1. УВОД

Целокупна природа, цели свет и све што нас окружује је материја у непрестаном кретању. С материјом се догађају сталне промене, које називамо природним појавама. Такве су на пример: ротација и кретање Земље, промена температуре и с тим у вези појава кише, снега, града итд., затим појава светлости, звука, електрицитета, магнетизма итд.

Физика је наука која проучава одређени део природних појава. Према њиховој сродности дели се у следеће гране: механику, термику, акустику, оптику, електротехнику, атомску и нуклеарну физику. Циљ јој је да утврди законе по којима се те природне појаве догађају.

Реч физика долази од грчке речи (фисис), што значи природа и зато се, дуго времена, физика звала филозофија природе.

Веза физике и осталих природних наука врло је велика и, понекад је тешко наћи границу између физике, хемије и биологије. Модерна физика и хемија толико се испреплићу да се данас хемија може готово сматрати посебном граном физике. Модерна биологија, посебно њена грана биофизика, такође је тесно повезана са физиком.

Свим тим гранама је својственo кретање, јер се све промене, дакле природне појаве, догађају због кретања материје. Није важно при томе ради ли се ту о спољашњем или унутрашњем кретању. Тако је на пр. код топлоте карактеристично молекуларно кретање, код наелектрисања струјање електрона, код магнетизма кретање елементарних магнета и њихова орјентација.

Уз теоријску физика има нарочито важну и практичну улогу. Упознавајући природне појаве и законе по којима се оне збивају можемо их свесно употребити за друштвени напредак. Познавање закона физике омогућило је данашњи технички развитак човечанства.

Физика која проучава законе природних појава и њихову практичну примену у техници зове се техничка физика.

1.1 Мерење у физици

Мерење је основа свих природних наука, па и техничке физике, која је типична експериментална наука. Енглески физичар и математицар W. Thomson, лорд Kelvin (1824-1907), истакао је важност мерења овим речима: „Када оно о чему говорите можете измерити и изразити бројевима, тада знате нешто о томе; када то не можете измерити, тада је ваше знање оскудно и недовољно...“

При истраживањима у физици прво морамо уочити проблем који је од научног интереса. Затим прецизно меримо одговарајућом мерном опремом и методом. Мерење

понављамо неколико пута да бисмо што више смањили грешку мерења. Резултате мерења исказујемо табеларно или графички и обично их уносимо у меморију рачунара. Затим следи анализа експерименталних података, физикално објашњење експеримента и проналажење физичких закона. Мерење физичих величина у ствари је упоређивање физичке величине коју меримо са одговарајућом стандардном истоврсном величином, ткз. jединицом.

Физичке величина описује квалитативно и квантитативно неку мерљиву особину физикалног стања или процеса. Она омогућује дефинисање физичке појаве и њено описивање у математичком облику помоћу одговарајуће једначине. Физичке величине су на пример: пут, време, брзина, рад, енергија, итд. Физичке величине означавају се малим и великим словима латинице или грчког алфабета. Ознаке физичких величина договорене су на међународном нивоу. То су већином почетна слова енглеских и латинских назива. Тако на прим симбол за брзину је v (velocity, velocitas) , време t (time, tempus), силу F (force), рад W (work) итд.

Грчки алфабет дат је у табели 1.1.

Табела 1.1Изговор Велико Мало Изговор Велико Мало

алфа нибета ксигама омикронделта пи

епсилон рхозета сигмаета тау

тхета ипсилонјота фикапа хи

ламбда псими омега

Физички закони се могу прецизно изразити помоћу физичких једначина које повезују физичке величине у том закону. Мерити неку величину значи одредити број који показује колико пута та величина садржи у себи истоврсну величину договором узету за јединицу. За неку физичку величину није довољно познавати само њену бројчану вредност, већ и њену јединицу. Свака се физичка величина може изразити помоћу два фактора, тј. бројчаном вредношћу и ознаком мерне јединице.

(1.1)

где су: - бројчана вредност и мерна јединица.

1.2. Међународни систем јединица

Физичке величине могу се поделити на основне и изведене, а иста подела важи и за мерне јединице. Основне физичке величине су оне које не можемо једну из друге извести, већ их морамо дефинисати. Све остале, изведене, можемо извести из основних. Основне и изведене јединице чине систем јединица.

Тако је, 1971. године, Међународна конференција за мере и тегове установила јединствени Међународни систем мерниих јединица (ткз. SI систем – Systeme International d’Unites) који је прихваћен у целом Свету.

Договором је одабрано седам физичких величина из којих се изводе све остале. Основне физичке величине и основне јединице Међународног система су дате у табели 1.2.

Табела 1.2Величина Ознака физичке

јединицеНазив јединица Ознака

јединицеДужинаМасаВреме

lMt

метар килограм секунда

Термодинамичка температураЈачина електричне струјеЈачина светлостиКоличина супстанце

TIJn

келвинампер

кандела мол

1. ДужинаЈединица дужине је метар . Метар је дужина пута који у вакууму светлост прође

за време 1/299 792458 секунди.

2. МасаЈединица масе је килограм . Килограм је маса међународног еталона килограма

који се чува у Менународном уреду за мере и тегове у Севресу крај Париза.

3. ВремеЈедна секунда је трајање 9 192 631 770 периода зрачења које настаје при прелазу

електрона између два хиперфиних нивоа основних стања атома .

4. Јачина електричне струјеСтална електрична струја има вредност један ампер ако, пролазећи у сваком од два

паралелна, равна, бесконачно дуга проводника, занемариво малог пресека, размакнута

један метар у вакууму, проузрокује између њих силу (њутна по једном метру

дужине проводника).

5. Термодинамичка температураЈединица термодинамичке (апсолутне) температуре је келвин . Један келвин

је термодинамичка температура која је једнака 273,16-том делу термодинамичке температуре тројне тачке воде.

6. Јачина светлостиЈединица јачине светлости је кандела . Једна кандела је јачина светлости коју

у одређеном правцу емитује извор светлости у виду монохроматског зрачења

фреквенције Hz и чија израчена снага у том правцу (вата по

стерадијану).

7. Количина супстанце Јединица за количину супстанце је мол . Један мол је количина супстанце

која садржи толико једнаких честица (молекула, атома, јона, електрона и сл.) колико има атома у 0,012 kg изотопа угљика (Авогадров број).

Придружене физичке величине и јединице основним дате су у табели 1.3.

Табела 1.3Назив физичке величине Назив јединице Ознака јединице

угао у равни радијан radпросторни угао стерадијан sr

Један радијан је угао у равни, са врхом у центру кружнице, чији краци на њој омеђују лук дужине једнаке полупречнику кружнице.

= , (1.2)

Слика 1.1: Угао у равни

Стерадијан је једнак просторном углу купе, са врхом у средишту кугле, који на површини те кугле омеђује површину једнаку квадрату полупречника те кугле.

(1.3)

Слика 1.2: Просторни угао

Све остале физичке величине (као што су на пример брзина, сила, енергија, снага, притисак, итд.) сматрају се изведеним. Њихове јединице су, такође, стандардизоване овим споразумом, а могу се изразити преко основних јединица SI система, имајући у виду односе и физикалне законе који повезују ове физичке величине са основним. Употреба оних јединица које нису наведене није дозвољена, а то се регулише и посебним законима земаља које су потписнице овог споразума.

Пример 1

Јединица SI система за притисак (P) је Паскал (Pa) и може се изразити преко основних јединица SI система на следећи начин:

= = (1.4)

Јединице за притисак које нису дозвољене су на пр. Атмосфера, милиметар живиног стуба, итд.

Да би се изразиле много веће или много мање вредности физичких величина од утврђене јединице користимо запис као у примеру 2.

Пример 2= или = (1.5)

Да би изражавање било још једноставније уводе се префикси као у табели 1.4

Табела 1.4Фактор (умножак) Префикс Симбол

фемто fпико pнано n

микро мили mценти cдеци dдека da

хекто hкило kмега Mгига Gтера Tпета P

Постоје јединице чије се коришћење не препоручује, али је њихова употреба уобичајена у појединим областима. Тако, на пример, у ваздухопловном саобраћају, висина (дужина) се изражава у стопама (ft од feet), при чему је 1 = 3,28 , у поморском саобраћају се дужина изражава у морским миљама (1852 ), у метеорологији се ваздушни притисак често изражава у (100 ), у хемији се користи и атомска јединица масе (1 = ), у астрономији светлосна година

(растојање које светлост пређе за једну годину простирући се брзином ) итд.

1.3 Димензионална анализа

Јединица неке физичке величине дефинише и појмовни садржај те величине. Као што је већ речено свака се физикална величина може изразити помоћу два фактора, тј. бројчаном вредношћу и ознаком мерне јединице.

(1.1)

где су: - бројчана вредност и мерна јединица (димензија) физикалне јединице.

У свим исправним физичким једначинама мерне јединице (димензије) леве и десне стране једначине морају бити исте, као и димензије појединих сабирака. Јединце на једној страни једначине морају се подударати са јединицама на другој страни једначине.

Пример 3

Релација за пређени пут код једнако убрзаног кретања је:

је димензионално исправна јер је (1.6)

Димензионална анализа омогућује да се на једноставан начин провери испарвност физичке једначине.

1.4 Скаларне и векторске физичке величине

Физичке величине према својој природи могу се поделити на скаларне, векторске и тензорске. Скаларне величине су оне које су потпуно одређене бројном вредношћу и одговарајућом јединицом. Такве величине су: маса, време, температура, рад итд. Векторске величине су оне које су потпуно одређене њиховом величином, правцем и

смером. Такве величине су: сила, брзина, убрзање итд. Тензорске величине су одређене са три вектора. Такве величине су на пример: тензор инерције, тензор вискозности, тензор деформације и др.

Вектор представљамо са усмереном дужином (у одговарајућој размери) која даје интензитет вектора (бројну вредност), док смер стрелице показује смер вектора. Векторску физикалну величину означавамо малом стрелицом изнад симбола (на пример вектор ), док интензитет вектора (бројну вредност) означавамо само словом без стрелице ( ), а често и овако . Вектор можемо обележавати и великим словима, која означавају почетак и крај вектора (на пример ). Два вектора и су једнаки ако су им исти интензитети, правци и смерови. Вектор има исти интензитет и правац као вектор али супротан смер. Зато је .

Слика 1.3: Физичка величина као вектор

Сабирање вектораЗбир два вектора и опет је вектор :

(1.7)

Графички, векторе можемо сабрати на три начина а како је то приказано на сици 1.4. Прва два начина сабирања базирају се на поступку да да почетак другог вектора паралелном трансформацијом доведемо на крај првог: резултанта је вектор који иде од почетка првог до краја другог вектора. При томе није важно који је први а који други јер је:

Трећи начин сабирања два вектора је помоћу методе паралелограма. Вектори и одређују паралелограм као на слици 1.2. Даијагонала паралелограма је резултантни

вектор .

Слика 1.4: Сабирање два вектора и

Важно је уочити да векторски збир није исто што и алгебарски, јер интензитет вектора није уопштено једнако збиру интензитета и . Интензитет само када су вектори и паралелни или антипаралелни. Иначе је

Сабирање паралелних и антипаралелних вектора приказано је на слици 1.5.

Слика 1.5: Сабирање два паралелна и антипаралелна вектора и

Иначе интензитет резултантног вектора можемо изразити употребом следећег израза (слика 1.4):

(1.8)где је: - угао између вектора и .

Смер резултантног вектора можемо одредити преко угла :

(1.9)

Ако имамо више вектора, графички их сабирамо на исти начин: крај једног доведемо на почетак другог, почетак трећег на крај другог итд. Резултантни вектор је вектор који спаја почетак првог и крај последњег вектора. Тако добијамо векторски полигон (многоугао). При томе редослед сртања вектора није битан (слика 1.6)

Слика 1.6: Сабирање више вектора и Одузимање вектора Одузимање вектора своди се на њихово сабирање. Разлика - двају вектора и

опет је вектор , који настаје сабирањем вектора и вектора . Негативни вектор по интензитету је једнак вектору , колинеаран је са њим, али је супротног смера.

Слика 1.7: Одузимање вектора

Дакле: (1.10)

Да би смо вектор одузели од вектора , почетак оба вектора доводимо у исту тачку: разлика је вектор који иде од краја вектора до краја вектора .

Множење вектора скаларамВектор множи се позитивним скаларом тако да му се интензитет помножи, а

смер остаје исти. При множењу негативним скалараом ( ), смер вектора супротан је смеру вектора .

(1.11)

Слика 1.8: Множење вектора скаларом

Векторски производВекторски проиѕвод два вектора и означава се . То је вектор

усправан на оба вектора.

Слика 1.9: Векторски производ вектора и

Његов смер одређује се правилом десне руке. Прстима руке идемо краћим путем од првог до другог вектора и палац нам одређује смер векторског производа . Интензитет векторског производа једнак је производу интензитета једног и другог вектора и синуса угла међу њима (односно површини паралелограма чије су странице и ):

(1.11)

Слика 1.10: Одређивање смера вектора

За векторски производ не важи закон комутације, тј.:

(1.12)

Скаларни производ

Производ два вектора чији је резултат скаларна величина зове се скаларни производ. Скаларни производ вектора и означава се симболом , а једнак је производу интензитета оба вектора и косинуса угла између њих:

(1.13)

Једначина (1.13) мође се написати и као: (1.14)

је пројекција вектора на вектор , а је пројекција вектора на вектор што је представљено на слици 1.11.

Слика 1.11: Скаларни производ вектора и Дакле. за скаларни производ важи закон комутације, тј.:

(1.15)

1.5 Координатни систем

Сваки вектор можемо приказати као збир два или више вектора који називамо његовим векторским компонентама. То је обрнути поступак од сабирања вектора. Да би растављање на компонете било једнозначно одређено, потребно је познавати правце носиоце компонената, а поред тога, број компонената мора бити једнак димензији простора у којем се вектори налазе.

Најчешће се употребљава систем са три међусобно усправна јединична вектора , и тј. ткз. Dekart-ов правоугли координатни систем као на слици 1.12. У Dekartov-ом координатном систему вектор раставља се на компонете овако:

(1.16)

где су : , , скаларне компонете вектора

Слика 1.12: Вектор у Dekartov-ом правоуглом координатном систему

Како су осе и међусобно усправне, веза између интензитета вектора и његових скаларних компонети је:

(1.17)

Разматрања у техничкој физици често се појављује вектор положаја (радијус вектор) који описује положај тела (тачке) у простору као на слици 1.11:

(1.18)

Скаларне компонете радијуса вектора су x, y и z као на слици 1.13, док му је интензитет:

(1.19)

Слика 1.13: Вектор положаја тела у простору

Разлагање вектора на скаларне компонете у Dekart-ом координатном систему омогућава да се и векторски производ два вектора и ме представити на следећи начин:

(1.20)

где смо узели у обзир да је . Ако се прихвати договор да се користи десни координатни систем тј. да је . и , добија се да је векторски производ једнак:

(1.21)

Векторски производ такође можемо израчунати користећи Sarrus-oво правило:

(1.22)

1.6 Материјална тачка и круто тело

Физичке појаве су комплексне тј. не јављају се изоловано једна од друге, него увек заједно. Под одређеним условима неке од тих појава интензитетом се издвајају од других које се могу сматрати секундарним. Када ће се једна физичка појава јавити као примарна или секундарна зависи од услова под којима се одвија. Проучавање физичких појава се поједностављује уколико се у унапред датим условима анализира једна од њих као примарна, а остале као секундарне, потпуно занемаре. Проучавање се поједностављује увођењем идеализованих модела физичких процеса. На пример, при разматрању кретања материјалног тела секундарни су унутрашњи процеси који се одигравају у њему као комплексном систему па се могу изоставити, а посматрати модел тела који је ослобођен тих секундарних процеса. Из тог разлога се у механици уводе модели материјалног тела под појмовима: материјалне тачке, апсолутног крутог тело, апсолутно еластичног тела итд.

Материјална тачка је модел тела чији се облик и димензије у посматраном разматрању могу занемарити. На пример, при проучавању кретања планета око Сунца оне се могу сматрати као материјалне тачке, чије су масе једнаке масама планета, а чије се димензије могу занемарити у односу на величине растојања између Сунца и одговарајућих планета.

Апсолутно круто тело је модел тела, које ни под каквим условима не мења свој облик и димензије.

Слика 1.14: Апсолутно круто тело

Може се рећи да је апсолутно круто оно тело, код кога је растојање између било које две тачке у њему и на њему константно. Реч је о макроскопским растојањима између уочених делова, која су много већа од међумолекулских растојања.

Механички систем је модел од више материјалних тачака или тела која у општем случају су у интерактивном односу како међусобно тако и са телима из других механичких система. Уколико постоје само међусобне интеракције онда кажемо да је механички систем изолован.

2. Механика материјалне тачке

2.1 Кинематика материјалне тачке

Механика је дeо физике који проучава кретање тела, тј. временску промену положаја тела у простору (нпр. кретање планета, аутомобила, молекула, ...). Механику можемо поделити на кинематику и динамику, а може се односити на механику материјалне тачке, система материјалних тачака, крутог тела, механику флуида и механику кретања таласа.

Кинематика (грч. kinein = осциловати) проучава кретање тела, без обзира на узроке кретања и особина тела која се крећу. Динамика (грч. dynamis = сила) проучава кретање тела узимајући у обзир узроке кретања и особине тела. За разлику од кинематике, динамика даје физикалну основу кретања. Најпре проучимо кретање тела без обзира на узроке кретања.

Глобални циљ механике је доћи до динамичких једначина, чијим се решењем могу добити закони кретања тј. положај, брзина и убрзање у сваком тренутку. При томе се силе сматрају познатим.

Кретање је један од основних проблема физике. Прве законе кретања, које и данас користимо, нашли су Galilei и Newton ( Galileo Galilei, 1564-1642, италијански физичар и анстроном. Isaac Newton , 1643-1727, енглески физичар и математичар).

За тело, у односу на које посматрамо кретање, вежемо тзв. референтни систем те кажемо да се неко тело креће ако мења положај према том референтном систему. Тако на пример путник који седи у возу мирује с обзиром на систем везан за воз, али се креће с обзиром на систем везан за земљу. Свако кретање је релативно кретање према одређеном референтном систему. Мировање је посебан облик кретања. Тело мирује ако има сталне, непромењене координате с обзиром на изабрани референтни систем. Положај тела најчешће одређујемо помоћу координата у правоугаоном координатном систему.

Ако се посматра кретање материјалне тачке, линија коју материјална тачка описује током кретања (скуп узастопних положаја) представља њену путању. Или, путања кретања материјалне тачке је скуп тачака кроз које пролази током свог кретања. Положај материјалне тачке А у простору увек је одређена вектором положаја А . Вектор положаја

је вектор који спаја координатни почетак и посматрану тачку, а усмерена је ка посматраној тачки.

Део путање који тело пређе за време Δt између две тачке (А i В) је пређени пут Δs. Вектор помераја је вектор који спаја почетни и крајњи положај тачке у кретању, тј:

. (2.1)

Слика 2.1: Кретање материјалне тачке

Свако кретање се може сматрати као комбинација транслације и ротације. Транслација је такво кретање где свака права или раван (као скуп тачака апсолутно крутог тела) остаје сама себи паралелна., а код ротације све тачке апсолутно крутог тела се крећу по концентричним круговима чији центри су на истој правој која се назива осом ротације.

Слика 2.2: Транслаторно и ротационо кретање тела

Брзином се карактерише пређени пут у јединици времена. Средња путна брзина је количник пређеног пута и времена кретања.

, (2.2)

Средња векторска брзина тела дефинише се као количник вектора помераја и временског интервала потребног за тај померај:

, (2.3)

Тренутна брзина (брзина покретне материјалне тачке у тренутку t) је средња векторска брзина у бесконачно малом интервалу времена, тј.:

(2.4)

Вектор тренутне брзине има правац тангенте на путању.

Интензитет тренутне брзине се, на основу чињенице да је дужина помераја једнака пређеном путу за Δt→0, дефинише као:

(2.5)

Основна мерна јединица за брзину је метар по секунди, .

Вектор брзине се може пројектовати на све три осе Dekart-овог правоуглог координатног система користећи координате вектора помераја у том систему:

, , (2.6)

Интензитет вектора тренутне брзине је дат као квадратни корен збира квадрата свих компонената брзине.

(2.7)

Убрзање је величина која карактерише промену брзине у јединици времена. Средње убрзање је количник промене брзине и временског интервала у току којег је та промена начињена.

(2.8)

Слика 2.3: Средње убрзање

Тренутно убрзање је гранична вредност средњег убрзања када временски интервал Δt→0. Вектор убрзања има правац вектора промене брзине .

(2.9)

Слика 2.4: Средње убрзање

Вектор убрзања неког тела може описати промене у интензитету брзине којом се тело креће по путањи, промене правца и смера кретања или обе ове промене истовремено. Важно је нагласити да нас паралелна компонента убрзања обавештава о промени интензитета брзине кретања по датој путањи, а нормална компонента убрзања нас обавештава о промени правца и смера кретања тела по путањи.

Слика 2.5: Компонете вектора убрзања

Специјалан случај је када је интензитет вектора брзине константан дуж криве путање кретања ( ). Тада је вектор убрзања увек нормалан на правац кретања (слика 2.6).

Слика 2.6: Убрзање за случај константног интензитеау вектора брзине дуж путање кретања

Интензитет убрзања може бити позитиван или негативан. Интензитет убрзања је позитиван када интензитет брзине расте дуж путање кретања. У том случају вектор убрзања је испред нормале на правац кретања (2.7а). Интензитет убрзања је негативан (ткз. успорење) када интензитет брзине опада дуж путање кретања. У овом случају вектор убрзања је иза нормале на правац кретања (2.7б)

а) б)

Слика 2.7: Убрзање за случај када се интензитет мења дуж путање кретања

Код сваког кретања тела по кривој линији, у свакој тачки путање можемо одредити векторе компоненте убрзања . То су вектор тангенцијалног убрзања који је истог правца и смера као и вектор тренутне брзине у тој тачки и вектор нормалног убрзања чији се правац поклапа са правцем нормале на тангенту у датој тачки, а смер је увек ка центру дате кривине.

Нормално убрзање је једнако нули само код праволиниског кретања и увек постоји код криволиниског кретања.

2.2 Праволинијско кретање – једнако убрзано и равномерно (једнолико) праволиниско кретање

Нека се материјална тачка креће по правцу, и узмимо да је то правац x осе у Dekart-овом правоуглом координатном систему. Нека је у почетном тренутку (t=0) њена брзина

, а њена координата x0. Одредимо брзину тачке у тренутку t:

(2.10)

На сличан начин можемо одредити положај материјалне тачке:

(2.11)

Кретање по правој линији при којем је убрзање константно је једнако-убрзано праволинијско кретање. Убрзање може бити позитивно или негативно (равномерно убрзано или равномерно успорено ). При овом кретању у изразу (2.10), убрзање може да „изађе“ испред интеграла, па добијамо:

(2.12)

Заменом израза (2.12) у (2.11) добија се:

(2.13)

Специјално, ако се кретање врши у једном правцу и једном смеру (нпр. у

позитивном правцу x осе) и ако се у почетном тренутку тачка налазила у координатном почетку, а почетна брзина јој је била , тада је померај ( ) једнак пређеном путу ( ) и из горњих добијамо добро познате изразе:

(2.14)

(2.15)

Слика 2.8: Праволиниско кретање тела (материјалне тачке)

Временска промена брзине и пређеног пута може се приказати и графички као на слици 2.9а и 2.9 б.

а) б)

Слика 2.9: Убрзање за случај када се интензитет мења дуж путање кретања

Веза брзине и пређеног пута дата је следећим изразом: (2.16)

Средња брзина код једнако-убрзаног праволинијског кретања је:

(2.17)

Специјалан случај кретања у простору представља и равномерно праволиниско кретање. Равномерно кретање представља кретање при којем је односно .То значи да када се тачка (тело) креће по правој линији ( у правцу x осе) и у само једном смеру (нека је то позитиван смер x осе) и када кретање почиње из тачке x0 = 0, и одвија се без убрзања, смемо да напишемо познате изразе:

(2.18)

(2.19)

2.3 Равномерно (једнолико) кружно кретање

Када вектор убрзања материјалне тачке нема исти правац као вектор брзине, већ са брзином затвара угао различит од нуле, материјална тачка ће се увек кретати по некој кривој линији. Најједноставније криволинијско кретање јесте кружно кретање.

Кретање материјалне тачке по кружници је кретање у равни. Нека кружница лежи у равни Dekart-овог координатног система као на слици 2.10. Положај материјалне

тачке на кружници може се описати Dekart-овим координатама и . или поларним координатама и . Како је путања кружница, интензитет радијуса вектора положаја је константан, те се при кретању мења само угао у равни .

Слика 2.10: Кружница у Dekart-овом координатном систему

Положај материјалне тачке у произвољном тренутку кретања у Dekart-овом координатном систему је описан са следеће две једначине:

(2.20)

Угао у равни се обично изражава у радијанима и једнак је односу лука и полупречника :

(2.21)

Пуни угао има радијана, тако да је:

(2.22)

Из релације (2.21) следи израз за пређени пут: (2.23)

Први извод пута по времену, одређује ткз. обимну брзина :

(2.24)

где је: - угаона брзина. Јединица за угаону брзину је или , будући да се

допунска јединица често и не пише.

Угаона брзина је вектор; њен интензитет је изражен изразом (2.24) док јој је по дефиницији смер на правцу осе ротације и одређен је правилом десне руке. Ако прсти десне руке следе материјалну тачку, палац показује смер вектора .

Правац кретања угаоне брзине увек је нормалан на раван кружења. Обимна брзина увек је нормална и на вектор и на вектор као на слици 2.11.

Слика 2.11: Вектор угаоне брзине при кружном кретању

Угао између вектора положаја и вектора тренутне обимне брзине је увек па

је . Због тога се израз (2.24) може векторски написати као:

(2.25)

Равномерно (једнолико) кружно кретање је кружење са константним интензитетом угаоне брзине, тј.:

(2.26)

Интегрирањем израза (2.26) добија се линеарна зависност угла од времена, тј.: (2.27)

где је: угао у тренутку .

За описивање равномерног кружног кретања корисно је дефинисати фреквенцију и време потребно за један пун круг (период). Очито је да за равномерно кружно кретање:

, (2.28)

Равномерно кружно кретање је заправо убрзано кретање, јер се при њему стално мења смер обимне брзине, као на слици 2.12, иако јој интензитет остаје константан.

Интензитет промене брзине не мења се и једнак је . Поделимо ли обе стране ове релације са уз гранични услов , добијамо интензитет вектора убрзања који мења смер брзине.

(2.29)

Уво убрзање има смер према центру кружнице и, због тога, зовемо радијално (нормално) или центрипетално убрзање.

Слика 2.12: Равномерно кружно кретање

Ако са означимо јединични радијус вектор усмерен према центру кружнице, израз (2.29) за радијално убрзање можемо писати векторски:

(2.30)

где смо различите облике за радијално убрзање добили комбинацијом израза (2.24) и (2.29).

2.4 Неједнолико кружно кретање

При неједноликом кружном кретању интензитет обимне брзине није више константан већ се мења са временом. Због тога је укупно убрзање састављено од радијалног убрзања и тангенционалног убрзања . Радијална је компонета укупно убрзање у супротном смеру од вектора положаја односно (тј. ка центру кружнице), док је тангенцијално убрзање компонета убрзања у смеру тангете.

Тангенцијајално убрзање настаје због промене интензитета обимне брзине:

(2.31)

где је:

(2.32)

угаоно убрзање. Јединица угаоног убрзања је (rad s-2). Ако угаоно убрзање дефинишемо као вектор чији је интензитет одређен изразом (2.31), док је смер усправан на раван кружења, тада израз (2.31) можемо написати и у векторском облику:

(2.33)

При једноликом кретању по кружници , односно те је и тангенцијално убрyање нула. То је и разумљиво с обзиром да се при таквом кретању брзина материјалне тачке мења само по смеру, док је интензитет брине константан. При неједноликом кретању постоји и радијално и тангенцијално убрзање. Прво од њих има смер дакле према центру кружнице, док је друго у смеру тангенте, а једно у односу на друго су усправна. Укупно убрзање добијамо ако векторски саберемо ова два убрзања:

(2.34)

Посебан случај неједноликог кружног кретања је кретање са константним угаоним убрзањем ( ) и да је у тренутку , угао , а . Интегрирајући израз

добијамо:

односно (2.35)

Даљим интегрирањем израза (2.35) написаног у облику добијамо израз за угао:

,

односно

(2.36)

Ови изрази аналогни су изразима за праволиниско кретање. Таблица 2.1 показује формалну аналогију између израза за праволиниско и кружно кретање. Ако се у изразе код праволиниског кретања уместо , и уврсти , и добијају се изрази за кружно краетање.

Табела1: Аналогија израза праволиниског и кружног кретања материјалне тачкеПраволиниско кретање Кружно кретање

3. Динамика материјалне тачке3.1 Увод

У кинематици смо проучавали законе кретања без обзира на узроке који су то кретање произвели. Сада ћемо проучити динамику која разматра физичке узроке кретања. Основе динамике су три Newton-ова закона, које је још 1686. г. формулисао енглески физичар Isac Newton. Из тих закона играђена је ткз. класична или Newton-ова механика.

Newton-ова механика изврсно описује макроскопске појаве, дакле тела димензија већих од атома и молекула, те брзине много мање од брзине светлости. За описивање микросвета (атома и молекула) морају се применити закони квантне механике, а за велике

брзине употребљавају се закони релативистичке механике (Einstein-ова теорија релативности).

Основне физичке величине динамике су сила и маса. Из свакодневног живота знамо шта је сила: када гурамо или вучемо неки предмет, када истежемо еластичну опругу, кажемо да делујемо силом.

У физици силу описујемо помоћу њеног деловања. Ако једно тело доводи у кретање друго тело, онда се ово прво понаша као узрок за кретање другог тела, односно ова два тела међусобно делују. Физичка величина којом се мере интеракције између два или више тела назива се сила. Деловање силе може бити двојако:

сила може убрзати или успорити неко тело, тј. променити му стање кретања. сила може променити облик тела (деформација).

У динамици се проучава само прво деловање сила, тј. сила као узрок промене стања кретања неког тела. Друго деловање силе, деформацију тела, можемо употребити за мерење силе. Један од најједноставнијих начина мерења силе је помоћу динамометра. То је еластична опруга једним крајем учвршћена на врху под дејством силе. Што је већа сила која делује на динамометар то ће се опруга више издужити, мерећи издужење може се мерити сила. Издужење опруге под утицајем спољашње силе линеарно је у границама еластичности опруге и може се приказати изразом;

(3.1)

где је: сила која делује на опругу, издужење опруге, а је ткз. константа опруге.

Данас је познато да постоје четри основна типа међуделовања међу честицама (молекулама, атомима и елементарним честицама). То су гравитациона сила, електромагнетна сила, сила слабе интеракције и сила јаке интеракције.

Гравитациона сила делује између тела по Newton-овом закону гравитације:

(3.2)

где су: и масе тела које међуделују а , растојање између центара маса тих тела,

гравитациона константа, јединични вектор. Интензитет

гравитационих сила сразмеран је масама тела, а опада са квадратом растојања између њих. Услед тога, ове силе долазе до изражаја код тела великих маса, као што су небеска тела, и делују на великим растојањима.

Слика 3.1: Newton-ов закон грравитације

Маса и средњи полупречник Земље износе: kg i m.

Електромагнетне силе потичу услед међуделовања наелектрисаних тела. Уколико су наелектрисања у релативном мировању, интеракција је изражена Coulombo-вом силом ( Charles Augustin Coulomb, 1736-1806, француски физичар)

(3.3)

где су: и наелектрисања а , растојање између центара тих наелектрисања,

дијалектрична константа вакума, јединични вектор.

Слика 3.2: Coulombo-ва сила

Електрони као слободни носиоци наелектрисања некога тела , имају масу од и наелектрисани су количином електрицитета од .

Уколико се неко наелектрисање са количином наелектрисања креће у магнетном пољу , на њега делује магнетна сила :

(3.4)где је: брзина наелектрисања, количина наелектрисања а магнетна индукција.

Слика 3.3: Сила на наелектрисање у кретању у хомогеном магнетном пољу

Ако осим магнетног, на наелектрисање делује електрично поље , укупна електромагнетна (Lorentz-ova) сила је векторски збир електричне и магнетне силе:

(3.5)

Међуделовање између молекула, атома као и силе унутар атома су електромагнетне природе, које долазе до изражаја на релативно малим растојањима. Интензитет електромагнетне интеракције је много пута већи од интензитета гравитационе.

Нуклеарне силе делује између честица атомског језгра без обзира на њихово наелектрисање. Нуклеарне силе делују на малим растојањима, око и великог су интензитета, већег и од електромагнетног.

Маса је особина сваког тела која одређује његово понашање при деловању силе: што је маса тела већа оно је тромије (инертније), те га је теже убрзати или успорити, тј. променити му стање кретања. Маса је мера тромости (инерције) тела. Квантитативна мера за инерцију представља физичку величину која се зове маса. Ова физичка величина одређује инертна и гравитациона својства тела.

На основу горњег закључка, маса се не може дефинисати као количина материје, јер је материја уопштенији појам од масе. Маса се не може сматрати ни као количина материје, јер свака материја поседује велики број различитих особина, а инерција је само једна од њих. Према томе под појмом масе треба подразумевати меру тромости тела.

3.2 Први Newton- ov закон (аксиом)

Још је Galilei уочио да тело на које не делују спољашње силе остаје у стању мировања или се креће равномерно по правцу.

Да покренемо тело које мирује потребна је одређена сила; такође, тело које се креће равномерно по правцу остаће у том стању кретања све док на њега не делује нека спољашња сила. (Куглица на хоризонталној равни без трења кретаће се бесконачно дуго равномерно чим је једном ставимо у покрет).

Особина тела да одржава своје стање кретања зовемо тромост или инерција.

Проучавајући Galilei-ева разматрања, 1687. г. Newton je у свом делу “Математички закони природних наука“ („Philosophiac naturalis principia mathematica“) објавио свој први закон (аксиом).

Свако ће тело остати у стању мировања или равномерног (једноликог) кретања по правцу све док под дејством спољашњих сила то стање не промени.

Први Newton-ов закон се често зове и закон тромости или инерције.

Положај тела одређујемо с обзиром на неко друго тело (околину) избором референтног система. Први Newton-ов закон не важи у сваком референтном систему. Тако на пример куглица која мирује на столу у возу који се креће равномерно по правцу покренути ће се чим воз закочи или убрза и ако на њу околина не делује (збир свих сила које делују на куглицу једнак је нули).

Системи у којима важи први Newton-ов закон су ткз. инерцијални системи; прихватањем овог закона ограничавамо се на описивање појава у инерцијалном систему.

Постојање инерцијалних система потврђено је и експериментално, тако на пример, из астрономских изучавања установљена је инертност Сунчевог система. Односно, Сунчев систем се креће по инерцији ка центру наше Галаксије.

Сваки систем који мирује или се креће равномерно по правцу с обзиром мна неки инерцијални систем опет је инерцијални систем. Тело које у једном инерцијалном систему мирује у другом инерцијалном систему може мировати или се кретати равномерно по правцу.

3.3 Други Newton- ov закон (аксиом)

Први закон описује понашање тачкастог тела када на њега не делују друга тела или када је резултантна сила нула. Други закон описује како се понаша тело када на њега делује одређена спољашња сила .

Из искуства је познато, а и бројна истраживања потврђују, да је убрзање тела пропорционално сили и има смер силе. Константа пропорционалности између силе и убрзања је маса тела :

(3.6)

Маса је мера за инерцију (тромост) тела: што је маса тела већа, то је за исто убрзање потребна већа сила. Маса која се појављује у изразу (3.6) назива се, управо због те особине, инерцијалном масом тела. Ова веза између силе, масе и убрзања називамо други Newton-ов закон у нерелативистичком облику или једначином кретања. Написан у овом облику други Newton-ов закон важи за брзине много мање од брзине светлости и зато се зове нерелативистички. Јединица за силу је:

Јединица за силу је дакле нјутн . 1 је сила која телу масе 1 даје убрзање

од 1 .

Да би се уопштено формулисали други Newton-ов закон, потребно је дефинисати количину кретања тела (импулс). То је векторска величина једнака производу масе и брзине:

(3.7)

Newton-ова формулација другог закона, преведена на данашњи језик физике, гласи:Брзина промене количине кретања пропорционална је сили и догађа се у правцу те силе:

(3.8)

Овако написан други Newton-ов закон важи и за велике брзине (упоредиве са брзином светлости); зато се израз (3.8) често зове релативистички облик другог Newton-овог закона. Формулација (3.8) прелази у (3.6) за случај када су брзине тела мале у односу на брзину светлости ( ). У том случају маса тела је константна, те је:

(3.9)

Ова једначина представља диференцијалну једначину кретања тела, у којој је резултанта свих интеракција тела масе са свим другим телима, а убрзање тела у односу на неки инерцијални систем.

Први и други Newton-ов закон су независни јер је први карактерише особине тела, а други карактерише кретање тела под дејством силе. За случај на основу израза (3.9)

има се да је одакле следи уз предпоставку да је функција одређена у

интервалу у којем је . Односно, ова чињеница даје сагласност оба Newton-ова закона, а не њихову зависност.

Једначина (3.9) представља други Newton-ов закон у векторском облику. Одговарајуће скаларне једначине добијају се множењем једначине (3.9) са јединичним векторима координатних оса и .

(3.10)

Маса и тежина. Тежина тела је сила којом тело делује на хоризонталну подлогу или на тачку вешања ако је обешено. Тежина тела проузрокована силом теже, усмерена је вертикално према доле и износи:

(3.11)

где је , убрзање силе земљине теже.

Slika 3.4: Тежина тела

Убрзање неког тела у близини површине Земље добија се непосредно из Newton-овог закона гравитације јер је:

(3.12)

где су: и – маса и средњи полупречник Земље, а

гравитациона константа.

3.4 Трећи Newton- ov закон (аксиом)

У првом и другом Newton-овом закону говори се о сили или силама које делују на одређено тело, не водећи рачуна о изворима тих сисла. Пошто сила у крајњем случају карактерише интеракцију два тела, њихова улога при интеракцији се дефинише трећим Newton-овим законом који гласи:

Сваком деловању (акцији) увек је супротно и једнако противделовање (реакција). Деловања два тела једно на друго увек су једнака и супротног су смера.

Трећи Newton-ов закон као и прва два произилази из уопштавања експерименталних чињеница. Например, ако тело А (Земља) масе делује на тело В (камен) масе , силом

(слика 3.5), онда ће и тело В деловати на тело А силом . Ове силе су једнаке по интензитету и правцу, а супротне по смеру, па се може написати:

(3.13)

Слика 3.5: Трећи Newton-ов закон

Једна од ових сила , рецимо, зове се акција и њена нападна тачка је у телу В

(камену) , односно сила напада тело В. Друга сила тј. зове се реакција, њена нападна тачка је у телу А (Земљи) коју напада. Коју, од споменутих сила, ћемо назвати акцијом а коју реакцијом са физичког становиштва је сасвим свеједно, јер су обе биле исте природе. Под деловањем сила и тело В и тело А могу променити стање кретања (динамичко деловање силе) или пак извршити деформацију свог облика (статичко деловање сила).

Караљктеристике кретања тела под деловањем силе одређене су другим Newton-овим законом по којем, у нашем примеру, тела добијају убрзања:

и

дакле према једначини (3.13) добијамо: или

односно

(3.14)

Дакле, оба тела мењају стање кретања (добијају убрзање) због узајамног деловања, само је та промена, према једначини (3.14) обрнуто пропорционална маси тела.

У нашем примеру, маса камена је занемарљиво мала у односу на масу земље, па је услед тога његово убрзање врло уочљиво сваком посматрачу. С друге стране, промена

кртетања Земље условљена међуделовањем са каменом занемарљиво је мала због па

се не може регистровати никаквим инструментом, мада у стварности постоји.

Трећи Newton-ов закон може се илустровати и преко сила два тела у непосредном додиру. На пример, ако на сто ставимо тег (слика 3.6), тег ће деловати на сто силом чији

је правац вертикалан, а смер на ниже (ка центру Земље). Нападна тачка силе ће се налазити на столу. Са друге стране, сто ће деловати на тег силом чији је правац и

интензитет исти као код силе само супротног смера. Нападна тачка силе налази се на тегу. На основу трећег Newton-овог закона за овај пример можемо написати:

(3.15)

Слика 3.6: Тег на столу

Једначина (3.15) не представља услов деловања две једнаке силе на једно тело, јер ове силе делују на различита тела (сто и тег), па се сила по телу појединачно разликује од нуле. Према томе трећи Newton-ов закон изражава једнакост сила које делују на различита и усамљена тела, па се свако од њих налази под дејством само једне силе, која му саопштава убрзање према релацији (3.14). Знак минус у једначини (3.14) означава да су убрзања тела истог правца али супротног смера.

Поред силе реакције, два тела у додиру могу деловати и силом трења која има орјентацију тангенцијално додирним површинама. Ако неко тело вучемо по некој подлози осетићемо силу трења која делује супротно сили којом вучемо посматрано тело. Можемо разликовати трење између чврстих тела и флуида (течности и гасова када говоримо о вискозности). Овде ћемо увести само трење које се догађа између чврстих тела која су у додирују.

Трење као појава је незаобилазна у нашим животима. С једне стране настоји се остварити што је могуће мања сила трења између неких подлога (нпр. између покретних делова погонских мотора), док се у неким другим случајевима тежи постизању великих износа сила трења (нпр. код гума аутомобила, спортске обуће).

Сила трења при клизању

Механизам трења два чврста тела може се објаснити врло једноставним огледима. Проучавањем крутог тела масе m који мирује на хоризонталној подлози показат ћемо елементарна сазнања о трењу .

Слика 3.7: Сила на телу тежине када на њега делује и сила трења

Нека на неко тело масе делује још и хоризонтална сила која расте од нула па до неке вредности која је довољна да помери блок из стања мировања. Ослобођено тело са одговарајућим силама је приказано на слици 3.7. Сила трења усмерена је у супротном смеру од вучне силе супростављајући се тако кретању тела. Осим тога на тело делује и нормална сила која је у нашем примеру једнака .

На слици 3.8 приказана је зависност интензитета силе трења од интензитета укупне вучне силе која делује на тело.

Статички услови Кинематички услови

Слика 3.8: Интензитет силе трења Ftr у зависности од интензитета хоризонталне силе

У овом огледу уочава се да тело мирује све док интензитет силе којом делујемо на то тело не постане довољно велики да савлада отпор, тј. ту силу трења. Тиме закључујемо како сила трења, док тело мирује, мења своју вредност у складу с укупном силом на то тело. Кад се тело покрене, можемо уочити како је, за одржавање једноликог кретања тог тела, потребна сила нешто мањег износа него што је била у самом тренутку покретања. Због тога је потребно разликовати силу трења у статичким условима од силе трења у кинематичким условима

Максимални интензитет Ftr,s,max који може имати сила трења, а када започиње равномерно кретање тела (тј. клизање блока по подлози) одређен је ткз. Coulomb-овим

законом. По овом закону максимални интензитет Ftr,s,маx једнак је производу статичког кеофицијента трења и интензитета вертикалне компоненте силе подлоге :

. (3.16)

За тела у клизању, тј. у кинематичким условима, сила трења је једнака производу кинематичког коефицијента трења и интензитета силе притиска подлоге :

. (3.17)

За тела у квази клизању, смер силе трења је супротан смеру кретања тела, а за тела у мировању супротан смеру вектора збира свих осталих сила на то тело.

Коефицијенти трења и су бездимензионални и одређују се експериментално. Њихове вредности зависе о особина додирних површина посматраног тела и подлоге коју додирује (врсте материјала додирних површина, степену храпавости, брзини кретања, површинском притиску и сл.). Оуопштено, кинематички коефицијент трења није већи од статичког

(3.18)Вредности статичког коефицијента трења дате су у Табели 3.1.

Табела 3.1Материјал у додиру Суво Подмазано

Челик-челик 0,15 0,10

Метал -дрво 0,6-0,5 0,10Дрво-дрво 0,65 0,2

Гумени пнеуматик-асвалт 0,90 -

Узрок настанку отпора трења тумачи се постојањем удубљења и исупчења у додирним површинама између кинематицког пара, а како то показује слика 3.9. Додирне површине тела и подлоге имају одређену храпавост која се може приказати као на следећој слици.

Слика 3.9: Реалан изглед додирних површина два храпава тела

Из такве је геометријске везе два тела очигледно је да ће се при захвату између удубљења и исупчења појавити отпор клизању једног тела по другом. Отпор ће бити већи што су те удубљења и исупчења већа и што их је већи број, о чему нам говоре већ наведени закључци о величини силе трења.

Сила трења при котрљању

Трење котрљања је отпор који се појављује при котрљању кружних плоча, точкова или ваљака. У овом случају трење се јавља зато што се један део спољашње силе које делује на тело при котрљању троши на његово одвајање од подлоге, док се док се други део троши на приљубљивање тела на подлогу.

Точак полупречника r и тежине који се котрља под деством вучне силе приказан је слици 3.10.

Слика 3.10: Сила трења при котрљању точкаСила трења је истог правца али супротног смера од спољашње силе , а њен

интензитет одређен је из једначине равнотеже моментата сила и износи:, , ,

, ,

(3.19)

где је:

- фактор трења котрљања и представља однос силе отпора котрљању и тежине тела.

У том смислу сличан је статичком и кинематичком коефицијенту трења; r – полупречник точка.а- крак момента котрљања.

Величина а зависи од бројних чинилаца које је врло тешко одредити, тако да потпуна теорија о отпору котрљања не постоји у децидираном облику. Та је удаљеност између осталог и функција еластичних и пластичних особина спрегнутих чланова.

Закони које је формулисао Newton представља уопштавање искуствених чињеница које су биле познате пре њега. Newton-ова заслуга је у томе што је он показао да се сва механичка кретања могу описати помоћу споменута три закона, узетих као основа механике, па се често та механика зове Newton-ова механика.

3.5 Диференцијална једначина кретања

Први и други Newton-ов закон одређују односе између кинематичке величине убрзања и динамичких величина, масе тела и резултантне силе која делује на њега, тј.:

(3.20)

Овој векторској једначини одговарају три скаларне једначине у правоуглом координатном систему:

(3.21)

Из експерименталних проучавања деловања неке силе на одређено тело, масе , релевантног вектора положаја и брзине , установљено је да у општем случају силе интеракције два тела зависе од релативног положаја и брзине оба тела, по неком одређеном закону, који се може изразити математичком функцијом облика:

(3.22)

С обзиром на једначину (3.22) други Newton-ов закон можемо изразити у облику:

(3.23)

или

(3.24)

Ако су познати: резултантна сила која делује на тело и његов почетни положај и брзина (почетни услови), онда се задатак динамике састоји у одређивању кртетања тела под дејством поменуте силе.

3.5.1 Праволиниско кретање материјалне тачке под дејством константне силе

Ако се материјална тачка креће дуж једног правца, каже се да је кретање праволиниско. То може да буде и једна од оса правоуглог координатног система, на пример - оса. Диференцијална једначина праволиниског кретања материјалне тачке по - оси, на основу једначине (3.24) је:

(3.25)

Код овог кретања, сила и почетни параметри и морају имати сталан правац, и то - осе.

Као пример оваког кретања узмимо слободни пад материјалне тачке или вертикалан хитац у вакууму под деловањем силе теже, која се може сматрати да је

константна на малим растојањима у односу на полупречник Земље. Компонете силе теже према слици 3.11 су: , .

Слика 3.11: Праволиниско кретање под дејством константне силе

Диференцијална једначина кретања у овом случају према (3.25) је:

(3.26)

одакле,

Интегрирањем добијамо:

(3.27)

где је интеграциона константа која се одређује из почетних услова кретања. Поновним интегрирањем добијамо:

(3.28)

г де је: нова интеграциона константа.

Једначина (3.28) је опште решење диференцијалне једначине кретања материјалне тачке под деловањем силе теже. Према величини почетне брзине разликују се три случаја овог праволиниског кретања: слободни пад, хитац увис и хитац на доле.

Слободни пад. При слободном паду материјална тачка почиње кретање без почетне брзине, тј. за , и . За ове почетне услове добијамо да је:

и па имамо.

и , , (3.29)

односно (3.30)

Хитац увис се добија из једначине (3.24) при почетним условима: за , и . За ове почетне услове добијамо да је: и па имамо:

и

, , (3.31)

Хитац надоле. Код хица надоле материјална тачка полази из тачке А почетном брзином усмереном надоле, у смеру осе - . За ове почетне услове, , и

добијамо да је: и . Брзина и пређени пут код хица надоле може се изразити као:

и

, , (3.32)

3.5.2 Стрма раван

Стрма раван је свака раван која формира оштар угао са хоризонталном равни. Посматрајмо возило тежине на стрмој равни као на слици 3.12.

Слика 3.12: Стрма раван

Тежину можемо разложити на две компоненте: једну нормалну на стрму раван (правац пута), , а другу паралелну са њим, . Угао између силе и и угао стрме равни су једнаки као углови са нормалним крацима. ( делује нормално на земљу а је по предпоставци, нормално на пут). Сила делује као сила отпора јер се противи кретању на путу s уз стрму раван, а сила је сила која притиска подлогу. Са слике 3.12 очигледно је:

(3.33)

Наравно, је мање од па је и мање од . Адхезиона железничка вуча врши се на пругама на којима успон износи до 28 ‰ што одговара углу . За тако мале углове можемо писати да је:

па је: (3.34)

где је: i- успон у [‰].

Ако се маса узме у [t], а успон у [‰] онда се сила отпора кретања уз стрму раван добија у [N].3.5.3 Динамика ротационог кретања

Према првом Newton-овом закону, ако на тело не делује сила, оно мирује или се једнолико креће по правцу. Да би се тело кретало криволиниски, односно у нашем случају по кружници, на њега мора дјеловати сила која ће му мењати смер вектора обимне брзине, односно давати му радијално или центрипетално убрзање. Радијално или центрипетално убрзање тело добије када сила дјелује под правим углом на вектор угаоне брзине:

(3.35)

Сила која мења смер брзине и усмерена је према средишту закривљености (при кружењу према средишту кружнице), зове се центрипетална или радијална сила. Овде су: m - маса тела, v - обимна брзина, - угаона брзина.

При неједноликом кружном кретању осим центрипеталне силе, која мења смер брзине, делује и тангенцијална (центрифугална) сила која мења интензитет вектора обимне брзине, па је укупна сила њихов векторски збир.

Слика 3.13: Ротационо променљиво кретање

Центрифугална сила одређена је следећим изразом: (3.36)

Укупна сила је:

(3.37)

Центрипетална сила није нова врста силе него посебан назив за сваку силу која мења смер брзине и чини да се тело креће по криволиниској путањи.

Центрипетална сила може бити различите природе у зависности од тога шта проузрокује кретање по кружници на пример када вртимо неки предмет на ужету, центрипетална сила је резултанта између силе теже и силе затезања ужета.

Приликом проласка железничког возила кроз кривину на њега делује

центрипетална сила која у одређеним условима може довести и

до превртања возила. Зато се колосек у кривини гради тако да спољашња шина буде на већој висини од унутрашње или, како се то каже, са надвишењем h.

Пролазак кроз кривину ће бити стабилан, а то значи и безбедан, ако се пролазак кроз кривину не разликује од проласка колосеком у правцу. То значи да резултантна сила, која делује на возило у вертикалној равни, треба да делује под правим углом у односу на раван у којој се колосек налази. Тада ће резултантна сила бити уравнотежена отпором подлоге. Ситуацију илуструје следећа слика.

hd

Fд FR

Fcp

Слика 3.13: Деловање центрипеталне силе на железничко возило при проласку кроз кривину

На основу слике очигледно је:

,

(3.38)

где су:- интензитет вектора центрипеталне силе,

- интезитет силе земљине теже,- надвишење шине у кривини,- размак између оса глава шина (1435мм)

Пошто су углови мали то се може писати:

(3.39)

У пракси се уз овај израз решавају два проблема:- ако је пруга већ изграђена, онда је за дати полупречник кривине r и надвишење h

може израчунати равнотежна брзина v, или- ако ће се пруга тек градити, онда се за одређену брзину v и уз одређени

полупречник кривине r може израчунати потребно надвишење h.

Превртање железничког возила може настати када резултантна сила не пролази кроз центар масе осовине возила или није управна на раван колосека. Ако се то догоди, јавља се спрег силе земљине теже и реакције шине на возило који може довести до превртања возила.

4. ЗАКОНИ ОЧУВАЊА У ПРИРОДИ

4.1. Увод

Из досадажњег излагања видели смо како се одређују једначине кретања применом Newton-ових закона (аксиома). Силе међуделовања су врло сложене функције: положаја, брзине и времена па је могућност решавања једначина кретања ограничена, чак и за оне случајеве кретања кад су њихове аналитичке функције познате. С друге стране, за природне појаве, за које су непознате функције сила, на основу Newton-oвих закона, не могу се добити било какве информације. Поставља се питање: да ли се кретање материјалне тачке може одређивати на основу других природних закона? Једну од таквих могућности дају закони о очувању енергије и количине кретања.

У природи постоји неколико закона одржања, неки су од њих тачни, а неки приближни. Закони очувања су обично последица одређене темељне симетрије свемира. Постоје закони очувања који се односе на енергију, количине кретања, момента количине кретања и различите друге величине.

Закони очувања имају низ предности у односу на Newton-ове zakona, који имају ограничену важност. Споменимо неке од тих предности:

1. Закони очувања не зависе од облика путање, нити од карактеристика сила које дјелују у неком природном процесу, па је због тога, из њих могуће добити уопштени и прецизнији закључак о том процесу, него из диференцијалних једначина кретања. На пример, на основу закона о одржању енергије сазнајемо да је немогуће направити "перпетуум мобиле".

2. Пошто закони очувања не зависе од карактеристика сила, они се могу применити и на оне природне појаве чије силе нису познате. На пример у физици елементарних честица. Дакле, закон очувања установљава да нека физичка величина у једном моменту и једном положају мора бити једнака вредности те величине у другом моменту и положају. Шта се одиграва између тих тренутака? Како је текао процес? На основу закона очувања не може се добити одговор. Уколико је тај одговор неопходан морамо се упутити на једначине кретања.

3. Закони очувања су инваријантни на трансформације координата па се најчешће примењују за објашњење новооткривених природних појава. И кад су силе потпуно познате, закони очувања могу нам увелико помоћи при решавању кретања материјалне тачке. Најпре употријебимо одговарајуће законе очувања, један по један, а тек након тога, ако је остало нешто нерешено, прилазимо решавању диференцијалних једначина, варијационих поступака, компјутера итд.

На основу изложеног може се закључити да се механика може поставити и другачије него што је то учинио Newton. Постоји аналитичка механика у којој основну

улогу играју физикалне величине енергија и количина кретања. Таква је на пример механика Hamiltona и Lagrangea.

После сазнања о ограничености Newton-ове механике и предностима аналитичке механике, која почива на законима одржања енергије и количине кретања, питање је зашто се не користимо овом другом која је уопштенија. Постоји више разлога. Појмови енергије и количине кретања су сложенији од појмова силе и убрзања, а такође и математички апарат је сложенији од апарата у Newton-овој векторској механици.

4.2. РАД, СНАГА И ЕНЕРГИЈА

4.2.1. Рад силе

Померање материјалне тачке по неком путу под деловањем силе у механици се назива радом. Рад силе се одређује скаларним производом силе и растојања по коме се померала материјална тачка. Ако је сила временски непроменљива дуж праволиниског пута и делује под углом има се да је:

(4.1)

Слика 4.1: Дефиниција рада са сталном силом под неким углом

Рад је скаларна величина која може бити позитивна или негативна (слика 4.1):

- Кад је , рад је позитиван.

- За , рад је 0.

- Кад је , рад је негативан.

На пример:- при једноликом кружном кретању центрипетална сила је стално нормална на пут и не обавља се никакав рад- смер силе трења је супротан смеру кретања па је рад силе трења негативан.- при слободном паду тела гравитациона сила је у смеру кретања па је рад гравитационе силе позитиван.

Уколико је сила променљива и зависи од растојања , а померање се врши дуж произвољне криве, онда се укупни рад силе у првој апроксимацији може изразити као збир елементамих радова учињених на коначном броју праволиниских делова , на које је подељен вектор помераја :

(4.2)

где је - пројекција силе на тангенту путање на i-том подeоку померања , а n - број тих подeока.

Пројекција силе на тангенту путање Fsi није на читавом путу константна већ је функција пута s и може се графички приказати као на следећој слици.

Слика 4.2: Израчунавање рада помоћу дијаграма

Укупни рад на путу од до једнак је граничној вредности суме свих радова када ширина свих интервала тежи према 0 када :

(4.3)

За решавање овог интеграла морамо знати силу као функцију просторних координата и једначину путање материјалне тачке. Рад се може одредити и графички: рад је једнак површини испод криве линије .

Ако је почетна и крајња тачка путање задана векторима положаја и , рад се дефинише изразом:

(4.4)

Рад је линијски интеграл силе дуж путање од почетне до крајње тачке. Јединица рада добија се из дефиницијске формуле за рад: једнака је производу јединице силе и јединице пута.

U SI je: J = N m = kg m2/s2.

У атомској физици допуштена је употреба још једне јединице рада: eV = 1,6·10-19J.

Рад електричне струје често се изражава у: Wh = 3600 J.

4.2.2 Снага

Снага се дефинише односом рада и времена, па се може схватити као брзина обављања рада односно преноса енергије. Ако је у посматраном временском интервалу

извршен рад W2-W1, односно пренешена енергија Е2-Е1, средња снага је:

(4.5)

Односно:

(4.6)

Тренутна вредност снаге је:

(4.7)

Будући је , тренутну вредност снаге на основу израза (4.7) можемо писати као скаларни производ вектора силе и вектора тренутне брзине:

(4.8)

- је угао између вектора силе и вектора брзине.

Јединица за снагу је : W = J/s.

До краја 1980. године користила се јединица снаге KS = коњска снага: KS=735,5

4.2.3 Енергија

Енергија је способност тела или система тела да обављају рад: што тело има већу енергију, то је способније да обави већи рад. Кад тело обавља рад, енергија му се смањује, и обратно, ако околина обавља рад на телу, енергија тела се повећава. Рад може прелазити у енергију и обратно. Јединица рада и енергије је идентична. Постоји више облика енергије: механичка, електрична, топлотна, хемијска, соларна, нуклеарна итд. У принципу, постоје механички и немеханички облици енергије.

Механичка енергија појављује се у два облика: кинетичка и потенцијална енергија. Кинетичка енергија прузрокована је кретањем, а потенцијална положајем тела. Потенцијална и кинетичка енергија могу се претварати једна у другу, механичка енергија може прелазити у немеханичке облике енергије и обратно. Енергија може прелазити из једног облика у други, али се не може ни створити ни уништити.

4.2.3.1 Кинетичка енергија

Кинетичка енергија је способност тела да изврши рад због тога што има одређену брзину. Ако сила F убрзава праволиниски тело од почетне брзине v1 до коначне брзине v2, рад потребан за то убрзавање је:

(4.9)

Односно након интегрирања има се да је извршени рад:

(4.10)

Величину:

(4.11)

називамо кинетичка енергија тела масе m и брзине v. Телу, које је на почетку имало

кинетичку енергију , обављеним радом повећали смо кинетичку енергију на

коначну вредност . Промена кинетичке енергије једнака је, дакле, извршеном

раду:

(4.12)

Ова релација, која повезује рад и промену кинетичке енергије, зове се закон о раду и кинетичкој енергији.

Кад се над телом изврши рад (W > 0), кинетичка енергија му се повећава ( ).

Ако тело изврши рад (W < 0), кинетичка енергија му се смањује ( ).

Кад је рад једнак нули (W = 0), кинетичка енергија тела остаје константна ().

4.2.3.2 Потенцијална енергија

Потенцијална енергија је способност вршења рада због тога што тело има сопствени положај. Тако нпр. тело масе m подигнуто на висину h изнад Земљине површине има одређену потенцијалну енергију и способно је, спуштајући се са те висине, извршити одређени рад. Слично, и натегнута опруга има потенцијалну енергију и, враћајући се у положај равнотеже, изврши рад.

4.2.3.2.1 Гравитациона потенцијална енергија

Да бисмо израчунали потенцијалну енергију материјалне тачке у гравитационом пољу изнад Земљине површине, претпоставимо да се материјална тачка масе m креће у гравитационом пољу Земље од тачке A до тачке B.

Слика 4.3: Израчунавање гравитационе потенционалне енергије

Помакне ли се материјална тачка за елеменат пута ds, рад силе земљине теже је: (4.13)

(4.14)

Рад силе теже на путу од A до B:

(4.15)

Дакле извршени рад једнак је: (4.16)

Рад гравитационе силе једнак је разлици две функција положаја. Функција зове се гравитациона потенцијална енергија тела на висини y:

(4.17)

Разлика потенцијалне енергије почетне и крајње тачке једнака је раду гравитационе силе:

(4.18)

За разлику од кинетичке енергије која може бити само позитивна, потенцијална енергија може бити и позитивна и негативна.

Рад силе теже не зависи од облика пута већ само од почетног и крањњег положаја тела што значи да бисмо исти резултат добили кад би се тело из тачке A до тачке B кретало било којом путањом. Скаларни производ:

(4.19) исти је за било коју путању која пролази кроз тачке A и B.

На основу Newton-овог закона гравитације рад потребан да се тело масе m премести са положаја који је удаљен за r од средишта Земље па до бесконачности дат је следећим изразом:

(4.20)

Овај израз, заправо, преставља гравитациону потенцијалну енергију тела масе m у гравитационом пољу Земље, где је претпостављено да је потенцијална енергија у бесконачности једнака нули. Ако бисмо претпоставили да је гравитациона потенцијална енергија једнака нули на површини Земље, тада би израз имао следећи облик:

(4.21)

С обзиром да је:

(3.12)

израз (4.21) прелази у већ познати облик: (4.13)

где је: - висинска разлика.

4.2.3. 3 Потенцијална енергија опруге

Растезање еластичне опруге изводи се полако, готово равнотежно тако да силу којом делујемо на опругу можемо сматрати по износу једнаком, а по смеру супротном еластичној сили опруге.

Hookeov закон каже да се чврста тела у границама еластичности супростављају линеарном истезању под дејством спољашње сиеле - силом која је управо сразмерна дужини истезања (елонгацији) и супротног је смера:

(4.14)

где је: F је сила опруге (еластична сила), k jе константа опруге, а s елонгација опруге (продужење или скраћење) из равнотежног положаја . При равномерном извлачењу опруге примењујемо једнаку и супротну силу:

Слика 4.4: Графички приказ зависности силе од помераја опруге

Рад извршен за растезање (стезање) опруге из положаја равнотеже за елонгацију je:

(4.15)

На слици исцртана површина одговара раду силе којом делујемо на опругу при растезању опруге из положаја равнотеже до неке елонгације s. Рад еластичне силе опруге

је јер је сила опруге увијек супротна истезању.

Значи да је рад силе опруге једнак раду спољашње силе са негативним

предзнаком:

(4.16)

Рад силе опрuге при померањu тела из положаја u положај је:

(4.17)

Потенцијална енергија еластичне силе опруге дефинише се изразом:

(4.18)

Узмемо ли договором да је потенцијална енергија нула у положају равнотеже (s = 0), тада је потенцијална енергија еластичне силе опруге:

(4.19)

Овде је s елонгација или померај из положаја равнотеже.

4.2.4 Закон очувања механичке енергије

У затвореном (изолованом) систему у којем нема спољашњих сила, механичка енергија је константна. То је закон о очувању механичке енергије, тј.

(4.20)

Посматрајмо укупну механичку енергију при слободном паду. Тело масе m у почетку је на висини H и мирује (слика 4.5), те је потенцијална енергија Ep=mдH, а кинетичка Ek = 0 и укупна механичка енергија E = mдH. Кад тело слободно падајући превали пут s, потенцијална енергија му је:

(4.21)

а кинетичка:

(4.22)

па је укупна енергија:

(4.23)

односно (4.24)

Слика 4.5. Закон очувања механичке енергије

Укупна је механичка енергија при слободном паду очувана: збир кинетичке и потенцијалне енергије једнак је у свакој тачки.

(4.25)

Ако систем није затворен (изолован), промена укупне механичке енергије једнака је раду спољашњих сила које делују на систем, тј:

(4.26)

Потенцијална и кинетичка енергија могу се трансформирати једна у другу (слика 4.6). Узмимо за пример водопад. Овдје је очит пример трансформације енергије из једног облика у други. Вода на врху водопада има потенцијалну енергију силе теже, која се при паду претвара у кинетичку енергију. Маса воде m, падајући са висине h, губи потенцијалну енергију mgh, а добија кинетичку енергију:

(4.27)

гдје је почетна брзина (тока) на врху водопада, а коначна брзина. Кинетичка енергија воде која пада може се у хидроцентрали претворити у кинетичку енергију обртања турбина. Иначе се она у подножју водопада претвара у топлоту. Топлотна енергија, је енергија хаотичног кретања молекула.

Слика 4.6: Трансформација потенцијалне енергије у кинетичку

Интересантан пример претварања енергије различитих врста једне у другу, дешава се при скоку с мотком, као на слици 4.7.

Слика 4.7: Трансформација различите врсте енергије

У положају A (трчање), укупна енергија скакача потиче од трчања, то је кинетичка енергија. У положају B скакач ставља предњи крај мотке на подлогу и савијањем "набија" потенцијалну енергију у њој, то је еластична потенцијална енергија. У положају C подиже се увис, користећи укупну енергију, која мора бити већа од гравитационе потенцијалне енергије на висини постављене летвице. Код D скакач прелази преко пречке, његова кинетичка енергија је мала, јер се лагано креће, а његова гравитациона потенцијална енергија је велика. При скоку с мотком укупна енергија није стална због трења (спољашње или мишићно), а и због тога што скакач врши рад док савија мотку.

4.3. Закон о очувању количине кретања

Као што је већ речено, производ масе материјалне тачке m и његове брзине назива се импулс силе или количина кретања материјалне тачке:

(4.28)

Ако се количина кретања материјалне тачке мења у току времена, то значи да постоји дeловање неке силе, која према другом Newton-овом закону гласи:

(4.29)

Горња једначина изражава најуопштенији случај дмгог Newton-овог закона и у том облику важи не само за класичну него и за релативистичку механику, и зове се закон промене количине кретања (импулса силе). Први Newton-ов закон изражава својство свих тела да у одсуству сила задржавају константну вредност брзине, односно, количине кретања, јер је m = const. (у класичној физици), тј.:

(4.30)

Ово својство свих тела описано првим Newton-ов закон представља специјалан случај једног општег физичког закона о одржању количине кретања. За то нам може послужити следећи оглед: нека међуделују две куглице маса m1, и m2 преко сабијене опруге коју у том стању одржава конац, као на слици 4.8.

Слика 4.8: Закон о очувању количине кретања

Уколико у једном тренутку прекинемо конац, куглице ће се разлетети. Узајамно деловање куглица при прекидању конца описано је трећим Newton-овим законом:

(4.31)

или

(4.32)

С обзиром да су m1 и m2 константне величине, једначина се може написати у облику:

(4.33)

Дакле, промена количине кретања у току времена за систем m1, и m2 једнака је нули, па се може писати:

(4.34)

Односно, количина кретања система m1, и m2 не може се променити под деловањем сила њиховог узајамног деловања. Овај закључак може се проширити на изолиовани систем од произвољног броја материјалних тачака. Укупна количина кретања затвореног система је константна без обзира какви се процеси и међуделовање догаћају у систему. То је закон о очувању количине кретања, један од најважнијих закона у физици. Можемо га написати и у математичком облику:

(4.35)

или

(4.36)

Овај је закон директна последица Newton-ових закона. Други Newton-ов закон за систем материјалних тачака гласи:

(4.37)

гдје је резултанта свих сила које делују на систем, а укупна количина кретања система. Ако је систем изолован, нема спољашњих сила, будући да се унутрашње силе према трећем Nevton-овом закону поништавају, то за изоловани систем је .

4.4. СУДАРИ ТЕЛА

На основу закона очувања механичке енергије и количине кретања могу се проучавати физичке појаве код којих су непознате било природа настанка и интензитет силе било само интензитет силе које делују у овим физичким појавама. Такве појаве су судари тела. Судар два тела може бити еластичан, деломично еластичан и нееластичан. Судар је савршено еластичан када нема губитка енергије, већ је укупна кинетичка енергија сачувана. Да би судар два тела био савршено еластичан, та два тела морају бити савршено крута (да не доживе никакву деформацију) или идеално еластична, тако да нема рада унутрашњих сила. Две челичне куглице или куглице од слонове кости сударају се приближно еластично. Прави савршено еластични судари догађају се само међу атомима и нуклеарним честицама, дакле у микросвету. При савршено нееластичном судару тела се након судара деформишу, споје заједно и наставе кретање као једно тело; ту се један део кинетичке енергије изгуби и претвори у друге облике енергије. Већина макроскопских судара су између ова два екстремна случаја, дакле деломично еластични.

4.4.1. Савршено еластичан судар

Посматрајмо централни савршено еластичан судар две куглице, тј. судар при којем брзине једне и друге куглице леже на истом правцу који пролази средиштем обе куглице. Две куглице (или две честице), имају брзине , и сударају се еластично и, након судара, имају брзине и (слика 4.9). Овај систем је изолован за време читавог процеса, на куглице не делују спољашње силе (односно збир спољашњих сила је нула) и, због тога, вреди закон очувања количине кретања:

(4.38)

Слика 4.9: Савршено елaстичан судар

Будући да је судар савршено еластичан, укупна је кинетичка енергија пре и после судара иста:

(4.39)

Напишимо једначину (4.39) на други начин, добијамо:

(4.40)

Односно: (4.41)

Напишимо једначину (4.38) у облику:

(4.42)

Ако се израз (4.42) уврсти у израз (4.41) добијамо:

(4.43)

Дакле, релативна брзина примицања куглица пре судара једнака је по интензитету, а супротна по смеру релативној брзини одмицања кугли после судара. Релативне брзине промениле су само смер, а не интензитет. Из једначина (4.38) и (4.40) можемо израчунати брзине после судара и :

(4.44)

(4.45)

Посебни случајеви:1. . У случају једнаких маса на основу израза (4.44) и (4.45) има се

да је: и , тј. честице једноставно измене брзине. Ако друга куглица мирује (), тада је , а ; што значи да се после судара прва куглица заустави, а друга

одлети брзином коју је имала прва куглица пре судара.

2. ; . Савршено еластична куглица масе , и брзине удара у врло велику куглу или савршено еластичан зид. Из (4.44) добијамо , тј. кугла се одбија једнаком брзином којом је дошла.

3. и . Из (4.44) и (4.45) следи , и . Када врло велика кугла удари куглицу која мирује, брзина јој се врло мало промени док лагана куглица одлети брзином која је два пута већа од брзине упадне кугле.

Предата енергија при централном еластичном судару два тела ( ).

На основу једначина (4.44) и (4.45), за случај да је , може се израчунати енергија коју тело , преда телу при удару. Предата енергија износи:

(4.46)

гдје је: пре судара и енергија тела масе , после судара. Да би израчунали

енергију образујемо:

(4.47)

Користећи се једначином (4.44), горњу једначину можемо добити у облику:

(4.48)

Заменом (4.48) у (4.46) добијамо:

(4.49)

Предата енергија при судару два тела има ће максималну вредност када је и износи према (4.49) . При горњим условима судара, тело које се

креће брзином предаје целокупну енергију телу које има једнаку масу, а пре судара налазило се у стању мировања.

4.4.2. Савршено нееластичан судар

При савршено нееластичном судару кугле се након судара деформишу, слепе и крећу заједно брзином . При овом судару кинетичка енергија није одржана, један део се утроши на деформацију куглица, односно загрејавање (промена унутрашње енергије).

Помоћу закона о очувању количине кретања одреди ћемо брзину након судара:

(4.50)

Кинетичка енергија се смањује приликом нееластичног судара. Укупна кинетичка

енергија после судара:

(4.51)

Кинетичка енергија пре судара:

(4.52)

Разлика кинетичких енергија даје губитак механичке енергије:

(4.53)

Посебни случајеви:

1. , следи да је . Ако је друга куглица пре судара у

стању мировања, тада, након судара, обе куглице настављају кретање брзином . Ако

је, тада након судара, обје куглица стају, тј.: .2. и , следи да је и . Кад куглица од блата падне на земљу,

ту и остаје.

4.5. ЗАКОН ОЧУВАЊА МОМЕНТА КОЛИЧИНЕ КРЕТАЊА

4.5.1. Круто тело

Ако посматрамо деловање силе на неко чврсто тело, можемо уочити два ефекта: промену облика тела (деформацију) и кретање тела. Ако је деформација неког тела изазвана спољашњом силом тако мала према димензијама тела да је можемо занемарити, тј. ако тело под утицајем силе не мења облик, кажемо да је тело круто. Можемо замислити да се круто тело састоји од много појединачних материјалних тачака чији међусобни размаци остају увек исти. Наравно, круто тело је идеализовани модел; у природи имамо чврста тела која се, више или мање, приближавају моделу крутог тела.

Може се показати да се кретање крутог тела може саставити од транслације тог тела брзином којом се креће нека његова тачка О (нпр. центар масе) и ротације око осе која пролази кроз ту тачку. При том брзина транслације зависи од избора тачке О, док угаона брзина ротације не зависи од изабране тачке.

4.5.2. Момент силе

Огледи показују да круто тело под утицајем сила може поред транслаторног кретања изводити и ротацију око неке тачке. Утицај силе на ротацију описује се њеним моментом. Кад тело ротира, свака његова тачка описује кружно кретање. Дефинишимо због тога момент силе. Нека материјална тачка кружи око тачке О по кружници полупречника . Ако је кружење убрзано, на тачку делује сила која има радијалну (центрипеталну) компоненту и тангенцијалну (центрифугалну) компоненту

(слика 4.10).

Помножимо једначину са , добијамо: (4.54)

што се може написати помоћу векторског производа: (4.55)

Слика 4.10: Момент силе

Леву страну једначине (4.55) дефинишемо као момент силе : (4.56)

а величину као момент инерције (тромости) материјалне тачке: (4.57)

Тако једначина (4.57) прелази у:

(4.58)

Ова једначина има сличну улогу при кружењу као други Newton-ов закон при транслацији: притом је сила аналогна моменту силе, маса моменту инерције, а убрзање угаоном убрзању. Ову анализу можемо проширити на круто тело, где се момент инерције крутог тела дефинише изразом:

(4.59)

Момент инерције неких крутих тела приказан је на слици 4.11

Слика 4.11: Момент инерције неких крутих тела (материјалне тачке, хомогеног

ваљка, прстена и лопте)Ако на неко тело делује више сила у различитим тачкама, онда тело може да врши

само транслацију или само ротацију или било какво друго кретање које може да се представи као транслација и ротација. Код материјалне тачке нисмо узимали у обзир могућност ротације због занемаривих димензија тачке. Услов равнотеже материјалне тачке је да збир свих сила које на њу делују буде једнак нули.

(4.60)

Кад сила , делује на круто тело, неопходно је анализирати равнотежно стање и у односу на ротацију. Наиме, овде поред услова (4.60) који представља услов за равнотежу за транслацију, постоји и додатни услов равнотеже за ротацију:

(4.61)

Релације (4.61) и (4.60) су основи предмета статике.

4.5.3. Момент количине кретања

Оно што сила представља за транслацију, то момент силе значи за ротацију. Често смо се до сада уверили да постоји аналогија међу величинама и законима у транслацији и ротацији. Величина аналогна количини кретања је момент количине кретања.

Најпре ћемо дефинисати момент количине кретања материјалне тачке (честице) која се креће по кружници полупречника (нпр. електрон око језгре). Такав момент количине кретања често се зове орбитални, јер се односи на орбитално кретање честице.

Момент количине кретања материјалне тачке масе и количине кретања с обзиром на референтну тачку О (нпр. центар кружнице на слици 4.12) дефинише

се као векторски производ радијус вектора и количине кретања: (4.62)

Слика 4.12: Момент количине кретања

Смер момента количине кртетања одређујемо као и смер сваког векторског производа помоћу правила десне руке. Смер је исти као смер вектора . Јединица момента количине кретања је . Из једначине можемо извести још један израз за момент количине кретања материјалне тачке која се креће по кружници.

Уврштавањем у (4.58) познате релације , и добијамо:

(4.63)

Из горњег израза добијамо: (4.64)

док је једначина кретања у векторском облику:

(4.65)

Ова анализа за материјалну тачку може се проширити и на круто тело које ротира око непомичне осе (осе ротације). Овај закон изведен за материјалну тачку, важи за сваку тачку система материјалних тачака или крутог тела:

(4.66)

4.5.4. Закон о очувању момента количине кретања

Ако је векторски збир момената свих спољашњих сила с обзиром на неку тачку једнак нули, тада је укупни момент количине кретања система (крутог тела) за ту исту тачку константан и по смеру и интензитету. Из релације (4.65) уз услов да је следи:

(4.67)

Унутрашње силе у систему не могу променити момент количине кретања. Можемо, такође, рећи: у затвореном систему момент количине кретања је сачуван. Врти ли се механички систем око чврсте осе , тада је момент количине кретања у смеру осе износи:

(4.68)

Ако је систем изолован тако да је компонента укупног момента спољашњих сила у смеру оси једнака нули, тада је:

(4.69)

Ако је (круто тело), из (4.68) следи да је и , тј. да круто тело ротира око чврсте осе сталном угаоном брзином. Напротив, ако се мења за време обртања (нпр. удаљавањем појединих тачака система од осе ротације), тада се и мења тако да би било константно. Унутрашње силе могу дакле мењати угаону брзину ротирајућег система премда, при том, остаје константан.

Огледима на Prandtlovом столу можемо лепо илустровсти овај закон. То је сто који се може завртети на кугличним лежајевима око вертикалне осе. Човек који седи на столу може се завртети око вертикалне осе ако руком ротира точак од бицикла, као што је приказано на слици 4.13. Притом се настали момент количине кретања точка поништава са моментом количине кретања система, па је стално укупни момент количине кретања нула.

Слика 4.13: Оглед на Prandtlovом столу

На слици 4.13 б. и ц. приказан је на столу човек који има тегове у рукама да би повећао масу руку. Ако се врти са рукама приљубљеним уз тело па руке нагло испружи, угаона брзина му се мења, у овом случају смањи. Ако је , момент инерције човека са теговима приљубљеним уз тело, а момент инерције човека са теговима кад су руке испружене, тада можемо на основу (4.69) писати:

(4.70)

тада је због , . Акробати, плесачи, клизачи на леду и сл. често користе овај закон о очувању укупног момента количине кретања. Тако, нпр. клизач на леду

скупљајући руке смањује свој момент инерције и тиме повећава брзину обртања (пируета). Кад се жели зауставити, ширењем руку повећава и тако смањује .

Закон очувања момента количине кретања нарочито има важну улогу у проучавању атома и молекула, па се често користити у проучавању структуре атома.

5. ОСЦИЛАТОРНО КРЕТАЊЕ

5.1Линеарне хармонијске осцилације

За периодично кретање кажемо да је то кретање које се понавља у правилним временским размацима. Примери периодичног кретања су: кретање тела окачено на спиралној опрузи, кретање клатна часовника, жице на гитари, клипови мотора са унутрашњим сагоревањем итд.

Линеарно осцилаторно кретање је један од облика периодичног кретања тела између два крајња положаја 2 и 1 као на слици 5.1 и упознаћемо га помоћу механичког модела кога чини један тег и једна спирална опруга. Када се тег тежине окачи о спиралну опругу она се истегне за неку дужину , а тег заузме из положаја 2 неки нови равнотежни положај R као на слици 5.1. Равнотежни положај се успоставља када се сила земљине теже изједначи са силом еластичне опруге (Hооk-ов закон):

(5.1)

Слика 5.1: Линеарно хармонијско осцилаторно кретање

Ако се силом тег изведе из равнотежног положаја R на неко растојање врши се рад против еластичне силе опруге:

(5.2)

Овај рад се манифестује у виду потенцијалне енергије система:

(5.3)

Ако се тег пусти из положаја 1 он ће се убрзано кретати ка равнотежном положају

R брзином . При овоме ће се смањивати потенцијална енергија, а повећава ће се

кинетичка енергија.

Дошавши у положај равнотеже R тег наставља кретање по инерцији. Ово кретање ће бити успорено и престаће када кинетичка енергија се претвори у потенцијалну, тј када померање буде до положаја 2.

Слика 5.2: Механичка енергија при линеарном осцилаторном кретању

Ако у систему нема трења енергија мора бити очувана, и тег ће се кретати неограничено дуго у границама од положаја 1 до положаја 2. Тело има највећу кинетичку енергију при проласку кроз равнотежни положај, а највећу потенцијалну енергију при проласку кроз крајње положаје 1 и 2.

Отпорна сила која се супроставља спољашњој сили која је тег извела из равнотежног положаја има особину да је:

пропорционална дужини померања тега из равнотежног положаја, увек је усмерена у положају равнотеже.

За тело у оваком кретању кажемо да линеарно хармонично осцилује.

Дакле, да би се тело довело у осциловање тј. извело из равнотежног положаја, потребно је на њега деловати спољашњом силом. Након тога, препуштено себи тело врши линеарно хармонично осцилаторно кретање.

Кретање од положаја 1 до положаја 2 и поново до положаја 1 назива се једним циклусом, а време потребно за извршење једног циклуса је период Т.

Број циклуса осцилаторног кретања у секунди представља фреквенцију осцилаторног кретања:

(5.4)

Средњи равнотежни положај код осцилаторног кретања је онај око кога тело осцилује и у коме се зауставља након осциловања.

Растојање од равнотежног положаја назива се елонгација, а максимална елонгација се назива амплитудом и у нашем случају износи .

У примеру који смо имали, еластична сила опруге сразмерна је елонгацији, и максимална када се тело налази у амплитудном положају, тј.:

(5.5)

где је: – максимална елонгација (амплитудни положај), а k – коефицијент еластичности опруге (константа за дату опругу). Знаком »минус« у обрасцу показује се да је еластична сила увек усмерена ка равнотежном положају, док нам преостали део израза каже да је еластична сила директно сразмерна елонгацији.

Дакле сила се мења сразмерно елонгацији, а то значи и да је убрзање које сила изазива различито и није једнако убрзано или успоорено.

5.1.1 Зависност елонгације, обимне брзине и убрзања код линеарних хармонијских осцилација

Проблем са хармонијским осциловањем је што реално не постоји тело које би могло да испуни строге услове потребне да би линеарно хармонијски осциловало. Ипак, постоји модел линеарног хармонијског осциловања, а који је приказан на сл. 5.3.

Ако се обезбеди да се тело креће равномерно по кругу, тада се линеарно хармонијско осцилаторно кретање има кретање сенке овог тела (тј. пројекције тела) на хоризонталном пречнику тог круга.

У овом случају узећемо да тело креће из тачке B и да у току времена t пређе у тачку P'. Тада се сенка тела налази у тачки P, а то значи на растојању x од центра круга. Тело се креће сталном обимном брзином v и за време t пређе пут S, од тачке B до тачке P', ако кретање тела по кругу сматрамо за транслацију.

Међутим, кружно кретање овог тела можемо посматрати и као ротацију, а у том случају може се рећи да је тело у току времена t, крећући се сталном угаоном брзином прешло угао . У том случају, има се да је :

(5.6)

Слика 5.3: Зависност елонгације линеарног хармониског осциловањабез почетне фазе од времена

Из правоуглог троугла RPP' следи:

(5.7)

зато што је полупречник круга амплитуда, јер се центар круга може сматрати за равнотежни положај R. Следи:

тј. (5.8)

У изведеном обрасцу: , амплитуда и угаона брзина су константе за дато осциловање, а променљиве величине су: елонгација x и време t. Зато овај образац можемо схватити као зависност (функцију) елонгације од времена. Ова зависност је периодична, што је приказано косинусном функцијом.

С обзиром да је угаона брзина она се код хармониског осциловања

често назива и кружном фреквенцијом.

Овај образац можемо употребити и за дефиницију хармонијског осциловања на следећи начин: Тело линеарно хармонијски осцилује ако зависност његове елонгације од времена гласи: .

Како је тело на почетку времена кренуло из тачке B, то значи да је његова P' сенка кренула из амплитудног положаја. То је најједноставнији случај и зато представља специјалан случај. Општи случај је када тело крене из ма које тачке на кругу различите од тачака A i B. Управо је то ситуација на сл. 5.4.

Слика 5.4: Зависност елонгације линерно хармониске осцилације од времена t са почетном фазом

Тело креће из тачке K и за време t стиже у тачку P'. Притом оно, сталном кружном фреквенцијом прелази угао . Међтим, на почетку времена t тело се налази у тачки K, а не у тачки B, па се може рећи да се налази за угао помакнуто у односу на тачку B. Угао се назива почетна фаза.

Сада је угаони померај од тачке B до тачке P' : (5.9)

Из правоуглог троугла RPP' :

следи:

тј. (5.10)

У овом случају константе за дато осциловање су: амплитуда x0, кружном фреквенцијом и почетна фаза . Поново су променљиве: елонгација x и време t, па се поново може рећи да је елонгација периодична функција времена.

И овај образац је могуће искористити за дефиницију хармонијских осцилација, као и у претходном случају: Тело линеарно хармонијски осцилује ако зависност његове елонгације од времена гласи: .

Израз (5.8) : добија се ако се у претходном обрасцу узме да је , а то се дешава ако тело не крене из тачке K, већ из тачке B.

Обимна брзина код линеарног хармониског осцилаторног кретања кретања је:

(5.11)

На основу изведеног обрасца можемо изрећи и следећу дефиницију хармонијског осциловања: Тело се линеарно хармоничски осцилује ако је његова зависност обимне брзине од времена изражена изразом: .

Угаоно убрзање код линиског хармонијског осцилаторног кретања је:

(5.12)

На основу изведеног обрасца можемо изрећи и следећу дефиницију хармонијског осциловања: Тело се линеарно хармонично креће ако ако је његова зависност угаоног убрзања од времена изражена изразом: .

5.1.2 Веза коефицијента еластичности опруге и кружне фреквенције

За анализирани случај линеарног осцилаторног кретања помоћу механичког модела кога чини један тег и једна спирална опруга као на слици 5.1, познато је да је сила еластичне опруге:

(5.13)

Са друге стране сила еластичне опруге маси тела које осцилује даје убразање ( по II Newton-овом закону), па је:

(5.14)

Убрзање тега које линеарно хармониски осцилује на основу израза (5.13) је: (5.15)

па је: (5.16)

Изједначавањем израза (5.13) и (5.16) добија се:

па је:

(5.17)

Дакле:

или (5.18)

5.1.3. Период линеарног осциловања тега на опрузи

С обзиром да је кружна фреквенција код линеарног осцилаторног кретања тега на опрузи дата изразом:

(5.18)

а период осциловања и угаона брзина изразом:

(5.19)

Заменомизраза (5.18) у (5.19) се добија:

(5.20)

Односно:

(5.21)

5.1.4 Укупна механичка енергија код линеарно хармоничних осцилација

Укупна механичка енергија сваког тела код линеарно хармониског осциловања је једнака збиру његове кинетичке и потенцијалне енергије:

(5.22)

Кинетичка енергија је:

(5.23)

Како је брзина код линеарно хармоничних осцилација: (5.11)

следи:

(5.24)

Како је: , следи коначно:

(5.25)

Потенцијална енергија тега на опрузи је:

(5.3)

Елонгација код линеарно хармоничних осцилација тега је: (5.10)

Заменом (5.10) у (5.3) се добија:

(5.26)

Коначно је:

(5.27)

Заменом добијених израза за кинетичку и потенцијалну енергију у израз за укупну

механичку енергију (5.22) добија се:

(5.28)

Из тригонометрије је познато да је: , па је израз у загради = 1. Следи коначно:

(5.29)

Дакле, укупна механичка енергија код линеарно хармониске осцилације тега је

директно сразмерна квадрату амплитуде осциловања.

5.2 ПРИГУШЕНЕ ОСЦИЛАЦИЈЕ

До сада смо посматрали идеалан случај осциловања тела (материјалне тачке) у којем је механичка енергија сачувана. Из искуства знамо да су увек губици енергије присутни и да ће еластична опруга после одређеног времена престати осциловати. За таква осциловања кажемо да су пригушена. Пригушено осциловање можемо уочити ако еластичну опругу уронимо и у вискозну тећност као на слици 5.5

Слика 5.5: Пригушено осциловање тела у вискоѕној течности

Сила трења која се противи сили еластичне опруге пропорционална је брзини осциловања:

(5.30)

гдје је: b - константа пригушења, а предзнак минус показује да су сила трења и брзина, супротног смера од изабране осе x.

Једначину кретања за пригушено осциловање, на основу другог Newton-овог закона и израза (5.30), можемо писати:

(5.31)

или код линеарно пригушених осцилација векторска једначина прелази у скаларну због колеарности сила:

(5.32)

односно:

(5.33)

Заменом и , израз (5.33) добија облик:

(5.34)

где је: — кружна фреквенција непригушених осцилација, а - фактор пригушења.

С обзиром да је: (5.8)

(5.11)

(5.12)

израз (5.34) добија облик:

Решење ове једначине је: (5.35)

где је кружна фреквенција пригушених осцилација дата изразом: (5.36)

Трење смањује кружну фреквенцију осциловања и то више што је трење веће.

Амплитуда опада експоненцијално са временом: што је фактор пригушења већи, то и амплитуда брже опада (сл. 5.6).

Слика 5.6: Зависност елонгације од времена код пригушеног осциловање

Ако је трење велико, уопште нема осциловања. Услов за такво апериодично осциловање добијамо из израза:

(5.37)

Промена елонгације код апериодичног осциловања приказана је испрекиданом линијом на слици 5.6.

5.3 Врсте осцилација. Резонанса

Према врсти сила које делују на осцилатор све осцилације делимо на: слободне и принудне.

Према амплитуди осциловања све осцилације делимо на: пригушене , непригушене и прогресивне.

Осцилације тела су слободне ако се после почетног покретања опруге тело препусти деловању природних сила као што су: гравитациона сила земљине теже, сила трења, сила отпора ваздуха, еластична сила опруге итд.

Осцилације тела су принудне ако на тело делује бар једна: спољашња, принудна, периодична и најчешће намерно изазвана сила.

Осцилације тела су пригушене ако се током осциловања амплитуда скраћује, а тело се после извесног времена заустави. Пригушење обично изазивају силе трења и отпора ваздуха, па су зато слободне осцилације истовремено и пригушене.

Осцилације тела су непригушене ако је амплитуда осциловања стална. Овакво осциловање је могуће остварити само ако се опрузи додаје енергија током осциловања, а то се обично ради неком спољашњом, периодичном и принудном силом – а то значи да принудне осцилације могу бити непригушене.

Осцилације тела су прогресивне ако се током осциловања амплитуда осциловања повећава.

Међутим, постоји могућност да јачина принудне, периодичне силе буде толико велика да дође до наглог повећавања амплитуде осциловања и тада кажемо да је наступила резонанција, тј. осциловање са врло великим амплитудама .

Резонанса је нагло повећање амплитуде принудног осциловања када је фреквенција принудне периодичне силе приближно једнака сопственој фреквенцији система осциловања ( ), под условом да је та принудна сила довољно јака .

Дакле, принудне осцилације постају прогресивне у случају резонансе (сл. 5.7).

Као пример за све напред наведене врсте осцилација могли би да користимо дете на љуљашци. Ако тата заљуља мало дете и остави га, па седне на клупу да чита новине – тада имамо слободне осцилације. Међутим, како би ове осцилације биле истовремено и пригушене дете би врло вероватно почело да плаче, што би натерало тату да стане иза љуљашке и да је гурне напред сваки пут када она стигне до њега. Сила којом би он тада деловао на љуљашку би била: принудна, периодична (зато што између два узастопна деловања прође тачно један период осциловања), несумњиво намерно изазвана и спољашња. Дакле осцилације љуљашке су сада принудне, али и непригушене – зато што је то и била намера код започињања дејства ове силе.

Слика 5.7: Резонанса система са различитим вредностима фактора пригушења

Пример за резонансу би могла да буде чета војника која гази стројеви корак преко неког моста. Како свако тело (па и мост) има своју сопствену фреквенцију, може се десити да се фреквенција корака као принудне периодичне силе изједначи са сопственом фреквенцијом моста, што би изазвало прво његово осциловање, а онда и повећање амплитуде тог осциловања, што би на крају могло да доведе и до рушења моста. Ма колико то било невероватно, ово се у прошлости десило једној чети енглеских војника. Зато у ПС – у (правило службе) наше војске пише да је забрањено газити стројеви корак преко мостова.

У САД удари ветра су срушили један велики мост, јер је се фреквенција удара изједначила са сопственом фреквенцијом тог моста.

Машински инжењери који пројектују и реконструишу механичке склопове возних средстава управо због резонансе морају да пазе – да сопствене фреквенције делова тих склопова буду далеко од фреквенција периодичних механичких сила које се јављају и делују на те склопове при кретању, да не би дошло до резонансе, тј. до њиховог оштећења.