P.C.E.M. 1

ENSEIGNEMENT DIRIGÉ

DE

PHYSIQUE

ANNÉE UNIVERSITAIRE 2009-2010

P.C.E.M. 1

ENSEIGNEMENT DIRIGÉ

DE

PHYSIQUE

Charles Antoine, Romain Bernard, Gwenaël Boué, Alain Chevy, Bernard Clerjaud, Jean-Pierre Coignac, Josselin Desmars, Benoit Eble,

Guillaume Ferlat, Ségolène Guilbaud, Gérald Lelong, Sandra Ninet, Dimitri Oustinov, Cyril Szopa, Philippe Thomen, Pascal Vincent

ANNÉE UNIVERSITAIRE 2009-2010

Avant-propos L’enseignement de la physique en PCEM 1 a vocation à apporter des connaissances fondamentales indispensables à la formation d’un futur médecin. Il doit apporter aux étudiants des outils conceptuels et méthodologiques pour leur permettre de comprendre le monde naturel et technique qui les entoure. Il vise aussi à l’acquisition de méthodes scientifiques, empreintes de rigueur et de sens critique permanent, qui doivent notamment permettre aux étudiants d’analyser la pertinence de leur démarche : modèle utilisé et ses limites, influence des paramètres, homogénéité des formules, ordres de grandeur …. Ces compétences ne peuvent s’acquérir que grâce à un travail personnel important et pertinent. Pour un étudiant maîtrisant les notions de physique et de mathématiques enseignées au lycée, le travail personnel nécessaire (hors cours et ED) est estimé à une centaine d’heures. Ce travail personnel ne peut en aucun cas se limiter à la lecture de livres ou de documents ; il doit impérativement passer par l’utilisation « de papier et de crayon ». Une bonne démarche est décrite ci-dessous :

1° Travailler et apprendre le cours le plus tôt possible. Il ne faut pas se contenter d’apprendre « des formules », mais il convient également d’acquérir les raisonnements et démarches scientifiques qui y sont développés. Cela peut passer par une rédaction personnelle du cours à l’aide des notes prises pendant celui-ci et des documents mis à la disposition des étudiants (diapositives, vidéo du cours …).

2° Essayer de faire avant une séance d’ED quelques-uns des exercices proposés dans la feuille qui y sera traitée de façon à s’assurer de la maîtrise convenable de l’essentiel des notions du cours sur lesquelles s’appuie la feuille d’ED. Il est indispensable de s’être imprégné des énoncés de tous les exercices avant la séance d’ED. Venir à une séance d’ED sans connaître le cours correspondant à la partie du programme sur laquelle elle s’appuie serait complètement stérile.

3° Après la séance d’ED et pendant la période de « révisions », refaire, sans l’aide de documents (autant que faire se peut), des exercices bien choisis issus des feuilles d’ED. Bien sûr, il est aussi recommandé de « s’attaquer » à des exercices, non traités en ED, issus de livres ou d’annales par exemple.

Table des Matières

Page Notions de mathématiques 1 Mécanique 3 Hydrostatique 7 Hydrodynamique 12 Les ondes A. Ondes progressives 26 B. Ondes acoustiques 1 29 C. Ondes acoustiques 2 33 D. Effet Doppler 40 E. Interférences – Ondes stationnaires 43 Radioactivité 1 47 Radioactivité 2 49 Radioactivité 3 54

1

NOTIONS DE MATHEMATIQUES

1 Trigonométrie

• Développer cos a + b( ) et

sin a + b( ) en fonction de cosa, cosb, sina et

sinb. • En déduire les expressions de cos 2x et sin2x en fonction de sin x et

cos x . 2 Dérivation – Intégration

Rappel sur la notion de dérivée. Soit f x( ) une fonction à une seule variable x. La

dérivée de f par rapport à x en x

0 est :

f x0( ) =

df

dxx

0( ) = limx 0

f x0+ x( ) f x

0( )x

.

Cette notion se généralise aux fonctions de plusieurs variables. Par exemple, soit

g x,y( ) une fonction à 2 variables. On définit la dérivée partielle de

g x,y( ) par

rapport à x en x

0,y

0( ) comme :

xg x

0,y

0( ) =g

xx

0,y

0( ) = limx 0

g x0+ x,y

0( ) g x0,y

0( )x

Et la dérivée par rapport à y en x

1,y

1( ) par :

yg x

1,y

1( ) =g

yx

1,y

1( ) = limx 0

g x1,y

1+ y( ) g x

1,y

1( )y

On remarque que les dérivées partielles des fonctions à plusieurs variables se calculent exactement de la même manière que les dérivées des fonctions à une

variable. Par exemple, les dérivées partielles de f x,y( ) = 2x2y + x y sont :

xf x,y( ) = 4xy + y

yf x,y( ) = 2x2

+x

2 y

La dérivée d’une fonction à une variable permet de connaître la façon dont varie

la fonction lorsqu’on se déplace d’une petite quantité x autour de x

0. On a :

f = f x0+ x( ) f x

0( ) =df

dxx

De la même manière, la variation d’une fonction à 2 variables autour de x

0,y

0( ) lorsqu’on se déplace de x suivant les abscisses et

y suivant les ordonnées

est :

g = g x0+ x,y

0+ y( ) g x

0,y

0( )g

xx

0,y

0( ) x +g

yx

0,y

0( ) y

2

• Calculer les dérivées partielles x

f x,t( ), tf x,t( ), x t

f x,t( ), t xf x,t( ),

x

2f x,t( ), t

2f x,t( )des fonctions suivantes :

f x,t( ) = cos t kx( ); f x,t( ) = sin t kx( )

• Retrouver la fonction f x,y( ) telle que :

xf x,y( ) = 3x2

+ 2y +1 et yf x,y( ) = 6xy + 8x 3

• Calculer l’intégrale suivante :

1

Tsin

2

0

T 2

Tt kx dt (on s’aidera de la

question 2 de l’exercice 1 de trigonométrie).

3 Équation différentielle

• On note y =

dy

dx. a >1 et b > 0 , sont des constantes. Résoudre l’équation

différentielle suivante :

y x( ) + ay x( ) = 0

On suppose que y 0( ) = 1. Quelle est la limite de la solution lorsque x ?

Quelle est la limite lorsque x + ? • On considère maintenant la même équation avec un second membre :

y x( ) + ay x( ) = be

x

Résoudre cette nouvelle équation. On suppose maintenant que y 0( ) = 0 .

Calculer les limites en + et .

4 Coordonnées • Soit la courbe d’équation

y = cos x . Calculer la

pente tan de la courbe en

x =4

. On ne

cherchera pas à calculer .

• Calculer les coordonnées des vecteurs N , P

et f en fonction de et des normes

respectives de chaque vecteur. f est tangent à

la courbe, N est perpendiculaire et P est vertical.

3

MECANIQUE

1 Dimensions

1. Soit l’équation différentielle

dx

dt+ ax = 0 vérifiée par la position d’un point

mobile. La dimension de a est : a. Homogène à un temps b. Homogène à l’inverse d’un temps c. Homogène à une vitesse. d. Homogène à l’inverse d’un vitesse

2. Soient v la vitesse d’un mobile, m sa masse et an son accélération normale. A partir d’une analyse dimensionnelle, le rayon de courbure de la trajectoire est :

a. R

c= v

2a

n

b. Rc= v (ma

n)

c. R

c= mv

2a

n

d. R

c= v a

n

3. La dimension d’un angle est : a. Des radians b. Des degrés c. Sans dimension d. Cela dépend des cas

4. La dimension d’une force est :

a. MLT2

b. ML2T

-1 c. Homogène à une énergie volumique d. Homogène à une énergie par unité de longueur

5. La théorie de la gravitation introduit une constante fondamentale appelée constante gravitationnelle. Elle est notée G. Selon la loi de Newton de la gravitation, l’intensité F de la force qui s’exerce entre

deux masses ponctuelles m1 et m

2 distantes de r est

F = Gm

1m

2

r2

. La

dimension de G est :

a. L2M

-2

b. L3T

-2M

-1 c. Homogène à une accélération

d. L3T

-1M

-2

4

2 Force conservative

1. Rappeler l’expression d’un travail élémentaire dW d’une force.

2. Un système matériel est soumis à une force F = (x2+ xy 2) e

x+ 4xy e

y

On considère les points A(0,0), B(1,0) et C(1,1) a. Calculer le travail de cette force entre A et B, puis entre B et C. b. Calculer le travail de cette force entre A et C. c. Cette force est-elle conservative ?

3. Faire la même chose avec la force F = (2xy +1)e

x+ x2 e

y

4. La force est-elle conservative ? Si oui, on appelle E

p l’énergie

potentielle dont elle dérive ; déterminer Ep.

3 Saut en parachute

Un parachutiste de masse m est soumis à deux forces : son poids et la résistance de l’air dont l’intensité R est telle que

R = k v .

1. Quelle est la dimension de k ? 2. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par la vitesse v du

parachutiste. 3. Intégrer cette équation afin de déterminer la vitesse en fonction du

temps. 4. Quelle est la vitesse maximale atteinte par le parachutiste, sachant que

sa vitesse initiale est nulle. 5. Au bout de combien de temps, le parachutiste atteint sa vitesse

maximale à 1% près. Données : m = 80 kg, k = 80 SI et ln(10) 2,3

4 Saut à ski

Un skieur s’élance sur un tremplin à une vitesse initiale nulle v(A)=0. Il glisse sur le tremplin en accélérant et le quitte au point C pour le saut . On suppose que les frottements des skis sur le tremplin et que les frottements dus à l’air pendant le saut sont négligeables. Le tremplin lui permet d’accélérer et de quitter la piste en C à l’horizontale.

5

Données : tan( ) =

3

2, H = z(A)-z(C) = 20 m, h = z(C)-z(D) = 5 m,

g = 10 m/s

1. Calculer à l’aide du théorème de l’énergie cinétique la vitesse du skieur au point C.

2. La vitesse dépend-elle de l’inclinaison de la pente AC ? Pourquoi ?

3. On considère le point D comme origine du repère.

Calculer en fonction de l’équation de la pente DE dans ce repère 4. Le skieur quitte le tremplin en C à une vitesse horizontale v

C.

Faire le bilan des forces lors de la phase de vol. 5. A l’aide du principe fondamental de la dynamique projeté sur les axes,

déterminer les coordonnées du skieur (x(t),z(t)) lors de la phase de vol dans le repère (D,ux,uz) en fonction du temps.

6. Exprimer le temps t en fonction de x et déduire l’équation de la

trajectoire du skieur z x( ) .

7. Soit R le point d’impact du skieur sur la piste DE. Déterminer les coordonnées du point R.

8. Calculer la longueur du saut DR 9. Calculer la durée du vol.

5 Bille sur une sphère Une bille de masse m, en équilibre instable sur une sphère, quitte cette position d’équilibre sans vitesse initiale appréciable et glisse sur la sphère. Montrer qu’en l’absence de frottements, elle quitte la sphère en une position

limite que l’on demande de déterminer.

6

6 Extrait du concours 2006 (Énergie dépensée pendant un marathon) Le but de cet exercice est d’analyser la course à pied d’un point de vue énergétique, à partir des principes de la physique. Il s’agit de déterminer les effets principaux, et de les quantifier en ordre de grandeur.

1. Est-il nécessaire d’exercer une force pour qu’un objet avance à une vitesse constante v (en l’absence de frottements) ? Justifier votre réponse.

2. En régime permanent, un coureur avance à une vitesse constante v . Nous nous placerons dans le cas où le coureur, bien entraîné, est capable de maintenir son centre de gravité animé d’un mouvement rectiligne uniforme. Expliquer pourquoi l’essentiel de l’énergie dépensée sert au mouvement des jambes et pas au mouvement du haut du corps.

3. À chaque pas, le coureur doit accélérer une jambe initialement au contact avec le sol, lui imprimer une vitesse supérieure à la vitesse de son centre de gravité, puis la poser devant lui. On peut modéliser la

situation en disant qu’à chaque pas, une énergie cinétique

Ek=

1

2mv

2

est perdue, où m désigne la masse d’une jambe. Évaluer numériquement cette énergie, en assimilant la jambe à un cylindre de hauteur H = 1 m et de rayon R = 5 cm. On prendra comme valeur de la masse volumique celle de l’eau ( = 1 kg/l) et pour v la valeur de 5 m/s.

4. En considérant qu’un pas permet de parcourir une distance d’un mètre, calculer l’énergie totale E nécessaire pour courir un marathon, soit D= 42,3 km.

5. Comparer cette énergie à l’énergie E’ correspondant à l’alimentation moyenne d’un individu au repos, soit 2 500 kcal ou environ 10 millions de Joules.

6. Expliquer pourquoi le coureur a intérêt à maintenir son centre de gravité en mouvement rectiligne uniforme.

7

HYDROSTATIQUE

1. Trois vases

Trois vases de même surface de base S possèdent des parois différemment inclinées, comme l'indiquent les figures ci-dessous, et une symétrie de révolution autour de l'axe vertical Oz. Ces trois vases sont remplis d'eau jusqu'à une hauteur h au-dessus du fond.

Dans chacun des cas a, b, c :

1.1. Déterminer la résultante des forces de pression F

S exercées par le

liquide sur le fond du vase. Comparer chaque force au poids du liquide contenu dans le vase.

1.2. Représenter graphiquement les forces élémentaires de pression dF

L

exercées par l'eau sur une surface élémentaire dS latérale située aux trois cotes 0, z, h.

1.3. Montrer graphiquement que la résultante des forces élémentaires est dirigée suivant l'axe Oz.

1.4. En utilisant la condition d'équilibre du volume d'eau, en déduire sens et

norme de la force résultante F

L.

2. Plongeur

À quelle profondeur h sous l'eau se situe un plongeur quand il est soumis à une pression de 1, 2, 5 et 10 atmosphères ? On rappelle que la pression atmosphérique au niveau de la mer est

P

0= 760 mm Hg ,

et que la masse volumique du mercure est ' = 13,6 103 kg/m3 .

3. Pression artérielle

Sur le sujet couché, la pression artérielle moyenne vaut en tout point à peu près 13 kPa soit 100 mm Hg. C'est la surpression moyenne développée par le ventricule

8

gauche par rapport à la pression atmosphérique. Sur le sujet vertical, on considère que la pression hydrostatique au niveau du coeur est

P

c= 100 mm Hg .

1.5. En négligeant tout phénomène de régulation et en considérant la masse sanguine comme immobile, calculer la pression hydrostatique au niveau de la tête (Pt) et des pieds (Pp) chez un cosmonaute qui serait soumis à une accélération g'= 2,5 g au décollage avec son corps placé longitudinalement par rapport au vecteur g' ("debout"). Qu'en concluez-vous quant à la position optimale au moment du décollage ?

1.6. De la même manière, calculer la pression veineuse au niveau de la tête et des pieds sachant qu'elle est à peu près nulle dans l'oreillette droite.

On donne : distance coeur-tête = 50 cm ; distance coeur-pieds = 1,3 m. Masse volumique du sang : = 1,035 103 kg/m3 ; masse volumique du mercure :

' = 13,6 103 kg/m3 .

4. Manomètre

Le manomètre à deux liquides est un tube en U dont chaque branche comporte un réservoir. Cet appareil est rempli de deux liquides non miscibles

L

2 et

L

3

respectivement de masse volumique 2

= 860 kg/m3 et 3

= 1000 kg/m3 . Le rapport

des sections réservoir et tube est égal à 60.

K2

h

H

K1

A

F

E

B

C D

1

2

3

h

9

Quand on applique une faible différence de pression par un fluide L

1 de masse

volumique 1= 500 kg/m3 , on mesure une différence de niveau H entre les points A

et B du liquide L3. H = 10 cm. Quelle est la valeur de la différence de pression

appliquée, à savoir la différence P = PC

PD

?

5. Manomètre ultra-sensible

Un manomètre sensible est constitué d'une cloche cylindrique de rayon R = 100 mm et d'épaisseur e = 1 mm. Cette cloche est reliée à une enceinte dont la pression P est inconnue. Calculer le déplacement vertical de la cloche lorsque la pression P augmente de 1 mm d'eau. Comment peut-on augmenter la sensibilité de l’appareil ?

PCEM hydrostatique

6. QCM

Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies. Il y a au moins une bonne réponse par question. On considèrera dans toutes les questions les valeurs suivantes :

x

e

eau

P

10

g = 10 m/s

2

P0 = 1013 hPa

eau = 1 kg/dm3

air = 1 kg/m3

= 3

Un iceberg de masse volumique =910 kg/m3 de volume V flotte à la surface de

l’océan ( océan

=1010 kg/m3 ). L’iceberg est constitué d’eau pure de masse

volumique eau

=1 kg/dm3 à l’état liquide.

L’océan exerce sur l’iceberg une force dirigée vers le haut égale au poids d’un volume V d’eau de mer

Environ 90% du volume de l’iceberg est immergé dans l’océan Lorsque l’iceberg fond, le niveau de l’océan monte Lorsque l’iceberg fond, le niveau de l’océan ne change pas

En moyenne un être humain ne peut pas aspirer d’eau par une paille plus longue

que 110 cm . La pression de l’air est alors à la pression atmosphérique P0.

La plus petite pression que l’on peut créer dans ses poumons est de 110 hPa La plus petite pression que l’on peut créer dans ses poumons est de 903 hPa La plus petite pression que l’on peut créer dans ses poumons est de 1002 hPa Plus la paille est courte plus il est facile d’aspirer

La pression artérielle moyenne (surpression par rapport à la pression

atmosphérique) est de P=100 mm Hg . Parmi les pressions suivantes quelles sont celles qui lui sont égales :

P= 136 Pa P= 136 mbar P= 0,13 atm P= 1,36 m

H

2O

4) Un cube de bois de masse volumique =0,75 g/cm3 de 1 cm de côté est

placé dans un récipient contenant du sirop de glucose de masse volumique

'=1,5 g/cm3 . Le tout est placé à l’air libre à la pression atmosphérique.

L’atmosphère exerce sur le cube une pression de 10,13 N/cm2

Le sirop exerce sur le cube une poussée d’Archimède de 7,5 Ndirigée vers le haut. L’air exerce sur le cube une poussée d’Archimède de 50 mNdirigée vers le haut. Pour que le cube soit complètement immergé dans le sirop, il faut exercer sur le

cube une force égale au moins au poids du cube.

Une seringue dont l’aiguille a une surface de 104

mm2 est utilisée pour vacciner

un patient. Une abeille, dont le dard a une surface de 1010

cm2 exerce une

force de 104

N lorsqu’elle pique un individu.

11

L’abeille exerce une pression correspondant à environ 10000 fois la pression atmosphérique

Avec une même force que celle exercée par l’abeille, la seringue exerce une pression plus importante

Pour exercer la même pression que l’abeille il faudrait appliquer avec la seringue une force de 1 N

Pour exercer la même pression que l’abeille il faudrait appliquer avec la seringue une force de 10 N

Une seringue est utilisée pour injecter ou prélever une solution liquide de masse volumique = 1,4 g/cm3 le long d’un tube dans une poche de perfusion

cylindrique. Le diamètre du réservoir de la seringue est de d

1 = 2 cm . La

poche de perfusion a un diamètre d2=10 cm . On vide le contenu de la

seringue ( h =10 cm ).

La surface libre du liquide dans la poche de perfusion s’est élevée de 0,4 mm La surface libre du liquide dans la poche de perfusion s’est élevée de 4 mm Il faut appliquer une force d’au moins 16,8 mNpour injecter la solution Il faut appliquer une force d’au moins 1,68 mN pour injecter la solution

Un ballon sphérique de rayon 20 cm , rempli d’hélium gazeux ( He

=0,9 kg/m3 ),

s’envole dans les airs. Dégonflé, ce ballon a une masse de 1 g . L’air exerce sur le ballon une force de 320 mN L’air exerce sur le ballon une force de 4,8 N Le ballon peut soulever une charge d’un poids inférieur ou égal à 22 mN Le ballon peut soulever une charge d’un poids inférieur ou égal à 490 mN

S1 S2

P0

P0

h

12

Hydrodynamique

1) QCM hydrodynamique

La pression P est équivalente à: (a) une énergie par unité de surface (b) une énergie par unité de volume (c) la norme d'une force par unité de surface (d) la norme d'une force par unité de volume

La pression P s'exprime en (unité SI): (a) Pa (b) J·m-3

(c) N·m-3

(d) N·m3

La masse volumique de l'eau est égale à 1 g·cm-3, c'est à dire en unité SI:

(a) 1 kg·m-3

(b) 10 kg·m-3

(c) 100 kg·m-3

(d) 1000 kg·m-3

La masse volumique de l'air est égale à 1,3 g.L-3, c'est à dire en unité SI:

(a) 1,3 kg·m-3

(b) 13 kg·m-3

(c) 130 kg·m-3

(d) 1300 kg·m-3

Un récipient de volume 1 L contient:

(a) 1000 mL (b) 10000 mL (c) 100 cm3

(d) 1000 cm3

Un récipient de volume 1 m3 contient:

(a) 10 L (b) 100 L (c) 1000 L (d) 10000 L

13

Le volume d'un cylindre de hauteur h et dont la base a un rayon R vaut: (a) 2 R h

(b) 2 R2 h

(c) R2 h

(d) R3 h

Lors de l'écoulement de Bernoulli (c'est-à-dire non visqueux) d'un fluide dans un tube

horizontal de section constante: (a) la vitesse du fluide est maximum sur l'axe du conduit (b) la vitesse du fluide est maximum sur la paroi du conduit (c) la vitesse est constante dans une section droite du tube (d) la vitesse est constante dans tout le tube

Lors d'un écoulement de Bernoulli d'un fluide dans un tube horizontal: (a) si la section du conduit augmente la vitesse de l'écoulement augmente (b) si la section du conduit diminue la vitesse de l'écoulement augmente (c) si la section du conduit augmente la pression augmente (d) si la section du conduit augmente la pression diminue

Lors d'un écoulement de Poiseuille (c'est-à-dire visqueux) la pression à l'intérieur d'un tube horizontal de section constante:

(a) est égale à la pression atmosphérique en tout point du tube (b) est supérieure à la pression atmosphérique en tout point du tube (c) augmente le long de l'écoulement (d) diminue le long de l'écoulement

La vitesse moyenne d'un fluide visqueux: (a) est maximum sur la paroi du tube (b) est maximum sur l'axe du tube (c) est constante en tout point du tube (d) est constante en tout point d'une section droite du tube

La viscosité d'un fluide: (a) s'exprime en Pa·s (b) dépend de la température (c) est nulle dans le cas d'un écoulement de Bernoulli (d) si elle augmente alors la perte de charge diminue

Le nombre de Reynolds: (a) s'exprime en Pa·s (b) est proportionnel à la viscosité (c) correspond au passage d'un écoulement laminaire à un écoulement turbulent (d) est indépendant des dimensions du conduit

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2) Jet d'eau

Une seule bonne réponse à chaque question.

Un réservoir cylindrique de hauteur totale H et de grande section S est rempli d’eau de masse volumique . L’eau s’écoule par une conduite cylindrique horizontale de section s, situé en bas du réservoir et terminé au point A par une embouchure de même section mais inclinée d’un angle par rapport à l’horizontale. La longueur de l’embouchure est négligeable. On note P0 la pression atmosphérique.

1. La conduite horizontale est tout d’abord obturée. La pression au fond du réservoir est alors: g(H-h) P0 - g(H-h)

P0 + g(H-h) P0 + gH

2. La conduite est maintenant ouverte. Pour appliquer le théorème de Bernoulli, on suppose que le fluide est parfait et incompressible. On doit supposer aussi que l’écoulement est permanent. Pour cela il faut que:

S soit très grand devant s PB=P0

la vitesse du fluide soit constante sur une ligne de courant quelconque la viscosité du fluide soit négligeable

3. En A, la vitesse du fluide est: négligeable [2 g H]

1/2

[2 g h]1/2

[2 g (H - h)]1/2

H

A

h

B

15

4. Le jet en sortie de la conduite horizontale remonte à la hauteur: H H - h (H-h) cos (H-h) sin

5. On considère maintenant que le fluide est visqueux (viscosité ). On néglige cependant les effets de la viscosité dans le réservoir. Pourquoi ? La perte de charge dans le réservoir est négligeable car sa section est très grande et la vitesse du fluide petite. La perte de charge dans le réservoir est compensée par l’augmentation de pression due à la gravité. Il n’y a pas de perte de charge dans une conduite verticale. La loi de Poiseuille ne s’applique que pour une conduite horizontale.

Une pompe est maintenant placée dans la conduite horizontale. On suppose de nouveau que le fluide est parfait. La pompe a pour effet de permettre au jet d’atteindre la hauteur H.

6. La vitesse vA en sortie de la conduite horizontale (en A) est: négligeable [2 g h]

1/2

[2 g H]1/2

[2 g (H - h)]1/2

7. La vitesse du fluide dans la conduite horizontale, en amont de la pompe est: négligeable inférieure à vA

supérieure à vA égale à vA

8. La pression du fluide dans la conduite horizontale, en amont de la pompe est:

H

A

h

B

Pompe

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P0

P0 – gh P0 + g(H-h) P0 - gH

3) Vidange d'un réservoir On considère un réservoir fermé contenant un liquide au-dessus duquel se trouve de l'air maintenu à une pression P1 égale à deux fois la pression atmosphérique P0. A une profondeur H = 1 m au-dessous de la surface du liquide se trouve un orifice de diamètre d par lequel s'écoule le fluide. On supposera que les dimensions du réservoir sont grandes par rapport à celles de l'orifice. On néglige la viscosité du fluide. a) Calculer la vitesse d'écoulement v à travers l'orifice lorsque le liquide est de l'huile de masse volumique h = 0,8 · 103 kg·m-3. b) Même question lorsque le liquide est constitué d'une couche d'eau, de masse volumique e d'épaisseur h1 au-dessus de laquelle se trouve une couche d'huile d'épaisseur h2.

AN: Calculer les deux valeurs de v pour g = 10 m·s-2

P0 = 105 Pa e = 103 kg·m-3

h1 = 40 cm h2 = 60 cm

17

4) La clepsydre On considère un récipient possédant une symétrie de révolution autour d'un axe Oz. Sa section par un plan horizontal d'altitude z est donc un cercle. Le rayon r de ce cercle est relié à z par la relation:

z = C r4

où C est une constante. Le récipient est ouvert à l'air libre à la cote z = z0. On le remplit d'eau jusqu'à une cote z et on laisse l'eau s'écouler par l'ouverture. On s'intéresse à la variation du niveau du liquide z en fonction du temps t. L'eau sera considérée comme un fluide parfait incompressible de masse volumique

. On désignera par g la norme de l’accélération de la pesanteur.

Exprimer l'aire S(z) de la surface d'une section droite du récipient en fonction de

sa cote z.

Déterminer la relation existant entre la vitesse du niveau supérieur, v(z), la vitesse de sortie de l'eau v(z0) et les aires S(z) et S(z0).

A l'aide de l'équation de Bernoulli et en utilisant les deux premières questions,

montrer que [v(z)]2 = 2 g z0

Donner la relation entre v(z) et la dérivée dz/dt. En déduire, à l'aide de la

question 3), l'expression de l'intervalle de temps dt nécessaire pour que le niveau de l'eau dans le récipient varie de dz.

Quel intervalle de temps t faut-il pour que le niveau de l'eau passe de z1 à z2.

Exprimer t en fonction de h = z1 – z2.

Dites en quelques mots pourquoi ce dispositif peut servir d'horloge.

18

5) Le siphon Le dispositif représenté sur la figure est utilisé pour collecter ou évacuer l’eau de pluie s’écoulant d’une gouttière par un tuyau T. Ce tuyau déverse l’eau dans une cuve avec un débit volumique noté Q. Pour que la cuve ne déborde pas, l’eau est évacuée par un tuyau BD, de section s (siphon), dont l’extrémité B est située dans la cuve à une altitude zB= h1 et dont l’autre extrémité D se trouve à l’extérieur de la cuve, dans l’air ambiant, au même niveau que le fond de la cuve (zD=0). De plus, le siphon sort de la cuve par un trou C d’altitude zC= h2, qui correspond au point le plus élevé du siphon. On note H(t) la hauteur d’eau dans la cuve à l’instant t et S la section de la cuve. Le siphon en C est étanche et on suppose que la cuve ne déborde jamais. La pression en A (surface libre de l’eau dans la cuve) est celle de l’air ambiant (1 atm). On prend s=1 cm , S=4 m , h1=2 m et h2=3 m.

A t=0 s, on a H(0)=H0=4 m, et il ne pleut pas (on a donc Q=0 m3/s). Exprimer la vitesse

v(t) de l’eau dans le siphon en fonction de H(t). Calculer v(0). En déduire la variation H(t) au cours du temps. Que vaut cette hauteur au bout de 5 jours ?

On s’intéresse maintenant au cas d’une pluie continue: Q est constant et non nul. On admet que l’expression de v(t) trouvée précédemment reste valable. On suppose que le débit Q est suffisant pour que la condition H(t)>h1 soit vérifiée. Dans ce cas, vers quelle limite tend H(t) (en fonction de Q, s et g) ?

Si le débit Q est trop faible, le niveau d’eau dans la cuve descend jusqu'au niveau de B et le siphon est désamorcé (il se remplit d’air). Calculer la valeur du débit Qm au-dessous duquel le siphon finit par se désamorcer.

Pour un débit Q<Qm, on constate au bout d’un moment que l’eau coule du siphon (par l’extrémité D) pendant une durée t, puis s’arrête de couler pendant une durée T, pour couler à nouveau et ainsi de suite. Exprimer T.

z

H(t)

Débit Q

(Tuyau T)

C

B h2

h1

D

A

19

6) Sténose vasculaire

On modélise les vaisseaux sanguins par des cylindres de diamètre et section constants. Une artère partiellement obstruée présente le profil illustré sur la figure : une zone d’étranglement où règne une pression P2 a un diamètre d2 et une section s2 ; les deux zones en amont et en aval où règne une pression P1 ont un diamètre d1 et une section s1. On note P0 la pression extérieure qui est la pression atmosphérique. On note

sang la masse volumique du sang ; v1 désigne la vitesse du sang en amont et v2 la vitesse dans la zone d’étranglement. On suppose l’écoulement laminaire et permanent, et le fluide (le sang) parfait.

1. Pour que le sang puisse circuler, que peut-on dire des pressions P1 et P2 par rapport à la pression atmosphérique P0 ? 2. Exprimer la vitesse v2 en fonction de d1, d2, et v1. 3. En déduire la pression P2 en fonction de P1, v1, d1, d2 et sang. Comparer P1 et P2

4. Sous quelle condition de pression l’artère se referme-t-elle ? Montrer que le diamètre minimum

d

2

min à partir duquel l’artère se referme est :

d2

min=

d1

1+2 P

v1

24

où P = P1 P0. 5. Faire l’application numérique en prenant : d1 = 2 mm, v1 = 0,2 m/s, sang= 1,3·103

kg·m 3, P1 P0 = 0,13·105 Pa, et 5001/4= 4,7. 6. Que se passe-t-il si au lieu d’un rétrécissement (sténose), on a un élargissement (anévrisme) ?

20

7) Quelques cas de base Pour chacune des situations suivantes établir l'expression de la différence de pression entre les points A et B en fonction du débit Q et des paramètres d, d1, d2, L, L1, L2 et P. Dans cet exercice, on considèrera un fluide visqueux s'écoulant dans le sens indiqué par la flèche grise. Le champ de pesanteur est orienté suivant la verticale.

21

8) Les vases communicants Deux cuves cylindriques de section S communiquent par un tuyau AB de longueur L, de diamètre d et de section s petite par rapport à S, fermé à son extrémité B par un robinet. Ce robinet étant fermé, on remplit la cuve de gauche d'eau jusqu'au niveau H, puis on ouvre le robinet. On prendra cet instant comme origine des temps.

On désigne par h1(t) et h2(t) les niveaux respectifs dans les cuves de gauche et de droite à l'instant t. On cherche à établir la loi d'évolution de h1(t). La section S est suffisamment grande pour que les effets de viscosité soient négligeables dans les cuves. En revanche, l'écoulement est visqueux dans le tuyau de communication. On désigne par R sa résistance hydraulique. On rappelle que son expression pour un tuyau cylindrique de rayon r et de longueur L est:

R = 128 L / d4

où désigne la viscosité du fluide.

Quel est l'état final du système ?

Écrire la relation existant entre h1(t) et h2(t).

Que représente la dérivée dh1(t)/dt ? Quel est son signe ? Donner l'expression du débit d'eau Q(t) ?

Ecrire la relation entre la différence de pression PA – PB et le débit Q(t).

Exprimer la pression PA en fonction de h1(t) et PB en fonction de h2(t).

Déduire des questions précédentes une équation différentielle vérifiée par la fonction

h1(t).

Déterminer la solution de cette équation satisfaisant la condition initiale à t = 0. Donner l'expression de la constante de temps du système.

AN: Calculer à partir des données suivantes :

22

= 10-3 Pa·s L = 30 cm d = 4 mm S = 100 cm2

= 103 kg·m-3

g (pesanteur) = 10 m·s-2

9) La circulation sanguine

On assimile le sang à un fluide incompressible de masse volumique . Le volume de sang expulsé à chaque pulsation par le coeur dans l’aorte est de V = 75 cm3. La fréquence cardiaque vaut f=70 pulsations par minute et la section de l’artère aorte S0=5 cm2. 1) Quel est l’intervalle de temps entre deux pulsations ? 2) Calculer le débit volumique sanguin moyen D. 3) En déduire la vitesse moyenne v0 du sang dans l’aorte. 4) Sachant que la quantité de sang chez l’homme est de 5 litres au total, au bout de

combien de temps tout le sang est-il passé par le cœur ? La ramification progressive du système de circulation est schématisée sur la figure ci-dessous. L’aorte (de section S0) se divise en N1 artères de section S1. Les artères se divisent ensuite pour donner globalement N2 artérioles de section S2 =10-5 cm2 (les artérioles sont des vaisseaux sanguins de petit calibre, correspondant à la dernière ramification d'une artère et qui conduit le sang vers les capillaires artériels). On considère ici un corps allongé, de sorte que tous les points de la circulation sanguine sont à la même altitude.

Dans une description très simplifiée, on considère que, depuis le début de l’aorte jusqu’à l’extrémité des artères, la vitesse du sang reste constante et égale à v0, et que la pression sanguine reste également constante et égale à P0 =13 kPa.

23

Dans les artérioles en revanche, la vitesse du sang est beaucoup plus faible et vaut v2 = 0,5 cm/s. De plus la pression chute considérablement le long des artérioles, de 13 kPa à l’entrée à 5 kPa à la sortie.

5) Donner l’expression de la section S1 des artères en fonction de S0 et de N1. 6) Rappeler l’expression générale du théorème de Bernoulli et ses conditions

d’application. Quelle propriété de conservation cette relation traduit-elle ? 7) Le théorème de Bernoulli est-il vérifié pour le sang entre le début de l’aorte et

l’extrémité des artères ? 8) Donner l’expression du nombre d’artérioles N2 en fonction de S0, S2, v0 et v2.

Faire l’application numérique. 9) Le théorème de Bernoulli est-il vérifié le long d’une artériole ? En appliquant la

formule de Poiseuille, déterminer la longueur L des artérioles dans ce modèle (on donne la viscosité du sang: =2·10-3 Pa·s.

10) Loi de Poiseuille pour un tuyau plat (extrait du concours 2009) On considère une canalisation horizontale, de sections droites rectangulaires perpendiculaires à l’axe Ox. Les côtés des sections droites sont parallèles aux axes Oy et Oz. Le côté parallèle à l’axe des y est de largeur et celui parallèle à l’axe des z de hauteur h. Afin d’alléger les calculs, on fera varier la cote des points intérieurs à la

canalisation dans l’intervalle

h 2,h 2 . Le but de cet exercice est de déterminer les lois

régissant l’écoulement en régime permanent laminaire d’un fluide réel incompressible, de masse volumique et de viscosité , dans cette canalisation. On admettra que h ; de ce fait, on pourra négliger les frottements sur les faces de la canalisation parallèles au plan xOz. En conséquence, on admettra que la vitesse du fluide en un point ne dépend

que de la variable z : v = v z( )e

x.

On admettra également que la pression est constante et uniforme dans une section droite de la canalisation.

1. On considère un élément parallélépipédique de fluide de longueur L, de largeur et compris entre les cotes – z et + z où |z|<h/2. Les abscisses des sections droites limitant cet élément sont 0 et L et on appellera P0 et PL (P0>PL) les pressions dans ces sections droites.

24

a. Déterminer la résultante des forces de pression agissant sur les deux faces perpendiculaires à l’axe Oz de cet élément.

b. Déterminer la résultante des forces de pression agissant sur les deux faces perpendiculaires à l’axe Oy de cet élément.

c. Déterminer la force de pression agissant sur la face x = 0 de cet élément. d. Déterminer la force de pression agissant sur la face x = L de cet élément. e. Exprimer la force de frottement agissant sur chacune des faces perpendiculaires

à l’axe Oz de cet élément. f. Déduire des questions précédentes la résultante des forces agissant sur

l’élément de fluide.

2. Calculer

dv z( )dz

.

3. Donner la condition sur la vitesse qui doit être satisfaite aux interfaces entre le fluide

et les parois z = ±h 2 de la canalisation.

4. Montrer que la vitesse en chaque point du fluide est donnée par :

v =P

0P

L

2 L

h2

4z

2e

x

5. Calculer la vitesse maximale v

max du fluide dans la canalisation.

6. Calculer le débit dQ du fluide à travers un élément de section droite de la

canalisation compris entre les cotes z et z + dz où la grandeur dz est infinitésimale.

7. En déduire le débit Q dans la canalisation.

8. Calculer la vitesse moyenne v

Q d’écoulement du fluide dans la canalisation. On

exprimera tout d’abord v

Q en fonction des données de l’exercice, puis en fonction

de v

max calculé au 5.

9.

a. Rappeler la définition du nombre de Reynolds Re pour l’écoulement d’un fluide à l’intérieur d’une canalisation cylindrique de diamètre d.

b. Pour une canalisation non cylindrique, on remplace, dans la définition du nombre de Reynolds, le diamètre d par un « diamètre hydraulique » :

d =4S

p

où S est l’aire de la section droite de la canalisation et p son périmètre. Exprimer le nombre de Reynolds pour la canalisation à section droite rectangulaire de l’exercice.

c. Les critères définissant les types d’écoulement en fonction du nombre de Reynolds étant les mêmes que pour une canalisation cylindrique, pour quelles valeurs du nombre de Reynolds l’écoulement est-il laminaire ?

25

10. Application numérique. P0-PL = 104 Pa h = 1 mm = 10 cm

L = 1 m = 10-3 Pa·s = 103 kg·m-3

a. Calculer le débit Q dans la canalisation.

b. Calculer la vitesse moyenne d’écoulement v

Q.

c. Calculer le nombre de Reynolds Re; l’écoulement est-il laminaire ? d. Calculer la puissance P dissipée dans la canalisation entre les abscisses x = 0

et x = L.

26

Les ondes

A. ONDES PROGRESSIVES

I. Une onde progressive émise par une source S située en x=0 se propage le long d’une corde

à la vitesse V dans le sens des x croissants. À la source, le déplacement de la corde peut être représenté par y(0,t)=Asin( t).

Ce signal atteint le point M d’abscisse x>0 à l’instant t. On appelle y(x,t) le déplacement de la corde au point d’abscisse x à l’instant t.

1) Que représente ? Comment est-elle reliée à la fréquence f et la période T ? 2) Le point M subit la perturbation avec un retard par rapport au point x=0. Quel est ce

retard ? 3) Donner alors le déplacement de la corde au point M en fonction de celui au point x=0. 4) En déduire la norme k du vecteur de propagation. Calculer la longueur d’onde. 5) Montrer que y(x,t) vérifie l’équation de d’Alembert. 6) Si on considère que l’onde se déplace dans le sens des x décroissants et atteint le

point N d’abscisse x<0, déterminer y(x,t) en fonction de y(0,t).

II. On considère une corde de longueur L=10 m. On génère une onde transversale à une extrémité O de la corde. On repère un point de la corde par son abscisse x exprimée en mètres. L’onde générée a pour déplacement transverse (exprimé en cm) :

y x,t( ) = 10sin 4 t3

x .

1. En écrivant cette onde sous sa forme générale, déterminer :

a. l’amplitude de l’onde, b. sa pulsation, sa fréquence et sa période, c. la norme du vecteur de propagation et la longueur d’onde, d. la vitesse de propagation de l’onde, e. la vitesse vibratoire de la corde u(x,t).

2. Expliquez la différence entre vitesse de propagation et vitesse vibratoire. Ces vitesses ont-elles la même direction dans le cas étudié ? Dans ce cas, on dit que l’onde est transverse. Donner un exemple d’onde longitudinale.

3. On prend une photo de la corde à t=3 s. Quelle est l’allure de la corde ? 4. On filme le déplacement de la corde en x=1,5 m. Tracer le déplacement de la corde en

fonction du temps

27

III. Reconstruction d’une onde progressive à partir d’une photo La figure ci-dessous représente, à l'instant t=0,03 s, un signal qui se propage sur une corde tendue.

1. Étant donné qu'il a été émis à l'origine des coordonnées x à partir de l'instant t=0,01 s, quelle est sa vitesse de propagation ?

2. Quelle est la durée du signal ? 3. Représenter le signal émis à l'origine en fonction du temps.

IV. Cuve à ondes

À l'aide d'un vibreur, on crée des ondes progressives sinusoïdales circulaires de fréquence f à la surface de l'eau. Les crêtes des vagues donnent des rides brillantes et le creux des vagues des rides sombres sur les photographies (montrées ci-dessous). La distance AB égale 7 cm.

1. Décrire le phénomène : quels sont les paramètres qui le caractérisent ? Quelle est la grandeur qui se propage ? Quelle est la direction de propagation ?

2. Montrer sur une photo les points qui sont en phase, et en opposition de phase.

3. À l'aide de la photo 1 (ci-dessus), déterminer la longueur d'onde 1

et calculer la

célérité c1 des ondes si f

1 = 8 Hz.

28

4. La photo 2 (ci-dessus) est réalisée avec une fréquence f2=17 Hz. Montrer que la

célérité des ondes varie avec la fréquence. Comment appelle-t-on ce phénomène ? 5. Qu’est ce que c’est qu’un stroboscope ? Expliquer comment l’utiliser pour mesurer la

fréquence des ondes sur l’eau considérées ci-dessus.

29

B. ONDES ACOUSTIQUES (1/2)

I. ONDES SONORES DANS UN TUBE

Un générateur à fréquence variable alimente un haut-parleur (HP) placé à l’entrée d’un tube rempli d’air à pression ambiante. La membrane du haut-parleur est assimilée à une source ponctuelle S, émettant dans le tube des ondes sonores à une dimension, sinusoïdales et progressives. Pour repérer ces ondes, on choisit un axe (Ox) parallèle au tube et dont l’origine est placée au niveau du HP.

1. L’expression décrivant le déplacement g x,t( ) d’une couche d’air d’abscisse x à l’instant t

est : g x,t( ) = A0cos t kx +

0( )

a) Indiquer s’il s’agit d’une onde transversale ou longitudinale. b) Que représentent les grandeurs A0, , k, 0 ?

c) Quel est le sens de propagation de l’onde décrite par cette fonction g x,t( ) ?

d) Quel est le domaine des fréquences audibles par l’oreille humaine ? 2. Les graphiques ci-dessous montrent respectivement le mouvement en fonction du temps

d’une couche d’air en x0=7,5 cm, et le déplacement de l’air en fonction de l’abscisse x à l’instant t=t0.

À l’aide des graphiques, déterminer :

a) la valeur de et de la fréquence f de l’onde. b) la valeur de la longueur d’onde et de k. c) la vitesse de propagation du son vs dans le tube. d) les valeurs possibles de 0 et de t0.

3. En un point M situé à la distance d=2 m de S, on place un micro, lui aussi considéré

comme ponctuel. Pour quelles valeurs de la fréquence les vibrations du haut-parleur et du micro sont-elles en phase ? En opposition de phase ? (On considérera que, dans cette gamme de fréquences, la vitesse de propagation du son reste constante et égale à vs).

30

4. On règle la fréquence du générateur à 510 Hz. Déterminer la position des points qui sont en phase avec le point M. Quel est le nombre de ces points sur le segment SM ?

II. INTENSITÉS ET NIVEAUX ACOUSTIQUES

I. Un train entre en gare

1. En s’arrêtant en gare, un train génère une onde plane sinusoïdale de fréquence f=15

kHz. Cette onde se propage dans les rails en acier avec une intensité acoustique I=0,2 W·m-2. Déterminer la pression acoustique maximale pour cette onde lorsqu’elle se propage dans les rails à la vitesse vrail=5 km·s-1. On considérera que la masse volumique de l’acier est acier 8·103 kg·m-3.

2. L’onde sonore est également transmise dans l’air ( air 1 mg·cm-3) où elle se propage à la vitesse vair=300 m·s-1. Déterminer la valeur de l’intensité I’ que doit avoir cette onde pour que l’amplitude de pression acoustique soit la même que dans les rails.

3. Calculer la valeur de 210 et en déduire une valeur approchée de log10(2).

4. Calculer les niveaux acoustiques de cette onde dans l’air et dans l’acier (on prendra comme intensité de référence I0=10-12 W·m-2 qui correspond au seuil d’audibilité de l’oreille humaine à 1000 Hz).

5. Déterminer la différence entre les niveaux acoustiques de l’onde dans l’air et dans l’acier et en conclure l’influence du niveau de référence sur cette différence.

II. Concert

Lors d’un concert rock, on a relevé un niveau de puissance acoustique de 130 dB devant les enceintes acoustiques. On considérera que ces sources sont ponctuelles isotropes. 1. Calculer la puissance de la source.

2. Calculer le niveau d’intensité acoustique à la distance r1=1 m de l’enceinte (on prendra

log10(4 ) 1,1). Ce son est-il dangereux pour l’oreille ?

3. Calculer le niveau d’intensité acoustique à la distance r2=90 m de l’enceinte.

4. Pour une conversation normale, le niveau d’intensité acoustique reçu par l’auditeur est de 70 dB ; à quelle distance minimale de la source doit-on se placer pour discuter sans élever le ton, en évitant l’effet de masque dû au concert ? Pour cela on admet que lorsque deux niveaux d’intensité acoustique sont séparés par au moins 8 dB, le plus faible devient imperceptible. On prendra 100,2 1,7 0,5.

III. Marteau piqueur et chaîne Hi-Fi

1. Une personne travaille chez elle en été, fenêtre ouverte. L’intensité sonore de fond due

au milieu urbain (trafic automobile, passants …) qui lui parvient est I=10-6,5 W·m-2. Calculer la valeur du niveau sonore de fond correspondant.

31

2. Des travaux débutent à 15 m de la fenêtre de la personne. Un marteau piqueur est utilisé, et celui-ci produit un bruit de niveau sonore de 130 dB mesuré à 1 m du marteau piqueur. En considérant que l’onde est émise de manière isotrope par le marteau piqueur, déterminer le niveau sonore uniquement dû au marteau piqueur que perçoit la personne. En déduire le niveau sonore total.

3. De quel facteur l’intensité acoustique totale doit-elle être abaissée pour revenir à un niveau sonore proche de celui du fond urbain. Sachant qu’un casque auditif de chantier divise l’intensité sonore d’un facteur environ 100000, celui-ci serait-il adapté ? Pratique ?

4. Excédé par le son produit par le marteau piqueur, la personne finit par fermer sa fenêtre à double vitrage et allume sa chaîne Hi-Fi pour couvrir le bruit provenant de la rue au travers de la fenêtre. Pour cela elle finit par pousser le volume de la chaîne au maximum. Chaque enceinte se trouve à une distance de 2 m de la personne, et émet une onde de puissance sonore P=5 W. Calculer le niveau sonore ressenti par la personne. Qu’en concluez-vous ?

III. OLÉODUCS

1. Un oléoduc est une canalisation en acier utilisée pour transporter du pétrole. Des

capteurs sonores sont répartis à intervalles réguliers sur l’oléoduc pour repérer les zones où des accidents surviennent. Un oléoduc reçoit un choc à un instant t=0 à une distance d d’un de ces capteurs. Celui-ci détecte, quelques instants plus tard, deux signaux sonores brefs séparés par une durée t=1,9 s. Exprimer puis calculer la distance d séparant le capteur de la zone de choc en fonction de la vitesse du son dans le pétrole (vp 1,3 km·s-1), la vitesse du son dans l’acier (va=5 km·s-1) et t. On négligera la vitesse du pétrole dans l’oléoduc pour cette question.

2. On se propose de calculer la vitesse d’écoulement u du pétrole dans l’oléoduc. Pour cela, on place en 2 points A et B de la canalisation deux transducteurs sonores T1 et T2 pouvant fonctionner indifféremment en émetteur ou en récepteur d’ultrasons. À l’aide d’un oscilloscope, on mesure la durée que mettent les ultrasons pour parcourir la distance L qui sépare les points A et B. Dans le fluide au repos, les ultrasons se propagent à la vitesse V.

a. Établir l’expression littérale de la durée 1 que les ultrasons mettent pour aller de A en B en fonction de L, V et u.

b. Établir une expression analogue pour la durée 2 mise par les ultrasons pour aller de B vers A.

c. En déduire la différence de temps entre 1 et 2 en fonction de L, V et u.

32

d. La vitesse d’écoulement u du fluide étant très faible devant la célérité V des ultrasons dans le fluide immobile, donner une expression simple de u en fonction de V, L et .

e. Étant donné que L=2 m, V=2·103 m·s-1 et =5 s, calculer la vitesse d’écoulement u du fluide dans la canalisation.

f. Le diamètre de la canalisation est D=30 cm. Calculer le débit du fluide dans la canalisation.

33

C. ONDES ACOUSTIQUES (2/2) I. MESURE DE DENSITÉ OSSEUSE

1. Le coefficient de compressibilité

=1

0p

caractérise la rigidité des os (plus est élevé,

plus l’os est compressible et fragile). On effectue une mesure de la vitesse du son dans la couche externe du radius. Pour-ce faire, on mesure le temps de propagation d’une onde ultrasonore de fréquence f=500 kHz entre un émetteur et un récepteur ultrasonores placés à une distance d=3 cm l’un de l’autre sur l’os. On mesure pour un patient 1, atteint d’ostéoporose, 1=10 μs; et pour un patient 2, sain, 2=6 μs.

1.1. La vitesse du son c dans un milieu dépend de la masse volumique au repos 0 du

milieu, et de son coefficient de compressibilité. Sachant que c est inversement

proportionnelle à , retrouver, par analyse dimensionnelle, l’expression de c en

fonction de et .

1.2. Calculer les vitesses c1 et c2 et les longueurs d’ondes 1 et 2 des ultrasons, respectivement dans l’os du patient 1 et du patient 2. Dessiner pour chaque patient l’aspect du profil de l’onde de surpression p(x,t) dans l’os entre l’émetteur et le récepteur à un instant t donné.

1.3. On suppose que la densité de la couche externe de l’os n’est pas affectée par l’ostéoporose ( 0=1700 kg·m-3). Calculer les coefficients de compressibilité 1 et 2 de l’os du patient 1 et de celui du patient 2. Quel est le plus fragile ?

2. Une autre méthode de diagnostic consiste à propager une onde plane d’ultrasons

d’intensité I0 à travers l’os du calcanéum (talon), qu’on modélisera comme un parallélépipède de masse volumique homogène et de largeur L=6 cm. En raison de l'inhomogénéité matérielle de l'os (càd que plusieurs matériaux rentrent dans sa composition), l’intensité sonore s'atténue avec l'épaisseur de calcanéum traversée. Pour une épaisseur x de calcanéum traversée, l'intensité ultrasonore vaut I(x)= I0.e

-x/a. La longueur d’absorption a étant inversement proportionnelle à la masse volumique de l’os traversé, via la mesure de a, on mesure .

34

2.1. On trouve, pour une onde de fréquence f=500 kHz, I(L)/I0=1/9 à travers le calcanéum du patient 1, et I(L)/I0=1/4 à travers celui du patient 2. Calculer a1 et a2, les coefficients d’atténuation ultrasonore des os du patient 1 et du patient 2 à la fréquence f (en considérant que ln(9)=2,2 et ln(4)=1,4). Dessiner pour les deux patients l’aspect du profil d’intensité moyenne I(x).

2.2. Calculer le rapport des masses volumiques 2/ 1 des os des deux patients. Lequel a

l’os le plus fragile ?

II. ÉCHOGRAPHIE L’échographie est une technique médicale permettant de sonder les patients de manière non invasive. Elle fonctionne sur le principe de la mesure de la réflexion d’ondes ultrasonores aux interfaces des différents constituants du corps humain (e.g. organes, os…). Étudions son fonctionnement. A. Adaptation d’impédance En général, si on place la sonde d’échographie directement au contact de la peau, une fine pellicule d’air reste piégée entre la sonde et la peau. Dans ce cas, un seul écho est détecté par l’instrument.

1. Expliquer et justifier brièvement pourquoi en vous aidant des données suivantes : la masse volumique de l’air a=1,3 g·cm-3 et la vitesse de propagation du son est va=300 m·s-1 ; l’impédance acoustique caractéristique de la sonde d’échographie est Zs=25·106 Pa·s·m-1 et celle d’un tissu biologique mou de l’ordre de Zt=1,5.106 Pa·s·m-1.

2. Si on remplace l’air par un matériau d’impédance caractéristique complexe Z=(Zs.Zt)

1/2, quelle fraction énergétique pénètre dans le tissu ? Comparer ce résultat avec celui de l’air.

3. Par conséquent, que faut-il faire pour résoudre le problème lié à l’air ?

B. On prend un cas général pour lequel il existe 5 milieux successifs différents traversés par

l’onde à l’intérieur du patient ausculté. Le schéma suivant présente la configuration générale. On considère les déplacements de l’onde sonore une fois qu’elle a pénétré la première couche de tissus. L’intensité sonore associée est notée

II.

35

1. Décrire le comportement de l’onde ultrasonore incidente d’intensité I

I réfléchie par

l’interface entre les milieux 2 et 3. Pour cela, représenter sur le schéma, sous forme de flèches, toutes les ondes générées par ce trajet (on ne considérera pas les ondes transmises dans le milieu 3) et nommer les intensités sonores correspondantes (prendre exemple sur l’onde incidente schématisée sur la figure).

2. En fonction des impédances acoustiques caractéristiques Z1, Z2, Z3, associées respectivement aux milieux 1, 2 et 3, déterminer la relation qu’il existe entre l’intensité

II

et l’intensité de l’onde revenue dans le milieu 1 après réflexion à l’interface des milieux 2 et 3.

3. Faire de même pour les ondes réfléchies aux interfaces des milieux 3 et 4, et 4 et 5 en utilisant les impédances acoustiques caractéristiques pertinentes. Pour cela, procéder par analogie avec le résultat de la question précédente.

4. En considérant que les ondes induites par les réflexions multiples ne sont pas détectables par la sonde, combien d’échos doivent théoriquement être détectés par la sonde ?

5. Que deviennent les relations trouvées à la question 2.c. si les milieux 1 et 5 d’une part, et 2 et 4 d’autre part, sont identiques.

6. On se trouve dans les conditions déterminées dans la question précédente, càd que Z1=Z5 et Z2=Z3. La sonde échographique est capable de détecter des intensités sonores supérieures ou égales à 0,02 mW·cm-2. Dans ce cas, calculer l’intensité acoustique minimale que doit émettre la sonde pour détecter tous les échos. On considérera ici que le coefficient de réflexion R12 entre les milieux 1 et 2 est de 50% et que le facteur de transmission T23 entre les milieux 2 et 3 est de 20%.

C. Des études actuelles visent à montrer l’utilité des échographies du cerveau lors

d’interventions chirurgicales pour guider les opérations, car cet organe peut subir des déformations en cours d’opération, rendant obsolètes les clichés pris par IRM pré-opératoire. Pour déterminer les dimensions d’un cerveau, on réalise une échographie transverse (de la gauche vers la droite de la tête) du crâne du patient. La figure suivante représente un modèle simplifié du cerveau et la trajectoire de l’onde ultrasonore utilisée.

36

1. En considérant que l’adaptation d’impédance entre la sonde et le crâne est parfaite (transmission totale de l’onde ultrasonore), indiquer d’après le schéma le nombre d’échos que doit recevoir la sonde (on néglige toujours les réflexions multiples).

2. En réalité, on obtient l’échogramme suivant.

3. Chaque pic représenté correspond à un signal ultrasonore reçu par la sonde. Cela

correspond-il à ce qui était attendu d’après la question précédente ? Sachant que la sonde échographique émet une onde pendant une certaine durée (impulsion) et que l’espace interstitiel est de très petite dimension, Comment peut-on alors interpréter cet échogramme ?

4. Déterminer d’après l’échogramme, la valeur de : i. l’épaisseur de l’os du crane ; ii. la

taille de chacun des lobes du cerveau. Pour cela, on donne les vitesses de propagation de l’onde ultrasonore dans les milieux traversés : vos=3000 m·s-1 ; vcer=1600 m·s-1; vint=1500 m·s-1.

5. Si on regarde de près l’échogramme, on constate que la largeur du pic n°2 est 2 fois

plus importante que celle des autres pics. La largeur de ces derniers correspond à la durée d’une impulsion d’onde envoyée par la sonde, soit 0,6 s. À partir de cette information, il est possible de remonter à l’épaisseur de l’espace interstitiel bien que l’on observe qu’un seul écho. Expliquer comment. Calculer la valeur de l’épaisseur de l’espace interstitiel.

6. On donne la valeur des masses volumiques des différents milieux traversés par l’onde :

os=2 g·cm-3, cer=1,25 g·cm-3 et int=1 g·cm-3. A l’aide de ces données et du travail effectué dans la partie 2 de cet exercice, expliquer les différences d’intensités des échos observés sur l’échogramme.

37

III. EXERCICE ISSU DU CONCOURS 2008 On raccorde en x = 0 deux tuyaux cylindriques, tous deux ayant l’axe des x pour axe. Le tuyau de la région x < 0 a un diamètre d1 et celui de la région x > 0 un diamètre d2. d1 et d2 sont très petits devant les longueurs respectives des tuyaux et devant la longueur d’onde. Un générateur d’onde acoustique est situé à l’extrémité libre du tuyau de diamètre d1 et les deux parties sont remplies du même fluide de masse volumique au repos

0 et de compressibilité

isentropique 0

. On admettra que toutes les ondes en présence sont planes.

1° Donner l’expression de la vitesse du son. 2° Écrire la relation exprimant la continuité de la pression acoustique à l’interface. 3° Écrire la relation exprimant la continuité du débit du fluide à l’interface. L’exprimer en

fonction des pressions acoustiques. 4° En déduire l’expression du facteur de réflexion

rp à l’interface, relatif à la pression

acoustique, en fonction de a =d

2

d1

.

5° Étudier la fonction rp

a( ) et tracer son graphe.

6° Préciser à quelles conditions physiques correspondent les limites a 0 à d1 donné et

a à d2 donné. En déduire les conditions d’interface en termes de pression acoustique et de vitesse particulaire acoustique dans les deux cas.

38

QCM ondes acoustiques

1. La pression acoustique : a) est la pression totale d’un fluide dans lequel se propage une onde sonore b) est l’excès de pression par rapport à la pression moyenne du fluide créé par

l’onde sonore c) est, dans l’air, la force exercée par une onde sonore sur le tympan de l’oreille d) peut être négative e) est proportionnelle à la dilatation

2. Une onde sonore dans un fluide parfait :

a) est une onde longitudinale b) est une onde transverse c) est une onde longitudinale et transverse d) se propage dans une seule direction lorsqu’elle est émise par une source

ponctuelle e) se propage dans toutes les directions lorsqu’elle est émise par une source

ponctuelle

3. La vitesse de propagation d’une onde sonore : a) est orientée dans la direction de déplacement des espèces qui composent le

fluide b) est orientée perpendiculairement à la direction de déplacement des espèces

qui composent le fluide c) est plus grande dans l’air que dans l’eau liquide d) est plus petite dans l’air que dans l’eau liquide e) est identique entre l’air et l’eau liquide

4. La vitesse particulaire acoustique :

a) est orientée dans la direction de déplacement des espèces qui composent le fluide

b) est orientée perpendiculairement à la direction de déplacement des espèces qui composent le fluide

c) change d’orientation à une position donnée au cours du temps d) est toujours dirigée dans le même sens à une position donnée e) change de sens au cours du temps à une position donnée

5. Dans un fluide, l’impédance acoustique caractéristique :

a) dépend de la position et du temps b) dépend de la position c) dépend du temps d) est indépendante de la position et du temps e) ne dépend que des propriétés du fluide

6. Dans un fluide, l’impédance acoustique caractéristique

a) est d’autant plus grande que le fluide est dense b) est d’autant moins grande que le fluide est dense c) est d’autant plus grande que la célérité de l’onde est grande d) est d’autant plus grande que la célérité de l’onde est petite e) ne dépend ni de la densité du fluide, ni de la célérité de l’onde

39

7. L’intensité acoustique d’une onde sonore dans un fluide: a) est définie par l’énergie acoustique de l’onde par unité de surface b) est définie par le flux d’énergie acoustique de l’onde par unité de surface c) varie proportionnellement au carré de la vitesse particulaire acoustique d) varie proportionnellement à l’inverse de la vitesse particulaire acoustique e) est indépendante de la vitesse particulaire acoustique

8. Lors de la propagation d’une onde sonore d’un milieu d’impédance acoustique

caractéristique Z1 vers un milieu d’impédance acoustique caractéristique Z2 du même ordre de grandeur

a) l’onde est entièrement transmise dans le second milieu b) l’onde est entièrement réfléchie dans le milieu incident c) l’onde est en partie réfléchie et en partie transmise

9. Dans un milieu de masse volumique 1,3 kg/m3, la célérité du son est de 343 m/s et la

vitesse de vibration instantanée des particules est de 2,24 cm/s en un point a) la surpression en ce point est de 10·104 Pa b) la surpression en ce point est de 10 Pa c) l’impédance acoustique caractéristique du milieu est de 352 unité SI d) l’impédance acoustique caractéristique est de 343 unités SI e) l’impédance acoustique caractéristique peut s’exprimer en kg·m-2·s-1 f) l’impédance acoustique caractéristique peut s’exprimer en kg-1·m2·s-1

10. On considère 2 sons dont la différence de niveau sonore est de 60 dB

a) le rapport des puissances surfaciques est de 106 b) le rapport des puissances surfaciques est de 105 c) le rapport des pression acoustiques est égal à 316 d) le rapport des pression acoustiques est de 103 e) le rapport des pression acoustiques est de 1010

11. 2 sources sonores émettent simultanément avec une intensité de 40 dB chacune. Le

son résultant a une intensité de : a) 40 dB b) 43 dB c) 53 dB d) 60 dB e) 80 dB

12. Le facteur de réflexion à l’interface muscle/tissu est égal à R = 0,007 ; si l’impédance

acoustique caractéristique du muscle est 1,6·106 Pa·s·m-1, alors l’impédance acoustique caractéristique du tissu est de l’ordre de :

a) 1,67·106 Pa·s·m-1 b) 1,78·106 Pa·s·m-1 c) 1,89·106 Pa·s·m-1 d) 1,93·106 Pa·s·m-1 e) 2,02·106 Pa·s·m-1

40

D. Effet Doppler

I. Une sirène d’alerte fixe émet un son de fréquence égale à 1000 Hz. Quelle est la fréquence perçue par un automobiliste qui se déplace à 15 m·s-1

1) En s’éloignant de la sirène ? 2) En se rapprochant de la sirène ?

La vitesse du son dans l’air est 344 m·s-1 dans cet exercice et le suivant.

II. Une voiture de police munie d’une sirène émettant à 1000 Hz se déplace à la vitesse de 15 m·s-1. Quelle est sa fréquence apparente pour un observateur immobile lorsqu’elle

1) s’éloigne ? 2) se rapproche de l’observateur ? 3) Que remarquez-vous par rapport aux résultats de l'exercice 1 ?

III. Concours blanc 2001

On se propose d'examiner, par effet Doppler, une artère supposée horizontale, d'un patient. Pour cela, on utilise une sonde appliquée sur la peau et émettant des ondes ultrasonores de fréquence 0 = 3 MHz dans une direction faisant un angle avec le sens de l'écoulement sanguin. La vitesse de propagation du son dans le sérum est vson = 1500 m·s-1, et l'onde se réfléchit sur les globules du sang se rapprochant de la sonde. 1. Représenter, sur un schéma, l'artère examinée, un globule dans l'artère et sa vitesse de

déplacement vG ainsi que la sonde. 2. Sous quelle fréquence ' les globules reçoivent-ils l'onde ultrasonore ? 3. Quelle est la fréquence '' de l'onde réémise par les globules et reçue par la sonde ? 4. En déduire la relation qui donne la vitesse d'écoulement du sang dans l'artère en

fonction de 0, de la variation de fréquence enregistrée et de l'angle d'incidence de la sonde.

5. A.N. = 30° = 700 Hz. 6. Dans une autre zone de l'artère, la variation de fréquence est quadruplée par rapport à la

valeur précédente. Quelle est la vitesse de l'écoulement sanguin dans cette région ? Quelle est la cause de cette anomalie ? Justifier votre réponse.

IV. Vitesse des spermatozoïdes

Un paramètre important de la fécondité est la vitesse des spermatozoïdes dans le sperme qui peut être mesurée à l’aide du dispositif suivant : on envoie, sur un réservoir R transparent contenant des spermatozoïdes en suspension, de la lumière monochromatique de fréquence

0 provenant d’un laser fixé en O émettant dans la direction Oz.

La lumière est renvoyée par les spermatozoïdes en mouvement et celle qui est réémise dans la direction zO est recueillie par un récepteur très proche de O.

1. Calculer la longueur d’onde de la lumière laser sachant que 0 = 5·1014 Hz. On donne la vitesse de la lumière c= 3·108 m·s-1.

41

2. Calculer l’expression littérale de la fréquence 1 de l’onde perçue par un spermatozoïde en mouvement, se déplaçant sur l’axe Oz avec une vitesse algébrique v.

3. Calculer l’expression littérale de la fréquence 2 de l’onde reçue par un récepteur en O après avoir été envoyée par un spermatozoïde.

4. En déduire = 2 - 0 quand v << c. Calculer numériquement pour v = 100 μm/s.

V. La chauve-souris Les espèces de chauve-souris émettent des ultrasons pour éviter les obstacles grâce aux échos. De plus, certaines peuvent aussi déterminer la vitesse des proies par effet Doppler. On se propose de calculer la variation de fréquence perçue par une chauve-souris de cette espèce qui poursuit un insecte. On prendra vson = 340 m·s-1.

1. Une chauve-souris émet des cris brefs à la fréquence 0 = 80 kHz. Quelle est la longueur d’onde du son dans l’air à cette fréquence ? Pourquoi la chauve-souris utilise-t-elle ces fréquences élevées ?

2. La chauve-souris vole vers un obstacle immobile à la vitesse de 15 m·s-1. Calculer la fréquence 1 reçue par l’obstacle. Quelle est la fréquence 2 réfléchie par l’obstacle ? Quelle est la fréquence 3 perçue par l’animal ?

3. Le grand rhinolophe (Rhinolophus ferroequinum) utilise une onde sonore pure de 83 kHz pour détecter des proies en mouvement car sa sensibilité auditive présente un pic autour de cette fréquence. Lorsqu’un signal ayant subi un déplacement en fréquence est détecté, la chauve-souris abaisse sa propre fréquence d’émission jusqu’à ce que l’onde renvoyée s’ajuste à 83 kHz. Le grand rhinolophe peut ainsi détecter une modulation de fréquence due aux battements des ailes de la proie.

4. Quelle est la fréquence d’émission appropriée au cas d’une chauve-souris qui se déplace à la vitesse de 5 m·s-1 vers une proie se rapprochant d’elle à la vitesse de 2 m·s-1 pour que l’écho corresponde à une fréquence de 83 kHz ?

Concours 2009 On donnera des réponses littérales non approchées et pour les applications numériques, on pourra admettre que si << 1 alors (1+ )-1 1 – . Une source sonore S émettant dans toutes les directions une onde de fréquence f = 1 000Hz se déplace à la vitesse v = 3,4 m·s-1 le long de l’axe des x dans le sens positif. Deux récepteurs R1 et R2 sont fixés sur l’axe des x, R1 à une abscisse inférieure à celle de la source et R2 à une abscisse supérieure à celle de la source. La vitesse du son est c = 340 m·s-1.

1. Exprimer littéralement et calculer numériquement les fréquences f1 et f2 des ondes détectées par les récepteurs R1 et R2.

On place un mur réfléchissant parfaitement le son perpendiculairement à l’axe des x à une abscisse supérieure à celle du récepteur R2.

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2. Exprimer littéralement et calculer numériquement les fréquences f’1 et f’2 des ondes réfléchies par le mur détectées par les récepteurs R1 et R2.

3. Quel(s) détecteur(s) enregistre(nt) des phénomènes de battements ? Exprimer littéralement et calculer numériquement la (les) fréquence(s) de battements correspondante(s).

43

E. Interférences – Ondes Stationnaires.

I. Un haut-parleur (HP) est alimenté par une tension sinusoïdale de fréquence f0. On étudie la

propagation du son émis dans l’air considéré comme un milieu homogène, non absorbant et non dispersif. La température de l’air sera supposée constante. On appelle c la célérité du son.

1. Pourquoi dit-on qu’une onde sonore est longitudinale ? 2. Donner, très brièvement, la définition d’une onde progressive. 3. Au repos, la membrane du HP est située dans le plan vertical d’équation x=0 (cf.

figure). L’élongation de la membrane a pour équation : 0,t( ) = asin 2 f0t( ) .

Donner l’expression de l’élongation de l’onde acoustique en un point M d’abscisse x situé sur l’axe xx’.

4. A quelle condition l’onde acoustique au point M vibre-t-elle en phase avec la source sonore ?

On s’intéresse maintenant aux interférences sonores réalisées à l’aide de 2 haut-parleurs identiques, placés face-à-face et alimenté par la même tension sinusoïdale de fréquence . Le phénomène de réflexion des ondes sonores sera considéré comme négligeable sur les HP. Un microphone de faible dimension permet de visualiser l’état vibratoire des ondes acoustiques aux points situés entre les 2 sources. Le schéma de l’expérience est le suivant :

Les membranes A1 et A2 des 2 HP, au repos, sont aux abscisses x1=0 et x2=d. On supposera la distance d comme étant très supérieure à la longueur d’onde des ondes

sonores étudiées. 1

est l’onde générée par A1 et 2

celle générée par A2. L’état vibratoire

au point x est noté (x,t) . 5. On rappelle que les conditions d’obtention des interférences imposent que les 2

sources aient même fréquence et une différence de marche constante. Qu’observe-t-on alors sur l’écran de l’oscillographe au cours d’un déplacement d’une excursion assez large du microphone sur l’axe xx’.

6. Sachant que 1

(A1,t) = asin(2 ft) (a est l’amplitude de la vibration) donner l’expression

de 2(A

2,t) . Écrire, en un point x, l’état vibratoire associé à l’onde progressive émise

par A2.

44

7. Déterminer (x,t) définissant l’état de vibration au point d’abscisse x. On rappelle que

sin a( ) + sin b( ) = 2cosa b

2sin

a + b

2 .

8. Montrer qu’il existe 2 familles de points dont l’état vibratoire est particulier. Représenter, en précisant leur nature, quelques-uns de ces points. Quelle distance i (appelée interfrange) sépare 2 points consécutifs et appartenant à la même famille ?

9. Comment mesure-t-on la distance i ? 10. Sachant que pour f=1250 Hz on mesure i=13,8 cm, déterminer la vitesse du son c,

dans les conditions de l’expérience.

II. Une source sonore S, de petite dimension, immergée en mer (par calme plat) à une profondeur z, émet un son de fréquence f.

Un récepteur R, descendu à une profondeur Z à la verticale d’un point de la surface situé à une distance D de la verticale de la source, reçoit le son résultant de la superposition de 2 ondes : une onde directe et une onde réfléchie par la surface. (On admet que la réflexion sur la surface produit un déphasage de ).

1. Quelle est la relation entre les différences de marches de 2 ondes si celles-ci sont en

phase au point R ? 2. Si les distances z et D sont fixées, combien y a-t-il de valeurs de la profondeur Z du

récepteur pour lesquelles les 2 ondes sont en phases ? Quelle relation doit exister entre z et la longueur d’onde pour qu’il y ait au moins une valeur de Z ?

3. Établir la relation existant entre z, Z, D lorsque l’intensité du son correspond à un maximum. Montrer qu’une approximation permet de calculer Z si Z+z<<D.

4. Calculer les premières valeurs de Z correspondant à une intensité sonore maximale si D=500 m et z=1 m pour les 2 valeurs =370 Hz et 20 kHz. On donne 1500 m/s pour la vitesse du son dans la mer.

III. Une corde vibrante (par exemple une corde de violon) est fixée rigidement à ses 2

extrémités, la longueur de la corde est L et les extrémités se trouvent sur l’axe aux points x=0 et x=L. On désigne par A(x,t) le déplacement d’un point de la corde d’amplitude A0. 1. Écrire l’équation d’onde à laquelle satisfait A(x,t). 2. Justifier pourquoi l’onde est transverse.

45

3. Quelles sont les conditions limites (valeurs de A(x,t) aux extrémités) ? 4. Vérifier que

A(x,t) = 2A

0sin( x)cos( t) satisfait l’équation d’onde.

5. En utilisant la réponse à la question III.3, déduire les valeurs permises de en fonction d’un nombre entier n. Représenter la corde pour les 2 premiers modes de vibration (n=1 et n=2).

6. Quelle est la valeur de la pulsation ? 7. Pour une corde de guitare, le mode fondamental de vibration (n=1) correspond à une

fréquence de 440 Hz. Où doit-on pincer la corde de guitare pour doubler la hauteur du son ? Quel sera le nouveau mode fondamental ? Représenter alors les 2 nouveaux premiers modes de vibration.

IV. Une corde horizontale est fixée à ses extrémités A et B. Sur l’axe des x, confondu avec la

corde à l’équilibre et dont l’origine O est choisie en A, l’abscisse de B est L. Les ondes stationnaires le long de la corde peuvent être décrites par l’expression :

y x,t( ) = f x( )sin t +( ) où

f x( ) = C1sin

2x +C

2cos

2x , C1 et C2 étant des

constantes et la longueur d’onde. On rappelle que pour une corde vibrante l’équation

d’onde à une dimension s’écrit :

2y

t 2=

2

2y

x2 avec

=T

μ où T est la tension de la corde

et μ sa masse linéique. 1. Donner la relation entre la pulsation et la fréquence des ondes. 2. Montrer que est homogène à une vitesse. 3. Établir la relation qui doit exister entre , et pour que y(x,t) soit solution de l’équation

d’onde. 4. En utilisant les conditions aux limites (corde fixe en x=0 et x=L), montrer que les

longueurs d’onde des modes propres de vibration de la corde sont données par :

m=

2L

m où m=1, 2, 3…

5. A.N. une corde vibrante en acier, de longueur L=40cm, a pour masse volumique

= 7,8 103 kg m 3 et pour section s = 0,4 mm2 . À quelle tension est-elle soumise

lorsqu’elle émet comme son fondamental un son de fréquence = 200 Hz ? On prendra : 162 250.

V. La flûte de Pan consiste en une série de tuyaux de longueurs différentes

qui sont maintenus ensemble par des ligatures (voir figure ci-contre). Une extrémité de chaque tuyau est à l'air libre, l'autre (le fond) est fermée. Une fois construite, cette flûte doit jouer les notes do3, mi3, sol3, do4 et mi4. Les deux dernières notes sont à l'octave respectivement des notes do3 et mi3, c'est-à-dire qu'il y a une octave entre do3 et do4 (idem pour mi3 et mi4), la note do4 étant plus aiguë que do3 (idem pour mi4 plus aiguë que mi3). Une étude préliminaire a permis de connaître les fréquences des trois premières notes :

Notes Do3 Mi3 Sol3 Fréquence (Hz) 262 328 393

46

On rappelle que 2 notes sont séparées d’une octave si le rapport de leurs fréquences est égal à 2. Déterminer les fréquences des deux notes do4 et mi4.

On rappelle que :

les sons sont produits par les vibrations acoustiques des colonnes d'air contenues dans les tuyaux ;

la vitesse de propagation (célérité) des sons dans l'air est c = 340 m·s-1.

Il y a toujours un nœud de vibration à une extrémité fermée d'un tuyau et on admettra (approximation grossière) qu’il y un ventre de vibration à une extrémité ouverte. 1. Définir ce qu'on appelle nœud de vibration et ventre de vibration. Dans quel type

d'ondes peut-on observer des nœuds et des ventres de vibration ? 2. On note la longueur d'onde du son de fréquence f. On rappelle qu'un nœud et un

ventre consécutifs sont distants de /4. 3. Exprimer en fonction de f et des données du problème. 4. Montrer que le tuyau de la flûte de longueur L est accordé sur le son de longueur d'onde

si

L = n2+

4, n étant un nombre entier positif ou nul.

5. On appelle mode chaque valeur de n. Qu'appelle-t-on mode fondamental ? Que vaut L dans ce cas ?

6. Déterminer la longueur de chacun des 5 tuyaux de la flûte de Pan dont le fondamental est accordé sur chacune des 5 notes do3, mi3, sol3, do4 et mi4.

7. On dit parfois que les seuls sons possibles pour une flûte de Pan sont les partiels impairs. Justifier cette affirmation.

8. La célérité du son dans l'air augmente (faiblement) avec la température. Prévoir qualitativement si les notes jouées vont être toutes légèrement plus aiguës ou plus graves quand la température augmente. On ne raisonnera que sur le mode fondamental de vibration et on négligera la dilatation des tuyaux.

47

Radioactivité (1/3)

I. Soient 6 nucléons, trois protons et trois neutrons. 1. Calculer la somme des masses de ces différents nucléons. 2. Ces six nucléons sont regroupés de façon à obtenir un noyau de

deutérium et une particule . Ce regroupement va-t-il libérer ou absorber de l’énergie E ? justifier votre réponse.

3. Donner la relation qui relie la somme des énergies de liaison des noyaux d’hydrogène deutéré et des particules et l’énergie E de la question 2.

4. Calculer la masse du noyau de deutérium puis celle de la particule sachant que les énergies de liaison par nucléons, dans les nucléides, sont respectivement 1,08 MeV et 6,8 MeV.

Données : m(p)= 1,007 276 u ; m(n)=1,008 665 u ; 1u 930 MeV.

II. Energie libérée par fission. L’un des modes de fission de l’uranium 235 peut être modélisé par la réaction suivante :

92

235U+

0

1n

58

140Ce +

41

93Nb + 3

0

1n + 7

1

0e

On donne les énergies de liaison par nucléon : Uranium 235 : 7,7 MeV Cérium 140 : 8,45 MeV Nobélium 93 : 8,7 MeV

Calculer l’énergie libérée par cette réaction.

III. Energie libérée par fusion. 1. Calculer l’énergie libérée par la réaction de fusion suivante :

12H+

1

2H

1

3H+

1

1H

On donne les énergies de liaison par nucléon : Deutérium: 1,11 MeV Tritium : 2,83 MeV

2. Le bilan de la réaction nucléaire dans une bombe H est :

36Li+

1

2H 2

2

4He

Calculer l’énergie libérée par cette réaction. Données des masses atomiques en uma :

Deutérium : 2,01400 Hélium : 4,00260 Lithium : 6,01512

IV. Le thorium (A=234, Z=90) se désintègre en émettant un rayonnement -. Ecrire la réaction et caractériser l’élément obtenu.

V. Un gramme de radium 226 perd en une seconde par désintégration 3,7·1010

atomes. 1. Calculer sa constante radioactive rapportée à la seconde, puis à l’année.

En déduire la demi-vie. 2. La période de demi-vie du potassium (A=40, Z=19) est de = 1,4·109

années. Quelle masse de potassium produit le même nombre de désintégrations que 1g de radium 226 par seconde ?

Donnée : nombre d’Avogadro : 6,02·1023 mol-1

48

VI. Tumeur oculaire La localisation d’une tumeur oculaire se fait en fixant du phosphore

15

32P dans l’œil

du patient. On obtient ce phosphore radioactif en bombardant du phosphore naturel

15

31P par un flux de particules élémentaires.

1. Déterminer la nature de ces particules en écrivant l’équation bilan de la réaction nucléaire.

2. Le phosphore radioactif 15

32P se désintègre en donnant un isotope stable du

soufre 16

32S et une particule élémentaire. Déterminer et justifier la nature du

rayonnement émis.

3. On étudie la désintégration d’une source de 15

32P .

i. Sachant qu’au bout de 690 heures, il reste 25% d’atomes radioactifs dans la source, calculer la constante radioactive et la période radioactive T1/2, exprimée en heures, du phosphore 32.

ii. On désire que l’activité de la source à l’instant initial soit de 1,5·10-3 curie, calculer le nombre d’atomes radioactifs que doit contenir la source à cet instant. En déduire la masse de la source. Qu’elle sera l’activité de la source au bout de 690 heures.

Données : 1 Ci = 3,7·1010 Bq ; NA = 6·1023 mol-1 ; ln2 0,69

49

Radioactivité (2/3) 1. Explosion Nucléaire

Les retombées dans l’atmosphère d’une explosion nucléaire contiennent de l’iode 131 radioactif. Cet iode se répand sur le sol, est absorbé par des vaches, contamine le lait et se fixe ensuite totalement sur la glande thyroïde des buveurs de lait (on ne tiendra pas compte de l’élimination physiologique de l’iode dans la thyroïde).

1) La demi-vie de l’iode-131 est de 8 jours, calculer la valeur de la constante

radioactive en seconde-1 et en jour-1. 2) A t = 0 des comptages ont montré une activité de 700 picocuries par litre

de lait. On rappelle que 10-12 curie = 3,7·10-2 Bq. Quel est le nombre d’atomes non désintégrés d’iode 131 à t = 0. Donner l’activité d’un litre de lait en becquerels.

3) Un individu a acheté plusieurs litres de lait et boit un litre tous les matins, le premier étant bu à t0 = 0.

4) Quel est le nombre N0 d’atomes radioactifs d’iode-131 fixés dans sa thyroïde à t0 = 0 (après avoir bu un litre de lait).

5) Quel est, en fonction de N0 et t1, le nombre N1 d’atomes radioactifs d’iode 131 fixés dans sa thyroïde à t1 = 1 jour (après avoir bu deux litres de lait).

6) Quel est, en fonction de N0 et n, le nombre Nn a tn = n jours (après avoir bu (n+1) litres de lait).

4) Une réduction sensible des fonctions de la glande thyroïde, entraînant des

troubles sérieux, apparaît si l’activité de l’iode-131 atteint 2 000 picocuries. Ce stade serait-il atteint à t = 3 jours ?

Données : 2 3/8 ~ 1,3.

2. QCM Masses des particules en unités de masse atomique (1 u = 1,66·10-27 kg) : proton = 1,007277 ; neutron = 1,008665 ; électron = 0,0005486 Facteur de conversion pour E = mc2 : 931 MeV/u.

1. Un atome de 37Cl (Z=17) a une masse de 36,966 u. Quel est son défaut de masse:

(a) 0,623 u (b) 0,388 u (c) 0,263 u (d) 0,341 u (e) aucune de ces réponses

50

2. Quelle est l'énergie de liaison par nucléon du 9Be (Z=4), dont la masse est de 9,01219 u.

(a) 6,46 MeV (b) 6,33 MeV (c) 6,23 MeV (d) 11,39 MeV (e) 56,93 MeV

3. Quelle est la réponse fausse ? (a) Le défaut de masse est la quantité de matière qui serait convertie en énergie si un noyau était formé de protons et de neutrons initialement éloignés à l'infini (b) L'énergie de liaison est l'énergie libérée lors de la formation d'un atome à partir de particules subatomiques (c) Les noyaux à forte énergie de liaison par nucléon sont les plus stables (d) Einstein a postulé dans sa théorie de la relativité que la masse et l'énergie étaient équivalents (e) Le nombre de masse est la somme de tous les protons ou électrons d'un atome

4. Un élément X se désintègre par radioactivité bêta, avec une demi-vie de 4 jours, en l'élément Z. Quelle est la réponse juste ?

(a) Après 8 jours, un échantillon initial de X contiendra un quart d'éléments Z et trois quart d'éléments X (b) L'élément Z a exactement la même masse que l'élément X (c) environ 2,0 g d'élément X sont nécessaires pour produire 1,5 g d'élément Z au bout de 8 jours (d) Si l'élément X a un nombre de masse égal à « n », l'élément Z aura un nombre de masse égal à « n-1 » (e) Aucune de ces réponses

5. Le carbone-11 est un isotope du carbone. Sa demi-vie est de 20 minutes. Pour un échantillon de carbone, quelle est la fraction d'atomes de C-11 qui se sera désintégrée au bout de 80 minutes ?

(a) 1/16 (b) 1/8 (c) 1/4 (d) 7/8 (e) 15/16

6. Quel est l'âge d'une bouteille de vin dont le tritium (3H) qu'elle contient a une activité égale à 25% de celle d'un vin produit aujourd'hui ? La demi-vie du tritium est de 12,5 ans.

(a) 1/4 an (b) 3,1 ans (c) 25 ans (d) 37,5 ans (e) 50 ans

51

7. Un compteur Geiger enregistre 1000 clics/seconde pour un échantillon qui contient un isotope du polonium. Après 5 minutes, le compteur n'enregistre plus que 281 clics/seconde. Quelle est la demi-vie (en secondes) de cet isotope ?

(a) 87 (b) 110 (c) 164 (d) 264 (e) 2,18

8. L'activité du 14C contenu dans une ancienne relique organique péruvienne est de 10 désintégrations par minute et par gramme (dpm/g) de C. Sachant que les plantes ont aujourd'hui une activité de 15 dpm/g et que la demi-vie du 14C est de 5730 ans, quel est l'âge (en années) de cette relique péruvienne ?

(a) 1455 (b) 1910 (c) 3350 (d) 3820 (e) 9080

9. Quelle est la proposition qui décrit un processus de fission ? (a) Un noyau lourd se fragmente en noyaux plus légers (b) Un neutron se désintègre en un proton et un électron (c) Deux noyaux légers se combinent pour donner un noyau plus lourd (d) Un proton se désintègre en trois quarks (e) Un couple particule - anti-particule apparaît aux hautes énergies

10. Lequel de ces éléments est le plus susceptible de subir une réaction de fusion ? (a) 2H (b) 4He (c) 56Fe (d) 141Ba (e) 235U

11. Quel est l'élément manquant pour compléter et équilibrer la réaction suivante:

239Pu + ___+

0

1n

(a) deux 115Ag (b) deux 106Rh (c) 235U (d) 233Pa (e) 242Cm

12. Lorsque un atome de 29

59Cu subit une désintégration bêta + (émission d'un

positron), quel est le produit immédiat de réaction ? (a) 59Zn (b) 58Ni (c) 58Cu

(d) 28

59Ni

(e) 30

58Zn

52

13. Quel est le résultat immédiat d'une capture électronique par un atome de 85

211At ?

(a) 86

211Rn

(b) 212At (c)

84

211Po

(d) 210At (e)

83

207Bi

14. Lors de la fission d'un noyau de 92

235U après bombardement par un neutron, on

observe que les produits de réaction sont: trois neutrons, un noyau de 36

94Kr et un

noyau de : (a)

54

139Xe

(b) 141Ba

(c) 55

139Cs

(d) 56

139Ba

(e) 53

142I

15. Quelle est la signification de la « demi-vie » ? (a) la moitié du temps qu'il faut pour que la radioactivité d'un échantillon disparaisse totalement (b) le temps au bout duquel la radioactivité d'un échantillon a diminué de moitié (c) le temps au bout duquel la radioactivité d'un échantillon a augmenté de moitié (d) la moitié du temps au bout duquel la radioactivité d'un échantillon a diminué de moitié (e) aucune de ces réponses

16. La désintégration d’un noyau de phosphore-32 libère une énergie W = 1600 keV. Une source contient initialement 3·1016 noyaux de 32P. Quelle est l'énergie libérée par cette source au bout de 2 périodes radioactives ?

(a) E = 2,40·1016 MeV (b) E = 4,80·1016 MeV (c) E = 2,40·1013 MeV (d) E = 3,60·1016 MeV (e) E = 3,60·1013 MeV

17. En quel atome est transformé un atome de 16N qui émet une particule bêta

(a) 13N (b) 16O (c) 12B (d) 18N (e) aucune de ces réponses

53

18. Les quatre types de radiations suivantes, classées de la moins dangereuse (pour la santé humaine) à la plus dangereuse, s'ordonnent selon:

(a) gamma < alpha < bêta < neutron (b) alpha < gamma < neutrons < bêta (c) bêta < alpha < gamma < neutrons (d) neutrons < alpha < gamma < bêta (e) gamma < bêta < neutrons < alpha

19. L'uranium-238 se désintègre en cascade pour produire l'élément stable plomb-206. Le polonium-218 apparaît à la septième étape de cette série de désintégrations. Quelle est cette série ?

(a) 3 désintégrations alpha + 4 désintégrations bêta (b) 5 désintégrations alpha + 2 désintégrations bêta (c) 4 désintégrations alpha + 3 désintégrations bêta (d) 2 désintégrations alpha + 5 désintégrations bêta (e) 1 désintégration alpha + 6 désintégrations bêta

20. L'activité initiale de 1,6 mg de phosphore-32 est de 1,68·1010 Bq. Quelle est la valeur de la constante radioactive du 32P ?

(a) = 5,6·10-7 s-1

(b) = 3,9·10-7 s-1

(c) = 8,1·10-7 s-1

(d) = 5,6·10-4 s-1

(e) = 3,9·10-4 s-1

54

Radioactivité (3/3)

I. Le stimulateur cardiaque au plutonium

Un stimulateur cardiaque (pacemaker) fonctionne grâce à un générateur miniature qui transforme l’énergie libérée par une désintégration nucléaire en énergie électrique. Cette énergie électrique permet d’envoyer des impulsions régulières aux cellules cardiaques et de stimuler le fonctionnement du cœur pendant plusieurs dizaines d’années. Le stimulateur est implanté à proximité du cœur lors d’une opération chirurgicale. La source radioactive qui active le simulateur est constituée de 180 mg de l’isotope 238 du plutonium (Z=94). Le 238Pu se désintègre avec une période de demi-vie de 87,7 ans en émettant une particule :

94

238Pu

Z

AX+

A. Désintégration du plutonium

1. Déterminer la nature de l’élément chimique X. Justifier votre réponse. 2. Montrer que l’énergie Q libérée dans la désintégration est égale à 5,593

MeV

B. Radioactivité et activité

1. Donner la loi d’évolution dans le temps du nombre de noyaux n(t) de 238Pu fonction du nombre de noyaux n0 initialement présents dans le simulateur.

2. Expliciter les valeurs numériques de n0 et . On considèrera ici que la masse molaire du 238Pu est de 238 g·mol-1.

3. Rappeler la relation entre activité et nombre de noyaux. 4. En déduire la loi d’évolution A(t) de l’activité sous forme littérale en fonction

de l’activité initiale A0. Calculer la valeur numérique de A0. 5. Combien de noyaux se désintègrent en une seconde à l’instant initial ?

C. Durée de vie du simulateur On fait l’approximation que l’énergie de recul du noyau X est négligeable et que toute l’énergie Q de la réaction est emportée par la particule alpha.

1. Calculer l’énergie libérée en une seconde par la désintégration de la source de plutonium à l’instant initial. On exprimera cette énergie en joules.

2. Calculer la puissance fournie par la réaction de désintégration à l’instant initial. On rappelle que la puissance P est égale à l’énergie libérée par seconde.

3. La puissance électrique disponible, à t = 0, est 250 W. Calculer le rendement de l’appareil (rapport de la puissance électrique sur la puissance fournie par le 238Pu).

4. Montrer que la puissance à l’instant t est P(t) = P0 e- t.

5. Le simulateur ne fonctionne plus correctement lorsque la puissance a diminué de 30% par rapport à la puissance initiale. Déterminer la durée maximum d’utilisation de l’appareil.

Données : ln0,7 ~ -0,36.

55

Z=90: Thorium, Z=91: Proactinium, Z=92: Uranium, Z=93: Neptunium, Z=94: Plutonium. m(238Pu) = 238,049 553 u, m(234U) =234,040 945 u, m(4He)= 4,002 603 u.

II. Concours 2009

Données de l’exercice : Elément H He Li Be B

Nombre de charges (Z) 1 2 3 4 5

ln2 = 0,69 Charge électrique élémentaire : e = 1,6·10-19 C Nombre d’Avogadro : NA = 6·1023 mol-1 Masses : M(X)c2 = 6 533,8 MeV; M( X )c2 = 6 534,4 MeV. Section efficace d’absorption des neutrons par le bore : B = 4 000 barns. Flux de neutrons : = 1012 neutrons·cm-2·s-1 1 barn = 10-28 m2. Le bore est un élément neutrophile qui capture des neutrons (n) et fissionne selon la réaction décrite ci-dessous :

5

10B + n X +

2

4He

1. En utilisant les diverses lois de conservation applicables aux réactions de

fission nucléaire, déterminer la nature de l’élément chimique X impliqué dans cette transformation.

Du bore est injecté dans la veine d’un patient pour qu’il se fixe sur des cellules cancéreuses. On bombarde le patient avec des neutrons pour provoquer la fission des noyaux de bore au cœur de la tumeur. Le bore produit des noyaux fils X dans un état excité X .

5

10B + n X +

2

4He

Ceux-ci se désexcitent en émettant des rayonnements gamma :

X X +

2. Quelle est l’énergie du photon émis (on supposera que le noyau, lourd, reste immobile dans l’état final).

On bombarde le patient avec un flux de neutrons (nombre de neutrons par cm2 et par seconde). La section efficace d’absorption des neutrons par le bore est B. est

la constante radioactive du radionucléide X formé.

56

La production des nucléides X est due aux effets du bombardement neutronique sur le bore ; leur disparition est le résultat de la décroissance radioactive de ceux-ci par émission gamma. L’expression de la variation du nombre de nucléides X par unité de temps (

dN

Xd t ) en fonction de B, , , et du nombre NB de noyaux de

bore est alors :

dNX

dt= N

B BN

X

3. Intégrer la relation précédente pour déterminer l’expression du taux de

croissance du nombre de radionucléide X en fonction des paramètres du problème. On supposera que le nombre de noyaux de bore reste constant pendant toute la durée de l’irradiation du patient et qu’à l’instant initial (t=0) il n’existe aucune radionucléide de type X .

4. En déduire l’expression de l’activité du nucléide X . 5. La demi-vie de l’état excité X étant de 69·10-15 s et le temps d’irradiation du

patient de trois minutes, montrer que l’expression de l’activité, déterminée dans la question précédente, se simplifie et qu’elle peut être considérée constante. Conclure.

Aux énergies des photons émis, leur longueur de demi-atténuation dans l’organisme est x1/2 = 1 cm. 6. Donner la définition de la longueur de demi-atténuation.

On rappelle que l’évolution du nombre de photons en fonction de la distance x à la source (c’est-à-dire des noyaux de Li ) a pour expression :

N x( ) = N0exp

ln2

x1 2

x

7. Déterminer numériquement la taille que doit avoir la tumeur pour que seulement

un quart des photons émis s’en échappent et atteignent le tissu sain. 8. On injecte une solution de 1 mg de bore-10 dans les veines d’un patient.

Calculer l’activité provoquée par la fission du bore sous l’effet de l’irradiation aux neutrons.

9. On bombarde le patient pendant trois minutes. Calculer la dose de photons absorbée par un patient de 64,8 kg après ce traitement. On rappelle que la dose de photons absorbée correspond à l’énergie totale reçue divisée par la masse du receveur.