PRAKTIČNI PRIMJERI Primjer 1. - Naslovnamoj.efst.hr/nastava/75/PRAKTICNI_PRIMJERI.pdf · rezidualnog zbroja kvadrata odstupanja ... ostao je statistički značajan pri signifikantnosti

1

PRAKTIČNI PRIMJERI

Primjer 1. Na temelju 22 opažanja (u razdoblju od 1983. godine do 2004. godine) ispitivana je ovisnost investicija (u mil. USD) o izvozu (u mil. USD), bruto domaćem proizvodu, (BDP u mil. USD) noćenju tursita – domaćih i stranih (u 000), te broju zaposlenih (registriranih na burzi rada) pomoću programskog paketa SPSS – Statistical Package for the Social Sciences. Stepwise metodom odabira regresorskih varijabli dobivenu su slijedeći rezultati s ocijenjenim parametrima višestruke regresije, te odgovarajuća regresijska dijagnostika: Tablica 1.

Variables Entered/Removed a

BDP .

Stepwise (Criteria:Probability-of-F-to-enter<= ,050,Probability-of-F-to-remove >= ,100).

Izvoz .

Stepwise (Criteria:Probability-of-F-to-enter<= ,050,Probability-of-F-to-remove >= ,100).

Model1

2

VariablesEntered

VariablesRemoved Method

Dependent Variable: Investicijea.

U gornjoj tablici je vidljivo kako se konačni regresijski model sastoji od dvije regresorske varijable: bruto domaći proizvod i izvoz, budući da su one zadovoljile kriterij ulaska (empirijska razina signifikantnosti je manja ili jednaka 5%). U prvom koraku BDP je prva varijabla za koju je ispitivan kriterij ulaska, jer je promatrana zavisna varijabla u najvišoj korelaciji sa BDP-om. U drugom koraku ispituje se kriterij ulaska druge po redu nezavisne varijable s najvišim koeficijentom parcijalne korelacije. To je varijabla izvoz. Varijabla izvoz također ulazi u model pri empirijskoj razini sgnifikantnosti od 2.4% (vidi Tablicu 2.). Kada se u modelu nađu barem dvije nezavisne varijable, može se ispitivati kriterij izlaska varijable iz modela u trećem koraku. Očito u ovom primjeru varijable koje su ušle u model ne zadovoljavaju kriterij izlaska (p-vrijednost veća ili jednaka 10%), stoga ostaju u regresijskom modelu. U slijedećem koraku, koji je ujedno i posljednji, niti jedna od preostalih varijabli ne zadovoljava kriterij ulaska. Stoga stepwise metoda izbora završava s dvije nezavisne varijable u regresiji u kojoj se investicije promatraju kao zavisna varijabla.

2

Tablica 2.

Excluded Variables c

-,098a -,808 ,429 -,182 ,998 1,002 ,998

-,185a -1,586 ,129 -,342 ,974 1,026 ,974

,344a 2,458 ,024 ,491 ,585 1,710 ,585

,265b 1,634 ,120 ,359 ,400 2,501 ,234

,026b ,159 ,875 ,038 ,439 2,275 ,264

Nocenja

Zaposleni

Izvoz

Nocenja

Zaposleni

Model

1

2

Beta In t Sig.Partial

Correlation Tolerance VIFMinimumTolerance

Collinearity Statistics

Predictors in the Model: (Constant), BDPa.

Predictors in the Model: (Constant), BDP, Izvozb.

Dependent Variable: Investicijec.

Tablica 3.

Model Summary c

,845a ,714 ,700 1,025504

,885b ,783 ,760 ,916468 1,897

Model

1

2

R R SquareAdjusted R

SquareStd. Error ofthe Estimate Durbin-Watson

Predictors: (Constant), BDPa.

Predictors: (Constant), BDP, Izvozb.


U Tablici 3. izračunate su vrijednosti koeficijenta multiple korelacije ( R ), koeficijenta determinacije (R Square), korigiranog koeficijenta determinacije (Adjusted R Square), standardne greške ocjenjene regresije (Standard Error of the Estimate), te DW pokazatelj. Prema izabarnim pokazateljima uspoređivana su dva regresijska modela. U prvom modelu BDP je nezavisna varijabla, dok su u drugom modelu dvije nezavisne varijable: BDP i izvoz. Uspoređujući navedene pokazatelje uočljivo je kako dodavanjem varijable izvoz u drugom regresijskom modelu protumačenost ukupnog zbroja kvadrata odstupanja raste za 6% (prirast korigiranog koeficijenta determinacije 2R∆ ). U skladu s tim smanjila se i standardna greška ocijenjene regresije sa 1.026 na 0.916 jedinica. Dakle, u konačno izabranom modelu prosječno odstupanje opaženih od očekivanih vrijednosti investicija iznosi 0.916 mil. USD (izraženo apsolutno). U relativnom iznosu od aritmetičke sredine (3.423 mil. USD) to bi iznosilo 26.7%, što predstavlja zadovoljavajuću vrijednost koeficijenta varijacije regresije.

3

DW pokazatelj je, također, zadovoljavajući (blizu 2), što upućuje na to da ne postoji značajna autokorelacija rezidualnih odstupanja prvog reda (koeficijent

autokorelacije reziduala prvog reda iznosio bi približno 0515.02897.11ˆ =−=ρ , jer se

pokazalo da vrijedi ( ) 2ˆ1DW ⋅−≈ ρ ).

Tablica 4. ANOVAc

52,488 1 52,488 49,910 ,000a

21,033 20 1,052

73,521 21

57,563 2 28,782 34,267 ,000b

15,958 19 ,840

73,521 21

Regression

Residual

Total

Regression

Residual

Total

Model

1

2

Sum of Squares df Mean Square F Sig.

Predictors: (Constant), BDPa.

Predictors: (Constant), BDP, Izvozb.


Već se napomenulo da se standardna greška regresije smanjila uvođenjema varijable izvoz, uz postojeću varijablu BDP. To smanjenje je rezultat smanjenja rezidualnog zbroja kvadrata odstupanja (neprotumačenog dijela) s 21.033 na 15.958 jedinica, što se vidi iz tablice ANOVA (Tablica 4.). Budući da je zbroj kvadrata ukupnih odstupanja zavisne varijable od prosjeka ostao nepromijenjen (ST = 73.521), proporcionalno se povećao udio protumačenog dijela zbroja kvadrata ukupnih odstupanja (prirast korigiranig koeficijenta determinacije). Iako se empirijski F-omjer nije povećao, već se smanjio zbog gubitka stupnjeva slobode, ostao je statistički značajan pri signifikantnosti manjoj i od 1%.

Tablica 5. Coefficients a

-2,061 ,780 -2,643 ,016 -3,688 -,434

,296 ,042 ,845 7,065 ,000 ,208 ,383 1,000 1,000

-3,086 ,812 -3,799 ,001 -4,785 -1,386

,218 ,049 ,624 4,461 ,000 ,116 ,321 ,585 1,710

,634 ,258 ,344 2,458 ,024 ,094 1,174 ,585 1,710

(Constant)

BDP

(Constant)

BDP

Izvoz

Model

1

2

B Std. Error

UnstandardizedCoefficients

Beta

StandardizedCoefficients

t Sig. Lower Bound Upper Bound

95% Confidence Interval for B

Tolerance VIF

Collinearity Statistics


4

U Tablici 5. za oba modela su prikazane vrijednosti ocijenjenih parametara, njihove standardne greške i empirijski t-omjeri. Analitički izraz konačnog modela možemo zapisati ovako:

21 634021800863 iii X.X..y ⋅+⋅+−= Parametar uz varijablu 1X pokazuje da se može očekivati porast investicija u prosjeku za 0.218 mil. USD ako bruto domaći proizvod poraste za 1 mil. USD, uz pretpostavku da se izvoz neće promijeniti. Slično se može protumačiti i parametar uz varijablu 2X . Međutim, to ne znači da veći utjecaj na investicije ima izvoz nego li BDP zbog većeg parcijalnog regresijskog koeficijenta jβ . Da bi se utvrdio relativani utjecaj pojedinih nezavisnih varijabli na promatranu zavisnu varijablu, potrebno je izračunati standardizirane regresijske parametre.

y

xkkk

ˆbσσ

β=

Iz Tablice 5. regresijski model u standardiziranom obliku možemo zapisati ovako:

21 34406240 iii x.x.y ⋅+⋅= Standardizirane vrijednosti parametara pokazuju za koliko će se standardnih devijacija promijeniti varijabla y ako se varijabla jx promijeni za jednu standarnu devijaciju. Stoga je uočljivo kako bruto domaći proizvod ima gotovo dvostruko veći relativan utjecaj (1.8 puta) na investicije nego izvoz. Iz Tablice 5. su izračunate i donje i gornje granice intervalnih procjena parcijalnih regresijskih parametara uz razinu pouzdanosti procjene od 95%. Na primjer, za parametara uz varijablu 2X dobivena je slijedeća procjena parametra na temelju uzorka:

{ } 95.0174.1094.0Pr 2 =<< β Dobivenu procjenu možemo protumačiti na način da se, uz sigurnost procjene od 95%, očekuje prosječan rast investicija u intervalu od 0.094 do 1.174 mil. USD, ako izvoz porsate za 1 mil. USD, uz pretpostavku da se bruto domaći proizvod neće promjeniti. Također pojedinačni t-testovi pokazuju da su svi parametri u modelu 0β , 1β i

2β statistički značajni pri empirijskoj razini signifikantnosti manjoj od 5%.

5

Tablica 6.

Coefficient Correlations a

1,000

,002

1,000 -,446

-,446 1,000

,002 -,008

-,008 ,067

BDP

BDP

BDP

Izvoz

BDP

Izvoz

Correlations

Covariances

Correlations

Covariances

Model

1

2

BDP Izvoz


Iz gore navedene tablice može se pokazati da korelacijska matrica regresorskih varijabli izgleda kako slijedi:

−

−=

1446.0446.01

R

Koeficijent linearne korelacije između regresorskih varijabli pokazuje negativnu i slabu povezanost između izvoza i bruto domaćeg proizvoda. Međutim, pitanje je je li ta kolinearnost ozbiljan. To se može se testirati "Farrar-Glauberovim" testom:

( ) ( ) ( ) 32.4446.01ln52261122Rdetln5k2

611n 2*2 =−

+⋅−−−=

+⋅−−−=χ

Pri teorijskoj razini signifikantnosti od 5%, empirijska test veličina premašuje kritičnu vrijednost iz tablice, distribuirane prema hi-kvadrat distribuciji s 3 stupnja slobode. Stoga prihvaćamo nultu hipotezu. Nultom hipotezom se pretpostavlja da je korelacijska matrica jednaka jediničnoj matrici, odnosno da ne postoji statistički značajan problem kolinearnosti.

Potvrdu o nepostojanju problema kolinearnosti (multikolinearnosti) daju i vrijednosti faktora inaflacije varijance ( jVIF ) i njihove recipročne vrijednosti (vidi Tablicu 5.) Drugim riječima, oba faktora inflacije varijance su manji od 5, a postotak tolerancije je veći od 20%. Do sada se moglo uočiti da u ocijenjenom regresijskom modelu ne postoji problem autokorelacije, niti problem kolinearnosti. Još će se ispitati jesu li su reziduali normalno distribuirani i nezavisni o regresorskim varijablama. U ovom ispitavanju poslužit ćemo se grafičkim metodama.

6

Da bi se utvrdilo jesu li reziduali normalno distribuirani potrebno je prikazati histogram standardiziranih reziduala, kao što je prikazano na Slici 1.

Slika 1.

Iz Slike 1. jasno da su reziduali normalno distribuirani s očekivanjem jedakim

nuli i standardnom devijacijom približno jednakom jedinici. Također i histogram standardiziranih reziduala pokazuje da je ispunjena

pretpostavka o normalnoj distribuiranosti slučajnih varijabli ie .

Isto se može zaključiti iz grafikona na kojem su ucrtane vrijednosti opaženih i očekivanih vjerojatnosti, kada bi reziduali bili normalno distribuirani (Slika 2.). Pretpostavku o normalnosti slučajnih odstupanja povrđuje dakle i funkcija normalne distribucije vjerojatnosti, koja gotovo ne odstupa od očekivane funkcije vjerojatnosti kada bi rezidualna odstupanja bila normalno distribuirana (dijagonalna linija).

7

Slika 2.

Pretpostavku o homoskedastičnosti varijance reziduala potvrđuje slijedeći dijagram rasipanja: Slika 3.

Ipak, se češće problem heteroskedastičnosti testira neparametrisjikim testom i to pomoću Spearmanovog koeficijenta korelacije ranga. Ovaj test se temelji na tazlici između apsolutnih vrijednosti reziduala i izabranih regresorskih varijabli. Rezultati testiranja su prikazani u slijedećoj tablici.

8

Tablica 7. Correlations

**

**

,149 -,103 1,000

,510 ,647 .

22 22 22

Correlation Coefficient



Sig. (2-tailed)

N

BDP

Izvoz

Resid

Spearman's rho

BDP Izvoz Resid

Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).**.

Vidljivo je da ne postoji značajna korelacija ranga između apsolutnih vrijednosti reziduala i regresorskih varijabli (BDP i izvoz). To znači da ne postoji niti problem heteroskedastičnosti.

Pri kraju analize su zavisna varijabla, te dvije nezavisne varijable prikazane dijagramom rasipanja u tri dimenzije.

Slika 4.

9

Primjer 2.

U poduzeću "X" koje se isključivo bavi veleprodajom robe, trgovinska djelatnost je organizirana u 10 profitnih centara. Pri tome je praćena prodaja jednog od uspješnijih profitnih centara "Metaloprerada i alati". Istražuje se ovisnost prodaje o marži i danima vezivanja zaliha. Cilj analitičara odjela za "Plan i kontroling" je prognozirati kretanje prodaje tog profitnog centra koristeći model višestruke regresije s dvije nezavisne varijable (marža i dani vezivanja zaliha), te prognostičke vrijednosti usporediti sa zadanim planom.

Opažanja su poznata na mjesečnoj razini, za razdoblje od siječnja 2004. do

prosinca 2005. godine. Uz pomoć programske potpore Statgraphics dobiveni su slijedeći rezultati:

Tablica 1.

Multiple Regression Analysis-----------------------------------------------------------------------------Dependent variable: Prodaja u mil_ kn----------------------------------------------------------------------------- Standard TParameter Estimate Error Statistic P-Value-----------------------------------------------------------------------------CONSTANT 5.19994 1.93067 2.69334 0.0136Marza u mil_ kn 7.07617 0.829311 8.53259 0.0000Dani vezivanja -0.26531 0.0999144 -2.65537 0.0148-----------------------------------------------------------------------------

Iz Tablice 1. vidljivo je da su svi procijenjeni parametri statistički značajni, a analitički izraz višestruke regresije glasi:

iii X.X..y 21 2650076725 ⋅−⋅+= Iz jednadžbe regresije se može pokazati kako marža pozitivno utječe na prodaju, dok dani vezivanja zaliha negativno utječu na prodaju. Na primjer, parametar uz varijablu 2X se može protumačiti na način da se očekuje smanjenje prodaje u prosjeku za 0.265 mil. kuna, ako dani vezivanja zaliha porastu za jedan uz pretpostavku da se marža neće promijeniti.

10

Tablica 2. Analysis of Variance-----------------------------------------------------------------------------Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value-----------------------------------------------------------------------------Model 31.2076 2 15.6038 51.28 0.0000Residual 6.38938 21 0.304256-----------------------------------------------------------------------------Total (Corr.) 37.597 23

R-squared = 83.0056 percentR-squared (adjusted for d.f.) = 81.3871 percentStandard Error of Est. = 0.551594Mean absolute error = 0.41389Durbin-Watson statistic = 1.79405 (P=0.2357)Lag 1 residual autocorrelation = 0.0998329

U Tablici 2. osim analize varijance i empirijskog F-omjera, izračunati su odgovarajući pokazatelji reprezentativnosti višestruke regresije. F-test pokazuje kako je model kao cjelina statistički značajan i to čak pri empirijskoj razini signifikantnosti manjoj od 1%.

Korigirani koeficijent determinacije (korigiran za stupnjeve slobode) pokazuje kako je regresijom protumačeno 81.387% ukupnog zbroja kvadrata odstupanja prodaje od njezinog prosjeka.

Osim standardne greške ocijenjene regresije (0.5516 mil. kuna) izračunata je i prosječna apsolutna greška (mean absolute error).

Durbin-Watson pokazatelj nije statistički značajan pri empirijskoj razini signifikantnosti od 23.57%.

Stoga se može prihvatiti hipoteza o nepostojanju pozitivne autokorelacije reziduala prvog reda (autokorelacijski koeficijent prvog reda 0.09983 je gotovo blizu nuli).

Tablica 3.

Correlation matrix for coefficient estimates----------------------------------------------------------------------------- CONSTANTMarza u mil_ kn Dani vezivanjaCONSTANT 1.0000 -0.6286 -0.9280Marza u mil_ kn -0.6286 1.0000 0.2990Dani vezivanja -0.9280 0.2990 1.0000-----------------------------------------------------------------------------

U gornjoj tablici su prikazane vrijednosti koeficijenata korelacije između

procijenjenih parametara. Važno je primijetiti da ne postoji značajna korelacija između parametara 1β i 2β (koeficijent korelacije iznosi 0.299).

11

Tablica 4.

Unusual Residuals-------------------------------------------------------------- Predicted StudentizedRow Y Y Residual Residual-------------------------------------------------------------- 8 5.6298 6.95705 -1.32725 -2.89--------------------------------------------------------------

U Tablici 4. su prikazane neuobičajene vrijednosti reziduala izražene u

standardiziranim (studentiziranim) jedinicama. Pri tome neuobičajna vrijednost reziduala je ona koja odstupa za više od dvije devijacije.

Osmo opažanje pokazuje odstupanje ostvarene od očekivane prodaje za više od dvije studentizirane devijacije. Neuobičajene vrijednosti reziduala još nazivamo i atipičnim vrijednostima ili "outliers"-ima. Ako postoje "outliersi" potrebno ih je identificirati, jer često su to one vrijednosti varijabli koje narušavaju pretpostavke u ocjeni modela metodom najmanjih kvadrata. Postoji više uzroka pojave "outliersa", a najčešće su: greške mjerenja, nenormalnost distribucije reziduala itd. Tablica 5.

Influential Points------------------------------------------------ MahalanobisRow Leverage Distance DFITS------------------------------------------------ 6 0.208523 4.83962 0.927562 8 0.0659643 0.597181 -0.769114 13 0.449352 16.9964 1.18673------------------------------------------------Average leverage of single data point = 0.125

Osim atipičnih vrijednosti, potrebno je identificirati tzv. utjecajna opažanja, odnosno ona opažanja koja imaju najveći utjecaj na procjenu parametara jβ , kao i na procijenjene regresijske vrijednsti iy . U te svrhe se mogu koristiti slijedeći indikatori: "leverage", Mahalanobisova udaljenost, Cooksova udaljenost, te DFITS.

Na primjer DFITS pokazuje utjecaj i-tog opažanja na regresijsku vrijednost (fitted value) kada bi ona bila izbačena iz modela.

Pri tome su "leverage" dijagonalne vrijednosti jjh vrijednosti tzv. "hut" matrice.

Te vrijednosti pokazuje utjecaj na procjenu regresijskih koeficijenata, a utjecajnim opažanjem se smatra ono čija je "leverage" vrijednsot barem 3 puta veća od prosjeka (average levarage).

12

Mahalanobisova udaljenost mjeri udaljenost svih vrijednosti regresorskih varijabli od njihovih prosjeka istodobno, uzimajući u obzir korelaciju između njih. Prednost Mahalanobisove udaljenosti u odnosu na Euklidsku udaljenost je ta što izračunava udaljenost i kada su varijable izražene u različitim jedinicama mjere, odnosno vrijednosti varijabli se standardiziraju pomoću matrice varijanci-kovarijanci. Ako je [ ]j21 x...xx=µ vektor sredina nezavisnih varijabli k,...,2,1j = tada se Mahalanobisova udaljenost može izračunati na slijedeći način:

( ) ( )∑ −⋅⋅−= − µµ xxM 1T , gdje je ∑ matrica varijanci-kovarijanci regresorskih varijabli.

Dijagonalne vrijednosti jjh se koriste da se izračuna vrijednost studentiziranih reziduala prema izrazu:

jjY

i

h1ˆe

−⋅σ

U otkrivanju atipičnih vrijednosti i utjecajnih opažanja možemo se poslužiti i

grafičkom metodom. Pomoću dijagrama rasipanja između opaženih i očekivanih vrijednosti zavisne varijable prikazat će se ovisnost očekivanih o opaženim vrijednostima prodaje.

Slika 1.

Dijagram rasipanja opaženih i regresijskih vrijednosti prodaje

Ocekivane vrijednsoti prodaje

Opa

žene

vrij

edno

sti p

roda

je

4 5 6 7 8 9 10 114

5

6

7

8

9

10

11

13

Iz dijagrama rasipanja (Slika 1.) se vidi da bi u ovom primjeru osmo opažanje (označeno sa x) predstavljalo atipičnu vrijednost. To se moglo zaključiti i iz Tablice 4. i Tablice 5. Stoga će se ponovno procijeniti regresijski model bez osmog opažanja. Metodom najmanjih kvadrata dobiveni su slijedeći rezultati:

Tablica 6.

Multiple Regression Analysis-----------------------------------------------------------------------------Dependent variable: Prodaja u mil_ kn----------------------------------------------------------------------------- Standard TParameter Estimate Error Statistic P-Value-----------------------------------------------------------------------------CONSTANT 5.97061 1.68211 3.54949 0.0020Marza u mil_ kn 6.78155 0.720657 9.41024 0.0000Dani vezivanja -0.29377 0.086514 -3.39563 0.0029-----------------------------------------------------------------------------

Analysis of Variance-----------------------------------------------------------------------------Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value-----------------------------------------------------------------------------Model 29.87 2 14.935 66.33 0.0000Residual 4.50337 20 0.225169-----------------------------------------------------------------------------Total (Corr.) 34.3734 22

R-squared = 86.8987 percentR-squared (adjusted for d.f.) = 85.5885 percentStandard Error of Est. = 0.474519Mean absolute error = 0.365437Durbin-Watson statistic = 2.25063 (P=0.2049)Lag 1 residual autocorrelation = -0.125637

Iz gornje tablice se vidi da se model poboljšao kada smo iz regresije izbacili osmo opažanje. Drugim riječima, protumačenost modela porasla je s 81.38% na 85.59%, a smanjila se standardna greška ocijenjene regresije, dok je DW pokazatelj ostao zadovoljavajući.

U slijedećoj tablici (Tablica 7.) izračunate su regresijske vrijednosti prodaje,

procijenjeni reziduali, standardizirani reziduali, te donja i gornja granica intervalne procjene prognostičkih vrijednosti na temelju razine pouzdanosti od 95%. Pri tome je iz analize izostavljeno osmo opažanje.

14

Tablica 7.

Regression Results for Prodaja u mil_ kn------------------------------------------------------------------------------------------------------ Observed Fitted Studentized Lower 95.0% CL Upper 95.0% CLRow Value Value Residual Residual for Forecast for Forecast------------------------------------------------------------------------------------------------------ 1 5.86263 5.84254 0.0200812 0.0463086 4.75528 6.92981 2 6.70239 7.07232 -0.369925 -0.832191 6.01735 8.12729 3 6.96592 7.00097 -0.03505 -0.0739081 5.98628 8.01566 4 7.50823 8.45647 -0.948241 -2.29436 7.42796 9.48498 5 8.52918 8.86301 -0.333826 -0.737746 7.8195 9.90652 6 10.485 9.66951 0.815453 2.08812 8.58118 10.7578 7 7.47047 8.13611 -0.665636 -1.5217 7.10065 9.17157 8 9 6.62183 7.05323 -0.431395 -0.936093 6.03287 8.07359 10 8.41347 8.20693 0.206533 0.441017 7.18533 9.22854 11 7.68862 7.49425 0.194374 0.413465 6.47555 8.51295 12 5.31422 5.5689 -0.254684 -0.618531 4.45329 6.68451 13 5.58295 5.06622 0.516728 1.51427 3.87454 6.2579 14 8.11004 8.35215 -0.242116 -0.570275 7.25594 9.44837 15 7.41698 7.08063 0.336351 0.721198 6.06288 8.09838 16 7.65369 7.98618 -0.332485 -0.727818 6.9504 9.02195 17 7.92165 7.59674 0.32491 0.69127 6.58513 8.60835 18 9.9948 9.61031 0.384492 0.903433 8.52465 10.696 19 7.01188 7.51026 -0.498377 -1.08955 6.49016 8.53036 20 6.63437 6.56491 0.0694619 0.151592 5.52061 7.60921 21 8.05334 7.52049 0.532842 1.16089 6.50714 8.53385 22 8.35803 7.60684 0.751182 1.74318 6.57285 8.64084 23 7.21907 7.30985 -0.0907854 -0.192925 6.28888 8.33082 24 6.14957 6.09946 0.0501121 0.115196 5.01468 7.18423------------------------------------------------------------------------------------------------------

Osim pokazatelja klasične statističke analize ispitana je i normalnost distribucije reziduala pomoću histograma, te pomoću neparametrijskog testa Kolmogorov-Smirnova. Ovim testom se testira postoji li značajna razlika između empirijske funkcije distribucije vjerojatnosti i normalne funkcije distribucije vjerojatnosti odnosno pretpostavljene distribucije. P-vrijednost veća od 10% upućuje na zaključak da se može prihvatiti pretpostavka da su reziduali normalno distribuirani. Ovaj test je jako sličan hi-kvadrat testu. Postoje i drugi testovi kao Shapiro-Wilks test, Jarque-Bera test itd. Tablica 8. Statistic Value Modified Form P-Value---------------------------------------------------------------------Kolmogorov-Smirnov D 0.0950286 0.471634 >=0.10*---------------------------------------------------------------------

15

Slika 2.

Histogram reziduala

RESIDUALS

frequ

ency

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.50

2

4

6

8

Slika 3.

Residuals

Dani vezivanja

Marža u mil_ kn

16

Iz Slike 3. se vidi dijagram rasipanja u matričnom obliku. Pri tome niti jedan dijagram rasipanja ne pokazuje korelaciju između pojedine nezavisne varijable i ocijenjenih reziduala, kao ni korelaciju između regresorskih varijabli. Na dijagonali dijagrama prikazane su sredine pojedinih varijabli, donji i gornji kvartil, te raspon varijacije.

Slika 4.

Stvarne vrijednosti prodaje se mogu usporediti s očekivanim vrijednostima prodaje u trodimenzionalnom prostoru. Pri tome su regresijske vrijednosti prikazane hiporravninom omeđenom osima s regresorskim varijablama (Slika 4.).

17

Primjer 3.

Na temelju 14 opažanja promatran je utjecaj bruto domaćeg proizvoda (GDP), te izvoza (Export) i uvoz (Import) u Republici Hrvatskoj. Primjenom ekonometrijskog softwarea Eviews dobiveni su slijedeći rezultati: Tablica 1.

Dependent Variable: IM Method: Least Squares Sample: 1991 2004 Included observations: 14

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -12.97590 2.116393 -6.131141 0.0001

EX 3.735250 0.538045 6.942264 0.0000 GDP 0.199018 0.047017 4.232894 0.0014

R-squared 0.918444 Mean dependent var 7.568571

Adjusted R-squared 0.903615 S.D. dependent var 2.647913 S.E. of regression 0.822067 Akaike info criterion 2.633420 Sum squared resid 7.433741 Schwarz criterion 2.770361 Log likelihood -15.43394 F-statistic 61.93822 Durbin-Watson stat 2.095621 Prob(F-statistic) 0.000001

Prema ocijenjenom modelu svi parametri, kao i model u cjelini su statistički značajni. Zadovoljavajući je i korigirani koeficijent determinaciije, kao i koeficijent varijacije regresije.

Koeficijent varijacije regresije iznosi 15.2%, te pokazuje relativan mali udio standardne greške regresije u aritmetičkoj sredini zavisne varijable.

Od mjera reprezentativnosti izračunati su još i Akaike informacijski kriterij, te Schwarz kriterij, kao i maksimalna vrijednost funkcije vjerodostojnosti (log likelihood). Navedeni pokazatelji za promatrani model ne daju puno informacija, već se najčešće koriste kod uspoređivanja više regresijskih modela s različitim regresorskim varijablama. Na primjer, uspoređujući dva ili više regresijska modela, onaj model koji ima manju vrijednost informacijskih kriterija, a veću vrijednost maksimuma funkcije vjerodostojnosti bit će reprezentativniji.

Stvarne i očekivane vrijednosti uvoza uspoređene su na slijedećem grafikonu, zajedno s razidualnim odstupanjima, pri čemu su ona prikazana u vremenskoj domeni (za razdoblje od 1991. godine da 2004. godine).

18

Slika 1.

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

2

4

6

8

10

12

14

91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04

Residual Actual Fitted

Iz Slike 1. jasno je vidljivo da se regresijske vrijednosti vrlo dobro prilagođavaju stvarnim vrijednostima uvoza, dok rezidualna odstupanja nesustavno fluktuiraju oko horizontalne osi koja prolazi nulom (njihova očekivana vrijednost).

DW statistika jasno pokazuje da ne postoji problem autokorelacije prvog reda. Međutim, može se ispitati postoji li možda autokorelacija reziduala višeg reda. U te svrhe može poslužiti grafička metoda. Stoga će se na ovom mjestu grafički prikazati autokorelacijska, te parcijalna autokorelacijska funkcija sa pripadajućim koeficijentima za 8 vremenskih pomaka (time lags). Slika 2.

19

Box-Ljungov test (Q statistika) ne pokazuje značajnost niti jednog koeficijenta

autokorelacije rezidualnih odstupanja pri empirijskoj razini signifikantnosti većoj od 5%. Također je izvršeno i testiranje kojim se željelo utvrditi je li varijanca reziduala konstantna. Testiranje je izvršeno pomoću White testa, a rezultati testiranja su prikazani u slijedećoj tablici. Tablica 2.

White Heteroskedasticity Test: F-statistic 1.182774 Probability 0.381102

Obs*R-squared 4.823747 Probability 0.305865

Test Equation: Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares Sample: 1991 2004 Included observations: 14


EX 6.140038 6.211076 0.988563 0.3487 EX^2 -0.748200 0.738722 -1.012831 0.3376 GDP -0.230544 0.152493 -1.511832 0.1649

GDP^2 0.005914 0.004378 1.350935 0.2097 R-squared 0.344553 Mean dependent var 0.530981


F-statistika, kao i hi-kvadrat statistika ( 2Rn ⋅ ) ne pokazuju statističku značajnost regresijske jednadžbe u kojoj su kvadrati reziduala uzeti kao zavisna varijabla, pri empirijskoj razini signifikantnosti od 38.11%. Osim toga, u promatranoj jednadžbi niti jedan parametar nije statistički značajan, što znači da se kvadrati reziduala ne mogu objasniti niti jednom regresorskom varijablom. Time se potvrđuje da je ispunjena pretpostavka o homoskedastičnosti varijance reziduala.

20

Očekivane vrijednosti, stvarne vrijednosti i reziduali prikazani su u slijedećoj tablici. Tablica 3.

Testirana je i normalnost distribucije reziduala pomoću Jarque-Berra statistike, čija se test veličina temelji na koeficijentu asimetrije (skewness) i koeficijentu zaobljenosti (kurtosis): Tablica 4.

Series: Resid. Sample 1991 2004 Observations 14 Mean -2.48e-16 Median 0.028890 Maximum 0.962515 Minimum -1.188695 Std. Dev. 0.756192 Skewness -0.219573 Kurtosis 1.645006 Jarque-Bera 1.183500 Probability 0.553358

Iz dobivenih rezultat može se prihvatiti nulta hipoteza, odnosno može se prihvatiti pretpostavka da su reziduali normalno distribuirani sa sredinom nula i konstantnom varijancom.

21

Na slijedećoj slici prikazane su procijene prognostičkih vrijednosti uvoza u intervalu od dvije standardne devijacije ( σ2 ⋅± ). Slika 3.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04

Forecast sample: 1991 2004Included observations: 14

Root Mean Squared Error 0.728685Mean Absolute Error 0.640749Mean Abs. Percent Error 10.39674Theil Inequality Coefficient 0.045712 Bias Proportion 0.000000 Variance Proportion 0.021265 Covariance Proportion 0.978735

Uz grafički prikaz izračunati su još i slijedeći pokazatelji: • prosječna prognostička greška (root mean squared error):

( )∑ −==

n

1i

2ii n/yyRMSE ,

• prosječna apsolutna pogreška (mean absolute error): n/yyMAEn

1iii∑ −=

=,

• prosječna relativna greška (mean absolute percente error):

n/y

yy100MAPE

n

1i i

ii∑−

==

, te ostali pokazatelji.

Ono što je važno uočiti je da se prosječna kvadratna prognostička greška MSE

može pojaviti zbog pristranosti, varijance ili kovarijance. U ovom primjeru je vidljivo da pristranost uopće nije uzrok prognostičke greške jer je njezin udio u ukupnim odstupanjima 0%. Mali dio (tek 2.1%) varijance uzrokuje prognostičku grešku, dok je proporcija kovarijance najveća (97.9%). To znači da je prognoza vrlo precizna.

22

Primjer 4. Promatrano je kretanje BDP-a (u mil. kn u tekućim cijenama), od prvog kvartala 1997. do prvog kvartala 2005. godine. Radi mjerenja sezonskih utjecaja korištene su sezonske dummy varijable:

−−

=inace0

talvarkprvi1D 1i ,

−−

=inace0

talvarkdrugi1D 2i ,

−−

=inace0

talvarktreci1D 3i

Osim dummy varijabli u analizu je uključen i varijabla vrijeme n,...,2,1,0xt = , jer je očito da izabrana vremenska serija, nema samo sezonsku, već i trend komponentu. Primjenom SPSS-a, koristeći se "enter" metodom unosa nezavisnih varijabli dobiveni su slijedeći rezultati: Tablica 1.

Model Summaryb

,989a ,978 ,975 1181,618 1,300Model1

R R SquareAdjustedR Square

Std. Error ofthe Estimate

Durbin-Watson

Predictors: (Constant), vrijeme, D3, D2, D1a.

Dependent Variable: BDP u tekuæim cijenamab.

Tablica 2.

ANOVAb

1728601740,783 4 432150435,196 309,514 ,000a

39094185,096 28 1396220,8961767695925,879 32

RegressionResidualTotal

Model1

Sum of Squares df Mean Square F Sig.

Predictors: (Constant), vrijeme, D3, D2, D1a.

Dependent Variable: BDP u tekuæim cijenamab.

23

Tablica 3.

Coefficientsa

29225,468 556,880 52,481 ,000 28084,752 30366,184-2599,923 574,572 -,158 -4,525 ,000 -3776,879 -1422,967 ,646 1,548

50,585 592,395 ,003 ,085 ,933 -1162,882 1264,051 ,656 1,5233120,980 591,206 ,183 5,279 ,000 1909,950 4332,010 ,659 1,517729,105 21,660 ,949 33,661 ,000 684,736 773,474 ,995 1,005

(Constant)D1D2D3vrijeme

Model1

B Std. Error

UnstandardizedCoefficients

Beta

StandardizedCoefficients

t Sig. Lower Bound Upper Bound

95% Confidence Interval forB

Tolerance VIF

CollinearityStatistics

Dependent Variable: BDP u tekuæim cijenamaa.

Dobiven je slijedeći regresijski model:

t3t2t1tt x105.729D98.3120D585.50D923.2599468.29225y ⋅+⋅+⋅+⋅−= Lako je uočiti da su sezonski utjecaji najveći u prvom kvartalu i to negativnog predznaka (-2599.923 mil. kn), dok su sezonski utjecaji najmanji u drugom kvartalu, iako pozitivnog predznaka. Potrebno je napomenuti da samo sezonski utjecaji u drugom kvartalu ( 2tD ) nisu statistički značajni. Najveći pozitivni sezonski utjecaji su utjecaji trećeg kvartala. Stoga, na primjer, zbog sezonskog utjecaja se može očekivati da će vrijednost BDP-a u tekućim cijenama u trećem kvartalu (srpanj - rujan) biti veća u prosjeku za 3120.98 milijuna kuna u odnosu na zadnji kvartal. Pri tome je utjecaj četvrtog (zadnjeg) kvartala sadržan u konstantnom članu i iznosi 29225.468 mil. kuna. Osim sezonskih varijacija, izražen je i rastući trend, odnosno parametar uz varijablu "vrijeme" je također statistički značajan, te pokazuje kako u se prosjeku može očekivati porast BDP-a u tekućima cijenama za 729.105 milijuna kuna svaki kvartal, uz pretpostavku da nema sezonskih utjecaja. Tablica 4.

Coefficient Correlationsa

1,000 ,037 ,073 ,038,037 1,000 ,501 ,515,073 ,501 1,000 ,516,038 ,515 ,516 1,000

469,160 469,160 938,320 469,160469,160 349524,384 175465,933 174996,772938,320 175465,933 350931,865 175465,933469,160 174996,772 175465,933 330132,427

vrijemeD3D2D1vrijemeD3D2D1

Correlations

Covariances

Model1

vrijeme D3 D2 D1

Dependent Variable: BDP u tekuæim cijenamaa.

24

Korelacijska matrica, pokazuje da ne postoji ozbiljan problem multikolinearnosti. Isti zaključak potvrđuju i faktori inflacije varijance ( jVIF ) u Tablici 3.

Slijedeći grafikon prikazuje prilagođavanje očekivanih i stvarnih vrijednosti BDP-a mjerenih u tekućim cijenama. Slika 1.

Da se u ovom primjeru koristika klasična metoda dekompozicije vremenske serije pomoću multiplikativnog modela, gdje se sezonski i drugi periodični utjecaji izražavaju preko indeksa, dobili bi se slijedećih rezultati: Tablica 5.

Seasonal Factors

Series Name: BDP u tekuæim cijenama

93,699,6

107,399,5

Period1234

SeasonalFactor (%)

25

Slika 2.

Vidljivo je da se trend-cikličke vrijednosti gotovo ne razlikuju od desezioniranih vrijednosti ostvarenog BDP-a. Pri tome su sezonski utjecaji najuočljiviji u prvom i trećem kvartalu. Zbog sezonskih utjecaja BDP je u prvom kvartalu manji za 6.4%, odnosno u trećem kvartalu je zbog utjecaja sezone BDP veći za 7.3%. Ipak ovako "precijenjen" sezonski utjecaj u razdoblju srpanj – rujan može se pripisati utjecaju porasta potrošačkih cijena, ali i aprecijaciji tečaja kune u odnosu na Eur u tom razdoblju. Može se zaključiti da se primijenom dummy varijabli parametrijski definira trend i sezonska komponenta promatrane vermenske serije. To nije moguće pomoću klasičnih metoda dekompozicije. Međutim, osim primjene dummy varijabli, postoje i drugi modeli kojima se parametrijski može opisati periodično ponašanje vremenske serije, kao što su ARIMA modeli, koji spadaju u klasu linearnih stohastičkih dinamičkih modela. Na primjer, u ovom slučaju bio bi prikladan sezonski ARIMA 4)0,1,0()0,0,1( × model. Ipak ovi modeli se više koriste u prognostičke svrhe, a ne u testiranju ekonomske teorije. Stoga njihovi parametri nemaju posebno značenje, niti suvislu ekonomsku interpretaciju.

26

Primjer 5.

Promatrana je ovisnost kamatne stope o novčanoj masi metodom OLS, na temelju mjesečnih opažanja od siječnja 1997. godine do kolovoza 2004. godine. Dobiveni su slijedeći rezultati primjenom EViewsa: Tablica 1.

Dependent Variable: KAMATA Method: LS Sample: 1997M01 2004M08 Included observations: 92

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 16.76579 0.275149 60.93358 0.0000

M1 -0.000285 1.11E-05 -25.76579 0.0000 R-squared 0.880617 Mean dependent var 10.14957


Model je statistički značajan kao cijelina, kao i pojedini parametri. Međutim, DW statistika (blizu nule) upućuje na postojanje pozitivne autokorelacije reziduala prvog reda. Također je vidljivo iz Slike 1., da se očekivane vrijednosti dobro ne prilagođavaju stvarnim vrijednostima regresand varijable. Stoga se zaključuje da dobiveni parametri ipak ne bi trebali biti statistički signifikantni. Istodobno rezidualna odstupanja slijede tzv. "random walk" proces (slučajni hod), što znači da serija reziduala nije stacionarna.

27

Slika 1.

-2

-1

0

1

2

3

4

6

8

10

12

14

16

10 20 30 40 50 60 70 80 90


Pomoću testa "Lagrangeova multiplikatora" testirati ćemo postojanje problema autokorelacije prvog reda, ali i viših redova. Tablica 2.

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: F-statistic 75.44881 Probability 0.000000

Obs*R-squared 71.59748 Probability 0.000000

Test Equation: Dependent Variable: RESID Method: Least Squares Presample missing value lagged residuals set to zero.


M1 3.33E-06 5.40E-06 0.617394 0.5386 RESID(-1) 0.607814 0.105859 5.741718 0.0000 RESID(-2) 0.352655 0.123720 2.850416 0.0055 RESID(-3) 0.127971 0.123761 1.034015 0.3040 RESID(-4) -0.198492 0.106219 -1.868697 0.0651

28

R-squared 0.778233 Mean dependent var -3.73E-15


Očito postoji problem autokorelacije prvog i drugog reda, jer t-statistika u test jednadžbi pokazuje značajnost pri prvom i drugom autoregresijskom parametru. Isto bi se zaključilo na temelju autokorelacijske i parcijalne autokorelacije funkcije. Iz njih je, naime, vidljivo da bi se reziduali mogli opisati AR(2) procesom. To je moguće jer ACF opada eksponencijalno, a PACF iščezava nakon drugog vremeskog pomaka (Slika 2.). Slika 2.

Važno je primijetiti da ACF opada vrlo sporo, što daje naslutiti da je niz reziduala nestacionaran. Također, Q statistika pokazuje značajnost svih koeficijenata autokorelacije. Stoga se ocijenjuje slijedeći regresijski model s autoregresivnim slučajnim odstupanjima drugog reda:

t2t21t1t

tt10t

ueeeexy

+⋅+⋅=+⋅+=

−− ρρββ

29

Nelinearnom metodom najmanjih kvadrata dobivene su slijedeće ocijene parametara iρ i jβ : Tablica 3.

Dependent Variable: KAMATA Method: NLS Sample (adjusted): 1997M03 2004M08 Included observations: 90 after adjustments Convergence achieved after 7 iterations

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 12.44749 1.693746 7.349090 0.0000

M1 -0.000154 3.85E-05 -4.011016 0.0001 AR(1) 0.478151 0.095312 5.016695 0.0000 AR(2) 0.459687 0.093722 4.904784 0.0000



Inverted AR Roots .96 -.48

Očigledno je determiniranost modela porasla za značajnih 10%, dok DW statistika pokazuje da nema problema autokorelacije reziduala prvog reda (2.2235), pa vjerojatno ni autokorelacije višeg reda.

Drugim riječima, rezidualna odstupanja u tekućem vremenu uspjela su se opisati rezidualima u protekla dva vremenska razdoblja, odnosno AR(2) procesom. Pri tome se postavlja uvjet stacionarnosti AR(2) procesa, da bi ocjene parametara bile pouzdane odnosno konzistentne..

Uvjet stacionarnosti je nužan da bi se modelirala promatrana vremenska serija autoregresijskim modelima. Vremenski niz je stacionaran kada su mu članovi međusobno nekorelirani, kada ima konstantno očekivanje i konstantnu varijancu.

Drugim riječima vremenski niz je stacionaran ako ne sadrži trend (npr. prve diferencije su jednake nuli, što znači da je 1tt ee −= ). Stoga na primjer ako vremenski niz sadrži linearni trend tada je nužna i dovoljna stacionarnost prvih diferencija da bi se postigla stacionarnost općenito.

30

Isto tako, ako se vremenski niz kreće prema trend polinomu k-tog stupnja tada je nužna i dovoljna stacionarnost k-tih diferencija da bi se postigla stacionarnost čitave vremenske serije. AR(2) proces je stacionaran ako su mu koeficijenti po apsolutnoj vrijednosti manji od 1. Nužan uvjet stacionarnosti AR(2) procesa jest zadovoljiti slijedeće relacije:

1111

2

12

12

<<−<−<+

ρρρρρ

Obično se u testiranju stacionarnosti prognostičkih modela koristi test jediničnog korijena i to Dicky-Fullerov "unit root" test.

Slijedeća slika pokazuje da je prilagođavanje podataka mnogo bolje nego u početnom modelu, te da se reziduali u ovom modelu ponašaju nesustavno (slično kao "white noise" - čisti slučajni proces, tzv. "bijeli šum"). Slika 3.

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

6

8

10

12

14

16

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90


31

Analitički izraz novog modela je:

2t1tt

ttt

e459.0e478.0eex00015.04475.12y

−− ⋅+⋅=+⋅−=

Isti model je ocijenjen i dvo-etapnom metodom najmanjih kvdrata, uzimajući za instrumentalne varijable: depozite, konstantu i novčanu masu u vremenu t-1. Dobiveni su slijedeći rezultati: Tablica 4.

Dependent Variable: KAMATA Method: Two-Stage Least Squares Sample (adjusted): 1997M03 2004M08 Included observations: 90 after adjustments Convergence achieved after 6 iterations Instrument list: M1(-1), DEPOZITI, C Lagged dependent variable & regressors added to instrument list

Variable Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C 13.78015 2.283594 6.034415 0.0000

M1 -0.000191 6.55E-05 -2.915160 0.0045 AR(1) 0.474528 0.095935 4.946371 0.0000 AR(2) 0.444599 0.099095 4.486575 0.0000


Adjusted R-squared 0.980979 S.D. dependent var 2.646412 S.E. of regression 0.364986 Sum squared resid 11.45649 F-statistic 1527.951 Durbin-Watson stat 2.184197 Prob(F-statistic) 0.000000

Inverted AR Roots .95 -.47

Analitički izraz modela procjenjenog dvo-etapnom metodom najmanjih kvadrata je:

2t1tt

tt1t

e445.0e475.0eem00019.078015.13r

−− ⋅+⋅=+⋅−=

Rezultati su gotovo jednaki kao i kod NLS metode.

32

Primjer 6. Na temelju mjesečnih opažanja ispitivan je utjecaj inflacije (mjerene indeksom potrošačkih cijena) na tečaj kn/€. Na početku ekonometrijske analize navedene varijable su prikazane linijskim grafikonom s varijablom "vrijeme" na osi apscisa. Također su prikazane autokorelacijska funkcija i parcijalna autokorelacijska funkcija zavisne varijable (tečaja). Iz prikazanih funkcija (Slika 1.) očito je da bi se varijablu tečaj mogli opisati tečajem u protekla dva vremenskarazdoblja, budući da PACF iščezava nakon drugog vremenskog pomaka. Pri tome ACF opada eksponencijalno. Osim endogenih varijabli s vremenskim pomakom, među predeterminirane varijable ekonometrijskog modela, se može se uvrstiti i varijabla inflacija. Simbolički bi promatrani model mogli ovako zapisati:

t32t21t10t xyyy ⋅+⋅+⋅+= −− φφφφ Slika 1.

0 20 40 60 80 100

7.00

7.25

7.50

7.75Tecaj

0 20 40 60 80 100

-0.01

0.00

0.01Inflacija

0 5 10

0

1 Parcijalna autokorel. funkcija (tecaj)

0 5 10

0.25

0.50

0.75

1.00Autokorelacijska funkcija (tecaj)

33

Metodom najmanjih kvadrata dobivene su slijedeće ocjene parametara, uz odgovarajuće mjere i testove značajnosti: Tablica 1. Estimated model Coefficient Std.Error t-value t-prob Part.R^2 Tecaj_1 1.21863 0.09984 12.2 0.000 0.6367 Tecaj_2 -0.353783 0.09476 -3.73 0.000 0.1409 Constant 1.01314 0.2865 3.54 0.001 0.1283 Inflacija -2.93726 1.546 -1.90 0.061 0.0407 sigma 0.0584993 RSS 0.290884283 R^2 0.863386 F(3,85) = 179.1 [0.000]** log-likelihood 128.409 DW 1.92 no. of observations 89 no. of parameters 4 mean(Tecaj) 7.48106 var(Tecaj) 0.023924

U Tablici 1. su prikazane vrijednosti procijenjenih parametar dinamičkog modela, test veličine, pripadajuće empirijske razine signifikantnosti, te parcijalni koeficijent determinacije.

Vidljivo je da su sve varijable s vremenskim pomakom statistički značajne. Parcijalni koeficijent determinacije pokazuje doprinos svake pojedine varijable s vremenskim pomakom na protumačenost ukupnog zbroja kvadrata odstupanja od prosjeka. Stoga je zanimljivo da najveći doprinos protumačenosti ukupnih varijacija ima varijabla tečaj s jednim vremenskim pomakom, uz neutraliziran utjecaj ostalih varijabli u dinamičkom modelu (63.67%).

Cjelokupni koeficijent determinacije iznosi 0.8634, što predstvavlja visoki postotak protumačenosti modela. DW statistika blizu 2 upućuje na zaključak da reziduali nisu međusobno korelirani, dok empirijski F-omjer upućuje na statističku značajnost modela kao cjeline. RSS predstavlja rezidualni (neprotunačeni) zbroj kvadrata odstupanja, dok "sigma" predstavlja standardnu grešku ocijenjenog modela. Stoga vrijedi da je )489/(RSSsigma −= . Ako se "sigma" podijeli s aritmetičkom sredinom (mean) dobiti će se relativno mali koeficijent varijacije od 0.78%, što je vrlo zadovoljavajuća mjera reprezentativnosti. Analitički izraz modela sa procijenjenim standardnim greškama pojediničanih parametara prikazan je u Tablici 5. Tablica 2. Diagnistic tests AR 1-2 test: F(2,83) = 0.72116 [0.4892] ARCH 1-1 test: F(1,83) = 0.34291 [0.5597] Normality test: Chi^2(2) = 4.0069 [0.1349] hetero test: F(6,78) = 0.86282 [0.5261] RESET test: F(1,84) =0.0065546 [0.9357]

34

U Tablici 2. su prikazani odgovarajući dijagnostički testovi, čiji su međurezultati

dani u Tablicama 6., 7., 8. i 9.

AR 1-2 test pokazuje da ocijenjeni reziduali nisu međusobno korelirani, odnosno da se ne mogu opisati autoregresijskim procesom niti prvog ni drugog reda, pri empirijskoj razini signifikantnosti većoj od 5%.

ARCH 1-1 test pokazuje da kvadrati reziduala također nisu međusobno korelirani, odnosno da je varijanca reziduala konstantna u vremenu, pri empirijskoj razini signifikantnosti većoj od 5%. To isto pokazuje i test heteroskedastičnosti.

Normality test pokazuje da su rezidualna odstupanja normalno distribuirana sa očekivanjem jednakim nuli, odnosno odgovarajući hi-kvadrat test pokazuje da se može prihvatiti nulta hipoteza o normalnoj distribuciji slučajnih varijabli. RESET test (Ramsey Regression Specification Test) pokazuje kako je dinamički model dobro specificiran. Ovaj test se provodi na slijedećoj način: u prvom koraku se u model uvode očekivane vrijednsoti ty , 2

ty , 3ty ... u početnu jednadžbu. Zatim se provjerava je li

takav modelpoboljšan u odnosu na izvorni oblik modela. U ovom primjeru F-test ne pokazuje značajno poboljšanje modela kada su se u njega uključile očekivane vrijednosti varijble ty . Stoga se može zaključiti da je početni model bio dobro specificiran. Tablica 3. Inverted Roots of Tecaj lag polynomial real imag modulus 0.74152 0.00000 0.74152 0.47711 0.00000 0.47711

U Tablici 3. zadane su vrijednosti inverza karakterističnih korijena polinoma AR dijela modela. Pri tome karakteristični korijeni polinoma operatora pomaka moraju ležati izvan jediničnog kruga, da bi AR dio modela bio stacionaran. To znači da recipročne vrijednosti tih korijena moraju po apsolutnoj vrijednosti biti manje od jedan kao što je ovdje slučaj.

Dakle, u našem primjeru autoregresijski dio modela AR(2) je:

2t1tt y35378.0y21863.1y −− ⋅−⋅= Ako se gore navedena jednadžba napiše kao:

0y35378.0y21863.1y 2t1tt =⋅+⋅− −− ,

35

tada se može uočiti da je ona homogena diferencijska linearna jednadžba drugog reda. Ako uvedemo operator pomaka B, tako da vrijedi:

,yB

yB

yB

ktk

2t2

1t

−

−

−

=

=

=

Μ

tada jednadžba poprima slijedeći oblik:

( ) 0B35378.0B21863.11y 2t =⋅+⋅−⋅

gdje je 2B35378.0B21863.11 ⋅+⋅− karakteristični polinom operatora pomaka drugog stupnja. Rješenja polinoma operatora pomaka drugog stupnja nazivaju se karakterističnim korijenima, te su u ovom primjeru realni brojevi. Rješenja karakterističnog polinoma mogu biti i kompleksni brojevi.

( )35378.02

35378.0421863.121863.1B

2

2/1 ⋅⋅+−±

=

47711.0B09595.2B

74152.0B34858.1B1

22

111

=→=

=→=−

−

Recipročne ili inverzne vrijednosti korijena karakterističnog polinoma AR(2) procesa moraju ležati unutar jediničnog kruga, kao što je prikazano na Slici 2.

36

Slika 2.

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

AR roots

Inverse Roots of AR/MA Polynomial(s)

Očito je zadovoljen uvjet stacionarnosti AR(2) procesa. Lako je provjeriti još jednom da su zadovoljene slijedeće relacije stacionarnosti:

1ˆ1

1ˆˆ1ˆˆ

2

12

12

<<−

<−

<+

φ

φφ

φφ

,

ako je 21863.1ˆ

1 =φ i 35378.0ˆ2 −=φ .

Tablica 4. Covariance matrix of estimated parameters Tecaj_1 Tecaj_2 Constant Inflacija_1 Tecaj_1 0.0099673 -0.0087398 -0.0092137 -0.016141 Tecaj_2 -0.0087398 0.0089800 -0.0017596 0.013480 Constant -0.0092137 -0.0017596 0.082080 0.019955 Inflacija -0.016141 0.013480 0.019955 2.3899 U Tablici 4. dana je matrica varijanci-kovarijanci regresorskih varijabli.

37

Tablica 5. Equation with standard errors Tecaj = + 1.219*Tecaj_1 - 0.3538*Tecaj_2 + 1.013 - 2.937*Inflacija (SE) (0.0998) (0.0948) (0.286) (1.55) Tablica 6. Testing for error autocorrelation from lags 1 to 2 Error autocorrelation coefficients in auxiliary regression: Lag Coefficient Std.Error 1 -0.041263 0.471 2 -0.16401 0.2124 RSS = 0.285916 sigma = 0.00344477 Chi^2(2) = 1.5202 [0.4676] and F-form F(2,83) = 0.72116 [0.4892] Tablica 7. Testing for error ARCH from lags 1 to 2 ARCH coefficients: Lag Coefficient Std.Error 1 0.057197 0.1109 2 0.081374 0.1108 RSS = 0.00253931 sigma = 0.00559906 ARCH 1-2 test: F(2,81) = 0.42736 [0.6537] Tablica 8. Normality test for Residuals Observations 89 Mean 0.00000 Std.Devn. 0.057170 Skewness -0.15053 Excess Kurtosis 0.71093 Minimum -0.17568 Maximum 0.16710 Asymptotic test: Chi^2(2) = 2.2104 [0.3311] Normality test: Chi^2(2) = 4.0069 [0.1349]

38

Tablica 9. Testing for heteroscedasticity using squares Heteroscedasticity coefficients: Coefficient Std.Error t-value Tecaj_1 -0.18671 0.57213 -0.32634 Tecaj_2 0.17347 0.49326 0.35168 Inflacija 0.17833 0.14723 1.2112 Tecaj_1^2 0.011579 0.038371 0.30177 Tecaj_2^2 -0.011089 0.033154 -0.33448 Inflacija^2 33.466 24.504 1.3657 RSS = 0.00241691 sigma = 0.00556651 effective no. of parameters = 7 Regression in deviation from mean Chi^2(6) = 5.5393 [0.4767] and F-form F(6,78) = 0.86282 [0.5261] Slika 3.

0 20 40 60 80 100

7.2

7.4

7.6

Tecaj Fitted

-4 -2 0 2 4

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5Histogram

Normal Density

0 5 10

-0.5

0.0

0.5

1.0ACF of Residuals

-2 -1 0 1 2

-2

0

2

QQ plot

39

Iz Slike 3. jasno se vidi da se procijenjene vrijednosti tečaja vrlo dobro prilagođavaju stvarnim vrijednostima iz uzorka. Pri tome histogram reziduala, kao i Q-Q dijagram pokazuju da je ispunjena pretpostavka o normalnoj distribuiranosti slučajnih varijabli ie .

Korelogram reziduala (autokorelacijski koeficijenti) ne pokazuje da su procijenjeni reziduali međusobno zavisni za bilo koji vremenski pomak od 1 do 10.

Rekurzivnim uvrštavanjem proteklih vrijednosti tečaja i inflacije u procijenjeni dinamički model, može se prognozirati kretanje tečaja u budućnosti. Ipak nije jednostavno izvršiti prognoziranje budući da podaci o kretanju inflacije nisu poznati "a priori". Stoga će se ponovno procijeniti model bez varijable inflacija u svrhu prognoze. Drugim riječima, dinamički model se tada može predstaviti kao autoregresijski model drugog reda, odnosno AR(2) proces. Novi ocijenjeni model ima slijedeći analitički izraz:

2t1tt y33722.0y19879.103767.1y −− ⋅−⋅+= Za takav model (uz zadovoljen uvjet stacionarnosti) moguće je izračunati graničnu vrijednost tečaja (stanje ravnoteže) i njegovu varijancu kada vremenski pomak teži beskonačnosti. Tablica 10. Solved static long run equation for Tecaj Coefficient Std.Error t-value t-prob Constant 7.49603 0.04589 163. 0.000 Long-run sigma = 0.42896

Kao jedan od rerzultat ekonometrijske analize može se zaključiti da granična vrijednost kojoj tečaj teži dugoročno iznosi 7.496 kn/€, sa standardnom devijacijom od 0.42896. Tto znači da se u budućnosti možemo očekivati varijacija tečaja u rasponu od

%72.5± . Riječnikom ekonomske teorije, dakle, može se posvjedočiti da je politika tečaja koju provodi HNB u Republici Hrvatskoj politika stabilnog tečaja. Prognostičke vrijednosti i pripadajući interval procjene za 40 razdoblja unaprijed prikazani su na slijedećoj slici.

40

Slika 4.

20 40 60 80 100 120 1407.2

7.3

7.4

7.5

7.6

7.7

7.8 40-step Forecasts Tecaj

Documents

PRAKTIČNI PRIMJERI Primjer 1. - Naslovnamoj.efst.hr/nastava/75/PRAKTICNI_PRIMJERI.pdf · rezidualnog zbroja kvadrata odstupanja ... ostao je statistički značajan pri signifikantnosti