Upload
haphuc
View
220
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH
WYDZIAŁ MECHANICZNY TECHNOLOGICZNY
Katedra Wytrzymałości Materiałów
i Metod Komputerowych Mechaniki
Rozprawa doktorska
Tytuł:
Optymalizacja układów powierzchniowych
z wykorzystaniem algorytmów ewolucyjnych
mgr inż. Mirosław Szczepanik
Promotor:
prof. dr hab. inż. Tadeusz Burczyński
Gliwice 2003
Spis treści
Spis treści
1 Wprowadzenie 3
1.1 Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Cel i teza rozprawy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Przegląd treści rozprawy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Metoda elementów skończonych dla układów powierzchniowych 11
2.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Metoda elementów skończonych dla tarcz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Sformułowanie zagadnienia brzegowego dla tarcz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.2 Sformułowanie słabe dla zagadnienia brzegowego teorii sprężystości . 15
2.2.3 Równania metody elementów skończonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.4 Funkcje interpolacyjne trójkątnego i prostokątnego elementu skończo-
nego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.5 Macierzowa postać równań MES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.6 Agregacja elementów skończonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Metoda elementów skończonych dla płyt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.1 Sformułowanie zagadnienia brzegowego dla płyt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.2 Elementy płytowe – trójkątny i prostokątny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.3 Macierz sztywności elementu płytowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 Metoda elementów skończonych dla powłok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.1 Powłoka jako zbiór płaskich elementów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.2 Trójkątny element powłokowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.3 Macierz sztywności elementu powłokowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Algorytmy ewolucyjne 37
3.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Prosty algorytm ewolucyjny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Operatory ewolucyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4 Metody selekcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Metoda optymalizacji ewolucyjnej układów powierzchniowych 49
4.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 Idea metody optymalizacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Spis treści
4.3 Odwzorowanie chromosomu na dyskretny obszar konstrukcji . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4 Sformułowanie zadania optymalizacji ewolucyjnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5 Przygotowanie obszaru konstrukcji do etapu analizy za pomocą MES . . . . . . . 58
4.5.1 Dyskretna reprezentacja konstrukcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.5.2 Analiza struktury odwzorowanej na podstawie chromosomu . . . . . . . . . . 58
4.6 Procedura dodatkowa wspomagająca optymalizację topologiczną konstrukcji . 64
4.7 Optymalizacja rozmieszczenia materiałów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.8 Procedury interpolacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.8.1 Procedura interpolacji funkcji dwóch zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.8.2 Procedura interpolacji funkcji trzech zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.9 Algorytm optymalizacji ewolucyjnej układów powierzchniowych . . . . . . . . . . . 75
4.10 Zastosowanie profesjonalnego oprogramowania w optymalizacji . . . . . . . . . . . 80
5 Przykłady optymalizacji ewolucyjnej konstrukcji tarczowych 81
5.1 Optymalizacja wspornika tarczowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2 Optymalizacja ramy rowerowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6 Przykłady optymalizacji ewolucyjnej konstrukcji płytowych 91
6.1 Optymalizacji płyty kwadratowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2 Optymalizacji płyty prostokątnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7 Przykłady optymalizacji ewolucyjnej konstrukcji powłokowych 112
7.1 Optymalizacji stojaka powłokowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.2 Optymalizacji wspornika powłokowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.3 Optymalizacji wspornika zderzaka samochodowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.4 Optymalizacja felgi samochodowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8 Podsumowanie i wnioski 147
Bibliografia 150
Streszczenie 159
Summary 160
Wprowadzenie
3
Rozdział 1
Wprowadzenie
1.1 Wstęp
W ciągu ostatnich lat obserwuje się znaczące zainteresowanie zagadnieniami
optymalizacji układów i procesów, w tym także optymalizacji konstrukcji. W latach 1995
– 2003 odbyło się 5 światowych kongresów „World Congress of Structural and
Multidisciplinary Optimization”, poświęconych tym zagadnieniom. Ciągły rozwój metod
optymalizacji wiąże się z ogromnym postępem w informatyzacji badań naukowych.
Możliwość korzystania z coraz lepszych komputerów jest przyczyną skoku ilościowego,
wyrażającego się niezwykle szybkim wykonywaniem obliczeń. Z faktem tym wiąże się
także skok jakościowy, cechujący się stworzeniem nowych możliwości optymalizacji
konstrukcji dużych i skomplikowanych w sposób bardziej dokładny, z uwzględnieniem
wielu wariantów obciążeń, ukształtowania, połączeń, stanów pracy, związany z
koniecznością dysponowania nie tylko odpowiednio szybkim i pojemnym komputerem,
ale równocześnie dobrym programem.
Obraz ogromnego rozwoju optymalizacji na przestrzeni ostatnich dwudziestu lat
uzyskać można na podstawie prac wielu badaczy tej dziedziny, wśród których znaczący
wkład w rozwój metod optymalizacji, między innymi, wnieśli: Achtziger [1], Anagnostou
[2], Bendsøe [6][7][8], Burczyński [11][13][15][16][25], Dems [31], Eschenauer
[34][35], Gutkowski [43][44], Haftka [45], Hajela [46], Jensen [49], Kirsch [52][53],
Mróz [60], Olhoff [64][65], Osyczka [25][68], Pedersen [70], Rozvany [77][78], Taylor
[64][90].
1.1 Wstęp
4
Metody optymalizacji pozwalają na znalezienie optymalnego rozwiązania zadania.
Ogólne zadanie optymalizacji może być postawione następująco: poszukiwane jest
optimum funkcji lub funkcjonału, spełniające zadane warunki ograniczające w pewnym
obszarze rozwiązań dopuszczalnych. Najczęściej zadanie to sprowadza się do
poszukiwania ekstremum funkcji z ograniczeniami.
W mechanice i budowie maszyn metody optymalizacji wspomagają proces
projektowania, umożliwiając dobór optymalnej postaci konstrukcyjnej oraz materiału, i
dając w wyniku rozwiązanie najefektywniejsze, spełniające wszystkie stawiane wymogi.
Proces ten przebiega drogą racjonalnego poszukiwania optymalnego rozwiązania poprzez
zastosowanie odpowiedniej metody optymalizacji, nie zaś drogą „prób i błędów”, czy
optymalizacji wariantowej, polegającej jedynie na wyborze najlepszego rozwiązania
spośród kilku przygotowanych projektów.
W literaturze dotyczącej zastosowań optymalizacji w mechanice rozważa się
optymalizację układów jedno- dwu i trójwymiarowych. Zadania optymalizacji dotyczą
najczęściej, w przypadku konstrukcji jednowymiarowych (kratownice, ramy),
poszukiwania najkorzystniejszego doboru parametrów przekrojów oraz rozmieszczenia
prętów. W przypadku konstrukcji dwuwymiarowych - czyli układów powierzchniowych,
które definiujemy jako układy mechaniczne z ciągle rozłożoną masą, o grubości znacznie
mniejszej od pozostałych dwóch wymiarów (tarcze, płyty, powłoki) - oraz konstrukcji
trójwymiarowych, zadania optymalizacji dotyczą poszukiwania najlepszego kształtu
zarówno brzegu zewnętrznego jak i brzegów wewnętrznych oraz prawidłowego
rozmieszczenia i doboru materiału. Chcąc poddać układ mechaniczny procesowi
optymalizacji należy określić zbiór parametrów określających konstrukcję. Jako elementy
tego zbioru możemy wyróżnić kształt i wymiary geometryczne konstrukcji, własności
materiałowe oraz warunki brzegowe i obciążenia. Na podstawie tego zbioru można drogą
analizy wytrzymałościowej (np.: za pomocą metody elementów brzegowych lub metody
elementów skończonych) określić parametry stanu w postaci pól przemieszczeń,
odkształceń i naprężeń. Ze zbioru parametrów konstrukcji wybieramy parametry, które
będą ulegać zmianom w trakcie procesu optymalizacji. Parametry te noszą nazwę
zmiennych projektowych. Mając określony zbiór zmiennych projektowych należy jasno
określić cel prowadzonej optymalizacji poprzez sformułowanie kryterium optymalizacji.
Matematycznym zapisem kryterium optymalizacji jest funkcja lub funkcjonał celu.
Funkcja celu jest zależna od zmiennych projektowych, przy czym w większości
zagadnień z zakresu mechaniki, zależności tej nie da się przedstawić w sposób jawny, a
jedynie pośrednio poprzez rozwiązanie zagadnienia brzegowego odpowiadającego
modelowi matematycznemu konstrukcji. W procesie optymalizacji dążymy do
znalezienia najlepszego zbioru zmiennych projektowych, dla którego funkcja celu osiąga
wartość ekstremalną przy wprowadzonych ograniczeniach.
1.1 Wstęp
5
Wśród zagadnień optymalizacji układów mechanicznych wyróżnić można cztery
główne kierunki: (i) optymalizację własności materiałowych (ang. material optimization),
(ii) optymalizację wymiarów poprzecznych (ang. size optimization), (iii) optymalizację
kształtu (ang. shape optimization) oraz (iv) optymalizację topologiczną (ang. topology
optimization).
Optymalizacja własności materiałowych dotyczy zagadnień, w których jako zmienne
projektowe wybierane są wielkości opisujące własności materiału (np. moduł Younga,
moduł Kirchoffa, współczynnik Poissona lub inne charakterystyki dla materiałów
anizotropowych).
Optymalizacja wymiarów poprzecznych bardzo często dotyczy układów
jednowymiarowych, w których zmianie podlegają przekroje prętów. W przypadku
układów powierzchniowych typową zmienną projektową jest grubość układu.
W optymalizacji kształtu za zmienne projektowe najczęściej przyjmuje się parametry
pozwalające sterować kształtem brzegu układu. W przypadku układów
jednowymiarowych są to współrzędne końców prętów. W układach dwu lub
trójwymiarowych, których brzeg jest modelowany z wykorzystaniem nowoczesnych
narzędzi, takich jak krzywe i powierzchnie Beziera [69], krzywe i powierzchnie typu B-
spline [69] oraz krzywe i powierzchnie typu NURBS [71], za zmienne projektowe
przyjmować można tzw. punkty kontrolne krzywych bądź powierzchni. Główna zaleta
tego typu podejścia polega na ogromnych możliwościach sterowania kształtem
konstrukcji za pomocą niewielkiej liczby zmiennych projektowych.
Optymalizacja topologiczna dotyczy zagadnień, w których następuje zmiana topologii
układu. W ciągu ostatnich dwudziestu lat można zauważyć trzy kierunki rozwoju metod
optymalizacji topologicznej. W pierwszych pracach pod pojęciem optymalizacji
topologicznej rozumiano zadania optymalizacji, których celem było poszukiwanie jak
najkorzystniejszego rozkładu prętów w układach prętowych (ang. layout optimization).
Istnieje wiele prac z tego zakresu, np.: Achtziger [1], Dems [31], Kirsch [52][53], Mróz
[60], Prager [75], Rozvany [77][78]. Zmiennymi projektowymi w tego typu
zagadnieniach są parametry opisujące położenie prętów w konstrukcji, pole przekroju
poprzecznego czy pozycje połączeń prętów. Drugi typ optymalizacji topologicznej
dotyczy układów mechanicznych dwu- i trójwymiarowych, w których za zmienne
projektowe przyjmowane są własności materiału oraz jego rozmieszczenie. Do
rozwiązania tego typu zagadnień stosuje się metodę homogenizacji. Podejście to
wprowadzili i rozwinęli Bendsøe i Kikuchi [6][7][8]. Opracowali oni metodę bazującą na
minimalizacji podatności struktury, którą z powodzeniem zastosowali do różnych
problemów optymalizacji topologicznej. W praktyce tego podejścia obszar struktury jest
dyskretyzowany na elementy skończone, przy czym każdy element zawiera mikrootwory
określonego kształtu. Rozmiar i kształt mikrootworów w elemencie skończonym
1.1 Wstęp
6
determinuje gęstość i rozkład materiału w tym elemencie. Procedury matematyczne
determinują w jaki sposób rozmiar i orientacja mikrootworów w każdym elemencie
powinny się zmieniać aby, podczas procesu optymalizacji, malała podatność struktury.
W procesie iteracyjnym powstają konstrukcje, charakteryzujące się strukturą kompozytu.
Podczas optymalizacji znajdowana jest optymalna topologia, gdy kryteria optymalizacji,
przy minimalizacji funkcji celu, są spełnione, chociaż nie ma żadnej gwarancji, że
otrzymywana w rezultacie topologia jest optymalna w sensie globalnym. Bendsøe [7]
udowodnił, że początkowy niejednorodny rozkład gęstości może dawać w wyniku
zbieżność do różnych optimów lokalnych. Pokazał także, że optymalna topologia jest
zależna od modelu mikrostruktury, zastosowanego do opisu materiału kompozytowego.
Trzeci typ optymalizacji topologicznej polega na wprowadzeniu do układu otworów na
podstawie specjalnych kryteriów, a następnie prowadzeniu równoległej optymalizacji
kształtu i położenia brzegów zewnętrznych i wewnętrznych układu. Twórcami tego ujęcia
byli Eschenauer [34][35], Schumacher [35][80]. Ujęcie to połączone z algorytmem
genetycznym rozwijane było przez Burczyńskiego i Kokota [15][16][56]. Z
matematycznego punktu widzenia ten typ optymalizacji topologicznej polega na
zastąpieniu obszaru jednospójnego obszarem wielospójnym. Innym znanym podejściem
do problematyki optymalizacji kształtu i topologii konstrukcji jest ujęcie Anagnostou [2],
który zdyskretyzowanemu obszarowi ciała przypisał binarny model matematyczny, gdzie
elementy skończone mogą reprezentować materiał lub otwór. Optymalny rozkład
materiału wewnątrz obszaru konstrukcji jest, w tym przypadku, znajdowany za pomocą
symulowanego wyżarzania [51]. Metodę tą rozwinął Jensen [49], który jako narzędzia
optymalizacji użył algorytmu genetycznego, tworząc binarną zero-jedynkową (0 – otwór,
1 – materiał) reprezentację zdyskretyzowanego obszaru optymalizowanego ciała. Dzięki
zastosowaniu algorytmu genetycznego uzyskał on duże prawdopodobieństwo znalezienia
rozwiązania optymalnego w sensie globalnym. Podejście to rozwijano dalej w wielu
pracach [30][42][46][48][50]. Jeszcze inne podejście zaproponowali Woon, Tong, Querin
i Steven [92], znane jako „Multi-GA System”. Opiera się ono na zastosowaniu,
równocześnie pracujących i wymieniających informacje, dwóch różnych algorytmów
genetycznych, z których jeden decyduje o kształcie brzegu zewnętrznego konstrukcji,
drugi zaś o rozmieszczeniu i kształcie otworów.
Optymalizację układów mechanicznych przeprowadzano do niedawna, głównie
wykorzystując metody wymagające znajomości współczynników wrażliwości pierwszego
i ewentualnie drugiego rzędu [9][54][55][81][91] (metoda warunków optymalności,
metoda najszybszego spadku, metoda Newtona, metoda gradientów sprzężonych, metody
zmiennej metryki). Niestety metody te mimo swych niewątpliwych zalet mają pewne
uwarunkowania, a mianowicie w przypadku ich zastosowania: funkcja celu musi być
ciągła, hesjan funkcji powinien być dodatnio określony, istnieje duże
1.1 Wstęp
7
prawdopodobieństwo zbieżności do optimum lokalnego, obliczenia przeprowadzane są
tylko z jednego punktu startowego, co zawęża obszar poszukiwań, wybór punktu
startowego może mieć wpływ na zbieżność metody (np.: w przypadku metody Newtona).
Metody pozwalające na odnalezienie, z dużym prawdopodobieństwem, optimum
globalnego, nazywane są metodami optymalizacji globalnej. Do tej grupy metod należą
algorytmy ewolucyjne, oparte na syntetycznej teorii ewolucji, a więc na pewnych
podobieństwach do świata organizmów żywych. Syntetyczna teoria ewolucji,
sformułowana w 1940 roku przez grupę ewolucjonistów i genetyków, pogodziła odkryte
przez G. Mendla prawa dziedziczności z teorią ewolucji opisaną przez Ch. Darwina i
spowodowała prawdziwą rewolucję w biologii, która dała także późniejsze rezultaty w
świecie techniki [47] w postaci, początkowo rzadko stosowanych jednak ciągle silnie
rozwijanych algorytmów ewolucyjnych, opartych na zasadzie przeżywania najbardziej
dopasowanych osobników. W takich algorytmach populacja osobników (potencjalnych
rozwiązań) podlega sekwencji transformacji jednoargumentowych (typu mutacji) i
wieloargumentowych (typu krzyżowania). Osobniki populacji walczą o przetrwanie
(wybór do następnego pokolenia), w schemacie selekcji, ukierunkowanym na bardziej
dopasowanych (o większej wartości funkcji celu - przystosowania).
Algorytmy ewolucyjne można rozumieć jako uogólnienie algorytmów genetycznych.
Klasyczne algorytmy genetyczne operują na ciągach binarnych, podczas gdy algorytmy
ewolucyjne na ciągach liczb rzeczywistych. Algorytmy ewolucyjne zawierają także
zróżnicowane operacje ewolucyjne, podczas gdy klasyczne algorytmy genetyczne
używają tylko binarnego krzyżowania i mutacji. Głównymi wadami algorytmów
ewolucyjnych są czasochłonność procesu optymalizacji oraz wolna zbieżność do
optimum globalnego, po znalezieniu się algorytmu w jego pobliżu. Wadę związan
z długim czasem przeprowadzania optymalizacji można zmniejszyć stosując rozproszone
algorytmy ewolucyjne [17][18], zaś wadę związaną z wolną zbieżnością do optimum
globalnego, stosując metody hybrydowe [24][66].
Zastosowaniu algorytmów genetycznych i ewolucyjnych poświęcono wiele prac.
Dotąd były one stosowane m. in. do optymalizacji układów prętowych [23][43][44],
optymalizacji kształtu i topologii układów sprężystych [13][56] oraz sprężysto-
plastycznych [20], optymalizacji i identyfikacji w układach z pęknięciami [5][12][22],
optymalizacji układów termomechanicznych [14][32][33], optymalizacji i identyfikacji w
układach obciążonych dynamicznie [22][36][63][66][67], dostrajaniu siatki elementów
skończonych ciał drgających [19], optymalizacji ciał sprężystych 3D za pomocą MES
[41][72][73][74], identyfikacji zmian nowotworowych na podstawie temperatury
powierzchni tkanki [21][57], optymalizacji i identyfikacji rozmieszczenia materiałów za
pomocą MEB [36][37], czy optymalizacji wielokryterialnej [68].
1.1 Wstęp
8
W niniejszej pracy podjęto próbę opracowania metody optymalizacji, umożliwiającej
przeprowadzenie równoczesnej optymalizacji kształtu, topologii, materiału lub/i grubości
układów powierzchniowych (tarcze, płyty, powłoki), przy wykorzystaniu algorytmu
ewolucyjnego i metody elementów skończonych. Główną ideą metody jest ewolucyjne
sterowanie rozkładem własności mechanicznych lub/i grubości układu
powierzchniowego, zdyskretyzowanego za pomocą metody elementów skończonych, tak
aby przyjęty funkcjonał jakości (funkcja przystosowania) osiągał minimum przy
przyjętych ograniczeniach. W czasie procesu ewolucji zmiana własności mechanicznych
materiału, poszczególnych elementów skończonych układu powoduje, że początkowo
jednorodny materiał staje się materiałem przedziałami niejednorodnym (optymalizacja
materiału) lub/i początkowa stała grubość układu staje się przedziałami zmienna
(optymalizacja wymiarów poprzecznych). Ponadto część elementów skończonych jest
eliminowana, w wyniku czego następuje zmiana kształtu istniejącego brzegu układu
(optymalizacja kształtu) oraz generowane są nowe brzegi wewnętrzne, w wyniku czego w
układzie powstają otwory (optymalizacja topologiczna). Zastosowanie algorytmu
ewolucyjnego nie wymaga obliczania współczynników wrażliwości i daje duże
prawdopodobieństwo otrzymania rozwiązania globalnego. Dyskretna reprezentacja
obszaru układu powierzchniowego, analizowana za pomocą metody elementów
skończonych, jest immanentną cechą proponowanej metody optymalizacji ewolucyjnej i
umożliwia zaadoptowanie profesjonalnego oprogramowania MES, co w rezultacie
umożliwia zastosowanie metody do optymalizacji złożonych i dużych zagadnień
inżynierskich.
Podstawy opracowanej metody optymalizacji układów powierzchniowych, autor
niniejszej rozprawy przedstawił w pracach własnych [26][27][28][29][83][84][85]
[86][87][88][89]. Na podjęcie tematu rozprawy, oprócz aspektów naukowych, miały
wpływ względy konstrukcyjne i ekonomiczne, wyrażające się koniecznością
oszczędzania materiałów konstrukcyjnych – aspekt rozumiany i doceniany dziś na całym
świecie zarówno przez producentów, konstruktorów, użytkowników jak i ekologów. Z
aspektem tym wiąże się uzyskiwanie lżejszych konstrukcji i pełniejsze wykorzystanie
własności wytrzymałościowych materiałów, z których są one wykonane. Można osiągnąć
to, w wyniku coraz lepszego poznawania własności materiałów, poprzez stosowanie
coraz dokładniejszych metod analizy numerycznej konstrukcji i w dużej mierze poprzez
zastosowanie metod optymalizacji konstrukcji, wśród których zaprezentowana w
niniejszej pracy, jest narzędziem pozwalającym na kompleksową optymalizację, zarówno
geometrii, jak i własności materiałowych układu.
Praca została wykonana w ramach promotorskiego projektu badawczego KBN
nr 5T07A01324.
1.2 Cel i teza rozprawy
9
1.2 Cel i teza rozprawy
Celem niniejszej rozprawy jest sformułowanie, opracowanie oraz implementacja
numeryczna metody optymalizacji ewolucyjnej układów powierzchniowych, tj.: tarcz,
płyt oraz powłok. Do analizy wytrzymałościowej takich układów zastosowana będzie
metoda elementów skończonych. Zrealizowanie przyjętego celu wymaga wykonania
następujących zadań cząstkowych:
• Opracowanie metody optymalizacji ewolucyjnej układów powierzchniowych.
• Opracowanie algorytmu oraz programu komputerowego optymalizacji
ewolucyjnej konstrukcji tarczowych.
• Opracowanie algorytmu oraz programu komputerowego optymalizacji
ewolucyjnej konstrukcji płytowych.
• Opracowanie algorytmu oraz programu komputerowego optymalizacji
ewolucyjnej konstrukcji powłokowych.
• Opracowanie algorytmu umożliwiającego wymianę danych pomiędzy
programami komputerowymi optymalizacji ewolucyjnej układów
powierzchniowych oraz istniejącymi na rynku profesjonalnymi pakietami
oprogramowań inżynierskich, jak np.: MSC PATRAN-NASTRAN czy CATIA.
Z rozeznania literaturowego wynika, że taki zakres pracy przedstawiony został po raz
pierwszy. Powyższe cele doprowadziły do sformułowania tezy rozprawy.
Teza rozprawy
Sterowana algorytmem ewolucyjnym skończenie-elementowa dystrybucja materiału i
jego własności mechanicznych w układach powierzchniowych takich jak tarcza, płyta czy
powłoka jest podstawą skutecznej optymalizacji kształtu, topologii, materiału lub/i
grubości dla przyjętych kryteriów i ograniczeń.
1.3 Przegląd treści rozprawy
10
1.3 Przegląd treści rozprawy
Rozprawa składa się z siedmiu rozdziałów.
W rozdziale pierwszym scharakteryzowano zagadnienia będące przedmiotem
niniejszej rozprawy. Sformułowano cel i tezę rozprawy oraz zamieszczono krótki
przegląd treści rozprawy.
W rozdziale drugim zamieszczono opis metody elementów skończonych zastosowanej
do rozwiązywania zagadnień brzegowych statycznej teorii sprężystości dla układów
powierzchniowych, tj.: tarcz w płaskim stanie naprężenia/odkształcenia, zginanych płyt
oraz powłok.
W rozdziale trzecim scharakteryzowano algorytmy ewolucyjne.
Rozdział czwarty poświęcony został opisowi metody optymalizacji ewolucyjnej
kształtu, topologii oraz własności materiałowych lub/i grubości układów
powierzchniowych. W rozdziale tym przedstawiono ideę metody optymalizacji.
Sformułowano zadanie optymalizacji. Przedstawiono budowę chromosomu oraz
funkcjonały optymalizacji wraz z ograniczeniami. Zestawiono zastosowane operatory
algorytmu ewolucyjnego, omówiono procedury dodatkowe wspomagające optymalizację
oraz zastosowane procedury interpolacyjne. Opisano postać algorytmu optymalizacji
ewolucyjnej układów powierzchniowych oraz przedstawiono możliwości jego
współpracy z istniejącym na rynku profesjonalnym oprogramowaniem inżynierskim, jak
np.: MSC PATRAN-NASTRAN czy CATIA.
Kolejne trzy rozdziały (piąty, szósty i siódmy) zawierają przykłady numeryczne
dotyczące optymalizacji układów powierzchniowych (kolejno tarcz, płyt i powłok),
opracowane dzięki zastosowaniu omówionego, w rozdziale 4, algorytmu.
W rozdziale ósmym dokonano podsumowania niniejszej rozprawy, przedstawiono
wnioski wynikające z przeprowadzonych badań. Wskazano również kierunki dalszych
badań.
Na końcu rozprawy zamieszczono streszczenie rozprawy w języku polskim
i angielskim.
Metoda elementów skończonych dla układów powierzchniowych
11
Rozdział 2
Metoda elementów skończonych
dla układów powierzchniowych
2.1 Wprowadzenie
W związku z wykorzystaniem, w opracowanej metodzie optymalizacji ewolucyjnej,
dyskretnej reprezentacji obszaru konstrukcji, jako narzędzie analizy wytrzymałościowej,
zastosowano metodę elementów skończonych. Metoda elementów skończonych stanowi
więc nierozłączny składnik omawianego podejścia. W praktyce tego podejścia obszar
konstrukcji zostaje zdyskretyzowany na elementy skończone, które mogą mieć różne
wartości modułów Younga lub grubości. W trakcie procesu optymalizacji część
elementów skończonych może zostać wyeliminowana, w wyniku czego następuje zmiana
istniejącego brzegu zewnętrznego oraz powstają otwory. Podczas procesu optymalizacji
następuje ponadto zmiana modułów Younga lub/i grubości na poszczególnych
elementach skończonych układu, w wyniku czego modyfikacji ulega rozkład materiału
konstrukcji, oraz jej własności materiałowe. Zmiana rozkładu materiału w układzie
powierzchniowym, pociąga za sobą konieczność odpowiedniej modyfikacji struktury
siatki elementów skończonych, która po odpowiednim przygotowaniu poddawana jest
analizie za pomocą metody elementów skończonych.
2.1 Wprowadzenie
12
Obecnie metoda elementów skończonych jest powszechnie stosowanym narzędziem
inżynierskim. Istnieje wiele pozycji, w których opisane zostały zarówno podstawy
matematyczne, jak i aspekty praktyczne metody [4][76][94][95][96].
W niniejszym rozdziale omówione zostaną skończenie elementowe modele dyskretne
tarczy, płyty i powłoki. Modele te są nieodłącznym składnikiem opisanej w rozdziale 4
metody optymalizacji, w której dystrybucja własności mechanicznych materiału w
postaci modułu Younga lub/i grubości w obrębie każdego elementu, sterowana jest za
pomocą algorytmu ewolucyjnego.
2.2 Metoda elementów skończonych dla tarcz
13
2.2 Metoda elementów skończonych dla tarcz
2.2.1 Sformułowanie zagadnienia brzegowego dla tarcz
Rozważamy element konstrukcyjny (tarczę) zajmujący obszar Ω , ograniczony
brzegiem Γ , w którym dwie cechy wymiarowe są znacznie większe od trzeciej, zaś
kierunek obciążenia leży w płaszczyźnie określonej przez współrzędne dwóch
pierwszych wymiarów (rys. 2.1.1) [4].
F0
p0
g
y
a)
ny
n
nx
x
b)
g
Rys. 2.1.1: Tarcza w płaskim stanie: a) naprężenia, b) odkształcenia
Jeżeli grubość tarczy g jest stosunkowo duża w porównaniu z pozostałymi jej wymiarami,
to będziemy mieli do czynienia z płaskim stanem odkształcenia (rys. 2.1.1b), w którym
wszystkie składowe tensora stanu odkształcenia są niezerowe z wyjątkiem
0, 0, 0xz zx yz zy zγ γ γ γ ε= = = = = (2.2.1)
w przeciwnym wypadku z płaskim stanem naprężenia (rys. 2.1.1a), w którym zerowe
składowe stanu naprężenia to
0, 0, 0xz zx yz zy zτ τ τ τ σ= = = = = (2.2.2)
Składowe stanu naprężenia i odkształcenia są związane relacją, która w postaci
macierzowej przybiera formę
11 12
21 22
33
0
[ ] lub 0
0 0
x x
y y
xy xy
d d
D d d
d
σ εσ ε σ ε
τ γ
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
(2.2.3)
gdzie [D] jest macierzą sprężystości, której elementy mają postać:
• dla płaskiego stanu odkształcenia
11 22 12 21 332 2
(1 ), ,
1 2 1 2
E Ed d d d d G
ν νν ν ν ν
−= = = = =
− − − −(2.2.4)
• dla płaskiego stanu naprężenia
11 22 12 21 11 332, ,
1
Ed d d d d d Gν
ν= = = = =
−(2.2.5)
2.2 Metoda elementów skończonych dla tarcz
14
Równania Naviera-Lamego, opisujące dwuwymiarowe zagadnienie brzegowe
w przemieszczeniach, można wyrazić w sposób następujący
11 12 33
33 12 22
21
43
0
0
BB
BB
u ud d d X
x x y y y x
u ud d d Y
x y x y x y
υ υρ
υ υρ
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
(2.2.6)
gdzie: ( , ), ( , )u x y x yυ= = - funkcje określające przemieszczenia, ρ - gęstość.
Równania (2.2.6) należy uzupełnić warunkami brzegowymi na brzegu 1 2Γ = Γ ∪ Γ .
Warunki te przyjmują postać:
• przemieszczeń
, u u υ υ= = na brzegu 1Γ (2.2.7)
gdzie: , u υ - zadane przemieszczenia
• obciążeń powierzchniowych
nx x x yx y nx
ny xy x y y ny
q n n q
q n n q
σ τ
τ σ
= + =
= + = na brzegu 2Γ (2.2.8)
gdzie: i nx nyq q są zadanymi składowymi sił powierzchniowych na brzegu 2 ,Γ
natomiast cos( ) i cos( )x yn xn n yn= = są kosinusami kątów zawartych między
normalną n do brzegu Γ i osiami x i y.
Ponieważ składowe stanu naprężenia występujące w zależnościach (2.2.8) zależą przez
(2.2.3) od odkształceń, a odkształcenia przez zależności
, , x y xy
u u u
x y y x
υε ε γ
∂ ∂ ∂ ∂= = = +
∂ ∂ ∂ ∂(2.2.9)
od przemieszczeń, więc warunki brzegowe (2.2.8) można wyrazić wprost przez
przemieszczenia
11 12 33
33 11 12
nx x y
nx x y
u uq d d n d n
x y y x
u uq d n d d n
y x x y
υ υ
υ υ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(2.2.10)
Układ równań różniczkowych Naviera-Lamego (2.2.6) wraz z warunkami brzegowymi
(2.2.7) i (2.2.8) lub (2.2.10) tworzy zagadnienie brzegowe teorii sprężystości [62] dla
zagadnień dwuwymiarowych. Rozwiązanie tego zadania dla dowolnego kształtu obszaru
Ω można uzyskać tylko w postaci przybliżonej korzystając z metod komputerowych, np.
metody elementów skończonych.
2.2 Metoda elementów skończonych dla tarcz
15
2.2.2 Sformułowanie słabe dla zagadnienia brzegowego
teorii sprężystości
Dwuwymiarowy obszar Ω dzielimy na skończoną liczbę elementów skończonych
, 1,2,..., ,e e NΩ = przy czym .N
e
e
Ω = Ω∪ Najczęściej stosowanymi elementami
w przypadku tarcz są elementy trójkątne i czworokątne (rys. 2.2.2).
y
xij
n
Rys. 2.2.2: Dyskretyzacja obszaru tarczy elementami skończonymi
trójkątnymi i prostokątnymi
Dyskretyzacja obszaru może pociągać za sobą niedokładności rozwiązania wynikające
z często niedokładnego odwzorowania kształtu obszaru elementami skończonymi
, 1,2,..., .e e NΩ = Dlatego równania Naviera-Lamego (2.2.6) mogą nie być dokładnie
spełnione na elementach, tzn.
1 2
3 4
( ) ( ) 0
( ) ( ) 0
x
y
B B X Rx y
B B Y Rx y
ρ
ρ
∂ ∂+ + = ≠
∂ ∂
∂ ∂+ + = ≠
∂ ∂
(2.2.11)
gdzie
1 11 12 1 3 33 4 12 22, , u u u
B d d B B d B d dx y y x x y
υ υ υ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = = + = +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
(2.2.12)
Zależy nam na takim sformułowaniu przybliżonego rozwiązania, aby residua i x yR R
były jak najbliższe zeru. W tym celu żądamy, aby całki ważone określone na objętości
każdego elementu eV równały się zeru
1 20, 0e e
e e
x y
V V
w R dV w R dV= =∫ ∫ (2.2.13)
gdzie: 1 2 i w w - funkcje wagi, eV - objętość e-tego elementu skończonego.
2.2 Metoda elementów skończonych dla tarcz
16
Po wstawieniu zależności (2.2.11) do całek ważonych (2.2.13) otrzymujemy ostatecznie
1 1 2
2 3 4
( ) ( ) 0
( ) ( ) 0
e
e
e
e
g w B B X dxdyx y
g w B B Y dxdyx y
ρ
ρ
Ω
Ω
⎡ ⎤∂ ∂− + =⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
⎡ ⎤∂ ∂+ + =⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
∫
∫(2.2.14)
Zastosowano tutaj zależność2
/ 2
( ) ( ) ( ) e
e e ee
g
e
gV
dV dz dx dy g dx dy−Ω Ω
• = • = •∫ ∫ ∫ ∫ (2.2.15)
gdzie ge jest grubością e-tego elementu skończonego.
W celu otrzymania sformułowania słabego wykonujemy całkowanie przez części całek
ważonych (2.2.14). W tym celu korzystamy z tożsamości
1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1
1 2 2 11 2 2 1 1 2 1 2
3 32 22 3 3 2 2 3 2 3
( ) , ( )
( ) , ( )
( ) , ( )
(
w B B ww B B w - w B w B
x x x x x x
w B B ww B B w - w B w B
y y y y y y
B Bw ww B B w - w B w B
x x x x x x
wy
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂= + = −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂
= + = −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂∂ ∂∂ ∂= + = −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂∂
2 4 4 22 4 4 2 2 4 2 4) , ( )
w B B wB B w - w B w B
y y y y y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(2.2.16)
oraz z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa
1 1 1 1 1 2 1 2
2 3 2 3 2 4 2 4
( ) , ( )
( ) , ( )
e e e e
e e e e
x y
x y
w B dxdy w B n ds w B dxdy w B n dsx y
w B dxdy w B n ds w B dxdy w B n dsx y
Ω Γ Ω Γ
Ω Γ Ω Γ
∂ ∂= =
∂ ∂
∂ ∂= =
∂ ∂
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
(2.2.17)
gdzie eΓ jest brzegiem elementu skończonego eΩ .
Po zastosowaniu wyrażeń (2.2.16) i (2.2.17), równania (2.2.14) przyjmują postać
1 111 12 33 1
1 11 12 33
2 233 11 22 2
0
e
e
e
e x y
e
w wu ug d d d w X dxdy
x x y y y x
u ug w d d n d n ds
x y y x
w wu ug d d d w Y
x y x y x y
υ υρ
υ υ
υ υρ
Ω
Γ
Ω
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂− + + + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∫
∫
2 33 11 22 0
e
e
e x y
dxdy
u ug w d n d d n ds
y x x y
υ υ
Γ
−
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂− + + + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∫
∫
(2.2.18)
2.2 Metoda elementów skończonych dla tarcz
17
Ponieważ wyrażenia podcałkowe w całkach określonych na krawędziach eΓ elementów
brzegowych zależą od sił powierzchniowych (2.2.10) więc sformułowanie słabe
zagadnienia brzegowego teorii sprężystości przyjmuje ostatecznie postać
1 111 12 33 1 1
2 233 12 22 2 2
0
0
e e
e e
e e nx
e e ny
w wu ug d d d w X dxdy g w q ds
x x y y y x
w wu ug d d d w Y dxdy g w q ds
x y x y x y
υ υρ
υ υρ
Ω Γ
Ω Γ
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + − − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + − − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫
(2.2.19)
Sformułowanie słabe (2.2.19) może być także zapisane za pomocą postaci dwuliniowej
( )B w, u i liniowej ( )l w
( ) ( )=B w, u l w (2.2.20)
gdzie
( )
1 111 12 33
2 233 12 22
e
e
e
e
w wu ug d d d dxdy
x x y y y x
w wu ug d d d dxdy
x y x y x y
υ υ
υ υ
Ω
Ω
⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ + +⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦
= ⎨ ⎬⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪+ + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭
∫
∫B w, u (2.2.21)
( )[ ]
[ ]
1 1
2 2
e e
e e
e e nx
e e ny
g w X dxdy g w q ds
g w Y dxdy g w q ds
ρ
ρΩ Γ
Ω Γ
⎧ ⎫+⎪ ⎪⎪ ⎪
= ⎨ ⎬+⎪ ⎪
⎪ ⎪⎩ ⎭
∫ ∫
∫ ∫
l w (2.2.22)
przy czym: 1 2( , ), ( , )w w u υ= =w u .
Tak zapisane sformułowanie słabe nazywa się często sformułowaniem wariacyjnym
równań (2.2.6).
Forma dwuliniowa może być także zapisana za pomocą składowych stanu naprężenia
i odkształcenia
( ) ( ) ( ) ( ) ( )e e
e e ij ijg d g dσ ε σ εΩ Ω
= Ω = Ω∫ ∫B w, u u w u w (2.2.23)
natomiast forma liniowa
( )e e
e i i e ni ig X w d g q w dsρΩ Γ
= Ω +∫ ∫l w (2.2.24)
Funkcja wagi w (zwana także funkcją testującą) może być traktowana jako wariacja
przemieszczenia, tzn.
δ=w u (2.2.25)
gdzie symbol δ oznacza wariację.
2.2 Metoda elementów skończonych dla tarcz
18
Wówczas sformułowanie wariacyjne (2.2.20), gdy forma dwuliniowa ( )• •B , jest
symetryczna, przyjmuje postać
( ) ( ) 0δ δ− =B u, u l u (2.2.26)
lub
( ) 0Jδ =u (2.2.27)
gdzie
( ) ( ) ( )1,
2J = −u B u u l u (2.2.28)
jest funkcjonałem, który wyraża całkowitą energię potencjalną układu sprężystego.
Wyrażenie (2.2.27) jest znane jako twierdzenie o minimum energii potencjalnej, które
mówi, że wśród wszystkich dopuszczalnych przemieszczeń ( , )u υ=u , spełniających
warunki brzegowe, pole przemieszczeń rzeczywistych zapewnia minimalną wartość
całkowitej energii potencjalnej ( )J u . Równanie metody elementów skończonych często
w literaturze wyprowadza się korzystając nie ze sformułowania słabego, lecz
z twierdzenia o minimum energii potencjalnej ( ) 0Jδ =u .
Po zastosowaniu zależności (2.2.23) i (2.2.24) przy (2.2.25) równanie (2.2.26) w notacji
inżynierskiej w zapisie macierzowym przyjmuje postać
0e e
T
T Tx x
xn
e y y e e
yn
xy xy
qu X ug dxdy g dxdy g ds
qY
δε σδε σ ρ
υ υδγ τ Ω Γ
⎧ ⎫ ⎧ ⎫∂ ∂ ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪
− − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂ ∂⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
∫ ∫ (2.2.29)
2.2.3 Równania metody elementów skończonych
Pole przemieszczeń na każdym elemencie skończonym eΩ możemy aproksymować za
pomocą wielomianów i e eU V
1 1
( , ), ( , )n n
e e e e e e
j j j j
j j
U u u x y V v x yψ υ ψ= =
= ≈ = ≈∑ ∑ (2.2.30)
gdzie: i e e
j ju υ - wartości węzłowe przemieszczeń, ( , )e
j x yψ - funkcje interpolacyjne
(funkcje kształtu), których postać zależy od przyjętego rzędu interpolacji oraz rodzaju
elementu skończonego, n – liczba węzłów na elemencie skończonym eΩ .
Po podstawieniu wyrażenia aproksymującego (2.2.30) do formy słabej (2.2.29)
otrzymujemy
2.2 Metoda elementów skończonych dla tarcz
19
111 12
1 1
1
133 1
1 1
233
1 1
212 22
1
0e e
n nj j
j j
j j
e e nxn n
j j
j j
j j
n nj j
j j
j j
en
j j
j j
j
wd u d
x x yg dxdy g w q ds
wd u w X
y y x
wd u
x y xg
wd u d
y x
ψ ψυ
ψ ψυ ρ
ψ ψυ
ψ ψυ
= =
Ω Γ
= =
= =
=
⎡ ⎤∂ ∂⎛ ⎞∂+ +⎢ ⎥⎜ ⎟
∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥ − =⎢ ⎥∂ ∂⎛ ⎞∂⎢ ⎥+ + −⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦
∂ ∂⎛ ⎞∂+ +⎜ ⎟
∂ ∂ ∂⎝ ⎠
∂ ∂∂+ +
∂ ∂
∑ ∑∫ ∫
∑ ∑
∑ ∑
∑
2
11
0e e
e nyn
j
dxdy g w q ds
w Yy
ρΩ Γ
=
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ − =⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥−⎜ ⎟⎢ ⎥∂⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫∑
(2.2.31)
W celu uproszczenia zapisu w równaniach (2.2.31) oraz dalszych pominięto indeks e przy
wartościach węzłowych przemieszczeń i funkcjach interpolacyjnych.
Stosując ujęcie Ritza, dla n niewiadomych przemieszczeń węzłowych ju i n
niewiadomych przemieszczeń węzłowych jυ , przyjmujemy odpowiednio n niezależnych
funkcji wagowych 1 1 1 2 3: , , ,..., , nw w ψ ψ ψ ψ= oraz n niezależnych funkcji
2 2 1 2 3: , , ,..., .nw w ψ ψ ψ ψ=
Po podstawieniu funkcji interpolacyjnych w miejsce funkcji wagowych w równaniach
(2.2.31) oraz po uporządkowaniu wyrażeń uzyskujemy dla i iw ψ=
11 331
12 331
33 121
33 22
0e e
nj ji i
j
j
e e i nxn
j ji ij i
j
nj ji i
j
j
e
j ji i
d d ux x y y
g dxdy g q ds
d d Xx y y x
d d ux y y x
g
d dx x y y
ψ ψψ ψ
ψψ ψψ ψ
υ ψ ρ
ψ ψψ ψ
ψ ψψ ψ
=
Ω Γ
=
=
⎡ ⎤∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂+ +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥ − =⎢ ⎥∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂⎢ ⎥+ + +⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦
∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂+ +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
∂ ∂⎛ ∂ ∂+ +⎜ ∂ ∂ ∂ ∂⎝
∑∫ ∫
∑
∑
1
0e e
e i nyn
j i
j
dxdy g q ds
Y
ψ
υ ψ ρΩ Γ
=
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ − =⎢ ⎥⎞⎢ ⎥+⎟⎢ ⎥⎠⎣ ⎦
∫ ∫∑
(2.2.32)
Równania (2.2.32) możemy przedstawić w postaci macierzowej11 12 1
21 22 2
[ ] [ ]
[ ] [ ]
uK K Q
K K Qυ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎧ ⎫
=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎩ ⎭
(2.2.33)
gdzie elementy macierzy sztywności dla zagadnień dwuwymiarowych mają postać
2.2 Metoda elementów skończonych dla tarcz
20
1 2 1 2
1111 33
12 2112 33
2233 22
1
[ , ,..., ] , [ , ,..., ]
e
e
e
T T
n n
j ji iij e
j ji iij ij e
j ji iij e
i
u u u u
K g d d dxdyx x y y
K K g d d dxdyx y y x
K g d d dxdyx x y y
Q
υ υ υ υ
ψ ψψ ψ
ψ ψψ ψ
ψ ψψ ψ
Ω
Ω
Ω
= =
∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂= +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂= = +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂= +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
=
∫
∫
∫
2
e e
e e
e i e i nx
i e i e i ny
g X dxdy g q ds
Q g Y dxdy g q ds
ψ ρ ψ
ψ ρ ψΩ Γ
Ω Γ
+
= +
∫ ∫
∫ ∫
(2.2.34)
Równanie (2.2.33) możemy zapisać inaczej
[ ] e e eK u Q= (2.2.35)
gdzie
e
uu
υ⎧ ⎫
= ⎨ ⎬⎩ ⎭
- macierz kolumnowa wartości węzłowych przemieszczeń,
11 12
21 22
[ ] [ ][ ]
[ ] [ ]e K K
KK K
⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎣ ⎦- macierz sztywności elementu skończonego,
1
2
e Q
⎧ ⎫= ⎨ ⎬
⎩ ⎭- macierz kolumnowa sił węzłowych.
Konkretna postać macierzy sztywności zależy od przyjętych funkcji interpolacyjnych.
2.2.4 Funkcje interpolacyjne trójkątnego i prostokątnego
elementu skończonego
Aproksymacja pól przemieszczeń ( , ) i ( , )u x y x yυ na elemencie skończonym eΩ za
pomocą wielomianów ( , ) i ( , )e eU x y V x y (2.2.30) powinna spełniać następujące
warunki:
• i e eU V powinny być różniczkowalne tyle razy, ile tego wymaga sformułowanie
słabe (2.2.29),
• wielomiany powinny być zupełne,
• wszystkie wyrazy wielomianów powinny być liniowo niezależne.
2.2 Metoda elementów skończonych dla tarcz
21
Trójkątny element skończony
Rozważamy trójkątny element skończony z liniowymi funkcjami interpolacyjnymi, czyli
najprostszy element skończony stosowany w analizie tarcz przy użyciu MES.
Do wyznaczenia postaci funkcji kształtu posłużymy się wielomianem
1 1 1 2 3( , y ) ( , y)=ce e
ju u x U x c x c y= ≈ + + (2.2.36)
gdzie trzy stałe ( 1,2,3)ic i = określają geometrię elementu.
Wartości przemieszczeń wierzchołków trójkąta obliczamy następująco
1 1 1 1 2 1 3 1
2 2 2 1 2 2 3 2
3 3 3 1 2 3 3 3
( , )
( , )
( , )
e
e
e
u u x y c c x c y
u u x y c c x c y
u u x y c c x c y
= = + +
= = + +
= = + +
(2.2.37)
lub w postaci macierzowej
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
1
1
1
u x y c
u x y c
u x y c
⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭
(2.2.38)
W celu obliczenia wartości stałych ( 1,2,3)ic i = należy odwrócić macierz
współczynników.
Po odwróceniu macierzy (2.2.38) uzyskamy
1 2 31
1 2 3
1 2 3
1[ ]
2 e
AA
α α αβ β βγ γ γ
−
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(2.2.39)
gdzie 1 2 3( ) / 2eA α α α= + + jest polem e-tego elementu trójkątnego, natomiast stałe
, , i i iα β γ obliczamy ze wzorów
1 2 3 3 2, 2 3 1 1 3, 3 3 2 2 3
1 2 3 2 3 1 3 1 2
1 3 2 2 1 3 3 2 1
, ,
= , = , =
x y x y x y x y x y x y
y y y y y y
x x x x x x
α α α
β β β
γ γ γ
= − = − = −
= − = − = −
− − −
(2.2.40)
Teraz stałe ( 1,2,3)ic i = obliczamy z równania 1 [ ] c A u−= lub
1 1 2 3 1
2 1 2 3 2
3 1 2 3 3
1
2 e
c u
c uA
c u
α α αβ β β
γ γ γ
⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭
(2.2.41)
Po podstawieniu wzoru (2.2.41) do (2.2.36) otrzymujemy
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
3
1 1 2 2 3 31
1[( ) ( )
2
( ) ] ( , )
e
e
e
i i
i
U u u u u u u xA
u u u y u x y
α α α β β β
γ γ γ ψ=
= + + + + + +
+ + + = ∑(2.2.42)
2.2 Metoda elementów skończonych dla tarcz
22
gdzie e
iψ - funkcje interpolacyjne elementu trójkątnego.
Ogólny wzór na funkcje interpolacyjne elementu trójkątnego zapiszemy następująco
1( ) 1,2,3
2e e e e
i i i i
e
x y iA
ψ α β γ= + + = (2.2.43)
gdzie współczynniki , , i i iα β γ są określone wzorami (2.2.40).
Odpowiednie pochodne cząstkowe liniowych funkcji interpolacyjnych występujących
w macierzy sztywności wynoszą
, 2 2
e e e e
i i i i
e ex A y A
ψ β ψ γ∂ ∂= =
∂ ∂(2.2.44)
Liniowe funkcje kształtu dla elementu trójkątnego przedstawiono na rys. 2.2.3.
y
x
2
3
1
2
3
1
1
2
3
1
1
2
3
1
1
Rys. 2.2.3: Postacie funkcji interpolacyjnych dla trójkątnego elementu skończonego
Ich własności są następujące
3 3 3
1 1 1
( , ) ( , 1,2,3)
1, 0, 0
e e e
i j j ij
e ee i ii
i i i
x y i j
x y
ψ δ
ψ ψψ
= = =
= =
∂ ∂= = =
∂ ∂∑ ∑ ∑(2.2.45)
Opisany element nazywamy elementem trójkątnym o stałym polu odkształceń (CST-
Constant Strain Triangle), ponieważ odkształcenia ( , , )x y xyε ε γ na całym obszarze
elementu są stałe. Fakt ten wynika ze stałych wartości pierwszych pochodnych funkcji
interpolacyjnych.
2.2 Metoda elementów skończonych dla tarcz
23
Prostokątny element skończony
Innym powszechnie stosowanym elementem tarczowym jest prostokąt (rys. 2.2.4).
y
y
x
x2
34
1
a
b
Rys. 2.2.4: Prostokątny element skończony
Przyjmujemy następującą postać wielomianu interpolacyjnego w lokalnym układzie
współrzędnych
1 2 3 4( , ) ( , )e eu x y U x y c c x c y c xy≈ = + + + (2.2.46)
Przemieszczenia wierzchołków elementów wynoszą
1 1 3 1 2 3 4
2 1 2 4 1 3
(0,0) , ( , )
( ,0) , (0, )
u U c u U a b c c a c b c ab
u U a c c a u U b c c b
= = = = + + +
= = + = = +(2.2.47)
Następnie rozwiązujemy układ równań (2.2.47) względem nieznanych stałych
3 4 1 21 2 4 11 1 2 3 4, , ,
u u u uu u u uc u c c c
a b ab
− + −− −= = = = (2.2.48)
Po podstawieniu równań (2.2.48) do wielomianu (2.2.46) otrzymujemy
1 2 3
4
4 1 1 2 2 3 3 4 41
( , ) 1
e i
i e
i
x y x y x x y x yU x y u u u
a b a b a a b a b
y x yu u u u u u
b a bψ ψ ψ ψ ψ
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞+ − = + + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
∑(2.2.49)
gdzie
1 2
3 4
1 1 , 1
, 1
x y x y
a b a b
x y x y
a b a b
ψ ψ
ψ ψ
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠
(2.2.50)
Ogólne wyrażenie na i-tą funkcję interpolacyjną możemy zapisać w postaci:
1( , ) ( 1) 1 1e i i ii
x x y yx y
a bψ + + +⎛ ⎞⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠(2.2.51)
2.2 Metoda elementów skończonych dla tarcz
24
Graficznie funkcje interpolacyjne przedstawiono na rys. 2.2.5, a ich własności są
następujące
4
1
( , ) ( , 1,2,3,4)
1
e
i i i ij
e
i
i
x y i jψ δ
ψ=
= =
=∑(2.2.52)
1 1
11
2 2
22
1 1
1
3 3
33
4 4
41
4
Rys. 2.2.5: Postacie funkcji interpolacyjnych dla prostokątnego elementu skończonego
2.2.5 Macierzowa postać równań MES
Pole przemieszczeń dla elementu skończonego o n liczbie węzłów można przedstawić
w postaci
1
2
1 1 2
1 2 1
1 2
1
1
21 2
21 2
... 0 0...0
0 0...0 ...
00 0...[ ]
0 0 ...0
ne e
j j
j n n
nne e
j j
j
n
n
n
n
n
u
u
uuu
v
u
u
u
ψψ ψ ψ
ψ ψ ψ υυ ψ
υ
υ
υ
ψ ψ ψυ
ψψ ψ
υ
=
=
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
= = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪
⎡ ⎤ ⎪ ⎪= = Ψ⎨ ⎬⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
∑
∑
u=
∆
(2.2.53)
2.2 Metoda elementów skończonych dla tarcz
25
Pola odkształceń i naprężeń na elemencie skończonym eΩ są obliczane następująco
[ ] , [ ][ ] x x
e e e e e e e
y y
xy xy
B u D B u
ε σε ε σ σ
γ τ
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪
= = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭
(2.2.54)
gdzie
[ ] [ ] e eB T ψ= (2.2.55)
przy czym [ ]T jest macierzą liniowych operatorów różniczkowych
0
[ ] 0
x
Ty
y x
⎡ ⎤∂⎢ ⎥∂⎢ ⎥
⎢ ⎥∂= ⎢ ⎥∂⎢ ⎥
⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦
(2.2.56)
Wariacje przemieszczeń i odkształceń są określone za pomocą relacji
[ ] , [ ] e e e eu
u B uδ
ψ δ δε δδυ
⎧ ⎫= =⎨ ⎬
⎩ ⎭(2.2.57)
Po podstawieniu powyższych wyrażeń do wzoru (2.2.29) otrzymujemy
[ ][ ][ ] [ ]
[ ] 0
e e
e
Te e e e e e e T
e e
T nxe e T
e
ny
Xg u B D B u dxdy g u dxdy
Y
qg u ds
q
ρδ δ ψ
ρ
δ ψ
Ω Ω
Γ
⎧ ⎫− −⎨ ⎬
⎩ ⎭
⎧ ⎫− =⎨ ⎬
⎩ ⎭
∫ ∫
∫(2.2.58)
lub
( ) [ ] 0e T e e eu K u Qδ − = (2.2.59)
Ponieważ równanie (2.2.59) jest prawdziwe dla dowolnej wariacji euδ , więc wyrażenie
w nawiasie powinno być równe zeru. Stąd
[ ] e e eK u Q= (2.2.60)
gdzie
[ ] [ ] [ ][ ]e
Te e e e
eK g B D B dxdy
Ω
= ∫ (2.2.61)
jest macierzą sztywności elementu skończonego rzędu 2 2n n× ,
[ ] [ ] 0e e
nxe e T e T
e e
ny
qXQ g dxdy g ds
qY
ρψ ψ
ρΩ Γ
⎧ ⎫⎧ ⎫= + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎩ ⎭ ⎩ ⎭∫ ∫ (2.2.62)
jest macierzą sił węzłowych.
2.2 Metoda elementów skończonych dla tarcz
26
Jeżeli we wzorze na macierz sztywności (2.2.61) wyrażenie podcałkowe jest stałe, to
macierz sztywności elementu przyjmuje postać
[ ] [ ] [ ][ ]e e T e e
e eK g A B D B= (2.2.63)
gdzie macierz sprężystości dla płaskiego stanu naprężenia wyraża się wzorem
2
1 0
[ ] 1 01
10 0
2
e ED
νν
νν
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥
= ⎢ ⎥− ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
(2.2.64)
zaś dla płaskiego stanu odkształcenia jest postaci
1 01
(1 )[ ] 1 0
(1 )(1 2 ) 11 2
0 02(1 )
e ED
νν
ν νν ν ν
νν
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥
− ⎢ ⎥= ⎢ ⎥+ − −⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
(2.2.65)
2.2.6 Agregacja elementów skończonych
Etap agregacji polega na połączeniu wszystkich elementów skończonych w jeden model
obszaru dyskretyzowanego. Przeprowadza się go żądając spełnienia dwóch warunków,
mianowicie zgodności przemieszczeń w węzłach i równowagi sił w węzłach.
W rezultacie otrzymuje się układ równań algebraicznych w postaci
[ ] K U Q= (2.2.66)
lub w innej formie11 12 1 1
21 22 2 2
[ ] [ ]
[ ] [ ]
K K U Q
K K U Q
⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭(2.2.67)
gdzie macierz 1 U zawiera znane przemieszczenia określone przez warunki brzegowe,
natomiast 2 U jest macierzą zawierającą poszukiwane przemieszczenia węzłowe.
Macierz 1 Q zawiera nieznane siły węzłowe (reakcje), a 1 Q zadane siły obciążające
układ. Macierz 2 U obliczamy z zależności (2.2.67)
2 22 1 2 21 1 [ ] ( [ ] )U K F K U−= − (2.2.68)
a znając 2 U obliczamy macierz 1 Q
1 11 1 12 2 [ ] [ ] Q K U K U= + (2.2.69)
2.3 Metoda elementów skończonych dla płyt
27
2.3 Metoda elementów skończonych dla płyt
2.3.1 Sformułowanie zagadnienia brzegowego dla płyt
Płytą nazywamy bryłę materialną o jednym wymiarze (grubość) dużo mniejszym od
pozostałych, obciążoną prostopadle do płaszczyzny środkowej. Sposób obciążenia
i podparcia powoduje, że w ogólności płyta jest dwukierunkowo zginana i skręcana [93].
Przyjmijmy, że osie współrzędnych x i y leżą w poziomej, środkowej płaszczyźnie płyty,
przechodzącej przez środek jej grubości g, a oś z jest skierowana w dół (rys. 2.3.1).
Obciążenie przypadające na jednostkę powierzchni płyty określa funkcja ( , )q x y .
z
x
q(x,y)
g
y
ny
n
nx
Γ
Ω
Rys. 2.3.1: Płyta zginana
Ugięcie płyty o dowolnym kształcie określa równanie Zofii Germain, które możemy
zapisać w postaci:4 4 4
4 2 2 4
( , ) ( , ) ( , )2 ( , ), ( , )
w x y w x y w x yD D D q x y x y
x x y y
∂ ∂ ∂+ + = ∈Ω
∂ ∂ ∂ ∂(2.3.1)
gdzie D jest sztywnością płyty na zginanie i wyraża się wzorem:3
212(1 )
EgD
ν=
−(2.3.2)
Równanie to należy uzupełnić odpowiednimi warunkami brzegowymi na ∂Ω = Γ . Typowe
warunki brzegowe przedstawia rys. 2.3.2.
2.3 Metoda elementów skończonych dla płyt
28
y
x
y
x
Podparcie swobodne (np. wzdłuż osi y)
Utwierdzenie (np. wzdłuż osi y)
a)
0, 0 i 0xdla x w M= = =
Warunki brzegowe
b)
Warunki brzegowe
0, 0 i 0w
dla x wx
∂= = =
∂
Rys. 2.3.2: Typowe warunki brzegowe płyty
Znając ugięcie ( , )w x y , można obliczyć odkształcenia i naprężenia w płycie. Stan
naprężenia jest określony przez siły wewnętrzne. Wprowadzimy macierze kolumnowe
uogólnionych naprężeń i odkształceń
2
2
2
2
2
( , ) ( , )
( , ) ( , ) , ( , ) ( , )
( , ) 2 ( , )
2
x x
y y
xy
w
xM x y x y
wx y M x y x y x y
yM x y x y
w
x y
κσ ε κ
χ
⎧ ⎫∂−⎪ ⎪
∂⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
= = = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎪ ⎪∂⎪− ⎪
∂ ∂⎪ ⎪⎩ ⎭
(2.3.3)
gdzie: i x yM M - momenty gnące, xyM - moment skręcający, i x yκ κ - funkcje
krzywizn, χ - funkcja zwichrzenia.
Związki fizyczne są teraz określone następująco
[ ] Dσ ε= (2.3.4)
gdzie macierz sprężystości ma postać
3
2
1 0
[ ] 1 012(1 )
0 0 (1 ) / 2
EgD
νν
νν
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎣ ⎦
(2.3.5)
Zastosowanie metody elementów skończonych do wyznaczenia ugięć płyty ( , )w x y [4]
polega w pierwszym etapie na podziale dwuwymiarowego obszaru Ω na elementy
skończone , 1,2,...,e e NΩ = . Podobnie jak w przypadku dwuwymiarowych zagadnień
brzegowych teorii sprężystości przy dyskretyzacji płyty możemy stosować elementy
trójkątne (rys. 2.3.4) lub prostokątne (rys. 2.3.3).
Równanie (2.3.1) jest spełnione na elemencie w sposób przybliżony. Całka ważona
określona na elemencie skończonym eΩ ma postać4 4 4
4 2 2 42 0
e
w w wD D D q dxdy
x x y yυ
Ω
⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + − =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
∫ (2.3.6)
2.3 Metoda elementów skończonych dla płyt
29
gdzie ( , )x yυ υ= jest funkcją wagi.
Całkując wyrażenie (2.3.6) przez części, otrzymujemy sformułowanie słabe dla płyty,
które charakterystycznie wykazuje obniżone wymagania związane z różniczkowalnością
ugięcia ( , )w x y
2 2 2 2 2 2
2 2 2 22
( ) ( ) 0
e
e
e
xy yx yxx y
x x xy y yx x y y
w w wD D D q dxdy
x x x y x y y y
M M MMn n ds
x y x y
M n M n M n M n dsx y
υ υ υυ υ
υ
υ υ
Ω
Γ
Γ
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + − −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂− + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤∂ ∂+ + + + =⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
∫
∫
∫
(2.3.7)
gdzie i x yn n są kosinusami kierunkowymi normalnej do brzegu.
Pochodne funkcji wagi względem współrzędnych x i y zmienimy na pochodne względem
lokalnych współrzędnych: normalnej n i stycznej s
, x y x yn n n nx n s y s n
υ υ υ υ υ υ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − = −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂(2.3.8)
Korzystając z zależności (2.3.8), możemy całki brzegowe w sformułowaniu słabym
(2.3.7) przekształcić do postaci
e e
n n nsT ds M M dsn s
υ υυ
Γ Γ
∂ ∂⎛ ⎞− + +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫ (2.3.9)
gdzie:
2 2
2 2
2
( ) ( )
n x x y y
n x x y y xy x y
ns y x x y xy x y
T T n T n
M M n M n M n n
M M M n n M n n
= +
= + +
= − + −
(2.3.10)
Całkując przez części drugi składnik w drugiej całce (2.3.9), otrzymujemy
n nM V dsn
υυ
Γ
∂⎛ ⎞−⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ (2.3.11)
gdzie nsn n
MV T
s
∂= +
∂ jest reakcją będącą ekwiwalentem siły poprzecznej nT i momentu
skręcającego nsM na brzegu.
Występujące w sformułowaniu słabym drugie pochodne ugięć i funkcje interpolacyjne
powinny być tak dobrane, aby na granicach sąsiadujących elementów osiągnąć ciągłość
ugięć i pierwszych pochodnych. Przyjmując jako parametry węzłowe kąty obrotów
i y x
w w
x yϑ ϑ
∂ ∂= = −
∂ ∂, można wymusić spełnienie tego warunku w punktach węzłowych.
2.3 Metoda elementów skończonych dla płyt
30
Przyjmijmy następującą aproksymację ugięć płyty na elemencie skończonym.
1 1
( , ) ( , ) [ ] n A
e e e e e
j j k k
j k
w x y x yψ ψ= =
≈ ∆ = ∆∑ ∑ (2.3.12)
gdzie , 1,2,...,e
j j n∆ = , są uogólnionymi przemieszczeniami węzłowymi, które w k-tym
węźle są zestawione w macierz kolumnową
e
k
e e
k xk
e
yk
w
ϑϑ
⎧ ⎫⎪ ⎪
∆ = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
(2.3.13)
, 1,2,...,e
j j nψ = , są funkcjami interpolacyjnymi zestawionymi dla każdego k-tego węzła
w macierz wierszową [ ]e
kψ , zawierającą trzy elementy.
2.3.2 Elementy płytowe - trójkątny i prostokątny
Element prostokątny posiada A=4 węzły i n=12 parametrów, natomiast element trójkątny
A=3 i n=9. Funkcję aproksymacji ugięć w przypadku elementu prostokątnego (rys. 2.3.3)
przyjmujemy w postaci wielomianu o n=12 parametrach2 2 3
1 2 3 4 5 6 7
2 2 3 3 38 9 10 11 12
( , )ew x y c c x c y c x c xy c y c x
c x y c xy c y c x y c xy
= + + + + + + +
+ + + + +(2.3.14)
W przypadku elementu trójkątnego (rys. 2.3.4) wielomian ma n=9 parametrów2 2 2 2 3 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9( , ) ( )ew x y c c x c y c x c xy c y c x y xy c x c y= + + + + + + + + + (2.3.15)
2w1w
3w4w
1xϑ
1yϑ
2xϑ
2yϑ
3xϑ3yϑ
4xϑ 4yϑ
xy
z
b
eΩ
sx
sy
ξ
Rys. 2.3.3: Element płytowy prostokątny
2.3 Metoda elementów skończonych dla płyt
31
2w
2xϑ
2yϑ
3w
3xϑ3yϑ
1w
1xϑ
1yϑ
xy
zeΩ
Rys. 2.3.4: Element płytowy trójkątny
Współczynniki , 1,2,...,ic i n= , wielomianów są określone z warunków zgodności
przemieszczeń uogólnionych (2.3.13) w punktach węzłowych 1,2,...,k A= .
Funkcje interpolacyjne dla elementu prostokątnego można przedstawić w postaci2 21
2
2
2
[ ] [( 1)( 1)(2 ),
( 1) ( 1)( 1),
( 1)( 1) ( 1)]
e
k k k k k
k k k k
k k k k
a
b
ψ ξξ ηη ξξ ηη ξ η
ξ ξξ ξξ ηη
η ξξ ηη ηη
= + + + + + +
+ − +
+ + −
(2.3.16)
gdzie , =s sx x y y
a bξ η
− −= są bezwymiarowymi współrzędnymi lokalnymi na
elemencie skończonym.
W przypadku elementu trójkątnego funkcje interpolacyjne przyjmują postać2 2 2 2
1 2 1 2
2 22 1 1 2 1 2 1 2
2 22 1 1 2 1 2 1 2
[ ] [ ,
( 0,5 ) ( 0,5 ),
c ( 0,5 ) ( 0,5 )]
e
k k k k k k k k k k
k k k k k k k k k k k k
k k k k k k k k k k k k
L L L L L L L L L
b L L L L L b L L L L L
L L L L L c L L L L L
ψ + + + +
+ + + + + + + +
+ + + + + + + +
= + + − −
+ − +
+ − +
(2.3.17)
gdzie
1 2 2 1 1 2 2 1
2
, b , c
k k kk
e
k k k k k k k k k k k
a b x c yL
A
a x y x y y y x x+ + + + + + + +
+ +=
= − = − = −
(2.3.18)
Omawiane elementy, zarówno prostokątny jak i trójkątny, są elementami
niedostosowanymi. W przypadku obu elementów jest wprawdzie zapewniona zgodność
ugięć wzdłuż boków, gdyż zmieniają się one według funkcji trzeciego stopnia, która jest
określona jednoznacznie przez cztery parametry (dwa ugięcia i dwa kąty nachylenia
stycznej wzdłuż boków), brak jest jednak zgodności nachyleń stycznych w kierunkach
normalnych do boków. Nachylenie stycznej wzdłuż boku, jako pochodna kierunkowa,
powstaje z kombinacji pochodnych i w w
x y
∂ ∂∂ ∂
. Nachylenia normalne opisuje funkcja
2.3 Metoda elementów skończonych dla płyt
32
drugiego stopnia, z którą związane są dwa parametry, tj. dwie wartości pochodnych
normalnych w węzłach. Brak zgodności nachyleń w kierunku normalnym do boków
powoduje nieciągłość odkształceń (krzywizn). W związku z tym powierzchnia ugięć nie
jest gładka. Fragment powierzchni ugięć dla przykładu elementu prostokątnego
przedstawia rys. 2.3.5. Mimo niedostosowania zastosowanie zarówno prostokątnego, jak
i trójkątnego elementu skończonego daje w praktycznych zastosowaniach poprawne
wyniki, które przy zagęszczeniu dyskretyzacji układu dążą do wartości dokładnych.
Rys. 2.3.5: Powierzchnia ugięć w przypadku niedostosowanego
elementu prostokątnego
Jako przykłady elementów płytowych dostosowanych można wymienić:
• element prostokątny o czterech węzłach i szesnastu parametrach, po cztery parametry
w każdym węźle 2
, , , w w w
wx y x y
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
. Pole przemieszczeń opisuje wielomian trzeciego
stopnia,
• element prostokątny o czterech węzłach i dwudziestu czterech parametrach, po sześć
w każdym węźle 2 2 2
2 2, , , , ,
w w w w ww
x y x y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
. Pole przemieszczeń opisuje
wielomian piątego stopnia,
• element trójkątny o sześciu węzłach i dwudziestu jeden parametrach, po sześć
w węzłach wierzchołkowych 2 2 2
2 2, , , , ,
w w w w ww
x y x y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
i po jednym w węzłach
w środku boków w
n
∂∂
(pochodna normalna). Pole przemieszczeń opisuje pełny
wielomian piątego stopnia, zawierający dwadzieścia jeden składników.
2.3 Metoda elementów skończonych dla płyt
33
2.3.3 Macierz sztywności elementu płytowego
Po podstawieniu zależności (2.3.11) do (2.3.7) w miejsce (2.3.9) otrzymujemy dla e
iυ ψ=
[ ] e e e eK f Q∆ = + (2.3.19)
gdzie elementy macierzy sztywności elementu skończonego płyty mają postać2 2 22 2 2
2 2 2 22
e
e e ee e ej j je i i i
ij eK D dxdyx x x y x y y y
ψ ψ ψψ ψ ψ
Ω
⎡ ⎤∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂= + +⎢ ⎥
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦∫ (2.3.20)
gdzie De jest sztywnością elementu płyty na zginanie, ma stałą wartość dla elementu i
wyraża się wzorem:3
212(1 )e e
e
E gD
ν=
−(2.3.21)
natomiast elementy macierzy sił węzłowych wyrażają się następująco
, e e
ee e e e i
i i i i n nf q dxdy Q V M dsn
ψψ ψ
Ω Γ
⎡ ⎤∂= = −⎢ ⎥∂⎣ ⎦
∫ ∫ (2.3.22)
Znając wartości węzłowe ugięć, można teraz obliczyć odkształcenia
[ ] e e
k kBε = ∆ (2.3.23)
gdzie macierz geometryczna ma postać
2 2 2
2 2
[ ] [ ] [ ][ ] , ,
Te e e
k k kkB
x y x y
ψ ψ ψ⎡ ⎤∂ ∂ ∂= − − −⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦
(2.3.24)
Naprężenia obliczamy następująco
[ ] [ ][ ] e e e e e
k kD D Bσ ε= = ∆ (2.3.25)
Macierz sztywności [ ]eK ma wymiary ,n n× czyli 12 12× dla elementu
prostokątnego, 9 9× dla elementu trójkątnego płyty. Macierz ta może być przedstawiona
także w następującej postaci
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ][ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
e
e e e e
e e e e
e e e
e e e e
e e e e
K K K K
K K K KK B D B dxdy
K K K K
K K K K
Ω
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ (2.3.26)
przy czym
[ ] [ ] [ ][ ] e
e T
kl k lK B D B dxdy
Ω
= ∫ (2.3.27)
2.4 Metoda elementów skończonych dla powłok
34
2.4 Metoda elementów skończonych dla powłok
2.4.1 Powłoka jako zbiór płaskich elementów
Powłoką nazywamy bryłę ograniczoną dwiema powierzchniami, przy czym odległość
między tymi powierzchniami – grubość powłoki, g – jest znacznie mniejsza od
pozostałych wymiarów. Stan naprężenia w powłoce jest łącznym stanem płytowym
i tarczowym [93]. Dlatego do analizy powłok za pomocą metody elementów
skończonych można zastosować płaskie elementy skończone, które łączą w sobie cechy
elementu płaskiego teorii sprężystości i elementu płytowego [4]. Prowadzi to do
aproksymacji powierzchni zakrzywionej w sposób ciągły za pomocą powierzchni
utworzonej z płaskich elementów trójkątnych i prostokątnych (rys. 2.4.1). Zastosowanie
takich elementów skończonych pociąga za sobą dodatkowe błędy wynikłe z odstępstwa
od rzeczywistej geometrii powłoki. Błędy te można jednak ograniczyć stosując
odpowiednio gęstą dyskretyzację układu.
xy
z
+TARCZA PŁYTA POWŁOKA
a)
b)x
yz
TARCZA PŁYTA POWŁOKA
Rys. 2.4.1: Aproksymacja powierzchni zakrzywionej
płaskimi elementami skończonymi a) prostokątnymi, b) trójkątnymi
2.4 Metoda elementów skończonych dla powłok
35
2.4.2 Trójkątny element powłokowy
Przy podziale dowolnych powłok na płaskie elementy skończone stosujemy bardzo
często elementy trójkątne (pewne powłoki, np. o kształcie cylindrycznym, można dobrze
przedstawić za pomocą elementów prostokątnych lub czworobocznych). Są to elementy
osiemnasto- parametrowe, posiadające po sześć parametrów w każdym węźle (rys.2.4.2)
[ , , , , , ] 1,2,3e T
k k k k xk yk zku w dla kυ ϑ ϑ ϑ∆ = = (2.4.1)
2w
2xϑ
2yϑ
1w
1xϑ
1yϑ
xy
zeΩ
3w
3xϑ
3yϑ
1υ
1u2u
2υ
1zϑ2zϑ
3zϑ
3u
3υ
Rys. 2.4.2: Trójkątny element powłokowy
Dwie pierwsze współrzędne i k ku υ opisują przemieszczenia k-tego węzła
w płaszczyźnie elementu i określają stan tarczowy. Następne trzy współrzędne
, , k xk ykw ϑ ϑ określają typowy dla płyty stan zgięciowy. Ostatnia współrzędna zkϑ
opisująca dodatkowy obrót została wprowadzona, ponieważ powierzchnia powłoki jest
zakrzywiona i elementy nie leżą w jednej płaszczyźnie.
Przemieszczenia liniowe elementu powłokowego są aproksymowane następująco
3
1
( , , )
( , , ) [ ]
( , , )
e
e e e
k k
ke
u x y z
x y z
w x y z
υ φ=
⎧ ⎫⎪ ⎪
= ∆⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
∑ (2.4.2)
gdzie macierz funkcji interpolacyjnych [ ]e
kφ o wymiarach 3 6× ma postać
[ ] 0[ ]
[ ] 0
e tarcza
e k
k e pyta
k
ψφ
ψ
⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
0
0(2.4.3)
Podmacierze [ ] i [ ]e tarcza e pyta
k kψ ψ są funkcjami interpolacyjnymi dla elementu tarczowego
i płytowego. Macierze odkształceń i naprężeń są dla powłoki złożeniem odpowiednich
macierzy dla tarczy i płyty
2.4 Metoda elementów skończonych dla powłok
36
,
2
xx
yy
tarcza tarczaxyxy
pyta pytaxx
yy
xy
N
N
Ng
M
M
M
εεγε σ
ε σκε σκχ
⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪
= = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭
(2.4.4)
gdzie: g – grubość tarczy, , , x y xyN N N - siły przekrojowe.
2.4.3 Macierz sztywności elementu powłokowego
Zastosowanie płaskich elementów skończonych w analizie powłok metodą elementów
skończonych daje praktyczne korzyści. Operując elementem płaskim, przy rozprężonych
stanach tarczowym i płytowym, otrzymujemy macierz sztywności przez proste złożenie
macierzy sztywności tarczy i płyty. Macierz sztywności elementu powłokowego ma
zatem następującą strukturę
[ ]
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]
[ ]
0 0
0 0
0 0e
e tarcza
kl
e T e pyta
kl k l kl
e zast
kl
K
K B D B dxdy K
KΩ
⎡ ⎤⎢ ⎥
= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ (2.4.5)
Element macierzy sztywności na kierunku zkϑ , oznaczony jako zast
klK , faktycznie
powinien być zerowy. Sytuacja odwrotna wynika z punktu widzenia numerycznego i daje
w efekcie możliwość uniknięcia osobliwości układu równań. Stąd element ten jest różny
od zera, a właściwe jego dobranie powoduje nieznaczny wpływ na wyniki obliczeń.
Przyjmuje się go zwykle w postaci
1
0,5 1e ezast
kl
e e
Eg A dla kK
Eg A dla k
λλ
=⎧ ⎫= ⎨ ⎬
− ≠⎩ ⎭(2.4.6)
gdzie: 0,03, egλ < - grubość, eA - pole powłokowego elementu skończonego.
Algorytmy ewolucyjne
37
Rozdział 3
Algorytmy ewolucyjne
3.1 Wprowadzenie
Pomysł opracowania algorytmów ewolucyjnych [3][10][38][39][40][47][59][79]
wziął się z obserwacji przyrody, która w zadziwiająco skuteczny sposób potrafi radzić
sobie z problemem przystosowania do środowiska naturalnego. Na bazie podstawowych
zasad rządzących ewolucją naturalną powstał schemat operujący na populacjach
sztucznie stworzonych osobników. Osobniki składają się z chromosomów. Jeżeli osobnik
jest jednochromosomowy (tak jest w niniejszej pracy), terminy: osobnik i chromosom
można stosować zamiennie. Chromosomy z kolei są zespołami genów (specyficznie
zakodowanych parametrów zadania), na których operuje algorytm ewolucyjny, starając
się je dobrać jak najlepiej do postawionego zadania.
Tak jak czyni przyroda, algorytmy ewolucyjne poszukują optymalnego rozwiązania za
pomocą mechanizmów doboru naturalnego i dziedziczenia, wykorzystując przy tym neo-
darwinowską zasadę największych szans na przeżycie dla osobników najlepiej
przystosowanych, oraz nieustanną, losową wymianę informacji (materiału genetycznego)
pomiędzy nimi.
W historii techniki niejednokrotnie najskuteczniejszymi rozwiązaniami problemów
przed nią stojących okazały się te, które opierały się na zjawiskach podpatrzonych
w naturze. Naturalną drogą rozwoju jest ewolucja, gdzie organizmy żywe nabywają
swoich cech i zdolności przez dobór naturalny, pozornie ślepy mechanizm, gdzie
przeżywają i wydają potomstwo głównie osobniki dobrze przystosowane do aktualnie
panujących warunków. Jednak natura nie ogranicza się do selekcji jedynie najlepszych
osobników, sporadycznie słabiej przystosowane również mają szansę rozwoju generując
potomstwo niejednokrotnie obdarzone cechami niespotykanymi dotąd w populacji,
3.1 Wprowadzenie
38
a które mogą być przydatne w toku dalszej ewolucji. Kuszące wydaje się zatem
wprowadzenie do klasycznych metod optymalizacji możliwości akceptacji w kolejnych
krokach algorytmu, rozwiązań gorszych od dotychczasowych. Jeżeli zrezygnujemy
z zasad twardej selekcji na rzecz selekcji miękkiej, czyli dopuścimy w kolejnych próbach
możliwość generacji nowych punktów bazowych z gorzej dopasowanych punktów, to
uzyskamy wzrost prawdopodobieństwa ucieczki z pułapki optimum lokalnego. Klasyczne
metody optymalizacji, które do niedawna wykorzystywano w większości prac z dziedziny
optymalizacji [9][54][55][81][91], opierają się na idei twardej selekcji, która polega na
tym, że nowe punkty bazowe do dalszych poszukiwań optimum generowane są na
podstawie najlepszych z uzyskanych dotychczas punktów. Metody te w niewielkim
stopniu posiadają umiejętność przekraczania siodeł między wzgórzami funkcji
multimodalnych, co bardzo ogranicza skuteczność tych algorytmów w zadaniach
optymalizacji globalnej. Poza tym metody te wykorzystują informacje o gradiencie
funkcji celu, podczas gdy metody ewolucyjne tej informacji nie potrzebują korzystając
tylko z funkcji przystosowania. Dlatego też w sytuacjach, gdy ze względu na zbyt duży
stopień skomplikowania problemów nie mogą być stosowane tradycyjne metody
optymalizacji, lub gdy chodzi o gwarancję wysokiego prawdopodobieństwa znalezienia
rozwiązania bliskiego optimum, stosowane są zazwyczaj metody ewolucyjne. Biorąc pod
uwagę te czynniki i niewątpliwe zalety algorytmu ewolucyjnego w stosunku do
tradycyjnych metod optymalizacji, zdecydowano się na wykorzystanie w niniejszej pracy
algorytmu optymalizacji ewolucyjnej.
Algorytmy ewolucyjne, jako metody optymalizacyjne cieszą się wzrastającym
powodzeniem ze względu na ich uniwersalność, skuteczność, elastyczność oraz łatwość
implementacji w różnych językach programowania. Jak dotąd najszybciej i najbardziej
rozpowszechniana była rodzina algorytmów genetycznych, która do opisu problemów
używa zmiennych binarnych. W stosunku jednak do rzeczywistości system dwójkowy
jest sztuczny, gdyż w naturze cechy dziedziczne zapisywane są w genach za pomocą
permutacji czterech kwasów nukleinowych, a mianowicie adeniny, guaniny, cytozyny
i tyminy. Biorąc ten fakt pod uwagę zaproponowano modyfikację algorytmu
genetycznego opartą o reprezentacje liczb w systemie dziesiętnym, który jest bliższy
procesowi przekazywania informacji genetycznych w naturze, w efekcie czego
doprowadzono do powstania algorytmu ewolucyjnego. W związku z tym w algorytmie
ewolucyjnym w przeciwieństwie do genetycznego, nie koduje się chromosomów lecz
traktuje się je jako fenotypy, zaś każdy z genów przyjmuje wartości z przedziału
dopuszczalnego zmiennej. Ponadto algorytm ewolucyjny posiada zmodyfikowane
operatory genetyczne, w stosunku do klasycznego algorytmu genetycznego, które cechują
zmienne prawdopodobieństwa operatorów.
3.1 Wprowadzenie
39
Algorytm ewolucyjny dla dowolnego zadania optymalizacji, powinien zawierać pięć
następujących elementów [59]:
1. podstawową reprezentację potencjalnych rozwiązań zadania optymalizacji,
2. sposób generowania początkowej populacji potencjalnych rozwiązań,
3. funkcję oceniającą – funkcję przystosowania F, która odgrywa rolę środowiska i
ocenia rozwiązania,
4. operatory ewolucyjne, które wpływają na skład populacji potomnej,
5. wartości parametrów (np.: rozmiar populacji, prawdopodobieństwa użycia
operatorów ewolucyjnych, napór selekcyjny itp.).
3.2 Prosty algorytm ewolucyjny
40
3.2 Prosty algorytm ewolucyjny
Algorytm ewolucyjny (rys. 3.2.1) operuje na populacjach P(t) o liczebności N
złożonych z osobników, tj. chromosomów , 1,2,...,j
tch j N=
1
2
( )
t
t
j
t
N
t
ch
ch
P tch
ch
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪
= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
(3.2.1)
gdzie 1,2,...t = – numer iteracji algorytmu (numer generacji).
Pojedynczy chromosom w populacji jest wektorem, zawierającym n elementów – genów
1 2[ , ,..., ,..., ]j j j j j
t i nch gen gen gen gen= (3.2.2)
Na wartości genów nałożone są ograniczenia z lewej i prawej strony
min max[ ] [ ]j j j
i i igen gen gen≤ ≤ (3.2.3)
Algorytm ewolucyjny poszukuje punktu optimum funkcji ( )j
tF ch , która jest
matematycznym zapisem kryterium optymalizacji. Funkcję tą, w przypadku algorytmów
ewolucyjnych, określa się najczęściej terminem funkcji przystosowania. Wymiennie
stosuje się także terminy: funkcja jakości lub funkcja celu.
START
Generacja populacji startowej P(t=0)
SelekcjaOperatory ewolucyjne
Obliczanie wartości funkcji przystosowania
Populacja potomna P(t+1)
Warunek zakończenia obliczeń
KONIEC
NIE
t=t+1
TAK
Obliczanie wartości funkcji przystosowania
Rys. 3.2.1: Schemat blokowy algorytmu ewolucyjnego
3.2 Prosty algorytm ewolucyjny
41
Pierwszym etapem algorytmu ewolucyjnego jest utworzenie losowej populacji
początkowej P(0). W tym etapie zostaje utworzona określona liczba chromosomów
odpowiadająca rozmiarowi populacji N, dla których losuje się wartości genów
z podanego zakresu dopuszczalnego zmiennych. W każdym chromosomie jest tyle
genów, ile zmiennych posiada optymalizowana funkcja.
Następnie z każdej populacji ( ), 1,2,...P t t = , wybiera się metodą selekcji
chromosomy o najlepszym przystosowaniu do tzw. puli rodzicielskiej M(t). Wybór ten
odbywa się zgodnie z zasadą naturalnej selekcji, tzn. największą szansę na udział
w tworzeniu nowych osobników mają chromosomy o największej wartości funkcji
przystosowania. W kolejnym etapie kojarząc w pary osobniki rodzicielskie z populacji
M(t) i dokonując operacji krzyżowania zgodnie z prawdopodobieństwem krzyżowania pc
(decyduje jaki procent osobników poddany zostanie operacji krzyżowania) oraz operacji
mutacji zgodnie z prawdopodobieństwem mutacji pm (decyduje jaki procent osobników
poddany zostanie operacji mutacji), otrzymujemy nową populację potomną P(t+1), do
której wchodzą potomkowie osobników z populacji M(t).
W końcowej fazie algorytmu następuje ocena przystosowania chromosomów
w populacji. Następnie wybrany zostaje osobnik o najlepszym przystosowaniu, po czym
sprawdzany zostaje warunek zakończenia działania algorytmu. Jeżeli znane jest optimum
funkcji celu zatrzymanie algorytmu może nastąpić po uzyskaniu żądanej wartości
optymalnej, ewentualnie z określoną dokładnością. Zatrzymanie algorytmu może również
nastąpić, jeżeli dalsze jego działanie nie poprawia już uzyskanej najlepszej wartości, czy
jeżeli przekroczone zostały zadane wartości maksymalnego czasu obliczeń, lub
maksymalnej liczby iteracji algorytmu.
Jeśli warunek zatrzymania pracy algorytmu nie został spełniony to algorytm przechodzi
do następnej iteracji, przyjmując populację potomną jako rodzicielską i zwiększając
parametr numeru pokolenia t o jeden. Nowe populacje otrzymuje się więc sukcesywnie
przez selekcję, krzyżowanie i mutację chromosomów z aktualnych populacji.
Rozwiązaniem zadania optymalizacji jest osobnik (chromosom) z ostatniej populacji,
który ma najlepszą wartość funkcji przystosowania.
3.2 Prosty algorytm ewolucyjny
42
3.3 Operatory ewolucyjne
43
3.3 Operatory ewolucyjne
Wśród operatorów ewolucyjnych wyróżniamy operatory jednoargumentowe -
mutacje, zmieniające losowo wybrane geny pojedynczego osobnika, oraz operatory
dwuargumentowe – krzyżowania, tworzące osobniki potomne na podstawie dwóch,
losowo wybranych z populacji osobników rodzicielskich, stosownie do prawidłowości
właściwych dla danego operatora.
Mutacja równomierna
Operator ten zmienia dowolny gen osobnika , 1,2,..., ; 1,2,...j
tch j N t= = przypisując
mu nową, losową wartość z przedziału dopuszczalnego, odpowiadającego danej zmiennej
(rys. 3.3.1)
1jgen 2
jgen j
igen j
ngen
1jgen 2
jgen j
ngen*[ ]j
igen
Rodzic
PotomekZakresmutacji
Rys. 3.3.1: Operator mutacji równomiernej
Każdy gen ma dokładnie równe szanse na to, aby ulec procesowi mutacji. Operator ten
jest szczególnie przydatny w początkowej fazie obliczeń, gdzie wskazane jest
przeszukiwanie całej dziedziny.
Mutacja nierównomierna
Mutacja nierównomierna jest modyfikacją mutacji równomiernej. Jest jednym
z operatorów związanych z możliwością dokładnego dostrojenia się systemu. Działanie
tego operatora obrazuje podobnie jak w przypadku mutacji równomiernej rys. 3.3.1, z tą
różnicą, że nową wartość genu określona wyrażenie
* max
min
( , [ ] ) 0[ ]
( , [ ] ) 1
j j j
j i i i
i j j j
i i i
gen t gen gen dla rgen
gen t gen gen dla r
αα
⎧ + − == ⎨
+ − =⎩
:
: (3.3.1)
3.3 Operatory ewolucyjne
44
gdzie r jest losowane i przyjmuje wartości 0 lub 1. Funkcja ( , )t yα przyjmuje wartości z
przedziału [0 ,y] i wartość jej spada wraz ze wzrostem numeru pokolenia t:
( , ) 1b
tt y yp
Tα ⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠(3.3.2)
gdzie p jest wartością losową z przedziału [0, 1], T jest numerem ostatniego pokolenia, b
jest parametrem określającym stopień niejednorodności. Ta właściwość funkcji ( , )t yα
powoduje, że algorytm przeszukuje początkowo przestrzeń w sposób jednorodny i bardzo
lokalnie w późniejszych etapach. Konsekwencją tego na początku obliczeń tak
zmutowany osobnik może przesunąć się o dużą odległość, podczas gdy pod koniec
obliczeń przemieszcza się o minimalny dystans w przestrzeni poszukiwań. Operator ten
jest szczególnie przydatny w końcowej fazie obliczeń, gdy mocny osobnik znajduje się
w strefie optimum globalnego i należy przybliżyć go możliwie najbliżej tego optimum.
Mutacja brzegowa
Operator mutacji brzegowej (rys. 3.3.2) mutuje osobnika , 1,2,..., ; 1,2,...j
tch j N t= = ,
zmieniając wartość losowo wybranego genu na wartość brzegową dopuszczalnego
przedziału zmienności genu
* min
max
[ ] 0[ ]
[ ] 1
j
j i
i j
i
gen gdy rgen
gen gdy r
⎧ ⎫== ⎨ ⎬
=⎩ ⎭(3.3.3)
gdzie r jest wartością losową równą 0 lub 1. Operator ten jest szczególnie przydatny, gdy
optimum znajduje się na, albo blisko brzegu dopuszczalnej przestrzeni poszukiwań.
1jgen 2
jgen
1jgen 2
jgen
Rodzic
Potomek
j
igen j
ngen
j
ngen
Zakresmutacji
j
ngen
j
ngen
Zakresmutacji
r=0 r=1
min[ ]j
igen 3 max[ ]j
igen +
3j
igen +
Rys. 3.3.2: Operator mutacji brzegowej
3.3 Operatory ewolucyjne
45
Krzyżowanie proste
Operator ten tworzy na podstawie dwóch rodziców
i , , 1,2,..., ; 1,2,...j k
t tch ch j k N t= = dwa nowe osobniki potomne zawierające materiał
genetyczny obu rodziców (rys. 3.3.3). O liczbie genów, które pochodzą od
poszczególnych osobników rodzicielskich, decyduje tzw. „linia cięcia”, przyjmowana
w sposób losowy. W konsekwencji działania tego operatora powstają chromosomy
potomne, będące kombinacją genów rodzicielskich.
1jgen 2
jgen j
igen j
ngen
Rodzic 1
Pozycja cięcia
Rodzic 2
1jgen 2
jgen j
igen
j
ngen
Potomek 1
Potomek 2
1kgen 2
kgen
2kgen1
kgen
k
igen
k
igen
1k
igen +
1k
igen +
1j
igen +
1j
igen +
k
ngen
k
ngen
Rys. 3.3.3: Operator krzyżowania prostego
Krzyżowanie arytmetyczne
Operator ten umożliwia utworzenie osobników, których geny mają wartości będące
liniową kombinacją wartości genów dwóch osobników rodzicielskich
i , , 1,2,..., ; 1,2,...j k
t tch ch j k N t= = . W związku z tym wartości genów u potomków
stanowią średnią ważoną genów rodzicielskich*
*
[ ] (1 )
[ ] (1 )
j j k
i i i
k k j
i i i
gen gen gen
gen gen gen
α α
α α
= + −
= + −(3.3.4)
Operator ten nosi także nazwę krzyżowania gwarantowanego, ponieważ jeżeli osobniki
rodzicielskie spełniają wszystkie ograniczenia liniowe, to osobniki powstające przy
krzyżowaniu też je spełniają. W szczególnym przypadku zastosowania
tego operatora dla 0.5α = powstają dwa identyczne osobniki * * *
1 1 1[ ] [ ] [ ] , , , 1,2,..., ; 1,2,...l j k
t t tch ch ch j k l N t+ + += = = = (rys. 3.3.4).
3.3 Operatory ewolucyjne
46
1jgen 2
jgen j
igen j
ngen
Rodzic 1
Rodzic 2
Potomek 1 i 2
1kgen 2
kgen k
igen k
ngen
*1[ ]lgen *
2[ ]lgen
*[ ]l
igen *[ ]l
ngen
Rys. 3.3.4: Operator krzyżowania arytmetycznego
Krzyżowanie heurystyczne
Operator ten tworzy jednego potomka uzależniając wynik krzyżowania od funkcji
przystosowania obydwu osobników rodzicielskich. Nowy potomek tworzony jest
z dwojga rodziców (rys. 3.3.4) zgodnie z następującą regułą*[ ] ( )l k k j
i i i igen gen gen genα= + − (3.3.5)
gdzie α jest liczbą losowaną z przedziału (0,1) , zaś rodzic k
tch jest nie gorszy od
rodzica j
tch , to znaczy, że funkcje przystosowania osobników pozostają w relacji
( ) ( )k j
t tF ch F ch≥ w przypadku zadania maksymalizacji i ( ) ( )j k
t tF ch F ch≥ dla zadania
minimalizacji. Operator krzyżowania heurystycznego wpływa na dokładność
znalezionego rozwiązania, zaś głównym jego zadaniem jest dostrojenie lokalne
i przeszukiwanie w obiecującym kierunku.
3.4 Metody selekcji
47
3.4 Metody selekcji
W etapie selekcji, z bieżącej populacji, wybierane zostają chromosomy o najlepszym
przystosowaniu. Wybór ten odbywa się w analogii do świata organizmów żywych, tzn.
największą szansę na udział w tworzeniu nowych osobników (reprodukcji) mają
chromosomy o największej wartości funkcji przystosowania. Podczas gdy w klasycznych
algorytmach genetycznych mechanizmem reprodukcji była tylko selekcja proporcjonalna,
to w przypadku algorytmów ewolucyjnych można wymienić dodatkowo selekcję
rangową czy turniejową, w przypadku których istnieje możliwość sterowania naporem
selekcyjnym.
Selekcja metodą koła ruletki
W metodzie tej prawdopodobieństwo ( )j
s tp ch przejścia osobnika
, 1,2,..., ; 1,2,...j
tch j N t= = do następnej generacji określa następujące wyrażenie
1
( )( )
( )
jj t
s t Nj
t
j
F chp ch
F ch=
=
∑(3.4.1)
gdzie ( )j
tF ch jest wartością funkcji przystosowania osobnika , 1,2,..., ; 1,2,...j
tch j N t= =
Interpretacją graficzną tej metody jest koło, które podzielone zostało na części (wycinki
kołowe) w liczbie równej ilości chromosomów w populacji N. Przy czym wielkości
poszczególnych pól odpowiadają wprost prawdopodobieństwom wylosowania
poszczególnych osobników do następnej generacji. W związku z tym oczywistym jest
fakt, że im funkcja przystosowania, a tym samym im prawdopodobieństwo selekcji, jest
większe, tym większe jest pole wycinka kołowego. Losowanie osobnika do etapu
reprodukcji odpowiada w tej metodzie pojedynczemu zakręceniu kołem, stąd też
pochodzi nazwa - metoda koła ruletki.
Selekcja rangowa
Metoda selekcji rangowej polega na posortowaniu osobników według wartości funkcji
przystosowania, a następnie przypisaniu im wartości rangi (prawdopodobieństwa
przetrwania) na podstawie miejsca w populacji, według wzoru
(1 )ir α= − (3.4.2)
gdzie i - numer osobnika po sortowaniu (wartości i=1 odpowiada osobnik o największej
wartości funkcji przystosowania), α - współczynnik naporu selekcji.
3.4 Metody selekcji
48
Współczynnik naporu selekcji może zmieniać się w zakresie [0, 1). Im większa
wartość α tym mniejsza szansa na znalezienie się w populacji potomnej osobników
o mniejszej wartości funkcji przystosowania. Po przypisaniu wartości rangi, wszystkim
osobnikom populacji, następuje przejście do etapu losowania osobników w celu
utworzenia nowej populacji, przy czym największe prawdopodobieństwo przetrwania
mają osobniki o największych wartościach funkcji rangi. W wyniku losowania
w populacji potomnej mogą pojawić się kopie pojedynczego osobnika.
W porównaniu z innymi metodami, selekcja rangowa stwarza dużą szansę na
przetrwanie osobników o małej, w stosunku do najlepszych osobników, wartości funkcji
przystosowania. Jest to jej atut, gdyż istotne jest aby w procesie selekcji zachować
różnorodność osobników populacji. Metoda ta nie napotyka więc na konieczność
skalowania w związku z problemem przedwczesnej zbieżności, co może wystąpić przy
stosowaniu metody ruletki.
Selekcja turniejowa
Selekcja turniejowa jest metodą dwuetapową. W pierwszym jej etapie osobniki
dzielone są na pewną ilość podgrup. W etapie następnym w ramach podgrup
przeprowadzany jest turniej polegający na porównywaniu wartości funkcji
przystosowania. Zwycięzcy z poszczególnych podgrup wybierani są do następnej
generacji. Wybór najlepszego osobnika może być losowy lub deterministyczny. Ilość
podgrup oraz ich rozmiar może być liczbą dowolną. Najczęściej jednak liczba osobników
w podgrupach nie jest większa od czterech. Zaletą tej metody podobnie jak i metody
selekcji rankingowej jest możliwość stosowania jej zarówno w zadaniach maksymalizacji
jak i minimalizacji funkcji celu. Może ona także być stosowana do optymalizacji
wielokryterialnej.
Klonowanie
Operator klonowania polega na tworzeniu, w populacji rodzicielskiej, kopii
najlepszego osobnika z populacji poprzedniej, z zadanym prawdopodobieństwem. W
efekcie jego działania zwiększa się liczba najlepiej przystosowanych osobników w
populacji.
Metoda optymalizacji ewolucyjnej układów powierzchniowych
49
Rozdział 4
Metoda optymalizacji ewolucyjnej
układów powierzchniowych
4.1 Wprowadzenie
W niniejszej pracy opracowano nową metodę optymalizacji, umożliwiającą
równoczesną optymalizację kształtu, topologii, oraz własności materiałowych lub/i
grubości konstrukcji. Opracowaną metodę zastosowano dla układów powierzchniowych
(tj. tarcz, płyt i powłok). Obszar konstrukcji zostaje zdyskretyzowany na elementy
skończone, które mogą mieć różne wartości modułów Younga lub/i grubości. W trakcie
procesu optymalizacji część elementów skończonych może zostać wyeliminowana, w
wyniku czego następuje zmiana brzegu zewnętrznego (optymalizacja kształtu) oraz
powstawanie otworów (generacja brzegów wewnętrznych – optymalizacja topologiczna).
Podczas procesu optymalizacji następuje ponadto zmiana modułów Younga lub/i
grubości poszczególnych elementów skończonych układu w wyniku czego modyfikacji
ulega rozkład materiału w konstrukcji, jak i jej własności materiałowe (optymalizacja
własności materiałowych). W związku z wykorzystaniem dyskretnej reprezentacji
obszaru konstrukcji, jako nieodzowne narzędzie analizy wytrzymałościowej, zastosowano
metodę elementów skończonych.
4.1 Wprowadzenie
50
Opracowane podejście cechuje ponadto zastosowanie algorytmu ewolucyjnego, jako
narzędzia optymalizacji pracującego, nie na binarnej, lecz na rzeczywistej
zmiennopozycyjnej reprezentacji zmiennych projektowych. Dzięki temu ujęciu
optymalizowany jest nie tylko rozkład materiału wewnątrz konstrukcji i na jej brzegu, ale
i parametry związane z przyjętymi zmiennymi projektowymi (moduły Younga lub/i
grubość). Zastosowanie algorytmu ewolucyjnego daje ponadto w efekcie wysokie
prawdopodobieństwo znalezienia optimum globalnego rozważanej funkcji
przystosowania.
4.2 Idea metody optymalizacji
51
4.2 Idea metody optymalizacji
Rozważamy układ powierzchniowy (tarczę, płytę lub powłokę) opisany w przestrzeni
euklidesowej dwu lub trój-wymiarowej, który na początku procesu ewolucyjnego zajmuje
obszar 0 (w , 2 lub 3)dE dΩ = i ograniczony jest brzegiem 0Γ . Wykonany jest z
jednorodnego materiału izotropowego o module Younga 0E i współczynniku Poissona
ν . Grubość układu jest także stała na początku procesu ewolucyjnego i wynosi 0g . Dla
układu tego rozważane jest zdanie statyczne teorii sprężystości.
Obszar ciała tΩ , jego brzeg tΓ oraz wartości modułów Younga ( ) , t tE E= ∈Ωx x ,
lub/i wartości grubości ( ) , t tg g= ∈Ωx x , mogą się zmieniać w każdej generacji procesu
ewolucyjnego t 0 0(dla 0, , g )t E const const= = = , który prowadzi do optymalnego ich
rozkładu.
Układ powierzchniowy dyskretyzowany jest za pomocą elementów skończonych
według zasad przedstawionych w rozdziale 2. Każdy element skończony ma moduł
Younga Ee i grubość ge.
Początkowo dla rozwiązania problemu optymalizacji układu założono, że wartości
modułów Younga lub/i grubości na poszczególnych elementach skończonych
zdyskretyzowanego obszaru odpowiadają zmiennym projektowym zadania optymalizacji
[72]. W przypadku takiego założenia liczba parametrów optymalizacji jest równa liczbie
elementów skończonych na jaką podzielony zostanie obszar (odpowiednio 2 razy
większa). W zależności więc od życzenia konstruktora oraz złożoności geometrii
optymalizowanego układu liczba zmiennych projektowych może być rzędu dziesiątek,
setek lub nawet większa. Takie podejście dawało w efekcie znaczną długość
chromosomów, co w wypadku większej komplikacji zadania (duża ilość elementów
skończonych) stwarzało konieczność operowania na sporych populacjach i wiązało się z
długim czasem optymalizacji. Dlatego też zrezygnowano z tego podejścia.
O wiele bardziej efektywne okazało się wprowadzenie funkcji opisującej rozkład
modułów Younga lub grubości (odpowiednio funkcji opisujących rozkład modułów
Younga i grubości) na elementach skończonych układu. W przypadku tego podejścia
zmiennym projektowym przypisano wartości funkcji interpolacyjnej (odpowiednio
wartości funkcji interpolacyjnych) w odpowiednio rozmieszczonych punktach
kontrolnych (węzłach interpolacji) na powierzchni zdyskretyzowanego obszaru (rys.
4.1.1). Dzięki temu liczbę zmiennych projektowych zmniejszono do liczby punktów
kontrolnych powierzchni interpolacyjnej (odpowiednio powierzchni interpolacyjnych).
4.2 Idea metody optymalizacji
52
Podstawiając zaś współrzędne środków ciężkości elementów skończonych tarczy do
równania funkcji interpolacyjnej (odpowiednio do równań funkcji interpolacyjnych)
można w łatwy sposób wyznaczyć, odpowiadające elementom, wartości modułów
Younga lub/i grubości. Trzeba tutaj podkreślić, że zmiennymi projektowymi nie są więc
wartości modułów Younga lub/i grubości na elementach, lecz wartości funkcji
interpolacyjnej (odpowiednio funkcji interpolacyjnych) w punktach kontrolnych (węzłach
interpolacji), za pomocą której (odpowiednio których), dopiero w kolejnym kroku,
wyznacza się moduły Younga lub/i grubości elementów.
W niniejszej pracy zastosowane zostało więc podejście polegające na tym, że
rozmieszczenie modułów Younga ( ) , t tE E= ∈Ωx x , lub/i grubości ( ) , t tg g= ∈Ωx x ,
opisuje powierzchnia interpolacyjna 2( ), , ( , )W H x y∈ =x x x (odpowiednio
powierzchnie interpolacyjne 2( ) i ( ), , ( , )E gW W H x y∈ =x x x x ) dla struktur 2-D - tarcza
i płyta, oraz hiperpowierzchnia interpolacyjna 3( ), , ( , , )W H x y z∈ =x x x (odpowiednio
hiperpowierzchnie interpolacyjne 3( ) i ( ), , ( , , )E gW W H x y z∈ =x x x x ) dla struktur 3-D -
powłoka. Wprowadzona powierzchnia (hiperpowierzchnia) ( )W x (odpowiednio
powierzchnie (hiperpowierzchnie) ( ) i ( )E gW Wx x ) jest opisana (odpowiednio są
opisane) w przestrzeni euklidesowej, odpowiednio dwu lub trójwymiarowej
, (d=2,3)d dH E⊂ , a obszar tΩ jest zawarty w dH , tj. t dHΩ ⊆ . Kształt powierzchni
(hiperpowierzchni) interpolacyjnej ( )W x (odpowiednio powierzchni (hiperpowierzchni)
interpolacyjnych ( ) i ( )E gW Wx x ) jest determinowany przez zmienne projektowe (geny).
4.2 Idea metody optymalizacji
53
Rys. 4.1.1: Idea metody optymalizacji
4.3 Odwzorowanie chromosomu na dyskretny obszar konstrukcji
54
4.3 Odwzorowanie chromosomu na dyskretny
obszar konstrukcji
Zdyskretyzowana reprezentacja obszaru konstrukcji pozwala na naturalne, pośrednie
przejście pomiędzy chromosomem (wektorem zmiennych projektowych), a postacią
konstrukcji (rozmieszczeniem materiału i otworów). Pośrednikiem w tym odwzorowaniu
jest kształt powierzchni (hiperpowierzchni) interpolacyjnej.
Kształt powierzchni (hiperpowierzchni) interpolacyjnej ( )W x determinowany jest
przez geny , 1,2,..., ; j 1,2,...,j j
i igen h i n N= = = , które tworzą chromosom
1 2, ,..., ,...,j j j j j
i i nch h h h h⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (4.3.1)
Geny są wartościami funkcji ( )W x w węzłach interpolacyjnych ix , tj.
( ) , 1,2,...,j
i ih W i n= =x (4.3.2)
Na wartości genów nałożone są następujące ograniczenia
min max[ ] [ ]j j j
i i ih h h≤ ≤ (4.3.3)
gdzie min[ ]j
ih - minimalna wartość genu (zmiennej projektowej), max[ ]j
ih - maksymalna
wartość genu.
Przypisywanie wartości modułów Younga lub grubości poszczególnym elementom
skończonym zdyskretyzowanego obszaru odbywa się odpowiednio poprzez
odwzorowania
( ), , 1,2,...,e e e eE W e R= ∈Ω =x x (4.3.4)
( ), , 1,2,...,x xe e e eg W e R= ∈Ω = (4.3.5)
W związku z tym każdy element skończony może mieć różny materiał lub/i grubość.
Gdy wartość modułu Younga lub grubości dla e-tego elementu skończonego zawiera się
odpowiednio w :
• przedziale min0 eE E≤ < lub min0 eg g≤ < , element skończony jest eliminowany i
tworzony jest otwór,
• przedziale min maxeE E E≤ ≤ lub min maxeg g g≤ ≤ , element skończony pozostaje i
współtworzy konstrukcję, posiadając swoją określoną wartość materiałową lub
grubość (rys 4.3.2).
Otwór
EminEmax
<E , E >min max
0
< , >h hmin max
<0, E )min
Element
Zmienna projektowa
Rys. 4.3.2: Podział przedziału określoności zmiennej projektowej na podzbiory otworów i elementów
4.4 Sformułowanie zadania optymalizacji ewolucyjnej
55
4.4 Sformułowanie zadania optymalizacji
ewolucyjnej
Zagadnienie optymalizacji układów powierzchniowych zostało sformułowane jako
zagadnienie minimalizacji funkcjonału jakości J opisującego kryterium optymalizacji
względem zmiennych projektowych, które przedstawione są w postaci chromosomu
(4.3.1):
minch
J (4.4.1)
Takie zadanie jest zwykle zadaniem optymalizacji warunkowej, tzn. przeprowadzonej
w obecności ograniczeń nałożonych na objętość, naprężenia lub przemieszczenia układu.
Ponadto wprowadza się dodatkowe ograniczenia na zmienne projektowe w postaci
(4.3.3). Celem optymalizacji jest znalezienie optymalnego osobnika (chromosomu) który
minimalizując funkcjonał J, generuje optymalny kształt, topologię oraz rozkład modułów
Younga materiału lub/i rozkład grubości.
W niniejszej pracy rozważano różne zadania optymalizacji kształtu, topologii oraz
rozmieszczenia modułów Younga lub/i grubości w przypadku struktur zajmujących
obszar Ω , przy minimalizacji przyjętych funkcjonałów jakości oraz przy nałożonych
ograniczeniach. Wśród zadań tych można wyróżnić:
• zadanie minimalizacji funkcjonału naprężeniowego
( )J dψ σΩ
= Ω∫ (4.4.2)
gdzie ψ jest dowolną funkcją tensora naprężeń σ ,
przy ograniczeniu nałożonym na objętość ciała V ≡ Ω
maxV V≤ (4.4.3)
W pracy przyjęto:2redJ dσ
Ω
= Ω∫ (4.4.4)
gdzie redσ jest naprężeniem redukowanym obliczanym według hipotezy
wytężeniowej Hubera-Misesa.
• zadanie minimalizacji funkcjonału objętościowego
J dΩ
= Ω∫ (4.4.5)
przy ograniczeniu nałożonym na naprężenia redukowanemax( ) , red x xσ σ≤ ∈Ω (4.4.6)
4.4 Sformułowanie zadania optymalizacji ewolucyjnej
56
• zadanie minimalizacji funkcjonału przemieszczeniowego
( )J u dϕΩ
= Ω∫ (4.4.7)
gdzie ϕ jest dowolną funkcją przemieszczeń u wewnątrz obszaru Ω , przy
ograniczeniu nałożonym na objętość ciała V ≡ Ω
maxV V≤
oraz ograniczeniu nałożonym na naprężenia redukowane w strukturzemax( ) , red x xσ σ≤ ∈Ω
W pracy przyjęto:
2 2 2x y zJ u u u d
Ω
= + + Ω∫ (4.4.8)
gdzie wyrażenie 2 2 2x y zu u u+ + jest wypadkową liniowych przemieszczeń
węzłowych u w kierunkach x, y, z
• zadanie minimalizacji funkcjonału kosztów materiałowych
11
, k
m m
k k kkk
J c d== Ω
= Ω Ω = Ω∑ ∫ ∪ (4.4.9)
gdzie kc jest jednostkowym kosztem materiału zajmującego obszar kΩ , przy
ograniczeniu nałożonym na naprężenia redukowane max( ) , red x xσ σ≤ ∈Ω
Wartość funkcji przystosowania osobników, określana jest za pomocą jednego z
wymienionych wyżej funkcjonałów jakości, tzn.:
F J= (4.4.10)
Obliczanie wartości funkcjonału jakości związane jest z rozwiązaniem
bezpośredniego zadania brzegowego za pomocą metody elementów skończonych. Na
podstawie, otrzymanych w wyniku rozwiązania zadania brzegowego, wartości naprężeń,
przemieszczeń lub reakcji, sprawdza się czy dany osobnik populacji algorytmu
ewolucyjnego spełnia nałożone ograniczenia równościowe i nierównościowe.
Często ograniczenia uwzględnia się w minimalizowanym funkcjonale jakości,
stosując funkcję kary. Metoda ta polega na modyfikacji wartości funkcjonału poprzez
zwiększenie jego wartości w przypadku nie spełnienia nałożonych ograniczeń. W
opracowanej metodzie zastosowano funkcję kary w postaci kary śmierci, w wyniku
działania której osobniki nie spełniające ograniczeń zostają odrzucone.
4.4 Sformułowanie zadania optymalizacji ewolucyjnej
57
Główna część algorytmu ewolucyjnego, na którą składają się selekcja rangowa oraz
operatory ewolucyjne krzyżowania i mutacji, wywołana zostaje po obliczeniu wartości
funkcji przystosowania dla wszystkich chromosomów w populacji. Schemat blokowy
głównej części algorytmu ewolucyjnego przedstawia rys. 4.4.1.
selekcja rangowa
klonowanie
mutacja równomierna
mutacja brzegowa
krzyżowanie proste
krzyżowanie arytmetyczne
Rys. 4.5.1: Schemat blokowy głównej części algorytmu ewolucyjnego,
zastosowanego w pracy
W przypadku każdego algorytmu ewolucyjnego dużą trudność stanowi dobór
parametrów wejściowych, tj. rozmiaru populacji, naporu selekcji oraz
prawdopodobieństw operatorów. Wartości te mają wpływ na efektywność algorytmu.
Dodatkowe problemy związane są z trudnością oceny czasu oczekiwania na wynik i
stopniem zaufania do uzyskanego wyniku.
4.5 Przygotowanie obszaru konstrukcji do etapu analizy za pomocą MES
58
4.5 Przygotowanie obszaru konstrukcji
do etapu analizy za pomocą MES
4.5.1 Dyskretna reprezentacja konstrukcji
Obszar konstrukcji dyskretyzowany jest na trójwęzłowe trójkątne elementy skończone
, 1,2,...,e e RΩ = . W zależności od typu układu powierzchniowego elementy te mogą być
tarczowe, płytowe lub powłokowe. Przyjęcie trójkątnych elementów skończonych nie
ogranicza ogólności metody, a wykorzystanie elementów innych typów nie zmienia
żadnej z zasad metody i nie stwarza dodatkowych problemów, poza odpowiednią dla nich
adaptacją niektórych procedur. Każdy element skończony może mieć inny materiał lub/i
inną grubość, lub być w granicznym przypadku wyeliminowany, jeśli jego moduł Younga
Ee<Emin lub jego grubość ge<gmin. W tym granicznym przypadku w obszarze
zajmowanym przez taki element wygenerowany zostaje otwór. Rozmieszczenie materiału
i otworów wewnątrz i na brzegu obszaru determinuje kształt i topologię konstrukcji.
4.5.2 Analiza struktury odwzorowanej na podstawie chromosomu
Po odwzorowaniu chromosomu na obszar konstrukcji (rozdział 4.3), posiadający
właściwe dla swego charakteru (tarcza, płyta, powłoka) warunki brzegowe, otrzymana
struktura nie zawsze od razu nadaje się do analizy za pomocą metody elementów
skończonych. Dlatego też konieczna jest kontrola otrzymanej struktury siatki elementów
skończonych. W pierwszym etapie kontroli sprawdzane zostają elementy podporowe i
elementy, w których założono siły. Jeżeli w miejscach ich występowania kształt
powierzchni (hiperpowierzchni) interpolacyjnej spowodował wygenerowanie otworów,
wtedy tym elementom skończonym przypisuje się najczęściej minimalną wartość
parametru optymalizacji (modułu Younga lub/i grubości), przy której element istnieje.
Założono więc, że w miejscach istnienia podpór oraz sił elementy zawsze będą istnieć
(rys. 4.5.1).
4.5 Przygotowanie obszaru konstrukcji do etapu analizy za pomocą MES
59
Rys. 4.5.1: Warunek istnienia elementów konstrukcji
z warunkami brzegowymi
Jedyne odstępstwo od tej reguły może, a raczej musi zaistnieć, jeżeli ze względu na
symetrię konstrukcji rozważamy tylko pewną jej część. Przykłady takich konstrukcji
przedstawiono na rys. 4.5.2. Wtedy brzegowe warunki podporowe, odpowiadające
symetrii układu, mogą być eliminowane wraz z elementami, którym są przypisane.
b)
a)F F/2 F/2
F
F/4 F/4
Tarcza w płaskim stanie naprężenia
Z optymalizacja tylko 1/2 obszaru układu
e względu na symetrię,Przykładowe rozwiązanie
Zginana płyta
Z optymalizacja tylko 1/4 obszaru układu
e względu na symetrię, Przykładowe rozwiązanie
Warunki brzegowe przy uwzględnieniu symetrii
Eliminacja części elementów skończonych wraz z brzegowymi warunkami symetrii
Warunki brzegowe przy uwzględnieniu symetrii
Eliminacja części elementów skończonych wraz z brzegowymi warunkami symetrii
Rys. 4.5.2: Przykłady optymalizacji konstrukcji, dla których uwzględniono symetrię:
a) tarcza z jedną osią symetrii, b) płyta z dwiema osiami symetrii
4.5 Przygotowanie obszaru konstrukcji do etapu analizy za pomocą MES
60
Postać powierzchni (hiperpowierzchni) interpolacyjnej, determinowana przez
wartości genów, może przyjąć taki kształt, że odwzorowana na jej podstawie struktura, po
odpowiedniej kontroli, będzie musiała zostać odrzucona lub też będzie wymagała
zastosowania odpowiednich procedur „naprawy”. Może przykładowo dochodzić do
sytuacji, w której powierzchnia (hiperpowierzchnia) interpolacyjna uzyska kształt,
prowadzący do przerwania łączności pomiędzy elementami podporowymi, a elementami,
w których przyłożone zostały obciążenia. W takiej sytuacji wygenerowany układ
powierzchniowy jest mechanizmem. Konstrukcja taka nie może więc zostać przekazana
do kolejnego etapu statycznej analizy metodą elementów skończonych, w związku z
czym zostaje odrzucona. Przykłady struktur: poprawnej oraz błędnych obrazuje rys. 4.5.3.
a)
c)
b)
d)
Rys. 4.5.3: Konstrukcje, z punktu widzenia statycznej analizy MES:
a) poprawna, b),c),d) błędna - mechanizm
Konstrukcje, które nie tworzą mechanizmów są poddawane dalszej kontroli i
ewentualnej naprawie. Często zdarza się, że w wygenerowanej strukturze siatki
elementów skończonych istnieją elementy lub grupy elementów wolnych – takich które
nie są połączone z elementami podporowymi i nie są obciążone. Elementy takie ulegają
eliminacji ze struktury siatki elementów skończonych (rys. 4.5.4).
4.5 Przygotowanie obszaru konstrukcji do etapu analizy za pomocą MES
61
Elementy wolne, ulegające eliminacji
Rys. 4.5.4: Przykład elementów wolnych,
które ulegają eliminacji
Dalej omówione zostaną niektóre przypadki struktury siatki elementów skończonych,
osobno dla układów tarczowych oraz dla układów płytowych i powłokowych.
Analiza struktury układów tarczowych
W przypadku tarczy założono, że każde dwa elementy skończone muszą być
połączone przynajmniej w dwóch węzłach, aby nie zostały wyeliminowane. W związku z
tym elementy połączone tylko jednym węzłem ulegają eliminacji (rys. 4.5.5).
Elementy połączone tylko jednym węzłem, ulegające eliminacji
Rys. 4.5.5: Przykład elementu połączonego tylko jednym węzłem,
który ulega eliminacji
4.5 Przygotowanie obszaru konstrukcji do etapu analizy za pomocą MES
62
Elementy połączone tylko jednym węzłem nie mogą przenieść występujących w tych
miejscach momentów, prowadząc w ten sposób do powstawania konstrukcji, które nie są
w stanie przenieść założonych obciążeń. W przypadku tarcz, przy założonym sposobie
połączeń, istnieje możliwość układania się elementów w struktury o charakterze
łańcuchowym (grupa elementów połączona tylko narożami) (rys. 4.5.6).
Rys. 4.5.6: Przykład konstrukcji tarczowej,
z charakterystycznym połączeniem łańcuchowym
Takie połączenia usytuowane w odpowiednich miejscach wewnątrz konstrukcji
tarczowych mogą w znacznym stopniu przenosić obciążenia rozciągające, nie mają zaś
zdolności do przenoszenia obciążeń ściskających. Jensen znalazł optymalną strukturę
złożoną prawie zupełnie z połączeń łańcuchowych [49].
Analiza struktury układów płytowych i powłokowych
W przypadku płyty i powłoki założono, że każde dwa elementy skończone muszą być
połączone przynajmniej dwiema krawędziami, aby nie zostały wyeliminowane.
W związku z tym elementy połączone tylko jedną krawędzią ulegają eliminacji. Takie
założenie prowadzi do powstawania konstrukcji z większymi otworami i spójnym
rozkładem materiału (rys. 4.5.7 b). Jeżeli założymy możliwość połączenia tylko jedną
krawędzią, wtedy mogą powstawać struktury, mające w pewnych obszarach charakter
układów perforowanych (rys. 4.5.7 a). Założenia, odnośnie sposobu połączeń elementów
skończonych, mogą występować opcjonalnie w zależności od życzenia konstruktora.
4.5 Przygotowanie obszaru konstrukcji do etapu analizy za pomocą MES
63
a) b)
Rys. 4.5.7: Przykłady konstrukcji płytowych w przypadku:
a) założenia łączności elementów skończonych przynajmniej jednym brzegiem,
a) założenia łączności elementów skończonych przynajmniej dwoma brzegami
Przeprowadzenie opisanej analizy struktury siatki elementów skończonych gwarantuje
stabilność konstrukcji. Zapobiega powstawaniu rozwiązań, które mogłyby być
pozytywne, a z powodu istnienia pewnych nieprawidłowości struktury stają się błędne i
muszą zostać odrzucone.
W procesie analizy i naprawy struktury, modyfikacji ulega tylko siatka elementów
skończonych. W związku z tym postać chromosomu pozostaje niezmieniona, a zmianie
ulega tylko „status” elementów skończonych, który przechodzi z materiału na otwór, lub
z otworu na materiał. W wyniku analizy struktury odwzorowanej na podstawie
chromosomu, elementom, którym nadany został „status” – otwór, przypisywane zostają
zerowe wartości parametrów optymalizacji (modułów Younga lub/i grubości). Następnie
poprzez odpowiednie zmniejszenie liczby elementów i węzłów, związane z powstaniem
otworów, zmodyfikowana zostaje siatka elementów skończonych. Wiąże się to z
koniecznością powtórnego obliczenia objętości.
Dzięki temu etapowi, w analizie metodą elementów skończonych rozważana jest
zmodyfikowana konstrukcja o odpowiednio przygotowanej siatce. Poprzez zastosowanie
odpowiednich procedur analizy i modyfikacji siatki, znacznie wzrasta wydajność
optymalizacji. Dzięki temu wiele konstrukcji, które bez odpowiednich zmian okazałyby
się niedopuszczalne i nie byłyby w stanie przenieść zastosowanych wariantów obciążeń,
zostaje zmodyfikowanych do konstrukcji o bardzo dobrej ocenie (wartości funkcji
przystosowania).
4.6 Procedura dodatkowa, wspomagająca optymalizację topologiczną konstrukcji
64
4.6 Procedura dodatkowa, wspomagająca
optymalizację topologiczną konstrukcji
Idea rozważanej metody optymalizacji polega na wprowadzeniu powierzchni
interpolacyjnej, której postać determinuje kształt i topologię konstrukcji. Postać
powierzchni determinują z kolei geny chromosomu. W zadaniach optymalizacji
konstrukcji, przy ograniczeniu nałożonym na objętość maksymalną układu, powierzchnia
interpolacji powinna przyjmować taki kształt, aby za jej pośrednictwem wyeliminowana
została odpowiednia ilość materiału, umożliwiająca spełnienie przyjętego ograniczenia
objętościowego. Aby proces optymalizacji był wydajny ograniczenie to powinna spełniać
większa część osobników. Można jednak wyobrazić sobie sytuację, w której przy silnym
ograniczeniu na objętość, i przy wprowadzeniu populacji wielkości np. 100 osobników,
znaczna większość chromosomów nie spełnia przyjętego ograniczenia, a dodatkowo
wiele konstrukcji odwzorowanych na ich podstawie jest nieprawidłowych. Wynika to z
faktu, że przy silnym ograniczeniu objętościowym znacznie zmniejsza się
prawdopodobieństwo wylosowania chromosomu, mieszczącego się w zakresie zbioru
dopuszczalnych rozwiązań. Wtedy naturalną rzeczą jest spadek wydajności procesu
optymalizacji. W takich przypadkach nie wystarcza mechanizm eliminacji części
materiału, bazujący tylko na postaci powierzchni interpolacyjnej. Dlatego też
wprowadzono dodatkową procedurę wspomagającą optymalizację topologiczną
konstrukcji, mającą na celu sprowadzenie konstrukcji, odwzorowywanych na podstawie
chromosomów, w zakres ograniczenia na objętość.
Jeżeli objętość struktury jest większa od zadeklarowanej objętości maksymalnej,
wywoływana zostaje dodatkowa procedura optymalizacji (rys. 4.6.1). Pracuje ona na
obszarze zdyskretyzowanym. Polega na zmianie w otwory tych elementów skończonych,
dla których, wyznaczone dzięki analizie metodą elementów skończonych, wartości
naprężeń redukowanych, są mniejsze od przyjętej wartości minimalnej minσ . Procedura ta
działa iteracyjnie, przy zwiększaniu wartości naprężenia minimalnego o określoną
wartość przyrostu naprężenia p, aż do momentu sprowadzenia osobnika w zakres
ograniczenia na objętość. W każdej iteracji procedury, po zmianie określonej liczby
elementów skończonych w otwory, następuje etap przygotowania struktury siatki
elementów skończonych do analizy MES opisany w podrozdziale 4.6.
Wartości minσ i p są danymi wejściowymi. Od sposobu ich przyjmowania zależy
dokładność otrzymywanych rozwiązań, tzn. rozwiązania są tym dokładniejsze, im
wartości minσ i p są mniejsze. Wzrost dokładności pociąga jednak za sobą wydłużenie
czasu obliczeń. Przyjęcie odpowiednich wartości naprężenia minimalnego i przyrostu
4.6 Procedura dodatkowa, wspomagająca optymalizację topologiczną konstrukcji
65
naprężeń wymaga pewnego doświadczenia. Należy je dobrać tak, aby nie były zbyt duże
w stosunku do naprężeń panujących w strukturze, gdyż może to prowadzić do niszczenia
niektórych osobników. Procedura ta jest szczególnie przydatna przy optymalizacji
kształtu i topologii w zadaniach minimalizacji funkcjonału naprężeniowego przy
ograniczeniu objętościowym. Prowadzi ona do powstawania konstrukcji o bardziej
równomiernym wytężeniu w całym obszarze.
Sprawdzenie ograniczenia objętościowego
Zmiana w otwory tych elementów skończonych,
dla których
σ σred min<
Rozwiązanie zadania brzegowego za pomocą MES
σ σmin min = p+
TAK
KONIEC
NIEk=k+1
START
Przygotowanie struktury do etapu analizy za pomocą MES
Rys. 4.6.1: Procedura dodatkowa, wspomagająca optymalizację topologiczną
( minσ – naprężenie minimalne, p - przyrost naprężenia)
Dzięki zastosowaniu procedury osiągnięto:
• sprowadzenie większości niedopuszczalnych wcześniej osobników w zakres
ograniczenia na objętość,
• wzrost efektywności działania algorytmu, szczególnie w przypadku zadań
optymalizacji z silnym ograniczeniem objętościowym,
4.6 Procedura dodatkowa, wspomagająca optymalizację topologiczną konstrukcji
66
• wzrost efektywności działania algorytmu, w przypadku zadań optymalizacji, dla
których wprowadzono małą liczbę punktów kontrolnych powierzchni interpolacyjnej
(wtedy może nie istnieć taki kształt powierzchni interpolacyjnej, dla którego
odwzorowana na jego podstawie konstrukcja spełniałaby ograniczenia objętościowe i
była jednocześnie poprawna),
• optymalizację kształtu poprzez usuwanie materiału w miejscach występowania
elementów o małych wartościach wytężenia.
Działanie omawianej procedury zależy głównie od przyjętej wartości ograniczenia na
objętość. Mianowicie w momencie gdy:
• stosunek max/jV V (gdzie: maxV – objętość konstrukcji początkowej, którą
poddajemy procesowi optymalizacji, jV – objętość konstrukcji odwzorowanej na
podstawie j-tego chromosomu) jest bliski jedności - wtedy praktycznie cały ciężar
optymalizacji topologicznej (eliminacja odpowiedniej ilości materiału, stosownej do
warunku ograniczającego) spada na omawianą procedurę (rys. 4.6.2).
• stosunek max/jV V jest wiele mniejszy od jedności – wtedy o topologii układu, w
głównej mierze, decyduje postać powierzchni interpolacyjnej. Omawiana procedura
dokonuje zaś wygładzenia brzegu układu podejmując w ten sposób optymalizację
kształtu (rys. 4.6.3).
F F
b) c) Materiał wyeliminowany poprzez dodatkową procedurę
F
a) Materiał wyeliminowany poprzez funkcję interpolacyjną
Rys. 4.6.2: Przykład zastosowania dodatkowej procedury, wspomagającej optymalizację
topologiczną konstrukcji. a) Konstrukcja początkowa, którą poddajemy procesowi
optymalizacji. b) Optymalizowana konstrukcja po odwzorowaniu chromosomu.
c) Konstrukcja po zastosowaniu dodatkowej procedury, wspomagającej
optymalizację topologiczną
4.6 Procedura dodatkowa, wspomagająca optymalizację topologiczną konstrukcji
67
F F
a) b) c) Materiał wyeliminowany poprzez dodatkową procedurę
F
Materiał wyeliminowany poprzez funkcję interpolacyjną
Rys. 4.6.3: Przykład zastosowania dodatkowej procedury, wspomagającej optymalizację
topologiczną konstrukcji. a) Konstrukcja początkowa, którą poddajemy procesowi
optymalizacji. b) Optymalizowana konstrukcja po odwzorowaniu chromosomu.
c) Konstrukcja po zastosowaniu dodatkowej procedury, wspomagającej
optymalizację topologiczną
Opisaną procedurę, można stosować opcjonalnie. W sytuacjach, gdy punkty kontrolne
powierzchni (hiperpowierzchni) interpolacyjnej są rozmieszczone wystarczająco gęsto,
tak że w efekcie duża liczba konstrukcji odwzorowanych na podstawie chromosomów
należy do zbioru dopuszczalnego rozwiązań, zastosowanie dodatkowej procedury
optymalizacji nie jest konieczne. Wtedy procedurę można zastosować przy jednokrotnym
tylko jej przejściu i przy małej wartości minσ . Działanie takie umożliwia usuwanie
materiału słabo wytężonego i dodatkowe wygładzenie kształtu brzegu zewnętrznego i
brzegów wewnętrznych (otworów) konstrukcji.
4.7 Optymalizacja rozmieszczenia materiałów
68
4.7 Optymalizacja rozmieszczenia materiałów
Proces optymalizacji, bazujący na zastosowaniu powierzchni (hiperpowierzchni)
interpolacyjnej, pozwala na otrzymywanie optymalnych rozwiązań, w których każdy
element może mieć różne wartości modułów Younga (rys. 4.7.2 a). W praktyce jednak,
konstrukcje wykonywane są z określonej liczby materiałów. W związku z tym w
rozważanej metodzie optymalizacji wprowadzono możliwość znalezienia układu
optymalnego, składającego się z założonej liczby materiałów, reprezentowanych przez
dyskretne wartości modułów Younga. W tym celu zbiór wartości modułu Younga,
podzielono na określoną liczbę podzbiorów w ilości równej liczbie materiałów, z których
konstrukcja ma zostać wykonana (rys. 4.7.1). Każdemu podzbiorowi modułów Younga
przyporządkowuje się zastępcze wartości E, które reprezentują rzeczywiste materiały
konstrukcyjne (rys. 4.7.2). Procedura wprowadzenia konkretnych materiałów następuje
po wyznaczeniu wartości modułów Younga w elementach skończonych układu na
podstawie powierzchni interpolacyjnej.
E1 E2 E3
E1 E2 E3
Emin Emax
<E , E >min max
Rys: 4.7.1 Idea zastosowania trzech różnych materiałów
a) b)
Rys: 4.7.2 Przykład rozwiązania:
a) w przypadku którego każdy element ma różne wartości modułów Younga,
b) dla którego wprowadzono trzy różne materiały.
4.8 Procedury interpolacyjne
69
4.8 Procedury interpolacyjne
W niniejszej pracy zastosowano dwie różne procedury interpolacyjne: (i) procedurę
interpolacji funkcji dwóch zmiennych ( , )f x y dla przypadku optymalizacji układów
tarczowych oraz płytowych, (ii) procedurę interpolacji funkcji trzech zmiennych
( , , )f x y z w przypadku optymalizacji układów powłokowych.
4.8.1 Procedura interpolacji funkcji dwóch zmiennych
W przypadku zadań optymalizacji układów tarczowych i płytowych zastosowano
procedurę interpolacji funkcji dwóch zmiennych ( , )f x y [58], wyrażoną jako
przybliżenie zbioru wartości funkcji w węzłach
0 0 0 1 0 0
1 0 1 1 1 1
0 1
0 1
( , ), ( , ),..., ( , ),..., ( , )
( , ), ( , ),..., ( , ),..., ( , )
( , ), ( , ),..., ( , ),..., ( , )
( , ), ( , ),..., (
j n
j n
i i i j i n
n n n
x y x y x y x y
x y x y x y x y
x y x y x y x y
x y x y x
, ),..., ( , )j n ny x y
(4.8.1)
prostokątnego obszaru płaskiego, na który nałożono siatkę o krokach , x y∆ ∆ (rys 4.8.1).
∆x
∆y
x
y
(x, y)i j
Rys 4.8.1: Obszar interpolacji funkcji dwóch zmiennych ( , )f x y
4.8 Procedury interpolacyjne
70
Zakładamy dodatkowo, że
0 1
0 1
0, 1, ... , ,
y 0, y 1, ... ,n
n
x x x n
y n
= = =
= = =(4.8.2)
Dla ustalonej współrzędnej jy y= linię ( , )jF x y przybliżamy wielomianem
0
12
( , )
( , )( , ) [1, , ,..., ]
( , )
j
jn
j
n j
F x y
F x yW x y x x x
F x y
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
-1X
(4.8.3)
analogicznie
0
12
( , )
( , )( , ) [1, y, y ,..., ]
( , )
i
in
i
i n
F x y
F x yW x y y
F x y
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
-1Y
(4.8.4)
gdzie -1 -1X , Y - regularne macierze Lagrange’a dla węzłów 0,1,...,n .
Można dowieść, że
( , ) ([1, ,..., ] [1, ,..., ]) ( )n nW x y x x y y= ⊗ ⊗-1 -1X Y F (4.8.5)
gdzie
1 0 0
2 1 1
( , )
( , )
( , )n n n
F F x y
F F x y
F F x y
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
F
(4.8.6)
zaś wyrażenie ( )⊗-1 -1X Y jest iloczynem tensorowym (Kroneckera) macierzy -1 -1X , Y .
W niniejszej pracy stosowano opisaną procedurę w przypadku zadań optymalizacji, w
których przyjęto 16 punktów kontrolnych powierzchni interpolacyjnej (węzłów
interpolacji)
0 0 1
1 1 2
16 16 16
( , )
( , )
( , )
F x y h
F x y h
F x y h
=
=
=
(4.8.7)
gdzie 1 2 16, ,...,h h h są genami k-tego chromosomu populacji
1 2 16, ,...,kch h h h= (4.8.8)
4.8 Procedury interpolacyjne
71
W przypadku tak postawionego zadania przyjmujemy bazę2 3 2 3 2 3 2 3 2 2
2 2 2 3 3 3 3 2 3 3
[1, , , ] [1, , , ] [1, , , , , , , , , ,
, , , , , ]
x x x y y y y y y x xy xy xy x x y
x y x y x x y x y x y
= ⊗ =(4.8.9)
Macierze i X Y przyjmują postać2 3 1
1 0 0 0 0
1 1 1 1 1
1 2 4 8 2
1 3 9 27 3
x x x
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
X Y(4.8.10)
Po odwróceniu macierzy i X Y oraz wyznaczeniu macierzy będącej wynikiem iloczynu
Kroneckera macierzy do nich odwrotnych -1 -1X , Y , możemy zapisać wielomian
interpolacyjny w postaci
1
2
16
( , ) ( )
h
hW x y
h
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⊗⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
-1 -1Φ X Y
(4.8.11)
Po wymnożeniu wyrażenia, otrzymujemy2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 3 3 3 2 3 3 2 3 310 11 12 13 14 15 16
( , )W x y a a x a y a xy a x a y a xy a x y a x y
a x a y a xy a x y a x y a x y a x y
= + + + + + + + + +
+ + + + + + +(4.8.12)
gdzie współczynniki wielomianu 1 2 16, ,...,a a a wyznaczone zostają na podstawie
wyrażenia 1 2 16( )[ , ,..., ]Th h h⊗-1 -1X Y .
4.8 Procedury interpolacyjne
72
4.8.2 Procedura interpolacji funkcji trzech zmiennych
W przypadku zadań optymalizacji układów powłokowych, z uwagi na zakrzywioną
powierzchnię powłoki, zastosowano procedurę interpolacji funkcji trzech zmiennych
( , , )f x y z . Stwarza to pewne trudności, związane z koniecznością dostosowania
procedury interpolacyjnej, zarówno do liczby punktów kontrolnych, jak i do
rozmieszczenia ich w trójwymiarowej przestrzeni. Samo zagadnienie interpolacji wiąże
się w tym przypadku z funkcją (hiperpowierzchnią) 3( ), , ( , , )W H x y z∈ =x x x . W
związku z tymi trudnościami dla zagadnień optymalizacji powłok opracowano procedurę
interpolacji (tab. 4.8.1), bazującą na przestrzennej siatce elementów skończonych, a
ściślej rzecz biorąc, na analizie sąsiedztwa poszczególnych jej węzłów.
Tab. 4.8.1: Procedura interpolacji stosowana w zadaniach optymalizacji układów powłokowych
Wczytaj węzły i=1,2,...,W i elementy e=1,2,...,E
Dla i=1,2,...,W wczytaj wektor początkowy 0 0 0
1 2 wp , p ,..., p parametrów optymalizacjiDla k=0,1,2,...,K *k – krok iteracji*
Dla i=1,2,...,W *dla wszystkich węzłów*
=k+1 k
i ip p
Dla j=1,2,...,M *dla wszystkich węzłów sąsiednich i –tego węzła*oblicz max(pj)
oblicz min(pj)
oblicz pik+1
=1/2[max(pjk)+ min(pj
k)]
Dla c=1,2,...,C *dla wszystkich punktów kontrolnych* pc=hi *przepisywanie zmienionych wartości parametrów w punktach
kontrolnych, na wartości początkowe (wartości genów)*
4.8 Procedury interpolacyjne
73
Opracowana procedura interpolacji działa w sposób iteracyjny.
( ), 0,1,2,...,f k K= =k+1 kW W (4.8.13)
Jako przybliżenie początkowe, w kroku k=0, przyjęto wektor0 0 0 01 2[ , ,..., ,..., ], 1,2,...,i Wp p p p i W= =0W (4.8.14)
gdzie 0 , 1,2,...,ip i W= są początkowymi wartościami parametru optymalizacji w
poszczególnych węzłach siatki elementów skończonych, W jest całkowitą liczbą węzłów.
Wartości parametrów optymalizacji w punktach kontrolnych odpowiadają wartościom
genów , 1,2,...,ih i n= k-tego chromosomu populacji 1 2[ , ,..., ]k nch h h h= . Pozostałe
wartości wektora początkowego przyjęto, jako równe wartości odpowiadającej połowie
przedziału określoności zmiennej projektowej
min max1( )
2sr i ip h h= + (4.8.15)
Kolejne przybliżenia wektora parametrów optymalizacji1 1 1
1 2[ , ,..., ], 0,1,2,...,k k k
Wp p p k K+ + += =k+1W (4.8.16)
obliczane są według zależności
1 1[max( ) min( )], 1,2,...,
2k k k
i j jp p p j M+ = + = (4.8.17)
gdzie:
M - liczba sąsiadów , 1,2,...,jS j M= i-tego węzła , 1,2,...,iP i W= (rys. 4.8.2),
1k
ip + - wartość parametru optymalizacji w i-tym węźle, w kroku k+1,
k
jp - wartość parametru optymalizacji w j-tym węźle sąsiadującym z węzłem
i-tym, w kroku k-tym,
max( )k
jp - maksymalna wartość parametru optymalizacji w węzłach
sąsiadujących z węzłem i-tym, w kroku k-tym,
min( )k
jp - minimalna wartość parametru optymalizacji w węzłach sąsiadujących
z węzłem i-tym, w kroku k-tym.
Po obliczaniu kolejnych przybliżeń wektora parametrów optymalizacji konieczne jest
przepisywanie zmienionych wartości parametrów optymalizacji w punktach kontrolnych,
na ich wartości początkowe (wartości genów), determinujące postać hiperpowierzchni
interpolacyjnej.
4.8 Procedury interpolacyjne
74
Pi
S1
S2
Sj
SM
x
y
Rys. 4.8.2: Węzły Sj sąsiadujące z węzłem Pi
Wyrażenie (4.8.17) zapewnia zbieżność procesu iteracyjnego a tym samym efektywność
omówionej metody interpolacji. Poza przyjętym wyrażeniem (4.8.17) rozważano
zastosowanie następujących zależności
1
1
1 Mk k
i j
j
p pM
+
=
= ∑ (4.8.18)
1
1
1( , )( )
Mk k
i i j j
j
p w P S pM
+
=
= ∑ (4.8.19)
1
1
Mk k
Mi j
j
p p+
=
= ∏ (4.8.20)
1
1
( , )( )M
k kM
i i j j
j
p w P S p+
=
= ∏ (4.8.21)
( )1
1
1 1M
k kM
i j
j
p p+
=
− = −∏ (4.8.22)
( )1
1
1 ( , ) 1M
k kM
i i j j
j
p w P S p+
=
− = −∏ (4.8.23)
gdzie:
M - liczba sąsiadów , 1,2,...,jS j M= i-tego węzła , 1,2,...,iP i W= (rys. 4.8.2),
( , )i jw P S - funkcja wagi wpływu parametru sąsiada , 1,2,...,jS j M= na wartość
parametru optymalizacji w węźle , 1,2,...,iP i W= ,
1k
ip + - wartość parametru optymalizacji w i-tym węźle, w kroku k+1,
k
jp - wartość parametru optymalizacji w j-tym węźle sąsiadującym z węzłem
i-tym, w kroku k-tym.
4.8 Procedury interpolacyjne
75
Zależności te podobnie jak wyrażenie (4.8.17) zapewniają zbieżność procesu
iteracyjnego, jednak ich zastosowanie w przypadku rozważanych zadań optymalizacji
okazało się mniej korzystne niż zastosowanie wyrażenia (4.8.17).
Dzięki zastosowaniu opisanej procedury znacznie ułatwione zostało zadanie
optymalizacji układów powłokowych. Do zadania można wprowadzić dowolną liczbę
punktów kontrolnych, przypisanych do dowolnie wybranych węzłów siatki elementów
skończonych, a dokonywane zmiany w tym zakresie nie zmieniają postaci procedury
interpolacyjnej. Nie ma więc konieczności ingerencji w kod programu optymalizacji przy
wprowadzaniu dodatkowych punktów kontrolnych w wybranych miejscach przestrzeni
konstrukcji (tj. w węzłach siatki elementów skończonych). Procedura ta, może być
stosowana w przypadku interpolacji funkcji dwóch i trzech zmiennych. W związku z tym,
z powodzeniem można stosować ją także w przypadku zadań optymalizacji układów
tarczowych i płytowych.
4.9 Algorytm optymalizacji ewolucyjnej układów powierzchniowych
76
4.9 Algorytm optymalizacji ewolucyjnej
układów powierzchniowych
Algorytm optymalizacji ewolucyjnej układów powierzchniowych, przedstawiony na
rys. 4.9.1, rozpoczyna się od dyskretyzacji obszaru układu początkowego z założonymi
warunkami brzegowymi. Po dyskretyzacji utworzona zostaje losowa populacja startowa o
liczebności N, przy czym populację tą tworzą tylko osobniki należące do zbioru
dopuszczalnego rozwiązań. W związku z tym losowanie każdego osobnika trwa do
momentu wylosowania osobnika mieszczącego się w zbiorze dopuszczalnych rozwiązań,
a osobniki spoza dziedziny nie wchodzą w skład populacji startowej. Po utworzeniu
populacji startowej, następuje przejście do głównej pętli algorytmu ewolucyjnego,
wykonywanej dla każdego chromosomu z populacji. Główną pętlę algorytmu rozpoczyna
procedura interpolacji, działająca na bazie punktów kontrolnych, wprowadzonych na
powierzchni układu. Następnie w zależności od charakteru sformułowanego zadania
optymalizacji, następuje wyznaczenie modułów Younga lub/i grubości poszczególnych
elementów skończonych układu, na podstawie wprowadzonej wcześniej powierzchni
interpolacyjnej. Dalej, sprawdzony zostaje warunek ograniczenia na objętość. Jeżeli
warunek ten jest spełniony, konstrukcja przygotowana zostaje do etapu analizy za
pomocą MES i rozwiązane zostaje zadanie brzegowe. Jeżeli zaś warunek nie zostaje
spełniony, następuje przejście do dodatkowej procedury, wspomagającej optymalizację
topologiczną, której zadaniem jest sprowadzenie osobnika w zakres ograniczenia na
objętość. Podczas działania procedury, konstrukcja przygotowana zostaje do etapu
analizy za pomocą MES i rozwiązane zostaje zadanie brzegowe. Dalej po wyznaczeniu
potrzebnych wielkości (naprężeń, przemieszczeń, itp.), dla pojedynczego osobnika
obliczona zostaje wartość funkcji przystosowania. Po zakończeniu pracy głównej pętli
algorytmu i przeanalizowaniu wszystkich osobników z populacji, wywoływany zostaje
algorytm ewolucyjny i utworzona zostaje populacja potomna. Końcowym etapem jest
sprawdzenie warunku zakończenia obliczeń.
4.9 Algorytm optymalizacji ewolucyjnej układów powierzchniowych
77
Dyskretyzacja obszaru
Generacja populacji startowej
Interpolacja punktów kontrolnych powierzchnią modułów Younga
(lub grubości)
START
NIEt=t+1
Obliczenie wartości funkcji przystosowania
Operatory algorytmu ewolucyjnego
KONIEC
TAK
Rozwiązanie zadania
brzegowegoweg za pomocą MES
Procedura dodatkowa,
wspomagająca optymalizację topologiczną
TAK NIE
Sprawdzenie ograniczenia na objętość
Wyznaczenie modułów Younga(lub grubości)
na elementach skończonych układu
Warunek zakończenia obliczeń
Sprawdzenie ograniczeniana objętość
Zmiana w otwory tych elementów skończonych,
dla których
σ σred min<
Rozwiązanie zadania brzegowego za pomocą MES
σ σmin min = p+
TAK
KONIEC
NIEk=k+1
START
Przygotowanie struktury do etapu analizy za pomocą MES
selekcja rangowa
klonowanie
mutacja równomierna
mutacja brzegowa
krzyżowanie proste
krzyżowanie arytmetyczne
Wprowadzenie konkretnej liczby
materiałów
Kolejno dla wszystkich osobników populacji
Przygotowanie struktury do etapu analizy za pomocą
MES
Rys. 4.9.1: Schemat blokowy algorytmu optymalizacji układów powierzchniowych
4.9 Algorytm optymalizacji ewolucyjnej układów powierzchniowych
78
Przedstawiony algorytm dotyczy zadań optymalizacji kształtu, topologii, oraz
własności materiałowych (modułów Younga) lub/i grubości konstrukcji przy
minimalizacji funkcjonału naprężeniowego i ograniczeniu objętościowym. W przypadku
zadań, w których nie zamierzamy optymalizować kształtu i topologii układu lecz tylko
rozmieszczenie modułów Younga lub/i grubość, a także w przypadku zadań
optymalizacji kształtu, topologii i własności materiałowych lub/i grubości układu, przy
minimalizacji funkcjonału objętościowego i ograniczeniu naprężeniowym, algorytm ten
zostaje uproszczony do postaci przedstawionej na rys. 4.9.2. Uproszczenie to wynika z
faktu, iż tak sformułowane zadania optymalizacji nie wymagają zastosowania dodatkowej
procedury, wspomagającej optymalizację topologiczną.
Wprowadzenie konkretnej liczby materiałów
Dyskretyzacja obszaru
Generacja populacji startowej
Interpolacja punktów kontrolnych powierzchnią modułów Younga
(lub grubości)
START
NIEt=t+1
Obliczenie wartości funkcji przystosowania
KONIEC
TAK
Wyznaczenie modułów Younga(lub grubości)
na elementach skończonych układu
Warunek zakończenia obliczeń
selekcja rangowa
klonowanie
mutacja równomierna
mutacja brzegowa
krzyżowanie proste
krzyżowanie arytmetyczne
Kolejno dla wszystkich osobników populacji
Sprawdzenie ograniczenia na objętość
Przygotowanie struktury do etapu analizy za pomocą MES
Rozwiązanie zadania brzegowegoweg za pomocą MES
Operatory algorytmu ewolucyjnego
Rys. 4.9.2: Schemat blokowy uproszczonego algorytmu optymalizacji
układów powierzchniowych
4.9 Algorytm optymalizacji ewolucyjnej układów powierzchniowych
79
Dla zadań optymalizacji kształtu, topologii i własności materiałowych lub/i grubości
układu, przy minimalizacji funkcjonału objętościowego i ograniczeniu naprężeniowym,
można zastosować także algorytm z dodatkową procedurą optymalizacji topologicznej.
W tym jednak przypadku dodatkowa procedura powinna działać aż do momentu, w
którym objętość układu zmniejszy się do tego stopnia, że przekroczone zostanie
ograniczenie naprężeniowe lub konstrukcja ulegnie zniszczeniu. W tym momencie
procedura kończy swe działanie, zwracając poprawną strukturę z kroku poprzedniego. W
niniejszej pracy nie testowano jednak takiej postaci algorytmu w przypadku rozważanego
zadania optymalizacji, gdyż jego działanie wiąże się z koniecznością wielokrotnej analizy
za pomocą metody elementów skończonych, wykonywanej dla pojedynczego osobnika z
populacji (analiza za pomocą MES struktury powstającej podczas każdej iteracji
dodatkowej procedury). Daje to w efekcie długi czas obliczeń. W przypadku takich zadań
optymalizacji, lepsze jest zastosowanie algorytmu uproszczonego przy odpowiednio
gęstym rozmieszczeniu punktów kontrolnych powierzchni interpolacyjnej.
Opracowany algorytm można także zastosować dla zadań optymalizacji topologicznej
przy założeniu, że konstrukcja jest wykonana z jednego tylko materiału, lub przy
założeniu stałej grubości konstrukcji. W przypadku tak postawionych zadań po
wyznaczeniu wartości modułów Younga (odpowiednio grubości), na elementach
skończonych układu, na podstawie powierzchni interpolacyjnej, elementom skończonym
o modułach Younga z przedziału min maxeE E E≤ ≤ (odpowiednio o grubościach z
przedziału min maxeg g g≤ ≤ ), przyporządkowuje się przyjętą wartość modułu Younga Ep
(odpowiednio grubości gp) z tego przedziału (rys. 4.9.3). Następnie tak przygotowaną
strukturę elementów skończonych zbudowaną z jednego materiału (odpowiednio o stałej
grubości) poddaje się analizie MES-owskiej.
Otwór
EminEmax<E , E >min max0
< , >h hmin max
<0, E )min
Element
Zmienna projektowa
0
(<g , g >)min max(<0, g ))min (g )min
(g )max
Rys. 4.9.3: Podział przedziału określoności zmiennej projektowej na podzbiory otworów i elementów, którym przyporządkowano stałą wartość modułu Younga
(odpowiednio grubości)
4.10 Zastosowanie profesjonalnego oprogramowania w optymalizacji
80
4.10 Zastosowanie profesjonalnego
oprogramowania w optymalizacji
Ogromną zaletą opracowanej metody optymalizacji jest możliwość jej współpracy z
profesjonalnym i rozpowszechnionym oprogramowaniem inżynierskim. Potwierdzeniem
tego jest fakt, iż podczas optymalizacji przykładowych konstrukcji wykorzystywano
jedne z najbardziej profesjonalnych oprogramowań inżynierskich znanych na świecie,
zarówno w dziedzinie modelowania geometrii jak i analizy wytrzymałościowej
konstrukcji, tj. pakiety: CATIA oraz MSC PATRAN i MSC NASTRAN. W pakietach
CATIA oraz MSC PATRAN wykonywano powierzchniowy model geometryczny
rozważanej konstrukcji oraz uzyskiwano jej model dyskretny, tzn. siatkę elementów
skończonych. Profesjonalizm tych pakietów pozwala na otrzymywanie zamierzonej
postaci geometrycznej konstrukcji oraz siatki elementów skończonych o żądanej gęstości
w określonych jej podobszarach. Po uzyskaniu modelu dyskretnego konstrukcji, w celu
wprowadzenia warunków brzegowych oraz danych materiałowych stosowano aplikację
MSC PATRAN. Następnie tak przygotowaną konstrukcję poddawano optymalizacji przy
użyciu opracowanego algorytmu optymalizacji ewolucyjnej układów powierzchniowych.
Podczas pracy algorytmu optymalizacji, wielokrotnie dokonywano analizy
wytrzymałościowej konstrukcji, tj. rozwiązywano zadanie brzegowe, stosując do tego
celu pakiet MSC NASTRAN. W tym celu opracowano metodę wymiany danych
pomiędzy algorytmem optymalizacji a programem MSC NASTRAN [61], bazującą na
tworzeniu pliku danych wejściowych do tego oprogramowania o specyficznej budowie.
Biorąc pod uwagę powyższe fakty, można wnioskować, iż opracowany algorytm jest
narzędziem optymalizacji, które mogłoby zostać z powodzeniem zaimplementowane jako
jeden z modułów wspomnianych wcześniej profesjonalnych aplikacji.
Przykłady optymalizacji ewolucyjnej konstrukcji tarczowych
81
Rozdział 5
Przykłady optymalizacji ewolucyjnej
konstrukcji tarczowych
5.1 Optymalizacja wspornika tarczowego
Przykład dotyczy optymalizacji kształtu, topologii oraz rozmieszczenia trzech różnych
materiałów (tab. 5.1.1) (modułów Younga) w przypadku konstrukcji wspornika
tarczowego o parametrach zamieszczonych w tab. 5.1.2, o początkowej prostokątnej
geometrii. Rozważany przykład jest zadaniem minimalizacji funkcjonału naprężeniowego
(4.4.4) przy ograniczeniu nałożonym na objętość ciała (4.4.3). Układ obciążono siłą
skupioną Q, działającą w środku prawego brzegu wspornika i podparto utwierdzając lewy
jego brzeg (rys. 5.1.1).
b/2
b
a
Q
Rys. 5.1.1: Geometria wspornika tarczowego
z zaznaczonymi warunkami brzegowymi
5. Przykłady optymalizacji ewolucyjnej konstrukcji tarczowych
82
Tab. 5.1.1: Parametry materiałowe wspornika tarczowego
l.p. moduł Younga E współczynnik Poissona
materiał 1 70 000 MPa 0.34
materiał 2 150 000 MPa 0.32
materiał 3 200 000 MPa 0.30
Tab. 5.1.2: Parametry geometryczne
wspornika tarczowego i jego obciążenie
wymiar a 80 mm
wymiar b 50 mm
grubość wspornika 8 mm
obciążenie Q = 10 kN
W omawianym przykładzie zastosowano 16 zmiennych projektowych, a tym samym,
16 punktów kontrolnych powierzchni interpolacyjnej modułów Younga, przyjętych dla
geometrii układu, jak pokazuje rys. 5.1.2.
Ograniczenia nałożone na wartości genów oraz na objętość układu przedstawiono w tab.
5.1.3, zaś warunki istnienia lub eliminacji elementów skończonych, związane z
optymalizacją topologiczną, w tab. 5.1.4.
W tab. 5.1.5 zamieszczono parametry dodatkowej procedury wspomagającej
optymalizację topologiczną, w tab. 5.1.6 zakresy modułu Younga odpowiadające
wprowadzeniu konkretnych materiałów, zaś w tab. 5.1.7 informacje dotyczące budowy
siatki trójkątnych tarczowych elementów skończonych. Zadanie optymalizacji
rozwiązano za pomocą algorytmu optymalizacji ewolucyjnej układów powierzchniowych
o parametrach podanych w tab. 5.1.8.
Najlepsze rozwiązania uzyskane w pokoleniu startowym oraz w pokoleniu 50
przedstawiono na rys. 5.1.3. Dla tych rozwiązań zamieszczono mapy rozmieszczenia
materiałów (modułów Younga) oraz mapy naprężeń. Dla najlepszego rozwiązania z
ostatniej generacji algorytmu ewolucyjnego przedstawiono dodatkowo kształt
powierzchni interpolacyjnej opisującej rozkład modułów Younga w konstrukcji, z
zaznaczeniem kolorystycznym zróżnicowania jej wysokości na elementach skończonych
układu (rys. 5.1.4). Ponadto przedstawiono optymalną postać konstrukcyjna wspornika,
po wygładzeniu jego brzegu, z zaznaczeniem kolorystycznym rozmieszczenia trzech
wprowadzonych materiałów (rys. 5.1.5). Na rys. 5.1.6 przedstawiono historię funkcjonału
naprężeniowego dla najlepszych osobników w poszczególnych generacjach.
5. Przykłady optymalizacji ewolucyjnej konstrukcji tarczowych
83
b/3
a/3
Rys. 5.1.2: Rozmieszczenie punktów kontrolnych
powierzchni interpolacyjnej na geometrii wspornika
Tab. 5.1.3: Ograniczenia
Ograniczenie na zmienność wartości genów
geny minimum maksimum
1 ÷ 16 0.5 2.25
Ograniczenie na objętość
15 cm3
Tab. 5.1.4: Warunek istnienia lub eliminacji elementu
0.5 ≤ Ee < 0.75 eliminacja
0.75 ≤ Ee ≤ 2.25 istnienie
Tab. 5.1.5: Parametry procedury dodatkowej wspomagającej optymalizację topologiczną
naprężenie minimalne σmin = 60.0 MPa przyrost naprężenia p = 10.0 MPa
Tab. 5.1.6: Wprowadzenie trzech różnych materiałów
0.75 ≤ Ee < 1.25 materiał 1
1.25 ≤ Ee < 1.75 materiał 2
1.75≤ Ee ≤ 2.25 materiał 3
Tab. 5.1.7: Budowa siatki elementów skończonych
typ elementów skończonych liczba węzłów liczba elementów
trójkątne powłokowe
elementy skończone809 1 536
5. Przykłady optymalizacji ewolucyjnej konstrukcji tarczowych
84
Tab. 5.1.8: Parametry algorytmu ewolucyjnego
optymalizacji wspornika tarczowego
liczba genów osobnika 23
liczba pokoleń 50
liczba osobników w populacji 50
prawdopodobieństwo krzyżowania prostego 10%
prawdopodobieństwo krzyżowania arytmetycznego 10%
prawdopodobieństwo mutacji równomiernej 5%
prawdopodobieństwo mutacji brzegowej 5%
prawdopodobieństwo klonowania 2%
napór selekcji rangowej 0.2
Mapy rozmieszczenia materiałów Mapy naprężeń
a) b)
c) d)
Rys. 5.1.3: Wyniki optymalizacji wspornika tarczowego:
a, b) najlepsze rozwiązanie w pokoleniu startowym;
c, d) najlepsze rozwiązanie po zakończeniu optymalizacji
5. Przykłady optymalizacji ewolucyjnej konstrukcji tarczowych
85
Rys. 5.1.4: Postać powierzchni interpolacji modułów Younga dla najlepszego osobnika
w ostatniej generacji
Rys. 5.1.5: Optymalna postać konstrukcyjna wspornika po wygładzeniu jego brzegu
18282
1074310500
11500
12500
13500
14500
15500
16500
17500
18500
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49
generacja
fun
kcja
przy
sto
sow
an
ia
Rys. 5.1.6: Historia funkcji przystosowania dla najlepszych osobników
w poszczególnych generacjach
5. Przykłady optymalizacji ewolucyjnej konstrukcji tarczowych
86
5.2 Optymalizacja ramy rowerowej
Przykład dotyczy optymalizacji kształtu, topologii oraz rozmieszczenia trzech różnych
materiałów (tab. 5.2.1) (modułów Younga) w przypadku konstrukcji ramy rowerowej o
parametrach zamieszczonych w tab. 5.2.2. Rozważany przykład jest zadaniem
minimalizacji funkcjonału naprężeniowego (4.4.4) przy ograniczeniu nałożonym na
objętość ciała (4.4.3). Zarówno wymiary układu, jak i sposób obciążenia (układ
obciążono zestawem sił skupionych Q1 ÷ Q6) przyjęto stosownie dla osoby o wadze około
90 kg. Układ podparto stosownie do konstrukcji ramy rowerowej (rys. 5.2.1).
b
a
c
dQ1
Q2
Q3
Q4
Q1 Q5
Q6
Rys. 5.2.1: Geometria układu
z zaznaczonymi warunkami brzegowymi
Tab. 5.2.1: Parametry materiałowe
l.p. moduł Younga E współczynnik Poissona
materiał 1 70 000 MPa 0.34
materiał 2 150 000 MPa 0.32
materiał 3 200 000 MPa 0.30
Tab. 5.2.2: Parametry wspornika
wymiar a; b; c; d 900.0 mm; 610.0 mm; 440 mm; 300 mm
grubość 2.0 mm
obciążenieQ1=1.0 kN, Q2=0.15 kN, Q3=5.0 kN,
Q4=7.5 kN, Q5=0.10 kN, Q6=0.075 kN
5. Przykłady optymalizacji ewolucyjnej konstrukcji tarczowych
87
W omawianym przykładzie zastosowano 16 zmiennych projektowych, a tym samym,
16 punktów kontrolnych powierzchni interpolacyjnej modułów Younga, przyjętych dla
geometrii układu jak pokazuje rys. 5.2.2.
Ograniczenia nałożone na wartości genów oraz na objętość układu przedstawiono w tab.
5.2.3, zaś warunki istnienia lub eliminacji elementów skończonych, związane z
optymalizacją topologiczną, w tab. 5.2.4.
W tab. 5.2.5 zamieszczono parametry dodatkowej procedury wspomagającej
optymalizację topologiczną, w tab. 5.2.6 zakresy modułu Younga odpowiadające
wprowadzeniu konkretnych materiałów, zaś w tab. 5.2.7 informacje dotyczące budowy
siatki trójkątnych tarczowych elementów skończonych. Zadanie optymalizacji
rozwiązano za pomocą algorytmu optymalizacji ewolucyjnej układów powierzchniowych
o parametrach podanych w tab. 5.2.8.
Najlepsze rozwiązania uzyskane w pokoleniu startowym oraz w pokoleniu 50
przedstawiono na rys. 5.2.3. Dla tych rozwiązań zamieszczono mapy rozmieszczenia
materiałów (modułów Younga) oraz mapy naprężeń. Dla najlepszego rozwiązania z
ostatniej generacji algorytmu ewolucyjnego przedstawiono dodatkowo kształt
powierzchni interpolacyjnej opisującej rozkład modułów Younga w konstrukcji, z
zaznaczeniem kolorystycznym zróżnicowania jej wysokości (modułów Younga) na
elementach skończonych układu (rys. 5.2.4). Ponadto przedstawiono model ramy roweru
dla najlepszego rozwiązania, po wygładzeniu brzegu, z zaznaczeniem kolorystycznym
rozmieszczenia trzech wprowadzonych materiałów (rys. 5.2.5). Na rys. 5.2.6
przedstawiono historię zmian funkcjonału naprężeniowego dla najlepszych osobników w
poszczególnych generacjach.
b/3
a/3
Rys. 5.2.2: Rozmieszczenie punktów kontrolnych
powierzchni interpolacyjnej na geometrii układu, dla ramy rowerowej
5. Przykłady optymalizacji ewolucyjnej konstrukcji tarczowych
88
Tab. 5.2.3: Ograniczenia
Ograniczenie na zmienność wartości genów
geny minimum maksimum
1 ÷ 16 0.5 2.25
Ograniczenie na objętość
450.0 cm3
Tab. 5.2.4: Warunek istnienia lub eliminacji elementu
0.5 ≤ ge < 0.75 eliminacja
0.75 ≤ ge ≤ 2.25 istnienie
Tab. 5.2.5: Parametry procedury dodatkowej wspomagającej optymalizację topologiczną
naprężenie minimalne σmin = 3.0 MPa przyrost naprężenia p = 3.0 MPa
Tab. 5.2.6: Wprowadzenie trzech różnych materiałów
0.75 ≤ ge < 1.25 materiał 1
1.25 ≤ ge < 1.75 materiał 2
1.75≤ ge ≤ 2.25 materiał 3
Tab. 5.2.7: Budowa siatki elementów skończonych
typ elementów skończonych liczba węzłów liczba elementów
trójkątne powłokowe
elementy skończone809 1 536
Tab. 5.2.8: Parametry algorytmu ewolucyjnego optymalizacji ramy rowerowej
liczba genów osobnika 23
liczba pokoleń 50
liczba osobników w populacji 50
prawdopodobieństwo krzyżowania prostego 10%
prawdopodobieństwo krzyżowania arytmetycznego 10%
prawdopodobieństwo mutacji równomiernej 5%
prawdopodobieństwo mutacji brzegowej 5%
prawdopodobieństwo klonowania 2%
napór selekcji rangowej 0.2
5. Przykłady optymalizacji ewolucyjnej konstrukcji tarczowych
89
Mapy rozmieszczenia materiałów Mapy naprężeń
a) b)
c) d)
Rys. 5.2.3: Wyniki optymalizacji ramy rowerowej:
a, b) najlepsze rozwiązanie w pokoleniu startowym;
c, d) najlepsze rozwiązanie po zakończeniu optymalizacji;
5. Przykłady optymalizacji ewolucyjnej konstrukcji tarczowych
90
Rys. 5.2.4: Postać powierzchni interpolacji modułów Younga dla najlepszego osobnika
w ostatniej generacji
Rys. 5.2.5: Model roweru dla najlepszego osobnika w ostatniej generacji,
po wygładzeniu brzegu
2551
20892075
2125
2175
2225
2275
2325
2375
2425
2475
2525
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49
generacja
fun
kcja
przy
sto
sow
an
ia
Rys. 5.1.6: Historia funkcji przystosowania dla najlepszych osobników
w poszczególnych generacjach
Przykłady optymalizacji konstrukcji płytowych
91
Rozdział 6
Przykłady optymalizacji ewolucyjnej
konstrukcji płytowych
6.1 Optymalizacja płyty kwadratowej
Przykład dotyczy kwadratowej płyty, utwierdzonej na całym brzegu i obciążonej
siłami skupionymi Q1 ÷ Q5, jak pokazuje rys. 6.1.1. Dla ciała tego rozważano 5 różnych
zadań optymalizacji:
• zadanie 1 (płyta 1) – optymalizacja grubości płyty przy minimalizacji funkcjonału
naprężeniowego (4.4.4) i ograniczeniu objętościowym (4.4.3),
• zadanie 2 (płyta 2) – optymalizacja rozmieszczenia trzech różnych materiałów
(modułów Younga) w układzie, przy minimalizacji funkcjonału naprężeniowego
(4.4.4),
• zadanie 3 (płyta 3) – optymalizacja rozmieszczenia trzech różnych materiałów
(modułów Younga) w układzie, przy minimalizacji funkcjonału naprężeniowego
(4.4.4) i ograniczeniu objętościowym (4.4.3), oraz przy założeniu, że rozważane
materiały mają różne grubości,
• zadanie 4 (płyta 4) – optymalizacja kształtu, topologii oraz grubości płyty przy
minimalizacji funkcjonału objętościowego (4.4.5) i ograniczeniu naprężeniowym
(4.4.6),
• zadanie 5 (płyta 5) – optymalizacja kształtu, topologii oraz grubości płyty przy
minimalizacji funkcjonału naprężeniowego (4.4.4) i ograniczeniu objętościowym
(4.4.3).
6. Przykłady optymalizacji konstrukcji płytowych
92
Q1
Q2
Q3
Q5
a
bb
a
bb
Rys. 6.1.1: Geometria płyty kwadratowej
z warunkami brzegowymi
Zadania rozwiązano za pomocą algorytmu optymalizacji ewolucyjnej układów
powierzchniowych o parametrach podanych w tab. 6.1.1. W trakcie obliczeń metodą
elementów skończonych wykorzystano symetrię rozważanego układu, w związku z czym,
obliczenia wykonywano tylko dla jego ćwiartki. W omawianych przykładach
zastosowano 16 zmiennych projektowych, a tym samym 16 punktów kontrolnych
powierzchni interpolacyjnej, przyjętych dla ¼ geometrii układu (rys. 6.1.2).
a/2
a/2
Rys. 6.1.2: Rozmieszczenie punktów kontrolnych powierzchni interpolacyjnej
na ¼ części geometrii płyty kwadratowej
6. Przykłady optymalizacji konstrukcji płytowych
93
Tab. 6.1.1: Parametry algorytmu ewolucyjnego dla
zadania optymalizacji płyty kwadratowej
liczba genów osobnika 16
liczba osobników w populacji 100
prawdopodobieństwo krzyżowania prostego 10%
prawdopodobieństwo krzyżowania arytmetycznego 10%
prawdopodobieństwo mutacji równomiernej 5%
prawdopodobieństwo mutacji brzegowej 5%
prawdopodobieństwo klonowania 2%
napór selekcji rangowej 0.2
Dla każdego z rozważanych zadań optymalizacji (dla zadania 1, 2, 3, 4, 5) zestawiono
odpowiednio w tabelach 6.1.2, 6.1.3, 6.1.4, 6.1.5, 6.1.6 dane wejściowe, zaś na rysunkach
6.1.3, 6.1.4, 6.1.5, 6.1.6, 6.1.7, przedstawiono obrazowo wyniki rozwiązań. Dla
uzyskanych rozwiązań zamieszczono mapy grubości, mapy rozmieszczenia materiałów
oraz mapy naprężeń. Dla najlepszego osobnika z ostatniej generacji algorytmu
zamieszczono dodatkowo kształt powierzchni interpolacyjnej z zaznaczeniem
kolorystycznym zróżnicowania jej wysokości. Rysunki przedstawiono dla pełnej
geometrii układu. Dla każdego z zadań przedstawiono ponadto przebieg zmian funkcji
przystosowania najlepszego osobnika w pokoleniu w kolejnych generacjach algorytmu
ewolucyjnego (rys. 6.1.8, 6.1.9, 6.1.10, 6.1.11, 6.1.12).
Tab. 6.1.2: Dane wejściowe dla zadania optymalizacji płyty kwadratowej (płyta 1)
wymiary
a; b
zakres zmiany
grubości (wartości
genów 1 ÷ 16)
obciążenie
ograniczenie
na objętość
układu
moduł Younga;
współczynnik
Poissona
800.0 mm;
300.0 mm3.0 ÷ 15.0 mm
Q1=Q2=Q3=Q4=0.8 kN;
Q5=1.6 kN5 000 cm3 200 000 Mpa;
0.30
budowa siatki elementów skończonych dla ¼ geometrii układu
typ elementów skończonych liczba węzłów liczba elementów
trójkątne płytowe elementy skończone 462 840
6. Przykłady optymalizacji konstrukcji płytowych
94
Tab. 6.1.3: Dane wejściowe dla zadania optymalizacji płyty kwadratowej (płyta 2)
wymiary
a; b
grubość
płytyobciążenie
zakres zmiany modułu Younga E
(wartości genów 1 ÷ 16)
600.0 mm;
200.0 mm5.0 mm
Q1=Q2=Q3=Q4=0.8 kN;
Q5=1.6 kN0.75 ÷ 2.15 MPa
l.p. moduł Younga Ewspółczynnik
Poissonazakres istnienia materiału
naprężenie
dopuszczalne
materiał 1 70 000 MPa 0.34 0.75 ≤ Ee < 1.25 MPa 80.0 MPa
materiał 2 110 000 MPa 0.32 1.25 ≤ Ee < 1.75 MPa 150.0 MPa
materiał 3 200 000 MPa 0.30 1.75 ≤ Ee ≤ 2.25 MPa 200.0 MPa
budowa siatki elementów skończonych dla ¼ geometrii układu
typ elementów skończonych liczba węzłów liczba elementów
trójkątne płytowe elementy skończone 266 467
Tab. 6.1.4: Dane wejściowe dla zadania optymalizacji płyty kwadratowej (płyta 3)
wymiary
a; b
grubość
płytyobciążenie
ograniczenie
na objętość
zakres zmiany modułu Younga
(wartości genów 1 ÷ 16)
600.0 mm;
200.0 mm5.0 mm
Q1=Q2=Q3=Q4=0.8 kN;
Q5=1.6 kN4 000 cm3 0.75 ÷ 2.15 MPa
l.p. moduł Younga Ewspółczynnik
Poissona
zakres istnienia
materiaługrubość
materiał 1 70 000 MPa 0.34 0.75 ≤ Ee < 1.25 MPa 8.0 mm
materiał 2 110 000 MPa 0.32 1.25 ≤ Ee < 1.75 MPa 10.0 mm
materiał 3 200 000 MPa 0.30 1.75 ≤ Ee ≤ 2.25 MPa 12.0 mm
budowa siatki elementów skończonych dla ¼ geometrii układu
typ elementów skończonych liczba węzłów liczba elementów
trójkątne płytowe elementy skończone 322 573
6. Przykłady optymalizacji konstrukcji płytowych
95
Tab. 6.1.5: Dane wejściowe dla zadania optymalizacji płyty kwadratowej (płyta 4)
wymiary
a; bobciążenie
ograniczenie na
naprężenia
zakres zmiany
grubości (wartości
genów 1 ÷ 16)
naprężenie
minimalne
600.0 mm;
200.0 mm
Q1=Q2=Q3=Q4=0.6 kN;
Q5=1.2 kN100 MPa 3.0 ÷ 15.0 mm
σmin = 4.0
MPa
moduł Younga Ewspółczynnik
Poissona
zakres istnienia
elementu skończonego
zakres eliminacji
elementu skończonego
200 000 MPa 0.30 5.0 ≤ ge ≤ 15.0 mm 3.0 ≤ ge < 5.0 mm
budowa siatki elementów skończonych dla ¼ geometrii układu
typ elementów skończonych liczba węzłów liczba elementów
trójkątne płytowe elementy skończone 391 705
Tab. 6.1.6: Dane wejściowe dla zadania optymalizacji płyty kwadratowej (płyta 5)
wymiary
a; bobciążenie
ograniczenie na
objętość
zakres zmiany grubości
(wartości genów 1 ÷ 16)
600.0 mm;
200.0 mm
Q1=Q2=Q3=Q4=0.6 kN;
Q5=1.2 kN2 000 cm3 3.0 ÷ 15.0 mm
moduł Younga Ewspółczynnik
Poissona
zakres istnienia
elementu skończonego
zakres eliminacji
elementu skończonego
200 000 MPa 0.30 5.0 ≤ ge ≤ 15.0 mm 3.0 ≤ ge < 5.0 mm
parametry procedury wspomagającej optymalizację topologiczną
σmin = 3.0 MPa p = 3.0 MPa
budowa siatki elementów skończonych dla ¼ geometrii układu
typ elementów skończonych liczba węzłów liczba elementów
trójkątne płytowe elementy skończone 391 705
6. Przykłady optymalizacji konstrukcji płytowych
96
Mapy grubości Mapy naprężeń
min max min max
a) b)
c) d)
min max
Rys. 6.1.3: Wyniki dla zadania optymalizacji płyty 1:
a, b) najlepsze rozwiązanie w pokoleniu startowym;
c, d) najlepsze rozwiązanie po zakończeniu optymalizacji (pokolenie 330);
e) postać powierzchni interpolacji grubości dla najlepszego osobnika
w ostatniej generacji
6. Przykłady optymalizacji konstrukcji płytowych
97
Mapy rozmieszczenia materiałów Mapy naprężeń
min max min max
a) b)
c) d)
min max
Rys. 6.1.4: Wyniki dla zadania optymalizacji płyty 2:
a, b) najlepsze rozwiązanie w pokoleniu startowym;
c, d) najlepsze rozwiązanie po zakończeniu optymalizacji (pokolenie 100);
e) postać powierzchni interpolacji modułów Younga dla najlepszego osobnika
w ostatniej generacji
6. Przykłady optymalizacji konstrukcji płytowych
98
Mapy rozmieszczenia materiałów i grubości Mapy naprężeń
min max min max
a) b)
c) d)
min max
Rys. 6.1.5: Wyniki dla zadania optymalizacji płyty 3:
a, b) najlepsze rozwiązanie w pokoleniu startowym;
c, d) najlepsze rozwiązanie po zakończeniu optymalizacji (pokolenie 100);
e) postać powierzchni interpolacji modułów Younga dla najlepszego osobnika
w ostatniej generacji
6. Przykłady optymalizacji konstrukcji płytowych
99
Mapy grubości Mapy naprężeń
min max min max
a) b)
c) d)
min max
Rys. 6.1.6: Wyniki dla zadania optymalizacji płyty 4:
a, b) najlepsze rozwiązanie w pokoleniu startowym;
c, d) najlepsze rozwiązanie po zakończeniu optymalizacji (pokolenie 50);
e) postać powierzchni interpolacji grubości dla najlepszego osobnika w ostatniej
generacji (pola czarne oznaczają materiał wyeliminowany poprzez powierzchnię)
6. Przykłady optymalizacji konstrukcji płytowych
100
Mapy grubości Mapy naprężeń
min max min max
a) b)
c) d)
min max
e)
Rys. 6.1.7: Wyniki dla zadania optymalizacji płyty 5:
a, b) najlepsze rozwiązanie w pokoleniu startowym;
c, d) najlepsze rozwiązanie po zakończeniu optymalizacji (pokolenie 80);
e) postać powierzchni interpolacji grubości dla najlepszego osobnika w ostatniej
generacji (pola czarne oznaczają materiał wyeliminowany poprzez powierzchnię)
6. Przykłady optymalizacji konstrukcji płytowych
101
212
6158
78
98
118
138
158
178
198
1 21 41 61 81 101 121 141 161 181 201 221 241 261 281 301 321
generacja
fun
kcja
przy
sto
sow
an
ia
Rys. 6.1.8: Historia funkcji przystosowania najlepszych osobników w poszczególnych
generacjach dla zadania optymalizacji płyty 1
1644726
16131171612000
1617000
1622000
1627000
1632000
1637000
1642000
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 141 151 161 171 181 191
generacja
fun
kcja
przy
sto
sow
an
ia
Rys. 6.1.9: Historia funkcji przystosowania najlepszych osobników w poszczególnych
generacjach dla zadania optymalizacji płyty 2
6. Przykłady optymalizacji konstrukcji płytowych
102
134
174
133
138
143
148
153
158
163
168
173
1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96
generacja
fun
kcja
przy
sto
sow
an
ia
Rys. 6.1.10: Historia funkcji przystosowania najlepszych osobników w poszczególnych
generacjach dla zadania optymalizacji płyty 3
100149
374184
94000
144000
194000
244000
294000
344000
1 6 11 16 21 26 31 36 41 46generacja
fun
kcja
przy
sto
sow
an
ia
Rys. 6.1.11: Historia funkcji przystosowania najlepszych osobników w poszczególnych
generacjach dla zadania optymalizacji płyty 4
6. Przykłady optymalizacji konstrukcji płytowych
103
60
139
58
68
78
88
98
108
118
128
138
1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76generacja
fun
kcja
przy
sto
sow
an
ia
Rys. 6.1.12: Historia funkcji przystosowania najlepszych osobników w poszczególnych
generacjach dla zadania optymalizacji płyty 5
Obserwując otrzymane rozwiązania rozważanych zadań optymalizacji, można zauważyć,
że w procesie ewolucji występuje dążenie do wzmacniania układów w pewnych ich
podobszarach poprzez zwiększanie grubości lub umieszczanie w nich silniejszych
materiałów. Proces taki może wskazywać na sensowność zastosowania żeber w tych
podobszarach układów rzeczywistych. Spostrzeżenie to zobrazowano na rys. 6.1.1,
nanosząc na mapach rozwiązań stosowne układy żeber.
6. Przykłady optymalizacji konstrukcji płytowych
104
a) b)
c) d)
Rys. 6.1.1: Zastosowanie układów żeber w przypadku najlepszych rozwiązań z zadań:
a) 1, b) 3, c) 4, d) 5
6. Przykłady optymalizacji konstrukcji płytowych
105
6.2 Przykłady optymalizacji płyty prostokątnej
Przykład dotyczy płyty prostokątnej, utwierdzonej na całym brzegu i obciążonej
siłami skupionymi Q1 ÷ Q5, jak pokazuje rys. 6.2.1. Dla ciała tego rozważano 2 różne
zadania optymalizacji:
• zadanie 1 (płyta 6) – optymalizacja grubości oraz rozmieszczenia trzech różnych
materiałów (modułów Younga) w układzie, przy minimalizacji funkcjonału kosztów
materiałowych (4.4.9) i ograniczeniu naprężeniowym (4.4.6),
• zadanie 2 (płyta 7) – optymalizacja rozmieszczenia trzech różnych materiałów
(modułów Younga) w układzie, przy minimalizacji funkcjonału naprężeniowego
(4.4.4) i ograniczeniu objętościowym (4.4.3).
Q1
Q2
Q3
Q5
a
cc
b
dd
Rys. 6.2.1: Geometria płyty prostokątnej z warunkami brzegowymi
Zadania rozwiązano za pomocą algorytmu optymalizacji ewolucyjnej układów
powierzchniowych o parametrach podanych w tab. 6.2.1. W trakcie obliczeń metodą
elementów skończonych wykorzystano symetrię rozważanych układów, w związku z
czym, obliczenia wykonywano tylko dla jego ćwiartki. W zadaniu 1 zastosowano dwie
powierzchnie interpolacji, z których pierwsza opisuje rozkład modułów Younga w
układzie, zaś druga rozkład grubości. Dla każdej z powierzchni przyjęto 16 punktów
kontrolnych. W związku z tym w zadaniu zastosowano 32 zmienne projektowe przyjęte
dla ¼ geometrii układu. W zadaniu 2 zastosowano 16 zmiennych projektowych, a tym
samym 16 punktów kontrolnych powierzchni interpolacyjnej modułów Younga,
przyjętych podobnie jak w zadaniu 1, dla ¼ geometrii układu (rys. 6.2.2).
6. Przykłady optymalizacji konstrukcji płytowych
106
a/2
b/2
Rys. 6.2.2: Rozmieszczenie punktów kontrolnych
powierzchni interpolacyjnej na geometrii ¼ płyty prostokątnej
Tab. 6.2.1: Parametry algorytmu ewolucyjnego optymalizacji płyty prostokątnej
liczba genów osobnika 16
liczba osobników w populacji 100
prawdopodobieństwo krzyżowania prostego 10%
prawdopodobieństwo krzyżowania arytmetycznego 10%
prawdopodobieństwo mutacji równomiernej 5%
prawdopodobieństwo mutacji brzegowej 5%
prawdopodobieństwo klonowania 2%
napór selekcji rangowej 0.2
Dla każdego z rozważanych zadań optymalizacji (dla zadania 1, 2) zestawiono
odpowiednio w tabelach 6.2.2, 6.2.3, dane wejściowe, zaś na rysunkach 6.2.3, 6.2.4,
przedstawiono obrazowo wyniki rozwiązań. Dla uzyskanych rozwiązań zamieszczono
mapy grubości, mapy rozmieszczenia materiałów oraz mapy naprężeń. W przypadku
zadania 1, dla najlepszego osobnika z ostatniej generacji algorytmu przedstawiono
dodatkowo kształty powierzchni interpolacyjnych z zaznaczeniem kolorystycznym
zróżnicowania ich wysokości. Rysunki przedstawiono dla pełnej geometrii układu. Dla
każdego z zadań przedstawiono ponadto przebieg zmian funkcji przystosowania
najlepszego osobnika w pokoleniu w kolejnych generacjach algorytmu ewolucyjnego
(rys. 6.2.5, 6.2.6). W przypadku zadania 2 przedstawiono proces ewolucji najlepszego
osobnika w danej generacji na podstawie kilku wybranych pokoleń.
6. Przykłady optymalizacji konstrukcji płytowych
107
Tab. 6.2.2: Dane wejściowe dla zadania optymalizacji płyty prostokątnej (płyta 6)
wymiary
a; b; c; dobciążenie
zakres zmiany
modułu Younga
(wartości genów
1 ÷ 16)
zakres zmiany
grubości
(wartości genów
17 ÷ 32)
800.0 mm; 600.0 mm;
250.0 mm; 200.0 mm
Q1=Q2=Q3=Q4=2.4 kN;
Q5=4.8 kN0.75 ÷ 2.15 MPa 4.0 ÷ 10.0 mm
dane materiałowe
l.p. moduł Younga Ewspółczynnik
Poissona ν
zakres istnienia
materiału
naprężenie
dopuszczalne
materiał 1 70 000 MPa 0.34 0.75 ≤ Ee < 1.25 MPa 75.0 MPa
materiał 2 110 000 MPa 0.32 1.25 ≤ Ee < 1.75 MPa 150.0 MPa
materiał 3 200 000 MPa 0.30 1.75 ≤ Ee ≤ 2.25 MPa 300.0 MPa
dane dotyczące grubości
l.p. grubość zakres zmiany grubości
grubość 1 5.0 mm 4.0 ≤ ge < 6.0 mm
grubość 2 7.0 mm 6.0 ≤ ge < 8.0 mm
grubość 3 9.0 mm 8.0 ≤ ge ≤ 10.0 mm
koszty materiałów
materiału 1 materiału 2 materiału 3
0.1 0.2 0.3
budowa siatki elementów skończonych dla ¼ geometrii układu
typ elementów skończonych liczba węzłów liczba elementów
trójkątne płytowe elementy skończone 500 910
6. Przykłady optymalizacji konstrukcji płytowych
108
Tab. 6.2.3: Dane wejściowe dla zadania optymalizacji płyty prostokątnej (płyta 7)
wymiary
a; b; c; d
grubość
płytyobciążenie
zakres zmiany
modułu Younga
(wartości genów 1 ÷ 16)
ograniczenie
na objętość
800.0 mm; 600.0 mm;
250.0 mm; 200.0 mm
10.0
mm
Q1=Q2=Q3=Q4=0.6
kN; Q5=0.8 kN0.75 ÷ 2.15 MPa 10 000 cm3
l.p. moduł Younga E współczynnik Poissona ν zakres istnienia materiału
materiał 1 70 000 MPa 0.34 0.75 ≤ Ee < 1.25 MPa
materiał 2 110 000 MPa 0.32 1.25 ≤ Ee < 1.75 MPa
materiał 3 200 000 MPa 0.30 1.75 ≤ Ee ≤ 2.25 MPa
budowa siatki elementów skończonych dla ¼ geometrii układu
typ elementów skończonych liczba węzłów liczba elementów
trójkątne płytowe elementy skończone 410 733
parametry procedury wspomagającej optymalizację topologiczną
σmin = 3.0 MPa p = 3.0 MPa
6. Przykłady optymalizacji konstrukcji płytowych
109
Mapy rozmieszczenia materiałów Mapy grubości
min max min max
a) b)
c) d)
min max
e) f)
Rys. 6.2.3: Wyniki dla zadania optymalizacji płyty prostokątnej 6:
a, b) najlepsze rozwiązanie w pokoleniu startowym;
c, d) najlepsze rozwiązanie po zakończeniu optymalizacji (pokolenie 100);
Postacie powierzchni interpolacji dla najlepszego osobnika w ostatniej generacji:
e) powierzchnia rozkładu modułów Younga; f) powierzchnia rozkładu grubości
Obserwując mapę rozmieszczenia materiałów oraz mapę grubości dla najlepszego
osobnika z ostatniej generacji można zauważyć, że proces ewolucyjny dąży do
zwiększania grubości w układzie, w podobszarach, gdzie istnieje najtańszy materiał,
zwiększając tym samym wytrzymałość układu niskim kosztem.
6. Przykłady optymalizacji konstrukcji płytowych
110
Mapy rozmieszczenia materiałów Mapy naprężeń
min max min max
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
Rys. 6.2.4: Wyniki dla zadania optymalizacji płyty prostokątnej 7.
Ewolucja najlepszego osobnika na przykładzie wybranych pokoleń.
Najlepszy osobnik w pokoleniu: a, b) 1; c, d) 10; e, f) 20; g, h) 50
6. Przykłady optymalizacji konstrukcji płytowych
111
249058
108719105000
125000
145000
165000
185000
205000
225000
245000
1 51 101 151 201 251 301 351 401 451
generacja
fun
kcja
przy
sto
sow
an
ia
Rys. 7.1.8: Historia funkcji przystosowania najlepszych osobników
w poszczególnych generacjach dla zadania optymalizacji płyty 6
190
263
188
198
208
218
228
238
248
258
1 6 11 16 21 26 31 36 41 46
generacja
fun
kcja
przy
sto
sow
an
ia
Rys. 7.1.9: Historia funkcji przystosowania najlepszych osobników
w poszczególnych generacjach dla zadania optymalizacji płyty 7
Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych
112
Rozdział 7
Przykłady optymalizacji ewolucyjnej
konstrukcji powłokowych
7.1 Optymalizacja stojaka powłokowego
Przykład dotyczy stojaka powłokowego o cylindrycznej geometrii (rys. 7.1.1) (tab.
7.1.1), obciążonego siłą skupioną P oraz utwierdzonego na dolnym brzegu jak pokazuje
rys. 7.1.2. Dla ciała tego rozważano cztery różne zadania optymalizacji:
• zadanie 1 (powłoka 1) – optymalizacja grubości powłoki przy minimalizacji
funkcjonału naprężeniowego (4.4.4) i ograniczeniu objętościowym (4.4.3),
• zadanie 2 (powłoka 2) – optymalizacja rozmieszczenia trzech różnych materiałów
(modułów Younga) w układzie, przy minimalizacji funkcjonału naprężeniowego
(4.4.4) i ograniczeniu objętościowym (4.4.3), oraz przy założeniu, że rozważane
materiały mają różne grubości,
• zadanie 3 (powłoka 3) – optymalizacja kształtu, topologii oraz grubości powłoki przy
minimalizacji funkcjonału objętościowego (4.4.5) i ograniczeniu naprężeniowym
(4.4.6),
• zadanie 4 (powłoka 4) – optymalizacja kształtu, topologii oraz grubości powłoki przy
minimalizacji funkcjonału naprężeniowego (4.4.4) i ograniczeniu objętościowym
(4.4.3).
7. Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych
113
Rys. 7.1.1: Geometria stojaka powłokowego
Rys. 7.1.2: Sposób obciążenia i podparcia stojaka powłokowego
Tab. 7.1.1: Wymiary stojaka powłokowego
promień powierzchni cylindrycznej r 300 mm
promień powierzchni cylindrycznej l 600 mm
Zadania rozwiązano za pomocą algorytmu optymalizacji ewolucyjnej układów
powierzchniowych o parametrach podanych w tab. 7.1.2. W trakcie obliczeń metodą
elementów skończonych wykorzystano symetrię rozważanego układu, w związku z czym,
obliczenia wykonywano tylko dla jego ćwiartki. W celu wyznaczenia grubości lub
modułów Younga na poszczególnych elementach skończonych (tab. 7.1.3) ćwiartki
układu zastosowano procedurę interpolacji funkcji dwóch zmiennych, wyznaczając
początkowo szukane wartości dla siatki elementów skończonych, opisanej w rzucie
pionowym ćwiartki powłoki na płaszczyznę podstawy stojaka, a następnie dokonano
rzutowania siatki, z wyznaczonym wcześniej rozkładem grubości lub modułów Younga,
na powierzchnię cylindryczną rzeczywistego układu. W omawianym przykładzie
zastosowano 16 zmiennych projektowych, a tym samym 16 punktów kontrolnych
powierzchni interpolacyjnej, przyjętych dla rzutu ¼ geometrii układu (rys. 7.1.3).
7. Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych
114
l/2
l/2
Rys. 7.1.3: Rozmieszczenie punktów kontrolnych
powierzchni interpolacyjnej na rzucie ¼ stojaka powłokowego
Tab. 7.1.2: Parametry algorytmu ewolucyjnego optymalizacji stojaka powłokowego
liczba genów osobnika 16
liczba osobników w populacji 100
prawdopodobieństwo krzyżowania prostego 10%
prawdopodobieństwo krzyżowania arytmetycznego 10%
prawdopodobieństwo mutacji równomiernej 5%
prawdopodobieństwo mutacji brzegowej 5%
prawdopodobieństwo klonowania 2%
napór selekcji rangowej 0.2
Tab. 7.1.3: Budowa siatki elementów skończonych dla ¼ geometrii stojaka powłokowego
typ elementów skończonych liczba węzłów liczba elementów
trójkątne powłokowe
elementy skończone391 705
Dla każdego z rozważanych zadań optymalizacji (dla zadania 1, 2, 3, 4) zestawiono
odpowiednio w tabelach 7.1.4, 7.1.5, 7.1.6, 7.1.7 dane wejściowe, zaś na rysunkach 7.1.4,
7.1.5, 7.1.6, 7.1.7, przedstawiono obrazowo wyniki rozwiązań. Dla uzyskanych
rozwiązań zamieszczono mapy grubości, mapy rozmieszczenia materiałów oraz mapy
naprężeń. Dla najlepszego osobnika z ostatniej generacji algorytmu zamieszczono
dodatkowo kształt powierzchni interpolacyjnej z zaznaczeniem kolorystycznym
zróżnicowania jej wysokości. Rysunki przedstawiono dla pełnej geometrii układu. Dla
każdego z zadań przedstawiono przebieg zmian funkcji przystosowania najlepszego
osobnika w pokoleniu w kolejnych generacjach algorytmu ewolucyjnego (rys. 7.1.8,
7.1.9, 7.1.10, 7.1.11).
7. Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych
115
Tab. 7.1.4: Dane wejściowe dla zadania optymalizacji powłoki 1
obciążenie P 8.0 kN
moduł Younga E 200 000 MPa
współczynnik Poissona 0.30
zakres zmiany grubości (wartości genów) 3.0 ÷ 15.0
ograniczenie na objętość układu 5 000 cm3
Tab. 7.1.5: Dane wejściowe dla zadania optymalizacji powłoki 2
obciążenie Pograniczenie na objętość
układu
zakres zmiany modułów Younga
(wartości genów)
1.6 kN 5 000 cm3 0.75 ÷ 2.15 MPa
l.p. moduł Younga Ewspółczynnik
Poissonazakres istnienia materiału grubość
materiał 1 70 000 MPa 0.34 0.75 ≤ Ee < 1.25 MPa 8.0 mm
materiał 2 110 000 MPa 0.32 1.25 ≤ Ee < 1.75 MPa 10.0 mm
materiał 3 200 000 MPa 0.30 1.75 ≤ Ee ≤ 2.25 MPa 12.0 mm
Tab. 7.1.6: Dane wejściowe dla zadania optymalizacji powłoki 3
obciążenie P ograniczenie na naprężeniazakres zmiany grubości
(wartości genów)
8.0 kN 130 MPa 3.0 ÷ 15.0 mm
moduł
Younga E
współczynnik
Poissona
zakres istnienia
elementu
skończonego
zakres eliminacji
elementu skończonego
naprężenie
min. σmin
200 000 MPa 0.30 5.0 ≤ ge ≤ 15.0 mm 3.0 ≤ ge < 5.0 mm 1.0 MPa
Tab. 7.1.7: Dane wejściowe dla zadania optymalizacji powłoki 4
obciążenie Pograniczenie na objętość
układu
zakres zmiany grubości
(wartości genów)
12.0 kN 1 200 cm3 3.0 ÷ 15.0 mm
moduł Younga Ewspółczynnik
Poissona
zakres istnienia
elementu skończonego
zakres eliminacji
elementu skończonego
200 000 MPa 0.30 5.0 ≤ ge ≤ 15.0 mm 3.0 ≤ ge < 5.0 mm
parametry procedury wspomagającej optymalizację topologiczną
σmin = 3.0 MPa p = 2.0 MPa
7. Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych
116
Mapy grubości Mapy naprężeń
min max min max
a) b)
c) d)
min max
e)
Rys. 7.1.4: Wyniki dla zadania optymalizacji powłoki 1:
a, b) najlepsze rozwiązanie w pokoleniu startowym;
c, d) najlepsze rozwiązanie po zakończeniu optymalizacji (pokolenie 330);
e) postać powierzchni interpolacji grubości dla najlepszego osobnika
w ostatniej generacji
7. Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych
117
Mapy rozmieszczenia materiałów i grubości Mapy naprężeń
min max min max
a) b)
c) d)
min max
Rys. 7.1.5: Wyniki dla zadania optymalizacji powłoki 2:
a, b) najlepsze rozwiązanie w pokoleniu startowym;
c, d) najlepsze rozwiązanie po zakończeniu optymalizacji (pokolenie 100);
e) postać powierzchni interpolacji modułów Younga dla najlepszego osobnika
w ostatniej generacji
7. Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych
118
Mapy grubości Mapy naprężeń
min max min max
a) b)
c) d)
min max
e) f)
Rys. 7.1.6: Wyniki dla zadania optymalizacji powłoki 3:
a, b) najlepsze rozwiązanie w pokoleniu startowym;
c, d) najlepsze rozwiązanie po zakończeniu optymalizacji (pokolenie 410);
e) postać powierzchni interpolacji grubości dla najlepszego osobnika w ostatniej
generacji (pola czarne oznaczają materiał wyeliminowany poprzez powierzchnię)
f) geometria najlepszego osobnika w ostatniej generacji
7. Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych
119
Mapy grubości Mapy naprężeń
min max min max
a) b)
c) d)
min max
e) f)
Rys. 7.1.7: Wyniki dla zadania optymalizacji powłoki 4:
a, b) najlepsze rozwiązanie w pokoleniu startowym;
c, d) najlepsze rozwiązanie po zakończeniu optymalizacji (pokolenie 130);
e) postać powierzchni interpolacji grubości dla najlepszego osobnika w ostatniej
generacji (pola czarne oznaczają materiał wyeliminowany poprzez powierzchnię);
f) geometria najlepszego osobnika w ostatniej generacji
7. Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych
120
274
112110
130
150
170
190
210
230
250
270
1 41 81 121 161 201 241 281 321
generacja
fun
kcja
przy
sto
sow
an
ia
Rys. 7.1.8: Historia funkcji przystosowania najlepszych osobników w poszczególnych
generacjach dla zadania optymalizacji powłoki1
3194
23242300
2400
2500
2600
2700
2800
2900
3000
3100
3200
1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96
generacja
fun
kcja
przy
sto
sow
an
ia
Rys. 7.1.9: Historia funkcji przystosowania najlepszych osobników w poszczególnych
generacjach dla zadania optymalizacji powłoki2
7. Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych
121
580914
235834230000
280000
330000
380000
430000
480000
530000
580000
1 41 81 121 161 201 241 281 321 361 401
generacja
fun
kcja
przy
sto
sow
an
ia
Rys. 7.1.10: Historia funkcji przystosowania najlepszych osobników w poszczególnych
generacjach dla zadania optymalizacji powłoki 3
310000
662160
300000
350000
400000
450000
500000
550000
600000
650000
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121
generacja
fun
kcja
przy
sto
sow
an
ia
Rys. 7.1.11: Historia funkcji przystosowania najlepszych osobników w poszczególnych
generacjach dla zadania optymalizacji powłoki 4
7 Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych
122
7.2 Optymalizacja wspornika powłokowego
Przykład dotyczy optymalizacji kształtu, topologii oraz rozmieszczenia trzech różnych
materiałów (tab. 7.2.1) (modułów Younga) w przypadku wspornika powłokowego o
parametrach zamieszczonych w tab. 7.2.2, zbudowanego z trzech trójkątnych ścian (rys.
7.2.1). Rozważany przykład jest zadaniem minimalizacji funkcjonału naprężeniowego
(4.4.4) przy ograniczeniu nałożonym na objętość ciała (4.4.3). Układ obciążono
ciśnieniem 0c , działającym na górnej powierzchni wspornika i podparto utwierdzając
krawędzie tylnej jego ściany (rys. 7.2.2). Ze względu na postać geometrii układu oraz
wprowadzone warunki brzegowe, można w nim wyróżnić część przenoszącą obciążenia
właściwe dla płyty (górna ściana), oraz część przenoszącą obciążenia właściwe dla tarczy
(ściana środkowa – wspornik). Części te tworzą razem powłokę wzmocnioną
dodatkowym wspornikiem znajdującym się w płaszczyźnie symetrii układu.
a
b a
Rys. 7.2.1: Geometria wspornika powłokowego
Rys. 7.2.2: Sposób obciążenia i podparcia wspornika powłokowego
7 Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych
123
W omawianym przykładzie zastosowano 23 zmienne projektowe przyjęte dla połowy
geometrii układu, a następnie wykorzystując symetrię układu względem ściany
środkowej, wprowadzono pozostałe punkty kontrolne hiperpowierzchni interpolacyjnej,
którym stosownie do symetrii przypisano odpowiednie wartości zmiennych
projektowych. Postępowanie takie można było przeprowadzić dzięki uprzedniemu
przygotowaniu symetrycznej siatki elementów skończonych. W efekcie tego działania
otrzymano 35, opisanych na siatce elementów skończonych (tab. 7.2.6), punktów
kontrolnych powierzchni interpolacyjnej, przy 23 wartościach zmiennych projektowych
(rys. 7.2.3). Działanie takie jest korzystne ze względu na oszczędność liczby genów, oraz
możliwość otrzymywania rozwiązań tylko w postaci układów symetrycznych.
Rys. 7.2.3: Rozmieszczenie punktów kontrolnych hiperpowierzchni interpolacyjnej
dla wspornika powłokowego
Zadanie optymalizacji rozwiązano za pomocą algorytmu optymalizacji ewolucyjnej
układów powierzchniowych o parametrach podanych w tab. 7.2.7 i przy parametrach
procedury dodatkowej wspomagającej optymalizację topologiczną zestawionych w tab.
7.2.8.
Dokonano optymalizacji układu przy dwóch różnych warunkach ograniczenia na
objętość. Najlepsze rozwiązania uzyskane, przy nałożonych ograniczeniach (tab. 7.2.3,
7.2.4 i 7.2.5), w pokoleniu startowym oraz w pokoleniu 40, przedstawiono:
7 Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych
124
• na rys. 7.2.4, dla zadania optymalizacji układu przy łagodnym warunku
ograniczającym na objętość (wariant 1),
• na rys. 7.2.5, dla zadania optymalizacji układu przy silnym warunku ograniczającym
na objętość (wariant 2).
Dla uzyskanych rozwiązań zamieszczono mapy rozmieszczenia materiałów oraz mapy
naprężeń.
W przypadku wariantu drugiego otrzymano konstrukcję prętową, w której pręt
wspornikowy, uzyskany poprzez eliminację dużej ilości materiału ze ściany wspierającej
konstrukcję, wykonany jest z najsilniejszego materiału.
Na rys. 7.2.6 i 7.2.7 przedstawiono wykresy minimalizacji funkcjonału naprężeniowego
najlepszego osobnika, odpowiednio dla 1 i 2 wariantu optymalizacji.
Tab. 7.2.1: Parametry materiałowe wspornika powłokowego
l.p. moduł Younga E współczynnik Poissonanaprężenia
dopuszczalne
materiał 1 70 000 MPa 0.34 35.0 MPa
materiał 2 110 000 MPa 0.32 65.0 MPa
materiał 3 200 000 MPa 0.30 150.0 MPa
Tab. 7.2.2: Parametry wspornika powłokowego
wymiar a 100 mm
wymiar b 100 mm
grubość wspornika (poza obszarem optymalizacji) 5 mm
sposób obciążenia ciśnienie 0c = 0.567 MPa
Tab. 7.2.3: Ograniczenia
Ograniczenie na zmienność wartości genów
geny minimum maksimum
1 ÷ 23 0 2.2
Ograniczenie na objętość
zadanie 1 zadanie 2
95 cm3 73 cm3
7 Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych
125
Tab. 7.2.4: Warunek istnienia lub eliminacji elementu
0 ≤ Ee < 0.5 eliminacja
0.5 ≤ Ee < 2.2 istnienie
Tab. 7.2.5: Wprowadzenie trzech różnych materiałów
0.5 ≤ Ee < 0.9 materiał 1
0.9 ≤ Ee < 1.4 materiał 2
1.4 ≤ Ee ≤ 2.2 materiał 3
Tab. 7.2.6: Budowa siatki elementów skończonych
typ elementów skończonych liczba węzłów liczba elementów
trójkątne powłokowe
elementy skończone1 067 2 056
Tab. 7.2.7: Parametry algorytmu ewolucyjnego dla zadania
optymalizacji wspornika powłokowego
liczba genów osobnika 23
liczba pokoleń 40
liczba osobników w populacji 100
prawdopodobieństwo krzyżowania prostego 10%
prawdopodobieństwo krzyżowania arytmetycznego 10%
prawdopodobieństwo mutacji równomiernej 5%
prawdopodobieństwo mutacji brzegowej 5%
prawdopodobieństwo klonowania 2%
napór selekcji rangowej 0.2
Tab. 7.2.8: Parametry procedury dodatkowej wspomagającej optymalizację topologiczną
naprężenie minimalne σmin = 4.0 MPa przyrost naprężenia p = 4.0 MPa
7 Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych
126
Mapy rozmieszczenia materiałów Mapy naprężeń
min max min max
a) b)
c) d)
Rys. 7.2.4: Wyniki optymalizacji wspornika zderzaka samochodowego przy funkcjonale
naprężeniowym dla wariantu 1: a, b) najlepsze rozwiązanie w pokoleniu startowym, c, d)
najlepsze rozwiązanie po zakończeniu optymalizacji;
7 Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych
127
Mapy rozmieszczenia materiałów Mapy naprężeń
min max min max
a) b)
c) d)
Rys. 7.2.5: Wyniki optymalizacji wspornika zderzaka samochodowego przy funkcjonale
naprężeniowym dla wariantu 2: a, b) najlepsze rozwiązanie w pokoleniu startowym, c, d)
najlepsze rozwiązanie po zakończeniu optymalizacji;
7 Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych
128
53410000
3862570438400000
40400000
42400000
44400000
46400000
48400000
50400000
52400000
1 6 11 16 21 26 31 36generacja
fun
kcja
przy
sto
sow
an
ia
Rys. 7.2.6: Historia funkcji przystosowania najlepszych osobników w poszczególnych
generacjach dla wariantu 1 optymalizacji wspornika powłokowego
37156524
3002366229900000
30900000
31900000
32900000
33900000
34900000
35900000
36900000
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39generacja
fun
kcja
przy
sto
sow
an
ia
Rys. 7.2.7: Historia funkcji przystosowania najlepszych osobników w poszczególnych
generacjach dla wariantu 2 optymalizacji wspornika powłokowego
7. Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych
129
7.3 Optymalizacja wspornika
zderzaka samochodowego
W przykładzie tym przedstawiono zadanie optymalizacji grubości wspornika tylnego
zderzaka terenowego samochodu osobowego o geometrii przedstawionej na rys. 7.3.1.
Układ, którego parametry zestawiono w tab. 7.3.1 obciążono stałym ciśnieniem 0c na
całej powierzchni, w celu symulacji np. jazdy samochodu w głębokiej wodzie, i podparto
(utwierdzono) jak pokazuje rys. 7.3.2. Okazało się, że przy wprowadzonych warunkach
brzegowych, w układzie pojawiają się duże wartości naprężeń i przemieszczeń w strefie,
w której występuje otwór przeznaczony na hak holowniczy (rys. 7.3.3). W związku z
tym, rozważane zadanie polega na zwiększeniu sztywności układu oraz
zminimalizowaniu naprężeń w podatnej strefie, poprzez znalezienie dla niej optymalnego
rozkładu grubości. W tym celu rozwiązano dwa zadania optymalizacji wspornika:
• zadanie minimalizacji funkcjonału naprężeniowego (4.4.4),
• zadanie minimalizacji funkcjonału przemieszczeniowego (4.4.8).
W zadaniach tych nałożono ograniczenia na objętość układu (4.4.3) oraz na wartości
zmiennych projektowych (tab. 7.3.2).
Rys. 7.3.1: Geometria wspornika tylnego zderzaka samochodowego
Rys. 7.3.2: Sposób podparcia wspornika
7. Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych
130
a)
b)
Rys. 7.3.3: Mapy: a) naprężeń, b) przemieszczeń, wspornika
tylnego zderzaka terenowego samochodu osobowego
W przypadku obydwu zadań optymalizacji założono, że grubość w podatnej strefie
przyotworowej może zmieniać się w zakresie, który pozwala na swobodne zmontowanie
pozostałych części zderzaka oraz na ergonomię konstrukcji, w sensie możliwości nie
utrudnionego dotarcia do podzespołów haka holowniczego (tab. 7.3.2). Grubość
wspornika zderzaka poza rozważaną strefą jest stała (co wynika z projektu konstrukcji).
W związku z tym zadanie optymalizacji dotyczyło tylko części podatnej, w której
założono możliwość zmiany grubości, przy czym aby uwzględnić wpływ istniejącego
układu podpór, analizie metodą elementów skończonych poddano całą powłokę.
Dla tak postawionego zadania oraz złożonej geometrii układu utworzono stosowną
siatkę elementów skończonych, tzn. ze względu na dokładność uzyskanych wyników, w
strefie podatnej zastosowano znacznie gęstszą dyskretyzację niż w pozostałym obszarze
układu (tab. 7.3.3). Zachowano przy tym łagodne przejście z siatki rzadszej do gęstszej,
oraz wyróżniono obszar siatki, który odpowiada strefie podatnej geometrii (rys. 7.3.4).
Następnie w wyróżnionej części siatki elementów skończonych wprowadzono zbiór 31
punktów kontrolnych hiperpowierzchni interpolacyjnej.
7. Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych
131
a)
b)
Rys. 7.3.4: Zdyskretyzowana geometria wspornika zderzaka
a) Wyróżnienie siatki elementów skończonych w strefie podatnej
b) Łagodne przejście z siatki rzadszej do gęstszej
Rys. 7.3.5: Rozmieszczenie punktów kontrolnych hiperpowierzchni interpolacyjnej
dla wspornika zderzaka samochodowego
Zadanie optymalizacji rozwiązano za pomocą uproszczonego algorytmu optymalizacji
ewolucyjnej układów powierzchniowych o parametrach podanych w tab. 7.3.4.
Najlepsze rozwiązania uzyskane w pokoleniu startowym oraz w pokoleniu 70
przedstawia:
• rys. 7.3.6, dla zadania minimalizacji funkcjonału naprężeniowego (4.4.4),
• rys. 7.3.8, dla zadania minimalizacji funkcjonału przemieszczeniowego (4.4.8).
Dla tych rozwiązań zamieszczono mapy grubości oraz odpowiednio mapy naprężeń i
przemieszczeń. Na rys. 7.3.7 i 7.3.9 przedstawiono odpowiednio wykresy minimalizacji
funkcjonału naprężeniowego oraz przemieszczeniowego.
7. Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych
132
Tab. 7.3.1: Parametry powłoki wspornika zderzaka
materiałPolipropylen wzmacniany
włóknem szklanym
moduł Younga E 6 000 MPa
współczynnik Poissona 0.35
sposób obciążenia ciśnienie 0c = 0.02 MPa
grubość wspornika (poza obszarem optymalizacji) 3 mm
Tab. 7.3.2: Ograniczenia
Ograniczenie na zmienność wartości genów
geny minimum maksimum
1 ÷ 31 3 mm 8 mm
Ograniczenie na objętość
530 cm3
Tab. 7.3.3: Budowa siatki elementów skończonych
powierzchnie liczba węzłów liczba elementów
Powierzchnia obszaru poddanego optymalizacji 2 417 4 535
Powierzchnia poza obszarem optymalizacji 8 328 12 220
Razem 10 745 16 755
Tab. 7.3.4: Parametry algorytmu ewolucyjnego optymalizacji wspornika zderzaka
liczba genów osobnika 31
liczba pokoleń 70
liczba osobników w populacji 300
prawdopodobieństwo krzyżowania prostego 10%
prawdopodobieństwo krzyżowania arytmetycznego 10%
prawdopodobieństwo mutacji równomiernej 5%
prawdopodobieństwo mutacji brzegowej 5%
prawdopodobieństwo klonowania 2%
napór selekcji rangowej 0.2
7. Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych
133
min max
Mapy grubości Mapy naprężeń
a) b)
c) d)
Rys. 7.3.6: Wyniki optymalizacji wspornika zderzaka samochodowego przy funkcjonale
naprężeniowym: a, b) najlepsze rozwiązanie w pokoleniu startowym,
c, d) najlepsze rozwiązanie po zakończeniu optymalizacji
3441920
28896692880000
2980000
3080000
3180000
3280000
3380000
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69
generacja
fun
kcja
przy
sto
sow
an
ia
Rys. 7.3.7: Historia funkcji przystosowania najlepszych osobników w poszczególnych
generacjach dla zadania optymalizacji wspornika zderzaka samochodowego
przy minimalizacji funkcjonału naprężeniowego
7. Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych
134
min max
Mapy grubości Mapy przemieszczeń
a) b)
c) d)
Rys. 7.3.8: Wyniki optymalizacji wspornika zderzaka samochodowego przy funkcjonale
przemieszczeniowym: a, b) najlepsze rozwiązanie w pokoleniu startowym,
c, d) najlepsze rozwiązanie po zakończeniu optymalizacji
459
513
458
468
478
488
498
508
1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66generacja
fun
kcja
przy
sto
sow
an
ia
Rys. 7.3.9: Historia funkcji przystosowania najlepszych osobników w poszczególnych
generacjach dla zadania optymalizacji wspornika zderzaka samochodowego
przy minimalizacji funkcjonału przemieszczeniowego
7. Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych
135
7.4 Optymalizacja felgi samochodowej
Przykład ten przedstawia zadanie optymalizacji felgi samochodowej o geometrii
przedstawionej na rys. 7.4.1 oraz charakterystycznych wymiarach zamieszczonych w tab.
7.4.1, odnoszącej się do rys. 7.4.2. W geometrii układu można wyróżnić 3 powierzchnie
obrotowe, które połączone tworzą rozważaną powłokę, tj.:
• powierzchnię środkową felgi z otworami na śruby mocujące,
• powierzchnię obręczy felgi,
• powierzchnię łączącą dwie powierzchnie, wymienione wcześniej.
Ostatnią z nich (łącznik) poddano, w rozważanym przykładzie, zadaniu optymalizacji
kształtu, topologii oraz grubości przy minimalizacji funkcjonału naprężeniowego (4.4.4)
oraz ograniczeniu objętościowym (4.4.3). Dla powierzchni środkowej oraz obręczy felgi
przyjęto stałe grubości (tab. 7.4.1).
a) b)
Rys. 7.4.1: Optymalizowana felga samochodowa: a) cały układ, b) ¼ układu
Rys. 7.4.2: Charakterystyczne wymiary felgi samochodowej
7. Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych
136
Tab. 7.4.1: Charakterystyczne wymiary felgi samochodowej
średnica felgi 355.6 mm
szerokość obręczy 175 mm
średnica rozstawu kół LK 110 mm
średnica piasty 60 mm
grubość piasty felgi 30 mm
grubość obręczy felgi 8 mm
Rozważaną powłokę, wykonaną z aluminium (tab. 7.4.2) obciążono:
• siłą styczną do obręczy 0s , działającą na powierzchniach styku felgi z oponą (rys.
7.4.3a), pochodzącą od skręcania felgi. Siła ta osiąga największe wartości w
momencie startu (nagłe przyśpieszenie) oraz hamowania.
• ciśnieniem 0c działającym na obręczy felgi, pochodzącym od ciśnienia w oponie
(rys.7.4.3b).
Parametry powłoki zamieszczono w tab. 7.4.3.
Felgę podparto stosując:
• utwierdzenie wokół otworów przeznaczonych na śruby mocujące układ do piasty
koła (rys. 7.4.3a),
• podpory na powierzchni środkowej felgi, odbierające możliwość przemieszczeń felgi
wzdłuż kierunku, który wyznacza oś obrotu piasty koła i felgi (rys. 7.4.3b).
Przedstawione sposoby obciążenia oraz podparcia nie są wariantami obciążeń lecz
działają razem w optymalizowanym układzie powłokowym.
a) b)
Rys. 7.4.3: Warunki brzegowe wprowadzone w zadaniu optymalizacji felgi:
a) obciążenie siłą styczną do powierzchni styku felgi z oponą i utwierdzeniew obszarach
przyotworowych, b) obciążenie ciśnieniem obręczy felgi i podparcie powierzchni
środkowej w kierunku, który wyznacza oś obrotu felgi i piasty koła
7. Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych
137
Tab. 7.4.2: Parametry materiałowe felgi
materiał aluminium
moduł Younga E 70 000 MPa
współczynnik Poissona 0.34
Tab. 7.4.3: Parametry powłoki
siła styczna 0s 500 N
ciśnienie 0c 0.22 MPa
W omawianym przykładzie zastosowano 23 zmienne projektowe opisane w
pojedynczej ćwiartce felgi, a następnie wykorzystując symetrię układu względem osi
przechodzącej przez jego środek obrotu, wprowadzono pozostałe punkty kontrolne
hiperpowierzchni interpolacyjnej, którym stosownie do symetrii przypisano odpowiednie
wartości zmiennych projektowych. Postępowanie takie można było przeprowadzić dzięki
uprzedniemu przygotowaniu symetrycznej siatki elementów skończonych. W efekcie
tego działania otrzymano 86 punktów kontrolnych powierzchni interpolacyjnej, przy 23
wartościach zmiennych projektowych (rys. 7.4.4). Działanie takie jest nie tylko
pożyteczne z punktu widzenia oszczędności w liczbie genów, ale i celowe ze względu na
konieczność wyrównoważenia felgi.
Rys. 7.4.4: Rozmieszczenie punktów kontrolnych
hiperpowierzchni interpolacyjnej dla felgi
Ograniczenia nałożone na wartości genów oraz na objętość układu przedstawiono w tab.
7.4.4, zaś warunki istnienia lub eliminacji elementów skończonych, związane z
optymalizacją topologiczną, w tab. 7.4.5.
7. Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych
138
Tab. 7.4.4: Ograniczenia
Ograniczenie na zmienność wartości genów
geny minimum maksimum
1 ÷ 23 4 20
Ograniczenie na objętość
5 500 cm3
Tab. 7.4.5: Warunek istnienia lub eliminacji elementu skończonego
4 ≤ ge < 10 eliminacja
10 ≤ ge ≤ 20 istnienie
W tab. 7.4.6 zamieszczono informacje dotyczące budowy siatki trójkątnych
powłokowych elementów skończonych, którą charakteryzuje wzrost gęstości na
powierzchni optymalizowanej (rys. 7.4.5), motywowany wzrostem dokładności wyników
w tej strefie przy zachowaniu zasady łagodnego przejścia z obszaru o gęstszej siatce do
obszaru o rzadszej siatce.
Rys. 7.4.5: Siatka elementów skończonych dla felgi
Tab. 7.4.6: Budowa siatki elementów skończonych
powierzchnie liczba węzłów liczba elementów
powierzchnia piasty 204 316
powierzchnia obręczy 1 688 3 184
powierzchnia łącznika 1 356 2 888
Razem 3 248 6 388
7. Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych
139
Zadanie optymalizacji rozwiązano za pomocą uproszczonego algorytmu optymalizacji
ewolucyjnej układów powierzchniowych o parametrach podanych w tab. 7.4.7.
Najlepsze rozwiązania uzyskane w pokoleniu startowym oraz w pokoleniu 30
przedstawiono na rys. 7.4.6. Dla tych rozwiązań zamieszczono mapy grubości oraz mapy
naprężeń. Na rys. 7.4.7 przedstawiono wykres minimalizacji funkcjonału
naprężeniowego.
Tab. 7.4.7: Parametry algorytmu ewolucyjnego optymalizacji felgi
liczba genów osobnika 23
liczba osobników w populacji 100
prawdopodobieństwo krzyżowania prostego 10%
prawdopodobieństwo krzyżowania arytmetycznego 10%
prawdopodobieństwo mutacji równomiernej 5%
prawdopodobieństwo mutacji brzegowej 5%
prawdopodobieństwo klonowania 2%
napór selekcji rangowej 0.2
7. Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych
140
min max
Mapy grubości Mapy naprężeń
a) b)
c) d)
Rys. 7.4.6: Felga samochodowa: a, b) najlepsze rozwiązanie w pokoleniu startowym,
c, d) najlepsze rozwiązanie po zakończeniu optymalizacji
7. Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych
141
16844842
17324300
16830000
16880000
16930000
16980000
17030000
17080000
17130000
17180000
17230000
17280000
17330000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
generacja
fun
kcja
przy
sto
sow
an
ia
Rys. 7.4.7: Historia funkcji przystosowania najlepszych osobników w poszczególnych
generacjach dla zadania optymalizacji felgi
W przypadku omawianego przykładu rozwiązano dodatkowo zadanie optymalizacji
felgi o tych samych parametrach, zarówno geometrycznych jak i materiałowych, oraz
tych samych warunkach brzegowych, ale przy innym rozmieszczeniu punktów
kontrolnych, dodatkowym otworze mocującym w feldze, oraz innych założeniach w
dziedzinie symetrii otrzymywanych rozwiązań. Założono mianowicie, że rozwiązania
będą tworzone poprzez obrót wycinka kołowego o kącie rozwarcia równym 72° (1/5
koła) (rys. 7.4.8). Dzięki temu założeniu otrzymane rozwiązania zbudowane są z 5
jednakowych części. W omawianym przykładzie zastosowano 24 zmienne projektowe
opisane w pojedynczym wycinku felgi, a następnie wykorzystując wprowadzone
założenie dotyczące geometrii, wprowadzono pozostałe punkty kontrolne
hiperpowierzchni interpolacyjnej, którym stosownie (do założonego kąta obrotu)
przypisano odpowiednie wartości zmiennych projektowych. Postępowanie takie można
było przeprowadzić dzięki uprzedniemu przygotowaniu odpowiedniej siatki elementów
skończonych. W efekcie tego działania otrzymano 120 punktów kontrolnych powierzchni
interpolacyjnej, przy 24 wartościach zmiennych projektowych (rys. 7.4.9). Działanie
takie jest, podobnie jak w przypadku poprzedniego przykładu, nie tylko pożyteczne z
punktu widzenia oszczędności w liczbie genów, ale i celowe ze względu na konieczność
wyrównoważenia felgi.
W tab. 7.4.8 zamieszczono informacje dotyczące budowy siatki trójkątnych
powłokowych elementów skończonych, którą analogicznie jak w przypadku zadania
poprzedniego, charakteryzuje wzrost gęstości na powierzchni optymalizowanej (rys.
7.4.10), motywowany wzrostem dokładności wyników w tej strefie przy zachowaniu
zasady łagodnego przejścia z obszaru o gęstszej siatce do obszaru o rzadszej siatce.
7. Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych
142
Zadanie optymalizacji rozwiązano za pomocą uproszczonego algorytmu optymalizacji
ewolucyjnej układów powierzchniowych o parametrach podanych w tab. 7.4.7.
Najlepsze rozwiązania uzyskane w pokoleniu startowym oraz w pokoleniu 100
przedstawiono na rys. 7.4.11. Dla tych rozwiązań zamieszczono mapy grubości oraz
mapy naprężeń. Na rys. 7.4.12 przedstawiono wykres minimalizacji funkcjonału
naprężeniowego. Dla omawianego przykładu na rys. 7.4.13 zamieszczono ponadto zarys
procesu ewolucji najlepszego osobnika w populacji na przykładzie wybranych pokoleń.
Rys. 7.4.8: 1/5 geometrii optymalizowanego układu
Rys. 7.4.9: Rozmieszczenie punktów kontrolnych
hiperpowierzchni interpolacyjnej dla felgi
7. Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych
143
Rys. 7.4.10: Siatka elementów skończonych dla felgi
Tab. 7.4.8: Budowa siatki elementów skończonych
powierzchnie liczba węzłów liczba elementów
powierzchnia piasty 200 290
powierzchnia obręczy 2 070 3 900
powierzchnia łącznika 1 340 2 860
Razem 3 610 7 050
7. Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych
144
min max
Mapy grubości Mapy naprężeń
a) b)
c) d)
Rys. 7.4.11: Felga samochodowa: a, b) najlepsze rozwiązanie w pokoleniu startowym,
c, d) najlepsze rozwiązanie po zakończeniu optymalizacji; a, c) mapy grubości, b, d)
mapy naprężeń; e, f) mapy naprężeń dla optymalizowanych powierzchni
7. Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych
145
16958632
1648385416475000
16575000
16675000
16775000
16875000
16975000
1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96generacja
fun
kcja
przy
sto
sow
an
ia
Rys. 7.4.12: Historia funkcji przystosowania najlepszych osobników w poszczególnych
generacjach dla zadania optymalizacji felgi
7. Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych
146
min max
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
Rys. 7.4.13: Ewolucja najlepszego osobnika na przykładzie wybranych pokoleń.
Najlepszy osobnik w pokoleniu: a) 1, b) 3, c) 6, d) 9, e) 12, f) 17, g) 45, h) 100
Podsumowanie i wnioski
147
Rozdział 8
Podsumowanie i wnioski
W pracy przedstawiono zastosowanie metody elementów skończonych oraz
algorytmów ewolucyjnych w zadaniach optymalizacji układów powierzchniowych, tj.
tarcz w płaskim stanie naprężenia lub odkształcenia, zginanych płyt oraz powłok.
Algorytmy ewolucyjne pozwalają na znalezienie optimum globalnego z dużym
prawdopodobieństwem. Do przeprowadzenia optymalizacji z użyciem tych algorytmów
nie jest nie jest konieczna znajomość wartości gradientu optymalizowanego funkcjonału.
Łącząc ze sobą MES, jako narzędzie analizy wytrzymałościowej konstrukcji, oraz
algorytm ewolucyjny, jako narzędzie optymalizacji, opracowano algorytm optymalizacji
układów powierzchniowych, który wyposażono w dodatkowe procedury wspomagające i
przyspieszające proces optymalizacji. Zaproponowany algorytm został przetestowany na
wielu przykładach minimalizacji funkcji wielomodalnych i zastosowany do optymalizacji
układów sprężystych poddanych obciążeniom statycznym. Zadania optymalizacji
rozwiązane zostały ze względu na minimalizację funkcjonałów:
• naprężeniowego,
• objętościowego,
• przemieszczeniowego,
• kosztów materiałowych.
Główną cechą opracowanej metody optymalizacji jest ewolucyjne rozmieszczenie
materiału w konstrukcji poprzez zmianę jej własności materiałowych (modułów Younga)
lub/i zmianę grubości. Prowadzi to w granicznym przypadku do eliminacji części
materiału i tworzona jest konstrukcja o nowym kształcie, brzegu i nowej topologii.
Przedstawione w rozdziale 1 cele pracy zostały osiągnięte, a teza rozprawy udowodniona.
Na podstawie przeprowadzonych badań wyciągnięto następujące wnioski:
Podsumowanie i wnioski
148
• algorytm stanowiący połączenie metody elementów skończonych oraz algorytmu
ewolucyjnego daje w efekcie użyteczne i efektywne narzędzie optymalizacji
układów powierzchniowych,
• algorytm umożliwia równoczesną optymalizację kształtu, topologii oraz
rozmieszczenia różnych materiałów lub/i grubości konstrukcji,
• implementacja algorytmu ewolucyjnego daje w efekcie wysokie
prawdopodobieństwo znalezienia optimum w sensie globalnym.
Zastosowanie przedstawionej w pracy metody umożliwia uzyskanie optymalnych
rozwiązań, w przypadku których zauważa się występowanie niesmukłego brzegu
konstrukcji. Warto więc zwrócić uwagę na fakt konieczności wygładzenia zarówno
brzegu zewnętrznego, jak i brzegów wewnętrznych otrzymanego rozwiązania w celu
otrzymania ostatecznej postaci konstrukcyjnej rozważanego układu powierzchniowego.
Za oryginalny wkład własny autor uznaje opracowanie metody optymalizacji układów
powierzchniowych z zastosowaniem metody elementów skończonych oraz algorytmu
ewolucyjnego. Autor opracował również algorytm i programy komputerowe (programy
napisano w języku C oraz C++ [82]) umożliwiające przeprowadzenie testów
numerycznych, potwierdzających skuteczność metody. W ramach powyższego zadania
opracowano następujące zadania cząstkowe:
• Opracowanie metody optymalizacji ewolucyjnej układów powierzchniowych,
• Opracowanie algorytmu oraz programu komputerowego optymalizacji
ewolucyjnej konstrukcji tarczowych,
• Opracowanie algorytmu oraz programu komputerowego optymalizacji
ewolucyjnej konstrukcji płytowych,
• Opracowanie algorytmu oraz programu komputerowego optymalizacji
ewolucyjnej konstrukcji powłokowych,
• Opracowanie algorytmu umożliwiającego wymianę danych pomiędzy
programami komputerowymi optymalizacji ewolucyjnej układów
powierzchniowych oraz istniejącymi na rynku profesjonalnymi pakietami
oprogramowań inżynierskich, jak np.: MSC PATRAN-NASTRAN czy CATIA.
Podsumowanie i wnioski
149
Praca ta stanowi dla autora punkt wyjściowy do dalszych badań nad rozwojem i
zastosowaniem zaproponowanej metody optymalizacji w układach sprężystych. Dalsze
kierunki badań powinny dotyczyć:
• Zastosowania obliczeń równoległych w celu skrócenia czasu obliczeń,
• Zastosowania opracowanej metody w zadaniach identyfikacji,
• Opracowania metody optymalizacji rozmieszczenia żeber w układach
powierzchniowych,
• Zastosowania opracowanej metody w zadaniach optymalizacji i identyfikacji w
przypadku konstrukcji obciążonych dynamicznie.
Bibliografia
150
Bibliografia
[1] Achtziger W., Multiplay load truss optimization: properties of minimax compliance
and two nonsmooth approaches. Proc. First World Congress of Structural and
Multidisciplinary Optimization, Pergamon, Oxford 1995, pp. 123-128.
[2] Anagnostou G., Rønquist E., Patera A., A computational procedure for part design.
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 97, 1992, pp. 33-48.
[3] Arabas J., Wykłady z algorytmów ewolucyjnych. WNT, 2001.
[4] Bąk R., Burczyński T., Wytrzymałość materiałów z elementami ujęcia komputerowe-
go. WNT, Warszawa 2001.
[5] Beluch W., Analiza wrażliwości i optymalizacja ewolucyjna układów mechanicznych
z pęknięciami. Rozprawa doktorska, Politechnika Śląska, Gliwice 2000.
[6] Bendsøe M. P., Optimization of Structural Topology, Shape and Material. Springer-
Verlag Berlin Heidelburg, 1995.
[7] Bendsøe M. P., Diaz A., Kikuchi N., Topology and generalized layout optimization of
elastic structures. Topology Design of Structures, (eds. Bendsøe M. P., Soares C.),
NATO ASI Series, pp. 159-205, 1993.
[8] Bendsøe M. P., Kikuchi N., Generating optimal topologies in structural design using a
homogenization method, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering
71, 1988, pp. 197-224.
[9] Burczyński T., Stochastic boundary element approach to shape design sensitivity
analysis, In: Design Sensitivity Analysis, M.Kleiber and T. Hisada, 1993, pp.68-92.
[10] Burczyński T., Wprowadzenie do algorytmów genetycznych i obliczeń ewolu-
cyjnych, Sieci Neuronowe, Algorytmy Genetyczne, Zbiory rozmyte, wyd. Studio
BEL s.c., Rzeszów 1999.
Bibliografia
151
[11] Burczyński T., Beluch W., Długosz A., Kuś W., Orantek P., The finite and boundary
elements in evolutionary optimization. Proc. Materials and Mechanics Engineering
M2E'2000, (ed. L.A.Dobrzański), Gliwice 2000.
[12] Burczyński T., Beluch W., Kokot G., Optimization of cracked structures using
boundary elements and evolutionary computation. In: Boundary Element
Techniques (ed. M.H. Aliabadi), London 1999.
[13] Burczyński T., Beluch W., Kokot G., Nowakowski M., Orantek P., Zastosowania
algorytmów genetycznych i ewolucyjnych, Sieci Neuronowe, Algorytmy Genetyczne,
Zbiory rozmyte, wyd. Studio BEL s.c., Rzeszów 1999.
[14] Burczyński T., Długosz A., Evolutionary optimization in thermoelastic problems
using the boundary element method. Proc Symposium of the International
Association for Boundary Element Methods, Brescia, Italy 2000.
[15] Burczyński T., Kokot G.,Topology optimization using boundary elements. Proc. XIII
Polish Conference on Computer Methods in Mechanics, Poznań 1997, pp. 221-228.
[16] Burczyński T., Kokot G.,Topology optimization using boundary elements and
genetic algorithms. Proc. Fourth Congress on Computational Mechanics, New
Trends and Applications, (eds. Idelsohn S.R., Ońate E., Dvorkin E.N.), Barcelona
1998, CD-rom.
[17] Burczyński T., Kuś W., Application of the distributed evolutionary algorithms in the
shape optimization of elasto-plastic structures, Proc. KAEiOG 2001, Jastrzębia Gora
2001.
[18] Burczyński T., Kuś W., Boundary elements and distributed evolutionary algorithms
in optimization of elasto-platic structures, Proc. 3rd Int. Conf. on BeTeQ, Sept. 10-12,
2002, Beijing, China. Tsinghua University Press - Springer-Verlag, Berlin 2002.
[19] Burczyński T., Kuś W., Ewolucyjna identyfikacja modelu dyskretnego MES dla
układów drgających. Proc. VI Szkoła Analizy Modalnej, Kraków 2002.
[20] Burczyński T., Kuś W., Evolutionary methods in shape optimization of elastoplastic
structures. 33rd Solid Mechanics. Zakopane 2000.
Bibliografia
152
[21] Burczyński T., Kuś W., Majchrzak E., Dziewoński M., Orantek P., Identyfikacja
zmian nowotworowych w tkance z zastosowaniem algorytmów ewolucyjnych. Proc.
Krajowego sympozjum Modelowanie i Symulacja w Technice, Łódź 2002.
[22] Burczyński T., Kuś W., Nowakowski M., Orantek P., Evolutionary algorithm in
nondestructive identification of internal defects. Proc. KAEiOG 2001, Jastrzębia
Gora 2001.
[23] Burczyński T., Kuś W., Orantek P. Optymalizacja kratownic płaskich z wyko-
rzystaniem algorytmu ewolucyjnego. Proc. XXIX Sympozjum Modelowanie w
mechanice, Wisła 2000.
[24] Burczyński T., Orantek P., Coupling of genetic and gradient algorithms, Proc.
Conference on Evolutionary Algorithms and Global Optimization, Złoty Potok
1999.
[25] Burczyński T., Osyczka A., (eds): Evolutionary methods in mechanics. Proc. Iutam
Symposium, Kluwer, Dordrecht 2003.
[26] Burczyński T., Poteralski A., Szczepanik M., Genetic generation of 2-D and 3-D
structures. Proc. Second M.I.T. Conference on Computational Fluid and Solid
Mechanics Institute of Technology, Cambridge, Massachusetts 02139 U.S.A.
[27] Burczyński T., Poteralski A., Szczepanik M., Genetic generation of 2-D and 3-D
structures. Second M.I.T. Conference on Computational Fluid and Solid Mechanics
Institute of Technology, Cambridge, Massachusetts 02139 U.S.A. ??????????
[28] Burczyński T., Poteralski A., Szczepanik M., Evolutionary optimization of 2-D and
3-D structures with respect to shape, material and topology. Proc. VI Krajowa
Konferencja – Algorytmy Ewolucyjne i Optymalizacja Globalna, Łagów 2003.
[29] Burczyński T., Szczepanik M., Orantek P., Optymalizacja ewolucyjna konstrukcji
powłokowych. Proc. II Krajowe sympozjum Modelowanie i Symulacja w Technice,
Łódź 2003.
[30] Chapman C., Saitou K., Jakiela M., Genetic algorithms as an approach to
configuration and topology design. ASME Journal of Mechanical Design, vol. 45,
September, 1995.
Bibliografia
153
[31] Dems K., Sensitivity analysis and optimal design of beam structures with elastic
hinges and supports. Proc. Intensive School on Optimal Design. Theory and
Applications, University of Pavia, Italy, 16-21 September 1996.
[32] Długosz A., Optymalizacja układów termosprężystych przy zastosowaniu metody
elementów brzegowych, Rozprawa doktorska, Politechnika Śląska, Gliwice 2001.
[33] Długosz A., Burczyński T. The boundary element method in evolutionary
optimization of thermoelastic solids. Proc. Methods of Artificial Intelligence in
Mechanics and Mechanical Engineering (eds. T Burczyński, W. Cholewa), Gliwice
2000.
[34] Eschenauer H.A., Kobelev V.V., Schumacher A., Bubble method for topology and
shape optimization of structure. Journal of Structural Optimization 8, 1994, pp. 42-
51.
[35] Eschenauer H.A., Schumacher A., Simultaneus shape and topology optimization of
structures. Proc. First World Congress of Structural and Multidisciplinary
Optimization, (eds. Olhoff N., Rozvany G.I.N.) Pergamon, Oxford, 1995, pp. 177-
184.
[36] Fedeliński P., Górski R., Kuś W., Evolutionary algorithms in identifications of
inclusions. Methods of Artificial Intelligence in Mechanics and Mechanical
Engineering (eds. T Burczyński, W. Cholewa), Gliwice 2002.
[37] Fedeliński P., Górski R., Czyż T., Subregion boundary element method in
identification and optimization of structures. Proc. 15th International Conference on
Computer Methods in Mechanics CMM 2003, Wisła 2003.
[38] Goldberg D.E., Algorytmy genetyczne i ich zastosowania, WNT, Warszawa 1995.
[39] Goldberg D.E., Samtani M.P., Engineering optimization via genetic algorithm. Proc.
9th Conference on Electronic Computation, 1986, pp.471-782.
[40] Gordon V. S., Whitley D., Serial and parallel genetic algorithms as function
optimizers, International Conference on Genetic Algorithms. S. Forrest, (ed. Morgan
Kaufmann), 1993.
Bibliografia
154
[41] Górski R., Kuś W., Burczyński T. Applications of evolutionary algorithms and finite
element method in 3D shape optimization. Proc. AI-MECH 2001 Symposium on
Methods of Artificial Intelligence in Mechanics and Mechanical Engineering (eds.
T.Burczyński and W.Cholewa), Gliwice 2001.
[42] Grierson D., Pak W., Discrete optimal design using a genetic algorithm, Topology
Design of Structures, (eds. Bendsøe M. P., Soares C.), NATO ASI Series, 1993,
pp. 89-102.
[43] Gutkowski W., Iwanow Z., Evolutionary structural optimization or evolution of
engineering design. Proc. AI-MECH 2000 Symposium on Methods of Artificial
Intelligence in Mechanics and Mechanical Engineering (eds. T.Burczyński and
W.Cholewa), Gliwice 2000.
[44] Gutkowski W., Iwanow Z., Bauer J., Minimum weight design using genetic
algotithm with control mutation, Short Paper Proc. 3rd World Congress on
Structural and Multidisciplinary Optimization, Bufallo, May 17-21, 1999.
[45] Haftka R., Grandhi R., Structural shape optimization – A Survey. Computer Methods
in Applied Mechanics and Engineering 57, pp. 91-106, 1986.
[46] Hajela P., Lee E., Lin C., Genetic algorithm in structural topology optimization,
Topology Design of Structures, (eds. Bendsøe M. P., Soares C.), NATO ASI Series,
pp. 117-133, 1993.
[47] Holland J., Adaptation in Natural and Artificial Systems, The University of
Michigan Press, Ann Arbor 1975.
[48] Jenkins W., Structural optimisation with the genetic algorithm, The Structural
Engineer, vol. 69, Number 24, pp. 418-422, 1991.
[49] Jensen E., Topological Structural Design Using Genetic Algorithms, Doctor of
Philosophy Thesis, Purdue University, November 1992.
[50] Kane C., Jouve F., Schoenauer M., Structural topology optimization in linear and
nonlinear elasticity using genetic algorithms, Proc. 21st ASME Design Automatic
Conference, Boston MA, September, 1995.
Bibliografia
155
[51] Kirkpatrick S., Gelatt C., Vecchi M., Optimization by simulated annealing, Science,
vol. 220, pp. 671-680, 1983.
[52] Kirsch U., On the relationship between optimum structural topologies and
geometries, Structural Optimization, vol 2, pp. 39-45.
[53] Kirsch U., Singular and local optima in layout optimization. Proc. Advanced School
“Topology Optimization in Structural Mechanics”, CISM, Udine 24-28 June, 1996.
[54] Kleiber M. (red.), Handbook of Computational Solid Mechanics, Springer- Verlag
1998.
[55] Kleiber M. (red.) Komputerowe metody mechaniki ciał stałych, seria Mechanika
Techniczna, PWN, Warszawa 1995.
[56] Kokot G., Optymalizacja ewolucyjna układów mechanicznych z zastosowaniem
metody elementów brzegowych, Rozprawa doktorska, Politechnika Śląska, Gliwice
1998.
[57] Kuś W., Majchrzak E., Orantek P., Dziewoński M., Burczyński T. Position and
shape identification of the tumor based on tissue surface temperature with use of
evolutionary algorithms, Proc. AI-MECH 2001 Symposium on Methods of Artificial
Intel ligence in Mechanics and Mechanical Engineering (eds. T.Burczyński and
W.Cholewa), Gliwice 2001.
[58] Majchrzak E., Mochnacki B., Metody numeryczne. Podstawy teoretyczne, aspekty
praktyczne i algorytmy, Wyd. Pol. Śląskiej, Gliwice 1998.
[59] Michalewicz Z., Algorytmy genetyczne + struktury danych = programy ewolucyjne,
WNT, Warszawa 1999.
[60] Mróz Z., Piekarski J., Sensitivity analysis and optimal design of non-linear beam
and frame structures. Proc. Intensive School on Optimal Design Theory and
Applications, University of Pavia, Italy, 16-21 September 1996.
[61] MSC/Nastran Users Guide, 2000.
[62] Nowacki W., Teoria sprężystości, PWN, Warszawa 1970.
Bibliografia
156
[63] Nowakowski M., Analiza wrażliwości i identyfikacja kształtu brzegów wewnę-
trznych drgających układów mechanicznych przy zastosowaniu metody elementów
skończonych, Rozprawa doktorska, Politechnika Śląska, Gliwice 2000.
[64] Olhoff N., Taylor J.E., On structural optimization. Journal of Applied Mechanics,
vol. 50, 1983, pp. 1139-1151.
[65] Olhoff N., Topology optimizationof bi-material structures. Optimal Design with
Advanced Materials (eds. Pedersen P.), Elsevier Science Publisher B.V., 1993, pp.
191-206.
[66] Orantek P., Zastosowanie algorytmów hybrydowych w zagadnieniach optymalizacji
i identyfikacji w dynamicznych układach mechanicznych, Rozprawa doktorska,
Politechnika Śląska, Gliwice 2002.
[67] Orantek P., Kuś W., Burczyński T. Identification of boundary conditions for 3D
dynamic structures using genetic algorithms. Proc. AI-MECH 2001 Symposium on
Methods of Artificial Intelligence in Mechanics and Mechanical Engineering (eds.
T.Burczyński and W.Cholewa), Gliwice 2001.
[68] Osyczka A., Evolutionary Algorithms for Single and Multicriteria Design
Optimization. Springer-Verlag Berlin, 2002.
[69] Pavlidis T., Grafika komputerowa i przetwarzanie obrazów. WNT, Warszawa, 1987.
[70] Pedersen P., Optimal design with advanced materials. Elsevier, Amsterdam, 1993.
[71] Piegl L., Tiller W., The NURBS Book. Springer-Verlag Berlin, 1995.
[72] Poteralski A., Burczyński T., Ewolucyjna optymalizacja ciał przestrzennych. Proc. II
Krajowego sympozjum Modelowanie i Symulacja w Technice, Łódź 2003.
[73] Poteralski A., Burczyński T., Szczepanik M., Evolutionary optimisation of 3-D
structures. Proc. 15th International Conference on Computer Methods in Mechanics
CMM 2003, Wisła 2003.
[74] Poteralski A., Burczyński T., Szczepanik M., Evolutionary optimisation of 3-D
structures. 15th International Conference on Computer Methods in Mechanics CMM
2003, Wisła, 2003, Full paper, CD-rom.
Bibliografia
157
[75] Prager W., Rozvany G.I.N., Optimization of structures geometry. Dynamical systems
(eds. Beduarek A.R., Cesari L.), New York, Academic Press, 1997, pp. 265-293.
[76] Rakowski G., Kacprzyk Z., Metoda Elementów Skończonych w Mechanice
Konstrukcji, Oficyna Wyd. Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 1993.
[77] Rozvany G.I.N., Difficulties in truss topology optimization with stress, local
buckling and system stability constraints. Structural Optimization, vol. 11, Springer-
Verlag, 1996, pp. 213-217.
[78] Rozvany G.I.N., Károlyi G., Recent advances with nonselfadjoint topology
optimization problems in structural mechanics. Proc. Second World Congress of
Structural and Multidisciplinary Optimization, (eds. Gutkowski W., Mróz Z.), vol.
2, Institute of Fundamental Technological Research, Warsaw, 1997, pp. 547-550.
[79] Schaefer R., Podstawy genetycznej optymalizacji globalnej, Wyd. Uniwersytetu
Jagielońskiego, Kraków, 2002.
[80] Schumacher A., Topologieoptimierung von Bauteilstrukturen unter Vervendung von
Lochpositionierungskrieterien. Dissertation zur Erlangung des akademischen
Grades, Universität-Gesamthochshule, Siegen, Germany, 1995.
[81] Seidler J., Badach A., Molisz W., Metody rozwiązywania zadań optymalizacji, WNT,
Warszawa 1980.
[82] Stroustrup, Język C++, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1994.
[83] Szczepanik M., Burczyński T., Evolutionary optimisation of shape, topology and
material for 2-D problems. Proc. AI-MECH 2001 Symposium on Methods of
Artificial Intelligence in Mechanics and Mechanical Engineering (eds.
T.Burczyński and W.Cholewa), Gliwice 2001.
[84] Szczepanik M., Burczyński T., Evolutionary computation in optimisation of 2-D
structures. Proc. 5th World Congress on Structural and Multidisciplinary
Optimization WCSMO 2003, Italy, Venice 2003.
[85] Szczepanik M., Burczyński T., Evolutionary computation in optimisation of 2-D
structures. 5th World Congress on Structural and Multidisciplinary Optimization
WCSMO 2003, Italy, Venice 2003, Full paper, CD-Rom.
Bibliografia
158
[86] Szczepanik M., Burczyński T., Evolutionary optimisation of 2-D structures. Proc.
15th International Conference on Computer Methods in Mechanics CMM 2003,
Wisła, 2003.
[87] Szczepanik M., Burczyński T., Evolutionary optimisation of 2-D structures. 15th
International Conference on Computer Methods in Mechanics CMM 2003, Wisła
2003, Full paper, CD-Rom.
[88] Szczepanik M., Kuś W., Burczyński T., Evolutionary computation in optimisation of
bending plates. Proc. AI-MECH 2002 Symposium on Methods of Artificial
Intelligence in Mechanics and Mechanical Engineering (eds. T.Burczyński and
W.Cholewa), Gliwice 2002.
[89] Szczepanik M., Kuś W., Burczyński T., Evolutionary optimisation of plate systems.
Proc. AI-MECH 2000 Symposium on Methods of Artificial Intelligence in Mechanics
and Mechanical Engineering (eds. T.Burczyński and W.Cholewa), Gliwice 2000.
[90] Taylor J.E., A global extremum principle for the analysis of solids composed of
softening material, Solids Structures, vol. 30, 1993, pp. 2057-2069.
[91] Wierzbicki A., Findeisen W., Szymanowski J., Teoria i metody obliczeniowe
optymalizacji, PWN, Warszawa 1980.
[92] Woon S.Y., Tong L., Querin O.M., Steven G.P., Optimising topologies through a
Multi-GA System. Proc. 5th World Congress on Structural and Multidisciplinary
Optimization WCSMO 2003, Italy, Venice 2003.
[93] Woźniak Cz., Mechanika techniczna. Mechanika Sprężystych płyt i powłok. PWN,
Warszawa, 2001.
[94] Zienkiewicz O. C., Taylor R. L., The Finite Element Method. The Basis, vol. 1,
Butterworth, Oxford, 2000.
[95] Zienkiewicz O. C., Taylor R. L., The Finite Element Method. Nonlinear, vol. 2,
Butterworth, Oxford, 2000.
[96] Zienkiewicz O. C., Taylor R. L., The Finite Element Method. The Fluid Mechanics,
vol. 3, Butterworth, Oxford, 2000.
Streszczenie
159
Streszczenie
Optymalizacja układów powierzchniowych z wykorzystaniem
algorytmów ewolucyjnych
W niniejszej pracy podjęto badania nad zastosowaniem algorytmów ewolucyjnych w
zadaniach optymalizacji sprężystych układów powierzchniowych, tj. tarcz, płyt oraz
powłok. Do rozwiązania zagadnienia bezpośredniego statycznej sprężystości
wykorzystano metodę elementów skończonych.
W ramach pracy opracowano algorytm optymalizacji kształtu, topologii oraz
własności materiałowych lub/i grubości konstrukcji. Optymalizację przeprowadzono ze
względu na kryteria minimum: naprężeń, przemieszczeń, objętości, kosztów
materiałowych.
W pracy przedstawiono wiele przykładów numerycznych potwierdzających
skuteczność i efektywność proponowanej metody optymalizacji.
Summary
160
Summary
Evolutionary computation in optimisation of 2-D structures
In the present work scientific research on using evolutionary algorithm in optimisation
of 2-D structures, like plates in plane stress/strain, bending plates and shells is shown.
The direct problem is solved using finite element method.
The shape, topology and material or/and thickness of the constructions are optimised
for the stress, strain, volume and material costs criteria.
The numerical examples confirm the efficiency of proposed optimisation method and
demonstrate that the method based on evolutionary computation is an effective technique
for solving computer aided design.