Příklady k přednášce 8 Geometrické místo kořenů aneb Root ... · Michael Šebek 15. Ds ( ) 1.83. 2.44 1.83 (s 1.33) ss =+ = + Pr-ARI-08-2013. Automatické řízení - Kybernetika

Příklady k přednášce8 - Geometrické místo kořenů

aneb Root Locus

Michael ŠebekAutomatické řízení 2019

10.03.2019

Automatické řízení - Kybernetika a robotika

• Pro bod na RL platí (pro nějaké K>0)

= lichý násobek 180° = ∑ úhlů od nul - ∑ úhlů od pólů

Příklad:

• Bod neleží na RL

• Bod může ležet na RL

Úhel bodu na RL vzhledem k nulám a pólům

Michael Šebek 2Pr-ARI-08-2013

3j2 3v j= − +

222

r j= − +

22

j1α

2α3α4α

4β 3β2β 1β

( ) (2 1) 180KL s k∠ = + × ( ) (2 1) 180L s k∠ = + ×

( 3)( 4)( )( 1)( 2)s sL ss s+ +

=+ +

2 3v j= − +

222

r j= − +

3 4 1 2( )( 3) ( 4) ( 1) ( 2)

72 56 108 90 180

L sv v v v

β β β β∠ = + − −= ∠ + +∠ + −∠ + −∠ += + − − ≠

3 4 1 2( )( 3) ( 4) ( 1) ( 2)

35 20 145 90 180

L sr r r r

α α α α∠ = + − −= ∠ + +∠ + −∠ + −∠ += + − − =

( ) 1KL s = −1 ( ) 0KL s+ =


• Pro bod na RL platí (pro nějaké K > 0)= (∏ vzdáleností od pólů) / ( ∏ vzdáleností od nul)

• Nelze to použít k testu, ale když už víte, že bod leží na RL, můžete tak zjistit příslušné zesílení

Příklad

Vzdálenost bodu na RL od nul a pólů

Michael Šebek 3

( 3)( 4)( )( 1)( 2)s sL ss s+ +

=+ +

1( )KL s =1 ( ) 0KL s+ =1 ( )K L s=

1 2

3 4

1 1 2( ) 3 4

6 212 236 3 2

2 2

L Lr rKL LL s r r

+ += = = =+ +

= =

22

j

1L3L4L 2L

222

r j= − +

4− 3− 2− 1−

Pr-ARI-08-2013


• Pravidlo 1 (Počet větví) je celkem zřejmé: každý CL pól se pohybuje se změnou K po své větvi RL.

• Pravidlo 2 (Symetrie) je také zřejmé: Polynom s reálnými koeficienty má kořeny buď reálné anebo v komplexně sdružených dvojicích, tedy vždy rozloženy symetricky podle reálné osy. Graf RL je tvořen kořeny CL, který má reálné koeficienty. Proto je RL symetrický. A to pro každé jednotlivé K !

Příklad

Pravidla 1 a 2 pro kladný RL - Počet větví a symetrie

Michael Šebek 4

( )1( )

10L s

s s=

+

2( ) 10clp s s s K= + +0K = 0K =

25K =

50K =

50K =

1,2 5 25s K= − ± −

Pr-ARI-08-2013


Ani tohle není obtížné: Abychom zjistili, zda body Pi na reálné ose mohou ležet na RL, sečteme u každého úhly k OL nulám a pólům. Zřejmě platí:• Příspěvek úhlů od komplexně sdružené dvojice je vždy 0• Příspěvek úhlů od reálných OL nul/pólů

ležících nalevo od Pi je vždy 0• Vliv mají jen OL nuly/póly ležící napravo

od Pi : každý přispívá +/-180º• Jejich celkový příspěvek je 0º,

pokud jich je sudý počet. Naopak• jejich celkový příspěvek je lichý násobek 180º, pokud jich je lichý počet

Příklad

• RL pro

má reálné segmenty

Pravidlo 3 – Segmenty na reálné ose

Michael Šebek 5

( 3)( 4)( )( 1)( 2)s sL ss s+ +

=+ +

jω

σ1P2P3P4P

ϕ

ϕ−

180

0

4− 3− 2− 1−

Pr-ARI-08-2013


Přesněji řečeno Pravidlo 4 zní: Je-li , tak

• n větví grafu RL začíná (pro K = 0) v n konečných pólech OL a• m větví grafu RL končí (pro K = ∞) v m konečných nulách OL.• pokud má OL nuly v nekonečnu, tak n – m > 0 větví RL končí (pro K = ∞) v

nekonečnu (v těch nekonečných nulách)• pokud by OL měla póly v nekonečnu, tak m– n > 0 větví RL začíná

(pro K = 0) v nekonečnu (v těch nekonečných pólech)Důkaz• Pro K = 0, pak je CL charakteristický polynom

rovný OL charakteristickému polynomu, tedy n větví opravdu začíná v konečných OL pólech

• Při zkoumání nekonečných pólů vyjdeme z CL přenosu děleného K, což nezmění polohu nul a pólů. Protože je ,i nekonečné CL póly = nekonečné OL póly

Pravidlo 4 – Počáteční a koncové body

Michael Šebek 6

11

11

( )m m

m mn n

n

b s b sL ss a s

−−

−−

+ +=

+ +

( )0 0

lim lim 1 ( )K K

T K L KL L s→ →

= + =

( ) ( ) ( ) ( )clp s a s Kb s a s= + =

Pr-ARI-08-2013


Pokračujme v důkazu pro K = ∞:• Pro body na RL (!) platí a z toho

a tedy je bod s bodem RL pro K = ∞, právě když je nulou (konečnou či nekonečnou) OL přenosu. QED

Vraťme se k minulému příkladu s přenosem• Podle pravidla 3 už víme, že RL má reálné segmenty• Teď nově víme, že 2 větve vycházejí z OL pólů -1 a -2,• blíží se k sobě po reálné ose, někde mezi -1 a -2 se

setkají, osu symetricky opustí a nějak se na ní někde mezi -3 a -4 vrátí

• pak po reálné ose pokračují od sebe a skončí v -3 a -4

• Ještě ale nevíme, kde přesně reálnou osu opustí a kde se na ni vrátí

Pravidlo 4 – Počáteční a koncové body

Michael Šebek 7

( ) 1L s K= − lim ( ) lim 1 0K K

L s K→∞ →∞

= =

4− 3− 2− 1−

( 3)( 4)( )( 1)( 2)s sL ss s+ +

=+ +

Pr-ARI-08-2013


Nejprve probereme RL tzv. asymptotického systému• začíná v bodě σ a má n-m přímkových větví

jdoucích do nekonečna

Důkaz pravidla 5 naznačíme:• z bodu RL velmi daleko od OL nul a pólů (pro velké s) vypadají všechny

konečné OL nuly a póly, jako by byly stejné a reálné • vliv každé nuly se vyruší vlivem nějakého pólu,

takže v tom bodě nakonec „leží“ n - m pólů• tedy se pro velké s Evansova rovnice zjednoduší

na Evansovu rovnici asymptotického systému• tedy pro velké K se n-m kořenů blíží větvím RL asymptotického systému

Pravidlo 5 – Chování v nekonečnu:

Michael Šebek 8

2, 1n mσ = − =

180

2, 2n mσ = − =

90+

90−

60+

60−

180

2, 3n mσ = − =

1( )( )

( ) ( )

n m

n mcl

L ss

p s s Kσσ

−

−

=−

= − +

2, 4n mσ = − =

45+

45−

135+

135−

36+

36−

108+

108−

180+

2, 5n mσ = − =

Pr-ARI-08-2013


Nyní vypočteme σ :• pro platí známý vztah• podobně pro platí

a pro• je-li , tak

a střed (součet) CL pólů se nemění s K a je vždy reálnýPříklad: 4 konečné póly, 1 kon. a 3 nekon. nuly → 3 větve RL vedou do nekon.

• průsečík asymptot

• úhly s reálnou osou

Pravidlo 5 – Chování v nekonečnu:

Michael Šebek 9

11 0 1 2( )( ) ( )n n

n ns a s a s p s p s p−−+ + + = − − − 1n ia p− = −∑

11 0 1 2( )( ) ( )m m

m ms b s b s z s z s z−−+ + + = − − − 1m ib z− = −∑

( )1 11 0 1 21 0( ) ( )( ) ( )n n m m

n nmc s s a s a K s r s r s rs b s b− −− −= + + + + = − − −+ + +

1 1 1n n n ic a Kb r− − −= + = −∑1m n< −i ir p− = −∑ ∑

( 3)( )( 1)( 2)( 4)

sL ss s s s

+=

+ + +

(0 1 2 4) ( 3) 44 1 3aσ

− − − − −= = −

−

( ) ( ) ( )(2 1) 3 0 , 1 , 5 3 23a

k k k kπθ π π π+= = = = = =

Pr-ARI-08-2013


• Protože , jsou body rozpojení a spojení

• lokální maxima a lokální minima funkce

na reálné ose• Najdeme je pomocí nulových bodů derivace

• Alternativně je můžeme vypočítat řešením rovnice

• protože ale tyto rovnice obvykle bez počítače nevyřešíme, můžeme si raději rovnou Matlabem nechat vykreslit celý RL

Pravidlo 6 – Body rozpojení a spojení na reálné ose

Michael Šebek 10

1 ( )K L s= −

1( )

dKLd σσ

′ = −

1 1

1 1m n

i iz pσ σ=

− −∑ ∑

1 ( )K L σ= −

Pr-ARI-08-2013


Určení rozsahu zesílení K > 0, aby zpětnovazební systém se zápornou zpětnou vazbou byl stabilní

𝐿𝐿 𝑠𝑠 = 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑠𝑠 = 𝐾𝐾40

(𝑠𝑠 − 1)(𝑠𝑠 + 4)(𝑠𝑠 + 10)Přenos otevřené smyčky roznásobíme

𝐿𝐿 𝑠𝑠 = 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑠𝑠 = 𝐾𝐾40

𝑠𝑠3 + 13𝑠𝑠2 + 26𝑠𝑠 − 40Póly přenosu zpětnovazebního systému pro 𝐾𝐾

𝑐𝑐 𝑠𝑠 = 𝑠𝑠3 + 13𝑠𝑠2 + 26𝑠𝑠 − 40 + 40𝐾𝐾 = 0

Analýza stability zpětnovazebního systému

Michael Šebek 11

Póly na mezi stability mají nulovou reálnou část. Velikost imaginární části dostaneme dosazením s = jω do předchozího vztahu. Řešení má dvě části:

Im: −ω3 + 26ω = 0 ⇒ ω1 = 0 ; ω2 = ∓ 26 … dosadíme do reálné části

Re: −13ω2 − 40 + 40𝐾𝐾 = 0 ⇒ 𝐾𝐾1 = 1; 𝐾𝐾2= ⁄13 × 26 + 40 40 = 9,45

Zpětnovazební systém je stabilní pro 𝐾𝐾 ∈ 1 ; 9,45 .

Pr-ARI-08-2013


Příklady úplného RL

Michael Šebek 12

2 2

( 1)( 2)( )( 1)( 2) (( 1) 1)

s sL ss s s s

+ −=

− + + + 6 2 4 0n m− =− = >

a-neg

a-pos (2 1) 4, 0, 1,24,3 4, 4,

2 4, 0, 13 4

,20, 2, 2,

k k

k kθ π

θ π

π π π

π π

π

π

= = ±

=

= ±

−

−

= +

= −

2 2

( 1)( 1)( 2)( )( 2) (( 1) 1)

s s sL ss s+ − −

=+ + + 4 3 1 0

n m− =− = >

a-pos

a-neg 2 , 00

(2 1) , 0k k

k k

θ π

θ ππ

= + =

== =

=Pr-ARI-08-2013


• Pro přenos ryzí ale ne striktně je situace s asymptotami složitější

• Vždy jsou dvě reálné asymptoty, ale mohou být i další,

• na rozdíl od kladného RL

Příklady úplného RL

Michael Šebek 13

3 2

3 2

2 1( )3 2 2

s s sL ss s s

+ + +=

+ + +

3 2

3 2

2 1( )2 2 2

s s sL ss s s

+ + +=

+ + + 3 2

3 2

2 1( )2 2

s s sL ss s s+ + +

=+ + +

Pr-ARI-08-2013


• Systém pro řízení výšky hladiny má v pracovním bodě přenos

• Požadujeme nulovou regulační odchylku na skok reference v ustáleném stavu

• To splní např. regulátor s dynamikou PI

kde 𝜔𝜔𝐼𝐼 představuje „integrační“ nulu• Integrační pól přidáme k systému

• Vykreslíme RL pro tento systém Matlabem

Dynamická kompenzace PI

Michael Šebek 14

>> gi=zpk([],[0 -1 -5 -20],100)>> rlocus(gi) později použijeme>> rltool(gi)

( ) ( )( )( )100

1 5 20G s

s s s=

+ + +

( ) ( )I PP I

k kD s k ss s

ω= + = +

( ) ( )( )( )100

1 5 20G s

s s s s=

+ + +

-25 -20 -15 -10 -5 0 5-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Pr-ARI-08-2013


• Zobrazený RL odpovídá čistému I regulátoru,který je velmi pomalý, jak plyne z pozicedominantních pólů

• Pokud zobrazíme RL pomocí nástroje rltoolmůžeme volit preference návrhu:Na obrázku je vyznačen požadavek, žepoměrné tlumení je větší než 0.707.

• Volitelnou nulu PI regulátoru umístímeza první dva póly zprava, abychom dosáhlico nejrychlejší odezvy – co největší reálnéčásti dominantních pólů.

• Snažíme se je umístit do vertikálního proužkuzměnou pozice nuly a zesílení (trochu praxe)

• Navržený přenos kompenzátoru

Dynamická kompenzace PI

Michael Šebek 15

( ) ( )2.44 1.831.83 1.33D s ss s

= + = +

Pr-ARI-08-2013


• brzdná soustava automobilu můžeme mít přenos (z akčního zásahu na prokluz)

kde neurčitý parametr k může nabývat v závislosti na stavu vozovky a pneumatik všech možných hodnot z daného intervalu

• při návrhu ABS jsme pro nominální hodnotu k = 1 zrychlili odezvu pomocí PD regulátoru s přenosem

• výsledný ZV systém má charakteristický polynom uzavřené smyčky je

• Jeho stabilitu pro různá k můžeme zkoumat pomocí RL fiktivního systému

Jiné použití RL: návrh ABS pro auto

Michael Šebek 16

( )( )1( )

1G s

s k s=

+ +[ ]min max,k k k∈

( )( ) 0.9D s s= +1

( )( 1)s k s+ +0.9s+

( )( ) ( )

( ) ( )2

( , ) 1 0.9

2 0.9 1

p s k s k s s

s s k s

= + + + +

= + + + +

2

12 0.9s

s s+

+ +k

Pr-ARI-08-2013


• pro stabilní polynom je Hurwitzovamatice nesingulární

• jsou-li dva kořeny položeny symetricky podle imaginární osyje Hurwitzova matice také singulární

• to je při detekci meze stabilityartefakt

• nelíbí se nám to, ale poradíme si

Orlando

Michael Šebek 17

>> p=(s+1)*(s+2)*(s+3)*(s+4)p = 24 + 50s + 35s^2 + 10s^3 + s^4>> Hp=hurwitz(p)Hp =

10 50 0 01 35 24 00 10 50 00 1 35 24

>> rank(Hp)ans = 4

• je-li kořen na imaginární ose, je Hurwitzova matice singulární

>> q=s*(s+2)*(s+3)*(s+4)q = 24s + 26s^2 + 9s^3 + s^4>> Hq=hurwitz(q)Hq =

9 24 0 01 26 0 00 9 24 00 1 26 0

>> rank(Hq)ans = 3

>> r=(s+1)*(s-1)*(s+3)*(s+4)r = -12-7s+11s^2+7s^3+s^4>> Hr=hurwitz(r)Hr = 7 -7 0 0

1 11 -12 00 7 -7 00 1 11 -12

>> rank(Hr) ans = 3

Pr-ARI-08-2013


• Model podélného pohybu letounu F4E Phantom (Ackermann, 93)• u poloha výškovky, y úhel stoupání • Stabilizujme pracovní bod módu podélných kmitů s krátkou periodou pro

rychlost Mach 0.5, výšku 5000 ft

• Hurwitzova matice a její nuly

• Rozkládají osu parametru regulátoru na 3 intervaly

• Otestujeme jeden případ v každém intervalu a dostaneme pásma stability

Příklad: F4E Phantom - zjednodušený

Michael Šebek 18

( )( )

12 3

1

351.1 367.6113.0 51.46 31.84

b s sa s s s s

− −=− + + +

( ) ( ) ( )b s a s c s a Kb=→ = +

Ha=hurwitz(a);Hb=hurwitz(b,deg(a));M=-Ha\Hb;K=1./eig(M)K = -Inf

-0.32180.1543

-0.3218 0.15432 31 K

-0.3218 0.1543NESTAB NESTABSTAB K

Pr-ARI-08-2013

Documents

Příklady k přednášce 8 Geometrické místo kořenů aneb Root ... · Michael Šebek 15. Ds ( ) 1.83. 2.44 1.83 (s 1.33) ss =+ = + Pr-ARI-08-2013. Automatické řízení - Kybernetika