Milutin Kojić

Matematika 1

PODUDARNOST TROUGLOVA

Podudarnost trouglova je takođe nešto sa čim smo imali kontakta još u osnovnoj školi.

Pošto smo na početku razmatranja podudarnosti naveli da su dve figure u ravni

podudarne ako postoji neko „kretanje“ koje jednu od tih figura prevodi u drugu, to važi i

za trouglove. Pošto nije jednostavno odrediti takvo „kretanje“ potrebno je da definišemo

neke potrebne i dovoljne uslove koji će nam olakšati ta ispitivanja. To su poznata četiri

stava o podudarnosti trouglova.

Uobičajeno je da se stranice trouglova označavaju malim slovima a,b,c , a temena

velikim latiničnim slovima A,B i C. Takođe, uobičajeno je da se naspram temena A

nalazi stranica a, naspram temena B stranica b i naspram temena C, stranica c .

Potrebno je napomenuti i da se temena trouglova obeležavaju tako što izaberemo jedno

teme za početno, njega obeležimo sa A, i zatim u smeru suprotnom od kazaljke na

časovniku nastavimo sa obeležavanjem temena. Nije od posebne važnosti od kog tema

ćemo krenuti ali je itekako važno u kom smeru idemo! (u ovom stadijumu učenja

matematike nije potrebno opterećivati se zašto je baš taj smer „pravi“, ali ako nekoga

interesuje može da potraži u odeljku IX).

Svaki od sledećih uslova je potreban i dovoljan da važi 1 1 1ABC A B C 1.

Stav 1: (SSS): Dva trougla su podudarna ako su im odgovarajuće ivice podudarne, tj. Ako

važi: ' ', ' ', ' ' ' ' 'AB A B AC A C BC B C ABC A B C

Stav 2: (SUS): Dva trougla su podudarna ako su dve ivice i njima zahvaćen ugao

podudarni sa odgovarajućim ivicama i uglom drugog trougla, tj. Ako važi:

' ', ' ', ' ' ' ' ' 'AB A B AC A C BAC B A C ABC A B C

1 Simbol se čita podudaran

Milutin Kojić

Matematika 1

Stav 3: (USU): Dva trougla su podudarna ako su jedna ivica i na njoj nalegli uglovi

jednog trougla podudarni sa odgovarajućom ivicom i uglovima drugog trougla, tj. Ako

važi: ' ', ' ' ', ' ' ' ' ' 'BC B C ABC A B C ACB A C B ABC A B C

Stav 4: (SSU): Dva trougla su podudarna ako su dve ivice i ugao naspram veće od njih u

jednom trouglu podudarni sa dve odgovarajuće stranice i uglom drugog trougla.

Dokaze ovih stavova nećemo izvoditi u okviru redovne nastave već ćemo to ostaviti za

časove dodatne nastave, a sada ćemo ih prihvatiti bez dokaza.

ZADACI:

1. Primenom podudarnosti trouglova dokazati da je:

a) svaka tačka na simetrali duži jednako udaljena od krajeva te duži.

b) svaka tačka na simetrali ugla jednako udaljena od oba kraka.

2. Dokazati da za jednakokraki trougao važe sledeća tvrđenja:

a) Simetrala ugla pri vrhu je njegova visina i težišna duž.

b) Dužine simetrala uglova na osnovici su jednake.

c) Uglovi na osnovici trougla su jednaki.

d) Težišne duži, koje odgovaraju kracima su jednake dužine.

e) Dužine visina, koje odgovaraju kracima su jednake.

3. Dokazati da je kod jednakostraničnog trougla:

a) simetrale uglova se poklapaju sa odgovarajućim visinama i težišnim dužima;

b) svi uglovi su jednaki;

c) simetrale svih uglova su jednakih dužina;

d) sve težišne duži su podudarne;

e) sve visine su podudarne.

4. Da li su dva trougla podudarna ako su im podudarni sledeći elementi:

a) visina i odsečci, koje ona obrazuje na odgovarajućoj stranici;

Milutin Kojić

Matematika 1

b) visina i uglovi naspram nje;

c) dve stranice i visina koja odgovara trećoj;

d) dve stranice i visina koja odgovara jednoj od njih?

Rešenje: Trouglovi pod a) i b) su podudarni, ostali nisu.

5. Dokazati da je trougao jednakokraki ako su u njemu:

a) dva ugla jednaka;

b) simetrala ugla poklapa sa visinom ili težišnom duži iz istog temena;

c) dve visine podudarne.

6. Neka su 1 1 1, ,AA BB CC težišne duži i 2 2 2, ,AA BB CC visine trougla ABC, a

1 1 1' ' , ' ' , ' 'A A B B C C težišne duži i 2 2 2' ' , ' ' , ' 'A A B B C C visine trougla ' ' 'A B C . Dokazati

da su trouglovi ABC i ' ' 'A B C podudarni ako je:

1 1

2 2

1 1

) ' ', ' ', ' ' ;

) ' ', ', ' ' ;

) ' ', ' ', ' .

a AB A B AC A C BB B B

b AB A B A A CC C C

c AB A B AC A C AA A A