Principes de la commande prédictive. Applications sous MATLAB

École d’été francophone CA’NTI 22/2016

Cristina Stoica [email protected]

Principes de la commande prédictive

Applications sous MATLAB

Principes de la commande prédictive2 02/06/2016

Applications

Plan du cours

Introduction

Concepts de la commande prédictive

Mise en œuvre dans le cas sans contraintes

Approche GPC (Commande Prédictive Généralisée)

Approche MPC (Model Predictive Control)

Approche MPC avec contraintes

Conclusion

Quelques références


Plan du cours

Introduction






Conclusion



IntroductionAvantages de la commande prédictive Facilité de mise en œuvre (bonnes performances et simplicité

d’implémentation)

Effet anticipatif : par utilisation explicite de la trajectoire à suivre dans lefutur

Technique bien adaptée pour commande des systèmes complexes : systèmes multivariables, systèmes

soumis aux contraintes, systèmes non linéaires, systèmes hybrides,systèmes à retard, systèmes Multi-Agent…

problèmes de suivi de trajectoire sans/sous contraintes (entrées, sorties,états), pour lesquels la trajectoire à suivre est parfaitement connue àl’avance et planifiée

différents objectifsparmi les commandes avancées les plus utilisées dans le milieu industriel


IntroductionApplications industrielles 1979 Dynamic Matrix Control (DCM) : industrie pétrolière

Plus de 1000 applications répertoriées (Qin&Badgwell’03) Robots, machines-outils, industrie chimique ou biochimique, aéronautique,

thermique, l’industrie du ciment, bâtiment intelligent … Exemple : régulation de vitesse des ascenseurs de la tour Eiffel

surtout pour des systèmes avec une trajectoire à suivre connue à l’avance

Historique Début à la fin des années ’70 (Richalet et al., Cutler&Ramaker)

Améliorations dans les années ’90 : faisabilité, stabilité en boucle fermée

Maturité depuis le début des années 2000 : commande prédictive robuste (Mayne etal.), solutions explicites, commande prédictive des systèmes hybrides et non-linéaires,applications aux systèmes rapides

2010 : commande prédictive stochastique, distribuée, décentralisée, économique


IntroductionPrincipe de fonctionnement Effet anticipatif

Trajectoire connue et planifiée

Horizon glissant

Prise en compte des contraintes

Principes de la commande prédictive7

Horizon de prédiction

Temps TempsNkkk 1 Nkkkk )1(11

y y

ry

u u

ry

Principe de l’horizon fuyant

PrésentPassé

Horizon de prédiction

02/06/2016

IntroductionExemple : bâtiment intelligent Objectif : minimiser l’énergie/coût pour maintenir la température d’une pièce, la

concentration de CO2 et le niveau d'éclairement dans des gammes de confort spécifiées

Solution : structures de commande prédictive intégrées pour chaque pièce/zone régulation de température, luminosité, ventilation utilisation des prévisions des futures perturbations (météo) utilisation des prévisions des prix d'électricité …


Commande prédictive- Modèle- Optimisation

Bâtiment

Entrées de commande

Prédictions :- météo- prix d’électricité- occupation du bâtiment- charge du réseau- …

critère de confort

Plan du cours

Introduction Concepts de la commande prédictive

Principes de base Choix du modèle du processus Paramètres de réglage

Mise en œuvre dans le cas sans contraintes Approche GPC (Commande Prédictive Généralisée) Approche MPC (Model Predictive Control) Approche MPC avec contraintes

Conclusion Quelques références



Principes de base Elaboration (choix) du modèle numérique du système sur lequel est fondée

la prédiction de la sortie

Spécification de la trajectoire que doit suivre la sortie

Minimisation d’un critère quadratique à horizon fini élaborant uneséquence de commandes futures

Application du premier élément de la séquence de commande au systèmeet au modèle

Répétition à chaque période

d’échantillonnage

(principe de l’horizon fuyant)

caractère anticipatifPrincipes de la commande prédictive10 02/06/2016


Choix du modèle du processus Un bon modèle = le plus simple possible, mais malgré tout suffisamment

significatif et adapté aux besoins, en offrant des prédictions suffisammentprécises une connaissance appropriée du système

Un modèle résultant souvent d’une phase d’identification

Un modèle capable de prédire le comportement du système

Souvent un modèle linéaire

Généralement un modèle à temps discret

Procédure Modèle initial premier essai de commande prédictive

Modèle retouché nouvelle loi de commande prédictive

Remarque Simplicité du modèle l’intérêt de l’utilisation en milieu industriel



Paramètres de réglage (cas sans contraintes) Fonction de coût Structure du critère Facteurs de pondérations

sur l’erreur de poursuite ( ) sur l’effort de commande ( )

Horizons de prédiction Horizon inférieur ( ) de prédiction sur la sortie Horizon supérieur ( ) de prédiction sur la sortie Horizon de prédiction sur la commande ( )

Choix de la période d’échantillonnage

Remarque MIMO : généralement les mêmes horizons de prédiction sur toutes les

sorties, ainsi que les mêmes horizons de commandePrincipes de la commande prédictive12

1N2N

uN

JQJR

1ou / 11 NTdN e

er TtN /2 uu NN ou 1

IQJ

1

0

2

)(

2

)()()()(ˆ

2

1

u

JJ

N

iiR

N

NiiQr ikikikJ uyy

02/06/2016

Plan du cours Introduction Concepts de la commande prédictive Mise en œuvre dans le cas sans contraintes

Approche GPC (Commande Prédictive Généralisée) Modèle CARIMA (Controlled AutoRegressive Integrated Moving Average) Structure du prédicteur optimal Minimisation du critère pour l’élaboration de la loi de commande Structure polynomiale RST équivalente Tableau récapitulatif Exemple

Approche MPC (Model Predictive Control) Approche MPC avec contraintes

Conclusion Quelques références


Mise en œuvre : Approche GPC Modèle CARIMA : système SISO

avec

bruit blanc centré

polynôme de perturbation

Remarque Cette structure apporte un terme intégrateur qui garantie l’annulation de

toute erreur statique vis-à-vis de consigne ou de perturbation constante


)()()()1()()()( 1

111 kv

zzCkuzBkyzA

y(k)u(k)

v(k)

)(1

1zA )( 11 zBz

d(k)

)()(

1

1

zzC

11

11

1

110

1

11

1

1)(

1)(

)(

1)(

zz

zczczC

zbzbbzB

zazazA

c

c

b

b

a

a

nn

nn

nn

02/06/2016

Mise en œuvre : Approche GPC Structure du prédicteur optimal Prédiction de la sortie à l’instant j

Après avoir mis en évidence les valeurs futures et passées

réponse libre réponse forcée

où les polynômes inconnus sont les solutions des équations diophantiennes


)()()(

)()1()()()( 11

1

1

1

jkvzzA

zCjkuzAzBjky

)()()1()()1()()(

)()()(

)/(ˆ 111

1

1

1

jkvzJjkuzGkuzCzH

kyzCzF

kjky jjjj

)()()()()(

)()()()()(11111

11111

zJzBzHzzGzC

zCzFzzJzAz

jjj

j

jj

j

02/06/2016

Mise en œuvre : Approche GPC Forme matricielle de l’équation de prédiction

réponse libre

avec les notations

Les coefficients de la matrice G sont les

coefficients de la réponse indicielle du modèle.


)1()(

1)()(

1~ˆ 11 kuzC

kyzC

HFuGy

)1()()1()()(

)()()(

)/(ˆ 11

1

1

1

jkuzGkuzCzH

kyzCzF

kjky jjj

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

2

1

11

111

1

2

1

2

1

1

1

1

1

0

)(ˆ

)(ˆˆ,

)(

)(,

)1(

)(~,

)(

)(,

)(

)(

NNN

NN

NN

NN

NN

NN

NN

r

r

r

uN

N

N

N

uggg

gggg

Nky

Nky

Nky

Nky

Nku

ku

zH

zH

zF

zF

G

yyuHF

02/06/2016

Mise en œuvre : Approche GPC Minimisation du critère pour l’élaboration de la loi de commande

sous l’hypothèse

Forme matricielle du critère

Séquence de commande optimale

Commande appliquée au système à l’instant k


)(,1)( avec ,)()()(ˆ1

0

222

1

iRiQikuikyikyJ JJ

N

i

N

Nir

u

uNiiku pour 0)(

rkuzC

kyzC

J yHFuGMuuMMu )1()(

1)()(

1~ avec ~~)~( 11TT

T

T1

T1T11 avec)1()(

1)()(

1~

Nu

Nropt uku

zCky

zC n

nGIGGNyHFNu

optu

opt

optNku

ku

)1(

)(~ u

roptopt ku

zCky

zCkuku yHFn )1(

)(1)(

)(1)1()( 11

T1

0~ uJ

02/06/2016

Mise en œuvre : Approche GPC Structure polynomiale RST équivalente

régulateur RST équivalent

Loi de commande

Remarque La structure initiale de commande

qui contenait un polynôme T non causal a été reformulée avec un polynôme T causal


)()(

1

1

zAzB)(ku

)(ky)(

11 zS

)( 1zR

)( 1zT)( 2Nkyr

)( 11 zBz

)(kd

T1T1

11

T1

1

1T1

11

1)()(

)(

)()(

1212 NNNN zzzCzT

zR

zzCzS

n

Fn

Hn

)()()()()()()( 111 kyzRkyzTkuzzS r

)()()()()()()( 12

111 kyzRNkyzTkuzzS r

TT1

1 ][)()( 21 NN zzzCzT n

02/06/2016

Mise en œuvre : Approche GPC Tableau récapitulatif Définition de la consigne (stockage point par point)

Choix du modèle, choix d’une période d’échantillonnage et des polynôme Aet B du modèle CARIMA (par identification préalable si nécessaire)

Choix des paramètres de réglage de la fonction de coût

Calcul des prédicteurs optimaux par résolution des équations diophantiennes

Synthèse des polynômes R, S et T du correcteur équivalent


Mise en œuvre : Approche GPC Exemple : commande GPC d’un moteur asynchrone Le transfert entre le couple et la vitesse identifié pour une période

d’échantillonnage de 5ms

Paramètres de réglage GPC :


m m

21

21

02,098,01024,3344,1

)()(

zzzz

kk

m

m

200,1,8,1 21 uNNN

8765

432

11

211

0,01010,0087 0,00730,00590,00460,0032 0,00180,0004)(

7342,01)(0,0049-0,2371-0,284 )(

zzzzzzzzzT

zzSzzzR

02/06/2016

Mise en œuvre : Approche GPC Exemple : commande GPC d’un moteur asynchrone Simulation sous MATLAB Echelon unitaire de consigne Sans aucune perturbation

Réponse indicielle Commande


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Temps (s)

Rép

onse

tem

pore

lle y

MPC0Consigne yr

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

0.01

0.02

0.03

0.04

Temps (s)

Com

man

de u

MPC0

02/06/2016

Plan du cours Introduction Concepts de la commande prédictive Mise en œuvre dans le cas sans contraintes

Approche GPC (Commande Prédictive Généralisée) Approche MPC (Model Predictive Control)

Modèle sous forme d’état Prédiction de la sortie Minimisation du critère pour l’élaboration de la loi de commande Tableau récapitulatif Exemples

Approche MPC avec contraintes Conclusion Quelques références


Mise en œuvre : Approche MPC Modèle sous forme d’état : système MIMO (m entrées, p sorties)

Ajout d’une action intégrale pour annuler les erreurs statiques

Représentation d’état étendue

Prédiction de la sortie


111 ,,,,,où ,)()(

)()()1(

pmnnpmnnn

kkkkk

RRRRRR yuxCBAxCy

uBxAx

)()1()( kkk uuu

mpem

emnm

eeee

eeee

kkk

kkkkk

,,

,,,)1()()(où ,

)()()()()1(

0CCIBBI0

BAAuxx

xCyuBxAx

1

0

)(

0

1 )()1()()/(ˆ)(ˆi

j

jk

j

l

jii lkkkkikik

u

uuBACxACyy

02/06/2016

Mise en œuvre : Approche MPC Minimisation du critère pour l’élaboration de la loi de commande

Forme matricielle du critère

avec

et


1

0

2

)(

2

)()()()(ˆ

2

1

u

JJ

N

ii

N

Niir ikikikJ

RQuyy

2222 )()()()()()(JJJJ

kkkkkkJ r RQRQ UΘUΦUYY

)1()(ˆ)()()()1()(ˆ)(

kkkkkkkk

r uΦxΨYΘUΦuΦxΨY

)(kU

Commandes futuresEtat étendu et

consignes futures

)()()( T1T kk JJJ ΘQΦΦQΦRU

i

j

jii

NNNNNNN

N

N

N

N

N

u011

01

1

1

,00

,,212122

1

2

1

2

1

BACΣΣΣΣΣ

ΣΣΦ

Σ

ΣΦ

CA

CAΨ

,)1(

)()(,

)(

)()(,

)(ˆ

)(ˆ)(

2

1

2

1

ur

r

rNk

kk

Nk

Nkk

Nk

Nkk

u

uU

y

yY

y

yY

))(())((

idiagidiag

JJ

JJ

QQRR

0)(

kJ

U

02/06/2016

JJJNmmm uQΦΦQΦR0Iμ T1T

)1(, )(

Mise en œuvre : Approche MPC Loi de commande Séquence de commandes futures obtenue par minimisation du critère J Par application du principe de l’horizon fuyant, seule la première valeur de

cette séquence est appliquée au système

où

et


)(ky

0CBA)( 2Nkr y )(ku )(ku

)(kex

Modèle étendu

L

FrFr

FrFr

DCBA )(kFry

rF

)()()( 2 kNkk err LxyFu μΦμΨLLL 21avec

)1(21

)( 12,,, NNpmmmnmmnm RRRR μLLL

1

21

),1(

)1(,

)1(),1(

12

12

12

12

1212

NNFr

NNFr

p

pNNpFr

NNppp

NNppNNpFr

μD

μμμC

I0

B

00I0

A

02/06/2016

Mise en œuvre : Approche MPC Tableau récapitulatif Définition de la consigne

Choix du modèle sous la forme d’une représentation d’état (matrices A, B, C), choix d’une période d’échantillonnage

Choix des paramètres de réglage de la fonction de coût

Calcul direct des matrices nécessaires pour la mise sous forme matricielle du critère J

Dans le cas où l’état est mesurable, synthèse de la matrice L (« retour d’état ») du correcteur équivalent


Mise en œuvre : Approche MPC Exemple : commande MPC d’un réacteur

Discrétisation avec

Représentation d’état avec

Ajout d’action intégrale système étendu

Paramètres de réglage MPC :


1y

2u

2y

1u

)()(

4,012

5,011

3,015

7,011

)()(

2

1

2

1sUsU

ss

sssYsY

Débit d’alimentation

Débit de refroidissement

TempératureConcentration

min03,0eT2,2,4 pmn

2890,002329,0009516,001678,0,

5,005,00

025,0025,0

,

9277,000009048,000009418,000009580,0

CBA

pJmJuNNN IQIR ,05,0,2,3,1 21

02/06/2016

Mise en œuvre : Approche MPC Exemple : commande MPC d’un réacteur Simulation sous MATLAB : réponse indicielle Echelon de consigne d’amplitude , ensuite une variation

de consigne de 0,5 à 0,4 est appliqué sur à l’instant minutes Sans aucune perturbation


0 2 4 6 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Temps (min)

Rép

onse

tem

pore

lle y

1

Sortie y1

Consigne yr1

0 2 4 6 80

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Temps (min)

Rép

onse

tem

pore

lle y

2

Sortie y2

Consigne yr2

1ry 4t3,0,5,0

21 rr yy

02/06/2016

Mise en œuvre : Approche MPC Exemple : commande MPC d’un réacteur Simulation sous MATLAB : commandes Echelon de consigne d’amplitude , ensuite une variation

de consigne de 0,5 à 0,4 est appliqué sur à l’instant minutes Sans aucune perturbation


0 2 4 6 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Temps (min)

Com

man

de u

1

Commande u1

0 2 4 6 8

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Temps (min)

Com

man

de u

2

Commande u2

3,0,5,021 rr yy

1ry 4t

02/06/2016

Mise en œuvre : Approche MPC Exemple : commande MPC de la bicyclette (Astrom et al., IEEE CSM 2005)

Modèle simplifié Modèle non linéaire

Modèle linéarisé

avec


02/ c

bhV

dtd

bhaV

hg

dtd 2

2

2sin

bhV

hg

bhaV

dtd

dtd 2

)sin(

bhaV

dtd

xx

x2

1

2

1

22

1

102

1

01

0cos10

xx

y

bhVbhaV

xx

xhg

xx


Fonction de transfert E/S

système instable

Synthèse MPC Système discrétisé avec Paramètres de réglage du MPC


hgs

aVs

hbaV

ss

2)()(

s 1,0eT

000101 01

1

2

1

uN

NN


Réponse à une consigne d’angle d’inclinaison de 10° (situation improbable …)

Angle d’inclinaison Angle de braquage



Réponse à une perturbation de 10° sur l’angle d’inclinaison (coup de vent)




Réponse à une perturbation de 10° sur l’angle d’inclinaison (coup de vent)



avec saturation de la commande à 5°

Plan du cours

Introduction





Approche MPC avec contraintes Formulation du problème d’optimisation Exemple

Conclusion



Approche MPC avec contraintes Fonction de coût

avec

Séquence de commande Système étendu Prédicteur

Contraintes incrément de la commande : commande : sortie : état final (contraintes terminale) :


1

0,, )()()u,(

N

iik

Tikikrik

TikrikNk

TNkkk uRuyyQyyPxxxJ

coût terminal

TNkkkk uuu 11 ,,, u

NNN 21 ,0

)()()()()1(

kxkykukxkx

ee

eeee

CBA

)(ˆC)(ˆ

)(BA)(A)(ˆ1

0

1

kikxkiky

ikukxkikx

ee

e

i

j

jie

iee

1:0, )()( umaxmin NiuikuuUiku1:0, )()( umaxmin NiuikuuUiku

1:0, )()( NiyikyyYiky maxminife

iffe bNkxaXNkx )()(

Approche MPC avec contraintes Formulation matricielle de la fonction de coût

avec

Prédiction

avec


JePTek

Tw

Tr

Tx

Tek

Tkke RkxPkxFkFkxHkxJ )()()()(

21)),(( uyuuu

kek kx uy )(ˆ

kNeNe kxNkx u )()(ˆ

eNN

eeeN

ee

eeeee

ee

Nee

ee

e

k

BACBAC

BCBACBC

AC

ACC

kNky

kkykky

u 121

0000

,,

)1(ˆ

)1(ˆ)(ˆ

y

eNN

eeN

eNNeN BABAA u 1,

)(R )(Q

)RQΓΓ(2

)1()()(y

RdiagQdiagPH

NkykykT

NTN

Trrr

)()QΦ(y2)(y)Q(y

QΦΦ

QΓ2

)QΓΦ(2

kxkkkR

PP

F

PF

eTrr

TrJ

NTN

Tp

Tw

TN

TN

Tx

Approche MPC avec contraintes En absence des contraintes

Problème d’optimisation avec contraintes

Contraintes sur Δu(k+i) Contraintes sur u(k+i), i = 0 : Nu − 1

Contraintes sur la sortie

Contraintes sur l’état final


)( àsujet

)),((minarg))((,

kExWG

kxJkx

ek

keeoptkk

u

uuu

))()(())(( 1 kFkxFHkx rwexeoptSC yu 0

k

Ju

min

min

max

max

min

max

1000

00011000

0001

)()(

u

uu

u

uikuuiku

k

u )(

10

11

10

1110

110011110

11001

)()(

min

min

max

max

min

max kx

u

uu

u

uikuuiku

ek

u

)()(ˆ)(ˆ

min

max

min

max kxkxkx

ekkek

kek

yy

uyuyyuy

)()()(

)(kxaba

kxNkxbNkxa

eNif

ifkN

if

kNeNe

ife

if

u

u

Approche MPC avec contraintes Exemple : commande MPC de la bicyclette (Astrom et al., IEEE CSM

2005) Réponse à une perturbation de 10° sur l’angle d’inclinaison (coup de vent)

Contraintes , paramètres de réglage



5)( ku 00010,1 0,1 1, 21 uNNN

Approche MPC avec contraintes Exemple : commande MPC de la bicyclette (Astrom et al., IEEE CSM

2005) Réponse à une perturbation de 10° sur l’angle d’inclinaison (coup de vent)

Contraintes , paramètres de réglage



5)( ku 00010,2 0,1 1, 21 uNNN

saturationoptimisation

en ligne

Plan du cours

Introduction






Conclusion



Conclusion Commande prédictive : beaucoup utilisée dans l’industrie

Etapes à suivre en vue de l’élaboration d’un commande prédictive choix du modèle sur lequel est basée la prédiction de la sortie spécification de la trajectoire que doit suivre la sortie minimisation d’un critère quadratique à horizon fini élaborant une séquence

de commandes futures application du premier élément de la séquence de commande au système

et au modèle et réitération à l’instant suivant

Application possible à plusieurs classes de systèmes (SISO, MIMO, systèmes avec contraintes)

Approche polynomiale (GPC) Commande RST équivalente

Approche d’état (MPC) Commande par retour d’état

Atout : prise en compte des contraintes directement dans la synthèse

Conclusion


Plan du cours

Introduction






Conclusion



P. Boucher, D. Dumur, “La commande prédictive”, Collection Méthodes et pratiquesde l’ingénieur, Editions Technip, Paris, 1996.

E.F. Camacho, C. Bordons, “Model predictive control”, Ed. Springer-Verlag, 2nd ed.,London, 2004.

J. M. Maciejowski, “Predictive control with constraints”, Ed. Prentice Hall, PearsonEducation Limited, Harlow, 2002.

J.A. Rossiter, “Model based predictive control. A practical approach”, CRC Press LLC,2003.

J. Richalet, G. Lavielle, J. Mallet, “La commande prédictive. Mise en œuvre et applicationsindustrielles”, Groupe Eyrolles, Paris, 2005.

P. Borne, G. Dauphin-Tanguy, J.P. Richard, F. Rotella, I. Zambettakis, Automatique.Analyse et régulation des processus industrielles (2) : Régulation numérique, Ed. Technip,1993.

I.D. Landau, Commande des systèmes : conception, identification et mise en œuvre, Ed.Hermès, 2002



Documents

Principes de la commande prédictive. Applications sous MATLAB