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8/7/2019 Principio de Arquimedes, lujo de fluidos, ecuación de Bernoulli
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Universidad Nacional Autónoma de MéxicoColegio de Ciencias y Humanidades
Plantel Vallejo
Lucero Huerta Macías
8/7/2019 Principio de Arquimedes, lujo de fluidos, ecuación de Bernoulli
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Dedicatoria
Este trabajo se lo he dedicado a mi familia,pues ellos me apoyaron en todo lo quenecesite al realizarlo, a mi maestro, ya que
me impulso a realizarlo, y a mis amigos, pues
me animaron para continuarlo y finalizarlo.
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ÍndicePortada…………………………………………………………………….….. 1
Dedicatoria……………………………………………………………….... 2
Índice………………………………………………………………………..... 3
Principio de Arquímedes………………………………………….... 4
Flujo de Fluidos……………………………………………………….... 20Presión y Velocidad…………………………………………………... 37
La Ecuación de Bernoulli………………………………………..…. 51
Aplicación de la Ecuación de Bernoulli…………………….. 70
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Principio de Arquímedes
Los objetos parecen perder peso cuando sesumergen en agua.
El objeto puede incluso flotar en la superficie
debido a la presión hacia arriba ejercida por elagua.
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Arquímedes (287-212 a.C.), fue el primero queestudió el empuje vertical hacia arriba ejercidopor los fluidos. El principio de Arquímedes se
enuncia en la siguiente forma:
Un objeto que se encuentra parcial ototalmente sumergido en un fluido
experimenta una fuerza ascendente(empuje) igual al peso de fluido desalojado.
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Se puede demostrar estudiando las fuerzas queejerce el fluido sobre un cuerpo que se
encuentra suspendido en él.
Considere un disco de área A y de altura H queestá totalmente sumergido en un fluido, como
se muestra en la siguiente figura.
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El empuje que se ejerce sobre el disco es igual al peso del fluido que sedesaloja.
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Recuerda que la presión a cualquierprofundidad h en el fluido está dada por:
P = pgh
donde p es la densidad de masa del fluido y g es la aceleración de la gravedad.
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Si deseamos representar la presión absolutadentro del fluido, tenemos que sumar tambiénla presión externa ejercida por la atmósfera.
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La presión total hacia abajo P1 ejercida sobre laparte superior del disco, según la figura
anterior, es por lo tanto:
P1 = Pa + pgh1 (hacia abajo)
donde Pa es la presión atmosférica y h1 es laprofundidad en la parte superior del disco.
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En forma similar, la presión hacia arriba P2en la
parte inferior del disco es
P2 = Pa + pgh2 (hacia arriba)
donde h2 es la profundidad medida en la parteinferior del disco.
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Puesto que h2 es mayor que h1, la presión
registrada en la parte inferior del disco esmayor que la presión en su parte superior, locual da por resultado una fuerza neta hacia
arriba.
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Si representamos la fuerza hacia abajo como F 1
y la fuerza hacia arriba como F 2, podemosescribir:
F 1 = P1 A F 2 = P2 A
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La fuerza neta hacia arriba ejercida por el fluidosobre el disco se llama empuje y está dada
por:
F B = F 2 – F 1 = A(P2 – P1 )
= A (Pa + pgh2 – Pa – pgh1 )
= Apg(h2 – h1 ) = ApgH
donde H = h2 – h1 es la altura del disco.
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Finalmente, si recordamos que el volumen deldisco es V = AH, obtenemos este importante
resultado:
F B = Vpg = mg
empuje = peso del fluido desalojado
que es el principio de Arquímedes.
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Debemos recordar que la ecuación (F B = Vpg =
mg) nos permite calcular únicamente el
empuje ocasionado por la diferencia depresiones. No representa en realidad la
fuerza resultante. Un cuerpo se sumergirá siel peso del fluido que desaloja (el empuje) es
menor que el peso de dicho cuerpo.
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Si el peso del fluido desalojado es exactamenteigual al peso del cuerpo sumergido, éste ni se
hunde ni se va hasta arriba. En este caso, elcuerpo estará en equilibrio. Si el peso delfluido desalojado excede al peso del cuerpo
sumergido, el cuerpo se elevará hasta la
superficie y flotará. Cuando el cuerpo flota yalcanza el equilibrio en la superficie,desplazará su propio peso de líquido.
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La siguiente figura demuestra esto mediante eluso de un recipiente cilindro con vertedero yun vaso para recibir el fluido desalojado por
un bloque de madera.
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Un cuerpo que flota desaloja su propio peso de fluido.
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Flujo de Fluidos
El estudio de fluidos en condiciones de reposo,es considerablemente más sencillo que el
estudio de fluidos en movimiento.
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Ante todo, consideraremos que todos los fluidosen movimiento muestran una corriente
laminar o flujo aerodinámico.
El flujo aerodinámico es el movimiento deun fluido en el cual cada partícula en el
fluido sigue la misma trayectoria (pasa por un punto particular) que siguió la partícula anterior.
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En la siguiente figura muestra las líneas decorriente de flujo de aire que pasan por dosobstáculos estacionarios.
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Flujos laminar y turbulento en la trayectoria de un fluido.
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Se puede observar que las líneas de corrientese rompen cuando el aire pasa sobre elsegundo obstáculo, generando corriente
turbulenta y remolinos.
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Estos pequeños remolinos representan el flujoturbulento y absorben gran parte de laenergía del fluido, incrementando el arrastre
por fricción a través del fluido.
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Vamos a considerar, además, que los fluidosson incompresibles y que no presentan unafricción interna apreciable.
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En estas condiciones, se pueden hacer algunaspredicciones acerca de la velocidad de flujode fluido a lo largo de una tubería o de otro
recipiente.
El gasto se define como el volumen de
fluido que pasa a través de ciertasección transversal en la unidad detiempo.
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Para expresar esta relación en formacuantitativa, consideraremos el caso de unlíquido que fluye a lo largo de una tubería
como se ilustra en la siguiente figura.
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Cálculo de la velocidad de un fluido que circula por un tubo.
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El líquido fluye a lo largo de la tubería con unavelocidad media v . En un intervalo de tiempot , cada partícula en la corriente se mueve através de una distancia vt . El volumen V que
fluye a través de la sección transversal A estádado por:
V = Avt
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Por lo tanto, el gasto (volumen por unidad detiempo) se puede calcular partiendo de:
Gasto = velocidad × sección transversal
vAt
Avt R ==
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Las unidades de R expresan la relación de unaunidad de volumen entre una unidad de
tiempo.
Ejemplos:
Pies cúbicos por segundo
Metros cúbicos por segundoLitros por segundo
Galones por minuto
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Si el fluido es incompresible y no tomamos encuenta los efectos de la fricción interna, elgasto R permanecerá constante.
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Esto significa que una variación en la seccióntransversal en la tubería, como se muestra enla siguiente figura, da por resultado un cambioen la velocidad del líquido, de tal modo que el
producto vA permanece constante.Simbólicamente escribimos:
R = v1 A1 = v 2 A2
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En el flujo laminar, el producto de la velocidad del fluido por el área dela sección transversal del tubo es constante en cualquier punto.
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Un líquido fluye con más rapidez a través deuna sección estrecha de tubería y máslentamente a través de secciones más
amplias. Este principio es la causa de que elagua fluya más rápido cuando las orillas de unarroyo en algunas partes están más cercanas
entre sí.
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Presión y Velocidad
La velocidad de un fluido aumenta cuando fluyea través de un angostamiento. Un incrementoen la velocidad únicamente se puede deber a
la presencia de una fuerza de aceleración.
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Para acelerar un líquido que entra a laconstricción, la fuerza del empuje proveniente
de la sección transversal amplia debe sermayor que la fuerza de resistencia de la
constricción.
La presión en los puntos A y C, de la siguiente
figura, debe ser mayor que la presión en B.
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El incremento de la velocidad de un fluido que se desplaza a través deuna sección más estrecha de un tubo provoca una caída en la presión.
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Los tubos insertados en la tubería sobre dichospuntos indican claramente la diferencia de
presión. El nivel del fluido en el tubo situadosobre la parte angosta es más bajo que elnivel en las áreas adyacentes. Si h es la
diferencia de altura, la diferencia de presión
está dada por:
P A– PB= pgh
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Esto es cierto si se supone que la tubería estáen posición horizontal y que no se producen
cambios de presión debido al cambio deenergía potencial.
Como se muestra en la figura anterior, muestrael principio del medidor venturi.
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Partiendo de la determinación de la diferencia
de la presión, este dispositivo hace posible elcálculo de la velocidad del agua en una
tubería horizontal.
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El efecto venturi tiene muchas otras
aplicaciones tanto para líquidos como paragases. El carburador de un automóvil utiliza el
principio venturi para mezclar vapor degasolina y aire.
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El aire que pasa a través de una constricción ensu camino hacia los cilindros, origina un área
de baja presión a medida que aumenta suvelocidad. La disminución en la presión se usapara enviar combustible a la columna de aire,
donde se vaporiza rápidamente.
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En la siguiente figura se muestran dos métodosque se pueden usar para demostrar la
disminución de la presión debida al aumentode velocidad. Un ejemplo más sencilloconsiste en soplar aire por encima de lasuperficie de una hoja de papel, como se
puede ver también en la siguiente figura (a).
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Demostraciones de la disminución de presión que resulta de unincremento en las velocidades del aire.
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La presión en la corriente de aire por encima
del papel se reducirá. Esto permite que elexceso de presión en la parte inferior empujeal papel hacia arriba.
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Una segunda demostración requiere de uncarrete, un disco de cartulina y un alfiler,
anterior figura (b). El alfiler se clava a travésdel disco de cartulina y se coloca en uno delos extremos del carrete, como lo muestra la
figura.
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Si se sopla a través del extremo abierto,
descubrirá que el disco se adhiere más al otroextremo. Uno esperaría que el disco decartulina se despegara de inmediato.
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La explicación es que el aire que fue soplado enel carrete debe escapar a través del estrecho
espacio entre el disco y el extremo delcarrete. Esta acción crea un área de baja
presión, lo que permite que la presiónatmosférica externa empuje al disco contra el
carrete.
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La Ecuación de Bernoulli
En el estudio sobre fluidos, hemos destacadocuatro parámetros: la presión P, la densidad r ,la velocidad v y la altura h sobre algún nivel
de referencia.
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El primero en establecer la relación entre estas
cantidades y su capacidad para describirfluidos en movimiento fue el matemático suizo
Daniel Bernoulli (1700 - 1782).
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Los pasos que condujeron al desarrollo de estarelación fundamental se pueden comprender
considerando la siguiente figura.
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Deducción de la ecuación de Bernoulli.
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Puesto que un fluido tiene masa, debeobedecer las mismas leyes de la conservaciónestablecidas para los sólidos.
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En consecuencia, el trabajo necesario paramover cierto volumen de fluido a lo largo de la
tubería debe ser igual al cambio total enenergía potencial y cinética. Consideremos el
trabajo requerido para mover el fluido delpunto a al punto b en la figura anterior.
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El trabajo neto debe ser la suma del trabajorealizado por la fuerza de entrada F 1 y el trabajo
negativo efectuado por la fuerza de resistencia F 2.
Trabajo neto = F 1 s1 - F 2 s2
Pero F 1 = P1 A1 y F 2 = P2 A2, de modo que
Trabajo neto = P1 A1s1 - P2 A2s2
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El producto del área y la distancia representa elvolumen V del fluido que se mueve a través
de la tubería.
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Puesto que este volumen es el mismo en laparte inferior que en la parte superior de la
tubería, podemos sustituir
V = A1s1 = A2s2
y obtener
Trabajo neto = P1V 1 – P2V 2 = (P1 – P2 )V
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La energía cinética Ek de un fluido se define
como½ mv 2, donde m es la masa del fluido y v es su
velocidad. Puesto que la masa permanececonstante, únicamente hay un cambio en la
energía cinética ∆Ek debido a la diferencia develocidad de fluido.
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En nuestro ejemplo, el cambio de energía
cinética es:
∆Ek = ½mv 22 – ½mv 1
2
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La energía potencial de un fluido a una altura h
sobre algún punto de referencia se definecomo mgh, donde mg representa el peso del
fluido. El volumen del fluido que se mueve a lolargo de la tubería es constante.
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Por consiguiente, el cambio en la energíapotencial ∆E p es el resultado del incremento
de altura del fluido de h1 a h2:
∆E p = mgh2 – mgh1
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Ahora estamos preparados para aplicar el
principio de la conservación de la energía.El trabajo neto realizado sobre el sistema debeser igual a la suma de los incrementos en
energía cinética y energía potencial.
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Por lo tanto,
Trabajo neto = ∆Ek + ∆E p
(P1 – P2 )V = (½mv 22 – ½mv 1
2 ) + (mgh2 – mgh1 )
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Si la densidad del fluido es ρ, podemos sustituirV = m/ ρ, lo que nos da:
)()2
1
2
1()( 12
2
1
2
221 mghmghmvmvm
P P −+−=−
ρ
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Si se multiplica por ρ/m y se reordenan lostérminos se obtiene la ecuación de Bernoulli:
2
222
2
1112
1
2
1v gh P v gh P ρ ρ ρ ρ ++=++
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En vista de que los subíndices 1 y 2 se refierena dos puntos cualesquiera, la ecuación deBernoulli se puede enunciar en una forma
más simple como
constante2
1 2=++ v gh P ρ ρ
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La ecuación de Bernoulli encuentra aplicaciónen casi todos los aspectos del flujo de fluidos.
La presión P debe reconocerse como lapresión absoluta y no la presión manométrica.
Recuerda que ρ es la densidad y no el pesoespecífico del fluido. Las unidades de cada
término de la ecuación de Bernoulli sonunidades de presión.
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Aplicaciones de la
Ecuación de Bernoulli
En gran número de situaciones físicas, lavelocidad, la altura o la presión de un fluido
son constantes. En tales casos, la ecuación deBernoulli adquiere una forma simple.
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Por ejemplo, cuando un líquido es estacionario,tanto v 1 como v 2 valen cero. La ecuación deBernoulli nos mostrará que la diferencia de
presiones es:
P2 – P1 = ρg(h1 – h2 )
Esta ecuación es idéntica a la relaciónestudiada para fluidos en reposo.
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Otro resultado importante se presenta cuandono hay cambio en la presión (P1 = P2 ). En la
siguiente figura un líquido sale de un orificiosituado cerca del fondo de un tanque abierto.
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Teorema de Torricelli.
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Su velocidad cuando sale del orificio puededeterminarse a partir de la ecuación de
Bernoulli. Debemos suponer que el nivel dellíquido en el tanque desciende lentamente encomparación con la velocidad de salida, de tal
modo que la velocidad media en la parte
superior puede considerarse cero.
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Además, debe tomarse en cuenta que lapresión del líquido tanto en la parte superior
puede considerarse cero. Además debetomarse en cuenta que la presión del líquidotanto en la parte superior como en el orificio
es igual a la presión atmosférica.
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Entonces, P1 = P2 y v 2 = 0, lo que reduce laecuación de Bernoulli a:
O bien:
221
21 ghv gh ρ ρ ρ =+
ghhh g v 2)(2 12
2
1 =−=
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Esta relación se conoce como teorema deTorricelli:
ghv 2=
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Note que la velocidad de salida de un líquido ala profundidad h es la misma que la de unobjeto que se dejara caer del reposo desde
una altura h.
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La velocidad a la cual un líquido fluye desde unorificio está dada por vA según la ecuación:
F B = Vρg = mg
empuje = peso del fluido desalojado
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La relación de Torricelli nos permite expresar elgasto en términos de la altura del líquido
sobre el orificio.
O sea,
gh AvA R 2==