Pitanja prevoƒenja - marul.ffst.hrmarul.ffst.hr/~logika/2007/14prosinca/prijevodiPrviDio.pdfPre–ksni zapis predikata: ™Cijeni(albert,goriot)™i ™Cijeni(x,y)™. Primjer Predikat

Pitanja prevo�enja

prosinac 2007

() Pitanja prevo�enja prosinac 2007 1 / 106

Ispravno sastavljene formule Sintaksa logike prvog reda

Varijable i atomarne ispravno sastavljene formule

Za primjenu kvanti�katora u logici prvog reda trebaju nam dodatnisimboli: termi koje nazivamo varijable.

Varijable su vrsta terma.



Varijable i individualne konstante: sintaktiµcka sliµcnosti

Sliµcnost varijabli i individualnih konstanti je sintaktiµcka: one se javljaju namjestu argumenata za predikate i funkcijske simbole.

Primjer

In�ksni zapis funkcije: �2+ 2�i �x + y�.

Primjer

Pre�ksni zapis predikata: �Cijeni(albert, goriot)�i �Cijeni(x , y)�.

Primjer

Predikat µciji su argumenti sloµzeni termi: �Cijeni(albert, otac(albert))� i�Cijeni(x , otac(x))�.



Varijable i individualne konstante: semantiµcka razlika

Varijable ne referiraju na predmete.

Varijable "zauzimaju mjesto" argumenata na naµcin koji omogucuje dase izraze razliµciti odnosi izme�u kvanti�katora i poloµzaja argumenatau razliµcitim predikatima i funkcijama.



Varijable i predmeti

Citat

4. 1272 [...] Kad god se rijeµc �predmet�(�stvar�, �entitet�,...) koristi naispravan naµcin, ona se u pojmovnom pismu izraµzava varijablom.Wittgenstein, L. Tractatus Logico-Philosophicus



Ispravno sastavljene formule

Izraze koji imaju oblik atomarnih reµcenica a u kojima se na mjestuneke individualne konstante nalazi varijabla nazivamo atomarnimispravno sastavljenim formulama (isf-ama).

U jeziku logike prvog reda moµzemo koristiti beskonaµcan broj varijabli.

Za oznaµcavanje varijabli obiµcno se koriste slova t, u, v ,w , x , y , z , bilos brojµcanim podznakom ili bez njega.



Ispravno sastavljene formule

Funkcijski izrazi nisu nuµzni.

Sve �to moµzemo reci koristeci funkcije, moµzemo reci, dodu�e s duµzimzapisom, i bez njih.

Raspravu na moµzemo ograniµciti na individualne konstante iindividualne varijable.

De�nicija

P(t1, ..., tn) jest atomarna ispravno sastavljena formula akko svaki ti ,1 � i � n jest ili indvidualna konstanta ili individualna varijabla a P jestn-mjesni predikat.


Ispravno sastavljene formule Otvorene i zatvorene "reµcenice"

Uvjeti i tvrdnje

Ako je P atomarna reµcenica, onda je P atomarna ispravno sastavljenaformula.

Primjer

Atomarne isf-e: Cijeni(x , otac(x)), Cijeni(x , otac(albert)),Cijeni(albert, otac(albert)).

Atomarne isf s varijablama nisu reµcenice.

Prije bismo ih mogli shvatiti kao opis nekog uvjeta. Tek dodavanjemkvanti�katora eventualno dobivamo tvrdnju o tome da neki predmetizadovoljavaju taj uvjet.



Vjeµzba

Primjer

Isf-u Cijeni(x , otac(x)) moµzemo shavtiti kao uvjet �onaj koji cijeni svogoca�. Dodavanjem kvanti�katora, na primjer sa �svatko�dobivamoreµcenicu: �Svatko je onaj koji cijeni svoga oca�odnosno �Svatko cijenisvoga oca�. Reµcenicu dobivamo i zamjenom varijable s indvidualnomkonstantom. Na primjer, �Ivica (je onaj koji) cijeni svog oca�ili�Cijeni(ivica, otac(ivica))�.



Vjeµzba

Koristimo aplikaciju na Interaktivnoj logici!

Pitanje

Izgradite strukturu u kojoj ce sve osobe biti celave i u kojoj ce reµcenica�Nijedan pu�aµc lule nije celav�biti istinita.



Pitanje

Ispitajte na sluµcajnoj strukturi koje osobe zadovoljavaju uvjet �onaj kogacijeni svi oni koji nekoga cijene�[u formalnom zapisu: Svi x (Postoji y Cxy-> Cxz)].

Pitanje

Ispitajte na sluµcajnoj strukturi koje trojke osoba zadovoljavaju uvjet �oneosobe gdje prvo-spomenuta cijeni drugo-spomenutu a ta cijenitrece-spomenutu�[Cxy & Cyz].


Semantika kvanti�katora Zadovoljavanje

Odnos predmeta i isf-e

Za odrediti pod kojim je uvjetima kvanti�cirana reµcenica istinita trebanam dodatni pojam - pojam zadovoljavanja (ispunjavanja, eng.satisfaction).

De�nicija

Predmet o zadovoljava atomarnu isf-u U(x) ako i samo ako o jest U.



Pojam zadovoljavanja moµze se de�nirati na razliµcite naµcine. Ovdjecemo opisati onaj koji je ugra�en u program Tarski�s World.

Neka je S(x) isf-a u kojoj je x jedina slobodna varijabla. µZelimo znatizadovoljava li odre�eni objekt S(x). Ako taj objekt ima ime, recimob, pravimo novu reµcenicu S(b) tako �to zamjenjujemo svaku slobodnupojavu x-a s individualnom konstantom b. Ako je nova reµcenicaS(b) istinita, onda taj objekt zadovoljava formulu S(x); ako novareµcenica nije istinita, onda taj objekt ne zadovoljava formulu.

Ovakav postupak funkcionira dobro sve dok predmeti imaju imena.No, logika prvog reda ne zahtijeva da svi predmeti imaju imena. Kakode�nirati zadovoljavanje za "bezimene" predmete?

Za tu svrhu Tarski�s World ima dodatni popis individualnih konstantin1, ..., nn. µZelimo li znati zadovoljava li neki bezimeni predmetformulu S(x), uzimamo prvo slobodno ime s popisa, na primjer n6 injime privremeno imenujemo taj predmet. Potom provjeravamo je lireµcenica S(n6) istinita.



Preliminarna de�nicija semantike kvanti�katora

Uz pomoc pojma zadovoljavanja moµzemo de�nirati uvjete istinitostiza reµcenicu 9xS(x). Ona ce biti istinita ako i samo ako postojipredmet koji zadovoljava isf-u S(x). Sliµcnim naµcinom de�niramouvjete istinitosti za 8xS(x).

De�nicija

Reµcenica 8xS(x) je istinita ako i samo ako svaki predmet zadovoljavaispravno sastavljenu formulu S(x).

De�nicija

Reµcenica 9xS(x) je istinita ako i samo ako barem jedan predmetzadovoljava ispravno sastavljenu formulu S(x).

U gornjim de�nicijama pre�utno pretpostavljamo da nam je zadana jasnoodre�ena kolekcija predmeta o kojima je rijeµc.



Domena

Skup predmeta koje uzimamo u obzir kada ispitujemo odnoszadovoljavanja nazivamo domenom, predmetnim podruµcjem,univerzumom, univerzumom rasprave i sliµcno.

Domena je takoreci izvanjeziµcni "kontekst" s obzirom na koji reµcenicezadobivaju znaµcenje.

Domena koju se µzeli uzeti u obzir naziva se intendiranom domenom.

Ponekad se domena o kojoj se µzeli govoriti (koja se intendira, premakojoj se smjera) ne moµze zahvatiti pomocu jezika kojega koristimo.



Konvencije zapisa

Oznaka S(x) ili P(y) stoji za moµzda sloµzenu isf-u logike prvog reda.Varijabla u zagradama zastupa samo slobodne pojave te varijable.

Primjer

�P(y)�moµze stajati za �9x(LijevoOd(x , y) _DesnoOd(x , y))�. U tomsluµcaju �P(b)�oznaµcava �9x(LijevoOd(x , b) _DesnoOd(x , b))�



Metafore

Kvanti�kaciju bismo mogli zahvatiti na sljedeci naµcin.

Domena je "vreca" iz koje izvlaµcimo "kuglice" (predmete). Nakon �tosmo izvukli neku kuglicu ispitujemo zadovoljava li ona isf-u. Buduci dato ispitivanje moµze ukljuµcivati novo izvlaµcenje, trebamo zapamtiti kojusmo kuglicu izvukli i vratiti je natrag u vrecu radi moguceg daljnjegizvlaµcenja.Varijable su "µcuvari mjesta". Razliµcite pojave iste vezane varijable kaµzuda se na njihovim mjestima u svakom izvlaµcenju smje�ta "slika" istekuglice.



Razlaganje u konaµcnoj domeni

Neka je podruµcje rasprave konaµcno i neka svaki predmet ima ime i tosamo jedno. Neka je popis tih imena n1, ..., nn. Tada 8xS(x) moµzemozapisati kao S(n1) ^ ...^ S (nn) jer su te reµcenice pod danimuvjetima istovrijedne. Jednako tako, 9xS(x) moµzemo zapisati kaoS(n1) _ ..._ S (nn).



Razlaganje u konaµcnoj domeni: primjer

Kod kombiniranih kvanti�katora ra�µclanu poµcinjemo s lijeve strane.

Primjer

9x8yR(x , y) ra�µclanjujemo: 1. korak

8yR(n1, y)| {z }1

_ ..._ 8yR(nn, y)| {z }n

zatim 2. korak

(R(n1, n1) ^ ...^ R(n1, nn))| {z }1

_ ..._ (R(nn, n1) ^ ...^ R(nn, nn))| {z }n



Razlaganje u konaµcnoj domeni: vjeµzba

Zadatak

Razloµzite sljedecu reµcenicu 9x [Kocka (x)! 8y Kocka (y)] s obzirom nadomenu koju cete sami saµciniti u Tarski�s World! Ispitajte njezinu istinitost!


µCetiri aristotelovska oblika

Aristotelovske reµcenice

univerzalno-a�rmativan A 8x(P(x)! Q(x))partikularno-a�rmativan I 9x(P(x) ^Q(x))univerzalno-negativan E 8x(P(x)! :Q(x))partikularno-negativan O 9x(P(x) ^ :Q(x))A¤Irmo; nEgO

Razlika izme�u logiµckog subjekta i logiµckog predikata nije odrµziva.



µCesta pogre�ka

�Neki P su Q�ne moµzemo prikazati kao �9x(P(x)! Q(x))�.

ZadatakPrimjenimo ra�µclanjivanje. Neka je podruµcje rasprave konaµcno i neka svakipredmet ima ime i to samo jedno. Popis imena je n1, ..., nn.9x(P(x)! Q(x)) ra�µclanjujemo na

(P(n1)! Q(n1)) _ ..._ (P(nn)! Q(nn))

Uoµcimo da je po de�niciji kondicionala ova reµcenica istinita kada ni jedanpredmet ne zadovoljava P(x), tj. kada nijedan predmet nije P. No u timuvjetima reµcenica �Neki P su Q�nije istinita.



�to uopce vrijedi u "logiµckom kvadratu" ako nema"egzistencijalnog unosa"



Odnosi kontradikcije: vjeµzba

ZadatakPokaµzimo na konaµcnoj domeni da su kontradiktorni sudovi uzajamnenegacije. Neka je podruµcje rasprave konaµcno i neka svaki predmet ima imei to samo jedno. Popis imena je n1, ..., nn. (i) :8x(P(x)! Q(x))razlaµzemo u (ii) :((P(n1)! Q(n1)) ^ ...^ (P(nn)! Q(nn))). (iii)zamijenimo kondicional s disjunkcijom::((:P(n1) _Q(n1)) ^ ...^ (:P(nn) _Q(nn))), (iv) primjenimoDeMorganov zakon: :(:P(n1) _Q(n1)) _ ..._ :(:P(nn) _Q(nn)), (v)primjenimo DeMorganov zakon jo�jednom:(P(n1) ^ :Q(n1)) _ ..._ (P(nn) ^ :Q(nn)). Disjunktivna normalnaforma (v) upravo prikazuje 9x(P(x) ^ :Q(x)). Generalizirajuci moµzemoutvrditi da vrijedi

:8x(P(x)! Q(x)), 9x(P(x) ^ :Q(x))



Kombinacija kvanti�ciranih i nekvanti�ciranih reµcenica:vjeµzba

ZadatakKombinacija nekvanti�ciranih i kvanti�ciranih reµcenica. Neka �I�stoji za�Ivica ce se iznenaditi�, neka su predikati �PozvanNaZabavu(x)�i�DolaziNaZabavu(x)�. Popis imena je n1, ..., nn. Kako bismo u prirodnomjeziku proµcitali(i) 8x [(PozvanNaZabavu(x) ^DolaziNaZabavu(x))! I ], a kako(ii) 8x (PozvanNaZabavu(x)! DolaziNaZabavu(x))! I?


Razgovorne implikature Paul Grice (1913-1988)

Sugestija koja se moµze napustiti

Reµcenicu �Svi P su Q�obiµcno razumijemo kao da ona povlaµci �Ppostoji�. No to nije sluµcaj, tu postoji konverzacijska ali ne i logiµckaimplikacija.

Primjer

�Svi studenti koji su predali rje�enja zadataka, dobili su izvrsne ocjene�Nonitko nije predao rje�enja pa je reµcenica istinita. Konzistentno je nastavitis reµcenicom �Ali nitko nije predao rje�enja�.

TeoremRazgovorna implikatura moµze se osporiti bez stvaranja kontradikcije.



Sugestija koja se moµze napustiti

Reµcenicu �Neki P su Q�obiµcno razumijemo kao �Neki P jesu Q, a nekinisu�. I ovdje je rijeµc samo o razgovornoj implikaturi.

Primjer

�Neki studenti su posjetili on-line teµcaj. Zapravo, to su uµcinili svi�jekonzistentan tekst.



Ako A implicira B, onda A^ :B nije zadovoljivo.Ako A "implikatira" B, onda A^ :B jest zadovoljivo.



Implikature nisu konvencije

Postoje naµcela kooperativne komunikacije.

Pod pretpostavkom kooperativnog komuniciranja, u kojemu se govoriistina i to cijela istina, imamo pravo oµcekivati da implikature vrijede.

Postoje trendovi u suvremenoj �lozofskoj logici prema odre�ivanjulogike kao ispitivanja naµcela valjane (to jest - kooperativne,suradniµcke) komunikacije [npr. J. Groenendijk).


Kvanti�katori i funkcijski simboli

Uklonjivost funkcija

ZadatakAnalizirajte reµcenicu:

8x Ljubazniji(otac(otac(x)), otac(x))

Ona tvrdi da je svaµciji patrilinearni djed ljubazniji od oca te osobe. Zaiskazati istu reµcenicu bez funkcijskih simbola treba nam sloµzena reµcenica

8x8y8z(((OtacOd(x , y) ^OtacOd(y , z))! Ljubazniji(x , y))

Funkcijski simboli su vrlo korisni u logici prvog reda.

Zadatak

Iskaµzite reµcenicu �8xCijeni(x , otac(x))�ne koristeci funkcijske simbole!


Kvanti�katori i funkcijski simboli

Uklonjivost funkcija

Svakoj n-mjesnoj funkciji f moµzemo pridruµziti n+ 1-mjesni predikatna sljedeci naµcin F

on jamµci da najvi�e jedan predmet stoji u odnosu F s bilo kakoodabranih n pojava predmeta

8x8y8z1...8zn [(F (x , z1, ..., zn) ^ F (y , z1, ..., zn))! x = y ]

on u sluµcajevima kada je funkcija de�nirana jamµci postojanjeodgovarajuceg predmeta

8z1...8zn9x F (x , z1, ..., zn)

Tada reµcenicu P (f (t1, ..., tn)) moµzemo iskazati na sljedeci naµcin

9x [F (x , t1, ..., tn) ^ 8y (F (y , t1, ..., tn)! x = y) ^ P (x)]


Tautologije i kvanti�kacija

Razlikovanje vrsta logiµckih istina

Pojam tautologije uµzi je od pojma logiµcke istine.

Je li neka reµcenica tautolo�ka, to odre�ujemo pomocu istinitosnetablice.

Kvanti�cirane reµcenice ne moµzemo analizirati onako kako analiziramosloµzene reµcenice u propozicijskoj logici.



Logiµcke istine neprepoznatljive na istinitosnoj tablici

Primjer

9xKocka(x) _ 9x:Kocka(x) je logiµcka istina (reµcenica koja je istinita usvim zamislivim okolnostima u kojima neµcega, na �to se predikati moguprimjeniti, ima). No, ona nije tautologija: reµcenica istinita jedinozahvaljujuci znaµcenju istintosno-funcionalnih veznika. Moµzemo sastavitireµcenicu jednaku u smislu sintakse propozicijske logike (tj. µciji je oblikA_ B) koja nece biti logiµcka istina: 8xKocka(x) _ 8x:Kocka(x).



Test tautologiµcnosti

Da bismo ustanovili je li neka kvanti�cirana reµcenica- tautologija,moramo izdvojiti sastavne dijelove tako da istinitisno-funkcionalnastruktura postane vidljiva.

One veznike koji se javljaju u dosegu kvanti�katora zanemarujemo, apromatramo samo one logiµcke veznike koji se primjenjuju nareµcenicama.

Primjer

9xSameSize(x , a)| {z }A

! (8xCube(x)| {z }B

! 9xSameSize(x , a)| {z }A

)



Mali algoritam

Citat

(i) Kada u reµcenici S do�ete do kvanti�katora ili do atomarne reµcenicezapoµcnite s potcrtavanjem. Ako je rijeµc o kvanti�katoru, potcrtajte ga kaoi cijelu isf-u na koju se on primjenjuje. Ako je rijeµc o atomarnoj reµcenici,potcrtajte je.(ii) Kad zavr�ite s potcrtavanjem reµcenice dodjelite joj ime (A, B, C,...).(iii) Ako se istovjetni sastavni dio pojavljuje na jo�nekom mjestu ureµcenici S, dajte mu isto ime, ako ne, upotrebite prvo neiskori�teno ime.(iv) Kada do�ete do kraja reµcenice, zamijenite svaki sastavni dio sa slovomkoje ga oznaµcava. Rezultat nazivamo istinitosno-funkcionalnom formomreµcenice S.



Primjer

1 :(Tet(d) ^ 8xMaleno(x))! (:Tet(d) _ :8yMaleno(y));2 :(Tet(d)

A^ 8xMaleno(x))! (:Tet(d) _ :8yMaleno(y));

3 :(Tet(d)A^ 8xMaleno(x)

B)! (:Tet(d) _ :8yMaleno(y));


B)! (:Tet(d)

A_ :8yMaleno(y));


B)! (:Tet(d)

A_ :8yMaleno(y)

C);

6 :(A^ B)! (:A_ :C )



Vjeµzba

Tvrdnja

Kvanti�cirana reµcenica logike prvog reda je tautologija ako i samo ako jenjezina istinitosno-funkcionalna forma tautologija.

Primjer

Odredite istinitosno funkcionalnu formu korespondentnog kondicionala zatradicionalni zakljuµcak Barbara. Je li taj korespondentni kondicionaltautologija?


Tautologije i kvanti�kacija Valjanosti i posljedice prvog reda

Uzimanje svih "mogucnosti" u obzir

Intuitivna ideja o logiµckoj istini i logiµckoj posljedici poziva se naistinitost u svim logiµcki mogucim okolnostima: reµcenica je logiµckiistinita ako i samo ako je istinita u svim logiµcki mogucim okolnostima.

Reµcenica S je posljedica danih premisa ako i samo ako je S istinita usvim logiµcki mogucim okolnostima u kojima su sve premise istinite.

Preciznost ovih de�nicija moµzemo povecati za sluµcaj tautologija itautolo�kih posljedica modelirajuci "logiµcki moguce okolnosti" kaoredak u istinitosnoj tablici.



Terminolo�ki problem

Nema uvrijeµzenih naziva za razliµcite vrste logiµckih istina i posljedica.Barwise i Etchemendy predlaµzu sljedece:

Propozicijska logika Logika prvoga reda Opceniti pojamTautologija Valjana reµcenica prvoga reda Logiµcka istinaTautolo�ka posljedica Posljedica prvoga reda Logiµcka posljedicaTautolo�ka ekvivalencija Ekvivalencija prvoga reda Logiµcka ekvivalencija



Identitet

Predikat identiteta zauzima posebno mjesto me�u predikatima jersamo kod njega dopu�tamo da se doprinos njegovog znaµcenjapromatra kao svojstven logici prvog reda.

Razlozi zbog kojih se predikat identiteta tretira kao poseban, "logiµcki"predikat su dvojaki. Oni obuhvacaju opcenitost njegove primjene idoprinos u kvanti�kacijskoj izraµzajnosti. Prvo, identitet se javlja uskoro svim jezicima. Dok je �>�svojstven aritmetici, �2�teorijiskupova a �LijevoOd�obiµcnom jeziku i "jeziku blokova" (Tarski�sWorld), dotle je predikat identiteta prisutan u svim tim jezicima.Drugo, zahvaljujuci �=�moµzemo koristeci samo dva kvanti�katoraiskazati koliki je toµcan broj predmeta koji ispunjava neki uvjet, koji jenajveci, a koji najmanji broj takvih predmeta.



Hijerarhijska klasi�kacija



Vjeµzba

Pitanje

8xIsteVeli c ine(x , x), 8xKocka(x)! Kocka(b) i8x9yVoli(x , y) _ :8x9yVoli(x , y) su logiµcke istine (Svaka stvar jednakoje sama sebi po svojoj veliµcini; Ako je svaka stvar kocka onda je i b kocka;Svatko voli nekoga ili netko ne voli nikoga). Pitanje je jesu li to valjanereµcenice prvoga reda?



Metoda zamjene predikata

Je li neka reµcenica S valjana reµcenica prvoga reda moµzemo otkritizamjenjujuci predikate s drugim predikatima, a posebno sbesmislenim. Ako se istinitost izgubi u tim zamjenama, onda jeistinitost posljedica znaµcenja poµcetn-og/ih predikata, pa S nijevaljana reµcenica prvoga reda.



Metoda zamjene predikata

1 Za provjeru valjanosti i posljedice prvoga reda, zamijenite svepredikate osim identitetnog s novim simbolima bez znaµcenja, pazecipri tome da u sluµcaju kada se neki predikat javlja vi�e puta, svakunjegovu pojavu zamijenite s istim predikatom bez znaµcenja.

2 Za provjeru valjanosti prvog reda za reµcenicu S , poku�ajte opisatiokolnosti i dati tumaµcenje imena, predikata i funkcija iz S u kojima ceona biti neistinita. Ako se takve okolnosti ne mogu zamisliti, S jevaljana reµcenica prvoga reda.

3 Za provjeriti je li S posljedica prvog reda premisa P1, ...,Pn, poku�ajtenaci okolnosti i tumaµcenje u kojem ce S biti neistinito a P1, ...,Pnistinito. Ako se takve okolnosti ne mogu zamisliti, izvorni je zakljuµcakposljedica prvog reda.



Primjer

Neka je zadan zakljuµcak

Kocka (a) ,Tetraedar (b) ` a 6= b

Je li ovdje rijeµc o posljedici prvog reda? Metoda zamjene pokazuje da nije.Istina je da 1.Logi car(charles_dodgson) i 2. Knji zevnik(lewis_carroll),ali nije istina 3. :(charles_dodgson = lewis_carroll).


Poznate ekvivalencije s kvanti�katorima

Dvije varijante DeMorganovih zakona

Primjer

Iz :(9xKocka(x)A^ 8yDodekaedar(y)

B) primjenom istinitosno

funkcionalnog algoritma dobivamo :(A^ B), a iz:9xKocka(x)

A_ :8yDodekaedar(y)

Bdobivamo :A_ :B. Dobivene

reµcenice su tautolo�ki ekvivalentne, one su jedna instanca DeMorganovihzakona.

No, DeMorganove zakone i sliµcna logiµcka naµcela moµzemo primijeniti iunutar dosega kvanti�katora.



Primjer

Primjer

Podsjetite se kontrapozicije iz propozicijske logike:(A! B), (:B ! :A). Ispitajmo tradicionalni nepostredni zakljuµcak:S a P. Dakle, Ne-P e S. (i) 8x [Kocka(x)! Maleno(x)], (ii)8x [:Maleno(x)! :Kocka(x)] su ekvivalentne (ako su sve kockemalene, onda ni�ta �to nije maleno nije kocka, i obratno), ali nisutautolo�ki ekvivalentne.

ZadatakIzradite dokaz za gornji primjer!



Istraµzimo primjer! Izdvojimo nekvanti�cirani dio

(i) P(x)! Q(x)

(ii) :Q(x)! :P(x)�P�i �Q�predstavljaju bilo koju isf-u pod uvjetom da ona sadrµzislobodnu varijablu x i nijednu drugu slobodnu varijablu. Ne moµzemozapitati jesu li ove dvije isf-e ekvivalentne, jer one nisu reµcenice.Unatoµc tome, moµzemo lako dokazati da bilo koji predmet kojizadovoljava prvu isf-u (i) tako�er zadovoljava i i isf-u (ii).



Dokaz.

Primijenimo indirektan dokaz (reductio ad absurdum). Pretpostavimo dapostoje okolnosti u kojima neki predmet zadovoljava prvi uvjet (i) i nezadovoljava drugi (ii). Uvedimo novo ime za taj predmet - n1.Uvr�tavanjem dobivamo (i*) P(n1)! Q(n1) i (ii*) :Q(n1)! :P(n1).Buduci da je x bila jedina slobodna varijabla, (i*) i (ii*) su reµcenice. Popretpostavci dokaza i de�niciji zadovoljavanja (i*) mora biti istinita a (ii*)neistinita. No to je nemoguce jer su (i*) i (ii*) ekvivalentne pokontrapoziciji.

De�nicija

Logiµcki ekvivalentne isf-e. Dvije isf-e sa slobodnim varijablama su logiµckiekvivalentne akko ih u bilo kojim mogucim okolnostima zadovoljavaju istipredmeti.


Poznate ekvivalencije s kvanti�katorima Supstitucija logiµcki ekvivalentnih isf-a

Neka su P i Q logiµcki ekvivalentne isf-e, koje moµzda sadrµze slobodnevarijable i neka je S(P) proizvoljna reµcenica koja sadrµzi P kaosastavni dio. Tada ako su P i Q logiµcki ekvivalentne, tj.

P , Q

onda su ekvivalentne i S(P) i S(Q), tj. .

S(P), S(Q).

Dokaz naµcela supstitucije zahtjeva dodatne tehnike (dokazindukcijom, formalnu semantiku), pa ce biti ovdje izostavljen.

Opremljeni s naµcelom supstitucije moµzemo dokazati cijeli niz novihekvivalencija.


Poznate ekvivalencije s kvanti�katorima Supstitucija logiµcki ekvivalentnih isf-a

Primjer

8x(P(x)! Q(x)) , 8x [:P(x) _Q(x)] de�nicija !, 8x [:P(x) _ ::Q(x)] dvostruka negacija, 8x: [P(x) ^ :Q(x)] DeMorganov zakon

Oµcigledno je gornje reµcenice nisu tautolo�ki ekvivalentne jer su izmjeneizvele "u unutra�njosti", pod dosegom kvanti�katora.


Poznate ekvivalencije s kvanti�katorima DeMorganovi zakoni za kvanti�katore

Analogija

U propozicijskoj logici DeMorganovi zakoni opisuju vaµzne odnoseizme�u negacije, konjunkcije i disjunkcije. Postoji stroga analogijaizme�u 8 i ^, te izme�u 9 i _.

Primjer

Neka govorimo o µcetiri imenovana bloka: a, b, c i d . U tim ce okolnostimareµcenica 8xKocka(x) biti istinita ako i samo ako vrijedi

Kocka(a) ^Kocka(b) ^Kocka(c) ^Kocka(d)

Sliµcno reµcenica 9xKocka(x) bit ce istinita ako i samo ako vrijedi

Kocka(a) _Kocka(b) _Kocka(c) _Kocka(d)

Analogija sugerira da bi kvanti�katori mogli reagirati na negaciju nasliµcan naµcin kao konjunkcija i disjunkcija.



Primjer

:8xMaleno(x) bit ce istinita ako i samo ako vrijedi

:(Maleno(a) ^Maleno(b) ^Maleno(c) ^Maleno(d))

a po DeMorganovom zakonu prethodno vrijedi ako i samo ako

:Maleno(a) _ :Maleno(b) _ :Maleno(c) _ :Maleno(d)

A to je istinito ako i samo ako

9x:Maleno(x)

DeMorganovi zakoni omogucuju nam da negaciju pomiµcemo izakvanti�katora.



DeMorganovi zakoni za kvanti�katore

Teorem

:8xP(x), 9x:P(x)

Teorem

:9xP(x), 8x:P(x)



Vjeµzba

CitatIzradite Fitch dokaz za DeMorganove zakone za kvanti�katore!


Poznate ekvivalencije s kvanti�katorima Jo�neke ekvivalencije s kvanti�katorima

Distributivnost

Primjer

Zamislimo da u svijetu nalazimo toµcno n predmeta µcija su imena a1, ..., an(svaki predmet ima ime). Reµcenica 8x(P(x) ^Q(x)) istinita je u timokolnostima ako i samo ako

(P(a1) ^Q(a1)) ^ ...^ (P(an) ^Q(an))

Buduci da je konjunkcija asocijativna dobivamo

(P(a1) ^ ...^ P(an)) ^ (Q(a1) ^ ...^Q(an))

�to je ekvivalentno s8xP(x) ^ 8xQ(x)



Nedistributivnost

Primjer

Reµcenica 8x(Kocka(x) _ Tetraedar(x)) nije ekvivalenta s8xKocka(x) _ 8xTetraedar(x). Prva reµcenica istinita je u svjetovima a) ukojemu su svi predmeti kocke, b) u kojemu su svi predmeti tetraedri i c) ukojem su neki predmeti kocke a neki tetraedri, dok drukµcijih predmetanema. Druga reµcenica nije istinita u svjetovima c) tipa.



Fitch vjeµzba za distributivnost i Tarski vjeµzba zanedistributivnost

CitatDokaµzite da je egzistencijalni kvanti�kator distributivan prema disjunkciji!

Citat

Prona�ite protuprimjer za 9xP (x) ^ 9xQ (x)) 9x [P (x) ^Q (x)]koristeci Tarski�s World!"



Za zapamtiti

Teorem

8x(P(x) ^Q(x)), 8xP(x) ^ 8xQ(x)

Teorem

9x(P(x) _Q(x)), 9xP(x) _ 9xQ(x)

Teorem

8x(P(x) _Q(x))< 8xP(x) _ 8xQ(x)

Teorem

9x(P(x) ^Q(x))< 9xP(x) ^ 9xQ(x)





Za svaku isf-u P u kojoj x nije slobodna varijabla:

8xP , P,9xP , P,8x(P _Q(x)), P _ 8xQ(x),9x(P ^Q(x)), P ^ 9xQ(x).



Fitch vjeµzba

Citat

Dokaµzite 8x [P _Q(x)]) P _ 8xQ(x)! U dokazu smijete koristititautolo�ke posljedice.





Razlike u zapisu

Nije vaµzno koje varijable koristimo sve dok se ne susretnemo skvanti�katorima µciji se dosezi preklapaju.

Za svaku isf-u P(x) i varijablu y koja se ne javlja u P(x):

8xP(x), 8yP(y),9xP(x), 9yP(y).


Vi�estruka primjena kvanti�katora

µCitljivost

Primjer

(i) 9x9y [Kocka(x) ^ Tet(y) ^ LijevoOd(x , y)], (ii)8x8y [(Kocka(x) ^ Tet(y))! LijevoOd(x , y)] S prvom se reµcenicomtvrdi da je neka kocka s lijeve strane nekog tetraedra. S drugom, da jesvaka kocka s lijeve strane svakog tetraedra. Prethodne reµcenice zapisanesu na naµcin da su svi kvanti�katori stavljeni sprijeda (preneksna forma).Preneksna forma ne mora biti najµcitljivija. Zapi�imo (i) i (ii) na drukµcijinaµcin: (i*) 9x [Kocka(x) ^ 9y(Tet(y) ^ LijevoOd(x , y))], (ii*)8x [Kocka(x)! 8y(Tet(y)! LijevoOd(x , y))]. Novi, ekvivalentni izrazimoµzda su µcitljiviji jer imaju strukturu aristotelovskih reµcenica:

(i) Neke kocke| {z } su /takve_da_su/_s_lijeve_strane_nekog_tetraedra| {z },(ii) Sve kocke| {z } su /takve_da_su/_svakom_tetraedru_s_lijeva| {z } .



Vjeµzba

CitatOtvorite Cantor�s Sentences i Cantor�s World. Preinaµcite prvu reµcenicutako da postane istinita! Za drugu reµcenicu izgradite svijet s najmanjimbrojem predmeta potrebnim da ona bude istinita!



Vjeµzba

CitatOtvorite Frege�s Sentences i Peirce�s World. Preinaµcite veliµcinu i poloµzajtako da prvih sedam reµcenica bude istinito, a drugih sedam laµzno.



µCesta pogre�ka

Zadatak

Kod vrednovanja reµcenica s vi�estrukim kvanti�katorima µcesto sepravi pogre�ka koja proizlazi iz netoµcne pretpostavke da se razliµcitevarijable primjenjuju na razliµcite predmete.



Za zapamtiti

8x8yP(x , y) implicira 8xP(x , x)9x9yP(x , y) ne implicira 9xP(x , x)9xP(x , x) implicira 9x9yP(x , y)


Mje�oviti kvanti�katori

Primjer

Analizirajmo 8x [Kocka(x)! 9y(Tet(y) ^ LijevoOd(x , y))] uaristotelovskom stilu, kao �svi S su P�. Sve kocke x imaju svojstvo9y(Tet(y) ^ LijevoOd(x , y)), tj. da su s lijeve strane barem jednogtetraedra.

Istovrijednu reµcenicu mogli smo izraziti u preneksnoj formi (stavljajuci svekvanti�katore sprijeda):

8x9y [Kocka(x)! (Tet(y) ^ LijevoOd(x , y))]


Mje�oviti kvanti�katori

Poredak

Poredak je vaµzan kada koristimo raznovrsne kvanti�katore.

Primjer

8x8yVoli(x , y), 8y8xVoli(x , y), ali 8x9yVoli(x , y)< 9y8xVoli(x , y).Iskaµzite prethodne reµcenice u prirodnom jeziku!

CitatOtvorite Arnault�s world i napravite svijet u kojem ce sve reµcenice bitiistinite.


Mje�oviti kvanti�katori Prijevod korak-po-korak

Vi�e imenskih fraza

U sluµcaju kada reµcenica u prirodnom jeziku sadrµzi vi�e od jednekvanti�cirane imeniµcke fraze, prijevod na jezik logike prvoga redamoµze biti priliµcno sloµzen.

Primjer

Nijedna kocka koja se nalazi s lijeve strane nekog tetraedra nije s lijevestrane nekog, od nje veceg dodekaedra.

Metodom "korak-po-korak" nazovimo postupak u kojemu u kojemuizdvajamo imeniµcke fraze i formaliziramo ih jednu za drugom.



Primjer

Zadatak

Primjer

Nijedna kocka koja se nalazi s lijeve strane nekog tetraedranijes lijeve strane nekog, od nje veceg dodekaedra.

(1) 8x(Kocka(x) koja se nalazi s lijeve strane nekog tetraedra)! :(x je slijeve strane nekog od x veceg dodekaedra). (2) 8x(Kocka(x) ^ x je slijeve strane nekog tetraedra)! :(x je s lijeve strane nekog od x vecegdodekaedra) (3) 8x(Kocka(x) ^9y(Tet(y) ^ LijevoOd(x , y))! :(x je slijeve strane nekog od x veceg dodekaedra) (4)8x [(Kocka(x) ^ 9y(Tet(y) ^ LijevoOd(x , y)))!:9z(LijevoOd(x , z) ^Dodek(z) ^ VeciOd(z , x))]



Vjeµzba

Zadatak

CitatPrevedite koristeci oznake predikata iz "Tarski�s World":1. Svaki je dodekaedar jednak po veliµcini nekoj kocki,2. Svaki predmet koji se nalazi izme�u dodekaedara je kocka.,3. Svaka kocka koja ima neki predmet iza sebe je malena,4. Svaki dodekaedar koji nema ni�ta sa svoje desne strane ima nekipredmet s lijeve strane.Kad dovr�ite prijevod, otvorite Bolzano�s world - sve reµcenice moraju bitiistinite u tom svijetu.


Mje�oviti kvanti�katori Parafraziranje prirodnog jezika

U mnogim sluµcajevima "povr�inski" oblik reµcenice nije istovjetan snjezinim logiµckim oblikom. Tada "metoda korak-po-korak" nijeuspje�na.

U prijevodu reµcenice s prirodnog jezika na jezik logike prvoga reda ciljdoci do reµcenice koja ima isto znaµcenje kao i izvornik.

Ponekad izravno oµcitavanje kvanti�katora ne daje toµcan prijevod.

Pote�koca posebno nastaje onda kada "aristotelovski oblik" S � Psadrµzi uvjet P koji upucuje natrag na S , to jest kada treba osiguratida zamjenica koja se javlja u P uvijek upucuje na isti predmet kojegaopisuje uvjet S (anafora, koreferencija).



Nekada �neki�ne stoji za egzistencijalnu kvanti�kaciju

Primjer

�Ako neka kocka ima neki predmet ispred sebe, ona je malena�.

8x [(Kocka(x) ^ 9yIspred(y , x))! Maleno(x)]



Magarece" reµcenice

"

Primjer

�Svaki seljak koji ima magarca tuµce ga (tog magarca)�nije ispravnoprikazana s

8x [Seljak(x) ^ 9y(Magarac(y) ^ Posjeduje(x , y))! Tuce(x , y)]

- naime, ta formula nije reµcenica jer je pojava varijable y u Tuce(x , y)slobodna. Rje�enje zahtijeva dva univerzalna kvanti�katora.

Primjer

8x [Magarac(x)! 8y((Seljak(y) ^ Posjeduje(y , x))! Tuce(y , x))].



Vjeµzba za anaforu

ZadatakIzradite nekoliko prijevoda na jezik logike prvoga reda za reµcenicu �Svakakocka koja je iza nekoga dodekadra manja je od njega�.


Mje�oviti kvanti�katori Vi�eznaµcnost i ovisnost o kontekstu

Vi�eznaµcnost

Primjer

"Svatko cijeni neku crvenokosu osobu": (i) Svatko ima voljenu crvenokosuosobu: 8x9y(Cijeni(x , y) ^ Crvenokos(y)), (ii) Neku crvenokosu osobuvole svi: 9x8y(Crvenokos(x) ^ Voli(y , x)).



ZadatakPod kojim znaµcenjem prve premise je sljedeci zakljuµcak valjan odnosnonevaljan: "Svatko cijeni neku crvenokosu osobu. Svatko tko cijeni samogasebe je samopouzdan. Dakle, neka crvenokosa osoba je samopouzdana".Dokaµzite konkluziju koja slijedi, a nevaljanom zakljuµcku prona�iteprotuprimjer (tj. situaciju u kojoj su sve premise istinite a konkluzijalaµzna).



Vi�eznaµcnost

Zadatak

Izvor vi�eznaµcnosti u prirodnim jezicima ponekada je povezan sredoslijedom u kojem se javljaju kvanti�katori.

Za uspje�an prijevod u logiku prvog reda potrebno je znati �to jesugovornik htio reci. µCesto namjeravano znaµcenje moµzemo otkriti naosnovi konteksta u kojem se reµcenica izrekla.


Preneksna forma

Kada prevodimo reµcenice iz prirodnog jezika na jezik logike prvogareda µcesto dolazimo do takvih izraza u kojima su kvanti�katori ilogiµcki veznici pomije�ani.

Primjer

Reµcenice poput "Svaka kocka koja je na lijevoj strani nekog tetraedranalazi se iza nekog dodekaedra" prikazujemo

8x [(Kocka(x)^9y(Tetra(y)^LijevoOd(x , y))! 9y(Dodek(y)^ Iza(x , y))]

U nekim sluµcajevima ovakav prijevod, iako prirodan, nije najprikladniji.

Ponekad je potrebno preurediti reµcenice tako da svi kvanti�katoribudu sprijeda i svi veznici straga. za takvu reµcenicu kaµzemo da je upreneksnoj formi buduci da su svi kvanti�katori sprijeda.


Preneksna forma

Preneksna forma i njezino postojanje

De�nicija

Ispravno sastavljena formula je u preneksnoj normalnoj formi ako ili nesadrµzi kvanti�katore ili ima oblik

Q1v1Q2v2...QnvnP

gdje je svaki Qi ili 8 ili 9, gdje je svaki vi varijabla, a u isf-i P ne javlja seniti jedan kvanti�kator.

TeoremZa svaku reµcenicu postoji njezina ekvivalentna reµcenica u preneksnojnormalnoj formi (zapravo takvih reµcenica ima puno).


Preneksna forma

Pronalaµzenje preneksne forme

Zadatak

Iskaµzimo reµcenicu u 9xP(x)! 9yQ(y) u preneksnoj formi!

1 Zamjenimo kondicional s disjunkcijom i negacijom koje jasnijereagiraju prema kvanti�katorima: :9xP(x) _ 9yQ(y).

2 U dobivenoj disjunkciji primijenimo DeMorganove zakone:8x:P(x) _ 9yQ(y).

3 Nulta kvanti�kacija: 8x(:P(x) _ 9yQ(y))| {z }a

.

4 Nulta kvanti�kacija nad a daje b: 9y(:P(x) _Q(y))| {z } .b

5 Zamjena isf-e a s njezinim ekvivalentom b daje:8x9y(:P(x) _Q(y)).


Preneksna forma

ZadatakNeka varijabla x nije slobodna u isf-i Q. Dokaµzite ekvivalenciju:8xP (x)! Q , 9x [P (x)! Q ]!


�to je dovoljno za iskazati numeriµcke tvrdnje?

Barem je dovoljno

Za napisati tvrdnje o tome kako odre�ena koliµcina predmetazadovoljava neki uvjet dovoljno je znati napisati �Barem n...� (ili �Nemanje od n...�).

Sve ostale brojµcane kvanti�katore moµzemo dobiti kombinirajuci izrazete vrste.


�to je dovoljno za iskazati numeriµcke tvrdnje? Kako pi�emo �Barem n predmeta je P�?

Iskazivanje razliµcitosti predmeta

Barem n predmeta je P:

9x1...9xn(P(x1)^ ...^P(xn)^z }| {x1 6= x2 ^ ...^ x1 6= xn ^ ...^ xn�1 6= xn)

Promotrimo isf-u oznaµcenu vitiµcastom zagradom. Ona kaµze upodvuµcenom dijelu da je prvospomenuti predmet razliµcit razliµcit odsvih drugih spomenutih predmeta, o sljedecem predmetu kaµze to isto itako sve posljednjeg spomenutog predmeta.


�to je dovoljno za iskazati numeriµcke tvrdnje? Kako pi�emo �Barem n predmeta je P�?

Koliko negacija identiteta?

Polovinu ("donji trokut") ispod dijagonale oznaµcene kvadraticimamoµzemo zanemariti jer je 6= simetriµcna relacija i ekvivalentne parove snaci cemo u dijelu iznad dijagonale.

Prvi redak s isf-ama dopu�ta i sluµcaj da x2 = ... = xn�1 = xn , dakle idva predmeta bi mogla zadovoljiti tu isf-u. No, to je iskljuµceno drugimretkom, koji dopu�ta x3 = ... = xn�1 = xn , dakle tri predmeta bi moglizadovoljiti prve dvije isf-e. Ali tu mogucnost iskljuµcuje treci redak. Itako sve do retka n� 1, zato je potrebno barem n predmeta da bi sezadovoljile sve isf-e. Potreban broj reµcenica izraµcunavamo kao"povr�inu" gornjeg dijela tablice: n

2�n2 = n(n�1)

2 ".

6= x1 x2 ... xn�1 xnx1 � x1 6= x2 ... x1 6= xn�1 x1 6= xnx2 x2 6= x1 � ... x2 6= xn�1 x2 6= xn... ... ... � ... ...xn�1 xn�1 6= x1 xn�1 6= x2 ... � xn�1 6= xnxn xn 6= x1 x1 6= x2 ... xn 6= xn�1 �


�to je dovoljno za iskazati numeriµcke tvrdnje? Kako se odnose �Barem n...� i �Najvi�e n-1...�

Ekvivalentnost

�Nije sluµcaj da barem n...� ekvivalentno je �Najvi�e n� 1 ...�.

Primjer

Tablica pokazuje kako dva numeriµcka kvanti�katora dijele polje mogucihkoliµcina na dva razdvojena dijela:

najvi�e dva ��!0 1 2 3 4 5 ...

barem tri ��!


�to je dovoljno za iskazati numeriµcke tvrdnje? Kako se odnose �Barem n...� i �Najvi�e n-1...�

Najmanje toliko�i �najvi�e onoliko�mogu se zamjenjivati

�

[Nije sluµcaj da barem n...] �:9x1...9xn(P(x1) ^ ...^ P(xn) ^ x1 6=x2 ^ ...^ x1 6= xn ^ ...^ xn�1 6= xn)�

ekvivalento je s

[Najvi�e n� 1 ...] �8x1...8xn(:P(x1) _ ..._ :P(xn) _ x1 =x2 _ ..._ x1 = xn _ ..._ xn�1 = xn)�,

to jest, nakon transformacije disjunkcije u kondicional:�8x1...8xn [(P(x1) ^ ...^ P(xn))! (x1 = x2 _ ..._ x1 =xn _ ..._ xn�1 = xn)]


�to je dovoljno za iskazati numeriµcke tvrdnje? Kako kazati �Toµcno n...�

Dvije granice

µCinjenicu da �najvi�e�i �barem�cijepaju polje mogucih koliµcina na nalijevi dio, [najvi�e] od 0 prema gornjoj graniµcnoj koliµcini, i na desnidio, [barem, najmanje] od neke donje graniµcne koliµcine premabeskonaµcnom moµzemo iskoristiti da iskaµzemo �Toµcno n...�.

Trebamo "poklopiti" gornju granicu od �najvi�e�i donju od �barem�.

�Toµcno n...� ekvivalentno je s �Najvi�e n ... i barem n ...�.



Vjeµzba

Primjer

Kako cemo "isjeµci" jednu odre�enu koliµcinu? Primjer za �Dva...�:

najvi�e dva ��!0 1 2 3 4 5 ...

��!barem dva

Koristeci �barem�kao polazi�te dobivamo da je �Toµcno n...�ekvivalentno s �Nije tako da barem n+ 1 ... i barem n ...�.



Vjeµzba

Primjer

�Toµcno jedan...�Najprije nacrtajmo sliku:

najvi�e jedan(tj. nije sluµcaj da barem dva) ��!0 1 2 3 4 ... ��!

barem jedan

(i) Barem jedan predmet je P . 9xP(x)(ii) Nije tako da darem dva predmeta jesu P :9x9y(P(x) ^ P(y) ^ x 6= y)Spajamo (i) i (ii) i dobivamo �Toµcno jedan predmet je P�(iii) 9xP(x) ^ :9x9y(P(x) ^ P(y) ^ x 6= y)(iii) je ekvivalentno s (iv)9x8y(P(y)$ x = y)



Vjeµzba

Primjer

Dokaµzimo ekvivalenciju9x(P(x) ^ 8y(P(y)! x = y)), 9x8y(P(y)$ x = y). Moramopokazati da je desna strana posljedica lijeve i obratno.



Konvencije zapisa

9!nx P (x)tocno n

, 9n�xP (x)najmanje n

^ 9�nxP (x)najvi se n


Odredjeni opisi

Primjer

Ako nema slona u ormaru i ako zato mislimo da je (i) �Taj slon u ormarune guµzva moju odjecu�neistinita reµcenica, je li negacija te reµcenice -reµcenica (ii) �Taj slon u ormaru guµzva moju odjecu�? Ako jest, onda jepotonja reµcenica (ii) istinita buduci je negacija neistininite reµcenice (i).

Primjer

Sliµcnu pote�kocu stvaraju "Oba slona u ormaru guµzvaju moju odjecu" i"Ni jedan ni drugi slon u ormaru ne guµzva moju odjecu". �to ako uormaru nema slonova ili ih ima tri?

Primjer

Formalizirajte reµcenice iz prethodnog primjera!


Odredjeni opisi Taj

Teorija odre�enih opisa

Bertrand Russell je poµcetkom 20. stoljeca predloµzio naµcin analiziranjatakvih reµcenica za koje se µcini kao da govore o odre�enim predmetima.

Po njegovom prijedlogu reµcenice "Taj A je jedan B" ("The A is a B")ne treba tretirati kao atomarne reµcenice "B(taj_A)" vec kao sloµzenereµcenice u kojima izraz "taj A" daje odre�eni opis.

Odre�eni opis (de�nite description) je "unikatni opis" predmeta,"jedini predmet koji je A". Buduci da se "taj A" shvaca kao "jediniA", dobivamo sljedeci formalni zapis: A(x) ^ 8y(A(y)! x = y),odnosno 8y(A(y)$ x = y).

Dalje, Taj A je jedan B" shvacamo kao "Samo je jedna stvar A i ona jeB" i prikazujemo kao 9x [A(x) ^ 8y(A(y)! x = y) ^ B(x)], odnosnokao 9x8y [(A(y)$ x = y) ^ B(x)].


Odredjeni opisi Taj

Vjeµzba

Zadatak

Pokaµzite da je uvjet P(x) jednakovrijedan uvjetu 8y(y = x ! P(y)) itime ekvivalenciji 8y(P(y)$ x = y), P(x) ^ 8y(P(y)! x = y)!

Dokaz.

Razlaµzuci kvanti�cirani izraz 8y(y = x ! P(x)) na atomarne isf-euvi�amo da cemo za svaki pojedini konjunkt imati (a = b ! P(b)) . Toje istinito na isprazan naµcin ako a nije identiµcno s b. Ako je a identiµcno sb, onda > ! P(b) �to je istovrijedno s P(b). Alternativno, posluµzimo ses reductio ad absurdum.Po pretpostavci mora vrijediti iliP(x) ^ :8y(y = x ! P(x)) ili :Px ^ 8y(y = x ! P(x). U prvomsluµcaju, za proizvoljni predmet a vrijedi P(a) i 9y(a = y ^ :P(a)).Uklanjanje konjunkcije vodi do kontradikcije. U drugom sluµcaju moravrijediti :P(a) i a = a! P(a). Zahvaljujuci re�eksivnosti identitetadobivamo P(a) i time kontradikciju.


Odredjeni opisi Oba

Rje�enja na Russellovom tragu

Primjer

Ako reµcenicu "Oba slona su u ormaru" shvatimo kao "Postoje toµcno dvaslona i oni su u ormaru", a reµcenicu "Ni prvi ni drugi slon nisu u ormaru"kao "Postoje toµcno dva slona i oni nisu u ormaru" onda je oµcigledno danemamo posla s parom kontradiktornih reµcenica. U formalnom smiludobivamo za prvo: 9!2xSlon(x) ^ 8x(Slon(x)! U_Ormaru(x)) i zadrugo: 9!2xSlon(x) ^ 8x(Slon(x)! :U_Ormaru(x))


Odredjeni opisi Oba

Kanonski zapis

9!nP(x) ^ 8x(P(x)! Q(x)) znaµci �Ima toµcno n predmeta koji su Pi oni su Q�.

Uoµcimo da donje reµcenice nisu ekvivalentne:

9!n(P(x) ^Q(x))< 9!nP(x) ^ 8x(P(x)! Q(x)).

Zadatak

Jesu li sljedece reµcenice ekvivalentne: (i) 9!1xP(x) ^ 8x(P(x)! Q(x)),(ii) 9!1x(P(x) ^Q(x))? Izgradite svijet gdje ce (i) biti istinito a (ii) nece!


Odredjeni opisi Oba

Rje�enje


Presupozicije

Strawson

Na drukµciji naµcin problem referencije rje�avao je Peter Strawson.

Po njegovom mi�ljenju Russellova teorija odre�enih opisa umjesto daopisuje naµcine govora, unosi revizije koje nisu potrebne.

Trebamo razlikovati reµcenice i tvrdnje (statement) koje govornicipomocu njih izriµcu.

Kada govornik kaµze da je taj A jedan B, onda izraz �taj A�suprotnoRussellovoj teoriji - doista referira, ili bolje je reci poku�ava referirati.Da bi izricanje neke tvrdnje bilo smisleno neki uvjeti moraju bitizadovoljeni. Takve uvjete nazivamo presupozicijama.Tvrdnja da je sada�nji kralj francuske celav presuponira, ali ne implicirada on postoji. Sliµcno, �Frane je posjetio svoju kcer�presuponira daFrane ima kcer. Ako prespozicija nije zadovoljena, reµcenica nemaznaµcenja. Strawsonova analiza ne µcini mi se prihvatljivom u odnosu na�lozofsku pretpostavku koja mi se µcini vrlo prihvatljivom: ako jereµcenica ispravno sastavljena, ona ima znaµcenje.


Presupozicije

Presupozicije i implikature

Presupozicije se razlikuju od razgovornih implikatura.

Razgovorne implikature se mogu ukinuti a da reµcenica kojoj onepripadaju i dalje zadrµzi znaµcenje.

Nasuprot tome, ukidanje presupozicije neke reµcenicu uµcinilo bi jubesmislenom.

Primjer

Reµcenica �Netko je poloµzio ispit�ne postaje besmislenom ako se njezinaimplikatura da netko nije poloµzio ispit ukine s reµcenicom �Svi su poloµziliispit�. No, reµcenica �Frane je posjetio svoju kcer�postaje besmislena ako senjezina presupozicija ukine s �Ali Frane nema kcer�.


Presupozicije

Pregled

1 Po Russellovoj analizi "Taj A je jedan B" u prijevodu na jezik logikeprvoga reda postaje "Postoji toµcno jedan A i on je B".

2 "Oba A su B" po Russellovoj analizi daje "Postoje toµcno dva A isvaki od njih je B"

3 "Ni prvi ni drugi A nisu B" po Russellovoj analizi su "postoje toµcnodva A i ni jedan me�u njima nije B"

4 Po Strawsonovoj analizi ovakvi determinatori imaju presupozicije. Akopresupozicije nisu zadovoljene primjena ovakvih determinatora neuspijeva poluµciti tvrdnju. Zbog toga takvi determinatori ne mogu naadekvatan naµcin biti predstavljeni u logici prvoga reda.


Presupozicije

Keith Donnellan

Donnellan je poku�ao naci pomirujuci stav.

Citat

Nazvat cu dvije uporabe odre�enih opisa [...] atributivnom ireferencijalnom. Govornik koji koristi odre�eni opis u atributivnom smisluu nekoj tvrdnju ne�to kazuje o bilo kome ili bilo µcemu �to je takvo-i-takvo.Govornik koji koristi odre�eni opis u referencijalnom smislu u nekoj tvrdnji,koristi taj opis da bi svojim sugovornicima omogucio da izdvoje tu stvar iliosobu o kojoj govori i njegova se tvrdnja odnosi na tu stvar ili osobu.


Presupozicije

Primjer

�(i) Napoleon je bio najveci francuski vojskovo�a. (ii) Wellington jeporazio najveceg francuskog vojskovo�u�: u (i) se odre�eni opis [najvecifrancuski vojskovo�a] koristi atributivno, a u (ii) referencijalno.

U Donnellanovom prijedlogu pragmatika se razdvaja od semantike.Takvo razdvajanje ne mora svakome biti prihvatljivo. Mnogi misle dasu naµcini kako se koriste reµcenice ovisni o njihovom znaµcenju, da jepragmatika ovisna o semantici.

Razliku izme�u atributivne i referencijalne uporabe odre�enih opisa,moµzemo, protivno Donnelalnu, objasniti pomocu razlika uepistemiµckom stanju sugovornika. Ako sugovornik ne zna koja je tojedina osoba ili stvar na koju se primijenjuje odre�eni opis, onda ga onshvaca atributivno. Ako pak zna tko ili �to je "to jedino", ondarecipijent odre�eni opis shvaca referencijalno. Nije ni�ta neobiµcno utome da informacijski uµcinak reµcenice bude razliµcit ovisno oinformacijskom stanju onoga koji informaciju usvaja.


Documents

Pitanja prevoƒenja - marul.ffst.hrmarul.ffst.hr/~logika/2007/14prosinca/prijevodiPrviDio.pdfPre–ksni zapis predikata: ™Cijeni(albert,goriot)™i ™Cijeni(x,y)™. Primjer Predikat