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Corso sulla Normativa sismica Ord. P.D.C. 3274 del 20/03/2003

Politecnico di Torino

Calcolo di edificio con struttura prefabbricata situato in zona sismica di I categoria. II parte

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Corso sulla Normativa sismica Ord. P.D.C. 3274 del 20/03/2003 Corso sulla Normativa sismica Ord. P.D.C. 3274 del 20/03/2003

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Peso tegolo gT = 7,30 kN/m

Peso trave laterale gBL = 5,85 kN/m

Peso trave centrale gBC = 7,10 kN/m

Peso finiture gF = 0,20 kN/m²

Peso neve qs = 1,28 kN/m²

Calcoli esemplificativi telaio B

Peso totale tegoli n*lT*gT = 22*17,80*7,30 = 2858,68 kN

Peso totale travi Lt*gBC = 101,60*7,10 = 721,36 kN

Peso finiture Lt*lT*gF = 101,6*17,80*0,20 = 445,50 kN

Peso complessivo G = 4025,54 kN

Peso neve Lt*lT* qs = 101,5*17,55*1,28 = 2257,32 kN

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WB = GB + 0,2QB = 4025,54+0,2*2257,32 = 4477.072 kN

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equazioni di equilibrio alla traslazione e di congruenza, ricordando che:

β = 0,80 per sezione rettangolare

ξ = x/d con x distanza dell’asse neutro dal bordo superiore compresso e d distanza dal bordo compresso del baricentro dei ferri tesi inferiori

δ = d’/d con d’ distanza dal bordo compresso del baricentro dei ferri tesi compressi superiori

εs’ = εsu (x-d’)/(d-x)

εs* = εsu (h/2-x)/(d-x)

prefissando la deformazione massima del cls o dell’acciaio.

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Di seguito sono esplicitati in termini adimensionali le grandezze utilizzate in figura:

b = 500 mm; h = 500 mm; Φ = 22 mm; c = 25 mm;

fsd = 373,9 N/mm² fcd = 30 N/mm²

εyd = fsd /Es = 373,9/205000 = 1,82%0 εu = 10 %0

ε = εu / εyd = 10/1,82 = 5,4826

d’ = c + Φ/2 = 25+22/2 = 36 mm d = h – d’ = 500-36 = 464 mm

δ = d’/d = 36/464 = 0,0776

ωs = As fsd/(bdfcd) = 1140*373,9/(500*464*30) = 0,0612

ω’s = As’ fsd/(bdfcd) = 1140*373,9/(500*464*30) = 0,0612

ω*s = As

* fsd/(bdfcd) = 760*373,9/(500*464*30) = 0,0408

e quindi risolvendo l’equazione di secondo grado in ξ, ottenuta sostituendo i valori ridotti nell’equazione di equilibrio della pagina precedente posso definire la posizione dell’asse di separazione.

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Nota la posizione dell’asse neutro è possibile ottenere il valore del momento resistente di calcolo, facendo equilibrio alla rotazione intorno asse mediano.

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riportando, come esempio, il calcolo per esteso del pilastro B1

υB1 = Nad ,B1/(b*d*fcd) = 302375/(500*464*30) = 0,043

ξ = x/d = 0,1475

x = ξd = 0,1475*464 = 68,4 mm

εs’ = εsu (ξ-δ)/(1- ξ) = 10(0,1475- 0,0776)/(1-0,1475) = 0,820%o

σs’= εs

’Es = 0,820*10-3*205*109 = 168,08 N/mm²

εs = εsu[(h/(2*d)- ξ)/(1- ξ)] = 10*[(500/(464*2)-0,1475)/(1-0,1475)] = 4,590%o

σs= fyd = 373,9 N/mm²

Mrd = βbxfcd(h/2-βx/2)+As’σ s

'(h/2-d’)+Asfsd(d-h/2) =

= 0,8*500*68,4*30(500/2-0,8*68,4/2)+ 1140*168,08(500/2-36)+1140*373,9(464-500/2)=

= 315,045 kN/m

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Per la corretta determinazione del periodo proprio di vibrazione

T = 2π√m/k, definito in campo elastico.

È importante la valutazione della rigidezza elastica alla traslazione della struttura, analizzata nella stato di effettivo comportamento di sezione fessurata tenendo conto nel modo più corretto degli effetti

Il diagramma momento-curvature, specifico per ogni valore di Nsd, viene approssimato da una bilatera con momento massimo di snervamento My = 0,75 Mrd

La rigidezza alla traslazione è influenzata dalla fessurazione e dalla presenza di fenomeni del secondo ordine.

Una valutazione approssimata della rigidezza si ottiene dimezzando il valore della rigidezza degli elementi considerati non fessurati.

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É la classica trattazione per le strutture pressoinflesse per cui scrivendo l’espressione dell’equilibrio alla rotazione intorno al punto di applicazione della forza esterna si ottiene l’equazione di terzo grado la cui soluzione permette l’individuazione dell’assse neutro, assumendo n=15.

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Ottenuta la posizione dell’asse neutro utilizzando l’equazione di equilibrio alla traslazione si ottiene il valore della tensione del calcestruzzo e da questa gli altri valori tensionali.

Il valore tensionale nell’acciaio ci permette di risalire ai valori della curvatura e quindi della rigidezza rotazionale della sezione.

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Di seguito è sviluppato un calcolo esemplificativo con n=15. My = 0,75 MRd = 0,75*315,045 = 236,284 kNm

Nad = 302,375 kN

e = My /Nad = 236,284/302,375 = 0,7814 m e = 781,4mm

x = 171,9 mm

σc = 13,58 N/mm²

σ’s = Es*ε’s =n σc (x-d’)/x =5,75*13,58(171,9-36)/171,9 = 161,04 N/mm²

σ*s = Es*ε*s =n σc (h/2-x’)/x =5,75*13,58(500/2-171,9)/171,9 = 92,55 N/mm²

σs = Es*εs =n σc (d-x)/x =5,75*13,58(464 -171,9)/171,9 = 346,2 N/mm²

εy = σs/ Es = 346,2/205*10-3 =1,689*10-3

χy = εy /(d-x) = 1,689*10-3/(0,464-0,1719) = 5,782*10-3 m-1

kφ = My/χy = 236,284/5,782*10-3 =40867 kN/m²

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Si ricorda la definizione di rigidezza come rapporto fra la forza e lo spostamento da essa provocato k = F/x

Per il pilastro la rigidezza totale kδ è costituta dai due termini competente alla curvatura della sezione kl e all’effetto del secondo ordine kg, i due valori vengono così ricavati

kφ = My/χφ My =kφ χφ

kl = 3EJ/h³*kφ χφ /My = 3kφ /h³

La forza fittizia conseguente al fenomeno del secondo ordine è valutata come F2 = Nd/h, quindi

kg = Nad*d/(h*d) = Nad/h

pertanto esemplificando un calcolo numerico:

kl = 3kφ /h³ = 3*40867,973/5,38³ = 787,331 kN/m

kg = Nad/h = -302,375/5,38 = -56,204 kN/m

L’Ordinanaza consente la valutazione approssimata della rigidezza con un valore pari a quella offerta dalla metà del valore competente alla sezione interamente reagente (non fessurata); questo valore per lo stesso pilastro è:

k1/2 = 3EJ/2h³ = 3*35685*103*0,54/[2*(12*5,383)] = 1790 kN/m

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Nel Modo 2 il 50% circa della massa della copertura rimane fermo, non partecipa alla oscillazione

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Dove le rigidezze sono quelle complessive per i telai considerati; quindi, al solito, come esempio numerico si ha per il telaio B:

nB1= 2 pilastri B1 componenti il telaio

nB6= 9 pilastri B6 componenti il telaio

kB = nB1*kδ,B6 + nB1*kδ,B6= 2*731,128 +9*748,295= 8196.82 kN/m

per cui

mB = WB/g =4477.072/9,81 = 456,38 kNs²/m

T1 = 2π√(m/k) = 2π√(456,38/8196,82) = 1,48 s

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A questo punto é possibile calcolare le forze sismiche sui telai con riferimento allo spettro di risposta di progetto

Dove, assumendo

q = 3,5 fattore di struttura definito dalla Norma e quindi

β0d = β0/q = 2,5/3,5 = 0,714

η = 1 effetto di smorzamento

βd = S*η* β0d * Tc/T =1,25*1*0,714*0,5/1,48 = 0,3011

FB = αg* βd*W = 0,35*0,3011*4477.072 = 471,743 kN

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Importanza della valutazione di T1

Da T1 discende il valore della forza sismica quindi la sua corretta valutazione è determinante.

La forza sismica calcolata per il periodo valutato con precisione per la sezione fessurata vale FB = 471,743kN

La forza sismica valutata con la rigidezza calcolata con la rigidezza pari alla metà di quella della sezione interamente reagente k1/2 = 1790 kN/m porta a un periodo proprio di:

T 1,1/2 = 2π√(m/k) = 2π√(456,38/(11*1790) = 0,96 s

E quindi la relativa forza sismica:

β0d = β0/q = 2,5/3,5 = 0,714

η = 1 effetto di smorzamento

βd = S*η* β0d * Tc/T =1,25*1*0,714*0,5/0,96 = 0,4648

FB,1/2 = αg* βd*W = 0,35*0,4648*4477.072 = 728,4 kN

L’incremento di sollecitazione è del

∆S =[(FB,1/2 / FB)-1]/100 = [(728,4/471,7)-1]/100 = 54,6%

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Fx Fy

La ripartizione delle forze avviene in modo proporzionale alle rigidezze, con riferimento al pilastro B6

FB6,x,ad = kδ,i/kx = 748,29/8196,820*471,743 =43,065 kN (relativo al telaio B)

FB6,y,ad = kδ,i/ky = 748,29/2343,311*110,581 =35,312 kN (relativo al telaio 6)

MB6,x,ad = FB6,x,ad *h = 43,065*5,38 =231,691 kNm (relativo al telaio B

MB6,y,ad = FB6i,y,ad *h = 35,312*5,38 =189,977 kNm (relativo al telaio 6)

B6

B6

Y

X

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