Politecnico di Milano due molle non lineari; per regolare la rigidezza i mo-toridevonoavereversidirotazionediscorde,percambiarela posizioned’equilibrioiversidevonoessereconcordi(Fig.1.5)

Politecnico di MilanoSCUOLA DI INGEGNERIA INDUSTRIALE E DELL’INFORMAZIONE

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Meccanica

Tesi di Laurea Magistrale

STUDIO E PROGETTO DI UN ATTUATORE ARIGIDEZZA VARIABILE ROTATIVO

Relatore:

Prof. Hermes GIBERTI

Correlatore:

Ing. Matteo MALOSIO

Tesi di laurea di:

Riccardo AGOSTIMatr. 823778

Anno Accademico 2015–2016

“C’è qualcosa di più importantedella logica: è l’immaginazione.”

Alfred Hitchcock

Ringraziamenti

Il primo ringraziamento va al Prof. Giberti, per avermi indirizzatoverso questo percorso, e per l’apporto diretto durante le fasi più importantidel lavoro. Ringrazio Matteo, per il fondamentale supporto tecnico, peraver dedicato tempo e pazienza ai miei ragionamenti e dubbi. Grazie aGiulio, per aver sempre creduto in me e nel mio lavoro, per i consigli e perle iniezioni di fiducia nei momenti più difficili. Grazie a (San) Francesco,con il quale ho condiviso la dura ma gratificante esperienza di tesi, che miha lasciato la consapevolezza di aver trovato un amico sincero.Grazie alla mia stupenda famiglia. Grazie a mamma e papà. Non ho paroleper dire quanto vi sia grato. Il vostro supporto continuo e incondizionatonelle mie scelte è uno dei principali motivi per cui questo giorno è finalmentearrivato. Grazie alla migliore sorella che si possa desiderare. Crescereinsieme a te ha fatto di me la persona che sono oggi.Grazie alla mia inseparabile Dottie. Per tutti i sacrifici di questi anni, per lapazienza, per l’amore incondizionato nei miei confronti. Farò l’impossibileper non farti mai mancare nulla, ti amo.Grazie a Genny, con cui ho condiviso alcune delle esperienze più belle dellamia vita, che fanno di lui un vero e proprio fratello. Grazie a Fabrizio, peri momenti spensierati durante la convivenza, perchè ci basta uno sguardoper capirci.Grazie ai miei zii Gabry e Renzo, a mia cugina Cla. Grazie a Paolo, grazieagli amici di una vita Bomber, Magi, Patty, Giò e Cesare. Grazie a Chiara,per prenderti cura del mio Genny, grazie alle mitiche Hanaa e Emma.

Milano, Luglio 2016 R. A.

v

Indice

Introduzione xix

1 Attuazione Cedevole 11.1 Variable Impedance Actuator (VIA) . . . . . . . . . . . . . 11.2 Variable Stiffness Actuator (VSA) . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Stato dell’arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Architettura dell’attuatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Aspetti analitici di un AAVSA . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6 Obiettivi della tesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Progetto Cinetostatico 192.1 RotWWC-VSA: Rotational Wire-Wrapped Cam VSA . . 19

2.1.1 Attuazione antagonista: RotWWC-SEA . . . . . . 192.1.2 Profilo di camma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.3 RotWWC-VSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Dimensionamento del RotWWC-VSA . . . . . . . . . . . . 30

3 Ottimizzazioni 333.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Ottimizzazione RotWWC-SEA . . . . . . . . . . . . . . . 383.3 Criterio di dimensionamento di

camma e molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4 Ottimizzazione RotWWC-VSA . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Progetto Meccanico 474.1 Applicazione del RotWWC-VSA . . . . . . . . . . . . . . . 47

vii

viii INDICE

4.1.1 Robotica assistiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2 Specifiche di progetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.3 Dimensionamento del RotWWC-VSA . . . . . . . . . . . . 54

5 Simulazione Cinematica 675.1 Struttura del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.2 Simulazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.3 Commenti alle simulazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Conclusioni 105

Bibliografia 107

Elenco delle figure

1.1 Robot industriali a),b); robot con scopo riabilitativo c) . . 31.2 Dispositivi dotati di compliance meccanica . . . . . . . . . 41.3 Un SEA è composto da un attuatore e un elemento cede-

vole in serie. Un VSA è caratterizzato da un elemento acedevolezza regolabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Schema di un attuatore serial . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Tipologie di architetture parallel . . . . . . . . . . . . . . . 71.6 Esempio di PCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.7 Elementi elastici non lineari: a) molle progressive, b) mec-

canismo triangolare, c) meccanismo triangolare adattato, d)meccanismo a camme, e) quadrilatero articolato, f) muscolopneumatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.8 Esempi di AAVSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.9 Esempi di PCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.10 AwAS: regolazione della rigidezza tramite rapporto di tra-

smissione variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.11 Struttura di un AAVSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.12 Curva di forza di un VSA come combinazione delle forze

f1, f2 dei SEA: fa = f1 + f2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.13 Curva di forza di un VSA funzione delle coordinate a terra

v1, v2 delle molle k1, k2 e della forza esterna applicata fe . 151.14 Influenza della rigidezza del SEA sulla rigidezza del VSA

antagonista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1 Profilo della camma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

ix

x ELENCO DELLE FIGURE

2.2 RotWWC-SEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 RotWWC-SEA equipaggiato con puleggia p . . . . . . . . 232.4 Angoli costitutivi del RotWWC-SEA . . . . . . . . . . . . 252.5 Due RotWWC-SEA antagonisti compongono il RotWWC-

VSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.6 Effetto delle variazioni di δ e ξ sul RotWWC-VSA . . . . . 292.7 Coppia e rigidezza dell’albero di uscita del VSA, funzioni di

δ e ξ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1 RotWWC-SEA equipaggiato con puleggia p - considerazionigeometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2 Problemi di fine corsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3 Valori di d e lf , funzioni di rE e ψ . . . . . . . . . . . . . . 393.4 Applicazione dei vincoli d > rB + dx e lf > ll,max + ρest . . 393.5 Valori di lf per cui entrambi i vincoli sono rispettati . . . . 403.6 Diagramma di flusso ottimizzazione RotWWC-SEA: a par-

tire da alcune grandezze geometriche note, si determinanoi valori di d e lf funzioni di ψ e rE. I vincoli geometriciforniscono la configurazione ottima. . . . . . . . . . . . . . 41

3.7 Diagramma di flusso ottimizzazione camma: ad un Γkl èassociata una rigidezza lineare kl, funzione dei parametri dicamma rB e ϑB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.8 Campo di lavoro del RotWWC-VSA . . . . . . . . . . . . 453.9 Diagramma di flusso ottimizzazione RotWWC-VSA: a par-

tire dalle specifiche di progetto di rigidezza e spostamento,passando per l’ottimizzazione della camma, della molla edella geometria del RotWWC-SEA, è possibile ottenere ilΓk∗

t cercato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.1 Posizione del RotWWC-VSA . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2 Piani del corpo umano e coordinate x, y, z, ξ . . . . . . . . 504.3 Arto superiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.4 Diagramma di flusso complessivo di dimensionamento del

RotWWC-VSA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

ELENCO DELLE FIGURE xi

4.5 Simulazione cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.6 ∆ll, kt e kl funzioni di ∆γ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.7 Forza e coppia esercitata dal RotWWC-SEA funzioni della

rotazione di ∆γ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.8 Coppia e rigidezza dell’albero di uscita del VSA funzioni di

δ e ξ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.9 Parametri di ottimizzazione del RotWWC-SEA funzioni di

rE e ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.10 Parametri ottimizzati, funzioni di rE e ψ. . . . . . . . . . . 634.11 RotWWC-SEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1 Modello del RotWWC-VSA . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.2 Contenuto del blocco MotionM1 . . . . . . . . . . . . . . . 695.3 Influenza degli spostamenti dei motori ξM1, ξM2 e dell’albero

di output ξ sull’alungamento delle molle dei RotWWC-SEA 705.4 Composizione dei blocchi contenuti all’interno diRotWWC−

SEA1. Grazie alle misure sui giunti, e alle caratteristichevariabili di rigidezza, si determina la coppia esercitata dalRotWWC-SEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.5 Estremi di rigidezza un RotWWC-SEA e relativi valori di η 765.6 Legge di moto cicloidale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.7 Risultati simulazione 1.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.8 Risultati simulazione 1.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.9 Risultati simulazione 1.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.10 Risultati simulazione 2.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.11 Risultati simulazione 2.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.12 Risultati simulazione 2.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.13 Risultati simulazione 2.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.14 Risultati simulazione 3.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.15 Risultati simulazione 3.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.16 Risultati simulazione 3.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.17 Risultati simulazione 3.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.18 Risultati simulazione 3.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.19 Risultati simulazione 3.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Elenco delle tabelle

4.1 Specifiche di progetto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2 Parametri e risultati ottimizzazione RotWWC-VSA, e rela-

tivi parametri di camma associati . . . . . . . . . . . . . . 564.3 Parametri geometrici e risultati ottimizzazione RotWWC-SEA 574.4 Molla T.190.250.0508.I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.1 SIMULAZIONE 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.2 Simulazione 1.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.3 Simulazione 1.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.4 Simulazione 1.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.5 SIMULAZIONE 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.6 Simulazione 2.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.7 Simulazione 2.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.8 Simulazione 2.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.9 Simulazione 2.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.10 SIMULAZIONE 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.11 Simulazione 3.a: parametri di risposta di m . . . . . . . . 915.12 Simulazione 3.a: parametri significativi di kt,1, kt,2 e ka . . 915.13 Simulazione 3.b: parametri di risposta di m . . . . . . . . . 935.14 Simulazione 3.b: parametri significativi di kt,1, kt,2 e ka . . 935.15 Simulazione 3.c: parametri di risposta di m . . . . . . . . . 955.16 Simulazione 3.c: parametri significativi di kt,1, kt,2 e ka . . 955.17 Simulazione 3.d: parametri di risposta di m . . . . . . . . 975.18 Simulazione 3.d: parametri significativi di kt,1, kt,2 e ka . . 975.19 Simulazione 3.e: parametri di risposta di m . . . . . . . . 99

xiii

xiv ELENCO DELLE TABELLE

5.20 Simulazione 3.e: parametri significativi di kt,1, kt,2 e ka . . 995.21 Simulazione 3.f : parametri di risposta di m . . . . . . . . 1015.22 Simulazione 3.f : parametri significativi di kt,1, kt,2 e ka . . 101

Acronimi

AAVSA Agonistic-Antagonistic Variable Stiffness Actuator

PCIA Physically Controllable Impedance Actuators

RotWWC-SEA Rotational Wire-Wrapped Cam SEA

RotWWC-VSA Rotational Wire-Wrapped Cam VSA

SEA Series Elastic Actuator

VIA Variable Impedance Acuator

VSA Variable Stiffness Actuator

xv

Sommario

L’utilizzo dei robot a servizio dell’uomo ha conosciuto, a partire dametà del secolo scorso, un rapido sviluppo tecnologico e applicativo. Ilfatto che il robot possa interagire con l’uomo apre nuovi scenari, che hannospinto la comunità scientifica a rivisitare del concetto di attuazione rigida.A questo proposito, gli attuatori a rigidezza variabile possono rappresentareuna tecnologia promettente, grazie alle loro caratteristiche intrinseche diregolazione della rigidezza meccanica, di misura della forza applicata edi robustezza alle perturbazioni esterne in situazioni di interazione fisicauomo-robot.Questo lavoro ha lo scopo di presentare un attuatore a rigidezza variabile,concepito per attuare un esoscheletro per arto superiore. Le caratteristichedi cedevolezza proprie del sistema di attuazione permettono di sfruttare lamobilità residua dell’arto, secondo una modalità assistiva.Il dispositivo, costituito da due attuatori antagonisti basati su un funziona-mento a camma che introduce una rigidezza non lineare, è stato studiato apartire dalla geometria e dai suoi aspetti analitici di base. Per garantireun corretto funzionamento, si è reso necessario ottimizzare la struttura,imponendo dei vincoli alla geometria dell’attuatore, e dimensionando ilprototipo secondo le specifiche richieste dall’applicazione.In seguito, con lo scopo di testare la cinematica dell’attuatore, questo èstato modellato in ambiente Simulink, permettendo di validare il funziona-mento dell’attuatore nel dominio del tempo.

xvii

Abstract

The use of service robot to assist human being has known a rapid tech-nological and applicative development since the middle of last century. Thepossibility of interaction between robot and human opens new scenarios,which led the scientific community to revisit the concept of stiff actuation.In this regard, variable stiffness actuators (VSAs) can represent a promisingtechnology, thanks to their inherent adjustment of the mechanical stiff-ness, force estimation and robustness to external perturbations in physicalhuman-robot interacting scenarios. This work aims at presenting a VSA,employed to actuate an upper limb exoskeleton. VSA’s compliance isthought to allow residual movement to the patient.The actuator, which exploits a cam-based series elastic actuator that intro-duces the necessary non-linear stiffness, was analyzed under its geometricaland analytic aspects. in order to guarantee a correct working principle,it was necessary to optimize the structure, imposing constraints on theactuator geometry and sizing the prototype according to the specificationsrequired by the application.Subsequently, with the aim of testing the actuator kinematics, this hasbeen modeled in a Simulink environment, allowing to validate operatingprinciples of the actuator in the time domain.

xviii

Introduzione

L’utilizzo dei robot a servizio dell’uomo ha conosciuto, a partire dallametà degli anni ’50 del secolo scorso, un rapido sviluppo in diversi settoriapplicativi. A partire dai primi telemanipolatori, in grado di gestire adistanza sostanze pericolose, le varie epoche hanno visto l’impiego di dispo-sitivi robotici in ogni campo scientifico, come quello ricercativo, passandoper l’automazione di sistemi produttivi, l’ambito militare, l’assistenza me-dica e riabilitativa. Oggi, i robot sono parte integrante della vita di tutti igiorni [1].Il concetto di robot si differenzia da quello di semplice macchina, poichèquesto è spesso realizzato per essere mobile e autonomo. Il fatto che ilrobot possa poi interagire con l’uomo apre nuovi scenari, generalmentetrascurati nella tradizionale interazione uomo-macchina.Questo aspetto fondamentale ha portato la comunità scientifica a riva-lutare il concetto tradizionale di attuatore, inteso come la chiave per lagenerazione del moto e del controllo di qualsivoglia sistema meccanico.Si pensi, ad esempio, a un robot impiegato in una catena di montaggio:raggiunta una certa posizione di equlibrio, questo la mantiene qualunquesia il carico applicato, ovviamente entro i limiti previsti dal dispositivostesso. Il comportamento desiderato è quindi il più rigido possibile, inmodo da garantire un efficace posizionamento e elevata banda passante eprontezza. La ripetibilità e l’alta precisione richiesti a queste macchine ètipica del mondo dell’attuazione cosiddetta rigida. Tale rigidezza derivadirettamente dalla struttura meccanica della macchina, finalizzata a ridurrevibrazioni indesiderate, ma anche da un controllo efficace del moto deigiunti che determinano il movimento.

xix

xx Introduzione

Le caratteristiche citate mostrano come questi robot siano intrinsecamentepoco sicuri, nel caso debbano condividere lo spazio di lavoro con l’essereumano [2]. L’elevata energia cinetica generata dalle masse in gioco e dallevelocità alle quali queste vengono movimentate, possono causare seri danniin caso di impatto. Equipaggiare la macchina con sensori anti-collisione (ei relativi sistemi ridondanti di sicurezza) richiederebbe risorse computa-zionali molto elevate, incrementando la complessità del sistema in terminidi dispositivi installati [3]. Per questi motivi, una progettazione volta agarantire un comportamento sicuro e affidabile è il primo passo verso larealizzazione di attuatori con prestazioni paragonabili al corpo umano. Lanatura di questi tipi di dispositivi implica un certo livello di compliance,termine che può essere tradotto come cedevolezza, intesa come capacità diadattamento delle proprietà meccaniche del robot.Tale caratteristica è propria degli Attuatori a Impedenza Variabile (VIA,acronimo di Variable Impedance Actuators) che, recentemente, hannosuscitato grande interesse da parte della comunità scientifica, soprattuttoper la vastità del panorama applicativo in cui questo tipo di attuatori sonocalati. I VIA sono indicati in ambiti in cui il robot deve interagire con unambiente non definito a priori o soggetto a comportamenti dinamici, e perapplicazioni in cui sono richiesti [4]

efficienza energetica, ad esempio per la realizzazione di protesi e dirobot in grado di camminare o assistere la camminata di una persona,

adattabilità nell’interazione con l’operatore, quando sono necessari con-tatti e scambi di forza continui, come nei dispositivi hands-on, sistemiriabilitativi, esoscheletri e tecnologie haptic,

sicurezza per l’uomo e l’ambiente circostante, nel caso di movimentiveloci e precisi del robot.

I Variable Stiffness Actuator (VSA) sono una tipologia di attuatori,appartenenti alla famiglia dei VIA. In essi, l’impedenza è rappresentata daun elemento elastico.L’attuatore oggetto di studio di questa tesi è stato sviluppato con l’intentodi realizzare un dispositivo in grado di assistere il movimento dell’arto

Introduzione xxi

superiore, in presenza di deficit motori per persone disabili e anziane, oppurecoinvolte in percorsi riabilitativi, ad esempio per soggetti affetti da distrofiamuscolare o decorsi post-ictus. Questa tipologia di utilizzo è propria dellarobotica assistiva, il cui scopo è quello di progettare e sviluppare soluzionitecnologiche e robotiche per fornire supporto e assistenza nelle attività divita quotidiana.

Struttura della tesi

Il lavoro di tesi, sviluppato presso l’Istituto di Tecnologie Industrialie Automazione (ITIA) presso il Consiglio Nazionale della Ricerca (CNR)di Milano, è strutturato come segue. Nel Capitolo 1, dopo una breveintroduzione sui VIA, si pone l’attenzione sui VSA, e in particolare suun precisa tipologia di attuatore. Il progetto cinetostatico del Capitolo 2fornisce le linee guida per lo sviluppo analitico dell’attuatore, il quale èsoggetto a una fase di ottimizzazione, nel Capitolo 3, finalizzata a garantirneun corretto funzionamento.Nel Capitolo 4, si affronta il problema progettuale, introducendo il ruoloassistivo e le specifiche dell’applicazione, che consentono di dimensionare ilprimo prototipo dell’attuatore. Nel Capitolo 5, infine, si propone il modellodi simulazione cinematica dell’attuatore.

Capitolo 1

Attuazione Cedevole

1.1 Variable Impedance Actuator (VIA)

Per definire cosa sia un VIA, risulta utile, prima di tutto, stabilire cosasi intende per attuazione rigida. Come già accennato, un attuatore rigido èun dispositivo in grado di muoversi secondo una traiettoria predefinita. Unavolta che la posizione desiderata viene raggiunta, questa viene mantenutaa prescindere dalle forze esterne agenti, entro i limiti fisici dell’attuatore.Vanderborght et al. [5] definiscono un attuatore a impedenza variabile comeun dispositivo che devìa dalla propria posizione di equilibrio, a seconda deicarichi esterni applicati e dalle proprie caratteristiche meccaniche (inerzia,rigidezza, smorzamento). L’equilibrio è definito come quella configurazioneper cui l’attuatore non genera alcuna forza o coppia. Tale definizione èspecifica per i soli VIA, in quanto non rispecchia il comportamento degliattuatori rigidi.Van Ham et al.[6] hanno distinto il campo di impiego in due gruppi:

Compliance nell’interazione uomo-robot:

• robot industriali: un attuatore di questo tipo può agire rigida-mente durante posizionamento di precisione a basse velocità,oppure con un certo grado di cedevolezza per rotazioni dei giuntiper i quali non è richiesta eccessiva precisione, come passare dauna posizione a un’altra. Esempi commerciali sono il robot car-

1

2 Attuazione Cedevole

tesiano SoftMove di ABB (Fig. 1.1a) e il robot Baxter prodottodalla Rethink Robotic (Fig. 1.1b).

• giocattoli per bambini contenenti motori elettrici: il bambino,durante il gioco, può imporre movimenti che danneggiano ilsistema di attuazione. Un’attuazione meno rigida scongiura ilpericolo di guasti e fornisce all’oggetto un comportamento piùnaturale.

• riabilitazione dell’apparato locomotore: robot come il LOKO-MAT (Fig. 1.1c) intervengono in maniera più o meno attivadurante la terapia per facilitare la camminata [7]. Inoltre, movi-menti indesiderati, causati da spasmi muscolari (molto comuninella riabilitazione post-ictus), potrebbero causare forze elevateda parte dell’attuazione rigida. Rendere il sistema di attuazio-ne cedevole permette di assorbire eventuali errori di posizione,garantendo l’incolumità del paziente.

In generale, nelle prime fasi di un processo riabilitativo, si potrebbedesiderare una rigidezza relativamente bassa, da aumentare di paripasso con il recupero delle capacità motorie del paziente.

Compliance per modificare la dinamica di un sistema meccani-co, rendendo il moto più naturale possibile e ottimizzando il consumoenergetico, per applicazioni quali:

• protesi robotiche: in molti casi la rigidezza viene fissata in fasedi progetto su un valore medio, determinando così la frequenzapropria del dispositivo. Ad esempio, per protesi transtibiali,il comfort desiderato viene raggiunto solo per una particolaresuperficie calpestata con una certa velocità di camminata. Un di-spositivo che permetta di regolare la rigidezza amplia il numerodi casistiche per cui questo comfort può essere raggiunto, ridu-cendo inoltre il rischio di patologie derivabili da un’incorrettaandatura [8]. Si riporta in Fig. 1.2a il BiOM Ankle System.

1.1. Variable Impedance Actuator (VIA) 3

(a) SoftMove (b) Baxter

(c) NEUROExos

Figura 1.1: Robot industriali a),b); robot con scopo riabilitativo c)

• robot umanoidi, in grado di correre e camminare: un attuatorecon cedevolezza regolabile permette di massimizzare la quantitàdi energia assorbita durante il contatto del piede del robotcon il suolo, che viene poi rilasciata al momento del distacco.Un’esempio è il robot COMAN [9] (Fig. 1.2b).

In [5] viene proposta una classificazione dei VIA, a seconda di come lecaratteristiche di rigidezza e smorzamento vengono impostate:

• Active impedance by control: la variazione di impedenza è realizzatatramite un controllo software che, in base alle misure effettuate sulsistema, genera una correzione tramite un attuatore rigido.

• Inherent compliance: l’attuatore è composto da un elemento cedevoleposto in serie a un attuatore rigido.


(a) BiOM Ankle System (b) COMAN

Figura 1.2: Dispositivi dotati di compliance meccanica

• Inherent damping: la struttura del dispositivo permette di agirefisicamente sullo smorzamento del sistema controllato.

• Inertial: la variazione d’impedenza avviene grazie a una massainerziale, che viene utilizzata per immagazzinare e rilasciare energia.

In questo lavoro di tesi si è posta particolare attenzione alla categoriainherent compliance, ovvero a quei dispositivi che sfruttano uno o piùelementi che sono intrinsecamente cedevoli. Questi si distinguono in mec-canismi dove l’elemento cedevole non può cambiare la propria rigidezza,per i quali quindi la regolazione dell’impedenza dipende dal controllo, emeccanismi dove la rigidezza viene impostata tramite una riconfigurazionemeccanica. I primi sono noti come Series Elastic Actuators (SEA), e consi-stono in una molla in serie a un attuatore rigido [10] (Fig. 1.3a). I secondi,invece, prendono il nome di Variable Stiffness Actuators (VSA) (Fig. 1.3b).Nel paragrafo successivo si introducono i concetti e le tecnologie di basedei VSA.

1.2 Variable Stiffness Actuator (VSA)

I Variable Stiffness Actuator sono dispositivi nei quali la complianceviene regolata tramite elementi elastici, in grado di immagazzinare energiae regolare la rigidezza.

1.2. Variable Stiffness Actuator (VSA) 5

(a) Series Elastic Actuator (SEA) (b) Variable Stiffness Actuator (VSA)

Figura 1.3: Un SEA è composto da un attuatore e un elemento cedevole inserie. Un VSA è caratterizzato da un elemento a cedevolezzaregolabile

I VSA richiedono due motori, impiegati in maniera congiunta o disaccop-piata nel controllo della posizione d’equilibrio e della rigidezza. Sempre in[5], viene riportata una prima classificazione dei VSA, distinti in base allamodalità con cui avviene la regolazione di rigidezza.

• Precarico della molla

– Molle antagoniste con motori antagonisti: sono richiestealmeno due molle non lineari; per regolare la rigidezza i mo-tori devono avere versi di rotazione discorde, per cambiare laposizione d’equilibrio i versi devono essere concordi (Fig. 1.5).

– Molle antagoniste con motori indipendenti: i motori par-zialmente disaccoppiano posizione d’equilibrio e controllo dellarigidezza.

– Regolazione del precarico di una singola molla tramiteun motore. Un secondo motore si occupa del controllo dellaposizione d’equilibrio.

• Rapporto di trasmissione variabile tra molla e carico

• Alterazione delle proprietà fisiche della molla

Gli stessi VSA vengono classificati da Tagliamonte et al. [11] secondoun altro criterio, maggiormente funzionale alla prima fase di questo lavorodi tesi. Il problema infatti è centrato sulle modalità di connessione trai motori rigidi del VSA e il carico. In questi termini, si parla quindi di


architetture serial, parallel, e di physically controllable impedance actuators(PCIA).

• Serial: appartengono a questa categoria gli attuatori per cui laposizione dell’albero di uscita è ottenuta come somma algebrica deglispostamenti dei due motori. Questi possono essere impiegati per con-trollare posizione e rigidezza simultaneamente o indipendentemente(Fig. 1.4). Lo svantaggio principale di questa configurazione riguardala massima coppia erogabile, pari a quella del motore più piccolo.Per ulteriori dettagli si rimanda a [11].

• Parallel: questo tipo di architettura prevede che la somma dellecoppie dei motori sia pari alla coppia agente sull’elemento di output.Ciò è reso possibile tramite due configurazioni distinte: purely parallele agonistic - antagonistic, quest’ultima ulteriormente scissa in simple,cross coupled e bidirectional (Fig. 1.5).

• Physically Controllable Impedance Actuators: a questa cate-goria appartengono tutte le soluzioni che non possono essere conside-rate nè serie nè parallelo. Uno dei motori è impiegato per modificarele proprietà elastiche del gruppo cedevole, l’altro per regolare laposizione d’equlibrio. A scopo esemplificativo, si riporta in Fig. 1.6 ilprincipio di funzionamento dell’AwAS [12]. Il motore M1 controlla laposizione del giunto ed è rigidamente connesso a un link intermedio;tra questo e il link di output sono interposte due molle. La distanzatra il centro di rotazione del giunto e il punto di attacco della mollaviene modificato dal motore M2 attraverso un sistema a vite a ricir-colo di sfere.

Di seguito si riportano i principi di funzionamento e alcuni esempi delletipologie di attuatori ritenute di maggior interesse per lo sviluppo del lavoro,ovvero l’architettura in parallelo basata su un funzionamento agonista-antagonista (Agonistic-Antagonistic Variable Stiffness Actuator, AAVSA)e i Physically Controllable Impedance Actuators (PCIA).

1.3. Stato dell’arte 7

Figura 1.4: Schema di un attuatore serial

(a) Simple (b) Cross Coupled

(c) Bidirectional

Figura 1.5: Tipologie di architetture parallel

1.3 Stato dell’arte

Agonistic - Antagonistic Variable Stiffness Actuators (AAVSA)Simple:un AAVAS, acronimo di Agonistic - Antagonistic Variable StiffnessActuator è un VSA composto da due SEA posti in parallelo rispettoun albero di uscita. Affinchè la rigidezza sia regolabile, i due elementielastici devono essere non lineari [13]. Per ottenere questo effetto,sono state proposte diverse soluzioni cinematiche (Fig. 1.7): perogni approfondimento, si rimanda alla review di Vanderborght etal. [5]. Se le coppie generate dai due motori hanno segni differentima stessa entità, queste si compensano e l’attuatore non genera


Figura 1.6: Esempio di PCIA

Figura 1.7: Elementi elastici non lineari: a) molle progressive, b) meccanismotriangolare, c) meccanismo triangolare adattato, d) meccanismo acamme, e) quadrilatero articolato, f) muscolo pneumatico

coppia sull’albero di uscita (Fig. 1.5a). Tuttavia, queste coppie oppo-ste permettono la regolazione del precarico del giunto, ovvero dellasua rigidezza torsionale [14]. Il Kinematic Transmission Mechanism(KTM) [11] utilizza questo schema di funzionamento per riprodurre lacontrazione agonista-antagonista dei muscoli del braccio (Fig. 1.8a).Un prototipo più complesso è il Variable Stiffness Joint (VSJ) [15]:due motori sono separati dal sistema cedevole, che è costituito da 4molle a balestra la cui flessione, regolata tramite differenti velocitàdei motori, è in realtà la resistenza torsionale dell’albero di output(Fig. 1.8b). Questa tipologia di attuatori, oltre ad essere caratterizza-ti da uno schema di funzionamento complesso, evidenziano il limitedi non poter erogare coppia nel caso di rigidezza massima.

1.3. Stato dell’arte 9

Cross Coupled:I limiti dei Simple AAVSA vengono parzialmente superati, introdu-cendo un elemento elastico che di fatto accoppia i motori e permettedi sfruttarne la coppia in entrambe le direzioni (Fig. 1.5b). II VSA-Iriportato in [16](Fig. 1.8c) prevede una cinghia di collegamento trai motori e l’albero di output. Questa viene tenuta in tensione da3 molle precaricate, mentre la cedevolezza è regolata tramite unarotazione discorde dei motori. Questo dispositivo, a causa della suameccanica, presenta basse capacità di carico.

Bidirectional:In questo caso, ad ogni motore sono associate due molle, che devonoessere necessariamente precaricate, affinchè l’attuatore eroghi coppiain ogni configurazione. I dettagli vengono affrontati in [14]. Unesempio è il VSA-II [17], che ha una struttura speculare. In ciascunametà la trasmissione tra motore e carico è costituita da un quadri-latero articolato. Il VSA-II è presentato come la seconda versionedel prototipo VSA-I, migliorandone le prestazioni ai valori estremidi rigidezza (Fig. 1.8d).

Physically Controllable Impedance ActuatorsUna panoramica dettagliata di questo tipo di attuatori è riportatain [6]. Alcuni di questi modificano la struttura fisica dell’elementocedevole, ad esempio attivando solo alcune delle spire di una molla,come nel caso del Jack SpringTM [18]. Il MACCEPA 2.0 [19] prevedeun motore impiegato nel posizionamento di una camma, sulla quale siavvolge un cavo collegato alla molla lineare. Appartengono a questacategoria anche attuatori che sfruttano un rapporto di trasmissionevariabile tra motore e carico. Tra questi si cita il VsaUT-II, chepermette di mutare la posizione lungo un’asta dell’elemento elastico,della forza applicata e del fulcro della rotazione dell’asta [20]. AwAS,AwAS-II [21] e CompAct-VSA [22] ne condividono l’idea di base di


(a) KTM (b) VSJ

(c) VSA-prototipo (d) VSA-II

Figura 1.8: Esempi di AAVSA

funzionamento, riportato in Fig. 1.10. Si cita anche il MESTRAN[23], nel quale il movimento rotatorio di un link viene convertito inlineare in modo da comprimere una molla. Ne risulta pertanto unacoppia torsionale sul giunto del link.

Dallo studio di questi dispositivi, è emerso che, nonostante sia possibileraggiungere consistenti escursioni di rigidezza sull’albero di uscita, spessonon si può altrettanto dire del range angolare di movimentazione. Volendosfruttare le proprietà di questi attuatori per qualsivoglia tipo di applicazione,si desidererebbe che l’attuatore fosse in grado di compiere un numeroillimitato di rotazioni, concetto valido per i motori tradizionali ma ancorain fase di studio per i VSA. Molti meccanismi inoltre richiedono manifatturadi precisione e assemblaggi precisi, incompatibili con una realizzazione

1.4. Architettura dell’attuatore 11

(a) Jack SpringTM (b) VsaUT-II

(c) MACCEPA 2.0

Figura 1.9: Esempi di PCIA

a basso costo, che rimane comunque un requisito fondamentale per larealizzazione di dispositivi commerciali.

1.4 Architettura dell’attuatore

La scelta della configurazione su cui basare il progetto è solitamentecompito arduo, strettamente legata all’applicazione e alla struttura dell’e-lemento cedevole che, come visto, può risultare parecchio complessa. Siforniscono ora, in via del tutto generale, le considerazioni che hanno pesatosulla decisione.L’architettura agonista-antagonista richiede complesse leggi di controllo,in quanto i motori sono impiegati simultaneamente nel controllo dellaposizione e della rigidezza, causando anche una riduzione dell’efficienzaenergetica [11]. D’altro canto un PCIA permette di disaccoppiare il con-trollo di posizione e rigidezza, incrementando le prestazioni dell’attuatore,


Figura 1.10: AwAS: regolazione della rigidezza tramite rapporto ditrasmissione variabile

al prezzo di un design più complesso. Inoltre, il motore che regola laposizione di equlibrio potrebbe non essere necessariamente solidale allaterra, complicando il sistema di alimentazione e il cablaggio in generale. Intal caso, sul primo motore grava, oltre la coppia richiesta per il precaricodel sistema elastico, anche l’inerzia del secondo motore. Potrebbe quindisorgere la necessità di impiegare un motore più grande. Per questa ragione,unitamente alle precedenti, si è optato per la realizzazione di un attuatorecon architettura agonista-antagonista.

1.5 Aspetti analitici di un AAVSA

Si illustrano ora le relazioni analitiche che governano un generico VSAcon architettura agonista-antagonista, il cui schema è riportato in Fig. 1.3a.Detta vm la coordinata della massa m, ve la coordinata della posizioned’equilibrio (ovvero senza forze esterne applicate) e ∆vm = vm − ve lo spo-stamento della massa rispetto l’equilibrio, la forza esercitata dall’attuatore

1.5. Aspetti analitici di un AAVSA 13

è definita comefa =

∫∆vm

ka(v) dv (1.1)

dove ka(v) è la rigidezza equivalente dell’attuatore. In condizioni quasistatiche o in cui m è trascurabile, si può affermare che fa = fe, ossia èpossibile determinare la forza esterna applicata grazie alla conoscenza dellelegge di rigidezza ka(v).Si consideri ora un AAVSA come quello riportato in Fig. 1.11, compostoda due motori rigidi j1, j2, due molle con rigidezza k1, k2 e una massa m.Il gruppo (ji, ki) costituisce, insieme alla massa m condivisa, l’i-esimo SEA(con i = 1,2).

mj1 j2k1 k2

fe

vm

f2f1

v

Figura 1.11: Struttura di un AAVSA

Sia vm la coordinata di m. La forza applicata dall’attuatore su m è

fa = f1 + f2 (1.2)

e, essendo i due SEA in parallelo, la rigidezza comlplessiva ka dell’attuatorevale

ka = k1 + k2 (1.3)

Per capire come agisca effettivamente la combinazione dei due SEA, siimmagini di connettere m al solo SEA1 e, in un secondo momento, al soloSEA2. Definito un sistema cartesiano di riferimento (f, v) a terra, conl’asse delle ascisse diretto come vm, si assuma come positivo il verso dellaforza f1 di Fig. 1.11. Sia inoltre fa = fe = 0, ossia su m agiscono solo iprecarichi delle molle f1 e f2, con f1 = f2. Si ponga infine k1 = k2 = k.Considerando m connessa al solo SEA1, per spostamenti di segno positivolungo v a partire dalla configurazione di Fig. 1.11, questa svilupperà una


forza f1 con andamento qualitativo compatibile a quanto riportato inFig. 1.12a. Al contrario, con m connessa al solo SEA2, la forza di richiamof2 ha andamento decrescente in modulo come in Fig. 1.12b, in virtù dellavariazione di lunghezza di k2. La combinazione dei due SEA fornisce larisultante fa, somma algebrica di f1 e f2 (Fig. 1.12c).

f1

f2

fa

v

v

v

(a)

f1

f2

fa

v

v

v

(b)

f1

f2

fa

v

v

v

(c)

Figura 1.12: Curva di forza di un VSA come combinazione delle forze f1, f2dei SEA: fa = f1 + f2

Facendo riferimento a Fig. 1.13, si definiscono le variabili

δ = (v2 − v1)/2 ξ = vm − ve (1.4)

1.5. Aspetti analitici di un AAVSA 15

come, rispettivamente, allungamento della molla e spostamento di mrispetto l’equilibrio. Queste coordinate, insieme alla legge k della molla,determinano l’entità di fa. Il punto di lavoro è definito dall’intersezione trala forza fe e la curva fa, mentre la posizione di equilibrio ve è determinatadalla condizione fe = 0

ve = (v1 + v2)/2 (1.5)

Figura 1.13: Curva di forza di un VSA funzione delle coordinate a terra v1,v2 delle molle k1, k2 e della forza esterna applicata fe

E’ lecito, a questo punto, valutare l’effetto della legge che descrive ksul funzionamento dell’attuatore. Si suppone di attribuire alla rigidezzauna forma polinomiale del tipo ki = k̂αui + β dove k̂, α e β sono costanti


(i = 1,2). In Fig. 1.14a si riporta l’andamento qualitativo di ki in funzionedi α. Si evidenziano tre condizioni significative

Figura 1.14: Influenza della rigidezza del SEA sulla rigidezza del VSAantagonista.

• Se α = 0→ ki = 1 +β ∀ui. Pertanto, ka = 2(1 +β) ∀δ, ξ. Impiegaremolle lineari, ossia con ki costante, non permette di cambiare larigidezza ka dell’attuatore.

• Se α = 1 → ki = k̂ui + β. Pertanto, ka = 2(k̂δ + β) ∀ξ. Larigidezza ka è funzione solamente di δ e non dipende da ξ, rendendoka indipendente da fe (Fig. 1.14b). Per questa ragione, la molla"quadratica", per la quale la forza è proporzionale al quadrato dellospostamento [13], viene spesso impiegata nei VSA [24].

• Se c 6= 0 e c 6= 1, ka, è funzione sia di δ che di ξ. Per cui, èpossibile regolare ka, ma è necessario controllare costantemente δ

1.6. Obiettivi della tesi 17

come funzione di ξ, ottenuto come segnale di feedback in grado digenerare una forza che compensi fe.

Il principio statico di funzionamento del VSA riportato vale indistintamentesia per attuatori lineari che rotativi.

1.6 Obiettivi della tesi

Le considerazioni analitiche finora esposte sono riportate in [25], dacui si è estrapolato lo schema di funzionamento del VSA rotativo su cuisi basa questo lavoro di tesi. L’archittettura agonista-antagonista vienerealizzata tramite due SEA rotativi basati su un meccanismo a camma,che compongono il vero e proprio attuatore. La prima parte della tesi haavuto come scopo l’ottimizzazione, in termini geometrici e di prestazioni,del dispositivo. Successivamente, l’obiettivo è stato il dimensionamentodel prototipo del VSA secondo le specifiche di progetto, a cui è seguitola realizzazione di un modello Simulink, per simulare il comportamentocinematico dell’attuatore.

Capitolo 2

Progetto Cinetostatico

2.1 RotWWC-VSA: Rotational Wire-WrappedCam VSA

Il RotWWC-VSA, acronimo di Rotational Wire-Wrapped Cam VSA, èun attuatore rotativo in grado di variare la rigidezza torsionale di un alberodi uscita tramite un meccanismo a camme. E’ composto da due RotWWC-SEA antagonisti, ognuno dei quali impiega una molla a rigidezza costante,una camma e un filo che, propriamente combinati, realizzano una mollatorsionale con una caratteristica di rigidezza non lineare modificabile. Nelleprossime pagine si presentano la geometria, il principio di funzionamento ela struttura del dispositivo.

2.1.1 Attuazione antagonista: RotWWC-SEA

Il meccanismo a camme rappresenta il cuore dell’attuatore. Permette,infatti, di ottenere una rigidezza torsionale non lineare, a partire da unamolla con rigidezza costante. Si consideri una camma (Fig.2.1), il cuiprofilo c è definito dalle coordinate polari (r, ϑ), rispetto il sistema diriferimento {c}. Il raggio r viene assunto funzione monotona crescentedi ϑ. Si identificano con A(rA, ϑA) e B(rB, ϑB) i punti dove r assume,rispettivamente, i suoi valori minimo e massimo. Si definisca ora un punto

19

20 Progetto Cinetostatico

T ∈ c, la retta t tangente a c e passante per T , e il punto H su t, allaminima distanza b da Oc.

Figura 2.1: Profilo della camma

L’ascissa curvilinea di T (rT , ϑT ) lungo c è

sAT =∫ ϑT

ϑA

ds =∫ ϑT

ϑA

√√√√r2 +(

drdϑ

)2

dϑ. (2.1)

L’angolo β, complementare dell’angolo acuto tra t e r, vale

β = ∠(HOcT ) = arctan(

1r

drdϑ

). (2.2)

La minima distanza b tra t e Oc è

b = OcH = r cos β. (2.3)

Considerando la camma rappresentata in Fig. 2.1, si faccia ora rife-rimento a Fig. 2.2 . La camma è avvolta da un filo w, le cui estremitàcoincidono con i punti A e S. In questo sistema, T indica il punto in cui wè tangente a c e divide lo stesso w in due parti: wc è avvolto su c tra A eT , wf è libero tra T e S. Risulta pertanto che w = wc + wf . Una molla atrazione sl, con lunghezza ll e rigidezza kl, ha le sue estremità coincidenti

2.1. RotWWC-VSA: Rotational Wire-Wrapped Cam VSA 21

con i punti S e E. E è libero di traslare su una circonferenza centrata inOc e di raggio rE.Si identifichi come configurazione di riferimento quella per cui T ≡ A.In questa configurazione, contraddistinta dall’apice 0, sl assume la sualunghezza minima l0l . La configurazione di riferimento è rappresentata inFig. 2.2 da una linea tratteggiata. Si definisce lo spostamento angolare diE come

∆γ = γ − γ0 (2.4)

dove γ = ∠(AOcE) and γ0 = ∠(AOcE0). All’aumentare di ∆γ, l’incre-

mento di filo wc avvolto sulla camma viene compensato dall’allungamentodi sl, definito come

∆ll = ll − l0l . (2.5)

Figura 2.2: RotWWC-SEA


La lunghezza totale del gruppo filo più molla, da A a E è

l = w + ll

= wc + wf + ll

= wc + TE, (2.6)

dove

TE = HE −HT

=√r2E − b2 − r sin β. (2.7)

Si ha pertanto

∆ll = (wc + wf + ll)− (w0f + l0l )

= wc + (HE −HT )− (H0E0 −H0A). (2.8)

La molla sl genera una forza fl funzione di ∆ll e della propria caratteri-stica forza-allungamento. Assumendo kl costante e che alla configurazioneiniziale sl sia scarica, la forza esercitata è

fl =∫

∆llkl dll = kl∆ll. (2.9)

l’impiego della camma descritta permette di tradurre kl in una molla atorsione virtuale posta in Oc, la cui rigidezza vale

kt = klb2. (2.10)

Per cui, la coppia τt applicata da w su c è

τt =∫

∆γklb

2 dγ. (2.11)

Il meccanismo realizza quindi una molla torsionale non lineare, chedipende dalla molla lineare e dal profilo della camma.

Volendo rendere l’attuatore più compatto e performante, sfruttando de-


formazioni maggiori della molla ma senza modificare il principio di fun-zionamento, si propone un design come quello riportato in Fig. 2.3. Lastruttura del RotWWC-SEA precedentemente introdotto viene modificata:il filo w si avvolge ora su una puleggia p, centrata in D e con raggio ρ.

Figura 2.3: RotWWC-SEA equipaggiato con puleggia p

Similmente a Fig. 2.2, il filo è vincolato alla camma in A e a sl in S. Laseconda estremità di sl si trova in E. I punti D e E ruotano attorno Oc adistanze costanti. Inoltre, la distanza tra di essi rimane invariata. Dette rDe rE le distanze di D e E rispetto Oc, si definisce l’angolo ψ = ∠(DOcE).Scelta una certa configurazione, questi tre parametri rimangono costanti.L’allungamento della molla rimane definito secondo la (2.5). Per quantoriguarda il filo w, questo può essere scomposto in quattro parti

• wc è avvolto su c, tra A e T . wc coincide con sAT , dove sAT è lo sviluppodella camma avvolta wc tra A e T , secondo la (2.1).

• wb è tra il punto T e U , giacente su p.wb = HU −HT , dove


HU =√r2D − (b− ρ)2

HT = r sin β.

• wp è avvolto su p, tra U e V , primo punto appartenente al rinvio .Si ha che wp = ρϕp, dove ϕp = ∠(UDV ).

• wf è il tratto libero tra V e S.

lf = V E = wf + ll =√DE

2 −DV 2 (2.12)

dove

DE2 = r2

D + r2E − 2rDrE cosψ

DV2 = ρ2.

Risulta pertanto che w = wc + wb + wp + wf . La lunghezza totale delgruppo filo più molla, da A a E, vale

l = w + ll

= wc + wb + wp + wf + ll

= wc + wb + wp + lf (2.13)

Si defiscono ora gli angoli che caratterizzano la struttura geometrica delRotWWC-SEA, secondo Fig. 2.4.

ϕ11 = arccosDU2 + r2

D −OU2

2DU rD

= arccosρ2 + r2

D −OU2

2ρ rD

(2.14)

ϕ13 = π/2− arctan( b

HU) (2.15)

ϕ12 = π − ϕ11 − ϕ13 (2.16)


O

U

rE

b

rD

V

E

HD

y

j11

j21 j31

jp

j12

j13

j32

j33

j22

j41

j42

b

T

r

qT

Figura 2.4: Angoli costitutivi del RotWWC-SEA

Se ψ ≤ π/2

ϕ21 =

π − arcsin(rE

DEsinψ

), se rE cos(ψ) ≥ rD

arcsin(rE

DEsinψ

), se rE cos(ψ) < rD

(2.17)

Altrimentiϕ21 = arcsin

(rEDE

sin(π − ψ))

(2.18)

ϕ22 = π − ψ − ϕ21 (2.19)

ϕ31 = arccosDE2 +DV

2 − V E2

2DE DV

= arccosDE2 + ρ2 − V E2

2DE ρ

(2.20)

ϕ33 = π/2− ϕ31 (2.21)


ϕ42 = arctan(HUb

) (2.22)

ϕp = 2π − ϕ11 − ϕ21 − ϕ31 (2.23)

Sia wp che EV sono costanti e dati dalla costruzione del meccanismo.Si noti anche che i segmenti OH e DU si mantengono paralleli al variaredi ∆γ. Similmente a quanto scritto in (2.5), l’allungamento di sl vale

∆ll = wc + (HU −HT )− (H0U0 −H0A). (2.24)

In questo caso, a differenza di quanto definito in (2.4), ∆γ è la differenzatra γ∠(AOcD) e γ0∠(AOcD

0)

γ = ϑT − β + ϕ42 + ϕ12 (2.25)

Lo spostamento angolare di E vale, pertanto

∆γ = γ − γ0 (2.26)

che coincide con la variazione angolare della molla torsionale equivalente.

2.1.2 Profilo di camma

Per definire la camma, si è scelto un profilo a spirale logaritmica, chepossiede una proprietà che ne semplifica lo studio: l’angolo β, definito in(2.2), rimane costante per ogni valore della coordinata ϑ.L’equazione in coordinate polari è

r = c1ec2ϑ (2.27)

dove e è la base del logaritmo naturale, c1 e c2 costanti reali e positive.Si definisce ora il rapporto tra rigidezza massima e minima della mollatorsionale equivalente generata dal meccanismo

Γkt = kt(B)/kt(A) (2.28)


dove kt(B) e kt(A) rappresentano, rispettivamente, kt per T ≡ B eT ≡ A.

Considerando costante la rigidezza lineare kl della molla impiegatanell’i-esimo RotWWC-SEA, combinando (2.3), (2.10) e (2.28), si ha

Γkt = kl(rB cos β)2

kl(rA cosβ)2 =(rBrA

)2(2.29)

Pertanto,

Γkt =(c1e

c2ϑB

c1ec2ϑA

)2

⇒ c2 = ln(Γkt)2∆ϑ (2.30)

in cui ∆ϑ = ϑB − ϑA. Dato il raggio massimo rB e l’escursione ∆ϑ, siha

c1 = rBec2∆ϑ . (2.31)

La ( 2.29) esprime la relazione fondamentale tra la compliance del-l’attuatore, rappresentata dal range di rigidezza che lo caratterizza, e lostrumento che garantisce la non linearità, ovvero la camma.Γkt,∆ϑ e rB sono quindi i parametri di progetto. La loro combinazionedetermina le dimensioni e le performance del VSA oggetto di studio. Para-metri di camma contenuti permettono di ridurre l’ingombro dei RotWWC-SEA. Γkt è invece indice di variabilità della rigidezza, ovvero dell’escursionedi compliance realizzabile.

2.1.3 RotWWC-VSA

Definiti i RotWWC-SEA che compongono l’attuatore, si mostra comequesti possano essere impiegati in maniera antagonista nella realizzazionedel VSA, secondo lo schema riportato in Fig. 1.11. Una rappresentazionedel RotWWC-VSA viene presentata in Fig. 2.5. Data l’equivalenza tra lesoluzioni proposte, si fa riferimento allo schema senza puleggia p di Fig. 2.2.Due camme sono montate, una affacciata all’altra, su di un albero. Tracamme e albero non è concesso alcun movimento relativo, in modo datrasmettere interamente la coppia generata dal filo w all’utilizzatore, rap-presentato dall’albero di output su cui sono fissate le due camme. Intorno,


i punti E e E’ sono liberi di muoversi in modo concentrico a una distanzarE rispetto il centro delle camme. Nel caso di RotWWC-SEA equipaggiaticon pulegge, i centri D e D’ ruotano in modo solidale con, rispettivamente,E e E’.Rotazioni discordi in verso di E e E’ permettono di variare gli allungamentidelle molle dei RotWWC-SEA, e quindi di regolare la rigidezza dell’attua-tore. Al contrario, rotazioni concordi implicano la ridefinizione del puntodi equilibrio, per il quale l’attuatore genera coppia nulla.

c1

c2

E

E'

Figura 2.5: Due RotWWC-SEA antagonisti compongono il RotWWC-VSA

In Fig. 2.6 si illustra il principio di funzionamento del RotWWC-VSAper diversi valori di δ e ξ, con

δ = (∆γ1 + ∆γ2)/2 (2.32)


c2

ll,2,1

g2,1

b1

c1

ll,1,1

g1,1

Ocxc

yc d1 = (Dg1,1+Dg2,1)/2 > 0

x1 = 0

c2

ll,2,2

g2,2

c1

l l,1,2

g1,2

Ocxc

yc d2 = (Dg1,2+Dg2,2)/2 > d1

x2 = 0

b2>b

1

c2

ll,2,3

g2,3

c1

ll,1,3

g1,3

Ocxc

yc

x3

d3 = (Dg1,3+Dg2,3)/2 = d1

x3 > 0

b3<b

1

Figura 2.6: Effetto delle variazioni di δ e ξ sul RotWWC-VSA


dove ∆γ1 e ∆γ2 identificano l’i-esimo RotWWC-SEA, mentre ξ è larotazione del sistema rispetto la configurazione di equilibrio. Un valoredi δ > 0 causa precarico delle molle, le quali, allungandosi compensano leparti di filo avvolte sui profili di camma c1 e c2. Una rotazione dell’albero,e quindi delle camme ad esso solidali, genera ξ > 0. In Fig. 2.6 si evidenziacome la distanza b definita in (2.3) sia funzione di entrambi i parametri δ eξ. Pertanto, la rigidezza torsionale equivalente del i-esimo RotWWC-SEA,definita in (2.10), è anch’essa funzione dei suddetti.

b = b(δ, ξ)→ kt = kt(δ, ξ) (2.33)

2.2 Dimensionamento del RotWWC-VSA

Si illustra ora la strategia di implementazione del modello del RotWWC-VSA.La prima parte ad essere creata è l’insieme delle caratteristiche geometrichee meccaniche del RotWWC-SEA, a partire da grandezze considerate notequali:

• i parametri di camma ϑA, ϑB, r(ϑ) ∀ϑA ≤ ϑ ≤ ϑB

• le distanze rD e rE, che unitamente all’angolo ψ e ai parametri dipuleggia ρ, ρest, definiscono l’ingombro del rinvio V E

• la rigidezza kl della molla sl.

Il meccanismo a camma viene generato per valori crescenti di ϑT , conϑA ≤ ϑT ≤ ϑB. Vengono quindi calcolati, secondo i procedimenti illustratial paragrafo 2.1.1

• la geometria del RotWWC-SEA

• le curve di forza fl e di coppia τt tramite le equazioni (2.9) e (2.11).

Le proprietà dei RotWWC-SEA vengono quindi combinate per determinarele curve, funzioni di δ e ξ, di rigidezza e coppia del RotWWC-VSA. Perfare ciò è necessario introdurre due nuove coordinate angolari, s1 e s2,

2.2. Dimensionamento del RotWWC-VSA 31

che descrivono la posizione assoluta dei RotWWC-SEA in funzione dellacombinazione di δ e ξ.Definiti gli estremi

δmin = ∆γ0 e δmax = ∆γmax (2.34)

ξmin = 0 e ξmax = ∆γmax/2 (2.35)

si has1 = δ − ξ e s2 = δ + ξ (2.36)

E’ possibile determinare la coppia τa del RotWWC-VSA secondo (1.2)e (2.11) e il generico andamento delle forze per due attutatori antagonisti,riportato in Fig. 1.12.Si ha, pertanto:

τa = τt(s2)− τt(s1) (2.37)

Similmente a quanto indicato in (1.3), la curva di rigidezza dell’attuatoreka viene determinata come

ka = kt(s1) + kt(s2) (2.38)

τa e ka sono definiti per ∆γ0 < s1 < ∆γmax e ∆γ0 < s2 < ∆γmax.In Fig. 4.8 si riportano i grafici qualitativi di ka e τa. Questi si presentanocome superfici funzioni di δ e ξ. Il massimo valore di coppia è raggiuntoper coordinata ξ = ξmax, con δ = ξ. I valori estremi di rigidezza si hannoin corrispondenza dei massimi valori di δ, con ξ = 0. Per δ = δmax/2,invece, si ha ξ = ξmax.

Occorre infine effettuare una precisazione riguardo il rapporto Γkt,definito nel paragrafo precedente. Riferendosi al RotWWC-VSA, unanotazione corretta prevvederebbe di utilizzare Γka, inteso come rapporto traka,max e ka,min. Si noti però che, per la struttura in parallelo dell’attuatore,è possibile affermare che

ka,max = 2 kt,maxka,min = 2 kt,min


ka

ξ

δ

δ

ξ

τa

00

ka,min

ka,max

0 0

δmax

(a) Coppia τa

ka

ξ

δ

δ

ξ

τa

00

ka,min

ka,max

0 0

δmax

(b) Rigidezza ka

Figura 2.7: Coppia e rigidezza dell’albero di uscita del VSA, funzioni di δ e ξ.

Si ha, quindi, che Γka ≡ Γkt. In seguito i due termini vengono pertantoutilizzati in maniera indistinta.

Capitolo 3

Ottimizzazioni

3.1 Introduzione

L’attuatore rotativo descritto presenta alcuni aspetti di natura geome-trica che possono dar luogo ad un non corretto funzionamento. Si consideriil design del RotWWC-SEA riportato in Fig. 3.1a. Affinchè sia garantito ilcorretto funzionamento su tutto il ∆γ desiderato, è necessario impedire cheil gruppo composto da molla sl e puleggia p entri in contatto con la camma.Per le stesse ragioni, si deve inoltre evitare che sl si avvolga su p, ovvero cheil segmento lf , riservato alle variazioni di lunghezza di sl, sia sufficiente dagarantirne la completa estensione. Il principio di funzionamento rotativoimplica una criticità per un angolo ∆γ che minimizza la distanza tra ilpunto B ∈ c e la puleggia p. Questo problema è di facile soluzione, eprevede di distanziare opportunamente rB e rD − ρest, dove rD − ρest è ilpunto a minima distanza tra Oc e p. Nell’ottica di favorire la compattezzadell’attuatore, la distanza dx può essere scelto piccola a piacere, con lenecessarie considerazioni sulle tolleranze di fabbricazione e montaggio deldispositivo. Si ha pertanto che rD = rB + ρest + dx.

33

34 Ottimizzazioni

Oc

T U

rE

wc

wb

crDV

E

A B

sl( ll, kl )

D

wf

wp

r

y

d l,max

S

xc

yc

p

d

(a) Parametri geometrici d’interesse

Oc

U

wc

wb

c

V

E

A

D

wf wp

r

S

xc

yc

p

ll ,max

lf

(b) Situazione limite per allungamento massimo di sl

Figura 3.1: RotWWC-SEA equipaggiato con puleggia p - considerazionigeometriche

3.1. Introduzione 35

Il passo successivo riguarda rE. Questo parametro è limitato inferior-mente, deve essere infatti rispettata la condizione rE ≥ rB + dx. Il criteriodi dimensionamento si basa sul fatto che, come accennato, la molla sl nonurti la camma. La minima distanza tra Oc e sl è

d = rE sin (ϕ22 + ϕ33)−Hl/2 (3.1)

dove Hl, noto come alesaggio della molla, indica l’ingombro radiale dellamolla totalmente compressa, per cui Hl ≥ dl, con dl diametro massimo disl. Gli angoli ϕ22 e ϕ33 sono definiti, rispettivamente, nelle equazioni 2.19e 2.21.Il vincolo che permette di evitare il contatto è identificato dalla disequazione

d > rB + dx (3.2)

Il secondo problema affrontato prevede il dimensionamento del rinviolf , definito in (2.12). Si deve garantire che sl possa raggiungere la sua lun-ghezza massima ll,max come riportato in Fig. 3.1 nella quale si rappresentauna condizione limite. Ciò avviene se è rispettato un secondo vincolo, ossia

lf > ll,max + ρest (3.3)

La struttura del RotWWC-SEA deve essere tale da soddisfare entrambii vincoli introdotti.

Una seconda fase di ottimizzazione è stata condotta sul RotWWC-VSA.Una caratteristica comune di alcuni VSAs è rappresentata dall’impossibili-tà di sfruttare l’intero intervallo di rigidezza per cui sono stati progettati.Si pensi, ad esempio, alla categoria degli attuatori agonisti-antagonisti conarchitettura simple presentata nella sezione 1.2. Raggiunto il precaricomassimo delle molle, si evidenzia, infatti, l’impossibilità di movimentare ilgiunto poichè l’estensione dei corpi elastici raggiunge i fine corsa.Il problema è presente anche nell’attuatore oggetto di studio, per il qualeuna buona parte del range di rigidezza torsionale rischia di non esserefruibile. Tale limitazione può essere superata prevedendo un extra-corsa in

36 Ottimizzazioni

fase di progetto. Si consideri ora la situazione riportata in Fig. 3.2a. Larigidezza torsionale ka assume il suo valore massimo quando il precaricodi entrambe le molle lineari dei RotWWC-SEA è al massimo, ovvero perδ = δmax con ξ = 0, come indicato anche dalla superficie di rigidezzariportata in Fig. 4.8b. Tale valore di ka non è pertanto sfruttabile, poichèla meccanica dell’attuatore non concede alcuno spostamento dalla posizioned’equilibrio. Facendo riferimento a Fig. 3.2b, forzare ξ a valori maggioridi 0 porta il meccanismo a perdere la proprietà di tangenza tra filo w eprofilo di camma c.La stessa situazione si presenta per δ = 0, ovvero per ka minima. Il limitidi ξ sono dovuti al fatto che i due RotWWC-SEA raggiungono i proprifine corsa (cioè per T ≡ A e T ≡ B) in maniera indipendente secondoi valori di ∆γ di ciascuno. Si è quindi provveduto a estendere il campodi funzionamento, permettendo all’attuatore di avere ξ 6= 0 per δ = 0 eδ = δmax.

3.1. Introduzione 37

c2

c1c1c1c2

g1,max

g2,max

c1

c2

g1,max

g2,max

Ocxc

yc

Ocxc

yc

d

g1,max

dmax

x = 0

ll ,maxll ,max

d'

(a) Situazione a δ = δmax, ξ = 0

c2

c1c1c1c2

g1,max

g2,max

c1

c2

g1,max

g2,max

Ocxc

yc

Ocxc

yc

d

g1,max

dmax

x = 0

ll ,maxll ,max

d'

(b) Situazione a δ = δmax, ξ > 0

Figura 3.2: Problemi di fine corsa

38 Ottimizzazioni

Di seguito si illustrano i principi risolutivi alla base dell’algoritmoche fornisce la configurazione ottimale per il corretto funzionamentodell’attuattore.

3.2 Ottimizzazione RotWWC-SEA

Si consideri, per ora, di conoscere:

• il profilo della camma, a partire da un Γkt desiderato (secondo la(2.29)), ovvero r(ϑ) ∀ ϑA ≤ ϑ ≤ ϑB

• la molla sl utilizzata e i relativi parametri: kl, l0l , ovvero la lunghezzadi sl alla configurazione di riferimento, e l’alesaggio Hl.

• la puleggia p, per la quale 2ρ è il diametro su cui si avvolge il filo, e2ρest è il diametro esterno che delimita la cava. Nelle figure riportatesi suppone, per semplicità di rappresentazione, che ρ ≡ ρest.

I parametri scelti come gradi di libertà sono rE, distanza di E da Oc, eψ∠(DOcE), che influenzano la geometria del rinvio V E.Pertanto, le grandezze lf e d (2.12, 3.1), sono funzioni di rE e ψ. Ivalori di rE e ψ per cui queste funzioni vengono calcolate sono limitatisuperiormente e inferiormente secondo alcuni criteri, di seguito descritti. Siè posta particolare attenzione ai valori estremi di rE, essendo uno dei fattoripiù influenti sulle dimensioni complessive dell’attuatore. Il limite inferiore,già citato, è posto a rE,min = rB + dx, quello superiore a rE,max = 2 rD.Il parametro ψ è oggetto di meno restrizioni, ed è fatto variare da pochiradianti fino a π.Per ogni configurazione si conosce la lunghezza del gruppo filo più molla l(2.13) per ogni valore di ∆γ, per cui è facile calcolare la lunghezza massimadella molla ll,max come

ll,max = lmax − l0 + l0l = ∆ll + l0l (3.4)

dove lmax corrisponde alla situazione ∆γ = ∆γmax e l0 a ∆γ = 0.

3.2. Ottimizzazione RotWWC-SEA 39

I valori di lf , d e lmax vengono poi interpolati: migliorando la discretiz-zazione dei dati calcolati si ottiene, infatti, un incremento della precisionedi selezione della geometria ottimale.

In Fig. 3.3 si riportano i grafici delle superfici di d e lf , funzioni di rE eψ.

d

ψrE

ψ rE

d

(a) d

lf

ψ rE

lf

ψ rE

(b) lf

Figura 3.3: Valori di d e lf , funzioni di rE e ψ

d

ψrE

ψ rE

d

(a) d

lf

ψ rE

lf

ψ rE

(b) lf

Figura 3.4: Applicazione dei vincoli d > rB + dx e lf > ll,max + ρest

Applicando le disequazioni (3.2) e (3.3)

d > rB + dx

lf > ll,max + ρest

40 Ottimizzazioni

lf

ψ rE

Figura 3.5: Valori di lf per cui entrambi i vincoli sono rispettati

parte delle coppie di configurazioni (rE,ψ) vengono scartate. A tal propositosi riprongono le figure precedenti a fronte dell’applicazione dei vincoli(Fig. 3.4). Affinchè sia garantito il corretto funzionamento, è necessariogarantire che entrambe le condizioni siano rispettate. Sovrapponendo lesuperifici, si evidenziano in Fig. 3.5 quei valori di lf per cui il requisitoviene rispettato.A questo punto, tutte le coppie (rE, ψ) che possiedono lf diverso dazero sono idonee a scongiurare urti indesiderati durante la rotazione deiRotWWC-SEA. La scelta della configurazione ideale corre su due possibilicriteri:

• adottare la coppia di (rE, ψ) che minimizza lf . In questo caso, lamolla sl, alla sua massima estensione, impiega tutto lo spazio concessonel rinvio V E (a meno del raggio esterno della pueggia ρest). Ognivalore al di sopra del minimo, infatti, sovrastima la dimensione delrinvio che, di fatto, non viene impiegato del tutto dalla molla. Lacondizione descritta potrebbe non essere quella a rE minimo.

• nell’ordine di minimizzare l’ingrombro del RotWWC-SEA, si puòprocedere selezionando il minimo dei valori di lf tra quelli chegarantiscono rE minimo.

La scelta, in questo caso, è ricaduta sulla seconda opzione. I passi dell’otti-mizzazione descritta sono schematizzato nel diagramma di flusso riportatoin Fig. 3.6.

3.2. Ottimizzazione RotWWC-SEA 41

r(q)k

l ll0 H

l

ρ ρest

ymin ≤

y ≤

y

max

rE,min

≤

rE

≤ r

E,max

RotWWC-SEAdlf

ll,max

y = ymax

rE = r

E,max

d > rB + dx

lf > l

l,max + r

est

min ( rE

) & min ( lf )

rE

y

NO

Sì

1. Noti il profilo della camma,la molla e la puleggia impiegate,si definiscono gli estremi dei valori

di y e rE.

2. Dimensionamento del RotWWC-SEA, e calcolo dellegrandezze soggette ai vincoli

per tutti i valori di y e rE .

3. Applicazione dei vincoli.

4. Individuazione della coppia (r

E , y)

che garantisce rE

e lf minimi.

Figura 3.6: Diagramma di flusso ottimizzazione RotWWC-SEA: a partire daalcune grandezze geometriche note, si determinano i valori di d e lffunzioni di ψ e rE . I vincoli geometrici forniscono la configurazioneottima.

42 Ottimizzazioni

3.3 Criterio di dimensionamento dicamma e molla

Nei paragrafi precedenti si sono esposte le relazioni che intercorronotra la geometria della camma e le molle. Nulla però si è ancora detto sulcriterio in base al quale queste grandezze vengono effettivamente calcolate.Si ripropone l’equazione (2.10), kt = kl b

2. L’inversa proporzionalità tra kle b2 esprime la difficoltà a coniugare dimensioni di camma contenute ((2.3)e 2.2)) e molle lineari realizzabili.Sapendo che ka,max = 2kt,max, è immediata la relazione

kl = ka,max/(2 b2max). (3.5)

La dipendenza di kl dai parametri di camma viene indagata in modogerarchico. Si assuma ϑA = 0. Per un valore di rB, l’andamento del raggior(ϑ) della spirale viene calcolato per diversi valori di ϑB, per ognuno deiquali si calcola kl, secondo la (3.5).Successivamente, si verifica se kl sia minore di una certa soglia imposta k∗

l ,ovvero

kl ≤ k∗l . (3.6)

L’operazione viene ripetuta incrementando ϑB fino a che la condizioneviene soddisfatta. Nel caso si arrivi al valore massimo ϑB = ϑB,max senzache ciò sia avvenuto, si procede incrementado il raggio rB.Trovato il kl desiderato, i corrispondenti rB, ϑB, c1 e c2 vengono assunticome parametri di progetto per la camma. Gli estremi dei valori di rB eϑB non sono soggetti a particolari restrizioni geometriche.In questo modo si realizza l’idea di profilare la camma in modo da prediligerelo sviluppi angolari maggiori rispetto l’aumento del raggio massimo rB. Lacondizione kl ≤ k∗

l dipende dalla costante di rigidità k∗l desiderata per la

molla lineare del RotWWC-SEA. La procedura descritta è riportata, sottoforma di diagramma di flusso, in Fig. 3.7.

3.4. Ottimizzazione RotWWC-VSA 43

kl ≤ k

l*

r(q)k

l

qB,min

≤ q

B ≤

q

B,max

rB,min

≤ r

B ≤

r

B,max

qB

= qB max

Γkt = k

a,max / k

a,min

r(q)k

l

Sì

NO

NO

Sì

1. Definiti gli estremi dei valori di r

B e q

B ,

si determina il profilo della camma per ciascuna coppia di r

B e

qB

, e la costante di rigidezza lineare associata.

2. Nel caso non risulti soddisfatta la condizione k

l ≤ k

l* , si

incrementa qB. Qualora questo

raggiunga il suo valore massimo q

B,max,

si procede incrementando rB

.

Figura 3.7: Diagramma di flusso ottimizzazione camma: ad un Γkl è associatauna rigidezza lineare kl, funzione dei parametri di camma rB eϑB.

3.4 Ottimizzazione RotWWC-VSA

Come accennato nel Cap.1, la natura di questo tipo di attuatore nonpermette di sfruttare appieno il range di rigidezza, a causa dei noti problemidi fine corsa. L’idea è quella di estendere il raggio di movimentazione deiRotWWC-SEA in modo da avere una corsa residua per valori estremi dirigidezza. La strategia risolutiva prevede che, in fase di progetto, vengaconsiderato un Γk∗

t , per il quale l’attuatore raggiunge i fine corsa, in modoche

Γk∗t > Γkt (3.7)

44 Ottimizzazioni

La maggiorazione del parametro garantisce la possibilità di movimentarel’albero di uscita dell’attuatore per valori estremi di rigidezza, ovvero chela coordinata ξ sia diversa da 0.Si vuole calcolare un Γk∗

t , a fronte di prestazioni richieste all’attuatore intermini di Γkt e ξ per valori estremi di ka. Si indicano con

Γkt,Tξmax,T , ξmin,T

i valori di Γkt e ξ desiderati per ka,min,T e ka,max,T . Questi sono contras-segnati dal pedice T . Dato un Γk∗

t , questo è strettamente legato alledimensioni della camma. Esso è infatti pari al quadrato del rapporto traraggio massimo e minimo della stessa (2.29). In base a quando detto in3.3, è possibile definire i parametri del profilo della spirale, e quindi r(ϑ),imponendo un limite k∗

l alla rigidità della molla lineare sl.Nota la completa geometria del problema e le proprietà della molla im-piegata, è possibile determinare le caratteristiche di rigidezza e coppiadei RotWWC-SEA che, accoppiate, determinano quelle complessive delRotWWC-VSA (sezione 2.2).Si calcola quindi

Γkt = ka,maxka,min

con

ka,max = ka(ξmin,T , δmax)

ka,min = ka(ξmax,T , δmin)

dove δmax e δmin vengono individuati sfruttando la monotonicità dellacurva di rigidezza ka rispetto δ (Fig. 4.8b). Γkt rappresenta, in sostanza,la compliance effettivamente sfruttabile, al netto dei problemi di fine corsa,a fronte del valore di progetto Γk∗

t .Si definisce la grandezza ε, funzione implicita di Γk∗

t

ε = abs(Γkt − Γkt,T ) (3.8)

3.4. Ottimizzazione RotWWC-VSA 45

che rappresenta lo scostamento tra il Γkt ottenuto e quello target. A questopunto si valuta ε per diversi valori di Γk∗

t . Il limite inferiore di Γk∗t viene

fissato pari a Γkt,T . Il limite superiore è una grandezza da scegliere concura, a seconda dell’applicazione richiesta. Valori troppo vicini a Γkt,Trischiano di causare la mancata convergenza a una soluzione. In basele simulazioni condotte durante lo sviluppo del progetto, si consiglia diutilizzare un coefficiente max(Γk∗

t ) / min(Γk∗t ) almeno pari a 3.

La funzione ε viene interpolata in modo da aumentarne il numero dicampioni, e se ne valuta il minimo. In questo modo si ottiene il Γkt chepiù si avvicina a Γkt,T , e che quindi rispetta i requisiti desiderati. Siosservi il grafico di Fig. 3.8. I piani paralleli al piano ξ, δ definisconol’ambito di lavoro del RotWWC-VSA, limitandolo ai punti dello spaziocon valori di ordinata compresa tra ka,min,T e ka,max,T . Valori di ka esterniall’intervallo non appartengono al campo di lavoro dell’attuatore. Leintercette tra la curva ka(ξ, δ) e questi due piani determinano due segmenti,che corrispondono a ξmax,T per il piano inferiore e ξmin,T per quello superiore.L’ottimizzazione del RotWWC-VSA, il cui diagramma di flusso è riportato

ka

ξ

δ

δ

ξ

τa

00

ka

δ

ξ

ka,min

ka,max

0 0

δmax

Figura 3.8: Campo di lavoro del RotWWC-VSA

in Fig. 3.9, unitamente ai procedimenti precedentemente illustrati, consentedi procedere al passo successivo dello studio dell’attuatore, ovvero laprogettazione di dettaglio secondo le specifiche richieste dall’applicazione.

46 Ottimizzazioni

xmax,T

xmin,T

Γkt,T

= ka,max,T

/ ka,min,T

kl ≤ k

l*

r(q)k

l

RotWWC-SEA

Γkt*

e= abs( Γkt - Γk

t,T )

qB,min

≤ q

B ≤

q

B,max

rB,min

≤ r

B ≤

r

B,max

Γkt = k

a,max / k

a,min

RotWWC-VSA

Γkt*Γk

t,*

min Γk

t,*

max≤ ≤

qB = q

B max

Sì

NO

Γkt* Γk

t,*

max=

min (e)

1. Impostazione dei valori target di rigidezza e range angolare del RotWWC-VSA.

2. Per ogni valore di Γkt* si

calcola la costante di rigidezza della molla,passando per il profilo della camma. Nel caso non risulti soddisfatta la condizione k

l ≤ k

l* , si

incrementa qB. Qualora

questo raggiunga il suo valore massimo q

B,max,

Si procede incrementando il raggio massimo r

B .

3. Dimensionamento dei RotWWC-SEA e del conseguenteRotWWC-VSA. Si calcola il Γk

t

dell'attuatore, a fronte del Γk

t* considerato.

4. Le operazioni vengono ripetute per tutti i valori di Γk

t* . Raggiunta

la condizione Γkt* = Γk

t,*

max ,si

determina il minimo di e, che corrisponde al Γk

t* cercato.

NO

Sì

NO

Sì

Figura 3.9: Diagramma di flusso ottimizzazione RotWWC-VSA: a partiredalle specifiche di progetto di rigidezza e spostamento, passandoper l’ottimizzazione della camma, della molla e della geometriadel RotWWC-SEA, è possibile ottenere il Γk∗

t cercato.

Capitolo 4

Progetto Meccanico

4.1 Applicazione del RotWWC-VSA

Si è già fatto riferimento, nel Cap.1, alla possibilità di impiego dei VSAper attuare meccanismi nei quali si richiede di variare la rigidezza durantel’esecuzione di un particolare task. Nel caso specifico, il RotWWC-VSA èstato pensato per attuare un esoscheletro pre-esistente, progettato con loscopo di assistere il movimento dell’arto superiore, affinchè sia consentitosfruttare il livello di mobilità residua dell’arto. Di seguito si definisconol’applicazione d’interesse e le conseguenti specifiche di progetto.

4.1.1 Robotica assistiva

La robotica assistiva è una disciplina trasversale rispetto alla roboticaindustriale e alla robotica avanzata [26]. La robotica industriale è lascienza che studia la progettazione e il controllo dei robot per applicazioniindustriali, dove l’ambiente risulta solitamente ben strutturato. Si hannonotevoli informazioni a priori su di esso, in particolare sulla posizionerelativa fra la macchina e gli oggetti da manipolare, e quindi i taskssono caratterizzati da notevole ripetitività e scarsa autonomia. Con iltermine robotica avanzata si intende quella scienza che studia sistemi conspiccate caratteristiche di autonomia, le cui applicazioni sono concepite perrisolvere problemi di operatività in ambienti ostili, come quello spaziale,sottomarino, nucleare, militare, o per eseguire missioni di servizio, come

47

48 Progetto Meccanico

compiti domestici e l’assistenza medica. La robotica assistiva studial’applicazione a sistemi di assistenza delle tecnologie sviluppate dallarobotica industriale e avanzata, con l’obiettivo di migliorare le condizionidi vita di soggetti invalidi mediante la realizzazione di ausili tecnici che nefacilitino i compiti della vita quotidiana [27].E’ in questo tipo di scenario che si inserisce l’utilizzo di un esoscheletro perarto superiore. Un esoscheletro è una macchina con giunti e link progettatiper coincidere e allinearsi con le articolazioni degli arti umani, in mododa vincolare e/o supportare tutti i link della catena cinematica umanad’interesse. Gli esoscheletri possono essere passivi oppure attuati. I primisono impiegati per ridurre o addirittura eliminare l’effetto della gravitàtramite l’utilizzo di elementi elastici e smorzanti, in modo da permettereal paziente di compiere movimenti secondo la propria mobilità residua [28].Soluzioni di questo tipo permettono al paziente di controllare direttamentel’esecuzione del task, ma richiedono una capacità muscolare residua. Negliesoscheletri attuati, invece, il movimento di uno o più giunti sono controllatida motori che guidano l’arto nello spazio, senza alcun controllo da partedel paziente del proprio movimento. Un esempio di esoscheletro attuatoè l’ARMin [29]. Dispositivi di questo tipo sono tuttavia ingrombranti ecostosi. Una soluzione ibrida, come l’esoscheletro a disposizione, prevede unsistema di attuazione affiancato a un sistema anti-gravitario, che permettedi sgravare il motore dalla coppia necessaria per sostenere l’arto.Facendo riferimento a Fig.4.1, si osserva che l’esoscheletro possiede tre gradidi libertà, ossia l’elevazione della spalla nel piano sagittale, la rotazionedella spalla in quello orizzontale, e la flesso-estensione del gomito. Lostudio del grado di libertà del gomito e del sistema anti-gravitario nonsono oggetto di studio di questa tesi. Per ulteriori approfondimenti edesempi si rimanda a [25] e [30]. Si pensi ora di attuare, il giunto spallatramite il RotWWC-VSA, posizionato come indicato in Fig.4.1.

Facendo riferimento a Fig. 4.2, si consideri il sistema di riferimento(x, y, z) posto in corrispondenza della capsula gleno-omerale, consideratacentro dell’articolazione della spalla. Sia ξ la coordinata angolare cheidentifica il movimento noto in anatomia come elevazione della spalla.L’asse di rotazione di ξ, coincidente con la direzione dell’albero di output

4.1. Applicazione del RotWWC-VSA 49

RotWWC-VSA

Figura 4.1: Posizione del RotWWC-VSA

del RotWWC-VSA, rappresenta il grado di elevazione della spalla, il cuiasse è parallelo al piano trasversale. E’ possibile, pertanto, regolarne larigidezza torsionale, secondo le procedure illustrate in 2.1.3.Si consideri ora una massa m impugnata dal soggetto a una distanza Larmdal centro della spalla, per una configurazione come quella riportata inFig.4.3a. Larm corrisponde alla lunghezza dell’arto superiore completamen-te steso. Il suo valore, calcolato tramite le tabelle antropometriche delcorpo umano [31], dipende dall’altezza H dell’individuo (Fig.4.3a):

Larm = Lu + Lf + Lh λ (4.1)

dove

• Lu è la lunghezza il braccio, o upper armLu = 0.186H è la lunghezza l’avambraccio, o forearm

• Lf = 0.146H


x

y

z

Piano sagittale

Piano frontale

Piano trasversalex

Figura 4.2: Piani del corpo umano e coordinate x, y, z, ξ

• Lh è la lunghezza la mano, mentre λ esprime la distanza del centrodi massa della mano rispetto il polso.Lh = 0.106H e λ = 0.506

La coppia richiesta per l’attuazione dell’esoscheletro è costituita da duecontributi. Il primo rappresenta la coppia necessaria per imprimere unospostamento angolare ξ a m, pari a

T = m g Larm cosξ (4.2)

dove g = 9.81 m/s2. A questa va aggiungo il contributo legato al precaricodelle molle dei SEA, il cui valore è determinato secondo la 2.11. Lacondizione riportata in Fig.4.3b risulta essere la più gravosa in termini dicoppia T . A questa si fa coincidere la condizione ξ = 0, che assume versopositivo per rotazioni come la freccia di Fig.4.3b. Volendo infine convertirela posizione angolare ξ in uno spostamento h del centro di massa della

4.2. Specifiche di progetto 51

Lu

Lf L

h

ξ > 0

90°

(a)

Lu

Lf L

h

ξ > 0

90°

(b)

Figura 4.3: Arto superiore

mano lungo l’asse y, si ha che

h = Larm ξ (4.3)

4.2 Specifiche di progetto

La natura assistiva del robot, e le prestazioni ad esso richieste, hannoavuto un ruolo fondamentale nel dimensionamento dei componenti dell’at-tuatore. Si è infatti deciso di attribuire alla rigidezza massima attuabileka,min,T uno spostamento massimo hmax,T della massa m lungo y. Talevalore di rigidezza può essere aumentato fino a ka,max,T . A questa condi-zione, si associa uno spostamento massimo hmin,T della massa m lungo y.


In termini di coppia si ha

Tξmin,T= m g Larm cos ξmin,T

Tξmax,T= m g Larm cos ξmax,T

dove

ξmin,T = hmin,TLarm

e ξmax,T = hmax,TLarm

.

In seguito, per la definizione di rigidezza torsionale, si ha

ka,min,T = Tξmax,Tξmax,T

e

ka,max,T = Tξmin,Tξmin,T

Combinando queste quantità si ottiene

Γkt,T = ka,max,Tka,min,T

ovvero il rapporto tra rigidezza massima e minima dell’attuatore.In Tab.4.1 si riportano le specifiche di progetto dell’applicazione, formulatein collaborazione con il personale bio-medico di ITIA.

4.2. Specifiche di progetto 53

Tabella 4.1: Specifiche di progetto.

Parametro Descrizione Valore Unità

H Altezza paziente 1.75 m

m Massa impugnata 0.50 kg

Larm Lunghezza braccio 0.675 m

hmax,T Spostamento di m a ka,min 0.18 m

hmin,T Spostamento di m a ka,max 0.05 m

ξmax Spostamento angolare di m a ka,min 0.267 rad

ξmin Spostamento angolare di m a ka,max 0.074 rad

Tξmin,TCoppia per ξmin,T 3.301 Nm

Tξmax,TCoppia per ξmax,T 3.193 Nm

ka,max,T Rigidezza massima desiderata 44.561 Nm/rad

ka,min,T Rigidezza minima desiderata 11.972 Nm/rad

Γkt,T Rapporto tra rigidezza massima e minima 3.721


4.3 Dimensionamento del RotWWC-VSA

Facendo riferimento al diagramma di flusso in Fig.4.4, combinandole ottimizzazioni definite nel Cap.3, è possibile dimensionare il prototipol’attuatore.

1. Γkt,T è il primo dei parametri coinvolti nell’ottimizzazione del RotWWC-VSA trattata in 3.4, e rappresenta il grado di compliance desideratoper l’attuatore. A questo sono associati i valori target di coppia T espostamento angolare ξ, definiti dal contesto applicativo riportatonel paragrafo precedente.

2. L’ottimizzazione del RotWWC-VSA, sempre secondo i procedimentiillustrati in 3.4, permette di ottenere un Γk∗

t che risolva i problemidi fine corsa, introdotti in 3.1.

3. Il passo successivo consente di dimensionare la camma e il suo profilor(ϑ), a fronte del Γk∗

t calcolato, come spiegato analiticamente in 2.1.2e secondo il criterio in 3.3. Tramite queste procedure si calcola ancheil kl della molla sl necessaria per il RotWWC-SEA, che rispetti ilvincolo kl ≤ kl∗.

4. A questo punto, è necessario definire gli altri parametri di molla ela puleggia, grandezze che concorrono all’ingombro complessivo delRotWWC-VSA.Per la Molla sl si hanno il diametro φl del filo, la lunghezza l0l a riposoe l’alesaggio Hl. I parametri di puleggia p sono invece il diametroρ su cui si avvolge il filo e il diametro ρest che delimita la cava di p,definendone l’ingombro radiale complessivo,

5. Si dimensiona il RotWWC-SEA, ottimizzandone la geometria se-condo le procedure in 3.2. Questo permette di scongiurare contattiindesiderati tra i componenti durante il funzionamento, grazie avalori di rE e ψ appropriati.


6. A questo punto, si hanno a disposizione tutte le grandezze necessarieper il dimensionamento definitivo del RotWWC-VSA, come illustratoin 2.2, che genera le relative curve di coppia τa e rigidezza ka.

xmax,T

= hmin,T

/ Larm

xmin,T

= hmax,T

/ Larm

Γkt,T

= ka,max,T

/ ka,min,T

ll0 H

l

ρ ρest

Ottimizzazione RotWWC-SEAr

E

y

Ottimizzazione RotWWC-VSAΓk

t*

r(q)k

l

ka,max,T

= Txmin,,T

xmin,,T

ka,min,T

= Txmax,T

xmax,T

RotWWC-VSA

1. Definizione dei requisiti di rigidezzae spostamento angolare.

2. Risoluzione problemi di fine corsa.

3. Determinazione profilo di camma r(q)

e rigidezza lineare della molla s(l).

4. Grandezze geometriche di molla e puleggia

5. Calcolo dei valori di rE e y

ottimali e dimensionamento del RotWWC-SEA.

6. Dimensionamento del RotWWC-VSA.

Figura 4.4: Diagramma di flusso complessivo di dimensionamento delRotWWC-VSA.


Di seguito, si propongono i valori di input utilizzati per il dimensiona-mento del prototipo del RotWWC-VSA.In Tab.4.2 sono contenuti i parametri relativi all’ottimizzazione del RotWWC-VSA e al dimensionamento della camma.

Tabella 4.2: Parametri e risultati ottimizzazione RotWWC-VSA, e relativiparametri di camma associati

Γk∗t,min Valore minimo di Γk∗

t 3.721Γk∗

t,max Valore massimo di Γk∗t 13.398

rB,min Valore minimo di rB 0.06 m

rB,max Valore massimo di rB 0.1 m

ϑB,min Valore minimo di ϑB 0.523 rad

ϑB,max Valore massimo di ϑB 4.712 rad

k∗l Costante di rigidezza lineare limite 1 dN/mm

Γk∗t Valore di Γk∗

t ottimo 9.022ϑB Sviluppo angolare massimo di camma 1.325 rad

rB Valore del raggio rB 0.060 m

c1 Costante della spirale logaritmica 0.0258 m

c2 Costante della spirale logaritmica 0.634kl Costante di rigidezza lineare 0.979 dN/mm

In Tab.4.3 sono contenuti i parametri relativi all’ottimizzazione delRotWWC-SEA, di cui si riporta la geometria ottimizzata rispetto i para-metri rE e ψ.

Il RotWWC-VSA richiede che la molla impiegata possegga caratteristi-che quali:

• lunghezza a riposo l0l pari a 0.05 m

• lunghezza massima ll,max pari a 0.0833 m

• un conseguente ∆ll pari 0.0333 m

• una costante di rigidezza lineare pari a 0.979 dN/mm


Tabella 4.3: Parametri geometrici e risultati ottimizzazione RotWWC-SEA

H Alesaggio molla 0.019 m

l0l Lunghezza a riposo molla 0.05 m

ρ Raggio di puleggia p 0.015 m

ρest Raggio esterno di puleggia p 0.02 m

dx Distanza minima tra camma e puleggia 0.01 m

rD Distanza OcD 0.089 m

rE,min Distanza OcE minima 0.069 m

rE,max Distanza OcE massima 0.180 m

ψmin Angolo ∠(DOcE) minimo 0.5 rad

ψmax Angolo ∠(DOcE) massimo 3.141 rad

rE Distanza OcE 0.0946 m

ψ Angolo ∠(DOcE) 1.308 rad

ll,max Lunghezza massima molla 0.087 m

∆ll Allungamento massimo molla 0.027 m

E’ stato possibile individuare una molla commercialmente disponibile concaratteristiche molto simili a quanto richiesto. Si tratta del modello agancio inglese T.190.250.0508.I, commercializzato dal produttore Vanel,di cui si riportano le specifiche in Tab.4.4.

Tabella 4.4: Molla T.190.250.0508.I

Diametro filo 0.0250 m

Diametro esterno 0.0190 m

Lunghezza a riposo 0.0508 m

Costante di rigidezza elastica 0.9511 dN/mm

Lunghezza massima 0.0746 m

Forza massima 25.80 dN

Alesaggio 0.0193 m


La molla scelta presenta un ∆ll massimo pari a 0.0238 m, a frontedei 0.0333 m richiesti a valle del dimensionamento. Il range di rigidezzadesiderato non è pertanto completamente sfruttabile, in quanto limitatodall’allungamento della molla utilizzata. Il valore ka,max,T viene rinominatoka,max,R e ridotto a 38.98 Nm/rad. Il corrispondente Γkt,R, rispetto ilΓkt,T desiderato, si riduce a 2.484, valore considerato comunque accettabileper l’applicazione richiesta.

In Fig. 4.5 si illustra il RotWWC-SEA per differenti valori di ϑT . Sinoti l’allungamento crescente di sl, rappresentato da una linea rossa.


(a) ϑT = 0rad (b) ϑT = 0.357rad

(c) ϑT = 0.715rad (d) ϑT = 0.107rad

(e) ϑT = 1.431rad

Figura 4.5: Simulazione cinematica


La relazione tra ∆γ e ∆ll è mostrata in Fig. 4.6a, mentre in Fig. 4.6b,cè riportato l’andamento delle rigidezze kl e kt che caratterizzano il mecca-nismo.

(a) Allungamento della molla ∆ll (b) Rigidezza torsionale delRotWWC-SEA

(c) Rigidezza lineare della molla sl

Figura 4.6: ∆ll, kt e kl funzioni di ∆γ.


L’ottimizzazione del RotWWC-SEA fornisce i grafici di d e lf di Fig.4.9ae Fig.4.9b. Applicati i vincoli 3.2 e 3.3, questi vengono modificati, assu-mendo gli andamenti di Fig.4.9a e Fig.4.9b. L’effetto dell’applicazione dientrambi i vincoli è visibile in Fig.4.10. Da questi valori si determina lageometria del RotWWC-SEA.Gli andamenti di coppia della molla torsionale equivalente e di forza dellamolla lineare sono rappresentate in Fig. 4.7.Infine, in Fig. 4.8, si riportano le superfici di coppia τa e rigidezza ka delRotWWC-VSA. Si noti come la rigidezza ka, a causa dell’ottimizzazionecondotta, risulti definita tra i piani a rigidezza massima ka,max,T e minimaka,min,T (3.4).A partire dalla massima coppia richiesta dai RotWWC-SEA, il cui valore èfissato attorno i 12Nm, è possibile effettuare un primo dimensionamentodi massima del sistema di attuazione con cui equipaggiare il dispositivo. Aquesto valore di coppia è necessario sommare metà della coppia richiestaper far compiere uno spostamento di m lungo la traiettoria studiata, poichèi SEA sono in parallelo. Questa, nella configurazione riportata in Fig.4.3,vale circa 3.3Nm, per un totale di circa 15.5Nm.Stabilita, su consiglio dello staff di ITIA, una velocità rotazionale massimadell’arto superiore pari a 150◦/s, è stato possibile individuare una combi-nazione motore-riduttore meccanico che garantisse i requisiti stabiliti.Si sono pertanto scelti due motori Maxon DC Brushless EC 45 Ø45 mm- 250W (codice articolo 136209), da accoppiare ad altrettanti riduttoriplanetari GP 52 C Ø52 mm, 4 - 30 Nm (codice articolo 223092), anch’essiprodotti da Maxon.


(a) Coppia esercitata sulla camma (b) Forza esercitata dalla molla lineare

Figura 4.7: Forza e coppia esercitata dal RotWWC-SEA funzioni dellarotazione di ∆γ.

(a) Coppia τa (b) Rigidezza ka

Figura 4.8: Coppia e rigidezza dell’albero di uscita del VSA funzioni di δ e ξ.


(a) Distanza d (b) Lunghezza del rinvio łf

Figura 4.9: Parametri di ottimizzazione del RotWWC-SEA funzioni di rE e ψ

(a) Distanza d - applicazione vincolo (b) Lunghezza del rinvio łf - applicazionevincolo

(c) Lunghezza del rinvio łf - applicazionedi entrambi i vincoli

Figura 4.10: Parametri ottimizzati, funzioni di rE e ψ.


Il progetto meccanico del RotWWC-VSA si è concluso col disegnoCAD, tramite il software Inventor, del primo prototipo del RotWWC-SEA, secondo i parametri geometrici calcolati in fase di dimensionamento.Il RotWWC-SEA completo è mostrato in Fig.4.11a, in cui si distinguonoi componenti principali, ossia il motore, il riduttore e il meccanismo acamme (Fig.4.11b). In Fig.4.11c si propone il dettaglio della trasmissionea cinghia posta tra l’albero del riduttore e il supporto su cui è montatoil meccanismo a camme. Il movimento dell’albero viene in questo modotrasmesso ai punti D e E (Fig.2.3), la cui rotazione causa una variazione dilunghezza della molla, permettendo di passare da una rigidezza kt minima(Fig.4.11d) a una kt massima (Fig.4.11e).


(a) RotWWC-SEA (b) Meccanismo a camma

(c) Collegamento meccanismo a camma- riduttore

(d) Rigidezza kt minima

(e) Rigidezza kt massima

Figura 4.11: RotWWC-SEA

Capitolo 5

Simulazione Cinematica

A seguito del dimensionamento del RotWWC-VSA, si è studiato ilcomportamento cinematico dell’attuatore per differenti situazioni di funzio-namento. Il modello di seguito presentato, in realtà, può essere visto comeuna prima rappresentazione cinematica di un generico attuatore con archi-tettura agonista-antagonista, introdotta nel Cap.1, di cui il RotWWC-VSAè un esempio. Il modello, realizzato in ambiente Simulink, permette divisualizzare l’andamento nel tempo di grandezze cinematiche quali sposta-mento, velocità e accelerazione di una massa m collegata a due molle nonlineari, attuate a loro volta da due motori. E’ possibile, inoltre, osservarel’andamento delle rigidezze del sistema, ovvero kt,1 e kt,2 dei SEA, e larigidezza complessiva ka.

5.1 Struttura del modello

Si faccia riferimento allo schema riportato in Fig. 5.1. In esso sidistinguono alcuni componenti significativi, di seguito presentati.

• I due blocchi di attuazione MotionM1 e MotionM2, posti alle estre-mità dello schema, contengono le leggi di moto con le quali si mo-vimentano i RotWWC-SEA che compongono il RotWWC-VSA. Lerotazioni imposte possono essere concordi, in modo da variare laposizione di equilibrio dell’attuatore, oppure discordi, permettendodi modificare il precarico delle molle e, di conseguenza, i valori di

67

68 Simulazione cinematica

xi_M

2 xi

T2

Rot

WW

C-S

EA

2

xi_M

1

xi

T1

Rot

WW

C-S

EA

1

Out

1

mot

ion_

M1

Out

1

mot

ion_

M2

Env

Mac

hine

Env

ironm

ent

Gro

und

BF

Rev

olut

e_M

1Jo

int A

ctua

tor

Join

t Sen

sor 1

CS

1

CS

3C

S2

Bod

y_m

Join

t Act

uato

r 2

Join

t Sen

sor2

BF Rev

olut

e_M

2

CS

1C

S2

Bod

y1

CS

1C

S2 B

ody2

B

F

Rev

olut

e_S

EA

1_m

B

F

Rev

olut

e_S

EA

2_m

BF R

evol

ute

mJo

int S

enso

r mJo

int I

nitia

l Con

ditio

n

Figura 5.1: Modello del RotWWC-VSA

5.1. Struttura del modello 69

rigidezze torsionali associati ai due RotWWC-SEA. In Fig. 5.2 sievidenzia il contenuto di MotionM1, nel quale compaiono gli inputdi posizione, velocità e accelerazione provenienti dal workspace diMatlab.

Figura 5.2: Contenuto del blocco MotionM1

• MotionM1 e MotionM2 agiscono, tramite due Joint Actuator, sualtrettanti Revolute Joint, che rappresentano i gradi di libertà ro-tazionali associati ai motori. Questi compaiono sotto il nome diRevoluteM1 e RevoluteM2, e sono fissati a terra tramite due blocchiGround.

• Le caratteristiche dinamiche e di rigidezza dei RotWWC-SEA sonorappresentate dai blocchi RotWWC − SEA1 e RotWWC − SEA2.Questi sono articolati, a loro volta, in due sotto-sistemi. Riferendosial RotWWC − SEA1 di Fig. 5.4a, esaminando i blocchi in essocontenuti, si hanno:

– il blocco kt,1,cam (Fig. 5.4b), all’interno del quale avviene ilcalcolo della rigidezza kt,1 funzione dello scostamento angolare∆γ, tramite l’utilizzo di una Lookup Table. L’andamento dikt,1, ottenuto in fase di progetto,è riportato in Fig. 4.6b. Lecoordinate s1 e s2, definite in 2.36 come le posizioni assolutedei RotWWC-SEA, considerano ora anche la possibilità che i


giunti dei motori siano attuati. Nel caso specifico, si ha:

s1 = ξM1 − ξ + δ (5.1)

dove ξM1 è la posizione angolare del motore M1, mentre ξ e δsono stati definiti in 2.1.3. Un JointSensor permette di leggerei valori di ξM1. La coordinata ξ è invece rappresentativa delBodym, posto al centro dello schema, di cui si parlerà a breve.In Fig. 5.3 si evidenzia come queste coordinate agiscano sullamolla torsionale virtuale generata dal sistema camma-mollalineare. Partendo da una lunghezza delle molle torsionali pari aδ, valori positivi di ξM1 causano, nel RotWWC-SEA1 riportatoin primo piano, un allungamento della molla lineare sl,1, conun conseguente aumento della coppia esercitata. Rotazioni ξpositive dell’albero di uscita dell’attuatore hanno invece effettocontrario, e generano una diminuzione della coppia erogata dalSEA. Noto s1, pertanto, è possibile determinare il corrispondentekt,1 tramite la Lookup Table all’interno di kt,1,cam.

c2

sl,2

dc1

sl,1

d

x

xM,1xM,2

Figura 5.3: Influenza degli spostamenti dei motori ξM1, ξM2 e dell’albero dioutput ξ sull’alungamento delle molle dei RotWWC-SEA


– Il valore di rigidezza kt,1 calcolato è uno dei parametri di inputal blocco seguente, nominato Custom Joint Spring&Damper1,riportato in Fig. 5.4c. Questo rappresenta un classico sistemamolla-smorzatore, con la peculiarità di poter lavorare con valoridi rigidezza k e smorzamento r variabili. Nel caso d’interesse,k ≡ kt,1, mentre r rappresenta il coefficiente di smorzamentodovuto alla dissipazione viscosa dell’acciaio, fissato generalmenteal 2%. Il sotto-sistema descritto permette anche di impostarevalori iniziali di posizione e velocità, che in questo caso vengonoposti pari a zero.Il sistema molla-smorzatore introdotto interagisce con il RevoluteJoint ad esso collegato, chiamato RevoluteSEA1m, di cui rilevaposizione e velocità. Queste misure, combinate con la rigidezzafornita da kt,1,cam e il coefficiente di smorzamento r impostato,permettono di generare un’attuazione in coppia RevoluteSEA1m

secondo laT1 = kt,1∆ξ1 + r∆ξ̇1 (5.2)

dove ∆ξ1 = ξ−ξM1 e ∆ξ̇1 sono, rispettivamente, lo spostamentoe la velocità relativi tra i due gradi di libertà rappresentati daigiunti RevoluteSEA1m e RevoluteM1. Il calcolo della coppiaT1 avviene sotto forma di prodotto vettoriale all’interno delsottosistema Torquesub, riportato in forma esplosa in Fig. 5.4d.


(a) RotWWC − SEA1

(b) kt,1,cam

(c) Custom Joint Spring&Damper1

(d) Torquesub

Figura 5.4: Composizione dei blocchi contenuti all’interno di RotWWC −SEA1. Grazie alle misure sui giunti, e alle caratteristiche variabilidi rigidezza, si determina la coppia esercitata dal RotWWC-SEA


• Il RotWWC-SEA2 è rappresentato dal blocco RotWWC-SEA2. Ilsuo funzionamento è del tutto analogo a RotWWC-SEA1, con l’unicaeccezione che, a causa della natura antagonista dei RotWWC-SEA,la coordinata assoluta s2, necessaria per il calcolo della rigidezza kt,2,è calcolata come:

s2 = ξ − ξM2 + δ (5.3)

Osservando infatti il RotWWC-SEA2 posto in secondo piano inFig. 5.3, si osserva come le posizioni angolari dell’attuazione M2e del Bodym agiscano in maniera opposta sull’allungamento di sl,2rispetto a quanto avvenga nel RotWWC-SEA1 su sl,1.La coppia T2 esercitata sul giunto RevoluteSEA2m vale:

T2 = kt,2∆ξ2 + r∆ξ̇2 (5.4)

dove ∆ξ2 = ξ − ξM2 e ∆ξ̇2 sono, rispettivamente, lo spostamento ela velocità relativi tra i due gradi di libertà rappresentati dai giuntiRevoluteSEA2m e RevoluteM2.Questi valori di rigidezza e coppia sono calcolati, rispettivamente,nei blocchi kt,2,cam e Custom Joint Spring&Damper2.

• I giunti RevoluteSEA1m e RevoluteSEA2m, come già spiegato, vedonol’applicazione delle coppie T1 e T2 da parte dei RotWWC-SEA. Aquesti sono collegate due Body, Body1 e Body2, i cui parametri dimassa e inerzia sono posti a zero. Simulink infatti non permette di col-legare direttamente tra di loro due blocchi Revolute Joint, che per ilRotWWC-SEA1 sono rappresentati da RevoluteM1 e RevoluteSEA1m.Annullare i parametri inerziali di questi blocchi consente di realizza-re il collegamento tra i giunti desiderati senza che la struttura delsistema sia modificata.

• Il blocco BodyM posto al centro dello schema rappresenta il peso mimpugnato dal paziente. Assumendo che m possa ruotare solamenteattorno l’asse di rotazione del motore e che la lunghezza dell’arto su-periore rimanga invariata durante il movimento, il momento d’inerzia


rispetto l’asse di rotazione indicato vale

Jm = L2arm m (5.5)

Pertanto, il tensore delle inerzie associato al Bodym risulta

J =

0 0 00 0 00 0 Jm

• Un ultimoRevoluteJoint, nominatoRevolutem, è connesso alBodym.Una delle porte di questo giunto è occupata da un blocco InitialCondition, grazie al quale è possibile imporre spostamenti e velocitàdiverse da zero alla massa m all’istante iniziale della simulazione.

5.2. Simulazioni 75

5.2 Simulazioni

Il modello presentato ha consentito un primo approcio allo studio dellacinematica del problema. A questo scopo, sono state condotte tre differentitipologie di prove per valutare la risposta del sistema a fronte di ingressisull’attuazione e sulla massa m. Tutte le prove sono state condotte perdiversi livelli di precarico delle molle torsionali virtuali dei RotWWC-SEA.Il range di rigidezza torsionale considerato utile per il singolo RotWWC-SEA è compreso tra due estremi, derivanti dall’ottimizzazione sui fine corsacondotta in fase di progetto e dal limite superiore imposto dall’allungamentomassimo della molla commerciale scelta.Si definisce la grandezza η come un valore percentuale indicativo dellacedevolezza dell’attuatore. Facendo riferimento a Fig. 5.5, la rigidezzatorsionale kt dei RotWWC-SEA può variare tra

• kt,min,T = ka,min,T/2 ' 6Nm/rad, ovvero il valore di rigidezza mi-nimo che consente all’attuatore una corsa non nulla ξmax,T pari alvalore di progetto riportato in Tab.4.1. A tale condizione, in terminirelativi rispetto l’escursione totale di rigidezza dell’attuatore, vieneassegnato η = 0%

• kt,max,R = ka,max,R/2 ' 19.5Nm/rad, dove kt,max,R è il valore dirigidezza torsionale del RotWWC-SEA per cui la molla raggiunge lamassima estensione, impedendo di fatto lo sfruttamento dell’interorange di rigidezza del SEA. A tale condizione, in termini relativirispetto il range di rigidezza totale dell’attuatore, viene assegnatoη = 100%.

Si definiscono, di seguito, le condizioni e gli scopi delle singole simula-zioni.

1. La prima simulazione valuta la risposta del sistema a fronte di unosquilibrio di posizione ∆ξ0 di m, ad attuatori bloccati. Lo scopo è


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

" .

0

5

10

15

20

25

30

kt

2 = 0%2 = 100%

Figura 5.5: Estremi di rigidezza un RotWWC-SEA e relativi valori di η

quello di valutare la frequenza propria del sistema, definita come

f = ω0

2 π (5.6)

dove ω0 =√kaJm

è la pulsazione associata e ka è la rigidezza torsionale complessivadell’attuatore, pari a kt,1 + kt,2.

2. La seconda simulazione prevede di osservare il comportamento delsistema a fronte dell’imposizione di una variazione di rigidezza. Apartire da un precarico delle molle associato a un allungamento δ,si attuano in maniera discorde i giunti RevoluteM1 e RevoluteM2, inmodo da aumentare o diminuire la rigidezza torsionale generata daiRotWWC-SEA, a fronte di uno squilibrio ∆ξ ≥ 0.

3. La terza simulazione prevede di attuare in maniera concorde i giuntiRevoluteM1 e RevoluteM2, in modo da valutare la risposta nel tempodi m a fronte di una variazione della posizione di equilibrio.

Di seguito si pone maggiore attenzione sulle singole prove, presentandoi parametri d’ingresso e le grandezze misurate a seguito delle simulazioni.

5.2. Simulazioni 77

Tutte le simulazioni sono state ripetute per diversi livelli di rigidezza delsistema, ovvero per valori di η compresi tra 0 e 1.La legge di moto imposta agli attuatori, sia per l’attuazione concordeche discorde, è una legge cicloidale, scelta in quanto permette di evitarediscontinuità di velocità e accelerazione durante il moto. In Fig. 5.6 siriportano i profili di posizione, velocità e accelerazione, a fronte di un’alzatarichiesta h pari a 0.6 rad in un tempo di azionamento ta pari a 1 s.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

[m]

Posizione

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

[m/s

]

Velocità

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

t [s]

-0.5

0

0.5

[m/s

2]

Accelerazione

Figura 5.6: Legge di moto cicloidale.

Simulazione 1

Non essendo prevista attuazione sui motori, le alzate h1 e h2 delleleggi di moto di MotionM1 e MotionM2 vengono poste entrambe a 0. Lasimulazione è stata ripetuta tre volte, secondo i parametri riportati inTab.5.1.

Si propongono i risulati e i grafici delle simulazioni condotte, conte-nenti gli andamenti delle rigidezze del sistema rispetto il tempo e rispettola coordinata ∆γ, e degli spostamenti di m durante il tempo di simulazione.


Tabella 5.1: SIMULAZIONE 1

η ∆ξ0 [rad] h1[rad] h2[rad] ta[s]1.a 0 0.15 0 0 01.b 0.5 0.15 0 0 01.c 1 0.15 0 0 0

1.a: si riportano, in Tab.5.2, i risultati numerici d’interesse.

Tabella 5.2: Simulazione 1.a

kt,1[Nm/rad] kt,2[Nm/rad] ka[Nm/rad] ξ[rad]Massimo 7.5877 7.6541 12.4720 0.1500Minimo 4.8179 4.8581 12.1094 −0.1445Regime 6.0704 6.0731 12.1181 0.0010

In Fig. 5.7a sono riportati gli andamenti temporali delle rigidezze torsio-nali kt,1 e kt,2 dei RotWWC-SEA. Queste, in controfase tra di loro, oscillanoattorno al proprio valore minimo, a causa dello squilibrio imposto su m.Dopo un transitorio di circa 15s, la rigidezza complessiva ka dell’attuatoresi stabilizza al valore di regime. In Fig. 5.7b In Fig. 5.7c sono visibili i valorimassimi, minimi e di regime della rigidezze riportati sul noto andamentodi kt,1 e kt,2 funzioni di ∆γ.Il raggiungimento di un regime da parte di ka permette di effettuare unaprima stima della frequenza propria del sistema a rigidezza minima, chesecondo la (5.6), risulta pari a circa 1.1613Hz. Infine, l’andamento dellaposizione di m nel tempo vede, dopo lo squilibrio iniziale imposto, un’o-scillazione prolungata attorno un valore nullo. La massa, pertanto, oscillarispetto la posizione di equilibrio (ξ = 0) dell’attuatore.

5.2. Simulazioni 79

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

t [s]

5

5.5

6

6.5

7

7.5

k t,1[N

m/r

ad]

kt,1

Valore massimoValore minimoValore di regime

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

t [s]

5

5.5

6

6.5

7

7.5

k t,2[N

m/r

ad]

kt,2


(a) kt,1, kt,2 funzioni di t

0 0.2 0.4 0.6 0.8

" . [rad]

0

5

10

15

20

25

30

k t,1[N

m/ra

d]

kt,1


0 0.2 0.4 0.6 0.8

" . [rad]

0

5

10

15

20

25

30

k t,2[N

m/ra

d]

kt,2


(b) kt,1, kt,2 funzioni di ∆γ

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

t [s]

11.9

12

12.1

12.2

12.3

12.4

12.5

12.6

12.7

k a[N

m/r

ad]

ka


(c) ka funzione di t

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

t [s]

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

9[r

ad]

9


(d) ξ funzione di t

Figura 5.7: Risultati simulazione 1.a


1.b: si riportano, in Tab.5.3, i risultati numerici d’interesse.

Tabella 5.3: Simulazione 1.b

kt,1[Nm/rad] kt,2[Nm/rad] ka[Nm/rad] ξ[rad]Massimo 15.8263 15.9365 25.4740 0.1500Minimo 9.5374 9.5981 24.5039 −0.1461Regime 12.2932 12.3015 24.5273 5.5130e− 04

Si osservi come l’aumento del precarico delle molle a un valore pari al50% del massimo valore di rigidezza sfruttabile causi un incremento dellafrequenza di oscillazione, che in questo caso risulta pari a circa 1.6517Hz. Irisultati sono supportati dai grafici di 5.8, nei quali si riscontra un aumentodei valori di regime di kt,1, kt,1 e conseguentemente di ka, che causano unaumento della frequenza del sistema.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

t [s]

8

10

12

14

16

k t,1[N

m/r

ad]

kt,1


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

t [s]

8

10

12

14

16

k t,2[N

m/r

ad]

kt,2



0 0.2 0.4 0.6 0.8

" . [rad]

0

5

10

15

20

25

30

k t,1[Nm

/rad]

kt,1


0 0.2 0.4 0.6 0.8

" . [rad]

0

5

10

15

20

25

30

k t,2[Nm

/rad]

kt,2



5.2. Simulazioni 81

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

t [s]

24.2

24.4

24.6

24.8

25

25.2

25.4

25.6

25.8

k a[N

m/r

ad]

ka



0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

t [s]

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

9[r

ad]

9



Figura 5.8: Risultati simulazione 1.b

1.c: la situazione esposta in precedenza viene in questo caso ulterior-mente amplificata. I risultati di Tab.5.4 confermano un aumento dellarigidezza fino al valore massimo. Si raggiunge inoltre la massima frequezadi oscillazione, pari a circa 2.0435 Hz. Di seguito, in Fig. 5.9, i graficirelativi alla corrente simulazione.

Tabella 5.4: Simulazione 1.c

kt,1[Nm/rad] kt,2[Nm/rad] ka[Nm/rad] ξ[rad]Massimo 24.9402 25.0976 39.4220 0.1480Minimo 14.3244 14.4017 37.4950 −0.1450Regime 18.8515 18.8210 37.5406 2.8873e− 04


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

t [s]

15

20

25

k t,1[N

m/r

ad]

kt,1


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

t [s]

15

20

25

k t,2[N

m/r

ad]

kt,2



0 0.2 0.4 0.6 0.8

" . [rad]

0

5

10

15

20

25

30

k t,1[N

m/ra

d]

kt,1


0 0.2 0.4 0.6 0.8

" . [rad]

0

5

10

15

20

25

30

k t,2[N

m/ra

d]

kt,2



0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

t [s]

37

37.5

38

38.5

39

39.5

40

k a[N

m/r

ad]

ka



0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

t [s]

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

9[r

ad]

9



Figura 5.9: Risultati simulazione 1.c

5.2. Simulazioni 83

Simulazione 2

Nelle simulazioni condotte in questa sezione, si è imposta una varia-zione di rigidezza ∆η tramite l’attuazione, in due versi opposti, dei giuntiRevoluteM1 e RevoluteM2. I segni delle alzate h1 e h2 sono, pertanto,discordi. Sia

∆η = ηta − η0 (5.7)

la variazione percentuale di rigidezza tra l’istante iniziale e finale. Per ivalori utilizzati si faccia riferimento a Tab.5.6.


∆η ∆ξ0 [rad] h1[rad] h2[rad] ta[s]2.a 1 0 0.7 −0.7 12.b −1 0 −0.7 0.7 12.c 1 0.15 0.7 −0.7 12.d −1 0.1 −0.6 0.6 1

2.a i risultati della simulazione, riportati in Tab5.6, evidenziano come, inassenza di squilibri, gli attuatori garantiscano il passaggio da una situazionea rigidezza minima a una massima senza alcun tipo di oscillazione. Laposizione di m, infatti, è sempre coincidente con l’equilibrio.

Tabella 5.6: Simulazione 2.a

kt,1[Nm/rad] kt,2[Nm/rad] ka[Nm/rad] ξ[rad]Massimo 19.6637 19.6637 39.3275 0Minimo 6.0547 6.0547 12.1094 0Regime 19.6637 19.6637 39.3275 0


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

t [s]

10

15

20

25

30

35

40

45

50

k a[N

m/r

ad]

ka



0 0.2 0.4 0.6 0.8

" . [rad]

0

5

10

15

20

25

30

k t,1[N

m/ra

d]

kt,1


0 0.2 0.4 0.6 0.8

" . [rad]

0

5

10

15

20

25

30

k t,2[N

m/ra

d]

kt,2




5.2. Simulazioni 85

2.b: l’attuazione dei giunti permette di passare da rigidezza massi-ma a minima. Valgono le stesse considerazioni fatte per la simulazioneprecedente.

Tabella 5.7: Simulazione 2.b

kt,1[Nm/rad] kt,2[Nm/rad] ka[Nm/rad] ξ[rad]Massimo 19.1018 19.1018 38.2036 0Minimo 5.9142 5.9142 11.8284 0Regime 5.9142 5.9142 11.8284 0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

t [s]

10

15

20

25

30

35

40

k a[N

m/r

ad]

ka



0 0.2 0.4 0.6 0.8

" . [rad]

0

5

10

15

20

25

30

k t,1[N

m/ra

d]

kt,1


0 0.2 0.4 0.6 0.8

" . [rad]

0

5

10

15

20

25

30

k t,2[N

m/ra

d]

kt,2





2.c: lo squilibrio ∆ξ0 causa oscillazioni ad alte frequenze delle rigidezzee di m attorno il valore di regime, per il quale infatti viene raggiunta larigidezza massima.

Tabella 5.8: Simulazione 2.c

kt,1[Nm/rad] kt,2[Nm/rad] ka[Nm/rad] ξ[rad]Massimo 23.0734 23.1195 39.9672 0.1500Minimo 4.8179 6.2188 12.3938 −0.1251Regime 19.7391 19.7179 39.4570 −2.8042e− 04

5.2. Simulazioni 87

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t [s]

5

10

15

20

25

k t,1[N

m/r

ad]

kt,1


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t [s]

5

10

15

20

25k t,2

[Nm

/rad

]k

t,2



0 0.2 0.4 0.6 0.8

" . [rad]

0

5

10

15

20

25

30

k t,1[N

m/ra

d]

kt,1


0 0.2 0.4 0.6 0.8

" . [rad]

0

5

10

15

20

25

30

k t,2[N

m/ra

d]k

t,2



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t [s]

15

20

25

30

35

40

k a[N

m/r

ad]

ka



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t [s]

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

9[r

ad]

9





2.d: Il passaggio a rigidezza minima avviene con oscillazioni a bassefrequenze dei parametri d’interesse. Come in precendeza, m oscilla attornola posizione di equilibrio, mentre ka oscilla attorno il valore minimo dirigidezza.

Tabella 5.9: Simulazione 2.d

kt,1[Nm/rad] kt,2[Nm/rad] ka[Nm/rad] ξ[rad]Massimo 21.3549 23.2172 39.0989 0.1479Minimo 5.5060 5.3526 13.8130 −0.1652Regime 6.9346 6.9759 13.9105 0.0019

5.2. Simulazioni 89

0 5 10 15

t [s]

5

10

15

20

25

k t,1[N

m/r

ad]

kt,1


0 5 10 15

t [s]

5

10

15

20

25k t,2

[Nm

/rad

]

kt,2



0 0.2 0.4 0.6 0.8

" . [rad]

0

5

10

15

20

25

30

k t,1[N

m/ra

d]

kt,1


0 0.2 0.4 0.6 0.8

" . [rad]

0

5

10

15

20

25

30

k t,2[N

m/ra

d]k

t,2



0 5 10 15

t [s]

15

20

25

30

35

40

k a[N

m/r

ad]

ka



0 5 10 15

t [s]

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

9[r

ad]

9



Figura 5.13: Risultati simulazione 2.d


Simulazione 3

Nell’ultima tipologia di simulazioni condotte si è posta particolareattenzione alla risposta della massam a fronte di uno spostamento concordedei motori secondo la legge di moto designata, che permette di variarela posizione di equilibrio per cui il RotWWC-VSA non genera coppia. Atal fine, oltre i parametri già utilizzati, si sono introdotti quelli di seguitoelencati:

• sovraelongazione massima percentuale S, ovvero l’ampiezza, in per-centuale, della sovraelongazione massima rispetto al valore di regime;

• il tempo Tm di massima sovraelongazione associato a S;

• tempo di salita Ts: tempo necessario affinchè lo spostamento passidal 10% al 90% del suo valore di regime;

• tempo di ritardo Tr: tempo necessario affinchè l’uscita raggiunga perla prima volta un valore pari al 50% del valore di regime;

• tempo di assestamento Ta,ε: tempo necessario affinchè il modulodella differenza tra lo sposamento e il suo valore di regime rimangadefinitivamente al sotto di ε %, cioè che l’oscillazione sia contenutatra (1− ε%) e (1 + ε%) del valore di regime.

Le simulazioni condotte, riportate in Tab.5.10, prevedono tre diversilivelli di rigidezza, e differenti tempi di azionamento ta a pari alzate h1 eh2. Non è previsto alcuno squilibrio ∆ξ0 su m. Il valore percentuale ε èvariabile, e per ogni simulazione è stato fissato a partire dall’osservazionedel comportamento oscillatorio della massa m.

3.a: In riferimento ai grafici di Fig. 5.14a, Fig. 5.14b si osserva come lerigidezze caratteristiche del sistema oscillino, dopo alcuni secondi, attornoun valore di regime pari al ka all’istante iniziale. Tale comportamentoconferma il fatto che la variazione della posizione di equilibrio avvienesenza alterare la rigidezza dell’attuatore. I valori estremi di kt,1, kt,2 e ka,riportati in Tab.5.12, di poco si discostano dai rispettivi valori di regime,

5.2. Simulazioni 91


η h1[rad] h2[rad] ta[s] ε

3.a 0.1 0.3 0.3 1 0.053.b 0.5 0.3 0.3 1 0.053.c 1 0.3 0.3 1 0.013.d 0.1 0.3 0.3 0.5 0.13.e 0.5 0.3 0.3 0.5 0.13.f 1 0.3 0.3 0.5 0.1

indicando escursioni di rigidezza contenute.La risposta in posizione dim è presentata in Fig. 5.14c, mentre in Fig. 5.14dsi osserva nel dettaglio la stessa grandezza nei primi istanti di simulazione.I parametri significativi della risposta in termini temporali sono riportatiin Tab5.11. La cedevolezza imposta al sistema genera un certo ritardodella risposta e una sovraelongazione importante, pari a circa il 23 % delvalore di regime.

Tabella 5.11: Simulazione 3.a: parametri di risposta di m

Massimo [rad] Regime [rad] S Tm[s] Ts[s] Tr[s] Ta,ε[s]0.3895 0.3002 0.2292 0.90 0.3400 0.5500 21.4800

Tabella 5.12: Simulazione 3.a: parametri significativi di kt,1, kt,2 e ka

kt,1[Nm/rad] kt,2[Nm/rad] ka[Nm/rad]Massimo 8.2318 8.3012 14.5211Minimo 6.2199 6.2706 14.3526Regime 7.1796 7.1736 14.3532


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

t [s]

6.5

7

7.5

8

k t,1[N

m/r

ad]

kt,1


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

t [s]

6.5

7

7.5

8

k t,2[N

m/r

ad]

kt,2



0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

t [s]

14.1

14.2

14.3

14.4

14.5

14.6

14.7

14.8

k a[N

m/r

ad]

ka


(b) ka funzione di t

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

t [s]

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

[m]

Risposta del sistema

Posizione massaValore di regimeTempo di assestamentoBanda di assestamento

(c) ξ funzione di t

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

t [s]

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

[m]

Risposta del sistema - dettaglio

Legge di motoTmTs 10%Ts 90%Tr

(d) ξ funzione di t - dettaglio


5.2. Simulazioni 93

3.b: Il livello di rigidezza viene, in questo caso, portato al 50% del valoremassimo. L’aumento di tale parametro causa oscillazioni del sistema piùcontenute in ampiezza (Tab.5.14) e a frequenze più elevate, come si evinceda Fig. 5.15b. Si registrano rispetto il caso precedente 3.a, decrementisignificativi dei parametri Ta,ξ e S, a fronte di un valore di picco dellaposizione raggiunto alla seconda sovraelongazione, probabilmente a causadi un valore di rigidezza associato minore rispetto a quello corrispondenteal primo picco.

Tabella 5.13: Simulazione 3.b: parametri di risposta di m


Tabella 5.14: Simulazione 3.b: parametri significativi di kt,1, kt,2 e ka


3.c: A rigiezza massima, le ampiezze d’oscillazione sono ulteriormenteridotte (Tab.(5.15, 5.16)), tant’è che il parametro ε relativo al tempo diassestamento viene ridotto all’ 1% del valore di regime. Si osservi come,per ka elevati, il posizionamento di m sia molto preciso, annullando difatto le oscillazioni ad alte frequenze viste nelle simulazioni precedenti pervalori massimi di rigidezza (Fig. 5.16).


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

t [s]

11.5

12

12.5

13

k t,1[N

m/r

ad]

kt,1


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

t [s]

11.5

12

12.5

13

13.5

k t,2[N

m/r

ad]

kt,2



0 5 10 15

t [s]

24.3

24.35

24.4

24.45

24.5

24.55

24.6

24.65

24.7

24.75

24.8

k a[N

m/r

ad]

ka



0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

t [s]

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

[m]




0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

t [s]

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

[m]





5.2. Simulazioni 95

Tabella 5.15: Simulazione 3.c: parametri di risposta di m


Tabella 5.16: Simulazione 3.c: parametri significativi di kt,1, kt,2 e ka



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

t [s]

18.5

19

19.5

20

k t,1[N

m/r

ad]

kt,1


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

t [s]

18

18.5

19

19.5

20

k t,2[N

m/r

ad]

kt,2



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

t [s]

37.9

38

38.1

38.2

38.3

38.4

38.5

38.6

k a[N

m/r

ad]

ka



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

t [s]

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

[m]




0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

t [s]

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

[m]





5.2. Simulazioni 97

3.d: Le ultime tre simulazioni prevedono di rivalutare le situazioniprecendenti a fronte di un tempo di azionamento ta dimezzato. Le maggioriaccelerazioni in gioco causano sovraelongazioni importanti, sia in terminidi rigidezza che di posizione di m (Tab.(5.17, 5.18). Per questo motivo,rispetto la simulazione 3.a, si è reso necessario rilassare la condizione diassestamento del segnale, scegliendo ε pari a 0.1.

Tabella 5.17: Simulazione 3.d: parametri di risposta di m


Tabella 5.18: Simulazione 3.d: parametri significativi di kt,1, kt,2 e ka



0 5 10 15 20 25

t [s]

6

7

8

9

10

k t,1[N

m/r

ad]

kt,1


0 5 10 15 20 25

t [s]

6

7

8

9

10

k t,2[N

m/r

ad]

kt,2



0 5 10 15 20 25

t [s]

14.2

14.4

14.6

14.8

15

15.2

15.4

15.6

k a[N

m/r

ad]

ka



0 5 10 15 20 25

t [s]

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

[m]




0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

t [s]

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

[m]




Figura 5.17: Risultati simulazione 3.d

5.2. Simulazioni 99

3.e: Facendo riferimento a Fig. 5.18, si osserva un inseguimento dell’u-scita di m, rispetto la legge imposta, molto simile al caso precedente. Ladiminuzione dei parametri S,Tm e Ts suggeriscono una risposta più prontadel sistema. Compaiono, inoltre, gli oramai noti contributi oscillatori inalta frequenza su ka e xi.

Tabella 5.19: Simulazione 3.e: parametri di risposta di m

Massimo [rad] Regime [rad] S Tm[s] Ts [s] Tr[s] Ta,ε[s]0.4819 0.3002 0.3770 0.5500 0.1850 0.2750 21.0500

Tabella 5.20: Simulazione 3.e: parametri significativi di kt,1, kt,2 e ka



0 5 10 15 20 25 30

t [s]

8

10

12

14

16

18

k t,1[N

m/r

ad]

kt,1


0 5 10 15 20 25 30

t [s]

8

10

12

14

16

18

k t,2[N

m/r

ad]

kt,2



0 5 10 15 20 25

t [s]

24.4

24.6

24.8

25

25.2

25.4

25.6

25.8

26

26.2

k a[N

m/r

ad]

ka



0 5 10 15 20 25 30

t [s]

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

[m]




0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

t [s]

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

[m]




Figura 5.18: Risultati simulazione 3.e

5.2. Simulazioni 101

3.f : La situazione di spostamenti concordi degli attuatori a rigidezzamassima vede un’ulteriore decremento di S, Tm e Ts. In questo caso, adifferenza di 3.c, si registrano prolungate oscillazioni ad alte frequenze, acausa del tempo di azionamento ta ridotto.

Tabella 5.21: Simulazione 3.f : parametri di risposta di m


Tabella 5.22: Simulazione 3.f : parametri significativi di kt,1, kt,2 e ka



0 5 10 15 20 25 30

t [s]

14

16

18

20

22

24

26

k t,1[N

m/r

ad]

kt,1


0 5 10 15 20 25 30

t [s]

14

16

18

20

22

24

26

k t,2[N

m/r

ad]

kt,2



0 5 10 15 20 25

t [s]

38

38.5

39

39.5

40

k a[N

m/r

ad]

ka



0 5 10 15 20 25 30

t [s]

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

[m]




0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

t [s]

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

[m]




Figura 5.19: Risultati simulazione 3.f

5.3. Commenti alle simulazioni 103

5.3 Commenti alle simulazioni

Le simulazioni condotte hanno permesso di validare il funzionamentodel RotWWC-VSA. La prima simulazione, condotta per determinare lefrequenze proprie del sistema, ha confermato la dipendenza delle frequenzedal valore di rigidezza impostato. Gli andamenti temporali delle rigidezzee della posizione di m hanno evidenziato, infatti, periodi di oscillazioneT = 1/f sempre più ridotti all’aumentare di η. Si sono condotte alcuneverifiche grafiche dei periodi di oscillazione, che hanno confermato la bontàdi stima delle frequenze proprie.La seconda strategia simulativa ha confermato che la regolazione di rigi-dezza del RotWWC-VSA avviene senza generare spostamenti di m dallaposizione di equilibrio. L’introduzione di uno squilibrio ∆ξ0 è causa dioscillazioni attorno i valori di regime delle grandezze considerate. Ancorauna volta, si osserva come, a fronte di un ∆ξ0 all’istante iniziale, la massam tenda a ritornare alla posizione di equilibrio, con comportamenti più omeno oscillanti a seconda del segno del ∆η imposto.La terza prova, incentrata sulla riposta del sistema a fronte di un ingressoconcorde sull’attuazione, ha permesso di verificare che la posizione a regimedi m raggiunge effettivamente la nuova posizione di equilibrio imposta. Siaper tempi di attuazione ta pari a 1 s o 0.5 s, all’aumentare della rigidezzaka del sistema, l’uscita, ovvero la posizione di m nel tempo, tenda a seguirecon meno ritardo la legge imposta. Un comportamento più rigido, pertanto,è sinonimo di maggiore prontezza del sistema. Le oscillazioni generate,in termini di ampiezza e frequenza, sono influenzate, ancora una volta,dal valore di rigidezza considerato, ma anche dal ta adottato. Accelerazio-ni maggiori infatti causano incrementi importanti delle sovraelongazionimassime S. In tutte le prove nelle quali si sono verificati dei transitoriprolungati causati da squilibri o dall’attuazione dei motori, si osserva comeil decadimento dei picchi di oscillazione sia piuttosto lento. Tale com-portamento trova spiegazione nel coefficiente di smorzamento r utilizzato,che si ricorda pari al coefficiente di smorzamento viscoso dell’acciaio. E’lecito aspettarsi che, in condizioni di utilizzo, l’attrito tra i corpi causi unariduzione del comportamento oscillatorio più marcata.

Conclusioni

Questo lavoro di tesi si proponeva come obiettivo principale lo studiodi un attuatore a rigidezza variabile rotativo, inteso come dispositivo ingrado di regolare la rigidezza torsionale dell’albero di uscita dell’attuatorestesso. Questa proprietà ha permesso di associare il RotWWC-VSA a unesoscheletro, in modo da permettere l’attuazione cedevole del giunto spalla.Il percorso intrapreso si è sviluppato su più livelli. La prima fase ha vistolo sviluppo di funzioni di ottimizzazione nel linguaggio di programmazionePython, per le quali si è reso necessario lo studio approfondito della geome-tria e del funzionamento dell’attuatore. Le ottimizzazioni condotte hannopermesso di escludere geometrie del dispositivo che ne compromettesseroil funzionamento, garantendo comunque dimensioni finali dell’attuatorecontenute.Il primo progetto del prototipo, le cui specifiche in termini di coppia erigidezza sono state definite nell’ambito della robotica assistiva, ha visto ildimensionamento della geometria del RotWWC-VSA e delle caratteristichedi coppia, forza e allungamento della molla richiesti per l’applicazione. Lanecessità di utilizzare una molla commerciale ha introdotto una limita-zione del range di rigidezza esercitabile dall’attuatore, che si è comunquemantenuto a un valore accettabile.Questi valori sono stati utilizzati per il dimensionamento dei due motorie dei riduttori meccanici. E’ stato inoltre realizzato un disegno CAD delprototipo dei RotWWC-SEA.Infine, la generazione di un modello Simulink per il generico attuatoreantagonista ha permesso di simulare il comportamento del sistema perl’applicazione studiata, validando il funzionamento del RotWWC-VSA

105

106 Conclusioni

entro i limiti imposti dal modello stesso.

Sviluppi futuri

Trattandosi di un primo prototipo, il RotWWC-VSA può essere sogget-to a diverse migliorie, che ne favoriscano un incremento delle prestazioni edella compattezza.Il profilo della camma, scelto per le semplici proprietà della spirale logarit-mica, può essere ottimizzato in modo da ottenere un profilo di rigidezzadel RotWWC-SEA desiderato.Dal punto di vista delle ottimizzazioni, si potrebbe pensare di utilizzaresolutori ottimizzati per problemi non lineari, in modo da aumentare laprecisione e l’efficacia delle operazioni.E’ sicuramente necessario, invece, completare il dimensionamento dei com-ponenti meccanici dell’attuatore, quali cuscinetti, ruote dentate e cinghiedi trasmissione, secondo i carichi richiesti dall’applicazione in questione.Per quanto riguarda l’ambiente simulativo, il modello Simulink può esseremigliorato introducedo un modello di stima dell’attrito tra i componentimeccanici.

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Politecnico di Milano due molle non lineari; per regolare la rigidezza i mo-toridevonoavereversidirotazionediscorde,percambiarela posizioned’equilibrioiversidevonoessereconcordi(Fig.1.5)