Physik I - staff.uni-giessen.degd1424/Website/Skript.pdf · Physik I Wintersemester 2014 / 2015 fur Studierende des Studiengangs Ingenieurswesen 1 Technische Hochschule Mittelhessen

Physik I

Wintersemester 2014 / 2015

fur Studierende

des Studiengangs

Ingenieurswesen

1

Technische Hochschule Mittelhessen

StudiumPlus

Wetzlar

ii

1 Die Grafik der Titelseite wurde entnommen aus [Stoecker2000].

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis xi

Tabellenverzeichnis xiii

1 Einleitung 1

1.1 Grundgroßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Großenordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Skalare und vektorielle Großen . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.3 Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.4 Lange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Fundamentale Rechengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Vektorgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Potenzregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Ableitung von Sinus, Kosinus und ln . . . . . . . . . . . . 7

Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.3 Der Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.4 Integrationsgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Die Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Integration von Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 8

Das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Integrieren von Sinus, Kosinus und 1/x . . . . . . . . . . . 9

Integration durch lineare Substitution . . . . . . . . . . . . 9

Integration durch Trennung der Variablen . . . . . . . . . 10

iv Inhaltsverzeichnis

2 Klassische Mechanik 11

2.1 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Massepunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.1 Uberlagerung von Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . 14

Der schrage Wurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5 Galilei-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Transformation von Langen . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Transformation von Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . 20

Transformation von Beschleunigungen . . . . . . . . . . . 20

2.6 Newtonsche Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.6.1 Newtonsche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1. Newtonsches Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21



2.6.2 Superpositionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.7 Der Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.7.1 Die Raketengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.8 Krafte in der Natur und Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.8.1 Gewichtskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.8.2 Gravitationskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.8.3 Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.8.4 Hangabtriebskraft und Normalkraft . . . . . . . . . . . . . 28

2.8.5 Reibungskrafte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Stromungswiderstand - Luftwiderstand . . . . . . . . . . . 29

Haftreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Gleitreibungskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Rollreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Seilreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.8.6 Tragheitskrafte in rotierenden Bezugssystemen . . . . . . . 33

Zentripetal- und Zentrifugalkraft . . . . . . . . . . . . . . 34

2.8.7 Federkraft - Hookesche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.8.8 Der Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Inhaltsverzeichnis v

2.9 Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.10 Kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.11 Potentielle Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.11.1 Fluchtgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.12 Der Energiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.13 Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.14 Dynamik eines starren Korpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.15 Der Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.16 Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.17 Stoßprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3 Schwingungen 47

3.1 Harmonische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2 Das Federpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3 Das Fadenpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.4 Das physikalische Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.5 Die Torsionsschwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.6 Gedampfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.7 Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.8 Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.8.1 Die Wellenfunktion einer harmonischen Welle . . . . . . . 62

4 Hydrostatik 65

4.1 Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2 Isotroper Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2.1 Kolbendruck und hydraulische Presse . . . . . . . . . . . . 66

4.2.2 Kompressibilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.3 Der Schweredruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.3.1 Manometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.3.2 Auftrieb - Das Prinzipn von Archimedes . . . . . . . . . . 68

5 Hydrodynamik 71

5.1 Ideale Stromung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.1.1 Laminare Stromung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.2 Kontinuitatsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.3 Bernoulli-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

vi Inhaltsverzeichnis

5.3.1 Flussigkeit in Ruhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.3.2 Horizontal fließende Flussigkeit . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.3.3 Saugeffekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Wasserstrahlpumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Hydrodynamisches Paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.4 Torricellisches Ausflussgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.5 Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.6 Innere Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.6.1 Laminare Rohrstromung - Gesetz von Hagen-Poiseuille . . 78

5.7 Turbulente Stromungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.7.1 Widerstandskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.8 Ahnlichkeitsgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.8.1 Kritische Reynoldszahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6 Warmelehre 83

6.1 Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.1.1 Thermometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.1.2 Freiheitsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.2 Warme und Warmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.2.1 Warmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Elektrische Analogie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.2.2 Warmedurchlasskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.2.3 Konvektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.2.4 Warmestrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.3 Warmeleitungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.4 Warmekapazitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.5 Anfangs- und Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Anfangsbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Randbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.6 Kinetische Gastheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.7 Zustandsgleichung idealer Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.8 Hydrostatische Grundgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.9 Barometrische Hohenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.9.1 Atmospharischer Druck bei linearen Temperaturverlauf . . 96

6.10 Das Gesetz von Boyle-Mariotte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.11 Das Gesetz von Gay-Lussac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Inhaltsverzeichnis vii

6.12 Das Gesetz von Charles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.13 Der 1. Hauptsatz der Warmelehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.13.1 Innere Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.13.2 Druckarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.14 Aggregatzustande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.14.1 Der Partialdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.14.2 Der Dampfdruck - die Koexistenz von Flussigkeit und Dampf100

Sieden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Hygrometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Verdampfungswarme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.14.3 Koexistenz von Festkorper und Flussigkeit . . . . . . . . . 102

6.14.4 Koexistenz dreier Phasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.14.5 Der kritische Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7 Optik 105

7.1 Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.2 Brechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.2.1 Totalreflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.2.2 Prismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.2.3 Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.3 Optische Instrumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.3.1 Die Linse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.3.2 Das Auge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Literatur 113

viii Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

1.1 Darstellung eines Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1 Abbildung eines Geschwindigkeitvektors . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Darstellung einer dreidimensionalen Bewegung . . . . . . . . . . . 15

2.3 Darstellung des schragen Wurfs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Darstellung einer Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5 Darstellung der Winkelgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.6 Darstellung der Galilei-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.7 Schematische Darstellung der Addition von Kraften . . . . . . . . 24

2.8 Schematische Darstellug einer Rakete . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.9 Impulserhaltung bei einer Rakete . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.10 Schematische Darstellung des Drehmoments . . . . . . . . . . . . 28

2.11 Schematische Darstellung der Hangabtriebskraft und der Normal-

kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.12 Schematische Darstellung der Rollreibung . . . . . . . . . . . . . 31

2.13 Schematische Darstellung einer Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.14 Schematische Darstellung der Krafte bei der Seilreibung . . . . . . 33

2.15 Linearitat beim Hookeschen Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.16 Abbildung verschiedener Federn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.17 Parallelschaltung zweier Federn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.18 Reihenschaltung zweier Federn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.19 Schematische Darstellung zur Drehimpulserhaltung . . . . . . . . 38

2.20 Darstellung der Corioliskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.21 Schematische Darstellung des Schwerpunkts . . . . . . . . . . . . 45

3.1 Schematische Darstellung einer harmonischen Schwingung . . . . 47

3.2 Energiebilanz bei einem Federpendel . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3 Schematische Darstellung eines Fadenpendels . . . . . . . . . . . . 50

x Abbildungsverzeichnis

3.4 Schematische Darstellung eines physikalischen Pendels . . . . . . . 52

3.5 Schematische Darstellung einer Torsionsschwingung . . . . . . . . 53

3.6 Schematische Darstellung einer schwach gedampften Schwingung . 55

3.7 Schematische Darstellung des aperiodischen Grenzfalls . . . . . . 56

3.8 Schematische Darstellung einer stark gedampften Schwingung . . 57

3.9 Zeigerdiagramm: Abhangigkeit der Amplituden bei einer erzwun-

genen Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.10 Abhangigkeit der Amplitude von ω bei einer Erzwungenen Schwin-

gung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.11 Abhangigkeit der Phasen von ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.12 Schwingungsdauer und Wellenlange einer harmonischen Welle . . 62

3.13 Ausbreitung einer Transversalwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.14 Schematische Darstellung einer Longitudinalwelle . . . . . . . . . 63

4.1 Schematische Darstellung des isotropen Drucks in Flussigkeiten . 66

4.2 Schematische Darstellung einer hydraulischen Presse . . . . . . . . 66

4.3 Darstellung des hydrostatischen Paradoxons . . . . . . . . . . . . 67

4.4 Schematische Dartsellung eines Manometers . . . . . . . . . . . . 68

4.5 Schematische Darstellung der Auftriebskraft . . . . . . . . . . . . 68

4.6 Dichtebestimmung nach Archimedes . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.1 Geschwindigkeitsprofil bei einer laminaren Stromung . . . . . . . 72

5.2 Darstellung der Kontinuitat von Flussigkeiten . . . . . . . . . . . 72

5.3 Abbildung zum Verstandnis der Bernoulli-Gleichung . . . . . . . . 73

5.4 Schematische Darstellung eines Ventur-Rohrs . . . . . . . . . . . . 75

5.5 Schematische Darstellung einer Wasserstrahlpumpe . . . . . . . . 76

5.6 Schematische Darstellung zum Ausflussgesetz von Torricelli . . . . 77

5.7 Darstellung der Auftriebskraft bei einem Flugel . . . . . . . . . . 77

5.8 Schematische Darstellung einer laminaren Grenzschicht . . . . . . 81

6.1 Schematische Darstellung der Rotation eines zweiatomigen Molekuls 85

6.2 Schematische Darstellung der Warmeleitung . . . . . . . . . . . . 87

6.3 Darstellung einer thermischen Reihenschaltung . . . . . . . . . . . 88

6.4 Dampfdruckkurve des Wassers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.5 Sattigungskurve von Wasserdampf . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.6 Phasendiagramm von Wasser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Abbildungsverzeichnis xi

7.1 Schematische Darstellung eines Spiegelbildes . . . . . . . . . . . . 105

7.2 Schematische Darstellung von Reflexion und Brechung . . . . . . 106

7.3 Das Berchungsgesetz nach Snellius . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.4 Schematische Darstellung der Brechung bei einem Prisma . . . . . 109

7.5 Dispersion bei einem Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.6 Darstellung einer dunnen Linse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.7 Bildkonstruktion bei einer Lupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.8 Strahlengang beim kurzsichtigen Auge . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.9 Strahlengang beim weitsichtigen Auge . . . . . . . . . . . . . . . 112

xii Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

1.1 Ubersicht Großenordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1 Ubersicht cw-Werte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Ubersicht einiger Tragheitsmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1 Ubersicht der Phasenlage bei einer erzwungenen Schwingung . . . 58

6.1 Warmedurchgangskoeffizient verschiedener Baustoffe . . . . . . . 89

6.2 Warmetransportwiderstand bei Wasser und Gasen . . . . . . . . . 90

1 Einleitung

1.1 Grundgroßen

Die Defintion einer physikalsichen Große besteht in der Definition einer Messvor-

schrift. Die Messung einer physikalischen Große erfolgt durch den Vergleich mit

einer Einheit.

Meter

Das Meter ist die Lange der Strecke, die Licht im Vakuum wahrend der Dauer

von (1/299 792 458) Sekunden durchlauft.

Basisgroße Basiseinheit Symbol relative Genauigkeit

Lange Meter m 10−14

Kilogramm

Das Kilogramm ist die Einheit der Masse; es ist gleich der Masse des Internatio-

nalen Kilogrammprototyps.


Masse Kilogramm kg 10−9

Sekunde

Die Sekunde ist das 9 192 631 770-fache der Periodendauer der dem Ubergang

zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen

des Nuklids Cs-133 entsprechenden Strahlung.


Zeit Sekunde s 10−14

2 1 Einleitung

Ampere

Das Ampere ist die Starke eines konstanten elektrischen Stromes, der, durch zwei

parallele, geradlinige, unendlich lange und im Vakuum im Abstand von einem

Meter voneinander angeordnete Leiter von vernachlassigbar kleinem, kreisformi-

gen Querschnitt fließend, zwischen diesen Leitern je einem Meter Leiterlange die

Kraft 2 · 10−7 Newton hervorrufen wurde.


Stromstarke Ampere A 10−6

Kelvin

Das Kelvin, die Einheit der thermodynamischen Temperatur, ist der 273,16te Teil

der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes des Wassers.


Temperatur Kelvin K 10−6

Mol

Das Mol ist die Stoffmenge eines Systems, das aus ebensoviel Einzelteilchen be-

steht, wie Atome in 0,012 Kilogramm des Kohlenstoffnuklids C-12 enthalten sind.

Bei Benutzung des Mol mussen die Einzelteilchen spezifiziert sein und konnen

Atome, Molekule, Ionen, Elektronen sowie andere Teilchen oder Gruppen solcher

Teilchen genau angegebener Zusammensetzung sein.


Stoffmenge Mol mol 10−6

Candela

Die Candela ist die Lichtstarke in einer bestimmten Richtung einer Strahlungs-

quelle, die monochromatische Strahlung der Frequenz 540 · 1012 Hertz aussendet

und deren Strahlstarke in dieser Richtung (1/683) Watt durch Steradiant be-

tragt.


Lichtstarke Candela cd 5 · 10−3

Ein Beispiel fur eine abgeleitete Große ist die Geschwindigkeit [m/s].

1.1 Grundgroßen 3

Wichtig: Der Messvorgang darf die Messung nicht verfalschen. In subatoma-

rer Physik ist dies haufig unvermeidbar.

Physikalische Großen konnen vom Betrag her sehr verschieden sein. So betragt die

Wellenlange des roten Lichts gerade 0,00000066 m wahrend der Abstand zwischen

der Erde und der Sonne 150.000.000.000 m betragt.

1.1.1 Großenordnungen

Um sehr große bzw. sehr kleine Großen ubersichtlicher darzustellen, benutzt man

die Zehnerpotenzschreibweise.

In der technischen Notation werden als Exponenten ausschließlich ganzzahlige

Vielfache von 3 verwendet, also ganzzahlige Potenzen von Tausend. Diese Notati-

on geht auf die Verwendung von Maßeinheiten ein, weil bei diesen die genormten

Großenordnungen (mikro, milli, kilo, Mega und so weiter) Potenzen von 103 ent-

sprechen.

Peta P 1015 milli m 10−3

Tera T 1012 mikro µ 10−6

Giga G 109 nano n 10−9

Mega M 106 pico p 10−12

Kilo k 103 femto f 10−15

Tabelle 1.1: Ubersicht Großenordnungen

1.1.2 Skalare und vektorielle Großen

Man unterscheidet zwischen skalaren und vektoriellen Großen.

Skalare Großen besitzen lediglich einen Betrag, z.B. sind die Zeit, die Temperatur

und die Energie skalare Großen.

Vektorielle Großen besitzen neben einem Betrag auch eine Richtung, in die sie

gerichtet sind, z.B. sind Langen, die Geschwindigkeit, die Beschleunigung und

4 1 Einleitung

die Kraft vektorielle Großen. Man macht eine vektorielle Große mit Hilfe eines

Vektorpfeils~ kenntlich, z. B. ~v.

1.1.3 Zeit

Der physikalische Zeitbegriff beruht auf dem Vergleich mit periodischen Vorgangen.

Fruher: 1 Sekunde entsprach dem 86400stel Teil der Rotationsperiode der Erde.

Da diese Schwankungen unterliegt, wurde diese Messvorschrift widerrufen. Tpi-

sche Periodendauern:

Lebensdauer Mensch 1010 s Alter des Sonnensystems 1018 s

Erdrotation 105 s Schallwellen 10−3

Radiowellen 10−6 s Kernschwingung 10−21 s

1.1.4 Lange

Als Lange ~a bezeichnet man den Abstand zwischen zwei Punkten. Die Lange ~a ist

daher einer vektorielle Große. Sie besitzt neben einem Betrag auch eine Richtung.

Als Ortsvektor bezeichnet man einen Vektor dessen Anfang im Ursprung liegt.

Seine Spitze liegt in dem Punkt, der durch die Koordinaten des Vektors bestimmt

ist. Es gilt:

~a =

ax

ay

az

= ax ~ex + ay ~ey + az ~ez (1.1)

wobei ~ex, ~ey, ~ez Einheitsvektoren in x-,y- und z-Richtung sind. Fur den Einheits-

vektor mit der Lange 1 gilt:

~ex =

1

0

0

(1.2)

Meßgerate fur die Bestimmung einer Lange in der Praxis:

Zollstock ≈ 1 mm Schieblehre ≈ 1/10 mm

Mikrometerschraube ≈ 1/100 mm Lichtmikroskop ≈ 1/1000 mmm

Elektronenmikroskop ≈ 1/1000000 mm

1.2 Fundamentale Rechengesetze 5

Abbildung 1.1: Darstellung eines Vektor [Stoecker2000]

Große Entfernungen misst man entweder durch Winkelmessung (Triangulation)

oder indirekt durch die Messung einer Laufzeit. So wird z.B. die Entfernung zum

Mond mit Hilfe der Laufzeit eines auf der Mondoberflache reflektierten Laser-

strahls bestimmt.

1.2 Fundamentale Rechengesetze

Im folgenden Abschnitt werden die wichtigsten Rechengesetze, die zu Beginn der

Physikvorlesung relevant sind, kurz ruckblickend zusammengetragen.

1.2.1 Vektorgesetze

Fur den Betrag des Vektors ~x gilt:

|~x| =

∣∣∣∣∣∣∣xyz

∣∣∣∣∣∣∣ =

√x2 + y2 + z2 (1.3)

Multipliziert man ein Skalar c mit einem Vektor ~x so gilt:

c · ~x =

c · xc · yc · z

(1.4)

6 1 Einleitung

Dies muss man sich als Streckung bzw. Stauchung des Vektors um den Faktor c

vorstellen.

Skalarprodukt

Fur das Skalarprodukt von zwei Vektoren ~a und ~b gilt:

~a ·~b =

axayaz

·bxbybz

= axbx + ayby + azbz = |~a||~b| cosα (1.5)

Anwendung in der Physik

Definition der Arbeit: W = ~F · ~sMan erhalt als Ergebnis eine skalare Große.

Vektorprodukt

Fur das Vektorprodukt, auch Kreuzprodukt genannt, von zwei Vektoren ~a und ~b

gilt:

~a×~b =

axayaz

×bxbybz

=

aybz − azbyazbx − axbzaxby − aybx

(1.6)

Beim Vektorprodukt entsteht ein Vektor, der senkrecht auf der von den Vektoren ~a

und ~b aufgespannten Ebene steht. Der Betrag des Vektors gibt den Flacheninhalt

des durch die Vektoren ~a und ~b aufgespannten Parallelgrams an:

|~a×~b| = |~a||~b| sinα (1.7)

Der Winkel α gibt dabei den Winkel zwischen den Vektoren ~a und ~b an. Zusam-

menfassend gilt

~a×~b =(|~a||~b| sinα

)~n (1.8)

wobei ~n der zu ~a und ~b senkrecht stehende Einheitsvektor ist.

Anwendung in der Physik

Fur das Drehmoment gilt: ~M = ~r × ~F

Man erhalt als Ergebnis eine vektorielle Große.


1.2.2 Ableitungsregeln

Im folgenden werden kurz die wichtigsten Ableitungsregeln zusammengefasst:

Potenzregel

dxn

dx= nxn−1, n ∈ Z\{0} (1.9)

Beispiel

(x3)′ = 3x2 (1.10)

Ableitung von Sinus, Kosinus und ln

d

dxsinx = cos x (1.11)

d

dxcosx = − sinx (1.12)

d

dxlnx =

1

x(1.13)

Produktregel

f(x) und g(x) seien differenzierbare Funktionen. Dann folgt:

d

dx(f(x)g(x)) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x) (1.14)

Beispiel

(sin(x)x2

)′= cos(x)x2 + sin(x)2x (1.15)

Kettenregel

f(x) und g(x) seien differenzierbare Funktionen. Dann folgt:

d

dxf (g(x)) = f ′ (g(x)) g′(x) (1.16)

Beispiel

(sin(x2))′

= cos(x2)

2x (1.17)

8 1 Einleitung

1.2.3 Der Gradient

Der Gradient ist ein Differentialoperator, der auf ein Skalarfeld angewandt wer-

den kann. Das Ergebnis ist ein Vektorfeld, das die Anderungsrate und Richtung

der großten Anderung des Skalarfeldes angibt. Ein Skalarfeld f(x, y, z) ist eine

Funktion, die jedem Punkt im Raum eine Zahl zuordnet. Beispiele hierfur sind

z.B. die Beschreibung des Luftdrucks oder der Temeratur in der Atmosphare. Fur

den Gradienten von f gilt:

grad f(x, y, z) = ∇f(x, y, z) =

∂f∂x∂f∂y∂f∂z

(1.18)

∂f∂x

bezeichnet man als partielle Ableitung von f nach x.

1.2.4 Integrationsgesetze

Das Integrieren wird haufig auch als Aufleiten bezeichnet. Ziel des Integrierens

ist es, die Flache unterhalb eines Graphen zu bestimmen. Folgende Integrations-

gesetze sind von besonderer Relevanz:

Die Stammfunktion

Fur die Stammfunktion F (x) einer Funktion f(x) gilt folgende Beziehung:

d

dxF (x) = f(x) bzw.

∫f(x)dx = F (x) (1.19)

Es gibt unendlich viele Stammfunktionen F (x) einer Funktion f(x), da bei der

Integration eine Integrationskonstante C berucksichtigt werden muss. Dies soll

im folgenden Abschnitt deutlich werden.

Integration von Potenzfunktionen∫xndx =

1

n+ 1xn+1 + C (1.20)

C heißt Integrationskonstante. Man bezeichnet das obenstehende Integral als un-

bestimmtes Integral.


Das bestimmte Integral

Integriert man eine Potenzfunktion zwischen zwei gegebenen Grenzen x1 und x2

so folgt:x2∫x1

xndx =1

n+ 1xn+1

2 − 1

n+ 1xn+1

1 (1.21)

Im Allgemeinen gilt fur das bestimmte Integral:

x2∫x1

f(x)dx = F (x2)− F (x1) (1.22)

Integrieren von Sinus, Kosinus und 1/x

∫sin(x)dx = − cos(x) + C (1.23)∫cos(x)dx = sin(x) + C (1.24)∫

1

x= ln(x) + C (1.25)

Integration durch lineare Substitution

Ist die innere Funktion g(x) bei verketteten Funktionen der Form f (g (x)) eine

lineare Funktion, so erhalt man die Stammfunktion durch”lineare Substitution“.

Es gilt: ∫f (mx+ b) dx =

1

mF (mx+ b) + C (1.26)

Beispiel 1: Es soll das unbestimmte Integral von f(x) = e2x+3 gebildet werden.

Es gilt fur die außere bzw. innere Funktion:

f(x) = ex und entsprechend F (x) = ex + C (1.27)

g(x) = 2x+ 3 (1.28)

Nach der Regel fur die lineare Substitution folgt:∫e2x+3dx =

1

2e2x+3 + C (1.29)

10 1 Einleitung

Beispiel 2: Es soll das unbestimmte Integral von f(x) = sin (4x+ 2) gebildet

werden. Es gilt fur die außere bzw. innere Funktion:

f(x) = sin(x) und entsprechend F (x) = − cos(x) + C (1.30)

g(x) = 4x+ 2 (1.31)

Nach der Regel fur die lineare Substitution folgt:∫sin (4x+ 2) dx = −1

4cos (4x+ 2) + C (1.32)

Integration durch Trennung der Variablen

Furdy

dx= f(x)g(y) (1.33)

folgtdy

g(y)= f(x)dx+ C (1.34)

Beispiel

Radioaktiver Zerfall: Die Abnahme dN der Anzahl der Kerne pro Zeit dt ist

proportional zur Zerfallskonstanten λ und Anzahl N der Kerne.

dN = −Nλdt (1.35)1

NdN = −λdt (1.36)∫

1

NdN = −λ

∫dt (1.37)

ln(N(t)) = −λt+ C (1.38)

N(t) = e−λt+C (1.39)

N(t) = e−λt · eC (1.40)

N(t) = N0 · e−λt (1.41)

(1.42)

N0 kann als Anzahl der Kerne zur Zeit t = 0 gedeutet werden.

2 Klassische Mechanik

2.1 Kinematik

Die Kinematik ist die Lehre der Bewegung (gr. Kinema).

Eine Bewegung ist eine zeitliche Veranderung der Position. Bewegung ist ein rela-

tiver Begriff. Beispielsweise bewegt sich ein Zugreisender aus Sicht des Schaffners

nicht, da der Reisende in seinem Sitz sitzen bleibt. Aus Sicht eines am Bahnstieg

stehenden Fahrgastes bewegt sich dagegen der Reisende mit der Geschwindigkeit

des Zuges. Die Bewegung ist daher ein relativer Begriff. Ohne die Angabe eines

Bezugssystems ist eine Aussage uber eine Bewegung sinnlos.

Wechselt man von einem Bezugssystem in ein anderes, so spricht man von einer

Transformation. Dabei unterscheidet man zwischen einer Translation (Verschie-

bung) und einer Rotation (Drehung).

Wichtig: Physikalische Gesetze durfen nicht von der Wahl des Bezugssystems

abhangen.

2.1.1 Massepunkt

Zur Erleichterung einer physikalischen Beschreibung bedient man sich des Mas-

sepunktes. Der Massepunkt ist ein Gebilde mit der Masse m und einer unendlich

kleinen Ausdehnung. Er ist eine Idealisierung, bei der angenommen wird, dass

die gesamte Masse des Korpers in einem Punkt konzentriert ist.

12 2 Klassische Mechanik

Abbildung 2.1: Abbildung eines Geschwindigkeitvektors [Stoecker2000]

2.2 Geschwindigkeit

Die Geschwindigkeit ist eine vektorielle Große und ist ebenso wie die Lange durch

ihren Betrag und ihre Richtung festgelegt. Fur die momentane Geschwindigkeit

gilt:

~v(t) = lim∆t→0

∆~r

∆t= lim

∆t→0

∆x∆t∆y∆t∆z∆t

(2.1)

Beispiel:

Gegeben sei ~v(t) = (vx, 0, 0) mit der Startbedingung ~r(0) = (5, 2, 1) Wie hangt

der zuruckgelegte Weg von der Zeit ab?∫d~r =

∫~vdt (2.2)

~r = ~v

∫dt ~v unabhangig von t (2.3)

~r =

vx · t+ r0x

r0y

r0z

(2.4)

Setzt man die Anfangsbedingung ~r(0) = (5, 2, 1) ein, so erhalt man:

~r =

vx · t+ 5

2

1

(2.5)

Man spricht in diesem Fall von einer gleichformigen Bewegung, da die Gechwin-

digkeit |~v| = vx konstant ist. Bei einer gleichformigen Bewegung besteht zwischen

dem zurucklegten Weg ~r und der Zeit t ein linearer Zusammenhang.

2.3 Beschleunigung 13

2.3 Beschleunigung

Als Beschleunigung versteht man die zeitliche Anderung der Geschwindigkeit.

Sie ist wie die Geschwindigkeit ~v eine vektorielle Große. Fur die momentane

Beschleunigung ~a gilt:

~a(t) = lim∆t→0

∆~v

∆t=

∆vx∆t

∆vy∆t

∆vz∆t

(2.6)

bzw.

~a(t) = lim∆t→0

∆~v

∆t= lim

∆t→0

∆2~r

∆t2=

∆2x∆t2

∆2y∆t2

∆2z∆t2

(2.7)

Beispiel:

Gegeben: ~a = (ax, 0, 0). Was gilt dann fur x(t) und vx(t)?

ax =dvxdt

(2.8)

⇒ dvx = axdt (2.9)∫dvx = ax

∫dt (2.10)

vx(t) = axt+ v0 v0 ist die Integrationskonstante (2.11)

Bei der Herleitung der Bahnkurve x(t) geht man wie folgt vor:

v(t) =dx

dt= ax · t+ v0 (2.12)

dx = (ax · t+ v0)dt (2.13)∫dxx = ax

∫tdt+ v0dt (2.14)

x(t) =1

2axt

2 + v0t+ x0 x0 ist die Integrationskonstante (2.15)

x0 und v0 mussen durch die Anfangsbedingungen festgelegt werden. Lauten die

Anfangsbedingungen z.B. vx(2) = 3 und x(0) = 1 so folgt:

vx(t) = axt+ v0 (2.16)

vx(2) = ax2 + v0 = 3 (2.17)

v0 = 3− 2ax (2.18)

⇒ vx(t) = axt− 2ax + 3 (2.19)


Setzt man dies in die Losung fur die Bahnkurve x(t) samt der Randbedigung

x(0) = 1 ein, so erhalt man:

x(t) =1

2axt

2 + (3− 2ax)t+ x0 (2.20)

x(0) =1

2ax0

2 + (3− 2ax)0 + x0 = 1 (2.21)

x0 = 1 (2.22)

⇒ x(t) =1

2axt

2 + (3− 2ax)t+ 1 (2.23)

2.3.1 Uberlagerung von Bewegungen

Den waagrechten Wurf kann man als eine ungestorte Uberlagerung einer gleichformi-

gen Bewegung in x-Richtung und einer gleichmaßigen Beschelunigung mit az =

g = 9, 81m/s2 in z-Richtung verstehen.

Fur die Bewegung in z-Richtung gilt:

~r(t) =

0

0

−12gt2 + h

(2.24)

Fur die zusammengesetzte Bewegung aus dem freien Fall in z-Richutng und der

gleichformigen Bewegung in x-Richtung gilt:

~r(t) =

vxt

0

−12gt2 + h

(2.25)

Weiteres Beispiel:

Es ist auch moglich, dass sich drei Bewegungen unabhangig voneinander uberla-

gern (Abb. 2.2), z.B.:

~r(t) =

x(t)

y(t)

z(t)

=

x0 + vxt

y0 + vyt

z0 + vzt− 12gt2

(2.26)

2.3 Beschleunigung 15

Abbildung 2.2: Darstellung einer dreidimensionalen Bewegung [Stoecker2000]

Abbildung 2.3: Darstellung des schragen Wurfs [Tipler2009]

Der schrage Wurf

Zur Vereinfachung wird der schrage Wurf als zweidimensionale Bewegung be-

trachtet. Es gilt dann:

~v(t) =

(x(t)

y(t)

)=

(v0 cos(α)

v0 sin(α)− gt

)(2.27)

Fur die Bahnkurve ~r(t) gilt dann unter der Randbedingung ~r = (0, 0):

~r(t) =

(v0 cos(α)t

v0 sin(α)t− 12gt2

)(2.28)


Abbildung 2.4: Darstellung einer Kreisbewegung [Mueller2001]

2.4 Kreisbewegung

Betrachtet man eine Kreisbewegung, so werden haufig sog. Polarkoordinaten an-

statt kartesischer Koordinaten verwendet. Fur Polarkoordinaten gilt (siehe Abb.

2.4):

~r(t) =

(r cos(θ(t))

r sin(θ(t))

)(2.29)

θ wird als Bogenmaß bezeichnet. Es gilt:

θ =Bogenlange s

Kreisradius r(2.30)

Es gilt somit s = θ · r. Als Winkelgeschwindigkeit ω bezeichnet man die zeitliche

Anderung des Bogemaßes dθ/dt. Es gilt somit:

ω =dθ

dt(2.31)

2.4 Kreisbewegung 17

Somit gilt:

dθ = ωdt (2.32)θ∫

θ0

dθ = ω

t∫0

dt (2.33)

|θθ0θ = ω|t0t (2.34)

θ(t)− θ0 = ωt (2.35)

θ(t) = ωt− θ0 (2.36)

Mit t = t0 und θ0 = 0 folgt θ = ωt.

θ = 2π = ωT (2.37)

T =2π

ω(2.38)

Die Frequenz f einer Periode ist der Kehrwert der Umlaufdauer T . Es gilt also:

f =1

T(2.39)

ω = 2πf (2.40)

Bei einer konstanten Kreisbewegung rotiert ein Korper mit einem konstanten

Radius r und einer konstanten Winkelgeschwindigkeit ~ω(t) = ~ω um einen Punkt.

Es gilt somit fur die Bahnkurve ~r(t):

~r(t) =

(r cos(ωt)

r sin(ωt)

)(2.41)

Die Bahngeschwindigkeit ~v(t) ergibt sich wie folgt:

~v(t) = ~r(t) =

(−rω sin(ωt)

rω cos(ωt)

)(2.42)

Fur den Betrag der Bahngeschwindigkeit gilt |~v(t)| = rω.

Allgemein gilt:

~v = ~ω × ~r (2.43)

|~v| = |~ω| · |~r| · sinα (2.44)

Der Winkel α steht zwichen dem Vektor der Winkelgeschwindigkeit ~ω und dem

Radius ~r der Kreisbahn. Fur die Zentripetalbeschleunigung ~ar(t) gilt entspre-


Abbildung 2.5: Darstellung der Winkelgeschwindigkeit [Stoecker2000]

chend:

~ar(t) =d ~v(t)

dt=

(−rω2 cos(ωt)

−rω2 sin(ωt)

)= −ω2~r(t) (2.45)

Der Betrag der Zentripetalbeschleunigung ergibt zu |~ar(t)| = rω2. Die Tangenti-

albeschleunigung ~aθ tangential zur Bahnkurve ist aufgrund der kosntanten Bahn-

geschwindigkeit gleich Null. Allgemein gilt fur die Zentrifugalbeschleunigung ~ar:

~ar = ~ω × (~ω × ~r) (2.46)

~ar zeigt in Richtung von −~r. Die Zentripetalbeschleunigung zeigt also zum Kreis-

mittelpunkt.

2.5 Galilei-Transformation

Wir nehmen an, dass zwei Beobachter in gegeneinander gleichformig bewegten

Bezugssystemen einen Punkt beobachten. Der Ursprung des System S ′ des einen

Bezugssystems bewege sich gegenuber dem Ursprung von S mit der konstanten

Geschwindigkeit ~u = const, so dass fur den Abstand ~s der beiden Koordinatenur-

sprunge ~s = ~ut gilt (siehe Abb. 2.6). Fur die Bahnkurve ~r(t) des Punktes ergibt

sich aus Sicht des Beobachters im Bezugssystem S ′ folgende Abhangigkeit:

~r(t) = ~r′(t) + ~u (2.47)

Die Zeit ist in beiden Bezugssystemen gleich, so dass t = t′.

2.5 Galilei-Transformation 19

Abbildung 2.6: Darstellung der Galilei-Transformation [Stoecker2000]

Transformation von Langen

Es soll nun untersucht werden, inwieweit sich eine Lange ∆~r = ~r2−~r1 unter einer

Galilei-Transformation verandert.

∆~r = ~r2 − ~r1 in S (2.48)

∆~r′ = ~r′2 − ~r′1 in S ′ (2.49)

∆~r′ = ~r2 − ~ut− (~r1 − ~ut) (2.50)

∆~r′ = ∆~r (2.51)

(2.52)

Die Lange ∆~r ist also invariant gegenuber einer Galilei-Transformation. Sie ist in

beiden Bezugssystem gleich.


Transformation von Geschwindigkeiten

Nun stellt sich die Frage, inwieweit sich die Geschwindigkeit gegenuber einer

Galilei-Transformation verandert.

~v(t) =d~r(t)

dtin S (2.53)

~v′(t) =d~r′(t)

dtin S ′ (2.54)

~v′(t) =d(~r(t)− ~ut)

dt(2.55)

~v′(t) =d~r(t)

dt− d~ut

dt(2.56)

~v′(t) = ~v(t)− ~u (2.57)

Man sieht, dass die Geschnwidigkeit nicht invariant gegenuber einer Galilei-Trans-

formation ist. Es gilt ~v(t) 6= ~v′(t). Eine Angabe zu Geschwindigkeiten ist also nur

bezuglich eines bestimmten Bezugssystems sinnvoll.

Transformation von Beschleunigungen

Es soll auch untersucht werden, inwieweit sich eine Beschleunigung gegenuber

einer Galilei-Transformation verandert.

~a(t) =d~v(t)

dtin S (2.58)

~a′(t) =d~v′(t)

dtin S ′ (2.59)

~a′(t) =d(~v(t)− ~u

dt(2.60)

~a′(t) =d~v(t)

dt−

=0︷︸︸︷d~u

dt(2.61)

~a′(t) = ~a (2.62)

Man sieht, dass die Beschleunigung invariant gegenuber einer Galilei-Transfor-

mation ist. Erfahrt ein Massepunkt in einem System S die Beschleunigung ~a, so

erfahrt er in jedem anderen Bezugssystem, das sich geradlinig, gleichformig rela-

tiv zu S bewegt, die gleiche Beschleunigung ~a(t) = ~a′(t).

Bezugssysteme, die sich realtiv zueinander bewegen geradlinig, gleichformig be-

wegen, heißen Inertialsysteme.

2.6 Newtonsche Dynamik 21

2.6 Newtonsche Dynamik

Die Dynamik beschaftigt sich mit der Wirkung von Kraften und den daraus

resultierenden Bewegungen. Dagegen stellt die Kinematik die Bewegungslehre

ohne Berucksichtigung einer Kraft als Ursache einer Bewegung dar. Die Sta-

tik beschaftigt sich mit unbewegten Objekten, bei denen angreifende Krafte im

Gleichgewicht stehen.

2.6.1 Newtonsche Gesetze

In dem beruhmten Werk Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Mathe-

matische Prinzipien der Naturphilosophie) formulierte im Jahr 1687 der englische

Naturforscher Isaac Newton drei Grundsatze (Gesetze) der Bewegung, die als die

newtonschen Axiome bekannt sind.

1. Newtonsches Axiom

Jeder Korper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichformigen Bewegung,

falls er nicht durch außere Krafte ~Fi gezwungen wird, diesen Zustand zu andern.

Es gilt: ∑i

~Fi = 0⇒ ~a = 0 (2.63)

Dieses Tragheitsprinzip gilt auschließlich in Inertialsystemen, d.h. es gilt nicht

in beschleunigten Bezugssystemen. Fur isolierte Korper (keiner Wechselwirkung

unterliegende) ist in Inertialsystemen die Beschleunigung Null.

Bewegt sich ein Korper geradlinig gleichformig in einem Bezugssystem S, dann

bewegt er sich auch in jedem anderen Intertialsystem S ′ geradlinig gleichformig.

Denn nach der Galilei-Transformation fur Geschwindigkeiten gilt (Gleichung 2.57):

~v′ = ~v︸︷︷︸=const

− ~u︸︷︷︸=const

= const (2.64)



Eine Kraft ~F , die auf einen Korper mit Masse m einwirkt, fuhrt zu einer Be-

schleunigung ~a des Korpers, die proportional zur Kraft ist. Es gilt:

~a =1

m~F (2.65)

Man sieht in Gleichung 2.65, dass die Masse m die Bedeutung einer Proportio-

nalitatskonstanten hat. Je großer die Masse m, desto kleiner ist die resultierende

Beschleunigung ~a bei einer angreifenden Kraft ~F .

Fur die Einheit der Kraft gilt [~F ] = 1kg ms2 = 1N. Fruher wurde haufig die Einheit

1 kp = 9,81 N verwendet. Ein Kilopond (kp) entspricht demnach der Gewichts-

kraft eines Korpers der Masse m = 1 kg.

Das zweite Newtonsche Axiom ist zudem invariant gegenuber einer Galilei-Trans-

formation. Nach Gleichung 2.62 ist fur alle Inertialsysteme S und S ′ ~a = ~a′. Dem-

nach gilt unter Berucksichtigung von Gleichung 2.65 ~F = ~F ′, da m = m′. Somit

hat in jedem Inertialsystem das zweite Newtonsche Axion die Form ~F = m~a.

Einstein folgerte daraus, dass alle Gesetze der Physik in allen Interialsystemem

gleich sind.

Anwendungen des zweiten Newtonschen Axioms

Nach Gleichung 2.65 gilt

~F = m~a = m~r (2.66)

(1) Sind alle Krafte, die auf einen Massepunkt wirken, bekannt, so lasst sich mit

Hilfe einer Divison durch die Masse die Beschleunigung des Korpers bestimmen.

Durch eine zweimalige Integration nach der Zeit erhalt man auch die Bahnkurve

~r(t) des Korpers.

(2) Ist dagegen durch eine Beobachtung die Bahnkurve ~r(t) des Korpers bekannt,

so lasst sich durch Differenzieren die Beschleunigung ermitteln. Mit dieser kann

die auf den Korper einwirkende Kraft bestimmt werden.

2.6 Newtonsche Dynamik 23


Das dritte Newtonsche Axiom besagt, dass es zu jeder einwirkenden Kraft ~F12

(actio) eine Gegenkraft ~F21 (reactio) gibt, fur die gilt:

~F12 = −~F21 (2.67)

Demnach ist in einem abgeschlossenen System die Summe aller Krafte gleich Null:

∑i

~Fi = 0 (2.68)

2.6.2 Superpositionsprinzip

In Newtons Werk wird das Prinzip der ungestorten Uberlagerung als Zusatz

zu den Bewegungsgesetzen beschrieben. Wirken auf einen Massepunkt mehre-

re Krafte ~F1, ~F2, ~F3, ... ~Fn, so ergibt sich die resultierende Kraft ~FR als Summe der

angreifenden Krafte:

~FR = ~F1 + ~F2 + ~F3 + ...+ ~Fn (2.69)

=n∑i=1

~Fi (2.70)

Die Krafte ~Fi addieren sich hierbei vektoriell:

~FR = ~F1 + ~F2 + ~F3 + ...+ ~Fn (2.71)

=

F1x

F1y

F1z

+

F2x

F2y

F2z

+

F3x

F3y

F3z

+ ...+

Fnx

Fny

Fnz

(2.72)

=

F1x + F2x + F3x + ..+ Fnx

F1y + F2y + F3y + ..+ Fny

F1z + F2z + F3z + ..+ Fnz

(2.73)

Das Superpositionsprinzip ist auch unter dem Begriff Lex quarta bekannt.


Abbildung 2.7: Schematische Darstellung der Addition von vier Kraften

[Stoecker2000]

2.7 Der Impuls

Der Impuls ~p ist definiert als das Produkt aus der Masse m eines Korpers und

seiner Geschwindigkeit ~v:

~p = m~v (2.74)

Fur eine zeitliche konstante Masse (dmdt

= 0) gilt:

~p =d~p

dt=d(m~v)

dt= m

d~v

dt= m~a = ~F (2.75)

Die Kraft ist somit die zeitliche Anderung des Impulses. Daher spricht man bei

einer Implusanderung auch haufig von einem Kraftstoß.

Nach dem dritten Newtonschen Axiom ist in einem abgeschlossenen System (vgl.

Gleichung 2.68) ohne resultierende (externe) Kraft der Gesamtimpuls∑

i ~pi = ~p

erhalten: ∑i

~Fi = 0 =∑i

~pi = const (2.76)

2.7.1 Die Raketengleichung - Impulserhaltung bei

veranderlicher Masse

Eine Rakete stoßt kontinuierlich heiße Gase, die aus der Verbrennung des mit-

gefuhrten Treibstoffs entstehen, mit hoher Ausstromgeschwinidigkeit ~u nach hin-

ten aus und wird durch deren Ruckstoß nach vorne getrieben. Die Raketemasse

nimmt daher wahrend der Beschleunigung ab. Eine Rakete kann im Gegensatz

zum Dusentriebwerk, welches Luft aus der Atmosphare angesaugt und nach hin-

ten austoßt, auch im Vakuum betrieben werden. Zur Berechnung der Beschleu-

2.7 Der Impuls 25

nigung betrachtet man ein kleines Zeitintervall ∆t, in dem eine Masse ∆M von

der Rakete der Anfangsmasse M mit der Geschwindigkeit ~u ausgestoßen wird.

Dabei steigt die Geschwindigkeit der Rakete von ~v0 auf ~v0 + ∆~v an. Der Impuls

der Rakete ergibt sich zu:

~p = M · ~v0 = (mR +mB) · ~v0 (2.77)

mB beschriebt hierbei die Masse des Brennstoffs zum Zeitpunkt t = 0, wahrend

mR die Masse der ausgebrannten Rakete angibt. Fur die Zeit t gilt:

t = t0 + ∆t (2.78)

Nach der Zeit ∆t haben sich die Großen wie folgt geandert. Der Impuls des Ge-

samtsystems (Rakete + ausgestromtes Gas) bleibtjedoch insgesamt konstant:

~p = (M −∆M) · (~v0 + ∆~v) + ∆M~u (2.79)

= (M −∆M) · (~v0 + ∆~v) + ∆M · (~vrel + ~v0) (2.80)

= M~v0 +M∆~v −∆M~v0 −∆M∆~v︸︷︷︸klein

+∆M~vrel + ∆M~v0 = M~v0 (2.81)

Es ergibt sich:

M∆v + ∆M~vrel = 0 (2.82)

Fur die Relativgeschwindigkeit ~vrel zwischen der Ausstromgeschwindigkeit ~u des

Verbrennugsgases und der Geschwindigkeit ~v0 der Rakete gilt:

~vrel = ~v0 + ~u (2.83)

Fur ∆t→ 0 folgt:

Md~v

dt+ ~vrel

dM

dt= 0 (2.84)

Abbildung 2.8: Schematische Darstellug einer Rakete [Mueller2001]


Abbildung 2.9: Scheamtische Darstellung der Impulserhaltung bei einer Rakete

[Mueller2001]

Der Summand ~vreldMdt

aus Gleichung 2.84 wird als Schubkraft bezeichnet. Die

Schubkratf besitzt die Einheit Newton. Gleichung 2.84 lasst sich wie folgt umfor-

men:

−~vreldM = Md~v (2.85)

−mR∫

mb+mR

dM

M=

1

~v rel

vend∫v0

dv (2.86)

(2.87)

Damit ergibt sich sich eine Endgeschwindigkeit vend zu:

vend = vrel · ln(mB +mR

mR

)+ v0 (2.88)

2.8 Krafte in der Natur und Technik

In diesem Abschnitt werden die unterschiedlichen Arten von Krafte betrachtet.

2.8.1 Gewichtskraft

Die Gewichtskraft ist die Anziehungskraft der Erde, die auf alle Korper wirkt.

Sie ist proportional zur Masse eines Korpers. Die Proportionalitatskonstante ist

die Fall- bzw. Erdbeschleunigung g, die an einem festen Ort fur alle Korper un-

abhangig von ihrer Masse gleich groß ist. Fur Mittelhessen betragt die Fallbe-

schleunigung g = 9, 81m/s2. Fur die Gewichtskraft gilt:

FG = m · g (2.89)

2.8 Krafte in der Natur und Technik 27

2.8.2 Gravitationskraft

Unter der Gravitationskraft ~FG versteht man die anziehende Kraft zweier mas-

sebehafteter Korper der Massen m1 und m2. Die Kraft nimmt quadratisch mit

dem Abstand der beiden Korper ab:

~FG = γm1 ·m2

∆~r212

~er12 (2.90)

Die Proportionalitatskonstante γ = 6, 67428·10−11m3/kg·s2 wird als Gravitations-

konstante bezeichnet. Sie ist im ganzen Universum gleich groß. Fur Korper auf der

Erdoberflache ergibt sich folgende Gravitationskraft (Erdradius rE = 6.371.000m,

Erdmasse mE = 5,9736·1024 kg:

~FG = γm1 ·m2

∆~r212

~er12 (2.91)

=

(γmE

r2E

)︸︷︷︸

unabhangig vom Objekt

m2~er12 (2.92)

= 9, 81m/s2 m2~er12 (2.93)

Mit m2 = m folgt das Gesetz der Gewichtskraft aus Abschnitt 2.8.1.

2.8.3 Drehmoment

Das Drehmoment ~M einer Kraft ist das Vektorprodukt aus dem Ortsvektor ~r und

der Kraft ~F , die am Ort ~r wirkt:

~M = ~r × ~F (2.94)

= r · F · sin(θ) (2.95)

Die Einheit des Drehmoments ist [ ~M ] =Newtonmeter = Nm.

Wirken auf einen Korper mehrere Krafte ~Fi, so konnen die einzelnen Drehmomen-

te ~Mi = ~ri× ~Fi vektoriell zu einem resultierenden Drehmoment zusammengesetzt

werden:

~M =n∑i=1

~Mi (2.96)


Abbildung 2.10: Schematische Darstellung des Drehmoments [Mueller2001]

2.8.4 Hangabtriebskraft und Normalkraft

Bei der Beschreibung einer schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel α wird die Ge-

wichtskraft FG in die Hangabtriebskraft FHA und die Normalkraft FN zerlegt. Die

Zerlegung von Kraften wird angewendet, wenn ein Korper, wie bei der schiefenen

Ebene, in einer bestimmten Weise unterstutzt wird. Fur die Hangabtriebskraft

FHA und die Normalkraft FN gilt entsprechend Abbildung 2.11:

FHA = mg sin(α) (2.97)

FN = mg cos(α) (2.98)

Abbildung 2.11: Schematische Darstellung der Hangabtriebskraft und der Nor-

malkraft [Stoecker2000]


2.8.5 Reibungskrafte

Reibungskrafte treten bei der Bewegung auf, wenn sich der Korper in Beruhrung

mit einem anderen Korper oder durch eine Flussigkeit (oder ein Gas) bewegt.

Reibungskrafte wirken parallel zu der Beruhrungsflache.

Stromungswiderstand - Luftwiderstand

Ein Korper, der sich mit einer Geschwindigkeit vrel relativ zu einem gasformi-

gen oder flussigen Medium bewegt, erfahrt einen Stromungswiderstand Fcw. Die

Kraft des Stromungswiderstandes wirkt dabei der Bewegungsrichtung entgegen.

Bewegt sich ein Korper durch Luft, so spricht man auch vom Luftwiderstand; bei

hydrodynamischen Problemen im Wasser spricht man entsprechend vom Wasser-

widerstand.

Fur frei umstromte Korper ergibt sich fur den Stromungswiderstand die folgende

Abhangigkeit:

Fcw =1

2cwρA~v

2rel (2.99)

A entspricht hierbei die senkrecht zur Bewegungsrichtung (senkrecht zu ~vrel) pro-

jezierte Flache des Korpers und ρ die Dichte des umgegebenden Mediums. Die

Proportionalitatskonstante cw ist charakteristisch fur den umstromten Korper

und wird als Stromungswiderstandsbeiwert bezeichnet.

Objekt cw-Wert Objekt cw-Wert

Kugelhalbschale 1,33 Cabrio offen 0,5

LKW 0,8 VW Kafer 0,48

Mensch 0,78 modernes Auto 0,3

Tragflugel 0,08 Tropfenform 0,05

Tabelle 2.1: Ubersicht cw-Werte

Haftreibung

Die Haftreibung FHR wird durch die Rauheit der Beruhrungsflachen bedingt und

außert sich als Widerstand eines Korpers gegen ein Gleiten. Haftreibung tritt nur

auf, wenn ein Korper auf einer Beruhrungsflache ruht. Wirkt auf den Korper eine


Kraft, dann setzt eine Bewegung erst ein, wenn diese angreifende Kraft die Haft-

reibungskraft ubersteigt. Die Haftreibungskraft ist proportional zur Normalkraft

FN , die den Korper auf eine Auflageflache druckt. Die Proportionalitatskonstante

µ0 wird als Haftreibungszahl bezeichnet. Es gilt:

FHR = µ0FN (2.100)

Die Haftreibungskraft hangt nicht von der Große der Beruhungsflache ab, sondern

lediglich vom Material der Korper und ihrer Oberflachenbeschaffenheit.

Gleitreibungskraft

Eine Gleitreibung tritt auf, wenn ein Korper auf einer Beruhrungsflache gleitet.

Die Gleitreibungskraft FGR ist der Geschwindigkeit des Korpers entgegengerich-

tet, ihr Betrag ist proportional zum Betrag der Normalkraft FN :

FGR = µFN (2.101)

Die Proportionalitatskonstante µ wird als Gleitreibungszahl bezeichnet.

Rollreibung

Rollreibung tritt auf, wenn ein Korper (z.B. ein Rad) auf einer ebenen Unterlage

nicht gleitet, sondern rollt. Eine Rollreibung entsteht durch die Deformation von

Rad und Unterlage. Eine am Radkranz angreifende, der Zugkraft an der Radach-

se entgegengerichtete Rollreibungskraft FR bewirkt, dass die Bodenkraft nicht

am Punkt P1 (momentane Drehachse), sondern am Punkt P2 angreift. Die Bo-

denkraft ist die Resultierende aus der Gegenkraft der Normalkraft FN und der

Rollreibungskraft FR. Ein Rad rollt gleichmaßig, wenn die Summe von Normal-

kraft, Bodenkraft und Zugkraft verschwindet. Die Rollreibungszahl fR druckt die

Proportionalitat zwischen der Normalkraft FN und dem durch die Reibungskraft

bewirkten Drehmoment M aus:

M = fRFN (2.102)

Mit M = FRR ergibt sich fur die Rollreibungskraft:

FR =fRRFN (2.103)


Abbildung 2.12: Schematische Darstellung der Rollreibung [Stoecker2000]

Abbildung 2.13: Schematische Darstellung einer Rolle [Stephan]

Die Rollreibungszahl hat die Dimension einer Lange. Die Rollreibung ist abhangig

von der Belastung, dem Raddurchmesser, Material von Rad und Unterlage und

der Geschwindigkeit. Mit wachsendem Raddurchmesser wird sie geringer. Die

Rollreibungszahl fur einen Autoreifen auf einer asphaltierten Straße betragt bei-

spielsweise ca. 0,001 - 0,0015 m.

Seilreibung

Die Reibung zwischen einem Seil (Riemen oder Band) und Rolle (Trommel) resul-

tiert in einer Seilreibungskraft. An den Enden des Seils in Abbildung 2.13 wirken

die Krafte ~F1 und ~F2. Um die Seilreibung beschreiben zu konnen, betrachten

wir in Abbildung 2.14 einen Ausschnitt ∆ϕ des Winkels/Bogenmaßes. Fur die

Haftreibung zwischen Seil und Rolle gilt:

∆~FR = µ0∆ ~FN (2.104)


Die Normalkraft ~FN wird in diesem Zusammenhang auch oft als Auflagekraft

bezeichnet. Fur die vertikalen Krafte aus Abbildung 2.14 gilt:

∆FN = (F + ∆F ) sin(α) + F · sin(α) = (2F + ∆F ) · sin(α) (2.105)

Fur die horizontalen Krafte gilt entsprechend:

(F + ∆F ) · cos(α) = ∆FR + F cos(α) (2.106)

∆FR = ∆F cos(α) (2.107)

Setzt man Gleichungen 2.105 und 2.107 in Gleichung 2.104 ein, so erhalt man:

∆F · cos(α) = µ0(2F + ∆F ) · sin(α) (2.108)

∆F = µ0(2F + ∆F ) · tan(α) (2.109)

∆F

∆ϕ=

µ0(2F + ∆F ) · tan(α)

∆ϕ(2.110)

∆F

∆ϕ=

µ0(F + ∆F2

) · tan(α)∆ϕ2

(2.111)

∆F

∆ϕ= µ0(F +

∆F

2) · tan(α)

α(2.112)

(2.113)

Fur ϕ→ 0 gilt auch α→ 0, ∆F → 0 und tan(α)α→ 1. Es folgt:

dF

dϕ= µ0 · F (2.114)

Gleichng 2.114 stellt eine DGL1 dar, welche man durch Trennung der Variablen

lost. Man erhalt:

F (ϕ) = eµ0·ϕ+c = ec︸︷︷︸=F0

·eµ0·ϕ = F0 · eµ0·ϕ (2.115)

Beim Heraufziehen einer Last ist F0 die Kraft der Last und F die hebende Kraft.

Beim Herablassen ist F die Kraft der Last, F0 die haltende Kraft:

FHeben = eµ0ϕFLast (2.116)

FSenken = e−µ0ϕFLast (2.117)

Diese Formeln gelten, wenn der Zylinder in Ruhe ist und das Seil sich mit kon-

stanter Geschwindigkeit bewegt, oder wenn das Seil ruht und der Zylinder mit


Abbildung 2.14: Schematische Darstellung der Krafte bei der Seilreibung

[Stephan]

gleichbleibender Geschwindigkeit rotiert. Bei der Seilreibung hangt der Gleitrei-

bungskoeffizient von der Geschwindigkeit des Seils und vom Radius der Rolle ab.

Soll beim Heben einer Last das Seil nicht rutschen, dann muss gelten:

F

F0

≤ eµ0ϕ (2.118)

Z. B. betragt die Haftreibungszahl zwischen einem Lederriemen und Metall ca.

0,6.

2.8.6 Tragheitskrafte in rotierenden Bezugssystemen

Die Kreisbewegung ist keine gleichformige geradlinige Bewegung, sondern eine

beschleunigte. Damit muss eine Kreisbewegung die Folge einer Kraft sein. Die

Beschleunigung macht sich nicht unbedingt in einer Erhohung der Geschwindig-

keit bemerkbar, sondern in einer Andeurng der Richtung.

1Differenzialgleichung


Zentripetal- und Zentrifugalkraft

In einem rotierenden Bezugssystem kann man Ort, Geschwindigkeit und Be-

schleunigung wie folgt ausdrucken:

~r(t) =3∑i=1

ri(t)ei(t) (2.119)

~vR(t) =3∑i=1

ri(t)ei(t) (2.120)

~aR(t) =3∑i=1

ri(t)ei(t) (2.121)

Es ist zu beachten, dass die Einheitsvektoren ei von der Zeit t abhangen. Aus

Sicht eines Inertialsystems ergibt sich somit:

d~r

dt=

∑i

dridtei(t) + ri

d

dtei(t) (2.122)

= ~vR + rid

dtei(t) (2.123)

Fur die Beschleunigung gilt:

d2~r

dt2=

∑i

d2ridt2

ei(t) + 2∑i

dridt

d

dtei(t) + ri

d2

dt2ei(t) (2.124)

= ~aR(t) + 2∑i

dridt

d

dtei(t) +

∑i

rid2

dt2ei(t) (2.125)

Die Einheitsvektoren ei(t) verandern sich im Fall einer konstanten Winkelge-

schwindigkeit wie folgt:

d

dtei(t) = ~ω × ei (2.126)

d2

dt2ei(t) =

d~ω

dt× ei︸︷︷︸

=0

+~ω × d

dtei︸︷︷︸

~ω×ei

(2.127)

= ~ω × (~ω × ei) (2.128)


Damit folgt:

d2~r

dt2=

∑i

d2ridt2

ei(t) + 2∑i

dridt

d

dtei(t)︸︷︷︸~ω×ei

+rid2

dt2ei(t)︸︷︷︸

~ω×(~ω×ei)

(2.129)

= ~aR(t) + 2~ω ×∑i

dridtei(t)︸︷︷︸

=~vR

+~ω × (~ω ×∑i

riei︸︷︷︸=~r

) (2.130)

= ~aR(t) + 2~ω × ~vR + ~ω × (~ω × ~r) (2.131)

~aR ist die Beschleuningung des Korpers der Masse m, die der Beobachter im

rotierenden Bezugssystem wahrnimmt. Dafur gilt:

m~aR = md2~r

dt2︸︷︷︸physik.Kraft

−2m~ω × ~vR︸︷︷︸Coriloiskraft

−m~ω × ( ~ω × ~ )r︸︷︷︸Zentrifugalkraft

(2.132)

Die Zentrigul- und Corioliskraft sind eine Folge der Tragheit. Man bezeichnet

beide Krafte als sog. Scheinkrafte. Aufgrund der Corioliskraft werden Luftmas-

sen, die aufgrund der hohen Temperatur am Aquator aufsteigen, nach Osten

abgelenkt, so dass sich der sog. Jet-Stream ausbildet. Ein weiterer Effekt der Co-

riloiskraft ist, dass sich Wirbel eines Hochdruckgebiets auf der Nordhalbkugel im

Uhrzeigersinn und Wirbel eines Tiefdruckgebiets entgegengesetzt des Uhrzeiger-

sinns drehen.

Ist die Winkelbeschleunigung nicht konstant, so folgt:

d2

dt2ei(t) =

d~ω

dt× ei + ~ω × d

dtei︸︷︷︸

~ω×ei

(2.133)

= ~ω × ei + ~ω × (~ω × ei) (2.134)

Dies fuhrt zu:

m~aR = md2~r

dt2︸︷︷︸physik.Kraft

−2m~ω × ~vR︸︷︷︸Coriloiskraft

−m~ω × ( ~ω × ~ )r︸︷︷︸Zentrifugalkraft

−m~ω × ~r︸︷︷︸AnteilWinkelbeschleunigung

(2.135)


2.8.7 Federkraft - Hookesche Gesetz

Eine Feder ubt aufgrund ihrer Elastizitat eine rucktreibende Kraft Fx aus, die

proportional zu ihrer Auslenkung x ist:

F ∝ −x (2.136)

F = −kx (2.137)

Die Proportionalitatskonstante k heißt Federkonstante. Das Hookesche Gesetz

gilt nur fur kleine Auslenkungen x aus der Ruhelage. Bei großeren Auslenkungen

treten Nichtlinearitaten auf bis die Feder letztendlich bricht. Es gibt verschiedene

Arten von Federn:

• Zugfedern uben bei einer Ausdehnung eine Zugkraft aus

• Druckfedern setzen beim Zusammendrucken eine Druckkrft entgegen

• Torsionsfedern setzen einem außeren Drehmoment ein Gegenmoment ent-

gegen

Auch konnen mehrere Federn verbunden werden. Bei einer Parallelschaltung von

Abbildung 2.15: Linearitat beim Hookeschen Gesetz


Abbildung 2.16: Foto einer Torsions-, Druck- und Zugfeder

Abbildung 2.17: Parallelschaltung zweier Federn [Stoecker2000]

n Federn ergibt sich die resultierende Federkonstante kres zu:

kres = k1 + k2 + k3 + ...+ kn (2.138)

Bei einer Reihenschaltung von n Federn ergibt sich die resultierende Federkon-

stante kres zu:

1

kres=

1

k1

+1

k2

+1

k3

+ ...+1

kn(2.139)

Abbildung 2.18: Reihenschaltung zweier Federn [Stoecker2000]


Abbildung 2.19: Schematische Darstellung zur Drehimpulserhaltung

[Stoecker2000]

2.8.8 Der Drehimpuls

Der Drehimpuls ~L eines Korpers der Masse m ist als das Vektorprodukt aus dem

Ortsvektor ~r und dem Impuls ~p des Korpers definiert:

~L = ~r × ~p (2.140)

|~L| = |~r| · |~p| · sin(α) (2.141)

α beschreibt hierbei den Winkel zwischen dem Ortsvektor ~r und dem Impuls ~p

des Korpers. Bei einer Kreisbewegung steht der Drehimpuls senkrecht auf der

Ebene, in der sich die Masse bewegt, sofern sich der Bezugspunkt des Drehim-

pulses ebenfalls in dieser Ebene befindet.

Wie das in Abbildung 2.19 dargestellte Beispiel zeigt, ist der Drehimpuls ei-

ne Erhaltungsgroße. Ubergibt man einer Person, die ruhig auf einem Drehstuhl

sitzt, ein rotierendes Rad mit einer Ausausrichtung senkrecht zur Drehstuhlachse,

bleibt der Drehstuhl zunachst in Ruhe. Wird die Radachse aufgerichtet, parallel

zur Drehstuhlachse, dreht sich die Person samt Stuhl umgekehrt zur Raddrehung.

Fur ein System aus n Massepunkten folgt fur den Gesamtdrehimpuls:

~L =n∑i=1

mi~ri × ~vi (2.142)

Weitere Beispiele der Drehimpulserhaltung sind Pirouetten beim Eiskunstlauf

oder das Drehen eines Saltos beim Turmspringen.

2.9 Arbeit 39

Abbildung 2.20: Darstellung der Corioliskraft [Stoecker2000]

Die zeitliche Anderung des Drehimpulses ergibt sich zu:

d~L

dt=

d(~r × ~p)dt

=d~r

dt×m~v + ~r × d~p

dt= ~v ×m~v︸︷︷︸

=0

+~r × d~p

dt︸︷︷︸=~F

(2.143)

= ~r × ~F (2.144)

= ~M (2.145)

Somit ist nach Gleichung 2.145 die zeitliche Anderung des Drehimpulses gleich

dem Drehmoment ~M der wirkenen Kraft ~F .

2.9 Arbeit

Der physikalische Arbeitsbegriff entwickelte sich aus dem Studium der Kraftubert-

ragung durch Hebel, Seile und Rollen. Man stellte hierbei fest, dass bei einer ge-

eigneten Ubersetzung Kraft”eingespart“ werden kann. Man muss also einen ge-

wissen Faktor weniger Kraft aufwenden als schließlich auf die zu bewegende Last

wirkt. Allerdings muss man hierfur eine um den gleichen Faktor großere Stre-

cke ~s zurucklegen. Umgekehrt kann man Weg gewinnen, muss dafur aber Kraft

zusetzen. In jedem Fall gibt es eine Große, die bei einer derartigen Kraftubert-

ragung erhalten bleibt. Dies ist das Produkt aus Kraft und Weg, welches als die


physikalische Arbeit W definiert ist (”Goldene Regel der Mechanik“):

W = ~F ·∆~r (2.146)

|W | = |~r| · |~F | cos(α) (2.147)

Aus Gleichung 2.147 wird ersichtlich, dass nur der zur Kraft paralle Anteil des

Weges zur Arbeit beitragt. Eine Kraft verrichtet an einem Korper also keine Ar-

beit, wenn sich dieser senkrecht zur Kraft bewegt. Die Einheit der Arbeit ist

[W ] =1 Nm = 1 Ws = 1 Joule = 1 J.

Andert sich die Kraft langs des Weges oder ist dieser gekrummt, so ist Gleichung

2.147 nicht mehr direkt andwendbar. Man mann ein besseres Resultat erwar-

ten, wenn man den Gesamtweg in mehrere Teile zerlegt, die einigermaßen gerade

sind und auf denen die Anderung der Kraft unwesentlich ist. Auf einem solchem

Wegstuck ∆~r wird dann die Arbeit

∆W = ~F ·∆~r (2.148)

verrichtet. Fur den Gesamtweg addieren sich diese Anteile:

W =∑

~F∆~r (2.149)

Das Verfahren wird umso genauer, je feiner die Unterteilung ist. Der Grenzwert

des Verfahrens entspricht dem sog. Linienintegral entlang der Kurve C:

W =

∫C

~Fd~r (2.150)

W (~r1, ~r1) =

∮C

~F (~r) · d~r = 0 (2.151)

2.10 Kinetische Energie

Wurde an einem Korper die Arbeit W verrichtet, um ihn zu beschleunigen, dann

wurde diese Arbeit aufgewendet, um dem Korper die Bewegungsenergie (kineti-

sche Energie) ∆Ekin hinzu zu fugen. Fur diese gilt:

W = ~F ·∆~r = ~F =

=~F︷︸︸︷m ~a︸︷︷︸

= ∆~v∆t

=∆~r︷︸︸︷1

2~a︸︷︷︸

= ∆~v∆t

(∆t)2 =1

2

(∆v

∆t

)2

∆t2 =1

2m∆~v2 (2.152)

2.11 Potentielle Energie 41

W =1

2m∆~v2 = ∆Ekin (2.153)

Die Eniheit der kinetischen Energie ist [Ekin] = Nm = Ws = J.

2.11 Potentielle Energie

Hebt man einen Korper nahe dem Erdeboden der Masse m um die Hohe h, so

leistet man gegen die Schwerkraft eine Hubarbeit

Wpot = mgh (2.154)

= Epot (2.155)

Diese Arbeit steckt ebenfalls als potentielle Energie Epot in dem Korper und kann

jederzeit in kinetische Energie umgewandelt werden. Streng genommen, musste

man bei der Angabe der potentiellen Energie angeben, auf welchen Startort ~r1

diese normiert ist. Wenn man bei der Ermittlung der Arbeit W (~r1, ~r2) immer vom

gleichen Startort ~r1 ausgeht aber den Zielort variiert, ist W eine Funktion von ~r2

allein. Man nennt sie die potentielle Energie W (~r2) normiert auf den Ort ~r1. Es

gibt also unendlich viele Normierungen der potentiellen Energie.

2.11.1 Fluchtgeschwindigkeit

Soll ein Korper das Schwerefeld der Erde verlassen, so muss er unendlich weit von

der Erde entfernt werden. Dabei startet der Korper auf Hohe des Erdradius R.


Die dafur benotigte Arbeit betragt:

W =

+∞∫R

~FGd~r (2.156)

=

+∞∫R

γmME

~r2d~r (2.157)

= −γmME

~r|+∞R (2.158)

= γmME

R(2.159)

= γmMER

R2(2.160)

= gmR (2.161)

Diese Arbeit entspricht der kinetischen Energie W = Ekin = 12mv2. Man erhalt

uf diese Weise die Geschwinidigkeit, die ein Korper besitzen muss, um das Schwe-

refeld der Erde zu verlassen:

W = Ekin (2.162)

mgR =1

2mv2 (2.163)

v =√

2gR (2.164)

Man erhalt eine sog. Fluchtgeschwindigkeit von v = 11200 m/s. Die Fluchge-

schwindigkeit wird auch als zweite kosmische Geschwindigkeit bezeichnet. Die

erste kosmische Geschwindigkeit ist die Kreisgeschwindigkeit v =√gR = 7, 9

km/s, die ein Korper auf einer Kreisbahn mit dem Erdradius R besitzen muss,

um durch die Zentrifugalkraft die Gravitationskraft ausgleichen zu konnen.

2.12 Der Energiesatz

Die Summe aus kinetischer und potentieller Energie bezeichnet man als mechani-

sche Energie. Die mechanische Energie ist in einem konservativen Kraftfeld kon-

stant. D.h. potentielle Energie kann z.B. beim freien Fall (im Vakuum) vollstandig

in kinetische Energie umgewandelt werden. Es gilt:

Ekin + Epot = const (2.165)

d(Ekin + Epot)

dt= 0 (2.166)

2.13 Leistung 43

2.13 Leistung

Als Leistung P bezeichnet man die geleistete Arbeit oder Energieanderung ∆Ekin

pro Zeiteinheit:

P =W

∆t=

~F∆~r

∆t= ~F · ~v (2.167)

Die Einheit der Leistung ist [P ] = 1 Watt = 1 W.

2.14 Dynamik eines starren Korpers

Ein Korper rotiere um eine Achse. Die einzelnen Punkte des Korpers seien durch

den senkrechten Abstand r′i zur Drehachse gekennzeichnet, nicht mehr durch den

vollstandigen Ortsvektor ~ri. Der bei r′i befindliche Massenteil dmi hat die Ge-

schwindigkeit vi = ωr′i und die kinetische Energie 12dmiv

2i . Die Gesamtenergie des

Korpers ist somit:

Erot =1

2

∑dmiv

2i =

1

2ω2∑

dmir′2i (2.168)

Bei einem kontinuierlichen Korper ersetzt man mi durch ρdV und die Summe

durch ein Integral und integriert uber das ganze Volumen:

Erot =1

2ω2

∫ρr′2dV =

1

2Jω2 (2.169)

Den Ausdruck

J =∑

dmir′2i =

∫r′2ρdV (2.170)

bezeichnet man als Tragheitsmoment des Korpers bezuglich der gewahlten Rota-

tionsachse. Er besagt, dass sich die einzelnen Massenanteile in der Rotation um

so mehr auswirken, je weiter sie von der Drehachse entfernt sind.

Der Steinersche Satz stellt eine Beziehung zwischen dem Massentragheitsmoment

bezuglich einer Achse , die durch den Schwerpunkt des Korpers geht, und einer

beliebigen anderen dazu parallelen Achse her: Wenn man das Tragheitsmoment

JA′ eines Korpers in bezug auf eine durch seinen Schwerpunkt gehende Achse A′

kennt, gilt fur das Trageheitsmoment JA einer dazu parallelen Achse

JA = JA′ +Ma2 (2.171)


, wo bei a der Abstand der beiden Achse ist. Beweis:

JA =∑

mir2i =

∑mi

(r′2i + a2 + 2ar′i

)(2.172)

=∑

mir′2i + a2

∑mi + 2a ·

∑mir

′i︸︷︷︸

=0

(2.173)

Beispiel: Tragheitsmoment eines dunnen Stabes

J =

∫r′2ρdV (2.174)

= ρ ·

l2∫

− l2

A · x2dx (2.175)

=1

12ML2 (2.176)

Objekt Tragheitsmoment J

Massepunkt um eine Drehachse J = mr2

Hohzylinder J = mr2 mit r << d

Vollzylinder J = 12mr2

Hohlzylinder J = mr21+r2

2

2

Massive Kugel J = 25mr2

Kugelschale J = 23mr2 mit r << d

Tabelle 2.2: Ubersicht einiger Tragheitsmomente. Die Drehachse verlauft bei den

angebenen Werten durch den Schwerpunkt

2.15 Der Schwerpunkt

Bei Objekten mit einer raumlichen Ausdehnung wird oft zur Vereinfachung des

Problems der Schwerpunkt des Systems verwendet. Dies ist moglich, da der

Schwerpunkt die gleiche Wirkung auf andere Korper besitzt. Umgekehrt kann

man eine angreifende Kraft, die auf alle Massenpunkte des Korpers wirkt, durch

eine einzige Kraft darstellt werden, die im Schwerpunkt des Schwerpunkt des

Korpers angreift. Fur den Schwerpunt ~rcm eines Systems aus N Massepunkten

2.16 Wirkungsgrad 45

Abbildung 2.21: Schematische Darstellung des Schwerpunkts [Stoecker2000]

folgt:

~rcm =1

M

N∑i=1

mi~ri (2.177)

Hierbei wird M durch die Summation aller Massen berechnet:

M =N∑i=1

mi (2.178)

2.16 Wirkungsgrad

Als Wirkungsgrad η bezeichnet das Verhaltnis der Arbeit, die bei einer Ener-

gieumwandlung abgegeben wird (effektive Leistung) zu der dazu aufgenommenen

Arbeit (Nennleistung). Oft wird der Wirkungsgrad als das Verhaltnis von Aus-

gangslesitung zu Eingangsleistung definiert:

η =PausPein

(2.179)

=Pein − PV erlust

Pein(2.180)

= 1− PV erlustPein

(2.181)

Der Gesamtwirkungsgrad N hintereinander geschalteter Maschinen ergibt sich

durch Multiplikation der Enzelwirkungsgrade:

ηges =N∏i=1

ηi (2.182)


2.17 Stoßprozesse

In der Physik unterscheidet bei Stoßprozessen zwischen einem elastischen Stoß

und einem inelastischen Stoß. Beim elastischen Stoß bleibt die kinetische Energie

erhalten. Dagegen wird beim inelastischen Stoß ein Teil der kinetischen Energie

in innere Energie (Verformungsarbeit, Warme) umgewandelt. Sowohl beim elas-

tischen als auch beim inelastischen Stoß bleibt der Impuls des Systems erhalten.

Fur den zentralen elastischen Stoß gilt somit:

2∑i=1

1

2miv

2i =

2∑i=1

1

2miu

2i (2.183)

2∑i=1

mivi =2∑i=1

miui (2.184)

Fur den zentralen inelastischen Stoß gilt entsprechend:

2∑i=1

1

2miv

2i >

2∑i=1

1

2miu

2i (2.185)

2∑i=1

mivi =2∑i=1

miui (2.186)

vi stellt hierbei die Geschwindigkeit der Stoßpartner vor dem Stoß und ui die

Geschwindigkeit der Stoßpartner nach dem Stoß dar. Findet der Stoß nicht eindi-

mesnional statt, so kann der resultierende Impuls mit seinen sechs Komponenten

nicht eindeutig durch die vier Gleichungen bestimmt werden. Die resultierenden

Impulse liegen auf der sog. Impulskugel.

3 Schwingungen

Wiederholt sich ein Vorgang immer nach einem bestimmten Zeitintervall, so nennt

man diesen Vorgang zeitlich periodisch; wiederholt sich dagegen eine Anordnung

immer nach einem festen Abstand im Raum, so nennt man diese Anordnung

raumlich periodisch. Als Oszillator bezeichnet man einen Korper, der die zu be-

schreibenden Schwingungen ausfuhrt. Als Ruhelage bezeichnet man den Zustand,

in dem sich das System befand, bevor es eine außere Storung erfuhr.

3.1 Harmonische Schwingungen

Kann eine Schwingung, wie z. B. die Schwingung eines Federpendels (siehe Ab-

bildung 3.1), mit Hilfe einer Sinus- bzw. Kosinusfunktion beschrieben werden, so

bezeichnet man die Schwingung als Harmonische Schwingung. Die harmonische

Schwingung lasst sich demnach wie folgt beschreiben:

u(t) = A cos(ωt+ φ) (3.1)

= sin(ωt+ φ+π

2) (3.2)

Abbildung 3.1: Schematische Darstellung einer harmonischen Schwingung

[Stoecker2000]

48 3 Schwingungen

u(t) aus Gleichung 3.1 beschreibt den Zustand des Systems zur Zeit t und wird als

Elongation bezeichnet. Die maximale Elongation A ist die sog. Amplitude. Die

Nullphase φ bestimmt die Elongation zur Zeit t = 0. Durch Gleichung 3.1 wird

eine freie Schwingung beschrieben. D.h. nachdem der Oszillator einmal angeregt

wurde, schwingt das System fur alle Zeiten mit einer konstanten Frequenz.

Zwischen der Winkelgeschwindigkeit bzw. Kreisfrequenz ω und der Umlaufdauer

T bzw. der Frequenz f besteht der bekannte Zusammenhang:

T =1

f(3.3)

ω =2π

T(3.4)

3.2 Das Federpendel

Der erste in Abbildung 3.1 zu sehende Zustand beschreibt die Ruhelage des Sys-

tems. Durch eine außere Kraft, auch Storung genannt, wird die Feder gestaucht,

so dass eine rucktreibende Kraft entsteht, die den Oszillator zur Gleichgewichts-

lage treibt. Fur die rucktreibende Kraft gilt das Hooke’sche Federgestz:

FF = −kx (3.5)

Mit Hilfe des dritten Newton’schen Axoims folgt:

F = FF (3.6)

ma = −kx (3.7)

mx = −kx (3.8)

x(t) = − kmx(t) (3.9)

Man sieht, dass die Losung der Gleichung 3.9 die Funktion x(t) ist, die die Elonga-

tion des Oszillators zur Zeit t beschreibt. Man muss sich die Frage stellen, welche

Funktion x(t) zweimal nach der Zeit abgeleitet wieder die negierte Funktion −x(t)

ergibt. Die Kosinus- und Sinusfunktion erfullen diese Bedingung:

x(t) = A cos(ωt+ φ) (3.10)

x(t) = −Aω sin(ωt+ φ) (3.11)

x(t) = −Aω2 cos(ωt+ φ) (3.12)

3.3 Das Fadenpendel 49

Abbildung 3.2: Energiebilanz bei einem Federpendel [Stoecker2000]

Ein Vergleich mit Gleichung 3.9 liefert:

ω2 =k

m(3.13)

Energie des Systems

Die Energie des Oszillators setzt sich aus seiner kinetsichen und potentiellen Ener-

gie zusammen. Fur diese gilt:

Ekin =1

2mx2 =

1

2mA2ω2 sin2(ωt+ φ) (3.14)

Epot =1

2kx2 =

1

2mA2ω2 cos2(ωt+ φ) (3.15)

Eges = Ekin + Epot =1

2mA2ω2 =

1

2kA2 = const (3.16)

Die Gesamtenergie des Systems ist nach Gleichung 3.16 zeitlich konstant und ist

durch die Amplitude A und die Federkonstante k festgelegt. In Abbildung 3.2

ist sowohl die kinetische als auch die potentielle Energie des Systems zur Zeit t

aufgetragen. Man sieht, dass die Summe stets konstant ist.

3.3 Das Fadenpendel

Bei einem Fadenpendel (siehe Abbildung 3.3) hangt ein Korper im Gravitations-

feld der Erde an einem Faden. Wird der Pendelkorper ausgelenkt und losgelassen,

so fuhrt der Korper eine harmonische Schwingung um seine Ruhelage aus. Fur die

50 3 Schwingungen

Abbildung 3.3: Schematische Darstellung eines Fadenpendels [Stoecker2000]

Auslenkung x des Pendels gilt x = sin(α)l. Fur kleine Winkel kann man sin(α)

durch sin(α) ≈ α annahern, so dass fur die zeitliche Veranderung der Auslenkung

folgt:

x = lα (3.17)

x = lα (3.18)

x = lα (3.19)

Fur die rucktreibende Kraft erhalt man in guter Naherung

F = −mg sin(α) = −mgα (3.20)

so dass folgt:

ma = mlα (3.21)

−mgα = mlα (3.22)

α = −glα (3.23)

Fur diese Differentialgleichung erhalt man eine ahnliche Losung wie beim Feder-

pendel:

x(t) = A cos(ωt+ φ) (3.24)

mit ω =√

gl.

3.4 Das physikalische Pendel 51

3.4 Das physikalische Pendel

Unter einem physikalischen Pendel versteht man einen starren Korper, der unter

der Wirkung der Gravitationskraft um eine feste Achse Schwingungen ausfuhrt.

Diese Achse geht nicht durch den Schwerpunkt und habe den Abstand l vom

Schwerpunkt. Durch die Schwerkraft wirkt das Drehmoment:

~M = ~r × ~F (3.25)

= ~r ×md~v

dt= ~r ×md(~ω × ~r)

dt(3.26)

| ~M | = r ·mrdωdt

= mr2α (3.27)

Fur das Drehmoment und den Drehimpuls um die Drehachse A gilt:

L = JAα (3.28)

M = L = JAα (3.29)

Fur das Drehmoment aus Abbildung 3.4 ergibt sich durch die Kombination aus

dem Hebel sinα · l und der angreifenden Gravitationskraft FG = −mg folgende

Beziehung:

JAα = −mgl sin(α) (3.30)

α = − lmgJA

α (3.31)

Gleichung 3.31 lasst sich analog zum Feder- und Fadenpendel losen, wobei die

Amplitude A durch den maximalen Auslenkwinkel αmax zu ersetzen ist:

α(t) = αmax cos(ωt+ φ) (3.32)

ω =

√mgl

JA(3.33)

T = 2π

√JAmgl

(3.34)

Man erkennt, dass man das Tragheitsmoment JA eines beliebigen starren Korpers

durch die Messung von m, l und T bestimmen kann.

Als reduzierte Pendellange eines physikalischen Pendels bezeichnet man die Fa-

denlange l′, die ein Fadenpendel besitzen musste, um die gleiche Schwigungsdauer

T wie das physikalische Pendel zu besitzen. Man erhalt folgende Bedingugen:

52 3 Schwingungen

Abbildung 3.4: Schematische Darstellung eines physikalischen Pendels

[Stoecker2000]

T 2F

T 2P

=gJAl′mgl

= 1 (3.35)

l′ =JAml

(3.36)

Ist JS das Tragheitsmoment durch den Schwerpunkt so folgt nach dem Satz von

Steiner JA = JS +ml2. Fur die reduzierte ergibt sich dann:

l′ =JSml

+ml (3.37)

3.5 Die Torsionsschwingung

Die Verdrillung eines Korpers fuhrt zu einem Drehmoment M , das proportional

aber entgegengerichtet zum Drehmoment als Ursache der Verdrillung ist. Fur

kleine Torsionswinkel α gilt:

M = −Dα (3.38)

wobei D die Proportionalitatskonstante zwischen M und α darstellt und als Win-

kelrichtgroße D bezeichnet wird. Mit M = JAα ergibt sich:

3.6 Gedampfte Schwingungen 53

Abbildung 3.5: Schematische Darstellung einer Torsionsschwingung

[Stoecker2000]

JAα = −Dα (3.39)

α = −DJAα (3.40)

α(t) = αmax cos(ωt+ φ) (3.41)

ω =

√D

JA(3.42)

Man erkennt, dass die Winkelrichtgroße D durch das Messen des Torsionswinkels

α und des daraus resultierenden Drehmoments M oder durch die Schwingungs-

dauer T und dem Tragheitsmoment JA ermittelt werden kann.

3.6 Gedampfte Schwingungen

Wirkt auf einem Korper nur eine Kraft, die der Auslenkung proportional und

ihrer Richtung entgegengesetzt ist, schwingt der Korper harmonisch. Die Energie

des Systems bleibt dabei erhalten; sie pendelt dabei zwischen kinetischer und po-

tentieller Form hin und her. Doch in Wirklichkeit tritt hierbei immer ein Energie-

verlust durch Reibungskrafte auf. Wie betrachten eine Reibung, die proportional

zur Geschwindigkeit ist, die sog. Stokes-Reibung:

F = mx = −kx− bx (3.43)

54 3 Schwingungen

Hierbei stellt b die sog. Dampfungskonstante mit der Einheit kg/s dar. Eine Um-

formung liefert:

mx+ bx+ kx = 0 (3.44)

Mit dem Losungsansatz x = Aeλt erhalt man:

mλ2Aeλt + bAλeλt + kAeλt = 0 (3.45)

mλ2 + bλ+ k = 0 (3.46)

λ2 +b

mλ+

k

m= 0 (3.47)

Diese quadratische Gleichung hat zwei Losungen:

λ1,2 = − b

2m±√

b2

4m2− k

m(3.48)

Nun mussen drei verschiedene Falle untersucht werden:

Fall 1: Der Radikand (der Ausdruck unter der Wurzel) ist negativ

Mit einer schwachen Dampfung b erhalt man:

b2

4m2− k

m< 0 (3.49)

b < 2√mk (3.50)

Mit

δ =b

2m(3.51)

ω =

√k

m− b2

4m2(3.52)

erhalten wir mit der Wurzel λ1:

x = Ae−δteiωt (3.53)

Mit der Euler-Formel eiϕ = cos(ϕ) + i sin(ϕ) erhalt man fur den Realteil:

x = Ae−δt cos(ωt) (3.54)

Dieser beschreibt den tatsachlichen Vorgang bei dem eine Sinusschwingung einbe-

schrieben zwischen zwei abklingenden e-Funktionen als Einhullende den zeitlichen

Verlauf der Schwingung angibt (siehe Abbildung 3.6). Fur die allgemeine Losung

3.6 Gedampfte Schwingungen 55

Abbildung 3.6: Schematische Darstellung einer schwach gedampften

Schwingung[Stoecker2000]

ist noch die Nullphase zur Zeit t = 0 zu berucksichtigen:

x = Ae−δt cos(ωt+ φ) (3.55)

Fall 2: Der Radikand ist Null

Bei einer mittleren Dampfung verschwindet die Wurzel. Es gilt dann:

b2

4m2− k

m= 0 (3.56)

b = 2√mk (3.57)

Mit dem oben angefuhrten Losungsansatztes sollte man die Losung x = Aeλt

erwarten. Da aber fur eine eindeutige Beschreibung des Schwingungssystems

zwei Integrationskonstanten benotigt werden und der oben beschriebene Losungs-

ansatz nur eine Integrationskonstante liefert, wird eine weitere Ansatzfunktion

x(t) = A2teλt benotigt. Beide Losungen addiert stellt die gesamte Beschreibung

des Oszillators im sog. aperiodischen Grenzfall dar (siehe Abbildung 3.7).

x(t) = A1eδt + A2te

δt (3.58)

Der aperiodische Grenzfall hat fur die Praxis eine besondere Bedeutung, da in die-

sem Fall der Gleichgewichtszustand eines Systems nach einer Storung am schnells-

ten wieder erreicht wird. Die Losungen sind keine Schwingungen im eigentlichen

Sinne, da das System nach der Auslenkung aus der Ruhelage nicht mehr durch

die Ruhelage hindurch geht.

56 3 Schwingungen

Abbildung 3.7: Schematische Darstellung des aperiodischen Grenzfalls

[Stoecker2000]

Fall 3: Der Radikand ist positiv

Bei einer starken Dampfung wird der Radikand positiv und man erhalt:

b2

4m2− k

m> 0 (3.59)

b > 2√mk (3.60)

Man erhalt in diesem sog. Kriechfall die Losung

x = A1e−δ+√δ2−ω2

0t + A2e−δ−√δ2−ω2

0t (3.61)

mit ω0 =√k/m. Auch diese Losung ist, wie in Abbildung 3.8 zu sehen ist, keine

Schwingung im eigebtlichen Sinne mehr. Sie geht nach einer Auslenkung auch

nicht mehr durch die Ruhelage hindurch. Sie kehrt exponentiell zur Ruhelage

zuruck, aber langsamer als im aperiodischen Grenzfall.

3.7 Erzwungene Schwingungen

Betrachtet man ein zu Sinusschwingungen befahigtes System, so wurde es sich

selbst uberlassen, gedampfte Schwingungen mit der Frequenz

ω =

√k

m− b2

4m2(3.62)

3.7 Erzwungene Schwingungen 57

Abbildung 3.8: Schematische Darstellung einer stark gedampften Schwingung

[Stoecker2000]

ausfuhren. Dieses System sei nun einer harmonischen veranderlichen Kraft ausge-

setzt. Dabei ist zu beobachten, dass das System nach einer gewissen Einschwing-

zeit mit der Kreisfrequenz ω des Erregers schwingt und nicht mit der Eigenfre-

quenz ω0 des Oszillators. Es ergibt sich folgende Bewegungsgleichung:

mx+ bx+ kx = F0 sin(ωt) (3.63)

Aus der Beobachtung sieht man, dass nach Ablauf der Einschwingzeit die Auslen-

kung x(t) durch eine harmonische Zeitfunktion mit der Kreisfrequenz ω beschrie-

ben werden kann. Allerdings ist eine Phasenverschiebung φ zwischen Oszillator

und Erreger zu beoachten. Man erhalt folgenden Losungsansatz:

x(t) = A(ω) sin(ωt− φ(ω)) (3.64)

Fur die zeitliche Ableitung der Auslenkung erhalten wir:

x = ωA cos(ωt− φ) = ωA sin(ωt+π

2− φ) (3.65)

x = −ω2A sin(ωt− φ) = ω2A sin(ωt+ π − φ) (3.66)

Man erhalt fur die Auslenkung x(t), die Geschwindigkeit des Oszillators x(t),

die Beschleunigung des Oszillator x(t) und den Erreger selbst die in Tabelle 3.1

zusammengefassten Eigenschaften. Mit den Gleichungen 3.64 bis 3.66 ergibt sich

folgende Bewegungsgleichung:

mω2A sin(ωt+π−φ)+ bAω sin(ωt+π

2−φ)+kA sin(ωt−φ) = F0 sin(ωt) (3.67)

Tragt man die Amplituden der einzelnen Anteile in ein sog. Zeigerdiagramm ein

(Abbildung 3.9), so sieht man beim Vergleich mit Gleichung 3.67, dass die Summe

58 3 Schwingungen

Abbildung 3.9: Zeigerdiagramm: Abhangigkeit der Amplituden bei einer erzwun-

genen Schwingung [Metag2000]

der Zeiger, die den Großen der linken Seite der Gleichung entsprechen, gleich dem

Zeiger auf der rechten Seite der Glecichung sein muss. Man erhalt:

F 20 = (kA−mω2A)2 + (bωA)2 (3.68)

F0 =√

(kA−mω2A)2 + (bωA)2 (3.69)

Mit

ω20 =

k

m(3.70)

β =b

m=

1

τ(3.71)

erhalt man fur die Amplitude

A(ω) =F0

m√(

km− ω2

)2+(bmω)2

(3.72)

A(ω) =F0

m√(ω2

0 − ω2)2

+ (βω)2(3.73)

Große Zeitabhangigkeit Amplitude Phase rel. zu F0

Erreger F (t) = F0 sin(ωt) F0 0

Auslenkung x(t) x(t) = Ak sin(ωt− φ) Ak −φGeschwindigkeit x(t) x(t) = Abω sin(ωt+ π

2− φ) bAω π

2− φ

Beschleunigung x(t) x(t) = mAω2 sin(ωt+ π − φ) mAω2 π − φ

Tabelle 3.1: Ubersicht der Phasenlage bei einer erzwungenen Schwingung

3.7 Erzwungene Schwingungen 59

Fur die Phasenverschiebung φ(ω) folgt:

tan(φ(ω)) =bωA

kA−mω2A=

bmω

km− ω2

=βω

ω20 − ω2

(3.74)

tan(φ(ω)) =βω

ω20 − ω2

(3.75)

Vergleicht man nun die Erregerfrequenz ω mit der Eigenfrequenz ω0, so ergeben

sich drei Falle:

Es sei ω << ω0

Es folgt fur die Amplitude:

A(ω) =Fo/m

ω0

=F0

k(3.76)

Fur die Phasenbeziehung zwischen Oszillator und Erreger folgt:

tan(φ) =βω

ω20 − ω2

=βω

ω20

≈ 0 (3.77)

⇒ φ = 0 (3.78)

Man erhalt also eine angenaherte Losung:

x(t) =F0

k= sin(ωt) (3.79)

Der Oszillator wird quasi ohne Rucksicht auf Reibung und Tragheit der Masse

von der außeren Kraft hin und her gezerrt. Dies lasst sich dadurch erklaren, dass

Abbildung 3.10: Abhangigkeit der Amplitude von ω bei einer Erzwungenen

Schwingung [Metag2000]

60 3 Schwingungen

Abbildung 3.11: Abhangigkeit der Phasen von ω [Metag2000]

die auftretenden Beschelunigungen und Geschwindigkeiten durch die kleine Err-

gegerfrequenz klein sind.

Es sei ω >> ω0

Fur ω →∞ folgt A→ 0.

Fur die Phasenbeziehung zwischen Oszillator und Erreger folgt dann:

tan(φ) =βω

ω20 − ω2

= −βω→ 0 (3.80)

Fur die Phasenverschiebung φ ergibt sich: φ = π.

Es sei ω ≈ ω0

Es ergibt sich eine maximale Amplitude, da der Nenner von Gleichung 3.73 mini-

mal wird. Will man das Maximum von A(ω) bestimmen, so muss man Gleichung

3.73 nach ω ableiten und die Nullstelle der Ableitung bestimmen:

2(ω20 − ω2) · (−2ω) + 2ωβ2 = 0 (3.81)

−ω20 + ω2 +

1

2β2 = 0 (3.82)

ωres = ω0

√1− β2

2ω20

< ω0 (3.83)

Man sieht, dass sich bei einer gedampften Schwingung Resonanzfrequnz ωres und

Eigenfrequnez ω0 unterscheiden. Ist die Dampfung gleich Null und somit β = 0,

ist ωres = ω0. Fur die Amplitude im Resonanzfall gilt annahernd:

A(ω) =F0/m

βω0

(3.84)

3.8 Wellen 61

Das Verhaltnis der Amplitude bei ω = ωres zu der Amplitude bei ω ≈ 0 ist gleich

A(ω ≈ ω0)

A(ω ≈ 0)=

F0

mk

βω0F0

=k

mβω0

= ω0τ = Q (3.85)

Q wird als Gute des Resonators bezeichnet bezeichnet.

Fur die Phasenbeziehung zwichen Oszillator und Erreger folgt:

tan(φ) =βω

ω20 − ω2

=βω

0→∞ (3.86)

Fur die Phasenverschiebung φ erhalt man somit φ = π2.

Beim Resonanzfall folgt also fur die Geschwindigkeit:

x(t) = Aω0 sin(ω0t) (3.87)

Demnach schwingen die außere Kraft und die Geschwindigkeit gleichmaßig, so

dass im Resonanzfall nach P = Fx die maximale Energie pro Zeiteinheit vom

Erreger an den Resonator ubertragen wird. Daher hat der Resonator bei ωres die

maximale Amplitude.

3.8 Wellen

Ene Welle ist eine in Raum und Zeit periodische Ausbreitung eines Schwingungs-

zustandes, bei der der Energietransport ohne gleichzeitigen Massetransport statt-

findet. Man kann sich eine Welle als unendlich viele miteinander gekoppelte Os-

zillatoren vorstellen. Der Schwingungszustand eines Oszillators hangt sowohl vom

Ort als auch von der Zeit ab. Man unterscheidet zwischen sog. Transversal- und

Longitudinalwellen:

• Bei einer Transversalwelle schwingen die Oszillatoren senkrecht zum Aus-

breitungsvektor der Welle

• Bei einer Longitudinalwelle schwingen die Oszillatoren parallel zum Aus-

breitungsvektor der Welle

Zwischen der Wellenlange λ, der Geschwindigkeit c und der Frequenz einer Welle

besteht der wichtige Zusammenhang:

c = λ · f (3.88)

62 3 Schwingungen

Abbildung 3.12: Schwingungsdauer und Wellenlange einer harmonischen Welle

[Stoecker2000]

Abbildung 3.13: Ausbreitung einer Transversalwelle [Stoecker2000]

3.8.1 Die Wellenfunktion einer harmonischen Welle

Betrachtet man ein A-x-Diagramm, so gilt fur die Elongation y des Oszillators

am Ort x:

y(x) = A sin(

2πx

λ

)(3.89)

3.8 Wellen 63

Abbildung 3.14: Schematische Darstellung einer Longitudinalwelle [Stoecker2000]

Dies ist zu vergleichen mit der Auslenkung des Oszillators in Abhangigkeit von der

Zeit t: y(t) = A sin (ωt) = A sin(2π t

T

). Dies Auslenkung y(x) von Gleichung 3.89

breitet sich mit der Geschwindigkeit v aus. Somit erhalt man fur eine Bewegung

in positiver x-Richtung:

y(x, t) = A sin

(2πx− vtλ

)(3.90)

= A sin

(2πx

λ− 2π

vt

λ

)mit k =

2π

λ(3.91)

= A sin (kx− 2πft) (3.92)

= A sin (kx− ωt) Wellengleichung einer harm. Welle (3.93)

k heißt Wellenzahl und hat die Dimension einer inversen Lange. Sie ist das Per-

dant zur Kreisfrequenz ω bei raumlicher Betrachtung.

64 3 Schwingungen

4 Hydrostatik

Gleichen sich alle Krafte aus, einschließlich der Krafte, die von den Gefaßwanden

ausgeubt werden, so bleibt ein Fluid in Ruhe. In diesem Fall spricht man von

der Hydrostatik. Im Gegensatz dazu beschreibt die Hydrodynamik stromende

Flussigkeiten.

4.1 Druck

Als Druck versteht man die Wirkung der Kraft ~F auf eine Flache A:

~p =FNA

(4.1)

FN stellt hierbei die wirkende Normalkraft dar. Die Einheit des Drucks ist [p]= 1

N/m2 = 1 Pa (Pascal) = 10−5 bar. 1 bar ist ungefahr der normale Atmospharen-

druck: 1 atm = 1013 mbar. In der Technik wird manchmal noch mit 1 kp/cm2 =

9, 81 · 104 N/m2 = 1 at (technische Atmosphare) gerechnet.

4.2 Isotroper Druck

In Flussigkeiten sind die Molekule frei verschiebbar. Dies hat zur Folge, dass

Fluide keine Scherkrafte aufnehmen konnen und der Druck zu allen Seiten gleich

wirkt. Man sagt, der Druck ist isotrop1 (siehe Abb. ??).

1unabhangig von der Richtung

66 4 Hydrostatik

Abbildung 4.1: Schematische Darstellung des isotropen Drucks in Flussigkeiten

[Stoecker2000]

4.2.1 Kolbendruck und hydraulische Presse

Auf den Kolben in Abbildung 4.1 mit der Flache A wirkt die Kraft ~F . Somit

herrscht in der Flussigkeit der Druck p = F/A. Vernachlassigt man die Gewichts-

kraft der Flussigkeit ist p uberall gleich groß. In einer hydraulischen Presse, wie sie

in Abbildung 4.2 schematisch dargestellt ist, wirkt daher auf den großen Kolben

die Kraft F2 = pA2 wahrend auf den kleinen Kolben lediglich die Kraft F1 = pA1

ausgeubt werden muss. Somit gilt:

F1

A1

=F2

A2

(4.2)

Die hydraulische Presse spart zwar Kraft, aber keine Arbeit. Fur die entlang des

Weges dx geleistete Arbeit dW gilt i.A. dW = Fdx. Somit gilt fur den kleinen

Kolben dW = F1dx1 = pA1dx1 = pdV . dV ist das Volumen der Flussigkeit,

welches verschoben wurde. Im großen Kolben wird die gleiche Arbeit verrichtet,

so dass hier gilt dW = F2dx2 = pA2dx2 = pdV . Ganz allgemein erfordert eine

Volumenabnahme unter einem konstanten Druck p die Arbeit

dW = −pdV (4.3)

Abbildung 4.2: Schematische Darstellung einer hydraulischen Presse

[Stoecker2000]

4.3 Der Schweredruck 67

Abbildung 4.3: Darstellung des hydrostatischen Paradoxons[Stoecker2000]

4.2.2 Kompressibilitat

Eine Drucksteigerung um dp bewirkt eine Volumenabnahme −dV , die proportio-

nal zum Druck dp und zum Volumen V des Korpers ist:

dV = −κV dp (4.4)

κ = − 1

V

dV

dp(4.5)

Die Kompressibilitat κ hat die Einheit eines reziproken Drucks.

4.3 Der Schweredruck

Eine Flussigkeitssaule der Hohe h ubt und der Querschnittsflache A besitzt eine

Gewichtskraft FG = gm = gρV = gρAh. Sie ubt daher einen Druck

p =F

A= gρh (4.6)

auf ihren Boden aus. Betrachtet man Wasser mit einer Dichte ρ = 103 kg/m3

so herrscht in 10 m Tiefe allein durch die Wassersaule ein Druck von 1 bar. Der

gesamte Druck ergibt sich durch die Addition des Luftdrucks.

Der Bodendruck ist hierbei unabhangig von der Form des Gefaßes (siehe Abbil-

dung ??). Man bezeichnet dies als hydrostatisches Paradoxon.

4.3.1 Manometer

Ein Quecksilbermanometer ist ein Gerat zur Messung von Drucken durch den

Vergleich mit dem Schweredruck einer Quecksilbersaule. Auf der einen Seite des

68 4 Hydrostatik

Abbildung 4.4: Schematische Dartsellung eines Manometers [Stoecker2000]

Abbildung 4.5: Schematische Darstellung der Auftriebskraft [Stoecker2000]

Manometers wirkt der zu messende Druck p und der Schweredruck der Queck-

silbersaule gρh1. Auf der anderen Seite wirkt ein Vergleichsdruck p0 und der

Schweredruck der anderen Flussigkeitssaule gρh2. Im Gleichgewicht gilt

p+ gρh1 = p0 + gρh2 (4.7)

p− p0 = gρ(h2 − h1) (4.8)

Der Hohenunterschied h = h2 − h1 ist also proportional zum Druckunterschied.

Ist der Vergleichsdruck p0 gleich Null, was durch ein Vakuum realisiert werden

kann, so gilt:

p = gρh (4.9)

4.3.2 Auftrieb - Das Prinzipn von Archimedes

Als Auftrieb versteht man eine der Erdanziehung entgegengerichtete Kraft auf alle

Korper, die einer Flussigkeit (oder auch Gas) unter- bzw. eingetauscht sind. Der

4.3 Der Schweredruck 69

Abbildung 4.6: Dichtebestimmung nach Archimedes [Stoecker2000]

Auftrieb ergibt sich aus dem Unterschied zwischem dem Schweredruck p1 auf der

Oberseite des Korpers und dem Schweredruck ~p2 auf der Unterseite des Korpers.

Fur die Auftreibskraft FA gilt unter zur Hilfenahme von Abbildung 4.5:

FA = F2 − F1 (4.10)

= A(p2 − p1) (4.11)

= AρFg(h2 − h1) (4.12)

= ρFV g (4.13)

= mg (4.14)

= FG (4.15)

Man sieht, dass die Auftriebskraft, die ein Korper in einer Fussigkeit oder in

einem Gas erfahrt, gleich der Gewichtskraft des verdrangten Mediums ist. Dies

kann dazu genutzt werden, um die Dichte eines festen Korpers ρK zu bestimmen.

Dazu misst man die Gewichtskraft eines Korper in Luft und einmal wenn er sich

in einer Fussigkeit befindet. Fur die Gewichtskraft in Luft gilt:

FL = ρKVKg (4.16)

Hierbei wurde die Auftriebskraft durch die Luft vernachlassigt. Fur die Gewichts-

kraft in der Flussigkeit gilt:

FFl = ρKVKg − ρFlVKg = (ρK − ρFl)VKg (4.17)

Dividiert man die beiden Gleichungen so erhalt man:

FLFFl

=ρK

ρF − ρFl(4.18)

ρK =ρFl

1− FFl

FL

(4.19)

70 4 Hydrostatik

Eine Dichtebestimmung auf diese Art it nur moglich, wenn der Korper nicht

schwimmt, seine Dichte also großer ist die der verwendeteten Flussigkeit.

5 Hydrodynamik

Jede organisierte Bewegung von nicht-festen Multiteilchensystemen wird als Flie-

ßen bezeichnet und durch die Hydrodynamik beschrieben. Dabei beschreibt sie

den Transport von Materie aufgrund von Druckdifferenzen und außeren Kraften.

5.1 Ideale Stromung

Eine ideale Flussigkeit weist die folgenden Eigenschaften auf:

• die Flussigkeit ist inkompressibel

• es tritt in der Flussigkeit keine innere Reibung (Viskositat) auf

• die Dichte ρ ist konstant

• es bilden sich beim Fließen keine Wirbel aus; man betrachtet also nur la-

minare Stromungen

Gleiches gilt fur ein ideales Gas. Ist die Stromungsgeschwindigkeit bei Gasen

deutlich kleiner als die Schallgeschwindigkeit (ca. ein Drittel), so verhalten sich

auch Gase als praktisch inkompressibel.

5.1.1 Laminare Stromung

Bei einer laminaren Stromung gleiten einzelne Flussigkeitsschichten endlicher Di-

cke mit verschiedenen Geschwindigkeiten ubereinander hinweg, ohne sich stark

zu vermischen. Da sich die Flussigkeit in die gleiche Richtung bewegt, bewe-

gen sich die einzelnen Schichten mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten. Beim

Aufeinandergleiten entstehen so Reibungskrafte, die zu einer gleichmaßigen Ver-

ringerung der Geschwindigkeit quer zum Stromungsprofil fuhren. Der Geschwin-

72 5 Hydrodynamik

Abbildung 5.1: Geschwindigkeitsprofil bei einer laminaren Stromung zwischen

zwei gegeneinander bewegten Platten [Stoecker2000]

Abbildung 5.2: Darstellung der Kontinuitat von Flussigkeiten [Stoecker2000]

digkeitsgradient dv/dx beschreibt den Unterschied der Geschwindigkeiten zweier

benachbarter Schichten bezogen auf die Dicke einer Schicht.

5.2 Kontinuitatsgleichung

Durchstromt eine Flussigkeit bzw. ein Gas ein Rohr mit unterschiedlichen Quer-

schnittsflachen, dann ist das transportierte Volumen in einem bestimmten Zeit-

intervall ∆t konstant. Es gilt:

V1 = A1d1 = A1v1∆t = A2v2∆t = V2 = const (5.1)

Aus Gleichung 5.1 erhalt man die sog. Kontinuitatsgleichung:

A1v1 = A2v2 (5.2)

Sie druckt indirekt die Erhaltung der Masse aus. Das Produkt aus der Quer-

5.3 Bernoulli-Gleichung 73

Abbildung 5.3: Abbildung zum Verstandnis der Bernoulli-Gleichung

[Stoecker2000]

schnittsflache A und der Fließgeschwindigkeit v wird als Fluß φ bezeichnet. Fur

den Fluß φ gilt also:

φ = A · v = const (5.3)

5.3 Die Bernoulli-Gleichung

Das Gesetz von Bernoulli stellt einen Zusammenhang zwischen dem Querschnitt

eines Rohrs und dem in ihm herrschenden Druck her. Dabei unterscheidet man

zwischen dem

• statistischen Druck, der sowohl senkrecht als auch in Stromungsrichtung

gleichmaßig wirkt,

• dem Schweredruck

• und dem dynamischen Druck, der aufgrund der Stromung zusatzlich wirkt

und von der Stromungsgeschwindigkeit abhangt

Die Anderung der kinetischen Energie

∆E =1

2mv2

2 −1

2mv2

1 =1

2m(v2

2 − v21

)=

1

2ρAv∆t︸︷︷︸

=m

(v2

2 − v21

)(5.4)

74 5 Hydrodynamik

ist gleich der Summe aus der Anderung der potentiellen Energie und der Arbeit,

die notig ist, um das Volumen ∆V in der Zeit ∆t bei einer Druckdifferenz ∆p =

p1 − p2 durch das Rohr zu pressen. Dabei gilt fur die Anderung der potentiellen

Energie

∆Epot = mg∆h = ρAv∆t︸︷︷︸=m

g (h1 − h2) (5.5)

und fur die geleistete Arbeit

W = (p1 − p2) ∆V = (p1 − p2) · v · A︸︷︷︸=const

∆t (5.6)

Es gilt also

Ekin = Epot +W (5.7)

1

2ρAv∆t

(v2

2 − v21

)= ρAv∆tg (h1 − h2) + (p1 − p2) vA∆t (5.8)

p1 +1

2ρv2

1 + ρgh1 = p2 +1

2ρv2

2 + ρgh2 (5.9)

Daraus ergibt sich die Gleichung von Bernoulli:

p+1

2ρv2 + ρgh = const (5.10)

Betrachten wir nun einige Spezaialfalle der Bernoulli-Glechung:

5.3.1 Flussigkeit in Ruhe

Befindet sich die Flussigkeit in Ruhe, so ist die Geschwindigkeit v = 0. Es gilt

somit

p+ ρgh = const Pascal’s Gesetz (5.11)

5.3.2 Horizontal fließende Flussigkeit

Fließt eine Flussigkeit horizontal durch ein Rohr mit unterschiedlichen Quer-

schnitten, so ergibt sich fur p2 folgendes:

p2 = p1 +1

2ρ(v2

1 − v22

)= p1 +

1

2ρv2

1

(1− A2

1

A22

)(5.12)

Ist A1 > A2 so folgt P2 < P1. Dieses Prinzip findet in einem Drosselgerat, dem sog.

5.3 Bernoulli-Gleichung 75

Abbildung 5.4: Schematische Darstellung eines Ventur-Rohrs [Stoecker2000]

Venturi-Rohr, Anwendung. Mit Hilfe des in Abbildung 5.4 abgebildeten Gerats

kann der Volumenstrom bzw. der Fluß φ bestimmt werden: Mit ∆p = p1 − P2

folgt fur den Volumenstrom:

φ = A1 · v1 = A1 ·√√√√√ 2∆p

ρ

((A1

A2

)2

− 1

) (5.13)

Bei realen Stromungen muss die Reibung berucksichtigt werden. In der Praxis

erfolgt dies durch Korrekturfaktoren, die uber Eichmessungen ermittelt werden.

5.3.3 Saugeffekte

Aufgrund der Gleichung von Bernuolli ist der statische Druck in einer Stromung

kleiner als der statische Druck in der Umgebung. Dies fuhrt zu Saugeffekten bei

Stromungen.

Wasserstrahlpumpe

Die mit hoher Geschwindigkeit durch eine Duse ausstromende Flussigkeit fuhrt zu

einem verminderten statischen Druck, wodurch das Ansaugen eines Gases bewirkt

wird.

Hydrodynamisches Paradoxon

Eine ausstromendes Medium kann eine direkt auf die Ausstromoffnung gesetz-

te Platte ansaugen. Dies geschieht dann, wenn die Ausstromgeschwindigkeit so

76 5 Hydrodynamik

Abbildung 5.5: Schematische Darstellung einer Wasserstrahlpumpe

[Stoecker2000]

groß ist, dass der außere Druck großer wird als der verbleibende statische Druck

der zwischen Austrittsrohr und Platte stromenden Flussigkeit. Aufgrund dieser

Tatsache ziehen sich zwei dicht nebeneinander fahrende Autos an.

5.4 Torricellisches Ausflussgesetz

Es soll nun die Ausflussgeschwindigkeit v einer Flussigkeit aus einem kleinen Loch

im Mantel eines Gefaßes untersucht werden. Dazu vergleicht man ein Flussigkeits-

volumen an einem beliebigen Punkt im Gefaß mit einem an der Austrittsoffnung.

Es gilt:

ρgh1 + p0 = ρgh2 +ρ

2v2 + p0 (5.14)

Hierbei stellt p0 den Atmospharendruck dar. Die Geschwindigkeit des Flussig-

keitsvolumen auf der Hohe h1 sei fast Null. Formt man Gleichung 5.14 um, so

erhalt man mit h = h1 − h2 fur die Ausflussgeschwindigkeit:

v =√

2gh (5.15)

Fur die Entfernung L zwischen Gefaß und Auftreffpunkt des Strahls gilt unter

Berucksichttigung des Prinzips des waagrechten Wurfs L = 2√h · h2. Durch eine

analoge Vorgehensweise findet man die Ausstromgeschwindigkeit aus einem Rohr,

indem ein Uberdruck p = pr − p0 gegenuber dem Außenraum herrscht. Es gilt

dann fur die Austromgeschwindigkeit:

v =

√2p

ρ(5.16)

5.5 Auftrieb 77

Abbildung 5.6: Schematische Darstellung zum Ausflussgesetz von Torricelli

[Stoecker2000]

5.5 Auftrieb

Ist ein Korper so geformt, dass die Umstromungsgeschwindigkeit auf der Oberseite

großer ist als auf der Unterseite, so erfahrt der Korper durch den entstehenden

Druckunterschied eine Auftriebskraft. Fur die Auftriebskraft gilt:

FA = cAρ

2Av2 (5.17)

Die von der Ausrichtung des Flugels abhangige Proportionalitatskonstante cA

wird als Auftriebsbeiwert bezeichnet und ist dimensionslos.

Abbildung 5.7: Darstellung der Auftriebskraft bei einem Flugel [Stoecker2000]

5.6 Innere Reibung

Befindet sich zwischen einer festen Wand und einer bewegten Platte eine dunne

Flussigkeitsschicht der Dicke x, so wird eine Kraft F benotigt, um die Platte mit

78 5 Hydrodynamik

der Flache A mit konstanter Geschwindigkeit v zu verschieben:

F = ηAv

x(5.18)

Hierbei beschreibt η die sog. dynamische Viskositat der Flussigkeit. Je großer die

Viskositat oder Zahigkeit einer Flussigkeit ist, desto mehr Kraft ist notig, um

die Schichten gegeneinander zu bewegen. Die Viskositat einer Flussigkeit nimmt

steigender Temperatur stark ab. Die Einheit der Viskositat ist [η]=N s −2m.

In dem Spalt zwischen den ebenen Platten andert sich die Stroumungsgeschwin-

digkeit linear mit der Koordinate x. Im Allgemeinen ist dieser Zusammenhang

nicht linear und man muss Gleichung 5.18 auf eine sehr dunne Schicht dx anwen-

den. Man erhalt das sog. Newtonsche Reibungsgesetz:

F = ηAdv

dx(5.19)

Das Verhaltnis aus dynamischer Viskositat η und der Dichte ρ der Flussigkeit

wird als kinematische Viskositat ν bezeichnet:

ν =η

ρ(5.20)

5.6.1 Laminare Rohrstromung - Gesetz von Hagen-Poiseuille

In einem Rohr haftet die Flussigkeit an seiner Innenseite und stromt in dessen

Mitte am schnellsten. Betrachtet man hierzu ein koaxiales Rohr mit dem Radius

r und der Lange l, so ergibt sich die folgende Reibungskraft:

FR = ηAdv

dr= η2πrl

dv

dr(5.21)

Im stationaren Fall ist diese Reibungskraft gleich der Druckkraft

Fp = Ap = πr2(p1 − p2), so dass folgt:

dv

dr=p1 − p2

2ηlr (5.22)

Die Integration

v∫0

dv =p1 − p2

2ηl

R∫r

rdr (5.23)

v(r) = v0 −p1 − P2

4ηlr2 (5.24)

5.7 Turbulente Stromungen 79

mit v0 = p1−p2

4ηlR2.

Durch den Hohlzylinder zwischen r und r + dr fließt der Volumenstrom

V =

R∫0

2πrv(r)dr =π(p1 − p2)

8ηlR4 (5.25)

Gleichung 5.25 ist als Gesetz von Hagen-Poiseuille bekannt und besagt, dass bei

einem gleichen Druckgefalle der Volumenstrom durch ein Rohr mit doppelten

Radius 16mal großer ist.

5.7 Turbulente Stromungen

Von einer turbulenten Stromung spricht man, wenn Verwirbelungen der Flussig-

keit auftreten. Diese Verwirbelugen treten aufgrund von Reibung auf. Beim Um-

stromen einer Kugel ist der Druck dort am großten, wo die Oberflache senkrecht

zur Stromung steht, wahrend der Druck dort am kleinsten ist, wo die Kugelober-

flache parallel zur Stromung ist. Fur die Geschwindigkeit der Flussigkeitsteilchen

gilt dies entsprechend umgekehrt. Flussigkeitsteilchen, die an der Kugel vorbei-

stromen, werden zunachst abgebremst, wodurch ein Staudruck entsteht. Sie wer-

den dann nach dem Prinzip von Bernoulli beschleunigt und zur Eingliederung in

die normale Stromung abgebremst. Durch die Reibung erhoht sich die Abbrem-

sung, so dass die Teilchen noch vor der Eingliederung zur Ruhe kommen und ihre

Richtung umkehren. Es entstehen Verwirbelungen, die aufgrund der Drehimpul-

serhaltung paarweise mit entgegengesetzten Drehsinn auftreten.

Durch die reibung wird Energie verbraucht, die der Stromung der Flussigkeit

durch eine zusatzliche Reibungskratf entzogen wird. Die Reibungskraft ist bei

einer turbulenten Stromung großer als bei einer laminaren Stromung.

5.7.1 Widerstandskraft

Die Widerstandskraft FW setzt sich aus der Reibungswiderstandskraft FR, die

bei laminarer Stromung zwischen Korperoberflache und Flussigkeit entsteht und

der Druckwiderstandskraft FD zusammen. Die Druckwiderstandskraft entsteht

durch die Wirbelbildung auf der Ruckseite des Korpers. In den Wirbeln ist die

80 5 Hydrodynamik

Geschwindigkeit der Teilchen sehr schnell, so dass der statische Druck dort gerin-

ger als auf der Vorderseite ist. Es gilt:

FW = FR + FD =1

2ρcwAv

2 (5.26)

wobei die Kosntante cw den Widerstandsbeiwert angibt. Dieser hangt von der

Form des Korpers ab.

Die Leistung P eines Korpers ergibt sich damit zu P = Fv = 12ρcwAv

3. Bei einer

Verdopplung der Geschwindigkeit muss die Leistung um den Faktor 8 steigen.

5.8 Ahnlichkeitsgesetze

Ahnlichkeitsgesetze stellen eine Beziehung zwischen den stromungsmechanischen

Eigenschaften von verkleinerten bzw. vergroßerten Modellen zu deren Originalen

her. Dabei muss das Modell eine geometrische Ahnlichkeit besitzen, so dass die

geometrischen Abmessungen und die Oberflachenbeschaffenheit eine verkleinerte

Darstellung des Originals abgeben.

Zudem muss durch eine geeignte Wahl der Dichte, der Viskositat, Geschwindigkeit

der Flussigkeit und Widerstandskraft im Modellversuch eine sog. hydrodynami-

sche Ahnlichkeit geschaffen werden. Die Reynoldszahl Re beschreibt die hydro-

dynamische Ahnlichkeit:

Re =Lρv

η=Lv

ν(5.27)

Die Widerstandswerte zweier geometrisch ahnlicher Korper stimmen uberein,

wenn die Reynoldszahlen identisch sind. Verkleinert man ein Modell, so muss

entsprechend die Geschwindigkeit v erhoht oder die kinematischen Viskositat ν

verringert werden.

5.8.1 Kritische Reynoldszahl

Die kritische Reynoldszahl stellt ein Kriterium fur den Ubergang von einer lami-

naren zu einer turbolenten Stromung dar. Uberschreitet die Reynoldszahl einen

bestimmten Wert Rekrit, so wird die Stromung turbolent. In einer glatten Rohre

liegt Rekrit bei ca. 2000. Da aufgrund der Reibung die Stromungsgeschwindigkeit

auf einer Oberflache klein ist, bildet sich auf dem Korper eine laminare Grenz-

schicht aus. Erst uberhalb dieser Grenzschicht kommt es zu Verwirbelungen.

5.8 Ahnlichkeitsgesetze 81

Abbildung 5.8: Schematische Darstellung einer laminaren Grenzschicht

82 5 Hydrodynamik

6 Warmelehre

Die Warmelehre ist eine phanomenologische Theorie von Materie. Sie stellt die

Beschreibung einer ungeordneten Molekulbewegung dar.

6.1 Temperatur

Warmeenergie ist die kinetische Energie einer ungeordneten Molekulbewegung.

Dabei haben keineswegs alle Teilchen die gleiche Energie. Dennoch ist ihre mitt-

lere Energie W fur alle Teilchen unabhangig von ihrer Masse gleich. Aus dieser

mittleren Energie

W = 12mv2 (6.1)

folgt, dass schwere Teilchen langsamer fliegen als leichte. Hierbei ist v die qua-

dratisch gemittelte Geschwindigkeit der N Molekule:

v2 =

√v2

1 + v22 + v2

3 + ...+ v2N

N(6.2)

Die Temperatur ist dabei nur ein anderes Maß fur die mittlere kinetische Ener-

gie der Molekule und ist daher ebenfalls eine skalare Große. Berucksichtigt man

zunachst nur die Translationsenergie, so gilt:

W = 12mv2 = 3

2kT (6.3)

Die Boltzmann-Konstante k hat den Wert 1, 381 · 10−23 JK

. Wurde man die Tem-

peratur direkt in Joule messen, konnte man auf die Boltzmann-Konstante ver-

zichten. Dies wurde aber zu einer sehr unhandlichen Große (1023) fuhren. Zudem

wird die Sonderstellung der Warmeerscheinung durch die besondere Grundeinheit

Kelvin entsprechend hervorgehoben.

Aus Gleichung 6.3 folgt, dass es einen absoluten Nullpunkt gibt, der nicht un-

terschritten werden kann. Bei dieser Temperatur sind die Molekule in volliger

84 6 Warmelehre

Ruhe. Von hier aus zahlt man die absolute Temperatur, die auch als Kelvin-Skala

bezeichnet wird. Ihre Einheit 1 K hat die gleiche Große wie ein 1 ◦C, das 1100

des

Abstandes zwischen dem Gefrier- und Siedepunkt des Wassers unter 1 atm (=

1,013 bar).

Da die Temperatur eine skalare Große ist, besitzt sie keine Richtung. Hangt die

Temperatur vom Ort ab, spricht man von einem Temperaturfeld T (~x) . Hangt

die Temperatur nur vom Ort ab und nicht von der Zeit, so spricht man von einem

stationaren Temperaturfeld, andernfalls von einem instationaren Feld T (~x, t).

Der Temperaturgradient ist ein Vektor, der in Richtung des großten Temperatur-

anstiegs zeigt. Fur den Temperaturgradienten gilt:

gradT (~x) = ∇T (~x) =

∂T∂x∂T∂y∂T∂z

(6.4)

Der Operator ∇ wird als Nabla-Operator bezeichnet.

6.1.1 Thermometer

Zur Temperaturmessung sind alle Großen geeignet, die in reproduzierbarer Weise

von der Temperatur abhangen. Eine Messung der Molekulgeschwindigkeit ware

die direkteste Weise. Weit aus einfacher ist die Messung der Langenausdehnung

als Folge einer Temperaturerhohung. Dies ist moglich, da die Lange l(T ) eines

Korpers linear von der Temperatur T des Korpers abhangt:

l(T ) = l0(1 + αT ) (6.5)

α ist hierbei der lineare Ausdehnungskoeffizient mit der Einheit K−1. Eisen hat

z.B. einen linearen Ausdehnungskoeffizienten von 12 · 10−6 K−1.

Betrachtet man die Volumenanderung eines Korpers mit dem Volumen

V (T ) = l(T )3 (6.6)

= l30(1 + αT )3 (6.7)

≈ l30(1 + 3αT ) (6.8)

= V0(1 + γT ) (6.9)

γ ist hierbei der sog.Raumausdehnungskoeffizient und es gilt γ = 3α. Quecksilber

besitzt z.B. einen Raumausdehnungskoeffizienten von γ = 181 · 10−6 K−1.

6.1 Temperatur 85

Abbildung 6.1: Schematische Darstellung der Rotation eines zweiatomigen Mo-

lekuls [Tipler2009]

Neben Ausdehnungsthermometern finden auch haufig Widerstands- und Strah-

lungsthermoter Anwendung.

6.1.2 Freiheitsgrade

Molekule konnen nicht nur Translationsenergie besitzen, sondern auch Rotations-

und Schwingungsenergie. Jede solche unabhangige Bewegungsmoglichkeit nennt

man Freiheitsgrad. Die Translation besitzt demnach fur jede der drei Bewegungs-

richtungen einen Freiheitsgrad. Ein Vergleich mit Gleichung 6.3 zeigt, dass auf

jeden Freiheitsgrad die Energie

WFG = 12kT (6.10)

entfallt.

Auch die Rotation besitzt im Allgemeinen drei Freiheitsgrade. Ein zweiatomiges

Molekul, wie z.B. Sauerstoff, besitzt nur zwei Freiheitsgarde der Rotation. Die

Drehung um die z′-Achse in Abbildung 6.1 besitzt bei der Rotation eines zweiato-

migen Molekuls aufgrund des kleinen Tragheitsmoments keine Energie. Allgemein

entfallt auf ein Molekul mit f Freiheitsgraden die mittlere Gesamtenergie

W = f2kT (6.11)

86 6 Warmelehre

6.2 Warme und Warmeleitung

Warme ist Energie, die an einer diathermen1, warmedurchlassigen Grenze zwi-

schen Systemen verschiedener Temperaturen auftritt und allein durch den Tem-

peraturunterschied ∆T = T2 − T1 ohne Arbeitsleistung zwischen den Syste-

men ubertragen wird. Die Warme Q wird dadurch ubertragen, dass in der Zeit

∆t = t2 − t1 ein Warmestrom Q mit [Q] =W fließt: Warme ist Energie, die an

einer diathermen2, warmedurchlassigen Grenze zwischen Systemen verschiedener

Temperaturen auftritt und allein durch den Temperaturunterschied ∆T = T2−T1

ohne Arbeitsleistung zwischen den Systemen ubertragen wird. Die Warme Q wird

dadurch ubertragen, dass in der Zeit ∆t = t2−t1 ein Warmestrom Q mit [Q] =W

fließt:

Q =

∫ t2

t1

Q(t)dtQ=const︷︸︸︷

= Q · (t2 − t1) (6.12)

Generell unterscheidet man zwischen stoffgebundenen (Leitung und Kobvektion)

und nicht stoffgebundenen Warmetransport (Strahlung).

6.2.1 Warmeleitung

Nach dem empirischen Fourier-Gesetz hangt die Warmestromdichte ~q linear vom

negativen Temperaturgradienten −~∇T ab:

~q = −λ~∇T (6.13)

Hierbei bezeichnet der Materialkoeffizient λ mit [λ] =W/m K die spezifische

Warmeleitfahigkeit . Der durch einen homogenen, quaderformigen Korper fließen-

de Warmestrom Q ist der Querschnittsflache A und dem Temperaturunterschied

∆T = T2 − T1 proportional sowie antiproportional zu dessen Dicke d:

Q = λA

d∆T (6.14)

Dies ist zur Illustration in Abbildung 6.2 schematisch dargestellt. Hierbei besteht

zwischen dem Warmestrom Q und der Warmestromdichte q folgender Zusam-

menhang:

q =dQ

dA⊥(6.15)

1Eine diatherme Grenze ist fur Warme durchlassig, lasst aber kein Gas hindurch2Eine diatherme Grenze ist fur Warme durchlassig, lasst aber kein Gas hindurch

6.2 Warme und Warmeleitung 87

Abbildung 6.2: Schematische Darstellung der Warmeleitung

Elektrische Analogie

Analog zum elektrischen Widerstand Rel = lσ·A kann der thermische Widerstand

Rth eines Korpers wie folgt definiert werden:

Rth =d

λ · A(6.16)

Bei dieser Analogiebetrachtung entspricht die Lange l des elektrischen Leiters der

Dicke d des warmedurchflossenen Korpers, sowie die elektrische Leitfahigkeit σ

der thermischen Leitfahigkeit λ.

Vergleicht man den Temperaturunterschied ∆T mit der elektrischen Spannung U

und den Warmestrom Q mit dem elektrischen Strom I (Ladungsmenge pro Zeitin-

tervall), so besteht die Moglichkeit, thermische Netzwerke analog zu elektrischen

Netzwerken zu berechnen, wobei die Regeln fur Reihen- und Parallelschaltung

von Widerstanden sowie die Kirchhoff-Gesetze analog anwendbar sind.

Bei einer thermischen Reihenschaltung fließt durch alle Widerstande Rth,i (i =

1, 2, 3, .., n) derselbe Warmestrom Q:

Q =T1 − T2

Rth,1

=T2 − T3

Rth,2

= ... =Tn−1 − TnRth,n

=T1 − TnRth,ges

(6.17)

Der thermische Gesamtwiderstand Rth,ges ergibt sich durch Addition der einzelnen

thermischen Widerstande Rth,i. In Analogie zu den elektrischen Gesetzmaßigkei-

88 6 Warmelehre

Abbildung 6.3: Darstellung einer thermischen Reihenschaltung [Halliday2003]

ten ist es zweckmaßig den reziproken Wert des thermischen Widerstandes Rth als

Warmeleitwert Lth zu definieren:

Lth =1

Rth

=λ · Ad

(6.18)

Somit kann der thermische Warmeleitwert Lth als Proportionalitatskonstante fur

den Warmetransport bei einer gegebenen Temperaturdifferenz ∆T aufgefasst wer-

den:

Q = Lth ·∆T (6.19)

Bei einer Parallelschaltung von thermischen Widerstanden addieren sich die Warme-

leitwerte Lth,i der einzelnen thermischen Widerstande Rth,i:

Lth,ges =n∑i=1

Lth,i bzw.1

Rth,ges

=n∑i=1

1

Rth,i

(6.20)

Hierbei tritt bei jedem thermischen Widerstand der gleiche Temperaturabfall auf:

∆T = Qi ·Rth,i = ... = Qges ·Rth,ges (6.21)

Die Summe der durch jeden einzelnen thermischen Widerstand Rth,i fließenden

Warmestrome Qi ergibt den Gesamtwarmestrom Qges:

Qges =n∑i=1

Qi =T1 − T2

Rth,ges

(6.22)

6.2 Warme und Warmeleitung 89

Sind aneinandergrenzende Bauteile nicht ideal miteinander verbunden, so sind

thermische Kontaktwiderstande zu berucksichtigen. Durch eine gegebene Ober-

flachenrauigkeit entstehen kleine Luftzwischenraume, die den Warmestrom be-

hindern. An der Kontaktstelle tritt so ein endlicher Temperaturabfall ∆T◦ auf,

der einen thermischen Kontaktwiderstand

Rth,c =∆T◦

Q(6.23)

zur Folge hat. Dieser Widerstand hangt u. a. von der Oberflachengute, dem Spalt-

medium (Wasser, Luft, Warmeleitpaste etc.) und dem Anpressdruck ab. In der

Praxis treten Werte zwischen 2 · 10−6 und 2 · 10−3 KW

auf.

6.2.2 Warmedurchlasskoeffizient

Der Warmedurchgangskoeffizient Λ wird haufig auch als Warmedammwert, U-

Wert oder fruher als k-Wert bezeichnet. Er ist ein Maß fur den Warmestrom-

durchgang durch eine ein- oder mehrlagige Materialschicht, wenn auf beiden Sei-

ten verschiedene Temperaturen anliegen. Dabei gibt er die Energie pro Zeiteinheit

an, die durch eine Flache A fließt, wenn sich die beidseitig anliegenden Lufttem-

peraturen stationar um ∆T = T2 − T1 unterscheiden. Es gilt:

Λ =λ

d(6.24)

Bauteil Dicke in cm U-Wert in W/(m2K)

Außenwand aus Beton 25 3,3

Außenwand aus Mauerziegl 40 0,8

Außenwand aus Porenbeton 40 0,2

Holzstanderbauweise 25 0,15 - 0,2

Einfachfenster 0,4 6

Warmeschutzverglasung 1,3

Passivhausfenster 0,5 - 0,8

Tabelle 6.1: Warmedurchgangskoeffizient verschiedener Baustoffe

90 6 Warmelehre

6.2.3 Konvektion

Konvektion wird auch als Warmemitfuhrung in einem stromenden Fluid oder Gas

aufgrund einer makroskopischen Teilchenbewegung bezeichnet. Dabei unterschei-

det man zwischen erzwungener Konvektion (Einsatz von Ventilatoren) und freier

(naturliche) Konvektion. Hierbei ist der Warmestrom proportional zur ubetrage-

nen Flache A und zum Temperaturunterschied ∆T zwischen Flache und Fluid:

Q = αKA ·∆T (6.25)

Der Warmeubertragungskoeffizient αK mit [αK ] = W/(m2K) hangt von vie-

len Parametern ab und kann nur mit großem Aufwand berechnet werden. In

der Praxis bedient sich daher oft der Ahnlichkeitstheorie (vgl. Reynoldszahl).

Der Warmetransportwiderstand αK betragt bei siedenden Wasser 2000 - 25000

Freie Konvektion αK in W/(m2K) Erzw. Konvektion αK in W/(m2K)

Gase 3 - 20 Gase 10 - 100

Wasser 100 - 600 Wasser 500 -10000

Tabelle 6.2: Warmetransportwiderstand bei Wasser und Gasen

W/(m2K), bei kondensierenden Wasser 5000 - 100000 αK W/(m2K).

6.2.4 Warmestrahlung

Warmestrahlung stellt einen nicht-stoffgebundenen Energiestransport durch elek-

tromagnetische Strahlung dar. Warmestrahlung kann somit auch im Vakuum er-

folgen. Die langwellige Warmestrahlung ist fur das menschliche Auge nicht sicht-

bar und kann mittels Thermografie sichtbar gemacht werden. Dabei findet die

thermische Strahlung zwischen zwei Korperoberflachen statt, wobei die beiden

Oberflachen nach dem Sender-und-Empfanger-Prinzip Strahlung emittieren und

absorbieren. Das Stefan-Boltzmann-Gesetz beschreibt den hierbei auftretenden

Nettowarmestrom:

Q = σ · A(T 4

1 − T 42

)(6.26)

Die Stefan-Boltzmann-Konstante σ hat den Wert 5, 67 · 10−8 W/(m2K4). Es ist

zu betonen, dass die Temperatur in der vierten Potenz in das Strahlungsgesetz

eingeht.

6.3 Warmeleitungsgleichung 91

6.3 Warmeleitungsgleichung

Betrachtet man die Temperaturverteilung eines Festkorpers, so liegt im Allgemei-

nen ein mehrdimensionales und zeitabhangiges Temperaturfeld T (~x, t) vor. Aus

der Energiebilanz eines infinitesimalen Volumens lasst sich die allgemeine Fouri-

er’sche Warmeleitungsdifferenzialgleichung herleiten. Diese beschreibt den insta-

tionaren Warmetransport in einem homogenen Festkorper mit inneren Warme-

quellen. Sie lautet fur konstante Stoffwerte λ, ρ, und cp:

∂T

∂t= D ·

(∂2T

∂x2+∂2T

∂y2+∂2T

∂z2

)+

Eqρ · cp

(6.27)

Der Koeffizient

D =λ

ρ · cp(6.28)

wird als Tempearturleitfahigkeit bzw. als thermische Diffusivitat bezeichnet, bei

der ρ die Massendichte und cp die isobare Warmekapazitat darstellen. Es ist

moglich, mit Hilfe der Laser-Flash-Methode die thermische Diffusivitat D und

somit die Warmeleitfahigkeit λ zu bestimmen. Die volumenbezogene Dichte der

inneren Warmequellen Eq resultiert ggf. aus Ohm’schen Verlusten, der Rekombi-

nationswarme bei Halbleitern und dem Peltier-Effekt.

Handelt es sich um eine stationare Warmeleitung (∂T∂t

= 0) ohne Warmequellen

(Eq = 0) gilt die sog. Laplace’sche Differenzialgleichung:

∇2T = ∆T = 0 (6.29)

6.4 Warmekapazitat

Um einen Korper von der Temperatur T1 auf die Temperatur T2 zu erwarmen,

muss man ihm Energie zufuhren. Wie viel, folgt direkt aus Gleichung 6.11, wenn

man weiß, wie viele Molekule der Korper enthalt. Ein homogener Korper der

Masse M enthalt M/m Molekule der Masse m. Um jedes dieser Molekule von T1

auf T2 zu erwarmen, benotigt man die Energie

∆W = 12fk(T2 − T1) (6.30)

Insgesamt benotigt man also die Energie

∆W =M

m

f

2k∆T (6.31)

92 6 Warmelehre

Das Verhaltnis

C =∆W

∆T=M

m

f

2k (6.32)

bezeichnet man als die Warmekapazitat des Korpers. Die spezifische Warmeka-

pazitat

c =C

M=fk

2m(6.33)

gibt die benotigte Energie in J an, um 1 kg des Korpers um 1 K zu erwarmen.

Um einen Korper der Masse M beispielsweise von der Temperatur T1 auf die

Temperatur T2 zu erwarmen, benotigt man demnach die Warmeenergie:

∆W = cM (T2 − T1) = cM∆T (6.34)

Fur die Einheit der Warmekapazitat gilt [C] =J/(kg K).

Wasser besitzt eine spezifische Warmekapazitat von 4185 J/(kg K). Die Energie

4,185 J, die man benotigt um 1 g Wasser um 1 K zu erwarmen, heißt 1 cal.

Als molare Warmekapazitat bezeichnet man die Energie, die benotigt wird, um

ein Mol eines Stoffes um 1 K zu erwarmen. Nach den vorherigen Uberlegungen

musste die molare Warmekapazitat fur alle Stoffe mit der gleichen Anzahl an

Freiheitsgraden gleich sein. Nach der Regel von Dulong und Petit gilt:

Cmol = NAf2k = 3NAk = 24, 9J/(mol ·K) (6.35)

6.5 Anfangs- und Randbedingungen

Anfangsbedingung

Eine Anfangsbedingung ist eine zeitliche Bedingung, die nur bei instantionaren

Warmetransportvorgangen auftritt. Sie beschreibt dabei die Temperaturvertei-

lung T (x, y, z, t0) in allen Punkten des Korpers zur Zeit t0.

Randbedingung

Randbedingungen sind ortliche Bedingungen, die sowohl bei instationarer als auch

bei stationarer Warmeleitung auftreten. Bei der sog. Randbedingung 1. Art (Di-

richlet’sche Randbedingung) handelt es sich um eine Temperaturvorgabe am je-

weiligen Rand des Korpers:

T (x = x0, y, z, t) = T0(y, z, t) (6.36)

6.6 Kinetische Gastheorie 93

Bei der Randbedingung 2. Art (Neumann’sche Randbedingung) ist der Tempe-

raturgradient und damit die Warmestromdichte q gegeben:

q(x0, y, z, t) = −λ · ∂T (x, y, z, t)

∂x|x=x0 (6.37)

Die Randbedingung 3. Art (Newton’sche Randbedingung) kennzeichnet den Warmeuber-

gang von einer festen Oberflache an ein Fluid der Temperatur T∞:

α · (T∞ − T (x = x0, t)) = −λ · ∂T (x, t)

∂x|x=x0 (6.38)

6.6 Kinetische Gastheorie

Wie wir bereits wissen, ist Warme eine ungeordnete Molekulbewegung. Treffen

Molekule auf eine Wandflache, so wird auf diese eine Kraft ausgeubt. Nach den

Gesetzen der Mechanik ist diese Kraft gleich dem an die Wand ubertragenen

Impuls pro Zeiteinheit:

F =dp

dt(6.39)

p =dp

A · dt(6.40)

Nimmt man hierbei an, dass im Durchschnitt jedes dritte Molekul der N Molekule

senkrecht zur Wand fliegt, so fliegt ein sechstel der Molekule auf die Wand zu. Alle

Molekule mit dieser Flugrichtung, die in einem Volumen dV mit der Grundflache

A und der Lange v · dt enthalten sind, erreichen in der Zeit dt die Wand. Mit der

Teilchendichte n:

n =N

V⇔ N = n · V (6.41)

treffen dann

16N = 1

6nV (6.42)

= 16nAvdt (6.43)

Molekule innerhalb der Zeit dt auf die Wand. Man erhalt daraus die Stoßzahl z

pro Flachen- und Zeiteinheit:

z =1

6

nAvdt

Adt=n

6v (6.44)

94 6 Warmelehre

Da jedes Molekul beim Aufprall und der nachfolgenden Reflexion 2mv an Impuls

ubertragt, ergibt sich pro Flachen- und Zeiteinheit der folgende Impulsubertrag:

z2mv =n

6v2mv =

1

3nmv2 (6.45)

Fur den Druck ergibt sich unter Berucksichtigung von Gleichung 6.40:

p =1

3nmv2 (6.46)

Da sich die Molekule alle mit einer unterschiedlichen Geschwindigkeit bewegen,

ersetzt man v2 durch die quadrierte mittlere Geschwindigkeit v2:

p =1

3nmv2 (6.47)

Mit Gleichung 6.3 folgt:

1

2mv2 =

3

2kT (6.48)

kT =1

3mv2 (6.49)

Somit ergibt sich fur den Druck:

p = nkT (6.50)

Gleichung 6.50 wird als Grundgleichung der kinetischen Gastheorie 3 bezeich-

net.

6.7 Zustandsgleichung idealer Gase

Eine Zustandsgleichung eines Systems beschreibt wie seine messbaren Eigenschaf-

ten voneinander abhangen. Der Zustand einer Gasmasse M ist durch die Tempe-

ratur T , den Druck p und durch das Volumen V vollstandig beschrieben. Hierbei

konnen zwei Großen unabhangig voneinander kombiniert werden. Die dritte Große

ist dann durch die beiden anderen Großen eindeutig festgelegt. Dies sieht man

durch die Umformung:

p = nkT (6.51)

pV = NkT (6.52)

3nach Daniel Bernoulli

6.8 Hydrostatische Grundgleichung 95

Betrachtet man ein Gasvolumen mit ν Mol, so besteht die Gasmenge aus νNA

Molekulen. Es gilt:

pV = νNAkT (6.53)

Zur Abkurzung wurde die Gaskonstante R eingefuhrt, fur die gilt:

R = NAk = 8, 31 J/(K mol) (6.54)

Damit ergibt sich:

pV = νRT (6.55)

Gleichung 6.55 wird als das Gasgesetz idealer Gase bezeichnet. Bei einem idealen

Gas uben die Teilchen keine Krafte aufeinander aus und besitzen selbst kein

merkliches Eigenvolumen.

6.8 Hydrostatische Grundgleichung

Die hydrostatische Grundgleichung beschreibt die Anderung von Druck und Dich-

te in Abhangigkeit von der Hohe h. Zu deren Herleitung betrachtet man ein

Volumenelement dV mit der Grundflache A und der Hohe dh: dV = A·dh.

Aufgrund der geringen Hohe dh des Volumenelements dV kann man eine kon-

stante Dichte der Luft ρ annehmen. Durch den atmospharischen Druck wirkt

von unten eine Kraft p · A auf das Volumenelement. Die Kraft, die von oben

auf dieses Volumenelement wirkt, setzt sich aus der Gewichtskraft der Luft in-

nerhalb des Volumenelements und der von unten wirkenden Kraft zusammen:

dmg+ p ·A = dV ρg+ p ·A = dhAρg+ pA. Der atmospharische Druck und damit

die Kraft hat sich durch den Hohenunterschied dh wie folgt geandert: (p− dp)A.

Im hydrostatischen Gleichgewicht heben sich die wirkenden Krafte auf. Es gilt:

pA+ dhAρg = (p− dp)A (6.56)

pA = pA− dpA− dhAρg (6.57)

dp

dh= −ρg (6.58)

Nach dem idealen Gasgesetz 6.55 kann man die Dichte wie folgt ersetzen:

pV = νRT (6.59)

pM

ρ= RT (6.60)

ρ =pM

RT(6.61)

96 6 Warmelehre

Dabei ist M die mittlere molare Masse mit M = mν

. Es folgt:

dp

dh= −pMg

RT(6.62)

Die hydrostatische Grundgleichung beschreibt die Druckanderung dp in Abhangig-

keit von einer Hohenanderung dh. Durch das negative Vorzeichen wird die Ab-

nahme des Drucks bei zunehmender Hohe deutlich.

6.9 Barometrische Hohenformel

Zur Herleitung der barometrischen Hohenformel trennt man die hydrostatische

Grundgleichung nach Variablen:

dp

p= −Mg

RTdh (6.63)∫ p(h)

p(h0)

dp

p= −Mg

RT

∫ h

h0

dh (6.64)

ln

(p(h)

p(h0)

)= −Mg

RT(h− h0) (6.65)

p(h)

p(h0)= e−

MgRT

(h−h0) (6.66)

p(h) = p(h0)e−MgRT

h (6.67)

h0 kann gleich Null gesetzt werden, wenn man es als Hohe des Meeresspiegels

mit h0 = 0 definiert. Demnach ist p(h0) der Luftdruck auf Meereshohe. Die ba-

rometrische Hohenformel wurde unter der Annahme einer isothermen4 Luftsaule

hergeleitet und ist daher nicht exakt.

6.9.1 Atmospharischer Druck bei linearen Temperaturverlauf

Messungen der Temperatur in verschiedenen Hohen haben ergeben, dass die Tem-

peraturabnahme mit zunehmender Hohe durch einen linearen Temperaturverlauf

beschrieben werden kann. Im Mittel nimmt die Luft um 0,65 K pro 100 m Hohe

ab. Der Hauptgrund fur die Temperaturabnahme ist die Erwarmung des Erd-

bodens durch die Sonne und die dadurch resultierende Warmeabstrahlung an

4Luftsaule mit einer konstanten Temperatur

6.10 Das Gesetz von Boyle-Mariotte 97

die unteren Luftschichten. Die oberen Luftschichten geben ihre Warme an den

Weltraum ab. Fur eine lineare Temperaturabnahme kann man folgenden Ansatz

machen:

T (h) = T (h0)− a · (h− h0) (6.68)

Hierbei gibt a den Temperaturgradienten an, der die Temperaturanderung pro

Meter Hohenunterschied beschreibt. Mit Hilfe von Gleichung 6.63 folgt:

dp

p= −

∫ h

h0

Mg

RTdh (6.69)∫ p(h)

p(h0)

dp

p= −

∫ h

h0

Mg

R (T (h0)− a · (h− h0))dh (6.70)

ln

(p(h)

p(h0)

)= −Mg

R

∫ h

h0

1

(T (h0) + ah0)− ah)dh (6.71)

ln

(p(h)

p(h0)

)=

Mg

Raln

(T (h0)− a(h− h0)

T (h0)

)(6.72)

p(h)ey·ln(x)=xy︷︸︸︷

= p(h0)

(1− a∆h

T (h0)

)MgRa

(6.73)

Leitet man diese Beziehung gemaß Gleichung 6.58 nach der Hohe h ab, so erhalt

man fur die Dichte:

ρ(h) = ρ(h0)

(1− a∆h

T (h0)

)MgRa−1

(6.74)

6.10 Das Gesetz von Boyle-Mariotte

Das Gesetz von Boyle-Mariotte besagt, dass bei konstanter Temperatur Druck

und Volumen antiproportional zueinander sind:

p ∝ 1

V(T = const) (6.75)

Das Gesetz von Boyle-Mariotte hat in der Tauchphysik eine besondere Bedeutung.

Taucht man z.B. ohne Gerat in 10 m Tiefe ab, so herrscht dort ein Druck von 2

bar. Der Druck hat sich damit verdoppelt, wahrend sich das Volumen der Lunge

halbiert hat. Benutzt man dagegen einen Lungenautomaten, so presst dieser mit

dem Umgebungsdruck Luft in die Lunge. Atmet man in 10 m Tiefe voll ein und

taucht dann ohne auszuatmen an die Oberflache, so vergroßert sich das Volumen

der Lunge bis sie reißt. Daher ist beim Auftauschen mit Lungenautomat immer

auf ein standiges Ausatmen zu achten.

98 6 Warmelehre

6.11 Das Gesetz von Gay-Lussac

Das Gesetz von Gay-Lussac besagt, dass bei kostantem Volumen der Druck mit

der Temperatur steigt:

p ∝ T (V = const) (6.76)

Dazu ließ Gay-Lussac Gas von einem Behalter in einen zweiten Behalter fließen.

In dem Behalter, der sich fullte, stieg die Temperatur an, wahrend sie in dem

Behalter, dessen Druck sank, abnahm.

6.12 Das Gesetz von Charles

Bei konstantem Druck sind Volumen und Temperatur proportional zueinander:

T ∝ V (p = const) (6.77)

6.13 Der 1. Hauptsatz der Warmelehre

Fuhrt man einem System die Warmemenge ∆Q zu, so kann sie teilweise fur

eine Arbeit −∆W verbraucht werden. Die restliche Warmemenge fuhrt zu einer

Steigerung der inneren Energie U des Systems um ∆U :

∆Q = ∆U −∆W (6.78)

Ist ∆W < 0, so wird vom System Arbeit geleistet, ist ∆W > 0, so wird am System

Arbeit verrichtet. Fur ein ideales Gas lautet der erste Hauptsatz der Warmelehre:

∆Q = cM∆T − p∆V (6.79)

6.13.1 Innere Energie

Als innere Energie bezeichnet man die Summe verschiedener Energieformen, die

die Molekule besitzen konnen. Dazu zahlt die Summe aus potentieller, kineti-

scher Rotations-, Schwingungs- und Spannenergie. Darin ist zum Teil die che-

mische Energie in Form von Bindungskraften bereits enthalten. Hinzu kommt

6.14 Aggregatzustande 99

der kernphysikalische Anteil, der die potentielle Energie bezeichnet, die in den

Atomkernen vorhanden ist und die bei Kernzerfallen, Kernspaltungen und Kern-

fusionen freigesetzt werden kann. Desweiteren konnen die Wechselwirkungen von

magnetischen und elektrischen Elementardipolen und induzierter Polarisation mit

elektrischen und magnetischen außeren Feldern einen Beitrag zur inneren Energie

leisten.

6.13.2 Druckarbeit

Wieviel Arbeit ein Gas leistet, hangt von der Art der Zustandsanderung ab. Es

gilt:

W = pdV (6.80)

Bei isobarer Expansion ergibt sich demnach:

∆W = p∆V (6.81)

Bei einer adiabatischen Expansion andert sich die Temperatur. Demnach gilt:

W = U1 − U2 = cM(T1 − T2) (6.82)

Bei einer isothermen Expansion gilt:

W = νRT

V 2∫V 1

dV

V= νRT

V2

V1

. (6.83)

Bei isochoren (dV = 0) Zustandsanderugen wird keine Arbeit geleistet.

6.14 Aggregatzustande

Alle Stoffe konnen in drei5 unterschiedlichen Aggregatzustanden vorkommen. Dies

sind fest, flussig und gasformig. An dieser Stelle soll das Gleichgewicht zwischen

solchen Zustanden sowie der Ubergang zwischen diesen beschrieben werden.

5unter Extrembedingungen gibt es weitere Aggregatzustande wie z.B. das Plasma oder das

Bose-Einstein-Kondensat

100 6 Warmelehre

6.14.1 Der Partialdruck

Der Gesamtdruck eines Gasgemischs ergibt sich aus der Summe aller durch Im-

pulsubertrag auf eine Flache ausgeubten Krafte:

p =F

A(6.84)

Der Partialdruck pi einer Teilchensorte ist dagegen die Summe aller durch den

Impulsubertrag dieser bestimmten Teilchensorte auf eine Flache A ausgeubten

Kraft:

pi =FiA

(6.85)

Sie Summe aller Partialdrucke eines Gasgemisches mit K verschiedenen Kompo-

nenten ergibt den Gesamtdruck:

p =K∑i=1

pi (6.86)

6.14.2 Der Dampfdruck - die Koexistenz von Flussigkeit und

Dampf

Bringt man eine Flussigkeit in ein zuvor evakuiertes Gefaß ein, so dass die Flussig-

keit dieses nicht ganz ausfullt, so verdampft ein Teil der Flussigkeit. Der Druck der

sich dabei im Gefaß einstellt, wird als Sattigungsdampfdruck bezeichnet. Beim

Sattigungsdampfdruck sind die beiden Aggregatzustande flussig und gasformig

im Gleichgewicht. Um ein Molekul aus der Flussigkeit zu bringen, muss Arbeit

aufgebracht werden. Besitzen die Molekule eine genugend große kinetische Ener-

gie, konnen sie aus der Flussigkeit austreten. Im Gleichgewicht treten genauso

viele Molekule ein wie aus.

Sieden

Ist der Dampfdruck einer Flussigkeit gleich dem darauflastenden Druck eines Ga-

ses, so siedet die Flussigkeit. Dann entstehen nicht nur Blasen auf der Oberflache

sondern auch im Inneren der Flussigkeit. Z.B. riskieren Taucher, die zu schnell

auftauchen, das Ausdampfen der im Blut gelosten Gase (Caisson-Krankheit). Da-

bei perlt die zuvor ins Blut gepresste Luft aus.


Abbildung 6.4: Dampfdruckkurve des Wassers [Stoecker2000]

Hygrometrie

Luft ist i.A. nicht mit Wasserdampf gesattigt. Zwar bildet sich in einem geschlos-

senen Raum der Sattigungsdruck aus, dies dauert aber sehr lange, da der Was-

serdampf durch die gesamte Luft hindurchdiffundieren muss. Bei haufigen Luft-

massenwechsel wird daher der Sattigungsdruck (fast) nie erreicht. Als absolute

Feuchte wird die Konzentration des Wasserdampfes in g/m3 bezeichnet. Die re-

lative Feuchte ist der Quotient aus absoluter Feuchte und der Sattigungsfeuchte

(absolute Feuchte beim Sattigungsdruck). Kuhlt sich Luft mit einer absoluten

Feuchte so stark ab, dass sie die Dampfdruckkurve erreicht oder uberschreitet,

scheidet sich Wasser in Form von Tau oder Nebel ab.

Verdampfungswarme

Treten Molekule aus der Flusigkeit aus, so mussen sie Arbeit gegen die Anzie-

hungskrafte leisten, die die Flussigkeit zusammenhalten. Da nur langsame Mo-

lekule zuruckbleiben, kuhlt sich die Flussigkeit ab. Soll die Temperatur konstant

bleiben, muss man der Flussigkeit die spezifische Verdampfungsenergie λ hin-

zufuhren. Fur Wasser betragt λ = 2253 J/g.

102 6 Warmelehre

Abbildung 6.5: Sattigungskurve von Wasserdampf [Stoecker2000]

6.14.3 Koexistenz von Festkorper und Flussigkeit

Fur das Schmelzen gelten ahnliche Gesetze wie fur das Sieden. Bei der sog.

Schmelztemperatur sind die beiden Aggregatzustande fest und flussig im Gleich-

geicht. Um sich aus der festen Kristallstruktur losen zu konnen, benotigen die

Molekule Energie, die sie dem Kristall entziehen. Die Temperatur sinkt dadurch

ab. Soll die Temperatur kosntant bleiben, so muss die sog. Schmelzenergie hinzu-

gefuhrt werden. Sie betragt bei Wasser 333,5 kJ/kg.

6.14.4 Koexistenz dreier Phasen

Tragt man die Ubergange fest-flussig (Schmelzdruckkurve), flussig-gasformig (Dam-

pfdruckkurve) und fest-gasformig (Sublimationskurve) in einem p,T-Diagramm

ein, so erkennt man die Existenz eines sog. Tripelpunktes, bei dem alle drei Pha-

sen im Gleichgewicht miteinander stehen. Dies ist fur Wasser bei 273,16 K und

610,6 Pa.


Abbildung 6.6: Phasendiagramm von Wasser [Tipler2009]

6.14.5 Der kritische Punkt

Beim kritischen Punkt haben sich die Dichten von flussiger und Gasphase eines

Stoffes angeglichen. Die Unterschiede zwischen beiden Aggregatzustanden horen

an diesem Punkt auf zu existieren. Somit stellt der kritische Punkt im Phasen-

diagramm das obere Ende der Dampfdruckkurve dar. Uberkritische Fluide kom-

binieren das hohe Losevermogen von Flussigkeiten mit der niedrigen Viskositat

ahnlich den Gasen. Daher wird uberkritisches Wasser z.B. benutzt, um Fette aus

Fleisch herauszulosen. Da sich viele verschiedene Substanzen im Fett ablagern,

werden mit dieser Methode Medikamente und andere Substanzen aus dem Fleisch

extrahiert und nachgewiesen.

104 6 Warmelehre

7 Optik

Die Strahlenoptik beschreibt sehr einfach einige Zuge der Lichtausbreitung. Die

Mechanismen der Reflexion und Brechung werden erst durch das Wellenbild klar.

Allem, was mit Beugung, Polarissation usw. zusammenhangt, steht die Strahlen-

optik hilflos gegenuber.

7.1 Reflexion

An der Grenzflache wird ein Lichtstrahl ganz oder teilweise reflektiert. Alle Strah-

len werden so reflektiert, als kamen sie vom (virtuellen) Spiegelbild. Das Spiegel-

bild liegt ebensoweit hinter dem Spiegel wie der Gegenstand davor. Fur die Kon-

struktion des Spiegelbildes bedient man sich dem optischen Lot, welches senkecht

auf der Oberflache des Gegenstandes steht. Als Einfallswinkel α bezeichnet man

den Winkel zwischen auftreffenden Strahl und Lot, wahrend der Ausfallswinkel

β den Winkel zwischen reflektierten Strahl und Lot darstellt. Zwischen Einfalls-

und Ausfallswinkel gilt die Beziehung:

α = α′ (7.1)

Abbildung 7.1: Schematische Darstellung eines Spiegelbildes [Tipler2009]

106 7 Optik

Abbildung 7.2: Schematische Darstellung von Reflexion und Brechung

7.2 Brechung

An einem optischen Ubergang wird ein Teil des Lichtstrahls reflektiert wahrend

der andere Teil in das zweite Medium eintritt (siehe Abb. 7.2). Dabei erfahrt der

gebrochene Strahl eine Richtungsanderung, die auf die unterschiedliche Ausbrei-

tungsgeschwindigkeit c2 in Medium 2 im Vergleich zu Medium 1 mit c1 zuruck-

zufuhren ist. Die sog. Brechzahl n gibt an, um wieviel langsamer das Licht im

Medium (cm) im Vergleich zum Vakuum (c0) lauft:

n =c0

cm> 1 (7.2)

Verglicht man zwei Medien miteinander, so bezeichnet man das Medium mit

der hoheren Brechzahl als optisch dichter. Zur Herleitung des Brechungsgesetzes

betrachtet man einen optischen Ubergang, wie er in Abbildung 7.3 dargestellt

ist. Dabei legt der gebrochene Strahl in der Zeit ∆t den Weg AE = c1∆t zuruck,

wahrend der noch nicht gebrochene Strahl in der selben Zeit die Strecke DB =

c2∆t zurucklegt. Es gilt:

sin(α) =c1∆t

AB(7.3)

sin(β) =c2∆t

AB(7.4)

Lost man beide Gleichungen nach AB auf und setzt sie gleich, erhalt man das

Brechungsgesetz nach Snellius:

sin(α)

sin(β)=c1

c2

(7.5)

7.2 Brechung 107

Abbildung 7.3: Das Berchungsgesetz nach Snellius

Mit Gleichung 7.2 erhalt man:

sin(α)

sin(β)=n2

n1

(7.6)

Andert sich n nicht sprunghaft sondern allmahlich, z.B. in einer Losung, erhalt

man anstatt einen Knick eine Krummung. Zur Vermeidung von Fehlern ist daher

die Dichtebestimmung der Luft fur die Astronomie sehr wichtig.

7.2.1 Totalreflexion

Tritt ein Lichtstrahl von einem optisch dichteren in ein optisch dunneres Medium,

so wird der Lichtstrahl vom Lot weggebrochen. Je schrager der Lichtstrahl auf

die Grenzflache einfallt, desto starker wird er vom Lot weggebrochen. Ist der

Winkel des gebrochenen Strahls 90◦, so spricht man von Totalreflexion, da der

Lichtstrahl das optisch dichtere Medium nicht mehr verlasst. Es gilt im Fall der

Totalreflexion:

sin(αT ) =n2

n1

(7.7)

Glas mit einer Brechzahl von ≈ 1,5 hat demnach einen Grenzwinkel von 42◦. Ein

45◦ Prisma reflektiert daher besser als jeder Spiegel. Deswegen findet es in vielen

optischen Geraten zur Umlenkung von Lichtstrahlen Anwendung.

108 7 Optik

7.2.2 Prismen

Beim Durchgang durch ein dreiseitiges Prisma wird der Strahlstrahl um einen

Winkel δ abgelenkt. Der Ablenkwinkel ist am kleinsten, wenn das Licht so einfallt,

dass es im Inneren senkrecht zur Symmetrieachse verlauft. In diesem Fall spricht

man von einem symmetrischen Durchgang. Nach Abbldung 7.4 gilt:

γ = β1 + β2 (7.8)

Beim symmetrischen Durchgang gilt:

γ = 2β1 (7.9)

Zudem gilt allgemein:

δ = (α1 − β1) + (α2 − β2) (7.10)

Beim symmetrischen Durchgang gilt:

δ = 2(α1 − β1) (7.11)

Daraus folgt allgemein:

γ + δ = α1 + α2 (7.12)

bzw. fur den symmetrischen Durchgang:

γ + δ = 2α1 (7.13)

Mit Hilfe des Brechungsgesetzes folgt fur den symmetrischen Durchgang:

sin(α1)

sin(β1)= n =

sin(γ+δ

2

)sin(γ2

) (7.14)

sin(γ+δ

2

)= n · sin

(γ2

)(7.15)

7.2.3 Dispersion

Die Brechzahl n ist i.a. fur Licht verschiedener Farben verschieden. D.h. n hangt

von der Wellenlange λ ab: n(λ). Dies bezeichnet man als Dispersion. Da der

Ablenkwinkel δ in einem Prisma von n und damit von λ abhangt, ist man in

der Lage, Licht mit Hilfe eines Prismas spektral zu zerlegen. Man bezeichnet

die Dispersion als normal, wenn langwelliges Licht schwacher gebrochen wird als

kurzwelliges.

7.3 Optische Instrumente 109

Abbildung 7.4: Schematische Darstellung der Brechung bei einem Prisma

7.3 Optische Instrumente

Bereits seit Galilei benutzen Menschen optische Instrumente, um die Natur, die

uns umgibt, besser zu verstehen.

Abbildung 7.5: Dispersion bei einem Prisma [Tipler2009]

110 7 Optik

Abbildung 7.6: Schematische Darstellung der Brechung bei einer dunnen Linse

[Tipler2009]

7.3.1 Die Linse

Fur eine dunne Linse gilt die sog. Abbildungsgleichung

1

f=

1

g+

1

b(7.16)

, wobei f die Brennweite und g, b die Gegenstands- bzw. Bildweite darstellen.

Treffen sich die Strahlen in einem Punkt, so wird das in diesem Punkt entstehende

Bild als reell bezeichnet. Treffen sich dagegen die verlangerten (nicht real exis-

tierenden) Strahlen, wird das Bild, welches in diesem Fall nur mit einer weiteren

Linse sichtbar gemacht werden kann, als virtuell bezeichnet. Ein Beispiel fur ein

virtuelles Bild, ist das Bild einer Lupe. Die Vergroßerung V einer Lupe berechnet

sich aus dem Verhaltnis der Bildbildgroße B und der Gegenstandsgroße G:

V =B

G(7.17)

Um das virtuelle einer Lupe oder einer Zerstreuungslinse sichtbar zu machen,

bedarf es einer zweiten Linse. Dies kann auch die Linse des Auges sein.

Abbildung 7.7: Bildkonstruktion bei einer Lupe [Tipler2009]

7.3 Optische Instrumente 111

Abbildung 7.8: Strahlengang beim kurzsichtigen Auge [Tipler2009]

7.3.2 Das Auge

Bei der Augenlinse handelt es sich um eine Sammellinse. Sie bundelt das durch

die Pupille eintretende Licht, so dass auf der Netzhaut ein scharfes Bild entsteht.

Die Linse ist elastisch und kann ihre Brechkraft andern, um sowohl weit entfernte

als auch nahe Gegenstande zu fokussieren. Das geschieht mit Hilfe eines kleinen

Muskels, des Ziliarmuskels. Diese Scharfenanpassung nennt man Akkomodation.

Bei einem kurzsichtigen Menschen werden die Lichtstrahlen von der Linse des

Auges zu stark gebrochen, so dass ein scharfes Bild vor der Netzhaut entsteht.

Durch eine Zerstreuungslinse, die in der Mitte dicker ist als am Rand, kann der

Lichtstrahl vor dem Auge so gebrochen werden, dass der Strahl auf der Netzhaut

fokussiert wird und damit fur den Betracher als scharf erscheint (siehe Abbildung

??). Bei einem weitsichtigen Menschen, bei dem die Lichtstrahlen ohne Brille

hinter der Netzhaut fokussiert werden, kann der Sehfehler gemaß Abbildung ??

mit einer Sammellinse korrigiert werden.

112 7 Optik

Abbildung 7.9: Strahlengang beim weitsichtigen Auge [Tipler2009]

Literaturverzeichnis

[Halliday2003] D. Halliday, R. Resnick und J. Walker

Physik

Wiley-VCH, Weinheim (2003)

[Metag2000] V. Metag

Skript zur Vorlesung der Experimentalphysik I, WS 2000/2001

Justus Liebig Universitat Gießen

[Mueller2001] T. Muller und F. Hartmann

Skript zur Vorlesung der Experimentalphysik I, WS 2001/2002

Universitat Karlsruhe

[Stephan] U. Stephan

Skript zur Vorlesung Mathematik/Numerik

TFH Berlin

[Tipler2009] P. Tipler und G. Mosca

Physik, Fur Wissenschaftler und Ingeniueure

Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg (2009)

[Stoecker2000] H. Stocker

Taschenbuch der Physik

Harri Deutsch Verlag, Frankfurt am Main (2000)

Documents

Physik I - staff.uni-giessen.degd1424/Website/Skript.pdf · Physik I Wintersemester 2014 / 2015 fur Studierende des Studiengangs Ingenieurswesen 1 Technische Hochschule Mittelhessen