Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Příklady k přednášce12 - Frekvenční metody
Michael ŠebekAutomatické řízení 2019
26-bře-19
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Pro nesoudělný OL přenos platí:1) Je-li pól CL, pak
2) speciálně, je-li CL pól na mezi stability,
• Tedy uzavřená smyčka má pól na mezi stability, právě když Nyquistův graf otevřené smyčky prochází bodem -1
• Pozná se podobně i CL stabilita?
Frekvenční charakteristika OL a mez stability CL
Michael Šebek 2Pr-ARI-12-2013
( )( )1 ( )
L sT sL s
=+Cs∈
1−
s jω=
( )L s
1 ( ) 0 ( ) 1 1, ( ) 180( )L s L s L sL s+ = → = − → = ∠ =
1 ( ) 0 ( ) 1 1, ( ) 180( )L j L j L jL jω ω ωω+ = → = − → = ∠ =
( )L jω
10dB
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Funkce komplexní proměnné • komplexní diferencovatelnost• Holomorfní = diferencovatelné (a tedy ∞-krát) na otevřené množině• Celistvá = všude holomorfní (např. polynom)• Meromorfní = holomorfní až na izolované póly (např. racionální funkce)
Věta - Princip argumentu: • Pro funkci f meromorfní uvnitř a na uzavřené orientované křivce C,
která na ní nemá nuly ani póly, zato má uvnitř Z nul a P pólů platí
• Integrál z tzv. logaritmické derivace vlevo je úměrný rozdílu mezi počtem nul a pólů funkce uvnitř C
• Souvisí s počtem obkroužení počátku grafem
Cauchyho princip argumentu – verze pro matematiky
Michael Šebek 3
1 ( )2 ( )C
f z dz Z Pj f zπ
′= −∫
( )f C
Pr-ARI-12-2017
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Cauchyho princip argumentu – verze obrazová
Michael Šebek 4Pr-ARI-12-2018
11 ( )12 ( )
2C
f z dzj f z
Z Pπ
= −′
− = = −∫
1 ( )2 ( )C
f z dz Z Pj f zπ
′= −∫
C( )f C
výsledná křivka vložená
křivka
pól
nula
pól
(0,0)
f
Z = počet nul f uvnitř C = 1
P = počet pólů f uvnitř C = 2
N = počet obkroužení f (C) kolem počátku = -1
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Zobrazení křivky na křivku v komplexní rovině
Příklady
Michael Šebek 5
: ( )y xH Hx → =nula vně křivky
x y
pól vně křivkyx y
nula uvnitř křivky
x
y
pól uvnitř křivky
xy
nula a pól vně
xy
nula a pól uvnitř
xy
2 nuly uvnitř
xy
2 nuly a 1 pól uvnitř
xy Sledujte postavení
červené křivky vzhledem k zelenému „kritickému“ bodu
PAdemo.m
Pr-ARI-12-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Do přenosu
• postupně (ve směru hod. ručiček) dosazujeme body na křivce
• Pro horní obrázek platí
• Jak se s0 posunuje, úhel se mění ale ani při celé otáčce se nezmění o 360 °, neboť každý z dílčích úhlů se nakonec vrátí do původní velikosti
• Jinak to je (dolní obr.), když nějaký pól leží uvnitř křivky: jeho úhel se po celé otáčce změní o -360° stejně i celý α proto graf hodnoto obkrouží počátek
• Podobně: je-li uvnitř nula, přispěje její úhel přírůstkem +360 °• Konečně, je-li uvnitř křivky více nul a/nebo pólů, jejich příspěvky celkovému
úhlu se sčítají (za každou nulu je to +360°, a za každý pól -360°)
Zobrazení křivky racionální funkcí
Michael Šebek 6
1 2
1 2
( )( )( )( )( )
s z s zH ss p s p− −
=− −
0
0 1 2 1 2
( )( ) ( )
jH s v v eH s
α
α θ θ φ φ= =
∠ = = + − +
Pr-ARI-12-2018
Re s
Im sC
1φ
2φ
1θ
2θ
[ ]Im ( )H s( )H s
1α [ ]Re ( )H s
( ) : ( )H s C H C→
Re s
Im sC
1φ 2φ
1θ
2θ
0s
0s[ ]Im ( )H s
( )H s
1α [ ]Re ( )H s
0s
0s
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Re s
Im s
CC
1) Vložená křivka: Jako C vybereme křivku, která obkrouží celou pravou polorovinu ve směru hodin
• potom graf H(C) obkrouží 1x počátek H(s) má 1 pól nebo nulu v pravé polorovině
2) Funkce: Protože chceme použít zobrazení této křivkyv OL přenosu L(s) pro určení stability CL systému
• CL póly jsou nuly funkce• proto aplikujme princip argumentu na funkci
3) Posun: graf zobrazení křivky C funkcí H(s) , tj. H(C) , obkrouží počátek graf zobrazení křivky C funkcí , tj. L(C), obkrouží bod -1
• graf L(C) zobrazení křivky C funkcí L(s) je ale Nyquistův graf OL
Princip argumentu použitý v řízení
Michael Šebek 7
( )L s( )( )1 ( )
L sT sL s
=+
1 ( ) 0L s+ =
( ) 1 ( )H s L s= +
{ }: ( , )C jω ω= ∈ −∞ ∞
( ) ( ) 1L s H s= −
( ) 1 ( )H s L s= +
Pr-ARI-12-2018
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
4) Význam protože pro
tak platí nesoudělné• nuly H(s) jsou póly CL systému• póly H(s) jsou póly OL systému
• Shrnuto: Nyquistův graf otevřené smyčky obkrouží kritický bod -1 N = Z - P krát, kde
Z … počet ryze nestabilních CL pólů aP … počet ryze nestabilních OL pólů.
• Jinak řečeno:CL systém má Z = N + P ryze nestabilních pólů, kdeN … počet bodu -1 Nyquistovým grafem L(s) P … počet ryze nestabilních OL pólů.
• Pozn.: Obkroužení proti směru hodinových ručiček se počítají záporně
Princip argumentu použitý v řízení
Michael Šebek 8
( ) ( ) ( )( ) 1 ( ) 1( ) ( )
n s m s n sH s L sm s m s
+= + = + =
Pr-ARI-12-2013
( )( )
n sm s
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Zřejmě je CL systém stabilní, právě když nemá žádné CL nestabilní póly, tedy právě když Z = 0 . Z toho plyne
• Nyquistovo kritérium stabilityCL systém je stabilní právě když P = -N
• kde -N je počet obkroužení Nyquistova grafu L(s) • a P je počet ryze nestabilních OL pólů.
• Zvláštní případem je stabilní L(s) , tedy OL stabilní systém
• Nyquistovo kritérium stability pro OL stabilní systémJe-li OL systém (tedy L(s) ) stabilní, pak je i CL systém stabilní právě když Nyquistův graf L(s) neobkrouží kritický bod -1
Nyquistovo kritérium stability
Michael Šebek 9Pr-ARI-12-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• když graf protne zápornou Re vícekrát, uvažujeme pro GM jen protnutí nejbližší bodu -1
• podobně, protne-li graf jednotkovou kružnici vícekrát, vezmeme jako PM „ta nejmenší“
• Např.
Vícenásobné případy GM a PM
Michael Šebek 10
GM =1.3
PM =37°
PM =37°
GM = 1.3 = 2 dB
L=85*(s+1)*(s^2+2*s+43.25)/s^2/(s^2+2*s+82)/(s^2+2*s+101)
Pr-ARI-12-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Vícenásobné případy GM a PM
Michael Šebek 11
( )( )
2
2
3
3
( 0.5403 0.17.9555 2( )
2
252)
(1 4.9511 7.3022)
s s
s
sL s
ss
− −=
− +−
+
Pr-ARI-12-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Pro soustavu uvažme dva regulátory
• Pro zelený jsou všechny„okraje“ (GM i PM) lepší nebo stejné jako u modrého
• Přesto je zelený grafblíže kritickému bodunež modrý
• A při současné změně zesílení i fázebude jeho CL stabilita ohrožena dřív
Příklad
Michael Šebek 12
2( )2 1
sP ss−
=−
( ) 1K s =2
2
3.3 0.55 1.7 1.5 1( )3.3 1 0.55 1 1.5 1.7s s s sC s
s s s s+ + + +
=+ + + +
Pr-ARI-12-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• soustava 2. řádu s P regulátorema jednotkovou ZV
• CL char. pol. je stabilní pro každé
• pro je OL Nyquistův graf• pro rostoucí je to• ani při rostoucím
neobkrouží bod -1• ani se mu neblíží• N = 0 pro každé• proto je CL stabilní
pro každé• Totéž plyne z RL
Příklad: 2. řád
Michael Šebek 13
2
1( ) , ( ) ( )( 1)
G s L s KG ss
= =+
2 2( ) ( 1) 2 (1 )CLc s s K s s K= + + = + + +
K 2
1( 1)s +
K ↑
[ )0,K ∈ ∞
1, 2,3,K =
1K =
K →∞
0K >
0K >
Pr-ARI-12-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Jak určit rozsah K , pro který je CL systém stabilnípřitom nekreslit mnoho různých grafů pro různá K ?
Řešení je jednoduché:• vydělíme OL přenos parametrem
a nakreslíme Nyquistův graf pro G(s)• pak místo kritického bodu -1 nakreslíme body -1/K v určitém rozsahu K,
což je jednodušší• pro zjištění CL stability uvažujeme počet obkroužení bodu -1/K• To je možné, protože graf G(s) obkrouží bod -1/K právě tolikrát, • kolikrát graf obkrouží bod -1Minulý příklad:
pro žádné kladné K neobkrouží grafbod -1/K, protože
Rozsah stabilizujících K
Michael Šebek 14
( )KG s
( ) ( )L s KG s=
( ) ( )L s KG s=
1 K− ( ) ( ): 10, ,0K K∈ − ∈∞ −∞
Pr-ARI-12-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• soustava je nestabilní
• CL je stabilní pro
Pro velká je • Protože teď ale je , tak • a CL je stabilní Pro malá je• Protože teď ale je , tak • a CL je nestabilní
Příklad: nestabilní soustava
Michael Šebek 15
K 1(0.1 1)
ss s
+−
1( )(0.1 1)
sG ss s
+=
−2( ) (0.1 1) ( 1) 0.1 ( 1)CLc s s s K s s K s K= − + + = + − +
1K =
1K =
1K >
0ω −=
0ω +=
ω = ∞
101
ω = ±−
1 sK−
1 lK−
1LK K= > 1N = −1P = 0Z N P= + =
1SK K= < 1N =1P = 2Z N P= + =
Pr-ARI-12-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Používání OL frekvenční charakteristiky je jen pomůcka• Ve skutečnosti nás zajímá frekvenční charakteristika
uzavřené smyčky, která ukazuje chování výsledného zpětnovazebního systému
• Pro (výsledný) systém 2. řáduexistují jednoduché vzorečkypro vztah mezi přechodovým jevem a frek. Char.
• Zřejmě
• Derivováním podle můžeme odvodit
což platí pro , jinak špička není• Pozor: také se označuje jako
Rezonanční špička
Michael Šebek 16
2
2 2( )2
n
n n
T ss s
ωζω ω
=+ +
2
2 2 2 2 2 2( ) ( )
( ) 4n
n n
M T j ωω ωω ω ζ ω ω
= =− +
2ω
2
12 1
pMζ ζ
=−
21 2p nω ω ζ= −
2 2 0.707ζ ≤ ≈
abs
dB
0
20
20−
10
10.7
0.1
pM
log pω
( ) ( )M T jω ω=
p r TM M M= =[1 + (2ζ/ωn) jω+ ( jω/ωn)2]-1
Pr-ARI-12-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Předchozí vzoreček platí jen pro neboť• pro větší tlumení špička neexistuje - neplést s překmitem, ten
neexistuje pro• Spojíme-li vzorec
se vzorcem pro překmit
dostaneme vztah mezišpičkou a překmitem
• Uvědomte si, že obecně
• ale pro malé ζ platí• takže je někdy pro malá tlumení pokládáme za rovné
Vztah mezi špičkou Mp a překmitem
Michael Šebek 17
21 (2 1 )pM ζ ζ= −
( )21 2p nω ω ζ= −
pM
1 2 0.707ζ ≤ ≅( )0.707ζ >
1ζ ≥
2 2
ln(%OS 100)ln (%OS 100)
ζπ−
=+
%OS
p nω ω≠p nω ω≈
pM
%OS
Pr-ARI-12-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Představme si, že přenos uzavřené smyčky vznikl jednotkovou ZV z přenosu otevřené smyčky
• a vypočtěme z otevřené smyčky PM tak, že vyřešíme rovnici
• Řešením je
• Fáze L pro tuto frekvenci je
• A z toho je
PM a tlumení
Michael Šebek 18
2
( 2 )n
ns sωζω+
( )2 2
2 2( ) ( )2 2n n
n n n
L s T ss s s s
ω ωζω ζω ω
= ↔ =+ + +
2
2( ) 1
2n
n
L jjωω
ω ζω ω= =− +
2 42 1 4C nω ω ζ ζ= − + +
2 42 1 4( ) 90 arctan 90 arctan
2 2C
Cn
L jζ ζωω
ζω ζ− + +
∠ = − − = − −
( )2 42 1 4
( ) 180 90 arctan2CPM L j
ζ ζω
ζ− + +
= ∠ − − = −° °
2 4
2arctan2 1 4
PM ζ
ζ ζ=
− + +
Pr-ARI-12-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• vzorec
• Vyneseme do grafu, kde PM je ve stupních
Příklad: • Pro jaké PM
nemá CL frekvenční charakteristiky špičku?
• Je to pro
• Čemuž odpovídá
PM a tlumení
Michael Šebek 19
2 4
2arctan2 1 4
PM ζ
ζ ζ=
− + +
ς
PM °
1 2 0.707ζ > ≅
1.14 rad = 65.53PM ≥ °
Pr-ARI-12-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Ze vztahu
• Plyne
• Tedy s rostoucím ζ poměr BW/ωnmonotónně klesá
• BW je přímo úměrné ωn
Šířka pásma pro systém 2. řádu
Michael Šebek 20
2
2 2 2 2 2 2
1( ) ( )2( ) 4
n
n n
M T j ωω ωω ω ζ ω ω
= = =− +
2 4 2(1 2 ) 4 4 2BW nBW ω ω ζ ζ ζ= = − + − +
Pr-ARI-12-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Pro soustavu uvažme dva regulátory
• Pro zelený jsou všechny „okraje“ (GM i PM) lepší nebo stejné jako u modrého
• Přesto je zelený grafblíže kritickému bodunež modrý
• A při současné změně zesílení i fázebude jeho CL stabilita ohrožena dřív
Příklad
Michael Šebek 21
2( )2 1
sP ss−
=−
( ) 1K s =2
bad 2
2 1.7 1.5 1( )2 1 1.5 1.7s s sC ss s s+ + +
=+ + +
Pr-ARI-12-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Přidáme-li k systému • nulu ve s = -1/T
• Změní se šířka pásma
• Složitý vztah, ale(až na malé hodnoty T) přidání nuly zvětšuje BW
Vliv přidání nuly
Michael Šebek 22ARI-01-2011
( )2 2
2 2( ) ( )2 2n n
n n n
L s T ss s s s
ω ωζω ζω ω
= ↔ =+ + +
( )( )
( )( )
2 2
2 221 1( ) ( )2 2
n n
n nn n
Ts TsL s T ss s s sTω ω
ζω ωζω ω+ += ↔ =
+ + ++
2 42 2 3 2 4 24
, 4 4 22
nn n n n
bBW b b T T
ωζ ω ζω ω ω
+= − + = + − −
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Přidáme-li k systému pól ve
• Vznikne systém 3. řádu, který může být i nestabilní
• Proje stabilní pro všechna Ta různé varianty jsou vykresleny
• Obecně systém s dalším pólem je• méně stabilní • a má menší BW
Vliv přidání pólu
Michael Šebek 23
( )( ) ( )( ) ( )2 2 2
2 3 2 2( ) ( )2 2 1 2 21 1
n n n
n n n n n n
L s T ss s s s Ts T s sTs Ts
ω ω ωζω ζω ω ζω ζω ω
= ↔ = =+ + + + + + ++ +
1, 0.707nω ζ= =
Pr-ARI-12-2013
1s T= −