Prezenta c i Jalo Gika

8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika

1/52

ŠKOLA MATEMATIKETautologije kao principi zaključivanja

Nermin Okičić

PMF Tuzla , odsjek: Matematika

26.01.2015.

http://goforward/http://find/http://goback/


2/52

ŠKOLA MATEMATIKE

Šta je matematika

Šta je matematika?

Citat iz knjige ”Šta je matematika?” R. Courant, H. Robbinson

Matematika kao izraz ljudskog uma reektuje aktivnu volju,kontenplativno rasudivanje i želju za estetičkim savršenstvom.Njeni osnovni elementi su logika i intuicija, analiza i konstrukcija,opštost i posebnost. Mada različite tradicije često ističu različitastanovǐsta, samo medusobno djelovanje ovih suprotnih sila i borbaza njihovu sintezu čini život, korisnost i najvišu vrijednostmatematičke nauke.

http://find/


3/52

ŠKOLA MATEMATIKE

Šta je logika

Šta je logika?

Logika je nauka o logosu , pri čemu se pod logosom podrazumijevagovor, riječ, smisao izražen riječima, pojam duha ili misao.Najuobičajenije shvatanje logike je da je to nauka o mišljenju, o

poretku misli ili o poretku razuma. Pri tome se pretpostavlja ilipodrazumijeva da se razum ponaša po nekim pravilima, a tapravila su upravo logička pravila.Za logiku kažu da je lozofska disciplina koja se bavi oblicimavaljane misli (G. Petrović) ili da je to disciplina koja se bavi

načelima dosljednog zaključivanja. Pri tome dosljednost uzaključivanju ne treba da zavisi samo o značenju rečenica i riječi,koje mogu čak biti i nepoznate. Logička dosljednost je neštosasvim apstraktno i treba da se tiče same forme i oblika. Zbogtoga je logika formalna nauka.

http://find/


4/52

ŠKOLA MATEMATIKE

Šta je logika

Šta je logika?

Logika je nauka o logosu , pri čemu se pod logosom podrazumijevagovor, riječ, smisao izražen riječima, pojam duha ili misao.Najuobičajenije shvatanje logike je da je to nauka o mišljenju, o

poretku misli ili o poretku razuma. Pri tome se pretpostavlja ilipodrazumijeva da se razum ponaša po nekim pravilima, a tapravila su upravo logička pravila.Za logiku kažu da je lozofska disciplina koja se bavi oblicimavaljane misli (G. Petrović) ili da je to disciplina koja se bavi

načelima dosljednog zaključivanja. Pri tome dosljednost uzaključivanju ne treba da zavisi samo o značenju rečenica i riječi,koje mogu čak biti i nepoznate. Logička dosljednost je neštosasvim apstraktno i treba da se tiče same forme i oblika. Zbogtoga je logika formalna nauka.

ˇ



5/52

ŠKOLA MATEMATIKE

Odnosi medu iskazima

U izgradnji neke matematičke teorije iz aksioma i denicijalogičkim rasudivanjem izvodimo teoreme.Teorem (tvrdnja, poučak, stav) je matematička izjava čija seistinitost utvrduje dokazom. Obično se misli na istinitu izjavu, iakonije isključeno da je izjava lažna.Tako je poznati matematičar Fermat iskazao tvrdenje da su svibrojevi oblika 22

n

(n∈N∪{0}) prosti brojevi, što je pogrešno jer

kako je pokazao Euler, već za n = 5 to nije tačno.

ˇ

http://find/http://goback/


6/52

SKOLA MATEMATIKE


U formulaciji teorema razlikuju se dva dijela: pretpostavka (uslov,hipoteza) P i tvrdnja (zaključak, posljedica, teza) Q. Pretpostavka je jedna ili vǐse izjava koje se smatraju istinitima, a tvrdnja je

izjava koju treba dokazati.Ponekad učenici imaju poteškoća s odredivanjem šta jepretpostavka, a šta tvrdnja teorema, a samim tim imaju probleme ipri dokazivanju takvog teorema. Stoga treba pri obradi teoremauložiti dodatni napor pri rasvjetljavanju tih bitnih dijelova teorema,razlažući ga, pa čak i preformulirajući ga.

ŠKOLA MATEMATIKE

http://find/


7/52

SKOLA MATEMATIKE


Teoreme uobičajeno imaju oblik implikacije P ⇒Q, što čitamo kao

P implicira Q,

ŠKOLA MATEMATIKE

http://goforward/http://find/


8/52

SKOLA MATEMATIKE



P implicira Q,ako P onda Q,

ŠKOLA MATEMATIKE



9/52

SKOLA MATEMATIKE



P implicira Q,ako P onda Q,P je dovoljan za Q,



10/52

ŠKOLA MATEMATIKE


11/52

SKOLA MATEMATIKE


Primjeri:

U narednom primjeru istaknimo šta je pretpostavka ( P ), a štatvrdnja teorema ( Q):

TeoremDijagonale romba su okomite.

P : ˇCetvorougao je romb.Q: Dijagonale su mu okomite.

ŠKOLA MATEMATIKE

http://find/


12/52

S O


Primjeri:


TeoremProizvod dva uzastopna prirodna broja je paran broj.

P : Brojevi su uzastopni prirodni brojevi.Q: Proizvod im je paran broj.

ŠKOLA MATEMATIKE

http://find/


13/52


Primjeri:


TeoremU svakom trouglu naspram podudarnih stranica leže podudarni uglovi.

P : U trouglu dvije stranice su podudarne.Q: Uglovi naspram tih stranica su podudarni.

ŠKOLA MATEMATIKE

http://find/


14/52


Primjeri:


TeoremZbir uglova u trouglu je 180◦ .

P : Poligon je trougao.Q: Zbir uglova mu je 180◦ .

ŠKOLA MATEMATIKE



15/52


Primjeri:


TeoremSvaki se kvadratni trinom ax 2 + bx + c može napisati u obliku a(x −x1 )(x −x2 ), gdje su x1 i x2 rješenja kvadratne jednačine ax 2 + bx + c = 0 .

ŠKOLA MATEMATIKE

http://find/


16/52


Primjeri:



P : x1 i x2 su rješenja kvadratne jednačine ax 2 + bx + c = 0 .

ŠKOLA MATEMATIKE

http://find/


17/52


Primjeri:



P : x1 i x2 su rješenja kvadratne jednačine ax 2 + bx + c = 0 .Q: Kvadratni trinom ax 2 + bx + c se može napisati u oblikua(x −x1 )(x −x2 ).

ŠKOLA MATEMATIKE

http://find/


18/52


Strukturu teorema je najlakše prepoznati ako je u formi ”Ako je ...onda je ...”. Tako bi u malopredašnjem primjeru

ŠKOLA MATEMATIKE

http://find/


19/52


Strukturu teorema je najlakše prepoznati ako je u formi ”Ako je ...onda je ...”. Tako bi u malopredǎsnjem primjeru 1 imali

TeoremAko je četvorougao romb onda su mu dijagonale okomite.

ŠKOLA MATEMATIKE



20/52



TeoremAko su prirodni brojevi uzastopni onda je njihov proizvod paranbroj.

ŠKOLA MATEMATIKE

Od i d i k i

http://find/


21/52



TeoremAko su u trouglu dvije stranice podudarne onda su njihovi naspramni uglovi podudarni.

http://find/


22/52

ŠKOLA MATEMATIKEOdnosi medu iskazima


23/52


Strukturu teorema je najlakše prepoznati ako je u formi ”Ako je ...onda je ...”. Tako bi u malopredašnjem primjeru 5 imali

TeoremAko su x1 i x2 su rješenja kvadratne jednačine ax 2 + bx + c = 0onda se kvadratni trinom ax 2 + bx + c se može napisati u obliku a(x −x1 )(x −x2 ).


http://find/


24/52


Obrat teorema

Uz svaki teorem oblika P ⇒Q vezujemo izjavu oblika Q⇒P ,koju nazivamo obrat teorema . Treba napomenuti da obratistinitog teorema ne mora biti istinita tvrdnja.Ako je i obrat teorema teorem, tj. istinita tvrdnja, tada ta dvateorema vrlo često zapisujemo kao izjavu oblika P ⇔Q i čitamo:

P je ekvivalentno Q,


http://find/


25/52


Obrat teorema



P je ako i samo ako Q,


http://find/


26/52


Obrat teorema



P je ako i samo ako Q,P je potreban i dovoljan za Q,


http://find/


27/52

Obrat teorema je

TeoremAko su dijagonale četvorougla okomite onda je on romb.

Naravno da je ova tvrdnja neistinita jer deltoid je četvorougao saokomitim dijagonalama, a nije romb.


http://find/


28/52

Obrat teorema je

Teorem

Ako je proizvod dva prirodna broja paran onda su ti brojevi uzastopni.

Naravno i ova tvrdnja je neistinita jer proizvod bilo koja dva parnaprirodna broja je paran broj.


http://find/


29/52

Obrat teorema je

TeoremAko su dva ugla u trouglu podudarna onda naspram njih leže

podudarne stranice.Ovo je tačna tvrdnja, pa bi smo obje tvrdnje iskazali u obliku,

TeoremDvije stranice u trouglu su podudarne ako i samo ako naspram njihleže podudarni uglovi.


http://find/


30/52

Obrat teorema je

TeoremAko je zbir uglova u poligonu 180◦ onda je taj poligon trougao.

I ovo je tačna tvrdnja.


http://find/


31/52

Obrat teorema je

TeoremAko se kvadratni trinom ax 2 + bx + c može napisati u obliku a(x −x1 )(x −x2 ) onda su x1 i x2 rješenja kvadratne jednačine ax 2 + bx + c = 0 .


http://find/


32/52

Kontrapozicija teorema

Izraz

¬Q

⇒¬P nazivamo kontrapozicija tvrdenja P

⇒Q. Ova

dva iskaza su medusobno logički ekvivalentni i predstavljajupoznatu tautologiju zakon kontrapozicije

(P ⇒Q) ⇔ (¬Q⇒¬P ) .


http://find/


33/52


TeoremDijagonale romba su okomite.

je

TeoremAko dijagonale četverougla nisu okomite, tada on nije romb.


http://find/


34/52


TeoremProizvod dva uzastopna prirodna broja je paran broj.

je

TeoremAko proizvod dva prirodna broja nije paran, tada ti brojevi nisu

uzastopni prirodni brojevi.




35/52


TeoremU svakom trouglu naspram podudarnih stranica leže podudarni uglovi.

je

TeoremAko dva ugla u trouglu nisu podudarna onda ni stranice naspramnjih nisu podudarne.


http://find/


36/52


TeoremZbir uglova u trouglu je 180◦ .

je

TeoremAko zbir uglova u trouglu nije 180◦ onda taj poligon nije trougao.




37/52

Kontrapozicija teoremaTeoremSvaki se kvadratni trinom ax 2 + bx + c može napisati u obliku a(x −x1 )(x −x2 ), gdje su x1 i x2 rješenja kvadratne jednačine ax

2

+ bx + c = 0 . je

TeoremAko se kvadratni trinom ax 2 + bx + c ne može napisati u obliku a(x −x1 )(x −x2 ) onda x1 i x2 nisu rješenja kvadratne jednačine ax 2 + bx + c = 0 .

ŠKOLA MATEMATIKEDokazi

http://find/


38/52

O dokazima

Dokaz tvrdenja P ⇒Q u nekoj teoriji je konačan niz tvrdenjaQ1 , Q 2 ,...,Q n te teorije, u kojem je svaka tvrdnja ili aksiom ili jedobivena iz prethodno dokazanih tvrdnji tog niza po nekom praviluzaključivanja, a posljednja tvrdnja tog niza je tvrdnja Q.


http://find/


39/52

O dokazima

Dokazivanje tvrdenja ima svoje izuzetno mjesto u nastavimatematike. Naime, učeći dokazivati tvrdnje, kandidat učirasudivati, što je jedan od osnovnih zadataka nastave matematike.Kandidat koji se u daljnjem životu i neće baviti matematikom kaonaukom, mora znati rasudivati u svakodnevnom životu.


http://find/


40/52

O dokazima

U principu razlikujemo dvije vrste dokaza: direktni dokaz iindirektni dokaz .


Direktni dokaz

http://find/


41/52

Kod direktnog dokaza neke tvrdnje Q polazimo od pretpostavke P ,

koristeći aksiome, denicije i već dokazane tvrdnje, zaključujući podedukciji , dolazimo do tvrdnje Q.

ˇSKOLA MATEMATIKE

Dokazi

Direktni dokaz

http://find/


42/52

Dedukcija kao pravilo zaključivanja je zasnovana na tautologiji kojase naziva Modus ponens i koja glasi

p ∧ ( p ⇒ q ) ⇒ q .

ˇSKOLA MATEMATIKE

Dokazi

Direktni dokaz

http://find/


43/52

Teorem (AG nejednakost)

Za proizvoljne pozitivne realne brojeve x i y vrijedi

√ xy ≤ x + y

2 .

Dokaz : Neka su x, y

∈R proizvoljni. Kako je kvadrat bilo kog

realnog broja nenegativan, to će vriijediti (x −y)2

≥0.Dakle, vrijedi x2 −2xy + y2

≥0. Dodajući i lijevoj i desnoj straniizraz 4xy, dalje vrijedi x2 + 2 xy + y2 ≥4xy.Posljednje je ekvivalentno sa (x + y)2 ≥4xy. Korjenujući i lijevu idesnu stranu, imajući na umu da su obje strane nenegativne,dobijamo x + y ≥2√ xy. Djeleći ovu nejednakost sa 2 slijedi

x + y2 ≥√ xy ,

što je i trebalo dokazati.

♣ ˇSKOLA MATEMATIKE

Dokazi

Direktni dokaz

http://find/


44/52

Teorem (Obrat Pitagorine teoreme)Ako u trouglu △ABC vrijedi c

2 = a2 + b2 tada je to pravougli trougao sa pravim uglom u tjemenu C .

Dokaz : Neka je dat trougao

△ABC za koga vrijedi c2 = a2 + b2 .

Posmatrajmo △A′ B ′ C ′ kod koga je a ′ = a i b′ = b i koji ima prav

ugao u tjemenu C ′ . Za njega prema Pitagorinoj teoremi vrijedic′ 2 = a ′ 2 + b′ 2 = a2 + b2 = c2 , iz čega zaključujemo da je c′ = c.Dakle, △ABC i △A

′ B ′ C ′ imaju podudarne sve tri stranice te suprema pravilu SSS ova dva trougla podudarna. Dakle, imajupodudarne odgovarajuće uglove, a to znači da je ugao u tjemenu C trougla △ABC prav ugao. ♣

ˇSKOLA MATEMATIKE

Dokazi

Indirektni dokaz

http://find/


45/52

Od indirektnih dokaza dva su najčešće primjenjivana:Dokaz po kontrapoziciji i Svodenje na protivuriječnost .

ˇSKOLA MATEMATIKE

Dokazi

Indirektni dokaz



46/52

Dokaz po kontrapoziciji se zasniva na tautologiji Zakonkontrapozicije

( p ⇒ q ) ⇔ (¬q ⇒ ¬ p) .

http://find/


47/52

ˇSKOLA MATEMATIKE

Dokazi

Indirektni dokaz


48/52

Teorem (Obrat Pitagorine teoreme)

Ako u trouglu

△ABC vrijedi c2 = a2 + b2 tada je to pravougli

trougao sa pravim uglom u tjemenu C .

Dokaz : Pretpostavimo da ∠C nije prav. Razmotrimo dvijemogućnosti:(I) Neka je ∠C oštar. Tada visina ha iz tjemena A na stranicu BC ima podnožje D ∈BC i označimo sa x = DC . Posmatrajmotrouglove △ADC i △ADB . To su pravougli trouglovi pa vrijediPitagorina teorema h2a = b2 −x

2 i h2a = c2 −(a −x)2 . Kako su

ovo iste veličine, tj. b2 −x2 = c2 −(a −x)

2 , dobijamo

c2

= a2

+ b2

−2ax = a2

+ b2

,što je negirana pretpostavka naše teoreme. Dakle, dokazali smo daiz ¬Q slijedi ¬P , što je prema zakonu kontrapozicije ekvivalentnoda smo dokazali da iz P slijedi Q.(II) Ako je ∠C oštar dokaz je sličan prethodnom.

♣ ˇSKOLA MATEMATIKE

Dokazi

Indirektni dokaz

http://find/


49/52

Dokaz svodenjem na protivuriječnost zasniva se na tautologijiReductio ad absurdum

p ⇒ (q ∧¬q ) ⇒ ¬ p .

ˇSKOLA MATEMATIKE

Dokazi

Indirektni dokaz

http://find/


50/52

TeoremSkup prostih brojeva je beskonačan.

Dokaz : Pretpostavimo tvrdnju P , da prostih brojeva ima konačnomnogo. Dakle, skup prostih brojeva P = {2, 3, 5, 7,...,p} jekonačan. Posmatrajmo broj

n = (2 ·3 ·5 ·t ·... · p) + 1 .Broj n je veći od broja p pa dakle n /∈P tojest, n je složen broj(tvrdnja Q).S druge strane broj n nije djeljiv ni sa jednim brojem skupa P

(ostatak je uvijek 1) pa je on prost broj (tvrdnja ¬Q).Dakle, ako pretpostavimo P iz njega slijedi Q∧¬Q, te prematautologiji reductio ad absurdum zaključujemo da nije P , a ovoznači da prostih brojeva nema konačno mnogo ili prostih brojevaima beskonačno mnogo.

♣ ŠKOLA MATEMATIKEDokazi

Indirektni dokaz

http://find/


51/52

Teorem (AG nejednakost)

Za proizvoljne pozitivne realne brojeve x i y vrijedi

√ xy ≤ x + y

2 .

Dokaz : Neka su x, y pozitivni realni brojevi i neka vrijedi

√ xy > x + y2

.

Odavde onda dobijamo da vrijedi

x

−2√ xy + y < 0 ,

što je ekvivalentno sa

(√ x −√ y)2 < 0 .

Posljednje je netačno jer kvadrat proizvoljnog broja je nenegativan.

♣ ŠKOLA MATEMATIKEDokazi

Indirektni dokaz

http://find/


52/52

Posljednji primjer koristi modikaciju tautologije reductio adabsurdum koja glasi

(( p ∧ q ) ⇒ ⊥) ⇒ ( p ⇒ ¬q ) .
http://find/

Documents

Prezenta c i Jalo Gika