Бројни редови

Дефиниција: Нека na е низа. Броен ред со општ член na ќе ја нарекуваме низата nS

така што nn aaaS 21 .

Ознака

n

n

n aaaa 21

1

.

Со nS ја означуваме n -тата парцијална сума на редот.

Со nS ја означуваме низата од парцијални суми.

Дефиниција: Бројниот ред

1n

na конвергира кон реалниот број A ако низата од

парцијални суми nS конвергира кон A .

Велиме дека Aan

n

1

.

Ако редот не конвергира тогаш велиме дека дивергира.

Постојат два типа на дивергенција:

1) Ако

nn

Slim велиме дека редот е определено дивергентен.

2) Ако nn

S

lim не постои, тогаш

1n

na е само формална ознака т.е. е неопределено

дивергентен.

Пример 1:

n

n

n qqqq 2

1

1 е геометриски ред.

За кои вредности на q редот е конвергентен?

Решение: 1) Ако 1q

qq

qqqq

n

n

n

n

1

1

1

1lim1lim

12 редот е конвергентен.

3) ,1q

n

nqqq 21lim е определено дивергентен.

4) ,1q

n

nqqq 21lim е определено дивергентен.

5) ,1q n

nqqq

21lim не постои.

Критериуми за конвергенција

Теорема 1: Ако редот

1n

na е конвергентен, тогаш 0lim

nn

a . Обратното

тврдење не важи.

Пример:

nnn

1

2

11

1

1

Теорема 2: Нека

1n

na и

1n

nb се конвергентни редови со суми A и B

соодветно. Тогаш:

1) Редот

1n

nca конвергира и има сума cA .

2) Редот

1n

nn ba конвергира и има сума BA .

Теорема 3: ( Кошиев критериум за конвергенција на броен ред)

Редот

1n

na конвергира Nn 0,0 така што 0nn и произволен

Nk , knnnkn aaSS 1 .

Пример: Нека 2

1 ,

2

112

1

n

ni i

т.е. 2

1

2

1

2

1

1

1

nnn

Бидејќи

2

1

2

1

2

11

nn

nkn

претпоставката не е добра т.е. редот не е конвергентен.

Теорема 4: а) Редот и неговиот остаток имаа ист тип на конвергенција .

б) Редот е конвергентен 0lim

nn

r .

Позитивни редови

Дефиниција: Редот

1n

na е позитивен ако Nnan ,0 .

nS - растечка низа од парцијални суми.

Ако nS не е ограничена одоздола, тогаш

nn

Slim па редот е дивергентен.

Ако nS е ограничена тогаш постои nn

S

lim па редот е конвергентен.

Критериуми за конвергенција на редови со позитивни членови

Теорема 1: (Споредбен критериум)

а) Ако nn ba или nn bca за скоро секој Nn тогаш

11 n

n

n

n ab ;

11 n

n

n

n ba *

б) Ако постои

KKb

a

n

n

n0,lim , тогаш

1n

na и

1n

nb имаат ист тип на

конвергенција.

в) Ако ,0lim

n

n

n b

aтогаш важи * .

г) Ако за скоро секој Nn , n

n

n

n

b

b

a

a 11 тогаш важи * .

Пример: Да се испита конвергенција на редот

1 21

1

nn

.

Решение: nn 2

1

21

1

, а редот

1 2

1

nn

е конвергентен, врз основа на теорема 1

под а)

1 21

1

nn

е конвергентен.

3) Да се испита конвергенција на редот

1 )1(

1

n nn

)1(nn кога n .

Тогаш nnn

1

)1(

1

; Бидејќи редот

1

1

n n дивергентен, според теорема 1

под б) следува дека редот

1 )1(

1

n nn дивергира.

Теорема 2: ( Интегрален критериум )

Нека Raf ,: е непрекината, позитивна и нерастечка функција за

некое 0a . Тогаш:

a

dxxf )( и

1

)(n

nf се еквиконвергентни.

Пример: 1) Да се испита конвергенција на бројниот ред

2 log

1

n nn.

Ја разгледуваме функцијата nn

nflog

1)( . Со испитување на изводот,

заклучуваме дека функцијата f ги исполнува условите од критериумот.

Тогаш интегралот

2log

2log2

loglog

tt

dt

xx

dx, бидејќи интегралот

дивергира, па и редот дивергира.

Теорема 3: ( Критериум на D’Alambert )

Нека е даден редот

1n

na .

Ако постои La

a

n

n

n

1lim тогаш:

1) Ако ,1L тогаш

1n

na т.е. редот конвергира

2) Ако ,1L тогаш

1n

na т.е. редот дивергира

3) Ако 1L , критериумот е неодлучив.

Пример: Да се испита конвергенција на бројниот ред

1 !

1

n n.

Ќе го искористиме критериумот на D’Alambert.

1

1

)1(!

!

!1

!

!

1

!1

1

1

nnn

n

n

n

n

n

a

a

n

n

Ако побараме 101

1limlim 1

na

a

nn

n

n, па според критериумот на

D’Alambert редот

1 !

1

n n е конвергентен.

Теорема 4: ( Критериум на Коши)

Нека е даден бројниот ред

1n

na ,

ако постои Lann

n

lim , тогаш:

1) Ако ,1L тогаш важи

1n

na т.е. редот конвергира

2) Ако ,1L тогаш

1n

na т.е. редот дивергира

3) Ако 1L , критериумот е неодлучив.

Теорема 5: ( Критериум на Кумер)

Нека редот

1

1

n nb е дивергентен за 0nb . Ако постои Lb

a

ab n

n

n

nn

1

1

lim

тогаш:

1) Ако 0L

1n

na т.е. редот

1n

na конвергира.

2) Ако 0L

1n

na т.е. редот

1n

na дивергира.

3) Ако 0L , критериумот е неодлучен.

Алтернативни редови

Нека е дадена низа na . Редот

321

1

11 aaaa

n

n

n се нарекува

алтернативен ред.

Дефиниција: Алтернативниот ред

1

11

n

n

na е ред од Лајбницов тип, ако

низата na е монотоно опаѓачка нула низа. Овој ред е конвергентен.

Пример: Да се испита конвергенција на алтернативниот ред

1

1 11

n

n

n .

Низата со општ член n

an

1 е монотоно опаѓачка низа, а 0

1lim

nn, па

оттаму следува дека редот е од Лајбницов тип, што значи дека е

конвергентен.

Теорема: (Критериум на Лајбниц)

1) Редот

1

11

n

n

na од Лајбницов тип е конвергентен;

2) Остатокот 1

1

11

m

mn

n

n

m aar , а знакот на остатокот е ист со

знакот на првиот отфрлен член mmr 1sgn ;

3) 1 nn SSS или nn SSS 1

Пример: Даден е алтернативниот ред

12

11

n

n

an, 0a . Колку членови од

редот треба да се соберат за да неговата сума се пресмета со точност од 210 ?

Решение: 21

anrn според Лајбницов критериум

na

an

an

anrn

9

110

110

11010

22

222

Пример:

1 12

1

7

1

5

1

3

11

4 n

n

n

Редот е од Лајбницов тип. Тогаш

n

k

kn

k

k

kk

2

0

12

0 12

1

412

1

Ова овозможува да се пресмета со произволна точност.

Теорема: (Критериум на Дирихле)

Нека nb е позитивна опаѓачка низа и 0lim

nn

b . Ако низата од парцијални

суми nS на редот

1n

na е ограничена, тогаш и редот n

n

nba

1

е

конвергентен.

Последица: Ако низата nb е негативна и монотоно растечка низа и ако

низата од парцијални суми nS на редот

1n

na е ограничена, тогаш и редот

n

n

nba

1

е конвергентен.

Пример: Да се испита конвергенција на редот 4

sinln

1

n

n

n

n

.

За n - тата парцијална сума имаме4

sin4

3sin

4

2sin

4sin

nSn .

Низата од парцијални суми е ограничена затоа што

8sin

1

8sin

4

1sin

8sin

4sin

1

nn

nn

k

За 3n ,

1

)1ln(ln

)1ln(ln)1(

ln/11

n

n

n

n

nnnn

nnnn

од каде следува дека

n

nbn

ln монотоно опаѓа и 0

lnlim

n

n

n

Според критериумот на Дирихле следува дека редот 4

sinln

1

n

n

n

n

конвергира.

Теорема: (Критериум на Абел)

Ако редот

1n

na е конвергентен и низата nb е монотона и ограничена

тогаш редот n

n

nba

1

е конвергентен.

Теорема: (Мајорантен критериум)

Нека

1n

nx е броен ред и

1n

na е ред со позитивни членови. Нека Nn 0

така што за 0nn , nn ax . Тогаш:

1) Ако

1n

na конвергира тогаш

1n

nx конвергира апсолутно.

2) Ако

1n

nx дивергира тогаш

1n

na дивергира.

Апсолутна конвергенција

Теорема 1: Ако редот

1n

na е конвергентен, тогаш редот

1n

na е

конвергентен. Обратното не важи.

Пример за тоа дека не важи обратната теорема е алтернативниот ред

1

1 11

n

n

n.

Дефиниција: Редот

1n

na е:

1) апсолутно конвергентен ако конвергира и редот

1n

na .

2) условно конвергентен ако редот

1n

na конвергира, а

1n

na дивергира.

Пример: Редот

1

1 11

n

n

n не е условно конвергентен.

4

1

3

1

2

11S

Производ на редови

Дефиниција: Производ на редовите

1n

nx и

1n

ny е редот

1n

nz каде

1

0110

n

nnnnnn yxyxyxyxz .

Теорема: Нека

1n

nx е конвергентен и има сума X и нека

1n

ny има сума

Y . Тогаш

1n

nn yx конвергира и има сума XY .

Бесконечни производи

nn xxxPxxPxP 2121211 ,

nP - бесконечен производ

Ознака:

1

21

n

nn xxxx

Дефиниција: Бесконечниот производ

1n

nx е конвергентен ако низата од

парцијални производи nP конвергира кон 0P . Во спротивно производот

е дивергентен.

Теорема 1: Ако

1n

nx конвергира, тогаш 1lim

nn

x .

Обратното не важи.

Пример: Да се испита конвергенција на бесконечниот производ

1

11

n n.

11

1lim

nn

11

2

3

1

211

1

nn

n

nP

n

i

n бесконечниот производ

дивергира.

Забелешка: Проблемот на конвергенција на бесконечен производ

1n

nx

каде 0nx се сведува на конвергенција на редот

1n

ny каде nn xy ln

бидејќи:

nn

xxxxxyyyyPxxeeeeee nnnn

1

lnlnlnlnln 21121 .

Пример:

22 1

11

n n.

2

1

2lim

1142

33

21

22lim

1

11lim

22

n

n

nn

nn

n nn

n

in

.

Функционални низи и редови

Нека RXfXFRX :,

Дефиниција: Секое пресликување XFN се вика функционална низа:

nn ffff

n

21

21

Дефиниција: Функционалната низа nf рамномерно конвергира кон f

на множеството X ако 0 , Nn 0 така што за 0nn важи

Xxxfxfn , .

Дефиницаија: Функционалната низа nf конвергира по точки кон f на

множеството X ако Xx xfxfnn

lim .

Дефиниција: xfxfff nn

n

lim

(Ако nf конвергира рамномерно nf конвергира по точки).

Пример: Да се испита конвергенција по точки и рамномерна конвергенција

на функционалната низа nf дефинирана со n

n xxf на 1,0 .

1,1

1,0lim

x

xxn

n конвергира по точки.

Нека 2

1 ,

2

10 xfx

n за 1,0x .

Нека 2

1

2

1,

2

10

000

n

nnn xfxx што е контрадикција, значи редот

не конвергира рамномерно кон функцијата.

Дефиниција: Нека nf е функционална низа на множеството X .

n

n

n ffff 21

1

- функционален ред на множеството X .

xfxfxF nn 1 n -та парцијална сума.

nF - функционална низа од парцијални суми.

Дефиниција:

1n

nf конвергира рамномерно (по точки) кон функција F на

множеството X ако функционалната низа од парцијални суми конвергира

рамномерно (по точки) кон F на множеството X .

Пример:

n

n

n xxxx 2

1

1

xx

xxF

xxxxF

n

nn

n

n

n

1

1

1

1limlim

1

1

2

Значи редот конвергира по точки кон функцијата xF .

Конвергенцијата не е рамномерна.

Теорема: (Мајорантен критериум)

Нека

1n

nf е функционален ред и нека

1n

na е броен ред со позитивни

членови: 0na и нека Nn 0 така што nn axfnn 0 . Тогаш ако

1n

na е конвергентен, тогаш и

1n

nf е конвергентен и тоа рамномерно и

апсолутно.

Теорема: Нека ffn на множеството X и нека 0x е точка на

натрупување на X . Нека за RaxfNn nnn

lim . Тогаш:

1) nnxx

axf

limlim0

2)

110

limn

n

n

nxx

Axf -парцијални суми.

Последица: 1) xfxf nnxx

nxxn

limlimlimlim00

2) xfxfn

nxx

n

nxx

11 00

limlim .

Диференцирање и интегрирање на функционални низи и редови

Нека baX , .

Теорема1: (Критериум за диференцирање по членови)

1) Нека nf е функционална низа од диференцијалбилни функции на

baX , така што низата

nf рамномерно конвергира на baX , , т.е.

.lim xfxfnn

2)

11 n

n

n

n fxf .

Теорема 2: (Критериум за интегрирање по членови)

1) Нека ng е функционална низа од непрекинати функции која

рамномерно конвергира кон функција g на baX , и нека bax ,0 .

Тогаш функционалната низа

x

xn dttg

0

рамномерно конвергира кон

x

xdttg

0

.

2)

x

xn

x

x

n dttGdttg

001

.

Степенски редови

NnXxRcxxc n

n

n

n

,,, 0

1

0 - степенски ред.

Степенскиот ред секогаш ковергира во точката 0xx , затоа неговата

конвергенција ќе ја испитуваме само за 0xx .

Со R ќе го означуваме радиусот на конвергенција на степенскиот ред.

Ако е даден степенскиот ред

1

0

n

n

n xxc , тогаш:

1lim| 0

xxcx nn

n е област на конвергенција на степенскиот ред.

Радиусот на конвергенција n

nn

cR

lim

1.

Кога 0R степенскиот ред секогаш конвергира;

Кога R конвергира на цело R .

Степенскиот ред конвергира за RrRxRxx ,, 00 .

Пример: Да се испита конвергенција на степенскиот ред

1n

n

n

x.

ncn

1 , 00 x .

Бројниот ред

1

1

n n е дивергентен. Алтернативниот ред

1

11

n

n

n е

конвергентен.

За 1x

1

1

n n е дивергентен.

За 1x

1

11

n

n

n конвергира.

За 1x редот

1n

n

n

x дивергира.

Област на конвергенција е 1;1 .

Теорема 1: Нека редот

1n

n

n xc има радиус на конвергенција 1R . Нека во

1x бројниот ред

1n

nc конвергира. Ако xfxcn

n

n

1

, 1,1x . Тогаш

1

1lim

n

nx

cxf .

Пример:

1

32 111

1

n

nnxxxx

x Со интегрирање на

развојот на функцијата добиваме:

4

1

3

1

2

112ln

321ln

32 xxxx

Пример:

642

21

1

1xxx

x Со интегрирање на развојот на

функцијата добиваме:

5

1

3

11

4

5

1

3

11lim

53

1

53

arctgx

xxxarctgx

x

Нека f е бесконечно диференцијабилна и нека Xx 0 .

Дефиниција: Степенскиот ред

nn

n

n

n

xxn

xfxx

xfxx

xfxfxx

n

xf0

02

0

0

0

0

00

1 !!2!1!

се вика Тејлоров ред за функцијата f .

Во 00 x овој развој е познат како Маклоренов развој на функцијата f .

10

1 !

n

k

nk

k

Rxxk

xf - остаток на Тејлоров ред.

Интегралната форма на остатокот е dtttfn

R n

x

x

n

n

0

1

1!

1.

Последица: XNnnMxfM nn ,, 0 - интервал, тогаш

Тејлоровиот ред конвергира рамномерно и апсолутно кон функцијата f .

0

2

1

121

2

0

!21cos;

!121sin

!!2!11

!

n

nn

n

nn

n

n

nx

n

xx

n

xx

n

xxx

n

xe

Ако функцијата може да се развие во степенски ред велиме дека е

аналитичка.

Теорема: Нека f е непрекината функција на ba, и аналитичка на ba, ,

тогаш постои функционална низа на полиноми nP која што конвергира

рамномерно кон функцијата f .