Podstawy automatyki i sterowania - Strona główna ... · PDF fileWydziału SiMR skrypty „Podstawy teorii maszyn i automatyki” (autor: ... Obiekt sterowania (rysunek 1.2) jest

Zbigniew Skup

Podstawy automatyki i sterowania

Warszawa 2012

Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Kierunek "Edukacja techniczno informatyczna" 02-524 Warszawa, ul. Narbutta 84, tel (22) 849 43 07, (22) 234 83 48 ipbmvr.simr.pw.edu.pl/spin/, e-mail: [email protected] Opiniodawca: dr inŜ. Krzysztof FALKOWSKI Projekt okładki: Norbert SKUMIAŁ, Stefan TOMASZEK Projekt układu graficznego tekstu: Grzegorz LINKIEWICZ Skład tekstu: Magdalena BONAROWSKA Publikacja przeznaczona jest dla studentów kierunku "Edukacja techniczno informatyczna" Copyright © 2012 Politechnika Warszawska Utwór w całości ani we fragmentach nie moŜe być powielany ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich. ISBN 83-89703-87-4 Druk i oprawa: STUDIO MULTIGRAF SP. Z O.O., ul. Ołowiana 10, 85-461 Bydgoszcz

Spis treści

Wstęp...................................................................... 7

1. Wprowadzenie do podstaw automatyki............ 9

1.1. Pojęcia podstawowe ................................................................... 10 1.2. Klasyfikacja układów automatyki .............................................. 13 1.3. Właściwości liniowych układów automatyki ............................. 16 1.4. Sygnały w układach automatycznej regulacji............................. 18 1.5. Zasady rachunku operatorowego................................................ 21 1.6. Transmitancja operatorowa i jej właściwości............................. 27

2. Charakterystyki liniowych elementów i układów automatyki...................................... 31

2.1. Wprowadzenie ............................................................................ 32 2.2. Charakterystyki czasowe (skokowe) .......................................... 33 2.3. Charakterystyki częstotliwościowe ............................................ 33 2.4. Charakterystyki logarytmiczne................................................... 37

3. Właściwości dynamiczne podstawowych liniowych elementów automatyki ................... 47

3.1. Wprowadzenie ............................................................................ 48 3.2. Elementy proporcjonalne (bezinercyjne).................................... 50 3.3. Elementy inercyjne pierwszego rzędu ........................................ 54 3.4. Elementy inercyjne drugiego rzędu (oscylacyjne) ..................... 58 3.5. Elementy całkujące..................................................................... 64 3.6. Elementy róŜniczkujące.............................................................. 69 3.7. Elementy opóźniające................................................................. 76

4. Opis układów automatyki za pomocą schematów strukturalnych............ 81

4.1. Schematy konstrukcyjne i blokowe (strukturalne) ..................... 82 4.2. Przekształcenia schematów blokowych...................................... 84

5. Rodzaje regulatorów oraz ich charakterystyki97

5.1. Wprowadzenie ............................................................................ 98 5.2. Podstawowa klasyfikacja regulatorów ....................................... 99 5.3. Regulatory proporcjonalne ....................................................... 101 5.4. Regulatory całkujące ................................................................103 5.5. Regulatory proporcjonalno-całkujące.......................................105 5.6. Regulatory proporcjonalno- róŜniczkujące............................... 110 5.7. Regulatory proporcjonalno-całkująco-róŜniczkujące............... 118 5.8. Wybór typu i nastaw regulatorów ............................................ 122

6. Stabilność liniowych układów automatyki .... 129

6.1. Ogólne warunki stabilności ...................................................... 130 6.2. Kryterium Hurwitza oceny stabilności układów automatyki ... 133 6.3. Kryterium Nyquista oceny stabilności układów automatyki.... 135 6.4. Ocena stabilności układów automatyki

poprzez kryterium zapasu modułu i fazy .................................. 139

7. Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania ..... 151

7.1. Pojęcia podstawowe ................................................................. 152 7.2. Rodzaje regulacji ...................................................................... 153 7.3. Elementy prostego i złoŜonego układu automatycznej

regulacji..................................................................................... 154 7.4. Charakterystyki skokowe obiektów statycznych...................... 158 7.5. Charakterystyki skokowe obiektów astatycznych .................... 160 7.6. Kryteria oceny jakości liniowych układów automatyki ........... 162

8. Opis liniowych układów regulacji w przestrzeni stanów. ................................... 185

8.1. Wprowadzenie .......................................................................... 186 8.2. Klasyfikacja modeli matematycznych

opisujących układy dynamiczne stacjonarne ciągłe (DLSC) .... 187 8.3. Przestrzeń zmiennych stanu, wybór zmiennych stanu ............. 188 8.4. Opis układów DLSC we współrzędnych stanu

(równania stanu i wyjścia, zapisane postaci ogólnej i macierzowo-wektorowej)........................................................ 189

8.5. Wyznaczenie transmitancji operatorowej układu DLSC opisanego równaniem stanu i równaniem wyjścia .................... 199

Strona 5555

8.6. Wyznaczenie równania stanu i równania wyjścia dla układów opisanych równaniem róŜniczkowym zwyczajnym wyŜszego rzędu ......................................................................... 201

8.7. Metoda bezpośrednia, równoległa i iteracyjna opisu układu DLSC we współrzędnych stanu........................... 204

8.8. Rozwiązywanie równań stanu układów automatyki DLSC ..... 215 8.9. Sterowalność i obserwowalność układów automatyki DLSC ..224 8.10. Układy wielowymiarowe........................................................ 230

Literatura............................................................ 235

9. Ćwiczenia laboratoryjne................................. 239

9.1. Badanie układu dwupołoŜeniowej regulacji temperatury......... 240 9.2. Badanie regulatorów Eftronik X i układu sterowania

z regulatorem PID LB 600 ........................................................ 265 9.3. Charakterystyki czasowe i częstotliwościowe

układów automatyki .................................................................. 298

Wstęp Niniejszy skrypt zostal opracowany w ramach realizacji Programu Roz-wojowego Politechniki Warszawskiej współfinansowanego ze srodków PROGRAMU OPERACYJNEGO KAPITAŁ LUDZKI. Przeznaczony jest dla studentów studiów inzynierskich na kierunku „Edukacja tech-

niczno-informatyczna” na Wydziale Samochodów i Maszyn Roboczych Politechniki Warszawskiej.

KOncepcja opracowania rozdziałów 1-6 zakłada stopniowe opanowy-wanie zagadnień niezbędnych do znajomości i zrozumienia podstaw au-tomatyki jako bazy wyjściowj do podstaw sterowania układów regula-cji automatycznej, przedstawionych w rozdziałach 7 i 9. Rozdział 9zawiera opracowanie zestawu ćwiczeń laboratoryjnych jako podsumo-wanie i zastosowanie opracowanych w skrypcie zagadnień.

Opracowanie ma na celu ułatwienie studentom słuchanie wykładów z „Podstaw automatyki i sterowania” oraz uwolnienie ich od przenosze-nia do własnych notatek niektórych rysunków i wykresów oraz tablic. Materiał zawarty w skrypcie dotyczy zagadnień teoretycznych, podaje przykłady zadań rozwiązanych, a takŜe opracowanie podstawowych ćwiczeń laboratoryjnych.

Wszystko to będzie stanowić istotną pomoc w przygotowaniu słuchaczy do egzaminu, jeŜeli zostanie uzupełnione własnymi notatkami i komen-tarzami podczas wykładów. NaleŜy pamiętać, Ŝe wykład połączony z moŜliwością wyjaśnienia powstałych wątpliwości, daje, szanse dobre-go opanowania przedmiotu. Skrypt opracowany został na podstawie wy-kładów, ćwiczeń audytoryjnych i laboratoryjnych wcześniej prowadzo-nych na Wydziale. W większości przypadków, skrypt będzie słuŜył stu-dentom, dla których znajomość zagadnień z podstaw automatyki i stero-wania jest w przyszłej praktyce inŜynierskiej konieczna do właściwej współpracy z automatykami – specjalistami. Na technologach i kon-struktorach spoczywać będzie obowiązek dostarczania niezbędnych in-formacji o własnościach statycznych i dynamicznych automatyzowanych obiektów, nadzoru nad przebiegiem zautomatyzowanych róŜnych proce-sów. Spełnienie tych zadań wymaga znajomości układów automatyki,

ich zasad działania, operowania schematami blokowymi i podstawo-wymi charakterystykami elementów i układów automatyki. Całość mate-riałów pomocniczych podanych w niniejszym skrypcie uzupełniają jesz-cze opracowane przez pracowników Zespołu Mechaniki i Teorii Maszyn Wydziału SiMR skrypty „Podstawy teorii maszyn i automatyki” (autor: Tadeusz Kołacin, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 2005), ”Ćwiczenia laboratoryjne z podstaw automatyki i teorii maszyn” (praca zbiorowa pod redakcją Tadeusza Kołacina, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 1999), „Zbiór zadań do ćwiczeń z podstaw automatyki i teorii maszyn” (autorzy: Tadeusz Kołacin, Andrzej Kosior, Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej, 1990).

Zadaniem autora niniejszego skryptu nie jest nauczenia studentów pro-jektowania układów automatyki, czy projektowania maszyn i urządzeń, bowiem sumaryczny czas zajęć z tego przedmiotu (30h) jest ograni-czony, a jedynie jak juŜ wspomniano zapoznanie ich z podstawowymi pojęciami dotyczącymi podstaw automatyki i sterowania. Jest to nie-zbędny warunek, aby student po wysłuchaniu wykładu potrafił postawić rozsądnie problem specjaliście inŜynierowi automatykowi.

Autor będzie wdzięczny za wszelkie uwagi dotyczące sposobu ujęcia treści i tematu niniejszego skryptu.

1 Wprowadzenie do podstaw automatyki

ROZDZIAŁ 1

Strona 10101010

1.1. Pojęcia podstawowe

Podstawy automatyki ze względu na bardzo szeroki zakres zastosowań są wyodrębnioną dyscypliną naukową o własnych pojęciach podstawo-wych dotyczących tej dziedziny wiedzy. Pojęcia te są ogólne, wynika-jące ze specyfiki rozwaŜanych zagadnień jak sygnał, jego przesyłanie, informacja, element automatyki, obiekt sterowania, regulator, układy ka-skadowe, bilansowe i wiele innych. Aby więc moŜna było omawiać układy sterowania automatycznego, naleŜy podać waŜniejsze z tych po-jęć.

Element automatyki jest to układ, w którym wyróŜniamy jeden lub wiele sygnałów wejściowych i wyjściowych (rysunek 1.1).

Rysunek1.1. Element automatyki: a) jednowymiarowy,

b) wielowymiarowy

Sygnał jest to wielkość fizyczna występująca w procesie sterowania, bę-dąca nośnikiem informacji (rysunek1.2).

Informacja jest to wartość lub kształt przebiegu sygnału.

WPROWADZENIE DO PODSTAW AUTOMATYKI

Strona 11111111

Sygnał zakłócający jest to sygnał, który moŜe być generowany wewnątrz układu i wywiera niekorzystny wpływ na sygnał wyjściowy. Zakłócenie zewnętrzne jest generowane poza układem i jest sygnałem wejściowym.

Obiekt sterowania (rysunek 1.2) jest to kaŜdy obiekt fizyczny, który ma być sterowany (układ zasilania silnika, piec hartowniczy, reaktor, statek, samolot itp.). Obiektem sterowania moŜe być takŜe proces prowadzący do konkretnego wyniku (proces chemiczny, technologiczny, biologiczny itp.)

Rysunek 1.2. Schemat obiektu regulacji

Zmienne nastawiane są to wielkości lub warunki, które mogą być zmieniane przez sterownik tak, aby osiągnąć wartość zmiennej sterowa-nej (sygnał wyjściowy).

Zmienne sterowane są to wielkości lub warunki, które mogą być mie-rzone i sterowane.

Układ automatyki jest to zespół wzajemnie połączonych elementów biorących udział w sterowaniu automatycznym procesu.

Sterowanie automatyczne jest to oddziaływanie na obiekt lub proces w sposób zamierzony, którego przebieg chcemy otrzymać bez udziału człowieka. Zamierzony cel moŜna uzyskać za pomocą urządzeń zwa-nych aparaturą automatyki.

WyróŜniamy dwa zasadnicze sposoby sterowania:

• sterowanie w układzie otwartym (otwarte układy sterowa-nia),

• sterowanie w układzie zamkniętym (sprzęŜenie zwrotne ujemne lub dodatnie).

Ogólny schemat otwartego układu sterowania przedstawia rysunek 1.3.

ROZDZIAŁ 1

Strona 12121212

Rysunek 1.3. Schemat blokowy otwartego układu sterowania

w – wartość zadana wielkości sterowanej (sygnał wymuszający),

US – urządzenie sterujące,

OS – obiekt lub proces podlegający sterowaniu,

u – sygnał sterujący, (sygnał nastawiający),

y – wielkość sterowana, wyjściowa (sygnał sterowany),

21 z,z − sygnały zakłócające (zakłócenia).

W otwartym układzie sterowania sygnał wyjściowy nie jest porówny-wany, mierzony ani podawany zwrotnie, dla porównania z sygnałem wejściowym. W przypadku zakłóceń układ nie będzie wykonywał Ŝad-nego zadania. KaŜdy układ działający na bazie czasowej jest układem otwartym (zwykła pralka, układ sterowania światłami ulicznymi itp.).

Urządzenie sterujące jest elementem, w którym wytwarza się sygnał na-stawiający nie otrzymując informacji o wartości wielkości regulowanej. Sterowanie w układzie otwartym ma sens wtedy, gdy na podstawie zna-jomości sygnału sterującego moŜna dokładnie przewidzieć przebieg wielkości sterowanej. Do takich układów otwartych naleŜą układy z kompensacją zakłóceń, gdzie urządzenie sterujące moŜe otrzymać pewne informacje o zakłóceniach.

Zamknięty układ sterowania (układ regulacji automatycznej), nazywany często układem ze sprzęŜeniem zwrotnym, ma następujący ogólny schemat blokowy przedstawiony na rysunku 1.4.


Strona 13131313

Rysunek 1.4. Schemat blokowy zamkniętego układu sterowania (układu

regulacji)

ywe −= , jest uchybem regulacji (odchyłka sterowania),

• − węzeł informacyjny, którego wszystkie wejścia i wyjścia są sobie równe,

− węzeł sumacyjny, który ma tylko jedno wyjście i co najmniej

dwa wejścia, przy czym sygnał wyjściowy jest sumą sygnałów wejściowych z uwzględnieniem odpowiednich znaków.

Tor główny wskazuje zawsze zasadniczą wielkość wejściową układu (w tym przypadku - w) i wielkość wyjściową y. Tor ten ilustruje zwykle przepływ głównego strumienia energii lub materiału w układzie. Tor sprzęŜenia zwrotnego słuŜy do przekazywania informacji. Sterowanie ze sprzęŜeniem zwrotnym nazwane jest regulacją, zaś układy regulacji lub układy sterowania w układzie zamkniętym są układami sterowania ze sprzęŜeniem zwrotnym. Przykładem moŜe być regulacja temperatury w pokoju, samochodzie, wagonie itp. niezaleŜnie od warunków zewnętrznych. W układzie zamkniętym odpowiedź układu jest stosun-kowo niewraŜliwa na zewnętrzne zakłócenia i wewnętrzne zmiany pa-rametrów układu automatyki.

1.2. Klasyfikacja układów automatyki

Kryteria podziału układów automatyki mogą być bardziej lub mniej ogólne ze względu na zadania, jakie spełniają układy automatycznego sterowania, w zaleŜności od wartości zadanej w, ze względu na liczbę

ROZDZIAŁ 1

Strona 14141414

zmiennych sterowanych, ze względu na rodzaj elementów, z jakich układ się składa, ze względu na sposób pomiaru wielkości sterowanej oraz regulacji, przekazywania sygnałów i inne (ekstremalne, samostra-jalne, samooptymalizujące).

Ze względu na realizowane zadania układy dzielimy na:

• układy stabilizacji,

• układy programowe,

• układy nadąŜne (śledzące),

• adaptacyjne (ekstremalne, samostrajalne, samooptymalizu-jące).

Ad a). Układy stabilizujące (układy regulacji stałowartościowej), w=const. Zadaniem układu jest utrzymanie moŜliwie stałej, podanej wartości wielkości wyjściowej oraz minimalizacja wpływu zakłóceń na tę wielkość. Główne zakłócenia mogą wchodzić wraz ze strumieniem energii lub materiału na obiekt, tworząc tor główny od z1 do y (rysu-nek 1.4).

Ad b). Układy programowe (regulacji programowej, sterowania progra-mowego), wartość zadana w = w(t) jest z góry określoną funkcją czasu, czyli zmieniającą się według pewnego programu. Układy tego typu czę-sto stosowane są w obróbce cieplnej, obrabiarkach sterowanych nume-rycznie i wielu innych maszynach oraz urządzeniach.

Zadaniem układu jest uzyskanie przewidzianych określonym programem czasowym zmian wielkości regulowanej (sterowanej). Dla powolnych zmian w(t), moŜe być np. regulacja temperatury w budynku.

Ad c). Układy nadąŜne (serwomechanizmy), w=w[f(t)]. Zadaniem układu jest nadąŜanie wielkości wyjściowej y za zmieniającą się w nie-znany nam sposób wartością zadaną w.

Przykłady: sterowanie połoŜeniem y dział przeciwlotniczych wg wska-zań radaru określającego połoŜenie samolotu, sterowanie połoŜeniem anten radiowych.

Ad d). Sterowanie adaptacyjne (ekstremalne, autostrojące, autoptymali-zujące) jest to sterowanie obiektem o zmieniających się właściwościach dynamicznych i zakłóceń, w trakcie, którego przeprowadza się estymację parametrów modelu obiektu i zakłóceń w celu uaktualnienia parametrów algorytmu sterowania.


Strona 15151515

Ze względu na rodzaj elementów, z jakich składa się układ, wyróŜniamy:

Układy liniowe – zbudowane tylko z elementów liniowych, opisanych liniowymi równaniami róŜniczkowymi o stałych współczynnikach. Elementy te mają prostoliniowe charakterystyki statyczne.

Układy nieliniowe – zawierają, co najmniej jeden element nieliniowy i moŜna je opisać równaniem róŜniczkowym nieliniowym. Przykładem układu nieliniowego mogą być przekaźniki i regulatory dwu i trójpołoŜe-niowe.

Ze względu na sposób pomiaru wielkości regulowanej, układy dzielimy na:

Układy analogowe – wielkość regulowana mierzona jest w sposób cią-gły, zaś wynik pomiaru przedstawiany jest w postaci ciągłej zmiany wielkości fizycznej, związanej z wielkością regulowaną, określoną jed-noznaczną zaleŜnością funkcyjną. Przykładem są przyrządy wskazów-kowe, manometry, termometry.

Układy cyfrowe – wielkość zadana podawana jest w postaci cyfrowej. W procesach fizycznych wielkości regulowane zmieniają się w sposób ciągły w czasie, a więc w układach cyfrowych występują elementy prze-kształcające sygnał analogowy na sygnał cyfrowy (przetworniki analo-gowo-cyfrowe AC i cyfrowo-analogowe CA).

Ze względu na sposób przekazywania sygnałów, układy dzielimy na:

Układy regulacji ciągłej – wszystkie elementy układu działają w sposób ciągły i mogą przyjmować kaŜdą wartość z przedziału zmienności sy-gnału. Takimi elementami są mierniki wskazówkowe (ciśnieniomierze, voltomierze, amperomierze, manometry, termometry).

Układy regulacji dyskretnej (przerywanej) – układy, w których co najmniej jeden element pracuje w sposób dyskretny. Wysłane sygnały przez taki element mogą przyjmować tylko wybrane wartości i wystę-pować w pewnych chwilach czasu. Układy tego typu moŜna opisać rów-naniami róŜnicowymi. Przykładem tego typu układu są układy impul-sowe, przekaźnikowe (np. sterowanie przerywaną pracą wycieraczek samochodowych).

ROZDZIAŁ 1

Strona 16161616

1.3. Właściwości liniowych układów automatyki

Jak juŜ powiedziano, właściwości dynamiczne liniowych elementów lub układów automatyki moŜna opisać liniowym równaniem róŜniczkowym o stałych współczynnikach. Dotyczy to tylko układów stacjonarnych (niezmiennych w czasie).

Układy rzeczywiste zwykle są nieliniowe, ale dla uproszczenia opisu matematycznego przeprowadza się ich linearyzację, co pozwala na sfor-mułowanie przybliŜonego opisu liniowego, odnoszącego się do otocze-nia wybranego punktu pracy na charakterystyce statycznej. Po linearyza-cji układy opisywane są za pomocą liniowych równań róŜniczkowych o stałych współczynnikach ii bia .

Matematyczne modele opisu zjawisk fizycznych są zawsze przybliŜe-niem ich rzeczywistego charakteru. W przypadku elementów i układów automatyki, które charakteryzują przebieg procesu, zachodzącego w roz-patrywanym elemencie lub układzie w postaci zaleŜności pomiędzy sy-gnałem wejściowym i wyjściowym są równaniami otrzymanymi w wy-niku analizy zjawisk zachodzących w danym elemencie. Równania te są równaniami liniowymi algebraicznymi, róŜniczkowymi, róŜnicowymi lub mogą być równaniami nieliniowymi, które moŜna zlinearyzować, czyli zastąpić je przybliŜonymi równaniami liniowymi. Tego rodzaju przybliŜenie dla celów praktycznych moŜe być wystarczające.

Proces linearyzacji jest, więc tworzeniem modelu liniowego, który po-przez aproksymację zastępuje model nieliniowy. WyróŜniamy dwie pod-stawowe linearyzacje tj. linearyzację statyczną (linearyzacja równań algebraicznych) i linearyzację dynamiczną (linearyzacja równań róŜ-niczkowych). Jedną ze znanych metod linearyzacji jest rozwinięcie nie-liniowych funkcji w szereg Taylora w otoczeniu punktu pracy odpowia-dającemu stanowi ustalonemu (równowagi). Dla stanu ustalonego, po-chodne cząstkowe są stałe.

Ogólna postać równania róŜniczkowego układu liniowego:


Strona 17171717

ubdt

udb

dt

udb

yadt

yd

dt

yda

dt

yda

m

m

mm

m

m

n

n

n

n

nn

n

n

01

1

1

02

2

1

1

1

...

...

+++=

=++++

−

−

−

−

−

−

−

−

mn ≥ (1.1)

gdzie: y – sygnał wyjściowy, u – sygnał wejściowy, ji bia - stałe

współczynniki równania róŜniczkowego ( mj0,ni0 ≤≤≤≤ )

Dla wszystkich układów rzeczywistych wszystkie elementy rzeczywiste mają charakter inercyjny, stąd mn ≥ .

Równanie charakterystyki statycznej (wszystkie pochodne funkcji wej-ścia i wyjścia są zerowe) wynikające z równania róŜniczkowego (1.1) ma postać

ua

by

0

0= (1.2)

Charakterystyka statyczna układu liniowego lub zlinearyzowanego w otoczeniu nominalnego punktu pracy (u,y są odchyłkami od tego punktu) ma postać:

Rysunek 1.5. Charakterystyka statyczna

Początek układu współrzędnych oznacza nominalny punkt pracy, a syg-nały wejścia u i wyjścia y są odchyłkami sygnałów od tego punktu.

Aby ocenić właściwości dynamiczne na podstawie przebiegów przej-ściowych (nieustalonych) naleŜy rozwiązać równanie (1.1). Po rozwią-zaniu otrzymamy odpowiedź na wyjściu y(t) na zadany sygnał na wej-ściu u(t). Najczęściej jest to skok jednostkowy ( ) ( )t1tu = .

ROZDZIAŁ 1

Strona 18181818

1.4. Sygnały w układach automatycznej regulacji

Przekazywanie informacji pomiędzy elementami układu w kaŜdym układzie sterowania odbywa się za pośrednictwem sygnałów w postaci przebiegów zmian określonej wielkości fizycznej (wielkość nośna). Wielkością nośną moŜe być temperatura, siła, ciśnienie, napięcie, prze-mieszczenie itd. Do przekazywania informacji zawartej w sygnale mogą być wykorzystywane róŜne cechy wielkości nośnej jak częstotliwość, szerokość pasma impulsów, wartość amplitudy itp.

Do badania właściwości dynamicznych i porównywania ze sobą róŜnych układów automatyki stosuje się na wejściu róŜnego rodzaju wymuszenia u(t). Najczęściej uŜywanymi sygnałami wymuszającymi, podawanymi na wejściu układu są sygnały dyskretne, impulsowe i ciągłe. Sygnały dyskretne (rysunek 1.6) są sygnałami określonymi tylko dla pewnego przeliczalnego ciągu chwil czasowych ( )n321 t,...t,t,tt = . Zmienna t

nazywana jest zmienną dyskretną.

Wymuszenie jednostkowe 1(t) (skok jednostkowy, lub funkcja Heavi-side’a) (rysunek 1.6a) definiuje się następująco

( ) .01

,001

≥

⟨=

tdla

tdlat (1.3)

JeŜeli wymuszenie jednostkowe przełoŜone jest w chwili 0t1⟩ (rysu-nek 1.6b), wówczas definicja jest następująca

( )

≥

⟨=−

.ttdla1

,ttdla0tt1

1

1

1 (1.4)


Strona 19191919

Rysunek 1.6. Sygnały dyskretne (wymuszenia skokowe) a) skok jednostkowy, b) skok jednostkowy z przesunięciem, c) skok o dowolnej

wartości, d) impulsowa funkcja jednostkowa (funkcja Diraca)

Wymuszenie skokowe o dowolnej wartości (rysunek 1.6c) definiuje się następująco

( ) ( )

≥

⟨==

.0tdlau

,0tdla0ut1tu

st

st (1.5)

Wymuszenie skokowe o dowolnej wartości moŜe być takŜe przesunięte w czasie jak skok jednostkowy (rysunek 1.6b).

Wymuszenie w postaci funkcji Diraca (rysunek 1.6d)

Impuls Diraca (impuls jednostkowy) moŜna zdefiniować jako granicę jednej z przedstawionych na rysunku 1.8 funkcji impulsowych przy

0→α .

( ) ( ) 0i tlimt →↓= α∆δ ,

( )

=

≠=

.0tdlanenieokreśie

,0tdla0tδ (1.6)

Zatem

( ) 1dtt =∫∞

∞−

δ , (1.7)

ROZDZIAŁ 1

Strona 20202020

Stąd

( ) ( )dt

t1dt =δ . (1.8)

A więc skok jednostkowy moŜna traktować jako funkcję pierwotną im-pulsu jednostkowego

( ) ( ) .dt1

t

ττδ∫∞−

= (1.9)

Rysunek 1.7. Sygnały ciągłe: e) sygnał liniowy (wymuszenie liniowe),

f) sygnał wykładniczy określony dla 0i0t ⟨≥ α (wymuszenie

wykładnicze)

Rysunek 1.8. Sygnały impulsowe: g) określony dla α⟨⟨t0 ,

h) określony dla 2t2 αα ⟨⟨−

Wymuszenie liniowe (rysunek 1.7e) moŜemy zdefiniować następująco

( )

⟩

⟨=

.0tdlaat

,0tdla0tu (1.10)

Nazwę uzasadnia pierwsza pochodna tej funkcji względem czasu i jest wymuszeniem skokowym o wartości a.


Strona 21212121

Wymuszenie wykładnicze (rysunek 1.7 f) definiujemy w następujący sposób

( )

≥

⟨=

.0tdlae

,0tdla0tu

tαξ (1.11)

Korzystając z zapisu skoku jednostkowego, wzór (1.11) moŜna zapisać następująco

( ) ( )t1etut ⋅= αξ . (1.12)

Podczas procesów przejściowych równieŜ, gdy występuje zakłócenie lub zmiana wartości zadanej, pojawiają się sygnały, które moŜna uwaŜać za równe zeru przy t<0. Sygnał taki określa wzór (1.11) i przedstawiony jest na rysunku 1.7 f).

Wymuszenie impulsowe (rysunek 1.8) definiujemy następująco

Wszystkie sygnały impulsowe ( )ti∆ mają następujące właściwości

( )∫∞

∞−

= 1dtti∆ , dla kaŜdego α (rysunek 1.8)

( )

=∞

≠=→↓

.0tdla

,0tdla0tlim 0i α∆ (1.13)

1.5. Zasady rachunku operatorowego

Do opisu właściwości elementów i układów automatyki słuŜą równania róŜniczkowe. Rozpatrywać będziemy tylko układy liniowe opisywane równaniami róŜniczkowymi o stałych współczynnikach (elementy i układy stacjonarne). Do rozwiązywania równań róŜniczkowych wyko-rzystamy rachunek operatorowy wykorzystując przekształcenia La-place’a. Dzięki tej metodzie otrzymamy równania algebraiczne będące funkcją zmiennej zespolonej s=a+jb (a – część rzeczywista, b – część urojona). Po dokonaniu tych przekształceń, moŜemy powrócić do dzie-

ROZDZIAŁ 1

Strona 22222222

dziny czasowej otrzymując rozwiązania wyjściowego równania róŜnicz-kowego. Przekształcenie Laplace’a funkcji f(t) zwanej oryginałem, przyporządkowujemy uŜywając odpowiednich matematycznych prze-kształceń, nową funkcję F(s) zmiennej zespolonej s zwanej transformatą funkcji f(t). Relacja pomiędzy transformatą a oryginałem jest następująca

( ) ( ) dtetfsFst

0

−∞

∫= , (1.14)

Transformacji odwrotnej dokonujemy korzystając ze wzoru

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tfLsFsFLdsesFj2

1tf

1st

0

=→== −∞

∫Π. (1.15)

ω jest częstością kołową

PoniŜej podamy kilka podstawowych, najczęściej uŜywanych wzorów z rachunku operatorowego, opartego na przekształceniu Laplace’a.

Transformata iloczynu stałej przez funkcję

( )[ ] ( )saFtafL = , (1.16)

Transformata sumy

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )sFsFsFsF

tftftftfL

n

n

.....

....

321

321

+++=

=+++, (1.17)

Transformata pochodnych

( ) ( ) ( )0fssF

dt

tdfL −=

, (1.18)

( ) ( ) ( ) ( )0f0sfsFs

dt

tfdL

'2

2

2

−−=

, (1.19)

Wzór ogólny ma postać

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0f......0fs0fssFs

dt

tfdL

1n'2n1nn

n

n−−− −−−−=

.(1.20)


Strona 23232323

Praktycznie najczęściej przyjmujemy zerowe warunki początkowe, wówczas korzystamy ze wzoru (1.20) w uproszczonej postaci

( ) ( )sFs

dt

tfdL

n

n

n

=

. (1.21)

Twierdzenie o wartości początkowej

( ) ( ) ∞→↓→↓ = s0t ssFlimtflim , (1.22)

Twierdzenie o wartości końcowej

( ) ( ) 0st ssFlimtflim →↓∞→↓ = . (1.23)

Z podanych wzorów (1.16-1.22) wynika, Ŝe równania róŜniczkowo cał-kowe po dokonaniu transformacji zostają zastąpione równaniami alge-braicznymi zmiennej zespolonej s. Znając transformatę dzięki twierdze-niu o wartości początkowej i końcowej, (kiedy istnieją granice) moŜna określić niektóre własności oryginału bez wykonywania transformacji odwrotnej.

Najczęściej spotykane funkcje f(t) i odpowiadające im transformaty są zestawione w tablicy transformat. Trudność stanowić moŜe doprowa-dzenie złoŜonych funkcji do postaci sumy prostszych składników, mają-cych swoje odpowiedniki w tablicy. Wówczas funkcję naleŜy rozłoŜyć na ułamki proste i po obliczeniu współczynników korzystać z tablicy.

Przykład 1.1

Rozwiązać równanie róŜniczkowe ( )t1y2y3y2 =++ &&& uwzględniając

warunki początkowe dla ( ) ( ) 20y,50y,0t === & . Określić równieŜ

rozwiązanie w stanie ustalonym ( )∞→t .

Rozwiązanie

Stosując przekształcenie Laplace’a otrzymamy

( ) ( ) ( )0yssy

dt

tdy−= ,

( ) ( ) ( ) ( ).

dt

0dy0sysys

dt

tyd 2

2

2

−−=

( )[ ] ( )[ ] ( )s

1sy22ssy35s2sys2 2 =+−+−−

ROZDZIAŁ 1

Strona 24242424

Wyznaczając z powyŜszego równania transformatę otrzymamy

( )1s3s2

1s5s2

s

1sy

2

2

++

++⋅= ,

Otrzymana funkcja jest dość złoŜona, więc z tablic Laplace’a nie moŜna bezpośrednio określić transformaty. NaleŜy ( )sy rozłoŜyć na ułamki proste, zatem

5.0s,1s01s3s2 21

2 −=−=→=++ .

( )

( ) ( )( )( )5.01

5.05.05.1

5.01132

1521

2

2

2

++

++++++=

=+

++

+=++

++⋅=

sss

ACBAsCBAs

s

C

s

B

s

A

ss

ss

ssy

stąd porównując liczniki obu stron równań otrzymamy układ równań al-gebraicznych, czyli

( ) ( )

=

=++

=++

→

++++++=++

15.0

55.05.1

2

,5.05.05.1152 22

A

CBA

CBA

CBAsCBAsss

Rozwiązując powyŜszy układ trzech równań algebraicznych otrzymamy

8C,8B,2A =−== ,

Ostatecznie funkcję ( )sy moŜemy przedstawić w postaci ułamków pros-tych

( )5.0s

8

1s

8

s

2sy

++

+−= ,

Z tablic Laplace’a otrzymamy oryginał funkcji ( )ty

( ) ( )[ ]t5.0tt5.0t ee412e8e82ty −−−− −−=+−= .

W stanie ustalonym otrzymamy


Strona 25252525

( ) ( )[ ] 2ee412limty t

t5.0t

.ust =−−= ∞→↓−− .

Tablica transformat

ROZDZIAŁ 1

Strona 26262626

c.d. tablicy transformat


Strona 27272727

1.6. Transmitancja operatorowa i jej właściwości

Właściwości dynamiczne ilustruje się zwykle wyznaczając przebieg wielkości wyjściowej y(t) po wprowadzeniu na wejście jednego z typo-wych wymuszeń u(t) (rysunek 1.2-1.4). Metoda operatorowa pozwala zastąpić równanie róŜniczkowe tzw. transmitancją operatorową.

Transmitancja operatorowa (funkcja przejścia) jest definiowana jako stosunek transformaty Laplace’a sygnału wyjściowego (funkcji odpo-wiedzi) do transformaty Laplace’a sygnału wejściowego (funkcji wymu-szającej), przy zerowych warunkach początkowych.

Transmitancja elementu lub układu ma postać

( ) [ ][ ]uL

yLsG = , (1.24)

Dokonując przekształceń Laplace’a równania (1.1) otrzymamy

( ) ( )

( ) ( )subsbsbsb

syasasasasa

m

m

m

m

n

n

n

n

n

n

011

1

012

21

1

...

...

++++=

=+++++−

−

−−

−− , (1.25)

stąd

( ) ( )( )

012

21

1

011

1

...

...

asasasasa

bsbsbsb

su

sysG

n

n

n

n

n

n

m

m

m

m

+++++

++++=

==

−−

−−

−−

. mn ≥ (1.26)

PoniewaŜ transmitancja operatorowa opisuje właściwości elementu, obiektu lub układu automatyki, przyjęto wpisywać ją wewnątrz prosto-kątów (rysunek 1.9).

ROZDZIAŁ 1

Strona 28282828

Rysunek 1.9. Symbol graficzny elementu, obiektu lub układu automatyki

Przy zerowych warunkach początkowych i zerowej wartości s z równa-nia (1.26) otrzymamy końcowe równanie charakterystyki statycznej dla układów o jednym wejściu i jednym wyjściu, czyli

( ) ( )( ) 0

0

00

0

0

0

00s u

a

by

a

b

su

sysG =→===↓ . (1.27)

Równanie (1.27) odpowiada dokładnie równaniu (1.2).

Transmitancję operatorową stosujemy tylko do równań róŜniczkowych liniowych i niezmiennych w czasie.

Właściwości transmitancji operatorowej są następujące:

• jest właściwością samego układu, niezaleŜną od wielkości i rodzaju sygnału wejściowego,

• transmitancje dla wielu fizycznie róŜnych układów mogą być identyczne,

• transmitancja zawiera niezbędne składniki do przedstawienia związku pomiędzy sygnałami wyjściowymi i wejściowymi nie dostarczając Ŝadnej informacji dotyczącej fizycznej struktury układu,

• jeŜeli znamy transmitancję układu to moŜemy określić sy-gnał wyjściowy (odpowiedź) dla róŜnych sygnałów wej-ściowych,

• transmitancja operatorowa opisuje układ tak samo dokładnie jak równanie róŜniczkowe,

• równanie charakterystyki statycznej moŜna otrzymać z transmitancji operatorowej przez podstawienie w miejsce s=0,

• mianownik transmitancji operatorowej przyrównany do zera jest równaniem charakterystycznym układu automatyki.


Strona 29292929

0asa...sasasa 01

2n

2n

1n

1n

n

n =+++++ −−

−− . (1.28)

Przykład 1.2

Do układu elektrycznego, którego transmitancja jest ( )1

1

+=

ssG do-

prowadzone jest napięcie ( ) t4cos10tu = . Obliczyć napięcie wyjściowe w funkcji czasu

Rozwiązanie

Sygnał wyjściowy moŜna wyznaczyć z zaleŜności

( ) ( ) ( )susGsy ⋅= , ( ) [ ]22

4s

s10t4cos10Lsu

+== .

Tak, więc

( )22 4

10

1

1

+⋅

+=

s

s

ssy ,

Po rozłoŜeniu prawej strony powyŜszego równania na ułamki proste otrzymamy

( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

,116

16

116

161

11610

2

2

2

2

2

++

+++++=

=++

++++=

++

+

+=

ss

BBAsCAs

ss

sCsBAs

s

C

s

BAss

.6C,0B,6A

.0B

,1016BA

,0CA

==−=→

=

=++

=+

Zatem

ROZDZIAŁ 1

Strona 30303030

( )

( ) ( )tess

sLty

ss

ssy

t 4cos61

6

16

6

,1

6

16

6

21

2

−=

+

++

−=→

++

+−=

−−

.

`

2 Charakterystyki liniowych elementów I układów automatyki

ROZDZIAŁ 2

Strona 32323232

2.1. Wprowadzenie

Analizę układu sterowania rozpoczyna się zwykle od budowy matema-tycznego modelu układu. Analizując i projektując układy sterowania naleŜy pamiętać o porównywaniu ich właściwości poprzez wykorzysta-nie sygnałów testowych z tego względu, Ŝe istnieje korelacja pomiędzy odpowiedziami układu na typowy sygnał wejściowy a zdolnością układu do radzenia sobie z rzeczywistymi sygnałami wejściowymi. Podstawowe sygnały testowe są omówione w podrozdziale 1.4. Dla sygnałów testo-wych, z racji ich prostego opisu oraz wygenerowania, moŜna łatwo przeprowadzić analizę matematyczną i eksperymentalną układów stero-wania. O właściwościach układu decyduje charakterystyka statyczna (stan ustalony – wszystkie pochodne równania (1.1) są zerowe) i dyna-miczna (stan nieustalony). Dla elementów linearyzowanych jest to rów-nanie stycznej do charakterystyki rzeczywistej, gdzie początkiem układu współrzędnych jest punkt styczności zwany punktem pracy, wokół któ-rego przeprowadzono linearyzację.

Właściwości dynamiczne określa się zwykle na podstawie przebiegu sy-gnału wyjściowego y(t) (odpowiedzi), zaleŜnego od sygnału wejścio-wego u(t) (wymuszenia). Wyznaczenie przebiegu dynamicznego, wy-maga rozwiązania równania róŜniczkowego, często nieliniowego. Jest to metoda bardzo kłopotliwa, dlatego w praktyce stosuje się aproksymację poprzez linearyzację otrzymując równanie liniowe. Metoda ta jest jednak uciąŜliwa, polega na wyprowadzeniu równania charakterystycznego układu, obliczeniu pierwiastków tego równania, wyznaczeniu stałych całkowania z warunków początkowych.

W automatyce stosowana jest powszechnie metoda operatorowa, po-zwalająca zastąpić równania róŜniczkowo-całkowe zwykłymi równa-niami algebraicznymi przy wykorzystaniu przekształcenia Laplace’a.

CHARAKTERYSTYKI LINIOWYCH ELEMENTÓW I UKŁADÓW AUTOMATYKI

Strona 33333333

2.2. Charakterystyki czasowe (skokowe)

Przez charakterystykę czasową naleŜy rozumieć wykres powstały z roz-wiązania równania róŜniczkowego (1.1) przy wymuszeniu skokowym (pochodne tej funkcji są zerowe) i zerowych warunkach początkowych (połoŜenie równowagi). Wówczas równanie róŜniczkowe (1.1) przyj-muje postać

ubya...dt

yd

dt

yda

dt

yda 002n

2n

1n

1n

1nn

n

n =++++ −

−

−

−

− . (2.1)

W odniesieniu do układów jednowymiarowych, charakterystyki czasowe dają moŜliwość bezpośredniej oceny układu sterowania, poniewaŜ charakterystyka czasowa jest przebiegiem w czasie odpowiedzi układu dynamicznego y(t) na określone wymuszenie u(t).

Przejście układu stabilnego od połoŜenia równowagi y=0 po przyłoŜeniu na wejściu układu wymuszenia jednostkowego, spowoduje zajęcie no-

wego połoŜenia równowagi 0

0

a

by = zaleŜy od parametrów układu, czyli

od współczynników równania (2.1). Charakterystyka czasowa opisuje więc stan przejściowy układu, który moŜe mieć charakter oscylacyjny zaleŜnie od współczynników równania (2.1).

2.3. Charakterystyki częstotliwościowe

JeŜeli na wejście elementu lub układu liniowego stabilnego wprowa-dzone zostanie wymuszenie sinusoidalne o stałej częstotliwości, to na wyjściu, po zaniknięciu przebiegu przejściowego, ustali się odpowiedź sinusoidalna o tej samej częstotliwości, ale w ogólnym przypadku, o in-nej amplitudzie i fazie niŜ wymuszenie. Analizę układu sterowania roz-poczyna się zwykle od budowy matematycznego modelu układu. Na ry-

ROZDZIAŁ 2

Strona 34343434

sunku 2.1 przedstawiono przypadek, gdy odpowiedź jest przesunięta w kierunku ujemnym względem wymuszenia, tzn. ϕ (ω ) < 0 .

Rysunek 2.1. Przechodzenie sygnału sinusoidalnego przez element

liniowy

ZaleŜności na sygnał wymuszający u (wejściowy) i odpowiedzi (wyj-ściowy) y są następujące

( ) tsinAu 1 ωω= , (2.2)

( ) ( )[ ]ωϕωω += tsinAy 2 . (2.3)

Charakterystyki częstotliwościowe określają zachowanie się elementu lub układu przy wszystkich częstotliwościach wymuszenia, poprzez sto-sunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia oraz przesunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem jako funkcje częstotliwości. Teo-retyczną podstawę charakterystyk częstotliwościowych stanowi trans-mitancja widmowa, którą moŜna uwaŜać za szczególny przypadek transmitancji operatorowej:

( ) ( ) ( ) ( )ωϕω ωω j

js eAjGsG ===↓ , (2.4)

którą często się definiuje następująco

( )u

yjG =ω , (2.5)

gdzie y jest wartością zespoloną składowej ustalonej odpowiedzi układu wywołanej wymuszeniem sinusoidalnym, a u wartością zespo-loną tego wymuszenia.


Strona 35353535

Wykorzystamy twierdzenie Eulera dla liczb zespolonych, mianowicie

tjte tj ωωω sincos += , (2.6)

JeŜeli na wejście elementu lub układu liniowego wprowadzimy wymu-szenie harmoniczne

( ) ( )[ ]tsinjtcosAeAu 1

tj

1 ωωωω ω +== , (2.7)

to na wyjściu ustali się odpowiedź harmoniczna

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( )[ ]{ },sincos2

2

ωϕωωϕωω

ω ωϕω

+++=

== +

tjtA

eAy tj

(2.8)

Zatem podstawiając za u i y parę odpowiadających sobie funkcji har-monicznych zapisanych w postaci wykładniczej otrzymamy

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )ωϕ

ω

ωϕω

ωω

ωω j

tj

1

jtj

2 eMeA

eeAjG == . (2.9)

gdzie: ( ) ( ) ( )ωωω 12 AAM = jest modułem charakterystyki często-tliwościowej (stosunkiem amplitud odpowiedzi do wymuszenia).

Wykres G( jω) nazywamy charakterystyką amplitudowo-fazową (ry-sunek 2.2a) lub wykresem transmitancji widmowej. Wykres ten jest miejscem geometrycznym końców wektorów, których długość repre-zentuje stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia, a kąt ( )ωϕ jest przesunięciem fazowym między odpowiedzią a wymuszeniem. Zamiast wykresu ( )ωjG moŜna podać oddzielne wykresy jego współrzędnych

biegunowych ( )ωjM i ( )ωϕ j , które nazywają się:

( ) ( )ωω jGM = − charakterystyka amplitudowa (rysunek 2.2b) (wy-

kres modułu charakterystyki częstotliwościowej),

( ) ( )ωωϕ jGarg= − charakterystyka fazowa (rys.2.2c) (wykres argu-mentu charakterystyki częstotliwościowej).

ROZDZIAŁ 2

Strona 36363636

Rysunek 2.2. Charakterystyki częstotliwościowe: a) charakterystyka

amplitudowo-fazowa, b) charakterystyka amplitudowa, c) charakterystyka fazowa

PoniewaŜ G( jω) jest funkcją zespoloną, moŜna rozłoŜyć ją na część rzeczywistą i część urojoną (współrzędne prostokątne G( jω)), czyli

( ) ( ) ( )ωωω jQPjG += , (2.10)

gdzie

( ) ( )[ ]ωω jGReP = − część rzeczywista ( )ωjG ,

( ) ( )[ ]ωω jGImQ = − część urojona ( )ωjG .

Z rysunku 2.2a) wynikają następujące związki, bardzo istotne przy ana-litycznym wyznaczaniu charakterystyk częstotliwościowych elementów i układów automatyki

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]22 ωωωωω QPjGAM +===

− spotykane oznaczenia w literaturze (2.11)

( ) ( ) ( )( )ωω

ωωϕP

QtgarcjGarg == (2.12)


Strona 37373737

2.4. Charakterystyki logarytmiczne

DuŜe znaczenie praktyczne logarytmicznych charakterystyk amplitudo-wej i fazowej wynika z łatwości ich budowania oraz wyznaczania cha-rakterystyki wypadkowej układu automatyki, złoŜonego ze znanych elementów liniowych połączonych szeregowo. Wypadkowa transmitan-cja widmowa ( )ωjG takiego układu jest równa iloczynowi transmitan-cji elementów składowych. Wówczas logarytmiczna charakterystyka amplitudowa i fazowa są algebraiczną sumą charakterystyk elementów składowych. Wprowadzenie logarytmicznych charakterystyk umoŜliwia zastąpienie mnoŜenia przez łatwiejszą operację dodawania. Zaletą sto-sowania tych charakterystyk jest takŜe to, Ŝe dla duŜej grupy elementów liniowych moŜna je zastępować asymptotycznymi (przybliŜonymi) skła-dającymi się z odcinków linii prostej.

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa ( )ωL przedstawia wykres zaleŜności między logarytmem dziesiętnym modułu transmitancji wid-mowej ( )ωM i częstości ω . Logarytm z modułu transmitancji widmo-

wej ( )ωM przyjęto podawać w dB. Charakterystyki logarytmiczne mają

oś odciętych wyraŜoną w skali logarytmicznej i nazywają się: ( )ωL −

logarytmiczna charakterystyka amplitudowa, ( )ωϕ − logarytmiczna charakterystyka fazowa.

Rysunek 2.3. Współrzędne logarytmicznych charakterystyk:

a) amplitudowej ( )ωL , b) fazowej ( )ωϕ

Współrzędne tych charakterystyk przedstawiono na rysunku 2.3. Po-działka osi ω jest logarytmiczna, dekadowa, tzn. kaŜdej dekadzie

ROZDZIAŁ 2

Strona 38383838

ω przyporządkowany jest odcinek o jednakowej długości na osi ω . Po-działka osi ( )ωL jest liniowa, skalowana w decybelach (dB).

Często na tej osi odkłada się bezpośrednio stosunek amplitud ( )ωM .

Podziałka osi ( )ωM jest wówczas logarytmiczna.

Wartości ( )ωL obliczamy według wzoru

( ) ( )ωω Mlg20L = . (2.13)

Przykład 2.1

Wyznaczyć równanie charakterystyki amplitudowo-fazowej elementu inercyjnego pierwszego rzędu, moduł i argument transmitancji widmo-wej oraz rzeczywiste przebiegi logarytmicznych charakterystyk amplitu-dowej i fazowej dla sekT 1.0= , 10k = . Transmitancja operatorowa

elementu inercyjnego jest następująca ( )1Ts

ksG

+= .

Rozwiązanie

NaleŜy obliczyć część rzeczywistą ( ) ( )[ ]ωω jGRP e= i urojoną

( ) ( )[ ]ωω jGIQ m= transmitancji widmowej wstawiając do transmitancji

operatorowej zamiast s wielkość ωj , a więc

Rysunek 2.4. Charakterystyka częstotliwościowa (amplitudowo-fazowa)

elementu inercyjnego pierwszego rzędu


Strona 39393939

( ) ( )( )( ) 2222 T1

kTj

T1

k

1Tj1Tj

1Tjk

1Tj

kjG

ωω

ωωωω

ωω

+−

+=

−+

−=

+= ,

Ogólne równanie charakterystyki amplitudowo-fazowej jest następujące

( )[ ] ( )[ ] ( ) 0T,,kfQP22 =±+ ωωω ,

Zatem jak na rysunku 2.4 część rzeczywista i część urojona jest

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]( )[ ] ( )[ ] ( )ωωω

ωω

ωω

ωωω

kPQP

.T1

kTjGIQ

,T1

kjGRP

22

22m

22e

−+→

+==

+==

.

Stąd korzystając z powyŜszego równania otrzymamy

( )[ ] ( )[ ] ( ) 04

k

4

kkPQP

2222 =−+−+ ωωω ,

PowyŜsze równanie moŜna zapisać w postaci

( )[ ] ( )4

k

2

kPQ

22

2 =

−+ ωω .

Jest to równanie okręgu o promieniu 2

kr = i przesuniętego od początku

układu współrzędnych o 2

k.

PoniewaŜ część urojona jest ujemna dla 0>ω , więc charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu inercyjnego pierwszego rzędu jest półokręgiem i leŜy pod osią ( )ωP .

Moduł transmitancji widmowej

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

.1

11

22

2

22

2

22

22

ω

ωω

ωωωωω

T

k

T

kT

T

kQPjGM

+=

=

+

+

+

=+==

ROZDZIAŁ 2

Strona 40404040

Rysunek 2.5. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu

inercyjnego pierwszego rzędu, linia ciągła – charakterystyka rzeczywista, linia przerywana – charakterystyka teoretyczna

Argument transmitancji widmowej

( ) ( ) ( )( )

ωωω

ωωϕ TtgarcP

QtgarcjGarg −=== .

Aby mierzyć moduł w decybelach, to charakterystykę amplitudową zapi-sujemy następująco

( ) ( )

( ) [ ].1lg10lg20

1lg20lg20

2

22

dBTk

T

kML

ω

ωωω

+−=

=+

==.

Charakterystykę przybliŜoną otrzymamy, gdy

[ ] klg20dBLT

1s =→=< ωω

i dla

[ ] ωωω Tlg20klg20dBLT

1s −=→=> .

−sω częstość drgań własnych


Strona 41414141

Rysunek 2.6. Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa elementu

inercyjnego pierwszego rzędu, 1 - rzeczywista, 2 - przybliŜona

Rysunek 2.7. Logarytmiczna charakterystyka fazowa elementu inercyjnego pierwszego rzędu, 1 - rzeczywista, 2 - przybliŜona

Przykład 2.2

Mając układ automatyki z elementem o transmitancji ( )1Ts

ksG

+=

gdzie sek2T,6k == , określić częstość ω począwszy, od której sto-

sunek amplitudy sygnału wyjściowego ( )sy do wejściowego ( )su nie będzie większy niŜ 3.

Rysunek 2.8. Schemat układu z elementem inercyjnym pierwszego

rzędu

Rozwiązanie

Moduł (amplituda) transmitancji operatorowej moŜna wyrazić wzorem

ROZDZIAŁ 2

Strona 42424242

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )( )

3sx

syQPjGM

22 ≤=+== ωωωω ,

NaleŜy wyznaczyć część rzeczywistą i urojoną z transmitancji widmowej ( )ωjG .

Transmitancja widmowa ( )ωjs = jest następująca

( ) ( )( ) ( ) 22T1

jkTk

1Tj1Tj

1Tjk

1Tj

kjG

ωω

ωωω

ωω

+

−=

−⋅+

−=

+= ,

( )22T1

kP

ωω

+= , ( )

22T1

kTQ

ωω

ω+

−= .

A więc

22

2

22

2

22T13k3

T1

kT

T1

kω

ωω

ω+=→≤

+

+

+

,

Podstawiając wartości za k i T otrzymamy

( ) [ ]s132

141936

2 ≥→+= ωω ,

Przykład 2.3

Wyznaczyć charakterystyki amplitudowo-fazową, logarytmiczne ampli-tudową i fazową dla elementu oscylacyjnego opisanego transmitancją

operatorową ( )1Ts2sT

10sG

22 ++=

ξ.

Rozwiązanie

JeŜeli współczynnik tłumienia 1>ξ , wówczas pierwiastki równania charakterystycznego (mianownik) są rzeczywiste i ujemne zaś przebieg odpowiedzi jest aperiodyczny, dąŜący asymptotycznie do ustalonej wartości. Gdy 1=ξ (wartość graniczna), wtedy mamy przypadek szczególny tzw. tłumienia krytycznego. Charakter odpowiedzi jest rów-nieŜ aperiodyczny, ale najkrócej trwający.


Strona 43434343

Zajmiemy się przypadkiem charakterystycznym dla elementów oscyla-cyjnych, dla którego pierwiastki mianownika są liczbami zespolonymi i sprzęŜonymi.

Transmitancja widmowa otrzymana z operatorowej jest następująca

( )

( )( )[ ]( ) ,

21

21

21

10

12

10

22

22

22

22

jTT

jTT

jTT

jTTjG

ωξωωξω

ωξω

ωξωω

−−−−

⋅+−

=

=++−

=

( ) ( )( ) ( ) 222222222222

22

T4T1

T20j

T4T1

T110jG

ωξω

ωξ

ωξω

ωω

+−−

+−

−= .

Stąd

( ) ( )( ) 222222

22

T4T1

T110P

ωξω

ωω

+−

−= ,

( )( ) 222222

T4T1

T20Q

ωξω

ωξω

+−−= .

Moduł transmitancji widmowej

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

( )( ) ( )

( ).

41

10

41

20

41

110

222222

2

222222

2

222222

22

22

ωξω

ωξω

ωξ

ωξω

ω

ωωωω

TT

TT

T

TT

T

QPjGM

+−=

=

+−+

+−

−=

=+==

Argument transmitancji widmowej

( ) ( ) ( )( ) 22T1

T10tgarc

P

QtgarcjGarg

ωωξ

ωω

ωωϕ−

−=== .

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa

ROZDZIAŁ 2

Strona 44444444

( ) ( )

( )( )[ ] [dB].41lg1020

41

10lg20lg20

222222

222222

ωξω

ωξωωω

TT

TT

ML

+−−=

=+−

==

Wykresy charakterystyki amplitudowo-fazowej przedstawia rysunek 2.9, zaś charakterystyk logarytmicznych, amplitudowej i fazowej przedsta-wiają rysunki 2.10 i 2.11.


oscylacyjnego dla róŜnych wartości ξ

Rysunek 2.10. Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa elementu



Strona 45454545

Rysunek 2.11. Logarytmiczna charakterystyka fazowa elementu


Przykład 2.4

Narysować, dla układu automatyki opisanego transmitancją zastępczą

( )1ss3s

1sG

23 +++= , charakterystykę amplitudowo-fazową.

Rozwiązanie

Transmitancja widmowa wyznaczona z transmitancji operatorowej jest następująca

( )( ) ( )

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )[ ],131131

131

13

1

2222

22

23

ωωωωωωωωω

ωωωω

−−−−+−

−−−=

=+++

=

jj

j

jjjjG

( ) ( )( ) ( )[ ]

( )( ) ( )[ ],131

1

131

3122222

2

22222

2

ωωω

ωω

ωωω

ωω

−+−

−−

−+−

−= jjG

( )( ) ( )22222

2

131

31P

ωωω

ωω

−+−

−= ,

ROZDZIAŁ 2

Strona 46464646

( ) ( )( ) ( )22222

2

131

1Q

ωωω

ωωω

−+−

−−= .

Charakterystyka amplitudowo-fazowa jest przedstawiona na rysun-ku 2.12

Rysunek 2.12. Charakterystyka amplitudowo-fazowa układu automatyki

`

3 Właściwości dynamiczne podstawowych liniowych elementów automatyki

ROZDZIAŁ 3

Strona 48484848

3.1. Wprowadzenie

DuŜa ilość prostych mechanizmów, maszyn i urządzeń daje się sprowa-dzić w matematycznym opisie do elementów (członów) podstawowych. Ma to zasadnicze znaczenie przy rozpatrywaniu właściwości układów automatyki. Większość elementów rzeczywistych moŜe być uwaŜana za liniowe przy następujących załoŜeniach upraszczających:

a. w odniesieniu do elementów mechanicznych

• występuje jedynie tarcie lepkie (wiskotyczne), a nie tarcie suche (Coulomba),

• siła tarcia jest proporcjonalna do prędkości,

• sztywności elementów spręŜystych są stałe, a pozostałych elementów oraz ich połączeń i zamocowań nieskończenie wielkie.

b. w odniesieniu do elementów płynowych (hydraulicznych

i pneumatycznych)

• opór przepływu jest stały, tzn. natęŜenie przepływu płynu jest proporcjonalne do róŜnicy ciśnień,

• moduł spręŜystości objętościowej płynu (odwrotność współczynnika ściśliwości) jest stały,

c. w odniesieniu do elementów elektrycznych

• rezystancje, indukcyjności i pojemności są stałe, niezaleŜne od prądu i napięcia.

Oprócz powyŜszych załoŜeń natury ogólnej, w poszczególnych przypad-kach naleŜy jeszcze uwzględnić załoŜenia szczególne, np. idealna szczelność elementów hydraulicznych lub pomijalna masa niektórych części ruchomych. NaleŜy, więc pamiętać, Ŝe równania i charakterystyki elementów liniowych są uproszczone i często moŜna je stosować tylko do obliczeń wstępnych.

Podstawowe elementy (człony) automatyki zgrupowane są według wła-ściwości dynamicznych, gdyŜ określają sposób przenoszenia sygnałów.

WŁAŚCIWOŚCI DYNAMICZNE PODSTAWOWYCH LINIOWYCH ELEMENTÓW AUTOMATYKI

Strona 49494949

NiezaleŜnie od takiego samego opisu matematycznego mogą róŜnić się między sobą konstrukcją i zasadami działania. Mogą być elementy me-chaniczne pneumatyczne, hydrauliczne i elektryczne. Ze względu na właściwości dynamiczne wyróŜniamy następujące grupy podstawowych elementów automatyki

1. proporcjonalne (bezinercyjne),

2. inercyjne pierwszego rzędu,

3. inercyjne drugiego rzędu,

4. oscylacyjne drugiego rzędu,

5. całkujące (idealne, rzeczywiste),

6. róŜniczkujące (idealne, rzeczywiste),

7. opóźniające.

PoniŜej zostaną omówione podstawowe elementy automatyki za wyjąt-kiem elementu całkującego rzeczywistego i inercyjnego drugiego rzędu.

Własności statyczne wszystkich elementów będziemy określać podając równanie i wykres charakterystyki statycznej ( )ufy = , a własności dy-namiczne podając równanie róŜniczkowe i odpowiadającą mu transmi-tancję operatorową oraz wykres odpowiedzi y(t) na wymuszenie sko-kowe (charakterystyka czasowa) i charakterystyki amplitudowo-fazowe, logarytmiczne amplitudową oraz fazową.

KaŜdą grupę elementów będziemy ilustrować przykładami, przy czym w ramach danej grupy są to przykłady urządzeń konstrukcyjnie odmien-nych, aby podkreślić, Ŝe podział ze względu na własności dynamiczne nie jest zaleŜny od natury fizycznej elementów i Ŝe np. elementem iner-cyjnym moŜe być zarówno urządzenie mechaniczne, jak i hydrauliczne, pneumatyczne lub elektryczne.

ROZDZIAŁ 3

Strona 50505050

3.2 Elementy proporcjonalne (bezinercyjne)

Ogólna postać równania elementu bezinercyjnego jako zaleŜność między sygnałem wyjściowym ( )ty a wejściowym ( )tu jest następująca

( ) ( )tkuty = , (3.1)

gdzie k jest współczynnikiem proporcjonalności (współczynnikiem wzmocnienia).

Transmitancja operatorowa elementu bezinercyjnego jest równa współczynnikowi proporcjonalności, a więc transformując równanie (3.1) otrzymamy

( ) ( )skusy = , (3.2)

stąd

( ) ( )( )

.ksu

sysG == (3.3)

Równanie charakterystyki statycznej elementu ma postać

kuy = . (3.4)

Charakterystykę czasową, czyli odpowiedź na wymuszenie skokowe ( ) ( )

stut1tu ⋅= otrzymamy z równania

st

kuy = . (3.5)


Strona 51515151

Rysunek 3.1. Wykresy charakterystyk: a) czasowej, b) amplitudowo-fazowej, c) logarytmicznej amplitudowej, d) logarytmicznej fazowej

Element proporcjonalny odtwarza sygnał wejściowy bez Ŝadnych opóź-nień, wzmacniając sygnał do wartości k.

Transmitancję widmową wyznaczamy z równania (3.1), zatem

( ) .kjG =ω (3.6)

Część rzeczywista transmitancji ( ) kP =ω , a część urojona ( ) 0Q =ω .

Wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej sprowadza się do punktu o współrzędnych (k,0) (rysunek 3.1b).

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa jest linią prostą (rysu-nek 3.1c).

( ) ( )[ ] ( )[ ] klg20QPlg20dB,L22 =+= ωωω . (3.7)

Logarytmiczna charakterystyka fazowa takŜe jest linią prostą leŜącą na osi odciętych (rysunek 3.1d).

( ) ( )( )ωω

ωϕP

Qarctg= . (3.8)

ROZDZIAŁ 3

Strona 52525252

Przykład 3.1

Dla róŜnych modeli układów automatyki określić transmitancje operato-rowe

Rysunek 3.2. Schemat układu mechanicznego układu automatyki

Rysunek 3.3. Schemat układu elektrycznego

Rysunek 3.4. Schemat układu pneumatycznego

Rozwiązanie

dla modelu układu mechanicznego (rysunek 3.2)

Sygnałem wejściowym jest przemieszczenie x spręŜyny górnej, sygna-łem wyjściowym jest przemieszczenie y końca belki.


Strona 53535353

Z równowagi sił w liniowej spręŜynie górnej i dolnej otrzymamy

spr2spr1 FF = ,

( ) ( )[ ] ( )txktxtxk 1211 =− ,

Z powyŜszego równania naleŜy wyeliminować współrzędną pośrednią ( )tx1 , czyli

( ) ( ) ( ) ( )ty

b

atx

b

ty

a

tx1

1 =→= ,

zatem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tyb

akktxkty

b

akty

b

aktxk 211211 +=→=− ,

Transmitancja operatorowa jest

( ) ( )( ) ( )

kkka

bk

sx

sysG

21

1 =+

== .

dla modelu układu elektrycznego (rysunek 3.3)

Sygnałem wejściowym jest napięcie 1U , sygnałem wyjściowym jest na-

pięcie 2U .

Z równości prądów dla równoległego połączenia obwodu elektrycznego otrzymamy zaleŜność pomiędzy sygnałami napięciowymi wejścia i wyjścia

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21

221

2

1

21

221

RR

RtUtU

R

tU

RR

tUtiti

+=→=

+→= ,

Transmitancja operatorowa rozwaŜanego układu elektrycznego jest

( ) ( )( )

( )( )

.kR

RR

sU

sU

sx

sysG

2

21

1

2 =+

===

ROZDZIAŁ 3

Strona 54545454

dla modelu układu pneumatycznego (rysunek 3.4)

Sygnałem wejściowym jest ciśnienie zewnętrzne p , sygnałem wyjścio-wym jest przemieszczenie y membrany, trzpienia i spręŜyny.

Z równowagi sił w stanie równowagi układu, kiedy ciśnienie działające na membranę zrównowaŜy siłę spręŜyny otrzymamy

( ) ( )tykAtp 1= ,

Transmitancja operatorowa rozwaŜanego układu pneumatycznego jest

( ) ( )

( ).k

k

A

sp

sysG

1

===

3.3. Elementy inercyjne pierwszego rzędu

Ogólna postać równania róŜniczkowego opisującego element inercyjny pierwszego rzędu jest następująca

( ) ( ) ( )tkuty

dt

tdyT =+ , (3.9)

Równanie charakterystyki statycznej otrzymamy dla ( )

0dt

tdy= z rów-

nania (3.9), czyli

( ) ( )tkuty = . (3.10)

Stosując do równania (3.9) transformację Laplace’a otrzymamy trans-mitancję operatorową

( ) ( ) ( )skusysTsy =+ . (3.11)

( ) ( )( ) 1Ts

k

su

sysG

+== . (3.12)


Strona 55555555

gdzie: k – współczynnik proporcjonalności, T – stała czasowa (ma wy-miar czasu, [s])

Charakterystykę czasową otrzymamy jako odpowiedź na wymuszenie

skokowe ( ) ( ) ( )stst

us

1suut1tu =→= otrzymamy przekształcając

równanie (3.12), a więc

( ) ( ) ( )( )

( )

( )[ ] ( ).1

11

1

1 Tt

st

stst

eTuT

ksyL

ty

Tss

uT

ku

Tss

ksusGsy

−− −⋅==

=→

+

⋅=⋅+

==

(3.13)

Równanie (3.13) jest rozwiązaniem równania róŜniczkowego (3.9) przy zerowych warunkach początkowych.

Wykres y(t) w postaci charakterystyki czasowej przedstawia rysu-nek 3.5.

Rysunek 3.5. Odpowiedź elementu inercyjnego pierwszego rzędu

na wymuszenie skokowe.

Stałą czasową T moŜna określić wystawiając styczną w dowolnym punkcie krzywej wykładniczej y(t) i wyznaczając odcinek podstycznej na asymptocie (rysunek 3.5)

Podstyczna

( )

.TT,eTkuT

tyku

dt

dytgt p

Tt

st

p

st1 =→⋅⋅=

−==→ −α (3.14)

ROZDZIAŁ 3

Strona 56565656

Stałą czasową T moŜna równieŜ określić jako czas od chwili t=0 do chwili, kiedy y(t) osiąga 63,2% swej końcowej wartości ustalonej

stku .

Podstawiając za t=T otrzymujemy

( ) ( )st

1

stku632.0e1kuty =−= − . (3.15)

Dla elementu inercyjnego pierwszego rzędu charakterystyki są podane w przykładzie 2.1 rozdziału 2 (charakterystyka amplitudowo-fazowa – rysunek 2.5, logarytmiczna amplitudowa – rysunek 2.6, logarytmiczna fazowa – rysunek 2.7).

Przykład 3.2

Wyznaczyć transmitancje operatorowe układów automatyki podanych na rysunkach 3.6 i 3.7.

Rysunek 3.6. Schemat mechanicznego układu automatyki

Rysunek 3.7. Schemat czwórnika RC układu elektrycznego

Rozwiązanie (przykład – rysunek 3.6)

Sygnałem wejściowym jest zewnętrzna siła F , sygnałem wyjściowym jest przemieszczenie y tłoka, tłoczyska i spręŜyny.


Strona 57575757

Zewnętrzna siła działająca na układ musi równowaŜyć siły pochodzące od tłumika i spręŜyny.

Równanie równowagi sił jest następujące

( ) ( ) ( )tFtyktyl 1 =+& ,

Stosując przekształcenie Laplace’a i zerowe warunki początkowe otrzy-mamy

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ),sFklssysFsykscsy11

=+→=+

stąd transmitancja operatorowa badanego układu jest

( ) ( )( )

,1Ts

k

1sk

lk

1

kls

1

sF

sysG

1

1

1+

=

+

=+

== 11

k

lT,

k

1k == .

gdzie: −k współczynnik wzmocnienia, −T stała czasowa

Rozwiązanie (przykład – rysunek 3.7)

Sygnałem wejściowym jest napięcie 1U , sygnałem wyjściowym jest

napięcie 2U .

Równanie obwodu elektrycznego

( ) ( ) ( ) ( ) ( )dt

tdUCti,tURtitU 2

21 =+= ,

zatem

( ) ( ) ( )tURdt

tdUCtU 2

21 +=

Transmitancja obwodu jest

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1Ts

1

sU

sUsG,sURsCsUsU

1

2221 +

==→+= , RCT = .

ROZDZIAŁ 3

Strona 58585858

3.4. Elementy oscylacyjne drugiego rzędu

Ogólna postać równania róŜniczkowego opisującego zaleŜność między sygnałem wyjściowym y(t) a wejściowym u(t) elementu oscylacyjnego jest następująca

( ) ( ) ( ) ( )tkuty

dt

tdyT

dt

tydT

22

2

2

1=++ , (3.16)

przy czym 2

1

2

2T4T < (warunek powstawania drgań oscylacyjnych).

Stosując transformację Laplace’a do równania (3.16)

( ) ( ) ( ) ( )skusyssyTsysT2

22

1=++ ,

otrzymamy transmitancję operatorową w postaci

( ) ( )( ) 1sTsT

k

su

sysG

2

22

1++

== . (3.17)

gdzie k jest współczynnikiem proporcjonalności (wzmocnienia), 1

T i 2

T

są stałymi czasowymi elementu.

NaleŜy podkreślić, Ŝe to nie postać równania (3.16) lub (3.17) decyduje

o tym, Ŝe element jest oscylacyjny ( 2

1

2

2 T4T < ) (taka sama moŜe być postać równań elementu inercyjnego drugiego rzędu, w którym Ŝadne oscylacje odpowiedzi skokowej nie występują). Wówczas mamy do czynienia z elementem inercyjnym drugiego rzędu ( )12 T2T ≥ .

Często spotyka się równieŜ następującą postać równania róŜniczkowego uŜywanego w teorii drgań, która ułatwia interpretację przebiegów przejściowych elementu oscylacyjnego, czyli

( ) ( ) ( ) ( )tukty

dt

tdy2

dt

tyd 2

0

2

002

2

ωωξω =++ . (3.18)

przy czym 12 <ξ . Wówczas transmitancja operatorowa jest opisana

równaniem


Strona 59595959

( ) ( )( ) 2

00

2

2

0

s2s

k

su

sysG

ωξωω

++== . (3.19)

gdzie: k – współczynnik proporcjonalności, 10

T1=ω – częstość drgań

własnych elementu oscylacyjnego, 12

T2T=ξ – zredukowany (względny) współczynnik tłumienia.

Równanie charakterystyki statycznej otrzymamy z równania wyjścio-wego (3.16) po przyrównaniu pochodnych funkcji do zera, a więc

( ) ( )tkuty = . (3.20)

Wykresy charakterystyki statycznej pokazuje rysunek 3.8.

Rysunek 3.8. Charakterystyka statyczna elementu oscylacyjnego

Korzystając ze wzoru (3.17) odpowiedź na wymuszenie skokowe

( ) ( ) ( )stst

us

1suut1tu =→= obliczamy według wzoru

( ) ( )[ ] ( ) st

2

22

1

11u

1sTsTs

kLsyLty

++== −− , (3.21)

Pierwiastkami równania charakterystycznego (mianownik wzoru (3.17) przyrównany do zera) są

( )11T2

T

T2

T

T

1s

2

0

2

1

2

1

2

1

2,1−−=

−

−= ξξω mm , (3.22)

Odpowiedź na wymuszenie skokowe będzie mieć charakter oscylacyjny, jeŜeli spełniony jest podany na wstępie warunek 2

1

2

2T4T < lub, co jest

jednoznaczne 12 <ξ , wówczas pierwiastki

2,1s zapiszemy w postaci

ROZDZIAŁ 3

Strona 60606060

( )2

0

2

1

2

1

2

1

2,11

T2

T1j

T2

T

T

1s ξξω −−=

−−= mm . (3.23)

otrzymujemy z tablic transformat

( ) ( )

( ) ( )

⋅

−−⋅

−+=

=

++= −

tsts

st

st

esssT

esssT

ku

kusTsTs

Lty

21

2122

12112

1

222

1

1

111

1

1

, (3.24)

Stosując wzory Eulera ( ( )ωωωsinjcosee

aja ±=± ) oraz wcześniej przyjęte oznaczenia, moŜna przedstawić y(t) w postaci

( ) ( )

+−

−−=

−

ϕξωξ

ξω

t1sin1

e1kuty 2

02

t0

st. (3.25)

gdzie

ξ

ξϕ

21

arctg−

= . (3.26)

Rysunek 3.9. Odpowiedź elementu oscylacyjnego na wymuszenie

skokowe 1(t)ust, 1) oscylacyjna, 2) aperiodyczna

Wykres odpowiedzi y(t) na wymuszenie skokowe przedstawiono na ry-sunku 3.9 (1 – przebieg oscylacyjny, 2 – przebieg aperiodyczny). JeŜeli pierwiastki równania charakterystycznego są rzeczywiste i ujemne oraz gdy występuje tłumienie krytyczne ( 1=ξ ), to otrzymujemy aperio-dyczny przebieg odpowiedzi.


Strona 61616161

Składowa ustalona przebiegu wynosi st

ku , a składowa przejściowa jest

gasnącą sinusoidą, której okres jest stały i wynosi

2

01

2T

ξω

π

−= . (3.27)

W przypadku szczególnym, kiedy 0=ξ (tzn. 0T2

= ), występują

drgania zachowawcze (nie tłumione) o częstości własnej 0

ω . Wtedy

( ) ( )[ ] [ ]tcos1ku90tsin1kuty0st0st

ωω −=+−= o . (3.28)

Dla elementu inercyjnego drugiego rzędu charakterystyki częstotliwo-ściowe podane są w przykładzie 2.3 rozdziału 2 (charakterystyka ampli-tudowo-fazowa – rysunek 2.9, logarytmiczna amplitudowa – rysunek 2.10, logarytmiczna fazowa – rysunek 2.11).

Przykład 3.3

Dla układu automatyki złoŜonego z tłumika, masy i spręŜyny (rysu-nek 3.10) wyznaczyć transmitancję operatorową. Sygnałem wejściowym jest zewnętrzna siła F , sygnałem wyjściowym jest przemieszczenie y tłoka, tłoczyska i spręŜyny.


Rozwiązanie

Równanie równowagi sił dla badanego układu mechanicznego jest na-stępujące

( ) ( ) ( ) ( )tFtyktyltym 1 =++ &&& .

ROZDZIAŁ 3

Strona 62626262

Korzystając z rachunku operatorowego (przekształceń Laplace’a) przy zerowych warunkach początkowych powyŜsze równanie przyjmuje po-stać

( ) ( ) ( ) ( )sFsykslsysyms 1

2 =++ ,

Stąd transmitancja operatorowa jest

( ) ( )( ) 1sTsT

k

klsms

1

sF

sysG

2

2

11

2 ++=

++== ,

11

2

1

2

1k

1k,

k

lT,

k

mT === .

Przykład 3.4

Wyznaczyć transmitancję operatorową układu automatyki przedstawio-nego na rysunku 3.11 przy załoŜeniu, Ŝe szczotka znajduje się na po-czątku opornika w połoŜeniu równowagi. Wielkością wejściową jest ci-śnienie p, wyjściową zaś napięcie wyjściowe y. Przemieszczenie dźwigni o masie m , tłumika o współczynniku tłumienia l , spręŜyny o sztywności 1k jest 1x .


Rozwiązanie

ZaleŜność pomiędzy przemieszczeniem 1x a napięciem y jest następu-jąca


Strona 63636363

( ) ( ) ( ) ( )ty

U

ltx

l

tx

U

ty1

1 ⋅=→= ,

Równanie ruchu układu

( ) ( ) ( ) ( )Atpxktxltxm 11111 =++ &&& ,

Stosując rachunek operatorowy Laplace’a otrzymamy

( ) ( ) ( ) ( )Aspsxkssxlsxms 11111

2 =++ ,

Podstawiając w miejsce 1x powyŜej wyznaczoną zaleŜność otrzymamy

( )( ) ( )AUsplksllmlssy 11

2 =++ ,


( ) ( )( )

1

1

222

1

1

12

11

112

++=

=

++

=++

==

sTsT

k

sk

ls

k

mlk

AU

lksllmls

AU

sp

sysG

,

1

12

1

2

1

1 k

lT,

k

mT,

lk

UAk === .

Przykład 3.5

Schemat elementu automatyki pokazano na rysunku 3.12. Sygnałem wejściowym jest napięcie 1U , wyjściowym napięcie 2U .

Rysunek 3.12. Schemat czwórnika RC układu elektrycznego

ROZDZIAŁ 3

Strona 64646464

Rozwiązanie

Równanie obwodu elektrycznego pokazanego na rysunku jest następu-jące

( ) ( ) ( ) ( )tU

dt

tdiLRtitU 21 ++=

,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

,dt

tdUCti,ti

C

1

dt

tdU,dtti

C

1tU 22

2 =→⋅=→∫=

( ) ( )2

2

2

dt

tUdC

dt

tdi=

, ( ) ( ) ( ) ( )tU

dt

tUdLC

dt

tdURCtU 22

2

2

21 ++=

.

Korzystając z rachunku operatorowego i powyŜszego równania wyzna-czamy transmitancję operatorową, zatem

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1RCsLCssUsUsULCssRCsUsU 2

222

2

21 ++=++= ,

( ) ( )( ) 1sTsT

1

sU

sUsG

2

22

11

2

++== . ,LCT 2

1 = .RCT2 =

3.5 Elementy całkujące idealne

Są to elementy, w których wielkość wyjściowa jest proporcjonalna do całki wielkości wejściowej. Ogólna postać równania róŜniczkującego elementu całkującego o sygnałach róŜnoimiennych (te same miana) jest następująca

( ) ( )tku

dt

tdy= , (3.29)

lub po scałkowaniu, przy zerowych warunkach początkowych,

( ) ∫=t

0

udtkty . (3.30)

Z równania (3.29) wynika transmitancja operatorowa


Strona 65656565

( ) ( )( ) s

k

su

sysG == . (3.31)

Równanie charakterystyki statycznej otrzymamy z równania (3.29). Dla

0dt

dy= , =y const., wówczas 0u = a jej wykres pokazuje rysu-

nek 3.13.

Charakterystykę czasową jako odpowiedź na wymuszenie skokowe ( ) ( )

stut1tu = wyznaczamy z transmitancji operatorowej, zatem

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] tkusyLtyus

ksusGsy

stst2==→== − . (3.32)

Rysunek 3.13. Charakterystyka statyczna elementu całkującego

Wykres y(t) podano na rysunku 3.14a.

W szczególnym przypadku, kiedy wejście i wyjście są sygnałami jed-noimiennymi, współczynnik k wzmocnienia elementu całkującego ma wymiar odwrotności czasu. Wówczas ogólna postać równania róŜnicz-kowego elementu całkującego przyjmuje postać

( ) ( )tu

dt

tdyT = . (3.33)

której odpowiada transmitancja

( ) ( )( ) Ts

1

su

sysG == . (3.34)

gdzie T jest stałą czasową lub krócej – stałą całkowania.

ROZDZIAŁ 3

Strona 66666666

Stałą tę moŜna określić na wykresie odpowiedzi skokowej zgodnie z ry-sunkiem 3.14b.

Transmitancję widmową otrzymamy z równania (3.31)

( )ωωω

ωω

ωk

jjj

kj

j

kjG −=

⋅== , (3.35)

stąd ( ) 0P =ω , ( ) ωω kQ −= .

Rysunek 3.14. Charakterystyka czasowa elementu całkującego:

a) wg wzoru (3.31), b) wg wzoru (3.34)

Rysunek 3.15. Charakterystyki częstotliwościowe elementu całkującego: a) amplitudowo-fazowa, b) logarytmiczna amplitudowa, c) logarytmiczna

fazowa


Strona 67676767

Logarytmiczne charakterystyki amplitudową i fazową otrzymamy ze znanych juŜ wzorów tj.

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]22QPlg20Mlg20dBL ωωω +== ,

( ) ( )( )

( ) o

90arctgP

Qtgarc −=∞−==

ωω

ωϕ .

Dla sygnałów róŜnoimiennych otrzymamy

( )ωk

lg20dBL = . (3.36)

zaś dla jednoimiennych

( ) ωω

Tlg20T

1lg20dBL −== . (3.37)

ZauwaŜmy, Ŝe dla T1s

== ωω L(dB)=0.

Przykład 3.6

Wyznaczyć równanie serwomotoru hydraulicznego przedstawionego na rysunku 3.16 jeŜeli wielkością wejściową jest przesunięcie x końca rurki strumieniowej o przekroju prostokątnym, zaś wyjściową prze-mieszczenie y tłoka siłownika powstające na wskutek ciśnienia p oleju płynącego z prędkością v .

Rysunek 3.16. Zespół rozdzielacz – siłownik hydrauliczny

Rozwiązanie

ROZDZIAŁ 3

Strona 68686868

Z równania ciągłości strugi, natęŜenie przepływu Q w cylindrze wynosi

( )

dt

tdyAQtl = ,

Wydatek oleju przez szczelinę o przekroju ( )btxA = wynosi

( )bvtxQ .szcz = .

Porównując oba wydatki otrzymamy

( ) ( )bvtx

dt

tdyAQQ .szcztl =→= ,


( ) ( ) ( ) ( )( )

,As

bv

sx

sysGsbvxsAsy ==→=

PoniewaŜ sygnały na wejściu i wyjściu są jednoimienne to

( )Ts

1sG = . .

bv

AT =

gdzie −T stała czasowa elementu całkującego

Przykład 3.7

Dla układu mechanicznego (rysunek 3.17) wyznaczyć transmitancję ope-ratorową, jeŜeli sygnałem wejściowym jest przemieszczenie liniowe u koła o promieniu r , sygnałem wyjściowym jest jego kąt obrotu α .

Rysunek 3.17. Przekładnia cierna bezstopniowa w postaci elementu

automatyki


Strona 69696969

Rozwiązanie

Zakładając, Ŝe nie ma poślizgu kół, równanie prędkości w punkcie ich styku jest następujące

rx 21 ωω = , ( )

dt

td2

αω = , stąd ( ) ( )

dt

tdrtx1

αω = ,


( ) ( ) ( ) ( )( ) rssx

ssGsrssx 1

1

ωααω ==→= ,

PoniewaŜ sygnały na wejściu i wyjściu są róŜnoimienne to

( )s

k

rssG 1 ==

ω.

rk 1ω

= .

3.6. Elementy róŜniczkujące

Element róŜniczkujący idealny

Idealny element róŜniczkujący jest to taki element, w którym wielkość wyjściowa jest proporcjonalna do pochodnej wielkości wejściowej.

Równanie idealnego elementu róŜniczkującego dla sygnałów róŜno-imiennych jest następujące

( )dt

dukty = . (3.38)

skąd wynika transmitancja

( ) ( )( )

kssu

sysG == . (3.39)

Współczynnik k definiuje się jako

ROZDZIAŁ 3

Strona 70707070

( )dtdu

tyk = . (3.40)

Rysunek 3.18. Charakterystyki idealnego elementu róŜniczkującego:

a) statyczna, b) czasowa, c) amplitudowo-fazowa

Odpowiedź na wymuszenie skokowe (charakterystyka czasowa – rysu-nek 3.18b) jest funkcją Diraca pomnoŜoną przez k oraz przez amplitudę skoku

stu . Zatem

( ) ( ) ( ) ( )st

kusksususGsy === . (3.41)

( ) ( )[ ] ( )tkusyLtyst

1 δ== − . (3.42)

( )

>

=∞

<

=

.0tdla0

,0tdla

,0tdla0

ty

W przypadku szczególnym, kiedy wejście i wyjście są sygnałami jed-noimiennymi, równanie idealnego elementu róŜniczkującego zapisuje się w postaci

( )dt

duTty = . (3.43)


( ) ( )( )

Tssu

sysG == . (3.44)

gdzie T jest współczynnikiem, który moŜna zdefiniować jak (3.40).

Transmitancja widmowa otrzymana z równania (3.44) jest


Strona 71717171

( ) ωω jTjG = . (3.45)

stąd część rzeczywista ( ) 0P =ω , część urojona ( ) ωω TQ = . Łatwo za-uwaŜyć, Ŝe wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej jest dla ideal-nego elementu róŜniczkującego dodatnią półosią urojonych (rysu-nek 3.18c). JeŜeli na wejście idealnego elementu róŜniczkującego po-damy sygnał o małej wartości częstości, to jego amplitudy będą mocno zmniejszone. Sygnał będzie filtrowany. Gdy zaś częstości będą rosły to amplitudy będą równieŜ wzmacniane. Odpowiedź na wymuszenie sko-kowe jest w tym przypadku funkcją Diraca pomnoŜoną przez

stTu .

Logarytmiczną charakterystykę amplitudową i fazową otrzymamy obli-czając

( ) ( )[ ] ( )[ ] ωωω Tlg20QPlg20dBL22 =+= ,

( ) ( )( )

( ) o90arctgP

Qtgarc =∞==

ωω

ωϕ . (3.46)

Charakterystyki te przedstawia rysunek 3.19.

Rysunek 3.19. Logarytmiczne charakterystyki idealnego elementu

róŜniczkującego: a) amplitudowa, b) fazowa

Idealnego elementu róŜniczkującego nie moŜna zrealizować praktycznie, ale poznanie jego własności jest celowe z tego względu, Ŝe często w elementach złoŜonych wyodrębnia jako jeden ze składników idealne działanie róŜniczkujące. Ponadto, idealny element róŜniczkujący traktuje się czasami jako pierwsze przybliŜenie rzeczywistego elementu róŜnicz-kującego.

ROZDZIAŁ 3

Strona 72727272

Elementy róŜniczkujące rzeczywiste

Ogólna postać równania rzeczywistego elementu róŜniczkującego dla sygnałów róŜnoimiennych jest następująca

( ) ( ) ( )

dt

tdukty

dt

tdyT =+ . (3.47)

z tego równania wynika transmitancja

( ) ( )( ) 1Ts

ks

su

sysG

+== . (3.48)

gdzie k współczynnikiem proporcjonalności, a T stałą czasową elementu.

JeŜeli wejście i wyjście są sygnałami jednoimiennymi, równanie róŜ-niczkowe zapisuje się w postaci

( ) ( ) ( )

dt

tduTty

dt

tdyT =+ . (3.49)


( ) ( )( ) 1Ts

Ts

su

sysG

+== . (3.50)

Charakterystyka statyczna będzie identyczna z podaną na rysunku 3.18a), natomiast charakterystykę czasową jako odpowiedź na wymu-szenie skokowe wyznaczamy z ogólnej postaci transmitancji (3.48), czyli

( ) ( )

T

1s

1u

T

k

1Ts

kusu

1Ts

kssy

st

st

+=

+=

+= , (3.51)

( ) ( )[ ] Tt

st

1eu

T

ksyLty

−− == . (3.52)

Wykres y(t) przedstawiono na rysunku 3.20.


Strona 73737373

Rysunek 3.20. Charakterystyka czasowa dla rzeczywistego elementu

róŜniczkującego jako odpowidź na wymuszenie skokowe

Transmitancję widmową oraz część rzeczywistą i urojoną wyznaczymy z równania (3.48) podstawiając za ωjs = , a więc

( ) ( )( )

( )( )( ) 22

2

T1

jkkT

1Tj1Tj

1Tjkj

1Tj

kj

su

syjG

ωωω

ωωωω

ωω

ω+

+=

−+

−=

+== . (3.54)

stąd

( )22

2

T1

kTP

ωω

ω+

= , ( )22T1

kQ

ωω

ω+

= . (3.55)

MoŜna wykazać jak w przykładzie 2.1 rozdziału drugiego, Ŝe częstotli-wościowa charakterystyka amplitudowo-fazowa jest półokręgiem o współrzędnych środka w punkcie ( )0j,T2k i o dodatniej części urojonej (rysunek 3.21a).

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa i fazowa wyraŜa się wzo-rem

( ) ( )[ ] ( )[ ]22

22

T1

klg20QPlg20dBL

ω

ωωω

+=+= , (3.56)

( ) ( )( )

( )ωωω

ωωϕ Tarctg90

T

1arctg

P

Qtgarc −=

== o (3.57)

Wykresy tych charakterystyk przedstawia rysunki 3.21 b) i c).

ROZDZIAŁ 3

Strona 74747474

Rysunek 3.21. Charakterystyki częstotliwościowe dla rzeczywistego elementu róŜniczkującego: a) Charakterystyka amplitudowo-fazowa,

b) logarytmiczna amplitudowa, c) logarytmiczna fazowa

Przykład 3.8

Schemat elektrycznego elementu automatyki złoŜonego z oporności i in-dukcyjności podano na rysunku 3.22. Wielkością wejściową jest napię-cie ,U1 wyjściową napięcie 2U . Wyznaczyć transmitancję operatorową.

Rysunek 3.22. Schemat elektrycznego elementu automatyki

Rozwiązanie

Równanie obwodu elektrycznego jest

( ) ( ) ( )tUtUtU LR1 += ,

( ) ( )RtitUR = ,


Strona 75757575

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

L

tU

dt

tditU

dt

tdiLtU 2

2L =→==.

Stąd

( ) ( ) ( )tURtitU 21 += ,

RóŜniczkując powyŜsze równanie otrzymamy

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

dt

tdUtU

L

R

dt

tdU

dt

tdiR

dt

tdU 22

21 +⋅=+= ,

( ) ( )( ) 1Ts

Ts

1sR

L

L

R

s

L

Rs

s

sU

sUsG

1

2

+=

+=

+== .

R

LT = .

T jest stałą czasową rzeczywistego elementu róŜniczkującego. Otrzy-mana zaleŜność na transmitancję dotyczy sygnałów jednoimiennych.

Przykład 3.9

Schemat tłumika hydraulicznego ze spręŜyną jako elementu automatyki podano na rysunku 3.23. Wielkością wejściową jest przemieszczenie x cylindra, wyjściową jest przemieszczenie y tłoczyska tłumika. Wyzna-czyć transmitancję operatorową przyjmując, Ŝe natęŜenie przepływu oleju przez opór R jest pkQ 2 ∆⋅= .

Rysunek 3.23. Schemat elementu automatyki złoŜonego z tłumika

hydraulicznego i spręŜyny

ROZDZIAŁ 3

Strona 76767676

Rozwiązanie

Ugięcie spręŜyny o y powoduje róŜnicę ciśnień p∆ na oporze R

( )

1kA

typ =∆ ,

Z równania ciągłości strugi otrzymamy

( ) ( )[ ] ( )212 kk

A

typktytx

dt

dA ==− ∆ ,

Wprowadzając do powyŜszego równania rachunek operatorowy oraz uwzględniając zerowe warunki początkowe otrzymamy

( ) ( ) ( ) ( )

+=+=

A

kkAssysy

A

kksAsysAsx 2121

Transmitancja operatorowa badanego układu jest

( ) ( )( ) 1Ts

Ts

1skk

A

A

kk

As

A

kkAs

As

sx

sysG

21

2

2121 +=

+

=+

== . 21

2

kk

AT = .

T jest stałą czasową rzeczywistego elementu róŜniczkującego. Otrzy-mana zaleŜność na transmitancję dotyczy takŜe sygnałów jednoimien-nych.

3.7. Elementy opóźniające

Równanie elementu opóźniającego ma postać

( ) ( )τ−= tuty . (3.58)

skąd wynika transmitancja

( ) ( )( )

se

su

sysG

τ−== . (3.59)


Strona 77777777

Rysunek 3.24. Wymuszenie skokiem jednostkowym ( ) ( ) stut1tu = (a)

i odpowiedź ( ) ( ) stut1ty τ−= elementu opóźniającego (b)

Z podanych równań wynika, Ŝe element opóźniający nie zniekształca sy-gnału wejściowego, lecz jedynie przesuwa go w czasie.

Charakterystyka statyczna będzie, zatem

uy = . (3.60)

a odpowiedź na wymuszenie skokowe będzie takim samym sygnałem skokowym przesuniętym w czasie o wielkość opóźnienia τ . Wykresy wymuszenia i odpowiedzi skokowej pokazano na rysunku 3.24.

Elementami opóźniającymi są w szczególności urządzenia słuŜące do przemieszczania substancji (przenośniki taśmowe), jeŜeli miejsce wpro-wadzania sygnału wejściowego u i miejsce odbioru sygnału wyjścio-wego y znajdują się w pewnej odległości od siebie.

Transmitancję widmową wyznaczymy z równania (3.59), a więc

( ) ( )( )

ωτ

ωω

ω je

ju

jyjG

−== . (3.61)

Ze wzoru Eulera wynika ωτωτωsinjcose

tj −=− , stąd otrzymamy część rzeczywistą i urojoną transmitancji widmowej, czyli

( ) ωτω cosP = , ( ) ωτω sinQ −= . (3.62)

Ze wzorów tych wynika, Ŝe wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej przedstawionej na rysunku 3.25 jest okręgiem o promieniu

1r = .

ROZDZIAŁ 3

Strona 78787878


opóźniającego

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa jest niezaleŜna od częstości i równa się zero. Wynika to z następującego wzoru

( ) ( )[ ] ( )[ ] 01lg20QPlg20dBL22 ==+= ωω , (3.63)

Interesujący jest przebieg logarytmicznej charakterystyki fazowej. Za-leŜy ona od czasu opóźnienia i częstości kołowej. Obliczamy ją ze wzoru

( ) ( )( )

( ) ωτωτωω

ωϕ −=−== tgarctgP

Qtgarc (3.64)

Wykresy tych charakterystyk są pokazane na rysunku 3.26.

Rysunek 3.26. Logarytmiczne charakterystyki elementu opóźniającego:

a) amplitudowa, b) fazowa


Strona 79797979

Przykład 3.10

Wyznaczyć transmitancję elementu opóźniającego, którego schemat przedstawia rysunek 3.27.

Rysunek 3.27. Schemat przenośnika taśmowego

Rozwiązanie

Rozpatrzmy układ regulacji grubości warstwy materiału na przenośniku taśmowym przedstawionym na rysunku 3.27.

Zmiana grubości warstwy zachodzi w zbiorniku zasypowym. Zmiana ta wiąŜe się ze zmianą masy transportowanego materiału w czasie t i za-rejestrowana jest przez czujnik, zatem

mv

l=τ ,

( ) ( )τ−= tmtm k ,

Na podstawie twierdzenia o przesunięciu rzeczywistym

( )[ ] ( )sFetfL sττ −=− ,

otrzymamy

( ) ( )( )

s

k

esm

smsG

τ−== .

ROZDZIAŁ 3

Strona 80808080

`

4 Opis układów automatyki za pomocą schematów strukturalnych

ROZDZIAŁ 4

Strona 82828282

4.1. Schematy konstrukcyjne i blokowe (strukturalne)

W praktyce do złoŜonych dynamicznych układów automatyki najczę-ściej stosuje się schematy blokowe pokazujące strukturę dowolnego elementu lub układu automatyki w postaci bloków. Dla kaŜdego z blo-ków jest określony związek między sygnałem wejściowym i wyjścio-wym oraz kierunek przepływu sygnałów w postaci transmitancji. Prze-kształcając złoŜony schemat blokowy układu, moŜna zredukować go do jednego bloku o transmitancji zastępczej całego układu. Elementarne bloki zawierają poszczególne fragmenty lub składowe elementy układu automatyki są rysowane w postaci prostokątów, z umieszczonymi we-wnątrz informacjami dotyczącymi ich właściwości w postaci transmitan-cji.

Zasadę działania układu automatyki moŜna przedstawić na schemacie konstrukcyjnym i na jego podstawie zbudować schemat strukturalny. Schemat konstrukcyjny budujemy opierając się na konstrukcji układu (obiektu) poprzez przedstawienie poszczególnych jego elementów i ich połączeń. NaleŜy jednak pamiętać, aby wprowadzając uproszczenia kon-strukcyjne nie zmienić działania badanego układu. Na podstawie sche-matu konstrukcyjnego moŜemy zbudować schemat strukturalny (blo-kowy) układu. Schemat blokowy pokazuje sposób łączenia poszczegól-nych elementów układu, przebiegi i zmianę sygnałów.

Schematy blokowe moŜemy podzielić na schematy funkcjonalne i sche-maty ze znanymi transmitancjami. Schematy funkcjonalne pokazują przemieszczanie się sygnałów między poszczególnymi blokami. Kieru-nek przepływu sygnałów wynika ze schematu konstrukcyjnego. W kaŜ-dym fizycznym układzie jest przynajmniej jeden element jednokierun-kowy, w którym sygnał moŜe przechodzić w określonym kierunku wy-znaczającym kierunek przepływu dla całego układu np. w siłowniku hy-draulicznym. W tym układzie sygnał moŜe tylko przechodzić z rozdzie-lacza do cylindra siłownika. Aby ze schematu funkcjonalnego zbudować schemat strukturalny z transmitancjami, naleŜy określić, która z wielko-ści jest wielkością regulowaną. Następnie naleŜy ustalić jej wartość za-daną i element wprowadzający tę wartość oraz znaleźć dla kaŜdego ele-mentu zaleŜności funkcjonalne między wielkościami wyjściowymi i wej-ściowymi.

OPIS UKŁADÓW AUTOMATYKI ZA POMOCĄ SCHEMATÓW STRUKTURALNYCH

Strona 83838383

Sporządzanie schematów blokowych elementów lub układów automa-tyki na podstawie ich schematów konstrukcyjnych sprawia zwykle po-czątkowo wiele trudności. Przyczyną tego jest konieczność dokładnego zrozumienia działania rozpatrywanego urządzenia lub układu, rozróŜnie-nia wejść i wyjść, a zatem „kolejności” oddziaływania jednych zespołów na drugie, uwzględnienia natury fizycznej występujących sygnałów itd. Proste elementy przedstawiane są na schematach blokowych przez jeden „blok” – prostokąt, wewnątrz którego wpisuje się transmitancję lub wry-sowuje się charakterystykę danego elementu, najczęściej odpowiedź skokową dla elementów liniowych lub charakterystykę statyczną dla elementów nieliniowych.

ZłoŜone elementy lub układy mają własne schematy blokowe, w których poszczególne bloki reprezentują z reguły kolejne zespoły (elementy pod-stawowe) wchodzące w skład elementu złoŜonego. Schematy blokowe układów, zwłaszcza zawierających złoŜone elementy mogą być rozbu-dowane. Dla zwiększenia ich czytelności często przekształcamy schemat złoŜonych elementów do postaci pojedynczego bloku i dopiero wówczas wstawiamy je do schematu całego układu. PoniewaŜ w kaŜdym układzie występuje, co najmniej jeden element skierowany, tzn. element o działa-niu jednokierunkowym to kierunek przepływu sygnałów jest jedno-znaczny.

Węzły informacyjne (zaczepowe) przedstawiają na schematach bloko-wych urządzenia, które pozwalają pobierać tę samą informację do kilku gałęzi układu automatyki. Symbol graficzny podstawowego węzła in-formacyjnego, w którym pobiera się informację, co najmniej do dwóch gałęzi układu (wyjście), jest następujący

Rysunek 4.1. Przykład węzła informacyjnego

Przykładem węzła informacyjnego moŜe być zbiornik ciśnieniowy, w którym znajduje się medium o ciśnieniu p, odprowadzane rurociągiem do dalszych części instalacji. JeŜeli załoŜymy, Ŝe w całym zbiorniku i wychodzących z niego przewodach panuje to samo ciśnienie p, to otrzymany typowy przypadek węzła informacyjnego, z którego wycho-dzi tyle gałęzi o sygnałach p, ile jest wyprowadzeń tego ciśnienia ze zbiornika.

ROZDZIAŁ 4

Strona 84848484

Drugim przykładem moŜe być tłoczysko siłownika hydraulicznego, na którego wejściu jest zainstalowane urządzenie wykonujące ruch postę-powy. Przesunięcie tłoczyska przed tłokiem jak i pod tłokiem związa-nym na sztywno z tłoczyskiem jest takie samo.

Węzły sumacyjne reprezentują na schematach blokowych urządzenia, w których zachodzi algebraiczne sumowanie sygnałów (z uwzględnie-niem znaków). Symbol graficzny podstawowego węzła sumacyjnego, w którym zachodzi sumowanie dwóch sygnałów, jest następujący:

Rysunek 4.2. Przykład węzła sumacyjnego

W elemencie lub urządzeniu reprezentowanym przez ten węzeł realizo-wany jest związek yux −= .

W schematach blokowych węzły informacyjne i sumacyjne, stanowiące z elementami decydującymi o zaleŜnościach dynamicznych wspólną część konstrukcyjną, zawsze rysowane są poza blokami.

4.2. Przekształcenia schematów blokowych

Pierwotna postać schematu blokowego jest niekiedy dosyć uwikłana i nie moŜna bezpośrednio zastosować do niej Ŝadnego ze wzorów okre-ślających transmitancje połączeń podstawowych. Przekształcenie sche-matów blokowych umoŜliwia określenie transmitancji zastępczej (wy-padkowej) całego układu automatyki, takŜe liniowego równania róŜnicz-kowego opisującego cały układ. MoŜemy to zrobić dzięki temu, Ŝe układy liniowe są jednorodne i addytywne. Przekształcone układy muszą być układami równowaŜnymi w odniesieniu do zaleŜności funkcyjnych między wielkością wyjściową a wejściową. Układy, których transmitan-cje są takie same nazywamy układami równowaŜnymi. Biorąc pod uwagę powyŜszą definicję moŜemy przekształcić układy blokowe do prostych i przejrzystych schematów tych układów. Przy rozbudowanych schematach blokowych, wszystkie rodzaje występujących połączeń


Strona 85858585

w układach sterowania w zaleŜności od sposobu oddziaływania prze-pływających sygnałów moŜna sprowadzić do połączeń szeregowych, równoległych i ze sprzęŜeniem zwrotnym. PoniŜej omówimy przekształ-canie tych podstawowych połączeń w układy równowaŜne.

Szeregowe (kaskadowe) połączenie elementów przedstawia rysunek 4.3. Jest to takie połączenie elementów, w którym sygnał wyjściowy jednego bloku jest jednocześnie sygnałem wejściowym do następnego.

Rysunek 4.3. Schemat szeregowego połączenia bloków:

a) schemat pierwotny, b) schemat równowaŜny

Z definicji transmitancji układu wynika

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )sGsGsGsGsusasb

sasbsy

su

sysG i

n

1i

123z Π=

=⋅⋅=== . (4.1)

Wynika stąd, Ŝe transmitancja szeregowego połączenia elementów rów-na się iloczynowi transmitancji ( )sGi

poszczególnych elementów.

Równoległe połączenie elementów przedstawia rysunek 4.4. Jest to takie połączenie elementów, w którym sygnał wejściowy działa równocześnie na kilka bloków, a sygnał wyjściowy takiego połączenia jest alge-braiczną sumą sygnałów wyjściowych z poszczególnych bloków.

ROZDZIAŁ 4

Strona 86868686

Rysunek 4.4. Schemat równoległego połączenia bloków:

a) schemat pierwotny, b) schemat równowaŜny

Z równania węzła sumacyjnego wynika

( ) ( ) ( ) ( )scsbsasy +−= , (4.2)

zaś z definicji transmitancji układu mamy

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )sGsGsGsG

su

sc

su

sb

su

sa

su

scsbsa

su

sysG

n

i

i

z

∑=

=+−=

=+−=+−

==

1321

. (4.3)

( )−sGi transmitancje elementów składowych.

Połączenie ze sprzęŜeniem zwrotnym dodatnim lub ujemnym przed-stawia rysunek 4.5. Jest to połączenie elementów, w którym sygnał wyj-ściowy z bloku w torze głównym oddziałuje wstecznie na sygnał wej-ściowy tego bloku.


Strona 87878787

Rysunek 4.5. Schemat blokowy połączenia ze sprzęŜeniem zwrotnym dodatnim i ujemnym: a) schemat pierwotny, b) schemat równowaŜny

SprzęŜenie zwrotne jest ujemne, jeŜeli równanie węzła sumacyjnego przyjmuje postać

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sbsasusbsusa +=→−= , (4.4)

Z definicji transmitancji układu wynika

( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )sGsG1

sG

sasy

sysb1

sa

sy

sbsa

sy

su

sysG

21

1z +

=+

=+

== , (4.5)

W przypadku dodatniego sprzęŜenia zwrotnego, równanie węzła suma-cyjnego przyjmuje postać

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sbsasusbsusa −=→+= , (4.6)

Fizycznie znaczy to, Ŝe zmiana wielkości regulowanej spowodowana zewnętrznym zakłóceniem wywołuje taką reakcję układu, która wzmac-nia skutki tego zakłócenia. Postępując analogicznie jak powyŜej przy uwzględnieniu zaleŜności (4.6) otrzymamy

( ) ( )( )

( )( ) ( )sGsG1

sG

su

sysG

21

1z −

== , (4.7)

Ogólny wzór na transmitancję zastępczą dla połączenia ze sprzęŜeniem zwrotnym jest

ROZDZIAŁ 4

Strona 88888888

( ) ( )( )

( )( ) ( )sGsG1

sG

su

sysG

21

1z

m== . (4.8)

gdzie

( )−sG1 transmitancja układu w torze głównym,

( )−sG2

transmitancja układu w torze sprzęŜenia zwrotnego,

Znak „+” w mianowniku równania (4.8) dotyczy ujemnego sprzęŜenia zwrotnego, a znak „−„ dodatniego sprzęŜenia zwrotnego. JeŜeli

( ) 1sG2 = i cały sygnał wyjściowy jest podawany na wejście, to takie sprzęŜenie nazywamy sprzęŜeniem bezpośrednim inaczej jednostkowym. Wówczas

( ) ( )( )

( )( )sG1

sG

su

sysG

1

1z

m== . (4.9)

JeŜeli w torze sprzęŜenia zwrotnego występuje człon proporcjonalny ( ) ksG2 = , to takie sprzęŜenie nazywamy sprzęŜeniem sztywnym. JeŜeli

w torze sprzęŜenia zwrotnego występuje człon róŜniczkujący ( ) TssG2 = , to otrzymujemy układ z podatnym sprzęŜeniem elastycz-

nym. Dodatnie podatne sprzęŜenie zwrotne powoduje przyspieszenie procesu, zaś ujemne spowalnia proces. Korzystając z definicji transmi-tancji zastępczej oraz z równań węzłów sumacyjnych moŜna określić (wyznaczyć) transmitancje podstawowych układów równowaŜnych. Z układów tych zbudowane są dowolne układy automatyki. Takie podstawowe układy są zestawione w tablicy 4.1.

Dla elementów o wielu wejściach i wyjściach (wielowymiarowych) od-powiednie zaleŜności mają identyczną postać, jedynie zamiast transmi-tancji G(s) występują wszędzie macierze transmitancji G(s). W iloczynie (4.1) nie wolno zmieniać kolejności macierzy.

Przekształcenia sprowadzające schemat blokowy do postaci pozwalają-cej na zastosowanie wzorów (4.3) i (4.8) polegają na przesunięciach wę-złów informacyjnych lub sumacyjnych. W kaŜdym przypadku prze-kształcania schematu blokowego musi być spełniony warunek, Ŝe w czę-ści układu nie podlegającej przekształceniu, Ŝadna wielkość nie ulega zmianie. Oznacza to, Ŝe wejścia i wyjścia przekształconej części sche-matu muszą pozostać nie zmienione.


Strona 89898989

Reguły kilku najczęściej stosowanych przekształceń schematów bloko-wych lub ich części zawierających wyłącznie elementy liniowe zesta-wiono w tab. 4.1.

Przekształcenia nr 1 do 4 polegają na przesunięciach węzłów informa-cyjnych lub sumacyjnych w przód lub w tył, tzn. z wejścia bloku o transmitancji G(s) na jego wyjście lub odwrotnie. Przekształcenia te pozostają waŜne równieŜ dla elementów o wielu wejściach i wyjściach, z tym zastrzeŜeniem, Ŝe przekształcenia nr 2 i 4 są wykonalne tylko dla macierzy kwadratowych nieosobliwych (o wyznaczniku róŜnym od

zera), gdyŜ tylko wówczas istnieje macierz odwrotna ( )[ ] 1sG

− .

Tablica 4.1

ROZDZIAŁ 4

Strona 90909090

cd. tablicy 4.1

Przekształcenia nr 5 i 6 pokazują, Ŝe moŜna zmieniać kolejność węzłów jednego rodzaju (informacyjnych lub sumacyjnych), a nr 7 i 8 podają za-sady zmiany kolejności węzłów róŜnego rodzaju, tzn. przesuwania węzła informacyjnego przed sumacyjny lub odwrotnie.

NiŜej podane zostaną przykłady wyznaczania transmitancji złoŜonych układów automatyki na podstawie ich schematów blokowych. Wybrano takie przypadki, w których konieczne są obydwa etapy postępowania, tzn. najpierw doprowadzenie schematu za pomocą przekształceń poda-nych w tabl. 4.1 do postaci połączeń podstawowych, a następnie zwija-nie tych połączeń za pomocą zaleŜności (4.1) do (4.8), oraz do postaci pozwalającej na wyznaczenie transmitancji całego układu.


Strona 91919191

Przykład 4.1

Wyznaczyć transmitancję zastępczą układu automatyki, którego schemat blokowy przedstawia rysunek 4.6a)

Rozwiązanie

Do wyznaczania transmitancji zastępczych układów automatyki stosu-jemy wzory na połączenia szeregowe, równoległe, dodatnie i ujemne sprzęŜenia zwrotne, węzły informacyjne i sumacyjne, odpowiednie ope-racje dotyczące przesuwania węzłów, a więc zastępowania układów pierwotnych układami równowaŜnymi (wtórnymi).

Rysunek 4.6. Wyznaczanie transmitancji zastępczej ze schematu

funkcjonalnego układu automatyki

Przykład 4.2

Wyznaczyć transmitancję zastępczą układu automatyki, którego schemat blokowy przedstawia rysunek 4.7 a)

ROZDZIAŁ 4

Strona 92929292

Rozwiązanie



Przykład 4.3


Rozwiązanie

Przekształcamy kolejno na schematy równowaŜne


Strona 93939393



Przykład 4.4


Rozwiązanie

Przekształcamy schemat funkcjonalny kolejno na schematy równowaŜne

ROZDZIAŁ 4

Strona 94949494




Strona 95959595

Przykład 4.5




ROZDZIAŁ 4

Strona 96969696

Rozwiązanie

Przekształcamy kolejno na schematy równowaŜne.

Aby moŜna było stosować wzory podstawowe dotyczące przekształcania układu automatyki do coraz prostszej postaci naleŜy schemat pierwotny przedstawiony na rysunku 4.10a) zastąpić innym poprzez wyznaczenie transmitancji ( )sGz (rysunek 4.10 b).

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )sG

sG

sG

1sG

sa

sx

sx

sb

sa

sbsG

1

2

1

2z =⋅=⋅==

Dalsze przekształcenia przedstawiają rysunki 4.10 c), d), e) i f)

`

5 Rodzaje regulatorów oraz ich charakterystyki

ROZDZIAŁ 5

Strona 98989898

5.1. Wprowadzenie

W tym rozdziale przedstawimy transmitancje oraz charakterystyki cza-sowe i częstotliwościowe podstawowych liniowych regulatorów o działaniu ciągłym (algorytmów sterowania) wykorzystywanych w przemysłowych układach sterowania. Przemysłowe układy sterowania zawierają regulatory elektroniczne, hydrauliczne i pneumatyczne.

Zastosowanie regulatora ze sprzęŜeniem zwrotnym w układzie regulacji powinno powodować optymalną pracę tego układu. Regulator jest urzą-dzeniem formującym sygnał sterujący według określonego algorytmu, wchodzącym w skład układu automatycznej regulacji, który ma dwa wejścia. Jedno słuŜy do wprowadzania informacji o bieŜącej wartości wielkości regulowanej y(t), drugie słuŜy do wprowadzania informacji o wartości zadanej w(t), tak jak na rysunku 5.1 a).

Rysunek 5.1. Schematy blokowe: a) układu regulacji automatycznej, b) fragmentu układu z regulatorem R o transmitancji G(s), O – obiekt,

R - regulator

Usytuowanie regulatora w układzie regulacji automatycznej pokazano na powyŜszym rysunku. Sygnałem wyjściowym regulatora jest sygnał ste-rujący u(t), sygnałem wejściowym uchyb regulacji e(t) (rysunek 5.1a). Aby regulator mógł wypełnić swoje zadanie to musi zmierzyć wielkość

RODZAJE REGULATORÓW ORAZ ICH CHARAKTERYSTYKI

Strona 99999999

regulowaną, porównać jej wartość z wartością zadaną w(t) i wytworzyć uchyb regulacji e(t) oraz przetworzyć sygnał uchybu w sygnał sterujący.

W konkretnych rozwiązaniach konstrukcyjnych regulatorów przyrządy te realizują oprócz algorytmów wiele dodatkowych funkcji. W szczegól-ności w regulatorach wyznaczane są zawsze odchyłki regulacji e(t)=y(t)-w(t) lub e(t)=w(t)-y(t) (działanie proste lub odwrotne) oraz generowany jest wewnętrzny sygnał wartości zadanej w(t).

5.2. Podstawowa klasyfikacja regulatorów

Regulator jako jeden z podstawowych elementów układu automatycznej regulacji, decyduje o charakterze i właściwości całego układu. Zadania i wymagania stawiane układowi mają znaczący wpływ na dobór typu regulatora.

Przemysłowy układ sterowania (rysunek 5.2) zawiera:

• regulator z wbudowanym algorytmem regulacji,

• element wykonawczy,

• obiekt,

• element pomiarowy.

Rysunek 5.2. Regulator w układzie automatycznej regulacji

gdzie ( ) ( )tzitz 21 są zakłóceniami (zaburzeniami) zewnętrznymi.

ROZDZIAŁ 5

Strona 100100100100

Regulator pobiera sygnał uchybu ( )te o niskim poziomie mocy, wzmac-niając go do wystarczająco wysokiego poziomu. Sygnał wyjściowy z re-gulatora ( )tu podawany jest do elementu wykonawczego, którym moŜe być silnik elektryczny, hydrauliczny, siłownik hydrauliczny, zawór. Element pomiarowy (czujnik) przetwarza zmienną wyjściową ( )ty na inną odpowiednią zmienną np. przemieszczenie, ciśnienie napięcie, siła, tak, aby mogła być stosowana do porównania sygnału wyjściowego z sygnałem wejściowym zadającym. Sygnał wchodzący do regulatora musi być w tych samych jednostkach, co sygnał od sprzęŜenia zwrot-nego z czujnika lub elementu pomiarowego.

Według sposobu budowy uwzględniającej energię zasilania, regulatory dzielimy na dwie podstawowe grupy:

• regulatory o działaniu bezpośrednim (nie korzystające z energii pomocniczej),

• regulatory o działaniu pośrednim (korzystające z energii po-mocniczej), czyli wymagające elementu wykonawczego.

W regulatorach o działaniu bezpośrednim (nie korzystające z energii pomocniczej) energia potrzebna do oddziaływania na obiekt najczęściej jest czerpana z urządzenia pomiarowego. Stanowi to istotne uproszcze-nie konstrukcji regulatora.

Regulatory o działaniu pośrednim, korzystające z energii pomocniczej, czyli wymagające elementu wykonawczego dzielimy według rodzaju nośnika energii, uŜytego do zasilania znajdującego się w regulatorze wzmacniacza. Najczęściej są to regulatory elektroniczne, rzadziej pneumatyczne i hydrauliczne. Regulatory te wykorzystują jako źródła mocy prąd elektryczny, spręŜone powietrze, olej pod ciśnieniem.

Ze względu na rodzaj przetwarzanych w regulatorze sygnałów regulatory dzielimy na:

• regulatory analogowe,

• regulatory cyfrowe,

• regulatory działania nieciągłego (impulsowe, przekaźniko-we)


Strona 101101101101

Regulatory przekaźnikowe przetwarzają ciągły sygnał wejściowy uchybu regulacji na skokowy sygnał nastawczy, który pojawia się przy określonych wartościach uchybu regulacji.

W regulatorach impulsowych (praca wycieraczek w pojazdach mecha-nicznych) ciągły sygnał uchybu regulacji jest przetwarzany na szereg krótkotrwałych impulsów wyjściowych oddziaływujących na obiekt re-gulowany w określonych i powtarzających się chwilach czasowych. Po-działem podstawowym, określającym właściwości dynamiczne regula-torów jest ich transmitancja operatorowa.

Tak, więc ze względu na właściwości dynamiczne regulatory dzielimy na następujące rodzaje:

• regulatory proporcjonalne (P),

• regulatory całkujące (I),

• regulatory proporcjonalno-całkujące (PI),

• regulatory proporcjonalno-róŜniczkujące (PD),

• regulatory proporcjonalno-całkująco-róŜniczkujące (PID),

Ogólną strukturę regulatora PID (równieŜ cyfrowego) da się sprowadzić do równoległego połączenia trzech członów podstawowych P, I, oraz D, którą przedstawia rysunek 5.22.

5.3. Regulatory proporcjonalne

W regulatorze pokazanym na rysunku 5.3 z proporcjonalnym algoryt-mem sterowania (P), zaleŜność (prawo regulacji) sygnału wyjściowego u(t) od wejściowego e(t) (uchybu regulacji) jest następująca

( ) ( )tektu p= . (5.1)

Po zastosowaniu transformacji Laplace’a otrzymamy transmitancję ope-ratorową regulatora P, zatem

( ) ( ) ( ) ( )( ) pp kse

susGseksu ==→= . (5.2)

ROZDZIAŁ 5

Strona 102102102102

gdzie pk jest wzmocnieniem proporcjonalnym.

Rysunek 5.3. Schemat blokowy fragmentu układu regulacji

automatycznej z regulatorem P o transmitancji G(s)

Regulator proporcjonalny ma stałą transmitancję i jest zawsze wzmac-niaczem z nastawianym wzmocnieniem. Czasami zamiast współczyn-nika wzmocnienia, podaje się tzw. zakres proporcjonalności wyraŜony w procentach, czyli

%1001

⋅=pk

P

Charakterystykę czasową oraz charakterystyki częstotliwościowe otrzy-muje się analogiczne jak w rozdziale 3.2 to znaczy naleŜy nadać wielko-ści wejściowej (uchybowi regulacji e(t)) sygnał w postaci skoku jednost-kowego. Wyznaczamy charakterystykę widmową regulatora P i otrzy-mujemy wykresy charakterystyk częstotliwościowych pokazanych na ry-sunku 5.4.

Rysunek 5.4. Charakterystyki regulatora P: a) czasowa, b) amplitudowo-

fazowa, c) logarytmiczna amplitudowa, d) logarytmiczna fazowa


Strona 103103103103

5.4. Regulatory całkujące

W regulatorze całkowym I przyrost wartości sygnału wyjściowego u(t) zmienia się proporcjonalnie do sygnału uchybu e(t), czyli prawo regula-cji jest następujące

( ) ( ) ( )te

T

1tek

dt

tdu

i

i == , (5.3)

lub

( ) ( ) ( )dtteT

1dttektu

t

0i

t

0

i ∫∫ == . (5.4)

Stąd transmitancja regulatora całkowego (rysunek 5.5) ma postać

( ) ( )( ) s

k

se

susG i== . (5.5)

lub

( ) ( )( ) sT

1

se

susG

i

== . (5.6)

gdzie ik jest stałą nastawną, iT jest stałą czasową całkowania zwaną

czasem zdwojenia, iT1 nazywa się szybkością działania całkującego

i

iT

1k = .

Schemat blokowy fragmentu układu z regulatorem I przedstawiony jest na rysunku 5.5.


automatycznej z regulatorem I o transmitancji G(s)

ROZDZIAŁ 5

Strona 104104104104

Zastosowanie regulatora I stabilizuje pracę układu i zmniejsza uchyb ustalony. Zapas stabilności jest duŜy, ale nieznacznie pogarszają się wła-sności dynamiczne poprzez obniŜenie górnej granicy pasma przenosze-nia. W regulatorze P, w odpowiedzi na wejściowy sygnał skokowy wy-stępuje na wyjściu uchyb w postaci sygnału ustalonego. Uchyb taki moŜna wyeliminować, jeŜeli do regulatora dodamy algorytm sterowania całkowego. JeŜeli wartość uchybu est jest stała w czasie iT , to wartość

odpowiedzi u(t) podwoi się po upływie tego czasu. Odpowiedź na wy-muszenie skokowe ( ) ( ) stet1te = otrzymamy w sposób identyczny jak

w rozdziale 3.5. Charakterystyki czasowe i częstotliwościowe regulato-rów I są zestawione na rysunkach 5.6 i 5.7.

Rysunek 5.6. Charakterystyka czasowa elementu całkującego:

a) opisanego wzorem (5.5), b) opisanego wzorem (5.6)

Aby uchyb w stanie ustalonym dąŜył do zera (był równy zero), to w to-rze głównym lub w regulatorze musi być całkowanie. Sprowadzenie uchybu do zera jest najwaŜniejszą cechą regulatora I (rysunek 5.8).

Uchyb połoŜenia istnieje wtedy, gdy układ sterowania połoŜeniem pobu-dzony sygnałem skokowym w stanie ustalonym ( ∞→t ) będzie wykazy-wał stały uchyb (rysunek 5.8 b). W niektórych układach sterowania nie moŜe być stałego uchybu np. tor lotu samolotu, rakiety itp.


Strona 105105105105

Rysunek 5.7. Charakterystyki częstotliwościowe regulatora I:

a) amplitudowo-fazowa, b) logarytmiczna amplitudowa, c) logarytmiczna fazowa

Rysunek 5.8. Ilustracja uchybu połoŜenia: a) brak uchybu połoŜenia,

b) istnieje uchyb połoŜenia

5.5. Regulatory proporcjonalno-całkujące

Właściwości regulatorów (PI) są połączeniem właściwości regulatorów P oraz I.

Schemat blokowy fragmentu układu z regulatorem PI przedstawiony jest na rysunku 5.9 oraz jego ogólna struktura na rysunku 5.10.

ROZDZIAŁ 5

Strona 106106106106


automatycznej z regulatorem PI o transmitancji G(s)

Rysunek 5.10. Ogólna struktura regulatora PI

Algorytm pracy takiego regulatora definiujemy wzorem

( ) ( ) ( )dtteT

ktektu

t

0i

p

p ∫+= , (5.7)

Stosując transformację Laplace’a otrzymamy

( ) ( ) ( )sesT

kseksu

i

p

p += , (5.8)

a transmitancja operatorowa regulatora

( ) ( )( )

+==

sT

11k

se

susG

i

p . (5.9)

Odpowiedź na wymuszenie skokowe jest następująca

( ) st

i

p es

1

sT

11ksu

+= , (5.10)

( ) ( )[ ]

+== −

tT

11eksuLtu

i

stp

1 . (5.11)


Strona 107107107107

Charakterystyka czasowa na podstawie równania (5.11) pokazana jest na rysunku 5.11a). Z powyŜszego równania wynika, Ŝe przy iTt = wartość

( )stp

ek2tu = z czego wynika pojęcie czasu zdwojenia Ti po upływie,

którego składowa działania całkującego równa się składowej działania proporcjonalnego.

Charakterystyki częstotliwościowe otrzymamy z transmitancji widmo-wej wykorzystując wzór (5.9), a więc

( )

+=

ωω

jT

11kjG

i

p . (5.12)

Stąd część rzeczywista i urojona

( ) pkP =ω , ( ) .T

kQ

i

p

ωω −=

Charakterystyki logarytmiczne amplitudową i fazową otrzymamy ze wzorów

( ) [ ][ ] ( )[ ]

( ).lg1lglg20

lg20

22

22

ωω

ωω

iip TTk

QPdBL

−++=

=+= (5.13)

( ) ( )

( ).90

1

ω

ωωω

ωϕ

i

i

arctgT

Tarctg

P

Qarctg

+−=

=

−==

o

(5.14)

Na podstawie wzorów (5.13) i (5.14) zbudowano charakterystyki czę-stotliwościowe regulatora PI (rysunek 5.11).

Zmiana wartości pk wpływa na część proporcjonalną, jak i na część cał-

kową algorytmu sterowania.

ROZDZIAŁ 5

Strona 108108108108

Rysunek 5.11. Charakterystyki regulatora PI: a) czasowa,

b) amplitudowo-fazowa, c) logarytmiczna amplitudowa, d) logarytmiczna fazowa

Przykład 5.1

Na podanym na rysunku 5.12 układzie automatyki w rezonansie stosu-nek sygnału wejściowego do wyjściowego wynosi 5. Przy TTi = okre-

ślić wzmocnienie regulatora PI oraz dla o45−=ϕ wyznaczyć częstość.

Rysunek 5.12. Schemat układu automatyki


Strona 109109109109

Rozwiązanie

Transmitancja zastępcza układu automatyki jest

( ) ( )( ) ( )

( )( )

2.01

==+

=su

sy

sGsG

sGsG

regob

obz

Transmitancja regulatora PI

( )

+=

sTksG

i

preg

11

Zatem

( )( )( )p

i

p

zkTs

Ts

sTk

Ts

Ts

Ts

Ts

sG++

=

+⋅

++

+=111

11

1

1

Dla rezonansu TsTsTs ≅+→>> 1,1 ,

Czyli współczynnik wzmocnienia regulatora pk jest

( ) 42.01

1=→=

+= p

p

z kk

sG

Aby wyznaczyć częstość, naleŜy przejść z transmitancji operatorowej na widmową, zatem

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ).1111

111

1

11

2222

22

22

ωω

ωω

ωωω

ωω

ωω

ω

Tk

jT

Tk

T

T

jT

k

T

jT

jT

jT

j

k

TjG

pp

pp

z

+++

++=

=

+

+

+=

−

−⋅

++=

Część rzeczywista i urojona transmitancji widmowej

( ) ( )( )11 22

22

++=

ωω

ωTk

TP

p

,

ROZDZIAŁ 5

Strona 110110110110

( ) ( )( )11 22 ++=

ωω

ωTk

TQ

p

.

Częstość wyznaczamy ze wzoru

( )( ) TTP

Q 1145tan

1tan =→==== ω

ωωω

ϕ o .

5.6. Regulatory proporcjonalno- róŜniczkujące

Regulator PD wykonuje operacje działania proporcjonalnego i róŜnicz-kującego. Podczas róŜniczkowania wartość wielkości wyjściowej u(t) jest proporcjonalna do zmian uchybu e(t) regulacji.

Schemat blokowy fragmentu układu z regulatorem PD przedstawia ry-sunek 5.13 oraz jego ogólną strukturę rysunek 5.14.


automatycznej z idealnym regulatorem PD o transmitancji G(s)

Rysunek 5.14. Ogólna struktura idealnego regulatora PD

Dla tego typu regulatora prawo regulacji moŜemy zapisać w postaci

( ) ( ) ( )dt

tdeTktektu dpp += . (5.15)


Strona 111111111111

gdzie dT jest czasem wyprzedzenia sygnału wyjściowego regulatora PD

w stosunku do sygnału wyjściowego regulatora P przy zakłóceniu linio-wym i tych samych wartościach pk . Stosując transformację Laplace’a

otrzymamy wzór na transmitancję operatorową

( ) ( )( )

( )sT1kse

susG dp +== , (5.16)

Aby uzasadnić nazwę dT naleŜy zbadać odpowiedź regulatora PD na za-

kłócenie liniowo narastające ( ) tte = . Stąd ( ) 2s1se = , zatem na pod-stawie wzoru (5.16) otrzymamy

( ) ( ) ( ) ( )2pdp2dp

s

1k

s

1Tk

s

1sT1ksesGsu +=+== , (5.17)

czyli z oryginału funkcji ( )su otrzymamy charakterystykę czasową jako odpowiedź regulatora PD na wymuszenie liniowe (rysunek 5.15)

Rysunek 5.15. Odpowiedź idealnego regulatora PD na zakłócenie

liniowo narastające

W praktyce idealny element róŜniczkujący nie występuje. Regulator PD generuje odpowiedź z wyprzedzeniem tzn. wyprzedza regulator P o dT

sekund dla wzrastającego liniowo błędu ( )te (rysunek 5.15).

Czas wyprzedzenia powoduje wzrost wartości sygnału w stosunku do regulatora P i szybsze sprowadzenie obiektu do połoŜenia równowagi. Jest to waŜne przy sterowaniu obiektami o duŜej inercji. Stąd regulatory PD mają szerokie zastosowanie.

ROZDZIAŁ 5

Strona 112112112112

Odpowiedź na skok jednostkowy o dowolnej wartości (wymuszenie skokowe) ( ) ( ) stet1te = otrzymamy z transformaty (wzór 5.16)

( ) ( ) ( ) ( )s

1sT1eksesGsu dstp +== , (5.18)

której oryginał przyjmuje postać

( ) ( )[ ]tT1ektu dstp δ+= . (5.19)

Jest to równanie charakterystyki czasowej, którą przedstawia rysu-nek 5.16.a).

Charakterystyki częstotliwościowe otrzymamy z transmitancji widmo-wej wykorzystując wzór (5.16), a więc

( ) ( )ωω jT1kjG dp += . (5.20)

Stąd część rzeczywista i urojona

( ) pkP =ω , ( ) ωω dpTkQ = .

Charakterystyki logarytmiczne amplitudową i fazową otrzymamy ze wzorów

( ) [ ][ ] ( )[ ] 22

dp

22T1klg20QPlg20dBL ωωω +=+= . (5.21)

( ) ( )( )

ωωω

ωϕ darctgTP

Qarctg == . (5.22)

Na podstawie wzorów (5.20-5.22) zbudowano charakterystyki częstotli-wościowe regulatora PD (rysunek 5.16).

WyŜej opisany regulator był pozbawiony inercyjności, czyli jest regulatorem idealnym, którego w rzeczywistych konstrukcjach nie moŜna zrealizować. W rzeczywistości urządzenia mają bezwładność (inercyjność), dlatego opis regulatora rzeczywistego modelujemy poprzez przybliŜenie opisem modelu zbliŜonego do inercyjności pierwszego rzędu. Zatem transmitancja takiego regulatora przyjmuje postać


Strona 113113113113

( ) ( )( )

+

+==1Ts

sT1k

se

susG d

p , (5.23)

Rysunek 5.16. Charakterystyki czasowe i częstotliwościowe idealnego

regulatora PD: 1a) czasowa z idealnym elementem D, 2a) czasowa z elementem rzeczywistym D, b) amplitudowo-fazowa, c) logarytmiczna

amplitudowa, d) logarytmiczna fazowa

Charakterystykę czasową otrzymamy ze wzoru (5.23) jako odpowiedź na wymuszenie (skokowe) jednostkowe o dowolnej wartości tj.

( ) ( ) stet1te = , zatem

ROZDZIAŁ 5

Strona 114114114114

( ) ( ) ( )

++==

T

1s

1

T

T

s

1eksesGsu d

stp . (5.24)

Rysunek 5.17. Charakterystyki czasowe i częstotliwościowe

rzeczywistego regulatora PD: a) amplitudowo-fazowa, b) logarytmiczna amplitudowa, c) logarytmiczna fazowa

Na podstawie tablic otrzymamy oryginał transformaty w postaci

( ) ( ) ( )

+==−

Tt

dstp e

T

T1eksesGtu . (5.25)

PowyŜszy wzór przedstawia krzywą wykładniczą dąŜącą do asymptoty

o wartości stpek przy ∞→t (rysunek 5.16a2)). Transmitancję widmo-

wą otrzymamy ze wzoru (5.23) wstawiając za s ωj , zatem

( )

++=

1Tj

jT1kjG d

p ωω

ω , (5.26)


Strona 115115115115

Postępując jak wcześniej otrzymamy z transmitancji widmowej część rzeczywistą i urojoną, czyli

( ) ( )1

122

2

+

++=

ωω

ωT

TTTkP d

p , ( )122 +

=ω

ωω

T

TkQ d

p .

Ze wzorów (5.21, 5.22) i powyŜszych zaleŜności ( )ωP i ( )ωQ moŜemy wyznaczyć charakterystyki częstotliwościowe przedstawione na rysun-kach 5.17.

Przykład 5.2

Dla częstości [ ]s17=ω i opóźnienia fazowego o35−=ϕ dobrać czas

wyprzedzenia regulatora DT i stałą czasową T obiektu, tak, aby

DTT = . Schemat układu automatyki złoŜonego z obiektu i regulatora przedstawia rysunek 5.18.


Rozwiązanie


( ) ( )( ) ( )sGsG

sGsG

regob

obz +

=1

,

Transmitancja regulatora PD

( ) ( )sTksG Dpreg += 1 ,

ROZDZIAŁ 5

Strona 116116116116

Zatem

( )( ) bas

sTkTs

TssG

Dp

z +=

+⋅+

+

+=2

11

21

1

2

,

gdzie

DpTkTa 2+= , pkb 21+= .

Aby wyznaczyć czas wyprzedzenia regulatora i stałą czasową obiektu przy zadanych parametrach, naleŜy przejść z transmitancji operatorowej na widmową, zatem

( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( ) ,22

222

222222

222

ωω

ω

ωω

ωωω

ω

ab

aj

ab

b

ab

ajb

ajbajb

ajbjGz

+−

+=

=+

−=

−+

−=


( ) ( )222

2

ωω

ab

bP

+= , ( ) ( )222

2

ωω

ωab

aQ

+−= .

Czas wyprzedzenia regulatora DT i stałą czasową T obiektu wyzna-czymy ze wzoru

( )( )

( )p

Dp

k

TkT

b

a

P

Q

21

27.035tantan

+

+−=−==−=−=

ωωωω

ϕ o ,

Przy nastawie DTT = otrzymamy

[ ]sTT 1.07

7.07.07.0 ===→=

ωω

Tak, więc, aby były spełnione wartości parametrów ωϕ i , muszą być

[ ]sTT D 1.0== .


Strona 117117117117

Przykład 5.3

Dla układu automatyki jak na rysunku 5.20 wyznaczyć kąt przesunięcia fazowego ϕ między odpowiedzią a wymuszeniem dla [ ]sTD 1.0= ,

kk p

10= , [ ]s110=ω .

Schemat układu automatyki złoŜonego z obiektu i regulatora przedstawia rysunek 5.20.


Rozwiązanie


( ) ( )( ) ( )sGsG

sGsG

regob

obz +

=1

,

Transmitancja regulatora PD

( ) ( )sTksG Dpreg += 1 ,

Zatem

( )( ) ( )

pDpDp

zkkTskk

k

sTkTs

kTs

k

sG+++

=+⋅

++

+=1011

11

1 ,

Podstawiając dane otrzymamy

( )1

1

+=

s

ksGz ,

111

kk = .

Aby wyznaczyć kąt przesunięcia fazowego ϕ przy zadanych parame-trach, naleŜy przejść z transmitancji operatorowej na widmową, zatem

ROZDZIAŁ 5

Strona 118118118118

( ) ( )( )( ) ( ) ( )2

12

11

1111

1

ωω

ωωωω

ω+

−+

=−+

−=

kj

k

jj

jkjGz ,


( ) ( )21

1 ωω

+=

kP , ( ) ( )2

1

1 ωω

ω+

−=k

Q .

Stąd kąt wyprzedzenia fazowego wyznaczymy ze wzoru

( )( )

'112410tan o−=→−=−== ϕωωω

ϕP

Q.

5.7. Regulatory proporcjonalno-całkująco-róŜniczkujące

Podstawowe rodzaje regulatorów o działaniu ciągłym lub quasi-ciągłym realizują funkcje PID (działania: P – proporcjonalne, I – całkujące, D – róŜniczkujące).

W celu zmniejszenia błędów stanów ustalonych i przejściowych, zacho-wując jednocześnie stabilność i tłumienie na dostatecznym poziomie, moŜemy połączyć sterowanie proporcjonalne, całkowe i róŜniczkowe, które nazywane jest algorytmem sterowania proporcjonalno-całkowo-róŜniczkowego, w skrócie PID. Ten połączony algorytm ma zalety w stosunku do wcześniej omawianych algorytmów.

Dla liniowych regulatorów o działaniu ciągłym z idealnym elementem róŜniczkującym, równanie regulatora PID jako prawo regulacji ma postać

( ) ( ) ( ) ( )

++= ∫

t

d

i

pdt

tdeTdtte

Ttektu

0

1. (5.27)

gdzie kp – wzmocnienie proporcjonalne, Ti – stała czasowa całkowania, zwana czasem zdwojenia, Td – stała czasowa róŜniczkowania, zwana czasem wyprzedzenia.


Strona 119119119119

Stosując przekształcenie Laplace’a otrzymamy transformatę

( ) ( ) ( ) ( )

++= sseTses

seksu dp

1, (5.28)

Transmitancja operatorowa regulatora idealnego PID jest następująca

( ) ( )( )

++== sT

sTk

se

susG d

i

p

11 . (5.29)

Schemat blokowy fragmentu układu z regulatorem PID przedstawiony jest na rysunku 5.21 oraz jego ogólna struktura na rysunku 5.22.


automatycznej z regulatorem PID o transmitancji G(s)

Rysunek 5.22. Ogólna struktura regulatora PID utworzonego z członów

podstawowych (P, I, D)

Wprowadzając na wejście układu sygnał w postaci funkcji Diraca (wymuszenie impulsowe), otrzymamy charakterystykę czasową opisaną równaniem

( ) ( )

++= tTt

Tektu d

i

stp δ1

1 . (5.30)

ROZDZIAŁ 5

Strona 120120120120

Transmitancja widmowa ma postać

( ) ( )( )

++== ω

ωωω

ω jTjT

kje

jujG d

i

p

11 , (5.31)

stąd część rzeczywista i urojona tej transmitancji jest

( ) pkP =ω , ( )

−=

ωωω

i

dpT

TkQ1

. (5.32)

Na podstawie powyŜszych równań otrzymamy charakterystykę czasową (skokową) i charakterystyki częstotliwościowe (rysunek 5.23).

Rysunek 5.23. Charakterystyki czasowe i częstotliwościowe regulatora

PID z idealnym elementem róŜniczkującym: a) czasowa, b) amplitudowo-fazowa, c) logarytmiczna amplitudowa,

d) logarytmiczna fazowa

JeŜeli do idealnego działania róŜniczkującego wprowadzimy element in-ercyjny pierwszego rzędu połączony szeregowo (rzeczywisty element róŜniczkujący), to otrzymamy przybliŜone charakterystyki rzeczywistego regulatora PID.

Transmitancja takiego regulatora przyjmuje postać


Strona 121121121121

( ) ( )( )

+++==

1

11

Ts

sT

sTk

se

susG d

i

p . (5.33)

gdzie T jest stałą czasową elementu inercyjnego pierwszego rzędu

Wprowadzając na wejście sygnał w postaci skoku jednostkowego, otrzy-mamy na wyjściu charakterystykę czasową regulatora rzeczywistego tj.

( )

++=

−T

t

d

i

stp eT

Tt

Tektu

11 . (5.34)

Transmitancję widmową rzeczywistego regulatora PID otrzymamy z równania (5.33), zatem

( ) ( )( )

+++==

1

11

ωω

ωωω

ωTj

jT

jTk

je

jujG d

i

p . (5.35)

Część rzeczywista i urojona tej transmitancji jest następująca

( ) ( )1

122

2

+

++=

ωω

ωT

TTTkP d

p , ( ) ( )( )1

122

1

22

+

−−=

ωωω

ωTT

TTTkQ id

p .(5.36)

Na podstawie powyŜszych równań otrzymamy charakterystykę czasową (skokową) i charakterystyki częstotliwościowe regulatora rzeczywistego (rysunek 5.24).

Wszystkie trzy otrzymane stałe kp, Ti, Td moŜna regulować w szerokich granicach, w zaleŜności od rodzaju regulatora. Porównując charaktery-styki regulatorów moŜna zauwaŜyć, Ŝe w regulatorach rzeczywistych in-ercyjności zmieniają przede wszystkim początkową strefę charakterystyk czasowych. Regulatory PI powodują zmniejszanie wartości amplitud w funkcji częstości oraz mają ujemne przesunięcie fazowe (element całku-jący) w przypadku małych wartości częstości. Z charakterystyk logaryt-micznych wynika, Ŝe elementy róŜniczkujące sTd (regulatory PD i PID)

wytwarzają dodatnie kąty fazowe, szczególnie dla większych wartości częstości oraz generują większe wartości amplitud.

ROZDZIAŁ 5

Strona 122122122122

Rysunek 5.24. Charakterystyki czasowe i częstotliwościowe regulatora

PID z rzeczywistym elementem róŜniczkującym: a) czasowa, b) amplitudowo-fazowa, c) logarytmiczna amplitudowa, d) logarytmiczna

fazowa

5.8. Wybór typu i nastaw regulatorów

A) Dobór typu regulatora

O wyborze typu regulatora naleŜy zadecydować na podstawie własności fizycznych obiektu, narzuconych kryteriami jakości regulacji, uwzględ-niając niezawodność, dokładność, wagę, bezpieczeństwo, koszty, do-stępność.

Aby osiągnąć zamierzony rezultat zaprojektowanego układu regulacji, projektant musi jedynie dobrać stałe kp, Ti, Td . Dołączenie elementu róŜniczkującego powoduje zmniejszenie poziomu oscylacji oraz pozwala na pełniejsze kształtowanie jego dynamiki. Dodanie zaś elementu cał-kującego przyczynia się do wzrostu oscylacji odpowiedzi układu. Tak, więc, połączenie regulatora PID moŜe zmniejszyć poziom błędu, zacho-wując jednocześnie tłumienie na wymaganym poziomie i stabilność układu. Proces doboru stałych nazywany jest strojeniem regulatora. Zwiększenie wartości pk i iT1 powoduje zmniejszanie błędu układu


Strona 123123123123

automatyki, ale moŜe pogorszyć jego stabilność, natomiast wzrost war-tości dT prowadzi do poprawy stabilności. Kryteria strojenia bazują na

róŜnych zasadach. Niektóre z nich omówimy. Dopuszczalne są oscylacje w normalnym trybie pracy (np. proste procesy termiczne, załączanie-wyłączanie).

W zaleŜności od potrzeby moŜemy dokonać następującego wyboru typu regulatora:

Regulatory, dwustawne (2P) – obiekty statyczne, 2.0T ≤τ , dopusz-czalne oscylacje w normalnym trybie pracy (np. proste procesy ter-miczne tj. załączanie, wyłączanie). Sterowanie dwupołoŜeniowe jest pro-ste, a więc i niedrogie. Z tego powodu jest szeroko stosowane w domo-wych, jak i w przemysłowych układach sterowania. W sterowaniu dwu-połoŜeniowym sygnał wyjściowy u(t) jest na minimalnym lub maksy-malnym poziomie wartości, w zaleŜności od tego, czy sygnał uchybu e(t) jest dodatni czy ujemny. Regulatory dwupołoŜeniowe najczęściej są urządzeniami elektrycznymi, a zawór elektryczny uruchamiany jest po-przez cewkę. Regulatory P pneumatyczne z bardzo duŜymi wzmocnie-niami działają jak sterowniki dwupołoŜeniowe.

Regulatory trójstawne (3P) - zespoły wykonawcze z trójstawnym elementem napędowym, np. silnikiem nawrotnym („-1”- w lewo, „0”- stop, „+1”- w prawo) lub z dwoma torami działania, np. w układach klimatyzacyjnych („-1”- chłodzenie, „0”- stop, „+1”- grzanie).

Regulatory ciągłe (P, I, PI, PD, PID) - najszerszy obszar zastosowań, obiekty statyczne i astatyczne, 1T ≤τ .

Regulatory impulsowe - obiekty z duŜymi opóźnieniami transportowymi lub zastępczymi, 1T >τ .

Regulatory cyfrowe o algorytmach specjalnych, np.:

• minimalnowariancyjne, - predykcyjne, - Smith’a Regulatory ciągłe lub quasi-ciągłe (cyfrowe) o algorytmach P, PI, PID są najbardziej rozpowszechnione. Przy wyborze jednego z tych algorytmów naleŜy pamiętać o kilku podsta-wowych zaleceniach:

• dla uzyskania odchyłek statycznych bliskich zeru (teoretycz-nie równych zeru) niezbędne jest całkowanie (w algoryt-mach PI, PID)

ROZDZIAŁ 5

Strona 124124124124

• w przypadku obiektów opisujących np. procesy termiczne, zalecane jest róŜniczkowanie, gdyŜ pozwala na wytworzenie silnego oddziaływania korekcyjnego regulatora juŜ przy małych odchyłkach regulacji

• regulator PI zapewnia dobrą jakość regulacji tylko przy za-kłóceniach o małych częstotliwościach

• regulator PD zapewnia szersze pasmo regulacji niŜ regulator PI, jednak przy zakłóceniach wolnozmiennych wartości wskaźników jakości regulacji są gorsze

• regulator PID łączy zalety obu poprzednich regulatorów

Według zaleceń E. Kollmana (Regelungstechnik, 1992), dla procesów o własnościach bliskich bezinercyjnym (np. przepływ), inercyjnych pierwszego rzędu lub całkujących właściwe są zwykle regulatory P, PI, czasami I, natomiast dla procesów inercyjnych wyŜszego rzędu, lub całkujących z inercją (astatycznych) naleŜy wybierać regulatory PD lub PID.

B) Dobór nastaw regulatora

B1) Metoda Zieglera-Nicholsa

WyróŜnia się metody analityczne i doświadczalne doboru nastaw, dla regulatorów o jednym wejściu i jednym wyjściu sygnału (regulatory jed-nowymiarowe SISO; – single input – single output) i dla regulatorów wielowymiarowych MIMO (multi input – multi output). W niniejszym punkcie omówione będą tylko dwie metody dla regulatorów o jednym wejściu i jednym wyjściu (SISO).

Metoda Zieglera-Nicholsa stosowana jest wówczas, gdy regulator i inne elementy układu są juŜ zainstalowane, ich funkcjonowanie jest spraw-dzone, naleŜy tylko dobrać nastawy regulatora. Reguły doboru regula-tora PID zostały sformułowane na podstawie prowadzonych badań do-świadczalnych. Reguły te prowadzą do minimalizacji całki z modułu uchybu (kryterium całkowe). Stosowanie tych reguł wymaga wstępnego wprowadzenia dwóch pojęć:

Wzmocnienie krytyczne pkrk jest to wzmocnienie regulatora P po-

łączonego szeregowo z obiektem, które spowoduje, Ŝe układ zamknięty znajdzie się na granicy stabilności i wówczas pojawią się niegasnące


Strona 125125125125

drgania okresowe (oscylacje) o okresie nazywanym okresem drgań krytycznych oscT . Bezpośredni pomiar tych wielkości na drodze do-

świadczalnej jest niemoŜliwy, dlatego teŜ opracowano metody pośrednie wyznaczania tych parametrów.

Procedura:

d. pozostawiamy tylko działanie P regulatora (wyłączamy regulatory I i D poprzez zerowe nastawy wartości parametrów di TiT )

e. zwiększamy stopniowo współczynnik wzmocnienia pk aŜ

do osiągnięcia granicy stabilności (oscylacje o stałej amplitudzie)

f. mierzymy okres oscylacji oscT (na rejestratorze lub ekranie

monitora) i notujemy wartość pkrk , przy której wystąpiły

niegasnące oscylacje g. zaleŜnie od typu regulatora, naleŜy przyjąć nastawy:

W układzie z tak dobranymi nastawami regulatora będą występować przebiegi przejściowe tj. oscylacyjne z przeregulowaniem

3020 −=κ %. Mając wartości obu zmierzonych wielkości, naleŜy na-stawić regulator według tych wielkości, jak następuje:

• dla regulatora P : pkrp k5.0k =

• dla regulatora PI : pkrp k45.0k = , osci T83.0T =

• dla regulatora PID : pkrp k60.0k = , osci T5.0T = ,

oscd T125.0T =

Metody doboru parametrów regulatorów oparte są na przybliŜeniu od-powiedzi skokowej obiektu statycznego wyŜszego rzędu (rysunek 5.25).

Według Zieglera i Nicholsa parametry pkrk i oscT wyraŜone są wzorami

0

pkrT

Tk = , 04TTosc = . (5.38 )

ROZDZIAŁ 5

Strona 126126126126

Rysunek 5.25. PrzybliŜenie odpowiedzi skokowej obiektu statycznego: a) charakterystyka skokowa elementu inercyjnego pierwszego rzędu,

b) z opóźnieniem o transmitancji ( )sG

Przyjęcie podanych powyŜej nastaw regulatorów, pozwala uzyskać prze-biegi przejściowe o charakterze zbliŜonym do przedstawionego na ry-sunku 5.26. Wówczas przeregulowanie jest rzędu 15-20%, zaś liczba oscylacji nie przekracza dwóch.

Rysunek 5.26. Odpowiedź skokowa układu regulacji przy nastawach

regulatora wg reguły Zieglera-Nicholsa

B2) Metoda charakterystyk częstotliwościowych

ChociaŜ zasady Zieglera i Nicholsa uwzględniają właściwości regulato-rów, to nie zawsze dają dostatecznie zadowalające wyniki regulacji. Dlatego w literaturze fachowej często spotyka się róŜne zasady nasta-wiania np. według Pessena, Cypkina, metody linii pierwiastkowych.

Dobór regulatora, bądź elementu korekcyjnego moŜemy takŜe przepro-wadzić na podstawie analizy charakterystyk częstotliwościowych ukła-du. Z tych charakterystyk moŜemy określić:

• zapas stabilności (zapas modułu i fazy),


Strona 127127127127

• czas regulacji,

• przeregulowanie (ocena na podstawie zapasu fazy), czyli podstawowe parametry przebiegu odpowiedzi skokowej.

NaleŜy dokonać następującego toku postępowania:

1. Wykreślić charakterystyki częstotliwościowe obiektu,

2. Wyznaczyć minimalną wartość wzmocnienia takiego, aby za-pewniał ograniczenie uchybu ustalonego,

3. Wyznaczyć minimalne wartości zapasu modułu i fazy, ko-nieczne ze względu na ograniczenie przeregulowania,

4. Wyznaczyć minimalną wartość częstości 0ω (pulsacji) przecięcia

układu skorygowanego, konieczną ze względu na ograniczenie czasu regulacji,

5. Wybrać typ regulatora spośród będących do dyspozycji i naszki-cować charakterystykę układu z regulatorem, spełniającego wa-runki 2-4.

6. Sprawdzić, czy warunki 2-4, są spełnione,

7. JeŜeli wybrany typ regulatora nie spełnia podstawowych warun-ków, bez względu na odpowiedni dobór nastaw, naleŜy wybrać inny typ regulatora oraz powtórzyć postępowanie.

ROZDZIAŁ 5

Strona 128128128128

`

6 Stabilność liniowych układów automatyki

ROZDZIAŁ 6

Strona 130130130130

6.1. Ogólne warunki stabilności

Stabilność jest cechą układu, polegającą na zdolności zachowania pew-nego stanu równowagi stałej po zaniku działania zakłócenia (wymusze-nia), które wytrąciło układ z tego stanu. KaŜdy układ sterowania powi-nien być tak zbudowany, aby mógł właściwie wykonywać postawione zadania pomimo zakłóceń. Na rysunku 6.1. a) jest pokazane zachowanie się układu polegające na powrocie do stanu równowagi stałej po ustaniu działania wymuszenia, które wytrąciło układ z tego stanu, lub na osią-gnięciu nowego stanu równowagi stałej, jeŜeli wymuszenie zostało na stałym poziomie. W układach sterowania stabilność charakteryzuje wła-ściwości dynamiczne układu, które są warunkiem jego prawidłowej pracy.

Rysunek 6.1. Przykładowe charakterystyki czasowe układów

dynamicznych: a) układów stabilnych, b) układów niestabilnych

Zamknięty układ liniowy (rysunek 6.2) będziemy uwaŜać za stabilny, jeŜeli przy kaŜdej skończonej wartości zakłócenia z(t) i wartości zadanej w(t) oraz dla dowolnych warunków początkowych sygnał wyjściowy y(t)

dąŜyć będzie do skończonej wartości ustalonej dla czasu t dąŜącego do nieskończoności. Gdy po zaniknięciu zakłócenia układ powraca do tego samego stanu równowagi jakie poprzednio zajmował, wówczas jest sta-bilny asymptotycznie (rysunek 6.1 a)).

Zakłócenie z(t) moŜe być wprowadzone w dowolnym miejscu układu. W szczególności zakłóceniem moŜe być równieŜ zmiana wartości zada-nej w(t).

Koniecznym i dostatecznym warunkiem stabilności asymptotycznej (w sensie Lapunowa) układu (swobodnego) jest, aby wszystkie pier-wiastki rzeczywiste oraz części rzeczywiste pierwiastków urojonych równania charakterystycznego układu zamkniętego (mianownika trans-

STABILNOŚĆ LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI

Strona 131131131131

mitancji operatorowej przyrównanego do zera) były ujemne, a krotność pierwiastków rzeczywistych równych zeru, jak i krotność par pierwiast-ków urojonych, powinna być co najwyŜej równa jedności. Następuje wtedy zanik przebiegów y(t) w czasie (rysunek 6.1 a)).

Rysunek 6.2. Schemat zamkniętego układu regulacji automatycznej

( ) 0sR ie ⟨ , (6.1)

( ) w0t

zAtylim =∞→

. (6.2)

gdzie 0A jest współczynnikiem o wartości skończonej i układ jest sta-

bilny, wz jest wartością zakłócenia. Składowe przejściowe wielkości

wyjściowej zanikają wówczas do zera przy t→∞, a pozostaje jedynie składowa ustalona, określona statycznymi własnościami układu.

Dotychczasowe rozwaŜania dotyczą ogólnie stabilności jednowymiaro-wego układu liniowego, którego stan swobodny jest opisany jednorod-nym liniowym równaniem róŜniczkowym o stałych współczynnikach tj.

( ) ( ) ( ) ( ) 0tya...

dt

tyd

dt

tyda

dt

tyda 02n

2n

1n

1n

1nn

n

n =++++−

−

−

−

− , (6.3)

Na podstawie rozwiązań tego równania badamy stabilność układu swo-bodnego. Postać tych rozwiązań zaleŜy od pierwiastków równania cha-rakterystycznego.

0asa.....sasasa 01

2n

2n

1n

1n

n

n =+++++ −−

−− , (6.4)

PoniewaŜ rodzaj sygnału wejściowego nie ma znaczenia przy badaniu stabilności, to układ opisany równaniem (6.3) będzie stabilny, gdy

ROZDZIAŁ 6

Strona 132132132132

( ) 0tylimt

=∞→

. (6.5)

JeŜeli pierwiastki n21 s,...s,s są pierwiastkami rzeczywistymi równania

charakterystycznego (6.4) to rozwiązanie ma postać

∑=

=++=n

1i

tis

i

tns

n

t2s

2

t1s

1eCeC....eCeC)t(y , (6.6)

gdzie n21

C,...C,C są stałymi całkowania, które moŜna wyznaczyć z wa-

runków początkowych.

JeŜeli rozwiązanie równania (6.4) ma pierwiastki zespolone sprzęŜone

112,1js ωα ±= ,

224,3js ωα ±= to rozwiązanie jest następujące

( ) ( ) ( )tsinAtcosAetsinAtcosAety2423

t2

1211

t1 ωωωω αα +++= . (6.7)

JeŜeli chociaŜby jedna z części rzeczywistych i

s jest dodatnia, to odpo-

wiednia składowa rozwiązania określonego wyraŜeniem (6.7) ma skład-nik t

eα , co przy ∞→⟩ ti0α powoduje, Ŝe y(t) zmierza do nie-

skończoności, czyli układ jest niestabilny (rysunek 6.1 b)).

Z reguły Ŝąda się, aby układ liniowy był stabilny asymptotycznie, poniewaŜ wtedy występuje globalna stabilność asymptotyczna (dla dowolnych warunków początkowych).

Zatem układ liniowy jest stabilny w sensie Lapunowa, jeŜeli pierwiastki jego równania charakterystycznego leŜą w lewej półpłaszczyźnie liczb zespolonych. Wówczas składowa swobodna ma charakter zanikający zmierzając do zera. Natomiast na osi urojonej występują pierwiastki po-jedyncze w tym, co najwyŜej jeden równy zeru.

Rysunek 6.3. Rozkład wartości własnych pierwiastków równania

charakterystycznego


Strona 133133133133

Podsumowując ogólne kryterium badania stabilności naleŜy zauwaŜyć, Ŝe ocena stabilności układu na podstawie znajomości rozkładu pier-wiastków (wartości własnych) wymaga rozwiązania równania charakte-rystycznego, czyli wyznaczenia miejsc zerowych wielomianu. W przy-padku równania wysokiego rzędu jest to kłopotliwe. Z tego względu, do badania stabilności stosowane są inne kryteria pozwalające ominąć tę trudność. Najbardziej są znane i najczęściej stosowane kryteria anali-tyczne Hurwitza, Routha, analityczno-graficzne Nyquista. Kryteria te wymagają znajomości transmitancji układu w postaci analitycznej.

6.2. Kryterium Hurwitza oceny stabilności układów automatyki

Przedstawimy praktyczne sformułowanie algebraicznego kryterium sta-bilności Hurwitza, opartego na badaniu współczynników równania cha-rakterystycznego (6.4). Kryterium to pozwala na sprawdzenie, czy rów-nanie algebraiczne dowolnego stopnia ma wyłącznie pierwiastki ujemne lub o ujemnych częściach rzeczywistych. Warunkiem koniecznym i wy-starczającym, aby układ liniowy stacjonarny ciągły był stabilny asymp-totycznie, jest, aby wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego (6.4) miały części rzeczywiste ujemne, muszą być spełnione następujące warunki

h. wszystkie współczynniki równania (6.4) istnieją i ich wartości są większe od zera (jest to warunek konieczny, ale nie dostateczny)

0ai⟩ , ni ,.....,3,2,1,0=

i. podwyznaczniki i

∆ , od 2=i do 1−= ni , wyznaczone z

wyznacznika głównego n

∆ są większe od zera (warunek

dostateczny).

Wyznacznik n

∆ , utworzony ze współczynników równania (6.4), ma n

wierszy i n kolumn

ROZDZIAŁ 6

Strona 134134134134

(6.8)

Przedstawiliśmy praktyczne sformułowanie kryterium Hurwitza.

1n0n

a −= ∆∆ (6.9)

Ze wzoru (6.8) widać, Ŝe wyznacznik główny Hurwitza tworzymy umieszczając na głównej przekątnej kolejne współczynniki wielomianu od

1na − do

0a . Następnie w poszczególnych kolumnach wpisujemy po-

wyŜej wyrazu na głównej przekątnej wyznacznika współczynniki o in-deksach kolejno zmniejszających się o jeden, zaś poniŜej wyrazu na głównej współczynniki o indeksach kolejno zwiększających się o jeden. Wszystkie współczynniki, których indeksy są większe od n i mniejsze od zera zastępujemy zerami.

JeŜeli rozwaŜany układ jest niestabilny, to kryterium Hurwitza nie daje odpowiedzi ile pierwiastków równania charakterystycznego ma dodatnią część rzeczywistą. JeŜeli któryś z podwyznaczników jest zerowy to równanie charakterystyczne zawiera pierwiastki w dziedzinie urojonej (zespolone o zerowej części rzeczywistej). W układzie występują drga-nia niegasnące o stałej amplitudzie. Świadczy to, Ŝe układ znajduje się na granicy stabilności o charakterze przebiegu oscylacyjnego


Strona 135135135135

6.3. Kryterium Nyquista oceny stabilności układów automatyki

Kryterium Nyquista ma duŜe znaczenie praktyczne, poniewaŜ pozwala badać stabilność układu zamkniętego na podstawie przebiegu charakte-rystyki częstotliwościowej układu otwartego, którą moŜna wyznaczyć zarówno analitycznie, jak i doświadczalnie.

Rozpatrzmy układ liniowy o schemacie blokowym przedstawionym na rysunku 6.4.

Rysunek 6.4. Schemat blokowy otwartego układu automatyki

Transmitancja układu otwartego jest następująca

( ) ( )( )

( ) ( )sGsGsw

susG

21o⋅== , (6.10)

Przedstawiając tę transmitancję w postaci ilorazu wielomianów zmiennej s otrzymamy

( ) ( )( )sN

sMsG

o

o

o= , (6.11)

przy czym

( ) 0sNo

= , (6.12)

jest równaniem charakterystycznym układu otwartego; zakładamy, Ŝe stopień tego równania równa się n.

Transmitancja układu zamkniętego (rysunek 6.4) jest

ROZDZIAŁ 6

Strona 136136136136

( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )( )sG1

sG

sGsG1

sG

sw

sysG

o

1

21

1

z +=

⋅+== . (6.13)

Równanie charakterystyczne tego układu przyjmuje postać

( )sG1o

+ =0. (6.14)

W ten sposób określiliśmy równanie charakterystyczne układu za-mkniętego poprzez transmitancję układu otwartego. Mając opis mate-matyczny funkcji ( )sG

o moŜna sprawdzić stabilność układu zamknię-

tego rozwiązując równanie (6.14). JeŜeli równanie (6.14) zapiszemy w postaci ( ) 1sG

o−= to na płaszczyźnie, na której narysujemy wykres

( )sGo

, wszystkie zera równania (6.14) odwzorowują się w punkcie

A (-1,j0).

Równanie charakterystyczne układu zamkniętego moŜna takŜe zapisać w postaci

( ) ( ) ( ) 0sNsMsN00z

=+= . (6.15)

jest równieŜ stopnia n, poniewaŜ stopień ( )sM0

nie jest nigdy większy

od stopnia ( )sN0

.

Zbadajmy zmianę argumentu funkcji

( ) ( )( )ω

ωω

jN

jNjG1

o

z

0=+ , (6.16)

( )[ ] ( ) ( )⟨∞⟨⟨∞⟨⟨∞⟨

−=+ωωω

ω∆ω∆ω∆0

00

z0

0jNargjNargjG1arg , (6.17)

Przypadek 1. Układ otwarty jest stabilny. Równanie charakterystyczne układu otwartego ma wszystkie pierwiastki w lewej półpłaszczyźnie zmiennej s. Zgodnie z kryterium Michajłowa

( )2

njNarg0

0

πω∆

ω

⋅=⟨∞⟨

,

Układ zamknięty będzie stabilny, jeŜeli


Strona 137137137137

( )2

njNarg0

z

πω∆

ω

⋅=⟨∞⟨

,

Warunek stabilności układu zamkniętego moŜna, więc zapisać

( )[ ] 0jG1arg0

0=+

⟨∞⟨ω

ω∆ . (6.18)

Oznacza to, Ŝe wykres krzywej ( )[ ]ωjG10

+ nie moŜe obejmować po-

czątku układu współrzędnych. Musi się zaczynać i kończyć na jednej prostej wychodzącej z początku układu. Ten sam warunek odniesiony do charakterystyki częstotliwościowej (amplitudowo-fazowej) układu otwartego ( )ωjG

0 formułujemy następująco

JeŜeli charakterystyka amplitudowo-fazowa otwartego układu

regulacji automatycznej ( )ωjG0

dla częstości ω od 0 do ∞ nie

obejmuje punktu (-1,j0), to wtedy i tylko wtedy po zamknięciu będzie on równieŜ stabilny.

Przykładowe wykresy krzywych ( )[ ]ωjG10

+ układu stabilnego i nie-

stabilnego (po zamknięciu) pokazują wykresy na rysunku 6.5.

Rysunek 6.5. Charakterystyki amplitudowo-fazowe układów statycznych

( )[ ]ωjG1 0+ , które po zamknięciu są : a) stabilne, b) niestabilne

(podstawowe kryterium Nyquista)

Wykresy krzywych ( )ωjG0

układu stabilnego i niestabilnego (po za-

mknięciu) pokazują wykresy na rysunku 6.6.

ROZDZIAŁ 6

Strona 138138138138

Rysunek 6.6. Charakterystyki amplitudowo-fazowe układów statycznych

( )ωjG0 , które po zamknięciu są : a) stabilne, b) niestabilne

(podstawowe kryterium Nyquista)

W przypadku złoŜonego kształtu krzywych ( )ωjG0

trudno jest ocenić,

czy charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego obejmuje punkt A (-1,j0), czy nie. DuŜa trudność zachodzi w przypadku, gdy punkt dla 0=ω leŜy w nieskończoności. Wówczas wygodnie jest po-sługiwać się wynikającą bezpośrednio z podanego kryterium tzw. „re-gułą lewej strony”, która mówi, Ŝe

Układ zamknięty jest stabilny wtedy, kiedy punkt (-1,j0) znaj-duje się w obszarze leŜącym po lewej stronie charakterystyki

( )ωjG0

, idąc od początku w stronę rosnących częstości ω .

Zastosowanie tej reguły moŜna sprawdzić na przykładzie charakterystyk podanych na rysunkach 6.7 i 6.8.

Rysunek 6.7. Charakterystyki amplitudowo-fazowe układów statycznych, które po zamknięciu są : a) stabilne, b) niestabilne (reguła lewej strony)

Układamy astatycznymi nazywamy takie układy, które oprócz ujemnych pierwiastków części rzeczywistej mają, co najmniej jeden pierwiastek zerowy.


Strona 139139139139

Rysunek 6.8. Charakterystyki amplitudowo-fazowe układów

astatycznych, które po zamknięciu są : a) stabilne, b) niestabilne (podstawowe kryterium Nyquista)

Reguła lewej strony jest słuszna w zastosowaniu jedynie w przypadku, gdy badany otwarty układ automatyki jest stabilny. W innych przypad-kach naleŜy stosować ogólne kryterium Nyquista. Większość układów automatyki jest zbudowana tak, Ŝe układ otwarty jest stabilny i wtedy moŜna stosować bez zastrzeŜeń „regułą lewej strony”.

6.4. Ocena stabilności układów automatyki poprzez kryterium zapasu modułu i fazy

W przypadku dynamicznych stacjonarnych liniowych i ciągłych ukła-dów automatyki (DLSC) spełnienie kryterium Nyquista oznacza, Ŝe równanie charakterystyczne nie ma pierwiastków w prawej półpłasz-czyźnie. Mogą jednak istnieć pierwiastki ujemne, połoŜone blisko osi urojonej. Wykres charakterystyki widmowej przechodzi blisko punktu krytycznego A (-1,j0) (granicy stabilności). Stopień stabilności (zapas) moŜe być określony przez odległość wykresu charakterystyki widmowej

( )ωjG0

od punktu A (-1, j0). W tym celu wprowadzono pojęcie zapasu

modułu M∆ (zapas wzmocnienia) i zapasu fazy ϕ∆ . Z rysunku 6.9. wynika

( )πω∆ −−= jG1M . (6.19)

ROZDZIAŁ 6

Strona 140140140140

( )πω−jG jest modułem wektora transmitancji widmowej dla częstości

πω− odpowiadającej przesunięciu fazowemu -180°. Dla układów stabil-

nych 0M >∆ , dla niestabilnych 0M <∆ .

Zapas modułu wskazuje o ile mogłaby się zwiększyć amplituda drgań układu zamkniętego, aby przestał być stabilny. Czasami zapas modułu nazywany jest zapasem wzmocnienia, poniewaŜ amplitudę moŜna zwiększyć przez zwiększenie wzmocnienia układu automatyki.

Zapasem fazy nazywa się kąt zawarty między ujemną osią liczb rze-

czywistych a wektorem ( ) 1jG0

=ω . Aby kąt ten był dodatni to definiu-

jemy go w następujący sposób

( ) πωϕϕ∆ +=a

. (6.20)

( )a

ωϕ - argument wektora transmitancji widmowej dla częstości

aω (częstość przecięcia okręgu o promieniu jednostkowym z amplitu-

dowo-fazową), przy której ( ) 1jG0

=ω . Zapas fazy jest to dodatkowe

przesunięcie fazowe, które moŜe powodować przejście wykresu ( )ωjG0 do punktu krytycznego. Dla układów stabilnych ϕ∆ >0.


Z rysunku 6.9 wynika, Ŝe zapas fazy moŜna zdefiniować następująco

( )( )ωω

ϕ∆P

Qarctg= . (6.21)

Zapas stabilności wyraŜony przez zapas modułu i fazy stanowi zabezpie-czenie, Ŝe gdy przy pewnych zmianach parametrów układu, które mogą


Strona 141141141141

zachodzić podczas pracy lub z upływem czasu i powodować przesunię-cia charakterystyk w niekorzystnym kierunku, układ dalej pozostanie stabilny. Praktycznie przyjmuje się za wystarczający zapas modułu od 0.3 do 0.5, zaś zapas fazy od 30° do 50°.

Przykład 6.1

Zbadać stabilność układu automatyki, którego schemat przedstawia ry-sunek 6.10 korzystając z ogólnego warunku stabilności oraz z kryteriów Hurwitza i Nyquista. Określić zapas modułu.


Rozwiązanie

a) Kryterium ogólne dla układu zamkniętego

Transmitancja zastępcza zamkniętego układu automatyki jest

( ) ( )( ) ( ) 453

1

1 2321

1

+++=

+=

ssssGsG

sGsGz , ( ) 12 =sG .

Pierwiastki równania charakterystycznego są

,46.177.0

,46.177.0,45.10453

3

2123

⋅−−=

⋅+−=−=→=+++

is

isssss

Kryterium ogólne jest spełnione, poniewaŜ wszystkie części rzeczywiste pierwiastków Hurwitza są spełnione i leŜą w lewej półpłaszczyźnie liczb zespolonych.

ROZDZIAŁ 6

Strona 142142142142

Rysunek 6.11. Rozkład pierwiastków równania charakterystycznego

b) Kryterium Hurwitza dla układu zamkniętego

Kryterium koniecznym Hurwitza jest, aby wszystkie współczynniki równania charakterystycznego były większe od zera, zatem

.1a,3a,5a,4a 3210 ====

Jak widać kryterium to jest spełnione ( 0ai > )

Kryterium dostatecznym Hurwitza jest, aby wszystkie podwyznaczniki utworzone z wyznacznika głównego były większe od zera, tj.

Wyznacznik główny

,

[ ] [ ]

,044

400

354

013

00

0

,01154

13,03

0

210

32

3

10

32221

>=

=

=∆

>=

=

=∆>==∆

a

aaa

aa

aa

aaa


Strona 143143143143

lub 44114, 20310 =⋅=∆=∆→∆=∆ − aa nn .

Według obydwu kryteriów Hurwitza układ zamknięty jest stabilny

c) Kryterium Nyquista dla układu otwartego

Według kryterium Nyquista, charakterystyka amplitudowo-fazowa ukła-du otwartego nie moŜe obejmować punktu o współrzędnych (-1,j0).

NaleŜy, więc określić transmitancję operatorową ( )sGo układu otwar-

tego i przejść do transmitancji widmowej ( )ωjGo wydzielając część

rzeczywistą ( )ωP i urojoną ( )ωQ .

( ) =sGo 353

123 +++ sss

,

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )

( ) ( ).

519

513

513513

513

513

1

353

1

22222

22

2222

22

2223

ωωω

ωωω

ωωωωωωωωω

ωωωωωωω

−+−

−−−=

=−−−−+−

−−−=

=−+−

=+++

=

j

jj

j

jjjjjGo

( ) ( )( ) ( )22222

2

519

13

ωωω

ωω

−+−

−=P ,

( ) ( )( ) ( )22222

2

519

5

ωωω

ωωω

−+−

−−=Q .

( ) ( ) [ ]sQ 15,0050 212 ==→=−→= ωωωωω .

( )12

15 −==ωP ,

( ) 92.008.011 =−=−=∆ −πωPM .

ROZDZIAŁ 6

Strona 144144144144


Według obydwu kryteriów Hurwitza dla układu otwartego jest

Równanie charakterystyczne

353 23 +++ sss , .1,3,5,3 3210 ==== aaaa 0>ia .

[ ] [ ]

,036

300

353

013

00

0

,01253

13

,03

0

210

32

3

10

322

21

>=

=

=∆

>=

=

=∆

>==∆

a

aaa

aa

aa

aa

a

lub

3612320310 =⋅=∆=∆→∆=∆ − aa nn .

Oba kryteria Hurwitza są równieŜ spełnione, a więc układ automatyki jest stabilny.

Przykład 6.2

Dla układu automatyki, którego schemat przedstawia rysunek 6.13. Określić współczynnik wzmocnienia, dla którego istnieje zapas modułu.



Strona 145145145145

Rozwiązanie


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) k1sk2k4sk4

k1s4

sGsGsG1

sGsGsG

22

321

21z −+−+

−=

+= ,

Równanie charakterystyczne

( ) ,01244 22 =−+−+ kskksk

,1010 <→>−= kka

( ) ,200241 <>→>−= kikkka

0k0k4a2

2 >→>= , 20 << k .

Dla układu otwartego

( ) =sGo ( ) ( ) ( )sGsGsG 321 =( )

( ) k1ks2

sk1k42 −+

−,

Transmitancja widmowa ( )ωjGo

( ) ( )

( ) ( )[ ]{ }( )[ ]{ } ( )[ ]{ }

( ) ( ) ( )[ ]{ }( )[ ]{ } ,

1641

4114116

441441

44114

144

14

22222

2222

2222

22

22

ωω

ωωω

ωωωωωωω

ωωω

ω

kkk

kkkkjkk

kjkkkjkk

kjkkjkk

kkjk

jkkjGo

+−−

−−−+−=

=−−−+−−

−−−−=

=−++−

−=

Część rzeczywista ( )ωP i urojona ( )ωQ .

( ) ( )( )[ ] 22222

22

1641

116

ωω

ωω

kkk

kkP

+−−

−= ,

( ) ( ) ( )[ ]( )[ ] 22222

22

k16k4k1

k4k1k1k4Q

ωω

ωωω

+−−

−−−= .

ROZDZIAŁ 6

Strona 146146146146

( ) ( ) ( )[ ]

( )[ ]( ) ( )[ ] 04114

01641

4114

22

22222

22

=−−−→

→=+−−

−−−=

ωω

ωω

ωωω

kkkk

kkk

kkkkQ

,

stąd

kk

−= 12

1ω ,

k

kk

P−

=

−=1

41

2

1ω ,

501

411

21

1 >→>−

−=

−=−=∆ kk

kk

PM ω .

Aby istniał zapas modułu to współczynnik wzmocnienia k musi być większy od 5.

Przykład 6.3

W przedstawionym na rysunku 6.14 układzie automatyki, wyznaczyć funkcję zmiany zapasu modułu układu otwartego w funkcji wzmocnienia k . Obliczyć, jaka będzie maksymalna amplituda sygnału wejściowego

odpowiedzi w układzie zamkniętym, jeśli przesunięcie fazowe o0=ϕ ,

5.0=k , zaś amplituda wymuszenia .30 cmx =


Rozwiązanie

Transmitancja widmowa, zastępcza otwartego układu automatyki jest


Strona 147147147147

( )( ) ( )

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

( )( ) ( )[ ]

( )( ) ( )[ ] ,

2141

21

2141

41

2141

2141

21412141

2141

142

22222

2

22222

22

22222

222

2222

222

23

2

ωωω

ωω

ωωω

ω

ωωω

ωωω

ωωωωωωωωω

ωωωω

−+−

−−

−+−

−=

=−+−

−−−=

=−−−−+−

−−−=

=+++

=

jk

jk

jj

jk

jjj

kjGo


( ) ( )( ) ( )[ ]22222

22

2141

41

ωωω

ωω

−+−

−=

kP ,

( ) ( )( ) ( )[ ]22222

2

2141

21

ωωω

ωωω

−+−

−−=Q .

Zapas modułu

( ) ( )( ) ( )[ ] [ ]sQ 15.00

2141

2122222

2

=→=−+−

−−= ω

ωωω

ωωω ,

( ) 25.0 kP ==ω ,

( ) 215.01 kPM −==−=∆ ω .

Rysunek 6.15. Wykres zmiany modułu w funkcji współczynnika

wzmocnienia k

ROZDZIAŁ 6

Strona 148148148148

Transmitancja operatorowa badanego układu automatyki jest

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 223

321

21

1421 ksss

k

sGsGsG

sGsGsGz ++++

=+

= ,

Transmitancja widmowa

( )( ) ( )

( )[ ] ( ){ }( )[ ] ( ){ }( )[ ] ( )

( )[ ]( )[ ] ( )

( )( )[ ] ( )222222

2

222222

22

222222

222

223

2141

21

2141

41

21412141

2141

142

ωωω

ωω

ωωω

ω

ωωωωωωωωω

ωωωω

−+−+

−−

−+−+

−+=

−−−+−+−+

−−−+=

=++++

=

k

kj

k

kk

jkjk

jkk

kjjj

kjGz

.


( ) ( )[ ]( )[ ] ( )222222

22

2141

41

ωωω

ωω

−+−+

−+=

k

kkQ ,

( ) ( )( )[ ] ( )222222

2

214k1

21kP

ωωω

ωωω

−+−+

−= ,

( )( )

( )( )[ ]

[ ]s

kk

k

P

Q

15.0,0

41

210tantan

21

22

2

==→

→−+

−−===

ωω

ωωω

ωω

ϕ o

,

( ) ,00 ==ωQ ( ) 05.0 ==ωQ ,

( ) 4.01

02

=+

==k

kP ω , ( )

3

2

415.0 22 =

−+==

ωω

k

kP ,

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) 0022

0

0 xPyPQPMx

yjG ωωωωω =→=+=== ,

dla ( ) [ ]cmxPy 2.134.00 00 =⋅=== ω ,


Strona 149149149149

( ) [ ]cmxPy 233

25.0 00 =⋅=== ω .

ROZDZIAŁ 6

Strona 150150150150

`

7 Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania

ROZDZIAŁ 7

Strona 152152152152

7.1. Pojęcia podstawowe

Automatyka – dziedzina wiedzy, która ma na celu częściowe lub cał-kowite wyłączenie człowieka (operatora) z procesu sterowania procesem produkcji, obsługi maszyn i urządzeń.

Automatyzacja – jest to działalność zmierzająca do wprowadzenia metod i środków automatyki.

Regulacja – sterowanie w układzie zamkniętym ze sprzęŜeniem zwrot-nym.

Regulator – urządzenie sterujące w układzie zamkniętym.

Sterowanie automatyczne – wpływanie na przebieg procesu technolo-gicznego w taki sposób, aby osiągnąć zamierzony cel poprzez uŜycie urządzeń sterujących (sterowniki, regulatory) zastępujących człowieka.

Regulacja automatyczna – polega na utrzymaniu, bez ingerencji czło-wieka, fizycznego parametru na określonym poziomie wartości.

Obiekt regulacji (sterowania) – jako zestaw aparatury technologicznej procesu fizycznego o określonej dynamice, w której zachodzi proces re-gulowany, np. zbiornik ciśnieniowy (regulacja ciśnienia), zbiornik cie-czy (regulacja poziomu), piec hartowniczy (regulacja temperatury) itp.

Obiektem sterowania moŜe być maszyna, urządzenie, pojazd mecha-niczny, samolot, statek itp. Wielkościami, którymi działamy na obiekt sterowania są sygnały wejściowe, wpływające na wielkości sterowane, zwane sygnałami wyjściowymi.

Element automatyki – układ w którym wyróŜniamy sygnał wejściowy i wyjściowy. Elementy automatyki dzielimy na liniowe i nieliniowe, opisywane liniowymi bądź nieliniowymi równaniami róŜniczkowymi, róŜnicowymi lub algebraicznymi.

Układ automatyki – połączenie elementów automatyki (obiekt, regula-tor), które współdziałają wykonując postawione zadanie.

Zakłócenie – moŜe być generowane wewnątrz układu (wewnętrzne) lub poza układem (zewnętrzne) stanowiąc sygnał wejściowy. Zakłócenie niekorzystnie działa na wartość sygnału wyjściowego.

WPROWADZENIE DO UKŁADÓW AUTOMATYCZNEGO STEROWANIA

Strona 153153153153

7.2. Rodzaje regulacji

stałowartościowa – polega na utrzymaniu stałej wartości wielkości re-gulowanej wartości zadanej w = const.

programowa – wartość wielkości regulowanej ma zmieniać się w czasie z góry ustalony sposób. Wartość zadana jest zdeterminowana.

NadąŜna (śledząca) - wartość zadana zmienia się w sposób niezdeter-minowany, jest funkcją czasu. Zmiany tej funkcji nie zaleŜą od procesu zachodzącego wewnątrz układu. Związane są natomiast ze zjawiskami występującymi na zewnątrz.

Zakładamy, Ŝe obiekt sterowania i działające na niego zakłócenia nie zmieniają swoich właściwości w czasie (są stacjonarne). Czasami tak nie jest i potrzebne jest dostrajanie parametrów regulatora w czasie ste-rowania (adaptacja).

WyróŜniamy takŜe układy analogowe i cyfrowe oraz układy regulacji ciągłej i dyskretnej.

Wielkości (sygnały) wejściowe oddziaływujące na obiekty o transmitan-cjach ( ) ( ) ( )sGisG,sG 21 dzielimy na sterujące ( )tu i zakłóceniowe

( )tz , ( ( ) ( ) 0tzlub0tz ≠= ) ( ) 0tz ≠ , wówczas stosujemy układy ste-rowania:

j. układ stabilizacji z kompensacją zakłóceń

Rysunek 7.1. Schemat układu stabilizacji z kompensacją zakłóceń

k. układ stabilizacji ze sprzęŜeniem zwrotnym

ROZDZIAŁ 7

Strona 154154154154

Rysunek 7.2. Schemat układu stabilizacji ze sprzęŜeniem zwrotnym

7.3. Elementy prostego i złoŜonego układu automatycznej regulacji

Schemat blokowy prostego układu automatycznej regulacji przedstawia rysunek 7.3.

Rysunek 7.3. Schemat blokowy prostego układu automatycznej regulacji

Układy automatycznej regulacji są układami zamkniętymi, wykorzystu-jącymi ujemne sprzęŜenia zwrotne. Zadaniem układu regulacji jest mi-

nimalizacja sygnału uchybu regulacji ( )te , tak aby sygnał zadany ( )tw jak najmniej róŜnił się od sygnału wyjściowego, zatem

( ) ( ) ( )( ) 0tytwlimtelimtt →−= ∞→∞→ ,

czyli ( ) 0te = gdy ( ) ( )tytw = . (7.1)


Strona 155155155155

Na wartość uchybu ( )te wpływają zakłócenia zewnętrzne ( )tz działa-

jące na obiekt, jak i zmiany wartości zadanej ( )tw na wejściu regulatora, zmiany parametrów układu itp.

Ogólny schemat blokowy złoŜonego układu automatycznej regulacji przedstawia rysunek 7.4

Rysunek 7.4. Schemat blokowy złoŜonego układu automatycznej

regulacji

Zadaniem regulatora jest, aby sygnał sterujący ( )tu zaleŜny od sygnału

uchybu ( )te , tak ukształtować, by sygnał regulowany ( )ty jak najmniej

róŜnił się od sygnału zadanego ( )tw . Regulatorem z wbudowanym algorytmem regulacji moŜe być P, PI, PD, PID.

Najczęściej stosowanym regulatorem jest regulator PID, utworzony z członów (elementów) podstawowych P, I, D (rys.7.5 a). W skład regu-latora wchodzi układ formujący sygnał (algorytm działania regulatora), węzeł sumacyjny. Kryteria podziału regulatorów są róŜne np. podział ze względu na rodzaj przetwarzanych sygnałów mogą być analogowe lub cyfrowe. Ze względu na sposób budowy mamy regulatory o działaniu bezpośrednim, które nie korzystają z energii pomocniczej oraz korzy-stające (o działaniu pośrednim), wymagające elementu wykonawczego.

NajwaŜniejszymi parametrami regulatora PID są pk , iT , dT oraz zakres

proporcjonalności px

100k

1x

p

p ⋅= %. (7.2)

Większość regulatorów przemysłowych jako źródła energii wykorzy-stuje prąd elektryczny, spręŜone powietrze lub olej pod ciśnieniem. W skali przemysłowej najczęściej korzysta się z regulatorów o działaniu

ROZDZIAŁ 7

Strona 156156156156

pośrednim. Urządzenie wykonawcze i element pomiarowy są wtedy od-dzielone od siebie.

Rysunek 7.5. Schemat blokowy: a) regulatora złoŜonego z P, I, D,

b) regulatora dwupołoŜeniowego

−pk współczynnik wzmocnienia regulatora, −−−−iT czas zdwojenia (wy-

raŜa intensywność działania całkującego), −dT czas wyprzedzenia (o-

kreśla działanie róŜniczkujące regulatora)

W dwupołoŜeniowym układzie regulacji element wykonawczy ma tylko dwa ustalone połoŜenia (rys.7.5b). Sygnał sterujący ( )tu jest na pozio-mie wartości minimalnej, lub maksymalnej, w zaleŜności od tego, czy sygnał uchybu ( )te jest ujemny, czy dodatni, otrzymujemy

( ) ( ) 0tedlaUtu 1 >= , (7.3)

( ) ( ) 0tedlaUtu 2 <= . (7.4)

−21 U,U są stałymi

Regulatory pneumatyczne, proporcjonalne z duŜymi wzmocnieniami, działają jak sterowniki dwupołoŜeniowe. Sterowanie dwupołoŜeniowe jest stosunkowo proste i głównie z tego powodu stosuje się w sprzęcie domowym jak i w przemysłowych układach sterowania.

Element wykonawczy słuŜy do przenoszenia sygnału sterującego ( )tu , uformowanego w regulatorze, na obiekt regulacji. Najczęściej spotyka-nym elementem wykonawczym jest siłownik hydrauliczny, pneuma-tyczny, układ piezoelektryczny lub mechaniczny.

Element pomiarowy w postaci układu pomiarowego składa się z: a) czujnika (tensometrycznego, indukcyjnego, magnetycznego, piezo-elektrycznego), mogącego mierzyć przemieszczenie, siłę, moment, ci-


Strona 157157157157

śnienie, temperaturę, b) wzmacniacza sygnału, zasilacza, c) miernika cy-frowego. Czujnik dokonuje pomiaru wielkości wyjściowej ( )ty . Sygnał wyjściowy z czujnika często trzeba jeszcze odpowiednio przekształcić stosując przetwornik pomiarowy.

Obiekty regulacji jak inne elementy automatyki, podlegają klasyfikacji ze względu na ich własności dynamiczne.

Ze względu na końcową wartość odpowiedzi skokowej wyróŜnia się dwie grupy obiektów regulacji:

a. statyczne z samo-wyrównaniem, których sygnał odpowiedzi skokowej dąŜy do skończonej wartości. Obiekty te nie posiadają działania całkującego tzn. sygnał wyjściowy przyjmuje stałą wartość po zadaniu na wejściu sygnału skokowego.

Układ jest opisany równaniem charakterystycznym

0asa......sasasa 01

2n

2n

1n

1n

n

n =+++++ −−

−− . (7.5)

którego pierwiastki zespolone części rzeczywistej lub pierwiastki rzeczywiste są ujemne.

b. astatyczne bez samo-wyrównania, których wartość odpowiedzi skokowej dąŜy do nieskończoności. Obiekty takie posiadają działanie całkujące. Najczęściej występujące to serwomechani-zmy, regulatory dwu i trójpołoŜeniowe.

JeŜeli stałej wartości wielkości wejściowej odpowiada w stanie ustalo-nym stała wartość pierwszej pochodnej wielkości wyjściowej, to człon jest astatyczny pierwszego rzędu (człon całkujący). Gdyby w tych sa-mych warunkach na wejściu wartość stałą miała w stanie ustalonym n-ta pochodna wielkości wyjściowej, to jest to astatyczność n-tego rzędu. Układem astatycznym regulacji nazywa się układ, w którym przy stałej wartości zmiany wielkości zadającej uchyb statyczny ste równy jest

zeru.

ROZDZIAŁ 7

Strona 158158158158

7.4. Charakterystyki skokowe obiektów statycznych

Często analityczne wyznaczanie transmitancji nie jest moŜliwe, ponie-waŜ równania opisujące własności obiektów regulacji nie są dostatecznie znane. W takich przypadkach naleŜy korzystać z doświadczalnie wyzna-czonych charakterystyk skokowych. Wyznaczoną doświadczalnie cha-rakterystykę aproksymuje się graficznie za pomocą elementu inercyj-nego pierwszego rzędu i czasu opóźnienia

0T (rysunek 7.6).

Rysunek 7.6. Aproksymacja charakterystyki skokowej obiektu

statycznego obiektem z opóźnieniem i inercją pierwszego rzędu

−k współczynnik wzmocnienia, −T zastępcza stała czasowa,

−0T czas opóźnienia

Równanie róŜniczkowe obiektu

( ) ( ) ( )0Ttkuty

dt

tdyT −=+ . (7.6)

Transmitancja obiektu zastępczego

Rysunek 7.7. Schemat blokowy statycznego układu automatycznej

regulacji


Strona 159159159159

( ) ( ) ( ) ST

210e

1Ts

ksGsGsG

−⋅+

== . (7.7)

Rysunek 7.8. Charakterystyki skokowe obiektów statycznych

−k współczynnik wzmocnienia, −iT stałe czasowe (i=1,2,3),

−0T czas opóźnienia, ( )−sGi transmitancje operatorowe

1 – element inercyjny pierwszego rzędu ( )1Ts

ksG

+=→ , (7.8)

2 - element inercyjny wyŜszego rzędu

Rysunek 7.9. Schemat blokowy statycznego układu automatycznej

regulacji złoŜonego z dwóch inercyjnych pierwszego rzędu

( ) ( ) ( )( )( )1sT1sT

ksGsGsG

21

21 ++== . (7.9)

3 - element inercyjny wyŜszego rzędu z opóźnieniem

Rysunek 7.10. Schemat blokowy astatycznego układu automatycznej

regulacji złoŜonego z trzech inercyjnych pierwszego rzędu i opóźniającego

ROZDZIAŁ 7

Strona 160160160160

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )

ST

321

43210e

1sT1sT1sT

ksGsGsGsGsG

−⋅+++

== .(7.10)

7.5. Charakterystyki skokowe obiektów astatycznych

Rysunek 7.11. Charakterystyki skokowe obiektów astatycznych

−k współczynnik wzmocnienia, −T stałe czasowe, −0T czas opóź-

nienia, ( )−sGi transmitancje operatorowe

1 – element całkujący, ( )s

ksG =→ , (7.11)

2 – element całkujący z inercją pierwszego rzędu,


regulacji złoŜony z elementu całkującego i inercyjnego pierwszego rzędu

( ) ( ) ( )( )1Tss

ksGsGsG 21 +

== (7.12)


Strona 161161161161

3 – element całkujący z inercją wyŜszego rzędu i opóźnieniem.


regulacji złoŜonego z elementu całkującego, dwóch inercyjnych pierwszego rzędu i opóźniającego

Rysunek 7.14. Aproksymacja charakterystyki skokowej obiektu

astatycznego

−k współczynnik wzmocnienia, −0T czas opóźnienia


regulacji złoŜonego z elementu całkującego i opóźniającego

Równanie róŜniczkowe obiektu

( ) ( )0Ttku

dt

tdy−= , (7.13)

Transmitancja obiektu zastępczego

( ) sT0es

ksG

−⋅= . (7.14)

ROZDZIAŁ 7

Strona 162162162162

7.6. Kryteria oceny jakości liniowych układów automatyki

Stan ustalony układu

Na ocenę jakości regulacji układu automatyki ma wpływ kształt prze-biegu procesu przejściowego, czas osiągania stanu ustalonego po zaniku działania zakłóceń, odchylenia przebiegu amplitud. Tak, więc ocena ja-kości regulacji sprowadza się do analizy stanu przejściowego (dokład-ność dynamiczna ) i ustalonego (dokładność statyczna). Podstawowym wymogiem stawianym układowi automatycznej regulacji jest, aby uchyb regulacji ( )te (zdefiniowany wzorem (7.1), rysunek 7.4) był jak naj-mniejszy. Dokładność statyczna określa zdolność układu do utrzymywa-nia wartości regulowanej jak najbliŜej wartości zadanej po zakończeniu stanu przejściowego, a więc w stanie ustalonym. Dokładność dynamicz-na oznacza zdolność układu do dokładnego i szybkiego śledzenia zmiany wartości zadanej ( )tw .

Dokładność statyczną określa się na podstawie odchyłki statycznej ( )test

będącej sumą odchyłki oddziaływania zakłóceń ( )tz (uchyb zakłóce-

niowy) ( )tez i odchyłki wywołanej zmianą wartości zadanej ( )tw na

wejściu układu (uchyb nadąŜania) ( )tew . Zatem

( ) ( ) ( )tetete wz += , (7.15)

stwstzst eee += . (7.16)

Na podstawie twierdzenia o wartości końcowej moŜna napisać

. (7.17)

Regulator PID ma duŜy wpływ na dokładność statyczną, gdy współ-czynnik wzmocnienia regulatora rośnie to uchyb statyczny maleje (ale jest problem ze stabilnością - maleje). Gdy jest całkowanie, to dla kaŜdej


Strona 163163163163

skończonej i ustalonej wartości wymuszenia, odchyłka statyczna jest li-kwidowana.

Przykłady odpowiedzi układu automatyki na wymuszenie skokowe po-kazuje rysunek 7.16.

Rysunek 7.16. Przykłady odpowiedzi układów automatyki na

wymuszenie skokowe oraz liniowo narastające: a) statycznego z regulatorem P, b) astatycznego z regulatorem PI

Przykład 7.1

Określić odchyłkę statyczną sygnału wyjściowego sty układu URA

przedstawionego na rysunku 7.17. Obiektem jest człon oscylacyjny, zaś w torze pomocniczym sprzęŜenia zwrotnego jest regulator P.

Rysunek 7.17. Schemat układu z elementem oscylacyjnym i regulatorem proporcjonalnym

ROZDZIAŁ 7

Strona 164164164164

Transmitancja układu zamkniętego jest

( ) ( )( ) ( )

( )( ) p

2

21

1

k1s2s3

2

su

sy

sGsG1

sGsG

+++==

+= ,

Zakładamy, Ŝe sygnałem wejściowym (sterującym) jest sygnał jednost-kowy tzn.

( ) ( ) ( )s

suttu1

1 =→= ,

zatem odpowiedź

( )skss

syp

1

123

22

⋅+++

= ,

Z twierdzenia o wartości końcowej wynika

( ) ( )

0st

,ssylimtelimyst

→∞→

==

stąd

( ) .21

2

123

2lim

0

2psp kkss

sy+

=+++

=→↓

Z otrzymanego wyniku nasuwa się wniosek, Ŝe wzmocnienie regulatora P powoduje zmniejszenie uchybu statycznego. Czasami tak nie jest po-niewaŜ przy dość duŜym wzmocnieniu dla określonych parametrach układu moŜna pogorszyć jego stabilność. Poprawę moŜna uzyskać po-przez zastosowanie regulatora PID.

Przykład 7.2

Wyznaczyć odchyłkę statyczną (uchyb ( )test ) układu którego schemat

blokowy (strukturalny) przedstawia rysunek 7.18 przy załoŜeniu

zerowych warunków początkowych dla danych: 1052 2 ++= ttw ,

( ) ( )( ) 2102.0

115.050

ss

ssG

+

+= .


Strona 165165165165

Rysunek 7.18. Schemat strukturalny badanego układu automatyki

Rozwiązanie

Transmitancja zastępcza badanego układu automatyki jest

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )sG

swswsGse

sss

ss

sw

sesG zz +

==→+++

+==

1,

505.702.0

02.023

23

,

Dokonujemy rozkładu transmitancji ( )sGz w szereg potęgowy, a więc

( ) ....6

1

2

1

505.702.0

02.0 33

221023

23

++++=+++

+= sCsCsCC

sss

sssGz

stąd

( ) ( )swsCsCsCCsest

++++= ....6

1

2

1 33

2210 ,

Po poddaniu powyŜszego równania odwrotnemu przekształceniu La-place’a otrzymamy wzór na odpowiedź w stanie ustalonym, a więc

( ) ( ) ( ) ( ) ( )...

dt

twdC

6

1

dt

twdC

2

1

dt

tdwCtwCte

3

3

32

2

210st ++++=

gdzie

( ) 0s0 sGC =↓= =0,

( )

( )( ) ( )( )( )

0505.702.0

02.05.7206.0505.702.0206.0223

232232

01

=+++

+++−++++=

===↓

sss

sssssssss

ds

sdGC

s ,

ROZDZIAŁ 7

Strona 166166166166

( )

04.00

1

02

2

2 ====↓=↓ ss ds

dC

ds

sGdC ,

( )

0

2

03

3

3=↓=↓

==ss ds

dC

ds

sGdC ,

( )

54 += tdt

tdw,

( )

,42

2

=dt

twd

( )0

3

3

=dt

twd.

Po podstawieniu poszczególnych składników do powyŜszego równania otrzymamy

( ) 08.0=test .

Zadanie moŜna równieŜ rozwiązać inną metodą przy wykorzystaniu przekształcenia Laplace’a, a więc

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]swsGLseLte,swsGte z

11

z

−− ==→= .

Rysunek 7.19. Wykres zmiany odchyłki statycznej

Stan nieustalony (dynamiczny) układu

JeŜeli układ automatyki jest stabilny, to wiadomo, Ŝe przebiegi przej-ściowe zanikają dąŜąc do ustalonego poziomu wartości. Nie znamy na-tomiast wielu informacji, istotnych do zastosowań praktycznych, jak czasu wygaszania procesów przejściowych (czas regulacji rt ), pasma


Strona 167167167167

częstotliwości, w którym przebiega odtwarzanie sygnałów wymuszają-cych z zadaną dokładnością, wartości maksymalnych odchyleń amplitud, rodzaju przebiegów (rysunek 7.20) itp.

Rysunek 7.20. Charakterystyki czasowe układu dla skokowego sygnału

sterującego

1 – charakterystyka oscylacyjna o duŜym przeregulowaniu κ i długim czasie regulacji rt dla małej wartości współczynnika tłumienia

ξ ( )4.00 << ξ (element oscylacyjny),

2 – charakterystyka oscylacyjna o małym przeregulowaniu κ i krótkim czasie regulacji rt dla większej niŜ poprzednio wartości współczynnika

tłumienia ξ ( )8.04.0 << ξ (element oscylacyjny),

3 – charakterystyka inercyjna o krótkim czasie regulacji rt ,

4 – charakterystyka inercyjna o długim czasie regulacji rt .

Układ o charakterystyce 2 lub 3 posiada właściwy zapas stabilności i praktycznie do celów automatycznej regulacji nadaje się najlepiej. Układem najgorszym, mającym mały zapas stabilności (małe tłumienie) jest układ 1. Układ o charakterystyce 4 równieŜ się nie nadaje, gdyŜ ma za duŜy zapas stabilności. NaleŜy dodać, Ŝe zapas stabilności jest nie-zbędny równieŜ na moŜliwość zmian parametrów układu.

Kryteria oceny jakości liniowych układów regulacji

1. ocena parametrów odpowiedzi skokowej,

2. wskaźniki częstotliwościowe,

ROZDZIAŁ 7

Strona 168168168168

3. całkowe kryteria jakości regulacji.

Ad1) Ocena parametrów odpowiedzi skokowej

Jakość regulacji układu w stanie nieustalonym określa się na podstawie następujących parametrów (Rysunek 7.21):

a. czasu narastania (czasu wzrostu) nt ,

b. czasu szczytowego szt ,

c. maksymalnego przeregulowania 1y ,

d. czasu regulacji rt , e. przeregulowanie κ .

Ad a) Czas wzrostu nt dla układów o małym tłumieniu (o odpowiedzi

oscylacyjnej) wykorzystywany jest od 0 do 100 % swojej wartości koń-cowej. Dla układów o duŜym tłumieniu (o odpowiedzi aperiodycznej) od 10 % do 90 %.

Ad b) Czas maksymalnego przeregulowania szt jest czasem osiągnięcia

pierwszego szczytu przeregulowania.

Ad c) Maksymalne przeregulowanie 1y mierzony jest w procentach

i jest maksymalną wartością odpowiedzi maxy , mierzoną od wartości u-

stalonej sty . Definicja jest następująca

( )

oo100max

1 ⋅−

=st

stsz

y

ytyy , (7.18)

Wartość maksymalnego przeregulowania jest miarą zapasu stabilności układu. JeŜeli układ ma y1=100% to jest na granicy stabilności.

Ad d) Czas regulacji rt jest to czas potrzebny, aby krzywa odpowiedzi osiągnęła wartość ustaloną. Wartość tego czasu przyjmuje się najczę-ściej 5%.


Strona 169169169169

Rysunek 7.21. Przebieg wielkości regulowanej jako odpowiedzi na

skokową zmianę wielkości zadanej

Ad e) Przeregulowanie κ jest to stosunek maksymalnego uchybu

wartości początkowej 1pe do 0pe (rysunek 7.22), wyraŜony w pro-

centach. A więc

o

o1000

1 ⋅=p

p

e

eκ . (7.19)

Wskaźnik przeregulowania świadczy takŜe jak wskaźnik maksymalnego przeregulowania o stabilności układu. Im wartość przeregulowania jest większa tym mniejszy jest zapas modułu, a więc pogarszana jest stabilność układu automatyki.

Rysunek 7.22. Określenie przeregulowania układu automatyki

ROZDZIAŁ 7

Strona 170170170170

Ad 2) wskaźniki częstotliwościowe

Podstawowymi parametrami określanymi na podstawie charakterystyk częstotliwościowych badanego układu regulacji automatycznej są zapas modułu i fazy (zapas stabilności). DuŜe znaczenie ma kształt przebiegu

charakterystyki części rzeczywistej ( )ωP .

Podstawowymi wskaźnikami częstotliwościowymi są:

a. pasmo przenoszenia, b. wskaźnik regulacji (wskaźnik skuteczności regulacji).

Ad a) Pasmem przenoszenia nazywamy taki zakres częstości roboczych ( gr0 ωω << ), w którym stosunek amplitud wyjścia do wejścia oraz prze-

sunięcie fazowe między wyjściem a wejściem są utrzymane w Ŝądanych granicach z dokładnością dB3± (rysunek 7.23).

Znając charakterystykę częstotliwościową układu zamkniętego lub cha-rakterystyki logarytmiczne moŜemy wyznaczyć pasmo przenoszenia. Na rysunku 7.23 jest przedstawione wyznaczanie pasma przenoszenia. W praktyce częstość graniczna grω nie powinna być większa od częstoś-

ci własnej układu. Im większa jest wartość częstości własnej układu, tym szersze jest pasmo przenoszenia, większa jest szybkość odpowiedzi układu.

Rysunek 7.23. Określenie pasma przenoszenia dla

maxΦΦ < i maxmin AAA <<.


Strona 171171171171

Ad b) Wskaźnik regulacji definiujemy w następujący sposób

( )( )

( )regbez

regz

je

jejq

ω

ωω = . (7.20)

gdzie e jest uchybem regulacji

JeŜeli mamy znane wartości wskaźnika regulacji dla kilku częstości, wówczas moŜemy wyznaczyć obszar, w którym powinna leŜeć charakte-rystyka amplitudowa układu otwartego, aby układ spełniał postawione wymagania.

Ad 3) całkowe kryteria jakości regulacji

Miarą jakości regulacji jest takŜe wielkość pola (pole regulacji) pod krzywą uchybu regulacji a asymptotą, do której dąŜy ta krzywa (rysu-nek 7.24). DąŜy się do minimalizacji pola. Im pole to jest mniejsze, tym lepszy jest wskaźnik jakości. Pole regulacji znajdujące się powyŜej osi czasu (Rysunek 7.24 a), b)) oblicza się z całek

( )dtteI0

a ∫∞

= , ( )[ ]dtteeI0

stb ∫∞

−= , (7.21)

W celu uniknięcia sumowania pól dodatnich i ujemnych przy przebie-gach przejściowych, wymuszonych poprzez skok jednostkowy korzy-stamy z całek pól regulacji podniesionych do kwadratu.

( )dtteI0

2

c ∫∞

= , ( )[ ] dtteeI0

2

std ∫∞

−= . (7.22)

Kryteria całkowe są łatwiejsze do obliczania niŜ róŜne wskaźniki podane powyŜej. Gdy trzeba uwzględnić długość trwania odchylenia, czas jego występowania, oprócz wartości odchylenia, wprowadzono kryterium w postaci całki

( )dttetI0

3 ∫∞

= . (7.23)

ROZDZIAŁ 7

Strona 172172172172

Rysunek 7.24. Graficzna interpretacja całkowych kryteriów jakości

regulacji: a) układ astatyczny (przebieg aperiodyczny), b) układ astatyczny (przebieg oscylacyjny), c) układ statyczny (przebieg

aperiodyczny), d) układ statyczny (przebieg oscylacyjny)

Przykład 7.3

Wyznaczyć odpowiedź na zakłócenie liniowo narastające ( ) ttx = oraz stan ustalony sygnału wyjściowego dla elementu automatyki o transmi-

tancji ( )23

12 ++

=ss

sG

Rozwiązwiązanie

Z transmitancji wyznaczamy odpowiedź układu tj.

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ,sxsGsy,sx

sysG =→= ( ) ( )

2

1,

ssxttx =→= .

Korzystając z odwrotnego przekształcenia Laplace’a otrzymamy

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )( )

++=== −−−

12

12

111

sssLsxsGLsyLty .

PoniewaŜ z tablic Laplace’a nie moŜna odczytać funkcji przedstawiają-cej rozwiązanie, dlatego teŜ naleŜy dokonać rozkładu wyraŜenia na ułamki proste, czyli


Strona 173173173173

( )( )( ) ( ) ( )

( )( ),

12

23232

12

1

2

23

221

2

sss

DDCsDCBAsCBAs

s

D

s

C

ss

B

ss

A

sss

++

+++++++++=

=++−

+−

=++

Z powyŜszego równania otrzymamy następujący układ równań algebra-icznych z których wyznaczamy współczynniki A, B, C, D, zatem

=

−=

=

−=

→

=

=+

=+++

=++

.2

1

,4

3

,1

,4

1

.12

,032

,032

,0

D

C

B

A

D

DC

DCBA

CBA

( )( ) ( )

( ) ,4

1

2

1

4

3

1

2

11

4

3

1

1

2

1

4

1

12

1

2

21

21

tt eetty

ssssL

sssL

−−

−−

−++−=→

→

⋅+⋅−

++

+⋅−=

++

W stanie ustalonym po zaniku procesów przejściowych sygnał wyj-ściowy zmienia się według wzoru

( ) ttyy tst 2

1

4

3+−== ∞→↓ .

Rysunek 7.25. Wykres zmiany sygnału wyjściowego w stanie ustalonym

PowyŜszy przykład moŜna szybciej rozwiązać poprzez rozkład transmi-tancji ( )sG w szereg potęgowy, zatem

ROZDZIAŁ 7

Strona 174174174174

( ) ....!3!2!1

332210 ++++= s

Cs

Cs

CCsG

A więc

( ) ( )sxsCsCsCCsy

++++= ....6

1

2

1 33

2210 .

Poddając powyŜsze równanie odwrotnemu przekształceniu Laplace’a otrzymamy odpowiedź w stanie ustalonym, a więc

( ) ( ) ( ) ( ) ( )...

6

1

2

13

3

32

2

210 ++++=dt

txdC

dt

txdC

dt

tdxCtxCtyust

( )2

100 == =↓ssGC ,

( )( ) 4

3

23

32220

1 −=++

−−==

=↓ ss

s

ds

sdGC

s

,

( )

002

2

0

1

02

2

2 =≠===↓=↓ dt

xdale

ds

dC

ds

sGdC

ss

, 1=dt

dx.

Ostatecznie otrzymamy

( )4

3

2

1−= ttyust .

Uzyskany wynik jest identyczny jak otrzymany z powyŜej zastosowanej metody rozwiązania

Korekcja układów automatyki

Wprowadzenie

Korekcją układu automatyki nazywamy zmianę charakterystyki układu otwartego tak, aby miała korzystniejszy przebieg. Korekcja polega więc na zmianie kształtu charakterystyki tak, aby zapas stabilności był w Ŝą-danych granicach (rysunek 7.26). Występuje wówczas zmiana fazy, stąd metoda zmiany korekcji poprzez przyspieszenie fazy.


Strona 175175175175

Rysunek 7.26. Skorygowana charakterystyka amplitudowo-fazowa układu regulacji

21 MM ∆∆ < , 21 ϕϕ < .

−11 ,M ϕ∆ przed korekcją, −22 ,M ϕ∆ po korekcji układu

Element korekcyjny najczęściej jest opisany transmitancją

( )1bsas

Ts1sG

2k ++

+= , (7.24)

Współczynniki a i b powinny być tak dobrane, aby wyrazy

12 <<+ bsas , przy częstotliwości rezonansowej układu.

Korzystną deformację charakterystyki moŜemy otrzymać stosując me-tody pośrednie między dwoma skrajnymi przypadkami:

1. wykres ( )ωjG stabilizować w obszarze duŜych częstości przez odpowiednią deformację poprzez zwiększenie fazy (korekcja przez przyspieszenie fazy, lub róŜniczkowanie). Korekcja przez przyspieszenie fazy jest ograniczona tym, Ŝe operacja róŜniczkowania powoduje wzmocnienie szkodliwych drgań przypadkowych.

2. wykres ( )ωjG stabilizować przez zwiększanie wzmocnienia bez zmiany fazy w obszarze małych częstości (wprowadzenie całkowania).

ROZDZIAŁ 7

Strona 176176176176

Ze względu na sposób realizacji moŜna wyróŜnić następujące typy ko-rekcji:

• przez działanie róŜniczkujące (przyspieszenie fazy),

• przez działanie całkujące,

• przez zastosowanie regulatorów P, PD, PI, PID,

• przez zastosowanie techniki analogowo-cyfrowej.

Korekcja układu powinna zapewniać:

• poprawę własności statycznych,

• poprawę własności dynamicznych,

• poprawę zapasu stabilności poprzez wzrost wartości zapasu modułu i fazy.

Cele te mogą być osiągnięte róŜnymi drogami:

1. przez zmianę wartości parametrów bloków wchodzących w skład układu regulacji (parametry elementów korekcyjnych nie są nastawiane),

2. przez wprowadzenie do układu nowych bloków, zwanych ele-mentami (członami) korekcyjnymi lub regulatorami (parametry mogą być nastawiane) i umieszczenie ich w odpowiednim miej-scu układu regulacji.

Przez poprawę własności statycznych rozumiemy zmniejszenie wartości uchybu ustalonego przy wymuszeniu odpowiedniego typu. Zmniejszenie uchybu osiąga się przez wprowadzenie członu korekcyjnego. Często wy-starcza człon proporcjonalny P (wzmacniacz o k>1), włączony szere-gowo w tor główny układu.

Poprawa własności dynamicznych polega na zapewnieniu Ŝądanego kształtu przebiegu przejściowego reprezentowanego przez takie parame-try jak: (a) przeregulowanie κ , (b) czas regulacji rt , i inne, wcześniej omówione.

Przy doborze korekcji najdokładniejsza jest droga analityczna, ale teŜ najbardziej uciąŜliwa. Dlatego w praktyce najczęściej korzysta się ze związków przebiegu przejściowego z charakterystykami częstotliwo-


Strona 177177177177

ściowymi. Stosowane są równieŜ metody modelowania analogowego i cyfrowego.

Ze względu na sposób włączenia elementu korekcyjnego w układ regu-lacji automatycznej, korekcję moŜna określić jako

a) szeregową (rysunek 7.27)

Rysunek 7.27. Schemat blokowy układu z elementem korekcyjnym

włączonym szeregowo

( ) ( ) ( )sGsGsG ko= , (7.25)

b) równoległą (rysunek 7.28)

Rysunek 7.28. Schemat blokowy układu z elementem korekcyjnym

włączonym równolegle

( ) ( ) ( )sGsGsG ko += , (7.26)

c) ze sprzęŜeniem zwrotnym (włączenie anty-równoległe) (rysunek 7.29)

Rysunek 7.29. Schemat blokowy układu z elementem korekcyjnym w

sprzęŜeniu zwrotnym (włączenie anty-równoległe)

ROZDZIAŁ 7

Strona 178178178178

( ) ( )( ) ( )sGsG1

sGsG

ko

o

+= . (7.27)

Układy korekcji w sprzęŜeniu zwrotnym nazywa się takŜe układami z pomocniczą wielkością regulowaną o sygnale y1.

Podstawowym warunkiem do spełnienia korekcji jest zwykle odpo-

wiedni zapas stabilności (zapas M∆ i ϕ∆ ).

WyróŜnia się trzy rodzaje korekcji szeregowej:

a. wprowadzenie jednakowego tłumienia dla wszystkich wartości częstotliwości poprzez zmianę wzmocnienia,

b. wprowadzenie przy duŜych częstotliwościach tłumienia za pomocą elementu korekcyjnego opóźniającego fazę (element całkujący),

c. zmniejszenie opóźnienia fazowego za pomocą elementu korekcyjnego przyspieszającego fazę (element róŜniczkujący – ma zawsze dodatnią fazę).

Korekcja przez całkowanie

Jeśli mamy układ regulacji, którego wzmocnienie statyczne jest za małe, moŜemy zwiększyć to wzmocnienie wprowadzając całkowanie do transmitancji układu otwartego w postaci elementu o wzmocnieniu dąŜą-cym do ∞ przy .0=ω Transmitancja takiego elementu jest

( )Ts

11sGk += , ( ) 1P =ω , ( )

ωω

T

1Q −= ,

→−= .T

1tanarc

ωϕ faza ujemna

(7.28)

Aby zmniejszyć uchyb statyczny wprowadza się element korekcyjny

( )Ts

k1sGk += . (7.29)

o module dąŜącym do 1 przy duŜych częstościach i module dąŜącym do k przy małych częstościach.


Strona 179179179179


całkującego

Dla const=ϕ , .skoryg2.skorygnie1 AA <

Rysunek 7.31. Charakterystyka amplitudowo-fazowa regulacji przed i po

korekcji (wprowadzenie elementu całkującego)

JeŜeli zaleŜy nam na zmianie amplitudy w obszarze małych częstości, redukcji odchyłki statycznej, utrzymanie w odpowiednich granicach zapasu stabilności paśmie przenoszenia, to stosujemy regulator PI. Oczekiwania te mogą być spełnione poprzez duŜe wzmocnienie amplitudy przy małych częstościach, ale kosztem zmniejszenia fazy

poniŜej tzw. częstości sprzęgającej T

1s =ω (częstość niŜsza od

rezonansowej). Poza tym w obszarze niskich częstości, nie ma nadmiernego ujemnego przesunięcia fazowego. Dla tak skorygowanych układów zapas fazy jest za mały. Wtedy prowadzi się aproksymację regulatorów PI.

JeŜeli chcemy utrzymać duŜą wartość zapasu stabilności w zakresie częstości rezonansowych to stosujemy do korekcji regulatory PD lub PI. Fizyczne działanie korekcyjnego elementu róŜniczkującego moŜna wyjaśnić jako przeciwdziałanie wzbudzaniu się układu regulacji przez

ROZDZIAŁ 7

Strona 180180180180

tłumienie uchybu skorygowanego tym elementem. Zatem w obszarze niskich częstości powinna przewaŜać korekcja przez PI, zaś w obszarze wysokich częstości, korekcja przez PD. Poprzez odpowiednie połączenie tych kombinacji regulatorów, moŜna otrzymać korekcję typu PID. JeŜeli chcemy zwiększyć kąt przesunięcia fazowego (max. 900) między odpowiedzią a wymuszeniem to do korekcji stosujemy regulator rzeczywisty PD. Przesunięcie fazowe dla tego typu regulatora występuje w ograniczonym zakresie i dla wąskiego zakresu częstości powyŜej

s1.0 ω .

Korekcja analogowo-cyfrowa

Na rysunku 7.32 jest przedstawiony typowy schemat układu automa-tycznej regulacji, w którym jako urządzenie sterujące zastosowano kom-puter. Specyfika analizy sterowania komputerowego polega na tym, Ŝe proces sterowania jest rozpatrywany jako dyskretny w czasie.

Rysunek 7.32. Schemat cyfrowego układu korekcji

Aby przejść na postać cyfrową sygnału, z którą mamy do czynienia w regulatorze cyfrowym lub sterowniku, naleŜy przekształcić sygnał z postaci analogowej na cyfrową i odwrotnie. Regulatory analogowe generują ciągły w czasie sygnał wyjściowy w odpowiedzi na ciągły syg-nał wejściowy. Regulatory cyfrowe zaś tylko przetwarzają sygnał w chwilach próbkowania, wytwarzając ciąg czasowy sygnałów wyjścio-wych. JeŜeli pierwotny sygnał jest analogowy, to konieczne staje się przekształcenie analogowo-cyfrowe (wejście regulatora cyfrowego musi być skwantowane). Tak więc w analogowych układach sterowania, sygnały wejściowe muszą być próbkowane i kwantowane przez prze-twornik A/C dla ich wprowadzenia do regulatora cyfrowego. Dobór nastaw dla typowego regulatora analogowego, a następnie określenie pa-rametrów odpowiadającego mu algorytmu cyfrowej regulacji moŜna dokonać przez zastosowanie zmodyfikowanej reguły Zieglera-Nicholsa.

Przykład 7.4

Dla układu automatyki (rysunek 7.33 i 7.34) przy danych m/Ns10l = ,

mNk /101 = , kgm 10= , 5=k wyznaczyć zapas modułu oraz


Strona 181181181181

polepszyć stabilność układu poprzez wmontowanie w tor pomocniczy

członu korekcyjnego o transmitancji ( ) ( )sekTks

sGk 1,1,1

1==

+=

Rysunek 7.33. Układ automatyki ze sprzęŜeniem zwrotnym

Rysunek 7.34. Układ mechaniczny złoŜony z tłumika, masy i spręŜyny

Równanie równowagi sił dla badanego układu mechanicznego jest na-stępujące

( ) ( ) ( ) ( )tFtyktyltym 1 =++ &&& ,

Korzystając z rachunku operatorowego (przekształceń Laplace’a) przy zerowych warunkach początkowych powyŜsze równanie przyjmuje po-stać

( ) ( ) ( ) ( )sFsykslsysyms 1

2 =++ ,


( ) ( )( ) 1

1

22

112 ++

=++

==sTsT

k

klsmssF

sysG ,

ROZDZIAŁ 7

Strona 182182182182

11

21

21

1,,

kk

k

lT

k

mT === .

Zastępcza transmitancja operatorowa ( )sGz badanego układu automa-tyki z otwartym sprzęŜeniem zwrotnym jest

( ) ( )1

12

2 ++=⋅=

ssksGsGz ,

Część rzeczywista ( )ωP i urojona ( )ωQ transmitancji widmowej przyj-muje postać

( ) ( )[ ]( )[ ]( )[ ]

( )( )

.1

1

11

1

1

1

222

2

22

2

2

ωω

ωω

ωωωωωω

ωωω

+−

−−=

=−−+−

−−=

++−=

j

jj

j

jjGz

zatem

( ) ( )( ) 222

2

1

1

ωω

ωω

+−

−=P , ( )

( ) 2221 ωω

ωω

+−−=Q .

Zapas modułu wyznaczamy ze wzoru

( )πω∆ −−= P1M .

Wyznaczamy częstość przyrównując ( )ωQ do zera. Stąd dla tak wyzna-

czonej wartości częstości wyliczamy ( )πω−P , czyli

( )( )

001 222

=⇒=+−

−= ωωω

ωωQ ,

( ) 10 ==ωP , zatem ( ) 01 =−=∆ −πωPM .

PoniewaŜ 0M =∆ , więc badany układ moŜe być niestabilny. NaleŜy więc zbadać, czy wprowadzenie członu korekcyjnego przyczyni się do poprawy stabilności, zatem po wprowadzeniu członu korekcyjnego do


Strona 183183183183

toru pomocniczego (obok członu proporcjonalnego) transmitancja otwartego układu automatyki jest następująca

( )122

1

1

1

1

1232 +++

=+

⋅++

=ssssss

sGok

Transmitancja widmowa jest

( )

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] ,221

221

221221

221

122

1

22222

22

2222

22

23

ωωω

ωωω

ωωωωωωωωω

ωωωω

−+−

−−−=

=−−−−+−

−−−=

=++−−

=

j

jj

j

jjjGok

Zatem część rzeczywista ( )ωP i urojona ( )ωQ transmitancji widmowej przyjmuje postać

( ) ( )( ) ( )[ ]22222

2

221

21

ωωω

ωω

−+−

−=P ,

stąd ( ) ( )( ) ( )[ ]22222

2

221

2

ωωω

ωωω

−+−

−−=Q ,

( ) ( ) sQ 12020 2 =→=−−⇒= ωωωω ,

( )3

12 −==ωP ,

( )3

2

3

111 =−=−=∆ −πωPM .

Po wprowadzeniu członu korekcyjnego uzyskaliśmy duŜy zapas modułu, a więc układ automatyki jest stabilny

ROZDZIAŁ 7

Strona 184184184184

Rysunek 7.36. Charakterystyka amplitudowo-fazowa

`

8 Opis liniowych układów regulacji w przestrzeni stanów

ROZDZIAŁ 8

Strona 186186186186

8.1. Wprowadzenie

W rozdziale tym zostanie przedstawiony materiał do analizy automa-tycznych układów sterowania przez wykorzystanie przestrzeni stanów. Nowoczesne układy sterowania są bardziej skomplikowane, mogą mieć większą liczbę sygnałów wejściowych i wyjściowych, takŜe mogą się zmieniać w czasie (podejście w dziedzinie czasu). Matematyczny opis takich układów metodami klasycznymi (podejście w złoŜonej dziedzinie częstotliwości) jest niewystarczający, a nawet w wielu przypadkach niemoŜliwy. Zatem nowe podejście do analizy i projektowania złoŜo-nych układów sterowania opiera się na pojęciu równań stanu i wyjścia.

Zaletą metod przestrzeni stanu jest to, Ŝe równania opisujące układy re-gulacji nie muszą być równaniami liniowymi lub stacjonarnymi. Wielo-wymiarowe sygnały wejścia i wyjścia mogą być liniowe i nieliniowe, niezmienne lub zmienne w czasie. Klasyczna teoria nadaje się tylko do układów liniowych, stałych w czasie, z jednym wejście i wyjściem. Jak widać na początku naleŜy zdefiniować stan, zmienne stanu, wektor stanu oraz przestrzeń stanów np. dla układu dynamicznego. ZauwaŜmy więc Ŝe pojęcie stanu nie odnosi się tylko do układów fizycznych. MoŜe być takŜe stosowane do układów ekonomicznych, społecznych, biologicznych i innych.

Stan układu jest najmniejszym zbiorem zmiennych, nazywanych zmiennymi stanu, takich, Ŝe znajomość w chwili 0tt = , wraz ze zna-

jomością sygnału wejściowego dla 0tt ≥ , w pełni określa zachowanie

układu w kaŜdej chwili 0tt ≥ . Stan układu jest określany jako zbiór nie-

zaleŜnych współrzędnych stanu opisujących układ i ich pochodne.

Zmiennymi stanu układu dynamicznego są zmienne tworzące najmniej-szy zbiór zmiennych, które określają stan tego układu. Zmienne te nie muszą być wielkościami fizycznie mierzalnymi ani obserwowalnymi. W praktyce o ile to jest moŜliwe wygodnie jest wybrać na zmienne stanu wielkości łatwo mierzalne.

Do pełnego opisu zachowania się układu potrzebnych jest n składowych zmiennych stanu n,321 x....x,x,x , które mogą być przyjęte jako n składo-

wych wektora stanu x. To te n zmiennych tworzy zbiór zmiennych stanu.

OPIS LINIOWYCH UKŁADÓW REGULACJI W PRZESTRZENI STANÓW

Strona 187187187187

Wektorem stanu nazywamy więc n składowych zmiennych stanu wek-tora x. Tak, więc wektor stanu jednoznacznie określa stan ( )tx układu w

kaŜdej chwili czasu 0tt ≥ , gdy tylko jest znany stan w chwili 0tt =

i określony jest sygnał wejściowy (sterujący) ( )tu dla 0tt ≥ .

Przestrzenią stanów nazywa się n wymiarową przestrzeń, której układ współrzędnych składa się z osi n,321 x....x,x,x . KaŜdy dowolny stan

moŜe być przedstawiony przez punkt w przestrzeni stanów.

8.2. Klasyfikacja modeli matematycznych opisujących układy dynamiczne stacjonarne ciągłe (DLSC)

Model matematyczny obiektu sterowania dla układu dynamicznego powinien wyraŜać swoje cechy poprzez zaleŜności matematyczne.

Modele które reprezentują właściwości dynamiczne:

a. dynamiczne dyskretne (rysunek 8.1) (impulsowe) – wartości zmiennych modelu zmieniają się jedynie w danych dyskretnych chwilach czasu

b. dynamiczne ciągłe (rysunek 8.2) – czas zmienia się w sposób ciągły, zaś wartości zmiennych modelu określane są w kaŜdej dowolnej chwili t,

Rysunek 8.1. Model dynamiczny dyskretny

ROZDZIAŁ 8

Strona 188188188188

Rysunek 8.2. Model dynamiczny ciągły

Modele dynamiczne akumulują energię. Modele dynamiczne ciągłe opisywane są równaniami róŜniczkowymi zwyczajnymi, zaś dyskretne równaniami róŜnicowymi.

c. statyczne – zaniedbuje się akumulację energii, zakładając stan ustalony gdy oddziaływania zewnętrzne nie ulegają zmianom,

Rysunek 8.3. Model statyczny

Dalsza klasyfikacja (podział) podany jest w rozdziale 1.

8.3. Przestrzeń zmiennych stanu, wybór zmiennych stanu

Stan układu jest zwykle określany jako minimalna ilość informacji wy-maganych do całkowitego określenia zachowania się układu przy danym sterowaniu. Składowe wektora są rzutami wektora stanu na osie współ-rzędnych. KaŜdy układ moŜna opisać na wiele sposobów, a mianowicie jako zmienne zaleŜne moŜna wybrać dla układu: elektrycznego – prąd, napięcie, ładunek; dla mechanicznego – przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie, obrót, siłę reakcji, moment: dla hydraulicznego lub pneu-matycznego – przepływy, ciśnienie.


Strona 189189189189

Szczególnym i waŜnym przypadkiem wyboru zmiennych stanu jest taki wybór, przy którym zmienne są pochodnymi poprzed-

nich ( (((( )))) (((( ))))txtx n1n ====−−−−& ).

Mówimy wówczas, Ŝe zmienne stanu są zmiennymi fazowymi, a prze-strzeń stanu przestrzenią fazową. Przestrzeń fazową tworzy zbiór wszystkich moŜliwych wartości wektora stanu x(t) w chwilach t.

Aby wybrane zmienne moŜna było nazwać zmiennymi stanu to równania ułoŜone przy ich uŜyciu muszą spełniać warunki:

• dawać pełny i jednoznaczny opis dynamiki układu,

• stanowić układ równań róŜniczkowych.

Najbardziej ogólną metodą matematycznego opisu złoŜonych układów automatyki, mających wiele wejść i wyjść są metody opisu w prze-strzeni. Stan układu określany jako zbiór niezaleŜnych współrzędnych połoŜenia i ich pochodnych, związany jest z energią zmagazynowaną w jego elementach w danej chwili.

Podstawą analizy układów DLSC są równania stanu i równanie wyjścia. Równania te mogą być zapisane w postaci ogólnej lub macierzowo-wektorowej.

8.4. Opis układów DLSC we współrzędnych stanu (równania stanu i wyjścia, zapisane postaci ogólnej i macierzowo-wektorowej)

Układy o wielu wejściach i wyjściach (MIMO – multi input, multi out-put) oraz całe systemy układów opisujemy jak juŜ wspomniano, uŜywa-jąc współrzędnych stanu.

ROZDZIAŁ 8

Strona 190190190190

Rysunek 8.4. Schemat układu MIMO, DLSC

( )ndo1odix i → - składowe wektora stanu, ( )kdo1odiu i → -

składowe wektora wejść (sterowań), ( )ldo1odiyi → - składowe wektora wyjść, k – ilość sygnałów wejściowych, l - ilość sygnałów wyjściowych. Mogą być trzy warianty sygnałów: 1) 1=k , 2) 1<k , 3)

1>k .

Grupę sygnałów wejściowych u(t) (sygnałów sterowań) zdefiniujemy jako wektor sygnałów wejściowych, którego współrzędne są poszcze-gólnymi sygnałami wejściowymi układu.

( )

( )( )

( )

=

tu

....

....

tu

tu

tu

k

2

1

, (8.1)

Grupę sygnałów wyjściowych y(t) zdefiniujemy jako wektor sygnałów wyjściowych, którego współrzędne są poszczególnymi sygnałami wyj-ściowymi układu.

( )

( )( )

( )

=

ty

....

....

ty

ty

ty

l

2

1

, (8.2)

Grupę składowych wektora stanu x(t) zdefiniujemy jako wektor stanu.


Strona 191191191191

( )

( )( )

( )

=

tx

....

....

tx

tx

tx

n

2

1

, (8.3)

Z wektora sygnałów wejściowych moŜna wyodrębnić wektor sygnałów sterujących u(t) i wektor sygnałów zakłócających z(t). Wyznaczenie przebiegu połoŜenia y(t) elementu dla czasu 0tt > wymaga:

• znajomości połoŜenia ( )0ty i prędkości ( )0ty& - współrzędne

te określają stan układu w chwili 0t i moŜna je rozumieć

jako zachowanie się układu w czasie 0tt < ,

• znajomości przebiegu wielkości wejściowych np. sił dla

0tt > .

W celu osiągnięcia jednoznaczności rozwiązania naleŜy podać równieŜ wektor ( )0tx uwzględniający warunki początkowe. KaŜdej parze funkcji

wektorowych u(t), y(t) przyporządkowany jest wektor stanu x(t). Skła-dowe tego wektora są współrzędnymi (zmiennymi) stanu. Liczba tych współrzędnych jest zawsze równa rzędowi układu, tzn. rzędowi równa-nia róŜniczkowego opisującego związek wyjścia z wejściem. Nie naleŜy jednak utoŜsamiać liczby współrzędnych stanu z liczbą wielkości wyj-ściowych, choć czasami moŜe tu zachodzić równość. Układ moŜe teŜ mieć jedną wielkość wyjściową, a być opisany równaniem czwartego rzędu i wówczas wektor stanu będzie zawierał cztery współrzędne stanu (układ MISO – multi input, single output).

Równanie stanu moŜna zapisać w postaci ogólnej tj.

( ) ( ) ( )[ ]t,tu,txftx =& , (8.4)

i z n warunkami początkowymi

( ) 00 xtx = , (8.5)

ROZDZIAŁ 8

Strona 192192192192

gdzie: f – jednoznaczna funkcja stanu, jako k elementowa funkcja wektorowa, ( )tx – n wymiarowy wektor stanu w chwili t, ( )tu – k

wymiarowy wektor sterowania, t – chwila bieŜąca, 0tt ≥ .

PoniewaŜ Ŝadna ze współrzędnych stanu moŜe nie być wielkością wyj-ściową układu, to do określenia tej wielkości niezbędny jest dodatkowy związek

( ) ( ) ( )[ ]t,tu,txgty = , (8.6)

gdzie: g – jest l elementową jednoznaczną wektorową funkcją wyjścia.

Równanie (8.6) zwane jest równaniem wyjścia. Równanie wyjścia nie jest równaniem róŜniczkowym, gdyŜ całość dynamiki układu opisana jest równaniem stanu. MoŜe ono natomiast zaleŜeć od czasu t. Równania stanu i wyjścia nie zawierają pochodnych wielkości wejściowej. Równa-nie stanu (8.4) i wyjścia (8.6) moŜna przedstawić na schemacie bloko-wym (strukturalnym) (rysunek 8.5).

Rysunek 8.5. Schemat blokowy równania stanu i wyjścia

Równanie stanu (8.4) moŜna zapisać szczegółowo w postaci

( ) ( )( ) 1001k321n32111 xtx,u,....u,u,u,x,....,x,x,xfdt

tdx== ,

( ) ( )( ) 0n01k321n321nn xtx,u,....u,u,u,x,....,x,x,xfdt

tdx== .

(8.7)

Równanie stanu (8.4) moŜna zapisać szczegółowo w postaci

( ) ( )t,u,....u,u,u,x,....,x,x,xgty k321n32111 = ,

( ) ( )t,u,....u,u,u,x,....,x,x,xgty k321n321ll = . (8.8)


Strona 193193193193

JeŜeli równania (8.7) i (8.8) są nieliniowe, to mogą być zlinearyzowane w otoczeniu wybranego punktu pracy. Wówczas przyjmują następującą postać

( )

,....

..

113

3

12

2

11

1

11

33

12

2

11

1

11

tt

fu

u

fu

u

fu

u

fu

u

fx

x

f

xx

fx

x

fx

x

f

t

tx

k

k

n

n ∂

∂+

∂

∂++

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂

( )

.....

..

33

22

11

33

22

11

tt

fu

u

fu

u

fu

u

fu

u

fx

x

f

xx

fx

x

fx

x

f

t

tx

nk

k

nnnnn

n

n

nnnn

∂

∂+

∂

∂++

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂

(8.9)

( )

,......

...

113

3

12

2

11

1

11

33

12

2

11

1

11

t

gu

u

gu

u

gu

u

gu

u

gx

x

g

xx

gx

x

gx

x

gty

k

k

n

n ∂

∂+

∂

∂++

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

( )

.......

...

33

22

11

33

22

11

t

gu

u

gu

u

gu

u

gu

u

gx

x

g

xx

gx

x

gx

x

gty

lk

k

lllln

n

l

llll

∂

∂+

∂

∂++

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

(8.10)

Zlinearyzowane równania stanów (8.9) i wyjść (8.10) zapisuje się zwy-kle skrótowo w postaci wektorowo-macierzowej tj.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tutBtxtAtx +=& , (8.11)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tutDtxtCty += . (8.12)

gdzie: A(t) – macierz układu stopnia n×n (macierz stanu), B(t) – macierz wejść stopnia n×k (macierz sterowań), C(t) - macierz wyjść stopnia l×n, D(t) – macierz transmisyjna układu stopnia l×k.

Poszczególne elementy macierzy A, B, C, D są pochodnymi cząstko-wymi występującymi w równaniach (8.11) i (8.12).

Dla układu DLSC (niezmiennego w czasie, gdy funkcje f i g nie wpro-wadzają jawnie czasu t ) są stałymi liczbami, zaleŜnymi od struktury i parametrów opisywanego układu. Odpowiada to układowi liniowych

ROZDZIAŁ 8

Strona 194194194194

równań róŜniczkowych o stałych współczynnikach. Wówczas równania (8.11) i (8.12) moŜna zapisać w postaci

( ) ( ) ( )tButAxtx +=& , (8.13)

( ) ( ) ( )tDutCxty += . (8.14)

Równania stanu (8.13) i wyjścia (8.14) w zapisie macierzowo-wektoro-wym przedstawia rysunek 8.6.

Rysunek 8.6. Schemat strukturalny równań stanu i wyjścia w zapisie

macierzowo-wektorowym

W niniejszym skrypcie będziemy zajmować się tylko układami opisa-nymi równaniami (8.13) i (8.14).

Przykład 8.1

Na układ mechaniczny przedstawiony na rysunku 8.7 złoŜony ze spręŜyn, kaŜda o sztywności k = 2 N/mm, tłumika o współczynniku tłumienia c = 3 Ns/mm działa siła zewnętrzna ( ) ( ) NtutP 5= , która jest przyłoŜona do masy m = 2 kg powodując jej przemieszczenie y. UłoŜyć równania stanu i wyjścia w postaci ogólnej i macierzowo-wektorowej oraz narysować odpowiadające im schematy strukturalne

Rysunek 8.7. Badany układ mechaniczny


Strona 195195195195

Rozwiązanie

Sygnałem wejściowym jest przyłoŜona siła P(t), wyjściowym prze-mieszczenie y(t)

Równanie ruchu układu jest następujące

( ) ( ) ( ) ( )tPtkytyctym =++ 2&&& ,

Po podstawieniu danych otrzymamy

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tutytytytutkytyty2

52

2

35432 +−−=→=++ &&&&&& ,

Przyjmujemy współrzędne wektora stanu: ( ) ( )tx,tx 21 (mamy dwie współrzędne poniewaŜ równanie róŜniczkowe jest drugiego rzędu)

Niech

( ) ( ) −= tytx1 przemieszczenie masy m

( ) ( ) −= tytx2& prędkość masy m

Z pochodnych powyŜszych współrzędnych wektora stanu otrzymujemy uogólnione równania stanu, zatem

( ) ( ) ( )txtytx 21 == && ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ,2

5

2

32

2

52

2

3

02110

212

tubtxatxa

tutxtxtutytytytx

+−−=

=+−−=+−−== &&&&

gdzie .2

5,

2

3,2 010 === baa

Równania stanu ( )tx& i wyjścia ( )ty zapisane w postaci macierzowo-wektorowej

( ) ( ) ( )tButAxtx +=& ,

ROZDZIAŁ 8

Strona 196196196196

( ) ( ) ( )tDutCxty += .

gdzie macierze A, B, C, D, ( )tx& , ( )tx , ( )tu są następujące

−−=

2

32

10

A ,

=

2

5

0

B ,

[ ]01=C , 0=D ,

( )( )( )

=

tx

txtx

2

1

&

&& , ( )

( )( )

=

tx

txtx

2

1 ,

( )( )( )

=

tu

tutu

2

1 .

Schematy strukturalne otrzymane z równań stanu i wyjścia w zapisie ogólnym i macierzowo-wektorowym przedstawiają rysunki 8.8 i 8.9.

Rysunek 8.8. Schemat strukturalny w zapisie ogólnym

Rysunek 8.10. Schemat blokowy układu regulacji automatycznej (URA)

Wykorzystamy przekształcenia Laplace’a oraz twierdzenie o splocie

Dla układu przedstawionego na rysunku moŜna napisać równania


Strona 197197197197

( ) ( ) ( )sxsxsx*

411 −=

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

,

.sxs

1sxsGsx

sx

sxsG

,sx2s

1sxsGsx

sx

sxsG

,sxsx3s

1sxsGsx

sx

sxsG

,su4s

1susGsx

su

sxsG

2244

2

44

2233

2

33

41

*

122*

1

22

111

1

==→=

+==→=

−+

==→=

+==→=

Dokonując odwrotnego przekształcenia Laplace’a powyŜszego układu równań otrzymamy ogólną postać równań stanu ( )tx1

& , ( )tx2& , ( )tx3

& ,

( )tx4& i wyjścia ( )ty , zatem

( ) ( ) ,dtetfsFst−

∞

∫=0

( ) ( )[ ],tfLsF = ( ) ( )[ ]sFLtf1−= .

( ) ( ) ( )tutxtx +−= 11 4& ,

( ) ( ) ( ) ( )txtxtxtx 4212 3 −−=& ,

( ) ( ) ( )txtxtx 323 2−=& ,

( ) ( )txtx 24 =& ,

( ) ( )txty 3= .

Z ogólnej postaci równań stanu otrzymujemy równanie stanu w postaci macierzowo-wektorowej, a więc

( ) ( ) ( )tButAxtx +=& , ( )

( )( )( )( )

=

tx

tx

tx

tx

tx

4

3

2

1

&

&

&

&

& , ( )

( )( )( )( )

=

tx

tx

tx

tx

tx

4

3

2

1

,

ROZDZIAŁ 8

Strona 198198198198

−

−−

−

=

0010

0210

1031

0004

A ,

=

0

0

0

1

B , [ ]100C = , 0=D .

Stosując twierdzenie o splocie moŜna równieŜ wyprowadzić równania stanu w postaci ogólnej, zatem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ −−− =•=→⋅+

=t

ttduetuetxsu

ssx

0

4411 4

1τττ ,

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),44

4

1

0

4

44

0

44

0

44

0

41

tutxtudue

tueeduee

dueedt

ddue

dt

dtx

t

t

tt

t

t

t

t

t

t

+−=+−=

=⋅+⋅−=

=

=

=

∫

∫

∫∫

−−

⋅−−

−−−

ττ

ττ

ττττ

τ

τ

ττ&

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]∫ −=

=−•=

=→−⋅+

=⋅+

=

−−

−

t

t

t

dxxe

txtxe

txsxsxs

sxs

sx

0

413

413

241*12

,

3

1

3

1

ττττ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ −−− =•=→⋅+

=t

ttdxetxetxsx

ssx

0

2

2

2

2

3232

1τττ ,


Strona 199199199199

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),22

2

322

0

22

222

0

222

0

222

0

22

3

txtxtxdxe

txeedxee

dxeedt

ddxe

dt

dtx

t

t

tt

t

t

t

t

t

t

−=+−=

=⋅+⋅−=

=

=

=

∫

∫

∫∫

−−

⋅−−

−−−

ττ

ττ

ττττ

τ

τ

ττ&

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ττ dxetxtxsxs

sx

t

∫=•=→⋅=0

20

2424 11

,

( ) ( ) ( )txdxdt

dtx

t

2

0

24 =

= ∫ ττ& .

Ostatecznie otrzymaliśmy identyczne ogólne równania stanu. W wielu przypadkach druga metoda jest znacznie skuteczniejsza i mniej uciąŜliwa w zastosowaniu.

8.5. Wyznaczenie transmitancji operatorowej układu DLSC opisanego równaniem stanu i równaniem wyjścia

Dla zerowych warunków początkowych i układu dynamicznego opisa-nego równaniami stanu (8.13) i wyjścia (8.14), moŜna napisać macierz transmitancji dokonując przekształcenia Laplace’a tych równań, a więc

( ) ( ) ( )sBusAxssx += , (8.15)

( ) ( ) ( )sDusCxsy += , (8.16)

gdzie ( )sx , ( )su , ( )sy są transformatami Laplace’a wektorów x, u i y.

ROZDZIAŁ 8

Strona 200200200200

Z równania (8.15) otrzymamy

( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] 1−−=→=− AsIsBusxsBuAsIsx , (8.17)

gdzie I jest macierzą jednostkową, [ ] 1−− AsI jest macierzą odwrotną

=

10

01I ,

=

s

ssI

0

0, [ ] [ ]

AsI

AsIAsI

D

−

−=− −1

, (8.18)

[ ]DAsI − - jest macierzą algebraicznych dopełnień, AsI − - wyznacz-

nik macierzy charakterystycznej.

Podstawiając równanie (8.17) do równania (8.16) otrzymamy

( ) ( )[ ] ( ) ( ) [ ]{ }DAsICBsusDuAsIsCBusy11 +−=+−= −−

, (8.19)

( ) ( )( )

[ ] DBAsICsu

sysG

1 +−== −. (8.20)

Z powyŜszego wzoru moŜna wyznaczyć transmitancję operatorową, gdy dane są macierze A, B, C, D. Mogą być pewne trudności obliczeniowe przy wyznaczaniu macierzy odwrotnej i iloczynu macierzy, ale w pakie-cie Matlab są programy do wykonywania tych operacji matematycznych.


Strona 201201201201

8.6. Wyznaczenie równania stanu i równania wyjścia dla układów opisanych równaniem róŜniczkowym zwyczajnym wyŜszego rzędu

Niech układ DLSC będzie opisany następującym równaniem róŜniczko-wym zwyczajnym wyŜszego rzędu

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tubtyatyatyatyn

n

n

0011

1 ... =++++ −− & , (8.21)

Aby przedstawić opis układu we współrzędnych stanu, naleŜy określić wektor stanu rozwaŜanego układu. PoniewaŜ do jednoznacznego opisu zaleŜności ( ) ( )[ ]txfty = potrzeba n warunków początkowych

( ) ( ) ( ) ( )0y,.......0y,0y,0y 1n−&&& , moŜemy przyjąć następujące współrzędne

wektora stanu

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

=

=

=

=

−.tytx

................

,tytx

,tytx

,tytx

1n

n

3

2

1

&&

&

, (8.22)

Wyznaczamy pochodne układu równań (8.22) i wprowadzamy do rów-nania (8.21) otrzymując układ n równań róŜniczkowych pierwszego rzędu, które są równaniami stanu tj.

ROZDZIAŁ 8

Strona 202202202202

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

+−=

=+−−−−−=

==

=

=

==

∑−

=+

−

.

..

................

,

,

,

1

001

01322110

43

32

21

n

i

ii

nn

n

n

tubtxa

tubtxatxatxatxa

tytx

txtx

txtx

txtytx

&

&

&

&&

(8.23)

Na podstawie równań stanu (8.23) w zapisie ogólnym moŜna napisać równanie stanu w postaci macierzowo-wektorowej (8.13) tj.

( ) ( ) ( )tButAxtx +=& .

macierz stanu A i macierz sterowania B są

nnnaaaa

A

×−

−−−−−

=

1210 .....

......................................

0...........0100

0...........0010

, (8.24)

10

..

..

0

0

×

=

nb

B . (8.25)

Równanie wyjścia (8.14) jest w postaci

( ) ( ) ( ) ( )txtDutCxty 1=+= . (8.26)

[ ]n1

0........001C ×= , [ ] 00D kl == × . (8.27)


Strona 203203203203

Przykład 8.3

Mając dane macierze układu dynamicznego wyznaczyć jego transmitan-

cję ( )sG

−−=

01

34A ,

=

0

1B , [ ]53=C , [ ] 00 ==D .

ZaleŜność pomiędzy sygnałem wyjściowym a wejściowym w zapisie macierzowo-wektorowym jest następująca

( ) [ ] ( ) ( )

( ) ( )( )

[ ] DBAsICsu

sysG

sDusBuAsICsy

+−==→

→+−=

−

−

1

1

,

=

10

01I ,

=

s

ssI

0

0,

[ ]

−

+=

−−−

=−

s

s

s

sAsI

1

34

01

34

0

0,

[ ]

+

−=−

41

3

s

sAsIadj ,

[ ] ( )( )1334det 2 ++=++=− ssssAsI ,

[ ] [ ][ ]

++

+

++

++−

++=

=

+

−

++=

−

−=− −

34

4

34

134

3

34

41

3

34

1

det

22

22

2

1

ss

s

ss

ssss

s

s

s

ssAsI

AsIadjAsI

,

ROZDZIAŁ 8

Strona 204204204204

( ) [ ]

[ ]34

53

34

13453

0

1

34

4

34

134

3

3453

2

2

2

22

22

++

+=

++

++=

=

++

+

++

++−

++=

ss

s

ss

ss

s

ss

s

ss

ssss

s

sG

.

8.7. Metoda bezpośrednia, równoległa i iteracyjna opisu układu DLSC we współrzędnych stanu

JeŜeli znamy transmitancję układu dynamicznego to moŜna ją przedsta-wić w postaci równania stanu i równania wyjścia stosując metody

a. bezpośrednią, b. równoległą. c. iteracyjną.

Metoda bezpośrednia (kanoniczna forma sterowania) polega na n krot-nym całkowaniu równania opisującego układ, czyli podzieleniu licznika

i mianownika przez ns .

Transmitancja operatorowa dana jest w postaci

( ) ( )( )su

sy

asa....sasas

bsb....sbsbsbsG

01

2n

2n

1n

1n

n

01

2m

2m

1m

1m

m

m =+++++

+++++= −

−−

−

−−

−− ,

n > m

(8.28)


Strona 205205205205

( )

( )( )

.

....1

....

01

12

21

1

01

12

21

1

su

sy

sasasasa

sbsbsbsbsb

sG

nn

nn

nnnm

m

nm

m

nm

m

=

=+++++

+++++=

=

−−−−

−−

−−−−−

−−−

−

(8.29)

gdzie n, m jest rzędem równania róŜniczkowego zwyczajnego.

Jeśli załoŜymy, Ŝe zmiennymi stanu są współrzędne fazowe ( ) ( ) ( ) ( )tx....,,tx,tx,tx n321 tzn. takie zmienne, które spełniają równania

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

+−=

=+−−−−−=

=

=

=

∑−

=+

−

1

01

1322110

43

32

21

.

..

................

,

,

n

i

ii

nnn

tutxa

tutxatxatxatxatx

txtx

txtx

txtx

&

&

&

&

. (8.30)

Równanie wyjścia przyjmuje postać

( ) ( )∑=−

=+

1n

0i1ii txbty . (8.31)

gdzie macierz stanu (macierz fundamentalna) A i macierz sterowania B są

nnnaaaa

A

×−

−−−−−

=

1210 .....

......................................

0...........0100

0...........0010

, (8.32)

ROZDZIAŁ 8

Strona 206206206206

11

..

..

0

0

×

=

n

B . (8.33)

Równanie wyjścia (8.14) przyjmuje postać

( ) ( ) ( ) ( )tCxtDutCxty =+= , (8.34)

[ ]n1m210 b........bbbC ×= , [ ] 00D kl == × . (8.35)

Metoda równoległa (kanoniczna forma modalna) polega na przedsta-wieniu transmitancji operatorowej w postaci sumy ułamków prostych, zatem

Rysunek 8.11. Schemat strukturalny połączenia równoległego układu

automatyki

( ) ( )( )

( )∑=

==n

1i

i sGsu

sysG , (8.36)

( )i

ii

ss

ksG

−= , (8.37)

gdzie: −ik stałe współczynniki, −is i-ty pierwiastek równania charak-

terystycznego


Strona 207207207207

JeŜeli transmitancja da się rozłoŜyć na ułamki proste to dla układu rów-noległego równania stanu ( )txi przyjmują postać

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

+=

+=

+=

+=

.tustxtx

.................................

,tustxtx

,tustxtx

,tustxtx

nnn

333

222

111

&

&

&

&

, (8.38)

Równanie wyjścia ma postać

( ) ( ) ( )∑=∑===

n

1iii

n

1ii txktyty . (8.39)

Rysunek 8.12. Schemat strukturalny (blokowy) badanego układu automatyki równań stanu i wyjścia w zapisie ogólnym dla metody

równoległej

Macierze A, B, C, D przyjmują postać

ROZDZIAŁ 8

Strona 208208208208

nnns

s

s

s

A

×

=

...........0000

......................................

0...........000

0...........000

0...........000

3

2

1

, (8.40)

11

..

..

1

1

×

=

n

B , (8.41)

[ ]n1n321 k......kkkC ×= , [ ] 00D == . (8.42)

Metoda iteracyjna polega na przedstawieniu transmitancji operatorowej w postaci iloczynu. JeŜeli n321 s,....s,s,s są biegunami transmitancji

(pierwiastki mianownika – sygnały wejściowe ), a 0

n

0

3

0

2

0

1 s,....s,s,s są ze-

rami transmitancji (pierwiastki licznika – sygnały wyjściowe) to trans-mitancję operatorową moŜemy zapisać w postaci

( )n1n

0

1m

3

0

3

2

0

2

1

0

1m

ss

1

ss

ss......

ss

ss

ss

ss

ss

ssbsG

−⋅

−

−⋅

−

−⋅

−

−⋅

−

−⋅=

−

− . (8.43)

Równania stanu moŜna zapisać w postaci

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

++=

++−+

+−+−+−=

=

++−+−=

++−=

+=

−

−−−

.

,...

...

.................................

,

,

,

1

0111

0333

0222

0111

330222

01113

2201112

111

tustxtxtx

tustxsstx

sstxsstxsstx

tx

tustxsstxsstxtx

tustxsstxtx

tustxtx

nnnn

mmmmm

m

&

&

&

&

&

(8.44)


Strona 209209209209

Równanie wyjścia

( ) ( )txbty nm= . (8.45)

Macierze A, B, C, D przyjmują postać

nnn

mmm

s

sss

sssss

sss

s

A

×

−−

−

−−

−

=

0.......................0000

...........0000

......................................................

0..............................0

0..............................00

0.............................000

011

3022

011

2011

1

,(8.46)

11

..

..

1

1

×

=

n

B , (8.47)

[ ]nmbC ×= 1........000 , [ ] 00 ==D . (8.48)

Schemat funkcjonalny jest w budowie analogiczny do schematu dla me-tody równoległej (rysunek 8.12)

Przykład 8.4

Metoda bezpośrednia

Dla układu przedstawionego na rysunku 8.13 wyznaczyć równania stanu i wyjścia

ROZDZIAŁ 8

Strona 210210210210

Rysunek 8.13. Schemat blokowy badanego układu

Rozwiązanie

Transmitancja zastępcza rozwaŜanego układu jest następująca

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )2101710

1

1

15

11

12

1

15

1

1 23

2

21

31

+++

+=

+⋅

++

+⋅

+=+

=sss

ss

sss

ss

sGsG

sGsGsGz

,

Aby moŜna było zastosować metodę bezpośrednią, naleŜy podzielić licznik i mianownik przez współczynnik przy najwyŜszej potędze wy-

razu mianownika z ns

Zatem

( )2.00.17.1

1.01.023

2

+++

+=

sss

sssGz ,

Współczynniki wyrazów licznika i mianownika są następujące

7.1,1,2.0,1.0,1.0,0 210210 ====== aaabbb ,

Ogólne równania stanu wyznaczamy ze wzoru

( ) ( )txtx 1ii +=& ,

Tak, więc

( ) ( )txtx 2i =& ,

( ) ( )txtx 32 =& ,


Strona 211211211211

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tutxatxatxatx 3221103 +−−−=& .

Równanie wyjścia wyznaczamy ze wzoru

( ) ( )∑−

=+=

1

01

n

i

ii txbty ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,1.01.0 32322110 txtxtxbtxbtxbty +=++=

Stąd moŜemy wyznaczyć macierze stanu i wyjścia

−−−

=

7.112.0

100

010

A ,

=

1

0

0

B ,

[ ] [ ]1.01.00210 == bbbC , [ ] 00 ==D .

( ) ( ) ( )tButAxtx +=& , ( ) ( ) ( )tDutCxty += .

Przykład 8.5

Metoda równoległa

Stosując metodę równoległą, dla układu o transmitancji operatorowej

( )4s6s2

1s2sG

2 +++

= wyznaczyć równania stanu i wyjścia oraz naryso-

wać schemat strukturalny (blokowy).

Rozwiązanie

Transmitancja operatorowa układu automatyki przy wykorzystaniu me-tody równoległej jest

( ) ( ),∑= sGsG i ( ) ,i

ii

ss

ksG

−=

Pierwiastki mianownika są następujące

1,2,462 212 −=−=→++ ssss .

ROZDZIAŁ 8

Strona 212212212212

Zatem

( ) ( ) ( )( )( )12

21

12462

122 ++

+++=

++

+=

++

+=

ss

sBsA

s

B

s

A

ss

ssG ,

( ) ( )

( ) .1,3.12

,2122

1221

−==→

=+

=+→+=+++→

→+=+++

BABA

BAsBAsBA

ssBsA

( ) .1

1

2

3

12462

12 212 +

−+

=+

++

=++

+=

sss

k

s

k

ss

ssGi

Równanie wyjścia jest następujące

( ) ( ) ( ) ( )txtx3txkty 21

n

1i

ii −==∑=

,

( ) ( ) ( )tDutCxty += , 0=D , [ ] [ ]1321 −== kkC .

Ogólny zapis równań stanu jest

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,tutx2tustxtx 1111 +−=+=&

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .tutxtustxtx 2222 +−=+=&

Równania stanu w zapisie macierzowo-wektorowym są

( ) ( ) ( )tButAxtx +=& ,

( )( )( )

=

tx

txtx

2

1

&

&& ,

( )( )( )

=

tx

txtx

2

1 ,

( )( )( )

=

tu

tutu

2

1 ,


Strona 213213213213

−

−=

10

02A ,

=

1

1B .

Rysunek 8.14. Schemat blokowy badanego układu równań stanu

i wyjścia w zapisie ogólnym dla metody równoległej

Przykład 8.6

Metoda iteracyjna

Stosując metodę iteracyjną dla układu o transmitancji operatorowej

( ) ( )( )( )2

csbs

asksG

++

+= sformułować równania stanu układu URA.

Rozwiązanie

Pierwiastki sześciennego równania mianownika są

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) 22232 22 bcbccscbss

kaks

csbs

asksG

+++++

+=

++

+= ,

( ) ( )

.,,

,22

321

2223

cscsbs

bcbccscbss

−=−=−=→

→+++++

Dla metody iteracyjnej zakładając, Ŝe zera transmitancji

( )0ssss0

3

0

2

0

1

0

i === są równe zero, mamy

ROZDZIAŁ 8

Strona 214214214214

( )cscs

s

bs

sk

ssss

s

ss

sbsG m +

⋅+

⋅+

⋅=−

⋅−

⋅−

⋅=11

321

,

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ,101111 tutbxtusstxtx +−=+−=&

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,210222

01112 tutcxtbxtusstxsstxtx +−−=+−+−=&

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) .321

0333

0222

01113

tutcxtcxtbx

tusstxsstxsstxtx

+−−−=

=+−+−+−=&

( ) ( ) ( )tkxtxbxbty nm 331 === - równanie wyjścia w zapisie ogólnym,

,kbb 1m == .3=n

−−−

−−

−

=

=

ccb

0cb

00b

sss

0ss

00s

A

321

21

1

,

=

1

1

1

B , [ ] [ ]kbC m 0000 == , [ ] 00 ==D .

Równanie stanu i wyjścia w zapisie macierzowo-wektorowym

( )( )( )( )

( )tu

tx

tx

tx

ccb

cb

b

tx

+

−−−

−−

−

=

1

1

1

0

00

3

2

1

& , ( ) [ ]( )( )( )

=

tx

tx

tx

kty

3

2

1

00 .


Strona 215215215215

8.8. Rozwiązywanie równań stanu układów automatyki DLSC

Aby ocenić zachowanie się modelu, naleŜy znaleźć rozwiązanie układu równań, zaczynając od rozwiązania równania stanu a następnie równania wyjścia. Zakładamy, Ŝe macierze A i B są funkcjami całkowalnymi w przedziale ( )k0 t,t , który odpowiada przedziałowi określoności układu.

Na początku rozwiązania równania stanu znajdujemy rozwiązanie jedno-rodne ( ( ) 0tu = ) przy ( ) 00 xtx = , a więc

( ) ( ) ,tAxtx =& (8.49)

Pod wpływem warunków początkowych 0x i przy załoŜeniu, Ŝe nie ma

zewnętrznych oddziaływań (wymuszeń), otrzymamy całkę ogólną rów-nania stanu (8.49) w postaci odpowiedzi swobodnej

( ) 0

Atxetx = , (8.50)

W rozwiązaniu pełnym tzw. metodą klasyczną dynamicznego stacjonar-nego i liniowego równania stanu mamy dwie składowe rozwiązania. Pierwsza składowa to rozwiązanie ogólne równania jednorodnego (uwzględnia warunki początkowe i brak wymuszenia). Druga składowa rozwiązania, zaś opisuje zmiany stanu układu w zaleŜności od wymu-szeń zewnętrznych. Jest to rozwiązanie wynikające ze zmiany wektora stanu pod wpływem sterowania u(t). Zatem

( ) ( ) ( ) τττdBuexetx

t

0

tA

0

At ∫ −+= . (8.51)

Ate - nazywa się macierzą przejścia stanu

Uwzględniając powyŜsze rozwiązanie otrzymamy równanie wyjścia w postaci

ROZDZIAŁ 8

Strona 216216216216

( ) ( ) ( ) ( )tDudBuexeCty

t

tAAt +

+= ∫ − τττ

0

0 . (8.52)

Otrzymane zaleŜności umoŜliwiają analizę zachowania się modeli dy-namicznych stacjonarnych i liniowych warunków początkowych i od-działywań zewnętrznych. Rozwiązanie równania stanu układu DLSC umoŜliwia ocenę procesów przejściowych wywołanych warunkami po-czątkowymi oraz określenie wpływu zmiennych wejściowych na zacho-wanie się układu.

Wynik rozwiązania równania stanu metodą przekształcenia Laplace’a jest następujący

( ) [ ] [ ] ( )sBuAsIxAsIsx1

01 −− −+−= . (8.53)

Macierz przejścia stanu Ate znajdujemy za pomocą przekształcenia La-

place’a. Zatem porównując rozwiązania jednorodne równań stanu me-todą klasyczną (8.51) i metodą Laplace’a (8.53) pamiętając, Ŝe

( ) ( )[ ]sxLtx1−= otrzymamy

[ ] 11AtAsILe

−− −= . (8.54)

KaŜdy z elementów macierzy [ ] 1AsI

−− jest ilorazem wielomianów względem s. Mianownik jest wielomianem charakterystycznym macie-rzy A, zaś licznik jest wielomianem względem s będącym odpowiednim dopełnieniem algebraicznym macierzy charakterystycznej [ ]AsI − .

Przykład 8.7

Dla stanu ustalonego układu regulacji automatycznej (URA) przy zada-

nym warunku początkowym ( ) [ ]Tx 010 = wyznaczyć rozwiązanie rów-

nania stanu oraz podać równanie wyjścia.


Strona 217217217217

Rysunek 8.15. Schemat blokowy (strukturalny) badanego URA

Rozwiązanie

NaleŜy wyznaczyć transmitancję badanego układu automatyki, zatem

( ) ( )( ) ( ) 3

1

1 32

23,2 +

=+

=ssGsG

sGsG ,

( ) ( ) ( )372

4323,21 ++

+=+=

ss

ssGsGsGz ,

Wybieramy metodę bezpośrednią, stąd przy najwyŜszej potędze przy s musi być współczynnik równy jedności, zatem

( )( )( )5.0s3s

2s5.1

5.1s5.3s

2s5.1sG

2z ++

+=

++

+= .

Współczynniki równania stanu i wyjścia są następujące

5.10 =a , 5.31 =a , 20 =b , 5.11 =b .

Równania stanu w zapisie ogólnym są

( ) ( )txtx 21 =& ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tutxtxtutxatxatx +−−=+−−= 2121102 5.35.1& .

Równanie wyjścia przyjmuje postać

ROZDZIAŁ 8

Strona 218218218218

( ) ( ) ( ) ( ) 212110

1

01 5.12 xxtxbtxbtxbty

n

i

ii +=+==∑−

=+ .

Macierze równania stanu w zapisie macierzowo-wektorowym są nastę-pujące

−−=

5.35.1

10A ,

=

1

0B , macierz jednostkowa

=

s

ssI

0

0,

+

−=

−−−

=−

5.35.1

1

5.35.1

10

0

0

s

s

s

sAsI .

Macierz algebraicznych dopełnień jest

[ ]

−

+=−

s

sAsIadj

5.1

15.3,

zaś wyznacznik z macierzy

[ ] ( ) ( )( ) mssssssAsI =++=++=++=− 5.035.15.35.15.3det 2

,

Macierz odwrotna wynosi

[ ] [ ][ ]

−

+

=−−

=− −

m

s

m

mm

s

AsI

AsIadjAsI

5.1

15.3

det1

,

Zatem rozwiązanie równania stanu moŜna przedstawić w postaci

( ) ( ) ( )[ ] ( )

−

+

=

=

−

+

=−==

−

−−−

m

m

s

L

m

s

m

mm

s

LxAsILxetxAt

5.1

5.3

0

1

5.1

15.3

00

1

111

.


Strona 219219219219

Z tablic Laplace’a nie moŜna bezpośrednio odczytać funkcji obrazującej rozwiązanie, dlatego teŜ naleŜy dokonać rozkładu wyrazów macierzy na ułamki proste, czyli

( ) ( )

( )m

BABAs

s

B

s

A

m

s 35.0

5.03

5.3 +++=

++

+=

+,

stąd

,5

65.335.0

,5

111

=⇒=+

−=−=⇒=+

BBA

BABA

( ) ( )

( )m

BABAs

s

B

s

A

m

35.0

5.03

5.1 +++=

++

+= ,

stąd

.3

55.135.0

,3

50

=⇒=+

−=−=⇒=+

BBA

BABA

Ostatecznie posługując się tablicami przekształceń Laplace’a otrzymamy

( ) ( ) ( )

( ) ( )

−

+−=

=

+−

+

++

+−

=

−

+

=

−−

−−

−−

tt

tt

ee

ee

ss

ssL

m

m

s

Ltx

5.03

5.03

11

3

5

3

55

6

5

1

5.03

5

33

5

5.05

6

35

1

5.1

5.3

.

Przykład 8.8

Wyznaczyć rozwiązanie równania stanu ( ) ( ) ( )tu1

0tx

32

10tx

+

−=&

dla sterowania ( ) ku =τ , ( ) [ ]T010x = .

Rozwiązanie

ROZDZIAŁ 8

Strona 220220220220

Rozwiązanie równania stanu wyznaczymy poprzez zastosowanie metody klasycznej, zatem

( ) ( ) ( ) ( ) τττdBuexetx

t

tAAt ∫ −+=0

0 , ( )( )

( )[ ]11

0−− −== AsIL

x

txe

At ,

Macierze jednostkowe wynoszą

=

10

01I ,

=

s

ss

0

0,

[ ]

−

−=

−−

=−

32

1

32

10

0

0

s

s

s

sAsI ,

[ ]

−

−=−

32

13sAsIadj ,

det [ ] ( ) ( )( ) mssssAsI =−−=+−=− 2123 ,

[ ] [ ][ ]

−

−

=−

−=− −

m

s

m

mm

s

AsI

AsIadjAsI

2

13

det1

,

[ ]

−

−

=−= −−−

m

s

m

mm

s

LAsILeAt

2

13

111 .

Posługując się tablicami transformat Laplace’a otrzymamy transformaty

odwrotne wszystkich elementów macierzy [ ] 1ASI

−− po rozłoŜeniu na ułamki proste tj. np.

( ) ( )

( ) ( ) ( )m

BABAs

m

sBsA

s

B

s

A

m

s −−+=

−+−=

−+

−=

− 212

21

3,

stąd


Strona 221221221221

.1,32

,21,1

−=⇒−=−−

=−=⇒=+

BBA

BABA

( ) ( )tt

eess

L21 2

2

1

1

2−=

−−

−− ,

zatem

+−−

+−−=

tttt

tttt

At

eeee

eeeee

22

22

222

2,

( )

−

−=

+−−

+−−=

tt

tt

tttt

tttt

At

ee

ee

eeee

eeeexe

2

2

22

22

22

2

0

1

222

20 ,

( ) ( )

+−

+−=

=

+−−

+−−

=

−−

−−

−−−−

−−−−−

ττ

ττ

ττττ

ττττττ

22

22

2222

2222

2

222

2

1

0

tt

tt

tttt

tttt

tA

ee

eek

eeee

eeeekBeu

,

a więc

( ) ( )( )

+−=∫ −

t

ttt

tA

e

eekdBue

2

0

215.0τττ ,

ostatecznie otrzymamy sumaryczne rozwiązanie w postaci

( )( )

+−+

−

−=

t

tt

tt

tt

e

eek

ee

eetx

2

2

2 215.0

22

2.

Przykład 8.9

Określić rozwiązanie równania wyjścia ( )ty na sterowanie ( ) ( )t1tu =

układu URA o transmitancji ( )1.07.0

102 ++

=ss

sG

Rozwiązanie

Współczynniki licznika i mianownika transmitancji ( )sG są następujące

0,10,7.0,1.0 1010 ==== bbaa .

ROZDZIAŁ 8

Strona 222222222222

ZaleŜność na transmitancję układu w zapisie macierzowo-wektorowym jest następująca

( ) ( )

( )[ ]

( ) [ ] ( ) ( )sDusBuAsICsy

DBAsICsu

sysG

+−=⇒

⇒+−==

−

−

1

1 ,,

gdzie: −D,C macierze równania wyjścia w zapisie macierzowo-wek-torowym, −B macierz równania wejścia w zapisie macierzowo-wek-

torowym, ( )−su sygnał sterujący (wejściowy)

Równanie wyjścia w zapisie macierzowo-wektorowym przyjmuje postać

( ) ( ) ( )tDutCxty += ,

lub w zapisie ogólnym

( ) ( ) ( ) ( ) 12110

1

01 10xtxbtxbtxbty

n

i

ii =+==∑−

=+ .

Postać równań stanu w zapisie ogólnym jest następująca

( ) ( )txtx 21 =& ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tutx7.0tx1.0tutxatxatx 2121102 +−−=+−−=& .

zatem macierze D,C,B,A są następujące

−−=

7.01.0

10A ,

=

1

0B , [ ]010=C , 0=D .

[ ]

+

−=

−−−

=−

7.01.0

1

7.01.0

10

0

0

s

s

s

sAsI ,

[ ]

−

+=−

s

sAsIadj

1.0

17.0,

[ ] ( ) ( )( ) mssssAsI =++=++=− 2.05.01.07.0det ,


Strona 223223223223

[ ] [ ][ ]

−

+

=−

−=− −

m

s

m

mm

s

AsI

AsIadjAsI

1.0

17.0

det1

,

Zatem

( ) [ ] ( ) ( ) [ ]

( )( ),

2.05.0

10110

11.0

17.0

1

00101

++=

=

=

−

+

=+−= −

sssms

s

m

s

m

mm

s

sDusBuAsICsy

PoniewaŜ nie moŜna bezpośrednio skorzystać z tablic Laplace’a, więc funkcję ( )sy naleŜy rozłoŜyć na ułamki proste, zatem

( )( )( )

+

++

+=

++= −−

2.05.02.05.0

10 11

s

C

s

B

s

AL

sssLty ,

( )( )( )( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )( ),

2.05.0

1.05.02.07.0

2.05.0

5.02.02.05.0

2.05.02.05.0

10

2

++

++++++=

=++

++++++=

=+

++

+=++

sss

ACBAsCBAs

sss

sCssBsssA

s

C

s

B

s

A

sss

Współczynniki C,B,A rozkładu funkcji na ułamki proste wyznaczymy z następującego układu równań algebraicznych

stąd

3

500,

3

200,100

.101.0

,05.02.07.0

,0

−===⇒

=

=++

=++

CBA

A

CBA

CBA

.

Ostatecznie na podstawie tablic Laplace’a otrzymamy

ROZDZIAŁ 8

Strona 224224224224

( )( ) ( )

+−=

+−

++= −−− tt ee

sssLty 5.02.01

3

2

3

51100

2.03

500

5.03

200100.

8.9. Sterowalność i obserwowalność układów automatyki DLSC

Właściwość sterowalności i obserwowalności modelu w znacznym stopniu wpływa na moŜliwości badania stabilności dynamicznych ukła-dów automatyki. Sterowalność jest funkcją stanu układu automatyki i nie moŜe być bezpośrednio określona z transmitancji. Stosując właściwe zmienne sterujące, moŜna sprowadzić kaŜdy dowolny stan początkowy

( )0tx do Ŝądanego stanu końcowego ( )kk tx w skończonym przedziale

czasu ( )k0 t,t (Rysunek 8.15), −21 x,x współrzędne przestrzeni zmien-

nych stanu). W tym celu wprowadzono pojęcie sterowalności.

Rysunek 8.15. Przebieg zmiany stanu

Obiekt dynamiczny liniowy nazywamy sterowalnym do zera, jeŜeli ist-nieje takie sterowanie ( )k0 t,tu , ze zbioru sterowań dopuszczalnych, Ŝe

obiekt ze stanu początkowego ( )00 tx daje się sprowadzić w skończonym

przedziale czasu ( )k0 t,t do stanu końcowego ( ) 0tx kk = (do początku

układu współrzędnych – Rysunek 8.16). Zatem przebieg wektora stanu x(t)


Strona 225225225225

( ) ( ) ( ) ( )

+=+= ∫∫ −− ττττ ττ

dBuexedBuexetx

t

0

A

0

At

t

0

tA

0

At , (8.55)

powinien osiągnąć początek układu współrzędnych x=0 po czasie ktt = ,

a więc

( ) τττdBuex

t

0

A

0 ∫ −−= . (8.56)

Jest to warunek sterowalności do zera dla układu dynamicznego dla do-wolnego wektora warunków początkowych 0x .

Rysunek 8.16. Schemat układu całkowicie sterowalnego

Rysunek 8.17. Schemat układu całkowicie obserwowalnego

Układ dynamiczny opisany za pomocą równania stanu i równania wyj-ścia jest całkowicie sterowalny wtedy, gdy macierz blokowa S jest rzędu n. A więc

[[[[ ]]]] ======== −−−− BA....BAABBS 1N2n. (8.57)

gdzie n jest maksymalną liczbą liniowo niezaleŜnych wierszy i kolumn macierzy S

W technicznych rozwiązaniach często pojawia się pytanie, czy moŜliwe jest wybranie takich zmiennych wyjściowych obiektu, które w pełni określały by procesy zachodzące w tym obiekcie. Tak więc, czy moŜna wyznaczyć stan obiektu ( )0tx w chwili 0t obserwując wektor wyjść

ROZDZIAŁ 8

Strona 226226226226

( )ty w skończonym przedziale czasu ( )k0 t,t przy załoŜeniu znajomości

mierzalnych zmiennych sterujących.

Układ dynamiczny jest całkowicie sterowalny ze względu na wyjście, jeŜeli istnieje takie ograniczenie, przedziałami ciągłe sterowanie u(t), które dowolny początkowy wektor sygnałów wyjściowych ( )0ty w

chwili 0tt = zmienia na dowolny wektor sygnałów wyjściowych ( )kty ,

w chwili ktt = , w czasie skończonym 0k tt ≥ . Układ jest całkowicie

sterowalny ze względu na wyjście, gdy macierz H jest rzędu q (q – liczba sygnałów wyjściowych układu).

[[[[ ]]]]BCA.....BCACABCBH 1n2 −−−−==== =q. (8.58)

JeŜeli sterowanie jest skalarne, to macierz S staje się kwadratowa i warunkiem sterowalności jest aby S była nieosobliwa.

Stan ( )0tx = 0x nazywamy obserwowalnym w chwili 0t , jeŜeli dla kaŜ-

dej chwili 01 tt > znajomość przebiegu zmiennych wyjściowych ( )ty

oraz zmiennych sterujących u(t) w przedziale czasu ( )10 t,t umoŜliwia

określenie stanu 0x . JeŜeli kaŜdy stan 0x jest obserwowalny w kaŜdej

chwili 0x , to mówimy, Ŝe dany układ jest całkowicie obserwowalny

(rysunek 8.17).

Układ dynamiczny opisany za pomocą równania stanu i równania wyj-ścia jest całkowicie obserwowalny wtedy, gdy macierz Q jest rzędu n. Zatem

( ) ( )[ ]12 −=

nTTTTTTTAC....ACACCQ =n. (8.59)

T oznacza macierz transponowaną.

JeŜeli wyznaczniki macierzy sterowalności S i obserwowalności Q są równe zeru to rząd tych macierzy jest mniejszy od n. Wtedy stwier-dzamy, Ŝe badany układ jest niesterowalny i nieobserwowalny.

Z punktu widzenia obserwowalności modelu naleŜy zbadać powiązanie z warunkami początkowymi 0x wektora ( )ty0 , określonego zaleŜnością


Strona 227227227227

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tDudBueCtyty

t

0

tA

0 −−= ∫ − τττ , (8.60)

czyli

( )0

At

0 xCety = . (8.61)

Badając obserwowalność układu musimy stwierdzić, czy na podstawie znajomości przebiegu wektora wyjścia y(t) oraz wektora wejścia u(t) w skończonym przedziale czasu ( )kt,0 moŜemy wyznaczyć wektor sta-

nu w chwili początkowej 0t0 = .

Przykład 8.10

Zbadać sterowalność i obserwowalność układu URA opisanego równa-niem stanu i wyjścia

( ) ( ) ( )tuT

T

tx

kk

T

T

tx

+

−

−

=

0

1

1

0

01

0

001

2

1

2

1

& , ( ) [ ] ( )txty 100= .

Rozwiązanie

Sterowalność układu automatyki zbadamy poprzez wyznaczenie macie-rzy sterowalności i jej zbadanie, zatem

[ ]BA.......BABAABBSn32= ,

PoniewaŜ macierz A jest wymiaru 33× , więc wystarczy w macierzy S uwzględnić trzy pierwsze wyrazy

ROZDZIAŁ 8

Strona 228228228228

+

−

−

=

−

−

=

21

22

21

2

1

2

1

11

1

1

0

1

1

0

01

0

001

TTk

T

T

T

T

kk

T

T

AB ,

+−

=

+

−

−

−

−

=

22

21

32

31

21

22

21

2

1

2

11

1

1

11

1

1

0

01

0

001

TTk

T

T

TTk

T

T

kk

T

T

BA ,

Po podstawieniu wyznaczonych wyrazów do macierzy sterowalności otrzymamy

+−

+

−

−

=

22

2121

32

222

31

211

11110

111

111

TTk

TTk

TTT

TTT

S .

−=

212

22

1

112det

TTTT

kS .

Układ będzie sterowalny względem stanu 0 o ile ( )30 =≠ nn ,

0det ≠S , stąd 21 TT ≠ oraz 0,0,0 21 ≠≠≠ TTk

Układ będzie obserwowalny względem stanu 0 o ile ( )30 =≠ nn oraz

wyznacznik z macierzy obserwowalności 0det ≠Q , zatem


Strona 229229229229

[ ]Tn2CA......CACACQ = .

W tym przypadku macierz obserwowalności zawiera trzy wyrazy, a więc

[ ] [ ]0

0

01

0

001

1002

1

kk

kk

T

T

CA =

−

−

= ,

[ ]

−−=

−

−

= 0T

k

T

k

0kk

0T

10

00T

1

0kkCA212

1

2 ,

−−

=

0T

k

T

k

0kk

100

Q

21

.

−=⇒≠

21

2

T

1

T

1kQdet0Qdet ,

stąd przy 21 TT,0k ⟩⟩ badany układ automatyki będzie równieŜ obserwowalny.

ROZDZIAŁ 8

Strona 230230230230

8.10. Układy wielowymiarowe

Jak wiadomo, element automatyki opisuje sygnał wejściowy ( )sx i wyj-

ściowy ( )sy o transmitancji operatorowej ( ) ( )( )sx

sysG = (rysunek 8.18)

Rysunek 8.18. Symbol jednowymiarowego elementu, układu automatyki lub obiektu i jego transmitancja operatorowa

Układ automatyki jako zbiór elementów o wielu sygnałach wejściowych i wyjściowych przedstawia rysunek 8.19 a).

Rysunek 8.19. Symbol wielowymiarowego układu automatyki i jego

transmitancja operatorowa: a) układ MIMO – multi input – multi output, b) – układ MISO – multi input – single output, c) układ TITO – two input –

two output, d) SIMO – single input – multi output

( )kdo1odiu i → - składowe wektora wejść (sterowań), ( )ldo1odjy j → - składowe wektora wyjść, k – ilość sygnałów


Strona 231231231231

wejściowych, l - ilość sygnałów wyjściowych. Mogą być trzy warianty sygnałów: 1) k = l, 2) k < l, 3) k > l.

Grupę sygnałów wejściowych u(t) (sygnałów sterowań) i sygnałów wyj-

ściowych y(t) definiujemy jako wektory sygnałów wejściowych i wyj-ściowych, których współrzędne są poszczególnymi sygnałami wejścio-wymi i wyjściowymi układu automatyki.

Elementy wielowymiarowe określa macierz transmitancji

( )

=

lk3l2l1l

k2232221

k1131211

G........GGG

..............................

G.......GGG

G.......GGG

sG , (8.62)

gdzie

( )( )( )

,su

sysG

i

j

ij = ljki ,.....2,1,,....2,1 == . (8.63)

Wzór (8.63) dotyczy załoŜenia, Ŝe wszystkie pozostałe wartości wej-ściowe oraz warunki początkowe są zerowe.

W przypadku układu automatyki o trzech wejściach i trzech wyjściach otrzymujemy

( )

=

333231

232221

131211

GGG

GGG

GGG

sG . (8.64)

Znajomość transmitancji operatorowej daje moŜliwość opisania właści-wości statycznych i dynamicznych układu automatyki przy pomocy równań algebraicznych zmiennej s. NajwyŜsza potęga s w mianowniku funkcji przejścia świadczy o układzie nazywanym układem n-tego rzędu. MoŜliwość stosowania transmitancji operatorowej jest ograniczona do układów opisanych liniowymi równaniami róŜniczkowymi i niezmiennymi w czasie. Pomimo takiego ograniczenia, transmitancja operatorowa jest często stosowana w analizie i projektowaniu układów automatyki. Układy wielowymiarowe naleŜy stosować, gdy pomiędzy sygnałami wyjściowymi występuje sprzęŜenie (interakcja) i/lub, gdy sy-gnał wyjściowy jest wynikiem wielu oddziaływań.

ROZDZIAŁ 8

Strona 232232232232

Przykład 8.11

Określić transmitancję układu wielowymiarowego silnika synchronicz-nego, którego sygnałami wejściowymi są częstość napięcia zasilania stojana ( )tsω , moment maksymalny ( )tM m , moment obciąŜenia

( )tM ob . Sygnałami wyjściowymi są kąt obciąŜenia ( )tα , prędkość ob-

rotowa ( )tn .

Rozwiązanie

Opis elementów silnika synchronicznego pokazuje rysunek 8.20

Rysunek 8.20. Schemat blokowy elementów silnika: a) układ nie

zlinearyzowany, b) zlinearyzowany

u(s) – wektor wejść (sterowań), y(s) – wektor wyjść (odpowiedzi)

( )( )( )( )

∆

∆

∆

=

sM

sM

s

su

ob

m

sω

,

( )( )( )

∆

∆=

sn

ssy

α,

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

=

sGsGsG

sGsGsGsG

232221

131211.


Strona 233233233233

Elementy macierzy G(s) wyznaczymy z operatorowych równań silnika przy załoŜeniu, Ŝe pozostałe sygnały wejściowe są stałe (oprócz aktual-nie rozpatrywanego). Na podstawie rysunku 8.20 b) transmitancje układu zlinearyzowanego przyjmują postać

( ) ( )( )s

ssG

s

11 ω∆α∆

= , ( ) ( )( )sM

ssG

m

12 ∆α∆

= , ( ) ( )( )sM

ssG

ob

13 ∆α∆

= ,

( ) ( )( )s

snsG

s

21 ω∆∆

= , ( ) ( )( )sM

snsG

m

22 ∆∆

= , ( ) ( )( )sM

snsG

ob

23 ∆∆

= .

PowyŜsze zaleŜności przedstawia schemat blokowy na rysunku 8.21.

Rysunek 8.21. Schemat strukturalny (blokowy) układu

wielowymiarowego

ROZDZIAŁ 8

Strona 234234234234

`

Literatura

LITERATURA

Strona 236236236236

[1] Amborski K., Maruszak A.: Teoria sterowania w ćwiczeniach, WPW, 1978.

[2] Amborski K.: Zbiór zadań z Automatyki, WNT, Warszawa, 1986.

[3] Amborski K.: Teoria sterowania podręcznik programowany, PWN, Warszawa, 1987.

[4] Awrejcewicz J., Wodzicki W.: Podstawy Automatyki, teoria i przy-kłady, WPŁ, Łódź, 2001.

[5] Engel Z., Kowal J.: Sterowanie Procesami Wibroakustycznymi, Wyd. AGH, Kraków, 1995.

[6] Franklin G. F., Powell J. D.: Feedback Control of Dynamic Systems, USA, Addison-Wesley Publishing, 1994.

[7] Gajić Z., Lelić M.:Modern Control Systems Engineering, London, Prentice Hall, 1996.

[8] Gessing R.: Podstawy Automatyki, Gliwice, WPŚ, 2001.

[9] Gosiewski Z.: ŁoŜyska magnetyczne do maszyn wirnikowych, Ste-rowanie i badanie, Warszawa, Biblioteka Naukowa Instytutu Lot-nictwa, 1999.

[10] Grzelka J., Mazur E.: Podstawy Automatyki, Zbiór zadań z roz-wiązaniami, Częstochowa, WPCz, 2000.

[11] Holejko D., Kościelny W., Niewczas W.: Zbiór zadań z podstaw automatyki, WPW, 1985.

[12] Janiszowski K.: Podstawy wyznaczania opisu i sterowania obiektów dynamicznych, 1991.

[13] Jędrzykiewicz Z.: Zbiór zadań z teorii sterowania, Kraków, Wyd. AGH, 1983.

[14] Jędrzykiewicz Z.: Teoria sterowania układów jednowymiarowych, Kraków, UWND, AGH, 1983.

[15] Kaczorek T.: Teoria układów regulacji automatycznej, WPW, War-szawa, 1974.

[16] Kaczorek T. i inni: Wybrane metody analizy liniowych układów dy-namicznych, WPW, Warszawa 1984.

LITERATURA

Strona 237237237237

[17] Kołacin T.: Podstawy teorii maszyn i automatyki, Oficyna wy-dawnicza, PW, 2005.

[18] Kołacin T., Kosior A.: Zbiór zadań do ćwiczeń z podstaw automa-tyki i teorii maszyn, Wydawnictwo Politechniki Warszawskiej, 1980.

[19] Kościelny W.: Materiały pomocnicze do nauczania podstaw au-tomatyki, Warszawa, WPW, 2001.

[20] Kowal J.: Sterowanie drganiami, Kraków, Gutenberg, 1996.

[21] Kowal J.: Podstawy automatyki, Kraków, Uczelniane Wydawnic-twa Naukowo-Dydaktyczne, 2004.

[22] Kwiatkowski W.: Podstawy teorii sterowania, 2002.

[23] Mazurek J., Vogt H., śydanowicz W.: Podstawy Automatyki, War-szawa, OWPW, 1996.

[24] Mikulski J.: Podstawy Automatyki, Liniowe Układy Regulacji, Gli-wice, WPŚ, 2001.

[25] Niederlański N.: Układy dynamiczne o działaniu ciągłym, WNT, Warszawa, 1992.

[26] Ogata K.: Metody przestrzeni stanu w teorii sterowania, 1974.

[27] Ogata K.: Modern Control Engineering, NY, Prentice Hall International, Inc., 1997.

[28] Pełczewski W.: Teoria sterowania, WNT, Warszawa, 1980.

[29] Shinners S. M.: Modern Control System Theory and Design, NY, John Wiley & Sons Inc., 1998.

[30] Szacka K.: Teoria układów dynamicznych, WPW, Warszawa, 1986.

[31] Takahashi Y.: Sterowanie i systemy dynamiczne, WNT, Warszawa, 1976.

[32] Urbaniak A.: Podstawy Automatyki, Poznań, WPP, 2001.

[33] śelazny M.: Podstawy Automatyki, Warszawa, PWN, 1976.

LITERATURA

Strona 238238238238

`

9 Ćwiczenia laboratoryjne

ROZDZIAŁ 9

Strona 240240240240

9.1. Badanie układu dwupołoŜeniowej regulacji temperatury

Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie studentów z doświadczalnym wyzna-czaniem charakterystyk czasowych elementów automatyki na przykła-dzie obiektu cieplnego oraz działaniem układu dwupołoŜeniowej regula-cji temperatury z uwzględnieniem korekcji.

Wprowadzenie teoretyczne

Istota i cel stosowania dwupołoŜeniowej regulacji temperatury

Układ , w którym sygnał wyjściowy z regulatora moŜe tylko przyjmo-wać dwie wartości, nazywamy układem regulacji dwupołoŜeniowej. Re-zultatem takiego działania regulatora jest to, Ŝe wielkość regulowana wykonuje wahania wokół wartości zadanej. W przypadku dwupołoŜe-niowej regulacji temperatury, regulator steruje procesem włączania i wy-łączania grzejnika elektrycznego znajdującego się w układzie, powo-dując w ten sposób zmiany temperatury obiektu. Obiekty cieplne mają duŜą inercję, a wtedy regulacja dwupołoŜeniowa daje najlepsze rezultaty. W praktycznych zastosowaniach konieczność regulacji temperatury wy-nika z dwóch powodów:

• Wiele procesów produkcyjnych dla prawidłowego ich przebiegu wymaga zapewnienia odpowiedniego poziomu temperatury (stałego lub zmiennego w czasie),

• Dla otrzymania określonej temperatury obiektu (pieca hutni-czego, obróbki cieplnej itp.) konieczne jest dostarczenie odpowiedniej ilości energii.

Rysunek 9.1.1 przedstawia schemat układu dwupołoŜeniowej regulacji temperatury. Jako dwupołoŜeniowego regulatora uŜyto rtęciowego ter-

ĆWICZENIA LABORATORYJNE

Strona 241241241241

mometru kontaktowego, który jest takŜe elementem pomiarowym w tym układzie. Wewnątrz termometru znajduje się ruchoma elektroda w po-staci drucika. PołoŜenie elektrody określa wartość zadanej temperatury. W połoŜeniu przedstawionym na rysunku, styki przekaźnika P są za-mknięte i grzejnik G jest włączony. Gdy temperatura obiektu wzrośnie powyŜej wartości zadanej, tzn. słupek rtęci zetknie się z drucikiem, wówczas zostanie zamknięty obwód cewki przekaźnika. Spowoduje to otwarcie styków przekaźnika i wyłączenie grzejnika. Spadek tempera-tury obiektu spowoduje obniŜenie słupka rtęci w termometrze, otwarcie obwodu cewki przekaźnika i ponowne załączenie grzejnika. Po pewnym czasie nastąpi wzrost temperatury i cykl załączania i wyłączania będzie się powtarzał.

Rysunek 9.1.1. Schemat układu dwupołoŜeniowej regulacji temperatury

Na dokładność regulacji zasadniczy wpływ mają właściwości samego regulatora. Wskutek przyczepności rtęci do drucika charakterystyka re-gulatora posiada strefę niejednoznaczności w postaci histerezy D (rysunek 9.1.2b). Charakterystyki statyczne idealnego regulatora dwupo-łoŜeniowego i ze strefą niejednoznaczności przedstawia rysunek 9.1.2.

Rysunek 9.1.2. Charakterystyki statyczne regulatorów

dwupołoŜeniowych: a) idealnego, b) ze strefą niejednoznaczności

W praktyce szerokie zastosowanie znajdują takŜe regulatory, których działanie oparte jest na wykorzystaniu rozszerzalności cieplnej ciał sta-łych jak regulatory: bimetalowe, cieczy i gazów oraz elektroniczne.

ROZDZIAŁ 9

Strona 242242242242

Przepływ energii cieplnej między grzejnikiem a obiektem zaleŜy w du-Ŝym stopniu od właściwości samego obiektu regulowanego oraz prze-biegu temperatury podczas regulacji. Dlatego do przeprowadzenia ana-lizy procesu dwupołoŜeniowej regulacji konieczne jest określenie wła-ściwości obiektu.

Określenie właściwości obiektu

Właściwości dynamiczne obiektów określane są poprzez związki pomię-dzy sygnałami wejściowymi i wyjściowymi przebiegającymi w czasie. W celu ujednolicenia opisu sformułowane zostało pojęcie charaktery-styki dynamicznej obiektu. Jest nią zaleŜność wielkości wyjściowej od czasu, przy jednorazowej określonej zmianie wielkości wejściowej. Cha-rakterystyką dynamiczną grzejnika będzie zaleŜność rzeczywistej tempe-ratury τ od czasu przy jednorazowej skokowej zmianie wartości mocy grzejnej gP w określonej temperaturze otoczenia. Przebieg zmian tem-

peratury grzejnika uzaleŜniony jest od załączonej mocy grzejnej gP ,

mocy strat cieplnych sP oraz od czynników wynikających z konstrukcji

pieca (grzejnika) określonych przez jego masę m i ciepło właściwe wc .

Bilans mocy cieplnej pieca moŜemy opisać równaniem

sgw PPdt

dmc −=

τ, (9.1.1)

Straty cieplne uzaleŜnione są od róŜnicy temperatury obiektu i tempera-tury otoczenia. JeŜeli przyjmiemy takie załoŜenie, to

( ) τττ bbP 0rs =−= , (9.1.2)

gdzie: b − stały współczynnik, rτ − temperatura pieca, 0τ − tempera-

tura otoczenia.

Po wstawieniu zaleŜności (9.1.2) do równania (9.1.1) otrzymamy

gw P

b

1

dt

d

b

mc=+τ

τ, (9.1.3)

a po wprowadzeniu oznaczeń: gPu = − sygnał wejściowy, τ=y − sy-

gnał wyjściowy, b1k = − współczynnik proporcjonalności, bmcT =

− stała czasowa obiektu inercyjnego pierwszego rzędu, otrzymamy


Strona 243243243243

,kuydt

dyT =+ (9.1.4)

Stosując rachunek operatorowy Laplace’a z równania (9.1.4) otrzymamy

( ) ( ) ( )skusysTsy =+ , (9.1.5)

Transmitancja operatorowa określona jako ( ) ( ) ( )susysG = przyjmuje postać

( )1Ts

ksG

+= . (9.1.6)

Charakterystykę czasową elementu ( )ty wyznaczymy jako odpowiedź

na wymuszenie skokowe wielkości wejściowej ( ) ( ) stut1tu = otrzymamy,

transformując funkcję czasu ( )tu na funkcję zmiennej s

( ) stus

1su = , (9.1.7)

Zatem sygnał wyjściowy jest

( ) ( ) ( ) ( ) stus

1

1Ts

ksusysGsy

+=== , (9.1.8)

Dokonując odwrotnej transformacji Laplace’a otrzymamy poszukiwane równanie charakterystyki czasowej

( ) ( )[ ] ( )Tt

st

1e1kusyLty

−− −== . (9.1.9)

Wykres tej zaleŜności przedstawia rysunek 9.1.3

Rysunek 9.1.3. Charakterystyka czasowa elementu inercyjnego

pierwszego rzędu bez opóźnienia

ROZDZIAŁ 9

Strona 244244244244

Dla czasu ∞→t otrzymamy maksymalną wartość temperatury

( ) ( ) st

T

st kue1kuty =−= −∞ , (9.1.10)

Korzystając z podstawienia τ=y oraz podstawiając wzór (9.1.10) do (9.1.9) otrzymamy

( )Tt

max e1−−= ττ , (9.1.11)

JeŜeli do równania(9.1.9) wstawimy czas Tt = , to otrzymamy

( ) ( )st

1

st ku632.0e1kuTy =−=−

. (9.1.12)

Oznacza to, Ŝe stała czasowa T jest czasem od chwili 0t = do chwili, w której sygnał wyjściowy w postaci temperatury obiektu osiągnie

632.0 wartości maksymalnej stku . Otrzymane z badań doświadczal-

nych rzeczywiste charakterystyki obiektów cieplnych róŜnią się od cha-rakterystyk obiektów idealnych. W celu zbudowania matematycznego opisu takich obiektów zachodzi potrzeba przeprowadzenia identyfikacji obiektu.

Identyfikacja obiektu

Identyfikacja obiektu rzeczywistego polega na określeniu związków po-między sygnałem wejściowym i wyjściowym na podstawie danych do-świadczalnych. Sprowadza się do wyznaczenia modelu funkcjonalnego lub strukturalnego badanego obiektu. Model funkcjonalny jest modelem wykazującym podobieństwo sygnału wyjściowego z sygnałem wyjścio-wym obiektu przy takich samych sygnałach wejściowych modelu i obiektu. Przez model strukturalny naleŜy rozumieć model matema-tyczny, którego struktura równań odzwierciedla strukturę równań opisu-jących obiekt rzeczywisty. Proces identyfikacji wymaga przeprowadze-nia badań doświadczalnych i wyznaczenia właściwości obiektu poprzez charakterystyki czasowe, częstotliwościowe itp.

Do budowy modelu matematycznego słuŜą metody oparte na:

1. analizie charakterystyk czasowych,

2. analizie charakterystyk częstotliwościowych,

3. symulacji komputerowej modelu o załoŜonej strukturze poprzez dobór jego parametrów.


Strona 245245245245

Pierwsza z metod, którą zaproponował K u&& pfm u&& ler, polega na zastąpie-niu rzeczywistej charakterystyki czasowej obiektu charakterystykami członu inercyjnego pierwszego rzędu i członu opóźniającego. Parametry tych charakterystyk wyznacza się poprzez poprowadzenie stycznej do charakterystyki rzeczywistej w jej punkcie przegięcia. Styczna ta odcina na osi czasu zastępczy czas opóźnienia 0T i wartość stałej czasowej T .

Schemat takiej aproksymacji przedstawia rysunek 7.7, punkt 7.4, str.158 oraz schemat blokowy aproksymowanego obiektu przedstawia rysunek 7.8 i jego transmitancję wzór (7.7) str. 159. Druga wymieniona metoda jest pracochłonna i mało przydatna w praktycznych zastosowaniach. Natomiast duŜe znaczenie mają metody symulacji komputerowej dające moŜliwość automatycznego doboru parametrów modelu.

Analiza procesu dwupołoŜeniowej regulacji temperatury obiektu bez opóźnienia

Do teoretycznych rozwaŜań dotyczących przebiegu procesu dwupołoŜe-niowej regulacji przyjmujemy najprostszy model obiektu w postaci ele-mentu inercyjnego pierwszego rzędu bez opóźnienia. Przebieg zmian temperatury takiego obiektu podczas regulacji pokazuje rysunek 9.1.4.

Rysunek 9.1.4. Przebieg zmian temperatury obiektu inercyjnego

pierwszego rzędu bez opóźnienia: a) podczas regulacji, b) przebieg zmian mocy grzejnej

ROZDZIAŁ 9

Strona 246246246246

Przyjmujemy następujące załoŜenia:

maxτ − maksymalna temperatura pieca (obiektu),

1t∆ − czas narastania temperatury,

zt − czas załączania grzejnika,

wt − czas wyłączania grzejnika,

D − strefa niejednoznaczności,

P − moc grzejna,

P − moc grzejna,

Jakość regulacji jest oceniana na podstawie wielkości odchyleń rzeczy-wistej temperatury obiektu od temperatury zadanej. Z rysunku 9.1.4 wy-nika, Ŝe w przypadku obiektu bez opóźnienia decyduje o tym tylko strefa niejednoznaczności regulatora. Drugim istotnym parametrem procesu regulacji jest okres wahań temperatury. Wielkość ta nie tylko zaleŜy od właściwości regulatora, ale takŜe od właściwości samego obiektu oraz relacji między temperaturą zadaną i maksymalną temperaturą obiektu. Przebiegi charakterystyki dynamicznej elementu inercyjnego pierwszego rzędu dla narastania i opadania temperatury pokazane są na rysunku 9.1.5 i 9.1.6. Są to krzywe wykładnicze opisane równaniem (9.1.11). Wahania temperatury podczas regulacji odbywać się będą wg odcinków tych krzywych.

Krzywą narastania temperatury w analogii do (9.1.11) moŜna opisać wzorem

( )Tte 11max1

−−= ττ , (9.1.13)

oraz

( )Tte 21max2

−−= ττ , (9.1.14)

Z rysunku 9.1.5 wynika

112 ttt ∆+= , (9.1.15)


Strona 247247247247

Analogicznie moŜna sformułować odpowiednie zaleŜności dla przebiegu opadania temperatury

Rysunek 9.1.5. Przebieg krzywej narastania temperatury

Rysunek 9.1.6. Przebieg krzywej opadania temperatury

T'1t

max

'

1e

−= ττ , (9.1.17)

T'2t

max

'

2e

−= ττ , (9.1.18)

Na podstawie rysunku 9.1.6

ROZDZIAŁ 9

Strona 248248248248

'

1

'

22ttt −=∆ , (9.1.19)

Ze wzoru (9.1.18) po wykorzystaniu wzorów (9.1.17) i (9.1.19) otrzy-mamy

Tt

e 2'1

'2

∆−=ττ , (9.1.20)

Wymienione zaleŜności zostaną wykorzystane do wyznaczania czasu narastania i czasu opadania temperatury podczas regulacji. Na podstawie rysunku 9.1.4 oraz wzoru (9.1.16) przebieg narastania temperatury moŜna opisać następująco

( )TtTt

zz eeDD

11 122 max

∆−∆− −+

−=+ τττ , (9.1.21)

stąd po przekształceniach wzoru (9.1.21) wzór określający czas narasta-nia temperatury przyjmuje postać

+−

−−

=∆

2

2ln

max

max

1D

D

Tt

z

z

ττ

ττ. (9.1.22)

Analogicznie dla opadania temperatury

Tt

zz eDD

2

22∆−

+=− ττ , (9.1.23)

stąd

2

2ln2 D

D

Tt

z

z

−

+=∆

τ

τ. (9.1.24)

Okres wahań jako suma dwóch czasów wynosi


Strona 249249249249

−

+⋅

+−

−−

=∆

2

2

2

2ln

max

max

1 D

D

D

D

Tt

z

z

z

z

τ

τ

ττ

ττ. (9.1.25)

Z otrzymanych wzorów (9.1.22) i (9.1.23) wynika, Ŝe przy 2maxττ >z

czas narastania temperatury jest większy od czasu opadania, czyli

21tt ∆∆ > . W miarę oddalania się

zτ w górę od 2maxτ czas

1t∆ rośnie,

a 2

t∆ maleje. Dla 2maxττ <z jest odwrotnie, tzn. 12

tt ∆∆ > .

Równość czasów zachodzi, gdy 2maxττ =z . Jednocześnie przy

2maxττ =z okres wahań jako suma czasu wzrostu i opadania osiąga

swoje minimum i moŜna go wyznaczyć ze wzoru

−

+

=

max

maxmin

1

1

ln2

τ

τ

D

D

TTr . (9.1.26)

W miarę oddalania się z

τ od 2max

τ w dół lub w górę, okres wahań

wzrasta i ten wzrost jest symetryczny względem 2max

τ . W rozwaŜa-

nym przypadku czas wzrostu z

t i czas opadania w

t są równowaŜne

z czasami podłączenia i wyłączenia grzejnika. Wobec tego, wyciągnięte powyŜej wnioski, dotyczące czasów

21tit ∆∆ pozostają takŜe słuszne

w odniesieniu do czasów z

t i w

t .

Analiza procesu dwupołoŜeniowej regulacji temperatury obiektu z opóźnieniem

Przebieg zmian temperatury podczas regulacji obiektu z opóźnieniem oraz uzupełnienie oznaczeń charakterystycznych wielkości podaje rysu-nek 9.1.7.

Dodatkowe oznaczenia to:

R − rozrzut temperatury,

ROZDZIAŁ 9

Strona 250250250250

gR − górna składowa rozrzutu,

dR − dolna składowa rozrzutu.

Przy wykorzystaniu wzorów (9.1.16) i (9.1.20) zostaną wyznaczone wielkości rozrzutu temperatury i jego składowych.

Rysunek 9.1.7. Przebieg zmian temperatury podczas regulacji obiektu

inercyjnego pierwszego rzędu z opóźnieniem: a) podczas regulacji, b) przebieg zmian mocy grzejnej

Dla narastania temperatury jest

( )TTTT

zgz eeD

R 00 12 max

−− −+

+=+ τττ , (9.1.27)

Stąd górna składowa rozrzutu jest

( ) TT

zzg eD

R 0

2maxmax−

+−−= ττττ . (9.1.28)

Podobnie dla opadania temperatury


Strona 251251251251

TT

zdz eD

R 0

2−

−=− ττ , (9.1.29)

Zatem, składowa dolnego rozrzutu jest

TT

zzd eD

R 0

2−

−−= ττ . (9.1.30)

A więc rozrzut przy wykorzystaniu wzorów 9.1.28 i (9.1.30) moŜna wyrazić następująco

( ) TT

gd eDRRR 0maxmax

−−−=+= ττ . (9.1.31)

Ze wzoru (9.31) wynika, Ŝe rozrzut temperatury dla obiektu z opóźnie-niem nie jest równoznaczny ze strefą niejednoznaczności, jak to miało miejsce w przypadku obiektu bez opóźnienia.

Rozrzut temperatury w obiekcie z opóźnieniem zaleŜy od strefy niejed-noznaczności regulatora D, maksymalnej temperatury

maxτ oraz od wła-

ściwości obiektu w postaci stałych 0

TiT , a ściślej od stosunku TT0

.

Składowe rozrzutu: górna g

R maleje ze wzrostem z

τ , dolna d

R rośnie,

ponadto równieŜ zaleŜy od wielkości temperatury zadanej z

τ . W wyniku procesu dwupołoŜeniowej regulacji otrzymuje się stałe wahania tempe-ratury rzeczywistej obiektu wokół pewnej wartości średniej

śrτ , której

nie moŜna utoŜsamiać z temperaturą zadaną. Wartość średniej określa się jako średnią arytmetyczną minimalnej i maksymalnej temperatury obiektu w ustalonym procesie regulacji. A więc

( ) ( )

2

RR

2

R

2

Rdg

z

dzgz

śr

−+=

−+

+= τ

τττ . (9.1.32)

Po przekształceniu powyŜszego wzoru jako róŜnicy pomiędzy tempera-turą zadaną i średnią, umownie nazwaną przesunięciem środka wahań i oznaczeniu przez δ otrzymamy

2

RRgd

śrz

−=−= ττδ , (9.1.33)

Podstawiając wzory (9.1.28) i (9.1.30) do (9.1.33) otrzymamy

ROZDZIAŁ 9

Strona 252252252252

( )T0Tmax

ze1

2

−−

−=τ

τδ . (9.1.34)

Stąd wynika, Ŝe dla obiektu o wartości przesunięcia środka oscylacji δ decydują wielkości

zτ i

maxτ . MoŜna wyróŜnić trzy charakterystyczne

przypadki przedstawione na rysunku 9.1.8. Temperatura zadana z

τ po-

krywa się z temperaturą średnią śr

τ jedynie w przypadku, gdy

2maxz

ττ = . Przesunięcie środka oscylacji jest tym większe, im tem-

peratura zadana jest bardziej odległa od 2max

τ , poniewaŜ stosunek

T/T0

dla danego obiektu jest stałą wielkością. Jest to bardzo istotna ce-

cha dwupołoŜeniowej regulacji. Znajomość relacji pomiędzy z

τ i śr

τ

moŜe być w praktyce wykorzystana do poprawienia dokładności regula-cji przez wprowadzenie określonych poprawek wartości temperatury za-danej, róŜnych w poszczególnych zakresach

zτ .

Rysunek 9.1.8. Przebiegi rzeczywistej temperatury obiektu przy róŜnych

wartościach temperatury zadanej

Okres wahań

( )( )

gzmax

dzmax

1R

RlnTt

+−−−

=ττττ

∆ , (9.1.35)


Strona 253253253253

zaś czas opadania

( )( )

dz

gz

2R

RlnTt

−

+=

τ

τ∆ , (9.1.36)

zaś okres wahań temperatury jest

( )( )

−

+⋅

+−−−

=+=dz

gz

gzmax

dzmax

21rR

R

R

RlnTttT

τ

τ

ττττ

∆∆ . (9.1.37)

Minimalną wartość okresu wahań, analogicznie jak poprzednio, wystę-pującego przy 2

maxzττ = moŜna obliczyć ze wzoru

2

R2

R

lnT2T

max

max

minr

−

+=

τ

τ. (9.1.38)

Reasumując moŜna stwierdzić, Ŝe prawie wszystkie wnioski wynikające dla obiektu bez opóźnienia pozostają słuszne takŜe i dla obiektu z opóź-nieniem. Opóźnienie obiektu powoduje wydłuŜenie wszystkich omawia-nych czasów i wzrost rozrzutu temperatury. NaleŜy równieŜ pamiętać, Ŝe nie naleŜy utoŜsamiać czasu załączania i wyłączania grzejnika z cza-sem wzrostu i opadania temperatury w obiekcie. Jak wynika z rysunku 9.1.7 czasy te są sobie równe (rzuty odcinków BC i DE na oś czasu są równe) i wynoszą

0T , ale początek podłączenia grzejnika (punkt D) na-

stępuje wcześniej o czas 0

T niŜ początek wzrostu temperatury

(punkt E). Jak widać zjawiska te nie przebiegają jednocześnie, chociaŜ ich czasy trwania są jednakowe.

Metody korekcji

Jak juŜ stwierdzono rozrzut temperatury jest uzaleŜniony od właściwości obiektu, maksymalnej temperatury i od histerezy regulatora. Aby zmniejszyć rozrzut naleŜy zastosować układ korekcyjny. Ze wzoru (9.1.38) wynika, Ŝe przy stałych właściwościach obiektu wielkość roz-rzutu moŜna zmniejszyć poprzez zwiększenie częstości przełączeń re-gulatora i zastosowanie sprzęŜenia zwrotnego wokół regulatora. Schemat takiego układu przedstawia rysunek 9.1.9.

ROZDZIAŁ 9

Strona 254254254254

W torze sprzęŜenia zwrotnego najczęściej umieszcza się element (korek-cyjny) w postaci elementu inercyjnego pierwszego rzędu o transmitancji

1sT

kG

k

k

k += . (9.1.39)

Rysunek 9.1.9. Schemat blokowy układu regulacji ze sprzęŜeniem

zwrotnym wokół regulatora

Częstotliwość przełączeń takiego układu poprzez dobór parametrów jego elementów, moŜna w większym stopniu uzaleŜnić od właściwości ele-mentu sprzęŜenia zwrotnego niŜ od samego obiektu. Układ korekcyjny, oznaczony linią przerywaną, moŜna traktować jako niezaleŜny układ dwupołoŜeniowy, w którym nie występuje opóźnienie. Częstotliwość ta-kiego układu jest znacznie większa niŜ częstotliwość układu bez korek-cji. Przykład realizacji takiego układu pokazuje rysunek 9.1.10.

Rysunek 9.1.10. Układ dwupołoŜeniowej regulacji temperatury z dwoma

elementami korekcyjnymi


Strona 255255255255

Jak widać na powyŜszym rysunku, zastosowano dwa dodatkowe małej mocy grzejniki

21RiR oraz termopary

21TiT . W momencie załączania

głównego grzejnika pieca włączany jest takŜe grzejnik dodatkowy 1

R .

Sygnał z termopary 1

T dodaje się do sygnału z termopary e

T umieszczo-

nej w obiekcie. Wobec tego regulator wyłączy dopływ mocy grzejnej przed osiągnięciem przez obiekt temperatury zadanej. W momencie wy-łączenia mocy grzejnej następuje włączenie grzejnika

2R . Sygnał z ter-

mopary 2

T odejmie się od sygnału z termopary e

T i regulator wcześniej

włączy moc grzejną, poniewaŜ otrzymuje on informację o spadku tempe-ratury obiektu z wyprzedzeniem.

Innym sposobem poprawy jakości dwupołoŜeniowej regulacji jest zasto-sowanie w obiekcie dwóch oddzielnych grzejników. Jednego włączo-nego na stałe, drugiego połączonego z regulatorem dwupołoŜeniowym. Maksymalna temperatura, jaką moŜe zapewnić grzejnik włączony na stałe, musi być niŜsza od temperatur zadanych. Stanowi ona jednocze-śnie temperaturę otoczenia dla grzejnika włączonego poprzez regulator. W ten sposób moŜna uzyskać względne zmniejszenie wartości maksy-malnej temperatury obiektu, zawsze mierzonej od poziomu temperatury otoczenia. Wobec tego maleje rozrzut temperatury. Takie rozwiązanie uzasadnia wór (9.1.31).

Opis stanowiska

Schemat zastosowanego w ćwiczeniu układu dwupołoŜeniowej regulacji temperatury przedstawia rysunek 9.1.11. Grzejnik G pieca (obiektu) za-silany jest z sieci napięciem 220 V, 50 Hz poprzez włączony szeregowo zespół diod

31DD − . Zastosowanie jednopołówkowego prostownika

prądu płynącego przez grzejnik G oznacza, Ŝe doprowadzona moc do grzejnika jest dwukrotnie mniejsza. Zostało to uwzględnione przy dobo-rze mocy grzejnika, aby dopasować maksymalną wartość temperatury pieca do parametrów miernika temperatury MT i regulatora RT .

Napięcie zasilania obiektu (pieca) moŜe być ręcznie załączane za po-mocą wyłącznika

2W lub automatycznie poprzez człon regulujący CzR

regulatora. Realizacja automatycznego sterowania wymaga połączenia zacisków 43i21 −− oraz rozłączenia obwodu wyłącznikiem

2W .

Czujnik pomiarowy w postaci termoelementu 1

T jest umieszczony we-

ROZDZIAŁ 9

Strona 256256256256

wnątrz pieca w pobliŜu grzejnika i połączony z zaciskiem 6 i 8 . W przypadku połączenia zacisków 65 − , 87 − i 1211 − termoele-ment

1T jest połączony bezpośrednio z członem pomiarowym regulato-

ra, zaś dzięki połączeniu zacisków 1210 − i 119 − w obwód pomiaro-wy wlączony zostaje dodatkowy termoelement

4T przystawki sprzęŜenia

zwrotnego .PS Przystawka ta składa się z transformatora t

T ,

przełącznika P , grzejnika p

G i wcześniej wspomnianego termoele-

mentu 4

T . Sygnał sprzęŜenia zwrotnego jest jednokierunkowy, tylko

powstaje w czasie dogrzewania obiektu, a jego wielkość zaleŜy od połoŜenia przełącznika P . Ponadto w układ są wbudowane dwa dodatkowe niezaleŜne obwody pomiarowe. Jeden z nich słuŜy do pomiaru rzeczywistej temperatury obiektu za pomocą termoelementu

3T

i miernika temperatury MT .

Rysunek 9.1.11. Schemat układu dwupołoŜeniowej regulacji temperatury

Drugi zaś słuŜy do rejestracji przebiegów czasowych temperatury za pomocą termoelementu

2T i rejestratora. Dla umoŜliwienia porównania

wyników pomiarów i rejestracji, termoelementy 321

TiT,T umieszczono

prawie w tym samym punkcie pieca. Wolne końce termoelementów


Strona 257257257257

4321TiT,T,T znajdują się w stałej temperaturze odniesienia,

.,constt = którą w tym przypadku jest temperatura otoczenia. Wskazane

na schemacie stanowiska oporności 1w

R i 2w

R są opornościami wyrów-

nawczymi.

Z chwilą włączenia zasilania grzejnika, temperatura obiektu zaczyna wzrastać. Po przekroczeniu temperatury nastawionej w regulatorze na-stępuje przełączenie styków CzR regulatora i wyłączenie mocy grzej-nej. Temperatura zaczyna spadać i w chwili gdy osiągnie odpowiednio niŜszą wartość od zadanej, następuje ponowne włączenie mocy grzejnej i jednocześnie elementu grzejnego przystawki. Włączenie termoelementu

4T w obwód CzP (szeregowo z

1T ) powoduje przyspieszenie ruchu

wskazówki miernika temperatury umieszczonego w regulatorze RT i wcześniejsze wyłączenie mocy grzejnej. Stan podłączenia stanowiska do sieci zasilającej jest sygnalizowany przez neonówkę

1N , a stan

grzania neonówką 2

N .

Wykonanie ćwiczenia

1. Określenie własności obiektu:

• podłączyć do układu rejestrator lub zestaw komputerowy,

• odłączyć regulator temperatury RT,

• włączyć moc grzejną pieca i zarejestrować przebieg, aŜ do ustalenia się jej wartości.

2. Badanie dwupołoŜeniowej regulacji bez korekcji:

• do wejścia regulatora RT przyłączyć termoelement 1T ,

• połączyć zaciski 1-2 i 3-4, a wyłącznik 2W pozostawić w stanie otwartym,

• podłączyć rejestrator lub zestaw komputerowy,

• włączyć moc grzejną pieca i zarejestrować przebiegi tempe-ratury dla trzech róŜnych wartości temperatury zadanej zτ ,

3. Badanie dwupołoŜeniowej regulacji z korekcją:

ROZDZIAŁ 9

Strona 258258258258

• układ pomiarowy połączyć jak w punkcie 2, a ponadto włączyć szeregowo z termoelementem 1T termoelement 4T ,

• włączyć moc grzejną pieca i zarejestrować przebiegi tem-peratury dla dwóch róŜnych wartości, temperatury zadanej

zτ przy dwóch róŜnych połoŜeniach przełącznika korekcji P.

Opis i podstawowe dane programu do zapisu wyników ćwiczenia ”Regulacja dwupołoŜeniowa”

I. Funkcje podstawowe:

1. Ustawienie współczynników przeliczeń sygnałów napięciowych

na wielkości fizyczne – pola A, B dla temperatura w [ C0 ]

2. Ustawienie ścieŜki dostępu i nazwy pliku do zapisu wyników próby – pole „NAZWA PLIKU DO ZAPISU”

3. Rejestracja zmian parametrów a czasie i ich zobrazowanie na wykresie „WYKRESY” (klawisze „START” – „STOP”)

4. Zapis zebranych danych w pliku (klawisz „ZAPISZ”)

5. Kasowanie pliku wyników o nazwie zadeklarowanej w polu „NAZWA PLIKU DO ZAPISU” – klawisze „Kasuj plik” oraz „TAK” i „NIE”


Strona 259259259259

6. Sygnalizacja:

• istnienia pliku wyników o wybranej nazwie – „PLIK ISTNIEJE! ZMIEN NAZWE PLIKU DO ZAPISU! ”

• pracy – „ZBIERAM DANE!”

• skasowania pliku – „PLIK SKASOWANY”

7. Wskazywanie:

• czasu rejestracji w sekundach - [s]

• aktualnej wartości temperatury – [ C0 ]

• przekroczenia poziomu +280 C0 – zmiana koloru pola

wskazań

8. Edycja wykresu i dobór sposobu i zakresu przedstawienia wyni-ków

9. Wybór drukarki i ustawienie parametrów wydruku oraz Wydruk kopii wykresu

II. Uruchomienie programu:

1. Uruchomienie programu naleŜy poprzedzić uruchomieniem apli-kacji testującej kartę pomiarową, oceniając prawidłowość wska-zań (wskazywane poziomy napięć) oraz wielkość zakłóceń (za-kres zmian poziomów napięć wskazywanych)

2. Po zamknięciu aplikacji testującej, uruchomić aplikację „Re-jestrator Ćwiczenia „Regulacja DwupołoŜeniowa””

3. Wpisać wartości współczynników przeliczeniowych temperatury A i B

4. Wpisać nazwę i ścieŜkę dostępu do pliku w którym zapisane zo-staną wyniki próby

5. Uruchomić akwizycję wyników – przyciskiem START – co sy-gnalizowane jest napisem „ZBIERAM DANE”

6. Obserwować wskazania temperatury i zmian napięcia sterują-cego na wykresie „WYKRESY”

ROZDZIAŁ 9

Strona 260260260260

7. Po zarejestrowaniu wymaganego fragmentu przebiegu zatrzy-mać zapis klawiszem „STOP”

8. Zapisać zebrane dane do pliku klawiszem „ZAPISZ”

9. Poddać wykres edycji klawiszem „INSPECT” – pokaŜe się nowe okno „Copy of „WYKRESY:””

10. Z menu „File” w oknie „Copy of „WYKRESY:”” wybrać po-lecenie „Print Setup ...” i ustawić parametry wydruku i orientację strony wydruku

11. Z menu „File” w oknie „Copy of „WYKRESY:”” wybrać „Print” i wydrukować na drukarce kopię wykresu

12. Zamknąć okno „Copy of „WYKRESY:”” poleceniem „File”, „Close Window”

13. Kontynuować dalsze rejestracje wg. Punktów 4 do 12.

14. Wyłączenie aplikacji następuje poprzez zamknięcie okna aplika-cji lub klawiszami ALT+F4

III. Obsługa programu:

15. Ustawienie współczynników przeliczeń sygnałów napięciowych np. dla temperatura w [oC] – pola A, B

• Kliknąć pole opisane przez nazwę współczynnika

• Wpisać wybraną wartość

• Zaakceptować wpis klawiszem „ENTER”

• Nastawy wpisywane są jednokrotnie po uruchomieniu apli-kacji, wartościami domyślnymi są A = 50, B=-100

16. Ustawienie lub zmiana nazwy pliku wyników:

• Wybrać funkcję wyboru nazwy pliku przyciskiem „FILE” w polu „NAZWA PLIKU DO ZAPISU”

• Wskazać scieŜkę dostępu do katalogu i wpisać nazwę pliku do zapisu wyników próby.

• Potwierdzić wybór przyciskiem „OTWÓRZ” Program auto-matycznie uzupełni rozszerzenie „ .dat”


Strona 261261261261

• Nowa nazwa zostanie wpisana w pole nazwy pliku do zapisu

17. Obsługa kasowania pliku wyników:

• Uruchom przycisk „Kasuj plik”

• Potwierdź decyzję „TAK” lub „NIE” w polu „CZY SKASO-WAĆ ZAPISANY PLIK ?”

• Plik o nazwie zapisanej w polu „NAZWA PLIKU DO ZA-PISU” zostaje skasowany , co sygnalizowane jest napisem „PLIK ZOSTAL SKASOWANY”

18. Obsługa Wydruku wykresu na drukarce:

• Poddać wykres edycji klawiszem „INSPECT” – pokaŜe się nowe okno „Copy of „WYKRESY:””

• Klikając odpowiedni element wykresu: oś, podziałkę, liczby opisujące, pole wykresu, linie wykresowe, poddać go edycji i wybrać sposób zobrazowania

• Z menu „File” w oknie „Copy of „WYKRESY:”” wybrać polecenie „Print Setup ...” i ustawić parametry wydruku i orientację strony wydruku

• Z menu „File” w oknie „Copy of „WYKRESY:”” wybrać „Print” i wydrukować na drukarce kopię wykresu

• Zamknąć okno „Copy of „WYKRESY:”” poleceniem „Close Windows” z menu „File”

IV. Uwagi dodatkowe:

1. KaŜdorazowe uruchomienie rejestracji przyciskiem „START” wymaga zatrzymania przyciskiem „STOP”

2. Ponowne uruchomienie rejestracji następuje przy uŜyciu przyci-sku „START”. Zebrane wcześniej dane – jeśli nie zostały zapi-sane przyciskiem „ZAPISZ” - nie zostają zachowane.

3. Zapis wyników do pliku następuje dopiero po dokonaniu re-jestracji zobrazowanej na wykresie i uruchomieniu tej funkcji przyciskiem „ZAPISZ”. Zapis do istniejącego pliku wyników jest programowo uniemoŜliwiony, ponowny zapis zarejestrowa-nych wyników jest moŜliwy po zmianie nazwy pliku wyników

ROZDZIAŁ 9

Strona 262262262262

4. W przypadku wywołania Wykresu do edycji przyciskiem „IN-SPECT” zatrzymany zostaje przebieg akwizycji po uruchomie-niu któregokolwiek polecenia z menu okna „Copy of „WY-KRESY:””

5. Wybranie polecenia „ABORT” w oknie informacyjnym aplikacji powoduje zamknięcie aplikacji, wybranie polecenia „OK” lub „Cancel” kontynuuje działanie aplikacji.

Format pliku wyników rejestracji ćwiczenia „REGULACJA DWUPOŁOśENIOWA”:

Naglówek:

• ścieŜka do katalogu wyników i nazwa pliku wyników

• czas i data realizacji próby (zapisu)

• numery kanałów komputerowych uŜytych do rejestracji (za-zwyczaj 0 i 1 )


Strona 263263263263

• częstotliwość próbkowania (zazwyczaj co 1 s)

• uŜyte współczynniki wzorcowania temperatury

• (początkowo A = 50 [oC/V] B = -100 [oC]

• oznaczenie kolumn wyników

- kolumna 1 - czas[s] – czas rejestracji

- kolumna 2 - t [oC] – zmierzona temperatura

- kolumna 3 – sygnał załączenia napięcia na grzałce stanowiska [V]

Treść sprawozdania

Sprawozdanie powinno zawierać:

1. Krótki opis stanowiska,

2. Zarejestrowany przebieg temperatury wg punktu 1 przebiegu ćwiczenia wraz z wyznaczeniem T i 0T ,

3. Zarejestrowany przebieg temperatury wg punktu 2 przebiegu ćwiczenia wraz z wyznaczeniem gR , dR , r21 Tit,t ∆∆ ,

4. Obliczenie wielkości, wymienionych w poprzednim punkcie na podstawie wzorów teoretycznych (9.1.28, 9.1.30, 9.1.35-9.1.37),

5. Zarejestrowane przebiegi temperatury wg punktu 3 przebiegu ćwiczenia,

6. Porównanie wyników i wnioski.

ROZDZIAŁ 9

Strona 222264646464

Literatura

1. Górecki H.: Analiza i synteza układów regulacji z opóźnieniem, PWN, Warszawa 1978.

2. Kołacin T i inni: Ćwiczenia laboratoryjne z podstaw automatyki i teorii maszyn, Praca zbiorowa pod redakcją Tadeusza Koła-cina, Oficyna wydawnicza, PW, 2005.

3. Kołacin T.: Podstawy teorii maszyn i automatyki, Oficyna wydawnicza, PW, 2005.

4. Węgrzyn S.: Podstawy automatyki, PWN, Warszawa, 1972.

5. śelazny M.: Podstawy Automatyki, PWN, Warszawa, 1976.


Strona 265265265265

9.2. Badanie regulatorów Eftronik X i układu sterowania z regulatorem PID LB 600

Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zbadanie odpowiedzi na wymuszenie skokowe róŜnych typów regulatorów na podawane na wejście sygnały wymusza-jące, analiza tych odpowiedzi, wyznaczenie z nich nastaw regulatorów oraz zbadanie, z jaką dokładnością moŜna te nastawy określić dla nor-malnie stosowanych regulatorów przemysłowych. Zostanie takŜe zba-dane oddziaływanie regulatora PID na obiekt w zamkniętym układzie regulacji.


Przedstawimy transmitancje oraz charakterystyki czasowe i częstotliwo-ściowe podstawowych liniowych regulatorów o działaniu ciągłym (algo-rytmów sterowania) wykorzystywanych w przemysłowych układach ste-rowania. Podstawowym zadaniem regulatora jest wytworzenie takiego sygnału sterującego, wchodzącego do maszyny lub urządzenia jako obiektu regulacji był wytwarzany taki sygnał jakiego Ŝądamy i aby uchyb regulacji by był jak najmniejszy. Wtedy uchyb regulacji dąŜy do zera. Regulator jest urządzeniem formującym sygnał sterujący według określonego algorytmu, wchodzącym w skład układu automatycznej re-gulacji, który ma dwa wejścia. Jedno wejście słuŜy do wprowadzania in-formacji o bieŜącej wartości wielkości regulowanej y(t), drugie słuŜy do wprowadzania informacji o wartości zadanej w(t), tak jak na rysun-ku 9.2.1 a).

ROZDZIAŁ 9

Strona 266266266266

Rysunek 9.2.1. Schematy blokowe: a) układu regulacji automatycznej, b) fragmentu układu z regulatorem R o transmitancji G(s), O – obiekt,

R - regulator

Usytuowanie regulatora w układzie regulacji automatycznej pokazano na powyŜszym rysunku. Sygnałem wyjściowym regulatora jest sygnał ste-rujący u(t), sygnałem wejściowym uchyb regulacji e(t) (rys.9.2.1a). Aby regulator mógł wypełnić swoje zadanie to musi zmierzyć wielkość re-gulowaną, porównać jej wartość z wartością zadaną w(t) i wytworzyć uchyb regulacji e(t) oraz przetworzyć sygnał uchybu w sygnał sterujący.

W szczególności w regulatorach wyznaczane są zawsze odchyłki regulacji e(t)=y(t)-w(t) lub e(t)=w(t)-y(t) (działanie proste lub odwrotne) oraz generowany jest wewnętrzny sygnał wartości zadanej w(t).

Transmitancje obiektu i regulatora przyjmują postać

( ) ( )( )sx

sysGob = , ( ) ( )

( )se

susGr = . (9.2.1)

Transformatę wielkości regulowanej ( )sy otrzymamy z transformaty obiektu, zatem

( ) ( ) ( )sxsGsy ob= , (9.2.2)

Z równania węzła sumacyjnego (rys.9.2.1a)


Strona 267267267267

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sesGszsuszsx r−=−= , ( ) ( ) ( )swsyse −= . (9.2.3)

Podstawiając powyŜszy związek do wzoru (9.2.2) otrzymamy transfor-matę sygnału wyjściowego ( )sy w zaleŜności od transformaty zakłóce-

nia ( )sz i wartości zadanej ( )sw , a więc

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ }

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ,11

swsGsG

sGsGsz

sGsG

sG

swsysGszsG

sesGszsGsy

rob

rob

rob

ob

rob

rob

++

+=

=−−=

=−=

(9.2.4)

WyraŜenie ( ) ( ) ( )[ ]sGsG1sG robob + określa, jak wpływa zakłócenie na

sygnał wyjściowy i nazywamy transmitancją zakłóceniową. Transmitan-cja ta pozwala określić wielkość sygnału wyjściowego, gdy jest dana wielkość zakłócenia. WyraŜenie ( ) ( ) ( ) ( )[ ]sGsG1sGsG robrob + wiąŜące

transformatę wielkości regulowanej z transformatą wielkości zadanej na-zywamy transmitancją ze względu na wartość zadaną. Transmitancja układu otwartego ( ) ( )sGsG rob z reguły jest duŜo większa od jedności,

wtedy

( )( )

( ) ( )swszsG

1sy

r

+≅ . (9.2.5)

Z tej zaleŜności wynika, Ŝe znacznie zmniejsza się skutki zaburzenia nie wpływając na wartość sygnału wyjściowego przy zmianie wielkości za-danej.

Podstawiając do drugiej zaleŜności wzoru (9.2.3) wzór (9.2.4) otrzy-mamy odpowiedź, jak wpływa zakłócenie ( )tz i wartość zadana ( )tw

na uchyb regulacji ( )te , czyli

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]swszsGsGsG1

1se ob

rob

−

+= , (9.2.6)

JeŜeli do układu wprowadzimy zakłócenie skokowe ( )t1z ⋅ ( constz = )

i pozostawimy wartość ( )tw na stałym poziomie, wówczas transformatę uchybu otrzymamy z równania (9.2.6) w postaci

ROZDZIAŁ 9

Strona 268268268268

( ) ( )( ) ( )sGsG1

sG

s

zse

rob

ob

+= , (9.2.7)

Korzystając z twierdzenia o wartości końcowej otrzymamy dla stanu ustalonego wzór na uchyb regulacji

.

(9.2.8)

Z powyŜszego wzoru wynika, Ŝe uchyb regulacji w stanie ustalonym jest równy zero, gdy ( ) ∞→0Gr . Oznacza to, Ŝe regulator musi mieć działa-nie całkujące. Tak samo będzie, jeśli wystąpi działanie całkujące w do-wolnym miejscu układu (obiekt- regulator), gdy mamy wymuszenie sko-kowe.

Podstawowe rodzaje regulatorów, ich charakterystyki czasowe i czę-stotliwościowe są przedstawione na str. 101-122.

Ocena jakości regulacji opisana jest punkcie 7.6 na str. 166-171.

Aproksymacja charakterystyki obiektu na podstawie charakterystyki skokowej przedstawiona jest w punktach 7.4, str.158 i 7.5, str. 160.

Regulator PID omówiony jest w punkcie 5.7, str. 118, zaś nastawianie jego parametrów na str. 124-126.


Strona 269269269269

Opis elementów pulpitu operatorskiego regulatora PID Eftronik X

Rysunek 9.2.2 Widok płyty czołowej regulatora FTRONIK X

1. Wyświetlacz górny (czerwony), wyświetlający: a) w trybie pracy − wartość mierzoną (regulowaną) PV, b) w trybie programo-

wania: −−−− rodzaj regulatora, adres parametru (WAR-K-NP) −

2. Wyświetlacz dolny (zielony), wyświetlający: a) w trybie pracy − wartość sygnału wyjściowego CV, wartość zadaną SP, kody alarmów, b) w trybie programowania: −−−− wartość parametru

dip T,T,k ,

3. Wyświetlacz (zielony) CHAN, NO, wyświetlający: a) w trybie pracy − numer kanału regulacyjnego, b) w trybie programo-

wania: −−−− symbol ”P”,

4. Przycisk ”MODE” realizujący funkcje: a) przełączanie trybu pracy (PRACA/PROGRAMOWANIE) oraz: a) w trybie pracy − przełączanie kanałów, kwitowanie alarmów, b) w trybie pro-

ROZDZIAŁ 9

Strona 270270270270

gramowania: −−−− przełączanie aktywności wyświetlaczy (górny

⇔⇔⇔⇔ dolny),

5. Przycisk realizujący funkcje: a) w trybie pracy − przewijanie wyświetlanych na wyświetlaczu „2” wielkości, b) w trybie pro-

gramowania: −−−− zwiększanie wartości aktywnej cyfry adresu lub wartości parametru, c) w trybie włączania zasilania: włą-czenie zasilania z wciśniętymi przyciskami i (5 i 7) po-woduje kasowanie hasła (PASS),

6. Dioda (zielona) SP-ERR sygnalizująca: a) gdy nie świeci to na wyświetlaczu „2” jest wartość sygnału wyjściowego, b) gdy świeci to na wyświetlaczu „2” jest wartość zadana SP lub kod alarmu,

7. Przycisk realizujący funkcje: a) w trybie pracy − przewijanie wyświetlanych na wyświetlaczu „2” wielkości, b) w trybie pro-

gramowania: −−−− zmniejszanie wartości aktywnej cyfry adresu lub wartości parametru, c) w trybie włączania zasilania: włą-czenie zasilania z wciśniętymi przyciskami i (5 i 7) powo-duje kasowanie hasła (PASS),

8. Dioda czerwona „M” (Manual) sygnalizująca pracę regulatora w trybie ręcznym,

9. Przycisk M, A, CAS, C realizujący: a) w trybie pracy −−−− przełą-

czanie trybu pracy regulatora M ⇔⇔⇔⇔ A (oraz CAS i C jeŜeli zaprogramowano takie tryby pracy), b) w trybie programowania: − nieaktywny,

10. Dioda Ŝółta „A” sygnalizująca pracę regulatora w trybie automa-tycznym (Automatic),

11. Przycisk realizujący funkcje: a) w trybie pracy − zwiększa-nie/zmniejszanie (w zaleŜności od logiki sygnału wyjściowego) sygnału wyjściowego (sterującego) regulatora w trybie pracy M, zmiana aktywnej pozycji wartości zadanej przy jej ustawianiu w trybie pracy (świeci dioda SP-ERR), przewijanie alarmów przy podglądzie kolejki alarmów (świeci dioda SP-ERR), b) w trybie

programowania: −−−− przesuwanie pozycji aktywnej cyfry ad-resu lub wartości parametru, c) w trybie włączania zasilania: włączenie zasilania z wciśniętymi przyciskami i (11 i 14)


Strona 271271271271

powoduje kasowanie struktury funkcjonalnej bez naruszenia wartości skalujących (EEPr),

12. Puste miejsce na dodatkowy przycisk,

13. Bargraf diodowy sygnalizujący: a) przy regulacji ciągłej −−−− pro-

centową wartość sygnału wyjściowego, b) przy regulacji dwu-stawnej 2P regulacji lewa skrajna dioda sygnalizuje stan załą-czenia, c) przy regulacji trójstawnej 3P (wszystkie trzy rodzaje regulacji) −−−− dwie skrajne diody bargrafu sygnalizują stan włą-czenia w kierunku włącz, otwórz, w lewo i /lub wyłącz, zamknij, w prawo,

14. Przycisk realizujący funkcje: a) w trybie pracy − zwiększa-nie/zmniejszanie (w zaleŜności od logiki sygnału wyjściowego) sygnału wyjściowego (sterującego) regulatora w trybie pracy M, zmiana aktywnej pozycji wartości zadanej przy jej ustawianiu w trybie pracy (świeci dioda SP-ERR), przewijanie alarmów przy podglądzie kolejki alarmów (świeci dioda SP-ERR), b) w trybie

programowania: −−−− zmniejszanie pozycji aktywnej cyfry ad-resu lub wartości parametru, c) w trybie włączania zasilania: włączenie zasilania z wciśniętymi przyciskami i (11 i 14) powoduje kasowanie struktury funkcjonalnej (EEPr),

15. Dioda Ŝółta „C” sygnalizująca pracę regulatora w trybie Compu-ter (jeŜeli został wybrany jeden z dostępnych algorytmów kom-puterowych), b) realizację funkcji BACKUP,

16. Dioda czerwona sygnalizująca przekroczenie dolnej wartości od-chyłki regulacji,

17. Dioda Ŝółta „CAS” sygnalizująca pracę regulatora w trybie ka-skadowym (CAScade) moŜliwość pracy w tym trybie pojawia się przy zaadresowaniu wartości SP jako zdalnej (nie lokalnej),

18. Bargraf diodowy ujemnej odchyłki regulacji (programowana rozdzielczość wyświetlania),

19. Dioda zielona tzw. „zielona linia” świeci bezwarunkowo po włą-czeniu zasilania (sygnalizuje obecność napięcia +5 V zasilają-cego procesor),

20. Bargraf diodowy dodatniej odchyłki regulacji (programowana rozdzielczość wyświetlania),

ROZDZIAŁ 9

Strona 272272272272

21. Dioda czerwona sygnalizująca przekroczenie górnej wartości od-chyłki regulacji,

22. Dioda czerwona ALARM sygnalizuje obecność w kolejce ak-tywnych alarmów (nie dotyczy to alarmów od błędnej struktury AxxS

Opis elementów pulpitu operatorskiego regulatora PID LB 600

UWAGA: dokonano zamiany miejscami przycisków 9 i 12

Rysunek 9.2.3. Opis elementów pulpitu operatorskiego regulatora PID LB 600

1. Wyświetlacz (górny) czerwony:

• w trybie włączania zasilania regulatora słowo PrAC,

• w trybie kasowania pamięci Flash słowo EEPr,

• w trybie wprowadzania haseł zabezpieczających słowa PAS1 lub PAS2,


Strona 273273273273

• w trybie programowania wyświetla adres programowanego parametru lub słowa PrAC, podczas przełączania regulatora do trybu pracy oraz tAbl w momencie przejścia do progra-mowania tablic (w trybie programowania – przy aktywnej cyfrze adresu warstwy 0 np. 0 1 0 1 naciśnięcie przycisku . W przypadku programowania tablic na górnym wyświetla-czu wyświetlane są: na trzech pierwszych pozycjach – nu-mer modułu tablicy (moduły 5 elementowe) w zakresie od 001 – 200; ostatnia, czwarta cyfra oznacza numer parametru w module (1 – 5) ,,

• w trybie pracy:

- wartość mierzoną PV w aktywnym kanale regulacyj-nym,

- wyświetlana wartość pulsuje w przypadku awarii któ-regokolwiek toru pomiarowego (wartość mierzona mniejsza lub większa od wartości wprowadzonych w trybie skalowania danego toru (kanału) – alarm AH lub AL),

- PrOG – w momencie przejścia z trybu pracy do trybu programowania,

- PrAC – w momencie przejścia z trybu programowania do trybu pracy,

- in xy – w trybie wyświetlania wartości wejść analogo-wych, gdzie: in – input, x – numer pakietu, y – numer wejścia,

- ou xy – w trybie wyświetlania wartości wyjść ana-logowych, gdzie: ou – output, x – numer pakietu, y – numer wyjścia,

- St x – w trybie stacyjki zadawania stosunku, gdzie: x – numer kanału w którym ustawiana jest wartość regu-lowanego stosunku,

- Stac – w trybie stacyjki sterowania ręcznego,

- blad – w przypadku nieudanego eksperymentu,

ROZDZIAŁ 9

Strona 274274274274

- PAS1 lub PAS2 – przy przejściu do trybu pro-gramowania w przypadku gdy zostały wcześniej wprowadzone hasła zabezpieczające,

- Exyy – adres parametru gdy wpisano hasło PAS 2, gdzie: x – numer kanału regulatora, yy – numer para-metru,

- P01,...,P06 w trybie podglądu wartości identyfikacyj-nych z eksperymentu i obliczonych nastaw PID, w przypadku udanego eksperymentu,

UWAGA Przejście do trybu podglądu wartości identyfikacyjnych lub kodu błędu następuje poprzez naciśnięcie jedno lub dwukrotne przy-

cisku lub , po przeprowadzonym eksperymencie. Wyświe-tlanie wartości wejść i wyjść analogowych odbywa się poprzez

naciśnięcie i trzymanie w tym stanie przycisku (SHIFT) oraz

odpowiednio dla wyjść naciskanie , a dla wejść .

2. Wyświetlacz (dolny) zielony:

• w trybie programowania wyświetlana jest: wartość pro-gramowanego parametru,

• w trybie programowania tablic: wartość parametru pro-gramowanego modułu tablicy,

• w trybie pracy: normalna praca:

- wartość sygnału sterującego CV (wyświetlaną w skali 0...100%),

- wartość zadaną SP (wyświetlaną w skali wartości mie-rzonych PV),

- kody alarmów (wyświetlanych podczas pracy lub pod-czas przeglądu kolejki alarmów), w przypadkach re-alizacji programów czasowych:

- dla programu dwustrefowego, oprócz parametrów wy-świetlanych podczas normalnej pracy, wyświetla się numer dnia roku wg. zaprogramowanego kalendarza,

- dla regulacji programowej, oprócz parametrów wyświetlanych podczas normalnej pracy, wyświetla


Strona 275275275275

się Pppp (gdzie ppp- liczba pętli pozostałej do zreali-zowania – zliczanie wstecz, naprzemiennie z 0ttt- gdzie ttt jest numerem aktualnie realizowanego kroku programu, numer kroku stanowi adres początkowy ta-blicy zapisany w 7x38 powiększony o faktycznie re-alizowany krok programu - liczbę kroków programu określa się w parametrach tablic,

- dla regulacji FUZZY LOGIC, oprócz parametrów wy-świetlanych podczas normalnej pracy, wyświetla się numer aktualnie pobieranego z tablic zestawu nastaw PID,

- dla regulacji adaptacyjnej (kp, Ti, Td) = f(ε),oprócz parametrów wyświetlanych podczas normalnej pracy, wyświetla się numer aktualnie pobieranego z tablic ze-stawu nastaw PID,

- dla realizacji procedur samostrojenia:

- w przypadku niepowodzenia wyświetla się numer błędu,

- w przypadku poprawnego przeprowadzenia ekspery-mentu:

_ wartość z eksperymentu τ - stała czasowa obiektu – parametr P01, _ wartość z eksperymentu τD - opóźnienie obiek-tu – parametr P02, _ wartość z eksperymentu K - wzmocnienie obiektu – parametr P03, _ obliczona wartość nastawy regulatora kp –

wzmocnienie proporcjonalne – parametr P04, _ obliczona wartość nastawy regulatora Ti - czas zdwojenia (stała całkowania) – parametr P05, _ obliczona wartość nastawy regulatora Td - czas

wyprzedzenia (stała róŜniczkowania) – parametr P06,

3. Bargraf diodowy przedstawiający:

ROZDZIAŁ 9

Strona 276276276276

• dla regulacji ciągłej, wartość wielkości sterującej CV w skali 0...100% (z rozdzielczością wyświetlania 10%/pojedynczy LED),

• dla regulacji dwustawnej 2P, sygnalizuje stan załączenia elementu wykonawczego (zapalenie trzech diod po lewej stronie w takt wysterowywania odpowiedniego przekaźnika na pakiecie wejść/wyjść binarnych),

• dla regulacji trójstawnych 3P, 3Psprz. zew., 3P sprz. wew . , sygnalizuje stan załączenia w kierunku otwierania, grzania, itp. (zapalenie trzech diod po prawej stronie) oraz stan załą-czenia w kierunku zamykania, chłodzenia, itp. (zapalenie trzech diod po lewej stronie) – zaświecenie odpowiedniego zespołu diod na bargrafie odwzorowuje załączenie odpo-wiedniego przekaźnika na pakiecie wejść/wyjść binarnych),

4. Przycisk słuŜący do: W trybie programowania:

• przewijanie aktywności cyfry na wyświetlaczach - aktyw-ność sygnalizowana pulsowaniem (gotowość do zmiany),

w trybie pracy:

• zmniejszanie wartości sygnału sterującego CV w trybie pracy ręcznej (z przyrostem zaprogramowanym w 7-x-36),

• przegląd "kolejki alarmów",

• naciśnięty wraz z podczas włączania zasilania powoduje wykasowanie hasła,

• naciskane, z wciśniętym przyciskiem (SHIFT) powoduje wyświetlanie wartości na poszczególnych wyjściach analo-gowych regulatora (ou xy -_ ou - wyjście, x - numer pakietu, y - numer wyjścia na pakiecie),

5. Przycisk słuŜący do: W trybie programowania:

• przewijanie aktywności cyfry na wyświetlaczach - aktyw-ność sygnalizowana pulsowaniem (gotowość do zmiany)


Strona 277277277277

W trybie pracy:

• zwiększanie wartości sygnału sterującego CV w trybie pracy ręcznej (z przyrostem zaprogramowanym w 7-x-36),,

• przegląd "kolejki alarmów",

• naciśnięty wraz z podczas włączania zasilania powoduje wykasowanie hasła.

• naciskane, z wciśniętym przyciskiem (SHIFT) powoduje wyświetlanie wartości na poszczególnych wejściach analo-gowych regulatora (in xy -_ in - wejście, x - numer pakietu, y - numer wejścia na pakiecie),

6. Czerwona dioda "M" (Manual) sygnalizuje tryb pracy ręcznej,

7. Przycisk słuŜący do przełączania:

• wciśnięty wraz z naciśniętym (SHIFT) powoduje przej-ście do trybu programowania oraz wyjście z trybu progra-mowania do trybu pracy,

• w trybie programowania: przełączanie pomiędzy wyświetla-czem górnym (adres parametru), a dolnym (wartość),

• w trybie pracy: przełączanie trybu pracy _ M _ A_K_

• kasowanie błędów wyświetlanych w efekcie zakończenia z niepowodzeniem eksperymentów samostrojenia – funkcja obowiązkowa bez realizacji której, nie będzie moŜliwe po-nowne uruchomienie procedur samostrojenia,

8. śółta dioda "A" - sygnalizuje tryb pracy AUTOMATYKA,

9. Przycisk słuŜący do:

• w trybie programowania:

- zmiana aktywnej cyfry w kierunku malejącym,

- zmiana numeru programowanej tablicy w kierunku malejącym,

ROZDZIAŁ 9

Strona 278278278278

- wraz z naciśniętym (SHIFT) przełączanie numeru pakietu (o ile system stwierdza obecność pakietów tego samego rodzaju),

• w trybie pracy:

- przełączanie wielkości wyświetlanej na wyświetlaczu 2 w kolejności : PV => SP => Alarmy => inne wartości patrz opis w punkcie 2 =>.......

- wraz z naciśniętym (SHIFT) przełączanie aktywnych kanałów w kierunku malejącym,

- wraz z wciśniętym (SHIFT), akceptacja nastaw PID, wyliczonych po zakończeniu z powodzeniem procedury samostrojenia,

- wraz z naciśniętym (SHIFT) – kwitowanie alarmów w trybie aktywności alarmowej,

10. Przycisk (SHIFT) słuŜący do:


- z przyciskiem wejście/wyjście w tryb/z trybu programowania ,

- wraz z naciśniętym lub przełączanie numeru pakietu (o ile system stwierdza obecność pakietów tego samego rodzaju),

• w trybie pracy:

- z przyciskiem wejście/wyjście w tryb/z trybu programowania,

- z przyciskiem przełączanie kanałów - w górę,

- z przyciskiem przełączanie kanałów - w dół,

- z przyciskiem przełączanie podglądu wartości wyjścia analogowego - patrz opis w punkcie 4,

- z przyciskiem przełączanie podglądu wartości wejścia analogowego - patrz opis w punkcie 5,


Strona 279279279279

- naciśnięty wraz z lub po pozytywnym zakoń-czeniu realizacji procedur samostrojenia, powoduje zapisanie wyliczonych parametrów PID do regulatora (tj. kp _ 7-x-14, Ti _ 7-x-15 i Td _ 7-x-16), w przypadku, gdy wybrano konieczność akceptacji wyliczonych nastaw przez uŜytkownika tj. gdy 7-x-55 = 0000,

• w trybie alarmowym - kwitowanie alarmów z przyciskami lub

11. yświetlacz:


- wyświetla literę „P” na przemian z numerem połoŜe-nia programowanego pakietu wejściowo-wyjściowego (połoŜenie liczy się od dołu czyli połoŜenie dolne to 1, a górne to 3),

- wyświetla literę „t” w przypadku programowania ta-blic,

• w trybie pracy:

- wyświetla numer aktualnego kanału regulacyjnego,

- w przypadku alarmu, wyświetla literę”A” na przemian z numerem połoŜenia pakietu,

- pulsuje kropka podczas realizacji funkcji regulacji czasowych

12. Przycisk słuŜący do:


- zmiana aktywnej cyfry w kierunku rosnącym,

- zmiana numeru programowanej tablicy w kierunku rosnącym,

- wraz z naciśniętym (SHIFT) przełączanie numeru pakietu (o ile system stwierdza obecność pakietów tego samego rodzaju),

ROZDZIAŁ 9

Strona 280280280280

• w trybie pracy:

- przełączanie wielkości wyświetlanej na wyświetlaczu 2 w kolejności : PV => SP => Alarmy => inne wartości patrz opis w punkcie 2 =>.......

- wraz z naciśniętym (SHIFT) przełączanie aktywnych kanałów w kierunku rosnącym,

- wraz z wciśniętym (SHIFT), akceptacja nastaw PID, wyliczonych po zakończeniu z powodzeniem procedury samostrojenia

- wraz z naciśniętym (SHIFT) – kwitowanie alarmów w trybie aktywności alarmowej

13. Dioda czerwona sygnalizująca przekroczenie zaprogramowanej wartości uchyby regulacji dla przypadku, gdy wartość uchybu jest ujemna.

14. Bargraf diodowy, wskazujący procentową wartość uchybu re-gulacji (zakres wskazań programowalny) dla uchybu ujemnego.

15. Dioda sygnalizująca tryb pracy „C” – praca w systemie kom-puterowym lub w systemie BACKUP.

16. Dioda czerwona sygnalizuje światłem pulsującym obecność ja-kiegokolwiek z alarmów w kolejce alarmów (moŜna je podejrzeć w kolejce alarmów)

17. Dioda zielona tzw. „zielona linia” , świeci po włączeniu zasila-nia regulatora, pulsuje podczas trwania eksperymentu samostro-jenia

18. Dioda sygnalizująca tryb pracy „K – praca w układzie kaskado-wym

19. Bargraf diodowy, wskazujący procentową wartość uchybu re-gulacji (zakres wskazań programowalny) dla uchybu dodatniego.

20. Dioda czerwona sygnalizująca przekroczenie zaprogramowanej wartości uchyby regulacji dla przypadku, gdy wartość uchybu jest dodatnia.

21. Dioda dwubarwna:


Strona 281281281281

• nie świeci się, gdy na dolnym wyświetlaczu 2 wyświetlana jest wartość sygnału sterującego CV,

• świeci się na zielono wtedy, gdy na dolnym wyświetlaczu 2 wyświetlana jest wielkość SP lub kody alarmów,

• świeci się na czerwono wtedy, gdy na dolnym wyświetlaczu 2 wyświetlana jest wielkość parametrów związanych z reali-zowaną funkcją programów czasowych i samostrojenia - patrz punkt 1 i 2.

Uruchomienie regulatora LB 600

Po włączeniu regulatora do sieci zasilającej pojawia się napis PrAC na górnym wyświetlaczu, informujący o przejściu regulatora do trybu pracy (rys.9.2.5a). Po kilku sekundach uzyskuje się:

1. w przypadku, gdy regulator nie był zaprogramowany (posiadał tzw. „strukturę pustą”) jak na rys. 9.2.5b,

2. w przypadku, gdy był wcześniej zaprogramowany prawidłowo przynajmniej jeden kanał, jak na rys. 9.2.5c

Struktura pusta regulatora sygnalizowana jak na rys. 9.2.5b występuje w kilku przypadkach:

• regulator zakupiony w firmie LAB-EL (chyba Ŝe uŜytkow-nik zleci opracowanie i zaprogramowanie struktury funkcjo-nalnej),

• po wykasowaniu struktury przez uŜytkownika (włączenie zasilania regulatora z wciśniętymi przyciskami i ),

• nieprawidłowo zaprogramowana struktura funkcjonalna (brak niektórych parametrów np. wartość maksymalna sy-gnału wejściowego równa minimalnej, itp.).

ROZDZIAŁ 9

Strona 282282282282

Rysunek 9.2.5. Włączenie regulatora do sieci zasilającej: a) regulator

w trybie pracy − PrAC, b) regulator z „pustą strukturą”, c) regulator zaprogramowany

Tylko prawidłowo zaprogramowane kanały regulacji będą uwidocznione w trybie pracy. MoŜliwa jest taka sytuacja gdzie występują tzw. przeskoki przy przełączaniu kanałów np. 1 _3 _ 8, a nie 1, 2, ..., 8, jest to spowodowane nieprawidłową strukturą w kolejnych przeskakiwanych kanałach.

Włączenie regulatora z wciśniętymi przyciskami i powoduje wykasowanie hasła PAS1 (hasło o wyŜszym priorytecie blokujące dostęp do programowania całej struktury regulatora – w tym przypadku na wyświetlaczach nic się nie zmienia).

Włączenie zasilanie z wciśniętymi przyciskami i powoduje wyka-sowanie całej struktury funkcjonalnej regulatora.

Na górnym wyświetlaczu pojawia się słowo EEPr (rys.9.2.5d) i pozo-staje podczas całego, trwającego kilka sekund procesu kasowania pa-mięci Flash. Po wykasowaniu pamięci zapalają się kreski jak na rys.9.2.5b.

Regulator będący w stanie „struktury pustej” rys.9.2.5b lub w trybie pracy rys.9.2.5c jest gotowy do przełączenia w tryb programowania.

Przełączenie w tryb programowania następuje po naciśnięciu w do-wolnym momencie przycisków (SHIFT) i . Po tej operacji na górnym wyświetlaczu pojawia się słowo PrOG (rys.9.2.6a) a po chwili w przypadku braku wcześniej wpisanych haseł jak na rys. 9.2.6b.


Strona 283283283283

Rysunek 9.2.6. Tryb programowania regulatora LB 600

W przypadku kiedy wprowadzono hasło PAS1 lub PAS1 i PAS2 (samo PAS2 jest nieskuteczne), po wejściu w tryb programowania jak poprzed-nio pojawia się słowo PrOG (rys.9.2.6c), a następnie jak na rys.9.2.6d. Kiedy występuje tylko PAS1, po wprowadzeniu prawidłowego hasła na-stępuje przejście do trybu programowania rys.9.2.6f. W przypadku obecności hasła PAS2 (moŜna przełączać hasła przyciskiem ), po wprowadzeniu hasła następuje przejście do trybu wpisywania tylko wy-branych parametrów oznaczonych literą E, jak na rys.9.2.6g. Parametry które są udostępnione pod hasłem PAS2 dotyczą głównie procesu tech-nologicznego, a nie budowy struktury sterowania.

Parametry te opisane są w umiejscowionej warstwie 7

Wykaz parametrów dostępnych po wprowadzeniu hasła pomocniczego (PAS2) gdzie: x = 1....8 (numer kanału regulacji)

Adres E-x jest umieszczony pod hasłem PAS2

E-x-01 Rodzaj regulacji 7-x-09,

E-x-02 Algorytm regulacji 7-x-10

E-x-03 Współczynnik wzmocnienia kp 7-x-14,

E-x-04 Czas zdwojenia (całkowania) Ti 7-x-15,

E-x-05 Czas wyprzedzenia (róŜniczkowania) Td 7-x-16,

W trybie programowania rozróŜnia się dwie zmienne: adres parametru ustawiany na wyświetlaczu górnym oraz wartość parametru ustawiana na wyświetlaczu dolnym. Do przełączania adresu lub wartości słuŜy przycisk , do zmiany pozycji aktywnej (znak pulsujący) gotowej do zwiększenia lub zmniejszenia na poszczególnych wyświetlaczach słuŜą

przyciski i , do zmiany wartości pozycji aktywnej słuŜą przyciski

i .

ROZDZIAŁ 9

Strona 284284284284

W trybie programowania regulatora występują dwie moŜliwości: programowanie struktury funkcjonalnej, co opisano wyŜej oraz progra-mowanie tablic (róŜne programy regulacji tablicowych opisano w koń-cowej części niniejszej instrukcji). Do programowania tablic przechodzi się z warstwy zerowej regulatora uaktywniając (pulsowanie) pozycję skrajną lewą na górnym wyświetlaczu (rys.9.2.6a) i naciskając przycisk

. Pojawia się słowo tAbL jak na rys.9.2.6b, a po chwili jak na rys.9.2.6c na górnym wyświetlaczu w trybie programowania tablic trzy pierwsze cyfry na rys. c 001, stanowią numer (adres) modułu pamięcio-wego tablicy. Adres ten moŜe zawierać się pomiędzy 001 a 400, czwarta cyfra stanowi numer parametru w module (dopuszcza się do 5 parame-trów). Rys.9.2.6d przedstawia adresowanie 3 parametru w 265 module tablicy. Wyjście z trybu programowania tablic następuje poprzez przej-ście do pozycji zerowej jak na rys.9.2.6c i 9.2.6e, uaktywnienie skrajnej,

lewej pozycji adresu i naciśnięcie przycisku , następuje przejście do trybu programowania struktury jak na rys.9.2.6f, a następnie na rys. 9.2.6g. Przejście do trybu programowania struktury następuje równieŜ w dowolnym momencie po naciśnięciu przycisków (SHIFT) i .

Tryb pracy regulatora

Regulator LB-600 moŜe pracować w czterech trybach pracy (rys.9.2.7):

• tryb pracy ręcznej „M” - sterowanie elementem wykonaw-czym odbywa się ręcznie przez operatora,

• tryb pracy automatycznej „A” – sterowanie realizowane jest na podstawie algorytmu regulacji zaprogramowanego przez uŜytkownika w układzie z lokalną wartością zadaną,

• tryb pracy kaskadowej „C” – sterowanie w trybie auto-matycznym, lecz w układzie z zewnętrzną wartością zadaną,

• tryb pracy komputerowej „K” – sterowanie realizowane jest na podstawie algorytmów realizowanych przez program komputerowy, a regulator słuŜy jedynie jako generator sy-gnałów sterujących. W przypadku awarii komputera regula-tor przejmuje sterowanie (redundancja, Backup) - tryb pracy „K” zostanie omówiony w dalszej części opracowania.


Strona 285285285285

Rysunek 9.2.7. Sygnalizacja trybu pracy (regulator w czterech trybach

pracy)

Pierwsze dwa tryby pracy, tj. M i A, są trybami standardowymi i uŜyt-kownik nie musi czynić specjalnych zabiegów w celu ich zaprogramo-wania. Tryb kaskady „K” wymaga podania w trakcie programowania źródła pochodzenia wartości zadanej (patrz warstwa 7 parametry 7-x-04, 7-x-05 i 7-x-06) SP. W takim przypadku regulator z trybu „A” moŜe zo-stać

przełączony w tryb „C”. W przypadku, gdy parametry wskazujące po-chodzenie wartości zadanej SP są wartości zerowej (pierwszy i/lub drugi), operacja przełączenia z „A” na „C’ będzie niemoŜliwa. W przy-padku, gdy źródło pochodzenia wartości zadanej nie jest podane (do-mniemany brak zewnętrznej wartości zadanej) moŜna jedynie realizować przełączenie M ⇔ A – nie jest moŜliwa praca w trybie Kaskady „C”.

Programowanie regulatora LB-600

Rysunek 9.2.8. Opis wyświetlanych informacji w trybie programowania

ROZDZIAŁ 9

Strona 286286286286

Rysunek 9.2.9. Poszczególne elementy adresu i wartości parametru

Wykorzystanie przycisków

1. Kasowanie pamięci Flash. Włączenie zasilania regulatora przy wciśniętych przyciskach powoduje przejście do trybu kasowania całej struktury funkcjonalnej regulatora zapisanej w pamięci Flash. Na górnym wyświetlaczu pojawia się napis EEPr, który widoczny jest podczas kilkunasto sekundowej procedury kaso-wania. Po zakończeniu kasowania regulator zgłasza się jak po-kazano na rys.9.2.8, a następnie rys. 9.2.9 ( i ),

2. Kasowanie hasła PAS1. Włączenie zasilania regulatora przy wciśniętych przyciskach powoduje wykasowanie zapisanego ha-sła głównego PAS1 ( i ),

3. Przełączanie haseł PAS1 i PAS2. W przypadku gdy zostały wprowadzone dwa hasła PAS1 i PAS2 moŜliwe jest przełączanie haseł, przy czym hasło PAS1 ma wyŜszy priorytet i umoŜliwia dostęp do całej struktury programowania, hasło PAS2 umoŜliwia dostęp tylko do niektórych parametrów ( ).

Tryb programowania

1. Przełączenie pomiędzy wyświetlaczem górnym (adres parame-tru), a dolnym (wartość parametru ( ),

2. Przesuwanie aktywności cyfry w lewo/w prawo (pulsowanie, uaktywnienie do zmiany) lub na górnym wyświetlaczu (czerwo-nym) regulatora, ustawia się czterocyfrowy adres parametru. Ad-res określa numer warstwy funktora, kanału (toru) oraz numer konkretnego parametru. Na wyświetlaczu dolnym (zielonym) ustawia się wartość parametru wpisywanego pod wyŜej usta-wiony adres. Wartość parametru moŜe być zapisana w postaci


Strona 287287287287

0000 (bez przecinka) dla zmiennych typu INTEGER lub w po-staci 0.000 dla zmiennych typu FLOAT ( lub ),.

3. Zmiana wartości aktywnej cyfry w górę/w dół ( lub ),

4. W przypadku programowania struktur wielopakietowych tzn. gdy pośród pakietów występują przynajmniej 2 tej samej grupy (wejścia analogowe, wyjścia analogowe lub wejścia/wyj-ścia binarne) przy pomocy przycisków moŜna przełączać pro-gramowane pakiety. MoŜliwość taka występuje dla wejść analo-gowych w warstwie 1, dla wyjść analogowych w warstwie 9, dla wejść binarnych w warstwie 2 i dla wyjść binarnych w warstwie A. Funkcja ta działa równieŜ przy skalowaniu wejść i wyjść analogowych w warstwie b ( i lub i ),

5. Przełączenie regulatora z trybu programowania do trybu pracy następuje poprzez naciśnięcie przycisków pokazanych powyŜej. Po przełączeniu do trybu pracy na górnym wyświetla-czu regulatora pojawia się na kilka sekund napis PrAC, a na-stępnie następuje przejście do trybu pracy regulatora ( i ).

Tryb pracy

1. Przełączanie numeru kanału regulatora w górę (1 _ 8 ) ( i

),

2. Przełączanie numeru kanału regulatora w dół (8 _ 1 ) ( i ),

3. Wyświetlanie stanu kolejnych wejść analogowych: in xy – w trybie wyświetlania wartości wejść analogowych, gdzie: in – input (wejście), x – numer pakietu, y – numer wejścia ( i ),

4. W przypadku normalnej pracy regulatora (regulator PID bez wykorzystania funkcji samostrojenia, funkcji tablicowych, itp.), kolejne naciskanie przycisku powoduje przełączanie wyświetla-nej na dolnym wyświetlaczu wielkości: _ sygnał sterujący (wyj-ściowy) regulatora CV _ wartość zadana regulatora SP _ kody alarmów umieszczonych w kolejce alarmów _. W przypadku pracy danego bloku regulatora w charakterze stacyjki sterowania ręcznego lub stacyjki zadawania stosunku: _ sygnał wyjściowy stacyjki _ kody alarmów umieszczonych w kolejce alarmów _.

ROZDZIAŁ 9

Strona 288288288288

W przypadku wykorzystania funkcji samostrojenia:

- przy udanym eksperymencie kolejne naciskanie przycisku przywołuje _ P01, ...,P06 – parametry identyfikacyjne obiektu oraz wartości PID obliczone dla regulatora _,

- w przypadku nieudanego eksperymentu kolejne naciskanie przycisku przywołuje _ wyświetlenie kodu błędu powstałego podczas przebiegu procedury eksperymentu _.

W trybie wyświetlania wartości zadanej, gdy wartość SP jest uaktyw-niona do zmian, przycisk słuŜy do zwiększania wartości aktywnej pozy-cji ( ),

--

5. j.w. + W trybie wyświetlania wartości zadanej, gdy wartość SP jest uaktywniona do zmian, przycisk słuŜy do zmniejszania wartości aktywnej pozycji ( ),

6. W trybie pracy „M” – RĘKA (Manual) przycisk słuŜy do zwiększania wartości sygnału sterującego z przyrostem sygnału zaprogramowanym w warstwie 7, fakt zwiększania uwidoczniony jest na bargrafie poziomym (pod wyświetlaczami) i tak:

• dla regulacji ciągłej następuje przyrost ciągły,

• dla regulacji 2P (dwustawnej) pojedyncze naciśnięcie przy-cisku powoduje zaświecenie trzech ostatnich (po prawej stronie) diod bargrafu poziomego na czas trwania wystero-wania przekaźnika załączającego element wykonawczy (czas wysterowania zgodny z przyrostem dla regulacji cią-głej),

• dla regulacji 3P (trójstawnej dla układów grzania-chłodze-nia) pojedyncze naciśnięcie

• przycisku powoduje zaświecenie trzech ostatnich (po prawej stronie) diod bargrafu poziomego na czas trwania wystero-wania przekaźnika załączającego układ grzejny,

• dla regulacji 3P sprz. zewn. i 3P sprz. wewn. pojedyncze na-ciśnięcie przycisku powoduje zaświecenie trzech ostatnich (po prawej stronie) diod bargrafu poziomego na czas trwania


Strona 289289289289

wysterowania przekaźnika załączającego element wykonaw-czy (silnik siłownika napędzającego zawór regulacyjny) w kierunku otwierania.

• W trybie wyświetlania wartości zadanej słuŜy do uaktywnia-nia cyfry (w lewo) w wartości zadanej w celu ewentualnej jej zmiany ( ),

7. W trybie pracy „M” – RĘKA (Manual) przycisk słuŜy do zmniejszania wartości sygnału sterującego z przyrostem sygnału zaprogramowanym w warstwie 7, fakt zmniejszania uwidoczniony jest na bargrafie poziomym (pod wyświetlaczami) i tak:

• dla regulacji ciągłej następuje spadek ciągły,

• dla regulacji 3P (trójstawnej dla układów grzania-chłodze-nia) pojedyncze naciśnięcie przycisku powoduje zaświecenie trzech pierwszych (po lewej stronie) diod bargrafu pozio-mego na czas trwania wysterowania przekaźnika załączają-cego układ chłodzący,

• dla regulacji 3Psprz. zewn. i 3Psprz. wewn. pojedyncze na-ciśnięcie przycisku powoduje zaświecenie trzech pierwszych (po lewej stronie) diod bargrafu poziomego na czas trwania wysterowania przekaźnika załączającego element wykonaw-czy (silnik siłownika napędzającego zawór regulacyjny) w kierunku zamykania.

• W trybie wyświetlania wartości zadanej słuŜy do uaktywnia-nia cyfry (w prawo) w wartości zadanej w celu ewentualnej jej zmiany ( ),

8. Przełączanie trybu pracy regulatora _ M _ A _ C _ K _. W podstawowych układach regulacji stałowartościowych ist-nieje moŜliwość przełączania _ M _ A _. Dostępność trybów C i K ustalana jest automatycznie. W przypadku KASKADY „C” algorytm sprawdza czy podano inne niŜ tylko lokalne źródło po-chodzenia wartości zadanej SP. Realizacja regulacji tablico-wych (gdzie wartości zadane zapisywane są w tablicy) równieŜ uaktywnia pracę w trybie kaskady. Tryb „K” – KOMPUTER re-alizowany jest w przypadku wykonywania funkcji BACKUP ( ),

ROZDZIAŁ 9

Strona 290290290290

9. Przełączenie regulatora z trybu pracy do trybu programo-

wania następuje poprzez naciśnięcie przycisków ( ). Po przełączeniu do trybu programowania na górnym wyświetlaczu regulatora pojawia się na kilka sekund napis ProG, a następnie w przypadku gdy nie było wcześniej wprowadzone hasło zabez-pieczające następuje umoŜliwienie programowania regulatora,

10. Kwitowanie alarmów ( i lub ),

11. Akceptacja parametrów wyliczonych podczas udanego ekspery-mentu identyfikacyjnego ( i lub ),

12. Kasowanie błędów wygenerowanych podczas realizacji proce-dur samostrojenia – nieudany eksperyment identyfikacyjny ( ).

Rysunek 9.2.10 Widok stanowiska regulacji automatycznej złoŜonego z

obiektu inercyjnego pierwszego rzędu z opóźnieniem (1) i regulatora PID LB 600 (2), z zasilaczem (3), generatorem (4)

Przebieg ćwiczenia

Wyznaczanie charakterystyk czasowych regulatorów P, PI, PD, PID

Ze względu na skomplikowaną strukturę i obsługę nowoczesnych wielozadaniowych regulatorów PID (rys.9.2.2 i 9.2.3), prowadzący ćwiczenie powinien być obecny w czasie wykonywania ćwiczenia przez studentów.


Strona 291291291291

1. Dokonywanie zapisu charakterystyk czasowych regulatora pro-wadzimy przy zasilaniu mikroprocesorowego regulatora EFTRONIK X (rys.9.2.2) stałym napięciem 1.5 V w układzie otwartym. W tym celu naleŜy połączyć badany układ w nastę-pujący sposób: źródło stałego napięcia → wejście regulatora → wyjście regulatora → pisak nastawiony na Y – time. Zawsze naleŜy łączyć plus z plusem, minus z minusem. Gniazdka wejść-wyjść opisane są na płycie czołowej stanowiska.

2. Włączyć regulator przez wciśnięcie przycisku przycisku SIEĆ REG. znajdującego się na płycie czołowej stanowiska. Wówczas powinny włączyć się wyświetlacze (1,2) regulatora oraz czer-wony sygnał alarmu (22), poniewaŜ regulator nie moŜe być za-silany napięciem zerowym. Aby zlikwidować alarm naleŜy włą-czyć „źródło DC ”.

3. JeŜeli pojawi się sygnał dźwiękowy i na dolnym (zielonym) wy-świetlaczu pojawią się kody alarmów naleŜy naciskać, w sposób przerywany przycisk Mode (4) tyle razy, aŜ znikną kody alar-mów i przestanie świecić się dioda zielona z napisem SP-ERR (6).

4. Nastawić odpowiednie wartości współczynnika wzmocnienia 6k5.0 p ≤≤ , stałej całkowania 60T5 i ≤≤ sek., stałej róŜ-

niczkowania 6T5.0 d ≤≤ sek. przy których mamy rejestrować

charakterystyki regulatorów P, PI, PD, PID. Współczynniki moŜna nastawiać tylko w trybie „PROGRAMOWANIE” tj. na wyświetlaczu (3) pojawi się zielona litera (P). Przejście do trybu programowania dokonujemy wciskając przycisk „MODE” (4) na czas większy niŜ 3 sekundy. Do ustawienia określonego ADRESU (rodzaju regulatora) naleŜy przy uŜyciu przycisków (14), (11) uaktywnić określone pole górnego wyświetlacza (miganie pola) a następnie przyciskami (5), (7) wpisać od-powiednie cyfry podane w punktach 5), 6), 7). Krótkie wciśnię-

cie przycisku „MODE” (4) powoduje przejście z wyświetlacza górnego na wyświetlacz dolny, na którym w wyŜej opisany spo-sób ustawia się czteropozycyjną liczbę stanowiącą „WAR-TOŚĆ” współczynnika. Ponowne krótkie uŜycie przycisku „MODE” powoduje zapamiętanie ustawionej wartości i przejście na wyświetlacz górny, gdzie ustawiamy kolejny ADRES itp. Za-kończenie programowania następuje po 3 sekundowym naci-śnięciu przycisku „MODE”, regulator wraca do trybu

ROZDZIAŁ 9

Strona 292292292292

„PRACA”. Na wyświetlaczu (3) świeci się zielona litera (I) (ka-nał 1). Regulator moŜna tylko nastawiać w warstwie 4 tzn. pierwsza cyfra (czerwona) na górnym wyświetlaczu musi być 4. Zmiana jakichkolwiek nastaw regulatora w innych war-

stwach spowoduje wadliwe działanie regulatora lub jego uszkodzenie.

5. Aby nastawić współczynnik wzmocnienia 6k5.0 p ≤≤ naleŜy

wejść w warstwę 4, kanał 1, miejsce 13 tzn. na górnym wyświe-tlaczu ma być adres 4 1 13. Następnie naleŜy przejść na wy-świetlacz dolny i nastawić Ŝądaną wartość pk . Uwaga − naj-

mniejsza moŜliwa wartość pk jest 0.1, zaś maksymalna 6, po-

niewaŜ regulator moŜe pracować w zakresie do 10 V. Zasilanie jest 1.5 V, a więc przy wzmocnieniu k=6, U=1.5⋅6=9 V i dlatego nie naleŜy przekraczać dopuszczalnej wartości wzmocnienia,

6. Aby nastawić wartość 60T5 i ≤≤ sek., naleŜy wejść w adres 4

1 15 zgodnie z punktem 4) i nastawić Ŝądaną wartość iT w sek.

Uwaga − działanie całkujące jest wyłączone, gdy 00.0Ti = .

7. Aby nastawić wartość 6T5.0 d ≤≤ w sek., naleŜy wejść w ad-

res 4 1 17 zgodnie z punktem 4) i nastawić Ŝądaną wartość dT

w sek. Uwaga − działanie róŜniczkujące jest wyłączone, gdy 00.0Td = .

8. Regulatory moŜna badać, gdy działanie regulatora jest nasta-wione w adresie 4 1 22 i gdy wpisana jest w dolnym wskaźniku (2) wartość 0001.

9. Aby przeprowadzić eksperyment przy wyborze danego regula-tora i jego zaprogramowaniu oraz badać ich charakterystyki na-leŜy:

• włączyć pisak nastawiony na odpowiedni czas przesuwu i skoku sygnału Y,

• sprawdzić, czy jest włączona dioda (10) − „Automatyka”, je-Ŝeli nie to włączyć przyciskiem (9),

• podawać na regulator skok stałego napięcia 1.5 V przez włą-czenie na odpowiedni czas przycisku dźwigniowego źródła


Strona 293293293293

zasilania (1.5-3 V). Napięcie 3 V zasila regulator napięciem 1.5 V i wywołuje skok jednostkowy napięcia o amplitudzie 1.5 V jako sygnał wejściowy do pobudzenia regulatora.

UWAGA

JeŜeli nastawiona jest dowolna wartość stałej całkowania iT to

regulator cały czas całkuje. Widać to po włączeniu diod dolnego bargrafu (13). Jeśli włączone są wszystkie diody to znaczy to, Ŝe regulator osiągnął 100% nasycenia i skok napięcia musi być wyłączony (włącznik dźwigniowy 1.5V przełączyć na 1.5V) aby nie uszkodzić regulatora. Wówczas naleŜy poczekać aŜ zniknie sygnał napięciowy na bargrafie (13), a wartość na wy-świetlaczu zielonym dolnym (2) osiągnie wartość 0.000. Przed przeprowadzeniem kolejnego eksperymentu, regulator musi być sprowadzony do zerowego stanu nasycenia. JeŜeli wyzerowania nie nastąpią, wówczas moŜna tego dokonać poprzez włączenie przycisku (14).

Badanie układu sterowania z regulatorem PID LB 600

W tej części ćwiczenia mamy do czynienia z zamkniętym układem ste-rowania przedstawionym w postaci schematu blokowego na rysunku 9.2.1. Opis elementów pulpitu czołowego regulatora LB 600 przedsta-wia rysunek 9.2.3.

Jak wynika ze schematu blokowego badany układ automatyki naleŜy połączyć w następujący sposób:

Zakłócenie w postaci skoku o wartości 1.5 V, połączyć z pierwszym wejściem regulatora, wyjście regulatora z wejściem obiektu, wyjście z obiektu z drugim wejściem regulatora oraz z pisakiem lub zestawem komputerowym aby zapisać przebieg sygnału wyjściowego y(t).

Celem tej części ćwiczenia jest pokazanie, jak w zamkniętym układzie regulacji, regulator PID oddziałuje na obiekt.

Obsługa regulatora do tej części ćwiczenia

− Nastawy regulatora moŜna zmieniać tylko w trybie „PROGRAMO-WANIE”. Aby wejść w tryb programowania naleŜy jednocześnie naci-snąć przyciski 10 i 7 . Wtedy na chwilę włącza się na wyświetla-czu górnym (1) napis PrOG, a po chwili na dole (11) pojawia się napis P.

− Wyświetlenie litery P oznacza, Ŝe jesteśmy w trybie programowania. Na górnym wyświetlaczu (1) ustawia się czterocyfrowy adres parametru.

ROZDZIAŁ 9

Strona 294294294294

Pierwsza cyfra określa numer warstwy regulatora, druga cyfra określa numer kanału (toru), dwie ostatnie określają rodzaj regulatora. Cyfra, która miga jest zmieniana. Numerowi warstwy jest przyporządkowana cyfra 7, kanału − 1, regulatorom: P − 14, I − 15, D − 16. Aby przejść na konkretne miejsce naleŜy posługiwać się przyciskami (4 − ) i (5 − ). Na wyświetlaczu dolnym (2) ustawia się wartość parametru pod wyŜej ustawiony adres. Przełączanie pomiędzy wyświetlaczem górnym (adres parametru) a dolnym (wartość parametru) odbywa się przyciskiem (7)

.

− Zmiana wartości aktywnej cyfry w górę lub dół odbywa się przyci-skami (9) , (12) .

− Aby wejść w tryb „PRACA” naleŜy jednocześnie nacisnąć przyciski (10) i (7) . Wtedy na chwilę włącza się na górnym wyświetlaczu (1) napis „PrAC” a po chwili na dole pojawia się numer kanału , w któ-rym pracuje regulator. W ćwiczeniu musi być włączona cyfra 1 (nr. kanału).

− W trybie pracy przyciskiem (7) moŜemy przełączać tryb pracy re-gulatora z pracy ręcznej (manual), włącza się dioda M (6), na pracę au-tomatyczną A (8), włącza się dioda A.

− Bargraf diodowy (3) dla regulacji ciągłej przedstawia wartość wielko-ści sterującej CV w skali od 0 do 100% (z rozdzielczością wyświetlacza 10% dla pojedynczej diody). Bargrafy pionowe (14) i (19) wskazują pro-centową wartość uchybu regulacji ujemną i dodatnią. Diody czerwone (13) (dla przypadku, gdy wartość uchybu jest ujemna) i (20) (dla przy-padku, gdy wartość uchybu jest dodatnia) sygnalizują przekroczenie za-programowanej wartości uchybu regulacji.

Identyfikacja badanego obiektu

a) Badanie układu sterowania z regulatorem PID nastawionym dowolnie

W tej części ćwiczenia naleŜy określić ustawione stałe obiektu. W tym celu naleŜy:

1. Ustawić zadane przez prowadzącego ćwiczenie stałe obiektu (

0T,T,k ) ,

2. Włączyć regulator przez podłączenie go do sieci,


Strona 295295295295

3. Przejść do trybu „PROGRAMOWANIE”. Na wyświetlaczu górnym (1) wybrać adres 7114 (regulator P). Przejść na dolny wyświetlacz i nastawić wartość 1.000. Przejść na górny wyświe-tlacz, wybrać adres 7115 (regulator I). Przejść na dolny wy-

świetlacz i nastawić wartość 000.0Ti = . Przejść na górny wy-

świetlacz, wybrać adres 7116 (regulator D). Przejść na dolny

wyświetlacz i nastawić wartość 000.0Td = . W ten sposób

mamy zaprogramowany regulator proporcjonalny z współ-

czynnikiem wzmocnienia 000.1k p = .

4. Włączyć sygnał zasilający na poziomie 1.5 V. Jest to zerowy po-ziom − wewnętrzne zasilanie obwodu regulatora.

5. Na rejestratorze ustalić poziom zera na górnej części arkusza i narysować linię zera.

6. Włączyć podstawę czasu pisaka, zadać zakłócenie na poziomie 3 V (amplituda sygnału 1.5 V) i zarejestrować przebieg odpowie-dzi układu. Wyłączyć zakłócenie o poziomie 3 V. Z wykresu od-czytać nastawione stałe obiektu 0T,T,k ,

7. Gdyby w odpowiedzi na skok 1.5 V nie pojawiły się oscylacje, to naleŜy stopniowo zwiększyć wzmocnienie obiektu k aŜ poja-wią się ustalone oscylacje obiektu,

8. W stanie ustalonych oscylacji obiektu zmierzyć okres oscT

(rys.5.26, str. 126) oraz wartość współczynnika ( ) p.kryt kobiektuk = przy którym pojawiły się ustalone

oscylacje.

b) Sterowania z regulatorem PID nastawionym odpowiednio do obiektu

W tej części ćwiczenia zapoznajemy się z działaniem regulatora, którego nastawy dobrane są do obiektu regulacji.

a. Mając wartości obu zmierzonych wielkości tj. .krytk i .oscT ,

naleŜy obliczyć właściwe nastawy dip T,T,k według reguły

podanej w punkcie 5.8, str. 124-126, rys.5.26. b. Po obliczeniu właściwych nastaw naleŜy je wprowadzić do

regulatora na adresy: 7114 (wstawić odpowiednią wartość

ROZDZIAŁ 9

Strona 296296296296

pk ), 7115 (wstawić odpowiednią wartość iT ), 7116

(wstawić odpowiednią wartość dT ),

c. Po wprowadzeniu określonych nastaw, czyli zaprogramo-waniu regulatora PID naleŜy włączyć zakłócenie i obserwo-wać jak regulator działa na obiekt (uchyb powinien znacz-nie szybciej zmierzać do zera).


Sprawozdanie powinno zawierać:

1. Wykresy odpowiedzi skokowych w postaci charakterystyk cza-sowych poszczególnych regulatorów, otrzymane podczas wyko-nywania ćwiczenia.

2. Obliczenie nastaw regulatorów z wykresów odpowiedzi skoko-wych, opis sposobu obliczania nastaw oraz porównanie otrzy-manych wartości z wartościami nastawionymi przez prowadzą-cego ćwiczenie.

3. Analizę dokładności nastaw w badanym regulatorze.

4. Analizę wpływu poszczególnych nastaw na odpowiedź skokową regulatora.

5. Wykresy odpowiedzi skokowych obiektu otrzymane podczas wykonywania ćwiczenia, dla róŜnych stałych obiektu.

6. Obliczenie na podstawie odpowiedzi skokowych nastawionych stałych obiektu.

7. Wykres oscylacji obiektu przy granicznym wzmocnieniu. Opis i obliczenie na podstawie wykresu prawidłowych nastaw regula-tora, obliczonych według reguły Zieglera-Nicholsa.

8. Wykres i analizę odpowiedzi obiektu przy regulatorze nastawio-nym odpowiednio do obiektu.


Strona 297297297297

Literatura

[1] Frelek B., Komor Z., Kruszyński H., Markowski A.: Laborato-rium podstaw automatyki, WPW, Warszawa, 1979.

[2] Kołacin T i inni: Ćwiczenia laboratoryjne z podstaw automa-tyki i teorii maszyn, Praca zbiorowa pod redakcją Tadeusza Kołacina, Oficyna wydawnicza, PW, 2005.

[3] Kołacin T.: Podstawy teorii maszyn i automatyki, Oficyna wy-dawnicza, PW, 2005.

[4] śelazny M.: Podstawy Automatyki, Warszawa, PWN, 1976.

ROZDZIAŁ 9

Strona 298298298298

9.3. Charakterystyki czasowe i częstotliwościowe układów automatyki

Cel ćwiczenia

Podstawowym celem ćwiczenia jest wyznaczenie transmitancji zastęp-czych zbudowanych układów regulacji, zawierających elementy auto-matyki połączone szeregowo, równolegle i ze sprzęŜeniem zwrotnym oraz wykreślenie ich charakterystyk czasowych i częstotliwościowych tj. teoretycznej i doświadczalnej charakterystyki amplitudowo-fazowej dla zbudowanego układu regulacji zawierającego w/w. elementy automa-tyki.


Opisywanie układów automatyki we współrzędnych stanu jest podane w rozdziale 8, punkty 8.1, 8.3, 8.4, str. 186-194. Ilustracją jest przykład 8.1, str. 194, który zawiera schemat funkcjonalny w zapisie ogólnym i macierzowo-wektorowym.

Charakterystyki skokowe inaczej czasowe (wymuszenie skokiem jed-nostkowym) i częstotliwościowe (amplitudowo-fazowe, logarytmiczne amplitudowe i logarytmiczne fazowe ) podstawowych elementów auto-matyki omówione i podane są w rozdziale 2, str. 47-81 i w rozdziale 3, str. 32-47.

Układ regulacji automatycznej moŜna opisać wektorowo-macierzowymi równaniami stanu ( )tx& i wyjścia ( )ty , zatem

( ) ( ) ( )tButAxtx +=& , (9.3.1)

( ) ( ) ( )tDutCxty += . (9.3.2)


Strona 299299299299

Istnieje moŜliwość zmian wartości współczynników występujących w dwuwymiarowym układzie regulacji, opisanym powyŜszymi równa-niami.

Równania stanu (9.3.1) i wyjścia (9.3.2) w zapisie macierzowo-wekto-rowym przedstawia rysunek 9.3.1.

Rysunek 9.3.1. Schemat strukturalny równań stanu i wyjścia w zapisie

macierzowo-wektorowym

Ogólny zapis powyŜszych równań jest następujący

( ) ( ) ( )[ ]t,tu,txftx =& , (9.3.3)

gdzie:

f

– funkcja stanu, jednoznaczna jako k elementowa funkcja

wektorowa, ( )tx – n wymiarowy wektor stanu w chwili t, ( )tu k

wymiarowy wektor sterowania, t – chwila bieŜąca, 0tt ≥ .

PoniewaŜ Ŝadna ze współrzędnych stanu moŜe nie być wielkością wyj-ściową układu, to do określenia tej wielkości niezbędny jest dodatkowy związek

( ) ( ) ( )[ ]t,tu,txgty = . (9.3.4)

gdzie: g – jest l elementową jednoznaczną wektorową funkcją wyjścia

Równanie stanu (9.3.3) i wyjścia (9.3.4) moŜna przedstawić na schema-cie blokowym (strukturalnym) (rys.9.3.2).

Rysunek 9.3.2. Schemat blokowy równania stanu i wyjścia

ROZDZIAŁ 9

Strona 300300300300

Doświadczalne wyznaczanie charakterystyk obiektów regulacji

JeŜeli równania opisujące właściwości obiektów regulacji nie są wystar-czająco znane lub układy automatyki są skomplikowane i trudne do opisu matematycznego, wówczas charakterystyki wyznaczamy na pod-stawie eksperymentalnej rzeczywistych obiektów. WyróŜniamy pomiary właściwości statycznych i dynamicznych. Pomiary statyczne są wyko-nywane w zakresie zmian wielkości sygnałów wejściowych i wyjścio-wych. Pomiary wielkości dynamicznych są wykonywane w celu ustale-nia struktury oraz parametrów związków funkcjonalnych, wiąŜących pomiędzy sobą wielkości sygnałów wejściowych i wyjściowych.

Zakładamy, Ŝe badane obiekty są z reguły liniowe i cechują się jednym ”wejściem” i ”wyjściem”.

Istnieją trzy główne metody wyznaczania właściwości dynamicznych obiektów regulacji tj.:

• wyznaczanie charakterystyk czasowych (dotyczy przebiegu przejściowego przy zdeterminowanym sygnale wymuszają-cym),

• wyznaczanie charakterystyk częstotliwościowych (wyzna-czanie przebiegów ustalonych przy wymuszeniach sinu-soidalnych),

• badanie właściwości stochastycznych przebiegów czaso-wych (badanie najmniej dokładne i wymagające Ŝmudnego opracowania).

MoŜna takŜe wyróŜnić dwa przypadki szczególne:

• mamy znaną strukturę obiektu i jego równania i poszuku-jemy wartości niektórych lub wszystkich współczynników tych równań,

• zupełnie nieznany obiekt tzw. ”czarna skrzynka”.

W praktyce najczęściej występują przypadki pomiędzy tymi skrajno-ściami.

Wszystkie metody pomiarowe dotyczą wyznaczania przebiegu u(t) przed obiektem i poza obiektem przebiegu y(t). Przez odpowiednią obróbkę


Strona 301301301301

wyników pomiarów otrzymujemy właściwości badanego obiektu (rys.9.3.3). Właściwości obiektu moŜna równieŜ określić stosując me-todę symulacji komputerowej. Metoda ta polega na tym, Ŝe naleŜy zbu-dować model obiektu tak, aby moŜna było zmieniać jego parametry i strukturę, dobierając doświadczalnie jego właściwości, które były by zbliŜone do obiektu rzeczywistego.

Rysunek 9.3.3. Schemat układu pomiarowego

Przetworniki P1 i P2 (rys.9.3.3) aby nie zniekształcać przebiegów sy-gnałów u i y muszą mieć niski poziom inercyjności. SłuŜą do pomiaru tych sygnałów o dowolnej wielkości fizycznej i przekształcenia wyni-ków pomiaru na standardowe sygnały wejściowe rejestratora.

Wyznaczanie charakterystyk czasowych i parametrów obiektu regulacji na podstawie charakterystyki skokowej

Wyznaczenie charakterystyki skokowej jest proste, poniewaŜ sygnał

wejściowy jest jednym parametrem w postaci skoku stx , oraz wartość współczynnika wzmocnienia obiektu otrzymuje się bezpośrednio ze stosunku wartości ustalonej odpowiedzi obiektu do wartości sygnału wejściowego. Charakterystykę czasową zwaną charakterystyką skokową lub odpowiedzią skokową obiektu moŜna wyznaczyć z pomiaru sygnału wyjściowego obiektu regulacji, przy zdeterminowanym sygnale na wejściu. Sygnałem wejściowym jest najczęściej sygnał skokowy.

W praktyce przyjęto przedstawianie obiektów statycznych równaniami wysokiego rzędu z wyłączeniem obiektów oscylacyjnych za pomocą

ROZDZIAŁ 9

Strona 302302302302

obiektów zastępczych, scharakteryzowanych tylko trzema parametrami

tj. współczynnikiem wzmocnienia k , czasem opóźnienia 0T oraz stałą czasową T . Obiektowi zastępczemu dla obiektu statycznego przypisuje się transmitancję opisaną wzorem (7.7), str. 158. Przez odpowiedni dobór jednostek wielkości wejściowej i wyjściowej, współczynnik wzmocnienia k moŜna sprowadzić do jedności. Wówczas pozostają

tylko dwa charakterystyczne parametry 0T i T . Na rysunku 7.6 (str. 158) przedstawiono ten umowny rodzaj aproksymacji. W punkcie przegięcia charakterystyki rzeczywistej prowadzi się styczną, która odcina na osi czasu zastępcze parametry obiektu. Dla obiektu statycznego w stanie ustalonym stałemu sygnałowi wejściowemu odpowiada stała wartość sygnału wyjściowego. JeŜeli w stanie ustalonym stałemu sygnałowi wejściowemu odpowiada stała wartość pochodnej sygnału wyjściowego, to obiekt jest astatyczny pierwszego rzędu. Obiekt astatyczny opisuje transmitancja zastępcza w postaci wzoru (7.14), str. 161, rys. 7.14. Obiekty astatyczne aproksymuje się równieŜ za pomocą transmitancji opisanej wzorem (7.12), rys. 7.12, str. 160. Sposoby wyznaczania stałych dla obu tych transmitancji przedstawiają rysunki 7.12, str. 160 i 7.15, str. 161.

Zastępowanie charakterystyki rzeczywistej charakterystyką zastępczą (aproksymowaną) jest dokonywane w nieoptymalny sposób (np. z mini-malizacją całki kwadratu jako róŜnicy między krzywymi), lecz arbitralnie na konstrukcji graficznej. MoŜna takŜe zastępować obiekt wysokiego rzędu o wielu róŜnych stałych czasowych obiektem takŜe wysokiego rzędu, lecz o jednakowych stałych czasowych (rozdział 7, punkty 7.4, 7.5, str. 158-162). Pomiary charakterystyk skokowych przeprowadza się w niewielkim obszarze zmian sygnału wejściowego wokół wybranego punktu pracy obiektu. W tym obszarze zmian sygnału wejściowego obiekt moŜna traktować jako liniowy. Stosowanie wymuszenia skokowego czasami jest niemoŜliwe, gdy mamy na wyjściu duŜe odchylenie . Dotyczy to szczególnie obiektów astatycznych. Wówczas wprowadzamy wymuszenie impulsowe o kształcie przedstawionym na rysunku 1.8 h), str. 20. Tego typu wymuszenie naleŜy potraktować jako dwa kolejne wymuszenia skokowe o tej samej wartości i przeciwnych znakach.

Opis stanowiska

Na płycie czołowej stanowiska przedstawionego na rysunku 9.3.4 w obszarze ”wejście” znajdują się dwa mierniki sygnałów wejściowych


Strona 303303303303

1u i 2u (lewa strona płyty czołowej) o zakresie napięcia zasilania

± 10V, dwa potencjometry do nastawiania wartości 1u i 2u (lewa strona płyty czołowej) oraz dwa gniazda słuŜące do wprowadzania wielkości

1u i 2u z generatora zewnętrznego.

W obszarze ”stan” znajdują się dwa mierniki sygnałów 1x i 2x (prawa

strona płyty czołowej) lub 1y i 2y . Wybór wielkości mierzonych jest dokonywany przełącznikiem ”stan-wyjście” (st.wy.).

Ponadto w wymienionych obszarach znajdują się dwa potencjometry

słuŜące do nastawiania wartości początkowych 0

1x i 0

2x (prawa strona

płyty czołowej) oraz gniazda pomiarowe sygnałów 1x i 2x (prawa

strona płyty czołowej) oraz 1y i 2y . Przełącznik ”skala czasu” pozwala na zmianę czasu rozwiązywania zadania. Przełącznik ”rozwiązanie” słuŜy do uruchamiania rozwiązywania czasowego dla badanego obiektu regulacji. Na płycie czołowej znajdują się takŜe trzy gniazda połączone z uziemieniem układu, wyłącznik ”sieć” i lampka kontrolna zasilania prądowego.

Wartości elementów macierzy A moŜna wybierać przyciskami ± , 1, 2, 4 w zakresie wartości 0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 7. Wciśnięcie kilku przycisków daje sumę odpowiadających im wartości. Podobnie wciśnięcie przycisków w obszarach odpowiadających elementom macierzy B, C i D powoduje nadanie tym elementom wartości zaznaczonych nad odpowiadającymi im przyciskami. Przedstawione stanowisko badawcze umoŜliwia badanie właściwości dynamicznych obiektów liniowych pierwszego i drugiego rzędu.

ROZDZIAŁ 9

Strona 304304304304

Rysunek 9.3.4. Płyta czołowa stanowiska

A,B,C,D – macierze równania stanu (9.3.1) i wyjścia (9.3.2)

Stanowisko umoŜliwia tworzenie modeli obiektów regulacji i ich bada-nie poprzez pomiary odpowiedzi na wymuszenie skokowe sygnałów ste-rujących, wyznaczanie charakterystyk czasowych i częstotliwościowych. Wyniki pomiarów moŜna otrzymać w naturalnej 1/s lub przyspieszonej 100/s skali czasu i obserwować na oscyloskopie lub zapisywać za po-mocą rejestratora lub komputera. Sygnały sterujące oraz warunki po-czątkowe dla zmiennych stanu są wprowadzane za pomocą potencjome-trów i mierzone dwiema parami mierników. Układ regulacji zbudowany jest na dwóch sumatorach i dwóch integratorach. Współczynniki odpo-wiednich macierzy realizują układy rezystorów łączących bloki funkcjo-nalne. Integratory zbudowane na wzmacniaczach mają moŜliwość dołą-czania dodatkowych kondensatorów, pozwalających na zmianę skali czasu modelu.

Na wejścia integratorów oprócz sygnałów 21 uiu (lewa strona płyty

czołowej) są doprowadzane sygnały 21 xix (prawa strona płyty czoło-wej). UmoŜliwia to realizację zapisu macierzowo-wektorowego równa-nia stanu układu regulacji (wzór 9.3.3). Ponadto na odpowiednich wzmacniaczach są sumowane sygnały 21 uiu oraz 21 xix w wyniku


Strona 305305305305

czego realizowane jest równanie wyjścia (wzór 9.3.2 ) badanego obiektu regulacji, w którym elementy macierzy C mogą przyjmować wartości 0, ± 1, natomiast macierzy D wartości 0 lub -1. Warunki początkowe

0

2

0

1 uiu (lewa strona płyty czołowej) oraz wartości sygnałów 0

2

0

1 xix (prawa strona płyty czołowej) naleŜy nastawiać w pozycji zwolnionej przycisku ”rozwiązanie” . Włączenie tego przycisku powoduje włączenie sygnałów u na wejściu układu regulacji i zmianę pracy integratorów ze stanu ”warunki początkowe” w stan ”rozwiązanie”.

Wyboru wartości elementów macierzy A, B, C, i D oraz stałej czasowej całkowania (skala czasu) dokonuje się przy zwolnionym przycisku ”rozwiązanie”. Całkowanie zaznaczone schematycznie blokiem macie-rzy jednostkowej pomnoŜone przez 1/s moŜe odbywać się w dwóch skalach czasu tj. naturalnej 1/sekundę i przyspieszonej 100/sekundę. W drugim przypadku wartości elementów macierzy A i B naleŜy pomnoŜyć przez 100.

Sygnały x lub y są mierzone za pomocą mierników typu M2, w zaleŜno-ści od połoŜenia przycisku ”stan-wyjście”.

Teoretyczne i doświadczalne wyznaczanie charakterystyk częstotliwościowych obiektów regulacji

Po wyznaczeniu części rzeczywistej i urojonej transmitancji widmowej ( )ωjG badanego obiektu moŜemy wyznaczyć punkty charakterystyki

dla pełnego zakresu częstości od 0 do nieskończoności. Wyniki obliczeń zapisujemy w tablicy 9.3.1.

Tablica 9.3.1. Wyniki obliczeń do teoretycznej charakterystyki częstotli-wościowej amplitudowo-fazowej

Schemat układu pomiarowego z zastosowaniem rejestratora dwukanało-wego lub rejestratora x-y przedstawia rysunek 9.3.5.

ROZDZIAŁ 9

Strona 306306306306

Rysunek 9.3.5. Schemat układu pomiarowego

Częstość kołową ω [rad/s] dla podanej częstotliwości f [Hz] wyzna-czamy z zaleŜności f2πω = . Zakres częstotliwości generatora przebie-gów sinusoidalnych potrzebny w praktyce jest bardzo niski od 0.01 [Hz] do kilkudziesięciu herców.

W przypadku rejestratora dwukanałowego otrzymujemy równoległy za-pis wielkości wejściowej ( )tu i wielkości wyjściowej ( )ty . W przy-padku zastosowania do wyznaczania charakterystyk częstotliwościo-wych rejestratora x-y otrzymujemy dla zadanej częstości krzywą zamkniętą ( )ufy = , gdzie

( )

Φ+=

=

tAy

tAu

ω

ω

sin

sin

2

1 , (9.3.5)

Wyznaczając z pierwszego równania (9.3.5) tsinω i podstawiając do drugiego równania otrzymamy równanie krzywej w postaci

ΦΦ 2

2

2

2

21

2

1

2

sinA

ycos

AA

uy2

A

u=+− , (9.3.6)

Z równania (9.3.6) dla 0x = otrzymamy kąt przesunięcia fazowego

2A

ysin =Φ . (9.3.7)


Strona 307307307307

Stosunek amplitud odpowiedzi (sygnały wyjściowe) do wymuszenia (sygnały wejściowe) wyznaczymy z zaleŜności

( ) ( )( )ωω

ω1

2

A

AA = . (9.3.8)

Wykres krzywej ( )ufy = , uzyskany z równania (9.3.6), jest przedsta-wiony na rysunku 9.3.6.

Rysunek 9.3.6. Wykres krzywej ( )ufy = dla zadanej częstości

wymuszenia

Z krzywej przedstawionej na rysunku 9.3.6, wyznaczonej dla zadanej częstości wymuszenia ω , moŜemy odczytać amplitudę odpowiedzi 2A po narysowaniu prostokąta obejmującego krzywą oraz współrzędną y przecięcia krzywej z osią Oy. Z równania (9.3.7) otrzymamy zaleŜność na kąt przesunięcia fazowego ( )ωΦ , a z równania (9.3.8) wyznaczamy

bezwymiarową amplitudę ( )ωA odpowiedzi do wymuszenia przy zada-

nej wartości amplitudy wymuszenia. Wyznaczona amplituda ( )ωA ze

wzoru (9.3.8) oraz kąt kąt przesunięcia fazowego ( )ωΦ z zaleŜności

(9.3.7) stanowią punkt [ ( )ωA , ( )ωΦ ] poszukiwanej charakterystyki am-plitudowo-fazowej. Praktycznie pomiary przeprowadzamy dla kilkuna-stu wybranych częstości ω , obejmujących zakres pracy badanego obiektu [ maxmin ,ωω ]. Wyniki pomiarów i obliczeń wstawiamy do tabli-

cy 9.3.2.

Tablica 9.3.2. Wyniki pomiarów i obliczeń do charakterystyki doświad-czalnej

ROZDZIAŁ 9

Strona 308308308308

Przebieg ćwiczenia

1. Zbudować trzy obiekty regulacji z jednym wejściem i jednym wyjściem z przykładowych połączeń elementów automatyki przedstawionych na rysunku 9.3.7. Dokonać tego przy zwolnio-nym przycisku ”rozwiązanie”, wybierając odpowiednie wartości elementów macierzy A, B, C i D odpowiednimi przyciskami na płycie czołowej stanowiska.

2. Narysować schematy blokowe tych obiektów i wyznaczyć ich transmitancje zastępcze ( )sGz .

3. Przeprowadzić rejestrację charakterystyk skokowych dla zbu-dowanych obiektów regulacji. Odpowiedzi na niezerowe wa-runki początkowe powinny być rejestrowane przy zerowych

wartościach sygnałów sterujących 0

2

0

1 uiu . Przy zerowych wa-

runkach początkowych 0

2

0

1 xix moŜna rejestrować odpowiedzi

na skoki sygnału sterującego 1u lub 2u wprowadzane przez

zmianę stanu wybranego potencjometru 0

2

0

1 ulubu . Odpowiedzi na skoki sygnału sterującego moŜna realizować przez połączenie generatora dającego napięcie skokowe z wejściem obiektu. Do badania charakterystyk czasowych zaleca się stosować rejestra-tor o przesuwie taśmy 5 mm/s przy naturalnej skali czasu. Prze-biegi czasowe moŜna takŜe obserwować na ekranie oscyloskopu.


Strona 309309309309

Rysunek 9.3.7. Przykładowe połączenia układów regulacji

4. Wyznaczyć parametry zbudowanych obiektów regulacji, takie jak współczynnik wzmocnienia k , stałą czasową T i inne z wy-znaczonych transmitancji zastępczych ( )sGz oraz z zarejestro-wanych doświadczalnie charakterystyk czasowych.

5. Dla jednego z układów przedstawionych na rysunku 9.3.7, ze sprzęŜeniem zwrotnym, wyznaczyć zastępczą transmitancję widmową.

6. Przeprowadzić pomiar charakterystyk częstotliwościowych.

Ustawić potencjometrami 0

2

0

1 xix (prawa strona płyty czołowej)

i 0

2

0

1 uiu (lewa strona płyty czołowej) wartości składowe stałych

sygnałów sterujących 21 uiu oraz zerowe warunki początkowe

na zmienne 21 uiu (najlepiej ustawić == 0

2

0

1 xx 0uu0

2

0

1 == ).

Połączyć gniazdo 1u lub 2u z generatorem napięcia sinusoidal-

ROZDZIAŁ 9

Strona 310310310310

nego o regulowanej częstotliwości. Wyjście obiektu 1y lub 2y połączyć z rejestratorem x-y, do którego takŜe naleŜy podłączyć sygnał sterujący u z generatora (rys.9.3.5). Przełącznik ”st. wy.” ustawić na pozycji ”wy.”. Uruchomić układ wciśnięciem prze-łącznika ”rozwiązanie”. Dla kolejnych częstotliwości generatora zarejestrować przebiegi krzywych zamkniętych (elipsy)

( )ufy = na rejestratorze x-y. Zaleca się stosowanie amplitudy wymuszenia 1 V, zaś częstotliwość najlepiej zmieniać w postę-pie geometrycznym, np. 0.01, 0.02, 0.04, 0.08, 0.12 Hz itd.


W sprawozdaniu naleŜy zamieścić

1. Schematy blokowe badanych obiektów regulacji.

2. Transmitancje zastępcze tych obiektów.

3. Wykresy charakterystyk czasowych z zaznaczonymi parame-trami: stała czasowa T , współczynnik wzmocnienia k , czas opóźnienia 0T itp.

4. Porównanie wartości parametrów zbudowanych obiektów, wy-znaczonych z transmitancji zastępczych i otrzymanych z wykre-sów zarejestrowanych doświadczalnie.

5. Zastępczą transmitancję widmową ( )ωjGz obiektu regulacji.

6. Wykresy charakterystyki amplitudowo-fazowej obiektu wy-znaczonej teoretycznie na podstawie tablicy 9.3.2.

7. Wnioski dotyczące punktów 3 i 4 oraz wnioski dotyczące za-kresu częstości, dla których narysowane charakterystyki zna-cząco się róŜnią. Podać przyczyny ewentualnych róŜnic.

Literatura

1. Kołacin T i inni: Ćwiczenia laboratoryjne z podstaw automatyki i teorii maszyn, Praca zbiorowa pod redakcją Tadeusza Koła-cina, Oficyna wydawnicza, PW, 2005.


Strona 311311311311

2. Kołacin T.: Podstawy teorii maszyn i automatyki, Oficyna wy-dawnicza, PW, 2005.

3. śelazny M.: Podstawy Automatyki, Warszawa, PWN, 1976.

ROZDZIAŁ 9

Strona 312312312312

Documents

Podstawy automatyki i sterowania - Strona główna ... · PDF fileWydziału SiMR skrypty „Podstawy teorii maszyn i automatyki” (autor: ... Obiekt sterowania (rysunek 1.2) jest