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PMR5248 Elementos Finitos Não Linear
PLASTICIDADE BIDIMENSIONALLarissa Driemeier
Marcilio Alves
Rafael T. Moura
11 de Outubro de 2019 PMR5248 MEF NÃO LINEAR 1
O QUE É PLASTICIDADE E ENCRUAMENTO?
•Plasticidade e encruamento são fenômenos associados tipicamente à resposta de materiais metálicos, identificados nos gráficos da relação tensão-deformação obtidos em ensaios experimentais de tração ou compressão uniaxial. Ambos os fenômenos se manifestam para além do regime elástico. A plasticidade se caracteriza pelo aparecimento de deformações irrecuperáveis, ou permanentes, enquanto que o encruamento fica evidenciado pelo ganho de resistência com o crescimento da deformação.
11 de Outubro de 2019 PMR5248 MEF NÃO LINEAR 2
RELAÇÃO CONSTITUTIVA ELASTOPLÁSTICAUNIDIMENSIONAL
A versão unidimensional do modelo matemático que descreve a relação constitutiva de um meio elastoplástico é de formulação mais simples e permite evidenciar aspectos conceituais importantes para a compreensão da modelagem bi e/ou tridimensional.
11 de Outubro de 2019 PMR5248 MEF NÃO LINEAR 3
Nos modelos elastoplásticos é necessário
conhecer a ‘história prévia’ da deformação
plástica para se determinar a intensidade de
tensão correspondente a certa intensidade de
deformação
𝜎𝑦
𝜎
𝜎1
𝜎2
𝜀 𝜀𝜀𝑝
RELAÇÃO CONSTITUTIVA PARA ELASTOPLASTICIDADE PERFEITA
11 de Outubro de 2019 PMR5248 MEF NÃO LINEAR 4
No regime elastoplástico: a deformação total é sempre composta de
uma parcela elástica e outra plástica.
𝜎𝑦
𝜎
𝜎1
𝜀𝜀𝑝 𝜀𝑒
𝐸
carregamento plástico
descarregamento elástico
MODELO NÃO LINEAR
Carregamento plástico
•Corresponde a acréscimos imediatos, de deformação plástica,
•O material continuará em processo de escoamento, com aumento da deformação plástica.
Descarregamento elástico
•Corresponde a níveis de deformação plástica constante.
•O descarregamento virá acompanhado de recuperação elástica.
11 de Outubro de 2019 PMR5248 MEF NÃO LINEAR 5
É importante que o modelo matemático inclua essas possibilidades de modo a registrar corretamente a história de deformação plástica. Nesse sentido, é necessário exprimir a relação constitutiva em termos de variações (infinitesimais) de tensão e deformação:
𝑑𝜎 = 𝐸 𝑑𝜀𝑒 = 𝐸 𝑑𝜀 − 𝑑𝜀𝑝
PROBLEMA 3D
0 0f 0f
A decomposição aditiva do tensor de deformações totais em uma parcela elástica e em outra plástica
Lei constitutiva
O critério de plastificação
A lei de evolução das deformações plásticas, ou lei de plastificação,
O encruamento fica descrito pela lei de evolução adotada para ҧ𝜀𝑝
ሶ𝜆 é um escalar que fica determinado a partir das condições gerais de complementaridade e de consistência,
𝜎 = 𝐶 𝜀 − 𝜀𝑝
𝑓 𝑞, 𝜎𝑦 = 𝑞 − 𝜎𝑦 ҧ𝜀𝑝
ሶ𝜀𝑝 = ሶ𝜆𝑟 𝜎, 𝑝 𝑟 um tensor que estabelece a “direção” do fluxo plástico
ሶ ҧ𝜀𝑝 = ሶ𝜆ℎ 𝜎, ҧ𝜀𝑝 h é um vetor que determina uma “direção” para o vetor de encruamento
𝑞: tensão equivalente
Para pequenas deformações, o tensor de deformações
pode ser decomposto de forma aditiva como,
O tensor de tensões é dado por,
𝜎 = 𝐷 𝜀 − 𝜀𝑝 = 2𝐺𝜀𝑑𝑒 + 𝐾𝜀𝑉
𝑒𝐼
𝜀 = 𝜀𝑒 + 𝜀𝑝𝑝 =
𝜎11 + 𝜎22 + 𝜎333
= 𝐾𝜀𝑉
𝜀𝑉 = 𝜀11 + 𝜀22 + 𝜀33
𝐾 =𝐸
3 1 − 2𝜈𝐺 =
𝐸
2 1 + 𝜈
LEI CONSTITUTIVA
Vimos que o escoamento em uma barra ocorre quando a tensão causada pela carga real atinge o limite de
tensão do material. A correlação da tensão real com a tensão de escoamento é direta neste caso,
porque ambas são uniaxiais. Mas como podemos correlacionar o estado de tensão triaxial em um
componente - cuja resistência do material é medida em testes uniaxiais - para avaliar a tendência de
escoamento?
Postulamos algum atributo do estado de tensões para definir esse estado como um todo – um atributo como a
tensão máxima ou a energia específica - e, em seguida, comparamos os valores desse atributo para o estado
triaxial fornecido com o teste uniaxial. Este postulado é o critério de escoamento baseado no atributo
específico selecionado; só é uma teoria útil se suas previsões forem confirmadas por experimento.
FUNÇÃO DE ESCOAMENTO
𝑓 𝑞, 𝜎𝑦 = 𝑞 − 𝜎𝑦 ҧ𝜀𝑝
Uma superfície de escoamento é a fronteira entre o regime elástico e o plástico.
s=0 sElástico Plástico
Caso unidimensional
s= sy
No caso unidimensional, a tensão equivalente é 𝜎 . A região
elástica é uma linha e a superfície de escoamento é um ponto.
Para 3D, a tensão equivalente é uma combinação dos principais
valores de tensão. A região elástica agora é definida por uma
superfície.
POR EXEMPLO, VON MISES!
PMR5248 MEF NÃO LINEAR 11
𝑢 =1
2𝜎1𝜀1 + 𝜎2𝜀2 + 𝜎3𝜀3Energia de deformação,
por unidade de volume
Relação tensão-deformação(Lei de Hooke)
11 de Setembro de 2019
11 de Setembro de 2019 PMR5248 MEF NÃO LINEAR 12
Energia desviadora,
Energia volumétrica (obtida substituindo 𝜎1, 𝜎2, 𝜎3 por𝜎𝑚),
𝑚
PMR5248 MEF NÃO LINEAR 13
Energia de deformação desviadora em ensaio de tração uniaxial:
𝜎1 = 𝑆𝑦 e 𝜎2 = 𝜎3 = 0 → 𝜎𝑚 =𝜎1
3
Tensão equivalente de von Mises.
11 de Setembro de 2019
11 de Setembro de 2019 PMR5248 MEF NÃO LINEAR 14
Um material isotrópico tem a superfície de escoamento entre Tresca e von Mises.
RESPOSTA EXPERIMENTAL X MODELO
LEI DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
Para que a lei ሶ𝜎 = 𝐶 ሶ𝜀 − ሶ𝜀𝑝 = 𝐶𝑒𝑝 ሶ𝜀 resulte em um tensor 𝐶𝑒𝑝 simétrico, 𝑟 não pode ser
arbitrário. A simetria é obtida quando r =𝑓𝑇 e a adoção desta hipótese denomina-se
associatividade. A associatividade também implica na chamada regra da normalidade, pois o
tensor taxa de deformação plástica passa a ter a direção da normal à superfície de
plastificação
r =𝑓𝑇 → ሶ𝜀𝑝 = ሶ𝜆𝑓𝑇
Relaciona os incrementos de deformação plástica com os incrementos de tensão, depois do
início da plasticidade.
ሶ𝜀𝑝 = ሶ𝜆𝑟 𝜎, 𝑝
LEI DE ENCRUAMENTO
ሶ ҧ𝜀𝑝 = ሶ𝜆ℎ 𝜎, ҧ𝜀𝑝 =2
3ሶ𝜀𝑝
Lei de encruamento associativa, por deformação plásica acumulada:
Aluminium tubes impacted against a rigid wall
E=2,2kJ, (b) V0=5m/s … (e) V0=100m/s
Isotropic hardening
Kinematic hardening
INFLUÊNCIA DO ENCRUAMENTO NA FLAMBAGEM
VON MISES COM ENCRUAMENTO ISÓTROPO
11 de Outubro de 2019 PMR5248 MEF NÃO LINEAR 19
𝑓 𝜎, ҧ𝜀𝑝 = 3𝐽2 − 𝜎𝑦 ҧ𝜀𝑝
ሶ𝜀𝑝 = ሶ𝜆𝑁 = ሶ𝜆3
2
𝑠
𝑠ሶ ҧ𝜀𝑝 =
2
3ሶ𝜀𝑝 = ሶ𝜆
tensão equivalente de von Mises: 𝑞 = 3𝐽2
ሶ𝜎 = 𝐶 ሶ𝜀 − ሶ𝜀𝑝 = 𝐶𝑒𝑝 ሶ𝜀
Lei linear elástica,
Função de escoamento,
Lei de evolução plástica associativa, Lei de encruamento associativa,
11 de Outubro de 2019 PMR5248 MEF NÃO LINEAR 20
𝑓
Sim Não
VON MISES – FASE DE CORREÇÃO
Tensões desviadoras e de
tentativa são colineares!
11 de Outubro de 2019 PMR5248 MEF NÃO LINEAR 22
𝑞𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 = 3𝐽2 𝑠𝑛+1
𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙
11 de Outubro de 2019 PMR5248 MEF NÃO LINEAR 23
𝑓
𝐹
1
𝑥
𝑦 1
Considere:
Deformação plana
= 0,3 e 𝑡 = 1
𝐸 = 100
𝐸𝐾/(𝐸 + 𝐾)
𝐾 = 1
3
Plasticidade de von Mises com encruamento linear:
03 02 p
y KJf s
Lei constitutiva
EXEMPLO
xy
y
x
xy
y
xE
s
s
2
2100
01
01
211
yxz
Ess
s
Dεσ
Deformação plana,
321321 vvvuuuT u
111110
110000
000011
B
Buε
x
v
y
u
y
vx
u
ε
321
321
1,
1,
sxrxxsrsrx
suruusrsru
ssrh
rsrh
srsrh
,
,
1,
3
2
1
Funções de interpolação:
r
s
u1 u2
u3
v1v2
v3
1100429,0429,0
1286,1286,0286,0714,0429,0
0286,0286,0286,0286,00
0286,0286,0286,0286,00
429,0714,0286,0286,0286,11
429,0429,00011
100673,0
det
1
0
1
0
x
tdsJdr
r
TDBBK
11 de Outubro de 2019 PMR5248 MEF NÃO LINEAR 28
F=1
0520uu 21 ,Deslocamentos não nulos:
,
0520
0
0
εDeformação:
0520
0
0triale
1
,
,ε
Estado de tentativa: o passo é elástico
0trialp1 ,ε
2
0
0,
11
trialetrialDεσ
Tensão de tentativa:
trial1
trial1 sσ
642
3
2
33 2 trial
ij
trial
ij
trial ssJ
05505,00136 xf
2
0
0
1σ
0520
0
0
1e1
,
εε
0
0
0p1ε,
Para nosso exemploem particular:
1
1
1
1
1
0
srr1
0
1
0
T dd intσBp
0
0
0
0
1
0
extp
0ppr extint
Reações
F=21040uu 21 ,
,
1040
0
0
2ε
,
0520
0
0
2ε
1040
0
0
0520
0
0
0520
0
0
2e1
triale2
,,,
,εεε 0,
2 trialpε
4
0
0triale
2trial2
,Cεσ 2416
2
3ss trialij
trialij
2
3
Deslocamentos não nulos:
Deformação:
Estado de tentativa: o passo é elástico
Tensão de tentativa:
08989,101324 xf trial
Fase de correção:
0163,014615,383
8989.1
3
xKG
f trial
4615381302
100
12
EG ,
,
0163,02 p
4
0
0
24
4615,3830163,01
3
31 2
2
2
xx
J
G trial
trialss
22
4629,2
0
0
σs
0320
0
0
46292
0
0
461538x2
1
G2
1e
2
,,,
sε
0720
0
0
0320
0
0
1040
0
0e
22
p
2
,,,
εεε
231451
231451
231451
231451
231451
0
srr1
0
1
0
T
,
,
,
,
,
dd intσBp
0
0
0
0
2
0
extp
Reações
0
0
0
0
768550
0
ext
,
intppr
F
1
2
0,052
0,104
=-0,104
-u
s
s=-2,4629
pint=1,23145
1,23145
Próximo passo...
Lei constitutiva
0
0
0
0
768550
0
,
p 039960uu 21 ,
Deformação:
,
039960
0
0
22ε
,
143960
0
0
22ε
Deslocamentos não nulos:
071960
0
0
0720
0
0
143960
0
0p2
e2
triale2 12
,,,
,εεε
7679,2
0
0,
22
trialetrialDεσ
49211661372
3ss trialij
trialij ,,
2
3
037369,00163,013492,11 xf trial
Estado de tentativa: o passo é elástico
Tensão de tentativa:
003211,014615,383
37369.0
3
xKG
f trial
01951080003211803001630p
2 ,,,
76792
0
0
49211
461538x3x00321101
J3
G31 trial
2trial2
2
,,
,,ss
22
465382
0
0
σs
,
Fase de correção:
232691
232691
232691
232691
232691
0
sr
r1
0
1
0
T
,
,
,
,
,
dd intσBp
0
0
0
0
2
0
extp
Muito lentamente a resposta vai tendendo ao equilíbrio!!!!
Reações de
apoio
MATRIZ TANGENTE
11 de Outubro de 2019 PMR5248 MEF NÃO LINEAR 40
EXERCÍCIOS
•Deduza a matriz tangente para o modelo linear de plasticidade de von Mises
•Faça um programa que resolva uma viga elastoplástica, por von Mises, utilizando a matriz tangente consistente com método de Newton Raphson. Utilize elemento à tensão plana com condições de contorno e carregamento nodais definidas pelo usuário. Você pode, se facilitar, definir constante o número de elementos na horizontal e vertical, para discretização. Seu programa deve apresentar os deslocamentos nodais e, para cada elemento, gerar tensões, deformações, deformação plástica equivalente. Para validar seu programa, compare sua resposta com a de um software comercial.
Von Mises
ANALÍTICO ALGORÍTMICO e
D s : triale
n
p
nn
,,ˆ
11 ss
0 0
ND s :
s
N
triale
n
D,
ˆ
1
s
IINNIII
K
KG3
G6
3
1G2D
2
4cont
triale
n
triale
n
trial
n
trial
n
n
s
sN
,
,
1
1
1
1
1
IINNIII
K
K3G
1G6
3
1Δγ3G1G2D 1n1ntrial
24triala
lg
e4 G
3
2KG2 εIIIσ
jkiljlikijkl
klijijkl
2
14I
II
FIM DAS AULAS DE PLASTICIDADEEntregas pelo Moodle dos
exercícios de plasticidade 1D e
2D até dia 21/11.
PMR5248 MEF NÃO LINEAR 4311 de Outubro de 2019