Universidad Tcnica de MachalaSistema de Nivelacin Y Admisin

Nombre: Alan Mario Saca Villacrs Docente: Ing. Joffre Honores Paralelo: Pre-Universitario D

Machala, marzo 1 de 2013

CAPITULO I Lunes 07-Enero-2013 LGICA Y CONJUNTOS Proposicin.- Una proposicin es una unidad semntica que o solo es verdadero o solo es falso. Ejemplo: Oraciones que son proposiciones. A: 5 es un nmero primo. V B: 2+2=5 F C: 4 es un mltiplo de 16. V Oraciones que no so proposiciones. Auxilio! Hola! Buenas noches. El valor de verdad.- El valor de verdad de una proposicin es la cualidad de veracidad que describe adecuadamente la proposicin. Este puede ser verdadero o falso. V 1 + SI TRUE T F X 0 - NO FALSE F Tabla de verdad.- Es una representacin de los posibles valores de verdad que podran tomar una proposicin. a A 0 1 a 0 0 1 1 B 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 b 0 0 1 1 0 0 1 1 c 0 1 0 1 0 1 0 1 Martes 08-Enero-2013

TEMA: OPERADORES LGICOS. Negacin ( a).- La negacin resulta cuando se niega la proposicin si a es una proposicin verdadera se convierte en falso. A 0 1 a 1 0

a: 4+4 es igual a 8 V 1 a: 4+4 no es igual a 8 F 0 Conjuncin (a ^b).- La proposicin resultante ser verdadera solo cuando el valor de verdad de ambas proposiciones sea verdaderas. a 0 0 1 1 b 0 1 0 1 a ^b 0 0 0 1 ab: Obtengo buenas notas y gano una beca.

Disyuncin inclusiva (a v b).- La proposicin resultante ser falsa solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones sean falsas.

a 0 0 1 1 ab: Estudio o veo televisin.

b 0 1 0 1

avb 0 1 1 1

Disyuncin exclusiva (avb).- La proposicin resultante ser verdadera cuando solamente una de ellas sea verdadera. A b avb 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 avb: O estoy en Quito o estoy en Guayaquil. Condicional (a b).- La proposicin resultante ser falso solamente cuando el valor de verdad del antecedente sea verdadero y el valor del consecuente se falso. a b a b 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0

ab: Si desayuno bien entonces no almuerzo. Existen otras proposiciones relacionadas con la condicional ab, las cuales se denominan: recproca, inversa y contrarrecproca. La Recproca, es representada simblicamente por: ba. La Inversa, es representada simblicamente por: ab. La Contrarrecproca, es representada simblicamente por: ba. Bicondicional (ab).-Sera verdadero cuando los valores de verdad de ambas proposiciones sean iguales. a b ab 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 ab: La tierra es cubica si y solo si el Sol es un planeta. Jueves 10/01/2013 Presentacin de los trminos gramaticales en los operadores lgicos. Negacin: no, ni, no es verdad que, no es cierto que. Conjuncin: y, pero, mas, y signos de puntuacin como: la coma, el punto, y el punto y coma. Disyuncin inclusiva: o. Disyuncin exclusiva: o, o slo, o solamente. Condicional: si a, entonces b, a slo si b, a solamente si b, b si a, si a, b, b con la condicin de que a, b cuando a, b siempre que a, b cada vez que a, b ya que a, b debido a que a, b puesto que a, b porque a, se tiene b si se tiene a, slo si b, a, b, pues a, cuando a, b, los a son b, a implica b, o cualquier expresin que denote causa y efecto .

Bicondicional: a s y slo si b, a si y solamente si b, a implica b y b implica a, a cuando y slo cuando b. Ejemplos: 13. Considerando las proposiciones: a: La informacin es correcta. b: Existe un incremento en los costos de produccin. c: El analista tiene un error de apreciacin. Traduzca al lenguaje formal la proposicin: La informacin es incorrecta, slo si existe un incremento en los costos de produccin o el analista tiene un error de apreciacin. R= a(b c) 14. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) Quito es capital de Argentina o Buenos Aires es capital de Ecuador. a b 0 0 0 El valor de verdad de esta proposicin es falso. b) 5 es menor que 10 y 8 no es un nmero primo. a b 01 1 El valor de verdad de esta proposicin es verdadero. 15. Indique cul de las siguientes proposiciones es falsa: a) Si 2(3 + 5) = 16 entonces 5(6 + 1) = 35. 11= 1 b) Si (4 + 5) = 20 entonces (6 + 7) = 12. 00= 1 c) Si (9 + 5) = 14 entonces (6 + 5) = 11. 11= 1 d) Si 9(4 + 2) = 54 entonces 9(4 + 1) = 14. 10 = 0 e) Si 3(4 + 5) = 28 entonces 7(6 + 5) = 37. 00 = 1 16. Una recproca de la proposicin Carlos llega impuntual, siempre que se levanta tarde es: a) Si Carlos se levanta tarde, entonces llega impuntual. b) Si Carlos llega impuntual, entonces se levanta tarde. c) Si Carlos no llega impuntual, entonces no se levanta tarde. d) Carlos llega impuntual, si no se levanta tarde. e) Si Carlos no llega impuntual, entonces se levanta tarde. Viernes 11/01/2013 TEMA: DETERMINACIN DE VALORES DE VERDAD. Tautologa, contradiccin, contingencia. Dada la estructura lgica de una forma proposicional: Definiciones:

Si se tienen solamente proposiciones verdaderas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales, se dice que es una TAUTOLOGA. Si se tienen solamente proposiciones falsas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales, se dice que es una CONTRADICCIN. Si se tienen algunas proposiciones verdaderas y otras falsas para los valores de verdad de las variables proposicionales, se dice que es una CONTINGENCIA.

Ejercicios: I. pq: p 0 0 1 1 II. p(q p) P 0 0 1 1 III. (p q) (qp)

CONTINGENCIA q q pq 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0

TAUTOLOGA Q q p p(q p) 0 1 0 1 1 0 1 1 TAUTOLOGA 1 1 1 1

p 0 0 1 1 IV.

q 0 1 0 1

p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

p q 1 1 0 1

qp 1 0 1 1

(p q) (qp) 1 1 1 1

(p V q) (pq) P Q 0 0 1 1 0 1 0 1

p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

TAUTOLOGA p V q (p V q) 0 1 1 1 1 0 0 0

qp 1 0 0 0

(p V q) (qp) 1 1 1 1

Lunes 14/01/2013 TEMA: PROPIEDADES DE LOS OPERADORES LGICOS Las operaciones lgicas denidas entre las formas proposicionales de algunas de sus ms importantes propiedades se incluyen en las denominadas Leyes del lgebra de Proposiciones o Leyes Lgicas. A continuacin se presentan las de uso ms frecuente: CONJUNCIN (pq) (qp) Conmutativa DISYUNCIN (pq) (qp)

[(pq)r] [p(qr)] (pp) p (p1) p (p0) 0

Asociativa Idempotencia Identidad Absorcin

[(pq)r] [p(qr)] (pp) p (p0) p (p0) p

Leyes de los Operadores Negacin, condicional y bicondicional. 0 1 1 0 (p) p p(qr) (pq)(pr) p(qr) (pq)(pr) (pq) (pq) (pq) (pq) (pp) 1 (pp) 0 (pq) (qp) (pq) (pq) (pq) (pq) (pq) (pq) [(pr)(qr)] [(pq)r] [(pq)(pr)] [p(qr)] [(pq)r] [p(qr)] (pq) [(pq)0] (p q) [(pq)(qp)] (p q) (q p) Leyes de las implicaciones lgicas FORMA SIMBLICA p p p(pq) (pq)p [(pq)p]q TAUTOLOGA Trivial Adicin Simplicacin Modus Ponendo Ponens Suposicin del Antecedente

Negacin Doble Negacin o Involutiva Distributivas

De Morgan Tercero Excluido Contradiccin Contrapositiva o Contrarrecproca

Implicacin

Exportacin Reduccin al Absurdo Equivalencia

[(pq)q]p

Modus Ponendo Ponens Suposicin del Antecedente

[(pq)p]q [(pq)(rs)][(pr)(qs)] [(pq)(rs)][(pr)(qs)] [(pq)(qr)](pr) [(pq)(qr)](pr)

Silogismo Disyuntivo Dilemas Constructivos

Transitividad o Silogismo Hipottico

Para demostrar estas propiedades u otras, se pueden emplear tablas de verdad o utilizar algunas de las propiedades ms elementales, como se ver a continuacin en los siguientes ejemplos: A: [(pq)r], B: [p(qr)]

52. Empleando lgebra proposicional, identique cul de las siguientes formas proposicionales NO es tautolgica. a) [(p q) (r s)] [(p r) (q s)] (0 0) (0 0) 1 b) [p (p q)] q (0 0) 0 1 c) [(p q) (q r)] (p r) 110 0 p 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 00 1 Martes 15/01/2013 TEMA: Validez de un razonamiento pq 0 0 0 0 0 0 1 1 (pq)r 1 1 1 1 1 1 0 1 qr 1 1 0 1 1 1 0 1 p(qr) 1 1 1 1 1 1 0 1 AB 1 1 1 1 1 1 1 1 d) [(p q) p] q (0 0) 0 1 e) (p 0) p

Un razonamiento es vlido cuando la forma proposicional que representa su estructura lgica es una tautologa. Si dicha forma proposicional es una contradiccin o contingencia, entonces el razonamiento no es vlido, en cuyo caso se denomina falacia. Ejercicios: Determinacin de la validez de un razonamiento. Si Pablo recibi el e-mail, entonces tom el avin y estar aqu al medioda. Pablo no tom el avin. Luego, Pablo no recibi el e-mail. a: Pablo recibi el e-mail. b: Pablo tom el avin. c: Pablo estar aqu al medioda. H1: a(bc) H2: b C: a [H1H2]C [(p(qr))q]p[(p(qr))q]p

p 0 0 0 0 1 1 1 1

q

r

qr

p(qr)

q

(p(qr)q

p

[(p(qr))q]p

0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 Determine si el siguiente razonamiento es vlido: Si el crimen ocurri despus de las 04h00, entonces Pepe no pudo haberlo cometido. Si el crimen ocurri a las 04h00 o antes, entonces Carlos no pudo haberlo cometido. El crimen involucra a dos personas, si Carlos no lo cometi. Por lo tanto, el crimen involucra a dos personas. a: El crimen ocurri despus de las 04h00. b: Pepe pudo haber cometido el crimen. c: Carlos pudo haber cometido el crimen. d: El crimen involucra a dos personas. H1: a(b) H2: (a)(c) H3: (c)d C: d [H1 H2 H3]C [(a(b))(( ac))((c)d)]d

a b c d a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1

b 1 1 1 1 0 0

c 1 1 0 0 1 1

H1 1 1 1 1 1 1

ac 1 1 0 0 1 1

H1H2 1 1 0 0 1 1

(c)d 0 1 1 1 0 1

H1H2H3 0 1 0 0 0 1

H1H2H3d 1 1 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

1 1 1 1 1 1 0 0 0 0

0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 0 1 1 1 0 1 1 1

0 0 0 1 1 1 0 0 0 0

1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

Lunes 22/01/2013 TEMA: DEFINICIN DE CONJUNTOS

Un conjunto es una coleccin, reunin o agrupacin de objetos que poseen una caracterstica o propiedad comn bien definida. Para establecer si un objeto pertenece o no a un conjunto, debe verificarse que posea la caracterstica o propiedad declarada por el conjunto. De aqu que es importante que esta caracterstica no sea ambigua. Ejemplos de conjuntos: Los nmeros enteros. Los habitantes de la Luna. Los animales en extincin. Los nmeros primos. Los paquetes de software. Los operadores de telefona celular. Todas estas agrupaciones poseen una caracterstica que puede ser verificable con precisin. x A, es decir x pertenece a A. x no est en A, x A. -Por COMPRENSIN.-Para referirnos a alguna caracterstica de los elementos. Ejemplo: A = {x/x es consonante de la palabra amistad} -Por EXTENSIN o TABULACIN.-Cuando se listan todos los elementos. Ejemplo: A = {x/x es consonante de la palabra amistad} -Por medio de DIAGRAMAS DE VENN.-Cuando se desea representarlo grficamente. Ejemplo: A = {d, m, s, t} A Note que: t d d A b A Para algunas operaciones que se realizan entre conjuntos, es de mucha utilidad conocer la cantidad de elementos que posee el conjunto. Dicha cantidad recibe el nombre de cardinalidad, la cual se define a continuacin. Cardinalidad.- Es la cantidad de elementos de un conjunto A. Se denota por el smbolo N(A). Ejemplo: A= {x/x es un dgito impar en el sistema de numeracin decimal} N(A) = 5, porque A = {1, 3, 5, 7, 9}

m

s

Conjuntos relevantes Sea A un conjunto, se pueden dar los siguientes casos:

A es VACO si no tiene elementos. El smbolo que se utiliza para representar al conjunto vaco es . N(A) = 0 A es UNITARIO si tiene un nico elemento. N(A) = 1 A es FINITO si tiene una cantidad finita de elementos. A es INFINITO si no tiene una cantidad finita de elementos. A es REFERENCIAL o UNIVERSO cuando contiene todos los elementos que deseen considerarse en un problema, discurso o tema, sin pretender contener todo lo que no interesa al problema. El smbolo que se utiliza para representar a este conjunto es Re o U. Ejemplos: Conjunto VACO: A = {x/x es un nmero par e impar a la vez} Conjunto UNITARIO: A = {*} Conjunto FINITO: A = {x/x es habitante del Ecuador} Conjunto INFINITO: A = {x/x es nmero entero} Conjunto REFERENCIAL o UNIVERSO: A = {x/x es una letra del alfabeto espaol} CUANTIFICADORES Hasta ahora hemos considerado solamente la inferencia lgica de la estructura de proposiciones que son clasificadas como verdaderas o falsas. Sin embargo, en matemticas se pueden considerar tres tipos de frases o expresiones: (1) verdaderas, falsas e indistintas o abiertas. Ejemplos: Verdaderas 8+3=11 Falsas 2+2=5 Indistintas o abiertas 3x+2y=5 CUANTIFICADOR UNIVERSAL.- Cualquier expresin de la forma para todo, todo, para cada, cada, constituyen el lenguaje formal. Se simboliza por medio de . Ejemplo: x, 2x +3x = 5x Para todo valor de x se cumple 2x +3x = 5x CUANTIFICADOR EXISTENCIAL.- Cualquier de la forma que existe, algn, algunos, por los menos 1, basta que 1, constituye el lenguaje formal. Se simboliza por medio de . Ejemplo: x, 2x +2 =4 Algn valor de x puede cumplir que 2x +2 =4 SUBCONJUNTO.- El conjunto A es un subconjunto de B si y solo si los elementos de A estn contenidos en B simblicamente se lo representa: (A C B) x [(x A) (X E B)] B = [a, m, i, s, t, d] A = [m, s, t, d] CONJUNTO POTENCIA.- Dado un conjunto A su conjunto potencia es aquel que est formado por todo los subconjuntos de A su smbolo es: P(A). Ejemplo: S= {a, b, c} tendrs el conjunto potencia de {a, b, c}: P(S) = {{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} P(S) = 8

Mircoles 23/01/2023 TEMA: IGUALDAD DE CONJUNTOS

Dos Conjuntos A Y B son iguales si y solo si tienen los mismos elementos es decir, ambos conjuntos se contienen mutuamente simblicamente este concepto se representa por A es = B (A= B) [(A B) (B A)]

CONJUNTOS DISJUNTOS E INTERSECANTES. Los conjuntos A y B son disjuntos si y solo si A y B no tienen elementos en comn. Los conjuntos A Y B son intersecan ts si y solo A y B tiene un elemento en comn. EJEMPLO DE DISJUNTO A =[ 1, 3, 5, 7 ] A= B= [ a, b, c, d ] EJEMPLO DE INTERSECANTE A=[ 1, 3, 5, 7 ] B= B=[ 1, 3, 8,9,10 ]

1 3 5 7

a b c d

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS. Es posible realizar operaciones entre conjuntos para formar otros nuevos. Las operaciones utilizadas son: unin, interseccin, diferencia, diferencia simtrica, y complementacin. UNION ENTRE CONJUNTOS. La unin entre conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al B se denota por AUB y se define como: [x/ (x A) V (X B)]. Ejemplo: AUB= =[ 1,3,5,7,a,b,c,d ]

RE

A

B

1 3 5

a b c

INTERSECCION ENTERE CONJUNTOS. La interseccin entre conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y el conjunto B se denota por: AB= [x/ (X A) (X B)] Re

A 5 7

B

B A = [(1, 3)]

1 6 8 3 9

DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS.

La diferencia entre conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A pero no pertenecen al conjunto B se denota por A-B y se define como [x/ (X A) (X B)]. Re

A 5 7

B

DIFERENCIA SIMETRICA ENTRE CONJUNTOS. La diferencia simtrica entre conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenece al conjunto A o al conjunto B se denota por A B Y se define como A B= (A-B) U (B-A) o A B=[ x/ (X A) ( X B) ] V [ (X B) ( X A) ]

Re

BA 5 7 6 9 8

COMPLEMENTACION DE CONJUNTOS. La complementacin del conjunto A es un nuevo conjunto formado por los elementos de referencial que pertenecen al conjunto A Se denota por: = [x/ (X Re) (X A)] Re 2 4 A= [1, 3, 5, 7] Re: = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10] 9 8 A= [2, 4, 6, 8, 9, 10]

10

1 5

3 7

Jueves 24/02/2013 Propiedades de Operaciones entre Conjuntos Propiedad: Asociativa Conmutativa Idempotente Absorcin Distributiva (A A A A A (A B) B=B A=A (B (B B) A) = A C) = (B Unin C=A A (B C) (A A A A B) B=B A =A (A B) = A Interseccin C=A A (B C)

A)

A (B C) = (A B) (A

C)

Neutralidad

A A

=A U=U A =U B) = Al l l

A A A Bl

U=A = A = B) = Al l l

Complementacin Ley de De Morgan

A (A

(A

B

l

Capitulo ll Lunes 31/01/2013 NMEROS REALES Introduccin En el captulo anterior hemos utilizado los nmeros y uno de los conjuntos que nos ha servido como referencia es = {1, 2, 3, ....}, el cual se denomina conjunto de los nmeros naturales. En algunas situaciones de la vida diaria, tales como: Determinar el nmero que sumado con 5, d por resultado 2. Tener un sobregiro de $ 100 en una cuenta corriente. Disminuir la temperatura de 25 C a 20 C en un cierto instante de tiempo. Deber una cierta suma de dinero. Nos encontramos con la dificultad de que no existen nmeros naturales que puedan resolver dichos problemas. Lunes 04/02/2013 Las soluciones se encuentran en un nuevo conjunto denominado conjunto de los nmeros enteros. Z= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}, - 2