II. Równania, nierówności, układy równań

Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości (=), w których występuje jedna lub więcej niewiadomych, nazywamy równaniem.

Równania mogą zawierać:

-Jedną niewiadomą, np.

-Dwie niewiadome, np.

- Większą liczbę niewiadomych, np.

xx 123

02 xx

10 yx

63 2 yx

1057 zxtzyx

Jeśli w równaniu występuje tylko jedna niewiadoma i jest ona w pierwszej potędze, to takie równanie nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą lub równaniem stopnia pierwszego z jedną niewiadomą, np.

Można je zawsze doprowadzić do postaci: ax+c=0 ( ).

Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z jedna niewiadomą jest liczba, która postawiona w miejsce niewiadomej zmienia równanie w równość prawdziwą.

Jeśli jakaś liczba jest rozwiązaniem równania, to często mówimy, że liczba ta spełnia to równanie.

Równania, które mają ten sam zbiór rozwiązań, nazywamy równaniami równoważnymi, np. -3x+2=8 i 4x+8=0. Oba równania spełnia tylko liczba -2.

Równania równoważne do danego otrzymamy:

- Dodając lub odejmując taką samą liczbę (lub wyrażenie algebraiczne) do obu stron równania,

-mnożąc lub dzieląc obie strony równania przez te samą liczbę różna od zera

1534 z

383

1

4

1 xxx

0a

Równanie, które nie ma rozwiązanie, nazywamy równaniem sprzecznym.

Takim równaniem jest na przykład x+5=x. Jakąkolwiek liczbę podstawimy w miejsce niewiadomej, to zawsze lewa strona powstałej równości nie będzie równa stronie prawej.

Równanie, które jest spełnione dla każdej liczby, nazywamy równaniem tożsamościowym.

Przykładem takiego równanie jest równanie 2(x-2)=2x-4.

Przekształcając je, otrzymujemy: 2x-4=2x-4. Jakąkolwiek liczbę wstawimy w miejsce niewiadomej, zawsze po lewej stronie równania otrzymamy taka samą wartość jak po prawej.

RÓWNANIE PIERWSZEGO STOPNIA Z JEDNA NIEWIADOMĄNAZWANAZWA LICZBA LICZBA

ROZWIĄZAŃROZWIĄZAŃPRZYKŁADPRZYKŁAD ROZWIĄZANIEROZWIĄZANIE

Oznaczone Jedno 3x-2=2x-4 x=-2

Sprzeczne Zero 3(x+1)=3x+5 Brak rozwiązań

Tożsamość Nieskończenie wiele

4(x-1)+2(x-2)+2x Każda liczba rzeczywista

Nierównością liniową z jedną niewiadomą nazywamy wyrażenia, które można przedstawić w postaci:

- nierówności ostre

- nierówności nieostre

Gdzie a i b są dowolnymi liczbami, przy czym .

Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba, która ją spełnia, to znaczy taka liczba, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej daje nierówność prawdziwą. Na przykład zbiorem rozwiązań nierówności 2x>6 jest zbiór liczb większych od.3

Rozwiązaniem nierówności 3x-2<3(x-1)+1 jest zbiór wszystkich liczb, gdyż wstawiając w miejsce niewiadomej, po lewej i prawej stronie nierówności, dowolną liczbę zawsze otrzymujemy nierówność prawdziwą. Jest to nierówność tożsamościowa.

Żadna liczba nie spełnia nierówności x-3>x+5, bo wstawiając w miejsce niewiadomej do lewej i prawej stronie dowolną liczbę zawsze otrzymamy nierówność sprzeczną.

0a

0bax

0 bax

0 bax

0 bax

Mówimy, że dwie nierówności są równoważne, jeśli maja taki sam zbiór rozwiązań.

Nierówność możemy przekształcić w nierówność równoważną, jeśli:

- do obu stron nierówności dodamy (odejmiemy) tę samą liczbę lub to samo wyrażenie algebraiczne, np.

x>9 | -2 x>9 | +3x-6

x-2>7 4x-6>3x+3

- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez liczbę dodatnią, np.. Nierówności x>9 jest równoważna nierówność 3x<27.

- obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez liczbę ujemną i zmienimy znak nierówności na przeciwny, np. nierówności x>9 jest równoważna nierówność -3x<-27

Rozwiązując nierówność, postępujemy podobnie jak podczas rozwiązywania równań. Przekształcamy ją w nierówność równoważną, tak aby po jednej stronie nierówności zostały tylko niewiadome, a po drugiej stronie - liczba.

Chcąc opisać zbiór liczb większych lub równych od pewnej liczby, a jednocześnie mniejszej od innej, np.

Możemy go zapisać za pomocą nierówności podwójnej:

Tę podwójną nierówność przedstawia na osi odcinek.

5

8

x

x

85 x

Równaniami liniowymi z dwiema niewiadomymi są na przykład równania:

Można je doprowadzić do postaci: ax+by=c, gdzie x i y są niewiadomymi, a, b, c są współczynnikami liczbowymi, przy czym lub .

Równania: ax+by=c możemy przedstawić w postaci równania: .

Chcąc znaleźć parę liczb spełniających dane równanie, przyjmujemy za x dowolną wartość i obliczamy odpowiadająca mu wartość y.

Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi można przedstawić graficznie w układzie współrzędnych.

Prosta o równaniu ax+by=c otrzymujemy, wybierając dwa różne punkty, które spełniają to równanie, w więc leżą a tej prostej. Punkty staramy się wybrać tak, aby można je było łatwo zaznaczyć (najlepiej, gdy współrzędne punktów są liczbami całkowitymi).

0a

0b

b

cx

b

ay

12 yx

132 yx

3241352 yxyx

Nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi mogą mieć postać:

(nierówności ostre)

(nierówności nieostre)

Gdzie a, b, c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi

.

Każda nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi opisuje półpłaszczyznę wyznaczoną przez prostą ax+by=c (bez tej prostej, gdy nierówność jest ostra, wraz z tą prostą, gdy nierówność jest nieostra).

0,0 ba

cbyax

cbyax

cbyax

cbyax

Dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi tworzą układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest każda para liczb spełniająca jednocześnie oba równania układu.

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć:

-Dokładnie jedno rozwiązanie, gdy tylko jedna para liczb spełnia jednocześnie oba równania – wtedy jest to układ oznaczony.

-Nieskończenie wiele, wtedy nieskończenie wiele par liczb spełnia jednocześnie oba równania – wtedy jest to układ nieoznaczony.

- żadna para nie spełnia obu równań jednocześnie – wtedy jest to układ sprzeczny.

Mówimy, że dwa układy równań są równoważne, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań. Układy równoważne możemy otrzymać:

-Dodając do obu stron (lub odejmując od obu stron) któregokolwiek równania tę samą liczbę lub wyrażenie algebraiczne,

-Mnożąc (lub dzieląc) obie strony któregokolwiek równania przez tę sama liczbę lub wyrażenie algebraiczne różne od zera,

-Dodając (lub odejmując stronami) oba równania.

Układ równań liniowych z dwoma niewiadomymi możemy rozwiązać metodą graficzną i metodami algebraicznymi.

METODA GRAFICZNA -Rysujemy wykres obu równań w jednym układnie współrzędnych,

- Odczytujemy współrzędne punktów należących do obu wykresów jednocześnie.

POŁOŻENIE PROSTYCH W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH

Proste przecinają się Proste pokrywają się Proste są równoległe

PARY LICZB SPEŁNIAJĄCYCH UKŁAD RÓWNAŃ

Jedna paraJedna para NieskończeniNieskończenie wiele pare wiele par

Zero parZero par

NAZWA UKŁADU oznaczony nieoznaczony sprzeczny

METODA PODSTAWIANIA -Z jednego równania układu wyznaczamy jedną ze zmiennych (x lub y)

-Wyznaczoną zmienną podstawiamy do drugiego równania. Zmienia się wtedy ono w równanie z jedną niewiadomą.

- Z tego równania znajdujemy wartość niewiadomej. Obliczoną wartość wstawiamy do poprzedniego równania i znajdujemy wartość drugiej zmiennej.

METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW Rozwiązując układ równań ta metodą, budujemy dwa równoważne układy równań takie, że w jednym są przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, a w drugim przy niewidomej y.

W każdym układzie, po dodaniu równań stronami, eliminujemy jedną zmienną.

Otrzymujemy dwa równania, każde z jedną niewiadomą, zamiast dwóch układów równań.

Rozwiązując każde z nich, otrzymujemy rozwiązanie danego układy równań.

METODA MIESZANAPolega na wyznaczeniu jednej zmiennej za pomocą metody przeciwnych współczynników, a drugiej za pomocą metody podstawiania.

-W układzie równań przekształcamy oba równania, mnożąc je przez takie liczby, aby przy tej samej zmiennej w obu równaniach otrzymać przeciwne współczynniki.

-Dodajemy równania stronami, eliminując niewiadomą, przy której są przeciwne współczynniki. Otrzymujemy równanie z jedna niewiadoma.

-Wyliczamy wartość tej niewiadomej.

-Obliczona wartość podstawiamy w miejsce niewiadomej do dowolnego równania w układzie, po czym znajdujemy wartość drugiej niewiadomej.

Koniec części IIKoniec części II