Pitanja i odgovori

7. lipanj 2020.

(1) P: Mora li PDF datoteka naše domaće zadaće nužno biti generirana u

LaTeX-u ili ju možemo napisati i u nekom drugom programu?

O: PDF datoteka domaće zadaće treba biti generirana u LaTeX-u. La-

TeX je standardni alat za matematičku komunikaciju i ukoliko ga još

niste savladali, sada je dobra prilika. Postoje mnogi besplatni jako dobri

LaTeX editori. Ukoliko trebate bilo kakvu pomoć oko toga, slobodno se

javite.

(2) P: Nisu mi jasne dvije rečenice, tj. čine mi se nedosljedne. Rečenice

su na str. 11 skripte koja se nalazi na web stranici. Prva kaže da se

S∩F (S) sastoji od dva horizontalna pravokutnika, a praslika istog skupaod dva vertikalna pravokutnika (što meni daje naslutiti da vertikalni

i horizontalni pravokutnici alterniraju), a kasnije imamo rečenicu koja

kaže: “Općenito, ako je V bilo koji vertikalni pravokutnik ... praslika je

par užih vertikalnih pravokutnika ...”.

O: Da biste zaista razumijeli dinamiku potkove, važno je nacrtati sliku

(vidi ispod figure 1 i 2). Crni kvadrat je kvadrat S, a crvena potkova je

njegova slika F (S). Gornji kvadrat S podijeljen je u vertikalne pravo-

kutnike koji su označeni velikim slovima A do N (slovo F je ispušteno,

jer je preslikavanje označeno slovom F ). Na donjoj slici se vide slike

vertikalnih pravokutnika F (A) do F (N). Uz takve oznake, lako je vi-

djeti što su praslike raznih područja. Npr. praslika pravokutnika F (C)

1

Slika 1: Potkova.

je pravokutnik C = F−1(F (C)) (prisjetimo se da je F injekcija), a pras-

lika pravokutnika F (L) je pravokutnik L. Iz toga slijedi da je praslika

vertikalnog pravokutnika V0 (lijevi zeleni pravokutnik na donjoj slici fi-

gure 1) unija dva uža vertikalna pravokutnika od kojih je jedan C, a

drugi L. Na isti način se vidi da je praslika vertikalnog pravokutnika V1

(desni zeleni pravokutnik na donjoj slici figure 1) unija dva uža vertikalna

pravokutnika od kojih je jedan E, a drugi J .

S druge strane, ako dva horizontalna pravokutnika od S∩F (S) na donjojslici figure 1 označimo sa H0 i H1, pri čemu je H0 gornji pravokutnok, a

H1 donji pravokutnik, lako se vidi da je F (V0) = H0 i F (V1) = H1. Isto

tako, F 2(C), F 2(E), F 2(J) i F 2(L) su redom četiri uska horizontalna

pravokutnika od F 2(S) ∩ S koji se mogu vidjeti na figuri 2.

2

Slika 2: F (S) je crvena potkova, a F 2(S) je ljubičasta potkova.

(3) P: Mislim da je jedna tvrdnja korǐstena u dokazu leme 3.1. pogrešna.

Naime, kada želimo dokazati da je C perfektan koristimo činjenicu da su

sve rubne točke segmenata od hn sadržane u C. Mislim da to nije istina.

O: Puno hvala na upozorenju. Naravno da ste u pravu :) Dio dokaza leme

3.1. u kojem se dokazuje perfektnost je u stvari dokaz za klasični Cantorov

skup definiran na jediničnom segmentu. U našem slučaju konstrukcija

Cantorovog skupa se malo razlikuje od klasične konstrukcije i zato taj

dio dokaza ne prolazi, a ja nisam bila dovoljno pažljiva. Na web stranici

predmeta sada je popravljena verzija dokaza.

(4) P: Primijetila sam sličnosti vezanu za simboličku dinamiku definiranu u

prvom poglavlju knjige, te simboličku dinamiku definiranu kod Smaleove

potkove. Tamo je dokazana propozicija koja glasi:

Ako je si = ti za i = 0, 1, . . . , k tada je d(s, t) ≤ 1/2k. Ako je d(s, t) <1/2k, tada je si = ti, za i = 0, 1, . . . , k.

Zanima me postoji li analogna tvrdnja za pomak definiran u kontekstu

Smaleove potkove i može li se izvesti iz spomenute propozicije?

O: Postoji analogna tvrdnja. Zato u uputama za domaću zadaću pǐse

3

da se pogledaju poglavlja Simbolička dinamika i Topološka konjugacija u

knjizi. U novu verziju predavanja od 23.3. je dodana Lema 3.2 s dokazom,

koja je analogon gornje tvrdnje.

(5) OBAVIJEST: Ukoliko zbog svega što nas je pogodilo ne uspijete završiti

domaću zadaću do srijede, molim vas da do srijede pošaljete dio domaće

zadaće koji ste napravili, a ostatak slobodno pošaljite do petka.

(6) P: Ne razumijem kako definirani skup klasa ekvivalencije čini torus? Ako

uzmemo proizvoljnu točku (x, y) ∈ R2, onda je (translatirana) cjelo-brojna mreža koja sadrži (x, y) upravo klasa [x, y], zar ne? No, to očito

ne čini torus, a i kasnije u skripti pǐse da je projekcija pravca y = 0 na

torus kružnica S1, a po meni bi bila dužina izmedu (0, 0) i (1, 0).

O: “Ako uzmemo proizvoljnu točku (x, y) ∈ R2, onda je (translatirana)cjelobrojna mreža koja sadrži (x, y) upravo klasa [x, y], zar ne?” Da!

“No, to očito ne čini torus.” Ne, to je samo jedna točka na torusu. I svaka

takva klasa je samo jedna točka na torusu. Npr. sve točke oblika (k, 0),

k ∈ Z, su identificirane danom relacijom i predstavljaju samo jednu točkuna torusu, točku [0, 0]. Zato se ne samo polusegment izmedu (0, 0) i (1, 0)

projecira na kružnicu S1 na torusu, već se i cijeli pravac y = 0 projecira

na kružnicu S1 na torusu (“namota” se na kružnicu tako da se sve točke

oblika (k, 0), k ∈ Z, “zalijepe”). Analogno se i sve točke oblika (0, k),k ∈ Z, identificiraju i predstavljaju isto točku [0, 0] (y-os se isto “namota”na drugu kružnicu torusa). Intuitivno, svaki kvadrat ravnine s vrhovima

(m,n), (m+1, n), (m,n+1) i (m+1, n+ 1) identificira se s kvadratom s

vrhovima (0, 1), (1, 0), (0, 1) i (1, 1) i onda se još identificiraju vertikalni

bridovi i identificiraju se horizontalni bridove i dobije se torus.

Možda se pitate što nam treba tako komplicirana konstrukcija, kada smo

mogli jednostavno samo identificirati vertikalne i horizontalne bridove

jediničnog kvadrata (0, 1), (1, 0), (0, 1) i (1, 1). To nam, izmedu ostalog,

omogućava da jednostavno dokažemo da je W u[0] gust u torusu, jer je

4

W u[0] projekcija pravca W u na torus. Pravac W u siječe mnoge kvadrate

s vrhovima (m,n), (m+ 1, n), (m,n+ 1) i (m+ 1, n+ 1). Identificiranje

svih tih kvadrata ustvari “namata” pravac W u na torus.

(7) P: Zašto je A−1 isto hiperbolična? (str. 16)?

O: Ako su λ1 i λ2 svojstvene vrijednosti matrice A, onda su λ−11 i λ

−12

svojstvene vrijednosti matrice A−1 i λ1, λ2 6= ±1 povlači λ−11 , λ−12 6= ±1pa je A−1 isto hiperbolična.

(8) P: Kako iz korolara 2.3. slijedi da su svojstvene vrijednosti realne i da

iznose (apsolutno) vǐse i manje od 1? (str. 17)?

O: Korolar 2.3. Neka je A ∈ M2. Tada postoji realna matrica G ∈ M2takva da G−1AG ima jedan od slijedeća tri oblika:[

a −bb a

],

[λ 00 µ

],

[λ 10 λ

],

gdje su svi elementi realni i b 6= 0. Budući da su determinante sličnihmatrica jednake, to povlači da detA može poprimiti jednu od sljedećih

vrijednost: a2 + b2, λµ ili λ2. Definicija 4.1. 2. zahtjeva detA = ±1, adefinicija 4.1. 3. zahtjeva da je A hiperbolična, što znači da |λ1| 6= 1 6=|λ2|. Budući da a2 + b2 = 1 i λ2 = 1 povlači da su |λ1| = 1 = |λ2|, iz togaslijedi da A ima dvije realne i različite svojstvene vrijednosti λ 6= ±1 iµ 6= ±1. Kako λµ = 1, apsolutna vrijednost jedna od njih je > 1, adruge < 1.

(9) P: Na dnu 21. stranice, ispod slike 1, pǐse da LA preslikava [A,B] unutar

sebe. Ne vidim baš zašto.

O: Primijetimo da je [0] ∈ Int[A,B] (sva četiri vrha kvadrata su identifici-rana i predstavljaju točku [0] na torusu). Kako je [A,B] ⊂ W s[0] vrijediLnA[P ]→ [0] kada n→∞ za svaki [P ] ∈ [A,B] pa je LA[A,B] ⊂ [A,B].Takoder, budući da je λs < 0, iteracije će alternirati oko [0].

5

(10) P: Kako zaključiti da je LA(Ri) ∩ Int(Rj) 6= ∅ za neke i, j? Ne vidimnikakav jednostavan način osim uvrštavanja pojedinih točaka iz Ri u

preslikavanje LA, a to mi se baš ne čini praktično općenito.

O: Da bismo znali za koje i, j je LA(Ri) ∩ Int(Rj) 6= ∅ trebamo prvokonstruirati Markovljevu particiju {R1, R2, R3}, zatim izračunati LA(Ri)za i = 1, 2, 3 i iz dobivenog se direktno vidi kada je LA(Ri)∩ Int(Rj) 6= ∅.

Konstrukcija Markovljeve particije.

(a) Izračunati svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore matrice A. U

našem slučaju je A =

[1 11 0

], λu =

1+√5

2> 1 i −1 < λs = 1−

√5

2< 0,

a pripadni svojstveni vektori su y =√5−12x i y = −

√5−12

x, redom.

(b) U jedinični kvadrat koji predstavlja torus nacrtati dio W u[0] koji

kreće iz (0, 0) i završava na desnoj vertikalnoj stranici kvadrata. To

je dio pravca y =√5−12x izmadu točaka (0, 0) i (1,

√5−12

)).

(c) Nacrtati dio W s[0] koji kreće iz (0, 1) i završava na W u[0] te dio

koji kreće iz (1, 0) i takoder završava na W u[0]. Obadvije dužine

imaju koeficijent smijera −√5−12

, prva je dio pravca y = −√5−12

x+ 1

izmedu točaka (0, 1) i A, a druga je dio pravca y = −√5−12

(x − 1)izmedu točaka (1, 0) i B. Primijetimo da je [0] ∈ Int[A,B], jer susva četiri vrha kvadrata identificirana i predstavljaju točku [0] na

torusu.

(d) Produžiti dužinu [(0, 0), (1,√5−12

)] ⊂ W u[0] iz (b) na obje strane dopresjecǐsta sa W s[0]. Ta dužina se iz točke (1,

√5−12

) nastavlja kroz

točku (0,√5−12

) (vertikalne stranoce kvadrata su identificirane) do

točke D ∈ W s[0] i dio je pravca y =√5−12

(x+ 1). Dana dužina se iz

točke (0, 0) nastavlja kroz točku (1, 1) do točke C ∈ W s[0] i dio jepravca y =

√5−12

(x − 1) + 1. Primijetimo da je [0] ∈ Int[C,D], jersva četiri vrha kvadrata predstavljaju točku [0] na torusu.

6

(e) Dužine [A,B] i [C,D] omeduju tri pravokutnika koji čine Markov-

ljevu particiju {R1, R2, R3} za LA.

D

C

A

B

A'

C'

B'

D'

Slika 3: Na donjoj slici označen je pravokutnik LA(R1) (plavo).

Računanje LA(Ri) za i = 1, 2, 3.

(a) Izračunati koordinate točaka A, B, C, D i njihove slike A′ = LA(A),

B′ = LA(B), C′ = LA(C) i D

′ = LA(D).

(b) Primijetiti da je A′ = B i B′ = D. Dakle, [A′, B′] = LA[A,B] =

[B,D] ⊂ W s[0]. Jer je [A,B] ⊂ W s[0], dužina [A′, B′] ⊂ W s[0] jekraća od [A,B] za faktor λs.

(c) Takoder, C,D ∈ W s[0] pa će C ′ i D′ biti bliže točki [0] i na drugustranu od [0]. U isto vrijeme, dužina [C ′, D′] ⊂ W u[0] biti će dužaod [C,D] ⊂ W u[0] za faktor λu.

7

(d) Da bismo dobili dužinu [C ′, D′] trebamo dužinu [C,D] produljiti na

obje strane do sjecǐsta sa [A′, B′]. Produžetak od točke C ide prema

lijevoj vertikalnoj stranici pravokutnika do točke (0, 3−√5

2), nastavlja

se kroz točku (1, 3−√5

2) na desnoj vertikalnoj stranici pravokutnika

do točke C ′ ∈ W s[0]. Produžetak od točke D ide prema gornjojhorizontalnoj stranici pravokutnika do točke (

√5−12, 1), nastavlja se

kroz točku (√5−12, 0) na donjoj horizontalnoj stranici pravokutnika

do točke D′ ∈ W s[0].

(e) Dužine [A′, B′] i [C ′, D′] omeduju pravokutnike LA(Ri), i = 1, 2, 3.

(11) P: Da li je LA u zadaći proizvoljan ili isti onaj specifični kojeg koristimo

u najnovije dodanom dijelu skripte?

O: LA je proizvoljan hiperbolički automorfizam torusa.

(12) P: Možete li nam preporučiti neki program ili alat pomoću kojega možemo

nacrtati Markovljevu patriciju?

O: Markovljevu particiju, njenu sliku i prasliku možete nacrtati na jako

puno načina, sve ovisi o vašem znanju i preferencijama. Jedna od moguć-

nosti je direktno crtanje u LaTeX-u korǐstenjem nekog od paketa “use-

package graphicx” i/ili “usepackage tikz”. Jednostavna slika nacrtana na

taj način (nema nikakve veze s Markovljevom particijom, ali svi elementi

te slike potrebni su za crtanje Markovljeve particije) i njen kod izgledaju

ovako:

8

\begin{ f i g u r e } [ h ]\begin{ c en te r }{\begin{ t i k z p i c t u r e }\ t i k z s t y l e { every node}=[draw , c i r c l e , f i l l =white , minimum s i z e =1.5pt ,inne r sep=0pt ]\ t i k z s t y l e {dot}=[ c i r c l e , f i l l =white , minimum s i z e =0pt , inner sep=0pt ,outer sep=−1pt ]\node (n1) at (2*4/3 ,0 ){} ; \node (n2) at (−2*4/3 ,2*2/3){} ;\node (n3) at (−2*2/3 ,−2*2/3){} ; \node (n4) at (2*4/9 ,2*2/9){} ;\node (n10) at (0 ,−2*4/3){} ;\ t i k z s t y l e { every node}=[draw , c i r c l e , f i l l =white , minimum s i z e =0.1pt ,inne r sep=0pt ]\node (n6) at (−3 ,0){} ; \node (n7) at ( 3 , 0 ){} ;\node (n8) at ( 0 , 2 ){} ; \node (n9) at (0 ,−3){} ;\ f o r each \ from/\to in {n1/n2 , n1/n3 , n2/n3 , n6/n7 , n8/n9 , n4/n10}\draw (\ from ) −− (\ to ) ;\node [ dot , draw=none , l a b e l=above : $Z$ ] at (2*4/3 ,0 ){} ;\node [ dot , draw=none , l a b e l=above : $L {a , b}(Z ) $ ] at ( −2 .3 , 2 . 3 ){} ;\node [ dot , draw=none , l a b e l=above : $L {a , b}ˆ2(Z ) $ ] at (−1 ,−1){};\node [ dot , draw=none , l a b e l=above : $X$ ] at (1 , 2*2/9){} ;\node [ dot , draw=none , l a b e l=above : $V 0 $ ] at (0 . 3 , −2 .5 ){} ;\end{ t i k z p i c t u r e }}\end{ c en te r }\caption{Trokut $\Delta $ .}\ label{ f i g .D}\end{ f i g u r e }

Z

La,b(Z)

L2a,b(Z)

X

V0

Slika 4: Trokut ∆.

9

Najjednostavniji način “crtanja u LaTeX-u” je upotreba nekog drugog

programa za crtanje, npr. OneNote, Paint, Drawboard PDF i sl. te

uključivanje tako dobivene slike u LaTeX file na sljedeći način:

\begin{ f i g u r e } [ ht ]\centering\ i n c l u d e g r a p h i c s [ width =12.0cm, he ight =10.0cm]{Torus 11}\caption{Na donjo j s l i c i ozna\v cen j e pravokutnik

$L A(R 1)$ ( plavo ) . }\ label{ f i g : s l i k a }

\end{ f i g u r e }

D

C

A

B

A'

C'

B'

D'

Slika 5: Na donjoj slici označen je pravokutnik LA(R1) (plavo).

Slika koja je uključena gore u naredbi “includegraphics” zove se “To-

rus11.pdf” i nacrtana je u OneNote.

Najjednostavniji način učenja svega toga po meni je unijeti u Google

10

tražilicu pitanje koje vas zanima. Npr. ja sam maloprije googlala “How

display LaTeX code in LaTeX document” i naučila kako da vam prikažem

LaTeX kod i njegovu izvedbu jedno ispod drugog :)

(13) OBAVIJEST: Sve slike trebaju biti uključene u jednu pdf datoteku.

Dakle, cijela domaća zadaća treba biti sadržana u jednoj pdf datoteci.

Projekt, tj. domaću zadaću, možete poslati ovaj puta do petka, 17. trav-

nja.

(14) P: Mislim da postoji greška na slici 3 s 23. stranice u skripti. U privitku

šaljem ...

O: U pravu ste, super za vrlo pažljivo čitanje i provjeru. Puno hvala da

ste javili. Gornja slika na slici 3 u predavanjima sada je ispravljena.

(15) P: Nisam baš u potpunosti shvatio kako promatramo tj. kako je definirana

metrika na torusu. Npr. ako uzmemo točke X1 = (0.1, 0), X2 = (0.9, 0) ∈T2 tada je udaljenost izmedu X1 i X2

d(X1, X2) = d((0.1, 0), (0.9, 0)) = 0.8

(tj. metrika se “ponaša” kao na R2) ili

d(X1, X2) = d((0.1, 0), (0.9, 0)) = d((0.1, 0), (−0.1, 0)) = 0.2

(tj. metrika mjeri udaljenosti izmedu klasa ekvivalencije, odnosno za

dvije klase “traži” dvije najbliže točke u R2 i daje njihovu udaljenost).Do sada sam podrazumjevao da se radi o ovoj drugoj metrici, zanima

me je li to ispravno?

O: Je, to je ispravno.

(16) P: Zapravo drugo pitanje potaknulo me je da vas i pitam prvo. Dakle,

puni torus definirali smo kao S1 × B2, gdje je S1 jedinična kružnica,a B2 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}. U skripti pǐse (cjelina 6) ako

11

su X, Y ∈ B2(ϕ) da je tada d(F n(X), F n(Y )) < 110n

, što bi značilo da

je največa udaljaljenost izmedu dvije točke u B2(ϕ) jednaka 1. Dok je

najveća udaljaljenost izmedu dvije točke u jediničnom krugu jednaka 2.

Prema tome promatramo li B2(ϕ) takoder kao torus?

O: Ne razumijem baš pitanje, no B2(ϕ) je običan jedinični krug i sva-

kako treba pisati d(F n(X), F n(Y )) < 210n

, jer je najveća udaljaljenost

izmedu dvije točke u B2(ϕ) jednaka 2. Hvala na pažljivom čitanju i na

upozorenju. Greška će biti ispravljena u pdf datoteci predavanja.

P: Možemo li puni torus promatrati kao cilindar (tj. valjak) u R3? Štovoše,možemo li ga promatrati kao jediničnu kocku tj. kao R3/Z3?

O: Puni torus možemo gledati kao valjak kome su identificirane gornja i

donja baza (baze valjka su krugovi).

R3/Z3 = T3 ⊂ R4 je trodimenzionalni torus (ne puni torus) koji jepodskup četverodimenzionalnog euklidskog prostora i ne može se jed-

nostavno vizualizirati.

Inače, puni torus se bitno razlikuje od kugle, valjka i kocke (ili analogno,

torus se bitno razlikuje od sfere, plašta valjke i plašta kocke). Naime,

svaka petlja (put koji počinje i završava u istoj točki) na npr. sferi može

se kontrahirati u točku (isto i na plaštu valjka ili kocke), no na torusu

postoje petlje koje se ne mogu kontrahirati u točku. Jedna takva petlja

je kružnica koja omedjuje B2. Tu kružnicu ne možete vǐse “stisnuti”,

jer bi “poderali” torus. Ta razlika je posljedica činjenice da torus ima

“rupu”, a sfera nema (kao ni ostale navedene plohe).

(17) P: Pri dokazivanju da je Cantorov skup Λ atraktor za Smaleovu potkovu,

kako možemo Λ napisati kao presjek ...

O: Za sada mogu reći samo da je to jedno od onih trik pitanja koja

postavljam izrazito rijetko, ali ponekad takva pitanja mogu jako pomoći

u razumijevanju materijala. Budući da je atraktor jedan od centralnih

12

objekata dinamičkih sustava, mislim da je to dobar trenutak za takvo

pitanje :) (Uputa: Dobro pitanje za razmotriti je koji skup je klopka za

potkovu F i što je zaista presjek svih iteracija tog skupa.)

(18) P: Možemo li zadaću predati ...

... postoji li mogućnost da malo produljite rok za predaju zadaće ovaj

tjedan?

O: Budući da je rok za predaju prošle zadaće bio petak te da ova zadaća

ima nešto vǐse zadataka (iako su neki veoma jednostavni), slažem se da

se rok za predaju zadaće produlji do petka, 23.4. do 15 sati. Sljedeća

zadaća će imati manje zadataka, tako da će za nju rok biti standardan,

tj. srijeda do 15 sati.

(19) P: Imam pitanje u vezi 5. zadatka iz domaće zadaće. Izračunala sam fik-

sne točke zadanog preslikavanja, ali mi nije jasno kako odrediti stabilne

i nestabilne mnogostrukosti, jer nam teorem koji je naveden u preda-

vanjima ne daje postupak izračunavanja, nego samo garantira njihovu

egzistenciju. Vidjela sam da je u knjizi prikazan fazni dijagram zadanog

preslikavanja, ali bih molila da mi ga malo pojasnite.

O: Nakon što ste izračunali fiksne točke, trebate ih ispitati da li su hi-

perbolične i ako jesu, kakve su. U tu svrhu trebate izračunati Jacobijevu

matricu DF te u nju uvrstiti svaku od fiksnih točaka. Budući da Ja-

cobijeva matrica u svakoj od fiksnih točaka ima jako jednostavan oblik,

svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore možete direktno očitati. Svoj-

stvene vrijednost daju tip fiksne točke, a svojstveni vektori daju stabilne

i nestabilne mnogostrukosti kada postoje, jer je preslikavanje jako jed-

nostavno.

Kada je preslikavanje kompliciranije, teorem o stabilnoj i nestabilnoj

mnogostrukosti daje samo tangencijalne vektore na te mnogostrukosti

u sedlastoj fiksnoj točki te iz toga, naravno, ne možete zaključiti kako

13

izgledaju stabilna i nestabilna mnogostrukost izvan neke male okoline

fiksne točke.

(20) P: Nije mi u potpunosti jasna definicija 7.2. iz skripte. Naime, ne pǐse

treba li točka P biti hiperbolična, možda i ne bi trebalo to pisati, ali

samim time postavlja se pitanje, da li je u trećem slučaju, odnosno kada

je P sedlasta, dozvoljeno imati svojstvenu vrijednost kojoj je apsolutna

vrijednost jednaka 1 (pǐse da su neke manje a neke veće od 1, što je sa

preostalima)?

O: Neposredno iznad definicije 7.2. pǐse “Postoje tri tipa hiperboličkih

periodičnih točaka: ponor (privlačna), izvor (odbojna) i sedlo.” te se

onda u definiciji 7.2. definira kada je periodičnih točaka privlačna, od-

bojna ili sedlo. Čini mi se da je potpuno jasno da se ustvari radi o

hiperboličkoj periodičnoj točki pa u samom iskazu definicije to nisam

opet ponovila. Žao mi je ako je možda nedovoljno jasno.

(21) P: Atraktori, str. 37, dio zadnjeg paragrafa: “Zato je Fm(ϕa) − ϕa ≤ 0i Fm(ϕb) − ϕb ≥ 0 pa zbog neprekidnosti preslikavanja F postoji ϕ∗ ∈(ϕ0 − δ, ϕ0 + δ) takav da je Fm(ϕ∗) = ϕ∗.”

Nije mi jasno kako dio “zbog neprekidnosti preslikavanja F postoji ϕ∗ ∈(ϕ0 − δ, ϕ0 + δ) takav da je Fm(ϕ∗) = ϕ∗” slijedi iz teksta prije.

O: Budući da je Fm(ϕa)−ϕa ≤ 0 i Fm(ϕb)−ϕb ≥ 0, a F je neprekidna,postoji ϕ∗ ∈ (ϕa, ϕb) ⊂ (ϕ0 − δ, ϕ0 + δ) takav da je Fm(ϕ∗)− ϕ∗ = 0, ato znači da je Fm(ϕ∗) = ϕ∗.

Nadam se da sam razumjela pitanje. Ako nisam pitajte ponovo malo

preciznije.

(22) OBAVIJEST: Kao što ste vjerojatno i sami zaključili, predavanja su

završena. Ovaj i sljedeći tjedan imamo samo “vježbe”. To znači da

na rješenjima domaćih zadaća možete naći rješenja zadataka 3 i 4 iz

7. domaće zadaće. To su veoma opsežni zadatci pa će to biti dovoljno

14

za ovaj tjedan. Sljedeći tjedan će na “vježbama” biti napravljeni ostali

zadatci 7. i 8. domaće zadaće. Posljednja, 9. domaća zadaća je opet

projekt koji ovaj puta za temu ima Hénonova preslikavanja. Rješenja

projekta možete poslati do petka, 29. svibnja.

(23) OBAVIJEST: Na rješenjima domaćih zadaća možete naći vježbe za ovaj

tjedan, tj. rješeni su svi zadatci 7. i 8. domaće zadaće. Time je kolegij

Diskretni dinamički sustavi završen. Želim vam puno sreće i uspjeha na

provjerama znanja.

(24) P: Imam pitanje u vezi 9. DZ. U pretpredzadnjem paragrafu, gdje tre-

bamo dokazati ograde za |u1| i |v−1|, treba li u uvjetu |x| ≥ λ(|b|+ 1)/2,umjesto x pisati u0?

O: Ne, ali kontrolirajući ponovo taj dio zadatka primjetila sam da se,

na žalost, ipak potkrala jedna greška: umjesto (u1, v1) = H(u0, v0) i

(u−1, v−1) = H−1(u0, v0) treba biti (u1, v1) = DH(x, y)(u0, v0) i (u−1, v−1) =

DH−1(x, y)(u0, v0). Naime, na vektore konusa djeluje derivacija ili njen

inverz. Na web stranici predmeta je sada ispravljena verzija.

(25) P: Još mi je jedna stvar čudna u tom podzadatku. Naime, nemamo

nikakav uvjet na y. Pretpostavljam da bi nam trebao neki uvjet na y,

kao što ga imamo na x, kako bismo mogli koristiti prethodno dokazane

tvrdnje o invarijantnosti promatranih konusa pod djelovanjem DH(x, y)

i DH−1(x, y).

O: Da, u pravu ste, očito taj mali odlomak krije vǐse grešaka. Moja

isprika svima na tome. Na y treba isti uvjet kao i u odlomku iznad.

Takoder, stavila sam strogu nejednakost na λ za taj podzadatak da biste

mogli dokazati stroge nejednakosti koje se traže u tom odlomku. Ispravak

je sada na web stranici predmeta.

(26) P: Budući da se ovaj kolegij održava prvi put i nemamo nikakvih infor-

macija o kolokvijima od prijašnjih studenata, možete li ukratko napisati

15

neke najvažnije smjernice u vezi ispita, u smislu da naglasite neke naj-

bitnije stvari koje treba znati i razumjeti (kao što ste npr. znali naglasiti

prije kolokvija iz kolegija Metrički prostori - skrenuli nam pažnju na

odredene primjere i zadatke te teoreme). Budući da nismo imali pri-

like slušati Vaša predavanja pa da bismo, kao inače, već iz samog Vašeg

govora zaključili kad je nešto stvarno bitno, čitajući materijale nije baš

najlakše odgonetnuti koji dijelovi i koji zadaci su ipak malo bitniji, a koji

su “dodatni”, ako bih tako mogla reći.

O: Pisana provjera znanja će imati pet pitanja i svako pitanje će imati

tri dijela. Važne su definicije i iskazi važnih teorema, jer samo to donosi

nešto vǐse od trećine svih bodova. Važni su i primjeri dinamičkih sus-

tava, kao linerno preslikavanje ravnine, Smaleova potkova, hiperbolički

automorfizam torusa te Hénonovo preslikavanje. Biti će i jedno pitanje

vezano uz atraktore. Zadnja dva poglavlja, sedmo i osmo, svakako su

najvažniji dijelovi kolegija i pitanja vezana uz njih donose trećinu svih

bodova. Sva pitanja i zadatci su iz predavanja, domaćih zadaća i iz “Pi-

tanja i odgovora”, tj. neće doći nikakve “improvizacije” :) Želim vam

svima puno uspjeha!

16