PRESENTACIÓN DE DATOS...Los límites clase superior e inferior establecidos en una distribución de frecuencias nos indican las “cotas” o fronteras de cada clase en la distribución,

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

Capítulo 2:

PRESENTACIÓN DEDATOS

Al realizar una investigación estadística, los datos que obtenemos como resultado, forman lo que

llamamos una muestra aleatoria. Estos datos se deberán organizar y presentar. La organización y

presentación de datos es muy importante, ya que rara vez, datos en bruto y desorganizados proporcionan

una imagen significativa de la verdadera naturaleza de la muestra.

También, sabemos muy bien que las columnas de números evocan temor, aburrimiento, apatía e

incomprensión. Algunas personas parecen no tener interés en la información estadística presentada en

forma tabulada, pero podrían prestarle mucha atención a los mismos puntajes si les fueran presentados

en forma de grafico o cuadro. Como resultado, muchos investigadores prefieren usar gráficos en

contraposición a las tablas (gráficos de sectores, gráficos de barras, polígonos de frecuencia, etc) en un

esfuerzo por aumentar el interés de sus hallazgos.

El proverbio de que "una imagen vale mas que mil palabras" resume la importancia de la representación

grafica. Es mucho mas fácil comprender una imagen clara, correspondiente a grandes cantidades de

datos obtenidos, que todo un párrafo al respecto.

84


2.1 ESTADIGRAFÍA

Mediante los gráficos podemos representar todo tipo de datos estadísticos; por lo que la

estadigrafía está compuesta por diferentes tipos de gráficos:

Gráfico de barras. Gráfico de barras compuestas. Gráfico de líneas. Gráfico de líneas que se entrecrucen. Gráfico de líneas que no se entrecruzan. Gráfico de partes componentes. Gráfico de dimensiones. Pictogramas. Mapas estadísticos. Gráficos en espiral. Gráficos en forma Z.

2.1.1 Tablas de Distribución de Frecuencias

Toda encuesta, censo o simplemente cualquier recopilación de informaciones con

fines estadísticos significa disponer de una gran cantidad de datos que es preciso

ordenar y presentar de manera que sean de fácil capitación y permita un análisis

adecuado, distribuyéndolas en categorías y clases que permitan determinar el

número de individuos que pertenecen a cada clase.

El número de individuos que pertenecen a cada clase son llamados frecuencia de

clase (ni).

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Una ordenación de datos con sus respectivas frecuencias de clase, se conoce como

Tablas o Cuadros de Distribución de Frecuencias.

El número inferior de cada clase se llama límite inferior de clase y el número superior

de cada clase es el límite superior de clase; conformando cada pareja de límites el

intervalo de clase.

Una distribución queda completamente descrita cuando se conocen sus:

Medidas de Centralización o Promedios (X, G, H, RMS, Md, Mo).

Medidas de Dispersión o de Variación (R, D.Q., D.M., S2 ó 2, S ó ).

El sesgo (1er CSKP, 2do CSKP, CSq, CSp, CSm).

La kurtosis (CKq, CSp, CKm).

Los momentos (m1, m2, m3, m4).

Existen varios tipos de distribuciones de frecuencias:

Distribución de igual amplitud de clase.

Distribución de diferente amplitud de clase.

Distribución de clases abiertas (usada generalmente para el control de calidad).

2.1.2 Distribución de igual amplitud de clase

Un ejemplo de un cuadro de distribución de frecuencias de igual amplitud de clase es

el que nos indica la forma en que se han distribuido 50 obreros, de acuerdo a sus

salarios, en una distribución de 5 clases. Dado que es el primer cuadro de distribución

de frecuencias que desarrollamos, indicaremos en la parte superior el significado de

cada uno de los símbolos y operaciones indicadas.

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2.1.3 Distribución de diferente amplitud de clase

Como vemos en la siguiente tabla de distribución de frecuencias, en ella es

diferente cada amplitud de clase (i).

|

PUNTO MEDIO O FRECUENCIAMARCA DE CLASE ABSOLUTA DE CLASE

Yi ni

5 7 i = 5

10 12 i = 2

12 15 i = 3

15 20 i = 7

22 8 i = 6

28 3

N = 65

87


2.1.4 Distribución de clases abiertas

Esta clase de tablas de distribución de frecuencias es usada comúnmente para

realizar una verificación del control de calidad.

A continuación, vemos un ejemplo de cómo es este tipo de tablas:

CLASES REALES FRECUENCIALím Inf - Lím Sup ABSOLUTA DE CLASE

L1 - L2 ni

Menos de 300 20

300 - 400 30

400 - 500 40

500 - 600 80

600 - 700 60

700 - 800 50

800 - 900 20

900 - 1000 10

1000 - 1100 5

1100 ó Más 2

N = 317

88


2.2 Número de Clases de una Distribución

El número de clases, sustentado en la cantidad de mínimo y máximo, depende del

número de valores a ser agrupados y varía de un mínimo de 5 a un máximo de 20.

Los límites clase superior e inferior establecidos en una distribución de frecuencias

nos indican las “cotas” o fronteras de cada clase en la distribución, y pueden ser

reales u ordinarias.

2.3 Límites de Clase

Los límites de clase superior o inferior establecidos en una distribución o tabla de

frecuencias, nos indican las cotas o fronteras de cada clase en la distribución y

pueden ser reales u ordinarias.

2.3.1 Límites Reales de Clase (L1 - L2)

Se encuentran mediante la semisuma de un límite ordinario superior y en límite

ordinario inferior de cada clase contigua; también se determina mediante la

semisuma de dos puntos medios contiguos.

Los límites reales se reconocen cuando el límite superior de una clase es igual al

límite inferior de la clase contigua.

89


A continuación vemos un sector de un cuadro de distribución de frecuencias, con los

límites reales claramente señalados.

L1 - L2 ni

35 - 45 7

45 - 55 12

55 - 65 15

65 - 75 20

75 - 85 8

85 - 95 3

N = 65

90


2.3.2 Límites Ordinarios de Clase (Yi´-1 - Y i´)Los límites ordinarios son reconocidos porque el límite superior de una clase esdiferente al límite inferior de la clase contigua.

A continuación un ejemplo.

LIMITES REALES LIMITE ORDINARIO FRECUENCIALím Inf - Lím Inf Lím Inf - Lím Inf ABSOLUTA DE CLASE

L1 - L2 YI-1 - YI ni

35 - 45 35.5 - 44.5 7

45 - 55 45.5 - 54.5 12

55 - 65 55.5 - 64.5 15

65 - 75 65.5 - 74.5 20

75 - 85 75.5 - 84.5 8

85 - 95 85.5 - 94.5 3

N = 65

91


2.3.3 Puntos Medios o Marcas de Clase (Yi)

Es el típico representativo de las frecuencias de clase. Es el valor que sustituye a la

clase o intervalo de clase.

Se determina mediante la semi suma de dos límites reales contiguos o mediante la

semi suma de un límite inferior de clase con el límite superior de clase del mismo

intervalo.

LIMITES REALES LIMITE ORDINARIO PUNTOS MEDIOS OLím Inf - Lím Inf Lím Inf - Lím Inf MARCAS DE CLASE

L1 - L2 YI-1 - YI Yi

40 - 50 40.5 - 49.5 45

50 - 60 50.5 - 59.5 55

60 - 70 60.5 - 69.5 65

70 - 80 70.5 - 79.5 75

80 - 90 80.5 - 89.5 85

92


Si usamos los Límites Reales, tenemos que:

En el caso de que usemos los Límites Ordinarios, obtenemos el mismo resultado:

2.3.4 Amplitud de Clase (i ó C)

Es la diferencia numérica que existe entre cada par de Límites Reales contiguos,

Límites Ordinarios Inferiores contiguos, Límites Ordinarios Superiores contiguos y

entre Puntos Medios o Marcas de Clase contiguos. Cabe señalar que por

convención se acostumbra a medir la amplitud de clase en forma vertical.

A continuación tenemos una parte de un Cuadro de Distribución de Frecuencias del

que se debe calcular la amplitud de clase.

Yi = 60 + 70 = 652

Yi = 60.5 + 69.5 = 652

93


Con los Límites Reales

LIMITES REALES LIMITE ORDINARIO PUNTO MEDIO OLím Inf - Lím Inf Lím Inf - Lím Inf MARCA DE CLASE

L1 - L2 YI-1 - YI Yi

35 - 45 35.5 - 44.5 40 i = 10

45 - 55 45.5 - 54.5 50 i = 10

55 - 65 55.5 - 64.5 60 i = 10

65 - 75 65.5 - 74.5 70 i = 10

75 - 85 75.5 - 84.5 80

85 - 95 85.5 - 94.5 90

i = 55 – 45 = 10

94


Con los Límites Ordinarios

Con los Puntos Medios o Marcas de Clase

i = Lím Ord. Inf. – Lím Ord. Inf. de la clase anterior = 65.5 – 55.5 = 10

i = Lím Ord. Sup. – Lím Ord. Sup. de la clase anterior = 84.5 – 74.5 = 10

i = 60 – 50 = 10

95


2.4 Reglas para construir Cuadros de Distribución de

Frecuencias

No es conveniente señalar reglas generales ya que la construcción del Cuadro de

Distribución de Frecuencias depende del tamaño de la muestra, objetivos que se

persigue y es la experiencia del estadístico, que es quien en última instancia va a

determinar la presentación del cuadro; sin embargo, existen dos métodos para

construir Cuadros de Distribución de Frecuencias: el Método Empírico y el Método de

Sturges.

2.4.1 Método Empírico

El método empírico nos exige cumplir con las siguientes reglas:

1) Determinar el rango o amplitud total (R) restando el mayor dato de la serie el

valor del menor dato de la misma.

2) Determinar la amplitud de clase dividiendo el rango entre el número de clases

(5-20), redondeándolos a una cantidad fácil de operar, en lo posible múltiplo o

submúltiplo de 10.

R = MAX - MIN

Ri =

N° de clases

96


3) Colocar de cada uno de los datos en sus correspondientes intervalos de clase,

para posteriormente determinar las llamadas frecuencias de clase.

Nota: La construcción del cuadro debe considerar los siguientes pasos:

El límite inferior de la primera clase debe ser menor que el mínimo de los

datos.

El límite de los datos debe estar girando alrededor de su punto medio.

Si un dato coincide con un límite real superior de clases debe ser considerado

en la clase inmediata superior.

La siguiente tabla nos proporciona aproximadamente en N° de clases que debe de

tener una distribución de acuerdo al N° de datos.

Nº de Datos Nº de Clases menos de 50 5 - 7 50 - 100 6 - 10 100 - 250 7 - 12 más de 250 10 - 20

97


Ejemplo: Construir un cuadro de distribución de frecuencias de 5 clases, con las

distancias recorridas por 20 alumnos al venir a la universidad desde sus hogares.

Las distancias son las siguientes:

0.8, 1.2, 2.6, 2.8, 3.3, 3.4, 3.7, 4, 4.5, 5.3, 5.8, 6.1, 6.2, 6.5, 7.1, 7.3, 7.4, 7.6, 7.8 y 9.2

Solución:

R = 9.2 – 0.8 = 8.4

8.4

i = = 1.68 = 2 (redondeando)

5

L1 - L2 Yi Datos ni

0 - 2 1 0.8 , 1.2 2

2 - 4 3 2.6 , 2.8 , 3.3 , 3.4 , 3.7 5

4 - 6 5 4 , 4.5 , 5.3 , 5.8 4

6 - 8 7 6.1 , 6.2 , 6.5 , 7.1 , 7.3 , 7.4 , 7.6 , 7.8 8

8 - 10 9 9.2 1

N = 20

98


2.4.2 Método de Sturges

1) Determinar el rango o amplitud total (R) restando el mayor dato de la serie el

valor del menor dato de la misma.

2) Determinar el número de clases mediante la aplicación de la siguiente fórmula:

donde:

n = número de clases.

N = número de datos.

3) Determinar la amplitud de clase, pudiendo presentarse dos casos:

a) Cuando la amplitud va a ser mayor que 1. (i > 1)

0 también:

R = Máx. – Mín.

n = 1 + 3.33 Log(N)

i = R + 1

n

n

99


b) Cuando la amplitud va a ser menor que 1. (i < 1)

4) Determinar R´

5) Determinar el exceso (E)

6) Determinar los l ímites de clases :

Lím. Inf. de la Primera Clase; que es igual al mínimo de los datos menos

el exceso dividido entre dos

R´= n . i

E = R´ - R

Lím. Inf. (1ra Clase) = Mín - E.

2

i = R - 1

n

n

100


Lím Sup. de la Ultima Clase; que es igual al máximo de los datos menos el exceso

dividido entre dos

Ejemplo 1: Construir un cuadro de distribución de frecuencias de 5 clases, con las

distancias recorridas por 20 gestantes al venir al hospital desde sus hogares.

Las distancias son las siguientes:

0.8, 1.2, 2.6, 2.8, 3.3, 3.4, 3.7, 4, 4.5, 5.3, 5.8, 6.1, 6.2, 6.5, 7.1, 7.3, 7.4, 7.6, 7.8y 9.2

Solución:

R = MÁX – MÍN

R = 9.2 – 0.8

R = 8.4

n = 1+ 3.33 Log (N)

n = 1+ 3.33 Log (20)

n = 1 +3.33 (1.301029996)

n = 5.3324429887 5 < n < 6 n = 5

Lím. Sup. (úl t ima c lase) = Mín - E.

2

101


i= R + 1 (n > 1)

n

I = 8.4 + 1

5.332429886

I = 1.762798612 ≈ 2

R’ = n x i

R’ = 5 x 2

R’ = 10

E = R’ – R

E = 10 – 8.4

E = 1.6

Lim. Inferior de 1era clase = Min. - E

2

Lim. Inferior de 1era clase = 0.8 – 1.6

2

Lim. Inferior de 1era clase = 0.8 – 0.8

Lim. Inferior de 1era clase = 0

102


Lim. Superior de ultima clase = Max. + E

2

Lim. Superior de ultima clase =9.2 + 1.6

2

Lim. Superior de ultima clase = 9.2 + 0.8 = 10

Ejemplo 2: Construir un cuadro de distribución de frecuencias para un conjunto de 30

datos, conociendo que el máximo es 900 y el mínimo es 500

Solución:

R = 900 – 500 = 400

L1 - L 2 Y i n i

0 - 2 1 2

2 - 4 3 5

4 - 6 5 4

6 - 8 7 8

8 - 10 9 1

N = 20

103


n = 1 + 3.33 Log (30) = 5.918813778 = 6 (redondeando)

i = R + 1

n

400 + 1

i = = 67.75006193 = 68 (redondeando)

5.918813778

R’ = n i = 6 x 68 = 408

E = R’ – R = 408 – 400 = 8

Límites de Clase:

Lím. Inf. (1ra Clase) = 500 – (8/2) = 496

Lím. Sup. (Ultima Clase) = 900 + (8/2) = 904

L 1 - L 2 Y i ´ - 1 - Y i ´ Y i n i

4 9 6 - 5 6 4 4 9 6 . 5 - 5 6 3 . 5 5 3 0

5 6 4 - 6 3 2 5 6 4 . 5 - 6 3 1 . 5 5 9 8

6 3 2 - 7 0 0 6 3 2 . 5 - 6 9 9 . 5 6 6 6

7 0 0 - 7 6 8 7 0 0 . 5 - 7 6 7 . 5 7 3 4

7 6 8 - 8 3 6 7 6 8 . 5 - 8 3 5 . 5 8 0 2

8 3 6 - 9 0 4 8 3 6 . 5 - 9 0 3 . 5 8 7 0

N = 3 0

104


EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO

MÉTODO EMPÍRICO

Ejemplo:

Construir un cuadro de distribución de 5 clases, con las distancias recorridas por20 alumnos al venir a la UNAC des de sus hogares.

Las distancias son las siguientes: 0.8, 1.2, 2.6, 2.8, 3.3, 3.4, 3.7, 4, 4.5, 5.3, 5.8,6.1, 6.2, 6.5, 7.1, 7.3, 7.4, 7.6, 7.8 y 9.2

Solución:

R = 9.2 – 0.8 = 8.4

i = 8.4 = 1.68 = 2 (redondeando)

5

L1 - L2 Yi Datos ni

0 - 2 1 0.8, 1.2 2

2 - 4 3 2.6, 2.8, 3.3, 3.4, 3.7 5

4 - 6 5 4, 4.5, 5.3, 5.8, 4

6 - 8 7 6.1, 6.2, 6.5, 7.1, 7.3, 7.4, 7.6, 7.8 8

8 - 10 9 9.2 1

N = 20

105


MÉTODO DE STURGES

Ejemplo (1): Construir un cuadro de distribución de frecuencias de 5 clases con ladistancia recorrida por 20 gestantes al venir al hospital desde sus hogares. Lasdistancias son las siguientes: 0.8, 1.2, 2.6, 2.8, 3.3, 3.4, 3.7, 4, 4.5, 5.3, 5.8, 6.1, 6.2, 6.5,7.1, 7.3, 7.4, 7.6, 7.8 y 9.2

Solución:

R = 9.2 – 0.8 = 8.4

n = 1 + 3.33Log20 = 5.332429886 = 5 (redondeando)

i = 8.4 + 1 = 1.762798612 = 2 (redondeando)5.332429886

R’= n * i = 5 * 2 = 10

E = R’ – R = 10 – 8.4 = 1.6

Limites de clase:

Lim. Inf. (1era clase) = 0.8-1.6 = 02

Lim. Sup. (ultima clase) = 9.2+1.6 = 102

106


Ejemplo (2): Construir por el metodo de Sturges, un cuadro de distribución de

frecuencias para un conjunto de 30 datos, conociendo que el maximo es 900 y el

minimo es 500

Solución:

R = 900 – 500 = 400

n = 1 + 3.33Log30 = 5.918813778 = 6 (redondeando)

i = 400 + 1 = 67.75006193 = 68 (redondeando)

5.918813778

R’ = n * i = 6 * 68 = 408

E = R’ – R = 408 – 400 = 8

Limites de clase:

Lim. Inf. (1era clase) = 500 - 8= 496

2

Lim. Sup. (ultima clase) = 900 - 8 = 904

2

L1 - L2 Y’i-1 - Y’i Yi ni

496 - 564 496.5 - 563.5 530

564 - 632 564.5 - 631.5 598

632 - 700 632.5 - 699.5 666

700 - 768 700.5 - 767.5 734

768 - 836 768.5 - 835.5 802

836 - 904 836.5 - 903.5 870

N = 30

107


2.4.3 HISTOGRAMAS Y POLÍGONOS DE FRECUENCIAS

Son dos representaciones gráficas de las distribuciones de frecuencias. La relación

que debe existir entre la altura del gráfico y su base es de dos tercios (2/3) a tres

cuartas (3/4) partes.

2.4.3.1 Histogramas o Histogramas de Frecuencias

Consiste en una serie de rectángulos que tienen:

Sus bases sobre el eje horizontal y con centro en sus puntos medios o marcas de

clase y una amplitud igual a la amplitud de clase.

Las superficies de cada uno de los rectángulos son proporcionales a las

frecuencias de clase.

En la construcción de los histogramas pueden presentarse dos casos:

1) Haciendo uso de los Límites Ordinarios de Clase.

2) Haciendo uso de los Límites Reales de Clase.

2.4.3.2 Polígonos de FrecuenciaEs el gráfico que se obtiene uniendo los puntos medios o marcas de clase de cada

uno de los rectángulos en su parte superior, agregando dos puntos medios de

frecuencia cero (uno superior y otro inferior) para cerrar el polígono.

La relación que debe existir entre el eje de frecuencia (ni) y el eje de los puntos

medios es de 2/3 a ¾ partes.

108


Ejemplo 1:

Construir el Histograma y Polígono de Frecuencias de la siguiente distribución haciendo

uso tanto de los Límites Reales de Clase como de los Límites Ordinarios de Clase.

L1 - L2 Yi -1 - Yi Yi ni

45 - 55 45.5 - 54.5 50 4

55 - 65 55.5 - 64.5 60 12

65 - 75 65.5 - 74.5 70 20

75 - 85 75.5 - 84.5 80 10

85 - 95 85.5 - 94.5 90 4

N = 50

109


Ejemplo 2:

La siguiente tabla muestra la distribución de frecuencia del número semanal de minutos

que pasan escuchando radio 200 personas.

Se pide:

A. Construir un histograma y su polígono de frecuencia.

B. Graficar el polígono de frecuencia.

Tiempo deescuchar radio

por minuto

Clases

ordinarias

Punto medio

o marca de

clase

Número deestudiantes

L1 - L2 Y´I-1 -Y´I YI nI

300 – 400

400 – 500

500 – 600

600 – 700

700 – 800

800 – 900

900 - 1000

300.5 – 399.5

400.5 – 499.5.

500.5 – 599.5

600.5 – 699.5

700.5 – 799.5

800.5 – 899.5

900.5 – 999.5

350

450

550

650

750

850

950

14

46

22

6

50

35

27

N = 200

110


2.4.3.3 Distribución de Frecuencia Relativa o Porcentual

La columna de las Frecuencias Relativas o Porcentuales se determina mediante

una regla de tres simple, según la cual el total de las frecuencias absolutas equivale al

100%. Los Histogramas y Polígonos de Frecuencias Relativas o Porcentuales se

caracterizan por tener una escala relativa o porcentual paralela al eje de las frecuencias,

pudiendo presentarse dos casos:

Cuando frente a la mayor frecuencia de clase le corresponde una frecuencia

relativa múltiplo de 10.

Cuando frente a la mayor frecuencia de clase no le corresponde una frecuencia


Primer Caso

Ejercicio: Construir el Histograma y Polígono de Frecuencias Relativo o Porcentual

correspondiente a la siguiente distribución.

La mayor frecuencia de clase es 20

L1 - L2 Yi -1 - Yi Yi ni hi

45 - 55 45.5 - 54.5 50 4 8%

55 - 65 55.5 - 64.5 60 12 24%

65 - 75 65.5 - 74.5 70 20 40%

75 - 85 75.5 - 84.5 80 10 20%

85 - 95 85.5 - 94.5 90 4 8%

N = 50

110












Primer Caso





45 - 55 45.5 - 54.5 50 4 8%

55 - 65 55.5 - 64.5 60 12 24%

65 - 75 65.5 - 74.5 70 20 40%

75 - 85 75.5 - 84.5 80 10 20%

85 - 95 85.5 - 94.5 90 4 8%

N = 50

110












Primer Caso





45 - 55 45.5 - 54.5 50 4 8%

55 - 65 55.5 - 64.5 60 12 24%

65 - 75 65.5 - 74.5 70 20 40%

75 - 85 75.5 - 84.5 80 10 20%

85 - 95 85.5 - 94.5 90 4 8%

N = 50

111


Segundo Caso



L1 - L2 Yi´-1 - Yi´ Yi ni hi

0.0005 - 0.0025 0.001 - 0.002 0.0015 30 11.5%

0.0025 - 0.0045 0.003 - 0.004 0.0035 50 19.3%

0.0045 - 0.0065 0.005 - 0.006 0.0055 40 15.4%

0.0045 - 0.0065 0.007 - 0.008 0.0075 20 7.5%

0.0065 - 0.0085 0.009 - 0.0010 0.0095 60 23.1%

0.0085 - 0.0105 0.011 - 0.012 0.0115 10 3.8%

0.0105 - 0.0125 0.013 - 0.014 0.0135 50 19.3%

N = 50


La frecuencia relativa que le corresponde es 23.1%

23.1% no es múltiplo de 10

Por lo que se aproxima al múltiplo de 10 más cercano: 30%

Si 23.1% 60

30% x

x = 1800 / 23.1 = 77.92

112


Ejercicio: Construir el Histograma y polígono de frecuencia relativa o porcentual de

la siguiente distribución que nos indica el control de calidad de 260 repuestos de

computadoras.

L1 - L2 Y´ I - 1 -Y´ I Y I n I h I

0.0005-0.0025

0.0025-0.0045

0.0045-0.0065

0.0065-0.0085

0.0085-0.0105

0.0105-0.0125

0.0125-0.0145

0.001 - 0.002

0.003 - 0.004

0.005 - 0.006

0.007 - 0.008

0.009 - 0.010

0.011 - 0.012

0.013 - 0.014

0.0015

0.0035

0.0055

0.0075

0.0095

0.0115

0.0135

30

50

40

20

60

10

50

11.5%

19.2%

15.4%

7.7%

23.1%

3.8%

19.2%

Si 23.1 tiene 60 ni

30 X

X = 1800

23.1

X =77.922078

113


2.4.3.4 DDiissttrriibbuucciióónn ddee FFrreeccuueenncciiaass AAccuummuullaaddaass ((NNii)) uu OOjjiivvaass

Este tipo de distribución sirve para saber inmediatamente cuantas frecuencias hay por encima o

por debajo de un límite real dado, para esto es suficiente construir las columnas de frecuencias

acumuladas mayor y menor que el gráfico correspondiente a los distribuciones de frecuencias

acumuladas reciben el nombre de OJIVAS pudiendo ser simétricas o asimétricas.

Las distribuciones de frecuencias perfectamente simétricas reciben el nombre de curvas

normales o campanas de Gauss y sirven de unidad de medida de comparación para determinar

el sesgo construir la OJIVA correspondiente al siguiente cuadro de distribución de frecuencias.

Una distribución simétrica se reconoce cuando la

(X = Md =Mo).

La distribución asimétrica pueden presentar las siguientes relaciones según estén segadas a la

derecha o izquierda

Gráficamente las Frecuencias Acumuladas "menores que" se construyen de derecha a

izquierda; y las Frecuencias Acumuladas "mayores que" se construyen de izquierda a

derecha.

X > Md > Mo X < Md < Mo

114


Ejercicio: Construir la Ojiva correspondiente al siguiente cuadro de distribución

frecuencias.

L1 - L2 Yi Ni Ni Ni hi Hi

< 45 = 0 > 45 = 50

45 - 55 50 4 < 55 = 4 > 55 = 46 8% 8%

55 - 65 60 12 < 65 = 16 > 65 = 34 24% 32%

65 - 75 70 20 < 75 = 36 > 75 = 14 40% 72%

75 - 85 80 10 < 85 = 46 > 85 = 4 20% 92%

85 - 95 90 4 < 95 = 50 > 95 = 0 8% 100%

N = 50 HI =

100%

115


2.4.3.5 Tipos de Curvas

1) SIMÉTRICA O BIEN FORMADA

Característica: las distancias son iguales.

X

Md

Mo

2) SESGO POSITIVO O SESGADO A LA DERECHA

Mo Md X

X = Md = Mo

+X > Md > Mo

X > Md > Mo

116


3) SESGO NEGATIVO O SESGADO A LA IZQUIERDA

X Md Mo

4) FORMA DE J

- X < Md < Mo

117


5) FORMA DE J – INVERTIDA

6) FORMA DE U

7) FORMA BIMODAL

118


8) FORMA MULTIMODAL

9) SESGO

+ -

119


10) KURTOSIS

Zeptocúrtica

Mesocúrtica

Platicúrtica

1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 ti

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PRESENTACIÓN DE DATOS...Los límites clase superior e inferior establecidos en una distribución de frecuencias nos indican las “cotas” o fronteras de cada clase en la distribución,