Podstawy analizy matematycznej II · Pochodne funkcji Pochodna funkcji odwrotnej. Jeżeli funkcja różniczkowalna y= f(x) ma funkcję odwrotną x=g(y), to pochodna funkcji odwrotnej

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Andrzej Marciniak

Podstawyanalizy matematycznej

II

Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na

Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich

zastosowań w przemyśle" POKL.04.01.02-00-189/10

2Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Granica i ciągłość funkcji

Mówimy, że liczba g jest granicą lewostronną (prawostronną) funkcji f (x ) w punkcie x = c, co zapisujemy

lim f (x ) = g ( lim f (x ) = g ),x c 0 x c + 0

jeżeli dla każdego > 0 istnieje taka liczba > 0, że

| f (x ) g | < dla c < x < c (c < x < c + ).

Mówimy, że + jest granicą lewostronną (prawostronną) funkcji f (x ) w punkcie x = c, jeżeli dla każdej liczby M > 0 istnieje taka liczba > 0, że

f (x ) > M dla c < x < c (c < x < c + ).


Mówimy, że jest granicą lewostronną (prawostronną) funkcji f (x ) w punkcie x = c, jeżeli dla każdej liczby M > 0 istnieje taka liczba > 0, że

f (x ) < M dla c < x < c (c < x < c + ).

Są to definicje w sensie Cauchy’ego. Definicja granicy funkcji w sensie Heinego :

Mówimy, że liczba g (+, ) jest granicą lewostronną(prawostronną) funkcji f (x ) w punkcie x = c, jeżeli dla każdego ciągu {xn} zbieżnego do c i takiego, że dla każdego n zachodzi xn < c (xn > c), mamy

lim f (xn) = g (+, ).n



Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f (x ) w punkcie x = c, co zapisujemy

lim f (x ) = g,x c

jeżeli istnieją granice lewostronna i prawostronna w punkcie x = c i obie są sobie równe.

Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f (x ) przy x + (x ), co zapisujemy

lim f (x ) = g ( lim f (x ) = g ),x + x

jeżeli dla dowolnej liczby > 0 istnieje taka liczba K > 0, że | f (x) g | < dla każdej wartości x > K (x < K ).



Mówimy, że funkcja f (x) dąży do + () przy x +, co zapisujemy

lim f (x ) = + ( lim f (x ) = ),x + x +

jeżeli dla dowolnej liczby M > 0 istnieje taka liczba K > 0, że f (x ) > M ( f (x ) < M ) dla każdej wartości x > K.

Granice

lim f (x ) = + i lim f (x ) = x x

określamy podobnie.



Jeżeli istnieją granice lim f (x ) i lim g (x ), tox c x c

lim (f (x ) g (x )) = lim f (x ) lim g (x )x c x c x c

lim (f (x ) g (x )) = lim f (x ) lim g (x )x c x c x c

lim (f (x )/g (x )) = lim f (x ) / lim g (x ), jeśli lim g (x ) 0.x c x c x c

Funkcję f (x ) nazywamy funkcją ciągłą w punkcie x = c, jeżeli istnieje granica lim f (x ) i jeśli granica ta jest równa f (c ). x c

Suma i iloczyn funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Iloraz funkcji ciągłych o dzielniku różnym od zera jest funkcją ciągłą.



Przykład 1. Obliczyć granicę funkcji

f (x ) = (3x 2 5x 2)/(5x 2 20)

w punkcie x = 2.

Dla x = 2 licznik i mianownik jest równy 0, a więc funkcja nie jest określona w tym punkcie. Zauważmy, że

3x 2 5x 2 = 3(x 2)(x + 1/3) i 5x 2 20 = 5(x 2)(x + 2).

Możemy zatem funkcję f (x ) zapisać w postaci

f (x ) = {3(x + 1/3)/[5(x + 2)]} {(x 2)/(x 2)} = g (x ) h (x ).

Pierwszy czynnik g (x ) jest funkcją wymierną, ciągłą w punkcie x = 2, więc

lim g (x ) = g (2) = [3(2 + 1/3)]/[5(2+2)] = 7/20.x 2

Drugi czynnik h (x ) równa się 1 dla x 2, a dla x = 2 nie jest zdefiniowany.



W myśl definicji granicy lim h (x ) istnieje i równa się 1.x 2

Na podstawie twierdzenia o granicy iloczynu funkcji mamy

lim (3x 2 5x 2)/(5x 2 20) = (7/20) 1 = 7/20.x 2

Przykład 2. Wyznaczyć granicę funkcji [x ] w punkcie x = 3.

Mamy

lim [x ] = 3, gdyż dla 3 x < 4 jest [x ] = 3,x 3+0

natomiastlim [x ] = 2, bo dla 2 x < 3 jest [x ] = 2.

x 30

Zatem granica funkcji [x ] w punkcie x = 3 nie istnieje.



Przykład 3. Obliczyć

lim (10x )/tg(3x ).x 0

Dla x = 0 licznik i mianownik są równe 0. Przekształcamy wyrażenie:

(10x )/tg(3x ) = [10x cos(3x )]/sin(3x ) = (10/3) cos(3x ) 3x /sin(3x ).

Na podstawie jednego z podstawowych wzorów teorii granic:

lim sinx /x = 1x 0

mamy lim 3x /sin(3x ) = lim 1/[sin(3x )/(3x )] = 1. Ponadtox 0 x 0

lim cos(3x ) = cos 0 = 1.x 0

Zatem lim (10/3) cos(3x ) 3x /sin(3x ) = (10/3) 1 1 = (10/3).x 0



Przykład 4. Obliczyć

lim f (x ) dla f (x ) = {x [x (x 2 1)1/2]}1/2.x +

Po pomnożeniu i podzieleniu funkcji f (x ) przez [x + (x 2 1)1/2]1/2 mamy

f (x ) = x 1/2/[x + (x 2 1)1/2]1/2.

Dzieląc teraz licznik i mianownik przez x 1/2 otrzymujemy

f (x ) = 1/[1+(1 1/x 2)],

skąd ostatecznie lim f (x ) = 1/(1 + 11/2)1/2 = 1/21/2.x +

Przykład 5. Wyznaczyć granicę funkcji exp[1/(1 x 2)] w punkcie x = 1.

Przy wyznaczaniu granic funkcji wykładniczej korzystamy często z wzorów

lim a x = +, lim a x = 0 dla a > 1 i lim a x = 0, lim a x = + dla 0 < a < 1.x + x x + x



Obliczmy najpierw w punkcie x = 1 granicę funkcji

g (x ) = 1/(1 x 2).

Funkcja ta nie jest określona w podanym punkcie. Przedstawiamy ją w postaci

g(x ) = 1/(1 + x ) 1/(1 x ).

Pierwszy czynnik jest funkcją ciągłą w punkcie x = 1, w którym granica jest równa ½. Drugi czynnik ma granice lewostronną i prawostronną różne:

lim 1/(1 x ) = +, lim 1/(1 x ) = .x 10 x 1+0

Z powyższego i na podstawie podanych wzorów wynika, że

lim exp(1/(1 x 2) = 0, lim exp(1/(1 x 2) = +.x 1+0 x 10


Pochodne funkcji

Pochodną funkcji y = f (x ) w punkcie x nazywamy granicę, do której dąży stosunek przyrostu wartości funkcji y do przyrostu argumentu x , gdy przyrost argumentu dąży do zera, tj. granicę

lim y/x = lim [f (x + x ) f (x )]/x .x 0 x 0

Pochodna funkcji y = f (x ) w danym punkcie jest równa współczynnikowi kątowemu (kierunkowemu) stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie.

Jeżeli funkcja ma w danym punkcie pochodną skończoną (jest różniczkowalna), to jest w tym punkcie ciągła (ale nie na odwrót, np. funkcja y = |x |w punkcie x = 0).


Pochodne funkcji

Pochodna sumy (różnicy) funkcji. Jeżeli y = u v, to

y’ = u’ v’.

Pochodna iloczynu funkcji. Jeżeli y = u v, to

y’ = u’ v + uv’.

Pochodna ilorazu funkcji. Jeżeli y = u /v i v 0, to

y’ = (u’v uv’ )/v 2.

Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja y = f (g (x )) jest określona w pewnym otoczeniu punktu x = x0 , funkcja g (x ) jest różniczkowalna w punkcie x = x0 oraz funkcja f (u ) jest różniczkowalna w punkcie u = u0 , gdzie u0 = g (x0), to

(dy/dx)x =x0 = (dy/du)u =u0 (du/dx)x =x0 .


Pochodne funkcji

Pochodna funkcji odwrotnej. Jeżeli funkcja różniczkowalna y = f (x ) ma funkcję odwrotną x =g(y ), to pochodna funkcji odwrotnej jest równa odwrotności pochodnej danej funkcji, o ile dy/dx 0, tj.

dx/dy = 1/ (dy/dx ).

Ważniejsze wzory rachunku różniczkowego (wzory na pochodne) dotyczą funkcji potęgowej, trygonometrycznych, cyklometrycznych, hiperbolicznych, odwrotnych względem hiperbolicznych, wykładniczych oraz logarytmicznych. Wzory te należy znać!


Pochodne funkcji

Przykład 1. Obliczyć pochodną funkcji

y = (3x 2 4x x 2/3)/(2x 1/2).

Funkcja jest ciągła, gdy x > 0. Po podzieleniu licznika i mianownika przez x 1/2 mamy

y = (3/2)x 3/2 2x 7/6,

skąd y’ = (9/4)x 1/2 (7/3)x 1/6.

Przykład 2. Wyznaczyć pochodną funkcji

y = (2 x 2)/(2x 3 + x + 3).

Stosujemy wzór na pochodną ilorazu. Pochodna licznika jest równa 2x, a pochodna mianownika wynosi 6x 2 + 1. Zatem

y’ = [2x (2x 3 + x + 3) (2 x 2)(6x 2 +1)]/(2x 3 + x + 3)2

= (2x 4 13x 2 6x 2)/(2x 3 + x + 3)2.


Pochodne funkcji

Przykład 3. Obliczyć pochodną funkcji

y = sin3[(1 2x )/x ]1/2.

Funkcja ta jest określona w przedziale 0 < x < ½. Można ją przedstawić za pomocą czterech funkcji prostych:

y = z 3, z = sinu, u = t 1/2, t = (1 2x )/x.

Mamy dy/dz = 3z 2, dz/du = cosu, du/dt = 1/(2t 1/2), dt/dx = 1/x 2.

Na podstawie wzoru na pochodną funkcji złożonej otrzymujemy

dy/dx = 3z 2 cosu 1/2t 1/2 (1/x 2).

Wracając do zmiennej x, po wykonaniu działań mamy

dy/dx = 3/{2x [x (1 2x )]1/2} sin2[(1 2x )/x ]1/2 cos[(1 2x )/x ]1/2.


Pochodne funkcji

Przykład 4. Obliczyć pochodną funkcji y = x x, gdzie x > 0.

Ponieważ e lnx = x, więc x x = e x lnx. Stosując wzór na pochodną funkcji złożonej mamy

y’ = e x lnx [1 lnx + x (1/x )] = x x (lnx + 1).

Przykład 5. Wyznaczyć pochodną funkcji y = (sinx )tgx w przedziale 0 < x < /2.

Ponieważ e lnu = u, więc sinx = e ln sinx. Po podniesieniu obu stron do potęgi tgx mamy

y = (sinx )tgx = e tgx ln sinx.

Jest to funkcja postaci e f(x ) i z wzoru na pochodną funkcji złożonej otrzymujemy, że jej pochodna wynosi e f(x )f’ (x ). Zatem

y’ = e tgx ln sinx [(1/cos2x )ln sinx + tgx (1/sinx ) cosx ]

= (sinx )tgx [ln(sinx )/cos2x + 1].


Pochodne funkcji

Pochodną rzędu drugiego funkcji f (x ) nazywamy pochodną z pochodnej tej funkcji. Podobnie definiujemy pochodne wyższych rzędów.

Przykład 1. Obliczyć pochodną rzędu szóstego wielomianu

y = x 5 2x 4 + 4x 2 16x + 15.

Mamy y’ = 5x 4 8x 3 + 8x 16,

y” = 20x 3 24x 2 + 8,

y’’’ = 60x 2 48x,

y (4) = 120x 48.

y (5) = 120,

y (6) = 0.

Pochodne wielomianu rzędu wyższego niż jego stopień są równe zeru.


Pochodne funkcji

Przykład 2. Obliczyć pochodną rzędu n funkcji y = sinx.

Mamy

y’ = cosx, y” = sinx, y’’’ = cosx, y (4) = sinx = y

i pochodne wyższych rzędów powtarzają się: y (5) = y’, y (6) = y” itd.

Ponieważ

y’ = cosx =sin(x + /2), y” = sinx = sin(x + 2 /2),

y’’’ = cosx = sin(x + 3 /2), y (4) = sinx = sin(x + 4 /2),

więc można podać ogólny wzór na pochodną rzędu n funkcji y = sinx :

y (n ) = sin(x + n /2).

Wyprowadzenie ogólnych wzorów na pochodną dowolnego rzędu danej funkcji jest w ogólności zadaniem trudnym.


Pochodne funkcji

Jeżeli funkcja ma postać lub daje się przedstawić w postaci iloczynu dwóch prostszych funkcji (y = uv ),dla których można łatwo znaleźć wzory na pochodne rzędu n, to pochodną rzędu n danej funkcji y wyznaczamy z wzoru Leibniza:

y (n ) = u (n )v + (n1)u (n 1)v’ + (n

2)u (n 2)v”

+ … + (nk)u (n k )v (k ) + … + uv (n ).

Przykład. Wyznaczyć pochodną rzędu n funkcji y = e x sinx.

Przyjmując u = e x i v = sinx mamy

u (n ) = (1)ne x, v (n ) = sin(x + n /2)

i na podstawie wzoru Leibniza:

y (n ) = (1)n e x sinx + … + (1)n k (nk)e x sin(x + k /2)

+ … + e x sin(x + n /2).


Pochodne funkcji

Dla funkcji określonej równaniami parametrycznymi

x = f (t ), y = g (t ),

pochodną obliczamy z wzoru

dy/dx = (dy/dt )/(dx/dt ), jeśli dx/dt 0.

Przykład. Obliczyć pochodną dy/dx funkcji określonej równaniami parametrycznymi

x = sint t cost, y = cost + t sint .

Mamy

dx/dt = cost + t sint cost = t sint ,

dy/dt = sint + t cost + sint = t cost .

Zatem

dy/dx = t cost /(t sint ) = ctgt .


Pochodne funkcji

Pochodną rzędu drugiego d 2y/dx 2 funkcji danej w postaci parametrycznej obliczamy następująco:

d 2y/dx 2 = d/dx (dy/dx) = [d/dt (dy/dx)]/(dx/dt),

gdzie

d/dt (dy/dx) = d/dt [(dy/dt)/(dx/dt )]

= (d 2y/dt 2 dx/dt d 2x/dt 2 dy/dt )/(dx/dt )2

Przykład. Obliczyć d 2y/dx 2 funkcji określonej równaniami parametrycznymi

x = sint t cost, y = cost + t sint .

Korzystając z poprzedniego przykładu i powyższego wzoru mamy

d 2y/dx 2 = [d/dt (ctgt )]/(dx/dt ) = (1/sin2t )/(t sint ) = 1/(t sin3t ).


Pochodne funkcji

Mówimy, że funkcja f (x ) określona w przedziale [a, b] jest wypukła w tym przedziale, jeśli dla każdej liczby

x = x1 + (1 )x2 , gdzie x1 < x2 i 0 1

zachodzi nierówność

f (x) y , gdzie y = f (x1)+ (1 )f (x2).

Jeżeli funkcja f (x ) jest w przedziale [a, b] różniczkowalna i jej pochodna jest w tym przedziale funkcją rosnącą, to funkcja f (x ) jest wypukła w przedziale [a, b].

Jeżeli funkcja f (x ) jest w przedziale [a, b] dwukrotnie różniczkowalna i f” (x ) > 0 w [a, b], to funkcja f (x ) jest w tym przedziale wypukła.


Pochodne funkcji

Mówimy, że funkcja f (x ) określona w przedziale [a, b] jest wklęsła w tym przedziale, jeśli dla każdej liczby

x = x1 + (1 )x2 , gdzie x1 < x2 i 0 1

zachodzi nierówność

f (x) y , gdzie y = f (x1)+ (1 )f (x2).

Jeżeli funkcja f (x ) jest w przedziale [a, b] różniczkowalna i jej pochodna jest w tym przedziale funkcją malejącą, to funkcja f (x ) jest wklęsła w przedziale [a, b].

Jeżeli funkcja f (x ) jest w przedziale [a, b] dwukrotnie różniczkowalna i f” (x ) < 0 w [a, b], to funkcja f (x ) jest w tym przedziale wklęsła.


Pochodne funkcji

Punktem przegięcia wykresu funkcji y = f (x ), gdy funkcja f (x ) ma ciągłą pochodną drugiego rzędu, nazywamy taki jej punkt, w którym styczna do krzywej przechodzi z jednej strony krzywej na drugą.

Jeżeli funkcja y = f (x ) ma ciągłą pochodną rzędu drugiego, to w punktach przegięcia wykresu funkcji mamy f” (x ) = 0.


Documents

Podstawy analizy matematycznej II · Pochodne funkcji Pochodna funkcji odwrotnej. Jeżeli funkcja różniczkowalna y= f(x) ma funkcję odwrotną x=g(y), to pochodna funkcji odwrotnej