ta cần lưu ý ñến công thức: 2

tan x cot xsin 2x

+ = và cot x tan x 2 cot2x− = >

Ví dụ 3: Giải phương trình : 6 6sin x cos x sin 2x+ = (HVBCVT TPHCM – 2001 ). Giải:

Ta có 6 6 2 2 3 2 2 2 2 23sin x cos x (sin x cos x) 3 sin x cos x(sin x cos x) 1 sin 2x

4+ = + − + = −

Nên pt 2 23 21 sin 2x sin 2x 3 sin 2x 4 sin 2x 4 0 sin 2x

4 3⇔ − = ⇔ + − = ⇔ =

1 2x arcsin k

2 31 2

x arcsin k2 2 3

= + π

⇔ π = − + π

.

Chú ý : Ta cần lưu ý ñến công thức

4 4 21 3 1sin x cos x 1 sin 2x cos 4x

2 4 4+ = − = + .



6 6 23 5 3sin x cos x 1 sin 2x cos 4x

4 8 8+ = − = + .

Ví dụ 4: Giải phương trình: 4 4 3cos x sin x cos(x )sin(3x ) 0

4 4 2

π π+ + − − − = (ðH Khối D – 2005 ).

Giải: Ta có: 4 4 21sin x cos x 1 sin 2x

2+ = −

( ) ( )21 1 1sin(3x )cos(x ) sin(4x ) sin 2x cos 4x sin 2x 2 sin 2x sin 2x 1

4 4 2 2 2 2

π π π− − = − + = − + = + −

Nên pt ( )2 2 21 1 31 sin 2x 2 sin 2x sin 2x 1 0 sin 2x sin 2x 2 02 2 2

⇔ − + + − − = ⇔ + − =

sin 2x 1 x k4

π⇔ = ⇔ = + π .

2. ðưa phương trình về phương trình dạng tích : Tức là ta biến ñổi phương trình f(x) 0= về dạng

h(x).g(x) 0= . Khi ñó việc giải phương trình ban ñầu ñược quy về giải hai phương trình : g(x) 0

h(x) 0

= =

.

Trong mục ñích này, ta cần làm xuất hiện nhân tử chung. Một số lưu ý khi tìm nhân tử chung :

� Các biểu thức 21 sin 2x (s inx cos x)+ = + ; cos2x (cos x sin x)(cos x sin x)= − + ;

sin x cos x1 tan x

cos x

++ = ; sin x cos x

1 cot xsin x

++ = nên chúng có thừa số chung là sin x cos x+ .

� Các biểu thức 1 sin 2x− ; cos 2x ; 1 tan x− ; 1 cot x− có thừa số chung là cos x sin x− .

� 2 2sin x; tan x có thừa số (1 cos x)(1 cos x)− + . Tương tự 2 2cos x; cot x có thừa số (1 sin x)(1 sin x)− + .

Ví dụ 1: Giải phương trình: 1+ sin x cos x sin 2x cos 2x 0+ + + = (ðH Khối B – 2005 ).

Giải: PT 2 2(1 sin 2x) (sin x cos x) cos x sin x 0⇔ + + + + − = 2(sin x cos x) (sin x cos x) (cos x sin x)(cos x sin x) 0⇔ + + + + − + =

sin x cos x 0 x k4(sin x cos x)(2 cos x 1) 0 1 2cos x x k22 3

π + = = − + π⇔ + + = ⇔ ⇔ π= − = ± + π

.

Nhận xét: Ngoài cách biến ñổi trên, ta có thể biến ñổi cách khác như sau

PT 22 cos cos x sin x 2 sin x cos x 0 cos x(2 cos 1) sin x(2 cos x 1) 0⇔ + + + = ⇔ + + + = (2 cos x 1)(sin x cos x) 0⇔ + + = . Mặc dù hai cách biến ñổi trên khác nhau nhưng chúng ñều dựa trên

nguyên tắc ”ñưa về một cung”.

Ví dụ 2: Giải phương trình: 2cos x(cos x 1)

2(1 sin x)sin x cos x

−= +

+ (Dự bị Khối D – 2003 ).

Giải: ðk: sin x cos x 0 x k4

π+ ≠ ⇔ ≠ − + π

PT (1 sin x)(1 sin x)(cos x 1) 2(sin x cos x)(1 sin x)⇔ − + − = + +



2(1 sin x)(sin x cos x sin x cos x 1) 0 (1 sin x) (1 cos x) 0⇔ + + + + = ⇔ + + =

sin x 1 x k22

cos x 1 x k2

π = − = − + π⇔ ⇔ = − = π + π

.

Ví dụ 3: Giải phương trình: 2 23 cot x 2 2 sin x (2 3 2)cos x+ = + . Giải: ðk: x k≠ π

PT 2

2

2

3 cos x2 2 sin x (2 3 2) cos x

sin x⇔ + = + .

2 2 4 23 cos x 3 2 sin x. cos x 2 2 sin x 2 sin x cos x 0⇔ − + − = 2

2 22

2 cos x cos x 2 0(cos x 2 sin x)(3 cos x 2 sin x) 0

2 cos x 3 cos x 2 0

+ − =⇔ − − = ⇔ + − =

1 3 6 2cos x x arccos k222

1 x k2cos x32

− + −= = ± + π ⇔ ⇔ π = ± + π=

.

Ví dụ 4: Giải phương trình: 2 sin 2x cos 2x 7 sin x 2 cos x 4− = + − . Giải:

PT 24 sin x cos x 1 2 sin x 7 sin x 2 cos x 4 0⇔ − + − − + = 2 cos x(2 sin x 1) (2 sin x 1)(sin x 3) 0 (2 sin x 1)(2 cos x sin x 3) 0⇔ − + − − = ⇔ − + − =

1 x k2sin x 6252 cos x sin x 3 0 x k26

π = + π=⇔ ⇔ π+ − = = + π

( Lưu ý : 2 2| a sin x b cos x | a b 2 cos x sin x 5 3+ ≤ + ⇒ + ≤ < ). Nhận xét: Khi sử dụng công thức nhân ñôi, ta cần lưu ý là cos 2x có ba công thức ñể thay nên tuy từng phương trình mà chúng ta chọn công thức phù hợp.

Documents

Phuong trinhluonggiackhongmaumuc[phongmath]