UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS(UNIVERSIDAD DEL PERU, DECANA DE AMERICA) FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIALPRACTICAS CICLO 2011-1CURSO : MATEMATICA -IIIPROFESOR : GONZALESCHAVEZ, mximo g.SEMESTRE ACADEMICO :2011 - 11.ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO2.APLICACIONES: APLICACIONES GEOMETRICAS ,TRAYECTORIAS ORTOGONALES, MEZCLAS QUIMICAS , CIRCUITOS ELECT. ,etc.3. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR.4.SUCESIONES Y SERIES5.SERIES DE POTENCIA6.SERIE DE TAYLOR7.TRANSFORMADA DE LAPLACE- 1 - ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIA DE PRIMER ORDEN. GONZALES CHAVEZ , Mximo g. RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES2 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIA DE PRIMER ORDEN.EXACTA( ) ( ) y g x f y VARIABLESSEPARABLES( ) y x f y / HOMOGENEAy xN M ( ) ( ) x g y x f y +LINEALNO HOMOGENEA ( ) ( )ny x g y x f y +NOLINEAL BERNOULLIE( ) 0 +y x f yLINEALHOMOGENEA GONZALES CHAVEZ , Mximo g. RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALESI ) Variables Separables

( ) ( )dyy F x G ydx

( ) ( )dxx F x G ydy 1)0dydx 2)3dydx 3)0dxdy 4)4dxdy 5)dyxdx 6)dyydx 7)dxxdy 8)dxydy 9)dysenxdx 10)cosdyydx 11)cosdxxdy 12)dxsenydy 13)dy senxdx y14)cos dy ydx x15)3cos dx xdy y16)2dx senydy x17)( ) ( ) 2 1 y xdxdy18)( )13x ydydx y+19)( ) ( ) 2 1 y xxdxdy20)( ) ( )1 1dxx ydy 21)3dx xdy y+22)( ) ( )1 2dx xdy x y 23)( )2 12 31 x xy y + 24) 0 ln y x x y25) y sen y x2cos 1 +26) 0 + dy e dx ex y y x27)2 21 xy y x y + + + 28)a ydxdyx 2 tg29) ( ) ( ) dx x xy dy y x y x + + + + 12 2 2 230)2cos tan 0 x y dx y dy + 31)2 2tan sen cos cot 0 x ydx x ydy + 32) ydx dy x xydx dy x 22 3+ +33) ( ) ( ) dy senx e xdx ey y1 cos 1 + + 34) ( ) dy x y dx y dy x3 3 3 +3 GONZALES CHAVEZ , Mximo g. II ) Reducibles a Variables Separables CAMBIOS DE VARIABLEu x y +; u xy ; 1u xy ;1u x y ; Otros1) ( )3y y x + 2)( ) sen y y x +3)( ) ln y x y +4)( ) y xy e+ 5) ( )22 y x y 6) ( )2sen 1 y x y +7)( ) ln 3 4 y x y 8)( ) 23y xy e 9)( )2x y sen xy 10)( )2ln x y xy 11)2 xyx y e 12)( )2x y f xy ( )( )2 43y xyy x +14)( )( )2 35 3y xyx y +15)( )( )31y xyy x+ ( )2 2 2 2xy y x tg y y x 17)2 22 2 yy y x x +18) ( )m nx y xy y x + 19)0 cos cos 2 sen2 2 22

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+1]1

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dyxyx dxxyyxyx20)0 cos 2 cos 22 2 2

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dyyxx dxyxyyxxsen21) ( ) ( )2 22 ln ln 2 ln 0 xy xy y y y x y x y + + + 22) ( )2 2 2 2cos xy y x y y x 23) [ ] 0 ) 2 ( 2 ) 2 ( + y x tg y y x tg senx 24)2ln 2 x y yxy + 25)22x xe y ye y+ 26)2cos 2 csc( ) x y y x y + 27)3 3 23 x y yx y+ 28)3 2cos csc( ) x y y x y + 29)22 y x y +30)23 y x x y ++31)22x xe y ye y+ 32)2cos 2 csc( ) x y y x y + 4 GONZALES CHAVEZ , Mximo g. III ) Homogneas ( )/dyy F x ydx ;( )/dyy F y xdx 1)y xxdxdy+2)yy xdxdy 3)y xydxdy+4)3 2dy xdx x y+5)43dy x ydx y6)2 3dy ydx x y+7)dy x ydx x y+8)2 33 2dy x ydx x y+9)2 52 3dy y xdx x y+10) ( )/ / y y x sen y x + 11)( ) //y xy y x e +12)/ ln( / ) y y x y x +13) ( )/ / y y x sen x y + 14)( ) //x yy y x e +15)/ ln( / ) y y x x y +16) ( )/ / y x y sen y x + 17)( ) //y xy x y e +18)/ ln( / ) y x y y x +19)22yx xydxdy 20)x yy xdxdy23 3 21)2 22y xxydxdy22)y xdyx xe ydx +23)yy xxy 2 23224)yx xyy xy ++222225) ( )dy y x x ydx2 2 + 26) ( ) ( ) 0 2 / ln + dy x y x ydx27)( ) 0 ) 2 ( 22 2 2 2 + + + y y x y y x x28) ( )2 23 2 2 x y y xy 29) ( ) 0 2 22 2 + dy x dx y xy 30) ( ) ydy x dx y x3 4 42 +31)2 2 22 7 4 y xy x y x + + 32) ( )dx y x y xdy2 2+ 33)yx xyy xy 222234) sec( / ) / y y x y x +5 GONZALES CHAVEZ , Mximo g. 35) ( ) ( )/ / y y x sen y x 36) ( )( ) //y xy y x e 37) ( )/ ln( / ) y y x y x IV ) Reducibles a Homogneas ax by cy Fdx ey f _ + + + + ,1)1dy x ydx x+2)2 53dy x ydx x+3)41dy x ydx x4)22dy xdx x y+5)56dy xdx x y+6)4 52dy xdx x y7)23dy x ydx x ++8)2 4 32dy x ydx x 9)2 5 36dy x ydx x 10)1 dy x ydx x y+ +11)2 dy x ydx x y ++12)2 3dy x ydx x y+ +13)2 56 5 4dy x ydx x y + +14)2 9 16 5 3dy y xdx x y ++ +15)2 3 46 5 9dy y xdx x y 16)1dy x ysendx x _ + ,17)2 53x yxdyedx+ 18)4tan1dy x ydx x _ ,19)2 dy x ysendx x y _ + ,20)23x yx ydyedx+21)3 4tan4 3dy x ydx x y _ + ,22) ( ) ( )4 3 2 5 4 1 0 x y dx x y dy + + + + + 23) ( ) ( ) 0 1 2 1 2 5 + + + + dy y x dx y x24)yy c y c xx y c x + + 22cos ) 1 tg tg 3 (sec ) 3 tg (tg25)yy xy x +) 12 6 () 12 6 (26) ( ) ( )2 3 4 3 1 0 x y dx x dy + + + + 27) ( ) 02 + xdy dx y xy28)212y xyx+ _ + ,29)

,_

++xy xy x yy3 2332 26 GONZALES CHAVEZ , Mximo g. 30)22 35y xyx+ _ ,31)321y xyx _ ,V ) Exactas 0x yMdx Ndy M N + 1)0 dy dx +2)0 xdy ydx + 3)0 ydy xdx + 4) ( ) ( )2 1 0 x dy y dx + + 5) ( ) ( )2 1 3 2 0 y dy x dx + + 6) ( ) ( )2 1 2 3 0 x dy y dx + + 7) ( ) ( )2 21 2 0 yx dy xy dx + + 8) ( )22 2 0 y x dy xydx + + 9) ( )2 3 22 3 0 y x dy x ydx + + 10)( ) ( )2 2 3 0 x y dy x y dx + + + 11) ( ) ( )2 1 3 2 0 y dy x dx + + 12) ( ) ( )cos 0 sen x dx y dy + 13) ( ) ( )cos 0 sen y dx y dy + 14)( )1 0x xe dy ye dx + + 15)( )0x xe dy x ye dx + + 16)( ) ( )0x xy e dy x ye dx + + + 17) ( )cos 0 xdy ysenx dx 18) 0 ) cos 2 cos ( ) sen 2 ) sen ( + + dy x y e dx x y y ex x19)0 ) / 1 cos ( ) / 1 sen (sen + + + + dy y x xcocy dx x x y y20)2 2(2 sen cos sen ) (sen 2 cos ) 0 y x x y x dx x y x dy + + 21) 0 ) ( ) cos 2 2 (2 2 2 + + dy sey x e dx y x yex x22) 0 ) ln 1 2 (2 + + + dy x dx x xy23)0 ) 6 / ( ) 2 (ln + + dx x x y dy x24) 0 cos 3 22 2 3 xdy y xdx sen y25) ( ) 0 ln / ) ln / ( + + + dy x y x dx y x y26) Hallar ( ) y x M , para que la ecuacin diferencial ( ) ( ) 0 / 1 2 , + + + dy y xy xe dx y x Mxy , sea exacta27) Hallarel valor de k para que la ecuacin diferencial( ) ( ) ( ) ( ) 0 20 23 2 4 + + dy xy xsen y k dx ky xy ysen x,sea exacta7 GONZALES CHAVEZ , Mximo g. 28) Hallar( ) y x N ,para que la ecuacin diferencial( ) 0 ,2 +

,_

++ dy y x N dxy xxxy sea exactaVI) Reducibles a Exactas.Factor integrante : ( ) ) ( , x u y x u ; ( ) ) ( , y u y x u 1) 0 2 +xdy ydx2)0 32 + dy x xydx3) ( ) ( )2 23 0 xy y dx x xy dy + + + 4)( )2 0yydx x ye dy + 5) 0 ) tg (sec + + dy dx x y x6) 0 cos + senysenxdy xdx7) ( ) 0 cos cos3 + dy x y x ysenxdx8)( )2 0yydx x ye dy + 9) ( ) 02 2 3 + + dy y x dx x xy 10) ( ) 02 xydy dx xy x11) ( ) ( ) 0 3 / 2 42 3 3 2 + dy xy x dx y y x12)VII)En las siguientes ecuaciones diferenciales encuentre un factor integrante de la forman my x , resuelva la ecuacin. 1) ( ) ( ) 0 4 3 6 22 2 + dy x xy dx xy y 2) ( ) ( ) 0 1 / / 22 2 + dy x y dx x y3) ( ) ( ) 0 2 / 6 5 122 + + + dy x y x dx xy4)( )2 20 y xy dx x dy + 5) ( ) ( )2 2 3 22 3 3 5 0 y x y dx x x y dy + + + 6)VII)Hallar Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales1) ( ) ( )2 23 0 xy y dx x xy dy + + + 8 GONZALES CHAVEZ , Mximo g. 2) ( ) [ ] 0 tg tg sec ( 22 + + + xdy dx x x y x3) ( ) 0 ln2 + xdy dx x xy x4)0 ) / 1 ( ) 1 ( + + + dy x y x dx xy5) 0 ) ln 3 (2 2 + + + xdy dx y x x x6)0 ) sen / ( + dy y y x dxVII ) Lineal( ) ( ) x Q x yP y +1)0 y xy+2)y xy x+3)y xy senx+4)0 y ysenx+ 5)y ysenx x+ 6) ( )1 y x y x ++ 7)10 y x y+ 8)1 2y x y x+ 9)( )121 y x y x+ 10) ( ) ( ) dx x xy x dy x + + +3 2111)x x x ytgx y cos 2 sec + +12) y x y x 2) 1 (13)xy x y 214)y y x dxdy2 sen 2 sen1+ 15)223xxydxdy +16) 0 cos ) cos (2 + xdy dx x y 17)43 x y y x 18)x y y tg 3 1+ 19)xe x y2+ VIII ) Bernoulli ( ) ( )ny x Q x yP y +1)2y xy xy+ 2)2 3y x y xy+ 3)3y xy xy+ 4)2y xy y senx+5)2 3y ysenx x y+ 6)( )12 21 y x y xy+ 7) 0 ) cos (sen cos ) sen 2 (3 + +y x x x x y y x8) ) 1 ( 8 ) 1 /( 33 2 + +x x y y y9)tg sec ; 0 y y x x y 10)2 3 23 /( 1) ( 1) y y y x x+ + 11) ( ) dy y x dx x 1 ) 3 (3 2+ + 12) 0 cos tg2 + x y x y y13)3 2(3 ) ydx x y y dy + 9 GONZALES CHAVEZ , Mximo g. 14) xxydxdy 15)32xxydxdy 16)3/ 2 / y x x y y +17) ( ) ( ) y xy y y y + + sen 1 12 218) xdy y xdy xdx tg tg sec3 2 RESOLVER LAS ECUACIONES DIFERENCIALES1) ( ) ( ) x y x y y x / arctg +2)2) ( y x y + 3) ( )( ) ( 2 ) 0 x y x y dx x x y dy + + 4)3 3 2( ) 3 0 x y dx xy dy + + 5)( )2 33 ( 2 ) 0y yx y e dx x xe y dy+ + + 6) ( ln( ) ) (1 / ln( )) 0xyy y e dx y x y dy + + 7) 3 ) 0 ( , 0 ) cos 2 (sen ) sen cos sen 2 (2 2 + + x dx y x y dy y x y y x8)0 cos cos 2 sen2 2 22

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+1]1

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dyyxx dxyxyyxx9) ( ) ( ) 0 7 + + dy x y dx x 10) ( ) ( ) 0 2 5 4 + dy x y dx y x11) ( ) ( ) 0 + + dy x y dx y x12) ( ) ( ) 0 1 ln 22 2 2 + + + dy y y x dx y xy13) ( ) dx y x x xdy sen14) ( ) ( ) 0 32 2 + + dy x y x dx y x15) ( ) 04 + + xdy dx y x x 16) ( ) 0 22 2 + dy x dx xy y17)( ) ( ) 0 13 2 + + ++ dy x x xy y x 18) ,_

+ + 23tan2xyxyxxydxdy19) 1 sen cos +x y y x20) x x y y cos 2 cot +21)( ) ( ) 0 2 1 + + + + d y x y d x y x 22)( ) ( ) 0 1 2 1 4 + + dy x y dx y x10 GONZALES CHAVEZ , Mximo g. 23)( ) ( ) 0 3 2 4 3 2 + + d y y x d x y x 24) ( ) ( ) 0 7 2 9 + + dy x y dx y x25)2 2x y y y x + 26)dx x y ydx xdy2 23 2 + 27)( ) 0 2 32 2 + xy y y x28) ( )dx y x y x dy y x xy2 2 2 3 2 2+ + +29)0 cos cos +

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xyx yxyy x30)( ) ( ) 0 4 42 2 2 2 + ++ y x y x y y x y x31)( )32 4 + + y x y32)( )21 + y x y33)( ) ( ) 0 2 3 2 54 2 3 + + d y x y x d x y y x34)( ) ( ) 0 3 7 3 22 3 2 + dy xy dx y x y35)xxe x y ycossen +36) x x y y sec tg +37) x y x x y +cos sen 38) x x x y y cos sen cos +39)( ) 0 12 2 2 + + y x xy y x40)3sen cossen 2 cosyx x xx x y+41)( ) y y x x y2 5sen tg + 42)0 sen cos2 + +y x y y x43)( ) ( )2 2 3 22 1 2 y x y x y x + + 44)x y x y y 2 cos cos2 +45)x y x y y 2 sen cos3 + 46)x y x y y sen cos6 +47)ydy dx x dy x cos 2 32 3 +48)6 42 x y y y x +49)( )12 32 1 xy y y50)a nx y y y x 51)( ) xdx dy y y x +3 252)x x y y y2 2cos tg +11 GONZALES CHAVEZ , Mximo g. 53) Determine el valor de k de modo que las siguientes ecuaciones sean exactas ( ) ( ) 0 20 3 2 )3 2 2 4 3 + + + dy y x xy dx x kxy y i ( ) ( ) 0 ) ( 20 2 )3 4 + + dy xy xsen xy dx ky ysenx x ii( ) ( ) 0 ) ( cos 6 )2 2 3 + + dy y xsen y kx dx y xy iiiI ) En las siguientes E.D.O. i)Hallar la Solucion Generalii)Graficar la Familia de Soluciones ( Curvas integrales) iii)Graficar una Solucion Particular que pase por (x0,y0) iv)Hallar el dominio donde se cumple el Teorema de existencia y unicidadOsea donde las soluciones existen y son unicasv)Que ecuaciones diferenciales tienen soluciones SINGULARES ( indicar en cada caso cuales y cuantas soluciones SINGULARES tienen)1) x y,(x0,y0)= (0,0)2)y y,(x0,y0)= (0,0)y x, (x0,y0)= (3,3)3)2 32 y y ,(x0,y0)= (0,0)4) y y x , (x0,y0)= (3,3)5)( )2 131 + x xy y , (x0,y0)= (0,0) 6) 0 ln y x x y, (x0,y0)= (0,0)7)2 32 y y ,(x0,y0)= (2,y0)8) y y x , (x0,y0)= (5,y0)9)2yydy x edx xe+ , (x0,y0)= (1,0)

10) ( )cos 0 x seny dx ydy + + , (x0,y0)= (1,0)11)2yydy x edx xe+ , (x0,y0)= (x0,1)

12) ( )cos 0 x seny dx ydy + + , (x0,y0)= (x0,2)12 GONZALES CHAVEZ , Mximo g. 13)2 2xy x y y + , (x0,y0)= (,0)14) ( )21 y sen x y + (x0,y0)= (,0)15)22 ( ) x y y x y + , (x0,y0)= (1, y0)16)2tan cos 0 y y x y x + , (x0,y0)= (x0 ,1)Importante. Para que Verifiquen sus respuestas utilizar los graficadoresGEOMETRIA ANALTICA1) Hallar la ecuacion de todas las curvas que tienen la propiedad de que todas las rectas tangentes en cualquier punto (x,y) de la curva ,pasa tambien por el punto(0,-y).Dar dosejemplosOsea dos curvas que cumplan lapropiedad indicada en cualquier punto (x,y) . Este punto puede ser (2,4) 2) Hallar la ecuacion de todas las curvas que tienen la propiedad de que todas las rectas tangentes en cualquier punto (x,y) de la curva ,pasa tambien por el punto(-2x, 0).Graficar la familia de curvas13 (x,y)(0,-y) GONZALES CHAVEZ , Mximo g. 3) Hallar la ecuacion de todas las curvas que tienen la propiedad de que todas las rectas tangentes en cualquier punto (x,y) de la curva ,pasa tambien por el punto(2x,0).4) Hallar la ecuacion de todas las curvas que tienen la propiedad de que el punto de tangencia es punto medio del segmento tangente entre los ejes coordenados.5) Una curva pasa por el origen en el plano XY , al primer cuadrante. El area bajo la curva de (0, 0) a (x, y) es un tercio del area del rectangulo que tiene esos puntos como vertices opuestos. Encuentre la ecuacion de la curva. (Rta.: y = cx2)6) Hallar la ecuacion de todas las curvas que tienen la propiedad de que la distancia de cualquier punto al origen, es igual a la longitud del segmento de normal entre el punto y el intercepto con el eje X. (Rpta.: y2 = x2 + c)7) Encontrar las curvas para las cuales la tangente en un punto (x, y) tiene interceptos sobre los ejes X y Y cuya suma es 2(x + y) (Rpta: xy=c)8) Hallar la ecuacion de todas las curvas del plano XY que tienen la propiedad de que el triangulo formado por la tangente a la curva, el eje X y la recta vertical que pasa por el punto de tangencia siempre tiene un area igual a la suma de los cuadrados de las coordenadas del punto de tangencia. (Rpta.: ln |y| = 2/15 arctan ( 4y+x )/ 15x)9) Hallar la ecuacion de todas las curvas del plano XY que tienen la propiedad de que la razon del segmento interceptado por la tangente en el eje OY al radio vector, es una cantidad constante k. (Rpta.: y = 1/2 (Cx1-k 1) /(C x 1+k )14 GONZALES CHAVEZ , Mximo g. 10) Hallar la ecuacion de todas las curvas del plano XY que tienen la propiedad de que la longitud de la perpendicular bajada del origen de coordenadas a la tangente es igual a la abscisa del punto de contacto. (Rpta.: x2 + y2 = Cx)11) Hallar la ecuacion de todas las curvas del plano XY para las cuales la longitud del segmento interceptado en el eje Y por la normal a cualquiera de sus puntos es igual a la distancia desde este punto al origen de coordenadas. (Rpta.: y = 1/2 (Cx2 1/C ))12) Hallar la ecuacion de todas las curvas del plano XY que tienen la propiedad de que la porcion de la tangente entre (x, y) y el eje X queda partida por la mitad por el eje Y .(Rpta.: y2 = Cx)TRAYECTORIASORTOGONALESI ) Averiguar si las siguientes curvas son ORTOGONALES 1)y x ;2 29 x y +

432112345 3 2 1 1 2 3 x y 2)3 4 5 x y + ; 2 216 x y + 4 3 2 1 1 2 3 4 543211234xy3)24 y x ;2y x

4)24 4 y x ;24 4 y x + 15 GONZALES CHAVEZ , Mximo g.

4 3 2 1 1 2 3 4 5321123xy

4 3 2 1 1 2 3 4 543211234xy5) 2 29 x y ;3 yx

4 3 2 1 1 2 3 4 543211234xy6)2 24 x y y + ;2 24 x y x + 4 3 2 1 1 2 3 4 543211234xyII ) Averiguar si la curva esORTOGONAL a las curvas 1)y x ;2 29 x y + 2 24 x y +

4 3 2 1 1 2 3 4 543211234xy2)2 216 x y + ; 3 4 5 x y + y x 4 3 2 1 1 2 3 4 543211234xy3)24 y x ; 2y x 24 y x

4)24 4 y x +; 24 4 y x

21 2 y x 16 GONZALES CHAVEZ , Mximo g.

4 3 2 1 1 2 3 4 543211234xy 4 3 2 1 1 2 3 4 543211234xy5) 22 y x ;2 21/ 2 1 x y +

2 21/ 2 4 x y +

4 3 2 1 1 2 3 4 543211234xy6)2 24 x y x + ;2 24 x y y + 2 22 x y y + 4 3 2 1 1 2 3 4 543211234xyIII) Hallar las TRAYECTORIAS ORTOGONALES de lasFAMILIA de CURVAS. LAS FAMILIAS DE CURVAS F(x,y,c1)=0yG(x,y,c2)=0sonORTOGONALESsi : 1 . dxdGdxdF1) x c y1 2)14 3 c y x +3)21y c x 4)31y c x 5)21y c x +6)2 2 2x y r + 7)2 2 22x y a + 8)x c y x12 24 2 +9)( )21c x y 10)x c y cos111)12 21 + y x c12)212 22 c y x +13)312 2x c y x 14)xe c y115)x ce y116)( )1211+ x c y17 GONZALES CHAVEZ , Mximo g. 17)x cxy11+18)x cx cy1111+ 19)x cy+11IV) Hallar las TRAYECTORIAS ORTOGONALES de cada FAMILIA de CURVAy encuentre elementos de cada familia Las curvas que pasen por el punto indicado (graficar)1)( ) 1 2 12 2, ; + cy x2)( ) 1 32 2 + , ; y cy x3) ( ) 5 0, ;yce y x +4)( ) ( ) 5 2 12 2, ; + x c y5) ( ) 0 , 8 ; 2 tg + c x y6) ( ) 3 0 32, ; x ce yx+ V) Hallar a para que las FAMILIASsean ORTOGONALES

212 2 3c ay x y cx y + VI) Averiguar s la FAMILIA de PARABOLAS es as mismo ORTOGONAL: 2 24 4 c cx y + Utilizar los graficadores para que pueda interpretar mejor los resultados obtenidosMEZCLASQUIMICASI) Caso 1.Un tanque contiene V0 galones de agua , lacual tiene a libras de sal. Otra solucinde b libras de sal por galn , se agrega al tanquea la velocidad de c gal/min. Lasolucin bien mezclada sale del tanque a una velocidad de dgal/min. i) Hallar la cantidad de sal que hay en el tanque en el tiempo t.(dos casos: c=dy cd )ii) Hallar la cantidad de sal en el tanque al final de 20 minutosII) Con las condiciones del problema anterior, hallar la cantidad de sal , 18 V0ac gal/m.d gal/m.b libras /gal. GONZALES CHAVEZ , Mximo g. cuando el tanque tenga 250 galones de agua. ademas :1) V0 =160 ; a =18 librasde sal ; b =7 libras de sal/gal; c =10 gal/min. ; d =6 gal/min.2) V0 = 180 ; a = 9 libras de sal ;b = 5 libras desal/galn ;c = 9gal/min. ; d = 3 gal/min.3) V0 = 100; a =10 libras de sal ; b =5 libras de sal/galn ; c = 6 gal/min ; d=4 gal/min.III) Un tanque contiene V0 galones de agua , la cual contiene a libras de sal. Otra solucin de b libras de sal por galn ,se agrega a la velocidad de c gal/min.simultneamente , la solucin bien mezclada sale del tanque a d gal/min. i)Hallar la cantidad de sal que hay en el tanque en el tiempo t.ii)Hallar la cantidad de sal en el tanque al final de 40 minutos. iii)Hallar la cantidad de sal ,cuando el tanque tenga 50 galones . ademas :1)V0 = 120 ; a = 6 libras de sal ; b = 8 libras de sal/galn ; c = 6 gal/min; d= 8 gal/min2)V0 = 220 ; a =12 libras de sal;b =4 libras de sal/galn ; c = 10 gal/min;d =16 gal/min3)V0 = 380; a = 8 libras de sal; b = 10 libras sal/galn ; c = 5gal/min ; d = 10 gal/minIV) Un tanque contiene 50 litros de agua. Al tanque entra salmuera que contiene kgramos de sal por litro , a razon de 1.5 litros por minuto. Lamezcla bien homogenizada, sale del tanque a razon de un litro por minuto. Si la concentracion es 20 gr/litro al cabo de 20 minutos. Hallar el valor de k. (Rpta.: k = 47,47)V) Un tanque contiene 100 galones de salmuera; 3 galones de salmuera lacual contiene 2 libras de sal/gal , entran al tanque cada minuto. La mezcla asumida uniforme sale a una velocidad de 2 gal/min. Si la concentracion esde 1,8 libras de sal/gal. de salmuera al de cabo de 1 hora, Calcular las libras de sal que habian inicialmente en el tanque.(Rpta.: 118,08 libras)19 V3 gal/m.V1 gal/m.V2 gal/m.a1 libras /gal. GONZALES CHAVEZ , Mximo g. VI) Un tanque tiene 160 galones de agua pura .Una solucincon 3 libras de sal por galn entra a 3 gal/min y sale a 3.5 gal/min i) Encuentre la concentracin de sal en el tanque en cualquier tiempo.ii) Encuentre la concentracin de sal cuando el tanque tenga 30gal. de agua saladaiii) Encuentre la cantidad de agua en el tanque cuando se tenga la mxima concentracin de saliv)Determine la mxima cantidad de sal presente en cualquier tiempo.VII )Un tanque contiene 500 galones de salmuera. Al tanque fluye salmuera quecontiene 2 libras de sal por galon, a razon de 5 galones por minuto y la mezclabien homogenizada, sale a razon de 10 galones por minuto , la cantidad maxima de sal en el tanque se obtiene a los 20 minutos. Cual era la cantidad de sal inicialen el tanque? (Rpta.: 375 libras)VIII ) El Aire que contiene 30% de oxigeno puro pasa a traves de un frasco que contiene inicialmente 3 galones de oxigeno puro. Suponiendo que la velocidad de entrada es igual a la de salida; hallar la cantidad de oxigeno existente despues de que 6 galones de aire han pasado por el frasco. (Rpta.: 1,18 galones)IX )Un tanque tiene inicialmente 100 galones de agua pura. Una salmuera que con 1/2 libra de sal/gal. fluye al interior del tanque a una rapidez de 2 gal/min. y la mezcla bien homogenizada sale del tanque con la misma velocidad. Despues de 10 minutos el proceso se detiene y se introduce al tanque agua pura con una rapidez de 2 gal/min. abandonando el tanque a la misma velocidad. Determinar la cantidad de sal en el tanque cuando han pasado un total de 20 minutos. (Rpta.: 7,34 libras)X ) El aire de un teatro de dimensiones 1284 mt.3 contiene 0,12% de su volumen deCO2. Se desea renovar en 10 minutos el aire, de modo que llegue a contenersolamente el 0,06% de CO2. Calcular el numero de mt.3 por minuto que debenrenovarse, suponiendo que el aire exterior contiene 0,04% de CO2. (Rpta.: 53,23 mt.3 de aire/minuto)20 V3 gal/m.V1 gal/m.V2 gal/m.a1 libras /gal. GONZALES CHAVEZ , Mximo g. XI)Caso 2. Un colorante solido disuelto en un liquido no volatil, entra a un tanque a una velocidad V1 gal. /min. , con una concentracionde a1libras /gal. La solucionbien homogenizada sale del tanque a una velocidad deV2 gal./min. La cual entra a un segundo tanque del que sale posteriormente a una velocidad deV3 gal/min. Inicialmente el primer tanquetenia P1 libras de colorante disueltas enQ1 galones de solucion y el segundo tanque P2 libras de colorante disueltasen Q2 galones de solucion. Encontrar dos ecuaciones que determinen las librasde colorante presentes en cada tanqueen cualquier tiempo t.XII )Un deposito contiene 50 galones de salmuera en las que estan disueltas 25 libras de sal. Comenzando en el tiempo t = 0, entra agua al deposito a razon de 2 gal./min. y la mezcla sale al mismo ritmo para entrar a un segundo deposito quecontenia inicialmente 50 galones de agua pura. La salmuera sale de este depositoa la misma velocidad . Cuando contendra el segundo deposito la mayor cantidadde sal? (Rpta.: cuando t = 25 minutos)XIII )Dos qumicos, A y B, reaccionan para formar otro qumico C. Se encuentra que la tasa a la cual C se forma varia con las cantidades instantneas de los qumicos Ay B presentes. La formacin requiere 2lb. de A por cada libra de B. S 10lb. de A y20lb. de B estn presentes inicialmente,y si 6lb. de C se forman en 20minutos ;Encontrar la cantidad del qumico C en cualquier tiempo.21 Q2V3 gal/m.P2Q1P1V1 gal/m.V2 gal/m.a1 libras /gal. A C GONZALES CHAVEZ , Mximo g. Formulacin MatemticaSea x=x(t) la cantidad en libras de C formadas en el tiempo t en horas. Luego dx / dt es la tasa (o razon de cambio ) de laformacin de C .Para formarx=x(t) lb. de C, necesitamos (2x / 3lb.) de A y (x / 3lb.) de B, puesto que se necesita que el qumico A sea el doble de B. Por tanto, la cantidad de Apresente enel tiempo t cuando se forman x=x(t)lb. de C es 10 - 2x/3, y la cantidad de B en este tiempo es 20 - x/3. Por tanto la ecuacin diferencial es: dx / dt = K [10 - (2x/3)] . [20 - (x/3)]; Donde K es la constantede proporcionalidad. Cantidad de ACantidad de B presente enel tiempo t presente enel tiempo tXIV ) En una reaccin qumica de segundo orden ,el numero de gramos Xde un compuesto obtenido combinando dos sustancias qumicas y , se rige por

( )( ) X X kdtdX en los casos y. Solucione la ecuacin .XV ) Dos sustancias qumicasAy B se combinan para forman un compuesto C . La reaccinque resulta entre las dos sustancias qumicas es tal que por cada gramo de A se usan 4 gramos de B . Se observa que se forman 30 gramos del compuestoen 10 minutos. Determine la cantidad de C en un instante cualquiera si la rapidezde la reaccin es proporcional las cantidades de A yB restantes y si en un principio hay 50 gramos de A y 32 gramos de B. Que cantidad de compuesto Chay despus de 15 minutos ? Interprete la solucin cuando t se aproxima al infinito.22 X GONZALES CHAVEZ , Mximo g. XVI ) Dos sustancias qumicasAy B se combinan para forman un compuesto C . Larapidez velocidad de la reaccin es proporcional al producto de las cantidades de instantneas de A yB que no se han convertido en la sustancia qumicaC . Inicialmente hay 40gramos de A y 50 gramos de By por cada gramo de B se usan 2 gramos de A .Se observa que se forman 10 gramos de C en 5 minutos Que cantidad de compuesto Chay en 15 minutos ? Cunto queda de las sustancias qumicasA y Bdespus de un tiempo largo ? Cul es la cantidad limite de Cdespus de un tiempo largo ?XVII )Dos sustancias qumicasAy B se combinan para forman un compuesto C .La rapidez velocidad de la reaccin es proporcional al producto de las cantidades de instantneas de A yB que no se han convertido en la sustancia qumicaC . Inicialmente hay 100gramos de A y 50 gramos de By por cada gramo de B se usan 2 gramos de A . Se observa que se forman 10 gramos de C en 5minutos Que cantidad de compuesto Chay en 15 minutos ? Cunto demorara en formarse la mitad de la sustancia C ?Cunto queda de las sustancias qumicasA y Bdespus de un tiempo largo ? Cul es la cantidad limite de C despus de un tiempo largo?XVIII ) En una reaccin qumica de tercer orden , el numero de gramos Xde un compuesto obtenido combinando tres sustancias qumicas , , , se rige por

( )( )( ) X X X kdtdX Solucione la ecuacin .CIRCUITOS ELECTRICOS23 GONZALES CHAVEZ , Mximo g. I) En el circuito RL R=Resistencia (ohms) L=Inductancia (henries) E=Fuerza electromotriz(voltios) i(t)=Corriente electrica (amperios) LEiLRdtdi +HALLAR LA CORRIENTE ELECTRICA i(t) EN CUALQUIER TIEMPO tII) En el circuito RL ( figura anterior) ,hallar i(t).Donde1) R=50 ohms L=1 henries E=5 voltios2)R=10 ohms L=0.5 henries E=3sen2t voltios3)R=10 ohms L=4 henries E=100sen200t v.III) En el circuito RC R=Resistencia (ohms) C=Capacitancia (faradios) E=Fuerza electromotriz(voltios) i(t)=Corriente electrica ( amperios)

RERCqdtdq +y dtdqi HALLAR: q(t)la carga electrica y i(t) IV) En el circuito RC ( fig. anterior) ,hallar i(t) y la carga q(t)1)R=10 ohms C=5.10-4 faradios E=100 voltios2)R=100 ohms C=0.5 faradios E=400Cos2tv.3)R=200 ohms C=10-6 faradios E=400sen2tv.24 GONZALES CHAVEZ , Mximo g. I) Al sacar un pastel del horno, su temperatura es de 300 F. tresminutos despus , su temperatura es de 200 F. Cunto demorara en enfriarse hasta una temperatura ambiente de 70 F ?II )Un termmetro se saca de una habitacin, en donde la temperatura del aire es de 70 F, al exterior , en donde la temperatura es de 10 F. despus de minuto el termmetro marca 50 F. Cunto marca el termmetro cuando t=1 minuto? Cunto tiempo demorara el termmetro en alcanzar los 15 F ?III ) Una barra metlica a una temperatura de 100 F. Se pone en un cuarto a una temperatura constante de 0 F. S despus de 20 minutos la temperatura de la barra es de 50 F. Hallar : a ) El tiempo que necesitara la barra para llegar a una temperatura de 25 F. b ) La temperatura de la barra despus de 10 minutos.IV ) Un cultivo tiene una cantidad N0 de bacterias. Para t=1 hora , el numero de bacterias medido es 3/2N0 . S la rapidez de multiplicacin es proporcional alnumero de bacteriaspresentes , determine el tiempo necesario para que el numero de bacterias se triplique.V) Se sabe uncultivo de bacterias .Crece a una velocidad proporcional a la cantidad presente . despus de 1 hora , se observan en el cultivo 1,000familiasde bacteriasy despus de cuatro horas 3,000 familias. Hallara) Una expresin para el numero de familias de la bacteria presentes en el cultivo en un momentotb)El numero de familias de bacterias que haba originalmente en el cultivo.VI) El Rado se descompone en rayos alfa , suponiendo que la rapidez de descomposicin es proporcional a la cantidad presente en cualquier tiempo y que en 664 aosse ha perdido el 25 % de la cantidad original. cual es la vida media del Radi ?VII) Se sabe que la poblacin de un pas aumenta a una rapidezproporcional al numero de habitantes actuales del pas . S despus de 2 aos la poblacin se ha duplicado y despus de 3 aos la poblacin es de 20,000 habitantes. Hallar el numero de habitantes que haba inicialmente en el pas . VIII) Una cierta sustancia radiactiva tiene una vida media de 38 horas . Encontrar que tiempo toma el 90 % de la radiactividad para disiparse.25 GONZALES CHAVEZ , Mximo g. I ) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de 2do orden con Coeficientes constantes 1)0 y y2)y y 33)y y y 30 4)0 8 2 y y y5)54 9 y y6) 54 y y7) 6 4 4 + ++ x y y y 8) 5 4 3 ++ x y y y9)x x y y y 4 23+ + 10)xe y y y412 11)xe y y y65 2 2 ++ 12) 29 5 7 2 + y y y13) x y y sen 6 25 + 14)xx e y y y49 6 ++ 15)9 4 3 2 xe y y y16) x x y y y sen ++ 17)x e y y yxsen 5 2 + 18) x y y 5 sen 20 25 + 19)52+ xe x y y20)x y y2cos 4 + 21)xe x y y y ++ 2222) ( ) x x eyy yx3 cos 3 sen4 + + 23)( ) x x y y cos 4 sen + + 24)x e y y yx2 3 8 62+ + + 25) 8 sen 3 cos 4 4 + + x x y y26)x x e y y yx+ + 1 0 327)( ) x x e y yx2 cos 3 2 + 28)x x e y yxsen 92+ + 29) x y y sec + 30) x y y tg + 31) x y y sen + 32) x x y y tg sec + 33)x y y2cos + 34)x y y2sec + 35)( )xe y y y + ++ 1 1 2 336)xe x y y39 9 37)( )x xe e y y y + + 1 2 3338)xe y y y sen 2 3 ++ 39)( )21 2 x e y y yx+ + 40)x e y y yxsec 2 2 + 41)x e y y yxln 2 ++ 26 GONZALES CHAVEZ , Mximo g. II ) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de 3do orden con Coeficientes constantes 1) 0 3 y y 2) y y 3) y y 4) 0 2 + y y y5) 0 2 + y y y 6) 0 3 3 + + y y y y7) 10 2 + y y y8) 0 5 12 + + y y y y9)xxe y y y + 210) x x y y y sen 2 + 11)33 3 x y y y 12)x x y y y sen 3 33 + 13) x x y y y sen ++ 14) 1 2 + + x y y y15) 2 5 12 9 2 + + y y y y 16) 5 5 12 9 2 ++ + y y y y17)( ) x x e y y yx3 cos 3 sen + + 18)( ) x x e y yxcos 4 sen + + 19)x e y yx2 3 62+ + 20) 8 sen 3 cos 4 8 + + x x y y21)x xe y y yx+ + 10 322)( ) x x e y yx2 cos 3 2 + 23) x y y tg + 24) x y y sec + III ) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de Cauchy - Euler1)0 22 y y x2) 0 y y x 3) 0 + y y x4)0 42 + y y x5)0 4 22 ++ y y x y x6)0 3 52 ++ y y x y x7)0 25 252 ++ y y x y x8)0 4 42 + y y x y x9)0 2 32 y y x y x10)4 24 5 x y y x y x ++ 11) x y y x + 12)xe x y y x y x4 22 2 + 13)x y y x y x + 214)x x y y x y x ln 2 23 2 + 27 GONZALES CHAVEZ , Mximo g. 1)Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales( ) ( ) 0 4 1 2 2 ) + + + + + dy y x dx x y a( )2 21 2 2 ) y y x x y x b + + 2)Resolver la ecuacin diferencial( ) 012 +

,_

dy y dxxy yxsabiendo que ( )23 , xy y x u ,Factor integrante 3) Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia( ) IR c c c x y + ,222;Hallar las curvas de las familias que pasen por el punto (2,0)4)Qu condiciones debe cumplir el factor integrante ( ) y x u , , para que sea de la forma ( ) xy u y x u ) , (?.Dar un ejemplo de una ecuacin diferencial que tenga un factor integrante de la forma ( ) xy u y x u ) , (5)Un tanque contiene 100 galones de salmuera; 3 galones de salmuera lacual contiene 2 libras de sal/gal , entran al tanque cada minuto. La mezcla asumida uniforme sale a una velocidad de 2 gal/min. Si la concentracion esde 1,8 libras de sal/gal. de salmuera al de cabo de 1 hora, Calcular las libras de sal que habianinicialmente en el tanque.

prof.: GONZALES CHAVEZ, mximo gerardo.28 GONZALES CHAVEZ , Mximo g. Duracin del examen 110 minutos El desarrollo de la prueba es con lapicero1)Resolver las ecuaciones diferenciales a ) 1332+ +y xxy

b ) 2 2y y x y + 2 ) Se bombea aire con un contenido de 0.04% de dixido de carbono a una habitacin cuyo volumen es 3,000 pei3.La rapidez con que el aire se bombea es 2,500 pei3/min. despus el aire circula y se bombea hacia fuera con la misma rapidez. Si hay una concentracin inicial de 0.1% de dixido de carbono. Hallar: a)La cantidad de dixido de carbono en cualquier instante.b) la concentracin despus de 15 minutos. 3 )Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de Hiprbolasquese abren en la direccin del eje Y, con vrtice en ( 1,1)4)Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia25 22 2+ + cy y x5)Resolver xxe x y y 3 12+ + + prof.: GONZALES CHAVEZ, Mximo Gerardo.29 GONZALES CHAVEZ , Mximo g. 2)Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales( )22 ) y x y a + ( ) ( ) 0 1 3 3 2 ) + + + + + dy y x dx x y b( )21 ) x y y x x c + + 2) Encuentre las trayectorias ortogonales de la familiaIR c cx y x a + , 3 )2 2; (2,1)( ) IR c c c y x b + , )222;(0,1)En cada caso hallar las curvas de las familias que pasen por el punto indicado3)Resolver la ecuacin diferencial( ) 0 1 24 3 + +

,_

+ dy y x dx y xxey4)Sea la E.D. :( ) ( ) 0 , , + dy y x N dx y x Ma)Qu condiciones debe cumplir el factor integrante ( ) y x u , , para que sea de la forma ( ) xy u y x u ) , ( ?, dar un ejemplob)Qu condiciones debe cumplir el factor integrante( ) y x u , , para que sea de la forma ( ) ) ( ) , ( y h x g y x u ?, dar un ejemploprof.: GONZALES CHAVEZ, Mximo Gerardo.30 GONZALES CHAVEZ , Mximo g. I I) Escribir los cinco, primerostrminos de la sucesin cuyo termino IIgeneral es an1)1 21+nan2)2 43nan 3)( )nann51 4)( )112+nnann5)( )41 31 nna6)1 +nnan7)( )nna 1 10 8)nna 10 9)nna1010)nknna1111)

,_

nknna12112)nknnna12De los ejemplos anteriores averiguar que sucesiones son :i)Monotonas ( creciente decreciente) ; ii) Acotadas ( inferior ysuperior)II) Averiguar si la sucesiones son convergentes divergentes : 1)110+nan2)2 31nan3)6 51+nan4)nnan212 5)172+nnan6)1 4322+nnan7)nnne a8)nne n a39)( ) n nna110+10)1 +nnan11)nnan1 + 12)nnanln13)( )11 20+ nna14)( )nna 3 2 20 15)( )nna 2 3 20 16)( ) 1 + n e annln 17)( )nnn a 5 1 18)nna12 31 GONZALES CHAVEZ , Mximo g. 19)nnnna

,_

+120)nnn a 21)

,_

+n nnansen1 22III ) Dar una expresin para l trmino n-simo. Luego averiguar si la sucesin converge diverge. 1) 23 , 14 , 7 , 2 , 1 2) , , , ,16191411 3) , , , ,655443324) 967554332 , , , , 5) 8141211 2 , , , , 6) 818274923121, , , , 7)511 ,411 ,311 ,211 , 2 + + + +8) 16151 ,871 ,431 ,211 + + + + 9) 120,24,6,2, , 15 4 3 2x x x xx10)... 7 7 7 , 7 7 , 711) 1 2 , 21 1 + n na a a 12) ( )n na n a a21 11 1 , 2 +13) Se deja caer una pelota desde una altura inicial de 15m. Sobre una losa de concretoCada vez que rebota , alcanza una altura de 2/3 de la altura anterior. Determinequ altura alcanza en su tercer y en su ensimo rebotes. 14) Un paciente ingiere 15 mg.(miligramos)de un medicamento al da. S el 80%del frmaco acumulado es eliminado diariamente por las funciones corporales, escribir los primeros 6 trminos de la sucesin {an},donde an es la cantidad de medicamento presente en el cuerpo del paciente inmediatamente despus de la ensima dosis. 15) Inters compuesto. Sea la sucesin de termino generalnnrP a

,_

+ 121Donde P es el capital invertido, an el balance trasn meses de inters compuesto y r la tasa anual de inters. La sucesin {an} es convergente? Explicar la respuesta.16) Inversin. Se depositan $100 al comienzo de cada mes a una tasa anual de inters12% compuesto mensualmente. El balance despus de n meses es an =100(101)[1.01n-1]Hallar los 6 primeros trminos de la sucesin y el balance a los 5 aos.17) Inversiones estatales. Un programa del gobierno que ha costado a los contribuyentes 2.5000 millones de dlares este ao se va a recortar un 20% anual en los aosvenideros. Calcular los presupuestos de los 4 primeros aos y una expresin para los presupuestos de ese programa trasn aos. 32 GONZALES CHAVEZ , Mximo g. 18) Inflacin. S la tasa anual de inflacin es 4.5%y el precio medio de un automvilEs hoy$16,000.El precio medio de un automvil dentro de n aos ser Pn=$16,000(1.045)n. Calcular el precio medio en los prximos 5 aos. I) Hallar la suma de las siguientes series :1) +121n n n 2) 121 42n n3)( ) +1152 1 3nnnnn4)( )( )+ +1 2 11n n n n5)( )++12221 2nn nn6)( )( )+ 1 5 2 1 21n n n7) +++11139 2nnn8) 4231n n n9) +721n n n10)( )( )+ +34 31nn n11) + +3212 71nn n12)+ +128 61nn n13)++11112 4nnn14)1114131+ +nnn15)( )+ +7176 1 4nnn n nII) Si el gobierno invierte S/100000,000 extras en la economa. Suponiendo que cada negocio y cada individuo ahorra el 20% de sus ingresos y gasta el resto, de modo que de los cien millones iniciales el 80% es vuelto a gastar por individuos y negocios. De esa cantidad, el 80% es gastado nuevamente y as sucesivamente. Calcular el efecto multiplicador generado por el gobiernoIII) El pasinvierte 800 millones de soles adicionales en la economa. Se Supone que cada empresa y cada persona ahorra el 8% de sus ingresos y gasta el resto, de modo que de los 800 millones de soles iniciales el 92% es vuelto a gastar por las empresas ypersonas. De esa cantidad, el 92% es gastado nuevamente y as sucesivamente. Calcular el efecto multiplicador generado por esta accin.33 GONZALES CHAVEZ , Mximo g. IV) A una partcula que se mueve en lnea recta, se le aplica una fuerza, de modo que cada segundo la partcula recorre solo la mitad de la distancia que ha recorrido en el segundo anterior. S la partcula recorre 20 cm. en el primer segundo. qu distancia total recorrer la partcula? V) Determine la convergencia divergencia de las siguientes series :1) 121n n n !2)132 nnn3)( )+121 n nn!4) 12 nnn!5) ,_

122 nnnsen 6)( )+1 11nnn ln7) ,_

+1 1 2 nnnn8) ,_

+131 nnnn9) ,_

11nnnarcsen10)

,_

+1512nnnnn11)22ln1nn n12)2ln1nn n13) ,_

++12211n nn14)

,_

+211ln1nnnn15)( )+ +1 1 11n n n16) ,_

11nnnarctg17)1 nnnn!18)152nnn19)++1422 55n n nn n20)+1245 3nnnn n21)( ) + +16 61 2nn n n22)++1 1 21 3n nn23) 23 211nn24) 1 nnne25)++121 41n nn26)( ) ( )+21 ln ln1nn n27)22 5ln1nn n34 GONZALES CHAVEZ , Mximo g. 28)+1 2 n n nn ln29) 25 311nn30)+2221 n narctg31) + ++1521 41nn nn32)( )+1 1 21n n !33)+121 2n nnVI) Determine la convergencia divergencia de las siguientes series.Si converge indicar : i)Convergencia absoluta ; ii)Convergencia condicional1)( )12!1nnn n2)( )1321nnnn3)( )( )+12! 11nnnn4)( )12! 1nnnn5)( )

,_

+11 21nnnnn6)( )1! 1nnnnn7)( )11nnnne8)( )+115! 1nnnn9)( )

,_

+1311nnnnn10)( )( )+11 ln1nnnn11)( )

,_

1221nnnsen n12) ( )++1422 551nnn nn n13)( )+1245 31nnnnn n14)( ) 25 3111nnn15)( )++11 21 31nnnn16)( ) 23 2111nnn17) ( )+22211nnnarctg18)( )+12ln1nnn nn19)( )( )112 1 !nnn+20)( )2ln1nnn n21)( ) ( )+ + 16 61 2 1nnn n n22) ( )

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111nnnnarcsen35 GONZALES CHAVEZ , Mximo g. 23)( )( )+ +11 11nnn n24) ( )

,_

+15112nnnnnn25)( ) + ++1521 411nnn nn26)( )+ 121 2 1nnnnI) En cada una de las siguientes series hallar i)El conjunto de convergenciaii)El conjunto de divergencia iii) El radio de convergencia1) 0 nnx 2) 02nnx3)( )+03nnx4) ( )02 3nnx5) 12nnnx6) 123nnnx7)( )122nnnx8)( )+125 2nnnx9)( )( ) +07 4 1nnx n n10)( )( )nnx n n+ +02 111)nnxnn++11 21 312) 23 21 nnnx13) 25 31 nnnx14)nnxn nn+12ln15)( )( )112 1 !nnxn+16)nnxnarctg+222136 GONZALES CHAVEZ , Mximo g. 17)( )+ +11 1nnn nx18)( )( )+ +11 11 3nnn nx19)( )122 3nnnnx20)( )( )( )+ +12 11nnnn nxII) expresar las siguientes funciones como serie de Maclaurin1) ( )xx f112) ( )xx f5 11+3)( )211xx f+4)( )( ) ( ) 2 11+ +x xx f5) ( )( )321 xxx f 6) ( )( ) ( ) 2 122+ x xxx f7) ( ) x x f sen 8) ( ) x x f 2 sen 9) ( ) x x x f sen 10)( )xe x f 11)( )2xe x f 12)( )xe x f13) ( ) ( ) x x f + 1 ln14)( ) ( )21 ln x x f + III ) Expresar las siguientes funciones como serie de Taylor ena1) ( ) 4 ,11 axx f2)( )2, cos a x x f3)( ) 2 ,112+ axx f4) ( ) 2 ,5 11 + axx f5)( )4, cos a x x f6) ( )3, cos a x x f7)( )2, sen a x x f8)( ) 1 , a e x fx37 GONZALES CHAVEZ , Mximo g. 9) ( )3, sen a x x f10)( ) 1 , a e x fx11)( )4, sen a x x f12)( ) 2 1 ,2 a e x fx13) ( ) ( ) 1 , 1 ln + a x x f14)( ) ( ) 2 , 1 ln2 + a x x fIV) Hallar los seis primeros trminos no nulos de la serie de Maclaurinde las funciones1)( )351 x x f + 2)( ) ( )12 x x x f3) ( ) x x f tg 4) ( ) x x f sec V) Hallar (aproximadamente)1) dx x102sen 2) dxxx10sen3)( )2 . 0 e x fV) Hallar en serie de potencia la solucin de:1) 0 +y y 2)0 + y y 3)y y 4) 0 2 + y y 5)0 xy y6) y x y2 7) 0 + y y 8)0 + y y 9)y y 10) 02 ++ xy y x y11)( ) 0 1 + y y x13) ( ) 0 2 ++ + y y x y x13) ( ) 0 2 4 12 ++ y y x y x38 GONZALES CHAVEZ , Mximo g. 14)( ) 0 6 12 + y y x15) ( ) 0 22 + + y y x y x15) ( ) 0 1 + y y x y 17)( ) 0 2 + y x y x y18) ( ) 0 1 + y y x y xy(0)=-2 ;y (0)=619) ( ) ( ) y y x y x + 2 1 y(0)=2 ;y (0)=-1I ) Utilizando la definicin hallar la Transformada de Laplace de las siguientes funciones1)'< < xxx f1 11 0 1,,) (2)'< 0 e-as F(s)11) t n f(t) , n= 1,2 .... (-1)nF n(s)12) f n(t) , n= 1,2 .... snF(s)-sn-1 f(0)-........-f n-1(0)13)( ) ( ) dx x t g x ft0F(s)G(s)14) t n eat , n= 1,2 ....n!/(s-a)n+115) eat senkt k / ((s-a)2+k2)16) eat coskt (s-a) / ((s-a)2+k2)17) t senkt 2ks /(s2+k2)218) t coskt (s2 k2 ) / (s2+k2)19) senkt - kt coskt 2k3 / (s2+k2)20) senkt + kt coskt 2ks2 /(s2+k2)21) senhkt - senkt 2k3 / (s4- k4)22) coshkt - coskt 2k2 s /(s4- k4)23) 1-coskt k2 /s2(s2+ k2)24)) (sen sen2 2b a abat b bt a( )( )2 2 2 21b s a s + +25)) (cos cos2 2b aat bt( )( )2 2 2 2b s a ss+ +53