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MATHEMATICS: SELFRIDGE ET A L .

4 M ) < -1 cf g - 9 ( c c o n s t a n t ) . ( 1 1 )T h e p r o o f o f t h e i n e q u l i t y o n t h e r i g h t - h a n d s i d e f o l l o w s s i m p l y f r o m e q u a t i o n( 2 ) , w i t h n = a . Th e i n e q u a l i t y o n t h e l e f t - h a n d s i d e o f r e l a t i o n ( 1 1 ) i s o b t a i n e d

b y u s i n g a n a l y t i c i t y t o r e p l a c e t h e f i n i t e sum ( 2 ) b y a T a y l o r s e r i e s a n d a p p l y i n gt h e B i e b e r b a c h - F a b e r o n e q u a r t e r t h e o r e m o n u n i v a l e n t f u n c t i o n s . 8 O n ea p p l i c a t i o n o f r e l a t i o n ( 1 1 ) g i v e s a new p r o o f , f o r s i m p l e z e r o s , o f a r e s u l t 9 o n t h ec o n v e r g e n c e o f t h e z e r o s o f t h e s e c t i o n s o f a T a y l o r s e r i e s t o t h o s e o f t h e f u n c t i o nr e p r e s e n t e d b y t h e s e r i e s ; v i z . , l i m V I P n - O = o I / p , w h e r e t o , R n a r e s i m p l ec o n coz e r o s o f E a i z t a n d E a n i z , a n d p i s t h e r a d i u s o f c o n v e r g e n c e o f E a i z t .i=0 i=OM u l t i p l e z e r o s w i l l b e c o n s i d e r e d u n d e r s e p a r a t e c o v e r .

1 P . F l a m a n t , E t u d e d e s f a m i l i e s c o m p a c t e s d e f o n c t i o n s d a n s l e s c l a s s e s q . a . ( D ) , J . d e M a t h . ,1 0 2 , 3 7 5 - 4 2 0 , P a r i s , 1 9 3 7 .2 E . H i l l e , F u n c t i o n a l A n a l y s i s a n d S e m i - g r o u p s , Am . M a t h . S o c . C o l l o q . P u b s . , N o . 3 1 .3 S . M a n d e l b r o j t , S e r i e s d e F o u r i e r e t c l a s s e s q u a s i - a n a l y t i q u e s d e f o n c t i o n s ( P a r i s : G a u t h i e r -V i l l a r s , 1 9 3 4 ) .4 T . B a n g , O m q u a s i - a n a l y t i s k e F u n k t i o n e r ( t h e s i s , U n i v e r s i t y o f C o p e n h a g e n , 1 9 4 5 ) .6 G o u r s a t - H e d r i c k , M a t h e m a t i c a l A n a l y s i s ( B o s t o n : G i n n C o . , 1 9 0 4 ) , V o l . 1 , c h p i i e x e r c i s e 8 .6 T h i s i s p o s s i b l e f o r q u a s i - a n a l y t i c a n d f o r n o n - q u a s i - a n a l y t i c c l a s s e s , e . g . , C I ( n l o g n ) X a n d

C ~ e K n 2 .7 I i s a c l o s e d i n t e r v a l c o n t a i n i n g r , o n w h i c h I f x ) > m > 0 ; t h i s r e m a i n s f i x e d f o r a l l s u f f i -

c i e n t l y s m a l l e > 0 .8 E . C . T i t c h m a r s h, T h e o r y o f F u n c t i o n s ( 2 d e d . ; O x f o r d , 1 9 3 9 ) , s e c . 6 . 8 .9 S . D o s s , C o m p o r t e m e n t a s y m p t o t i q u e d e s z 6 r o s d e c e r t a i n e s f o n c t i o n s d a p p r o x i m a t i o n ,

A n n . J S c o l e n o r m . s u p e r . ( P a r i s , 1 9 4 7 ) , p . 1 4 3 .

O N DIOPHANTINE EQUATIONS WHICH HAVE NO SOLUTIONSBY J . L . S E L F R I D G E , * C . A . N I C O L , AND H . S . V A N D I V E R t

U N I V E R S I T Y OF C A L I F O R N I A AT L O S ANGELES AND U N I V E R S I T Y OF TEXASC o m m u n i c a t e d J a n u a r y 3 1 , 1 9 5 6

C o n s i d e r t h e c o n g r u e n c e , c o n d i t i o n a l i n x a n d y1 a x c b y l ( m o d p ) ( 1 )

w h e r e p i s a n o d d p r i m e , a b x y 0 0 ( m o d p ) , w h e r e 1 a n d c a r e i n t e g e r s , e a c h > 1 ,s u c h t h a t i c = p - 1 . I n a n o t h e r p a p e r t h e f o l l o w i n g p r o b l e m was s t a t e d :I f i n f o r m u l a 1 ) a a n d b a r e f i x e d i n t e g e r s , a b x y 0 0 ( m o d p ) i s f i x e d , a n d p i n c r e a s e st o g e t h e r w i t h c s u b j e c t t o t h e r e l a t i o n l c p - 1 , w h a t c a n b e s a i d a b o u t t h e n u m b e r o ft h e s e t s o f s o l u t i o n s x , y ? I n o t h e r a r t i c l e s 2 i t w a s s h o w n t h a t t he r e l a t i o n b e t w e e nt h i s p r o b l e m a n d t h e F e r m a t p r o b l e m e x i s t s .

I n v i e w o f t h e f a c t s m e n t i o n e d a b o v e , i t w a s a r r a n g e d t o t a b u l a t e t h e n u m b e ro f i n c o n g r u e n t s o l u t i o n s f o r a n u m b e r o f c o n g r u e n c e s x , y o f t y p e 1 ) . T h i s w ase f f e c t e d b y n o t i n g t h a t t h i s p r o b l e m r e d u c e s t o f i n d i n g d i s t i n c t s e t s r , s s a t i s f y i n g

P R O C . N . A . S .6 4

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MATHEMATICS: SELFRIDGE ET A L .1 + q i + c r = q J + i s ( m o d p ) , 2 )

w i t h r i n t he s e t 0 , 1 , - -1; s i n t h e s e t 0 , 1 , . . . c - 1 ; i a n d j f i x e d , w i t h0 . i < c -1; 0 j < - 1 , w i t h g a p r i m i t i v e r o o t o f p . T h e e q u i v a l e n c e o ft he t w o p r o b l e m s f o l l o w s e a s i l y f r o m t h e p r o p e r t i e s o f p r i m i t i v e r o o t s .We s h a l l d e n o t e t h e n u m b e r o f s o l u t i o n s r , s i n r e l a t i o n ( 2 ) w i t h i n t h e l i m i t s m e n -t i o n e d b y [ i , j ] c i . I n 1 9 5 4 E m m a L e h m e r a p p l i e d t h e h i g h - s p e e d c o m p u t e r k n o w na s t h e SWAC, a t t h e D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a a t L o sA n g e l e s , t o d e t e r m i n e a l l t h e p o s s i b l e v a l u e s [ i , j ] f o r e a c h p a n d t h a t s he c o n s i d e r e d .S h e c o d e d t h i s p r o j e c t o n t h e SWAC a n d c h e c k e d a l l t h e p r e v i o u s t a b l e s g i v i n gs u c h v a l u e s . I n t h e s p r i n g o f 1 9 5 5 N i c o l a n d S e l f r i d g e e x t e n d e d t h i s p r o g r a m o nt h e SWAC a n d t a b u l a t e d a l l t h e v a l u e s [ i , j ] f o r = 5 , f o r e a c h p o f t h e f o r m p 1( m o d 5 ) f o r p < 1 0 2 4 , a n d a l s o f o r = 7 w i t h a l l p s < 1 0 2 4 o f t h e f o r m p _1 ( m o d7 ) . F o r = I t a l l t h e [ i , j ] s w e r e t a b u l a t e d f o r e a c h p < 8 0 0 o f t h e f o r m p 1( m o d 1 1 ) . S i m i l a r l y , t h e v a l u e s w e r e d e t e r m i n e d f o r e a c h p < 6 0 0 w i t h = 1 3 .S i m i l a r d e t e r m i n a t i o n s w e r e made f o r e a c h p < 5 1 2 o f t h e f o r m p 1 ( m o d 1 ) , w h e r ee a c h p r i m e i s t a k e n i n t h e s e t 2 5 6 > . 1 7 .

T h e m e m b e r s o f t h e D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s a t t h e U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i ai n L o s A n g e l e s k i n d l y a l l o w e d u s t h e u s e o f t h e SWAC, a n d t h e c a l c u l a t i o n s w e r ec a r r i e d o u t u n d e r t h e g e n e r a l s u p e r v i s i o n o f D r . C . B . T o m p k i n s .T h e a p p l i c a t i o n o f t he t a b l e s w h i c h w i l l m a i n l y b e d i s c u s s e d i n t h e p r e s e n t p a p e r

i s t h a t c o n c e r n i n g D i o p h a n t i n e e q u a t i o n s . S u p p o s e w e f i n d t h a t [ i , j ] , , = 0 , t h a ti s , t h a t f o r m u l a ( 1 ) h a s n o s o l u t i o n s p r i m e t o p w i t h g q _ a , g J b , m o d u l o p . S u p -p o s e , f u r t h e r , t h a t i t c a n b e s h o w n t h a t f o r m u l a ( 1 ) h a s n o s o l u t i o n s w i t h x o r yd i v i s i b l e b y p . T h e n i t f o l l o w s t h a t t h e D i o p h a n t i n e e q u a t i o n

1 a x = b y l ( 3 )i s n o t s o l v a b l e i n r a t i o n a l i n t e g e r s , s i n c e , i f i t i s s o l v a b l e , t h e n c o n g r u e n c e ( 1 ) h a ss o l u t i o n s f o r e v e r y p r i m e p .A t h i r d a p p l i c a t i o n o f t h e t a b l e s d e p e n d s o n t h e f a c t t h a t i f t he n u m b e r o f s o l u -t i o n s o f c o n g r u e n c e ( 2 ) i s g i v e n e x p l i c i t l y i n t h e t a b l e s f o r a g i v e n i , j , c , a n d t h e n i t f o l l o w s t h a t w e c a n c a l c u l a t e d i r e c t l y t he n u m b e r o f s o l u t i o n s o f c o n g r u -e n c e ( 2 ) w h e n c i s r e p l a c e d b y a n y o f i t s d i v i s o r s >1 a n d i s r e p l a c e d b y a n y o f i t sd i v i s o r s > 1 .S t i l l a n o t h e r a p p l i c a t i o n o f t h e [ i j ] s i s c o n c e r n e d w i t h t h e c o n d i t i o n a l c o n -g r u e n c e

J X ~ a C 2 X 2 a , c x s a S c S 1 0 ( m o d p ) , ( 4 )w i t h t he c s r a t i o n a l i n t e g e r s , c l . . . c 8 0 0 ( m o d p ) ; s > 1 f o r c . + 0 0 ( m o d p ) a n ds > 2 f o r c S + 1 - 0 ( m o d p ) . No g e n e r a l i t y i s l o s t b y t a k i n g t h e a s a s d i v i s o r s o fp - 1 , w h e n w e a r e c o n s i d e r i n g t he n u m b e r o f i n c o n g r u e n t s o l u t i o n s .

I n a n o t h e r p a p e r i t w a s s h o w n t h a t i t i s p o s s i b l e t o d e t e r m i n e d i r e c t l y t h e num-b e r o f i n c o n g r u e n t s o l u t i o n s o f r e l a t i o n 4 ) , p r o v i d e d t ha t t he n u m b e r o f s o l u t i o n s 3( w i t h e a c h x p r i m e t o p ) o fd l x l 7 d 2 x 2 m + d 3_ 0 ( m o d p )

V O L . 4 2 , 1 9 5 6 2 6 5

( 5 )

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MATHEMATICS: E . THOMASw a s k n o w n f o r e a c h d i , d 2 , d 3 , w i t h m t he L . C . M . o f t h e a s i n r e l a t i o n ( 4 ) . ByF e r m a t s t h e o r e m w e may t a k e t h e a s i n t he r a n g e 0 < a < p - 1 . I f t h e n u m b e ro f a l l p o s s i b l e s o l u t i o n s t u r n s o u t t o b e z e r o i n r e l a t i o n ( 4 ) , w e h a v e a n o t h e r a p p l i c a -t i o n , a s a b o v e , t o D i o p h a n t i n e e q u a t i o n s .R e t u r n i n g t o t h e c o n s i d e r a t i o n o f r e l a t i o n ( 3 ) a n d o t h e r D i o p h a n t i n e e q u a t i o n s ,i t f o l l o w s t h a t i f r e l a t i o n ( 1 ) h a s n o s o l u t i o n i n i n t e g e r s x , y , t h e n n o n e o f t h e e q u a -t i o n s 4

s t i p ( s a t 2 p ) x i c = ( s b t 3 p ) y 1 , s 0 0 ( m o d p ) , ( 6 )h a s a n y s o l u t i o n s x 1 , y i . S i m i l a r r e m a r k s a p p l y t o r e l a t i o n ( 4 ) .I t i s p o s s i b l e t o s h o w t h a t f o r a p a r t i c u l a r c a n d i n r e l a t i o n ( 2 ) , t h e r e a r e a t l e a s tt w o o f t h e [ i , j ] s w h i c h a r e z e r o . F o r t he v a l u e = 5 a n d t h e v a r i o u s v a l u e s o f ct r e a t e d i n t h e t a b l e s , t h e p e r c e n t a g e o f z e r o v a l u e s f o r t h e [ i , j ] s i s 3 2 . 7 . F o r =7 t h e p e r c e n t a g e i s 3 3 . 8 .T h e t a b l e s r e f e r r e d t o i n t h e p r e s e n t p a p e r a r e now o n f i l e a t N u m e r i c a l A n a l y s i sR e s e a r c h , U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a a t L o s A n g e l e s , a n d i t i s p l a n n e d t o p u b l i s h t h e mw i t h a d e s c r i p t i o n o f t he c o d i n g o f t h i s p r o j e c t a n d f u l l d e t a i l s a s t o t he v a r i o u sa p p l i c a t i o n s .

* T h e w o r k o f t h i s a u t h o r w a s s p o n s o r e d i n p a r t b y t h e O f f i c e o f N a v a l R e s e a r c h a n d t h e O f f i c eo f O r d n a n c e R e s e a r c h .t Th e l a s t - n a m e d a u t h o r s d i d t h e i r w o r k on t h e p r e s e n t p a p e r u n d e r N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a -t i o n G r a n t G 1 3 9 7 .1 E r n a H . P e a r s o n a n d H . S . V a n d i v e r , O n a Ne w P r o b l e m c o n c e r n i n g T r i n o m i a l C o n g r u e n c e sI n v o l v i n g R a t i o n a l I n t e g e r s , t h e s e P R O C E E D I N G S , 3 9 , 1 2 7 8 - 1 2 8 5 , 1 9 5 3 .2 H . S . V a n d i v e r , S o m e T h e o r e m s i n F i n i t e F i e l d T h e o r y w i t h A p p l i c a t i o n s t o F e r m a t s L a s t

T h e o r e m , t h e s e P R O C E E D I N G S , 3 0 , 3 6 2 - 3 6 7 , 1 9 4 4 ; O n T r i n o m i a l C o n g r u e n c e s a n d F e r m a t s L a s tT h e o r e m , i b i d . , p p . 3 6 8 - 3 7 0 .

H . S . V a n d i v e r , O n t he Number o f S o l u t i o n s o f S o m e G e n e r a l T y p e s o f E q u a t i o n s i n a F i n i t eF i e l d , i b i d . , 3 2 , 4 7 - 5 2 , 1 9 4 6 .4 H . S . V a n d i v e r , C o n g r u e n c e M e t h o d s a s A p p l i e d t o D i o p h a n t i n e A n a l y s i s , M a t h . M a g . ,2 2 , 1 8 5 - 1 9 2 , 1 9 4 8 .

A GENERALIZATION O F THE PONTRJAGIN SQUARECOHOMOLOGY OPERATIONBY EMERY THOMAS*COLUMBIA UNIVERSITY

C o m m u n i c a t e d b y P . A . S m i t h , M a r c h 1 , 1 9 5 61 . I n t r o d u c t i o n - I n 1 9 4 9 J . H . C . W h i t e h e a d d e f i n e d t h e P o n t r j a g i n s q u a r e , a

c o h o m o l o g y o p e r a t i o n w h i c h h e u s e d i n c l a s s i f y i n g t he h o m o t o p y t y p e o f s i m p l yc o n n e c t e d , f o u r - d i m e n s i o n a l p o l y h e d r a . I n a l a t e r p a p e r 2 h e e x t e n d e d t h e d e f i n i -t i o n o f t he o p e r a t i o n t o t a k e c o e f f i c i e n t s i n a n a r b i t r a r y a b e l i a n g r o u p a n d u s e d t h eo p e r a t i o n t o h e l p d e t e r m i n e a c e r t a i n e x a c t s e q u e n c e a s s o c i a t e d w i t h a c o m p l e x .E i l e n b e r g a n d M a c L a n e , u s i n g a d i f f e r e n t m e t h o d , a l s o d e f i n e d t he P o n t r j a g i ns q u a r e w i t h a r b i t r a r y c o e f f i c i e n t g r o u p s . 3 T h e p r e s e n t n o t e d e s c r i b e s a g e n e r a l i z a -t i o n o f t h i s o p e r a t i o n .

2 6 6 P R O C . N . A . S .