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7/23/2019 Practica i Estatica - Dennis
http://slidepdf.com/reader/full/practica-i-estatica-dennis 1/17
ESTÁTICA
Practica N°1
PROBLEMA UNICO: Reducir el sistema de fuerzas que actúa en el sólido rígido que
se muestra en la figura a un torsor equivalente, indica la ecuación del eje central y el paso del torsor. Si se sabe que G tiene como !ngulos directores.
" #$%&, ' ()*+.+%+$+*+&, δ ()%+.%*-***-/&
GA=√ 2041
3m;CG=√ 95
3m;BC =√ 72 m .
0) ( )%% 1, actúa en la recta 23.
0- ( )%% 1, es perpendicular al plano 45G6 7 actúa en el punto 8 9intersección de lasrectas G: y 56;.
0 ( -%% 1, forma %& con el plano 52<G y )%%& con la recta 5G.
| IJ |= 3
4|BI |
|BK |=3 /5|CB|
< 9=,=*,/.+)*-)$);
> 9=-,=?.*,=%.$/-?/*;
Teoría de cursoresPágina 1 | 17
7/23/2019 Practica i Estatica - Dennis
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ESTÁTICA
Practica N°1
DESARROLLO
A. @R>A6RB 16C6ABS DE6 6C5BC1RR 8BS @EC1BS FG, F5, F3, F2,F8 7 F: 7 DE6 6S1BS CBS HC S6RH>R @R 8 SB8E5>IC 8@RB486A @8C162B
1. Hallamos el ángulo α :
cos2α +cos
2 β+cos2 δ =1
α =arccos √ 1−cos2 β−cos
2δ
α =101.491030544 °
2. Hallamos el un!o " :
u= GA|GA|
=(cosα , cosβ , cosδ )
G ( x , y , z )
Teoría de cursoresPágina 2 | 17
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ESTÁTICA
Practica N°1
A (5,−4, 2)
( 5,−4,2 )−( x , y , z)
√ 2041
3
=(cosα , cosβ , cosδ )
→ x= √ 2041 cos∝−15
−3, y= √ 2041 cosβ+12
−3, z= √ 2041 cosδ −6
−3
→G=(
8,10,20
3
)#. Hallamos el un!o C :
a. Hallamos la e$ua$%&n 'el lano E"CB:
EC . ( EG x EB )=0
EC . ( EG x EB ) (
( x+3, y−7, z+8 ) .
| i j k
11 3 44
313 1 9 |
¿ ( x+3, y−7, z+8 ) .(12.3333333333,91.6666666671,−28)
12.333333333 x+91.6666666671 y−28 z=828.6666666667 …(1)
b. Hallamos otra ecuación en base al vector unitario: Dato :|CG|= 95
9
a!"mos#u" :
Teoría de cursoresPágina 3 | 17
G=(8,10,20
3 )
B=(10,8,1)
E=(−3,7.−8)
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ESTÁTICA
Practica N°1
u=CG
|CG|=
(8− x ,10− y ,20
3− z)
√ 193
3
|CG|2=(8− x )2+(10− y)2+( 20
3− z )
2
(8− x)2+(10− y )2+( 20
3− z)
2
=95
9…(2)
c. Hallamos otra ecuación en base al vector unitario: Dato :|BC |=√ 72
a!"mos#u" :
u=BC
|BC |=( x−10, y−8, z−1)
√ 72
|BC |2=( x−10)2+( y−8)2+( z−1 )2
( x−10)2+( y−8)2+( z−1 )2=72…(3)
d. Armando y resolviendo el sistema de 3 ecuacioneshalladas anteriormente obtenemos las coordenadasde C :
12.333333333 x+91.6666666671 y−28 z=828.6666666667 …(1)
(8− x)2+(10− y )2+( 20
3− z)
2
= 95
9…(2)
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ESTÁTICA
Practica N°1
( x−10)2+( y−8)2+( z−1 )2=72…(3)
→
(. Cal$ulamos el un!o D :a. Hallan'o el un!o D en el lano ABCD
|BD|=( x−10, y−8, z−1)
|BA|=(−5,−12,1)
|BC |=(0.803277,2.4688085,8.11779108)
2e la ecuación del planoJ
BD . (BC x BA )=0
( x−10, y−8, z−1 ).| i j k
0.0803277 2.4688085 8.11779108
−5 −12 1 |=0
( x−10, y−8, z−1 ). (99.88230146,−40.6692831,11.3801101) (%
( 99.88230146 x−40.6692831 y+11.3801101 z )=684.8488599 K. 9);
). Hallan'o el un!o D en el lano CD"H:
|GD|=( x−8, y−10, z−20
3)
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C (10.0803277 , 10.4688085 , 9.11779108)
A= (5,−4,2 )
B= ( 10,8,1)
C =(10.0803277,10 .4688085,9.1177910
G=(8,10,20
3 )
$ =(−3,−5,4.8152173913 )
C =(10.0803277,10 .4688085,9.1177910
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ESTÁTICA
Practica N°1
|G$ |=(−11,−15,−1.85144928 )
|GC |=(2.0803277,0 .4688085,2.45112441333)
GD . (G$ x GC )=0
( x−8, y−10, z−20
3) .|
i j k
−11 −15 −1.85144928
2.0803277 0.4688085 2.45112441333|=0
( x−8, y−10, z−20
3) . (−35.8988910402,23.1107473243,26 .048022) (%
(−35.8988910402 x−23.1107473243 y+26.048022 z )=117.569825 K. 9-;
$. Hallan'o el un!o D en el lano ADHI:
|
ID|=( x+2, y+6.5, z+0.739432645 )
| I$ |=(−1,−1.5,5 .55465004)
| IA|=(7,2.5,2.739432645)
ID . ( I$ x IA )=0
( x+2, y+.65, z+0.739432645) .| i j k
−1 −1.5 5.55465004
7 2.5 2.739432645|=0
( x+2, y+ .65, z+0.739432645 ) . (−9.77747612,41.6219829,−13 ) (%
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A= (5,−4,2 )
$ =(−3,−5,4.8152173913 )
I =(−2,−6.5,−0.739432645)
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ESTÁTICA
Practica N°1
(−9.77747612 x+41.6219829 y−13 z )=−241.375312 K. 9;
De las e$ua$%ones *1+ , *2+ - *#+
( 99.88230146 x−40.6692831 y+11.3801101 z )=684.8488599 K. 9);
(−35.8988910402 x−23.1107473243 y+26.048022 z )=117.569825 K. 9-;
(−9.77747612 x+41.6219829 y−13 z )=−241.375312 K. 9;
x=5.139045844819
y=−1.0006982713
z=11.49825905201
→
. Cal$ulamos el un!o / :2e los datos del problemaJ
| IJ |=3
4|BI |
<allamos 4> y >3BI ( =)- i =)/.* j =).$/-?/* k
IJ ( 9LM-; i M 9yM?.*; j M 9zM%.$/-?/* ¿k
Reemplazando J
| IJ |= 3
4|BI |
IJ
u =
−3 IB
4 u
Teoría de cursoresPágina 7 | 17
D(5.139045844819 ,−1.0006982713 ,11.49825905201)
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ESTÁTICA
Practica N°1
k 12
i+14.5
j+1.739432645 ¿¿¿
( x+2) i+( y+6.5) j+( z+0.739432645 )k u
= 3
4¿
SimplificandoJ
x=7
y=4.375
z=0.565141839
→
0. Cal$ulamos el un!o :2e los datos del problemaJ
|BK |= 3
5|CB|
<allamos 4: y 54BK ( 9L=)%;
i M 9y=+; j M 9z=); k
CB ( =%.%+%- i =-./?++%*
j =+.))$)%+ k
Reemplazando J
|BK |= 35|CB|
BK
u =
−3 BC
5 u
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J (7 , 4.375 , 0.5651141839)
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ESTÁTICA
Practica N°1
( x−10)i+( y−8) j+( z−1)k
u
=3
5
(0.0803277 i+2.468805 j+8.11779108 k )
u
SimplificandoJ
x=¿ )%.%/+)$??
y=¿ $./+)-+*)
z=5.87067465
→
. Cal$ulamos el un!o L 'e las e$ua$%ones :
6cuación de la recta que contiene los puntos F: 7 FG 98);
x−8
2.0481966 ( y−10
−0.795991716667 ( z−20 /3
−0.5187149 KKKKKKK 98);
6cuación de la recta que pasa por los puntos F5 7 F6 98-;
x+3
13.0803277 (
y−7
3.4688085 (
z+8
17.11779108 KKKKKKKK 98-;
Solucionamos las ecuaciones de 8) y 8- y obtenemos el punto F8, igualamos estas ya que suintersección vendría a ser el punto F8J
N8 ( +.)-??))/*++
78 ( $.$*%?/$*
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K (10.0481966 , 9.4812851 ,5.87067465 )
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ESTÁTICA
Practica N°1
O8 ( ?.?%.-+*)//
→
B. EC H6O B416C>2BS 8BS @EC1BS @RB5626ABS 6C5BC1RR 8S
0E6ROS % 1 , % 2 7 % 3
B.1. 3UER4A % 1
% 1 act&a "'(a )"cta DJ
% 1 ( u0).
| % 1|
% 1 ( u23.
| % 1|
% 1 (JD
|JD| . | % 1|
JD=(−1.86095416,−5.37569827,10 .9331172)
% 1 ( 9=%.)*%$$*+% i =%./?)+/ j M%.++)%)%- k ; .)%%
B.2. 3UER4A % 2
6sta fuerza actúa de manera perpendicular al plano 45G6, por lo tanto necesitamos un vector
unitario uf- que cumpla con las condiciones de ser perpendicular y entrante al plano 45G6J
uf 2 =
¿ EB x EG∨¿ EB x EG
¿
Teoría de cursoresPágina 10 | 17
*(8.12676114588 , 9.95073674953 , 6.63032851434
% 1 ( = i = j
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ESTÁTICA
Practica N°1
u+ 2=−12.33333333 i 91.66666667 j+28 k
96.6379267622
uf2 =-0.127624150751 i – 0.94855787720
j + 0.289741315218
k
% 2=u + 2 % 2∨¿
.∨¿
B.#. 3UER4A
% 3
@ara encontrar esta fuerza necesitamos Pallar sus componentesJ
ngulo entre GC yG$ J
GC =2.0803277 i+0.4688085 j+2.4511308 k
G$ =−11i−15 j−1.8514492087 k
cos∝= GC.G$ |GC ||G$ |
=−34.4538769
60.595187=−0.568590982
∝=124.65202 °
2ibujamos el plano
Teoría de cursoresPágina 11 | 17
% 2 = - i – j
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ESTÁTICA
Practica N°1
2>4E3B 26 @8CB
ngulo Q
- =∝−100 °=¿ -/.?*-%-&
ngulo '
cos ' ( $G . $D
| $G
|| $D
|
=161.89234281
210.577609=0.768801315433
β=39. *?%-+-&
ngulo =180−- − β
=¿ ))*.*$//$)+&
| $G|=18.69298971
/o) ("y 0" s"'os
| $G|s"'
=| $Dʹ|
s"'-
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ESTÁTICA
Practica N°1
18.69298971
s"'115.594349718
= | $Dʹ|
s"' 24.65202
| $D |=8.64527737583
1"cto) u'ita)io0"| $D|
u$D=u$Dʹ=0.722504952 i+0.355018925 j+0.593252187 k
<allando las coordenadas de 2ʹ
9LM,yM*,z=/.+)*-)$);( u$Dʹ∗| $D |
2 9.-??-*+/-*,=).$%?)+?+,$.$//%++/?;ʹ
1"cto) u'ita)io 0"|GD |
−0.358650567,0.9001227599,0 .247265194
GDʹ=¿¿
u¿
;
$a((amosa 2a)ti)0" (ascom2o'"'t"s
|GGʹ |= % 3∗cos30 °
GDʹ =¿uGGʹ
u¿
6ntoncesJ |GGʹ |=173.205080757
9L=+, y=)%, z=-%;( uGGʹ ∗|GGʹ |
Gʹ (−54.1201005,−145.906674,49.4942546)
E' "( 2u'to3
Teoría de cursoresPágina 13 | 17
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ESTÁTICA
Practica N°1
|G 3 ʹ |= % 3∗s"' 30
|G 3 ʹ |=200∗s"' 30
|G 3 ʹ |=100
Cecesitamos un vector perpendicular y entrante al plano 52<G: u1
u1 =
G$ xGC | G$ xGC |
u) ( =%.)+*++ i M%./?-%$)//$ j M%.*-%+-)-/?
k
3Gʹ = Gʹ −3 = u1. |3 Gʹ |
Gʹ −3 = (
u1).-%%sen 9%&;
3 ( 17.6584982 i−192.75885 j =*+.+%%)* k
8uego % 3
=G−3
% 3 ( =$.?*+/$+)* i M -%-.)*++* j M$.-*/*??+ k
C. CALCULAMOS LO 5UE SE NOS PIDE EN EL PROBLEMA
5.). R6SE81C16 26 % 1 , % 2 , % 3
Teoría de cursoresPágina 14 | 17
% 1 ( = i = j
% 2 = -i
– j
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ESTÁTICA
Practica N°1
% 3 ( = i j
4=¿ 9=*%.-/)%+$ i T %.?)*-// j M)*$.$)-$) k ;
C.1. C6LCULO DEL MOMEN7O EN EL ORI"EN:
5o=( D x % 1 )+( * x % 2 )+(G x % 3)
¿ 5o=¿ $++.?%-* i =)/%.+--$? j M)$%.$*%%* k 1 = m
C.2. MOMEN7O MINIMO:
5 ( (
5o) . 4 /6
4 6
5 ( U23977.531289174
170.392192856 U
5 ( )/%.)$?*$ 91orsor positivo;
U 5 1 U ( 5. uR
U 5 1 U ( )/%.)$?*$ 9 −0.301487621i =).)+%?-)$
j M 0.93560528 k ;
U 5 1 U ( 9=/-./-*-*i T -*.+*)%?*
j T )).?*+%*?k ; 1=m
C.#. ECUACION DEL E/E CEN7RAL
@unto eje ( V M t. 9 uR ; , donde W es un punto de la recta que contiene al eje central.
Teoría de cursoresPágina 15 | 17
4 ( )%.$-)$-+*?
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ESTÁTICA
Practica N°1
V (
¿ 4∨¿ ²
4 x 5o
¿
V ( 9.**-)%-/, *./)$??)-*, ./+)%$+;
8uego, la ecuación del ejeJ
/to"j"=(7.55277313024,5.77419661235, 3.47831770798)+t (−0.294855521593 ;−0.179665064971 ; 0.
Com8o)an'o 9ue en $ual9u%e8 un!o 'el ee $en!8al el momen!o es %gual al momen!om;n%mo, a8a ! < 1=
/to"j"=7 1=( 4.60421791431 ;3.977545996264 ; 12.8633093745 )
Aomento en el punto V)
5 8 1=[ ( D−7
1 ) x % 1 ]+[ ( *−7
1 ) x % 2 ]+[ (G−7
1 ) x % 3 ]
5 8 1=(−501.161212521 i−26.8329749141 j−98.4974366067 k )+ ¿
(−836.332583648 i−45.0294882856 j−515.80254754 k )+¿
( 1308.54674528 i+28.4238722605 j+744.71310962 )
5 8 1=(−42.4252353 i 25.8510765 j 131.658056 k )
∴ 5 8 1= 5
1
C.(. PASO DEL 7ORSOR
| 5 1|
| 4|
¿140.719659096
170.392192856
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ESTÁTICA
Practica N°1
¿0.825857433591 m
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