FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL, SISTEMAS

Y ARQUITECTURA

ESCUELA PROFESIONAL DE ING. CIVIL

CURSO : ANALISIS ESTRUCTURAL II

DOCENTE : ING. PORRO AI OSCAR

INTEGRANTES :

FLORES HUAMAN TATIANA LISSET

CICLO : 2014-II

Lambayeque Enero del 2015

TEMAS: PRINCIPIOS DE TRABAJO VIRTUAL, METODO DE LA

CARGA UNITARIA Y APLICACIONES

INGENIERIA CIVIL

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

1. PRINCIPIOS DE TRABAJOS VITUALES

1.1 ALGO DE HISTORIA DE LOS PRINCIPIOS DE TRABAJOS VIRTUALES

El Principio de los Trabajos Virtuales (P.T.V.) fue empleado por primera vez por

Galileo (1564-1642) en el clculo de mecanismos. Sin embargo fue enunciado

de una forma ms rigurosa por Lagrange (1736-1813), ya que este desarrolla la

teora variacional y sienta las bases de la Mecnica Analtica.

Este principio tambin fue enunciado por Johann Bernouilli en el ao 1717 de la

siguiente manera: Dado un cuerpo rgido mantenido en equilibrio por un

sistema de fuerzas, el trabajo virtual efectuado por este sistema, durante un

desplazamiento virtual, es nulo.

Otra forma de enunciarlo, tal y como lo haramos a da de hoy es la siguiente:

Un sistema material est en equilibrio en una cierta posicin para

cualquier desplazamiento compatible con los enlaces cuando la suma de

los trabajos virtuales de las fuerzas directamente aplicadas sea nula.

Este mtodo es bastante til a la hora calcular posiciones de equilibrio en

mecanismos (por ejemplo el clsico de biela-manivela), o bien en el clculo de

algunas reacciones en vigas o prticos con varios soportes, en clculos con

estructuras reticuladas, en slidos deformables, etc.

1.2 PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

El Principio de los Trabajos Virtuales se expresa diciendo:

Para una deformacin virtual infinitamente pequea de un cuerpo que se

encuentra en equilibrio, el trabajo virtual de las fuerzas exteriores es igual

al trabajo virtual interno de deformacin

Vlido cualquiera sea la ley del estado de tensiones y su relacin con las

deformaciones.

Es conveniente, antes de pasar al anlisis general del principio, considerar

algunos trminos de la definicin:

En primer lugar estamos considerando un cuerpo en equilibrio, al

que con posterioridad se le provoca una deformacin. Dicha

deformacin es arbitraria y posible, compatible con las condiciones de

vnculo, pero que no proviene de las cargas originales en el cuerpo.

Las cargas externas multiplicadas por esos desplazamientos arbitrarios

representan el trabajo virtual de las fuerzas exteriores, Ae.

Los esfuerzos internos generados por las cargas en equilibrio

originales, generan trabajo debido a la deformacin virtual impuesta,

dando origen al trabajo virtual interno de deformacin, Ai.

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El Principio de Trabajos Virtuales puede entonces expresarse

sintticamente como:

Ae = Ai

Consideremos ahora el caso de una estructura plana con barras resistentes a flexin sometida a un sistema de cargas en su plano, siendo las correspondientes reacciones de vnculo exteriores.

Para este sistema en equilibrio se desarrollan esfuerzos internos de tal manera que existe equilibrio entre la accin interna y la externa.

Sometemos al sistema a una deformacin virtual, por lo que los puntos de aplicacin de las cargas y , sufrirn desplazamientos m y c (si existen corrimientos de apoyos) en la direccin de las mismas. Por lo tanto el trabajo virtual de las fuerzas externas estar dado por:

Para expresar el trabajo virtual interno de deformacin, es decir el trabajo de los esfuerzos internos debido a la deformacin virtual a que sometimos al sistema, consideramos un elemento de una barra dx de altura h.

La deformacin virtual provocar, un deslazamiento relativo de las dos secciones del elemento que podr expresarse por una traslacin y una rotacin d. La traslacin la podemos considerar compuesta por dos componentes, una a lo largo del eje de la barra ds y otra normal dn. (Figura 1).

El trabajo diferencial de las fuerzas internas que actan sobre el elemento dx ser:

La integracin de esta expresin a toda la estructura representa el trabajo virtual de deformacin Ai. Supongamos que la deformacin virtual fue provocada por un sistema de cargas exteriores que incluye variacin de temperatura, y que genera esfuerzos internos que designaremos como M, N y Q. Admitimos que la temperatura vara linealmente con la altura h de la seccin transversal como

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se indica en la figura 2.

Donde definimos con T1 y T2 a las temperaturas de la fibra superior e inferior respectivamente, Tc la temperatura correspondiente al centro de gravedad de la seccin y T= T2 T1.

Observamos que la temperatura genera deformaciones ds y d en la seccin

Con estas condiciones resultan para las deformaciones:

(

)

(

)

Donde:

: coeficiente de dilatacin trmica

A: Seccin transversal de la barra

J: Momento de Inercia

E: Mdulo de elasticidad

G: Mdulo de elasticidad transversal

: Coeficiente de forma que tiene en cuenta la distribucin no uniforme

del corte en la seccin transversal de la viga

(3)

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Reemplazando las expresiones (3) en la (2) e integrando:

Finalmente igualando el trabajo externo y el interno resulta:

que es la expresin del Principio de Trabajos Virtuales, para el caso general de estructuras planas.

En el caso de tener elementos sometidos a torsin se deber agregar a la ecuacin (5) el trmino:

Para sistemas reticulados, la expresin (5) puede simplificarse si consideramos:

a)

, siendo L la longitud de la barra la

expresin (5) se transforma en:

Que es la expresin del Principio de Trabajos Virtuales, para reticulados.

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1.3 TEOREMA DE BETTY

Supongamos que sobre una estructura acta un sistema de cargas Pm en equilibrio (por simplicidad no consideramos ni descensos de apoyos ni variaciones de temperatura). Si ahora introducimos otro sistema Pn de cargas, ste provocar desplazamientos mn (desplazamientos donde acta el sistema Pm producidos por el sistema Pn) sobre las fuerzas Pm (Figura 3).

Por el Principio de Trabajos Virtuales (Ec. 5), podemos escribir:

Si ahora suponemos que inicialmente est aplicado el sistema Pn en equilibrio con las tensiones internas y luego aplicamos el sistema Pm, ste provocar desplazamientos nm de las fuerzas externas, por lo que el trabajo quedar expresado como:

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Siendo iguales los segundos miembros de (7) y (8), tambin lo son los primeros, de donde resulta:

que es la ley de Betti, que podemos expresar as:

El trabajo virtual de un grupo de fuerzas Pm, durante la deformacin debida a otro grupo de fuerzas Pn, es igual al trabajo virtual de las fuerzas Pn por efecto de las deformaciones debidas a las fuerzas Pm.

1.4 TEOREMA DE MAXWELL

Si los sistemas de fuerzas Pm y Pn se reducen a una sola fuerza unitaria, resulta de la ecuacin (9).

que expresa la reciprocidad de las deformaciones elsticas.

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2. METODO DE LA CARGA UNITARIA

Considrese el caso de la Figura 1(a), representa una estructura elstica deformada, sometida a la accin de dos cargas aplicadas gradualmente, cuyos puntos de aplicacin se desplazan distancias 1 y 2 respectivamente.

Queremos encontrar la deformacin de un punto cualquiera de esta estructura, por ejemplo la componente vertical del aplazamiento del punto C.

En la Figura 1(b), se representa la misma estructura sometida nicamente a la accin de una carga virtual unitaria aplicada en C y en la direccin del desplazamiento que nos interesa conocer.

Llamamos con al desplazamiento producido por la carga unitaria en su punto

de aplicacin.

Tambin se representa en ambas figuras, un elemento tipo deformado interior sometido a fuerzas internas s y u segn el caso y sobre el que se indican las deformaciones dL y dL1.

Aplicando el principio We= Wi se tiene para el estado de cargas de la fig 1(a):

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Para la fig 1(b):

Ahora imaginemos que primero producimos la deformacin en la Figura 1(b), y a esta le aplicamos gradualmente las cargas reales de la Figura 1(a)

Puesto que la energa de deformacin y el trabajo realizado deben ser iguales

segn se apliquen las cargas a la vez o en forma separada, comparando la

ltima ecuacin con las anteriores resulta:

Esta es la ecuacin bsica del Mtodo de la Carga Unitaria.

Cuando se quiere obtener la rotacin de la tangente en cualquier punto de la

estructura, solamente es necesario reemplazar la fuerza virtual unitaria por

un par virtual unitario y, realizando el mismo procedimiento anterior, se llega

a que:

Donde u es la fuerza interna originada por el par unitario en un elemento tipo,

y es el ngulo de rotacin buscado.

Para el caso particular de una viga estticamente determinada sometida a las

cargas P1 y P2, el eje longitudinal coincide con el eje x. Para encontrar el

desplazamiento vertical en un punto arbitrario C, se coloca una fuerza unitaria

vertical en C, como se indica en la figura, y se aplica la ecuacin (*).

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Interpretemos los trminos dL y u incluidos en la ecuacin. dL es el cambio

de longitud de cualquier fibra cuya longitud inicial es dx y cuya seccin tiene

un rea dA, producido por las cargas reales P1 y P2.

M: momento en la seccin I: momento de inercia E: mdulo de elasticidad Y: distancia de la fibra al eje de la flexin

En la figura (b) se observa que u es la fuerza interna en la misma fibra, resultante de la aplicacin de una carga unitaria ficticia en el punto C, siendo igual a la tensin de flexin de la fibra multiplicada por dA, o sea:

Si sustituimos dL y u en la ec. (*) resulta:

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y teniendo en cuenta que:

se obtiene :

Si se busca la rotacin de la tangente en C, se coloca un par unitario en C y se aplica la frmula bsica, llegando a:

El enunciado del principio dice: "Es condicin necesaria y suficiente para

que un sistema material cualquiera est en equilibrio que el trabajo

virtual de todas las fuerzas actuantes sea nulo para cualquier conjunto

de desplazamientos virtuales"

Al tratarse de cuerpos deformables el trabajo virtual comprende el trabajo

realizado por las fuerzas exteriores ms las interiores. Y como se ha

demostrado, el trabajo se aplica sobre un sistema de fuerzas que debe estar

en equilibrio y un conjunto de desplazamientos virtual, o sea compatible con

las condiciones de vnculo de la estructura y con las condiciones de

continuidad del sistema estructural.

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3. EJERCICIOS DE APLICACIN

3.1 Mediante el mtodo de la carga unitaria obtenga el valor del

desplazamiento horizontal en el punto A, y el giro en B para la barra

BC.

Despeje Isosttico:

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Ecuaciones de Momento:

(

)

(

)

Reacciones:

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Carga unitaria para A:

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Carga unitaria para :

Fuerza F:

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Deformacin en A:

(

)

[

(

) ] [

]

Giro en B.

[(

) ]

[

(

) ] [

]

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3.2 En el prtico cargado como se muestra en la figura determinar :

a) El giro en A.

b) El desplazamiento en centro de BC.

Solucin:

Ecuaciones de Momento:

5 TN/M

CB

II

2I

4.00

6.00

A D

5 TN/M

B C

A D15 TN15 TN

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a) Giro en A

B C

A D1/61/6

1

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b) El desplazamiento en centro de BC.

B C

A D1/21/2

1E

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