Poglavje 2 Osnove kvantne fizike, nadaljevanje

Poglavje 2

Osnove kvantne fizike,nadaljevanje

2.1 Comptonovo sipanje

Tretji pojav, ki kaze, da je svetloba kvantizirana, je Comptonovo sipanje.To je relativisticen pojav in bi ga lahko obravnavali ze pri posebni teorijirelativnosti.

Imejmo rentgensko svetlobo, torej svetlobo z dovolj majhno valovnodolzino, ki se siplje na prostem elektronu. Elektrone lahko obravnavamokot priblizno proste, ce je njihova vezavna energija na atome majhna vprimerjavi z energijo fotona. Temu se dokaj dobro priblizamo, ce kottarco vzamemo snov z veliko lahkimi atomi, na primer parafin.

1

2 POGLAVJE 2. OSNOVE KVANTNE FIZIKE, NADALJEVANJE

Obravnavajmo trko fotona z mirujocim elektronom. Po trku naj imafoton frekvenco ν in odleti pod kotom θ glede na vpadno smer, elektronpa po kotom −φ. Ohraniti se morata energija in gibalna kolicina:

mc2 + hν = hν + c2p2 +m2c4

hν = hν cos θ + cp cosφ

hν sin θ = c p sinφ

S kvadriranjem in sestevanjem drugih dveh enacb dobimo

c2p2 = (hν)2 + (hν )2 − 2hνν cos θ =

= h2 (ν − ν )2+ 2h2νν (1− cos θ)

s kvadriranjem prve enacbe pa

h2 (ν − ν )2+ 2h (ν − ν ) mc2 +m2c4 = c2p2 +m2c4

od koder sledi

h (ν − ν ) mc2 = h2νν (1− cos θ)

in

λ − λ =h

mc(1− cos θ) = λc (1− cos θ) (2.1)

2.2. ZAVORNO SEVANJE 3

λc = h/mc imenujemo Comptonova valovna dolzina. Za elektron jeλc = hc/mc2 = 1240 eVnm/0, 5MeV= 2,48 . 10−3 nm.

Poglejmo primer. Naj ima svetloba valovno dolzino λ = 0, 240 nm.To ustreza energiji hν = hc/λ = 1240 eVnm/0, 240 nm = 5keV. Poenacbi 2.1 je pri kotu θ = 600

λ = λ+ 0, 5λc = 0, 241 nm

Razlika ni velika, je pa zlahka merljiva. Energijo, ki jo je izgubil foton,seveda odnese elektron. Ocitno je tudi, da je relativna spremembavalovne dolzine fotona vidne svetlobe pri sipanju zelo majhna.

Pojav Comptonovega sipanja jasno kaze, da se svetloba na prostihelektronih siplje kot tok fotonov, ki imajo energijo in gibalno kolicinoin se gibljejo s hitrostjo c, njihova masa je torej 0.

2.2 Zavorno sevanje

Rentgensko svetlobo, to je svetlobo z valovno dolzino pod 1 nm jemogoce dobiti tako, da v evakuirani cevi pospesujemo elektrone, kiizhajajo iz katode, z napetostjo U nad 1 kV (slika). Ko se elektroniz energijo eU zaletijo v anodo, se v njej zavirajo in pri tem sevajo.To zavorno sevanje je posledica pospesenega gibanja elektronov, torejklasicnega pojava. Spekter tega sevanja je po klasicni elektrodinamikiv podrobnostih odvisen od tega, kako se elektroni v anodi zavirajo,pricakovali pa bi, da so v njem zastopane vse frekvence.


Zavorno sevanje, anoda iz molibdena

Izmerjeni spekter kaze slika. Spekter je res zvezen, vendar vsebujedve pomembni znacilnosti. Prva je, da pod neko mejno valovno dolzinoλmin ni sevane svetlobe. Mejna valovna dolzina je obratno sorazmernas pospesevalno napetostjo:

hc

λmin= eU

ali maksimalna frekvenca sevanja je νmax = c/λmin = eU/h. Elektronlahko pri zaviranju odda vso energijo s tem, da izseva foton. Obstojmaksimalne frekvence spet kaze, da lahko svetloba pri dani frekvenciprejema energijo le v obrokih hν, to je v obliki fotonov.

Druga znacilnost v spektru zavornega sevanja so ozki vrhovi, katerihpolozaj je odvisen od kovine, iz katere je anoda. Tezji elementi imajovrhove pri manjsih valovnih dolzinah, to je pri vecjih energijah fotonov.Elektroni v anodi ne le sevajo, temvec lahko predajo del energije tudiatomom anode. Ti jo potem spet oddajo tako, da sevajo rentgenskosvetlobo. Ostri vrhovi kazejo, da tudi atomi lahko prejemajo ali odda-jajo le dolocene kolicine energije.

2.3. ATOMSKI SPEKTRI 5

2.3 Atomski spektri

Ne le pri zavornem sevanju, temvec vselej, kadar vzbujamo atome, opaz-imo, da lahko atomi prejmejo ali oddajo le diskretne obroke energije.Ti so lahko razlicno veliki in so odvisni od atomov, ki jih opazujemo.

Ce na primer na plin izbranih atomov svetimo z belo svetlobo, kivsebuje vse frekvence v nekem intervalu, v spektru svetlobe po pre-hodu skozi plin opazimo, da nekatere frekvence manjkajo ali da je prinjih svetlobe manj. Takemu spektru pravimo absorpcijski spekter inje znacilen za izbrane atome. Atomi torej lahko absorbirajo le fotonenekaterih valovnih dolzin.

Pri absorpciji fotona ali trku z elektroni ali drugimi atomi se atomupoveca notranja energija. Tudi pri trkih se pokaze, da je spremembanotranje energije mozna le v karakteristicnih obrokih. Za atom, ki imapovecano notranjo energijo, pravimo, da je v vzbujenem stanju. Izvzbujenega stanja v stanje z najmanjso notranjo energijo lahko atomiprehajajo s sevanjem svetlobe ali pa s trki. Vzbujeni atomi lahko sevajosamo fotone s frekvencami, ki ustrezajo karakteristi”nim spremembamnotranje energije atoma. Spektru izsevane svetlobe vzbujenih atomovpravimo tudi emisijski spekter in je zancilen za dane atome. To sevedaizkoriscajo kemiki za analizo snovi.

Obstoj diskretnih vrednosti energije vzbujenih stanj je nemogoce ra-zloziti s klasicno fiziko. Vendar se lahko spomnimo, da dobimo karak-teristicne frekvence pri nihanju strune, zracnega stolpca v piscali alinapete opne. Pri vseh teh primerih je karakteristicna frekvenca posled-ica tega, da imamo opravka s stojecimi valovi. To nas navede na za-enkrat zelo megleno slutnjo, da imamo tudi pri elektronih v atomunekaksno valovanje.

V klasicni sliki je poseben problem stabilnost atomov. Rutherfordje v zacetku 20. stoletja s poskusi pokazal, da je v atomih majhnopozitivno nabito jedro, okoli katerega so negativni elektroni. Klasicnose morajo elektroni okoli jedra gibati kot planeti okoli sonca. Vendarje tako gibanje pospeseno, zato bi elektroni morali sevati toliko casa,dokler ne bi padli v jedro. Racun, ki ga bomo naredili kasneje, pokaze,da bi naj bil ta c”as le kakih 10−8s. Atomov torej sploh ne bi smelobiti.


a x

L

s1

s2a x

L

a x

L

s1

s2

Slika˜2.1:

2.4 Svetloba - fotoni (delci) ali valovanje?

Vrnimo se k vprasanju, s katerim smo to poglavje priceli. Videli smo, davrsta poskusov pokaze, da je treba svetlobo obravnavati kot tok fotonov,ki imajo doloceno energijo in gibalno kolicino. Po drugi strani pa vemo,da se s svetlobo posrecijo intererencni poskusi, svetloba je torej valo-vanje. Kako lahko zdruzimo te klasicno nezdruzljive ugotovitve?

Zamislimo si interferencni poskus na dveh rezah. V ravnini zad-njega zaslona imejmo vrsto merilnikov, s katerimi lahko stejemo poza-mezne fotone, na primer fotopomnozevalk. Te naj so dovolj majhne, daje razdalja med njimi znatno manjsa od razmika med interferencnimiprogami. Izvor svetlobe naj je tako sibak, da je med njim in merilnoravnino v vsakem trenutku v povprecju kvecjemu en foton, recimo torej,da oddala izvor v povprecju le en foton na sekunda. Podobne inter-ferncne poskuse zares delajo.

Videli smo, da je stevilo fotoelektronov na enoto casa pri fotoefektusorazmerno z gostoto svetlobnega toka. Pri nasem poskusu mora biti tazelo majhna in lahko le vsako sekundo ena od fotopomnozevalk zaznafoton. Ne moremo vnaprej napovedati, katera bo to v naslednji sekundi,detekcija je slucajen proces. Gotovo bo z vecjo verjetnostjo zaznalafoton fotopomnozevalka na takem mestu, kjer je gostota svetlobnega

2.4. SVETLOBA - FOTONI (DELCI) ALI VALOVANJE? 7

toka najvecja, torej v interferencnem vrhu. Dokler je vseh detektiranihfotonov malo, interferencnih prog ne bomo mogli opaziti, na zaslonubomo videli zadetke na nekaj slucajnih mestih. Po dovolj casa pa bomolahko opazili, da so v enakomerno razmaknjenih progah zadetki gostejsi,vmes pa jih skoraj ni - dobili bomo interferencni vzorec.

200 400 600 800 1000

20

40

60

80

100

Interferen”cna slika po 100 fotonih

Verjetnost, da na danem mestu zaznamo foton, je torej sorazmernaz E2. Polje na zaslonu je vsota polj, ki izhajajo iz obeh odprtin:

E = E1 +E2 =

= E0 cos (ks1 − ωt) +E0 cos (ks2 − ωt)

V E2 dobimo clene z dvojno frekvenco, ki jih moramo povprecitipo periodi, ker detektor ne more slediti dvojni opticni frekvenci. To

najlazje naredimo takole. Povprecna vrednost je E2 = (E0 cosωt)2

= 12E20 , kar lahko dobimo tudi tako, da zapisemo polje v kompleksni

obliki E = E0 e−iωtin je E2 = 1

2|E|2 = 1

2E E∗. Verjetnost, da na


200 400 600 800 1000

20

40

60

80

100

Slika˜2.2: Interferen”cna slika po 4000 fotonih

2.5. DELCI - VALOVANJE 9

zaslonu zaznamo foton, je tako sorazmerna z

|E1 +E2|2 = E0ei(ks1−ωt) +E0e

i(ks2−ωt) 2=

= |E0|2 2 + eik(s2−s1) + e−ik(s2−s1) =

= 2 |E0|2 (1 + cos k∆s) =

= 4 |E0|2 cos2 k a x2L

ker je ∆s = ax/L.Sedaj vidimo, kako je mogoce zdruziti klasicno sliko interference

svetlobe s fotonsko sliko. Svetlobni detektor ne meri direktno E ali E2,temvec zaznava diskretne fotone. Detekcija je slucajna, verjetnost zadetekcijo pa je sorazmerna z |E|2.

2.5 Delci - valovanje

Doslej smo ugotovili, da je treba svetlobo obravnavati kot valovanje intok fotonov, ki so v nekaterih pogledih podobni delcem. Videli smotudi, da imajo lahko elektroni v atomu le dolocene diskretne energije.Za fotone je energija zvezana s frekvenco: W = hν. Diskretne frekvencepa so znacilne za stojece valovanje v omejenem prostoru. Vse to nasnavede na vprasanje, ali imajo morda tudi delci, kot so elektroni, kaksnelastnosti valovanja.

Energijo fotona lahko zapisemo W = cp = hν = hc/λ. Tako je

λ =h

p

De Broglie je leta 1924 po takem razmisleku postavil hipotezo, da sotudi delci na nek nacin valovanje in da velja enaka zveza

λB =h

p=

h

mv(2.2)

To lahko zapisemo tudi malo drugace

k =2π

λB=

p

h


kjer je h = h/2π. Tej konstanti pravimo h-precna in jo bomo pogostouporabljali namesto h.

Za makroskopske delce je λB nemerljivo majhna. Vzemimo delec spolmerom okoli 1µm. Njegova masa je tedaj priblizno 3.10−15kg. Rec-imo, da je njegova hitrost tako majhna, da je primerljiva s hitrostjozaradi termicnega (Brownovega) gibanja: v = 3kBT/m = 1mm/s.Tedaj je λB = 2.10−16m, torej 10 krat manj od velikosti atomskega je-dra. Za elektron z energijo 1 eV pa je λB = h/

√2eUme = hc/

√2eUmec2 =

1240 eVnm/ 106 (eV)2 = 1, 24 nm, kar je primerljivo z razdaljo ato-

mov v kristalih.

De Broglievo hipotezo sta leta 1926 prva preverjala C. Davisson inL. Gremer. Ce naj bi bili elektroni tudi valovanje z doloceno valovnodolzino, se morajo z njimi posreciti interferencni poskusi. Primernomrezico predstavljajo vrste atomov na povrsini kristala. Poskus Davis-sona in Germerja kaze skica. Curek elektronov, ki so izhajali iz vrocekatode, sta pospesila z napetostjo na anodi, ki je bila preluknjana, da jeiz nje izhajal curek elektronov z znano energijo. Tak izvor elektronskegasnopa je se danes v vsaki televizijski slikovni cevi. Curek je padel napovrsino kristala nikla. Davisson in Germer sta merila odvisnost stevilaodbitih elektronov od kota φ in dobila pri napetosti 54 V mocan odbiti


curek pri φ = 50◦. Vrste atomov nikla so razmaknjene za d = 0, 215

nm, kar je znano iz neodvisnih meritev z rentgensko svetlobo. Za inter-ferncni vrh pri odboju na vrstah atomov mora veljati izraz za uklonskomrezico

d sin θ = nλ

Iz meritev je d sin θ = 0, 165 nm, izracunana de Broglieva valovnadolzina pa je pri eU = 54 eV0,167 eV. Iz meritev dobljena valovnadolzina je bila tudi obratno sorazmerna s korenom iz napetosti, karje dalo dodatno potrditev de Broglievi formuli. Davisson-Germerjevposkus je tako pokazal, da se elektronski curek z dobro doloceno gibalnokolicino obnasa kot valovanje z de Broglievo valovno dolzino in se z njimposrecijo interferencni poskusi.

Slika˜2.3:

Podobne poskuse je skoraj istocasno napravil tudi G. P. Thomson, leda je uporabil elektrone z vecjo energijo, ki so prodrli globlje v kristal inso se odbili od vzporednih kristalnih ravnin. Takemu interferenc”nemuodboju pravimo Braggovo sipanje in bomo o njem govorili kasneje.

Danes se interfernecni poskusi posrecijo z mnogimi mikroskopskimidelci na razlicnih periodicnih strukturah. Sipanje nevtronov na kristalih


Slika˜2.4: Davisson-Germerejev poskus: odvisnost izmerjene valovnedol”zine od pospe”sevalne napetosti

je standardna metoda za dolocanje strukture kristalov, interferenca he-lijevih atomov pri odboju od kristalne povrsine se uporablja za preiskavopovrsin. Posrecili so se poskusi interference elektronov na dveh do-volj drobnih umetno narejenih rezah. V zadnjih letih so naredili inter-ferencne poskuse z dokaj velikimi molekulami, na primer C60 in vecjimi.Dobiti je mogoce celo interferenco s curkom atomov, ki so se sipali nastojecem valu laserske svetlobe. V vseh teh primerih je valovna dolzinadana z de Broglievo formulo.

Pri elektronih in drugih delcih lahko zaznamo le cele elektrone.Povsem podobno kot pri fotonih je tudi zaznavanje elektrona na izbranemmestu slucajno in se lahko vprasamo le, kaksna je verejetnost, da elek-tron zaznamo v danem delu prostora in casovnem intervalu.

Pri svetlobi je verjetnost, da zazanmo foton, sorazmerna z |E|2 .Pri interferenci na dveh rezah moramo sesteti elektricni polji delnihvalovanj iz obeh rez in je verjetnost, da na zaslonu zaznamo foton

Pfoton ∝ |E1 + E2|2 = |E1|2 + |E2|2 +E1E∗2 +E∗1E2

Prva dva clena sta ravno vsota verjetnosti, da na danem mestu zaznamofoton, ce je odprta le ena reza, zadnja dva clena pa dasta interferenco.


Ta je torej posledica tega, da za elektricnoi polje velja princip super-pozicije, to je, da se polja sestevajo, in da je verjetnost, da zanznamofoton, sorazmerna s kvadratom polja.

Poskusimo opisati interferenco elektronov na dveh rezah na enaknacin. Vpeljimo novo kolicino - verjetnostno amplitudo ψ, ki je funkcijakraja in ima lastnost, da je |ψ|2 sorazmerna z verjetnostjo, da na danemmestu zaznamo elektron. Zahtevajmo se, da se takrat, kadar lahkoelektron pride na dano mesto po vec poteh, delne amplitude sestevajo.Zaprimo najprej eno rezo in opazujmo elektrone na zaslonu. Ko jihzaznamo dovolj, je njihova porazdelitev na zaslonu, gladek sirok vrh.Porazdelitev je sorazmerna z verjetnostjo, da zaznamo elektron P1 ∝|ψ1|2. Pri tem je ψ1 verjetnostna amplituda za elektron, ki je sel skozirezo 1. P1 ima podobno krajevno odvisnost, kot bi jo pricakovali priklasic”nih delcih. Podobno velja za primer, ko je odprta le druga reza.Kadar sta odprti obe rezi, imamo verjetnost

P12 ∝ |ψ1 + ψ2|2 = |ψ1|2 + |ψ2|2 + ψ1ψ∗2 + ψ∗1ψ2

Spet sta prva dva clena verjetnosti, da dobimo na danem mestu elek-tron, ce je odprta le ena ali druga reza, zadnja dva clena pa opisujetainterferenco. Verjetnost P12 ni kar vsota verjetnosti P1 + P2, kot bipricakovali klasicno, temvec ima se interferencni clen, ki smo ga dobilizato, ker je verjetnost sorazmerna s kvadratom verjetnostne amplitudeψ, za katero velja, da se delne amplitude sestevajo. Za verjetnostneamplitude torej velja princip superpozicije.


Delec z doloceno gibalno kolicino p = mv ima po de Broglievihipotezi valovno dolzino λ = h/p ali velikost valovnega vektorja k =2π p/h = p/ . Verjetnostna amplituda se mora torej zapisati kot ravenval

ψ (x) = Aei(kx−ωt) (2.3)

Verjetnostna amplituda ima naravo valovanja, zato ji navadno pravimovalovna funkcija. Je osnova kvantnega opisa gibanja delcev. Videlibomo, da vsebuje valovna funkcija vso informacijo o delcu, zato pravimotudi, da opisuje stanje delca, ali, se krajse, kar valovni funkciji recemostanje.

V primeru fotona je bila frekvenca vala sorazmerna z energijo fotona.Enaka zveza velja za delce (to formalno sledi iz Lorentzove transforma-cije, po kater se ω in W enako transformirata):

W = hν = ω

Na delec ne deluje nobena sila in imamo le kineticno energijo, ki jeseveda povezana z gibalno kolicino, tako da imamo zvezo

ω =W

=p2

2m=

k2

2m(2.4)

Zveza med frekvenco in valovnim vektorjem za delce z maso torej nilinearna. Valovanje s tako lastnostjo ima disperzijo, to je, fazna in

2.6. VALOVNI PAKET IN NACELO NEDOLOCENOSTI 15

grupna hitrost sta razlicni. Fazna hitrost ω/k za valovno funkcijo nimafizikalnega pomena, k grupni hitrosti pa se bomo vrnili nekoliko kasneje.

Verjetnost, da najdemo delec v okolici tocke x je sorazmerna z |ψ|2(tocno zvezo bomo obravnavali nekoliko kasneje). Za valovno funkcijov obliki ravnega vala 2.3 je |ψ (x)|2 nedovisna od kraja, verjetnost zadetekcijo delca s tako valovno funkcijo je povsod enaka. To je sevedapovsem drugace, kot smo navajeni v klasicni fiziki. Poskusimo poiskatitako valovno funkcijo, ki opisuje stanje, ki je bolj podobno klasicnemudelcu.

2.6 Valovni paket in nacelo nedolocenosti

Za klasicni delec navedemo polozaj in hitrost. V kvantni fiziki pred-stavimo stanje delca z doloceno hitrostjo kot ravni val, ki se razprostirapo vsem prostoru. Kako lahko val omejimo na majhen del prostora, toje, ga lokaliziramo?

Pojav interference kaze, da tudi valovna funkcija, ki je vsota dvehvalovnih funkcij, opisuje stanje delca, to je, velja princip superpozicije.Sestavimo torej (ob t = 0) dva ravna valova, katerih valovna vektorjase le malo razlikujeta:

ψ (x) = A eik1x + eik2x

Ustrezna verjetnost za zaznavanje delca je

|ψ (x)|2 = A2 eik1x + eik2x e−ik1x + e−ik2x =

= A2(2 + 2 cos∆kx)

kjer je ∆k = k2 − k1. Ta verjetnost ni vec povsod enaka, ampak kotfunkcija kraja utripa. Sestejmo N ravnih valov v okolici k0, ki so raz-maknjeni za ∆k

ψ (x) = AN−1

n=0

ei(k0+n∆k)x = Aeik0xN−1

n=0

ein∆kx =

= Aeik0x1− eiN∆kx

1− ei∆kx= Aei(k0+

N−12

∆k)x sinN∆k2

x

sin ∆k2x


Kako dolocimo sorazmernostno konstanto A, bomo pogledali nekolikokasneje. Verjetnost je

|ψ (x)|2 = A2 sin2 N∆k

2x

sin2 ∆k2x

(2.5)

To funkcijo (srecali smo jo ze pri racunu interferencne slike uklonskemrezice pri Fiziki I) kaze slika.

Dobili smo periodicne vrhove verjetnosti, da zaznamo delec. PeriodaL je dolocena s pogojem, da je v imenovalcu 2.5 nicla: ∆k L = 2π aliL = 2π/∆k . Perioda je torej tem vecja, cim manjsi je ∆k. Za sirinovrha δx vzamemo polozaj prve nicle stevca, δx = 2π/ (N∆k). Cezelimo, da bo perioda L velika, moramo zmanjsati ∆k, da ohranimoisto sirino vrha, pa moramo za enak faktor povecati stevilo valov N . Vlimiti preide vsota v integral, perioda gre proti ∞ in dobimo le en vrhpri x = 0 :

ψ (x) = A

k0+δk/2

k0−δk/2

eikxdk = Aeik0xeiδkx/2 − e−iδkx/2

ik=

= 2Aeik0xsin δkx

2

x

|ψ (x)|2 = 4A2 sin2 δkx

2

x2


Sirina vrha te funkcije do prve nicle je δx = 2π/δk in je obratno so-razmerna z δk. Vemo, da je k = p/ . Ce torej s sestevanjem ravnihvalov dosezemo, da je delec lokaliziran na obmocje δx, nima vec dobrodolocene gibalne kolicine. Valovni funkciji, ki ima le en vrh s koncnosirino, pravimo valovni paket.

Gornji valovni paket ni posebno lep, saj ima poleg glavnega vrhase stranske oscilacije. V splosnem ni treba, da v valovnem paketunastopajo vsi ravni valovi z isto amplitudo:

ψ (x) = A (k) eikxdk

Integriramo po vsem obmocju k, kjer je A (k) = 0. S primerno izbiroA (k) lahko dobimo razli”ne oblike ψ (x). Velja, da je mogoce vsakofunkcijo x, ki gre proti 0, kadar gre x proti ±∞, zapisati v obliki gorn-jega integrala. ( Taki zvezi pravimo Fourierov integral ali Fourierovatransformacija).

Posebno ugodna izbira je Gaussova funkcija

A (k) = A0e−(k−k0)2

4σ2k

Ta funckija ima vrh pri k0 in njena sirina je dolocena s σk. Valovnafunkcija je

ψ (x) = A0

∞

−∞

exp− (k − k0)

2

4σ2k+ ikx dk

Ta integral ni elementaren, lahko pa ga izracunamo, ce vemo, da je

∞

−∞

eu2/2du =

√2π (2.6)

Da izracunamo ψ (x), dopolnimo eksponent do popolnega kvadrata,tako da pristejemo in odstejemo −σ2kx2 + i k0x :

ψ (x) = A0

∞

−∞

exp −12

k − k0√2σk−√2iσkx

2

− σ2kx2 + i k0x dk


Zadnja dva clena v eksponentu ne vsebujeta k, zato ju lahko postavimopred integral:

ψ (x) = A0 exp −σ2kx2 + i k0x

∞

−∞

exp −12

k − k0√2σk−√2iσkx

2

dk

Vpeljemo novo spremenljivko

u =k − k0√2σk−√2iσkx

du =1√2dk

pa je

ψ (x) =√2A0 exp −σ2kx2 + i k0x

∞

−∞

e−u2/2du =

= 2√πA0 exp −σ2kx2 + i k0x =

= 2√πA0 exp − x2

4σ2xeik0x

Dobili smo valovni paket, ki je tudi Gaussove oblike, njegova sirinapa je dolocena s σx = 1/ (2σk). Spet velja, da je delec tem boljlokaliziran v prostoru, cim sirsa je funkcija A (k), ki pove, kako sirokinterval k-jev in s tem gibalnih kolicin prispeva v ψ (x). Povedanodrugace: cim bolj ostro je dolocen polozaj delca, tem bolj nedolocenaje njegova gibalna kolicina. Tej ugotovitvi pravimo Heisenbergov prin-cip nedolocenosti in je ena osnov kvantne fizike.

Naj bo nedolocenost polozaja δx, nedolocenost gibalne kolicine vsmeri x pa δpx = δk. Za Gaussov paket je δx = σx in δk = σk. Velja

δx δk =1

2

in

δx δpx =1

2


Izkaze se, da je gornja enacba najmanjsa mozna vrednost produktaδx δpx, ki velja le za paket Gaussove oblike. V splosnem imamo namestoenakosti Heisenbergovo neenacbo

δx δpx ≥ 1

2(2.7)

V kvantni mehaniki zaradi principa nedolocenosti ne moremo istocasnopovedati natanc”nega polozaja in gibalne kolicine delca. Klasicen opistorej ni mozen. To je posledica tega, da je treba tudi delce opisovati zvalovno funkcijo, ki ima lastnosti valovanja. Valovanje, ki je omejeno lena del prostora, mora nujno vsebovati vec valovnih vektorjev in s temvec gibalnih kolicin.

θ0θ1

θ

∆p

θ0θ1

θ θ0θ1

θ

∆p

Princip nedolocenosti je tako pomemben, da si ga poskusimo po-jasniti se z miselnim eksperimentom. Zamislimo si, da z mikroskopomopazujemo elektron in skusmo dolociti nejgov polozaj (glej sliko). Naelektron svetimo s svetlobo dolocene valovne dolzine, ki se od elek-trona odbije v objektiv mikroskopa. Zaradi uklona je slika elektrona vmikroskopu neostra. Uklonska locljivost in s tem nedolocenost polozajaelektrona je dolocena z valovno dolzino in z razmerjem velikosti odpr-tine in gorisc”ne razdalje objektiva:

δx ∼λ

sin θ1


Pri sipanju preda foton eletkronu gibalno kolicino v precni smeri

∆px =hλ(sin θ − sin θ0)

kjer je θ0 kot, pod katerim vpadajo fotoni osvetlitve, θ pa kot, podkaterim se foton siplje v objektiv. Kota θ ne poznamo, vemo le, daje med 0 in θ1, zato je nedolocenost prenosa gibalne kolicine in s temnedolocenost gibalne kolicine elektrona po meritvi

δpx ∼h

λsin θ1

Produkt obeh nedolocenosti je

δx δpx ∼ h

Dobili smo enako oceno kot po Heisenbergovi neenacbi. Ta razmislekpokaze, da je princip nedolocenosti povezan s tem, da za mikroskopskedelce ne moremo privzeti, da lahko merimo z njimi povezane fizikalnekolicine, ne da bi delec pri meritvi zmotili. Zato nekaterih kolicin nemoremo hkrati dolociti s poljubno natancnostjo. Kasneje bomo polegkraja in gibalne kolicine dobili se druge primere.

Ce Heisenbergovo neenacbo uporabimo kot priblizno enacbo, s kateroiz δx ocenimo δpx, lahko ze napravimo nekatere zanimive ocene.

Documents

Poglavje 2 Osnove kvantne fizike, nadaljevanje