Univerzitet u Zenici Filozofski fakultet Odsjek: Matematika i informatika Zenica, 27.01.2014. Pismeni ispit iz Linearne algebre Pravila: Svaku formulu koju mislite koristit, u sva 4 zadatka, obavezno napisati, kao i znaˇ cenja simbola iz formule. Ispit pisati iskljuˇ civo hemiskom olovkom plave ili crne tinte. Prije rjeˇ senja prepisati postavku (tekst) zadatka. 1. Zadatak prepisati sa table. 2. Neka je Q : P 3 →P 3 (P 3 oznaˇ cava prostor svih polinoma stepena ≤ 3) linearni operator dat sa Q(p) = polinom stepena 2 ˇ ciji graf prolazi taˇ ckama(-1; p(-1)), (0; p(0)) i (1; p(1)). (a) Odrediti matricu operatora Q (matricu koordinata) u odnosu na standardnu bazu. (b) Odrediti (direktni) komplement prostora ker(Q) (koji nije ortogonalni komplement). 3. Zadan je linearni operator T : Mat 2×2 (R) →P 3 T a b c d = (3a +2c - d)x 3 + (3b - c - d)x 2 + (2a + b + c - d)x +(a +2b - d) Odrediti ortonormiranu bazu za im(T ) (Koristiti standardni unutraˇ snji proizvod u P 3 deﬁnisan sa ha 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ,b 3 x 3 + b 2 x 2 + b 1 x + b 0 i = a 3 b 3 + a 2 b 2 + a 1 b 1 + a 0 b 0 ). 4. U unitarnom prostoru R 4 , sa skalarnim proizvodom hx, yi = x 1 y 1 +2x 2 y 2 + x 3 y 3 +2x 4 y 4 zadan je podprostor V razapet (generisan) vektorima v 1 = (1, 0, 1, 0) > i v 2 = (1, 0, 1, 1) > . Prikaˇ zite vektor x = (4, 2, 2, 4) > u obliku x = v + w, gdje je v ∈V , w ∈V ⊥ .

Pismeni ispit iz Linearne algebre - ff.unze.ba · Univerzitet u Zenici Filozofski fakultet Odsjek: Matematika i informatika Zenica, 27.01.2014. Pismeni ispit iz Linearne algebre Pravila:

Download PDF Report

Upload
lydien
View
238
Download
0

Embed Size (px)

Citation preview

Univerzitet u ZeniciFilozofski fakultetOdsjek: Matematika i informatikaZenica, 27.01.2014.

Pismeni ispit iz Linearne algebre

Pravila: Svaku formulu koju mislite koristit, u sva 4 zadatka, obavezno napisati,kao i znacenja simbola iz formule. Ispit pisati iskljucivo hemiskom olovkom plaveili crne tinte. Prije rjesenja prepisati postavku (tekst) zadatka.

1. Zadatak prepisati sa table.

2. Neka je Q : P3 → P3 (P3 oznacava prostor svih polinoma stepena ≤ 3) linearni operator dat sa

Q(p) = polinom stepena 2 ciji graf prolazi tackama(−1; p(−1)), (0; p(0)) i (1; p(1)).

(a) Odrediti matricu operatora Q (matricu koordinata) u odnosu na standardnu bazu.(b) Odrediti (direktni) komplement prostora ker(Q) (koji nije ortogonalni komplement).

3. Zadan je linearni operator T : Mat2×2(R)→ P3

(a bc d

)= (3a + 2c− d)x3 + (3b− c− d)x2 + (2a + b + c− d)x + (a + 2b− d)

Odrediti ortonormiranu bazu za im(T ) (Koristiti standardni unutrasnji proizvod u P3 definisan sa〈a3x3 + a2x

2 + a1x + a0, b3x3 + b2x

2 + b1x + b0〉 = a3b3 + a2b2 + a1b1 + a0b0).

4. U unitarnom prostoru R4, sa skalarnim proizvodom

〈x, y〉 = x1y1 + 2x2y2 + x3y3 + 2x4y4

zadan je podprostor V razapet (generisan) vektorima v1 = (1, 0, 1, 0)> i v2 = (1, 0, 1, 1)>. Prikazitevektor x = (4, 2, 2, 4)> u obliku x = v + w, gdje je v ∈ V , w ∈ V⊥.