LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS

MATEMATIKOS KATEDRA

D.Raškinienė, R.Vilkelienė

PLOKŠTUMOS ANALIZINĖS

GEOMETRIJOS PAGRINDAI

Metodinė priemonė LŽŪU visų specialybių studentams

22 ypx =−

22 ypx =

22 xpy =

22 xpy =−

y

x

LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS

MATEMATIKOS KATEDRA

D.Raškinienė, R.Vilkelienė

PLOKŠTUMOS ANALIZINĖS

GEOMETRIJOS PAGRINDAI

Metodinė priemonė LŽŪU visų specialybių studentams

AKADEMIJA, 2006

3

TURINYS

PLOKŠTUMOS ANALIZINĖS GEOMETRIJOS PAGRINDAI ...... 4

I skyrius. TIESĖS, ESANČIOS PLOKŠTUMOJE, LYGTYS ............ 4

SAVARANKIŠKO DARBO UŽDUOTYS ............................................. 11

II skyrius. ANTROSIOS EILĖS KREIVĖS ........................................ 15 1. Apskritimas ................................................................................. 15

1. SAVARANKIŠKO DARBO UŽDUOTYS .................................... 19

2. Elipsė ............................................................................................ 22

2. SAVARANKIŠKO DARBO UŽDUOTYS .................................... 29

3. Hiperbolė ..................................................................................... 32

3. SAVARANKIŠKO DARBO UŽDUOTYS .................................... 41

4. Parabolė ....................................................................................... 45

4. SAVARANKIŠKO DARBO UŽDUOTYS .................................... 56

ĮVAIRIŲ UŽDAVINIŲ SPRENDIMO PAVYZDŽIAI .......................... 59

5. SAVARANKIŠKO DARBO UŽDUOTYS .................................... 61

LITERATŪRA .................................................................................................. 64

4

PLOKŠTUMOS ANALIZINĖS GEOMETRIJOS PAGRINDAI

Atstumas tarp dviejų taškų ( )111 ; yxM ir ( )222 ; yxM .yra apskaičiuojamas pagal formulę

( ) ( )2122

12 yyxxd −+−=

y

x O

d( )111 ; yxM

( )222 ; yxM

Jei taškas yra atkarpoje AB, kurios pradžios taškas , o pabaigos

, dalija ją santykiu

( yxM ;

)

) )( 11; yxA

( 22; yxBMBAM

=λ , tai taško M koordinatės apskaičiuojamos

pagal formules:

λλ

λλ

++

=+⋅+

=1

,1

2121 yyyxxx MM ;

y

x O

( )11 ; yxA ( )MM yxM ;

( )11 ; yxA

( )22 ; yxB

I skyrius. TIESĖS, ESANČIOS PLOKŠTUMOJE, LYGTYS

Stačiakampėje koordinačių sistemoje kiekviena tiesė užrašoma pirmojo laipsnio lygtimi ir, atvirkščiai, kiekviena pirmojo laipsnio lygtis reiškia tiesę. Lygtis

0=++ CByAx vadinama bendrąja tiesės lygtimi.

Bendrosios tiesės lygties atvejai:

1) Kai BCyCByA −==+= ,0tai,0 - tiesės, lygiagrečios ašiai Ox, lygtis,

2) Kai ACxCAxB −==+= ,0tai,0 - tai tiesės, lygiagrečios ašiai Oy, lygtis,

5

3) Kai BAyByAxC −==+= ,0tai,0 - tiesės, nubrėžtos per koordinačių pradžią,

lygtis, 4) Kai 0== CB , tai 0=x - ašies Oy lygtis, 5) Kai 0== CA , tai - ašies Ox lygtis 0=y

y

xO

( )yxM ;α

( )b;0

b

Lygtis bkxy += vadinama kryptine tiesės lygtimi.

Koeficientas αtgk = yra vadinamas tiesės krypties koeficientu,o b yra atkarpa, kurią tiesė atkerta Oy ašyje. Kampas α ,tai kampas kurį tiesė sudaro su teigiama Ox ašies kryptimi.

Lygtis

( )11 xxkyy −=− , αtgk = yra vadinama lygtimi tiesės, nubrėžtos per tašką ( )111 ; yxA , kai žinomas krypties koeficientas k.

y

x O

( )11; yxA( )22; yxB ( )yxM ;

Tiesės, nubrėžtos per du taškus ( )11; yxA ir ( )22; yxB , lygtis.yra

12

1

12

1

yyyy

xxxx

−−

=−− .

y

xO

b

a

M(x; y)

Lygtis

1=+by

ax ,

6 čia a ir b yra atkarpos, kurias tiesė atkerta koordinačių ašyse, vadinama ašine tiesės lygtimi.

Taško ( )11; yxA atstumas iki tiesės 0=++ CByAx žymimas raide d ir apskaičiuojamas pagal formulę

2211

BA

CByAxd

+

++= .

y

x O

α

1α 2α

1t 2t Kampas α tarp tiesių ir , kurių krypčių koeficientai atitinkamai 1t 2t

11 αtgk = , 22 αtgk = yra žinomi, apskaičiuojamas pagal formulę

21

12

1 kkkktg⋅+

−=α .

Dviejų tiesių lygiagretumo sąlyga išreiškiama lygybe tarp jų krypčių koeficientų

21 kk = arba 2

1

2

1

BB

AA

= .

Statmenumo sąlyga yra

121 −=⋅ kk ,2

11k

k −= arba 02121 =++⋅ BBAA .

UŽDAVINIŲ SPRENDIMO PAVYZDŽIAI 1 UŽDAVINYS. Kurie iš taškų ( ) ( ) ( ) ( 3;3,3;6,3;2,1;3 4321 )−−MMMM yra

tiesėje 0332 =−− yx . Sprendimas. Remiantis tuo, kad, jeigu taškas yra tiesės taškas, tai esant taško

koordinatėms atitinka tos tiesės lygtis, įrašome duotų taškų koordinates į tiesės lygtį:

031332:1 =−⋅−⋅M ; iš čia 00 = , taškas yra tiesės taškas. 1M033322:2 =−⋅−⋅M ; iš čia 08 ≠− , taškas nėra tiesės taškas. 2M033362:3 =−⋅−⋅M ; iš čia 00 = , taškas tiesės taškas. 3M

( ) ( ) 033332:4 =−−⋅−−⋅M ; iš čia 00 = , taškas tiesės taškas. 4MAts.: ir . 31, MM 4M

7

2 UŽDAVINYS. Apskaičiuokite tiesės 01232 =−− yx susikirtimo su koordinačių ašimis taškus.

Sprendimas. Norint apskaičiuoti dviejų tiesių susikirtimo taškus, reikia

išspręsti lygčių sistemą Iš čia ( )⎩⎨⎧

==−−

.lygtisašies0,01232

Oxyyx 0122 =−x arba 6=x .

Susikirtimo taškas . ( )0;61MSusikirtimo su Oy ašimi taškui rasti sprendžiame sistemą:

Iš čia ( )⎩⎨⎧

==−−

lygtisašies.0,01232

Oyxyx

123 =− y arba 4−=y . Susikirtimo taškas

. ( )4;02 −MAts.: , . ( )0;61M ( )4;02 −M

3 UŽDAVINYS. Parašykite tiesių, iš kurių viena nubrėžta per tašką ( )1;2 −A

lygiagrečiai tiesei 0335 =−+ yx , o kita – per tašką ( )2;3 −−B statmenai duotajai tiesei, lygtis

Sprendimas. Pagal tiesės, nubrėžtos per žinomą tašką nurodyta kryptimi, lygtį , įrašę taško A koordinates, gauname . Pagal

tiesių lygiagretumo požymį ( AA xxkyy −=− ) )( 21 −=+ xky

dkk = . Čia - duotos tiesės krypties koeficientas, kurį apskaičiuojame suvesdami duotą bendrąjį pavidalą į kryptinį

dk353 +−= xy arba

135

+−= xy . Iš čia 35

−=dk . Tada 35

−=k ir lygiagrečios tiesės lygtis

( 2351 −−=+ xy ) arba

37

35

+−= xy . Statmenos tiesės krypties koeficientas

apskaičiuojamas pagal lygybę dk

k 1−= , t. y.:

53

35

1=

−−=k . Statmenos tiesės lygtis

yra ( 2531 −=+ xy ) arba

511

53

−= xy .

Ats.: 5

1153,

37

35

−=+−

= xyxy .

4 UŽDAVINYS. Trikampio viršūnės yra taškai ( ) ( )4;2,0;2 BA − , ( )0;4C .

Parašykite trikampio kraštinės BC lygtį, pusiaukraštinės AE lygtį, apskaičiuokite jos ilgį, aukštinės AD lygtį ir ilgį, apskaičiuokite trikampio vidaus kampą B.

Sprendimas

0

1

2

3

4

5

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

B

A C

D

E

8

Kraštinės BC lygtį parašome naudodamiesi tiesės, nubrėžtos per du taškus B ir C, lygtimi

BC

B

BC

B

xxxx

yyyy

−−

=−− ,t. y.

242

404

−−

=−− xy ,

22

44 −=

−− xy arba 82 +−= xy .

Pusiaukraštinės AE lygčiai parašyti reikia rasti tašką, kuris dalija kraštinę BC

santykiu λ==11

ECBE . Taško E koordinates apskaičiuojame pagal formules:

λλ+⋅+

=1

CBE

xxx , λλ+⋅+

=1

CBE

yyy , t. y.: 32

42=

+=Ex , 2

204=

+=Ey . ( )2;3E .

Tiesės, nubrėžtos per du taškus A ir E, lygtis yra AE

A

AE

A

xxxx

yyyy

−−

=−− . Įrašę

taškų koordinates, gauname 5

22

,232

020 +

=++

=−− xyxy . Iš čia

54

52

+= xy .

Pusiaukraštinės AE ilgiui apskaičiuoti naudojamės atstumo tarp 2-jų taškų formule ( ) ( )22

AEAEAE yyxxd −+−= .

Gauname ( ) ( ) 290223 22 =−++=AEd . Aukštinės AD lygčiai gauti naudojamės tiesės, nubrėžtos per žinomą tašką A statmenai kraštinei BC, lygtimi

, čia k randame pagal lygybę ( AA xxkyy −=− )BCk

k 1−= . Kraštinės BC lygtis yra

82 +−= xy ir jos . Tuomet, įrašę 2−=BCk21

21

=−

−=k ir taško A koordinates,

gauname aukštinės AD lygtį

( 2210 +=− xy ) arba 1

21

+= xy .

Aukštinės AD ilgiui apskaičiuoti panaudojame taško ( )0;2A iki tiesės (kraštinės BC

082 =−+ yx ) atstumo formulę ( )

512

58022

2

22

=−+−⋅+⋅

= Axd

1

82

=+

−Ay.

Kampui B apskaičiuoti brėžinyje rodykle pažymime kampo atskaitos kryptį (turi būti prieš laikrodžio rodyklę) ir pasinaudojame kampo tarp 2-jų tiesių formule (pagal uždavinio sąlygą)

ABBC

ABBC

kkkktgB⋅+

−=

1,

čia - kraštinės BC krypties koeficientas, BCk - kraštinės AB krypties koeficientas. ABk

2−=BCk . Kraštinės AB lygtisAB

A

AB

A

xxxx

yyyy

−−

=−− . Įrašę taškų A ir B

koordinates, gauname 222

040

++

=−− xy ,

42

4+

=xy , iš čia , 2+= xy , o . Tada 1=ABk

( ) 313

12112⋅−+

−−= =

−−

=tgB . 3arctgB =∠ .

9

Ats.: 3;5

12;54

52,82 arctgxyxy +=+−= .

5 UŽDAVINYS. Parašykite lygtį tiesės, nubrėžtos per tašką ir per tašką M, dalijantį atkarpą AB, čia

( 2;4P )( ) ( )3;3,1;2 −− BA , santykiu 1:2.

Sprendimas. Pagal uždavinio sąlygą nubraižome brėžinį

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

A P

B

x

y

M

Apskaičiuojame taško M koordinates pagal formules

λλ

λλ

+⋅+

=+⋅+

=1

,1

BAM

BAM

yyyxxx , čia 21

==MBAMλ . Po to parašome tiesės,

nubrėžtos per du taškus P ir M lygtį PM

P

PM

P

xxxx

yyyy

−−

=−− . Skaičiuojame

31

2321

211

3212

−=−

=+

⋅+−=Mx ,

( )31

2321

211

3211

−=−

=+

−⋅+=My . Taškas ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

31;

31M ,o

ieškomos tiesės lygtis 4

31

4

231

2

−−

−=

−−

− xy ,

313

4

372

−

−=

−

− xy , ( ) ( )4372

313

−−=−− xy ,

2872613 −=− xy , arba 02137 =−− yx . Ats.: 02137 =−− yx . 6 UŽDAVINYS. Apskaičiuokite taško ( )4;6−P projekciją į tiesę

0354 =+− yx . Sprendimas. Pagal uždavinio sąlygą nubraižome brėžinį

-4-3-2-1012345

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

P

1P

53

54

+= xy

y

x

10

Taško P projekcija į tiesę yra statmens, nubrėžto iš taško P į tą tiesę, pagrindas (taškas P1), kurį randame apskaičiavę statmens ir duotos tiesės susikirtimo tašką. Statmens lygtis yra:

( )PP xxkyy −=− , čia dk

k 1−= .

Gauname, kad ( )6

5414 +−=− xy ,

430

454 −−=− xy , arba 01445 =++ yx .

Susikirtimo taškui rasti sprendžiame abiejų tiesių lygčių sistemą

⎩⎨⎧

=++=+−

.01445,0354

yxyx

⎩⎨⎧

−=+−=−

.1445,354

yxyx

Kramerio metodu apskaičiuojame 225167012

455441453

−=+−−

=−

−−−

=x ir

141

1556

4554

14534

−=+−

=−−−

=y . Taškas ( )1;21 −−P .

Ats.: . ( )1;21 −−P

7 UŽDAVINYS. Parašykite lygiašonės trapecijos kraštinių lygtis, jei jos didysis pagrindas yra Ox ašies atkarpa, simetriška koordinačių pradžios taško atžvilgiu, smailusis kampas lygus , o didysis ir mažasis pagrindai atitinkamai lygūs 8 ir 2.

045

Sprendimas. Nubraižome brėžinį.

0

1

2

3

4

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y

x

C B

A D

β h

1B α

Duota, kad 8=AD . Iš čia ( )0;4−A , ( )0;4D , . Žinodami kampą

045==∠=∠ αADCBADα ir tašką A, galime parašyti kraštinės AB lygtį

( )AA xxkyy −=− , kur . 1450 == tgkĮrašę taško A koordinates ir krypties koeficientą, gauname: ( )410 +⋅=− xy ,

4+= xy . Kraštinės DC lygčiai parašyti apskaičiuojame šios tiesės krypties koeficientą . Kraštinės DC lygtis yra 11350

1 −=== tgtgk β ( )DD xxkyy −=− 1 .

11

)Įrašę taško D koordinates ir krypties koeficientą , gauname

, arba 11 −=k

( 410 −−=− xy 4+−= xy . Kraštinės AD lygtį galėtume gauti parašę tiesės per du taškus A ir D lygtį

AD

A

AD

A

xxxx

yyyy

−−

=−− , tačiau kraštinė AD yra Ox ašies dalis. Todėl jos lygtis, kaip ir

ašies Ox, yra 0=y . Kraštinė BC yra lygiagreti AD Panagrinėjame statųjį 1ABBΔ . .

Tada ir ,o

01 45=BAB∠

01 45=∠ABB 311AB BB= = . Taigi, 3=h ir kraštinės BC lygtis yra

. 3=yAts.: .3,0,4 ,4 =+−= y+= yx =yxy

SAVARANKIŠKO DARBO UŽDUOTYS

1. Atidėkite taškus ( )1;2−A ir ( )6;3B . Apskaičiuokite taško M, dalijančio atkarpą AB santykiu 2:3 , koordinates.

2. Duota atkarpos AB taškas ( )4;5 −A ir vidurio taškas ( )2;2M . Apskaičiuokite taško B koordinates.

3. Duotas trikampis, kurio viršūnės yra taškai ( ) ( )9;3 −,4;1A B ir ( )2;5−C . Apskaičiuokite pusiaukraštinės, nubrėžtos iš viršūnės B, ilgį.

4. Atkarpa AB, kurios ( )3;1 −A ir ( )3;4B padalinta į tris lygias dalis. Apskaičiuokite dalijimo taškų koordinates.

5. Įrodykite, kad trikampis, kurio viršūnės yra taškai ( )1;2 −A , ( )2;4B ir ( )1;5C yra lygiakraštis.

6. Duotos trys iš eilės lygiagretainio ABCD viršūnės ( )5;3 −A , ( )3;5 −B , ( )3;1−C . Apskaičiuokite ketvirtą viršūnę D.

7. Duotas trikampis, kurio viršūnės yra taškai ( )1;2 −A , ( )3;4B ir ( )1;2−C . Apskaičiuokite kraštinių vidurio taškų koordinates.

8. Apskaičiuokite trikampio, kurio viršūnės yra taškai ( )2;4−A , ( )1;0 −B ir ( )3;3C perimetrą.

9. Duotos dvi gretimos kvadrato viršūnės ( )7;3 −A , ( )4;1−B . Apskaičiuokite kvadrato plotą.

10. Įrodykite, kad trikampis ABC, kurio viršūnės yra taškai )1;11( ) ( 3;1,3;3 ) (, −−−− BA C , yra statusis.

11. Apskaičiuokite taško A koordinates, jei taškas A yra Ox ašyje ir nuo taško ( )5;4M nutolęs atstumu 34 .

12. Apskaičiuokite atstumą tarp tiesių 1+= xy ir xy −= susikirtimo taško ir koordinačių pradžios taško.

13. Apskaičiuokite taško, esančio ašyje Oy ir nutolusio nuo taško ( )4;3 −−M atstumu, lygiu 58 , koordinates.

14. Parašykite lygtį tiesės atkertančios ašyje Oy atkarpą lygią 3 ir sudarančios 1350 kampą su Ox ašimi.

12 15. Kurie šių taškų ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (,1;3,15;3,3;6,3;2,1;3 654321 −− )1;2− MMMMMM

= yra

tiesėje 09−2 + yx . 16. Apskaičiuokite tiesės 01232 =+− yx susikirtimo su koordinačių ašimis taškų

koordinates. 17. Parašykite tiesių, atkertančių ašyje Oy atkarpą 3−=b ir sudarančių su ašimi Ox

600 ir 1200 kampus, lygtis. 18. Apskaičiuokite tiesių 01952,02943 =++=−− yxyx susikirtimo tašką. 19. Trikampio ABC kraštinės yra tiesės ( )AByx 0534 =−+ , ( )

ir BCyx 0103 =+−

( )AC . Apskaičiuokite trikampio viršūnių koordinates. x 02 =−20. Nustatykite šių tiesių krypties koeficientus:

a) 035 =+− yx ; b) 0632 =−+ yx ; c) 0235 =++ yx ; d) 023 =+ yx ; e) . 03 =−y

21. Per tašką ( )1;2M nubrėžkite lygiagrečią ir statmeną tieses duotajai tiesei 04+32 + y =x . Parašykite jų lygtis.

22. Duotas trikampis ABC, kurio viršūnės yra taškai ( ) ( )3;1,4;5 −− BA ir ( )2;3 −−C . Per kiekvieną viršūnę išveskite tieses lygiagrečias atitinkamai kraštinei ir parašykite jų lygtis.

23. Parašykite trikampio aukštinių lygtis, jei jo viršūnės yra taškai )2;3, . ( ) ( ) (1;1,1;2 CBA −−

24. Parašykite trikampio, kurio viršūnės yra taškai )2;5( ) (,2;3 −BA ir ( )0;1C kraštinių ir pusiaukraštinių lygtis.

25. Kokį kampą su Ox ašimi sudaro tiesė 0522 =−+ yx . 26. Nubrėžkite tiesę per koordinačių pradžios tašką ir tašką ( )3;2−A bei parašykite

jos lygtį. 27. Apskaičiuokite kampus tarp šių tiesių:

a) 52 += xy ir 013 =−+ yx ; c) 02 =+ yx ir 43 −= xy ; b) 075 =+− yx ir 0132 =+− yx ; d) 023 =+ yx ir 0946 =++ yx .

28. Parašykite tiesių, statmenų tiesei 01052 =−− yx ,lygtis taškuose,kuriuose pastaroji kerta Ox ir Oy ašis.

29. Nubrėžkite trikampį, kurio kraštinės yra tiesės 03,4 =−=+ yxyx ir 083 =−− yx . Apskaičiuokite trikampio vidaus kampus.

30. Trikampiui, kurio viršūnės yra taškai ( ) ( )4;2,0;2 BA − ir ( )0;4C iš viršūnės A nubrėžta pusiaukraštinė AE ir aukštinė AD. Parašykite jų lygtis ir apskaičiuokite pusiaukraštinės AE ilgį.

31. Apskaičiuokite taško ( )1;2 −A atstumą iki tiesės 4886 =+ yx .

32. Per tašką ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− 1;

54M ir per tiesių 056 =++ yx , 0123 =+− yx susikirtimo

tašką nubrėžkite tiesę ir parašykite jos lygtį.

33. Apskaičiuokite trikampio ABC, jei ( )3;3, C , aukštinės,

nubrėžtos iš viršūnės C, ilgį. 321;1,1;

211 BA ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

34. Apskaičiuokite koordinačių pradžios taško atstumą iki tiesės 039512 =+− yx .

13 35. Per tiesių 0432,032 =++=++ yxyx susikirtimo tašką nubrėžkite tiesę, kuri

būtų lygiagreti tiesei 085 =+ yx ir parašykite jos lygtį. 36. Per tiesių 022,012 =++=++ yxyx susikirtimo tašką nubrėžkite tiesę,

sudarančią su Ox ašimi 1350 kampą ir parašykite jos lygtį. 37. Nustatykite, kurios iš šių tiesių yra statmenos:

a) 053 =+− yx ir 013 =−+ yx , b) 0143 =+− yx ir 0734 =+− yx , c) 07156 =+− yx ir 03410 =−+ yx , d) 05129 =+− yx ir 01368 =−+ yx , e) 0375 =+− yx ir 0523 =−+ yx .

38. Kurios iš šių tiesių yra lygiagrečios ir kurios sutampa: a) 0453 =−+ yx ir 07106 =++ yx , d) 0453 =−+ yx ir 08106 =−+ yx , b) 0342 =+− yx ir 02 =− yx , e) 02 =− yx ir 022 =− yx , c) ir 03 =+y 03 =−x , f) 053 =+x ir . 02 =−y

39. Nubraižykite trikampį ABC, kurio viršūnės yra taškai ( ) ( )3;2,13;10 −−− BA , ( )1;2C . Apskaičiuokite statmens, nuleisto iš viršūnės B į pusiaukraštinę CD,

ilgį 40. Įrodykite, kad trikampis, kurio kraštinės yra tiesės 013 =++ yx ,

013 =++ yx ir 010 =−− yx , yra lygiakraštis. Apskaičiuokite vidaus kampus.

41. Duotos trys lygiagretainio ABCD viršūnės ( ) ( ) ( )4;3,7;5,2;4 −CBA . Apskaičiuokite ketvirtą viršūnę D, kuri yra priešinga viršūnei B.

42. Apskaičiuokite kampus tarp šių tiesių: 1) xy 3= ir xy 25−= , 4) 53 −= xy ir xy 31−= ,

2) 74 −= xy ir xy412 −= , 5) 27 −= xy ir 2−= xy .

3) 035 =−− yx ir 085 =+− yx , 43. Per koordinačių pradžios tašką nubrėžkite tiesę, kuri būtų:

a) lygiagreti tiesei 34 −= xy ,

b) statmena tiesei 121

+= xy

52

,

c) sudarytų 450 kampą su tiese x= +y . Parašykite jų lygtis.

( ) (,2;1 )1;3 −44. Duotas trikampis ABC, kurio viršūnės yra taškai − B , ( )4;0C . Per kiekvieną viršūnę nubrėžkite tieses, lygiagrečias priešais esančiai kraštinei ir parašykite jų lygtis.

A

( ) (45. Nubrėžkite trikampį ABC, kurio viršūnės yra taškai ) ( )3;1, C . Aukštinėje BH raskite tašką P, dalijantį ją santykiu 3

4;5,1;3 BA=λ .

( ) ( )4;7B46. Per atkarpos AB, kai ir2;3A − , vidurį išveskite tiesę, kuri su Ox ašimi sudarytų 450 kampą ir parašykite tos tiesės lygtį.

47. Duotas keturkampis ABCD, kurio viršūnės yra taškai ( ) ( ) ( )4;3,6;3,0;9 CBA −− ir ( )3;6 −D . Apskaičiuokite įstrižainių AC ir BD susikirtimo tašką.

48. Duotas trikampis ABC: ( ) ( ) ( )6;4,0;3,4;0 −− CBA . Apskaičiuokite viršūnės C atstumą iki kraštinės AB.

14 49. Apskaičiuokite dydį k ,jei tiesė bkxy += nutolusi nuo koordinačių pradžios

taško atstumu 5=d . 50. Parašykite lygtį statmens, nubrėžto per tašką M, į tiesę AB, jei taškai A ir B yra

tiesės 082 =−− yx susikirtimo su koordinačių ašimis taškai,o taškas M atkarpą AB dalija santykiu 1:3: =MBAM .

Atsakymai

1. ( )4;1M . 25. 1350. 2. ( )8;1−B . 26. 023 =− yx .

27. a) 4π ; b)

4π ; c)

4π ; d) 0. 3. 13.

4. )1;3,1 . ( ) (;2 −6. ( )1;3−D . 28. 04 =7. ( ) ( ) ( )0;0,2;1,1;3 . 8. ( )225 + . 9. 137. 11. ( )0;1 . 12. 2 . 13. ( )3;0 . 14. xy −= 3 . 15. 2M ir 4M . 16. )4;0, . ( ) (0;6 −

17. 33 −= xy , 33 −−= xy . 18. ( )5;3 − . 19. ( ) ( ) (3;1,1;2 CBA )4;2,−− .

20. a) 5=k ; b) 32

−=k ; c)

35

−=k ; d) 23

−=k ; e) 0=k .

21. a) 072 =3 −+ yx ; b) 3 042 =+− yx .

22. 033 =−25 − yx , 0114 =−+ yx ,

03367 =++ yx . 23. 01134 =−+ yx ,

02 =++ yx , 01323 =−+ yx .

24. 082: =−+ yxAB2: =−+ y

; 01xBC ;

01: =−− yxAC ; 3: =xAD ; 03: =−+ yxBE ; 0: =yCF .

25 ++ yx , 025 =25 −+ yx .

29. ,34 CBarctgA ==

5

2arctg . =

2:30. 04 =+AE x y− ; 02 =+AD x y: 2− ;

29=AE . 31. 4,4. 32. 05 =+ yx . 33. 2,4. 34. 3. 35. 011=85 + yx + . 36. 01=+x + y . 37. a) , c) ir d). 38. lygiagrečios a) b); sutampa d)

e). 39. 4. 40. 300. 41. ( )1;4 −−D .

42. 1) 4π ; 2)

2π ; 3) 0; 4)

3π ;

5) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

43arctg .

43. 1) xy 4= ; 2) xy 2−= ; 3)

xy 3−= ir xy31

= .

44. 1643 =+ yx , 0135 =−+ yx , 72 −= xy .

45. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

41;

45P .

15 46. 1+= xy . 47. ( )3;0M .

48. 546 .

49. 2±=k . 50. 0112 =−+ yx .

II skyrius. ANTROSIOS EILĖS KREIVĖS

1. Apskritimas

Apskritimas yra tokia plokštumos kreivė ,kurios kiekvienas taškas yra vienodai nutolęs nuo duoto pastovaus taško ( )00; yxC .

y

x O

r M

C

)0; y

Duotas taškas vadinamas apskritimo centru. ( 0xCBet kurio apskritimo taško ( )yxM , atstumas iki centro vadinamas apskritimo

spinduliu ir žymimas raide r. Apskritimo spindulio r ir centro taške ( )00; yx

( )

kanoninė lygtis yra tokia:

( ) 220

20 ryyx =−+−x ;( 22 rCM =

0čia,0 ≠=+++ ADCyBx

).

Lygtis yra bendroji apskritimo lygtis. Ją galima perrašyti į kanoninę išraišką, išskiriant pilnuosius dvinarių kvadratus. (Kaip tai daroma parodysime pavyzdžiais.)

2 +Ay

3=

2Ax

( )2;3−C

UŽDAVINIŲ SPRENDIMO PAVYZDŽIAI

1 UŽDAVINYS. Parašykite apskritimo, kurio centras C ir spindulys r, kanoninę lygtį:

a) ir r ; b) ( )4;0 −C ir 3=r ; c) ( )0;0C ir 5=r . Sprendimas. a) įrašę į kanoninę lygtį 2,3 00 =−= yx ir 3=r , gauname

. ( ) ( ) 923 22 =−++ yxb) pagal sąlygą: 00 =x , 40 −=y , tuomet kanoninė lygtis yra

( ) ( ) ( )222 340 =++− yx , arba ( )4 2 =+y 3+2x . c) . Įrašę į kanoninę lygtį, gauname 0,0 00 == yx ( ) ( ) 222 500 =−+− yx , arba

. 25=22 + yx

16

Ats.: a) ;b) ( ) ( ) 923 22 =−++ yx ( ) 34 22 =++ yx ;c) . 2522 =+ yx 2 UŽDAVINYS. Parašykite lygtį apskritimo, kurio centras ir taškas

yra apskritime. ( 2;1−C )

)( 6;2MSprendimas. Įrašę į kanoninę lygtį centro koordinates ir 10 −=x 20 =y ,

gauname . ( ) ( ) 222 21 ryx =−++Kadangi apskritimo taškas yra M, tai 2=x ir 6=y turi tenkinti apskritimo

lygtį. Jei taip, gauname, kad ( ) ( ) 222 2612 r=−++ arba . 252 =r

Kanoninė lygtis yra tokia: ( ) ( ) 2521 22 =−++ yx .

Atsakymas. ( ) . ( ) 2521 22 =−++ yx

3 UŽDAVINYS. Nubraižykite apskritimus, kurių lygtys tokios: a) ; b) ; 0126 22 =+++− yyxx 082 22 =−++ yxxc) ; d) ; 02622 =−−+ yyx 0114122282 22 =+++− yyxxe) . 1633 22 =++ xyxSprendimas. Kiekvienai šių lygčių suteikite kanoninę lygties išraišką: a) sugrupuojame narius su kintamuoju x ir su y ( ) ( ) 126 22 −=++− yyxx .

Abiejuose skliaustuose papildome nariais taip, kad išskirtume dvinario pilnąjį kvadratą ( ) ( ) 1−= ( ) ( ) =++− 22 13 yx11123332 222222 −+⋅++−+⋅− yyxx

9;

. Iš čia gauname, kad centras 191 =++−= ( )1;3 −C ir 3=r ( )92 =r ;

-2

-1

0

1

2

3

4

-1 0 1 2 3 4 x

y

( )1;3 −C

3=r

b) sugrupuojame narius ( ) 82 22 =++ yxx . Skliaustuose išskiriame pilnąjį

kvadratą ( ) 82 =+ y1112 222 −+⋅+ xx , arba ( ) ( ) 91801 22 =+=−++ yx , čia ir ( )0;1−C 3=r . Braižome brėžinį.

17

-3

-2

-1

0

1

2

3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 x

y

( )0;1−C

3=r

c) . Sugrupuojame narius 02622 =−−+ yyx ( ) 2622 =−+ yyx . Skliaustuose išskiriame pilnąjį kvadratą ( ) 222 =+ yx 3332 22 −+⋅⋅− y , arba

. Gavome ( )0−x ( ) 113 22 =−+ y ( ) ( )3;00;0 =yx ir 112 =r . Tai apskritimo kanoninė lygtis, jo centras ( )3;0C ,o spindulys 11=r .

Braižome brėžinį.

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y

x

( )3;0C 11=r

d) sugrupuojame lygties narius 0114122282 22 =+++− yyxx ( )+− xx 282 2

( ) 114122 2 −=++ yy . Iš abiejų skliaustų iškeliame 2; ( ) ( )=++ yy 62 2− x14x2 2 . Abiejuose skliaustuose išskiriame pilnuosius kvadratus 114−=

( )+2−+⋅⋅− 22 77722 xx ( ) 1143332 222 −=−+⋅⋅+ y2 y , ( )( ) ( )( ) 1149 −=

57−

3 2+

)2 −24972 2 +−− yx

( ) ( 3497 2 ++−− yx−

9 =. Abi lygties puses padaliname iš

2: , arba ( ) ( )37 2 ++− yx 194957 =++2 −= . Gavome kanoninę lygtį apskritimo, kurio centras ( )3;7 −C ,o spindulys 1=r ;

e) . Sugrupuojame narius 1633 22 =++ xyx ( ) 1363 22 =++ yxx ,

( ) 13 2 =+ y23 2 + xx . Skliaustuose, papildę nariais iki pilnojo kvadrato, gauname ( ) 13111 222 =+−+ y23 2 ⋅+ xx , arba ( )( ) ( ) 10 2 =−3113 2 +−+ yx . Iš čia ( ) ( ) 1033 2 =−+ y13 2 −+x , ( ) ( ) 40 2 =−31 2 ++ yx3 . Padalijame abi lygties puses

18

iš 3 ( ) ( )3401 22 =−++ yx . Gavome: ( ) ( )0;1; 00 −=yx ir

342 =r . Gauta lygtis yra

kanoninė apskritimo, kurio centras ( )0;1−C , o spindulys 3

32=r , lygtis.

Braižome brėžinį.

-2

-1

0

1

2

-1 0-3 -2 1 2

( )0;1−C

332

=

y

r

x

Ats.: a) ; b) ( ) ( ) 222 313 =++− yx ( ) 222 31 =++ yx ; c) ( ) ( )222 113 =−+ yx ;

d) ( ) ; e) ( ) 13 2 =+y ( )2 2 +−x2

221+x34⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+ y .

4 UŽDAVINYS. Parašykite apskritimo, kai jo centras yra taške ( )1;1− ir

apskritimo liestinė yra tiesė 42 =+ yx , lygtį Sprendimas. Kanoninei lygčiai gauti reikia žinoti centrą ir spindulį. Pagal

sąlygą . Liestinė yra statmena apskritimo spinduliui, nubrėžtam per lietimosi tašką. Braižome brėžinį.

( 1;1−C )

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2 3 4 5

y

x

042: =−+ yxtC

M

Atkarpa CM, statmena tiesei, yra apskritimo spindulys. Atkarpos ilgį apskaičiuojame remdamiesi taško C atstumo iki tiesės 042 =−+ yx formule

22 BA

CByAxd CC

+

++= . Pagal sąlygą: 4,2,1 −=== CBA ir centras ( . Įrašę į

formulę, gauname, kad

)1;1−

( )5

3

2

4122

=+

−⋅

1

112

+−⋅=d .

19

Apskritimo kanoninė lygtis yra ( ) ( )59

5311

222 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=−++ yx , arba

591212 22 =+−+++ yyxx , ,

.

951055105 22 =+−+++ yyxx −++ 22 5105 yxx

0110 =+− yAts.: . 01101055 22 =+−++ yxyx

1. SAVARANKIŠKO DARBO UŽDUOTYS

1. Parašykite lygtį apskritimo, kurio centras ir spindulys yra tokie: 1) , ( )1;2−C 2=r ; 4) ( )0;3C , 3=r ; 2) , ( )2;4C 3=r ; 5) ( )3;5 −−C , 4=r ; 3) , ( )5;0C 1=r ; 6) ( )0;0C , 5=r .

2. Parašykite apskritimo, kurio skersmuo yra atkarpa, jungianti tašką ( )6;4−A su koordinačių pradžios tašku, lygtį.

3. Nurodykite apskritimų centrus ir spindulius, kurių lygtys tokios: 1) ( ) ; 4) ( ) 324 22 =+++ yx ( ) 95 22 =++ yx ; 2) ( ) ; 5) ; ( ) 413 22 =−+− yx 722 =+ yx3) ; 6) ( ) 53 22 =++ yx ( ) ( ) 101010 22 =−++ yx .

4. Nubraižykite apskritimus: 1) 03 ; 2) 03 ; 6422 =−+−+ yxyx 22 =−+ xyx 3) . 01422 =−++ yyx

5. Parašykite apskritimo, kai jo centras yra tiesių xy = ir 2=+ xy susikirtimo taške, o spindulys lygus 5, lygtį.

6. Duoti taškai ( )0;3−A ir ( )6;3B . Parašykite apskritimo, kurio skersmuo yra atkarpa AB, lygtį

7. Parašykite apskritimo lygtį, kai jo centras yra taške ( )8;6 −C , o koordinačių pradžios taškas priklauso apskritimui.

8. Nubraižykite šias kreives: 1) 29 xy −= ; 4) 216 yx −= ;

2) ;25 2xy −−= 5) 26415 xy −+= ,

3) 24 yx −−= ; 6) 26415 xy −−= . 9. Apskaičiuokite apskritimo 05 susikirtimo su tiese 022 =++ xyx =+ yx

taškus. 10. Parašykite apskritimų 162 ir 2 =+ yx ( ) 95 22 =+− yx bendrosios stygos lygtį. 11. Parašykite apskritimo lygtį, kai jo centras yra taške ( )2;1 −−C , o spindulys

lygus atkarpos tarp taškų ( )4;5M ir ( )0;1N ilgiui. 12. Apskaičiuokite atstumą tarp apskritimų ir

03 centrų. ( ) 31 22 =−+ yx

8422 =−+−+ yxyx

20 13. Apskaičiuokite taško ( )4;3−M atstumą iki apskritimo

centro. ( ) 310 22 =−+ yx

14. Apskaičiuokite atstumą nuo apskritimo 03 centro iki tiesės 01=−

10222 =−+−+ yxyx+ yx .

15. Apskaičiuokite taško ( )2;5 −M atstumą iki pusapskritimio 29 xy −= centro. 16. Apskaičiuokite kampą tarp apskritimo 06 dviejų spindulių,

nubrėžtų į susikirtimo su Oy ašimi, taškus. 422 =−++ yxyx

17. Per tašką ( )2;3− ir per apskritimo 01 centrą nubrėžkite tiesę ir parašykite lygtį.

M 2 22 =−+− yxx

18. Nustatykite apskritimo ( ) ( ) 2512 22 =−+− yx ir tiesės 0127 =+− yx susikirtimo taškus.

19. Parašykite apskritimo lygtį,jei apskritimo centras yra taške ( )3;2 −C ,o taškas ( )1;5M yra apskritimo kreivėje.

20. Parašykite apskritimo lygtį,jei jo skersmuo yra atkarpa MN; ( )9;3M ,. ( )3;7N 21. Parašykite apskritimo lygtį, jei jo centras yra taške ( )5;4−C ,o spindulys lygus

taško ( )3;2− atstumui iki tiesės 03M =+− yx . 22. Nubraižykite apskritimus, kurių lygtys yra šios:

1) ; 3) ; 0234622 =−+−+ yxyx 0722 =++ yyx2) ; 4) . 05,27522 =+−++ yxyx 01222 =−−+ xyx

23. Nustatykite, ar taškas ( )2;1 −M yra viduje, išorėje ar apskritimų kreivėje, kai jų lygtys yra šios: 1) , 4) , 122 =+ yx 034822 =−−−+ yxyx2) , 5) . 522 =+ yx 081022 =−−+ yxyx3) , 922 =+ yx

24. Apskaičiuokite atstumą nuo apskritimo ( ) ( ) 444 22 =++− yx centro iki tiesės 0=− xy .

25. Atstumą tarp apskritimų 162 ir 2 =+ yx ( ) ( ) 2511 22 =++− yx centrų padalinkite santykiu 2:1 .

26. Apskaičiuokite taško ( )4;1−P atstumą iki kreivės 216 xy −= centro. 27. Parašykite apskritimo lygtį, kurio centras ( )3;2−C ir liestinė yra tiesė

04343 =+− yx . 28. Parašykite apskritimo lygtį, kurio centras ( )0;0C ,o tiesė 052 =+− yx yra

apskritimo liestinė.

Atsakymai

1. 1) 01 ; 2422 =+−++ yxyx 2) ; 0174822 =+−−+ yxyx 3) ; 0241022 =+−+ yyx

4) ; 0622 =−+ xyx 5) ; 01861022 =−+++ yxyx 6) . 02522 =−+ yx

21 2. 06 . 422 =−++ yxyx3. 1) ( )2;4 −−C ir 3=r ;

2) ir ( 1;3C ) 2=r ; 3) ir ( )3;0 −C 5=r ; 4) ir ( )0;4−C 3=r ; 5) ir ( 0;0C ) 7=r ; 6) ir ( )10;10−C 10=r .

4. 1) ( ) ; ( ) 1032 22 =++− yx

2) 49

23 2

2

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − yx ;

3) . ( ) 52 22 =++ yx5. 03 . 2222 =−−−+ yxyx6. 09 . 622 =−−+ yyx7. ( ) ( ) 10086 22 =++− yx . 8. 1)

( )0;0C , 3=r ;

2) ( )0;0C , 5=r ;

3) ( )0;0C , 2=r ;

4) ( )0;0C , 4=r ; 5) ( )15;0 8=C , r ; 6) ( )15;0C 8=R, .

9. ( )0;0 . 10. 2,3=x . 11. ( ) ( 21 2 +++ yx ) 322 = . 12. 29 . 13. 45 . 14. 22 . 15. 29 .

x

y 3

-3 3

x

y

-5

-5 5

x

y

-2

-2

2

x

y

-4

4

4

y

15

x

y

15

x

22 16. 4,2−=αtg . 17. 012 =−+ yx . 18. ( )5;11 − , ( )2;2 −− . M M 2

19. ( ) ( ) 252 = . 3+2 2 +−

( )yx

20. ( ) 136 2 = . 5 2 +− −yx21. ( ) ( ) 254 22 =−++ yx . 22. 1) ( )2;3 −C , 6=r ;

2) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

27;

25C , 4=r ;

3) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

27;0C ,

27

=r ;

4) ( )0;1C , 2=r . 23. 1) išorėje;2) kreivėje;

3) viduje; 4) kreivėje; 5) viduje.

24. 24 .

25. ⎟⎠⎞−

31;

31 . ⎜⎝⎛M

26. 17 . 27. 012 =− . 6422 −++ yxyx

22 + yx28. 05 =− .

2. Elipsė

Apibrėžimas. Elipse vadinama plokštumos kreivė,kurios kiekvieno taško atstumų nuo dviejų duotų taškų, vadinamų židiniais, suma yra pastovus dydis.

Elipsės židiniai žymimi raidėmis ir , o atstumas tarp jų žymimas . 1F 2F c2Jei elipsės centras yra koordinačių pradžioje, tai elipsės kanoninė lygtis yra

tokia:

122 ba

22=+

yx

y

x 2A

1B

1A

2B

O 1F 2F

( )yxM , b c

a

Kai , elipsės didžioji ašis yra koordinačių ašyje Ox ir lygi , ba > a2 aAA 221 = , o aOA =2OA=1 yra didžiosios pusašės. Atkarpos bOBOB == 21 vadinamos

elipsės mažosiomis pusašėmis,o bBB 221 = mažąja ašimi. Židiniai ir ( )0;2 cF − ( )0;1 cF yra kreivės didžiojoje ašyje. Židinių koordinates

apskaičiuojame pagal formulę . Skaičius 222 bac −=ac

=ε yra elipsės

ekscentricitetas.

23

Jeigu elipsės didžioji ašis yra Oy ašyje, t. y. ir yra didžioji elipsės ašis, tai jos židiniai

ab > bBB 212 =

( )cF ;01 ir ( )cF −;02 yra ašyje Oy ir , o 22 ab −=2c

bc

=ε .

y

x O

2F

1F a

b

1B

2B

Tuo atveju, kai elipsės centras yra ne koordinačių pradžios taškas O, bet taškas , jos kanoninė lygtis tokia: ( 001 ; yxO )

( ) ( ) 12

20

2

20 =

−+

−b

yya

xx .

Šiuo atveju elipsės simetrijos ašys yra tiesės, kurių lygtys yra ir . Tai tiesės nubrėžtos per elipsės centrą ir lygiagrečios koordinačių ašims.

0xx = 0yy =

Braižome brėžinį dviem atvejais, kai ir kai ba > ba < . y

x

2A

2B

O

1F 2F b

a 1O 1A 0yy =

1B

0xx =

ba >

24

y

x O

2F

1F a

b

2B

1B

1O 1A 2A 0yy =

ba <

0xx =

Jei , tai židiniai yra ašyje ba > 0yy = ir jų koordinatės . Atstumas nuo elipsės centro iki židinio

apskaičiuojamas formule . ( ) 10 , Fy ( 0002 ;; ycxcxF +−

2c)

22 ba −=Elipsės viršūnės yra taškai ( ) ( ) ( byxByaxAyaxA )+−+ 001002001 ;,;,; ,

. ( )byxB −002 ;Jei , tai židiniai yra ašyje ba < 0xx = ir ( )cyxF +001 ; , ( )cyxF −002 ; .

Atstumas nuo centro iki židinio apskaičiuojamas taip: . 222 abc −=Elipsės viršūnės yra taškai ( ) ( ) ( byxByaxAyaxA )+−+ 001002001 ;,;,; ,

. ( )byxB −002 ;

UŽDAVINIŲ SPRENDIMO PAVYZDŽIAI 1 UŽDAVINYS. Apskaičiuokite elipsės pusašes, židinius ir

ekscentricitetą. 225259 22 =+ yx

Sprendimas. Pusašes a ir b galima nustatyti elipsės lygčiai suteikus kanoninę

išraišką. Tam lygtį padalijame iš 225: 1225

252259 22

=+yx , arba 1

925

22=+

yx . Iš čia

, ir 252 =a 9,5 2 == ba 3=b925 =−

. Židinių koordinates apskaičiuojame remdamiesi formule . Iš čia 16=222 −= bac 4=c , o ir ( 0;41 −F ) ( )0;42F .

Ekscentricitetas 54

==acε .

Ats.: ;3,5 == ba ( )0;41 −F , ( )0;42F ; 54

=ε .

2 UŽDAVINYS. Apskaičiuokite elipsių, kurių lygtys yra: 1) ;

2) 3) ir 4)

1164 22 =+ yx

;3636 22 =+ yx 22 22 =+ yx 116

22

=+ yx didžiąją ir mažąją ašis.

25

Sprendimas. Elipsės didžiąją ir mažąją ašis apskaičiuojame pagal kreivės kanoninę lygtį. Tam duotas lygtis perrašome į kanonines:

1) , t. y. gauname, kad 1164 22 =+ yx 1

161

41arba,1

116

14 2222

=+=+yxyx . Iš

čia 412 =a ,

21

=a ir ; 12 =a1612 =b ,

41

=b ir 212 =b . Šiuo atveju didžioji ašis

lygi 1, o mažoji lygi 21 ;

2) lygtį perrašome padalinę ją iš 36: 3636 22 =+ yx 13636

36 22=+

yx ,

1361

22=+

yx . Iš čia , o , tai 1,12 == aa 362 =b 6=b . Didžioji ašis . (Oy

ašyje) ir mažoji ašis (Ox ašyje).

122 =b

22 =a

3) lygtį daliname iš 2; 22 22 =+ yx 12

22

22=+

yx arba 112

22=+

yx . Iš čia

, 22 =a 2 12 =b=a ; ir 1=b . Didžioji ašis 222 =a , o mažoji ašis . 22 =b

4) lygtis 116

22

=+ yx , arba 1116

22=+

yx , yra kanoninė ir , 162 =a 4=a ;

, . Didžioji ašis 12 =b 1=b 82 =a (Ox ašyje) ir mažoji ašis (Oy ašyje). 22 =b

Ats.: 1) , 12 =a212 =b ; 2) 22 =a , 122 =b ; 3) 222 =a , ; 4) 22 =b 82 =a ,

. 22 =b 3 UŽDAVINYS. Parašykite elipsės lygtį, jei jos židiniai yra Ox ašyje, mažoji

pusašė lygi 5, o 1312

=ε .

Sprendimas. Elipsės kanoninė lygtis yra 12

2

2

2=+

by

ax . Pagal sąlygą 5=b . Be

to a

baac 22 −==ε . Įrašę žinomų dydžių reikšmes, gauname, kad

aa2 − 25

1312

=

arba aa 122513 2 =− . Pakėlę abi puses kvadratu, gauname ( ) 22 14425169 aa =−

arba ; iš čia . Ieškoma elipsės lygtis 22 1444225169 aa =− 1692 =a 125169

22=+

yx .

Ats.: 1513 2

2

2

2=+

yx .

4 UŽDAVINYS. Parašykite elipsės lygtį, jeigu jos židiniai yra Ox ašyje

simetriškai koordinačių pradžios taško atžvilgiu,o taškai ( )3;41 −M , ( )3;222M priklauso kreivei.

26

Sprendimas. Elipsės kanoninei lygčiai 12

2

2

2=+

by

ax parašyti reikia skaičiuoti

pusašes a ir b. Pagal sąlygą žinome, kad taškai ir yra kreivės taškai, o tai reiškia, kad tų taškų koordinatės atitinka jos lygtį. Įrašę tai į elipsės lygtį, gauname,

kad

1M 2M

( ) 1342

2

2

2=

−+

ba ir ( ) 1322

2

2

2

2

=+⋅

ba. Sprendžiame dviejų lygčių su dviem

nežinomaisiais a ir b sistemą

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=+

.198

,1316

22

22

ba

ba

. Padauginę antrą lygtį iš -2 ir panariui sudėję su pirmąja, gauname:

115

21816

,1316

2

22

22−=

−⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−−

=+

bba

ba arba . Įrašę į pirmą lygtį, gauname, kad 152 =b

115316

2 =+a

, 1512

153116

2 =−=a

; iš čia 2012

15162 =⋅

=a . Ieškoma elipsės lygtis

11520

22=+

yx .

Ats.: 11520

22=+

yx .

5 UŽDAVINYS. Apskaičiuokite elipsės ( ) ( ) 125

54

3 22=

−+

− yx centro,

viršūnių ir židinių koordinates. Nubraižykite elipsę. Sprendimas. Pagal elipsės kanoninę lygtį pusašė , o pusašė 2=a 5=b .

Centras yra taške . Kadangi , tai elipsės ilgoji ašis yra tiesė, kurios lygtis ( )5;3 ab >3=x . Židinių koordinates apskaičiuojame pagal formulę

; iš čia 212522 =− a 4 =−2 = bc 21=c ir ( ) ( )21,215;31 −+F 5;32F . Elipsės viršūnės yra taškai ( ) ( ) ( ) ( 55;3,55;3,5;23,5;23 2112 −+ )+− BBAA

) arba

. ( ) ( ) ( ) ( 0;3,10;3,5;5,5;1 2112 BBAABraižome brėžinį.

27

-3-2-10123456789

1011

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

x

50 =y

30 =x

2=a

b

O

1O

1F

2F

1B

2B

2A 1A

y

Ats.: C ( ) , 5;3 ( ) ( ) ( ) ( )0;3,10;3,5;5,5;1 2112 BBAA , ( ) ( )215;3,215;3 21 −+ FF .

6 UŽDAVINYS. Nubraižykite elipses, kurių lygtys tokios: a)

; b) . 041849 22 =++−+ yxyx 04454100925 22 =−−++ yxyxSprendimas. Elipsės kreivė braižoma pagal jos kanonę lygtį. Duotąją lygtį

perrašome į kanoninę. Tam sugrupuojame narius į dvi grupes:

041849 22 =++−+ yxyx( ) ( ) 0418 =+y

2y94 22 ++− yxx

2x. Prieš kiekvienus skliaustus iškeliame

koeficientą, esantį prie ir , jei bent vienas iš jų ne vienetas, t. y.: ( ) ( ) 04294 22 =+++− yyxx . Skliaustuose esančiuose reiškiniuose išskiriame pilnąjį dvinario kvadratą ( ) ( ) 0411129222 22222 =+−+⋅++−+ yy22 ⋅⋅− xx , arba ( )( ) ( )( ) 04 =11 2 +−+942 2 +−− yx( )

. Atskliaudžiame skliaustus: ( ) 91942 22 +−++−− yx 04 = , ( ) ( ) 9192 22 =++ y−x . Padalijame abi lygties

puses iš 9, nes dešinėje lygties pusėje turi būti 1, t. y.: ( ) ( ) 19

1992 22

=+

+− yx , arba

( ) ( ) 11

192 22

=+

+− yx . Iš čia 3=a , 1=b . Elipsės centras yra taške ( )1;2 − .

Simetrijos ašys yra tiesės 2=x ir 1−=y . Kadangi , tai , ir

ba >

8192 =−=− b22 = ac 8=c , o židiniai: ( )1;8 −22 −F ir ( )1;821 −+F . Elipsės viršūnės yra taškuose: ( ) ( ) ( ;2, 1 ) ( 11;2,1 2 )11 1;32,1;322 −−+−−+−− BBAA

)

arba ( ) ( ) ( ( )2;,0 22;21,1;5,1;1 12 −−−− BAA B . Braižome brėžinį.

28

-3

-2

-1

0

1

2

-2 0 2 4 6

1B

2B

1A 2A

20 =x

10 −=y 1O 1=b

3=a

x

y

b) lygtį perrašome į kanoninę taip: 04454100925 22 =−−++ yxyx

( ) ( ) 044549 2 =−− yy10025 2 ++ xx , ( ) ( ) 4469 2 =− yy425 2 ++ xx , ( )( ) ( )( ) 44939 2 =−−+ y4225 2 −+x , arba ( ) (91002 2 +−+ ) 44813 2 =−−y25 x

( ) 81100443 2 ++=−

, , ( ) 9225 2 ++ yx ( ) ( ) 22539 2 =−y225 2 ++x

( ). Padaliname abi

lygties puses iš 225 ( ) 1225

39225

225 22=

−+

+ yx . Gauname ( ) ( ) 125

392+x 22

=−

+y .

Elipsės pusašės lygios ir 3=a 5=b . Centras - taškas ( )3;2− . Simetrijos ašys yra tiesės, kurių lygtys 2−=x ir 3=y

4=c 1F 2F. Kadangi , tai ,

iš čia . Židiniai ir yra ilgesnėje ašyje 35 > 22 −= bc 169252 =−=a( )7;21 −F 2F ir . Viršūnės

yra taškuose ( )1;2 −−

( ) ( ) ( ) ( )2;2,8; 22,3;1,3;5 112 −−−− BAA B . Braižome brėžinį:

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

x

y

20 −=x

30 =y

1B

2B

1F

2F

2A 1A 1O

b

a

29

2. SAVARANKIŠKO DARBO UŽDUOTYS

1. Nustatykite elipsių pusašes, jei jų lygtys yra tokios: 1) 1916

22=+

yx ; 2)

14

22

=+ yx ; 3) 25; 4) 15; 5) 25 ; 6)

1 ; 7) 14 2 ; 8) 1616 2 ; 9) 1925 2 ; 10) 1.

25 22 =+ yx

2 =+ yx

5 22 =+ yx

2 =+ yx

94 22 =+ yx

2 =+ yx259 22 =+ yx9 22 =+ yx

2. Parašykite elipsės lygtį, jei židiniai yra Ox ašyje ir: a) didžioji pusašė lygi 5, o mažoji pusašė lygi 2; b) didžioji ašis lygi 10, o atstumas tarp židinių lygus 8; c) mažoji ašis lygi 24, o atstumas tarp židinių lygus 10.

3. Parašykite elipsės lygtį, jei židiniai yra Oy ašyje ir: a) didžioji ir mažoji pusašės lygios 7 ir 2; b) didžioji ašis lygi 10, o atstumas tarp židinių lygus 8;

c) atstumas tarp židinių lygus 24, o 1312

=ε ;

d) mažoji ašis lygi 16, o 53

=ε .

4. Apskaičiuokite elipsės 1425

22=+

yx taško ordinatę, jei šio taško abscisė lygi -3.

5. Parašykite elipsės lygtį ,jeigu elipsė simetriška koordinačių ašių atžvilgiu ir žinomi du jos taškai ( ) ( )2;03;2 BirA .

6. Parašykite elipsės lygtį ,jei jos židiniai yra Ox ašyje,o centras koordinačių pradžios taške; mažoji pusašė lygi 3, o taškas ( )2;52−M yra kreivėje.

7. Parašykite elipsės, kuri būtų simetriška koordinačių ašių atžvilgiu, taškas ( )2;2 − būtų kreivėje, turėtų židinius Ox ašyje,o jos didžioji pusašė būtų lygi

4, lygtį. M

8. Parašykite elipsės, kurios židiniai yra Ox ašyje, atstumas tarp židinių lygus 8 ir taškas ( )1;15 −P yra kreivėje, lygtį.

9. Nustatykite tiesės 072 =−+ yx ir elipsės 25 susikirtimo taškus. 4 22 =+ yx

10. Nustatykite elipsės 125

22

=+ yx ir tiesės 025103 =−+ yx susikirtimo taškus.

11. Parašykite elipsės lygtį,jei ji simetriška koordinatinių ašių atžvilgiu ir žinomi du kreivės taškai ( ) ( )0;6,6;32 21 MM .

12. Parašykite elipsės, kurios dvi viršūnės yra taškuose ( )3;0 ir ( )3;0 − , o atstumas tarp židinių lygus 8, lygtį.

13. Per vieną elipsės, kurios pusašės lygios 10 ir 6, židinį, statmenai didžiąjai ašiai išvesta styga. Apskaičiuokite stygos ilgį.

14. Nustatykite elipsės 36 susikirtimo taškus su šiomis tiesėmis: 94 22 =+ yx1) 0622 =−+ yx ; 2) 12332 =+ yx ; 3) 6−= xy .

15. Parašykite elipsės, kurios židiniai yra taškuose ( )0;7 ir ( )0;7− ,o 28,0=ε , lygtį.

30 16. Nubraižykite elipsę 16 ir apskaičiuokite jos židinius bei

ekscentricitetą. 4 22 =+ yx

17. Parašykite elipsės lygtį,jei duotas vienas jos taškas ( )1;1M ir ekscentricitetas

53

=ε .

18. Duota elipsė 13250

22=+

yx ir trys taškai ( ) ( ) (4;5,1;7 PNM )5;4,−− . Nustatykite

kaip šie taškai išsidėstę duotos elipsės atžvilgiu (viduje, išorėje ar priklauso kreivei).

19. Apskaičiuokite atstumą tarp elipsės 99 kairiojo židinio ir viršūnės, esančios teigiamoje Oy ašies dalyje.

3 22 =+ yx

20. Apskaičiuokite atstumą tarp elipsės 36 viršūnės, esančios Oy ašyje

ir elipsės

94 22 =+ yx

1925

22=+

yx dešiniojo židinio.

21. Parašykite lygtį elipsės, kurios židiniai yra Ox ašyje ir:

1) atstumas tarp židinių lygus 6, o 53

=ε ;

2) didžioji ašis lygi 20, o 53

=ε ;

3) mažoji ašis lygi 10, o 1312

=ε .

22. Apskaičiuokite atstumą tarp apskritimo ( ) 92 22 =−+ yx centro ir elipsės 16 dešiniojo židinio. 4 22 =+ yx

23. Apskaičiuokite taško M, dalijančio atstumą tarp elipsės 225 židinių santykiu 1:3, koordinates.

259 22 =+ yx

24. Apskaičiuokite stygos tarp elipsės 18 ir tiesės 18 22 =+ yx xy = susikirtimo taškų ilgį.

25. Apskaičiuokite elipsės 4225 ašių ilgius, židinių koordinates ir ekscentricitetą.

16925 22 =+ yx

26. Ar taškai ( )3;6 −A , ( )0;50B priklauso elipsei 13648

22=+

yx ?

27. Parašykite kanoninę lygtį elipsės, kurios pusašių suma lygi 8, o atstumas tarp židinių lygus 8.

28. Parašykite elipsės kanoninę lygtį, jei elipsės simetrijos centras yra taškas ( )0;0O ,o taškai ( )2;3 −M , ( )1;32−N priklauso elipsei.

29. Apskaičiuokite elipsės 11236

22=+

yx susikirtimo su tiese 092 =−− yx taškus.

30. Apskaičiuokite centrą, židinius ir viršūnes šių elipsių:

a) ( ) ( ) 125

547 22

=−

+− yx ; b) ( ) ( ) 1

41

163 22

=−

++ yx ; c) ( ) ( ) 1

254

91 22

=+

++ yx ;

31

d) ( ) 18125

8 22=+

− yx ; e) ( ) ( ) 10014325 22 =−+− yx ; f) ; 02510 22 =++ yxx

g) ; h) ; 041849 22 =++−+ yxyx 0164164 22 =++−+ yxyxi) ; k) . Nubrėžkite. 099618169 22 =+−++ yxyx 01289616 22 =+++ yyx

31. Apskaičiuokite elipsės židinius ir parašykite kanoninę lygtį,jei elipsės viršūnės yra taškuose ( ) ir ( ) ( )7;1,4;3,1;1 ( )4;1− .

Atsakymai

1. 1) 3,4 == ba ; 2) 1,2 == ba ;

3) ; 4) 1,5 == ba 3,15 == ba ;

5) 35,

25

== ba ; 6) 51,

31

== ba ;

7) 41,1 == ba ; 8) 4,1 == ba ;

9) 31,

51

== ba ; 10) 1,31

== ba .

11. 1934

22=+

yx .

12. 19

=yx .

25

22+

13. 7,2.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 3;

2314. 1) ( )0;3 ir ( )2;0 ; 2) - liečia;

3) nekerta.

15. 1576625

22=+

yx . 2. a) 1425

22=+

yx ; b) 1925

22=+

yx ;

c) 1144169

22=+

yx .

3. a) 149

=y ; b)

4

22+

x 125

=y ;

9

22+

x

c) 116925

22=+

yx ; d) 110064

22=+

yx .

4. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

58;3,

58;3 .

5. 14

=y .

16

22+

x

6. 19

=y .

36

22+

x

7. 116 =y .

316

22+

x

8. 14

=y .

20

22+

x

9. ( )2;3,23;4 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ .

10. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

58;3 - tiesė liečiasi su elipse.

16. ( )2

,0;32±

252 +x

3=εF .

17. 4116 2 =y . 18. M –elipsės išorėje, N – elipsėje,

P –kreivės viduje. 19. 3 . 20. 52 .

21. 1) 116

=y ; 2)

25

22+

x 164

=+y ;

100

22x

3) 125169

22=+

yx .

22. 4. 23. ( )0;2−M . 24. 34 .

25. .13122 =ε . ,102,26 == ba

26. A – priklauso, B – nepriklauso.

27. 1925

22=+

yx .

28. 1515

22=+

yx .

32

29. ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

1321;

1369,3;3 21 MM .

30. a) ( )5;7C ; viršūnės: 53V ,( ),0;71 V ( ) ( ;9,10;72V ) ( );5;54 V

židiniai: ( ) ( )215;7,215;7 21 −+ FF ; b) ; viršūnės: ( 1;3−C )

( );1;14

( ) ( ) ( 1;7,3;3,1;3 321 −−−− VVV ), V židiniai: ( ) ( )1;123,1;123 21 −−+− FF ;

c) ; viršūnės: ( 4;1 −−C( )

)( ) ( 1;1,4;4 3 −− ),4;2 21 −− V VV ,; ( );V 9;14 −−

židiniai: ( ) ( 1,0;1 21 )8;−−− FF)

; d) ; viršūnės: ( 0;8C( ) ( ) ( 9;8,0;3 32 VVV ),0;131 , ( );9;84 −V

židiniai: ( ) ( )568;8,568;8 21 −+ FF ;

e) ; viršūnės: ,

( 1;3C( ),1;51 V

)( ) ( 4;3,1;1 32 −VV ) ( );6;34V

židiniai: ( ) ( )213;3,213;3 21 −+ FF ;

f) ( )0;5−C ; viršūnės: ( ) ( ) ( 1;5,0;0 32 − ),0;101 − VV V , ( )1;54 −−V ;

židiniai: ( ) ( )0;245,0;245 21 −−+− FF ;

g) ( )1;2 −C ; viršūnės: ( ) ( ) ( 0;2,1;5,1;1 321 VVV − )−− ,( );2;24 −V

židiniai: ( ) ( )1;8 −2,1;82 21 −+ FF − ; h) ( )2;2 −C ; viršūnės: ( ) ( ) ( 2;3,4;2 3 − ),0;2 21 − VV V , ( )2;14 −V ;

židiniai: ( ) ( )3+2;2,32;2 2+− F1F ; i) ( )3;1−C ;viršūnės: ( ) ( ) ( )6;1,3;3 32 −,3;51 − VV V , ( );0;14 −V

židiniai: ( ) ( )3;71,3;71 21F −−+− F ;k) ( )3;0 −C ;viršūnės: ( ) ( ) ( 2;0,3;4 32 −− ),3;41 −− VV V ,( );4;04 −V ;

židiniai: ( ) ( )3;15,3;15 21 −−− FF .

( ) ( ) ( ),54;1;19

441

1

22+=

−+

− Fyx

( )54;12 −F .

3. Hiperbolė

Apibrėžimas. Hiperbole vadinama plokštumos kreivė, kurios kiekvieno taško

atstumų iki dviejų duotų taškų, vadinamų židiniais, skirtumas yra pastovus dydis. Šis skirtumas imamas absoliutiniu didumu ir žymimas . Duotieji taškai

žymimi raidėmis ir , ir vadinami hiperbolės židiniais, o atstumą tarp jų žymime .

a21F 2F

c2Nubraižykime kreivės brėžinį pažymėdami židinius ( )0;1 cF ir ašyje Ox

simetriškai taško atžvilgiu. ( 0;2 cF − )

( )0;0O

33

x

y

xaby =1

xaby −=2

2A 2F

1A 1F

O

b c

a

( )yxM ;

Pažymėkime tašką ( )yxM ; . Pagal apibrėžimą: aMFMF 221 =− . Šitokiu

būdu parinktoje stačiakampėje koordinačių sistemoje hiperbolės kanoninė lygtis yra tokia:

12

2

2

2=−

by

ax , čia . 222 bac +=

Koordinačių Ox ir Oy ašys yra hiperbolės simetrijos ašys, vadinamos tiesiog hiperbolės ašimis.

Ašių susikirtimo taškas O vadinamas hiperbolės centru. Kreivė kerta Ox ašį taškuose ( )0;2 aA − ir ( )0;1 aA , kurie vadinami hiperbolės

viršūnėmis. Atkarpa a vadinama hiperbolės realiąja pusaše, o atkarpa b – menamąja pusaše.

Stačiakampis, kurio kraštinės yra ir ilgių, vadinamas pagrindiniu hiperbolės stačiakampiu, o jo neaprėžtai pratęstos įstrižainės yra vadinamos

hiperbolės asimptotėmis, kurių lygtys

a2 b2

xaby =1 ir x

aby2 −= .

Skaičius ac

=ε vadinamas hiperbolės ekscentricitetu.

Hiperbolei 1>ε , nes . ac >Tuo atveju, kai židiniai ir išdėstyti ašyje Oy, asimptotės yra tokio paties

stačiakampio įstrižainės, kurių lygtys

1F 2F

xaby ±= , o hiperbolės kanoninė lygtis

12

2

2

2=−

ax

by , . 222 bac +=

Šiuo atveju pusašė b vadinama realiąja, o a – menamąja pusaše.Židiniai:

ir ( cF ;01 ) )( cF −;02 .Ekscentricitetas bc

=ε .

Braižome brėžinį.

34

x

y

b a

1F

2FO

Hiperbolės, kurios centras ( )001 , yxO ,kurios simetrijos ašys 0,0 , xxyy == ir

kurios realioji ašis yra lygiagreti koordinatinei ašiai Ox, kanoninė lygtis yra tokia: ( ) ( ) 12

20

2

20 =

−−

−b

yya

xx , . 222 bac +=

Hiperbolės viršūnės yra taškuose ( )00 ax ; y+ ir ( )0; ya− .Hiperbolės židiniai ta c+

0xškuose ir ( )00 ; yx ( )00 ; ycx − .

Šiuo atveju asimptotės yra ( )00 xxabyy −=− ir ( )00 xx

abyy −−=− .

Braižome brėžinį.

x′

y′y

x O

1O

( )00 xxabyy −=−

( )00 xxabyy −−=−

1F2F b a

Tuo atveju, kai hiperbolės realioji ašis, kurioje yra židiniai, lygiagreti Oy ašiai,

hiperbolės kanoninė lygtis ( ) ( ) 12

20

2

20 =

−−

−a

xxb

yy .

Hiperbolės viršūnės ( )byx +00; ir ( )byx −00; . Židiniai ( )cyx −00 ; ir . Asimptotės ( cyx +00; )

( ) ( )00 xxabyy −=− ir ( ) ( )00 xx

abyy −−=− .

35

Braižome brėžinį.

x′

y′y

x O

1O

( )00 xxabyy −=−

( )00 xxbyy −−=− 2F

a

b a

1F

UŽDAVINIŲ SPRENDIMO PAVYZDŽIAI 1 UŽDAVINYS. Parašykite hiperbolės, simetriškos taško atžvilgiu

lygtį, jeigu židiniai yra ašyje Ox, realioji ašis lygi 16 ir

( 0;0O )

45

=ε .

Sprendimas. Kanoninei hiperbolės lygčiai parašyti apskaičiuojame realiąją a

ir menamąją b pusašes. Pagal sąlygą 162 =a , tai 8=a ir a

baac 22 +==ε ; įrašę

ε ir a reikšmes gauname, kad

( ) 10064,1064,1064,40644,8

6445 222222

2=+=+=+=+

+= bbbbb

arba . Ieškomoji hiperbolės lygtis tokia: 362 =b 13664

22=−

yx .

Ats.: 13664

22=−

yx .

2 UŽDAVINYS. Parašykite hiperbolės lygtį, jei jos menamoji pusašė lygi 2 ir

vienas kreivės taškas yra ( )22;6 −M .

Sprendimas. Hiperbolės kanoninė lygtis yra 12

2

2

2=−

by

ax . Pagal sąlygą 2=b .

Dar reikia apskaičiuoti realiąją pusašę a. Kadangi sąlygoje duotas kreivės taškas M, tai reiškia, kad jo koordinatės atitinka hiperbolės lygtį, t. y.

( ) 363,336,14836,1

2226 2

222

2

2

2===−=

⋅−− a

aaa, arba . Ieškoma hiperbolės

kanoninė lygtis yra tokia:

122 =a

1412

22=−

yx .

Ats.: 1412

22=−

yx .

36

3 UŽDAVINYS. Nubraižykite hiperboles, kurių lygtys yra šios: a)

122

=− yx9

; b) ; c) ; d) . 44 22 =− yx 122 =− yx 1254 22 =− yx

Sprendimas. Kreivei nubraižyti reikia pirmiausia jos lygtį suvesti į kanoninę.

Braižymo eiga yra tokia: 1) iš kanoninės lygties apskaičiuojame realiąją ir menamąją pusašes; 2) nubrėžiame dvi asimptotes, t. y. dvi tieses, kurių lygtys yra

xaby =1 ir x

aby −=2 ; 3) nustatę hiperbolės viršūnes taškuose ( ) ir 0;a− ( )0;a ,

braižome kreivės šakas, kurios, x tolstant į begalybę, artėja prie asimptočių.

a) 19

22

=− yx , arba 119

22=−

yx yra kanoninė lygtis, iš kurios , tai

, tai .

92 =a

1;3 2 == ba 1=b

Asimptotės yra dvi tiesės xy31

1 = ir xy31

2 −= .

Braižome brėžinį.

-3

-2

-1

0

1

2

3

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

y

xy31

1 =

x

xy31

2 −=

b) ; padalijame abi lygties puses iš 4: 44 22 =− yx 14

44

22=−

yx ir

1= a14

22−

yx . Iš čia: , tai 42 = 2=a , o , tai 12 =b 1=b . Asimptočių lygtys

xy21

1 = ir xy21

2 −= . Braižome brėžinį.

37

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 x

y

xy21

1 =

xy21

1 −=

a b

c) ir 122 =− yx 111

22=−

yx . Iš čia , ;vadinasi, ir 12 =a 12 =b 1=a 1=b .

Asimptotės yra tiesės, kurių lygtys x=xy =11

1 ir xy −=2 .

Braižome brėžinį.

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

y y=x

y=-x

b a

d) , arba 1254 22 =− yx 11

251

4 22=−

yx , arba 1

251

41

22=−

yx . Iš čia 412 =a ,

21

=a ; 2512 =b ,

51

=b .

Asimptotės yra tiesės xxy52

2151

1 == ir xy52

2 −= .

Braižome brėžinį.

38

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 x

y

xy52

1 =

xy52

2 −=

4 UŽDAVINYS. Apskaičiuokite smailųjį kampą tarp hiperbolės

asimptočių ir taško 64164 22 =− yx ( )3;5M atstumą iki dešiniojo židinio.

Sprendimas. Duotą lygtį perrašome į kanoninę 164

1664

4 22=−

yx , arba

1416

22=−

yx . Iš čia , o ; tai 162 =a 42 =b 4=a , 2=b ir asimptočių lygtys yra

xxy21

42

1 == , xxy21

42

2 −=−= .

-4

-3

-2

-1

0

1

23

4

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

y

x

xy21

1 =

xy21

2 −=

α

Apskaičiuosime kampą tarp asimptočių. Pagal kampo tarp dviejų tiesių

formulę 21

21

1 kkkktg⋅+

−=α , čia

21

1 =k , 21

2 −=k yra asimptočių ir krypties

koeficientai, gauname:

1y 2y

34

431

21

211

21

21

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−

=αtg , iš čia 34arctg=α .

Apskaičiuojame židinių koordinates pagal formulę . Įrašę a ir b reikšmes, gauname

222 bac +=5220 ==c . Židiniai yra ( )0;522 −F ir ( )0;521F . Atstumą

nuo taško M iki taško apskaičiuojame pagal formulę 1F

39

( ) ( )22111 MFMFMF yyxxd −+−= . Įrašę taškų koordinates, gauname

( ) ( ) ( ) 149530552222

1=+=−+−=MFd .

Ats.: .14;34arctg 5 UŽDAVINYS. Apskaičiuokite hiperbolės

centrą, viršūnes, židinius, ekscentricitetą ir parašykite asimptočių lygtis. 031101654 22 =++−− yxyx

Sprendimas. Duotą lygtį perrašome į kanoninę. Tam pirmiausia sugrupuojame narius su x ir su y: ( ) ( ) 31105164 22 −=−−− yyxx ir iškeliame prieš skliaustus koeficientus prie kvadratų: ( ) ( ) 31−2544 22 =−−− yyxx . Abiejuose skliaustuose papildome nariais iki pilnojo dvinario kvadrato: ( ) ( ) 3111125 222 −=−+⋅−− yy22224 222 −+⋅− xx( )

, arba 4 ( ) ( )( ) 3111 2 −=−

) 3151 2 −=+

542 2 −−−− yx( ) (51624 2 −−−− yx

ir atskliaudžiame skliaustus: , tada ( ) ( ) 20516311 2 −=−+−=5 −y24 2 −−x .

Padalijame abi lygties puses iš -20: ( ) ( ) 120

1520

24 22=

−−

−−− yx ,

( ) ( ) 1=4

152 22 −

+−

−yx , arba ( ) ( ) 1

52

41 22

=−

−− xy . Tai atitinka teorinę išraišką

( ) ( ) 12

20

2

20 =

−−

−a

xxb

yy . Centras yra taškas ( ) ( ),1;2; 00 = ayx 52 = , 4;5 2 == ba ,

ras )O tai 2=b . Cent ( 1;21

Židiniai yra taškuose ( )cyx +00; , ( )cyx −00; ; 354222 =+=+= bac . Židiniai . ( ) ( 2;2,4;2 21 −FF )Viršūnės yra tašuose ( )byx +00; ir ( )byx −00; arba ( ) ( )1;2ir3;2 − .

Ekscentricitetas 5

535

3 ⋅===

acε .

Asimptotės yra tiesės ( )00 xxabyy −±=− arba ( )2

521 −±=− xy ,

( 25

2−±= xy ) 1+ .

Asimptotės 5

455

21

−+= xy ir

545

52

2+

+−= xy .

Braižome brėžinį tokia tvarka: a) stačiakampėje koordinačių sistemoje pažymime centrą ( )1;21O ; b) per šį tašką brėžiame dvi hiperbolės simetrijos ašis, kurių lygtys 2=x ir 1=y

(lygiagrečiai Oy ir Ox ašims); c) ašyje 1=y nuo centro į abi puses pažymime menamas pusašes 5=a , o ašyje

2=x pažymime realiąsias pusašes 2=b ; d) nubraižome pagrindinį stačiakampį ir jo įstrižaines, kurias pratęsę, gauname

hiperbolės asimptotes. Patikriname jų lygtis;

40

e) pažymime ašyje 2=x židinius 1F ir 2F ; f) per viršūnes ( )3;2 ir ( )1;2 − brėžiame kreivę, jos šakas artindami prie asimptočių.

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

y

1=y

2=x

1F

2F O

1O b a

x

Ats.: centras ; židiniai:( )1;2 ( )4;2 ir ( )2;2 − ; viršūnės: ( )3;2 ir ; ( )1;2 −

53

=ε ;

asimptotės ( )25

21 −±=− xy .

6 UŽDAVINYS. Apskaičiuokite hiperbolės centrą,

viršūnes, židinius ir parašykite asimptočių lygtis. 01284 22 =−++− yxyx

Sprendimas. Ieškomus dydžius galima nustatyti iš hiperbolės kanoninės lygties. Tam lygtį perrašome, atlikdami sekančius veiksmus:

( ) ( ) 1284 22 =−−+ yyxx , ( ) ( ) 1224 22 =−−+ yyxx , ( ) ( ) 1111211124 22222 =−+⋅−−−+⋅+ yyxx ,

( )( ) ( )( ) 111114 22 =−−−−+ yx , ( ) ( ) 111414 22 =+−−−+ yx , ( ) ( ) 4114 22 =−−+ yx , arba

( ) ( ) 14

14

14 22=

−−

+ yx ir ( ) ( ) 14

111 22

=−

−+ yx .

Gauta lygtis atitinka teorinę lygtį ( ) ( ) 12

20

2

20 =

−−

−b

yya

xx , paga

alioj r

l kurią 12 =a ,

(re i pusašė); 42 =b i1=a 2=b (menamoji pusašė); ,10 −=x yra taškas ( )00 ; yx ,t.y 1;1

10 =y . .

Centras 1( )−O . yra taškai Viršūnės ( )00 , yax + i 0r 0x( ), ya− .

)1;0 ir (− . Židiniai yra taškai Viršūnės ( )1;2 ( )0y0x ;c+ ir c−( 0x )0y , o;

54 =12 ++a 2 =b=c idiniai. Ž ( )1;512 −− F ir ( )1;51+− . 1F

Asimptotės yra tiesės, kurių lygtys ( 00 xxabyy −±=− ) . Įrašius žinomus

dydžius, gauname ( ) ( 1121 +±=− xy ) . Asimptotės 321 += xy ir 122 −−= xy .

Brėžiame kreivę: 1) pažymime centrą ( )1;11 −O ir brėžiame dvi ašis, kurių lygtys 1−=x ir 1=y ,

41

2) ašyje 1=y nuo centro 1O į abi puses atidedame realiąsias pusašes 1=a , o ašyje 1−=x - menamas pusašes 2=b ,

3) brėžiame pagrindinio stačiakampio įstrižaines, kurios yra hiperbolės asimptotės, 4) ašyje 1=y pažymime židinius ( )1;512 −−F , ( )1;511 +−F , 5) per viršūnes ( )1;0 ir ( )1;2− braižome kreivę.

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-4 -3 -2 -1 0 1 2

y

x

10 −=x

10 =y1F2F

Ats.:centras viršūnės:( );1;1− ( )1;0 ir ( )1;2− ; židiniai:( 1;51−− ) ir

( 1;51+− ); asimptotės ( )121 +±=−y x .

3. SAVARANKIŠKO DARBO UŽDUOTYS

1. Parašykite kanoninę hiperbolės lygtį, jei hiperbolės atstumas tarp viršūnių lygus 8, o atstumas tarp židinių lygus 10.

2. Parašykite hiperbolės kanoninę lygtį,jei hiperbolės realioji ašis lygi 6 ir taškas ( )4;9 −P yra kreivės taškas.

3. Parašykite hiperbolės kanoninę lygtį, jei žinomi hiperbolės židiniai )0;10 ir vienas kreivės taškas ( ) (,0;10 12 −− FF ( )53;12M .

4. Nubraižykite hiperboles 12549

22=−

yx ir 81. 93 22 =− yx

5. Parašykite kanoninę lygtį hiperbolės, kurios menamoji pusašė lygi 2 ir taškas ( )22;6 −M yra kreivėje.

6. Nustatykite hiperbolės 13690

22=−

yx ir tiesių:a) 05 =− yx ; b) 05 =+− yx

susikirtimo taškus. 7. Parašykite kanoninę hiperbolės lygtį, jeigu taškai ( )1;61 −M ir ( )22;82 −M yra

kreivės taškai. 8. Apskaičiuokite hiperbolių pusašes, jei hiperbolių lygtys tokios:

42

a) 149

22=−

yx ; b) 116

22

=− yx ; c) ; d) ; 164 22 =− yx 122 =− yx

e) ; f) ; g) . 2594 22 =− yx 11625 22 =− yx 1649 22 =− yx9. Apskaičiuokite hiperbolės 144 pusašes a ir b, židinių koordinates,

ekscentricitetą ir parašykite asimptočių lygtis. 916 22 =− yx

10. Apskaičiuokite taško ( )3;0P atstumą iki hiperbolės 144 kairiojo židinio.

169 22 =− yx

11. Apskaičiuokite atstumą tarp taško ( )5;0P ir hiperbolės 1169144

22=−

yx vienos

viršūnės. 12. Apskaičiuokite smailųjį kampą tarp hiperbolės 441 asimptočių. 499 22 =− yx

13. Apskaičiuokite buką kampą tarp hiperbolės 11649

22=−

yx asimptočių.

14. Apskaičiuokite hiperbolės 400 dešiniojo židinio atstumą iki tiesės 03 =

1625 22 =− yx−+ yx .

15. Įrodykite, kad taškas ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

49;5M yra kreivės 1

916

22=−

yx taškas.

16. Parašykite kanoninę hiperbolės lygtį, jei realioji ašis lygi 10, o menamoji ašis lygi 8.

17. Atstumas tarp hiperbolės židinių lygus 10, o menamoji ašis lygi 8. Parašykite kreivės kanoninę lygtį.

18. Hiperbolės realioji pusašė lygi 52 , o ekscentricitetas 2,1=ε . Parašykite kreivės kanoninę lygtį.

19. Nubraižykite hiperbolę 2304 . 6436 22 =− yx

20. Parašykite hiperbolės, kurios viršūnės yra elipsės 1925

22=+

yx židiniuose, o

hiperbolės židiniai yra duotos elipsės viršūnėse, kanoninę lygtį.

21. Nustatykite hiperbolės 149

22=−

yx susikirtimo su tiese 6=x taškus.

22. Žinoma, kad taškai ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛25;31M ir ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛221;52M priklauso hiperbolei. Parašykite

jos kanoninę lygtį. 23. Apskaičiuokite šių hiperbolių pusašes:

1) 11636

22=−

yx ; 2) 19

22

=− yx ; 3) ; 4) ; 8181 22 =− yx 7497 22 =− yx

5) . 194 22 =− yx24. Apskaičiuokite hiperbolės 484 pusašes a ir b, židinių koordinates

ir parašykite asimptočių lygtis. 1214 22 =− yx

25. Apskaičiuokite taško ( )4;31 −M atstumą iki hiperbolės 13

22 =−

yx dešiniojo

židinio.

43

26. Per hiperbolės 12 dešiniąją viršūnę ir per tašką ( )1;0 − nubrėžta tiesė, kertanti hiperbolę. Apskaičiuokite šios tiesės susikirtimo su hiperbole antrąjį tašką.

43 22 =− yx M

27. Apskaičiuokite smailųjį kampą tarp hiperbolės 27 asimptočių. 3 22 =− yx28. Hiperbolės realioji pusašė lygi 3, o taškas ( )4;9 −M yra kreivėje. Parašykite

hiperbolės kanoninę lygtį. 29. Nustatykite hiperbolės 93 2 susikirtimo su tiese 2=y taškus. 2 =− yx30. Parašykite kanoninę hiperbolės lygtį, jeigu žinomas jos ekscentricitetas 2=ε , o

židiniai sutampa su elipsės 225 židiniais. 259 22 =+ yx

31. Nubraižykite hiperboles 144 , 144 , 916 22 =− yx 169 22 =− yx 1169

22=−

xy ,

1916

22=−

xy .

32. Apskaičiuokite centrą, viršūnes, židinius, ekscentricitetą ir parašykite asimptočių lygtis hiperbolėms, kurių lygtys yra tokios: 1) ; 2) ( ) ( ) 363429 22 =+−− yx ( ) 919 22 =−− yx ; 3) ; 4) ( ) ( ) 363924 22 =+−− yx ( ) ( ) 9293 22 =−−+ xy ; 5) ; 6) ( ) ( ) 14449216 22 =−−− xy ( ) 82 22 =+− xy ; 7) ; 8) ; 9) ; 482045 22 =++− yxyx 844 22 +−= yyx xxy 44 22 −=

10) . 0112422 =++−− yxyx33. Parašykite hiperbolės kanoninę lygtį, jei jos židiniai yra taškuose ( )0;0 ir ( )4;0 ,

o taškas ( )9;12M priklauso kreivei.

Atsakymai

1. 1916

22=−

yx .

2. 129

22=−

yx .

3. 13664

22=−

yx .

5. 1412

22=−

yx .

6. a) ( )2;10 ir ( )2;10 −− ; b) ( - liečia tame taške. )2;10 −

7. 1832

22=−

yx .

8. a) 3 ir 2; b) 4 ir 1; c) 4 ir 2;

d) 1 ir 1; e) 25 ir

35 ; f)

51 ir

41 ;

g) 31 ir

81 .

9. )( ) ( ;0;5,0;5;4,3 21 FFba −==

.34;

35 xy ±==ε

10. 34 . 11. 13.

12. 14027arctg .

13. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

3356arctg .

14. 2

341 − .

16. 11625

22=−

yx .

44

17. 1169

22=−

yx .

18. 1420

22=−

yx .

20. 1916

22=−

yx .

21. ( ) ( )32;6,32;6 − .

22. 14

22

=− yx .

23. 1) 6=a ir 4=b ; 2) ir ; 3=a 1=b3) ir ; 9=a 1=b

4) ir 1=a77

=b ;

5) 21

=a ir 91

=b .

24. 1) ( ),0;55;2,11 1 −== Fba

( ) xyF112;0;552 ±= .

25. 91 . 26. ( )3;4 −− . 27. 060 .

28. 129

22=−

yx .

29. ( ) ( )2;26,2;26 21 MM − .

30. 1124

22=−

yx .

32. 1) centras ( )3;2 − ; viršūnės: ( )3;4 − , ( 3;0 − ) ;židiniai

( )3;13 −2 ± ;213

=ε ; asimptotės:

,623

1 −= xy xy23

2 −= .

2)centras ( ; viršūnės: )1;0 ( )1;3 , ( 1;3− ); židiniai: ( )1;10 , ( )1;10− ;

310

=ε ; asimptotės 131 +=xy ,

132 +−=xy .

3) centras ( ; viršūnės: )3;2 − ( )3;5 − ,

( )3;1 −− ; židiniai: ( )3;132 −± ;

313

=ε ; asimptotės:

313

32

1 =y −x , 35

32

2 −=y −x .

4) centras ( )3;2 − ; viršūnės: ( )0;2 , ( )6;2 − ; židiniai: ( )10;2 3+− ,

( )103;2 −− ; 310

=ε ;

asimptotės: , 931 −= xy332 +−= xy .

5) centras ( )3;4 ; viršūnės : , ( )6;4 ( )0;4 ; židiniai: ; ( ) ( 2;4,8;4 − )

35

=ε ; asimptotės: xy43

1 = ir

643

2 +−= xy .

6)centras ( )0;2− ; viršūnės: ( )8;2− , ( )8;2 −− ;židiniai: ( ), 4;2−

( )4;2 −− ; ==ε8

4 222=

2+=x22

4= ;

asimptotės: ir 1y22 −−= xy .

7)centras ( )1;2− ;viršūnės:( ) ( );1;4,1;0 − židiniai: ( ) ( )1;1,1;5− ;

23

=ε ;

asimptotės: ( )1−2 y ( )25 +±= x . 8)centras ( )2;0 ;viršūnės: ( ) ( )2;1,2;1 − ; židiniai: ( ) ( )2;5,2;5 − ;

515==ε ;asimptotės:

221 += xy ir . 222 +−= xy9)centras ( )0;2 ;viršūnės: ( ) ( )0;4,0;0 ;

židiniai: ( )0;52 + , ( )0;52 − ;

25

=ε ; asimptotės: 121

1 −= xy

ir 121

2 +−= xy .

45

10)centras ( ;viršūnės:)1;2 ( )221;2 + ,( )2 ;

33. ( ) 131

2 22=−

− xy . 21;2 − židiniai: ( )5;2 , ( )3;2 − ;

2=

22

224

84

===ε

otės: , 2

;asimpt

11 −= xy 3+−= xy .

4. Parabolė

. Parabolė yra tokia plokštumos kreivė

ir žy

om ę ir užrašo

Apibrėžimas ,kurios kiekvienas taškas

yra vmimas raide F, o duotoji

tiesė

me parabolės kanonines lygti

ienodai nutolęs nuo duoto taško ir duotos tiesės. Duotasis taškas yra vadinamas parabolės židiniuvadinama parabolės direktrise. Židinio atstumą nuo direktrisės žymime raide p

ir vadiname parabolės parametru; p 0> . Remiantis šiuo apibrėžimu braiž e parabols priklausomai nuo to, kur yra duotas taškas ir duotoji tiesė (direktrisė)

stačiakampėje koordinačių sistemoje. a)

y

x

2px −=

( )yxM ,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 0;

2pF

O

N d

d K

direktrisė:

Per židinį F nubrėžta ašis Ox statmenai direktrisei. Pradžios taškas O yra viduryje tarp židinio ir direktrisės. Šis pradžios taškas O yra parabolės viršūnė, Ox ašis yra parabolės simetrijos ašis, vadinama parabolės ašimi. Direktrisė yra statmena simetrijos ašiai ir lygiagreti ašiai Oy. Židinys yra simetrijos ašyje atstumu

2pu

arabolės kanoninė lygtis

p nuo viršūnės kreivės „vidinėje pusėje“. Parabolės šakos nukreiptos į dešinę

sę. P ( ).,22 dMFMNpxy ===

46

b) y

x

2px =

( )yxM ,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− 0;

2pF

O d d

K

direktrisė:

Parabolės kanoninė lygtis pxy 22 −= , ( )dMKMF == . Parabolės šakos nukreiptos ę. į kairę pus

) per duotąjį tašką F(židinį) išvesta Oy ašis statmenai į duotąją tiesę (dire

cktrisę) l:

x

2py −=

( )yxM , ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2;0 pF

O

N

d

d

K direktrisė:

y

l

adangi atstumas tarp židinio F ir direktrisės l yra p, tai ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2;0 pFK ,o direktrisės

lygtis 2py −= . Simetrijos ašis, t. y. parabolės ašis, yra Oy ašis.Parabolės šakos

os į viršnukreipt ų. Pagal apibrėžimą, dMKMF == parabolės kanoninė lygtis

pyx 22 = .

47

d)

x

2py =

M⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

2;0 pF

O

d

d K

direktrisė

y

dMFMK == . Parabolės šakos nukreiptos žemyn.

Parabolės kanonsį, jog atvejais a) ir b)parabolės lygtyje pirmojo

laips

inė lygtis pyx 22 −= . Pastaba. Atkreipkite dėmenio yra x koordinatė ir parabolės ašis yra Ox ašis, o jos viršūnė taške ( )0;0O .

Atvejais c) ir d) kanoninėje lygtyje pirmojo laipsnio yra y koordinatė, o parašis yra Oy ašis, viršūnė taške

abolės ( )0;0O .

Parabolės taškai yra tarp direktrisės ir židinio, o židinys visada yra kreivės „vidi

jai, kai jos viršūnė yra ne koordinačių pradžios taške:

a) parabolės, kurios viršūnė taške

nėje pusėje“. Parabolės atve

( )001 ; yxO , simetrijos ašis lygiagreti Ox ašiai ę , o parabolės šakos nukreiptos į dešin

y 1y

x O

dire

ktrisė

1x F

1O

kanoninė lygtis ( ) ( )0

20 2 xxpyy −=− .

arba ( ) ( )020 2 −=− py . Parabolė pxy 22 = x( )01 ; yxO ,b) parabo os viršlės, kuri ūnė taške 0 simetrijos ašis lygiagreti Ox

ašiai usę ir parabolės šakos nukreiptos į kairę p

48

y

x O

direktrisė

1x

1y

F 1O

kanoninė lygtis ( ) ( )02

0 2 xxpyy −−=− .

Parabolė arba pxy 22 −= ( ) ( )020 2 −−=− xpy . c) Parabolės, kurios viršūnė taške ( )001 ; yxO , simetrijos ašis lygiagreti Oy

ašiai ir šakos nukreiptos į viršų

O

F

direktrisė

y 1y

1O

x

1x

kanoninė lygtis ( ) ( )02

0 2 yypxx −=− .

Parabolė atitinka išraišką: pyx 22 = ( ) ( )020 2 −=− ypx . d) parabolės, kurios viršūnė taške ( )001 ; yxO , simetrijos ašis lygiagreti Oy

ašiai ir šakos nukreiptos žemyn

O

F

direktrisė

y 1y

1O

x

1x

49

kanoninė lygtis ( ) ( )02

0 2 yypxx −−=− .

Parabolė atitinka išraišką pyx 22 −= ( ) ( )020 2 −−=− ypx .

UŽDAVINIŲ SPRENDIMO PAVYZDŽIAI 1 UŽDAVINYS. Apskaičiuokite parabolės parametrą p, židinio koordinates ir

parašykite direktrisės lygtį:a) ;b) ;c) ;d) . xy 102 = xy 32 −= yx =2 yx 62 −=Sprendimas. a) lygtis atitinka teorinę išraišką , čia xy 102 = pxy 22 = 5,102 == pp ir

25

2=

p . Židinys taške ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 0;

250;

2p , direktrisės lygtis

2px =

0≥

− . Parabolės šakos

nukreiptos į dešinę, nes y turi realią reikšmę, kai x (tai matyti iš kanoninės lygties ). Braižome brėžinį. xy 102 =

-7-6-5-4-3-2-101234567

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x

F

K d d

O

y

M

direktrisė:

25

−=x

dMKMF ==

b) lygtis atitinka teorinę lygties išraišką , iš čia xy 32 −= pxy 22 −= 32 =p ;

75,0=43

2,5,1 ==

pp . Židinys taške ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− 0;

2p , t. y. ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− 0;

43F . Kreivė simetriška

Ox ašies atžvilgiu, jos viršūnė taške ( )0;0O ,o šakos nukreiptos į kairę pusę (panagrinėjus parabolės lygtį, y turi realiąją reikšmę kai xy 32 −= 0≤x ).

Direktrisė yra tiesė 43

=x .

Braižome brėžinį.

50

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1

x

y

43

=x

direktrisė:

K d d M

F

Pagal parabolės apibrėžimą dMKFM == . c) lygtį palyginkime su teorine išraiška , iš kurios matyti, kad yx =2 pyx 22 =

12 =p , 21

=p ir 41

2=

p . Židinys taške ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

41;0 , parabolės ašimi yra Oy ašis.

Direktrisė yra tiesė 41

−=y . Parabolės šakos nukreiptos į viršų, nes lygtis

teisinga, kai . Brėžiame brėžinį.

yx =2

0≥y

-1

0

1

2

3

-2 -1 0 1 2

x

y

F K

41

−=y direktrisė: O

M

d) lygtis atitinka teorinę išraišką , tai yx 62 −= pyx 22 −= 62 =p ;

23

2,3 ==

pp . Židinys taške ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

23;0

2;0 p . Direktrisė yra tiesė

23

=y .

Parabolės šakos nukreiptos žemyn, nes lygtyje , x turi realias reikšmes, kai . Braižome brėžinį

yx 62 −=0≤y

51

-3

-2

-1

0

1

2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

y

F

K 23

=y direktrisė:

M

d

d

Pagal apibrėžimą dMFMK == . 2 UŽDAVINYS. Parašykite parabolės lygtį, jei parabolės viršūnė taške ( )0;0 ,

o direktrisė . 02 =−y

Sprendimas. Duota, kad 2=y , o tai atitinka direktrisę, kurios lygtis 2py = .

Įrašę į šią lygtį gauname 2=y ,2

2 p= , arba 4=p . Šis gautas skaičius yra

parabolės židinio atstumas iki direktrisės. Taigi, židinys yra taške . ( )2;0 −Parabolės kanoninė lygtis yra arba . yx 422 ⋅−= yx 82 −=Braižome brėžinį.

-7-6-5-4-3-2-10123

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 x

y

F

p

2=y direktrisė:

M d

d

3 UŽDAVINYS. Parašykite parabolės kanoninę lygtį,jei parabolės viršūnė yra

taške , o židinys ( 2;11 −O ) ( )2;3F . Sprendimas. Nubraižome kreivę. Pažymime židinį ir viršūnę

52

-2

-1

0

1

2

3

-2 -1 0 1 2 3 4 x

y

1O

O

F

Kadangi parabolės židinys ir viršūnė yra jos simetrijos ašyje ir židinys visada

yra kreivės „viduje“, tai, nubrėžę ašį, matome, kad ši ašis lygiagreti Ox ašiai, o parabolės šakos nukreiptos į dešinę, todėl ieškoma kanoninė lygtis ( ) ( )0

20 2 xxpyy −=− , kur 10 −=x , 20 =y . Žinome, kad židinio atstumas nuo

viršūnės lygus 2p . Pagal atstumo tarp dviejų taškų formulę apskaičiuojame

( )( ) ( ) 42 =22131

−+−−=FOd 2 ;tada 8,42

== pp . Įrašę į lygtį, gauname, kad

( ) ( )822 2 ⋅⋅=−y 1+x , arba ( ) ( )116 +x2 2−y = . Parabolės direktrisė yra tiesė,

statmena ašiai ir nuo viršūnės nutolusi atstumu 42=

p . Tai tiesė 5−=x .

Braižome brėžinį.

-7-6-5-4-3-2-10123456789

1011

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y

1O F

K d

d

5−=x

M

x

4 UŽDAVINYS. Apskaičiuokite parabolės 05262 =+++ xyy

viršūnę, židinį, nustatykite simetrijos ašį ir parašykite direktrisės lygtį. Sprendimas. Ieškomus dydžius galima gauti remiantis kanonine parabolės

lygtimi. Kadangi duotoje lygtyje y koordinatė yra antrojo laipsnio, o x – pirmojo, tai lygtis gali būti

05262 =+++ xyy( ) ( 0

20 2 xxpy −=− )y , arba

53

)( ) ( 02

0 2 xxpyy −−=− . Tam lygtį perrašome: ( ) 5262 −−=+ xyy⋅+2 2y. Lygties kairėje

pusėje išskiriame pilnąjį dvinario kvadratą: =−+⋅ 22 333y52 −−= x , ( ) ( ) 23,95 2 −=++− xy

)4

4+23 2 −=+ xy

( ) ( 23 2 +−=+ xy

. Perrašom dešiniąją lygties

pusę: , arba ( ) ( )22 −x

22,3

3 2 −=+y

( )0xx − ,2 00

. Ši lygtis atitinka teorinę

išraišką , čia ( )20 2 pyy −=− =−== p 1=pyx , ir 21

2=

p . Tada

viršūnė yra ( )3;21 −O−=y

( ) ( )223 2 −−=+ xy

. Parabolės ašis yra tiesė, einanti per viršūnę lygiagrečiai Ox ašiai, t. y. tiesė . Parabolės šakos nukreiptos į kairę, nes iš lygties

tam, kad y turėtų prasmę, daugiklis 3

( )2 ≤−x 0 arba 2≤x .

Židinys yra parabolės ašyje nuo viršūnės ( )3;2 − atstumu 21

2=

p taške ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −3;

23 , t. y.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −3;

23F . Direktrisė yra tiesė, statmena parabolės ašiai, ir eina per tašką ašyje,

nutolusį nuo viršūnės atstumu 21 , t. y. tiesė

25

=x .

Braižome brėžinį.

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

-1

y

-2 0 1 2 3

O F

1

25

=

ė:

x

x

direktris

5 UŽDAVINYS. Apskaičiuokite atstumą tarp parabolių ir

židinių. ( )1−x ( )2−4− y2 =

yx 92 −=

Sprendimas. Duotoji lygtis ( ) ( )241 2 −−=− yx10

atitinka lygties teorinę išraišką , čia ( )20x −=− ( 02 yyp − )x =x 20, =y yra viršūnės koordinatės; parabolės ašis yra tiesė, lygiagreti Oy ašiai ir eina per viršūnę, t. y. tiesė 1=x .

Skaičius ; ir4=p =p2 2 12=

p yra atstumas nuo viršūnės iki židinio parabolės

ašyje, todėl židinys yra taškas ( )1;1F . Iš lygties dydis , tai yx 92 −= 92 =p29

=p

54

ir 49

2=

p . Parabolės viršūnė taške ( )0;0O ir židinys ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

49;0F . Remdamiesi

atstumo tarp dviejų taškų formule, apskaičiuojame atstumą tarp abiejų židinių

( )4185

49101

22 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−+−=d .

6 UŽDAVINYS. Nubraižykite paraboles, kurių lygtys: a) ; b)

; c)

yx −= 12

842 −= xy 7261 2 −+−= xxy .

Sprendimas. a) lygtį perrašome taip: yx −= 12 ( ) 10 2 +−=− yx , ,

. Ši lygtis atitinka teorinę išraišką ( ) ( 10 2 +−=− yx )

( )0 2 −=− yx ( )1− ( ) ( )02 yyp −−=20xx − , čia

, 12 =p,1,0 00 == yx21

=p , 41

2=

p . Parabolės viršūnė ( )1;01O , parabolės ašis yra

tiesė 0=x . Židinio atstumas nuo viršūnės lygus 41 , t. y. taške ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

43;0 . Direktrisė

yra tiesė, statmena parabolės ašiai ir eina per tašką, esantį jos simetrijos ašyje

atstumu nuo viršūnės lygiu 41 . Tai tiesė

45

=y .

-2

-1

0

1

2

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

1O F

direktrisė:

x

45

=y

b) . Duota, kad 842 −= xy ( ) 840 2 −=− xy , arba ( ) ( )240 2 −=− xy .

Remdamiesi lygtimi ( ) ( )0xx −20 2 pyy =− , gauname, kad 0,2 00 == yx , o

ir 42 =p 12=

p . Viršūnė ( )0;21O ; parabolės ašis yra tiesė . Atstumu 0=y 12=

p

nuo viršūnės yra židinys . Direktrisė yra tiesė, statmena Ox ašiai (parabolės

ašis), nutolusi nuo viršūnės atstumu

( )0;3F

1=2p ; jos lygtis 1=x .

55

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1 0 1 2 3 4 5

y

( )0;3F x

1=x

O

c) lygtyje 72

61 2 −+−= xxy yra x koordinatės kvadratas, o y pirmojo

laipsnio. Todėl lygtį perrašome į vieną iš išraiškų ( ) ( 02

0 2 yypxx −±=− ) . Tam

lygtį perrašome taip: 7261 2 −−=− yxx , . Kairėje lygties

pusėje išskiriame pilnąjį kvadratą: ,

arba

426 −−= yx

66662 22 −=−+⋅⋅− yx

122 −x

2x 42−

( ) 364266 2 +−−=− yx , ( )6 2 =−x 66 −− y . Dešiniąją lygties pusę perrašome: ( ) ( )16 +− y6 2−x

( )= . Tai atitinka teorinę išraišką

( )02

0 2 yypxx −−=− , čia 62,1,6 00 =−== pyx , 3=p ir 23

2=

p . Parabolės

viršūnė , jos ašis yra tiesė, einanti per viršūnę ( )1;61 −O ( )1;6 − lygiagrečiai Oy ašiai.

Norint nustatyti šakų išsidėstymą, panagrinėkime lygtį ( ) ( )16 +− y6 2 =−x . Tam, kad x būtų realus, turi 01≤+y arba 1−≤y , todėl šakos eina žemyn ir židinys yra

taške ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

25;6 , t. y. nuo viršūnės ašyje atstumu, lygiu

23 . Direktrisė – tai statmena

tiesė parabolės ašiai ir nutolusi nuo viršūnės atstumu lygiu 23 , t. y. eina per tašką

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21;6 ir jos lygtis

21

=y .

Braižome brėžinį.

56

-9-8-7-6-5-4-3-2-101

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

25;6F

y

x

( )1;61 −O 3=p

direktrisė: 21

=y

4. SAVARANKIŠKO DARBO UŽDUOTYS

1. Parašykite parabolės lygtį, jei parabolės viršūnė yra koordinačių pradžios taške,parabolė simetriška teigiamos Ox ašies atžvilgiu ir parametras 3=p .

2. Parašykite parabolės lygtį, jei parabolės viršūnė yra koordinačių pradžios taške,parabolė simetriška neigiamos Oy ašies atžvilgiu ir parametras 3=p .

3. Parašykite parabolės, kurios viršūnė taške ( )0;0 , parabolė simetriška teigiamos Oy ašies atžvilgiu ir taškas ( )2;5−M yra kreivės taškas, lygtį.

4. Parašykite parabolės lygtį, jei parabolės viršūnė yra koordinačių pradžios taške,

parabolė simetriška teigiamos Oy ašies atžvilgiu ir parametras 41

=p .

5. Apskaičiuokite parametrą p, židinio koordinates ir parašykite direktrisių lygtis parabolėms, kurių lygtys yra šios: a) x ; b) x ; c) yx 42 = ; d)

y . y 242 = y 122 −=

x 322 −=6. Parašykite lygtis parabolių, kurių viršūnės yra koordinačių pradžios taške, o jų

direktrisių lygtys yra tokios: 1) 03 =+x ; 2) 02 =−x ; 3) 072 =+y ; 4) 05 =− . y

7. Apskaičiuokite atstumą tarp parabolės x taškų,gautų parabolę perkirtus tiese, einančia per židinį statmenai simetrijos ašiai.

y 102 =

8. Parašykite parabolės lygtį, jei parabolės židinys yra tiesės 0434 =−− yx susikirtimo su Ox ašimi taškas, o viršūnė koordinačių pradžios taške.

9. Parašykite parabolės lygtį,jeigu žinoma, kad parabolės viršūnė yra taške ( )0;0O , taškas ( )3;1−P yra kreivėje ir kreivė simetriška Ox ašies atžvilgiu.

10. Nustatykite susikirtimo taškus šių kreivių: 1) parabolės ir tiesės yx 42 = 03 =−+ yx ; 2) parabolės ir tiesės xy 92 −= 01243 =−+ yx ; 3) parabolės ir tiesės xy 62 = 0623 =+− yx .

11. Per taškus ( )0;0O ir ( )2;1− simetriškai Ox ašies atžvilgiu nubraižykite parabolę ir parašykite jos lygtį.

57

12. Per taškus ( )0;0O ir ( )4;2 simetriškai Oy ašies atžvilgiu nubraižykite parabolę ir parašykite jos lygtį.

13. Nustatykite taško ( )4;5M atstumą iki parabolės x židinio. y 362 =

14. Nustatykite elipsės 1225100

22=+

yx ir parabolės x susikirtimo taškus. y 242 =

15. Parašykite parabolės, kurios židinys ( )0;2−F , o viršūnė taške ( )0;0O , lygtį. 16. Nubraižykite paraboles, kurių lygtys yra tokios:

1) ; 29162 2 −+−= xxy2) . 269 2 +−= xxy

17. Nubraižykite: 1) ( )22− ; 2) = xy ( ) 32 2 +−= xy ; 3) ( )22+ ; = xy4) . ( ) 42 2 −+= xy

18. Nubraižykite paraboles 24 xx ir y −= 2

21

23 xxy −+= ir apskaičiuokite jų

susikirtimo taškus su Ox ašimi. 19. Apskaičiuokite taško ( )4;1M atstumą iki parabolės 22 viršūnės. 3 xxy −−=

20. Nubraižykite paraboles, kurių lygtys yra šios: 1) 293 x ; 2) x ; 3) 4 ; 4) y .

y −= y 392 −=2 += xy x 242 +=

21. Apskaičiuokite atstumą tarp parabolės xy 42 = židinio ir parabolės 56 viršūnės. 2 ++= xxy

22. Apskaičiuokite atkarpos, jungiančios parabolės y židinį su parabolės 22 viršūne, ilgį.

x 82 −=2 −+−= xxy

23. Nustatykite parabolės 321

161 2 ++= xxy susikirtimo taškus su tiese

06 =+− yx . 24. Nustatykite dviejų parabolių, kurių lygtys 24 x ir yx =2 , susikirtimo

taškus. y −=

25. Apskaičiuokite parabolių, išreikštų lygtimis 2

41 x= ir y xx 32 + ,

bendros stygos ilgį.

y21

−=

26. Atstumą tarp parabolių 24 xy = ir xy 42 = susikirtimo taškų padalinkite santykiu 1:3.

27. Apskaičiuokite parabolės 1+− x viršūnės atstumą iki tiesės

0=+ y21 2= xy

2x . 28. Apskaičiuokite parabolės 93 −+ x susikirtimo su Ox ašimi taškus ir

atkarpą tarp jų padalinkite santykiu 1:2. 2 2= xy

29. Apskaičiuokite atstumą nuo apskritimo 92 centro iki parabolės xx viršūnės.

2 =+ yxy 42 +=

30. Parašykite apskritimo, kurio skersmuo yra atkarpa, jungianti parabolės x ir tiesės 1−=y 42 −= x susikirtimo taškus, lygtį.

58

31. Parašykite parabolės kanoninę lygtį, jei jos židinys ( )4;2− , o viršūnė ( )3;2− . 32. Apskaičiuokite viršūnę, židinį ir parašykite ašies bei direktrisės lygtis šių

parabolių: a) 07 ; b) 08 ; c) 03 , d) 012 ; e) 023 = .

822 =−+− yxx=−x 22 −y

42 =−+ xy12 −x

422 =−−+ yxx842 −− yy −y

33. Parašykite parabolės kanoninę lygtį ir apskaičiuokite židinio koordinates,jeigu parabolės viršūnė yra taške ( )1;3− , o jos simetrijos ašis yra tiesė 1=x .

34. Apskaičiuokite parabolių 104 ir 22 viršūnių ir židinių koordinates.

2 +−= xxy 4 xxy −−=

Atsakymai

23. ( )2;4− ir ( )18;12 . 1. xy 62 = .

2. y . x 62 −=

3. yx2252 = .

4. yx212 = .

5. a) ,12=p ( )0;6F , 6−=x ; b) 6=p , ( )0;3−F , 3=x ; c) 2=p , ( )1;0F , ; 1−=yd 16=p ;), ( )8;0 −F , 8=x .

6. 1) x ; 2) x ; y 122 = y 82 −=

3) ; 4) . yx 142 = yx 202 −=7. 10. 8. xy 42 = . 9. x . y 92 −=10. 1) ( )1;2 , ( )9;6− ;

2) ( - liečia tiesė; )6;4−3) nesikerta.

11. xy 4 . 2 −=

12. 2xy = . 13. 24 . 14. ( ) ( )12;6 . ,12;6 −

15. xy 82 −= . 19. 2. 21. 24 . 22. 2 .

24. ( ) ( )2;2− . ,2;225. 24 . 26. ( )1;1 .

27. 25 .

28. ( )0;0 . 29. 22 . 30. ( )1 2 ++x 42 =y . 31. ( ) ( )34 −y . 2 2 =+x32. a) viršūnė ( )1;1 , židinys ( )1;1 − ,

ašis 1=x , direktrisė ; 3=yb) viršūnė ( )0;2

0, židinys ( ), 0;1

ašis =y , direktrisė 3=x ; c) viršūnė ( )1;1− , židinys , ( )0;1−

ašis 1−=x , direktrisė 2−=y ; d) viršūnė ( )2;2− , židinys ( ), 2;0

ašis 2=y , direktrisė 4−=x ; e) viršūnė ( )1;2− , židinys , ( )1;1

1ašis =y 5−=, direktrisė x . 33. ( ) ( ) (,3161 2 +−=− xy )1;7−F .

34. ( )6;21V ir ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

425;21F ;

( )5;12 −V ir ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

419;1

2F .

59

ĮVAIRIŲ UŽDAVINIŲ SPRENDIMO PAVYZDŽIAI 1 UŽDAVINYS. Parašykite tiesės, einančios per kreivės vieną

židinį statmenai tiesei 164 22 =+ yx

042 =−+ yx , lygtį. Sprendimas. Reikia parašyti tiesės lygtį, einančios per vieną tašką statmenai

tiesei ir tam naudojamės formule ( )11 FF xxkyy −=− , kurioje ir yra kreivės

židinio koordinatės, o

1Fx1Fy

164 22 =+ yxdk

k 1−= ( - duotos tiesės krypties

koeficientas). Elipsės lygtį perrašome į kanoninę:

dk

1=16

2y16

2+

x4 , arba 1164

x 22 y=

2b

+

2a

.

Iš čia , o . Tada židinio koordinates apskaičiuojame pagal formulę (nes ir židiniai išsidėstę ilgesnėje ašyje). Įrašę ir

reikšmes, gauname , o

42 =a222 abc −=

162 =bab >

2 =c 12416 =− 12=c ir ( )12;01F , ( )12;−02F . Iš lygties 42 +−= xy apskaičiuojame duotos tiesės krypties koeficientą. Čia 2−=dk ,

o tada jai statmenos tiesės krypties koeficientas 21

21

=−

−=k . Ieškomos tiesės

lygtis yra ( )02112 −= x−y arba 12

21

+= xy

( ) 42 22 =+− yx 02 =+

.

2 UŽDAVINYS. Apskaičiuokite kampą tarp dviejų tiesių, kai viena jų eina

per kreivės centrą lygiagrečiai tiesei y−x , o kita yra kreivės 9 asimptotė (II, IV ketv.). 922 =− yx

Sprendimas. Kampas tarp dviejų tiesių apskaičiuojamas pagal formulę

21

21

1 kkkktg

+−

=α , čia ir yra atitinkami ieškomų dviejų tiesių krypčių

koeficientai. Iš sąlygos pirmoji tiesė eina per apskritimo

1k 2k

( ) 42 22 =+− yx centrą lygiagrečiai tiesei ( 0;2C ) 02 =+− yx , arba 2+= xy (čia ). Ieškomos tiesės

lygtis yra , čia 1=k

( )cx kkc kyy =− 1 x − =1 ,o 1=k (tiesių lygiagretumo sąlyga). Įrašę į lygtį gauname, kad ( )210 −⋅=−y x arba 2−= xy . Tai ir yra tiesės, einančios per centrą lygiagrečiai duotai tiesei, lygtis.

Antroji ieškoma tiesė yra hiperbolės asimptotė, einanti per II ir

IV ketvirtį. Perrašome duotą lygtį į kanoninę

99 22 =− yx

199

9 22=−

yx , iš čia ir 12 =a 1=a , o

ir . Ieškomos asimptotės lygtis yra 92 =b 3=b xaby −= , arba x3−xy

13

=−= su

krypties koeficientu . Įrašę į ieškomo kampo formulę gauname, kad 32 −=k( )( ) 2−=

241−

=+ 31

3−⋅−−

1=αtg ir ( )2arctg 2arctg−=−=α .

3 UŽDAVINYS. Apskaičiuokite kreivės centro atstumą iki

tiesės 0122 =−−+ yyx

32 −= xy .

60

Sprendimas. Nustatę kreivės centrą, jo atstumą iki tiesės apskaičiuojame

remdamiesi taško atstumo iki tiesės formule 22 BA

CByAxd CC

+

++= , čia ir yra

kreivės centro koordinatės. Perrašome duotą apskritimo lygtį į kanoninę taip: ,

cx cy

( ) ( ) 222 ryyxx CC =−+− 0122 =−−+ yyx ( ) 122 =−+ yyx ,

141

41

21222 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⋅⋅−+ yyx ,

411

21 2

2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+ yx , arba ( )

45

21

=⎟⎠⎞0 2 +−x ⎜

⎝⎛ −y .

Apskritimo centras ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21;0C , t. y. 0=cx ir

21

=cy . Duotą kryptinę lygtį perrašome

į bendrąją 03 =2 −− yx ; iš čia 3,1,2 −=−== CBA . Įrašę šių dydžių reikšmes į atstumo nuo taško iki tiesės formulę, gauname

( ) 527

−=

12

321102

22 −+

−⋅−⋅=d

527

527

== ;10

57=d .

4 UŽDAVINYS. Apskaičiuokite atstumą tarp kreivės

dešiniojo židinio ir apskritimo centro. 16168 22 =+ yx

018422 =−+−+ yxyxSprendimas. Apskaičiuojame elipsės židinį perrašydami

lygtį į kanoninę taip:

16168 22 =+ yx

116

16168 22

=+yx , 1

1

2=+

y2

2x , iš čia . Tada

ir ; židiniai

1,2 22 == ba

222 bac −= 1,1122 ==−= cc ( )0;11 −F , ( )0;12F . Apskritimo centrą apskaičiuojame perrašydami duotą apskritimo lygtį į kanoninę, t. y. grupuodami narius ir išskirdami dvinarių kvadratus: ( ) ( ) 1=y84 2 ++− yx2x , ( ) ( ) 1=444 22 −+

4+

424 2 +⋅⋅++− yy) 2116412 =++=

222 ⋅⋅− xx( ) (2 2 +− yx

, . Centras ( )4;2 −C . Remdamiesi atstumo tarp

dviejų taškų formule ( ) ( )2Cy−22 CF x−

2Fy+2CF x=d

( )( )

, gauname

( ) 174021 222

=−−+−=CFd . 5 UŽDAVINYS. Parašykite apskritimo lygtį, kurio centras yra kreivės

židinio taške, o spindulys lygus kreivės didžiajai ašiai. yx 42 −= 194 22 =+ yxSprendimas. Iš parabolės lygties (teorinė išraiška yra )

apskaičiuojame židinio koordinates tokiu būdu:

yx 42 −= pyx 22 −=

2,42 == pp ir 12=

p . Pagal

parabolės lygtį x reivės židinys yra taške py22 −= k ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

2;0 p . Įrašę 1

2=

p , ga

( )1;0 −F . P gą apskritimo centras sutampa su židiniu, todėl ( )1;0 −C . Elipsės

19 22 =+ yx perr e išraiška taip:

uname

aga

ašome kan

l sąly

lygtį 4 onin 194 22=+

yx , arba 11

61

1

91

41

22=+

yx . Iš čia 412 =a ir

91

= ,o 2b21

=a i sa did i ašis

šė

r vi žioj 12 =a ; mažoji

pusa31

=b , o visa mažoji ašis lygi 322 =b . Ieškomą apskritimo gauname į

kanoninę apskritimo lygtį

lygtį

( ) ( )2 yyxx CC −+−

koordinates ( )1;0 −C ir spindulio reikšmę 1

22 r=

2

įrašę centro

== ar : ( ) ( )( ) 110 22 =−−+− yx arba (2 ++ yx ) 12 = . 1

5. SAVARANKIŠKO DARBO UŽDUOTYS

1. Parašykite lygtį apskritimo, kurio centras yra kreivės 3+− x

susikirtimo su Oy ašimi taške, o spindulys lygus

23

2=

xy

3 . 2. Per kreivės y10−= židinį išveskite tiesę lygiagrečiai tiesei 02x2 − yx =+ ir

parašykite jos lygtį.

3. Per kreivių 1312

22=−

yx , 03 =+− yx susikirtimo tašką ir per tašką ( )1;1 −−M

nubrėžkite tiesę ir parašykite jos lygtį. 4. Apskaičiuokite atstumą nuo kreivės 2xx − viršūnės iki hiperbolės

12 asimptotės (nubrėžtos per II ir IV ketv.). 4y −=

123 22 =− yx

( ) (1 2 −++ yx2 =−− y

5. Apskaičiuokite kampą tarp dviejų tiesių, kai viena iš jų nubrėžta per kreivės ) 21 2 = centrą ir kreivės yx 62 = židinį, o kita yra tiesė

01x . 6. Apskaičiuokite kreivės 04 centro atstumą iki tiesės 22 =++ yyx xy 28−= . 7. Per kreivės 02 centrą nubrėžkite tiesę lygiagrečiai tiesei 8422 =−+−+ yxyx

xy −= 3

y

ir parašykite jos lygtį. 8. Per kreivės 162 židinius nubraižykite apskritimą, kurio centras yra

koordinačių pradžios taške. Nustatykite šio apskritimo ir kreivės asimptočių susikirtimo taškus.

2 =− yx

9. Iš kreivės 28x−= židinio nubrėžkite statmenį į tiesę 2=+ yx . Parašykite šio statmens lygtį ir apskaičiuokite jo ilgį.

10. Duotos dvi kreivės 44 2 ir yx 62 = . Sujunkite elipsės viršūnes, esančias Ox ašyje su parabolės židiniu. Apskaičiuokite gauto trikampio perimetrą.

2 =+ yx

11. Nubraižykite apskritimą, kurio centras yra duotos kreivės x židinyje, o duotos kreivės viršūnė yra apskritimo taškas. Parašykite apskritimo lygtį.

y 102 =

2 =− yx( ) 31 22 =−+ yx

12. Apskaičiuokite atstumą tarp kreivių x2 −= ir 1616 2 viršūnių. y 213. Per kreivės 642 dešinįjį židinį ir per kreivės centrą

nubrėžkite tiesę ir parašykite jos lygtį. 162 =+ yx4

62

14. Apskaičiuokite atstumą nuo kreivės 01 centro iki kreivės 625 asimptotės (I ir III ketvirčio).

1022 =−−+ yyx255 22 =− yx

15. Apskaičiuokite kampą tarp tiesės 032 =+− yx ir kreivės asimptotės (II ir IV ketv.).

81273 22 =− yx

16. Per kreivės 324 dešinįjį židinį išveskite tiesę statmenai tiesei 2−= y

369 22 =+ yxx .

17. Parašykite apskritimo lygtį, kurio centras yra kreivės yx −=2 židinyje, o spindulys lygus atstumui tarp kreivės 194 2 židinių. 2 =− yx

18. Apskaičiuokite kampą tarp apskritimo 06 spindulių, nubrėžtų į apskritimo ir ašies Oy susikirtimo taškus.

422 =−++ yxyx

19. Parašykite dviejų susikertančių kreivių 162 ir bendros stygos lygtį.

2 =+ yx ( ) 95 22 =+− yx

20. Parašykite liestinės, nubrėžtos per vieną iš apskritimo ( ) ( ) 2523 22 =++− yx ir tiesės 0634 =−+ yx susikirtimo taškų, lygtį.

21. Apskaičiuokite stygos, nubrėžtos per kreivės 1416

22=+

yx židinį statmenai į

didžiąją kreivės ašį ,ilgį. 22. Per kreivių 2 ir xy −=2 viršūnes nubrėžkite tiesę ir parašykite jos

lygtį. 2 xxy −−=

23. Parašykite apskritimo, kurio centras yra kreivės 104 viršūnėje ,o spindulys lygus atstumui nuo taško

2 +−= xxy( )1;4 −M iki tiesės 012 =−+ yx , lygtį.

24. Parašykite apskritimo, kurio skersmuo yra tiesės 01234 =+− yx , susikirtimo su koordinatinėmis ašimis atkarpa, lygtį.

25. Per kreivių 012 ir 06 centrus nubrėžkite tiesę ir parašykite jos lygtį.

422 =−−+ xyx 22 =−+ yyx

26. Hiperbolės 80 menamą ašį padalinkite santykiu 1:3 ir per šį tašką nubrėžkite tiesę statmenai tiesei 03

54 22 =− yx24 =−− yx . Parašykite ieškomos tiesės

lygtį. 27. Apskaičiuokite atstumą tarp kreivių 252 ir 2304

kairiųjų židinių. 79 22 =− yx 6436 22 =− yx

28. Apskaičiuokite kampą tarp dviejų tiesių, kai viena iš jų nubrėžta per kreivės 29 viršūnę ir tašką 162 2 −+−= xxy ( )0;0O , o kita – per kreivės

42 centrą lygiagrečiai tiesei ( ) ( )2 22 =++− yx xy −= 3 . 29. Per kreivės 600 dešinįjį židinį nubrėžkite tiesę, kuri su Ox ašimi

sudarytų 045 kampą ir parašykite jos lygtį. 2524 22 =− yx

30. Kreivės 275 kairįjį židinį sujunkite su kreivės 0 centru ir iš atkarpos vidurio iškelkite statmenį į atkarpą.

Parašykite šio statmens lygtį. 31. Parašykite tiesių, nubrėžtų

1125 22 =− yx=+ y22 −+ xyx

( )2;5−A per tašką lygiagrečiai kreivės asimptotėms ,lygtis. 3649 22 =− yx

63

32. Hiperbolės pusašių suma lygi 17, o ekscentricitetas 1213

=ε . Parašykite

hiperbolės kanoninę lygtį ir apskaičiuokite židinių koordinates. 33. Per kreivės xy 42 −= židinį išvesta tiesė, sudaranti 1200 kampą su Ox ašimi.

Parašykite šios tiesės lygtį ir apskaičiuokite kreivės stygos ilgį. 34. Tiesė xy = kerta apskritimą 0622 =++ xyx . Per susikirtimo taškus

nubraižyta parabolė simetriška Ox ašies atžvilgiu. Parašykite par

abolės lygtį.

35. Parašykite apskritimo lygtį kurio centras yra kreivės ( ) ( ) 19

14

3 22=

++

− yx

( )0;2Mcentre, o spindulys lygus atstumui nuo taško iki tiesės 03 =−− yx . 36. Atkarpą tarp kreivių 0422 =−+ xyx ir 422 =++ yyx nkite

pusiau. 0 centrų padali

virš eivė37. Per kreivės 82 −+ yx ūnę ir per kr s ( )04 = 18 22=+

− yx centrą 8125

nubrėžkite tiesę ir parašykite jos lygtį. te atstum38. Apskaičiuoki ą tarp kreivių ( ) 919 22 =−− yx ( ) (3 2+ xyir ) 929 2 =−−

centrų. 39. Per kreivės 83649 22 +−++ yxyx ą nubrėž čiai

tiesei 04 =

04 =− centr kite tiesę lygiagre

2+ yx ir parašykite jos lygtį. 40. Per parabolė 0 viršūnę nubrėžkite tieses statmenai į

hiperb 0112422 =++−− yxy asimps

olės totes ir parašykite jų lygtis.

. 2.

3422 =−++ yxxx

Atsakymai

( ) 33 22 =−+ yx1.

5,2−= xy . 3. 0352 =−− yx .

4. 5

58 .

5. 43arctg=α .

6. 52 . 7. 02 =++ yx . 8. ( ) (,4;4 ) ( ) ( 4;4,4;4,4;4 −−−− ). 9. 22,2 =−= dxy .

9. 10.

11. 425

25 2

2

=+⎟⎠⎞

⎜⎝

x⎛ −

.

y .

12. 13.

1=d03232 =−+ yx .

14. 655 .

. 16.15. 045=α

05 =−+ yx .

17. 9

1341 2

2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ yx .

18. 4,2−=αtg . 19. 2,3=x . 20. 0843 =+− yx . 21. 1.22. 029

x y . + =

23. ( ) ( )5

3662 22 =−+− yx .

24. ( ) ( ) 25,625,1 22 =−++x y . 25. 0623 =−+ yx . 26. 42 0,042 =++=−+ yxyx . 27. 2.

64

28. 7arctg=α . 29. 7−= xy . 30. = 5,4815 +xy . 31. 923 01123,01 =++=+− yxyx .

32. 125144

= , F22 y

−x .

33.

( )0;3±

( ) .3

16;13 +−= xy

34. . xy 32 −=

35. ( ) ( )2113 22 =++− yx .

36. ( )1;1 − . 37. 0816 =−+ yx . 38. 20 .

39. xy21

−= .

40. 2,0 +==+ xyxy

LITERATŪRA

1. Rumšas P. Trumpas auk os kursas: vadovėlis aukštųjų mokyklų ekonomikos ir gamtos mokslų specialybių studentams. – Vilnius:

Leidybinis centras, 2000.

ųjų mokyklų techninėms

PLOKŠTUMOS ANALIZINĖS GEOMETRIJOS PAGRINDAI (metodinė riemonė LŽŪU visų specialybių studentams), svarstyta Matematikos katedros

posė

arengė doc. dr. D.Raškinienė, lekt. R.Vilkelienė

štosios matematik

Mokslas, 1976. 2. Bartaševičius A., Didžgalvis R. Aukštosios matematikos konspektas, I dalis.

– Kaunas: LŽŪU3. Matulionis J. Aukštoji matematika : aukštųjų technikos mokyklų

kursas : vadovėlis respublikos aukštspecialybėms / 4-asis patais. leidimas. - Vilnius, 1966.

4. Misevičius G., Pincevičius A., Rakauskas R.J., Eidukevičius R. Aukštoji matematika. – Vilnius: TEV, 1999.

pdyje 2007 m. vasario 5 d. (posėdžio protokolo Nr. 0 – 109) P Recenzavo doc. dr. P.Rupšys, doc. dr. S.Motuzienė Redaktorė A.Pabricaitė