Plan wykładu

Azotki metali grupy III

Związki półprzewodnikowe mieszane:- przybliżenie kryształu wirtualnego, prawo Vegarda,

- nieciągłość pasm,

-rozwiązanie równania Poissona z równaniem Schrodingera

Tranzystory na bazie GaN

Materiały półprzewodnikowe

Dwuskładnikowe związki

półprzewodnikowe grupy III-V:

GaAs, InP, InAs,…

P.Y. Yu and M. Cardona, Fundamentals of Semiconductors, Springer Berlin 2005.

Półprzewodniki grupy III-V oraz II-VI

Związki mieszane z półprzewodników

grupy III-V

I. Vurgaftman, J.R. Meyer, and L.R. Ram-Mohan,

J. Appl. Phys. 89, 5815 (2001).

xxCExExE BC

g

AB

g

ABC

g 11

Związki półprzewodnikowe mieszane

• Przybliżenie kryształu mieszanego (Virtual

Crystal Approxtimation)

• Związki trójskładnikowe. (c bowing

odstępstwo od liniowości)

• Związki czteroskładnikowe

(0001) (111)

Wurtzite Zinc-blende

Struktura krystalograficzna III-N

Azotki (III-N)

2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.80

1

2

3

4

5

6

7

En

erg

y (

eV

)

Lattice Constant, a (A)

Si(111)Sapphire SiCInN

GaN

600

400

300

Wavele

ng

ht

(nm

)

200AlN

Studnia kwantowa InGaN/GaN jest naturalnym kandydatem na zielony laser

Cel: laser krawędziowy emitujący zielone światło

Struktura pasmowa w punkcie dla półprzewodników

ze strukturą blendy cynkowej oraz strukturą wurcytu

S. Adachi, Properties of Semiconductor Alloys: Group-IV, III–V and II–VI Semiconductors

Rozczepienia pasma welencyjnego

Rozczepienie to wyraża się poprzez parametr związany z oddziaływaniem

spin orbita oraz polem krystalicznym.

Uwzględnienie naprężeń dla układów

krystalizujących w strukturze wurtzytu

(heksagonalnej)

0

0

33

31

0

0 2a

aa

C

C

c

cc

0

0

c

ccz

,222

,222

,

,

2

3

2

21213

2

3

2

21212

211

v

v

v

c

EE

EE

EE

E

;,;,;, 4321 DDbDDaaaa vc

t

c

z

c

0

0

a

aayx

,222

'

,222

'

,'

,'

2

3

2

2121333

2

3

2

2121222

21111

31

33

v

v

v

z

c

t

c

zcyx

c

tz

c

zcccc

EEEE

EEEE

EEEE

C

CaaEaaEEEE

zyxz

zyxz

C

CDDDD

C

CDDDD

31

334343

31

332121

;3

1

;

32

1

so

cr

Polazyzacja w materiałach III-N

krystalizujących w strukturze wurcytu

zyxzPZC

CeeeeP

31

3333313133 2)(

PZSP PPP

0

0

c

ccz

0

0

a

aayx

0

0

33

31

0

0 2a

aa

C

C

c

cc

InNGaNAlNAlGaInN yyxx )1(

Polarizacja w stopach III-N: AlxGa1-xN, Ga1-yInyN, AlxIn1-xN, AlxGa1-x-yInyN

Polarizacja w AlN, GaN and InN:

Liniowa aproksymacja:

InN

PZ

GaN

PZ

AlN

PZ

AlGaInN

PZ

InN

SP

GaN

SP

AlN

SP

AlGaInN

SP

PyPyxPxP

PyPyxPxP

)1(

)1(

Pa

ram

ete

rs: F.

Be

rna

rdin

i e

t a

l.,

Ph

ys.

Rev.

B 6

3, 1

93

201 (

200

1).

Nieliniowa polaryzacja w stopach III-N

InN

PZ

GaN

PZ

AlN

PZ

AlGaInN

PZ PyPyxPxP )1(

Liniowa aproksymacja ze zmodyfikowanymi

wartościami polaryzacji piezoelektrycznej dla związków

dwuskładnikowych

Polaryzacja spontaniczna Polaryzacja piezoelektryczna

bxxPxPxP GaN

SP

AlN

SP

AlGaN

SP 1)1(V.

Fio

ren

tin

i a

nd

F.

Be

rna

rdin

i, P

hys.

Rev.

60

, 8

84

9 (

19

99

);

I. V

urg

aft

ma

n a

nd

J.R

. M

eye

r, J

. A

pp

l. P

hys.

94

, 3

67

5 (

20

03

);

Rozkład pól elektrycznych w heterostrukturach.

Periodyczne warunki brzegowe

• Periodyczne warunki brzegowe:

• Pole elektryczne w n-tej warstwie:

• Struktura (bwbw)

• Struktura (bwb)

)(

)(

wbbw

bwbw

wbbw

wbwb

LL

LPPF

LL

LPPF

q

qqn

q q

qqnqqq

nl

lppl

F

/

//

2

)(2

)(

wbbw

bwbw

wbbw

wbwb

LL

LPPF

LL

LPPF

q

qqFl 0li,i,pi

Hamiltonian w strukturze wurcytu.

Hamiltonian C6v4

Hamiltonian dla pasma walencyjnego

Funkcje bazowe

Oznaczenia

Transformacja Hamiltonianu

Poprzez odpowiednią transformację można zapisać Hamiltonian w postaci:

Zagadnienie własne można sprowadzić do postaci:

Położenia pasm:

Wpływ polaryzacji spontanicznej na

wbudowane pole elektryczne

Od pewnej grubości krytycznej d0 spadek

potencjału jest większy niż wartość przerwy

energetycznej.

Przy takich warunkach poziom Fermiego

leży w paśmie przewodnictwa

(walencyjnym) co oznacza, że samoistna

koncentracja nośników jest duża.

Nośniki te ekranują pole elektryczne

pochodzące od spontanicznej i

piezoelektrycznej polaryzacji. Pojawia się

‘wyidukowane’ pole elektryczne D

skierowane przeciwnie do wektora

polaryzacji elektrycznej.

E = P/ dla d < d0; E << P/ dla d > d0

/PDEF

Krytyczne grubości warstwach dla ekranowania pól

elektrycznych pochodzących od spontanicznej

polaryzacji

AlN:

FMax = 10600 kV/cm; d0 = 5.8 nm;

GaN:

FMax = 3780 kV/cm; d0 = 9.0 nm;

InN:

FMax = 2800 kV/cm; d0 = 2.3 nm;

Pole elektryczne w studniach kwantowych:

pojedyncza studnia kwantowa

AlN buffer (~500 nm)

(0001) Al face

AlN cap (50-100 nm)

Al2O3

GaN QW (1-3 nm)

FQW = P = PSP+PPZ ~ 0.9 MV/cm

FCap ~ 0

FBuffer ~ 0

Pola elektryczne w studni i barierach:

Dla barier można przyjąć że pole elektryczne jestbliskie zero ponieważ dBarrier > d0 (efekt ekranowania).

Dla pojedynczej studni kwantowej dQW << d0 i dlategoFQW = P = PSP+PPZ.

Dla studni kwantowych z dQW > 3 nm efekt ekranowaniawewnątrz studni zaczyna odgrywać istotną role. W tymwypadku konieczne są obliczenia samouzgodnione.

Pole elektryczne w studniach kwantowych:

wielokrotne studnie kwantowe

AlN buffer (~500 nm)

(0001) Al face

AlN cap (50-100 nm)

Al2O3

Pola elektryczne w studniach, barierach pomiędzy studniami oraz zewnętrznych barierach:

Dla zewnętrznych barier można przyjąć że pole elektrycznejest bliskie zero ponieważ dBarrier > d0 (efekt ekranowania).

Dla studni kwantowej oraz barier między studniamidB ~ dQW << d0 i dlatego pola elektryczne są bardzo duże.

Efektywny spadek potencjału na całkowitym obszarze studni kwantowych jest bliski zeru (sytuacja podobna do grubej warstwy, tj. warstwy grubszej niż d0).

GaN MQW (1-3 nm)

FQW

FB

dQW

dB

0dddk

QW

k

k

B

k

BBQWQW dFdF

dF

Warunki periodyczności:

Przejście podstawowe w studni GaInN/GaN

na kierunku polarnym i niepolarnym

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

25ML

20ML

15ML10ML5ML

2ML

Strained Eg

Unstrained EgGaN/Ga

1-xIn

xN

Tra

nsitio

n e

ne

rgy 1

h-1

e (

eV

)

Indium content in quantum well, x

with electric field

21.5

1

0.5

Wa

ve

len

gth

(m

)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

Strained Eg

Strained Eg

15ML 10ML 5ML

Tra

nsitio

n e

ne

rgy 1

h-1

e (

eV

)Indium content in quantum well, x

2ML

Unstrained Eg

21.5

1

0.5

without electric field

GaN/Ga1-x

InxN

Wa

ve

len

gth

(m

)

Całki przekrycia obliczone dla

przejścia podstawowego

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

20ML

15ML10ML

5ML

2ML

GaN/Ga1-x

InxN

Indium content in quantum well, x

1

h-1

e o

we

rla

p in

teg

ral

Polaryzacja Te i Tm w strukturach

AlGaN

Możliwe długości fali otrzymane na

bazie struktur: AlGaN/AlGaN

Rozkład pól w strukturach

tranzystorowych

C. Wood and D. Jena, Polarization Effects in Semiconductors, Springer (2008).

Rozwiązanie równania Shrodingera z

równaniem Poissona dla heterostruktur

tranzystorowych

0 10 20 30 40 50 60 70

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

AlGaN

AlInN

Ene

rgy (

eV

)

Distance (nm)

EF

0 10 20 30 40 50 60 70

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

Ene

rgy (

eV

)

Distance (nm)

AlGaN

AlInNPo obliczeniach

samouzgodnionych

Warunki

początkowe:

Rozkład pól

elektrycznych

obliczony z

warunków

brzegowych.

Oszacowanie liczby

stanów związanych

Rozkład pól

elektrycznych w

rzeczywistych

heterostrukturach

AlGaN/GaN

Równanie Poissona

• Jednowymiarowe równanie Poissona:

• (x)- gęstość źródeł np. Masy ładunku; - szukana postać potencjału

• Różnicowa postać równania Poissona:

• Numeryczne rozwiązanie równania Poissona??

2

2

dx

d

jjjj 2

11 2

Numeryczne rozwiązanie równania

Poissona

jjjj 2

11 2

1

2

1 2 iiii Iteracja w przód:

1

2

1 2 iiii

Schemat

Numerowa

Iteracja w tył:

x

(x)

Numeryczne rozwiązanie równania

Poissona

• Zakładamy, że znamy warunki brzegowe: 1=0, n=0.

• Szukamy rozwiązań postaci: j+1=xjj+yj

• Możemy znaleźć związki rekurencyjne dla zmiennych x,y rekurencja w tył. (xn=0, yn=0)

• Mając obliczone wartości x,y możemy zastosować prostą rekurencję w przód. 1=0

2

2

12

11

j

jj

j-

j

jx

y y

xx

Problem obliczeniowy

Architektura struktury półprzewodnikowej:

składy studni i barier; szerokości studni i barier; poziom domieszkowania;

Obliczenie stanów własnych:

(energie i funkcje falowe)

Parametry materiałowe:

masy efektywne, potencjały hydrostatyczne, itd.

Naprężenia

Podejście teoretyczne:

model jednopasmowy,

przybliżenie masy efektywnej,

V(z)

Efekty polaryzacyjne

Struktura energetyczna dla wejściowej struktury

W celu korekcji potencjału V(z):

rozwiązanie równania Poisona

tj. obliczenia samouzgodnione

Równanie Schrödingera oraz Poissona

)()()()(

2 2

22

zEzzVz

z

m

l

D

b

Fb

b

DF

DD

D

dzznzN

Tk

EETkmn

znzn

Tk

zEE

NzN

znzNz

0

2

2

0)()(

exp1ln*

)()(

)(exp21

)(

)()()(

•Równanie Schrödingera oraz równanie Poissona ze zmienną stałą dielektryczną

•Obliczenie gęstości ładunku

•Potencjał próbny

•Rozwiązywanie równania w sposób samouzgodniony

•Wyznaczanie poziomu Fermiego

)()()(

2

2

2

zez

zV

z

zV

z

pp

Równanie Schrödingera:

Równanie Poissona:

Koncentracja nośników w półprzewodniku

samistnym i domieszkowym

• Równanie neutralności elektrycznej. Suma

ładunków dodatnich i ujemnych musi być

równa zero.

AD NnNp

p: koncentracja elektronów

n:koncentracja dziur

ND+ :koncentracja zjonizowanych donorów

NA- :kDoncentracja zjonizowanych akceptorów

Poziomy energetyczne donorów i

kompensujących donory akceptorów na poziomie

donorowym i akceptorowym

Ec

Ev

Ed

Ea

1

exp*1

Tk

EEgNNnN

B

DFDAD

Numeryczna postać równanie Schrödingera

iiiii EzV

z

)(2

2m 2

11

2

Podejście numeryczne:

• Równanie Schrödingera: Metoda Martina-Deana (W. Salejda, M.H. Tyc. M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002 )

Numeryczna postać równanie Poissona

22

1

11

1

11

42

4zeVVV iiHi

ii

iHiiHiii

Podejście numeryczne:

• Równanie Poissona schemat rozwiązania.

Prosta iteracja wprzód i tył

• Warunki brzegowe V1=0, Vn=0

• Szukamy rozwiązań postaci: Vj+1=xjVj+yj

• Warunki V1=0, xn=0, yn=0

iii

iiii

iii

ii

iiiiiii

x

ywy

xx

wVVV

1

1

11

Oblicznie poziomu Fermiego przy powierzchni poprzez

porównanie z eksperymentem

R. K

ud

raw

iec e

t a

l.,A

pp

l. P

hys. L

ett

. 100

, 1

81

60

3 (

20

12

).

samples CER measurements analysisFermi level position on

GaN surface

VB

GaN Van Hoof structures

undoped GaN

(d=30-70nm)GaN:Si

d

F=/d

CB

EF

0 20 40 60 80 100 1200

100

200

300

Ele

ctr

ic fie

ld F

(kV

/cm

)Thickness d (nm)

F=/d

=0.2eV

=0.3eV

=0.4eV

=0.5eV

MBE

MOVPE

0 1 2 3 4 5 60.00

0.01

0.02

0.03MBE samples

d=30nm (F=112kV/cm)

d=50nm (F=83kV/cm)

d=70nm (F=63kV/cm)

Linear fit

(4/3)

(En-E

g)3

/2

Index, n0 1 2 3 4 5 6

0.00

0.01

0.02

0.03

d=30nm (F=106kV/cm)

d=50nm (F=53kV/cm)

d=70nm (F=42kV/cm)

Linear fit

(4/3)

(En-E

g)3

/2

Index, n

MOVPE samples

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2

3.35 3.40 3.45 3.50 3.55 3.60 3.65

-2

-1

0

1

2

4

3

2

1

(e) d=50nm

5

4

3

2

1

(d) d=30nm

5

4

3

2

1

(f) d=70nm

CE

R (

10

3

R/R

Energy (eV)

MOVPE samples

Rozkład pól elektrycznych w strukturach typu:

GaN(cap)/AlGaN(d)/GaN(buffer)

3.4 3.6 3.8 4.0 4.2

-4

-2

0

2

4

-4

-2

0

2

4

-4

-2

0

2

4

GaN(3nm)/AlGaN(d)/GaN(buffer)

(c) d = 10nm

3

2

1

CE

R (

10

5

R/R

)

Energy (eV)

5

(b) d = 20nm

GaN cap5

4

3

2

1

4

3

2

1AlGaN(a) d = 30nm

0 1 2 3 4 5 60.00

0.05

0.10

0.15

0.20

4/3 (E

n-E

g)3

/2

Index, n

d=30nm (F=0.30 MV/cm)

d=20nm (F=0.46 MV/cm)

d=10nm (F=0.78 MV/cm)

Linear fit

samples CER measurements analysisThe built-in electric field in

GaN/AlGaN/GaN heterostructureM. G

lad

ysie

wic

z e

t a

l., A

pp

l. P

hys. L

ett

. 9

8, 2

31

90

2 (

20

11

).

Wpływ warunków brzegowych w srukrurach

GaN(cap)/AlGaN/GaN na rozkład pól elektrycznych

0 10 20 30 40 50 60 70

-4

-3

-2

-1

0

1

2

-4

-3

-2

-1

0

1

2

VB

CB

EF

1.2eV

1.6eV

2.0eV

(b) Varying Fermi level in GaN buffer

En

erg

y (

eV

)

Distance (nm)

VB

0.15eV

0.55eV

0.95eV

(a) Varying Fermi level on GaN surface

EF

CBPołożenie poziomu Fermiego przy

powierzchni nie zmienia wartości pól

elektrycznych wewnątrz próbki.

Zmienia wartość pól w warstwach

przy powierzchni.

Zmiana położenia poziomu Fermiego

wewnątrz próbki GaN(buffer) wpływa

na rozkład pól w jej wnętrzu. Nie

wpływa natomiast na rozkład pól w

zewnętrznych warstwach.

Koncentracja dwuwymiarowego gazu jest

parametrem, na który wpływ mają oba warunki

brzegowe.M. G

lad

ysie

wic

z e

t a

l., A

pp

l. P

hys. L

ett

. 9

8, 231902 (

20

11

).

Porównanie wyników eksperymentalnych z

obliczeniami teoretycznymi

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

0.0

0.4

0.8

1.2

0.0

0.4

0.8

1.2

(b) d = 20nm

(c) d = 10nm

ECB - EF (eV)

Ele

ctr

ic fie

ld (

MV

/cm

)

Calc.

(a) d = 30nm

Exp.

Dla stuktury: GaN/AlGaN/GaN dla różnych

szerokości warstwy AlGaN (10, 20, and 30nm)

wartość wbudowanego pola elektrycznego

przybiera wartości significantly (0.78, 0.46, i

0.30MV/cmale wartość przypięcia poziomu

Fermiego przy powierzchni przybiera te same

wartości 0.55eV poniżej wierzchołka pasma

przewodnictwa.

Wniosek:

Przypięcie poziomu Fermiego w warstwie GaN

przy powierzchni 0.55 eV może zostać

potraktowane jako warunek brzegowy kiedy

obliczamy rozkład pól w heterostrukturach

GaN(cap)/AlGaN(d)/GaN(buffer)

Przy powierzchni GaN: EF = 0.55eV

M. Gladysiewicz, et al., Appl. Phys. Lett. 98, 231902 (2011).

M. G

lad

ysie

wic

z e

t a

l., A

pp

l. P

hys. L

ett

. 9

8, 2

31

90

2 (

20

11

).

Porównanie wyników obliczeń z danymi

eksperymentalnymi. Koncentracja gazu

dwuwymiarowego

Koncentracja:2DEG w hetereostrukurze:

AlGaN/GaN zależy od czterookości warstwy

AlGaN dane eksperymentalne:

8.0 1012 cm-2 dla d=30nm,

5.2 1012 dla d=20nm,

2.5 1012 cm-2 dla d=10nm.

Na podstawie porównania danych

eksperymentalnych z obliczeniami

teoretycznymi wykonanymi dla

heterostruktury: AlGaN/GaN poziom

Fermiego jest przypięty przy podobnej

wartości wewnątrz struktury: 1.4eV poniżej

dna pasma przewodnictwa.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.60.0

5.0x1012

1.0x1013

1.5x1013

2.0x1013

0.0

5.0x1012

1.0x1013

1.5x1013

2.0x1013

0.0

5.0x1012

1.0x1013

1.5x1013

2.0x1013

(b) d = 20nm

(c) d = 10nm

ECB - EF in GaN buffor (eV)

2D

EG

concentr

ation (

cm

-2)

Calculations

Experiment

(a) d = 30nm

Rozkład pól elektrycznych w strukturach

GaN(cap)/AlGaN(d)/GaN(buffer)

-4

-3

-2

-1

0

1

2

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 10 20 30 40 50 60

-4

-3

-2

-1

0

1

2

VB

CB

(a) d=30nm

EF

F=0.30MV/cm

F=0.46MV/cm

(b) d=20nm

F=0.78MV/cm

(c) d=10nm

Energ

y (

eV

)

Distance (nm)

Rozkład pól w heterostrukturach:

GaN(cap)/AlGaN/GaN(buffer) obliczony z

periodycznych warunków brzegowych

(efekty polaryzacyjne) oraz przyczepienie

poziomu Fermiego przy powierzchni i

wewnątrz próbki

W tego typu heterostrukturach

przypięcie poziomu Fermiego przy

powierzchni uzyskano dla wartości ok.

0.55 eV poniżej dna pasma przewodnictwa

dla warsty przy powierzchni.

Wpływ warstwy AlN na rozkład pól elektrycznych

w heterostrukturach GaN/AlGaN/GaN

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

0nm AlN

0.5nm AlN

1.5nm AlN

Ene

rgy (

eV

)

Distance (nm)

M. G

lad

ysie

wic

z e

t a

l., J. A

pp

l. P

hys.

11

4, 1

63

52

7 (

20

13

).