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PIANO DI RECUPERO DI MATEMATICA
ANNO SCOLASTICO 2015/2016
CLASSI 3°
DISEQUAZIONI
Risolvi le seguenti disequazioni numeriche intere.
1) 2
4 1 11
3 3 3x x x
2 4
3 3x x
2) 2
4 1 12 2 1 2
3 3 3x x x
2 1
3 2x x
3) 2 21 3 9
1 4 12 2
x xx
1
2x
4) 2 22 2 2 9
(2 1) 12 2
x x x xx
1
2x
5)
245 3 2 1
112 6 4 3
xx x xx
non esiste xR
6)
255 2 3
212 6 4 3
xx x xx
non esiste xR
Risolvi le seguenti disequazioni di grado superiore al secondo.
1) 6 37 8 0x x 2 1x x
2) 6 37 8 0x x 1 2x x
3) 3 26 5 12 0x x x 1 3 4x x
4) 3 24 7 10 0x x x 5 1 2x x
5) 4 3 22 5 6 0x x x x 3 1 0 2x x
6) 4 3 22 11 12 0x x x x 4 1 0 3x x
Risolvi le seguenti disequazioni fratte.
1) 2
2
20 640
1
x x
x
1 1 4 16x x x
2) 2
2
12 320
4
x x
x
2 2 4 8x x x
3) 2
2 12 31
1 1 1x x x
7 1 1 2x x
4) 2
3 12 21
1 1 1x x x
2 1 1 7x x
Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni.
1)
2
3 51
3 4
1 12
2 4 8
x x
x x
x x
2 4x
2)
2
3 41
3 4
2 15
2 20 4
x x
x x
x x
4 5x
3)
2
2
2 2
6 50
8 7
1 1 3
x x
x x
x x x
5
12
x
4)
2
2
2 2
5 40
9 14
1 1
x x
x x
x x x
3
12
x
5)
xx
xxxx
3
12
3
3
120232
2
2
1
02
x
6)
xx
xxxx
2
12
2
3
32032
2
2
3
02
x
EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI
Risolvi le seguenti equazioni con valore assoluto.
1)
22 29 1x x x
4; 1 11
2) 22 21 3x x x [2; 4]
3) 2 26 6 5 5x x x x 0 1 5 6x x
4) 2 29 4 5x x 2 3 3 2x x
5) 2
2 11 0
4
x
x
3; 1 6
6) 2
2 11 0
4
x
x
1; 1 6
7)
22 29 1x x x 4; 1 11
8) 22 21 3x x x [2; 4]
Risolvi le seguenti disequazioni con valore assoluto
1) 2 2 21 2 4x x x x 5 3 3 5x x
2) 2 2 22 3 4x x x x 1 7x x
3)
2
2
3 40
2 4 2
x x
x x
1 4x x
4)
2 4 30
2
x x
x
2x
5)
2
2
6 20
3 2 1
x x x
x x
11
3x x
6)
2
2
3 4 10
2 3 2
x x x
x x
12 1 4
2x x x
EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI
Risolvi la disequazione irrazionale.
1) 2 5 6 4x x x 10
3 23
x x
2) 2 7 12 5x x x
134 3
3x x
3) 2 3 1x x 3
22
x
4) 4 5 2x x 1 1x
5) 5 5
4 4 4 3 34 1 22 2
x x x x x
1 6 3
2 2x x
6) 3 3 1
2 32 2 2
x x x x x
1 6 3
2 2x x
7)
21 3 5
2 3 12 2 2
x x x x
1
2x
8)
22 1 4
3 4 13 3 3
x x x x
2
3x
9) 21 5
2 2 2 5 92 2
x x x x x [impossibile]
10) 25 1
4 1 1 2 5 92 2
x x x x x [impossibile]
11)
21 5 4
2 23 3 3
x x x
5
3x
12)
21 3 3
2 22 4 4
x x x
6 1
2x
13) 5 4 1
3 1 2
x
x
41
5x
14) 5 6 1
3 7 2
x
x
61
5x
ESPONENZIALI E LOGARITMI
LE EQUAZIONI ESPONENZIALI
Risolvi le seguenti equazioni esponenziali.
1 1 22 2 2 5x x x 2x
2 1 13 3 3 63x x x 3x
3 33 3 12x x 1 2x x
4 52 2 12x x 2 3x x
5 1666
12
3
86
x
x
xx
35
2x x
6 1777 3
528
3
6
x
x
xx
38
2x x
1) 1 22 2 2 5x x x 2x
2) 1 13 3 3 63x x x 3x
3) 33 3 12x x 1 2x x
4) 52 2 12x x 2 3x x
5) 1666
12
3
86
x
x
xx
35
2x x
6) 1777 3
528
3
6
x
x
xx
38
2x x
7) 343
177 xx 2x
8) xxx 3183232 22 2x
9)
xx 213
9
16
4
3
5
1x
10) 5
1
125
255 12
x
xx
4
5x
11) 1659327 2323
2
xxx
2
1x
12) x
xx
11
2
5
5
2
1x
13) 1125
1
15
5
xx
x
S
Calcola i seguenti logaritmi applicando la definizione.
1 16
1log 2 ;
8
27log
3
2 ; 100log 01,0 ; 9log3
. 4; 3; 1;4
2 27
1log 3 ;
4
25log
5
2 ; 10000log 01,0 ; 16log2
. [ 3; 2; 2;8]
Calcola il valore della base a usando la definizione di logaritmo.
1 log 25 2a ; log 7 1a ; log 3 4a ; 1 1
log5 2
a . 4
1 15; ; ;25
7 3
2 log 49 2a ; log 5 1a ; log 3 3a ; 2
1
4
1log a .
3
1 17; ; ;16
5 3
Sviluppa le seguenti espressioni, applicando le proprietà dei logaritmi.
3 2
2
1 3log
4
; 2 2log 3a b ; 3
loga
ab.
2
5 12log 1 3 4;log3 2log 2log ; log log
2 2a b a b
4 2
33
32log
; 435log ba ;
2
loga
ab.
3
3 12log 2 3 2;log 5 3log 4log ; log log
2 2a b a b
Applica le proprietà dei logaritmi per scrivere la seguente espressione sotto forma di un unico
logaritmo.
1 21log log 2 3log 1
2x x x
2
32
2log
1
x x
x
2 21log log 4 2log 1
2x x x
22log 1
4
xx
x
Risolvi le seguenti equazioni logaritmiche.
1 2 2 2log 1 log 2 2 log 3x x 2x
2 3 3 3log 2 log 3 1 log 4x x 1x
3 2log 2 log 2 1 2log 1x x x 3x
4 2log 2 log 4 2 2log 2x x x 4x
5 3 9 9log 5 log 3 log 3 1x x x 11x
6 2 4 4log 2 1 log 1 log 4 5x x x 2x
Risolvi le seguenti equazioni.
1 1 12 5 3 5 5 16x x x log5 log 2
log5x
2 1 12 4 3 4 4 7x x x log 4 log3
log 4x
3 3 22 2 20 2 168x x x log 7
log 2x
4 2 12 3 2 3 5 3 14x x x log 2
log3x
5 1 12 5 3 5 5 16x x x log5 log 2
log5x
6 1 12 4 3 4 4 7x x x log 4 log3
log 4x
Risolvi le seguenti disequazioni logaritmiche.
1) 3
4log 1
2
x
x
2 5x
2) 2
3log 1
4
x
x
4 11x
3) 1 1 1
2 2 2
log log 2 log 12x x x 4 12x
4) 1 1 1
3 3 3
log 2 log log 10x x x 2 10x
5) log 1 log 3 log3 log 2 1x x x 0 2x
6)
log 3 log 5 log3 log 2 5x x x 2 0x
Risolvi le seguenti disequazioni esponenziali
1)
1 11 1 1
7 93 3 3
x x x
1x
2)
1 11 1 1
7 33 3 3
x x x
2x
3) 0222 232 xx 2x
4) x
xx
2
2
1
2
12
1x
5) 013493 1212 xx
2
10 xx
6) 3339 1211 xxx 0x
7) 071822
xx 30 xx
8) 013
1
93
1
xx
2x
9) 5
12112
3
603932 xxx
10
9x
10) 3 31 434217 xx 9x
11) x
x
xx
13
25 6832
0x
7 3 22 2 20 2 168x x x log 7
log 2x
8 2 12 3 2 3 5 3 14x x x log 2
log3x
12) 925
925
5
334
xx
20 xx
13) 012
9
22
6
xx 210 xx
GEOMETRIA ANALITICA
RETTA
Risolvere i seguenti problemi.
1)Verifica che il triangolo di vertici A(2; 1), B(5; 5) e C(–2; –2) è un triangolo
isoscele; calcola l’area del triangolo.7
2
2)Sia M(1; 6) il punto medio del segmento AB, con A(–3; 5). Determina le
coordinate di B. 5; 7B
3)Verifica che il triangolo di vertici A(3; 2), B(9; –2) e C(7; 8) è isoscele. Calcola
il perimetro e l’area e determina il baricentro 19 8
4 13 2 26; 26; ;3 3
44)Scrivi l’equazione della retta che passa per il punto P(2; –3) e ha coefficiente angolare
uguale a quello della retta di equazione 3 2 4 0x y .
36
2y x
5) Dopo aver verificato che le due rette 3 2y x e 5 2 4 0x y sono incidenti, determina il
loro punto di intersezione. [(8; 22)]
6)Trova le coordinate dei vertici del triangolo individuato dalle rette di equazione 3 4 10 0,x y
5 2 2 0,x y 1y x e calcola l’area del triangolo.
2; 1 , 0; 1 , 2; 4 ; 7
7)Trova le coordinate dei vertici del triangolo individuato dalle rette di equazione 3 4 10 0,x y
5 2 2 0,x y 1y x e calcola l’area del triangolo.
2; 1 , 0; 1 , 2; 4 ; 7
8) I punti 2; 4 A e 1; 2 B sono vertici consecutivi di un parallelogramma ABCD.
L’equazione della retta su cui giace il lato BC è 3 0x y e il punto C appartiene all’asse x.
Calcola le coordinate dei vertici del parallelogramma. 3; 0 , 0; 6 C D
9)Trova la retta passante per 7; 2 , P perpendicolare alla retta 5 3 5 0,x y e il punto di
intersezione tra le due rette. 3 5 31 0; 2; 5 x y
0;2 ; 2;4 ; 6;5 ; 4;3A B C D
11)Un triangolo ABC ha vertici di coordinate 3; 4 A e 1; 4 . B Sia 0; 2 H il piede
dell’altezza CH del triangolo. Determina il vertice C sapendo che esso appartiene alla retta di
equazione 10 0.x y 8; 2 C
12)Dato il triangolo di vertici A(2; 0), B(3; –3) e C(7; 1), determina l’altezza relativa al lato AB e
l’area del triangolo.16
; 810
13)Dato il triangolo di vertici A(2; 0), B(3; –3) e C(7; 1), determina l’altezza relativa al lato AB e
l’area del triangolo.16
; 810
14)Dato il triangolo di vertici A(1; 0), B(2; –3) e C(6; –1), determina l’altezza relativa al lato AB e
l’area del triangolo.
14; 7
10
LA CIRCONFERENZA E LA SUA EQUAZIONE
1 Determina il luogo geometrico costituito dai punti del piano aventi distanza 2 dal punto
C(1; 3). 2 2 2 6 6 0x y x y
2 Determina il luogo geometrico costituito dai punti del piano aventi distanza 3 dal punto
C(2; 1). 2 2 4 2 4 0x y x y
Indica se le seguenti equazioni sono le equazioni di una circonferenza e in caso affermativo
rappresentale graficamente.
1 2 2 4 2 4 0x y x y ; 2 2 6 7 0x y y ; 2 2 3 5 9 0x y x y .
2 2 2 8 6 0x y x y ; 2 2 6 9 0x y y ; 2 2 2 2 7 0x y x y .
3 Scrivi l’equazione della circonferenza di raggio 4, concentrica alla circonferenza di
equazione: 2 2 4 32 0x y x .
012422 xyx
10)I lati del quadrilatero ABCD appartengono alle rette di equazione:
2y x ; 1 7
4 2y x ; 1y x ;
12
4y x .
Determina le coordinate dei vertici e verifica che il quadrilatero è un parallelogramma.
Stabilisci la posizione della retta r, rispetto alla circonferenza e, nel caso in cui la retta non
sia esterna, determina le coordinate dei punti di intersezione.
1 2 2: 2 4 3 0x y x y ; : 1 0r y x . 1;0 :tangente
2 2 2: 2 2 1 0x y x y ; : 2 1 0r x y .
5
2;
5
9 ,0;1 :secante
RISOLVI I SEGUENTI PROBLEMI
1 Determina l’equazione delle rette tangenti alla circonferenza di equazione 2 2 4 2 15 0x y x y condotte dal punto P(–2; –4).
11 115; 5
2 2y x y x
2 Determina l’equazione delle rette tangenti alla circonferenza di equazione 2 2 2 2 18 0x y x y condotte dal punto P(–3; 4).
; 11 41 1 11
2 2 2 2y x y x
3 Data la circonferenza di equazione 2 2 4 2 5 0x y x y , verifica che il punto P(3; 4) le
appartiene e determina l’equazione della retta tangente in P alla circonferenza.
3 15 0x y
4 Data la circonferenza di equazione 2 2 2 4 27 0x y x y , verifica che il punto P(5; 2)
le appartiene e determina l’equazione della retta tangente in P alla circonferenza.
7 0x y
5 Scrivi l’equazione della circonferenza di centro C(2; 3), passante per A(3; –1) e disegnala.
Determina poi l’equazione della retta tangente alla circonferenza in A. 2 2 4 6 4 0; 4 7 0x y x y x y
6 Scrivi l’equazione della circonferenza di centro C(1; 4), passante per A(2; –1) e disegnala.
Determina poi l’equazione della retta tangente alla circonferenza in A. 2 2 2 8 9 0; 5 7 0x y x y x y
7 Determina l’equazione della circonferenza passante per i punti A(1; 0), B(–1; 2), C(2; –4). 2 2 9 7 10 0x y x y
8 Determina l’equazione della circonferenza passante per i punti A(1; 1), B(–1; 1), C(0; 2). 2 2 2 0x y y
9 Determina l’equazione della circonferenza passante per i punti A(3; 2), e B(0; –1) e avente
centro sulla retta r di equazione 2 1 0x y . 2 2 2 2 3 0x y x y
10 Determina l’equazione della circonferenza passante per i punti A(4; 1), e B(2; 2) e avente
centro sulla retta r di equazione 2 0x y . 2 2 6 3 10 0x y x y
11 Determina la circonferenza con centro C(2; 5) e tangente alla retta di equazione 2 1y x .
2 2 1414 10 0
5x y x y
12 Determina la circonferenza con centro C(–2; –4) e tangente alla retta di equazione
2 1y x .
2 2 194 8 0
5x y x y
13 Determina l’equazione della circonferenza passante per i punti P(1; 1) e Q(7; 1) e tangente
alla retta di equazione 3 0y x . 2 2 2 28 4 10 0; 9 9 72 44 10 0x y x y x y x y
14 Determina l’equazione della circonferenza passante per i punti P(0; 4) e Q(–2; 2) e
tangente alla retta di equazione 4 0y x . 2 24 4 7 9 28 0x y x y
Determina l’asse radicale e i punti di intersezione delle due circonferenze assegnate.
1 2 2 7 14 0x y x y , 2 2 6 11 0x y y . 3 0; 2;1 , 4; 1x y P Q
2 2 2 3 4 0x y x y , 2 2 4 6 0x y x . 2 0; 1; 1 , 1; 3x y P Q
LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
Determina le caratteristiche delle seguenti parabole e rappresentale nel piano cartesiano.
1 25y x ; 21
5y x ; 23y x .
2 24y x ; 21
4y x ; 25y x .
Applicando la definizione, determina l’equazione della parabola di cui sono assegnate le
coordinate del fuoco F e l’equazione della direttrice d.
1 1;2F , : 3d y . 21
22
y x x
2 1;1F ; : 2d y . 21
12
y x x
Determina le caratteristiche delle seguenti parabole e rappresentale nel piano cartesiano.
1 21
4 62
y x x ; 2 2 15y x x .
2 21
2 162
y x x ; 2 2 3y x x .
Scrivi l’equazione della parabola avente vertice nell’origine degli assi e per fuoco il seguente
punto. Disegna la parabola nel piano cartesiano e scrivi l’equazione della direttrice.
1 1
;02
F
2 ; 1 1
2 2x y x
2 3
;04
F
2; 1 3
3 4x y x
Sono date le seguenti equazioni di una parabola e di due rette. Determina l’intersezione di
ciascuna retta con la parabola e disegnane il grafico.
1 2 4 2y x x ; 5y x ; 4 6y x . nessuna intersezion 2;14 , 2e; 2;
2 2 4 10y x x ; 4 11y x ; 1y x . nessuna inters1;7 , ezio 1;1 ne5 ;
LE RETTE TANGENTI A UNA PARABOLA
1 È data la parabola di equazione 21
3 22
y x x . Scrivi l’equazione della retta tangente
alla parabola nel punto in cui questa interseca l’asse y.
3 2y x
2 È data la parabola di equazione 21
5 12
y x x . Scrivi l’equazione della retta tangente
alla parabola nel punto in cui questa interseca l’asse y.
5 1y x
3 È data la parabola di equazione 2 2y x x . Determina l’equazione delle rette tangenti alla
parabola passanti per il punto P(1; –2). Detti A e B i punti di tangenza, calcola il perimetro
del triangolo ABP.
2 4; 2 ; 2;0 ; (0;0); 2 2 5y x y x A B
4 È data la parabola di equazione 2 4y x x . Determina l’equazione delle rette tangenti alla
parabola passanti per il punto P(2; –5). Detti A e B i punti di tangenza, calcola il perimetro
del triangolo ABP.
2 9; 2 1; 3; 3 ; (1; 3); 2 2 5y x y x A B
Determina l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse x, della quale sono indicate di
seguito le coordinate del vertice V e del fuoco F e rappresentala nel piano cartesiano.
1 0; 2V , 1
; 24
F
. 2 4 4x y y
2 0; 3V , 1
; 34
F
. 2 6 9x y y
3 Scrivi l’equazione della parabola di vertice
3;0
4V
e direttrice 1
:4
d y , poi
rappresentala graficamente.
2 3 9
2 16y x x
4 Scrivi l’equazione della parabola di vertice
3;0
4V
e direttrice 1
:4
d y , poi
rappresentala graficamente.
2 3 9
2 16y x x
Determina l’equazione della parabola che passa per i punti A, B e C assegnati e rappresentala
graficamente.
1 1; 1A , 0;4B , 3; 5C . 2 6 4y x x
2 0;2A , 1; 1B , 2; 2C . 2 4 2y x x
3 Scrivi l’equazione della parabola di vertice V(2; 5), asse parallelo all’asse y e passante per
il punto A(1; 4). Rappresentala graficamente. 2 4 1y x x
4 Scrivi l’equazione della parabola di vertice V(–1; –5), asse parallelo all’asse y e passante
per il punto A(1; 3). Rappresentala graficamente. 22 4 3y x x
5 Determina l’equazione della parabola 2y ax bx c di vertice V(1; 5) e tangente alla
retta r di equazione 4 1 0y x . 22 4 7y x x
6 Determina l’equazione della parabola 2y ax bx c di vertice
1 5;
2 4V
e tangente alla
retta r di equazione 3 5 0y x .
2 1y x x
TRIGONIOMETRIA
APPLICAZIONE DEI TRIANGOLI RETTANGOLI
In un triangolo rettangolo ABC retto in A, calcola la lunghezza dell’ipotenusa e l’ampiezza dei
due angoli acuti utilizzando una calcolatrice scientifica. Sono noti i seguenti elementi.
1 4 cm; 7,5 cm.AB AC 8,5 cm; 28 4 20,95 ; 61 55 39
2 20 cm; 4,5 cm.AB AC 12° 40 49,20,5 cm; 77 19 10,6 ; 3
3 In un trapezio isoscele la base maggiore è lunga 40 cm e l’altezza è di 12 cm. Sapendo che
gli angoli adiacenti alla base maggiore sono di 70°, calcola il perimetro e l’area del
trapezio. 296,82 cm; 427,68 cm
4 In un trapezio isoscele la base maggiore è lunga 30 cm e il lato obliquo è di 18 cm.
Sapendo che gli angoli adiacenti alla base maggiore sono di 80°, calcola il perimetro e
l’area del trapezio. 289,76 cm; 476,31 cm
Di un triangolo rettangolo ABC sono noti i seguenti elementi (espressi usando le convenzioni).
Determina quanto richiesto.
1 cos 0,6; 24 cmAB ; determina perimetro e area. 296 cm; 384 cm
2 sen 0,8; 12 cmAB ; determina perimetro e area. 236 cm; 54 cm
3 Calcola la misura dell’angolo che un cateto di un triangolo rettangolo forma con
l’ipotenusa, sapendo che il rapporto del cateto con la proiezione dell’altro cateto
sull’ipotenusa vale 2 3 . 6
4 Calcola la misura dell’angolo che un cateto di un triangolo rettangolo forma con
l’ipotenusa, sapendo che il rapporto tra la sua proiezione sull’ipotenusa e l’altro cateto vale
1
2 3.
3
5 In un rettangolo la diagonale è di 20 cm e forma con un lato un angolo di 20°. Calcola il
perimetro del rettangolo. 51,26 cm
7 In un rettangolo la diagonale è di 30 cm e forma con un lato un angolo di 80°. Calcola il
perimetro del rettangolo. 69,5 cm