DIMENSIONAL ANALYSISDIMENSIONAL ANALYSISDIMENSIONAL ANALYSISDIMENSIONAL ANALYSIS

AND MODELINGAND MODELINGAND MODELINGAND MODELING((((AnalisisAnalisisAnalisisAnalisis DimensiDimensiDimensiDimensi dandandandan PemodelanPemodelanPemodelanPemodelan))))

Kristianus JamlayKristianus JamlayP2201214401

JURUSAN TEKNIK MESIN PROGRAM PASCASARJANA

UNIVERSITAS HASANUDDIN

MAKASSAR 2014

Metode mengulang variaebel maupun PI Theorem

merupakan metode yang dipopulerkan oleh Edgar

Buckingham (1867-1940).

Metode ini pertama kali diterbitkan oleh ilmuwan

Rusia Dimitri Riabouchinsky (1882-1962) pada tahun

1911.

Metode PI Theorem adalah salah satu metode untuk

menentukan hubungan bilangan tak berdimensi

(nondimensional). Jumlah hubungan bilangan tak

berdimensi dengan menggunakan Pi-Theorem Method

ditentukan oleh beberapa parameter dan jumlah

elemen pokok atau dimensi dasar, yaitu M, L, T.elemen pokok atau dimensi dasar, yaitu M, L, T.

Theorema Pi-Backingham merupakan salah satu

metode yang digunakan dalam mereduksi bilangan

peubah dimensi ke dalam bilangan yang lebih kecil

dari kelompok-kelompok dimensi.

Theorema Pi-Backingham menyatakan bahwa pada

suatu persamaan dimensi homogen yang melibatkan n

variabel, jumlah produk non dimensional yang dapat

dibentuk dari n variabel ialah n-r di mana r adalah

jumlah unit satuan dasar dari variabel yang terlibat.

Dengan Theorem Pi-Buckingham, rumus-rumus yang

ada disusun kembali menjadi rumus baru yang

dinyatakan dalam produk non-dimensi (istilah pi).

Contohnya ; 1 = (1, 1, n-r)

Syarat variabel yang dapat dipilih pada metode ini

adalah :

1. Variabel yang terpilih haruslah penting

2. Variabel yang terpilih harus meliputi semua dimensi

3. Variabel independen yang tidak berulang sedapat

Secara singkat langkah-langkah melakukan analisa

dimensi dengan buckingham Pi theorem, adalah

sebagai berikut :

3. Variabel independen yang tidak berulang sedapat

mungkin harus dimasukkan

4. Variabel aliran yang relevan harus dikelompokkan

menjadi :

- variabel geometrik

- variabel kinematik

- variabel dinamik

Membuat daftar seluruh variabel fisik berdasarkan

tipenya (geometrik, kinematik, dinamik)

Memilih sistem dimensi untuk seluruh variabel

yang dipakai seperti M (massa), L (panjang), dan T

(waktu).

Memilah variabel-variabel yang ada ke dalam

sistem dimensi dasar, dengan bantuan matriks

dimensi, misalnya :

1. Mereduksi Data

dimensi, misalnya :

A B n

L X1 X2 Xn

T Y1 Y2 Yn

M Z1 Z2 Zn

2. Menuliskan untuk setiap variabel yang telah

dipilih.

Misalkan

Dari eksponen x1.xn, y1.yn, z1..zn dicari dengan

mencari jumlah eksponen variabel sejenis menjadi

nol.nol.

3. dikonversikan dalam bentuk praktis dan i

dapat dinyatakan dalam bentuk lain,

f (1, 2, 3.n)= 0

2 = f (1, 3.n)

atau

4. Memeriksa ulang hasil yang telah di dapat untuk

memastikan bilangan yang di dapatkan adalah

non-dimensi.

Engel dan Cimbala, 2006, telah

menyimpulkan prosedur penyelesaian

method of repeating variables dan Pi

theorem Method, yaitu :

1. Tentukan parameter-paramater dan hitung

jumlah parameter tersebut.

2. Tentukan dimensi pokok untuk setiap n

parameterparameter

3. Masukkan pengurangan j sebagai dimensi

pokoknya, hitung k sebagai jumlah

hubungan bilangan tak berdimensi, k = n j

4. Pilih j parameter berulang

5. Buat jumlah k dan selesaikan

6. Tulis hubungan paramater-paramater yang

dicari.

1. Tekanan dalam gelembung sabun

Misalkan anak-anak bermain gelembung sabun,

dan kita ingin mengetahui hubungan antara

radius gelembung sabun dan tekanan di dalam

gelembung sabun, seperti gambar di bawah ini:

Kita memperkirakan bahwa tekanan di dalam

gelembung sabun harus lebih besar dari tekanan

atmosfer, dan dinding dari gelembung sabun berada di

bawah tekanan, seperti dinding balon. Perlu diketahui

bahwa tegangan permukaan properti harus

diperhatikan dalam masalah ini. Dengan tidak

mengetahui ilmu fisika lainnya, anda diminta untuk

menyelesaikan persoalan tersebut dengan

menggunakan analisis dimensional. Dimana hubungan

antara perbedaan tekanan @P = Pinside - Poutside, radius

gelembung sabun R, dan tegangan permukaan filmgelembung sabun R, dan tegangan permukaan film

sabun s

Perbedaan tekanan antara bagian dalam gelembung

sabun dan udara luar yang akan dianalisis dengan

metode mengulang variabel.

Penyelesaian ;

Adapun asumsi bahwa ;

1. Gelembung sabun mengapung secara netral di

udara, dan gravitasi tidak relevan.

2. Tidak ada variabel atau konstanta lain yang

penting dalam persoalan ini.

Analisis ;

Langkah demi langkah dengan menggunakan metode

mengulang variabel

Langkah 1

Ada tiga variabel dan konstanta dalam soal ini yaitu n

= 3. Dimana variable dan konstanta tersebut dalam

bentuk fungsional, dengan variabel terikat sebagai

fungsi dari variabel tidak terikat (bebas) dan

konstanta :

Daftar parameter yang sesuaiDaftar parameter yang sesuai

Langkah 2

Dimensi utama setiap parameter yang terdaftar.

Dimensi tegangan permukaan yang diperoleh dari

Contoh 7-1, dan tekanan dari Contoh 7-2

Langkah 3

Sebagai kasus pertama, j diatur sama dengan 3,

jumlah dimensi utama yang diwakili (m, L, dan t) .

Reduction (first guess) j = 3

Langkah 4Dilihat pada buku hal 284

Langkah 5

Langkah 6

Kita menuliskan hubungan fungsional akhir. Dalam hal

ini, hanya terdapat satu Pi (), yang merupakan suatu

fungsi tanpa apapun. Ini bisa saja ada jika Pi ()

adalah konstan. Tempatkan persamaan dua ke dalam

bentuk fungsional dari persamaan 7-11

Lift on a Wing

2. PENGUJIAN EKSPERIMENTAL DANKESAMAAN LENGKAPSalah satu aplikasi tentang analisa

dimensional yang paling bermanfaat adalah

dalam perancangan phisik dan/atau pengujian

kwantitatif, serta dalam melaporkan hasil

pengujian tersebut.

Pengaturan eksperimen dan data korelasi

Pertimbangkan masalah dengan 5 parameterdimana 1 terikat dan 4 bebas.dimana 1 terikat dan 4 bebas.

Uji matriks penuh dengan 5 poin data untukmasing-masing parameter bebas akanmembutuhkan 54 = 625 pengujian !!

Jika kita dapat mengurangi ke-2 's, jumlahparameter bebas berkurang dari 4 - 1, yangmenghasilkan 51=5 pengujian vs 625 !!

Wanapum Dam on

Columbia River

Physical Model at

Arus dengan permukaan bebas hambatan

yang unik hadir dalam mencapai kesamaan

dinamis lengkap .

Untuk aplikasi hidrolik, kedalaman sangat

kecil dibandingkan dengan dimensi

horisontal. Jika kesamaan geometris yang

digunakan, kedalaman model yang akan

sangat kecil sehingga pengaruh-pengaruh

lain yang akan muncul.Physical Model at

Iowa Institute of

Hydraulic Research

lain yang akan muncul.

Efek Tegangan permukaan ( bilangan

Weber ) akan menjadi penting

Pengumpulan data menjadi sulit.

Oleh karena itu, model terdistorsi bekerja,

yang membutuhkan koreksi/korelasi empiris

guna menentukan kemungkinan model data

untuk skala penuh

Untuk hidrodinamika kapal, kesamaan Fr

dipertahankan (tetap) sementara kesamaan

Re dapat berubah.

Kenapa ? Lihat pada kesamaan lengkap :

1/20th scale model

Untuk mencocokan kedua Re dan Fr, viskositas

dalam uji model merupakan fungsi dari rasio

skala ! Hal ini tidak layak

Example

Model Lock & River

Problem :

Solution :

Disarankan untuk gunakan suatu cairan

dalam pengujian sesuai dengan model

dengan skala seperseratus dari kunci,dengan skala seperseratus dari kunci,

bendungan, dan sungai.

Assumptions :1. Model ini secara geometris mirip dengan

prototipe.

2. Model sungai cukup dalam sehingga efek

tegangan permukaan tidak signifikan.

Properties : Untuk air pada tekanan atmosfir dan pada T = 200C,

Viskositas kinematik prototipe adalah :

vp = 1.002 x 10-6 m2/s

Analysis : Persamaan 7-24

Diperlukan viskositas kinematik model cair :

Dengan demikian , kita perlu menemukan

cairan yang memiliki viskositas 1.00 x 10-9

m2/s.

Air panas memiliki viskositas kinematik yang

lebih rendah daripada air dingin, tetapi

hanya sekitar 10-6 m2/s.

Air Raksa memiliki viskositas kinematik yang

sangat kecil, tetapi order 10-7 m2/s, masih

belum memenuhi Persamaan-1

Bahkan jika merkuri cair akan bekerja, itu

sangat mahal dan terlalu berbahaya untuk

digunakan dalam tes tersebut.

Apa yang harus kita lakukan ?Intinya adalah bahwa kita tidak bisaIntinya adalah bahwa kita tidak bisa

mencocokkan baik bilangan Froude dan

bilangan Reynolds dalam model tes ini.

Dengan kata lain, tidak mungkin untuk

mencapai kesamaan lengkap antara model

dan prototipe dalam kasus ini.Sebaliknya,

kita melakukan pekerjaan terbaik yang kita

bisa terhadap kondisi kesamaan lengkap. Air

biasanya digunakan dalam tes tersebut untuk

kenyamanan.

B. Kesamaan Lengkap

Sebagaimana telah ditunjukkan beberapa

contoh di mana kelompok tidak berdimensi

mudah diperoleh dengan kertas dan pensil

melalui penggunaan langsung dari metode

mengulangi variabel. Bahkan, setelah latihan

yang cukup, dapat memperoleh s dengan

mudah. Sayangnya, sering jauh berbeda

ketika kita menerapkan hasil analisis dimensi

untuk data pengujian. Masalahnya adalahuntuk data pengujian. Masalahnya adalah

bahwa hal itu tidak selalu mungkin untuk

mencocokkan semua model s yang sesuai s

prototipe, bahkan saat kita berhati-hati untuk

mencapai kesamaan geometris. Situasi inilah

yang disebut kesamaan lengkap (Incomplete

similarity). Untungnya, dalam beberapa kasus

kesamaan lengkap, kita masih bisa

meramalkan model tes untuk mendapatkan

prediksi skala penuh yang wajar .

Pengujian Terowongan Angin

Ilustrasi kesamaan lengkap dengan kasus pengukuran

gaya hambat aerodinamika pada model truk dalam

terowongan angin ( Gbr. 7-38 ).

Misalkan kita membeli sebuah Model traktor dengan 18

roda berskala skala 1/16. Model ini memiliki geometris

dengan prototipe bahkan dalam rincian seperti sisi

cermin, flaps lumpur, dll. Panjang model 0,991 m, sesuai

dengan panjang prototipe skala penuh dari 15,9 m .dengan panjang prototipe skala penuh dari 15,9 m .

Model truk yang akan diuji dalam terowongan angin yang

memiliki kecepatan maksimum 70 m/s. Bagian uji

terowongan angin adalah 1,0 m tinggi dan 1,2 m lebar

cukup besar untuk menampung model tanpa perlu

khawatir tentang gangguan dinding atau efek

penyumbatan. Udara di terowongan angin pada suhu

yang sama dan tekanan udara yang mengalir di sekitar

prototipe. Kita akan mensimulasikan aliran pada Vp = 60

mil / jam ( 26,8 m / s ) atas prototipe truk skala penuh.

Hal pertama yang kita lakukan adalah sesuai dengan

bilangan Reynolds,