EXAME UNIFICADO DAS POS-GRADUACOES EM FISICA DO RIO DE JANEIROEDITAL 2014-1

Primeiro Semestre de 2014 - 12 de novembro de 2013

AS 6 QUESTOES SAO OBRIGATORIAS.A PROVA TEM DURACAO MAXIMA DE 4 HORAS. BOA PROVA.

YOU WILL FIND THE ENGLISH VERSION AT THE END.

Problema 1: Considere um raio de luz passando de um meio 1 com ındice de refracao n1 para ummeio 2 com ındice de refracao n2.

a) Faca uma figura explicando a lei de reflexao e lei de refracao:

θ1 = θ1r, n1 sin θ1 = n2 sin θ2 (1)

indicando os angulos θ1, θ2 e θ1r (angulos de incidencia, refracao e reflexao, respectivamente),assim como o plano de incidencia.

b) Qual relacao entre n1 e n2 e necessaria para observar reflexao total? Calcule o angulo θ1 = θt paraque isso aconteca (angulo crıtico).

Considere agora que o raio de luz, dado por uma onda eletromagnetica incidente a partir do meio 1, sejacircularmente polarizado. Podemos decompor o campo eletrico �E em duas componentes linearmentepolarizadas, sendo uma perpendicular ao plano de incidencia (⊥) e outra paralela (�). As amplitudesrelativas das componentes refletidas em relacao a amplitude do campo incidente sao dadas pelas formulasde Fresnel

R⊥ :=

�E1r

E1

�

⊥= −sin(θ1 − θ2)

sin(θ1 + θ2)(2)

R� :=

�E1r

E1

�

�=

tan(θ1 − θ2)

tan(θ1 + θ2). (3)

c) Calcule o chamado angulo de Brewster θ1 = θB para o qual a luz refletida e linearmente polarizada.

d) Considere novamente a situacao de reflexao total do item (b) no caso em que θ1 > θt. Formalmente,θ2 se torna um numero complexo, porem as formulas (1)-(3) ainda permanecem validas. Mostreque neste caso a refletividade r⊥ := |R⊥|2 = 1 e r� := |R�|2 = 1 justificando o termo reflexao total.

Problema 2: Considere um disco circular de raio R carregado uniformemente com uma densidade decarga superficial σ.

a) Calcule o potencial eletrostatico em um ponto P a uma distancia z do centro do disco. Comomostra a figura 1, o ponto esta situado no eixo de simetria do disco.

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b) Obtenha o vetor campo eletrico no ponto P.

c) Obtenha expressoes aproximadas para o campo eletrico nos limites z � R e z � R e indique aquais sistemas fısicos estes dois limites correspondem.

Figura 1: Problema 2.

Problema 3: Uma partıcula de massa m e velocidade inicial �u colide elasticamente com outra demassa M , inicialmente em repouso no referencial do laboratorio. Apos a colisao, a partıcula de massam e defletida para um angulo de π/2 em relacao a direcao inicial do movimento e a magnitude desua velocidade e reduzida para u/

√3, onde u = |�u|. A partıcula de massa M emerge da colisao com

velocidade de magnitude v, numa direcao que faz um angulo θ com �u.

a) Determine θ.

b) Calcule v em funcao de u.

c) Calcule a razao M/m.

Problema 4: Um gas ideal executa um ciclo termodinamico que pode ser dividido em quatro etapas.Entre os estados A e B sofre uma compressao isotermica que o leva do estado (PA, VA) para o estado(PB, VB). Em seguida e levado isocoricamente (volume constante) para o estado C, no qual PC > PB.Na terceira etapa ocorre uma expansao isotermica levando-o ao estado D, que tem o mesmo volume VA

do estado inicial. Por fim, o sistema realiza um processo isocorico que o leva de volta ao estado inicialA.

a) Faca um esboco do digrama P ×V deste sistema e determine o trabalho realizado pelo gas em umciclo completo.

b) Calcule a variacao de entropia para cada etapa do ciclo. Dica: a energia interna de um gas idealso depende da temperatura na forma dU = CvdT , onde Cv e constante.

c) Uma tecnica de resfriamento conhecida por desmagnetizacao adiabatica foi originalmente propostanos anos 1920. Em sais paramagneticos a baixas temperaturas, a entropia associada a desordem

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dos spins (entropia magnetica) e dominante sobre as outras entropias (eletronica, de rede, etc.).Considerando as duas curvas apresentadas na figura abaixo, que representam a variacao da entropiamagnetica de um sal paramagnetico de spin S = 1/2 em funcao da temperatura e do campomagnetico, encontre a sequencia de processos termodinamicos que leva a um resfriamento a partirda temperatura de 50mK e B = 0. Indique na figura e explique cada um dos processos. Determinetambem a temperatura final do sistema.

d) Calcule a quantidade de calor retirada do sistema durante o processo proposto no ıtem c).

Figura 2: Problema 4.

Problema 5: Um aparelho A emite partıculas de spin 1/2 que se propagam ao longo do eixo y.As partıculas sao preparadas em um autoestado de Sz com autovalor +�/2. Um outro aparelho B,localizado no eixo y, mede o spin destas partıculas na direcao n = (sin θ, 0, cos θ), onde θ e um anguloentre 0 e π.

a) Qual e o operador correspondente as medidas realizadas por B? Denote esse operador por Sn.

b) Encontre os autovalores e autovetores de Sn expressos na base que diagonaliza Sz.

c) Quais os valores medidos em B e suas respectivas probabilidades?

As matrizes de Pauli sao:

σx =

�0 11 0

�, σy =

�0 i

−i 0

�e σz =

�1 00 −1

�.

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Problema 6: O operador paridade Π e um operador unitario definido por

ΠxΠ−1 = −x e ΠpΠ−1 = −p (4)

onde x e p sao os operadores de posicao e momento, respectivamente. Alem disso, Π2 = 1.

a) Mostre que Π|x� = |− x�, onde |x� e um autoestado de posicao, x|x� = x|x�.

b) Mostre que Πψ(x) = ψ(−x).

c) Qual deve ser a condicao sobre o potencial V (x) para que o hamiltoniano H = p2/2m+V (x) comute

com Π? Mostre que, neste caso, as autofuncoes deste hamiltoniano serao funcoes pares ou ımpares.Lembre-se que uma funcao f(x) e par se f(x) = f(−x) e ımpar se f(x) = −f(−x).

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EXAME UNIFICADO DAS POS-GRADUACOES EM FISICA DO RIO DE JANEIROEDITAL 2014-1

First Semester 2014 - November 12th, 2013

YOU MUST SOLVE ALL 6 PROBLEMS.EXAM DURATION: 4 HOURS. HAVE A GOOD EXAM.

Problem 1: Consider a beam of light going from a medium 1 with refractive index n1 to a medium2 with refractive index n2.

a) Make a figure explaining the law of reflection and the law of refraction:

θ1 = θ1r, n1 sin θ1 = n2 sin θ2 (1)

In your figure, indicate the angles θ1, θ2 and θ1r (angles of incidence, refraction and reflection,respectively), as well as the plane of incidence.

b) Which relation between n1 and n2 is necessary to observe total reflection? Calculate the criticalangle θ1 = θt for the onset of total reflection.

Consider now that the beam of light, given by an electromagnetic wave incident from medium 1, iscircularly polarized. We can decompose the electric field �E into two linearly polarized components,one perpendicular to the plane of incidence (⊥) and the other parallel (�). The relative amplitudes ofreflection with respect to the amplitude of the incident field are given by the Fresnel equations:

R⊥ :=

�E1r

E1

�

⊥= −sin(θ1 − θ2)

sin(θ1 + θ2)(2)

R� :=

�E1r

E1

�

�=

tan(θ1 − θ2)

tan(θ1 + θ2). (3)

(c) Calculate the so-called Brewster angle θ1 = θB for which the reflected light is linearly polarized.

(d) Consider again the total reflection of item (b) in the case θ1 > θt. Formally, θ2 is now a complexnumber, nonetheless the expressions (1)-(3) remain valid. Show that in this case the reflectivityr⊥ := |R⊥|2 = 1 and r� := |R�|2 = 1 justifying the term total reflection.

Problem 2: Consider a circular disk of radius R uniformly charged with a surface charge density σ.

a) Find the electric potential at a point P located at a distance z from the center of the disk. As shownin the figure 1, P is located along the symmetry axis of the disk.

b) Find the electric field vector at P.

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Figure 1: Problem 2.

c) Write approximate expressions for the electric field in the limiting cases z � R and z � R. Towhich physical systems these two limits correspond?

Problem 3: A particle of mass m and initial velocity �u collides elastically with another particle ofmass M , which was initially at rest in the laboratory frame. After the collision, the particle of mass mis deflected to an angle of π/2 with respect to the initial velocity and the magnitude of its final velocityis u/

√3, where u = |�u|. The particle of mass M emerges from the collision with a velocity of magnitude

v, making an angle θ with �u.

a) Determine θ.

b) Calculate v as a function of u.

c) Calculate the ratio M/m.

Problem 4: An ideal gas undergoes a thermodynamical cycle which can be divided in four pro-cess. From an initial state A to a state B, the gas undergoes an isothermal compression defined by(PA, VA) −→ (PB, VB). In the second process, the gas goes from B to C at constant volume reachinga pressure PC > PB. The third process is an ishothermal expansion going to a state D with the samevolume VA as the initial state. Finally, the gas undergoes another isovolumetric process that brings itback to the initial state A.

a) Sketch the plot P × V describing the cycle and calculate the work done by the gas in a completecycle.

b) Calculate the entropy variation in each process of the cycle. (Hint: The internal energy of an idealgas depends only on the temperature through dU = CvdT , where the heat capacity at constantvolume Cv is a constant.)

c) A standard method originally proposed in 1920’s to cool down physical systems is based on adia-batic demagnetization. In paramagnetic salts at low temperatures, the entropy associated to spindisorder (magnetic entropy) dominates over other types of entropy (electronic, lattice entropy,

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etc.). The figure below shows the variation of the magnetic entropy of a spin S = 1/2 param-agnetic salt as a function of its temperature and magnetic field. Considering the two curves inthe figure, find a sequence of thermodynamical processes (involving T , S and B) that cools downa system originally at 50mK and B = 0. Describe each process and sketch it in Figure 2. Inaddition, find the final temperature of the system.

d) Calculate the amount of heat extracted from the system during the sequence of processes of partc).

Figure 2: Problem 4.

Problem 5: A device A sends spin 1/2 particles along the y axis. These particles are prepared inan Sz eigenstate, corresponding to the eigenvalue +�/2. A measuring device B, placed in the y axis,measures the particle spin along the direction n = (sin θ, 0, cos θ), where θ is an angle between 0 e π.

a) What is the operator Sn associated to the measurements performed by B?

b) Find the eigenvalues and eigenvectors of Sn in the basis that diagonalizes Sz.

c) What are the possible results of the measurements performed by B, and what are their probabilities?

The Pauli Matrices are:

σx =

�0 11 0

�, σy =

�0 i

−i 0

�e σz =

�1 00 −1

�.

Problem 6: The parity operator Π is a unitary operator defined by

ΠxΠ−1 = −x and ΠpΠ−1 = −p (4)

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where x and p are the position and momentum operators respectively. Moreover, Π2 = 1.

a) Show that Π|x� = |− x�, where |x� is a position eigenstate, x|x� = x|x�.

b) Show that Πψ(x) = ψ(−x).

c) What is the condition V (x) must satisfy so that the hamiltonian H = p2/2m+V (x) commutes whith

Π? Show that in this case the hamiltonian eigenfunctions are either even or odd. Remember thatf(x) is even if f(x) = f(−x) and odd if f(x) = −f(−x).

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