EXAME UNIFICADO DAS POS-GRADUACOES EM FISICA DO RIO DE JANEIROEDITAL 2017-2

Segundo Semestre de 2017 - 19 de Maio de 2017

LEIA COM ATENCAO.(IF YOU WANT THE ENGLISH VERSION OF THE QUESTIONS, PLEASE ASK THE EXAMINER.)

A PROVA E COMPOSTA DE 5 BLOCOS:Bloco 1: Mecanica ClassicaBloco 2: Ondas, Fluidos e TermodinamicaBloco 3: EletromagnetismoBloco 4: Ondas Eletromagneticas, Otica e Fısica ModernaBloco 5: Mecanica Quantica

• Todos os candidatos devem escolher 4 dos 5 blocos para resolver. Os candidatos ao doutoradodevem OBRIGATORIAMENTE escolher o bloco 5 (Mecanica Quantica).

• A escolha do bloco que NAO sera corrigido deve estar claramente registrada na folha de rosto docaderno de respostas.

• Cada bloco contem 3 problemas de multipla escolha (45% da nota) e um problema discursivo (55%da nota).

• Duas respostas erradas a questoes de multipla escolha cancelam uma resposta correta a outraquestao de multipla escolha, dentro do universo de 12 questoes de multipla escolha dos 4 blocosescolhidos.

• Respostas em branco nao tem nenhum efeito sobre a correcao das outras questoes.

A PROVA TEM DURACAO MAXIMA DE 4 HORAS. BOA PROVA.

1

BLOCO 1: Mecanica Classica

Multipla escolha

Problema 1: As caixas A e B deslizam para a direita sobre uma mesa desprovida de atrito. A maoM esta desacelerando-as (veja a figura abaixo). A massa de A e maior do que a de B. A ordem correta,do maior para o menor, dos valores das forcas horizontais exercidas sobre A, B e M e:

mA>mB

A B Superfície sem atrito

M

v

a) |~FBsobreM

| = |~FMsobreB

| = |~FAsobreB

| = |~FBsobreA

|b) |~F

BsobreM

| = |~FMsobreB

| < |~FAsobreB

| = |~FBsobreA

|c) |~F

BsobreM

| = |~FMsobreB

| > |~FAsobreB

| = |~FBsobreA

|d) |~F

MsobreB

| = |~FMsobreA

| = |~FAsobreB

|

2

Problema 2: Duas bolas de mesma massa balancam e colidem com dois tijolos identicos. As bolasacertam os tijolos com a mesma velocidade proximo ao topo de cada tijolo (veja a figura abaixo). Abola A e feita de argila e se gruda ao tijolo, enquanto a bola B e de borracha e volta para tras aposa colisao. Qual bola tem mais chance de derrubar o tijolo, considerando que as bases dos tijolos naodeslizem?

a) A.

b) B

c) Ambas tem a mesma chance.

d) Em nenhum dos dois casos o tijolo tem chance de ser derrubado.

Problema 3: Dois discos identicos podem rodar em torno de um eixo fixo de massa e atrito des-prezıveis. Massas identicas sao fixadas a cordas enroladas em torno do eixo de um dos discos e aoexterior do outro disco (veja a figura abaixo). As massas sao soltas a partir do repouso e de alturasidenticas. Logo antes de bater no solo, qual massa tem energia cinetica de translacao maior?

a) Disco I.

b) Disco II.

c) Elas tem a mesma energia cinetica de translacao.

d) Nao ha informacao suficiente para responder.

3

Discursiva

Problema 4: Uma empresa de fretes usa uma mola comprimida para lancar pacotes de 2, 0 kg paradentro de um caminhao usando uma rampa de 1, 0 m de altura. A constante elastica da mola vale500 N/m e a mola esta comprimida de 30 cm.

1,0 m

Trecho grudento com 50 cm de comprimento

a) Qual e a velocidade de um pacote quando ele chega a carroceria do caminhao?

b) Qual e o trabalho realizado pela mola sobre o bloco?

c) Um funcionario derrama seu refrigerante sobre a rampa. Isso cria uma mancha grudenta de 50cm decomprimento, na parte horizontal da rampa, com coeficiente de atrito cinetico de 0, 30. Chegara acarroceria do caminhao o proximo pacote arremessado?

d) Quanto de energia mecanica foi perdida pelo bloco no item (c)? Para onde foi essa energia?

4

BLOCO 2: Ondas, Fluidos e Termodinamica

Multipla escolha

Problema 5: Considere um fluido ideal incompressıvel que escoa pela tubulacao mostrada na figuraabaixo, passando pelos pontos 1, 2 e 3. A area da secao reta do tubo nos pontos 1 e 3 e igual a A,enquanto a area da secao reta no ponto 2 e a < A. Se v

i

e pi

denotam a velocidade e a pressao do fluidono ponto i, entao:

21

3a < A

A

A

�g

a) v

1

> v

2

e p

1

> p

3

b) v

1

< v

2

e p

1

= p

3

c) v

1

= v

3

e p

1

> p

2

d) v

1

> v

3

= v

2

e p

1

= p

2

5

Problema 6: Um refrigerador e uma maquina M que extrai calor q2

> 0 de uma fonte termica fria(temperatura T

2

) e cede calor q

1

> 0 a uma outra fonte a temperatura T

1

> T

2

, conforme a figuraabaixo. Suponha que esse sistema esteja isolado, a nao ser pelo trabalho w indicado na figura, exercidopelo ambiente sobre o refrigerador. Qual e a afirmacao verdadeira?

M

T1

T2

q1

q2

w

a) Esse processo e sempre proibido pela Segunda Lei da Termodinamica.

b) Se q

1

> 4q2

, entao o processo e reversıvel.

c) Se q

1

> 3q2

, este processo e possıvel e irreversıvel.

d) O trabalho w recebido pelo refrigerador pode ser nulo, se q

1

= q

2

> 0.

6

Problema 7: Considere dois recipientes de volume V cada, revestidos de paredes adiabaticas (cf.ilustrado abaixo). Na configuracao inicial (i), um dos recipientes contem um gas com pressao P

0

enquantono outro se fez vacuo. Os recipientes estao ligados por uma tubulacao em que ha uma valvula inicialmentefechada. Num dado instante abre-se a valvula e o gas se expande rapidamente ate preencher os doisrecipientes. A configuracao final (ii) corresponde ao instante em que o equilıbrio termico e atingido e apressao em ambos os recipientes e P

f

. Assinale a opcao que fornece a variacao da energia interna �U

do gas neste processo adiabatico irreversıvel.

a) �U = �2(Pf

� P

0

)V

b) �U = 0

c) �U = (Pf

� P

0

)V

d) �U = 2(Pf

� P

0

)V

7

Discursiva

Problema 8: Duas massas iguais (m) estao suspensas por fios ideais de comprimento l a uma distanciahorizontal d. Elas encontram-se ligadas por uma mola ideal de constante k e comprimento natural L = d.O sistema esta representado na figura abaixo. Despreze a resistencia do ar e demais atritos e considerea aceleracao da gravidade g.

d

x1 x2

ll

m m

�1�2

1 2

a) Desenhe o diagrama de forcas que atuam sobre cada massa.

b) Mostre que as equacoes de movimento para as massas 1 e 2 na aproximacao de pequenos angulos saodadas por: x

1

= �!2

0

x

1

+ k

m

(x2

� x

1

) e x

2

= �!2

0

x

2

� k

m

(x2

� x

1

), onde !2

0

= g/l.

c) Usando a definicao de coordenadas de centro de massa e movimento relativo, q1

e q

2

, respectiva-mente, mostre que estas coordenadas satisfazem equacoes de movimento harmonico desacopladas,dadas por: q

1

+ !

2

0

q

1

= 0 e q

2

+ !

2

2

q

2

= 0, onde !2

2

= !

2

0

+ 2 k

m

.

d) Resolva as equacoes para as condicoes iniciais:

x

1

(t = 0) = �x

2

(t = 0) = a e x

1

(t = 0) = �x

2

(t = 0) = v , (1)

e descreva o movimento do duplo pendulo nesse caso.

8

BLOCO 3: Eletromagnetismo

Multipla escolha

Problema 9: O capacitor C, do circuito mostrado na figura abaixo, esta inicialmente carregado. Seo interruptor S e fechado em t = 0, qual dos seguintes graficos representa a energia magnetica U noindutor L em funcao do tempo? Suponha que todos os componentes do circuito sejam ideais.

a)

b)

c)

d)

9

Problema 10: Uma carga puntiforme Q esta situada a uma distancia d do centro de uma regiao doespaco que corresponde a uma superfıcie semiesferica de raio R > d, como mostra a figura abaixo.

Em relacao ao fluxo do campo eletrico que passa pela semiesfera e correto dizer que:

a) O fluxo que atravessa a semiesfera e o mesmo que a atravessaria se d = 0.

b) Se aumentarmos d de modo que ele seja maior que R, o modulo do fluxo atraves da semiesferaaumentara.

c) O fluxo atraves da area circular (em cinza) no topo da semiesfera e o mesmo (em modulo) que aqueleatraves do hemisferio inferior.

d) A situacao nao tem qualquer tipo de simetria esferica e, portanto, nao e permitido aplicar a lei deGauss.

10

Problema 11: Tres espiras condutoras e um observador sao posicionados como mostrado na figuraabaixo. Do ponto de vista do observador, uma corrente I flui no sentido anti-horario na espira do meio,a qual se move em direcao ao observador com uma velocidade constante v. As espiras A e B estao emrepouso em relacao ao observador. Este mesmo observador ira notar que:

a) Correntes no sentido horario sao induzidas nas espiras A e B.

b) Uma corrente no sentido anti-horario e induzida na espira A, mas nao e induzida corrente na espiraB.

c) Uma corrente no sentido horario e induzida na espira A, mas uma corrente no sentido anti-horario einduzida na espira B.

d) Uma corrente no sentido anti-horario e induzida na espira A, mas uma corrente no sentido horario einduzida na espira B.

11

Discursiva

Problema 12: Uma corrente eletrica passando por um fio retilıneo infinito gera um campo magneticoque possui apenas componente azimutal ao redor do fio. No entanto, quando interrompemos esse fiocom um capacitor de placas circulares (raio R) paralelas, apesar da corrente entre as placas do capacitorser nula o campo magnetico e nao nulo. Veja a figura abaixo.

Para resolver essa contradicao, Maxwell modificou a lei de Ampere introduzindo o termo da “correntede deslocamento”. Esse termo extra mostra que a variacao de fluxo de campo eletrico, ainda que naohaja transferencia de cargas, tambem gera campo magnetico. A lei de Ampere-Maxwell no vacuo e:

I

@S

B · d` = µ

0

I

p

+ µ

0

✏

0

@

@t

Z

S

E · dS,

onde S e uma superfıcie aberta arbitraria, @S e a borda da superfıcie S, e I

p

e a corrente que perfuraessa superfıcie. As constantes ✏

0

e µ

0

sao respectivamente a permissividade eletrica e a permeabilidademagnetica do vacuo.

a) Calcule a magnitude do campo magnetico no ponto P

1

, o qual esta a uma distancia R do fio e auma distancia D do capacitor. Suponha que D � R, de tal forma que em P

1

os efeitos do capacitorpodem ser desprezados.

b) Supondo que a corrente e constante no tempo, calcule como a quantidade de carga na placa esquerdado capacitor varia com o tempo. Com esse resultado, considerando que as placas do capacitor saofeitas de material metalico tal que a densidade de cargas e uniforme a todo tempo, obtenha o modulodo campo eletrico gerado por essas cargas entre as placas do capacitor.

c) Desprezando os efeitos de borda, isto e, supondo que o campo eletrico fora do capacitor seja nuloe que as linhas de campo sejam normais as placas do capacitor, use a lei de Ampere-Maxwell paracalcular o modulo da componente azimutal do campo magnetico no ponto P

2

, situado a uma distanciar R do eixo que passa pelo centro do fio. Conclua que para r = R a componente azimutal docampo magnetico em P

2

tem o mesmo modulo que em P

1

.

12

BLOCO 4: Ondas Eletromagneticas, Otica e Fısica Moderna

Multipla escolha

Problema 13: Uma nave espacial passa pelo Planeta Brasilis, considerado como um referencial iner-cial, com uma velocidade constante em relacao a esse planeta. O comprimento da nave, isto e, a distanciaentre os pontos A e B da nave indicados na figura, vale L

0 quando e medida no referencial da nave e L

quando e medida no referencial do planeta Brasilis.

No instante em que a nave cruza com o planeta Brasilis, nasce Luciana no planeta. Seja �t o intervalode tempo transcorrido no referencial do planeta entre o nascimento de Luciana e o instante em que deuo seu primeiro sorriso e seja �t

0 o intervalo de tempo transcorrido no referencial da nave entre essesmesmos dois eventos (nascimento e primeiro sorriso de Luciana). Podemos afirmar que:

a) �t < �t

0 and L > L

0.

b) �t < �t

0 and L < L

0.

c) �t > �t

0 and L > L

0.

d) �t > �t

0 and L < L

0.

13

Problema 14: A figura abaixo, desenhada em escala, mostra uma onda luminosa plana e mono-cromatica incidindo perpendicularmente sobre uma tela opaca contendo duas fendas. Apos passar pelasfendas, essa onda luminosa atinge um anteparo, onde forma um padrao de intensidade ao longo do eixoy.

Marque a alternativa que melhor descreve, qualitativamente, o padrao de intensidade projetado noanteparo.

a)

b)

c)

d)

14

Problema 15: Analise as sentencas abaixo e marque a alternativa que as classifica corretamente:

I. No efeito fotoeletrico, cada eletron ejetado tem, por conservacao de energia, exatamente a mesmaenergia do foton incidente absorvido.

II. No espalhamento Compton, o foton espalhado tem comprimento de onda maior que o do fotonincidente, pois parte da energia incidente (e do seu momento linear) e transferida para um eletroninicialmente em repouso.

III. No modelo atomico de Bohr a frequencia da radiacao emitida pelo atomo esta associada a umatransicao entre dois nıveis e nao a uma unica orbita como esperado classicamente.

a) As afirmativas I e II sao verdadeiras e a III e falsa.

b) As afirmativas I e III sao verdadeiras e a II e falsa.

c) As afirmativas II e III sao verdadeiras e a I e falsa.

d) Todas as afirmativas sao verdadeiras.

Discursiva

Problema 16: O campo eletrico de uma onda eletromagnetica plana monocromatica que se propagano vacuo em uma regiao sem fontes e descrito por

E(r, t) = E

0

x sin(kz � !t) + 2E0

y cos(kz � !t) , (2)

onde k, ! e E

0

sao constantes positivas, ! = kc, e c e a velocidade da luz no vacuo.

a) Indique a direcao e o sentido de propagacao dessa onda e calcule o seu campo magnetico.

b) Desenhe, por meio de segmentos de reta orientados, o campo eletrico na origem nos instantes t1

= 0e t

2

= ⇡/(2!). Determine o estado de polarizacao dessa onda.

c) Suponha, agora, que seja superposta a essa onda uma outra onda eletromagnetica plana e mono-cromatica, cujo campo eletrico e dado por

E 0(r, t) = E

00

x sen(kz � !t) , (3)

onde E

00

e uma constante arbitraria. Determine os valores de E

00

para que a onda resultante, cujocampo eletrico e E(r, t) +E 0(r, t), tenha polarizacao circular. Descreva, em cada caso, qual e o tipode polarizacao circular, isto e, se o campo eletrico da onda em um dado ponto do espaco gira nosentido horario ou anti-horario de quem observa a onda chegando.

15

BLOCO 5: Mecanica Quantica(OBRIGATORIO PARA CANDIDATOS AO DOUTORADO)

Multipla escolha

Problema 17: Em um espaco com duas dimensoes, qual e a unidade da funcao de onda em termosda unidade de comprimento L?

a) L

1/2

b) L

�1

c) adimensional

d) L

�1/2

Problema 18: Um eletron e um proton, cada um com energia cinetica 5 MeV, atingem uma barreirade potencial com altura 8 MeV. Qual sentenca e a verdadeira?

a) A probabilidade de tunelamento para o eletron e maior do que a probabilidade de tunelamento parao proton.

b) A probabilidade de tunelamento para o proton e maior do que a probabilidade de tunelamento parao eletron.

c) As probabilidades de tunelamentos para eletron e proton sao iguais.

d) A probabilidade de tunelamento para o proton pode ser maior ou menor do que a probabilidade detunelamento para o eletron, dependendo da forma exata da barreira.

Problema 19: O Hamiltoniano de uma partıcula com spin 3

2

e dado por H = L

2

2I

, onde ~L e o operadorde momento angular orbital e I e uma constante. Qual e a degenerescencia do primeiro estado excitado?

a) 3

b) 4

c) 7

d) 12

16

Discursiva

Problema 20: Considere uma partıcula que esteja inicialmente no estado

(✓,�) =1p5Y

1,�1

(✓,�) +

r3

5Y

1,0

(✓,�) +1p5Y

1,1

(✓,�) ,

onde Y

l,m

(✓,�) sao os harmonicos esfericos.

a) Calcule o valor esperado de L

+

neste estado (sendo ~L o operador de momento angular).

b) Se medimos Lz

quais valores podem ser obtidos e com quais probabilidades?

c) Qual e a incerteza �L

x

apos tomar a medida de L

z

e encontrar �~?

[Lembrete: L±|l,mi = ~p

l(l + 1)�m(m± 1) |l,m± 1i]

17

EXAME UNIFICADO DAS POS-GRADUACOES EM FISICA DO RIO DE JANEIROEDITAL 2017-2

Second Semester 2017 - May 19, 2017

READ CAREFULLY.

THE EXAM CONSISTS OF 5 BLOCKS:Block 1: Classical MechanicsBlock 2: Waves, Fluids and ThermodynamicsBlock 3: ElectromagnetismBlock 4: Electromagnetic Waves , Optics and Modern PhysicsBlock 5: Quantum Mechanics

• All applicants must choose only 4 of the 5 blocks to solve. PhD candidates MUST choose block 5(Quantum Mechanics).

• The block that will NOT be corrected should be clearly registered in the cover sheet of the answer book.

• Each block consists of 3 multiple-choice problems (45% of grade) and a discursive problem (55% of thegrade).

• Two wrong answers to multiple-choice questions cancel one correct answer to another multiple-choice,within the universe of 12 multiple-choice questions of the 4 selected blocks.

• Blank answers will have no effect on the correction of other questions.

YOU CAN USE UP TO 4 HOURS TO SOLVE THE EXAM. HAVE A GOOD EXAM.

1

BLOCK 1: Classical MechanicsMultiple-choice

Problem 1: Blocks A and B shown in the figure slide over a table without friction. The hand H is slowingdown the blocks. The mass of A is bigger than that of B. The correct order, from lower to higher, of thehorizontal forces exerted on A, B and H is:

mA>mB

A B Frictionless surface

H

v

a) |~FB on H| = |~FH on B| = |~FA on B| = |~FB on A|b) |~FB on H| = |~FH on B| < |~FA on B| = |~FB on A|c) |~FB on H| = |~FH on B| > |~FA on B| = |~FB on A|d) |~FH on B| = |~FH on A| = |~FA on B|

2

Problem 2: Two spheres with equal masses swing and collide with two identical bricks. The spheres hit thebricks with equal velocities right below their tops (see the figure below). The sphere A is made of clay andstick to the brick while the sphere B is made of rubber and reflects backwards after the collision. Consideringthat none of the bricks’s bases slide, which sphere, A or B, is most likely to take down the brick?

a) A.

b) B

c) Both A and B.

d) None of the bricks will fall.

Problem 3: Two identical discs can spin around their fixed ideal axes. Two identical masses are attached toropes that are rolled around the axis of one disc and around the edge of the other disc (see the figure below).The masses are dropped from rest from the same heights. Right before they hit the ground, which mass has thebigger translational kinetic energy?

a) Disc I.

b) Disc II.

c) They have the same amount of translational kinetic energy.

d) There is not enough information to answer.

3

Discursive

Problem 4: A transport company uses a long spring to launch packages weighting 2.0 kg to a truck trunkthrough a ramp 1.0 m tall. The spring constant is 500 N/m and the spring is compressed by 30 cm.

1,0 m

50 cm sticky spot

a) What is the velocity of one package at the moment it arrives at the truck?

b) What is the work done by the spring on the package?

c) An employee spills his/her soda drink over the ramp, creating a sticky layer of 50 cm along the horizontalpart of the ramp with coefficient of kinetic friction equal to 0.3. Will the next package arrive at the trucktrunk?

d) How much mechanical energy is lost by the package at item (c)? What happens to that energy?

4

BLOCK 2: Waves, Fluids and ThermodynamicsMultiple-choice

Problem 5: Consider an ideal incompressible fluid flowing through the pipe displayed in the figure belowand passing through points 1, 2 and 3. The area of the vertical cross section of the pipe at points 1 and 3 isequal to A, while the area of the vertical cross section at point 2 is a < A. If v

i

and p

i

denote the velocity andpressure of the fluid at point i, respectively, then:

21

3a < A

A

A

�g

a) v1 > v2 and p1 > p3

b) v1 < v2 and p1 = p3

c) v1 = v3 and p1 > p2

d) v1 > v3 = v2 and p1 = p2

5

Problem 6: A refrigerator is a machine M that extracts heat q2 > 0 from a cold source (at temperature T2)and releases heat q1 > 0 to another source at temperature T1 > T2, as shown in the figure below. Suppose thatthis system is isolated, except from the external work w indicated in the figure, exerted by the environment onthe refrigerator. Which statement is true?

M

T1

T2

q1

q2

w

a) This process is always forbidden by the second law of thermodynamics.

b) If q1 > 4q2, then the process is reversible.

c) If q1 > 3q2, this process is possible and irreversible.

d) The work w received by the refrigerator is zero, as long as q1 = q2 > 0.

6

Problem 7: Consider two containers, each of volume V , concealed with adiabatic walls (see figure below).In the initial configuration (i), one of the containers contains gas with pressure P0 while the other is vacuumed.The containers are connected by a tube with an attached valve which is initially closed. At a given time the valveis opened and the gas freely expands rapidly to fill the two containers. The final configuration (ii) correspondsto the time in which thermal equilibrium is reached and the pressure in both containers is P

f

. Mark the optionthat provides the variation of the internal energy �U of the gas in this irreversible adiabatic process.

a) �U = �2(Pf

� P0)V

b) �U = 0

c) �U = (Pf

� P0)V

d) �U = 2(Pf

� P0)V

7

Discursive

Problem 8: Two particles with the same mass m are suspended by ideal strings of length l at a horizontaldistance d. They are connected by an ideal spring of constant k and natural length equal to d. The system isshown in the figure below. Neglect air resistance and other frictions and consider the acceleration of gravity g.

d

x1 x2

ll

m m

�1�2

1 2

a) Draw the diagram of forces acting on each mass.

b) Show that the equations of motion for masses 1 and 2 – in the approximation of small angles – are givenby: x1 = �!2

0x1 +k

m

(x2 � x1) and x2 = �!20x2 � k

m

(x2 � x1), where !20 = g/l.

c) Using the definition of the center-of-mass and relative motion coordinates, q1 and q2 respectively, show thatthese coordinates satisfy decoupled harmonic equations of motion given by: q1+!2

0q1 = 0 and q2+!22q2 = 0,

where !22 = !

20 + 2 k

m

.

d) Solve the equations for the following initial conditions:

x1(t = 0) = �x2(t = 0) = a and x1(t = 0) = �x2(t = 0) = v , (1)

and describe the motion of the double pendulum in this case.

8

BLOCK 3: ElectromagnetismMultiple-choice

Problem 9: The capacitor C, in the circuit shown below, is initially charged. If the switch S is closed int = 0, which of the following graphs represents the time dependence of the magnetic energy U in the inductorL? Assume all the components in the circuit are ideal.

a)

b)

c)

d)

9

Problem 10: A point-like charge Q is located at a distance d from the centre of a semi-spherical surface withradius R > d, as shown in the figure below.

Regarding the electric flux through the semi-spherical surface, it is correct to say that:

a) The flux that passes through the semi-spherical surface is the same as that which would cross it if d = 0.

b) If d is increased, so that d > R, the flux will also increase.

c) The flux through the circular area (in gray) on the top of the semi-sphere is the same (in modulus) as thatthrough the lower hemisphere.

d) The configuration has no spherical symmetry and, therefore, one cannot apply the Gauss’s law.

10

Problem 11: Three conducting coils and an observer are positioned as shown in the figure below. Theobserver sees a current I flowing counter-clockwise in the middle coil, which is moving towards the observerwith a constant speed v. The coils A and B are at rest in the observer frame. The observer will note that:

a) currents flowing clockwise are induced in coils A and B.

b) a counter-clockwise current is induced in coil A, with no current in coil B.

c) a clockwise current is induced in coil A, whereas a counter-clockwise current is induced in coil B.

d) a counter-clockwise current is induced in coil A, whereas a clockwise current is induced in coil B.

11

Discursive

Problem 12: An electric current passing through an infinite rectilinear wire generates a magnetic field whichonly has an azimuthal component around the wire. However, when we interrupt this wire with a parallel circularplate capacitor (radius R), although the current between the plates of the capacitor is zero, the magnetic fieldis non-zero. See the figure below.

To solve this contradiction, Maxwell modified Ampere’s law by introducing the “displacement current” term.This extra term shows that a variation of the electric field flux also generates a magnetic field, even thoughthere is no charge transfer. The Ampere-Maxwell law in vacuum is:

I

@S

B · d` = µ0Ip + µ0✏0@

@t

Z

S

E · dS,

where S is an arbitrary open surface, @S is the boundary of the surface S, and I

P

is the current that pierces thissurface. The constants ✏0 and µ0 are respectively the electrical permittivity and the magnetic permeability ofthe vacuum.

a) Evaluate the magnitude of the magnetic field at point P1, which is at a distance R from the wire and at adistance D from the capacitor. Assume that D � R, such that in P1 the effects of the capacitor can beneglected.

b) Assuming that the current is constant over time, evaluate how the amount of charge on the left capacitorplate varies with time. With this result, assuming that the capacitor plates are made of metallic materialsuch that the charge density is uniform at all times, obtain the magnitude of the electric field generated bythese charges between the capacitor plates.

c) Neglecting the edge effects, that is, assuming that the electric field outside the capacitor is zero and thefield lines are normal to the capacitor plates, use Ampere-Maxwell’s law to evaluate the magnitude of themagnetic field’s azimuthal component at point P2, located at a distance r R from the axis passing throughthe center of the wire. Conclude that for r = R the azimuthal component of the magnetic field in P2 has thesame magnitude as in P1.

12

BLOCK 4: Electromagnetic Waves , Optics and Modern PhysicsMultiple-choice

Problem 13: A spaceship passes by Planet Brasilis, considered as an inertial reference frame, with a constantvelocity relative to this planet. Consider the spaceship length L

0 as the distance between points A and B, asindicated in the figure, when measured in the reference frame of the spaceship’s crew, and L as the same lengthwhen measured by the inhabitants of Planet Brasilis.

At the instant the spaceship crosses the planet, Luciana is born on the planet. After an interval of time �t

(time measured in the planet reference frame), Luciana smiles for the first time. Let �t

0 be the time intervalmeasured in the spaceship reference frame between Luciana’s birth and the instant of her first smile. Selectamong the following statements the correct one:

a) �t < �t

0 and L > L

0.

b) �t < �t

0 and L < L

0.

c) �t > �t

0 and L > L

0.

d) �t > �t

0 and L < L

0.

13

Problem 14: The figure below, drawn in scale, shows a monochromatic light plane wave reaching an opaquescreen which contains two slits. After passing through the slits, this light wave reaches a viewing screen, whereit forms an intensity pattern along the y axis.

view

ing

scre

en

y

0

mon

ochr

omat

ic p

lane

wav

e

opaq

ue sc

reen

Select among the following options the one which better describes qualitatively the intensity pattern at theviewing screen:

a)

b)

c)

d)

14

Problem 15: Analyze the sentences below and choose the correct ones:

I. In the photoelectric effect, each ejected electron has, due to energy conservation, exactly the same energyas the incident absorbed photon.

II. In Compton scattering, a scattered photon has a wavelength larger than that of the incident photon,because part of the incident energy (and linear momentum) is transferred to the electron which wasinitially at rest.

III. In Bohr’s atomic model, the frequency of the radiation emitted is associated with a transition betweentwo levels, and not to a single orbit as expected from classical physics.

a) Statements I and II are true and III is false.

b) Statements I and III are true and II is false.

c) Statements II and III are true and I is false.

d) All the statements are true.

Discursive

Problem 16: The electric field due to a monochromatic plane wave propagating in vacuum in a region freeof sources is described by

E(r, t) = E0 x sin(kz � !t) + 2E0 y cos(kz � !t) , (2)

where k, ! and E0 are positive constants, ! = kc, and c is the speed of light in vacuum.

a) Indicate the direction (and orientation) of propagation of this wave and calculate its magnetic field.

b) Draw as directed line segments (arrows) the electric field at the origin at times t1 = 0 and t2 = ⇡/(2!).Determine the polarization state of this wave.

c) Suppose now that there is another electromagnetic wave superposed to this, whose electric field is given by

E

0(r, t) = E

00 x sin(kz � !t) , (3)

where E

00 is an arbitrary constant. Determine all the possible values of E 0

0 such that the resulting wave,whose electric field is given by E(r, t) + E

0(r, t), has a circular polarization. Describe, in each case, whatis the orientation of the circular polarization, that is, specifying if the electric field at a given space pointrotates clockwise or counterclockwise from the point of view of an observer who watches the wave coming.

15

BLOCK 5: Quantum Mechanics(MANDATORY FOR PHD CANDIDATES)

Multiple-choice

Problem 17: In a two-dimensional space, what is the unit of the wave-function in terms of the unit of lengthL?

a) L

1/2

b) L

�1

c) dimensionless

d) L

�1/2

Problem 18: An electron and a proton each with kinetic energy 5 MeV reach a potential barrier with height8 MeV. Which sentence is correct?

a) The tunneling probability for the electron is larger than that for the proton.

b) The tunneling probability for the proton is larger than that for the electron.

c) The tunneling probabilities for both particles are equal.

d) The tunneling probability for the proton can be larger or smaller than that for the electron, depending on theexact shape of the potential barrier.

Problem 19: The Hamiltonian of a particle with spin

32

is given by H = L

2

2I, where ~L is the operator of orbital

angular momentum and I is a constant. What is the degeneracy of the first excited state?

a) 3

b) 4

c) 7

d) 12

16

Discursive

Problem 20: Consider a particle which is initially in the state:

(✓,�) =1p5Y1,�1(✓,�) +

r3

5Y1,0(✓,�) +

1p5Y1,1(✓,�) ,

where Y

l,m

(✓,�) are the spherical harmonics.

a) Calculate the expected value of L+ in this state (where ~L is the angular momentum operator).

b) If we measure L

z

, what values can be obtained and with what probabilities?

c) What is the uncertainty �L

x

after measuring L

z

and finding the value �~?

[Reminder: L±|l,mi = ~p

l(l + 1)�m(m± 1) |l,m± 1i]

17

EXAME UNIFICADO DAS POS-GRADUACOES EM FISICA DO RIO DE JANEIROEDITAL 2017-2

Segundo Semestre de 2017 - 19 de maio de 2017

CADERNO DE RESPOSTAS

Nome Completo:

Assinatura:

Indique qual e o bloco que NAO sera corrigido:

Nota Final (para ser preenchido pela comissao da UNIPOSRIO):

Multipla escolha DiscursivaNota FinalQuestoes Questoes Questoes

Prob. 4 Prob. 8 Prob. 12 Prob. 16 Prob. 20corretas incorretas p/ pontuacao

Multipla escolha

Marque com um X as suas respostas das questoes de multipla escolha para cada bloco na seguinte tabelade acordo com os blocos escolhidos para resolver.

a) b) c) d)

Bloco 1Prob. 1Prob. 2Prob. 3

Bloco 2Prob. 5Prob. 6Prob. 7

Bloco 3Prob. 9Prob. 10Prob. 11

Bloco 4Prob. 13Prob. 14Prob. 15

Bloco 5Prob. 17Prob. 18Prob. 19

EXAME UNIFICADO DAS POS-GRADUACOES EM FISICA DO RIO DE JANEIROEDITAL 2017-2

Segundo Semestre de 2017 - 19 de maio de 2017

CADERNO DE RESPOSTAS

Nome completo:

EXAME UNIFICADO DAS POS-GRADUACOES EM FISICA DO RIO DE JANEIROEDITAL 2017-2

Second Semester 2017 - May 19th, 2017

ANSWERS

Full Name:

Signature:

Indicate which block will NOT be corrected:

Final grade (to be filled by the UNIPOSRIO committee):

Multiple choice DiscursiveFinal gradeCorrect Wrong Grading

Prob. 4 Prob. 8 Prob. 12 Prob. 16 Prob. 20answers answers answers

Multiple choice

Mark with an X your answers to the multiple-choice questions in the table below, according to the blocksyou have chosen to answer.

a) b) c) d)

Block 1Prob. 1Prob. 2Prob. 3

Block 2Prob. 5Prob. 6Prob. 7

Block 3Prob. 9Prob. 10Prob. 11

Block 4Prob. 13Prob. 14Prob. 15

Block 5Prob. 17Prob. 18Prob. 19

EXAME UNIFICADO DAS POS-GRADUACOES EM FISICA DO RIO DE JANEIROEDITAL 2017-1

Second Semester 2017 - May 19th, 2017

ANSWERS

Full name:

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Second Semester 2017 - May 19th, 2017

ANSWERS

Full Name:

Signature:

Indicate which block will NOT be corrected:

Final grade (to be filled by the UNIPOSRIO committee):

Multiple choice DiscursiveFinal gradeCorrect Wrong Grading

Prob. 4 Prob. 8 Prob. 12 Prob. 16 Prob. 20answers answers answers

Multiple choice

Mark with an X your answers to the multiple-choice questions in the table below, according to the blocksyou have chosen to answer.

a) b) c) d)

Block 1Prob. 1Prob. 2Prob. 3

Block 2Prob. 5Prob. 6Prob. 7

Block 3Prob. 9Prob. 10Prob. 11

Block 4Prob. 13Prob. 14Prob. 15

Block 5Prob. 17Prob. 18Prob. 19

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