Principios matemáticos de la filosofía natural (Principia) · 2017. 11. 12. · Sir Isaac Newton Principios matemáticos de la filosofía natural (Principia) ePub r1.0 casc 06.02.16

Publicados en Londres en 1687, los principios matemáticos de la filosofíanaturalsonunodeesos librosquetodoelmundocitaperomuypocoshanleído; pues si el puesto que ocupa en la historia del pensamiento es tanprincipalcomoacreditado,sulecturapresentaseriasdificultadesdebidasalacomplejidadpropiadealgunodesusteoremas,juntoalasujecióndeliberadadelautora lasreglasdelmétodogeométricoensudemostración.Comoesbiensabido,Newtonresuelveaquíelteoremadelosmovimientosplanetariosalavezquelosunealoterrestresmedianteunamismadinámicayunaleyuniversaldegravitación;discuteyexplicafenómenoscomoeldelmovimientode los cometas o las mareas; sienta las bases de la hidrostática, lahidrodinámica y la acústica; demuestra la imposibilidad de la hipótesiscartesiana de los vórtices; descubre, define por primera vez de modo nocontradictorio y da reglas prácticas para la derivación e integración defunciones; y sistematiza un modo de estudio de la Naturaleza (a la quedeben hacerse preguntas explícitas y cuantitativas mediante losexperimentos) y de exposición de los conocimientos adquiridos mediantemétodosmatemáticos:loquedesdeélseconocepropiamentecomofísica.

IsaacNewton(1642-1727),recogiendolasaportacionesdeKepleryGalileo,consigue por vez primera construir un modelo matemático general quepermiteexplicartantoelmovimientodeloscuerposcelestescomoeldelosterrestres.

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SirIsaacNewton

Principiosmatemáticosdelafilosofíanatural(Principia)

ePubr1.0casc06.02.16


Títulooriginal:PhilosophiænaturalisprincipiamathematicaSirIsaacNewton,1687Traducción:EloyRadaRetoquedecubierta:casc

Editordigital:cascePubbaser1.2


INTRODUCCIÓN

I

LosmejoresconocedoresdelaobraydelafiguradeNewtonsuelenexperimentaranteelpersonajeunaextrañaambigüedaddesentimientos,desdelaadmiraciónmáscálidaalarepulsióncasiinevitable.Lasbiografíasmásymejordocumentadas[1]dantambién buena base para ello, por cuanto, hasta donde permite llegar ladocumentación, no parece el suyo un perfil amable y candoroso. Por el contrario,junto a la innegable categoríadegenio, pareceque se escondía tras la inescrutablemáscaradesirIsaacNewton,unespíritullenodecomplejidades,cuyainterpretaciónnohadejadodetentarapsicoanalistas,biógrafos,estudiososdehumanosrecovecosyhasta a pintores de retratos[2]. La única «descripción» que nos falta es la de undramaturgo que hubiese teatralizado alguno de los aspectos más apasionantes denuestro personaje, aunque quizá no se hubiera requerido para ello menos que unShakespeare.A falta de ello y sin pretender suplir alguna de las biografías citadasmásarriba,habráquedeciralgodesuviday,sobretodo,desuobra.

Nacidoel díadeNavidadde1642enWoolsthorpe,unagranjade cierto rango,con unos cien acres de tierras de su pertenencia, y un par demeses después de lamuertedesupadre,nadiepodríahaberpredichoqueaquelsietemesinoque«cabíaenuna jarra de cuarto (de galón)» como, según decía él, había comentado su madrecuandonació,habríadeserundíasirIsaacNewton,aequesauratus,presidentedelaSociedad Real de Londres, etc. Las condiciones de su nacimiento eran casi deinfortunio.Unpadrereciénmuerto,unhijosietemesino,débil,conunamadre,HannaAyscoügh,pertenecienteaunafamilialocalahoraendecliveeconómicoapoyadaporalgunosparientesclérigos,perosinmediosnipararestaurarlaviejacasadepiedradela granja. Las dificultades de una época de guerra civil no constituían buenospresagios para el recién nacido. Pero, con todo, sobrevivió y con apenas tres añoscumplidosvioasumadrepartir,casadaensegundasnupcias,hacialacasarectoraldeNorthWitham,cuyoviejoyhacendadotitular,BarnabasSmith,llegóaconvenceraHannamedianteunascapitulacionesque incluíanciertadotea Isaacmáselarreglodeledificiodelaviejagranja.Losbiógrafosregistranestehechocomounmomentocrucial en la idiosincrasia deNewton.Rompe la relación del niño con sumadre yorigina encontrados sentimientos en su espíritu que, dicen, tendrán enormes


consecuencias. Una que tuvo importancia es que garantizó a Newton una ciertaseguridadeconómica,inclusoparalosdíasdesusestudiosenCambridge.LasdemáspertenecenalaintimidaddeNewtony,quesepamos,apenashayindiciosdeellas;tanceloso fue de sus sentimientos. Newton quedó encomendado a los cuidados de suabuelamaternay tampocode ella dejó, que se sepa, ninguna semblanza, nadaquepermitaadivinarsusrecuerdosdeesatempranainfancia.

Pero en agosto de 1653 el reverendo Barnabas falleció y lamadre deNewtonregresaalagranjadeWoolsthorpeacompañadadeunhijodeunañoydedoshijasalgo mayores, tres hermanastros de Newton cuya presencia, al lado de la madrerecuperada,nosabemoshastadóndepudoafectaralpequeñoIsaac.

Mientras tanto seguía acudiendo a una escuela local donde aprendió a leer y aescribirymuypocomás.Desdeelregresodesumadreacasahastalaprimaverade1655 todo son conjeturas, imágenes idílicas con sumadre reencontrada, sus idas yvueltas a la escuela y acaso algún problema de celos con sus hermanastros Smith.Disponemosparaestosdetallesdedos«memoramdas»deStukeleyydeConduitt[3],el segundo procedente en gran medida del primero, que fueron redactados conposterioridad a la muerte de Newton y que, por ello, hubieron de valerse detestimonios de terceros y de una memoria muy lejana e imprecisa para recordaranécdotasdeunniño,entoncesalgoespecial,peronounprodigiotodavía.

Enmarzooabrilde1655esenviadoalaFreeGrammarSchoolofKingEdwardVI de [Grantham], donde quizá vio por vez primera al filósofo HenryMore, conquien sin duda volverá a encontrarse en la Universidad de Cambridge. GranthamdistaunaspocasmillasdeWoolsthorpeyNewtonsiguióencontactofrecuenteconsufamilia,sibiensehallabaalojadoencasadelboticariomr.Clark,cuyaesposa,amigadelamadredeNewton,teníadeunprimermatrimoniotreshijosdeapellidoStorer,uno de los cuales, con el tiempo, proporcionará a Newton (Libro III, ProposiciónXLI…) algunas observaciones desde Nueva Inglaterra sobre el cometa de 1680,mientras el otro hermano será su encargado en Woolsthorpe, y la tercera, «missStorey» (en el «memoramdum»deStukeley), será la encargada de darnos la únicanotahumanaqueconozcamosdeNewton.Estaniña,despuéscasadaconmr.Vincent,dio a Stukeley alguna información de aquellos remotos días de 1655-1659 en queNewton estudiaba en Grantham. Sus hermanos mantendrán con Newton algunarelación personal (Arthur Storer como informador desdeNueva Inglaterra, EdwardcomoadministradordeWoolsthorpe).PeroellafuelaamigadeNewtonenaquellostiemposyposiblementelaúnicamujerdesuvida.Newtonsintióporellaunespecialafecto,sinquesepamosmuchomás,yquizáenaquellosañosdesemiadolescente,unromántico enamoramiento. Ella ya en la ancianidad lo recordaba bien como «unmuchacho serio, silencioso, pensativo…» (sober, silent, thinking lad). Pero loscomienzosnodebieronserfáciles.Esprobablequelapreparacióndelaescuelaruralno fuera suficiente o quizá fuese otra la razón, mas el hecho es que Newton seencontróentrelosúltimosdelaclase.Yocurrióqueundíacaminodelaescuela,el


alumnoqueestabadelantedeellepropinóungolpeenelestómago.Y,aunquesólojugabaconlasniñas,enestecasosabíabienquéhacer.Esperótodalalargajornadade clases y cuando salieron desafió a su contrincante. En el patio de la Iglesiapelearon,yaunqueelrivaleramayorqueél,Newtonteníamásgenioymayorrabiayobligó al contrario a pedir basta[4]. Después le agarró por las orejas y lemetió lacabeza contra la valla de la Iglesia. No le bastó esto y a los pocos meses habíahumilladoatodoscolocándoseenelprimerpuestodelaclase.Mástarde,en1662,hizounalistadesus«pecados»yenellarecuerda«pegaraArthurStorer»(«BeatingArthurStorer»).

SusestudiosenGrantham,bajoelmagisteriodeHenryStokes,secentraronenelaprendizajedellatín,algodegriegoylecturasdelosclásicosydelaBiblia.Porsucuenta leía y anotaba otras cosas, procedentes, quizá, de la pequeña biblioteca delboticarioClark[5]ydedicabamuchodesutiempoaconstruiraparatosmecánicosdejugueteponiendoenellograndesdosisdeobservaciónydehabilidadmecánica.Alcabo de cuatro años y medio de estancia en Grantham, su madre le reclama enWoolsthorpeparaquesevayahaciendocargodelagranjayleasignalacompañíayasistenciadeuncriado.Newtonfueunpésimoalumnoagrícola.Sudesinterésporlagranja y por cuanto en ella ocurría acabó por convencer a sumadre de que Isaacdebía seguir por otros caminos. Se decidió su regreso a Grantham con el fin deprepararsuingresoenlaUniversidaddeCambridge.QuizáHannasevioayudadaenesta decisión por Stokes y por sus parientes clérigos, e inicialmente la decisiónalbergaralaesperanzadedirigiráljovenIsaachacialacarreraeclesiástica.DehecholaIglesiaofrecíaunasposibilidadesmuchomássegurasyatrayentesqueladuravidacampesina.Y por otro lado la familiamaterna tenía relaciones en esemundo. Seacomofuese,NewtonregresóaGranthamduranteotrosnuevemesesparacompletarsupreparación.Stokes recibióaNewtonconalegríayStukeleynosaseguraque lepresentó ante losdemás con lágrimas en losojos enundiscurso laudatorio, con elcual,aldespedirlecaminodelaUniversidad,leproponíacomomodeloalosdemásescolares.Porlovisto,algunosdeellostambiénlloraban.

YabuenseguroqueNewtonnodejabaentreellosunmalrecuerdo.AjuzgarporlasanécdotasqueStukeley llegóaescucharde labiosde sus informantes, tanto losClark como los Storer y tal vez otros, debió encantar a los buenos habitantes deGranthamconsuingeniomecánicocomoconstructordecometas,relojesdeagua,yotrosvariosjuguetesmecánicosdegeneraladmiración.Peroquizáesmásdestacableelhechodequeenellospusoacontribuciónsuenormecapacidaddeobservaciónydeanálisisdelmovimientoparahacerlosdetalmodoqueenellossediesenóptimosaprovechamientosdelasfuerzasenjuego[6].Sueleverseenestedetalleunaespeciede premonición de su futura aplicación a la filosofía natural. Lo cierto es que sushabilidadesmecánico-manualeslefuerondegranutilidadcuandohubodeprepararsuinstrumentaldeobservación.Otrotantocabedecirdesushabilidadescomodibujante.LasparedesdesuhabitaciónenlacasadelosClark,pareceserqueestabanllenasde


susdibujos,entreellosretratosdelRey,deStokes,etc[7].Porlodemás,losestudiosdelaescueladeGranthamdebieronprepararaNewton

para un dominio del latín y de los clásicos, sin ninguna referencia a problemas defilosofía ni matemáticas, salvo acaso algunas nociones elementales. A cambioproporcionaronaNewton,conlaayudadelasrelacionesdesumadreprincipalmentea través de su familia y de la amistad con la señoraClark, algunas conexiones enCambridge,enespecialladeHumphreyBabington,FellowdelTrinityyhermanodelaseñoraClark,cuyainfluenciabenéfica,nosabemossitambiénlosbuenosoficiosdeStokes, sirvió aNewton para cruzar por primera vez laGranPuerta delTrinityCollege, eldía5de juniode1661.Aunquenoeraabsolutamentepobrede fortuna(recuérdeseque ladotacióndeBarnabasSmith llegabaaunarentade50 librasporaño),susituacióndeingresoenelTrinityesde«subsizar»,estudiantepobrequehadeganarsusustentocomosirvienteenlamesadelosFellowsyestudiantesricos.LosestatutosdelTrinitydabancumplimientoconelloalpreceptoevangélicodesocorrera los pobres, para lo cual les dan el nombre de «Sizatores», esto es, «scolarespauperes».YquizáNewton,herederodelseñoríodeWoolsthorpeyacostumbradoatener criados, no encontró demasiadoduro el oficio de «Sizar», puesto que tal vezestuvodesde el principiodestinado al serviciodeBabington comocuidador de losinteresesdelmismoenCambridge,dondesóloveníaaresidirunassemanasporaño.Silasituaciónsocialnoerabrillante,lacomodidadylaautonomíadebieronserlo,ylosserviciosaBabingtonalapostreresultaronbeneficiososparaNewton.

Tampocoahoratuvoamigosniintimidadconnadie.Seguíasiendounestudiantepensativoysolitario.AlcabodesieteuochomesesseencontróconJohnWickins,queandabapasandomalmomentoporcausadesucompañero.Llegaronaentenderseydesdeentoncescompartieronlahabitación,aunqueestonobastóparagenerarentreellos una amistad profunda. Tal vez no pasó de ser una relación de buenoscompañeros.Ynomásamigos.

PudierapensarsequeNewtonfueunestudiantedelosquehoysesuelencalificarde«expedientebrillantísimo»ode«númerouno»yquesusestudios tuvieronlugarenlaUniversidadmásavanzadadeaquelentonces.Nadadeesosecorrespondeconloquesabemosdeunoydeotra.LaUniversidaddeCambridge,comolasdemásdeInglaterra entonces, erauncentrodepoder real eclesiásticoy elTrinityunode lossantuariosmásconspicuosporsutradición,suimportanciadentrodelconjuntodelosCollegesyporelespíritupuritanoycuasimonacaldesusestatutos,desusestudiosyde sus Fellows. Sus alumnos eran, por lo general, candidatos a ocupar puestoseclesiásticos, y si eran nobles, puestos políticos o en el aparato del estado. Laenseñanza, en este contexto, era típicamente escolástica, con algunos toquesrenacentistas y basada en las antiguas disciplinas medievales que comprendían elbachillerato en Artes, o el magisterio en Artes o acaso en Teología. Gramática,retórica, dialéctica, un poco de física o de astronomía, algunas matemáticas ogeometría,músicaylecturasdelosclásicosqueempezabanaserrecomendadaspor


lostutoresconalgunaprofusión,enparticularPlinio,Cicerón,Estrabón,etc.Alfinal,unos ejercicios de argumentación sobre la base silogística deAristóteles y ello erasuficiente para que un estudiante optase al bachillerato en Artes. Conocemos lostextosquehubodemanejarNewtonynosquedansuscuadernosdenotasdeestudio.PorellossabemosqueNewtonsintiópocointerésporlosprogramasqueleproponíala Universidad y que en el momento en que aparecía ante su vista algo nuevo,abandonabasusnotassobrelostextosparainternarsesóloporlosnuevoshorizontes.Esto ocurrió, de modo relevante, con la astronomía y con las matemáticas[8]. Susprogresosfueronsiempresolitarios,nuncaguiadosporunmaestro,quizáconlaúnicaexcepción de Barrow en un momento, y siempre sin la posibilidad de discutirlosprivadamente con colegas. Y si es cierto que a su llegada a Cambridge poseíaaceptablesconocimientosdelatín,supreparaciónenlasdisciplinasrelacionadasconlafilosofíanatural,matemáticas,astronomía,física,geometría,etc.eramuchomenosqueelemental.Sus«Notebooks»permitenafirmarquenoconcluyólalecturadesuslibrosdetextoyquemuyprontoelanálisiscríticodelosmismosleempujóhacialalecturadeautoresextracurriculares,como,porejemplo,Descartes,Gassendi,Galileo(dequienparecequeleyóel«Diálogo»,aunquenolos«Discorsi»),Boyle,Hobbes,K.Digby,J.Glanville,H.More,etc.En1664abreunaentradaensuNotebookconeltítulo de «Questiones Quaedam Philosophcae» (sic)[9] que en gran parte pareceresponderasus lecturasprivadasynocurriculares.El títulovaapostilladoconunafrasequeexpresa,almenos,suvoluntaddeinvestigarporsucuenta:«AmicusPlato,amicusAristótelesmagisamicaveritas».MasnohayquepensarqueNewtondejadeladoaPlatónyaAristótelesparaadoptarsinmáslafilosofíacartesiana.Aunqueéstalesugieremásymejoresmétodosdeanálisis,susnotasdelaépocamuestranqueleíaplanteandopreguntasalosautores,proponiendocontraargumentosocontraejemplos,haciendoprecisionesconceptualesuobservacionales,etc.Lostemascartesianosquele llaman la atención desde el principio son la luz, el movimiento mecánico, lamateria, el espacio, el sistema solar de vórtices y la geometría[10]. Cuando en laprimaverade1665obtieneelgradodebachillerenArtestienetambiénperfiladounprograma personal de intereses científicos centrado en estos temas. La filosofíanaturalquedescubreen1664noerademasiadoortodoxaenCambridge,peroNewtonera, a su vez, un tanto original dentro desella.Cuandohubode ser examinadoporIsaacBarrowsobre(Euclides)lohallóenblanco,yencambionolepreguntónadadela geometría deDescartes que dominaba ya bastante bien. Ello estuvo a punto decostar le lanoelecciónpara residentedelTrinity,perosuspatrones,quizáotravezBabington,leecharonunamanoysucarreraquedóinicialmentegarantizada,yloqueesmásimportante,seiniciasuconocimientoyrelaciónintelectualconBarrow.

Aproximadamente en los días en que se produjo su elección como escolarresidenteenelTrinity(abrilde1664),seiniciansusnotasyapuntesconservadosdesusestudiosmatemáticos,siempreensolitario,relativosala(geometríadeDescartes)yalanálisismoderno.SuguíainicialfueTasegundaediciónlatinadela«Geometría»


deDescartes que había preparadoSchooten, complementada con notas y textos deálgebra,sobretododeViéta.Alaveztomacontactoconelcálculoinfinitesimal;deWallis. Y ya en 1664 logra un gran dominio de ambas disciplinas y tambiénvislumbraalgunasestrategiasparahacerdeambasunasíntesis,puesllegaapercibirconclaridadquelaecuacióndeunacurvanoesunamerarepresentacióndelamismasinoqueentraña lapropianaturalezade la curva,de talmodoqueel estudióde laecuaciónseconvierteasíenestudiogeneraldeunacurva,desuspropiedadesydesus límites. Desde la primavera de 1664 hasta el otoño-invierno de 1666 en queredacta un tratado resumen de sus hallazgos, logra un dominio completo de losconocimientos matemáticos de la época y descubre además su propio método defluxionesytambiénlosteoremasquedanpieadichocálculo[11].

Pero estos logros matemáticos no son independientes por completo de susestudios de mecánica. Más bien hay que pensar que, hasta cierto punto, estánrelacionados con ellos. Primero porque el estudio de Descartes le ponesimultáneamenteenrelaciónconamboscampos,yensegundolugarporqueNewtonconecta internamenteunosproblemasconotros.Elanálisisdecurvasesunanálisisdepuntosenmovimientoyanálisisdelmovimientoesasuvezunareconsideracióngeométrica del mismo, de sus magnitudes espaciales y de las relaciones yproporciones matemáticas inherentes a esas curvas, rectas, áreas, ángulos, etc. Elhechodequeambasinvestigacionesfuesenparalelasysolapadasenel tiempo,másqueunasignificacióncronológica, tieneunvalorepistemológico.Yundatomás lopuede confirmar: Newton en el análisis y construcción de curvas, de familias decurvas y de las propiedades de esas curvas (en particular las tónicas) utilizó comoguíauncierto instrumentalmecánico,artefactoscompuestosde reglasycuadrantesconhilosquedeterminabanunpuntomóvil,elcual,almoversesobreunplanosegúnle permitían las longitudes variables del hilo, describía curvas más o menoscomplejas.Elmovimientodeunpuntoapareceasívinculadoaunosparámetrosdenaturaleza geométrica, y en definitiva matemática, que permiten establecerecuacionesconincógnitasadespejar.Siseconocelanaturalezadeesasecuacionesyelsistemadeconstruccióndelasfigurasrepresentativasdelmovimiento,entoncesesposibleunamatemáticade lospuntosenmovimiento.Esosehallaenelorigendelmétodo de fluxiones. En sus ensayos demayo de 1666 lo afirma expresamente ymuestra también que el cálculo fluxional no es un mero ejercicio de análisis decurvas[12].

Perolarazónúltimadeesosprogresoshabríaquesituarlaenelhechodeque,alasazón, Newton estudia problemas cartesianos de impactos entre cuerposperfectamenteelásticos,decentrosdegravedady,portanto,delugaresgeométricos,de reflexión y refracción, etc. Esos estudios le llevan inevitablemente a plantearseproblemas conceptuales, más allá de los puramente métricos, tales como el delconceptode«masa»(cantidaddemateria),inercia,velocidad,fuerza…conloscualesensayamúltiplesestrategias.UnadeellasTellevaadescubrirparalosmovimientos


circulares la ley del inverso del cuadrado del radio. En tal caso era obvia lacomparaciónconlosmovimientoscelestesdelosplanetasydelaLuna.PeroenestemomentoNewtonaúnnohadescubiertoelconceptode«fuerzacentrípeta»sinoquesus análisis están guiados por la fuerza centrífuga, «endeavor to recede from thecenter».Ydesdeestaperspectivanohaydemasiadoapoyoparaasegurar,comohacela leyenda heroica, que en estosmomentos se formuló para símismo la ley de lagravedad, ni siquiera como una intuición. Más bien parece que el análisis delmovimientocircularentérminosdeleyesdeimpactolellevóaformularelvalordelafuerzaconlaquesemueveuncuerpoencirculaciónuniformeporuncírculo,enlahipótesisdequeesecuerpoesempujadocontralaparedinteriordelcírculoporunafuerza procedente del centro, fuerza que en esas condiciones resulta inversamenteproporcionalalcuadradodelradio.Esahipótesis,enelcasodelosplanetasydelaLuna, es una hipótesis superponible a todas luces con la de los vórtices.Geométricamenteadmiteuntratamientoinverso,eldeldesvíodelatangente.NewtonloconsideróenelcasodelaLuna,ylacaídadelosgravesdeGalileolesugirióunaanalogía. Inicialmente no coincidió el resultado con el previsto. Newton no debiósentir sensación de fracaso por ello, ya que con toda probabilidad su idea de lagravedadera tan limitadaporentoncescomo ladecualquiergalileano.Encambio,obtuvounresultadoorientativo:lafuerzadelagravedadenlasuperficiedelaTierraesunas4000vecesmayorque la fuerzade laLunaparaapartarsedel centrode laTierra,yademás, sustituyendoensu fórmulade la fuerzacentrífuga losvaloresdelongitudesytiemposporlaterceraLeydeKepler(loscubosdelosradiosmediosdelos planetas son proporcionales a los cuadrados de los tiempos periódicos), las«fuerzas de receso desde el Sol serán inversamente como los cuadrados de lasdistanciasdesdeelSol[13]».

Durante buena parte de 1665 y de 1666 Newton vivió en Woolsthorpe comoconsecuenciadelapestequeasolóInglaterrayqueacabóconelincendiodeLondres;enmarzode1666regresaaCambridgeporbrevetiempoyrecibeeltítulodeM.A.Para entonces ya ha iniciado la relación con Barrow y ha establecido con él unconocimientoyquizáunaamistadqueaparentementeduróhastalamuertedelviejomaestro impulsor del proyecto y construcción de laBiblioteca del Trinity. En estaépoca inician, aparentemente juntos, una serie de estudios matemáticos, ópticos yexperimentosalquímicos[14],queNewtonproseguiráporsucuentaañosmástardeyque junto con los estudios matemáticos debieron servir al eminente Barrow paraconocer a fondo las capacidades del «Scholar» que tenía ante él. Ello haría queNewtonnoencontrasemayoresdificultadesparaserelegido«minorFellow»primeroy«mayorFellow»después,delTrinity.

Ademásdelosestudiosmatemáticos,mecánicosyalquímicos,Newtonabordaenestosañossusestudiosdeóptica.Suideainicialsobrelanaturalezadelaluzes,concerteza, igual de provisional y tentativa que las correspondientes de movimiento,materiayotras,entrelazadasenlafilosofíamecánicacartesiana.Porellonoesfácil


sostener que los resultados de su investigación, más o menos contenidos en losensayospublicadosenlosprimerosañossetentaenlas«PhilosophicalTransactions»oinclusomástardeenlasLeccionesdeOptica,representenporcompletoelcuadrodesufilosofíanatural.Susideassobrelanaturalezadelaluz,sobrelaestructuradelamateria,sobrelanaturalezadelaacciónfísicapuedenserconsideradasavanzadasyhastaaventuradasparasuscontemporáneos,pero,paraélmismo,eranaúnindecisasyenbuenamedida imprecisas.Enmiopinión, su largadedicacióna laalquimiaestámotivada por su deseo de llegar a penetrar en el secreto de la constitución de lamateria y de las fuerzas que concurren en ella. Desde este punto de vista, lasmatemáticas,lamecánicaolaópticanosonsinocapítulospreviosyperiféricosparaabordareldesafíofilosóficoqueNewtonrecibiódelafilosofíadesutiempo.Porlodemás, es bien conocido que, ante este desafío, Newton optó por responder entérminos de «filosofía natural».Opción ésta que tiene tanto de filosófica como demetodológica,puesnoesunmeroarsenalexperimentalalqueseproponeacudirsinotambién una concepción de la verdad y, por supuesto, una concepción delmundo.Ningunodeestostemasfueobjetodetratadosespecíficos,aunquesídejóconstanciadesuopciónenpasajesdelaOpticaodelosPrincipia.Igualquenofueexplícitoenmateriafilosóficatampocolofueconsusideastentativasenfilosofíanatural,y,porello,losbiógrafosyexégetashandeapelaraconjeturasalahoradereconstruirsuspensamientos.Algo parecido a la reconstrucción de un antiguo edificio del que seconservasenmuchosmaterialesperonolosplanos[15].

Los años 1665-1666 suelen ser denominados «annimirabiles» en el desarrollointelectualdeNewtonporloshallazgosquelogróensussoledadesdeCambridgeyWoolsthorpe.Pero su programade investigaciones se remontaba a la primavera de1664ysecontinuóhasta1669.Yquizáloadmirablesealacoherenciayconstanciainfatigableconqueloprosiguió,avanzandoalternativamenteencadafrente.Mientrastanto,ensuvidaexternaseproducenunosacontecimientosimportantes,delamanoahora de Barrow, tales como su elección como Fellow del Trinity y después larenunciadeBarrowensufavordelacátedraLucasianadematemáticas.Desdeel29deoctubrede1669Newtonocuparáesacátedra,conunas100librasderentaalañoyconvirtiéndosedepasoenunodelossieteprofesoresdelaUniversidad.BarrowfuedesignadocapellándelReyy,tresañosmástarde,maestrodelTrinity.Peroparaestemomento,enquevaaempezarsumagisterio,elprimerprogramadeinvestigaciónyaestaba prácticamente concluido. Durante los diez años siguientes, hasta 1679, seharánpúblicosalgunosdesusresultadosyseiránperfeccionandootros,alavezqueapareceránintereses teológico-históricosdenotable importanciaensuvida.Lomásnotableaquíseráreseñarque,denuevograciasalasinfluenciasdeBarrow,consigueque el Rey descargue al titular de la cátedra Lucasiana de la obligación de tomarórdenes sagradas. Para entonces ya era secretamente arriano y no podía sufrir sinhorrorlaideadetenerquevolverajurareldogmatrinitario.Peroestoesalgoajenoahoraanuestroobjetivo.


Dejando de lado su trabajo de profesor Lucasiano que aparentemente sólorepresentabaparaNewtonunquehacerresidual,duranteestosdiezañossiguientesasu nombramiento su atención se centró en una reelaboración del programa deinvestigacióncompletadohasta1669.Dejandoapartesusinvestigacionesteológico-históricasmuyampliasyvariadasycargadasdepasiónreligiosa,podemosresumirsuactividad en tres áreas de filosofía natural: la óptica, el análisis y la alquimia. Enópticacompletasuseriedeexperimentos,publicaunapartedesusinvestigacionesymantieneunaextensapolémicaconHooke,Huygens,Linus,PardiesyLucas.Yaheseñaladoquesuóptica,inclusolaobracompleta[16],esunfragmentodelpuzzletotaldelpensamientodeNewton.Ynisiquieraestosensayosdelosaños70sonmásqueuna parte de sus investigaciones. Por lo tanto, en este capítulo de su trabajo, supensamiento andaba entrelazado con otras cuestiones, parte alquímicas, partemecánicas, de las cuales solamente podemos inferir algunos aspectos por lasrespuestasquevadandooevitandodarasuscríticos.

Yaúneranmásdesconocidos suspensamientos alquímicos.Pese aque en esteperíododedicómuchoesfuerzoyestudioal tema,solamentepodemossaberdesustrabajos recurriendo a los manuscritos y apuntes que fue acumulando. Las pocascosasquesalierondesusmanos[17]apenasdanunaideadeunamínimapartedesusinvestigaciones sobre la materia. Pero con todo, hay que concederles granimportancia, si se quiere llegar a comprender la génesis de algunos conceptospresentesensuOpticayenlosPrincipia.Noesfácildecidirsilateoríacorpuscularde la luz y su correspondiente atomismo mecánico proceden de sus intuicionesalquímicas o si en sus investigaciones alquímicas busca una confirmación o unaextensióndeesashipótesis.En todos loscasosNewtondasiempre la impresióndetratardesalvarlosfenómenosydeindagaratravésdeellossobrealgomás.Cuandotropieza con dificultades insalvables, a duras penas consigne disimular sucontrariedady,porlogeneral,evitadeciralgoquelecomprometaconhipótesispocosólidas.Perolaautocensuraqueseimponealahoradeescribir,noselaimponealahora de investigar a solas en el laboratorio privado que tenía en su habitación delTrinity.MuchosdelosconceptosquesemanejanenelLibroIIdelosPrincipiacomolos de densidad, cohesión, resistencia, viscosidad, etc. han sido ensayados en ellaboratorio. Y tratándose de un autodidacta, no es fácil determinar qué tipo deinteraccionesconceptualesibanocurriendoensumentealensayarycontrastarideas,hipótesis,experimentosylecturastanvariadas.Hayqueimaginarquesuespíritueraunaespeciede laboratoriomentalenelquedeterminadasexperienciasyevidenciasdeterminabanlaapariciónyprevalenciadeunasideasuotrassegúnrespondíanmejoropeorasusinteresescientífico-filosóficos.

Enalgunoscasoselproblemaeramásllevadero.Cuandoabordaunarevisióndesus trabajos matemáticos y se propone sistematizarlos, aunque no acabe elproyecto[18], lascosaspermiten logrosmássatisfactorios,y su«métododeseriesyfluxiones» queda suficientemente listo como para ser considerado prácticamente


completo por el momento. Y aquí es preciso destacar que su revisión le lleva aformular con entera precisión la estructura matemática de los problemas develocidad,espacio,tiempoymovimiento:elmétodoparaanalizaresosproblemasdeintegraciónydiferenciaciónmediantecantidadesfluentes(fluxiones).Sisecomparaestetrabajoconelpreviode1668,«Enumeracióndecurvasdetresdimensiones»ysecontemplan a la luz de un proyecto de investigación se puede observar que laestrategiaesdoble:porunaparte,semejoralaestructuraalgebraicay,portanto,segana en generalidad y en rigor y, por otra, se conserva la perspectiva mecánicarelacionada con la imagen de puntos en movimiento, incorporando con precisiónvariablesde tiempo,velocidady espacio.Diríaseque lasherramientasvanestandolistas.Desde1672a1676lapolémicasobrelaópticaleocupauntiempoquesiemprelamentó.Yapartirde1773elregresodeBarrowcomomaestrodelTrinityleempujaa preparar algunos textos matemáticos y, sobre todo, hacia la alquimia. Una vezconseguida la dispensa de tomar órdenes sagradas, sus trabajos teológicos yalquímicosocupansutiempo,juntoconsusasuntospersonales(muertedesumadreen 1679, arreglo de sus asuntos económicos en Woolsthorpe), de modo que paranuestra historia hemos de llegar hasta el invierno de 1679-1680 que constituye elprimerpasodirectohacialosPrincipia.

II

LaSociedadRealdeLondreshabíaelegidoaNewtoncomomiembrodelamismaen los primeros años setenta y Newton había mantenido con ella algunascomunicaciones. De manera formal, había participado en sus debates enviandosendosensayossobretemasópticosasícomosobreun(telescopiodereflexiónenelqueaplicabalosprincipiosdesuteoríadeloscoloresintentandoeliminarlosefectosde la aberracióncromática.Pero, enun tonomáspersonalyprivado,mantuvounacorrespondenciacientíficaconOldenburg,secretariodelaSociedadReal,quehacíadeintermediarioconHuygens,Leibniz,etc.AlamuertedeOldenburg,ytrasalgunasintrigasinteriores,resultóelegidosecretariodelaS.R.Hooke,cuyapresenciaenellaeramuyantiguayquehabíadesempeñadoelcargode«curator»delosexperimentos.EstonofacilitabalasrelacionesdeNewtonconla institución,yadeporsíbastantedeterioradas como consecuencia de la polémica pasada. Y pese a dos cartas,aparentementeconciliatorias[19],NewtonsesienteagraviadoporlaincomprensióndeHooke,y tambiénpor lapretensióndeéstedequeensuMicrographia[20] se podíahallar buena parte de todos esos fenómenos ópticos perfectamente salvados. LacríticadeHookequeerarespetuosayenalgunamedidajusta,indispusodetalmodoaNewtonque,aparentemente,ledecidióanomantenernuevasrelacionesepistolaresconél.PeroelnuevocargodeHookeanimaaéste a tratarde recuperar aNewtonpara lavida intelectualde laS.R.yaprovecha lanuevasituaciónparaconvertir la


cartadecortesíacomunicandosuelección,enunainvitación:«…Pormi parte, estimaré como un gran favor el que tengáis a bien hacerme

conocerporcartavuestrasobjecionesacualquierademishipótesisuopiniones:enespecialsitenéisabienhacermesaberquéesloquepensáisdelahipótesissegúnlacual los movimientos celestes de los planetas se compondrían del movimientorectilíneoporlatangenteydelmovimientodeatracciónhaciauncuerpocentral,asícomo vuestras objeciones a mi hipótesis sobre las leyes y causas de laelasticidad[21]»….

LaprimeradelashipótesisdeHookesehallaensuAttempttoprovetheMotionoftheEarthbyObservation(Londres,1674).LasegundaensusLecturesdepotentiaresistendi(Londres,1678).

EnestamismacartaHookedaaNewtonlasnoticiasde«queenParísseocupandeun nuevo trabajo, la determinación de la longitud y latitud de las ciudadesmásimportantesmedianteloseclipsesdelossatélitesdeJúpiter…yhanhalladoqueBrestestá18 leguasmáscercadeParísde lo señaladoen losmapas…queCollins lehamostrado un nuevo libro de de la Hire con un nuevométodo de las cónicas y untratado “de locis solidis”… que Flamsteed ha confirmado la paralaje de la órbitaterrestre…,etc.»(paralajequehabíasidopredichaporHooke).

NewtonacababaderegresardeWoolsthorpedondehabíaestadounosmesesconmotivo de la última enfermedad y muerte de su madre y arreglando sus asuntosfamiliares. Con todo, responde inmediatamente (el 28 de noviembre de 1679[22]),excusándosepor declinar la invitación a participar en asuntos filosóficos, por estarahora dedicado a otras cosas, por haber dejado tales problemas de lado durantemucho tiempo y porque, en definitiva, «ha dicho su adiós a la filosofía». Le dicetambiénquenovecómoparticiparenalgunosproyectosdemediciónsimilaresalosfrancesesy,trascomentarlealgunasdesusotrasnoticias,notieneempachoendecirleque«conseguridadtendréisabiencreermequeantesderecibirvuestracartayonoheoído hablar (en lo que recuerdo) sobre vuestra hipótesis de la composición de losmovimientoscelestesdelosplanetasysobreelmovimientorectilíneotangencialalacurva…», a pesar de que acaba de felicitarle por la confirmación de la paralajepredichaporHookeprecisamenteen lamismaobradonde formula lashipótesisencuestión.Añade,generosamente,unaoferta.UnexperimentoqueserviríaparaprobarexperimentalmenteelmovimientoderotacióndelaTierra:«SupongámosmeleBDGrepresenta el globo terrestre que gira una vez cada día en torno a su centro C,moviéndosedeOesteaEste,segúnelordendelas letrasBDG,queAesuncuerpopesado,suspendidoenelaireyquegiraconlaTierradetalmodoqueseencuentraconstantemente sobre el puntoB. A continuación imaginemos que se deja caer alcuerpoAyquesugravedadlecomunicaotromovimientohaciaelcentrodelaTierra,sin que el anterior deOeste aEste disminuya.Concedidoque antes de su caída elcuerposehallabamásalejadodelcentrodelaTierraqueelpuntodelsuelosobreelqueestá,resultaráqueelmovimientodelcuerpodeOesteaEsteserámásimportante


que el movimiento de Oeste a Este del punto del suelo sobre el que estaba; porconsiguiente, no descenderá según la perpendicular AC, sino que, rebasando laspartes del suelo, caerá al Este de la perpendicular, describiendo en su caída unaespiral ADEC contrariamente a la opinión común según la cual, si la Tierra semoviese,loscuerpospesadosencaídalibreseríanrebasadosporlapartedelsueloycaerían al Oeste de la perpendicular…». Y añade algunos detalles para que elexperimento pueda ser bien ajustado y, por consiguiente, fiable, para acabardespidiéndoseconunanuevaprotestasobresudesconocimientode lashipótesisdeHookeporloquenopuedehacerlesobjeciones.

Fig.1.

HookenosecreyócasinadadeloqueNewtondecíaensucartay,noobstante,persistió en sus intenciones de provocar a Newton para que se pronunciase másexplícitamente.

Por otra parte, el problema de la caída libre de los graves ya disponía de unaliteratura científica notable y disponible para ambos: en primer lugar, y demanerainnegable ambos conocían una presentación del problema y de sus protagonistaspolémicosatravésdeun«Account»publicadoporGregoryenlasPhil.Transactions,en 1668[23]. Y de igual modo es de suponer que ambos conocieran los CogitataPhysicomathematica de M. Mersenne e incluso la recién publicada obra deFermat[24].

El 4 de diciembre de 1679Hooke lee en una reunión de laS.R. las partes nopersonalesdelacartadeNewtonyenparticularsedebateelexperimentopropuesto.Eldía14leeenlareunióndelaS.R.supropiarespuestaaNewtonenlaquenotratade la forma de realizar el experimento propuesto, sino del resultado previsto porNewton,resultadoqueevidencia,paraHooke,unamalaconcepcióndelproblemaqueseplanteay,comoconsecuencia,unasolucióninsatisfactoria.Noeranecesariohacerlascosastanexplícitas,desdeluego,yporelloHookeselimitaamostrarlo.Lacartaestá escrita con la caligrafía de algún amanuense algo descuidado y únicamente lafirma es de mano de Hooke. Comienza ésta con tono amistoso haciendo unas


reflexiones sobre la esperanza que abriga de que Newton vuelva a la filosofía yagradeciendosucartapasadaasícomolasideascontenidasenella.Ledicequefuemuy bien recibida por la comunidad de miembros de la S. R. a quienes leyó lospasajesdeMallamentydelexperimentopropuesto«ynadamás».Ycontinúa:«peroencuanto a la línea curvapor laquepareceque suponéisquedesciende el cuerpo(obsérvese que este problema es un problema nuevo que introduce Hooke aquíponiendoénfasisenloquenoeraasuntoprincipalenlacartaanteriordeNewton),esdecir, en cuanto a que sea una especie de espiral que, después de unas cuantasrevolucioneslollevaríaalcentrodelaTierra,miteoríadelmovimientocircularmehacepensarqueesta líneaseríamuydiferente,quenosepareceríacasinadaaunaespiral,sinoquepareceríamásbienunaespeciedeelipsoide.SobretodosisesuponequeelcuerpoencaídalibresehallaenelplanoequinoccialyquelaTierrasehallacortadaendoshemisferiosseparadosporelespaciodeunayardadejandoabiertounvacíoparaelpasodelcuerpoquecae,mientrasque lagravitaciónhaciael antiguocentro permanece como antes y que el globo terrestre se supone en giro diario entomoasuejeyqueelcuerpoencaídaconservaimpresoelmovimientodelaspartessuperficialesdelaTierradesdelasquefuelanzado;enestascondicionesyoimaginolalíneaporlaquesemoveríaestecuerpoparecidaaunaelipse.Supongamos(Fig.2),porejemplo,queABDE representaelplanoequinoccialde laTierra limitadopor lasuperficie,queCeselcentrohaciaelquetiendentodaslaslíneasdegravitación.SiArepresentaalcuerpogravequecaedesdeAatraídohaciaCymovidomientrastantoporlarevolucióndiurnadelaTierradesdeAhaciaBDE,etc.,creoquelacurvaqueentoncesresultarádescritaporesecuerpoencaídalibreseráAFGHyqueelcuerpoAnoseaproximaránuncamáscercadelcentroCqueelpuntoG (salvoque sufra lainfluenciadealgúnmediocomoelaireocosasimilar)yquecontinuarágirandoporlalíneaAFGHAFG…,etc.Perosielmedioenquesemuevetienelafuerzadefrenarodisminuirsumovimiento,lacurvaquedescribiráseráalgoparecidoaAJKLMNOPyquedespuésdevariasrevolucioneselmovimiento terminaráenelcentroC…».Yañade una corrección más: le hace ver que en Londres, donde se propone elexperimento,a51.º32′delatitudNortelacaídanoseráalEstesinoalSSE,dadalainclinacióndelplanorespectoalplanoequinoccial[25].

Fig.2.


La respuesta de Newton es inmediata. El 13 de diciembre contesta y da porcerrada esta correspondencia con Hooke. Escribe Newton: «Estoy de acuerdo conustedenqueennuestra latitudelcuerpocaerámásbienalSurquealEstesiempreque a Altura desde la que caiga sea considerable. Creo también que si el peso sesuponeuniformenocaeráenespiralhaciaelcentroconalternativassubidasybajadasprovocadasporlafuerzacentrífugaylagravitaciónquelearrastranconjuntamenteala vez. Entonces yo imagino la trayectoria del cuerpo no elíptica, sino la curvaAFOGHJKL,etc.».(Fig.3).

Fig.3.

Aparece aquí un nuevo error de concepto por parte de Newton. Suponer a lagravedadconstantees,porlomenos,noaceptarlaleydelinversodelcuadrado.Unacosaesquelagravedadseaalgopresenteentodaspartesyotraquesuaccióntengaelmismo grado de eficacia en cada punto del espacio desde el centro. Y Hooke loseñalará oportunamente.El 6 de enero de 1680Hooke escribe aNewton: «vuestrocálculo de la curva que describirá un cuerpo atraído por una fuerza que se ejerceigualmente a todas las distancias del centro, como la de una bola que rueda en unconocóncavoinvertidoesexacto,ylosdosaugesnoseuniránmásquetrasuntercioderevolución;peroyosupongoquelaatracciónessiempreproporcionalal inversodel cuadrado de la distancia al centro y, por consiguiente, la velocidad será enproporciónsubduplicadadelaatracciónyrecíprocaaladistancia».

Se ha destacado de esta carta de Hooke su error matemático[26] y su escasapreparación para desarrollar algebraicamente la cuestión que enuncia. Ello es, sinduda, verdad, como lo es el hecho de que Newton se dio perfecta cuenta de ladebilidaddeHooke,peroellectorconperspectivahistóricapuede,asuvez,dárselade que Hooke está formulando con mayor precisión que nadie hasta entonces ladinámicadeloscielosodelsistemaplanetario.Yporotraparte,esposibleintuirlolejosquesehallaNewtonenestemomentodesuteoríadelagravitaciónuniversal.


DiríasequelahipótesisformuladaporHookepareceríasalidamásbiendelamentedeNewton.Y,sinembargo,noparecequecuestemomentoNewtonhubiesellevadosuteoríadelafuerzacentrífugaola«endeavor»máslejosdeloquelohabíahechoen los años 66-69. El caso fue que no respondió aHooke esta vez. Este vuelve aescribir el 17 de enero: «sólo falta ahora conocer las propiedades de una curva, nicircularniconcéntrica,generadaporunafuerzadeatraccióncentral,quehacequelasvelocidades de caída respecto a la tangente, es decir, respecto a un movimientorectilíneo uniforme, sean a todas las distancias inversamente proporcionales a loscuadradosdelasdistancias.Yonodudoquegraciasavuestroexcelentemétodo,vospodáisestablecerfácilmentecómodebesertalcurva,lomismoquesuspropiedades,ysugerirlacausafísicadeestaproporción».

LoserroresmatemáticosdeHookeen la formulaciónde su teoría lehanhechosiempreexcesivamentevulnerablealacrítica,empezandoporladelpropioNewton.Perotantoéstecomootroshantenidoqueverenestascartaselprimerplanteamientonítido del problema a resolver. En la correspondencia de Newton con Halley enmayo-juniode1686[27],NewtonhaceunareseñadeestacorrespondenciaconHookeyaunquereconocequelapropuestadeHookelellevóaldescubrimientodelteoremade laelipse,dauna imagen inexactaydesfavorableparaHookede lapropuestadeéste.YlosospechosodelcasoesqueNewtonconservabalascartasensupoder,porloquenovaldríaargüirquehablabadememoria.

Aún habría otros detalles para sospechar que Newton no poseía una ideaadecuadadelsistemadelmundoenestemomentoymenosdelateoríadelagravedad(nisiquieracomofuerzacentralenlostérminosdeHooke).Elcometade1679-1680fueobservadoporNewtonylahipótesisquemanejóesunahipótesisdetrayectoriarectaatravésdelsistemaplanetario.Flamsteed,Halley,CassiniyelpropioHookesele adelantan en la sugerencia de que, tanto éste como el de 1682 que habían sidovistosdosveces,endiciembreantesdelperihelioyenenero-febrero…despuésdelperihelioeranunsolocometacadavezynodoscometasdistintoscadavez[28].

NoseráfácilqueloshistoriadoreslleguenaunacuerdosobrelaimportanciaquetuvoHooke en la gran realizacióndeNewton.Este fue siemprehostil a la ideadereconocer aHookemás de lo que era imposible negarle. Hooke siempre defendiócomosuyomásdeloquerealmentehabíahecho.YaltratardereconstruirloshechossiemprenosfaltaráconoceralgoqueNewtonocultó:quéfueloquerealmentevioatravésdelascartasdeHooke.Dehechocuandoencontrabaelbuencaminoavanzabaagrandespasos.Esoocurrióconelcálculoyconlaópticaen1664-1669,yquizáesomismo ocurrió ahora cuando el planteamiento de Hooke le llevó «a descubrir elteorema de la elipse», y quizá algo más que eso, si uno se toma el trabajo decomparar sus concepciones de dinámica celeste anteriores y posteriores a esteepisodio.

SiNewtondiograndespasosbajo el estímulode esta correspondenciaopor símismo es pura especulación. De hecho, desde estemomento entra en una fase de


silencio epistolar, roto unas pocas veces para recabar de Flamnsteed algunos datossobre el cometa de 1680 y poco más. No obstante compra el opúsculo tituladoCometa (otravez lapresenciadeHooke)del cualhaceunexamenconcienzudoen1681yasíloregistraensuWasteBook[29].Peroajuzgarporlosmanuscritosdeestaépoca,sustrabajosmásimportantesestuvieronrelacionadosconlaalquimia,conlareorganización de sus anteriores trabajos matemáticos y con la historia teológico-bíblica.No obstante, también hace acopio de datos tanto sobre el cometa de 1680comosobreelde1682(máslarde«cometaHalley»)conpropósitosnoconocidosytampocoporrazonesaparentementeastronómicas.Quizáciertostrabajosalquímicosestuviesenenelfondodeesteinterésysólomástarde,conocasióndelosPrincipia,encontraronunautilidadclara.Porotraparte,comoveremos,tantoenlaOpticacomoen los Principia, la materia y secuelas de estos cuerpos le sugiere ideas hartoparticulares.

El paso siguiente hacia los Principia, quizá el definitivo, fue una preguntaformuladaporHalleyenunaentrevistaquemantuvoconNewtonprobablementeenagostode1684.Newtonrecordabaaquellaentrevista,segúncuentaDeMoivre,conlas palabras siguientes: «En 1684 el doctorHalley vino a visitarle aCambridge, ydespuésdeestarjuntosalgúntiempoeldoctorlepreguntócuálcreíaélquedebíaserla curva que debía ser descrita por los planetas, suponiendo la fuerza de atracciónhaciaelSolinversamenteproporcionalalcuadradodeladistanciadeellosalSol.SirIsaacreplicó inmediatamentequedeberíaserunaelipse;eldoctorseestremeciódealegría y asombro y le preguntó que cómo lo sabía, porque—respondió—, lo hecalculado.YentonceseldoctorHalleylepreguntóporsuscálculosinmediatamente;sir Isaac miró entre sus papeles y no pudo hallarlos, pero prometió rehacerlos yenviárselos…»[30].

LaprimeravisitadeHalleyaNewton,probablementeenagosto,aunqueotroslasitúan en mayo, parece que obedeció a una especie de decisión emotiva o«corazonada». En enero anterior se habían encontrado Hooke, Wren y el propioHalley en una conversación informal discutiendo sobre la ley del inverso delcuadrado.Lostresestabanconvencidosdequeesaleydebíaserlaclavedelarcodelosmovimientoscelestesdelosplanetas.YporotrapartetampocoerasusceptibledeserestablecidaexperimentaluobservacionalmentecomolopudieranserlaleyesdeKepler.Laúnicaformadeabordarelproblemaeratratardedemostrarsunecesidadmatemática.HookesecomprometióaelloyWren leofrecióuna recompensa«y laparte correspondiente de gloria». Pero pasaron los meses y Hooke no cumplió asatisfaccióndeWren.EnlacorrespondenciadeHalleyconNewtondemayo-juniode1686, sedacuentadeunaconversaciónentreWrenyNewtondehacia1677en lacualWrenmanifestóaNewtonquehabíaconsideradoelproblema«dedeterminarlosmovimientos celestes sobre la base de principios filosóficos», ocasión que sirvió aNewton para constatar queWren se hallaba convencido de la relación inversa delcuadrado,peroqueeraincapazdedemostrarla.CuandoHalleypreguntaaWrenpor


esto(apeticióndeNewton)contestaque«hacentradosuspensamientosenestablecerlos movimientos planetarios sobre la composición de dos movimientos, uno dedescensohaciaelSolyotroimpreso…perohasidoincapazderesolverelproblema»y tampoco Hooke le ha ofrecido una demostración[31]. Este, por su parte,argumentabaqueloteníaresueltoperoguardabaensecretolasoluciónparaprobaraotrossabios.

Elproblema,pues,estabaplanteadocontodavirulenciaenlosmediospróximosala S. R. y un astrónomo como Halley tenía verdadera urgencia en poseer unarespuesta a una cuestión que era central para sus trabajos. Ya en 1682 habíaconectadoindirectamenteconNewtonapropósitodelasobservacionesdelcometade1680ydesuestanciaenParísconCassiniobservandoelcometade1682[32].QuizáconvieneañadirqueHalley,porsueducaciónysusaberhacerysaberestareraunade las pocaspersonas indicadaspara abordar aNewtonyganar su confianza, cosaquelogródemodopermanentehastaelfinaldelavidade.Newton.

Otracuestión,untantomarginal,escuálfueefectivamentelapreguntaqueHalleyhizoaNewton.EnelrelatodeDeMoivrequehemostranscritoanteslapreguntafue«cuáldebíaserlacurvaquedescribiríaunplanetasuponiendolafuerzadeatracciónhacia el Sol inversamente proporcional al cuadrado de4a distancia hasta él». PeroNewtonenotrofragmento[33]enuncialapreguntadeunmodomásgeneralyretrotraela visita de Halley a «la primavera de 1684», mientras en otro lugar del mismofragmentoaseguraquelasProposicionesIyXIlasconocíadesdediciembrede1679(fechadelacorrespondenciaconHooke)entantoquelasProposicionesVI,VII,VIII,IX,X,XII,XIII,XVIIdelLibroIyI,II,III,IV,delLibroIIlashabíaelaboradoenjunio-juliode1684 (argumento a favor de la visita enmayo deHalley). El resto de la obra fueescrito desde diciembre de 1684 a mayo-junio de 1686. Todos estos recuerdos deNewtonintroducenelementosnosiemprefiablesencuantoafechas.Enjunioyquizájuliode1684estabaenWoolsthorpesegúnelregistrodelTrinity.TodoellotieneunaimportanciasecundariaparalacomprensióndelprocesogeneradordelosPrincipia.Aceptando como probable que la visita de Halley se realizó en agosto, o menosprobablementeenmayo,de1684yqueHalleylepreguntóporlacurvadescritabajolahipótesisdelinversodelcuadradoporlosplanetasdelsistemasolar,lacuestiónsepuederestringirasaberquéesloqueNewton«habíacalculado».

I.B.Cohen cree que la pregunta pudo haberse formuladomás omenos en lostérminosmencionados,pero,dadoquesehallabainsertaenunaconversación,podríaser entendida contextualmente por los interlocutores y no ser preciso, por tanto,haberla planteado más adecuadamente[34]. «Newton, dice I. B. Cohen, podría sercapazdedemostrarquesiunobjetosemuevealolargodeunaelipsebajolaaccióndeunafuerzacentraldirigidahaciaunfoco,entoncesdichafuerzadebevariarcomoelinversodelcuadradodeladistancia.Pero,talcomolodice,lapreguntadeHalleyyla respuesta de Newton implican que éste podría probar la conversa. Esto es


seguramenteerróneo,puestoquelaconversanoesverdadera.Estoes,bajolaaccióndeunafuerzainversamenteproporcionalalcuadradodeladistancia,unobjetonosemuevenecesariamentea lo largodeunaelipse, sinoquesu trayectoriapuedeserounalínearectadirigidaalcentrodefuerzaounacurvaquepuedeseruncírculo,unaparábola,unaelipsee inclusounahipérbola.Esposibleque lapreguntaatribuidaaHalley se haya presentado incorrectamente y que Halley preguntara a Newtonrealmenteporlaconversa:cuálhabríaseserlafuerzasiunplanetasemueveenunaelipse…»[35].

Pero, por otra parte, si la explicación contextual es la más natural, dados losinterlocutores, no cabe olvidar la posibilidad, recordada por Newton, de que elcálculomencionadosehallasemeramenteesbozado(puestoqueal rehacerlo«hallódificultades») y, por tanto, que hasta estuviese mal formulado inicialmente. LapreguntadeHookeeraporlanaturalezadelacurvaynoporlafuerzageneradoradelacurva.Además,siyalohabíacalculado,noseexplicaporquétardótresmesesenenviarle a Halley unas páginas con el problema resuelto, si se considera que suingenioresolviendoproblemasnoteníaigual.

Es preciso dar un rodeo ahora para acercarnos a la cuestión que habíamosplanteado sobre los cálculos hechos porNewton. No sabemos, desde luego cuálesfueronloscálculosquerealizóconmotivodelacorrespondenciaconHooke,pero,encambio,algosabemossobreelestadodelacuestiónenelmomento.

Lanocióndeunaexpansióndeunaacciónfísicaenrazóninversadelcuadradodela distancia tenía además de una buena apariencia para los astrónomos, dosantecedentesbienconocidos,ambosformuladosyaceptados.

ElprimerodeesosantecedenteseralaleydeKeplerrelativaaladisminucióndela intensidad luminosa desdeel focode luz,precisamente en razóndel inversodelcuadradodeladistancia.EssabidoqueKeplertambiénpropusounaatracciónsolar(denaturalezanogravitatoria),peronoleatribuyólamismarelaciónsinoquelacifróenunvalor proporcional al inversode la distancia.Los elementos conceptuales deeste primer caso pueden sistematizarse un tanto simplemente: la acción física deiluminar,seacualsealanaturalezadelaluz,tieneunorigencentral,unaexpansiónprácticamenteinstantánea(dejandodeladolacuestióndelmedio)yesféricaentornoalfocodeluzylaleydeintensidadparacadapuntodelespacioesféricoconsideradoesunaleydeinversodelcuadradodeladistanciaalcentro,ofocodeluz.ElsegundodelosantecedenteshabíasidopublicadoporHuygensen1673comoapéndicedesuHorologiumOscilatoriumyeslaRegladelafuerzacentrífuga.Paraunmovimientocircularuniformeesafuerzaesdirectamenteproporcionalalcuadradodelavelocidadeinversamenteproporcionalalcuadradodelradiodelcírculo[36].

Estos teoremas de Huygens (si bien los publicó sin demostración alguna)permitían calcular el valor de la fuerza planetaria para un movimiento circularuniformeque respondiesea la tercera leydeKepler, suponiendouna fuerzacentralqueretuviesealosplanetasensusórbitas.Dichocálculopodríahabersidorealizado


por Newton con toda facilidad y también por otros matemáticos, entre los cualesWren,Halley, quizáHooke, y otrosmás.Representemos porV la velocidad de unplanetaensuórbita,porrelradiodelaórbitacircular,porTeltiempoperiódico,porAlaaceleraciónyporFlafuerzaproporcionalaella.Entalcaso,

A= V2

r= (

2πr⁄T)2

r= 4π

2

r2 x r

3

T2 ;

ypuestoquer3

T2esunaconstante(laterceraleydeKepler)yF∞A,entoncesF∞

1r2.YNewton,ensuscálculosde la«endeavour»de laLunahizoalgocomoesto,

quizá,antesde1673,yesciertoquealgoparecidofueloquehizohacia1666[37].

III

Y, sin embargo, no sería prudente afirmar que éste era el punto al que habríallegadoNewton cuando respondió «lo he calculado». Con gran probabilidad habíallegado algomás allá.Quizá había hallado que también en algunos puntos de unaelipse se cumplía la ley del inverso, quizá en aquellos que no necesitan otrotratamientoqueeldelcírculoparaobteneresemismoresultado,porejemplo,enlosextremosdeldiámetrodeuncírculoinscritoenlaelipseytrazadoconradioigualalsemiejemenoryotroscasosparecidos.Elcasoesque,segúncuentaDeMoivre,«sirIsaac,tratandodecumplirsupromesa,pusodenuevomanosalaobra,peronologróllegaralaconclusiónquecreíahaberobtenidoantesconunexamencuidadoso.Noobstante, ensayó una nueva vía, aunquemás larga que la anterior, que le llevó denuevoasuprimitivaconclusiónyentoncesexaminóconcuidadolascausasporlasquesuprimercálculoresultósererróneo,yhallóquealdibujarunaelipsedeprisayamano,habíadibujadolosdosejesdelacurvaenlugardedibujardosdiámetrosuntantoinclinadosunohaciaotro,demodoqueposiblementefijósuimaginaciónendosdiámetrosconjugados,locualeraunrequisitoimprescindible,yaldarsecuenta,hizoqueamboscálculoscoincidieran[38]».

ElresultadodeestareconstrucciónpuestaenlimpioparaHalleyllegaaLondresen noviembre de 1684 llevado por Edward Paget, un Fellow del Trinity. Era unpequeñotratadodenuevepáginasenlahipótesisdequefueraigualaldelaS.R.Enél se resuelve el problema planteado y se sientan las bases de una dinámica másgeneral.AsídebiódeconsiderarloHalley,querepitevisitaaCambridgeyarrancaaNewtondoscosas,ambas importantes:permisoparadarnoticiade laexistenciadeeste tratado y el compromiso de presentar una copia en la S. R. para que sea

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registrada.TodavíavuelveaLondrescontiempoparaasistiralareunióndelaS.R.del10dediciembreydarlanoticia.LaS.R.,complacida,aceptayencargalacopia.Esta llega en enero siguiente y es anotada en su Registro (vol. VI, pág. 218). LagestióndeHalleyimplicandoalaS.R.significauncompromisoporpartedeNewtonparapublicar su tratadoDemotu.Newton exigió reescribirlo y el resultado de esareescriturafueronlosPrincipia.

Dos cuestiones previas quedan pendientes. La primera es sobre el tránsitointelectualdeNewtondesdelacorrespondenciaconHookehastael«curiosotratado»quevieraHalleyyquepresuntamentecoincidíaengranmedidaconelconservadoenel Registro de la S. R. La segunda, similar a la anterior, está relacionada con latransformacióndeesemismo«curiosotratado»enlosPrincipia.

No es fácil determinar el camino seguido por Newton desde 1679-1680 hastanoviembrede1684enloreferentealatransformacióndesusideastantodinámicascomoastronómicas.SitomamoscomopuntodepartidalasideasqueaparecenensucorrespondenciaconHookeycomotérminodellegadaeltratadoenviadoalaS.R.,parece que hay que destacar una transformación radical de su concepto de«endeavor» («conatus recedendi a centro»), de los planetas y la Luna paramantenerseensuórbitahaciaelconceptode«fuerzacentrípeta».Estepasonoestádocumentado en los manuscritos existentes y quizá estuviese determinado por lamismaevolucióndeltratamientomatemáticodelproblemadelcuerpoquegiraenuncírculo uniformemente. La mera resolución de un problema de caída de un grave(como el propuesto por Hooke) en términos de un cuerpo que gira en torno a uncentrobajolaurgenciadelagravedadcomofrenoasumovimientorectilíneoporlatangente, es una base conceptual suficiente para la transformación del concepto de«endeavor» en «vis centrípeta», siendo en tal caso, uno de los ejemplosmatemáticamente equivalentes al de la gravedad. La primera de todas lasaproximaciones, sólo explicitada en la correspondencia con Hooke, consiste enconcebirlatrayectoriadeungraveencaídalibrecomounatrayectoriaengiro.Yyadesde hacía casi veinte años, había puesto a punto el método para determinar la«curvatura» (elgradodecurvatura)de la líneadescritaporunpuntoquesemuevecontinuamenteenfuncióndeotros.Quizálamásfiabledelasconfirmacionesdeestahipotéticavíanewtonianadeaproximaciónalproblemapuedahallarseenelpropio«tratado»de laS.R.Enél todas lasconsideraciones sehacensin tenerpresenteelconcepto de cantidad demateria y sin el concepto de gravitación universal.En las«definiciones»seabordanlosconceptosde«fuerzacentrípeta»,de«fuerzaínsita»yde «resistencia». En las 4 hipótesis se establece el marco: presencia o no deresistencia;lafuerzaínsitayelmovimientouniformerectilíneo;relacióndeespacioconfuerzassimultáneasysucesivas;ylarelaciónentreelespacioyelcuadradodeltiempo,aliniciodelmovimiento,bajolaurgenciadelafuerzacentrípeta[39].

Con esas bases teóricas se está completamente lejos de poder alcanzar el nivelgeneral explicativo de losPrincipia, aunque se está en condiciones de abordar un


problema: el planteado por Hooke y eventualmente por Halley. Si seguimosconsiderando los teoremas, problemas y corolarios de este inicial tratado, nosencontramos con la solución a la pregunta de Halley en el Problema III, cuyocorolariodice:«Luegolosplanetasmayoresgiranenelipsesquetienensufocoenelcentro del Sol; y con radios trazados al Sol describen áreas proporcionales a lostiempos,exactamentecomosupusoKepler…»(«omninoutsupos-suitKeplerus»)[40].Peroesbiensabidoquesólounosmesesmástarde,LibroIII,ProposiciónXII,yasabeque las leyes de Kepler son buenas aproximaciones empíricas pero no sonmatemáticamenteexactas.Enmiopinión,yporlodichohastaaquí,elprimerpasodeNewton consistió en hallar lamera soluciónmatemática al problema debatido conHooke, solución que daba también satisfacción a la pregunta de Halley. En otrostérminos, ello significaqueNewton tomóesta soluciónmatemática comopuntodepartidaparadesdeellaavanzarhaciaunaexplicaciónfísicatalycomosuconcepciónde la filosofía natural lo exigía. Situados en esta perspectiva se puedemirar haciaatrásycompararelnuevoenfoqueconlaprimitivavisióndelproblemaen1679-1680ymirandohaciaadelantecomprenderlareelaboraciónconceptualquerepresentanlosPrincipia.Enresumen,Newtonhaincorporadoeltérminode«fuerzacentrípeta»paradesignar la noción de «fuerza atractiva» de Hooke y la ha aplicado con éxito alcálculodelcuerpoquegiraenuncírculo,enunaelipseeinclusoenotrascónicas.SiNewtoneraconscientedequelasoluciónmatemáticadelproblemade«determinarlatrayectoriadeuncuerpoencaídalibresobrelaTierraenrotacióneramatemáticayfísicamente (s. m.) equivalente a hallar una órbita planetaria[41]» es algo más queproblemático,inclusoalaalturadesutratadodelaS.R.Yelloporelhechodequeentrelaequivalenciamatemáticaylafísicamediatodalateoríadinámicaqueincluyelaconceptualizaciónde«masa»,de«gravitación»ydefuerzasinerciales,asícomolaley de la acción y reacción. El hecho de que en el pequeño tratado de la S. R.introduzca la novedad teórica de la «fuerza centrípeta» igual pero de direccióncontrariaala«centrífuga»y,vinculadaaella,llegueareformularlaleydelasáreasdeKeplercomopropiedadmatemáticadelascurvasyáreasgeneradasporlospuntosen giro bajo esa condición, tanto si se supone que la curva generada es un círculocomo otra cónica, ése viene a ser el punto máximo de distanciamiento aparenterespectoa laconcepciónde1679-1680.EstonodebehacernosolvidarqueNewtonhabía seguido con interés los avances de la astronomía empírica y que en losprimeros años 80 observó y recabó de Flamsteed observaciones con ánimo decalcularlatrayectoriadeloscometasdeesosaños.Y,contodo,enestetratadonosevislumbra ningún indicio de que la teoría de la gravitación universal ya estuvieseperfilada.Porotraparte,quizáconvienesercautosalrespecto,puestoqueNewtonnoeradadoahaceranunciosni solíavenderpielesdeosoantesdecazarlos.Ellonoslleva a suponer que, aunque la idea estuviese ya en sumente, incluso con algunaclaridad, no le satisfacía lo suficiente como para dar cuenta de ella. De hecho, alabordarelproblemadeloscometasenelProblemaIVdeestetratadodelaS.R.,la


hipótesisnoesladequeesténsometidosaatraccionescentrípetas,sinoladequeloscometas se mueven uniformemente en línea recta, juxta hipothesim quod cometamoveaturuniformiter in linearecta,determinandaest ejusvia rectilínea[42]. Fuese,pues,laquefueselaconcepcióngeneralqueNewtonteníadelsistemadelmundo,delas fuerzasyde losmovimientosdebidosaellas, lociertoesqueennoviembrede1684 no presenta más que la solución matemática al problema de Hooke y a lapreguntadeHalley,previocambiode«fuerzacentral»por«fuerzacentrípeta».Yellonos llevaaponderarmásexactamente ladiferenciacualitativaqueexisteentreesteprimer intentoyel resultadofinal, trasuna largareelaboraciónquedurócasiañoymedioyquenotituló«DeMotu»,comohasidotituladodespuésesteprimerensayoycomoélmismotitulóaotrosensayosposterioresperopreviosalfinalydefinitivo;aéstelediountítuloseguramentemásacordeconsupropiaideadeloquerealmentehabíaconstruido:PhilosophiaeNaturalisPrincipiaMathematica.

LasmemoriasquesirIsaacNewtonnoslegó,directaoindirectamente,procedentodasdesusúltimosañosyadolecendefragilidadesmemorísticas,cosanaturalenunhombrequenollevóundiariodesusactividadesyrelaciones,pero,loqueespeor,adolecen también de una cierta distorsión óptica, no en vano era unmaestro en elarte,mediantelacualsupropiafigurayoriginalidadquedanaumentadas,subrayadasoinclusomejoradassihiciesefalta.Yaunqueesverdadqueotroslonecesitanmás,noobstante,esos«memoranda»handadopieaexageraciones,conmuybuenabaseerudita,que,sinembargo,nopuedenentenderseenconcienzudos investigadoresdesu vida y obra. Pemberton[43], con «buena» intención, sin duda, nos presenta aNewtonempezandoaconstruirsusPrincipiaenlaépocadelagranplagacuandoseretiró a la granja deWoolsthorpe—historia de lamanzana que no pasará, a buenseguro,deserunahistorietacontadaporelancianoNewtonalahoradelchocolate—.Pudiera ser que Newton así lo presentara, pero el lector habrá de tener algunaindulgenciaconlasreconstruccionesdeunancianoquesiempresecreyó«único».Ennuestraopinión,elnacimientodelosPrincipiahayquesituarloenelotoño-inviernode1684-1685yvincularlodirectamentealaredaccióndelpequeñoensayoqueenvióaHalleyyalaS.R.EsaredacciónpusoenmarchaelprocesoynosecompletóhastaqueenvióelúltimopliegoaHalleyque,ennombreyporencargodelaS.R.,actuabacomoeditor,correctordepruebas,dibujanteyquizáconsultordelpropioNewton[44].

Si al describir la naturaleza y propiedades de una curva, como le propusieraHooke, o al demostrar para cuerpos que giran en elipses bajo la atracción de unafuerzacentralqueéstaseránecesariamenteinversamenteproporcionalalcuadradodeladistanciadesdeelcentroofocoyquecumplenlasleyesdeKeplerenrespuestaaHalley, Newton articuló muy hábilmente, gracias a su «excelente método» paraanalizarcurvas,unconjuntodeideasqueconmayoromenorprecisiónycoherenciacirculabanentrelosastrónomosyfilósofosnaturalesdelaépoca,encambio,cuandoaborda la redacción de losPrincipia se sitúa en un plano de filósofo natural biendistintodelpuramentematemático.Su instrumentalmatemáticoeraun instrumento


necesario,peronuncasuficiente,paradarcimaasunuevopropósito.Elnuevoymásambicioso propósito es explicar el movimiento de los cuerpos en el mundodesarrollando el procedimiento encontrado para resolver un caso. Para ello nonecesitatantorevisarsuarsenalmatemático,comolasbasesconceptualesdepartida.Fueésteunesfuerzonotable,yenlosdiferentesborradoresqueseconservan,previosalmanuscritodefinitivo[45], todosconel títulode«DeMotu»,sepuedeobservarelprocesodeanálisisconceptual,deprecisiónycrítica rigurosaaqueseautosometióhasta alcanzar formulaciones que le parecieron suficientes, consistentes y noredundantestantodelasdefinicionescomodelosAxiomasoleyesdelmovimiento.Newtonnoencontróahoramásantecedentesquela leyde la inerciacartesianaylaley de la caída de los graves de Galileo. Todo lo demás era confusión, ficcioneshipotéticas,o,alosumo,mediasverdadesintuidas,formuladassinrigory,loqueerapeor,sinposibilidaddeserinterconectadassistemáticamente.EllectorqueseacerquealasvariantestextualesrecogidasenlaediciónCohen-Koyré,todavíapercibeelafándeNewtonpormejorarlaredaccióndeesasdefiniciones,porprecisarlasmásalládecualquierequívoco.Y,loqueesmás,diríasequeNewtonredactóestasDefinicionesuna última vez cuando ya había dado fin a la redacción delLibro I, puesto que laúltimafrasedelEscoliofinaldelasDefinicionesdice:«Hunceniminfinemtractatumsequentemcomposui»(paraesto,pues,COMPUSEeltratadosiguiente).

Por otra parte lasDefiniciones newtonianas fueron rápidamente revisadas y, enparticularlasrelativasamasayfuerza, sometidasadepuracionesconceptualesmásfinasyhastadistintas.EnelEscolioconquecierralaSecciónXIdelLibro Iafirmaque términos como atracción o impulso tienen una dimensión cuantitativa, «decantidadesyproporcionesmatemáticas»,comoya«heexplicadoenlasdefiniciones».Yconesadimensiónmatemáticahande ser tomadasenesasProposicionesenquehabla de la gravedad. Pero añade que, «cuando se desciende a la física, hay quecompararestasrazonesmatemáticasconlosfenómenosparaquequedeclarocuálescondicionesdelasfuerzascorrespondanacadaclasedecuerposatractivos».Ymástarde en laProposiciónVII delLibro III, en la que enuncia la ley de la gravitaciónuniversal, «desciende a la física» precisamente desde la Sección XI del Libro I.MuchosejemploscomoéstepodríanilustrarelmecanismoautorreferencialporelqueNewton va perfilando los conceptos básicos que introduce como Definiciones yLeyes. Pero, de paso, permiten entrever, con la ayuda de los borradores que seconservan,eltrabajodeconstrucciónyreconstrucciónacumulativoconelquedioaluz su gran tratado. De las tres definiciones, fuerza centrípeta, fuerza ínsita yresistenciacontenidasenelprimerensayo,alasochodefinicionesdelosPrincipia,hay un salto cualitativo tan notable que sólo se explica aceptando la idea de uncambio de proyecto, fuese este cambio instantáneo o sucesivo y consecuencia deldesarrollo del proyecto inicial. Y todo parece indicar que fue éste el caso. Quizácentradoenlaredaccióndelprimertratado,llegóaverlaposibilidaddequenosóloHooke, sino también los cartesianos y hasta el propio Huygens pidieran «basta»,


comoantañosucompañerodeescuelaStorer.Puesto en una situación semejante, eranmuchas las ideas que podían concurrir

para dar forma a semejante intento: nada digamos de sus ideas religiosas y de suconcepcióndeDiosydesupresenciaenelmundo,asuntoéstequenoseaclararáporrecordar su arrianismo o su «muerte sin auxilios espirituales», ni tampoco por susfrecuentesmaldicionescontraAtanasioocontrala«bestia»papal.Hayuntrasfondopanteísta, impreciso, un «deísmo» muy peculiar, en su personal religiosidad, queoperó sin explicitarse mucho (las cartas a Bentley o la polémica entre Clarke yLeibniz)yesposibleyhastaprobablequelosPrincipiafuesenunapiezaimportanteenesaactitud religioso-místicadeNewton.Peroestoesmejorque lodiluciden losteólogos,dada lapreternaturaldificultadque revisteelproblema.Laotra fuentedeideas,éstamásconstatableaunquenomenosvolátil,fuelaalquimia.Susdenodadosesfuerzospordesentrañarelmisteriodelamaterianofueronunfracasotanabsolutocomosuelecreerse.Lepermitieronhacerexplícitamenteexperimentosdedensidades,y conellosde cantidaddemateriay, tras ellos, demovimientospendularesqueyaveráel lector cuánútiles resultarona lahoradedeterminarvaloresgravitatoriosy,comparativamente,oscilatoriosdelossatélitesdeJúpiter,porejemplo.Lanaturalezade los gases, de los fluidos, de los sólidos, etc. pudo ser incorporada comocomponentedeproblemasdemecánica.Lomismoquesusconocimientosdeóptica.Su concepción corpuscular de la materia, además de razones históricas externas,respondeasustrabajosdeópticayalquimiaynocuadrabamalconlos«momentos»espaciales y temporales de sus fluxiones. Las fuerzas entre partículas, elasticidad,cohesión, etc., parecen exigir un soporte material para un filósofo mecánico pocodado a considerar a efectos tan tercos como la dureza de las piedras o de algunosmetalesmeraspropiedadesespacialesomeras«ficciones»delamente.

Finalmente, el lector hará por su cuenta un suma y sigue con los antecedentesmatemáticosyaapuntadosmásarriba.Hastaquépuntoesteinstrumentalfuevaliosoya es sabido. Newton mismo incorporó alguno de sus ensayos sobre cónicas, porejemplo,casitalcualestabaredactado,siendoésteunodelosejemplosmásclarosde«integración» o de síntesis que se pueden ofrecer. Este, sin embargo, no descartaotrosmenos espectaculares[46], pero igualmente eficaces. Con todo, siempre habráquerecordarquelaensaladatambiénllevabaconsigolapimientadelgenio.

IV

Para simplificar un tanto la documentación disponible haremos de ella tresgrandesgrupos:elprimerocomprende lascopias, lasvariantesenesascopiasy lasnoticias que han quedado, relacionadas con el pequeño tratado enviado para serregistradoen laS.R.Aquípuedenagruparse,a)elenviadoaHalley,víaPaget,ennoviembre1684;b)el«courioustreatisedemotu»quevieraHalleyconocasióndesu


segundavisitaaCambridgeendiciembre;c)elenviadoyregistradoenlaS.R.delcual quedan, además de esta copia, otras cuatro más y que fue editado por S. P.Rigaud[47],y,ennuestraopinión;d)lacorrespondenciaconHookede1679-1680.

Un segundo grupo, no bien determinado a causa de un cierto desorden en lospapeles mismos y de su relativa dispersión, estaría constituido por todos losborradores,ensayos,correcciones,etc.,posterioresaltratadodelaS.R.yanterioresalmanuscritofinal(manuscritoM)enviadoalaS.R.paraqueseeditaraconeltítulodefinitivo.Aquí aparecen algunos ensayos con títulosdel siguiente tenor«demotucorporum inmediis regulariter cedentibus»,«demotucorporum:definitiones»,«demotucorporumlíberprimus»,«demotucorporumlibersecundus»(yunaredaccióninicialydespuésdesechadadelLibroIIIdelosPrincipia),alocualhayqueañadirelconjuntodeobservaciones,datosexperimentales,etc.,recolectadosoefectuadosporNewton como soporte empírico o confirmatorio de su construcción teórica. Lacorrespondencia con Flamsteed es un buen ejemplo. Y aunque algunos de estospapeles,cartas,notasdeexperimentosconpéndulos,confluidos,congraves,etc.,noseanhabitualmentevistoscomopartedelosescritospreviosoborradores,nodebenolvidarsenidesconectarsedelprocesogeneraldeconstruccióndelosPrincipia.Lasentradas del «Waste Book», algunas relacionadas con obras leídas en esta época,también ofrecen datos interesantes, que tenidos en cuenta por los historiadores,permiten intuir mejor lo que estaba pasando. Finalmente, el tercer gran grupodocumentalvendríadadoporelmanuscritoMsobreelcualsehizolaprimeraediciónE1[48], la correspondencia mantenida con Halley durante la impresión, algunosfragmentosdesechadosaúltimahora,lascorreccionesintroducidasenlosejemplaresdesupropiedaddeestaprimeraedición,asícomoporotrasañadidas,víaCottes,paralasegunda,yotrasmenoresparalatercerayfinalrealizadaenvidadeNewton.Loscasi cuarenta años, 1687-1726, que separan la primera edición de la últimapermitieronmejorarlasobservacionesyadvertirdeficienciasenlapresentación,enelcálculo y en el orden lógico en que se presentaban algunas Proposiciones en laprimera edición. Aunque no hubo ningún físico o matemático capaz de mejorarsustancialmentelaconcepcióngeneralformuladaporNewtony,porconsiguiente,laterceraediciónnoesmásqueunrefinamientoenlosdetallesdelaprimera,nopuededesconocerse el hecho de que losPrincipia, durante ese largo período de tiempo,generaronmecanismosempíricosyteóricosparalaautocorrección,ytambiénparalaposterior evolución de esa misma concepción. Si los historiadores no puedenprescindir deNewton para entender la física, y aún lamatemática, del sigloXVIII,peseaquehubiesesidoreescritaporD’Alembert,Lagrange,Laplace,Euler,Gauss,losBernouilli,oBoskovic,noesporquelosPrincipianofuesensusceptiblesdeunaprofundarevisióntantodefondocomodeforma,sinomásbienporqueaúnnohabíanhecho nacer las estructuras teóricas derivadas de ellos, capaces de producir esarevisión.Hasta tal punto serían sólidas por un ladoy fructíferas por otro las basespuestasporNewtonensuobrafísica.


Loprimeroqueencuentraellector,trasprólogos,prefaciosydedicatorias,esunpequeñogrupodedefinicionesconceptualescuyaformulacióndebiócostaraNewtonmucho esfuerzo de rigor y crítica puesto que esos conceptos, al menos en parte,circulaban de modo enmarañado y confuso, impregnados de ideas aristotélicas oescolásticas,ciertamentealigeradasdepesometafísicoporlacríticadelossiglosXIVyXV primero y por las depuraciones no siempre definitivas deDescartes,Galileo,Huygens,yalgunosmás.AsíseveNewtonenlanecesidaddeempezarpordefinirlacantidad de materia, «quantitas materiae», la cantidad de movimiento y la fuerzaínsita (inercia), en términos cuantitativos o mensurables, de modo que resultenmatematizables. Además, es preciso que estas definiciones tengan suficientegeneralidadcomoparaserextensiblesatodamateria,atodomovimientoconelfindeque esta «filosofía», fundada en principios matemáticos, alcance hasta dondealcancen materia y matemáticas, ya que no se trata de un sistema de cuerpos enmovimientosinoquesetratadeconstruirelsistemadetodosloscuerpos,terrestresycelestes, en movimiento. Como él mismo dice en su prefacio «en este sentido lamecánica racional será la ciencia de los movimientos resultantes de cualesquierafuerzas,ydelasfuerzasrequeridasparacualesquieramovimientos,cienciapropuestay demostrada con precisión». Para ello era preciso poner en orden la relación quepudierahacerposiblecuantificarfuerzasymovimientos.Perosilamateria,enmásomenos cantidad, mayor o menor, fuese igualmente indiferente al movimiento,entoncescualquierclaseocantidaddefuerzapodríaproducircualquiercantidaddemovimiento, cosa, además de contraria a la experiencia y absurda para cualquiermenestral de la mecánica vulgar, difícil de compaginar con la idea de cuantificarfuerzas y movimientos, toda vez que la indiferencia de la materia respecto almovimientoharíadeéste,antelapresenciadeunafuerza,algoindeterminabley,porasídecirlo,libre.Entalcaso¿cómocuantificarlafuerza?Sinosepudieracuantificarmediantealgunarelaciónnecesaria,elmovimientoexistenteenlacosamovida,nosepodría cuantificar tampoco la fuerza «requerida» para generarlo. Pero en la cosamovidasólosepuedendistinguirdoscosas:lavelocidadylamateriamismaqueeselobjeto en movimiento. Y precisamente por eso es la cantidad de materia lo querequiere, más allá de las intuiciones comunes, una definición precisa: densidad yvolumen conjuntamente, ambosmensurables, determinan la cantidaddemateria enuncuerpo.Paraelfísicoactualnoesunanociónabsolutamenteigualoequivalenteala demasa, pero ha sido lamejor durante largo tiempo, pese a adolecer de ciertaposiblecircularidad,comootrasdelasaquípropuestasporNewton,todavezqueelconceptodedensidadnoes,nimuchomenos,unconceptoprimitivosinovinculadoasuvezarelacionesentrecantidadesdemateriayvolumen.QueNewtonloentendiesevinculadoalpeso,enrelaciónconelprincipiodeArquímedes,nosalvabalaposiblecircularidad,perotampocodisponíademejoresinstrumentosconceptuales.Cantidaddemateria, aunque siga siendo un concepto algo impreciso, es ahora un conceptosusceptible de medida con valores proporcionales al peso, ya se llame cuerpo, ya


masa. Esto permite utilizar el término «cuerpo» en las definiciones siguientes sinequívocosengorrosos.

TampocosedebepasarporaltoelesfuerzorealizadoenlasDefinicionesIIIy IVparalograrunaexpresiónlibredeequívocosdelasdosclasesdefuerzasquevanaentrarenconsideración:lafuerzaínsitaylafuerzaimpresa.Laprimera«quepuedellamarse muy adecuadamente fuerza de inercia» es proporcional al «cuerpo». Lasegunda«consisteenlameraacción»ynoperduraenelcuerpodespuésdelaacción.El restode lasdefiniciones,supuesta lapertinenciade lasanteriores,sededicaa lafuerza centrípeta. También en estos casos cabe hacerse una cuestión del grado desimplicidadyprimitivismologradoenlasdefinicionesyenlosconceptos.Dehecho,ellectorhallaráqueenlaDefiniciónVseafirmacontodaosadíaquelagravedadesunafuerzacentrípetaporlaqueloscuerpostiendenhaciaelcentrodelaTierrao,loquequizáseamásatrevido,porlaquelosplanetassoncontinuamenteapartadosdelas trayectorias rectas y retenidos en giro por líneas curvas. Pero (sea la historianuestrotestigo),éstaibaaserunadelasmayorescrucesdelautorandandolosaños.Lasfuerzascentrípetas,talycomolaspresentaNewton,actúansobrecuerposy,portanto,susaccionespuedenserreducidasmentalmenteaaccionesinstantáneasquesevan produciendo en instantes sucesivos. Ya se consideren dichos instantescontinuamentesucesivosodiscretamentesucesivos,ellonoharáalcasoalahoradetratar a dichas acciones como impulsos instantáneos, con la posibilidad de sermatemáticamenteasociadasainfinitésimosdeespacioodetiempoodemovimiento.Ya Galileo había utilizado una estrategia similar en su análisis de la caída de losgraves,sibienelaparatomatemáticoeramuchomenossutilqueeldeNewton.Estepareceque sufrióuna reconversióna los idealesgeométricos euclídeosen los añosinmediatamente anteriores a la redacción de los Principia[49], menospreciando lapocaeleganciadelasconstruccionesanalíticasdesutiempo.Estolellevó,talvez,aexpresar las relaciones entre esas mínimas cantidades en términos de «razonesnacientes»o«evanescentes».Estonoobstante,Newtonconocíabienel tratamientode esas cantidades «fluentes»mediante funciones continuas y en algunos casos norenunció a llevarlo a la práctica. Con todo, la concepción de las fuerzas impresascomo«acciones»leayudótambiénenlaopciónporelmétododerazonesprimerasyúltimas.Portodoestolasdefinicionesprimera,terceraycuartaenlasqueseexponenlosconceptosdefuerzainercial,fuerzaimpresaysusrelacionesconlamasayconelcambio de estado inercial tienen particular relevancia como exponentes de laconcepción dinámica de Newton. No es, pues, extraño que hayan merecido tanampliaatenciónposterior.Ynosóloporelcarácterarcaizantedeesaconcepcióndefuerza(sinoestambiénunacontinuaciónsofisticadadelaestáticaarquimédea,cosamenossorprendenteenuncultivadorde«priscaesapientiae»)[50],sinosobretodoporsucarácterdeterminantedeladinámicanewtoniana.Mientrastanto,lasDefinicionesVaVIII relativasalafuerzacentrípetaysusclases(absoluta,aceleratriz,motriz)noadolecen menos que las otras de esos males, pero, por su carácter particular, el


análisisdelasmismassehacentradoensuparticularidad.Deéstalomásnotablees,sin duda, su aparente identificación con la gravedad y la no menos aparenteinclinacióndeNewtonaafirmarlarealidaddelamisma.Silafísicaactualacabapordarlelarazón,despuésdehaberlereprochadotantasvecesqueconesaidentificaciónhabíareintroducidoporlapuertatraseraalasdenostadas«cualidadesocultas»delaescolástica,noporellohabríandesaparecidolosproblemasmayoresapuntadosantes.

SusdefinicionessecierranconunEscoliofamoso.EnélNewtonnosexponealgode su trasfondo metafísico: sus ideas de espacio absoluto, tiempo absoluto,movimientoabsoluto.Estosconceptossehanutilizadoenfísicadeunmodoparcial,elmeramentenecesarioy suficientepara la física, pero en este textoparecen tenermásalcance.Nosetratademerossistemasconstantesdereferencia,deunejefijodecoordenadas,sinoqueel tiempoabsolutoyelespacioabsolutoaparecenaquícomoreferenciasontológicasycosmológicasúltimasynocomomerossistemasinmóvilesde referencia. Aparecen concebidos como absolutamente independientes y comoinvariantes absolutas del mundo. El lector no dejará de recordar las discusionesderivadas de este planteamiento, desde la polémica Leibniz-Clarke hasta Mach,Einstein,etc.,peroalavez,esprecisorecordarque,juntoconelEscoliogeneralylas«Queries» de la Optica, constituye uno de los textos más característicos yrepresentativosdelpensamientodeNewton,alejadoenmuchospuntosmásdeloquepudieraparecerdelpuropensamientomecanicista.

En el segundo paso de la reconstrucción final de los diferentes tratados «deMotu» anteriores al manuscritoM, Newton reduce un largo conjunto de axiomas,leyes, y lo que acabó por denominar hipótesis a tres leyes, seis corolarios y unescolio.Laprimeradelasleyesesladelainercia,yaantesenunciadaconmayoromenorprecisiónporDescartes,Galileo,Huygens,peroaceptadaporlosmatemáticos,comodiceNewton.Enlasegunda,establecelaproporcionalidadentreloscambiosdeestado inercial (de reposoomovimiento)y las fuerzas impresas según ladirecciónrectadelaaccióndeéstas.Peronecesitarádeloscorolariosparaprecisarlosdistintoscasos de composición, descomposición, suma, resta, etc., en que se producen loscambiosy las accionesde las fuerzas impresas.La tercera es la leyde la acciónyreacción. Su origen enNewton se relaciona con sus estudios de los impactos y suformulación cartesiana que ahora encuentran una integración en una dinámicamásgeneral.Estaleytieneaquíunaparticularaplicación(«estaleytambiéntienelugarenlasatracciones»),comoapostillaélmismoaltratardejustificarla.Suaplicaciónenelestudio de los impactos ya había dado sus frutos y ahora en su aplicación a lagravedadibaadarmás,peseaquelafuerzaimpresaenlosimpactoscuadrebiencon«lamera acción que no permanece después en el cuerpo» y en cambio no cuadretanto con la atracción, que es continua. En el Escolio, hace Newton repaso yhomenaje de los predecesores en el uso de estas leyes y trata de dar carta denaturalezaynobleascendenciaaestatercera.Porsilaspolémicasvolviesen,noestádemásunafamiliahonradacomoladeGalileo,Wren,Huygens,Mariotte.Peseaello


la física ha revisado estas leyes de una forma paralela al desarrollo propio y casicomocondicióndelmismo.Laprimerahacorridolasuertedelacríticaalconceptode«cantidaddemateria»delcualesinmediatamentedependiente;lasegundahasidotributaria del concepto newtoniano de «fuerza impresa» y, por tanto, de lasreformulaciones del mismo, tentativas que aparecen ya en los Marginalialeibnizianos[51] y se van completando conD.Bernouilli en 1726 yD’Alembert en1743[52].Encuantoalatercera,hasidoobjetodeanálisisdeotrotipo:¿esredundanteyunmerocorolariode lasdosprimeras?Esevidenteque,desdeunpuntodevistacinemático, la física podía prescindir de ella, y desde un punto de vista dinámico,podía considerarla como una mera «suma» de las dos primeras. El esfuerzo deNewton por darle una justificación empírico-intuitiva, con ejemplos de mecánicaempíricaode trabajoesunindiciodesufragilidadteórica.Además,yésteseráunproblemaquenoalcanzaalafuerzaimpresaenlosimpactos,¿cómoejerceracciónyreacción a distancia?, esto es, ¿cómo ejercerla sin impacto, sin medio físicointerpuestoquetrasmitalaacciónolareacción?Losvórticescartesianos,materialescomoeran,bienpodíancumplirconestecometidomecánico,peroconlasupresióndelmediovorticialoetéreouotrocualquieranohay forma físicade transportar laacción. En la primera definición aparece ya el problema.Cotes, en su prefacio, sehace eco de ello y parece abogar explícitamente por la «acción a distancia»,naturalmentesindarexplicaciónmecánica,aligualqueinclinademasiadolaopinióndel lector en favor de la consideración de la gravedad como «propiedad de lamateria».Newtonnosevinculóaunaconsideracióntanfuerte[53].

Ya hemos dicho que losPrincipia resultan de la reelaboracióny expansión delpequeño tratadode laS.R.Enunprimerplanesa reelaboración sedebióconcebircomodoslibros:elprimerosobreelmovimientodeloscuerposyelsegundosobrelosmovimientos del sistema solar según los principios establecidos en el primero.EsteplanserealizódehechoyseconservaenmanuscritosentregadosalaBibliotecadelaUniversidadcomositalestextoshubierancorrespondidoalas«Lectiones»desucátedra Lucasiana, cosa que no ocurrió, al menos tal cual se entregaron y seconservan.Loquesífueron,desdeluego,fueunaprimeraredaccióndeensayo,basede correcciones y de ampliaciones y, en suma, el antecedente inmediato de losPrincipia, del manuscrito M que sirvió para hacer la primera edición. Pero elprimitivolibrosobreelmovimientoacabóampliadoados,mientrasqueelsegundoquedódesechadoysustituidoporunanuevayalgomásampliaredaccióncasisobreelmismoesquemaqueelprimitivoyqueseráelLibroIII.

DeestemodoelLibroIvinoaadquirirunanotableextensióncon14secciones,másqueproposicionesconteníaeltratadodelaS.R.Estepequeñotratadoseiniciacon tresdefinicionesycuatrohipótesismásdos lemaspuramente instrumentales,ypasa inmediatamente a tres teoremas: el primero, igual a la Proposición I de losPrincipia,demuestralaigualdaddeáreasenigualestiemposenelcasodeuncuerpoengiroalrededordeuncentro,cuandoesasáreassondescritasporun radiovector


trazado desde el cuerpo al centro de giro. El segundo se corresponde con laProposición IV de losPrincipia y define las fuerzas centrípetas de los cuerpos quegiranenlascondicionesdelmovimientocircularuniforme.(EnlasegundayterceraedicionesdelosPrincipiasesuprimenlosdiagramas).Eltercero—correspondientealaProposiciónVIdelosPrincipia—expresalafórmulageneraldelaproporcióndelafuerza centrípetaparaun cuerpoquegire enuna curva.Siguenunosproblemas, elprimerodetermina,paraunpuntodelacircunferencia,lafuerzacentralquepermiteauncuerpogirarporella—ProposiciónVIIdelosPrincipia—yelsegundoyelterceroplanteanelmismoproblemaparaelcentroyelfocodeunaelipse—ProposicionesXyXI—.Sigueluegouncuartoteorema—ProposiciónXV—enelquedemuestraquecuandolafuerzacentrípetaesinversamenteproporcionalalcuadradodeladistanciaalcentro,loscuadradosdelostiemposperiódicossonproporcionalesaloscubosdelosejestransversosdelaselipses.Noolvidarecordaraquíque«conestemétodoesposible determinar las órbitas de laTierra,Marte, Júpiter ySaturno…».Un cuartoproblema—ProposiciónXVIIIdelosPrincipia—investigaelcasodeque«supuestoquelafuerzacentrípetaseainversamenteproporcionalalcuadradodeladistanciaalcentro, y conocida la cantidad de dicha fuerza, hállese la elipse que describe uncuerpo lanzadodesdeun lugardadoy conunavelocidaddada siguiendouna línearecta».CasoestequebienpudierasereldelaLunatratadoenlosaños65-66yquerespondetambiénalproblemadebatidoconHooke.Todolocontenidohastaaquívaaser tema de las secciones segunda y tercera de los Principia, lo cual muestra lamagnituddelaampliaciónaquesometióNewtonsuprimeraredacción.Elrestodeltratado de la S. R. son tres problemas sobre la caída de graves en medios noresistentes —Proposición XXXII— suponiendo a la gravedad como una fuerzacentrípetade ley igualal inversodelcuadrado;y losproblemassextoyséptimoenquetratadelaresistenciadelosmediosalacaídadeloscuerpos—CorolariosdelasProposicionesIIyIIIdelLibroII—yunEscoliocierraeltratado(ProposiciónIVdelLibroII)sobrelosproyectileslanzadosparalelamentealhorizonte.EsoestodoloqueNewton incluyó en el pequeño tratado de la S. R[54]. ¿Cómo entender el paso, endieciséis o diecisiete meses, hasta una obra de tan gran complejidad como losPrincipia?SirepasamoslostítulosdelascatorceseccionesdelLibroI,hallamosquelaprimeraesdecontenidopuramentematemático.SusonceLemasrespondenaunareelaboración «ad hoc» de los estudios sobre tratamiento de cuadraturas y sutratamientomediantelímitesdecantidadesfluentes.Enestasecciónsehallaimplícitaunaopciónmetodológicavinculadanosóloasuspreferencias,enesemomento,porlasformulacionesgeométricasenlugardelasanalíticas,sinotambiénasumododeentender las relaciones espacio-tiempo-movimiento, que se hallaba vinculado aimágenesgeométricasoalasrepresentacionesgeométricasdelasmismas,cosamuyevidente cuando aborda la construcción de problemas de movimiento, etc. Susgeneralizaciones son siempre, incluso en el desarrollo de sus estudios de análisis,


generalizacionesapartirdecasosdiscutidoshastaeldetalle.Parahacerlomismoconlos problemasy teoremasdemovimiento opta por su representacióny ésta esmáscomprensible y directa en un modelo geométrico que en un modelo analítico. Dehecho,élmismodiounaversióndeloshechoscongruenteconestainterpretación[55].LasseccionesII-XII-XIIIsededicanatemasdefuerzas.Pero,comonopuedemenosdeocurrir, lasmagnitudes de semejantes fuerzas han de entenderse como condicionesnecesariasdelaspropiedadesmétricasdealgunosmovimientos.Además,laseccióntercera, pese al enunciado «sobre el movimiento de cuerpos en secciones cónicasexcéntricas», se dedica a la determinación de las leyes de las fuerzas centrípetastendentesaalgúncentroofoco.Yambas,segundaytercera,tienenunagranpartedeproposiciones problemáticas. Esta característica, junto con la introducción de losLemasnecesarios para resolver los problemas, hace de estas secciones iniciales unbuenexponentedelmétodoheurísticonewtoniano: losfenómenosnosonaquí talesfenómenos sino hipótesis ideales de carácter geométrico, como por lo demásconcierne a «principios matemáticos». Solamente los corolarios introducenaplicaciones al mundo real, o meramente las insinúan, pero sin identificarabsolutamente los fenómenos de referencia con las hipótesis formuladas en losproblemas[56].

Cuandoel lector inicia la seccióncuarta se encuentra conelLemaXV y con laProposición XVIII, Problema X. En resumen: mucho instrumental matemático yproblemasresueltosgraciasaeseinstrumental.YcuandoconcluyalasecciónquintahabrápasadoporXXVIILemasyporXXIProblemasy solamentehabrá llegadoa laProposiciónXXIX.Habrá recorrido un elenco de cuestiones relativas al hallazgo depuntos,curvas,lugaresgeométricos,descripcióndecurvastangentesarectasdadas,etc.,cuestionestodasqueNewtonhabíatrabajadoysistematizadomuchoantes[57].Yalgoparecidovalepara lasecciónVI,aunqueenellaaparezcaunLematannotablecomoelXXVIII y su aplicación en el ProblemaXXIII siguiente.De hecho estas seisprimeras secciones son sobre todo una brillante aplicación o una extensión de susconocimientosmatemáticosalosproblemasyaenunciadosenelpequeñotratadodelaS.R.,juntoconunaorganizacióndelageometríaasociadaaesosproblemasyenalgúncaso,comoeldelúltimoLemamencionado,delanálisisalgebraicomerecidopor determinadas ecuaciones[58]. En la secciónVII se detendrá con la solución delproblema de ascenso y descenso rectilíneo de los cuerpos bajo la condición delinversodelcuadradodeladistancia.EselúltimoproblemadelpequeñotratadodelaS.R.yempiezaadarporsupuestaslascuadraturasdelascurvas[59].

Podríamos resumir el contenido de las siete secciones restan les del Libro Idiciendoqueenellasamplíaloscasos,tratadosoinsinuadoshastaaquí,medianteunasucesiva introducción de variables procedentes de las diferentes perspectivas quepueden entrar en consideración, aunque lasmásnotables sean las de la astronomíaempírica.Dehecho,laVIIIsecentraencómohallarórbitasdecuerposquegiranbajo


lacondicióndefuerzascentrípetas,laIXdelmovimientodeórbitasyápsides,laXdelmovimientopendular,laXIdelmovimientodecuerposqueseatraenmutuamente,yasísellegaalasecciónXII,completamenteoriginal(requiereunnuevoLema)enlaque estudia la estructura de las fuerzas atractivas en cuerpos esféricos y que lepermitirádescubrir,entreotrascosas,quelaatraccióndelaTierraensuinteriordesdelasuperficiealcentronodecreceenrazóndelcuadradodeladistancia,sinosólodela distancia. Es toda esta sección autónoma en tal medida que no depende en sutratamientomásquedelaLeytercera(enlaProposiciónLXXV)ydelCorolario3delLemaVII(enlasProposicionesLXXyLXXI)LasecciónXIIIesdenuevounaaplicacióndelaanterior,mientraslaXIVdebeentenderseenrelaciónconsuteoríacorpuscularde la luz y no exenta de reivindicación de esa misma teoría frente a argumentosutilizadosensucontraenlapolémicadelosañossetenta.Pero,contodo,valelapenarecordar aquí que en este Libro I se encuentran algunos de los problemas cuyasoluciónmereceserrecordadaporsunovedad:así,enlasecciónVIabordaelllamadoproblema de Kepler (el cálculo de áreas para sectores focales de la elipse), en laProposiciónLXIX calcula laCorrecciónqueespreciso introducira la tercera leydeKeplerenfuncióndelasmasasdeloscuerposengiro,enlaProposiciónLXVIabordaelcélebreproblemadelostrescuerpos,etc.ElesfuerzomatemáticoacumuladoalolargodeesteLibro I puedeparecerdesproporcionadocon respectoa losproblemas«reales»que trata,peronada tienede trivialsiseconsideraensuconjuntoSean loquefuerenlasfuerzascentrípetas,entornoaellasseconstituyeporvezprimeraunsistemacapazdecalcularespacios,velocidades,tiempos,masas,trayectorias,etc.conaproximacionesjamásconocidas.Añádaselageneralidadalcanzadaenestateoríadelmovimiento(idealomatemáticosisequiere)ypesealasrestriccionesqueelpropioNewtonconcededebuenaganatendremosunaprimeramecánica«lamásperfectadetodas»,comodiceenelprólogo,conquesetropiezalahistoria,untratadosobreelmovimientodeloscuerposdealcanceteóricogeneral.

SielLibroIpuededescribirsecomoteoríageneraldelmovimientodeloscuerposen condiciones ideales (en medios sin resistencia, con masa pero sin forma nivolumen, sin problemas de elasticidad ni de viscosidad, etc.), en el Libro II laperspectiva cambia notablemente. Newton, probablemente al redactar algunasProposicionesfinalessobre losmovimientosenmediosresistentes,comprendióqueeltemaeramásampliodeloqueenunprincipiosospechóyquizávislumbrótambiénque sólo una aplicación a unmundomás real del aparato teórico construido en elLibroImereceríaelcalificativode«FilosofíaNatural»,yqueexplorarelmovimientodelamateriaeninteracciónconlamateriaeraunaocasiónpintadaparaacercarseaprofundasyoscuras intuicionessugeridasporsusestudiosópticosyalquímicos.Elcaso es que cerró el Libro I y abrió un segundo Libro de naturaleza mucho másconcreta, con aplicaciones a problemasmás específicos en los cuales introduce lascomplejidadesdelaresistencia,laviscosidad,ladensidad,laelasticidad,etc.Aunque


siempresehapuestoderelievelaapariciónenesteLibroIIdelosindiciosynoticiasprimeraspublicadas sobreel cálculo fluxional—Lema IIy suEscolio,Escolioquevaría notablemente de la primera y segunda ediciones a la tercera— nos parecemuchomásrelevante llamar laatencióndel lectorsobre lanaturalezamismadelosproblemas que se tratan en él. Las tres primeras secciones las consagraNewton alestudiodelmovimientoenmediosresistentes—resistenciasenrazóndelavelocidad,enrazóndelcuadradodelavelocidadyenrazóncompuestadeambas—resistenciasque,porotraparte,muybienpudierannodarseenlanaturaleza,perocuyoestudioproporcionaráelmodeloparaotrascualesquieraquedehechosedieren.YaadvierteenelEscoliode la secciónprimeraque«la resistencia en razónde lavelocidadesmás una hipótesis matemática que una hipótesis natural». Pero, con todo, encorolarios posteriores encuentra casos de aplicación inmediata. Y en otros casos,comoaduceenelmismoEscolio,mediaunaaplicacióndelasLeyesIIyIII,juntoconevidenciasempíricasdesupropiaexperienciadelaboratorio,enlasquehatratadodemedirviscosidades,elasticidades,etc.DeelloinformaallectorenelEscoliofinaldelaseccióntercera,aunquenoleinformadeporquéatribuyelosvaloresderesistenciaa cada una de las partes. En este orden de cosas Newton se mueve con menosseguridadymenorbaseexperimentaluobservacionalqueentemasastronómicosyseve forzado a recurrir a estrategias suplementarias, en buena parte analogías yextrapolacionesdesituacionesidealesestudiadasenelLibroI.AligualqueunbuennúmerodeProposicionesyhastade seccionesdelLibro I no tienen aparentementevinculación directa con el tema-guía de su trabajo (la dinámica celeste) y, sinembargo,merecieronsuatenciónpordiferentesrazones,deigualmodoenesteLibroIIhayalgunascuestionesaparentementedesconectadasdeltemaprincipal.LasecciónIVdedicadaalanálisisdelmovimientocircularenmediosresistentesolasecciónV,porejemplo,queseconsumeenelanálisisdeladensidadydelacompresióndelosfluidosydelahidrostática.Ysinembargo,lasaplicacionesvanapareciendo,pocoapoco, principalmente en los corolarios, en los cuales tiene presentes problemasdebatidos,enelmomentoenqueescribe,porotrosfilósofosnaturales,dealgunosdelos cuales da cuenta, como en el caso del Escolio de la ProposiciónXXIII sobre elmagnetismo.Yaúnesmásexplícitasuintencióndetratarunproblemaconcretoenlasección VI siguiente, dedicada al estudio del movimiento pendular en mediosresistentes.YsiellectorsedetieneenunalecturaminuciosadelaProposiciónXLydelEscoliosubsiguiente,comprobaráenquémedidalaampliacióndetodoesteLibroII está vinculada a experimentos conocidos o directamente concebidos y realizadospor Newton, no siempre con ocasión de la redacción del libro y, por lo tanto, lamedidaenqueNewtontratabadetenerpresentesenestosmomentosotrosproblemasprocedentes deotras investigacionesydeotros contextos, para los cuales ve ahoraunavíadesoluciónenelcontextogeneralenquesemueve.LasecciónVIII,enlaqueaborda una antigua cuestión sobre la que no vuelve directamente, está dedicada al


movimientoondulatorio.Enellaaparecedenuevoel tratamientocorpusculardelasondas en medos fluidos, aparentemente suficiente para explicar fenómenosondulatorios. Y el lector avisado hará por su cuenta un repaso de las cuestionesdebatidassobrelanaturalezadelaluz.Y,aunquebreve,noserámenospolémicalasecciónIXenlaquedesmontacongranfacilidadtodalateoríavorticialcartesiana.Lebastaráaplicarsubateríamatemática,comoyahabíasugeridoaHooferespectoalateoríadeMallement,ymostrarquenoescompatibleconloscálculosqueseanasuvez compatibles con las observaciones. Aparece así un universo vacío y libre demateriasmás omenos sutiles dotadas de actividadmecánica. Pero ¿cómo pueden,entonces, realizarse todos estos movimientos en espacios libres, sin vórtices? Esopodrá entenderlo el lector, dice Newton, a partir del Libro I, y se expondrá máscompletamenteenseguidaenelSistemadelMundo.

EsteLibroIIviene,portanto,aintroduciralgunosnuevoselementosrelacionadosconlasfluxiones,aunqueyahubiesenaparecidoinsinuadosenelLibroI(LemasI,IIyEscoliodelLemaXIasícomoenlasProposicionesXXXIX,Corolario3,XLV,Casos2y3) relativos a sus ideas sobre las cantidades infinitamente pequeñas. Pero no esseguro que las necesidades del proyecto inicial exigiesen un rodeo como el que ellectorseencuentraalprincipiodeeste libro,salvoqueselleguealaconviccióndeque Newton, cosa no improbable, se tropezase con problemas tanto conceptualescomoinstrumentalesmáscomplejosdeloprevisto.Dehecholatempranaaparición(ProposiciónII)delahipótesisdetrabajosobrelaproporcionalidaddelaresistenciarespecto a la velocidad le va llevando a cálculos más complejos y a introducir elcélebreLemaII.EstoscomplejosproblemasnoobedecenúnicamenteaundeseodeNewton de mostrar su competencia matemática y de alejar de las polémicas ainexpertos, sino que es más que probable también una ampliación del horizontefilosóficodeNewtonduranteelprocesoderedaccióndelaprimeraparte,ampliaciónque, por otra parte, no contaba siempre con suficiente base experimental. Peroademás, algunas de sus brillantes deducciones estaban de antemano orientadas porotrostrabajos(laleydeBoyle,trayectoriasdeproyectiles,sonidos,comportamientodelaluz,cicloidesypéndulosisócronos,etc.),peronosehallabansometidos,niesosni otros fenómenos, a un tratamiento unificado.Esa es la primera característica deesteLibroII.Demodomássutil,elintentodeorganizarladinámicadeloscuerposencualesquieraclasedemedios,resistentesonoresistentes,entornoaunaleyprofundadelanaturaleza—laleydelagravedad—vaadquiriendocartadenaturalezapasoapaso, hasta que el lector se ve irremediablemente en el dilema de elegir entre ununiverso gravitacional y otro universo lleno de materias vorticiales cuyocomportamientodinámicoseríaabsolutamenteincompatibleconlosfenómenos.Unavez alcanzada esta perspectiva unificadora, solamente faltaba mostrar el grado deaplicacióndeestosprincipiosaluniverso.DeahíeltítulomismodelLibroIII:«SobreelSistemadelMundo».


Conelrótuloanteriorcomotítulo,elLibroIIIesresultadodelareescrituradeunaredacción anterior, adoptando una forma retórica en la exposición —«moremathematico»diceNewton—paraalejaraposiblesobjetantessinbasematemáticayquizá pensando enHooke cuyas reclamaciones, víaHalley, ya le zumbaban en losoídoscuandosedecideahacerelcambioderopaje[60],peroreteniendoconalgunoscambios y mejoras los tópicos de la primitiva versión en lenguaje «popular». Engeneral se trata de reconstruir el sistema copernicano de acuerdo con las leyes deKepler y las correcciones computacionales posibles gracias al nuevo método,incorporandocomocentrodelareconstrucciónlaleydelagravedad,quelepermiteexplicartambiénlasmareas,predecirirregularidadesenelmovimientodelaLunaylosplanetasyexplicarlatrayectoriadeloscometas.

Ellectoresadvertidodesdelabreveintroducción,antepuestaporNewton,delarelativa independencia y autonomía de este libro, pero no debiera, a mi entender,creer demasiado en ella, lo que tampoco significa que se trate aquí de una meraextensióndealgunodelosproblemastratadosanteriormente,oparasermásexactos,no es posible prescindir de los dos anteriores como patrón explicativo del tercero,aunqueseaposibleprescindirdeunagranpartede lasProposicionescontenidasenellos a la hora de exponer «matemáticamente» las consecuencias que aquí seexponen. Cuando en la Proposición VII Newton propone su ley de la gravitaciónuniversalyafirmaque«lagravedadaconteceentodosloscuerposyesproporcionalalacantidaddemateriaexistenteencadauno»,noestáobteniendounaconsecuenciamatemáticadeunaproposiciónodevarias,sinoqueestáexpresandocomoinferenciadetodoloanterior lacondiciónnecesariaparaqueenelcasodelosplanetas,ydelmundo en general, se cumplan las proposicionesmatemáticas sobre elmovimientodelLibroI(supuestaslasrestriccionesquehayaquesuponer,entreotraslasdelLibroII).Por ello, todo este libropuede ser visto comoun ejerciciode aplicaciónde losotrosdosauncaso,eldelsistemadelmundo.Lospresupuestosnecesarios,ademásde losdos libreasanterioresconsideradoscomomarco teórico,aparecenexplicadosenlasdiezprimerasproposicionesjuntoconlasReglasyFenómenosincluidosolasHipótesisyLemasintercaladosalolargodellibro.EneseejercicioNewtonsecentróenunospocoscasosenlosqueconsiderabaquesutratadopodríamostrarsupoderderesolución:elcálculodeórbitasycuerposcelestes,unateoríadelosmovimientosyperturbacionesdelaLuna,unaexplicacióndelasmareascomoefectodelagravedadhacia el Sol y hacia la Luna y una aproximación a la teoría de los cometas comocuerposquegravitanentornoalSol.

Pero hay un aspecto en este tercer libro que debemos resaltar aquí para que ellector lo compruebe bajo la óptica que crea oportuna: lo motiva inicialmente elamplioaparatoobservacional reunidoporNewtonparaser incorporadocomodatosobservablesdecadaunodelosproblemas.Sinotamosquenoera«profesionalmente»unastrónomoniunobservadordotadodeinstrumentaladecuadoquedependíadelastablasdeobservaciónyde losdatospublicadosocomunicadosporotrosyademás


tenemos en cuenta las nachas tablas y datos que logró reunir ya desde la primeraedición (si bien esta labor continuó para las siguientes y dio lugar a múltiplescorreccionesycambiosdedatos),tendremosunamejorideadelalcancedelproyectoabordadoporNewtonenestelibro.Peroparacomprenderelalcancedesuestudionoconvienecontextualizarsusresultadosentreloslogrosdelaastronomíaactual.Estonosllevaríaaconsideraraestelibrocomounmerotratadodecienciapositiva,comoun producto tópicamente baconiano sin mayor trascendencia que la búsqueda yacumulaciónderesultados.Siestohiciéramos,habríamosdejadodeladoelcarácterfilosóficoqueNewtonpretendióparasuSistemadelMundo.Ynosetratasolamentedel aspectometodológico vinculado frecuentemente a las «hipótesis» (nueve en laprimeraedición)conqueinicialaexposiciónnialaposteriortransformacióndelasmismas,enlasdosedicionessiguientes,enlas«RegulaePhilosophandi»(tresreglas,una hipótesis y seis fenómenos en la segunda; cuatro reglas, una hipótesis y seisfenómenosenlatercera),porqueestomeramentetieneimportanciarespectoalaideaqueNewtonteníadecómohacerfilosofía,sinoquemásbienhadetenersepresentequéfilosofíahaceopretendehacerconeseuotrométodocualquiera.Ytampocoesexcesivamente relevante aunque dé una pista el contenido de laHipótesis III de laprimeraedición(suprimidaenlasotrasdos)peseasucompromisoontológico(«todocuerpopuedetransformarseenotrocuerpodeotrogénerocualquierayasumirtodoslosgradosintermediosdecualidades»),puestoqueNewtonoficiadefilósofonaturalen el sentido histórico del término en ese momento y, como hicieran Descartes,Gassendi,More,etc.aspiraadesvelar lossecretosde lanaturalezahastadondeseaposible, sin importar que alguno de ellos se resista al intento. Saber cómo es elmundo,cómosemueveyporqué,descubrirquesolamentefuerzasproporcionalesala distancia y proporcionales al inverso del cuadrado de la distancia permitenmovimientosarmónicosyestablesencírculosoenelipses,etc.esalcanzaraentreverel plan divino, entrar en el secreto de la naturaleza y, como había soñado lametafísica, contemplar al universo «sub especie divinitatis». Sólo desde estaperspectivasepuedecomprenderqueunlibrodemecánica,porcelestequeéstasea,acabe con un Escolio General de amplio sentido teológico (aunque incluido en lasegunda edición y prefigurado en las «Qeries» de la Optica y en parte en laconclusióngeneral redactadapara laprimeraperono incluida finalmente).Todo locualsugierequeelconjuntodelaobra,ymásexplícitamenteestetercerlibro,noessino un retazo de una más amplia y «religiosa» concepción del mundo a cuyodescubrimiento dedicó no sólo estos esfuerzos sino también los que dedicó a laóptica, a la historia sagradayprofana, a los estudios bíblicos y, conmuchamayorextensiónymenoséxito,alaalquimia.SisesuponequeparaNewtonelconceptodenaturalezaincluíaaDioscomoesenciaopartedelamismayquelasmanifestaciones,«fenómenos», de la naturaleza en sus diferentes estados y «grados de cualidades»erantambiénfenómenosdeladivinidad,quizáseestéenunaperspectivacercanaalaque,almenosenmomentosdesumadurez,poseyóelpropioNewton.Y,desdeesta


perspectiva,lasleyesdelamecánica,lasdelosastrosy,endefinitiva,lasdelmundono serían meramente leyes naturales sino, sobre todo, leyes divinas«matemáticamente» demostradas. Newton, que sepamos, no formuló jamás estospensamientosentérminosexplícitos,peroalgunasexpresionesdelEscolioGeneralyotrasdelapolémicaconLeibnizvíaClarkeinducenasuponerlecercanoaellos.Nomenosseinfiereesacercaníadelalecturaquelosteólogosafinesaélhicieronporsucuenta.Yaunquesusentidodelrigorcientíficolellevaseacautelas,conlagravedadlo mismo que con la divinidad, no por ello logra ocultar por completo el últimocontextodesupensamientocomofilósofonatural.Pero,prescindiendoahoradeestasconjeturasfilosóficas,valelapenasubrayaralgunasdelasaplicacionesconcretasenlasqueNewtonensayasupoderosoarsenalteóricoyqueellectorencontraráenestelibro:entreellaselProblema IIIen laProposiciónXIX,enelquediscute la relaciónentre los diámetros polar y ecuatorial de la Tierra, logrando por primera vez unaimagen muy aproximada a la realidad[61] y la consecuencia inmediata de laProposiciónsiguientesegúnlacuallospesosdecuerposigualesvaríanenrazóndeladistanciaalcentrodelaTierraconelconjuntodemedicionesaportadasycomparadasentresírealizadasadiferenteslatitudesconpéndulosisócronos.DenomenorinterésresultasuanálisisdelosmovimientosdelaLuna, tantodelosobservadoscomodelosmeramenteinferidos,queseextiendedesdelaProposiciónXXVhastalaXXXVIII,conunextensoEscolioalaProposiciónXXXVenelque,porsiellectornosehubierapercatado por sí mismo, le advierte de los méritos teóricos de la teoría de lagravitaciónydesusposibilidadesheurísticas,especialmenteencasostancomplejoscomoeldelosmovimientosdelaLuna(unproblemadetrescuerpos)aunquehastapara él mismo «el cálculo de este movimiento sea difícil» y haya de recurrir aaproximacionestolerablementecercanasalasobservaciones.Tampocoescaparáalaconsideración del lector la aplicación de la teoría de la gravedad al cálculo de laprecesión de los equinoccios en la ProposiciónXXXIX, dandouna explicación a unfenómeno observado desde los tiempos de Hiparco. Más misteriosos eran losmovimientosynaturalezadeloscometas,alosqueNewtonhabíaprestadoatenciónya desde sus días de estudiante y que, pese a su frecuencia y a las múltiplesobservacionesy conjeturas dequehabían sidoobjeto, todavía en los años82y83eran ampliamente desconocidos por el mismo Newton, como refleja sucorrespondenciaconFlamsteed.Noobstante,graciasalanuevateoríaqueacabadeconformar, a las observaciones recopiladas y a la recuperación de su técnica deestudio de lugares y puntos de rectas y curvas (LemasV, VI, VII, VIII y IX), llega albrillanteProblemaXXI (ProposiciónXLI), con el ejemplo del cometa de 1680 en elcual reúne amplia información observacional y construye con gran arte unarepresentación a escala de su trayectoria, de su luminosidad aparente y de lasvelocidades y tiempos de su paso por las inmediaciones de la Tierra.Y aunque elejemploacabeconcuriosas reflexionesdeNewton sobreelpapel restauradorde la


materia cósmica que podrían jugar los cometas y sus enormes colas de partículasgaseosas, todo bajo un aparente sabor alquímico-naturalista especial, no esmenosevidente que con esta Proposición y la siguiente sobre la forma de corregir latrayectoriahalladadeuncometalograporfindarunaleyparasusmovimientosysumisteriosocomportamientoqueaventaparasiemprelos«terrores»delahumanidad.NoolvidaenestaúltimaProposicióndel libro incluir lasobservacionesdisponiblesde otros cometas (en particular el del año 64-65 y del año 82-83 de los cuales élmismohabíasidotestigotambién),tantosidisponedeobservacionesrecientesymásomenosfiablescomosisetratademerasnoticiasquevienendelaantigüedad.

YparadarfinasuaventurahallaráellectorelcélebreEscolioGeneral,incluidoen la segunda edición, aunque en la primera ya había redactado una especie deconclusión no incluida al fin, Escolio que, tras resumirmuy brevemente los datosprincipalesdelSistemadelMundo reciéndescrito, seadentraenunaconsideraciónsobreelpapeldeDiosenesesistemaysobrelaacciónypresenciadelmismoensufuncionamiento.Estesorprendentefinaltendráellectorqueponerloenrelaciónconotros acontecimientos externos, tales como el inevitable choque con la filosofíacartesianaycorlametafísicaracionalista,especialmentedeLeibniz,aunqueelobispoBerkeley,encasa,yahabíaarremetidocontrasuconcepcióndelespacio,deltiempoydeluniversomecánico.NomenorinteréshallaráellectorenlosdosúltimospárrafosdelEscolio.EnelprimerodeellosNewtonseconfiesadesconocedordelanaturalezadelagravedadyseniegaaproponerhipótesisimaginariasyareconocerquelashayapropuesto—«hypothesesnonfingo»—peroafirmaquelagravedad,sealoquesea,existedehecho«satisestquodreveraexistat»,afirmaciónqueparaélnodisponedemenor base experimental que las demás afirmaciones sobre propiedades de loscuerpos tales como la impenetrabilidad, la movilidad, etc. En resumen que siDescartespropusoimaginariashipótesiscomoladelosvórtices,talnoessucasoconla gravedad ni con otros temas (quizá menos fáciles de recordar, como el de lanaturalezadeloscolores),cosaquenoleimpidepasarinmediatamenteamencionara«cierto, espíritu sutilísimo» que atraviesa a todos los cuerpos y gracias al cual,fenómenoscomolacohesión,lainteracciónquímicaoeléctrica,laemisióndeluzycalor y hasta la sensación y movimientos musculares humanos podrían serexplicados,peropordesgracia«nodisponemosdesuficientenúmerodeexperimentosmediante los cuales debenmostrarse y determinarse con exactitud las leyes de lasacciones de este espíritu», al cual en la versión inglesa de esta obra se adjetiva de«elásticoyeléctrico»,sinquesepamostodavíasinomereceríaquizásotroscuantoscalificativosmás.

V

Quizá sea hora de retomar alguno de los hilos que hemos dejado sueltos más


arribayrematarelcuadrohistóricoenqueseacabaronlosPrincipia.SabemosqueNewtonseconcentrósobrelosinicialesteoremasqueenvióaHalleyennoviembrede1684yquenomuchodespués,quizáenfebreroyahabíanalcanzadounaexpansiónaceptable,aunqueporesosdíashubodeviajarporasuntosprivadosasusposesionesde Woolsthorpe, pero no más tarde de abril ya estaba de nuevo sobre ellos,ampliándoloscontinuamente, sinqueenestosmeses seprodigaseenotra cosaquealgunamuybrevecomunicaciónconelexterior.Porestostiempostieneasuserviciounamanuense,HumphreyNewton (sinparentescoentreellos),quevaponiendoenlimpiolassucesivasversionesampliadasdeunprimeroriginalconel títulode«Demotu corporum», sobre el cual vuelve una y otra vez sir Isaac hasta que en unmomentoconsideracompletoloquehoytenemoscomoLibroIdelosPrincipiayseloenvíaaHalleyyalaS.R.parasupublicación.Estoocurreenlosúltimosdíasdeabril de 1686 y únicamente envía el Libro I. Halley, en medio de grandes apuroseconómicos toma a su cargo la publicación, puesto que las finanzas de la S. R.estaban,comosiempre,enpésimasituaciónylapromesahechaaNewton,víaHalley,era muy explícita. Si ahora no se cumplía con ella, sólo Dios sabe cómo iba areaccionarelherméticoNewton.Halley,además,eraconscientedelajoyaqueteníaentre manos, pues hasta parece que había colaborado con Newton haciendocorreccionesyobservacionessobreunborradoralquesirIsaacledioaccesoy,porúltimo,sisudineronoselopermitía,sucunaleobligabaacumplircomocaballeroenunasuntoenque,porsifuerapoco,éleraelprimerapasionado,rarezaéstadelanoblezainglesaqueyaFontenellesubrayóensuElogiofúnebredeNewton.

ConlallegadadeesteprimerlibroseproduceunacorrespondenciaentreHalleyyNewtonenlaqueaparecendesoslayolaspretensionesdeHookesobrelapaternidaddelasideascentralescontenidasenellibro.LasirasdeNewtonnosehacenesperaryentre las consecuencias podemos señalar el retraso en la entrega de los otros doslibros y, quizá, la introducción de complejidades matemáticas, confesadas en eltercero,paramostrarle a aquel sempiterno reclamantequiénera cadauno.EsclaroqueNewtonsesintióperturbadoyquetratóde,sinfaltarmaterialmentealaverdad,mostraraHalleydóndeestabancadaunodeellosen1678-1679.Perocuriosamentelas cartas más explícitas sólo aparecieron a principios de este siglo[62]. Si fueronretiradas de la S.R. o del propio archivo deNewton por unamano bien guiada otemerosa de que dieran pie a mayor polémica es cosa un tanto discutida pero noimposible.Entodocaso,poresto,juntoconalgunosotrospequeñosincidentesmás,retrasaNewtonlaentregadelLibroIIhastalosprimerosdíasdemarzode1687yeltercerohastaunmesmástarde,conlocualsóloel5dejuliode1687puedeHalleycomunicaraNewtonque«porfinheconcluidovuestrolibroyesperoqueleagrade.Las últimas correcciones llegaron justo a tiempo para ser incluidas. Enviaré de supartelosejemplaresquedeseealaS.R.,amr.Boyle,amr.Paget,amr.Flamsteedyaalgúnotro,sihayenlaciudad,queustedindique;yleheenviadopararegalarasusamigosdelaUniversidad20copias, lasqueencarecidamente leruegoqueacepte»;


repartoestequehizoHumphreysiguiendoinstruccionesdesirIsaacyalgunodelosreceptores (el doctor Babington del Trinity, por ejemplo) dijo que «tendría queestudiarsieteañosantesdecomprenderalgodeél[63]».Perodondesífuerápidamentecomprendidofueenloscentrosintelectualesdelcontinentequedieroncuentadesupublicaciónensendasrecensionesopresentaciones.Laprimera,comonopodíasermenos, es debida a Halley y aparece en lasPhilosophical Transactions de enero-marzo1687escritaantesdelaaparicióndelmismolibro,sibienelnúmero186,queeselcorrespondienteaesetrimestre,seretrasóporestareleditor(Halley)ocupadoenlaimpresióndelaobrarecensionada.Noesnecesarioadvertirquelostérminosdeesta recensión son, además de esclarecedores para el lector, sumamente precisos yjustos en la exposición del contenido de la obra. En segundo lugar apareció unarecensión menos técnica, quizá debida a Locke en el vol. 8 de la BibliothéqueUniverselle, demarzo de 1688, donde el autor traduce al francés los títulos de lasseccionesde losLibros I y II, pero al carecer de secciones el tercero se detiene enreseñarloshallazgos«máscuriosos».Aunquetambiéneselogiosaestarecensiónnopermite a los «matemáticos» comprender el alcance de la obra. Otra cosa biendiferentees la recensiónpublicadaen las«ActaEruditorum»,en juniode1688,decuyo autor no se tiene noticia pero que sin duda captó muy completamente elcontenidoyvalorde laobra,yes seguroqueLeibnizconocióantesesta recensiónquelaobramisma,aunqueeraélconHuygensypocosmáslosúnicosquetalveznonecesitasenayudasdeterceroslectoresparacomprenderyjuzgarsobresusméritos.DehechoenelJournaldesSavantsdeagostode1688apareceunanuevanoticiadelosPrincipia,conalgunascríticasestavez,orientadashaciaelcarácterhipotéticodelas soluciones newtonianas, en especial en el «Sistema del Mundo», críticas quepudieronserunfactorparaqueNewtonsedecidieseacambiarlas«Hipótesis»delaprimeraediciónporlas«Reglas»enlassiguientes,yacasoleayudaronapronunciarla enfática frase delEscolioGeneral de «Hipotheses non fingo».Comoquiera queellosea,lociertoesqueelcontinente,tantocomolasislas,sedieronporenteradosdelosPrincipia,y,comoesnatural,admiracionesyelogiosaparte,empezólacrítica.Ynosólolacríticamenordeerratasoinclusoerrores,sinotambiénlacríticadefondo,primero la procedente del cartesianismo dominante y luego la sistemática. De laprimerafueNewtontestigo,mientrasquedelasegundabiensepuededecirquefue,enparte,causanteconhaberpuestoapuntolaherramientadelanálisisydelcálculo.Pero él no alcanzó a conocer los grandes avances del siglo XVIII desde Clairaut,D’AlembertyLagrangeaLaplace,Euler,etc.

DespuésdelapublicacióndelosPrincipiasuvidaintelectualsehacepocoapococansinayoficialista.EnesemismoañoviveunepisodiodeenfrentamientoaJaimeII, reycatólico,porasuntosde laUniversidad,yempiezaunaespeciedecultoasupersonaque se extiendepor elReinoUnidoy le convierte enunaespeciedePapacientífico.Premiaasusamigosypersigueasusadversariosomeroscompetidores,abandonaCambridgeen1696porunpuestodedirectordelafábricademonedade


Londres, persigue a los falsificadores con saña incontenible, adula y cultiva a lanobleza,eshechocaballeropor la reinaAna,enloqueceunosmesesen1693-1694,preside la S.R. durante casi 20 años, responde a cartas y a desafíosmatemáticos,polemizaconLeibnizsobreeldescubrimientodelcálculoyotrascosas,esindiferenteconladesgraciadealgúnamigocomoWhiston,Fatio,etc.sehacemásreservadoensucredounitarioymássociableconlosqueleinteresa,etc.,cosastodasque,enunavida tan larga y cargada de honores, poderes y odios, no es demasiado difícil iracumulando[64]. Y entre todas esas cosas hay alguna que debemos recordar aquí:reeditódosveceslosPrincipia.

Apenas tres años después de la aparición de la primera edición ya aparecencorrecciones, arreglos y sustituciones hechas por Newton en sus ejemplares o enhojassueltasintercaladas,aligualqueensayosalternativosdealgunasProposicioneso pruebas de las mismas. Estos tanteos, debidos a su propia iniciativa o a la dealgunosamigosdelcírculonewtoniano,comoFatiodeDoullier,DavidGregory,quehastapensaronenconvertirseeneditoresdelasegundaedición,fueronconformandoa lo largo de los años noventa un corpus de «adenda et corrigenda» que hizo aNewtonpensar enuna segundaedición.Dehecho tal vez lomencionóalgunavez,porque tanto Fatio comoGregory se sintieron indicados para ello. El caso fue quesólohacia1708sedecideaestatarea,bajolapresióndeRichardBentleyalasazónMaestrodelTrinityycasiseguroantiguoalumnodelas«Lectiones»deNewtonenlacátedraLucasiana.PorquéNewtonnodesignóprimeroaFatioyluegoaGregoryescosa algomisteriosa y que sólo se puede adivinar por otros episodios con ambos.Quienvinoamerecersuconfianzafuefinalmenteunjovenmatemáticoqueresultóun perspicaz conocedor de los Principia, y tan valioso ahora como Halley en laprimeraedición:RogerCotes[65].

LaimportanciadeloscambiosintroducidosesinsinuadaporNewtonenelbreveprefacioalasegundaediciónperoBall[66]haceunbalancemásexplícito:«Tengounalistamanuscritadelasadicionesyvariantes introducidasenlasegundaedición; loscambios son muy numerosos, de hecho encuentro que de las 494 (i. e. 510-516)páginas de la primera edición, 397 se hanmodificadomás omenos en la segundaedición».Nosepiensequetodosestoscambiossonsignificativos,nimuchomenos.Muchos sonmeros retoques estilísticos, quizá por el hecho de queBentley era unmagníficolatinistayensuentornoCotestambiénsevieseimpulsadoaello.ParaBall«los cambios más importantes son el nuevo prefacio debido a Cotes, lasProposiciones sobre la resistencia de los fluidos, secciónVII, Libro II, ProposiciónXXXIV-XL,laProposiciónsobrelaprecesióndelosequinoccios,ProposiciónXXXIXdelLibro III, y las ProposicionesXLI-LXII delLibro III sobre la teoría de los cometas».CuriosamenteBallolvidaenestalistaelEscolioGeneral,elcambioeneliniciodelLibro III de las Hipótesis por las Reglas, además de algunas sustituciones deredacciones anteriores por otras nuevas, reordenaciones de Proposiciones y


supresiones o inclusiones de algunosCorolarios, junto con el índice alfabético queahora aparecepor vezprimera.Como resultadode lameticulosa lectura queCoteshizo del original para imprenta y de las «pruebas de imprenta» que Newtonpreviamenteibarevisando,CotespuededecirleaNewtonencartade22dediciembrede1712«Creoquelaediciónserámuycorrecta».NoexagerabaCotesybienpuededecirsequeeltextodelosPrincipia,salvoalgunascosasdeimportanciasecundaria,queda fijado con esta edición, en la queNewton intervino activamentey, en ciertomodo, creativamente, tratando de asumir todos los problemas que con su propioexamen de la primera y algunos procedentes de otros había llegado a considerarrelevantes. El nombre de Cotes aparece, junto con el de Halley,Whiston, Clarke,vinculadoaldeNewtonenotrosproblemas,talescomoelinformesobrelaformadedeterminar la longitudenelocéano,etc.,perodesgraciadamentemurió joven,a los34años,ymereciódeNewton,cuandoéstelosupo,lacélebrefrase«siCoteshubieravividoalgohubiésemosaprendido».Porotraparte,juntoconClarke,lohallamosalladodeNewtonensusquerellasfilosóficasconLeibniz,alcualvadirigidaunabuenaparte de su prefacio a la segunda edición, texto que Leibniz encontró «pleined’aigreur».Lacorrespondenciaentreambos,relativaaestaedición,nosólosirvióaNewton paramejorar el texto que envió a imprenta, sino que le permitió entreveralgunas de las cosas que anotó en sus ejemplares de la segunda edición y quesirvieron para mejorar la tercera. Valga como ejemplo la Regla IV añadida en laterceraediciónyquerespondeaobjecionesdeCotesalaredaccióndelaProposiciónVdelLibroIII.

DelasegundaediciónaparecidaenCambridgeenjuliode1713sehicieronunos750 ejemplares que desaparecieron del mercado con tal rapidez que en 1714 unaasociaciónde librerosholandeses sedecidióahacerpor sucuentauna reimpresiónclandestinaonoautorizadadeltextodeCambridge,cosarepetidaen1724añadiendoalgunostratadosmatemáticosdeNewton,yapublicadosantesendiferentesformas,yalgunascartas.

LamaníacorrectoradeNewtontampococesóconlasegundaediciónyprosiguióensutareadecorregir,intercalaryprecisarsuspalabras.Hacia1723,yacon81años,sedecideaencomendaraH.Pemberton,unmédicoformadoenLeydenyenParís,yestudiosomatemático, la tarea de una tercera edición. Pemberton resultó un editorcuidadoso y meticuloso pero carecía del vigor matemático de Halley y de Cotes,limitándose a hacer nimias sugerencias de estilo[67], a cuidar de las pruebas deimprentayaintroducirlasmodificacionesqueNewtonproponía.Cuandolaediciónestuvocompletadaen1726, lasdiferenciasconlasegundaapenassonseñaladasencuantoamejorassustantivas.SepuedenotarqueaparecenincluidosalgunosnuevosexperimentosalfinaldelLibroIII(el14porejemplo,queyahabíasidopublicadoenlasPhil.Trans. en 1719), algunos nuevos datos astronómicos, laRegla IV incluidaahoray el cambiodelEscolioLeibniziano subsiguiente al Lema II delLibro II porotro en el que ni siquiera después demuerto concede a Leibniz un recuerdo a su


contribuciónalapuestaencirculacióndelcálculo.¡Susirasllegabantanlejos!Quizálas 200 guineas con que obsequió a Pemberton por sus servicios como editor sedebíantantoasugenerosidadcomoasuagradecimientoporhaberledadolaocasióndeborrardesulibroydelagloriaelnombredeaquelrivalaquienpudovermuerto,peronohumilladocomohabíavistoaHooke.Hechoestopodíamorirtranquilo.Cosaquenodejóparamuytarde.Apenasunañoyel20demarzode1727ensucasadelacalleMartinStreet, esquina aLeicesterSquare en el barrio londinensedeChelsea,murióaquelhombreaquien«seconcedióllegarmáscercadelosdiosesqueningúnmortal».SepultadoenlaAbadíadeWestminsterinevitablementepresenteparaquienlavisite[68],merecióqueen laTorredeLondres se le fundieseunamedallaapenascuatroañosdespuésdesumuerteconsucabezaenbustoyuna inscripción,«Félixcognoscerecausas»,entornoaella.TambiénelTrinityerigiósuestatuaenmármolblanco frente a la Capilla cuya inscripción, un verso deVirgilio, reza «Qui genushumanumingeniosuperávit».

Aquí ofrecemos al lector una traducción de la obra que hizo prorrumpir a suscontemporáneosentalescantos.Hemosutilizadocomotextoprincipalelpresentadopor Koyré-Cohen, también como texto de la tercera edición. No hemos intentadocastellanizarporcompletountextolatinotanprofundamenteidiosincráticocomoeséste,yporelloellectorhallaráalgunasexpresionesalgoviolentasparaelbuendeciractual.PerotraduciraNewton,noshaparecido,exigíarespetarloquedenewtonianoya lavezdesu tiempopudierahaberensu texto.Hemosprocurado,pues,quesuspalabrasysuestilosepudieranentrever,tambiénencastellano.

E.Rada.


APÉNDICEBIBLIOGRÁFICO

I.LASEDICIONESDELOSPRINCIPIA

Lasedicioneslatinas:

Newton realizó tres ediciones de los Principia. La primera (E1 en la claveestablecida por I. B. Cohen) en 1687 en Londres. La segunda (E2) 1713, enCambridge.Latercera(E3)1726,enLondres.Pero,puestoquecadaunadiolugaravarias reimpresiones y alcanzó una difusión más amplia que la edición originalmisma, las enunciaremos por familias, entendiendo que cada una constituye unafamiliadetextosdiscrepantedelasotrasenvariospuntos.Noesnecesarioadvertirquelasdiscrepanciasdesdelaprimeraalaterceratambiénmuestranciertaevolución,demayoromenorinteréssegúnloscasos,delaopiniónyenfoquedeNewtonenesospuntos.PorotraparteconvienetenerpresentequenotodoslostextosalternativosqueNewton bosquejó para algunos de los puntos que le parecieron dignos de retoquefueronluegoincluidoseneltextoimpreso.Familia1.ª:1.0(1687).EditorE.Halley.Londres.250a350ejemplares.Primeraimpresión.1.1(1687).EditorE.Halley.Londres.50ejemplares.Segundaimpresión.1.10(1954).Reprintde1.1.Londres,DawsonandSons.1.1(1965).Reprintde1.0.Bruselas.Ed.CultureetCivilisation.Familia2.ª:2.0(1713).EditorRogerCotes.Cambridge.Aproximadamente750ejemplares.2.1(1714).Amsterdam.Sociedaddelibreros(sobre2.0).2.2 (1723).Amsterdam. Sociedad de libreros.Con algunos tratadosmatemáticos y

geométricos(2.1).Familia3.ª:3.0(1726).EditorH.Pemberton.Londres.1000+250+50ejemplares.3.10(1739-1742).EditoresPP.Th.LeSeuryF.Jacquier,Ginebra,concomentarios

(3.00).Llamadala«edicióndelosjesuitas»aunqueloseditoreseranfranciscanos«exGallicanaMinimorumFamilia».

3.11(1760).EnColonia.Reprintde(3.10)concorrecciones.


3.20(1779-1792).EditorS.Horsley,Operaquaeextantomnia.En5vol.,Londres.Incluyetambiénel«deMundiSystemate»,la«TheoriaLunae»ylas«Lectionesopticae».Reprintsrecientesydisponibles.

3.12(1780-1785).EditorJ.Tessanek.Nuevasnotassobre(3.11)deleditor.3.13(1822).EnGlasgow.Reprintde(3.10)conrevisionesdeJ.M.Wright.3.13.1(1833).EnGlasgow.Reprintsegundareimpresiónde(3.10).3.1(1871).EnGlasgow.Reimpresióndeltextosinnotasnicomentariosconlocualel

texto vuelve a ser (3.00) aunque la tipografía y algunos detalles son de lasediciones(3.13).FuepreparadaporsirWilliamThomson(LordKelvin)yHughBlackburn.

10.20.30 (1971-1972). Editores Alexander Koyre y I. B. Cohen. Cambridge Un.Press.Aparecenlasvariantes textualesproducidasporNewtondesde laprimera(1.0)hastalatercera(3.00)nosólolasimpresassinotambiénlasqueescribióensuscopiasyenhojassueltasintercaladasdentrodelaspáginasenlosrespectivoslugares.Editancomotextoprincipalelcorrespondientea(3.00)yennotasapiede página las variantes textuales. Se halla precedida de una Introducción yseguidadeApéndices.Tresvolúmenesdeformatoinfol.380+XL,547+548a916págs.respectivamente.

Traducciones

LosPrincipia han sido objeto de traducciones varias a distintos idiomas hastanuestrosdías.Noentraremosenladescripcióndelasmismas.Sóloadvertirqueunaslo han sido desde el original latino de la tercera edición y otras desde la versióninglesade1729ode1934.

Versionesinglesas

1.(1729).Londres,porAndrewMotte.JohnMachin(videEscolioalaProposiciónXXXIIIdelLibroIII)añadelasleyesdelmovimientolunar.

2.(1777).Londres.RobertThorp.SolamentesepublicalatraduccióndelLibroI.Poralgunarazónnoencontróeditorparalosotrosdos,aúnsinpublicar.

3.(1802).Londres.Reimpresiónde(2).TampocosepublicanlosLibrosIIyIII.4. (1803).Segundaediciónde (1).Londres. Incluye, ademásdeuna traduccióndel

«SistemadelMundo»,unabrevebiografíadeNewton.5.(1819).Londres.Reimpresiónde(4).6.(1848).NuevaYork.Primeraediciónamericanasobre(4)conalgunoscambios.De

estaediciónsehacenhastatresreimpresioneshasta1850.Quizáunacuartaparaexportaralmundodehablainglesa.

7.(1934).California,Berkeley,U.ofC.Press.FlorianCajorirevisalatraducciónde


Motte (1). Retiene el «Sistema delMundo» y añade un apéndice histórico. Sereeditaen1934,1946,1947,1952,1960,1962.

8.(1964).NuevaYork.Foto-reprintde(6)yde(6-1850)conintroduccióndeA.delVecchio,eliminandolosprefaciosdeNewtonyCotes.

9.(1968).Londres.Foto-reprintde(1),conintroduccióndeI.B.Cohen.10.(1969).Londres.Foto-reprintde(2),conintroduccióndeI.B.Cohen.

Existen, además, una treintena larga de ediciones parciales, repertorios yextractos, etc., generalmente preparados para estudiantes en el siglo XIX, ya comolibrosdetexto,yacomoilustracióndeotrascuestiones.EscuriosoquebrevestextosdelosPrincipiaaparezcandesde1715apoyandopanfletosdevariadaíndole.

Versionesfrancesas

1.(1756).DebidaamadamelaMarquiseduChastellet.París.ConlaprobableayudadeVoltaireydeClairaut.Seconservanalgunas,impresionesdepruebade1756y1757-1759. Por diferentes dificultades en la realización de las planchas, no sehizolaedicióndefinitivaparaventahasta1759.

2. (1966).París.Foto-reprintde (1)conmúltiplesalteracionesprocedentesdeotrascopias.Carecedeaclaracionessobreloscambiosysobrelosoriginalesutilizados.LibrerieSe.etTecniqueA.Blanchard.

Versionesalemanas

1.(1872).Berlín.DebidaaJ.Ph.Wolfers,conintroducciónynotas.2.(1963).Darmstadt.Foto-reprintde(1).

Italiana

(1966).Turín.CoordinadaporAlbertoPala.ConunaintroducciónyunabiografíadeNewton.

Japonesa

(1930).Tokyo.DebidaaKunioOka.

Rusas

(1915-1916). San Petersburgo.Debida al lugarteniente general de laMarinaA.N.


Kriloff.Reeditadaen1936enMoscúyLeningrado.

Sueca

(1927-1931).DebidaaC.V.L.Charlier.Lund.Conapéndicesanalíticos.

Rumana

(1956).DebidaaVíctorMariamyrevisadaporVíctorValcovici.Academia.

Españolas

(1982).DebidaaAntonioEscohotadoyotros,conintroducción,incluyeel«SistemadelMundo»;partedeltextoMotte-Cajoriytienealavistaeltextolatino.Madrid.EditoraNacional.

Omitimoslareseñadefragmentos,repertoriosyflorilegiosdelosPrincipia.Entraducciones directas o indirectas son demasiados para incluirlos aquí. Además,muchasveces,sonfragmentosquenoindicanelorigendedondehansidotomados.Otracosaseríaevaluarelgradodeconocimientoque,mercedaellos,sehallegadoatenerdelosPrincipia.

II.LAOBRADENEWTON

1.Ensayosyobrasmenorespublicadosensuépoca

EnlasPhilosophicaltransactions:

1672.Febrero,núm.80,vol.6,3075-3087.«ALetter…ContaininghisNewTheoryaboutLightandColors…».Primeropublicadosobreeltema.

1672. Marzo, núm. 81, vol. 7, 4004-4010. «An accompt of a New CatadioptricalTelescope…».

1672.Abril,núm.82,vol.7,4032-4034.«Letter…containingsomemoresuggestionsabouthisNewTelescope».

1672.Abril,núm.82,4034-4035.«Answerto…aningeniousFrenchPhilosopher».(A.Auzout).

1672.Mayo, núm. 83, vol. 7, 4056-4059. «Considerations upon part of a Letter…concerning…Telescope».RespuestaaM.deBerce.

1672.Mayo,núm.83,4059-4062.«Someexperimentsproposedby…(MORAY)…


Observations…bytheAuthorofthatTheoryApril13-1672».1672. Junio, núm. 84, vol. 7, 4091-4093. «… Letter… being an Answer to Latin

Letter…of»(PARDIES).1672.Julio,núm.85,vol.7,5004-5007.«AserieofQuere’s…tobedeterminedby

Experiments…concludinghisnewTheoryofLightandColors…».1672. Julio, núm. 85, vol. 7, 5014-5018. «Answer… to A second Letter from

Paris…»(PARDIES).1672.Noviembre,núm.88,vol.7,5084-5103.«Answertosomeconsiderationsupon

hisdoctrine…».(AHookecuyacríticahabíasidoleída,peronopublicada,enlaS.R.).

1673. Julio, núm. 96, vol. 8, 6087-6092. «Answer to the foregoing Letter (deHuygens)furtherexplaining…».

1673.Octubre,núm.97,vol.8,6108-6111.«LetterfromCambridgeApril3-1673…concerningthenumberofColors…».

1674.Enero,núm.110,vol.9,219-225.«AnAnswerto(FrancisHall)ALetter…».1675. Noviembre, núm. 121, vol. 10, 501-502. «… Considerations on (Linus) A

Letter…fromLiege…».1676.Enero,núm.121,vol.10,503-504.«AnotherLetter(deJ.Gasconies)relating

totesameargument».1676.Marzo,núm.123,vol.11,556-561.«AparticularAnswerto…(Linus)…from

Cambridge…Febr.29-1676».1676.Septiembre,núm.128,vol.11,698-705.«Answerto…»(Lucas).1676.Diciembre.Seleesusegundoensayo«onlightandcolors»enlaS.R.,perono

sepublicaenlasPhil.Trans.1701. Marzo, núm. 270, vol. 22, 824-829. «Scala Graduum Caloris. Calorum

DescriptionesetSigna»(publicadoanónimamente).1715. Enero, núm. 342, vol. 29, 173-224. «An account of the Book entiruld

CommerciumEpistolicumColliniet…»(publicadoanónimamente).1721.Enero,núm.368,vol.31,172.«TabulaRefractionum»(anónimo).

Póstumamente

1742.Enero,núm.465.«AnInstrumentforobservingtheMoon’sDistancefromtheFixtStarsatSea».

2.Publicacionesmenoresdebidasaotros

Harris,J.(editor)(1710):«DeNaturaaccidorum»y«SomeThoughtsaboutnatureofAcids»,enLexicónTecnichon,vol.II,Londres.

Conduitt,J.ySmith,B.(1733):«ObservationsuponthepropheciesofDanielandtheApocalypseofSt.John».Londres.


Greaves, John (1738): «The second Cubit of the Jews», enMiscellaneus Works.Londres.

Birch,Th.(1744):«LetterstoBoyle»,enWorksofBoyle,vol.I,Londres.Dodsley,R.yJ.(1752):«FourLetters…toDtr.Bentley…».Londres.Birch,Th.(1757):«SecondPaperonColorandLight,readattheR.S.1675-1676»,

enTheHistoryoftheR.S.ofLondon,vol.III,Londres.

3.Obrasmayores

3.1

1687.1.ªed.PhilosophiaeNaturalisPrincipiaMathematica.Londres.Edit.Halley,Edmond.JusuRegiaeSocietatis.

1713.2.ªed.Cambridge,Univ.Press.Ed.Cotes,Roger.1726.3.ªed.Londres.Ed.Pemberton,Henry.

3.2

1704. 1.ª ed.Optiks: Or, a Treatise of the Reflexions, Refractions, Inflexions andColorsofLight.AlsoTwoTreatisesoftheSpeciesandMagnitudeofCurvilinearFigures. Londres. Se reimprime en 1704, 1717 (con nuevas Cuestiones) 1718,1721y1730.

1706. 1.ª ed. latina.Optice: SivedeReflexionibus,Refractionibus, Inflexionibus etColoribusLucísLibriTres. (Incluye «Ennumeratio» y «Tractatus»).TraduccióndeSamuelClarke,Londres.La edición estuvo al cuidado deA. deMoivre. Sereimprimeen1706y(sintratados)en1719.

3.3

1707. 1.ª ed. Arithmetica Universalis: Sive de compositione et ResolutioneArithmeticaLíber, cui accessitHalleiana…Methodus.Univ. Press,Cambridge.(EditadoporW.Whiston).

1722. 2.ª ed. Revisión de Newton. Aunque se atribuye a J. Machín. Se omite elartículodeHalley.

1720. 1.ª ed. inglesa.UniversalArithmetic…, etc. Trad. de Jos.Raphson, Londres.ConelartículodeHalley.

1728.2.ªed.inglesa.Concorrecciones.SinelartículodeHalley,Londres…1736(†postum).Themethodoffluxionsandinfiniteserieswithi’tsaplicationtothe

geometryofcurve-lines…TraduccióndeW.Jones,Londres.


1737. A treatise of the method of fluxions and infinite series…, etc. Londres(anónimo).(Ambastraduccionesdeunmismomanuscritoincompleto).

3.4

1712. 1.ª ed. Commercium epistolicum D. Johnnis Clinns et aliorum de analysipromota; Jusu Societatis Regiae in lucem editum. Londres. (La comisión deredacción estaba presidida por J. Keill. Los materiales proporcionados porNewton).Sereimprimeen1712,en1722(conadicionesdeNewton)seisveces,yen1725,tresveces.

3.5

1728.AtreatiseoftheSystemoftheWorld.Versióninglesaanónima,Londres.1728.Demundisystemateliber.Londres.1728.OpticallecturesreadinthePublickSchoolsofCambridge,AnnoDomini1669.

Traducciónanónima,Londres.1729. The mathematical principies of natural philosophy. Traducción de Andrew

Motte,Londres.1779.Operaquaeexistantomnia,5vol.,Londres.

3.6

1725. Abridged chronology… et observados…, por Nicolás Freret. (Traducido alfrancés y obtenido demodo fraudulento provocó la respuesta deNewton en lasiguiente),París.

1725.Remarks apon the observations made… translated into French ly…en. Ph.Transact.389,vol.33,315-321.

1728. The chronology of ancient kingdoms amended… (Editado por Conduitt,Londres.Otrastresreimpresioneseneseaño).

4.Newtoneditor

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Varen, Bernhard (1672): Geographia generalis… aucta et illustrata ab IsaacoNewton.Cambridge.

5.Manuscritos.Localizaciónactualde…(Losmásimportantes).


Losdividimosenseisgrandesgrupos,elúltimosubdivididoensubgrupos.1.U.C.L.(Univ.ofCambridgeLibrary)contresbloques:a) Manuscritos depositados por Newton como textos de sus lecciones de cátedra

Lucasiana.b)ManuscritosdonadosporlafamiliaPortsmouth.c)Manuscritosadquiridosdeotrasfuentes.2.ColecciónKeynes.DepositadaenelKing’sCollegedeCambridge.Procededela

subastade1936realizadaporelvizcondedeLymington.Contienealgunascartas,notasdeConduitt,algunasnotasdeNewtonsobrelosproblemasuniversitariosde1687-1688yampliadocumentaciónalquímica.

3. Yahuda Col. En la UniversidadNacional de Jerusalén. Escritos teológicos y dehistoriareligiosa.

4. Mint Col. Devueltos al Mint y hoy depositados en el Public Record Office.RelacionadosconlaactividadenelMint.

5.BodleianaCol.EnelNewCollegedeOxford.Principalmenteescritosteológicos,exégesisycronología.

6.Otrascolecciones:6.1. Royal Society Col. Fondos institucionales, cartas, y relacionados con los

Principia.6.2.TrinityCollege.Documentosinstitucionales.6.3.BabsonCollege(Mass.).6.4.DibnerCol.enelInstitutoSmithsoniano.6.5.CondedeMacclesfield.SeparadaantesdelamuertedeNewtonporW.Jones.No

abiertaalpúblico.6.6.FitzwilliamMuseum.Cambridge.UnNoteBook.6.7.Documentos sueltos enBanco de Londres, British Library, ClittonCollege de

Bristol.IronandSteelInstitute,G.L.Keynes.Lrd.Lymington,MagdalenCollegedeOxford,Univ.deSt.Andrews.

6.8.EnEuropacontinental.6.8.1.ColecciónFabiusenParís.Noabiertaalpúblico.6.8.2.ColecciónBodmerenGinebra.Noabiertaalpúblico.6.8.3.AcademiaSoviética.Disponible.6.9.EnEE.UU.deAméricayotros.

6.9.1.SchaffnerCol.UniversidaddeChicago.6.9.2.PierpontMorganLibrary.NuevaYork.6.9.3.StandordUniversityLibrary.6.9.4.UniversityofTexasLibrary.HumanitiesCenter.6.9.5.YaleUniversity.6.9.6. A. Ph. S. Philadelphia, Clark Memorial de Los Ángeles, Columbia

University, Countway Medical Center de Boston, Historical Society dePensilvania, Huntington Library de California, Lenigh University de


Pensilvania,M.I.T.LibraryMass.MountWilsonObservatorydePasadena,Bibliot.Publi.deNuevaYork,UniversidaddePrinceton…yalgunomásenAustralia.

III.EDICIONESRECIENTESDELAOBRADENEWTON(Generalmentedisponiblesenelmercado).

Edleston, J. (editor) (1850): Correspondence of Sir Isaac Newton and ProfessorCotes, including letters of other eminent men… Londres, John W. Parker yCambridge,JohnDeighton.

Cohen, I. B. (editor) (1958): Isaac Newton’s papers and letters on NaturalPhilosophy.Mass.CambridgeU.Press.

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Whiteside,D.T.(editor)(1973):IsaacNewton’sCambridgelecturesonoptics1670-1672.Facsímildelmanuscrito4002deC.U.L.CambridgeU.Library.

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IV.REPERTORIOSYBIBLIOGRAFÍAS

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V.BIOGRAFÍASYESTUDIOSCONEXOS

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VI.OBRASGENERALES

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U.ofCalifornia,LosÁngeles.


Cabeceraytítulo(Primeraedición)OriginalenelTrinityCollege,Cambridge(C.15.158).


Aestaobrafísico-matemáticadelmuyilustrevarónIsaacNewton,honrainsignedenuestrosigloydenuestropueblo[1]

HeaquílaLeydelUniverso,lasdivinasmedidasdelamasa,HeaquíelcálculodelCielo;leyesque,mientrasestablecíaLosprincipiosdelascosas,elCreadordetodonoquisoviolar,Yasíestablecerlosfundamentosdelasobras.Seabrendelcielovencidolosúltimosarcanos,Ynoseocultayaquéfuerzamuevelosúltimoscírculos.SentadoelSolensutronoordenaatodaslascosasDirigirsehaciaElconrápidodescenso,yyanodejaaloscarrosCelestesmoverseenlínearectaporlosinmensosespaciosvacíos;Sinoque,siendoElelcentro,atraeacadacosaengirosinmutables.Yaestáclarocualseaeltortuosocaminodeloshorriblescometas;Niyanoscausaasombrolaaparicióndelastroconcabellera.AlfinaquísabemosporquéavanzalaplateadaLunaConpasosdesiguales;porqué,hastaahorarebeldealosastrónomos,Rechazaelfrenodelosnúmeros,Porquéregresanlosnodos,porquélosaugesseadelantan.YtambiénpodemossabercuángrandeeslafuerzaConlaquelaerranteLunaempujaelflujodelmarCuandoconquebradasolasabandonalasOvasYdesnudalasarenas,peligrodelosnavegantes,Lanzándolasunayotravezalacimadelascostas.CosasquetantasveceshantorturadoalosSabiosantiguosYqueenvanotorturanalasEscuelasconroncacontiendaLasvemosclarasahoramatemáticamentedesveladas.YaelerrorconsunieblanoaplastaaquienesLasublimeagudezadelgenioconcedióEntrarenlamoradadelosdiosesyescalarlasalturasdelCielo.Levantaosmortales,desechadlosterrenoscuidadosYdistinguiddesdeahoralasfuerzasdelamentedivinaTanampliaylargamentedistantedelavidadelasbestias.Quienordenóentablasescritascastigarlasmuertes,Robos,adulteriosycrímenesdeperjurioyfraude,quienhabíaaconsejadoalospuebloserrantes


Rodearlasciudadesdealtasmurallas,eraunsabio;OquienalegróalasgentesconeldondeCeres,Osacódelasuvasconsueloenlaspenas,OenseñóajuntardiferentessonidosPintadosenunacañadelNilo,Yatransformarensignosvisibleslasvocesdistintas,Explicómenoslasuertedeloshombres;demodoqueSóloconsideróunaspocasnecesidadesdelavida.Peroyasomosadmitidosenconvitealamesadelosdioses,YapodemosmanejarlasleyessuperioresdelUniversoYyaseabrenlosocultosmisteriosdelaoscuraTierra,ElordeninmóvildelascosasylossecretosQueocultaronlossiglospasados.Vosotros,losquegozáisdelnéctarceleste,Celebradconmigoaquientalescosasnosmuestra,ANewtonqueabreelcerradocofredelaverdad,ANewton,amadodelasmusas,encuyolimpiopechoHabitaFebo,decuyamenteseapoderócontodosuNumen;Puesnoestápermitidoaunmortaltocarmásdecercaalosdioses.

EdmundoHalley


Prefaciodelautorallector

Habiendolosantiguos,enlainvestigacióndelanaturaleza,practicadosobretodolaMecánica (como lo hizoPappo), y como losmásmodernos, desechadas ya lasformas sustanciales y las cualidades ocultas, hubiesen intentado reducir losfenómenosde lanaturalezaa leyesmatemáticas,nospareceoportuno tratarenestaobralaparteMatemáticaqueserelacionaconlaFilosofía.Losantiguosestablecierondosmecánicas:laRacional,queprocedepordemostracionesexactas,ylaPráctica.Ala práctica pertenecen todas las artes manuales de las que propiamente toma elnombredeMecánica.Perocomolosartesanossuelenprocederconescasaexactitud,ocurrequelaMecánicaenterasedistinguedelaGeometríadetalmodoqueloquesehaceconexactitudseasimilaalaGeometríayloquesehaceconpocaexactitudalaMecánica.Sinembargo,loserroresnopertenecenalasartes,sinoalosartífices.Elque construye con menor exactitud es un mecánico más imperfecto, y si alguienpudieseconstruirconabsolutaexactitud,estetalseríaelmásperfectomecánico.Asípues, los trazados de las líneas rectas y curvas en que se apoya la GeometríapertenecenalaMecánica.LaGeometríanoenseñaatrazarestaslíneas,sinoquelopostula. Postula que el aprendiz procure trazarlas exactamente antes de alcanzar ellímitede laGeometría; después enseña cómo se resuelven losproblemasmedianteestasoperaciones,puestoque trazar rectasycírculosescuestiónproblemáticaperonogeométrica.DesdelaMecánicasepostulasusolución,mientrasenGeometríaseenseñaelusode lassoluciones.Ybienpuedegloriarse laGeometríadequede tanpocosprincipiospostuladosdeotrositiologretangrandesresultados.Sefunda,pues,la Geometría en la práctica mecánica y no es otra cosa que aquella parte de laMecánica universal que propone y demuestra con exactitud el arte demedir.Mas,como las artes manuales se cifran ante todo en mover los cuerpos, ocurre quecomúnmente se asocie la Geometría con la magnitud y la Mecánica con elmovimiento. En este sentido la Mecánica racional será la Ciencia, propuesta ydemostradaexactamente,delosmovimientosqueresultandecualesquierafuerzasyde las fuerzas que se requieren para cualesquiera movimientos. Esta parte de laMecánica fue cultivada por los antiguos en las cinco fuerzas relativas a las artesmanuales, los cuales apenas tuvieron en cuenta a la gravedad (pues no es fuerzamanual) más que en los pesos a mover por dichas fuerzas. En cambio nosotros,cultivandono las artes, sino la filosofía, y escribiendonode las fuerzasmanuales,


sino de las naturales, tratamos sobre todo lo relativo a la gravedad, levedad,elasticidad,resistenciadelosfluidosyfuerzasporelestilo,yaseandeatracciónoderepulsión; y por ello proponemos estos nuestros como principios matemáticos defilosofía.Puestodaladificultaddelafilosofíaparececonsistirenque,apartirdelosfenómenos del movimiento, investiguemos las fuerzas de la naturaleza y despuésdesde estas fuerzas demostremos el resto de los fenómenos.A esto se refieren lasproposicionesgenerales que tratamos en losLibros primeroy segundo.En el librotercero proponemos un ejemplo de esto con la explicación del sistema delmundo.Puesallí,apartirdelosfenómenoscelestes,pormediodeproposicionesdemostradasmatemáticamenteenloslibrosanteriores,sededucenlasfuerzasdelagravedadporlasqueloscuerpostiendenhaciaelSolyacadaunodelosplanetas.Después,apartirde estas fuerzas, también por proposiciones matemáticas, se deducen losmovimientosde losplanetas,cometas,Lunaymar.Ojaláquefueraposiblededucirlosdemásfenómenosdelanaturalezaapartirdeprincipiosmecánicosconelmismogénero de argumentación, puesmuchas cosasmemueven a sospechar que puedandependertodosellosdeciertasfuerzasconlasquelaspartículasdeloscuerpos,porcausas aún desconocidas, bien se atraen unas a otras uniéndose según figurasregulares, bien huyen y se separan unas de otras; y, siendo estas fuerzasdesconocidas,envanolosfilósofoshastaahoraintentaronacercarsealanaturaleza.Espero,sinembargo,queconestemododefilosofaroconotromejor,losprincipiosaquíenunciadosañadanalgunaluz.

EnlaedicióndeellostuvocapitalimportanciaEdmundoHalley,varónmuysutily erudito en toda clase de saberes, quien no solamente corrigió las pruebas deimprentaysupervisóeldibujode las figuras,sino tambiénfuecausantedequemedecidieraasuedición.Puestoquehabiéndomepedidolafigurademostradapormídelas órbitas celestes, no cesó de rogarme que la comunicase a la SociedadReal, lacual, después, con sus peticiones y benigna protección, hizo que yo empezara apensarendarloalaluz.Sinembargo,despuésdecomprobarlasdesigualdadesdelosmovimientosdelaLunaeintentarotrascosasreferentesalasleyesymedidasdelagravedadyotrasfuerzas,asícomoalasfigurasquehabríandedescribircuerposenmutua atracción según determinadas leyes, referentes también a movimientos demuchoscuerposentresí,a losmovimientosdecuerposenmedios resistentes,a lasfuerzas, a densidades y movimiento de los medios, referentes, por último, a lasórbitasdeloscometasycosasporelestilo,penséquedebíaaplazarlaediciónhastamástardeparacorregir todasestascosasydarlasa lapublicidadjuntas.Por loquerespecta a los movimientos lunares (aunque imperfectos), los he reunido en losCorolariosdelaProposiciónLXVI,pornosentirmeobligadoaestudiarcadaunomásprolijamentedeloqueelcasorequiereydemostrarunoaunoeinterrumpirlaseriedelasdemásproposiciones.Algunascosasdescubiertasmástardedecidíincluirlasenlugaresmenos idóneos antes que cambiar el número de las proposiciones y de lascitas.Ruegoencarecidamentequetodoestosealeídorectamenteyquelosdefectos


en materia tan ardua no tanto sean vituperados cuanto investigados con nuevosintentosdeloslectoresysuplidosconbenevolencia.Cambridge,colegiodelaS.Trinidad.8demayode1686[2]


Prefaciodelautoralasegundaedición

EnestasegundaedicióndelosPrincipiossehancorregidomuchascosasaquíyalláy sehanañadidootras.En laSección II delLibroprimero sehacemás fácilyextensoelprocedimientodedescubrirlasfuerzasquepermitenaloscuerposgirarenórbitas dadas. En la Sección VII del Libro segundo se indaga con más rigor y seconfirmaconnuevosexperimentoslateoríadelaresistenciadefluidos.EnelLibrotercero se deduce demodomás completo de sus propios principios la teoría de laLuna y la precesión de los equinoccios, así como la teoría de los cometas aparececonfirmadapormuchos,ymásexactamentecalculados,ejemplosdetrayectorias.

IsaacNewtonLondres,marzo,28,1713


Prefaciodeleditoralasegundaedición

Te ofrecemos, amable lector, una nueva y largamente deseada edición de lafilosofía newtoniana ampliamente corregida y aumentada. Por los índices adjuntospodrásconocerlosprincipalestemascontenidosenestafamosaobra:loscambiosyañadidos te los puede reseñar casi el propio Prefacio del Autor. Sólo falta queañadamosalgosobreelmétododeestafilosofía.

Podemos reducir a tres las clases de tratamientos que han abordado la Física.Hubo quienes atribuyeron a las diversas especies de cosas cualidades ocultasespecíficas, de las que hacían después depender las diferentes operaciones de cadacosa por una razón oculta y desconocida. En esto consistió toda la doctrinaescolásticaprocedentedeAristótelesylosperipatéticos.Sostienen,enefecto,quelosefectos particulares se siguen de las naturalezas particulares de los cuerpos; noenseñan,encambio,dedóndeprocedentalesnaturalezasy,portanto,nadaenseñan.Al centrarse únicamente en los nuevos nombres de las cosas y no en las cosasmismas, hay que pensar que han encontrado un cierto lenguaje filosófico, pero encambionohanofrecidofilosofíaalguna.

Otros hay que han creído conseguir, una vez desechado el fárrago inútil depalabras,unreconocimientodesuesfuerzo.Sostuvieron,pues,quetodalamateriaeshomogéneayquetodalavariedaddeformasquesedescubreenlascosasprocededeciertaspropiedadessimplesydefácilcomprensióndelaspartículascomponentes.Ycorrectamenteseestableceunaprogresiónde lomássimplea lomáscomplejosiadichas propiedades primarias de las partículas no se atribuyen otros modos queaquellos que la propia Naturaleza atribuye. Pero cuando se permiten establecercualesquierafigurasomagnitudesdesconocidasdelaspartes,lugaresymovimientosinciertos, y hasta imaginar determinados fluidos ocultos que penetren libremente atravésdelosporosdeloscuerpos,dotadosdeunaomnipotentesutilidad,agitadosdeocultosmovimientos, entonces derivan hacia los sueños y abandonan la verdaderaconstitucióndelascosas,lacual,enverdad,raramentepuedeobtenersedefalaciosasconjeturas, cuando apenas si es posible investigarla pormedio de lasmás segurasobservaciones.Quienestomanhipótesiscomofundamentodesusespeculaciones,auncuandodespuésprocedandelmodomásmeticulosode acuerdocon las leyesde laMecánica,hayquedecirqueconseguridadcomponenunafábulaeleganteygraciosaquizá,perofábulaalfin.


Quedatodavíaunaterceraclase,ladelosqueprofesanlafilosofíaexperimental.Estospretendenquelascausasdetodaslascosashandederivarsedelosprincipiosmás simples que sea posible; y en el lugar de un principio no asumen jamás cosaalgunaquetodavíanosehayacomprobadoapartirdelosfenómenos.Noseimaginanhipótesis,ni lasaceptanenfísica,anosercomocuestionescuyaverdadsedisputa.Proceden,pues,conundoblemétodo:analíticoysintético.Sededucenlasfuerzasdelanaturalezaysusleyesmássimplesmedianteanálisisapartirdeciertosfenómenoselegidosydespuésapartirdeaquíseofrece,mediantesíntesis,laconstitucióndelosdemás.Estaeslamaneradefilosofar,conmucholamejor,que,porencimadetodaslasdemás,nuestroautorcreyóqueeraprecisoseguir.Ysóloaéstacreyódignadesercultivadayhonradaconsupropiaobra.Deéstadio,pues,unmagníficoejemplo,cuales la explicacióndel sistemadelmundodeducida con todoéxitode la teoríade lagravedad.Otroshuboquesospecharonoimaginaronquelafuerzadelagravedadestápresenteentodosloscuerpos:perosóloél,yelprimero,pudodemostrarloapartirdelasapariencias,yestablecerun fundamento seguropormediode lasmásbrillantesespeculaciones.

Séquealgunaspersonas,inclusodegranrenombre,ocupadosmásbienconotrosprejuicios,difícilmentehanpodidodarsuconformidadaestenuevoprincipioyporlomismohanpreferido lo inciertoa locierto.Noesmi intenciónponeren teladejuiciosufama,sinoquemásbienprocede,lectorbenévolo,queexpongaunaspocascosasdelasquetúmismopuedesextraerlasconclusionesadecuadas.

Asípues,conobjetodehallarunprincipioargumentalquepartadelascosasmássimpleseinmediatas,examinaremosunpococuáleslanaturalezadelagravedadenlas cosas terrestres para poder después acercarnos con más seguridad a las cosascelestesenormementedistantesdenosotros.Todoslosfilósofosestányadeacuerdoen que todos los cuerpos circunterrestres gravitan hacia la Tierra. Una amplia ymúltiple experiencia confirma que no se dan cuerpos absolutamente leves. Lallamadalevedadrelativanoesverdaderalevedad,sinotansóloaparente,yquesurgedelagravedadmásfuertedeloscuerposcontiguos.

Portanto,dadoquetodosloscuerposgravitanhacialaTierra,delmismomodolaTierra gravita igualmente hacia todos los cuerpos; que la acción de la gravedad esmutuaeigualunorespectoaotrosemuestracomosigue:distingamoslamasatotaldelaTierraendospartescualesquiera,igualesoencualquierformadesiguales;silospesos de las partes no fuesen mutuamente iguales, el peso menor cedería al pesomayorylaspartesjuntasempezaríanamoverseenlínearectahastaelinfinitohaciala región del espacio hacia la que tendiese el pesomayor, lo que está en absolutocontratodaexperiencia.Yportanto,habráquedecirquelospesosdelaspartesestánconstituidosenestadodeequilibrio;estoes,quelaaccióndelagravedadesmutuayrecíprocamenteigual[3].

Los pesos de los cuerpos equidistantes del centro de la Tierra son como lascantidades de materia en ellos. Esto se sigue efectivamente de la igualdad de


aceleracióndetodosloscuerposquecaenenvirtuddelafuerzadesupesoyapartirdel reposo; pues las fuerzas por las que cuerpos desiguales se aceleran igualmentedebenserproporcionalesalascantidadesdemateriaamover.Ahorabien,puestoquetodos los cuerpos que caen se aceleran igualmente, es evidente que en el vacíoBoyleanorecorrenalcaerespaciosigualesentiemposiguales,unavezsuprimidalaresistencia del aire; y todavía se comprueba con más exactitud por medio delexperimentodelospéndulos.

Las fuerzas de atracción de los cuerpos a distancias iguales son como lascantidadesdemateriadeloscuerpos.DadoqueloscuerposgravitanhacialaTierrayéstahacialoscuerposconfuerzasiguales,elpesodelaTierrahaciacadacuerpo,estoes,lafuerzaconlaqueuncuerpoatraealaTierraseráigualalpesodedichocuerpohacialaTierra.Dichopesoeracomolacantidaddemateriadelcuerpoy,portanto,lafuerzaconlaquecadacuerpoatraealaTierraolafuerzaabsolutadeuncuerposerácomosucantidaddemateria.

Portanto,seoriginaysecomponelafuerzadeatraccióndeloscuerpostotalesdelasfuerzasatractivasdelaspartes,puestoquesehademostradoquesiseaumentaodisminuye la cantidad de materia se aumenta o disminuye proporcionalmente sufuerza.Poreso,laaccióndelaTierrahadeatribuirsealafusióndelasaccionesdetodaslaspartes,yportantoesnecesarioquetodosloscuerposterrestresseatraiganentresímutuamenteconfuerzasabsolutasqueesténenrazónalamateriaatrayente.EstaeslanaturalezadelagravedadenlaTierra;veamosahoracuálseráenloscielos.

Todocuerpoperseveraen suestadode reposoomovimientouniformeen línearecta,salvoenlamedidaenqueleobliguenacambiardichoestadofuerzasimpresasen él; es ésta una ley de la naturaleza aceptada por todos los filósofos. Enconsecuencia,sesiguequeloscuerposquesemuevenencírculos,yqueportantoseseparan continuamente de las tangentes a sus órbitas, son retenidos dentro de sutrayectoriacurvaporunafuerzaconstantementeactuante.Portanto,necesariamentelosplanetasquegiranenórbitas curvilíneashandeentrañar alguna fuerzaencuyavirtudpermanenteseapartencontinuamentedelastangentes.

Y justo es conceder lo que se deduce mediante razones matemáticas y sedemuestracon todacerteza,que todos loscuerposquesemuevensegúnunacurvadescritaenunplanoyque,trazandosuradioaunpuntoenreposooenmovimiento,describenáreasentornoadichopuntoproporcionalesalostiempos,estánsometidosafuerzasquetiendenadichopunto.Puestoquehayacuerdoentrelosastrónomosenque losplanetasprimariosdescribenáreasproporcionalesa los tiemposen tornoalSolylossecundariosentornoasusprimarios,sedebeconcluirquelafuerzaporlaqueconstantementesonapartadosde las rectas tangentesyobligadosagiraren lasórbitascurvas,sedirigehacialoscuerposqueocupanloscentrosdelasórbitas.Deestemodo,esta fuerzapuede llamarseadecuadamentecentrípeta respectoalcuerpoquegira;respectoalcuerpocentral,encambio,puedellamarsedeatracción,seacualseaelorigencausalqueseleatribuya.


Efectivamente, no sólo hay que conceder esto, sino que se puede demostrarmatemáticamente: si varios cuerpos distintos giran con movimiento uniforme encírculosconcéntricosyloscuadradosdelostiemposperiódicossoncomoloscubosdelasdistanciasalcentrocomún,lasfuerzascentrípetasseráninversamentecomoloscuadradosdelasdistancias.O,siloscuerposgiranenórbitassemejantesacírculosynocambian los ejesde lasórbitas, las fuerzas centrípetasde los cuerposquegiranseráninversamentecomoloscuadradosdelasdistancias.Todoslosastrónomosestándeacuerdoenalgunadeestasfórmulasentodos losplanetas.Por tanto, lasfuerzascentrípetas de todos los planetas son inversamente como los cuadrados de lasdistanciasaloscentrosdelasórbitas.Sialguienobjetaraquelosejesdelasórbitasdelosplanetas,sobre todoelde laLuna,noestánenreposo,sinoquesonarrastradosporunciertomovimientolento,selepodríaresponderque,aunqueconcedamosqueesemovimientomínimohubiesedesplazadoelejedesusitioyporellolaproporcióndelafuerzacentrípetasedesvíeuntantodelcuadrado,podríacalcularsedichodesvíoy ser prácticamente insensible. La propia razón de la fuerza centrípeta lunar, quedebíaserlamásperturbadadetodas,superabienpocoalcuadrado;puesseaproximacasi sesenta veces más a éste que al cubo. Pero la respuesta sería más exacta sidijéramosqueéstaderivadelosejes,noprocededelosdesvíosdelaproporcióndelcuadrado,sinoquetieneotrosorígenes,comomuybiensemuestraenestafilosofía.Queda,pues, sentadoque las fuerzas centrípetaspor lasque losplanetasprimariostienden al Sol y los secundarios a sus respectivos primarios,muy exactamente soninversasaloscuadradosdelasdistancias.

De lodichosesigueque losplanetassonmantenidosensusórbitasporalgunafuerzaqueconstantementeactúaenellos;sesiguequedichafuerzasedirigesiemprehacialoscentrosdelasórbitas;sesiguequesufuerzaaumentaendirecciónalcentroydisminuyeen ladireccióncontraria;yaumentaprecisamenteen laproporciónenquedisminuyeelcuadradodeladistanciaaligualquedisminuyeexactamenteenlaproporción en que aumenta el cuadrado de la distancia. Veamos ahora, una vezefectuadalacomparaciónentrelasfuerzascentrípetasdelosplanetasylafuerzadegravedad, si tal vez son fuerzas del mismo género. Y serán del mismo género sihallásemosaquíyallálasmismasleyesylosmismosefectos.Veamos,pues,primerolafuerzacentrípetadelaLuna,queeslamáspróximaanosotros.

Losespacios rectilíneosque son recorridos enun tiempodadopor cuerposquepartendelreposo,alavezybajoelimpulsodedistintasfuerzas,sonproporcionalesadichas fuerzas;y esto también sededucede razonamientosmatemáticos.La fuerzacentrípetadelaLunaquegiraensuórbitaserá,pues,alafuerzadelagravedadenlasuperficie de la Tierra como sería el espacio más pequeño que la Luna podríadescribircayendohacialaTierraenvirtuddelafuerzacentrípeta,silaimagináramosdesprovistadetodomovimientocircular,respectoalespacioqueenelmismotiempomínimodescribiría un grave en las inmediaciones de laTierra y que cayera por lafuerzadesupropiagravedad.Elprimerodedichosespaciosesigualalsenoversodel


arcodescritoporlaLunaendichotiempo,puestoqueequivalealadesviacióndelaLunadelatangenteproducidaporlafuerzacentrípeta;yportanto,puedecalcularsetantoapartirdelosdatosdelaLunaenuntiempoperiódicocomodesudistanciadelcentrodelaTierra.Sepuedehallarelotroespaciopormediodelexperimentodelospéndulos,talcomomuestraHuygens.Hechoelcálculo,elespaciodelprimeroseráalespaciodelsegundo,olafuerzacentrípetadelaLunaquegiraensuórbitaseráalafuerzadelagravedadenlasuperficiedelaTierracomoelcuadradodelsemidiámetrodelaTierraalcuadradodelsemidiámetrodelaórbita.LafuerzacentrípetadelaLunagirando en suórbita está, por loque sehadicho, en lamisma razónque la fuerzacentrípetadelaLunaenlasproximidadesdelasuperficieterrestre.Porconsiguiente,lafuerzacentrípetaenlaproximidaddelaTierraesigualalafuerzadelagravedad.Noson,portanto,dosfuerzasdistintas,sinounaylamisma:puessifuesendistintas,los cuerpos, bajo ambas fuerzas juntas, caerían hacia la Tierra doblemente másdeprisaquebajolasolaaccióndelagravedad.Sesigue,pues,quelafuerzacentrípetaporlaquelaLunacontinuamenteseveapartadadelatangenteyretenidaensuórbitaes la propia fuerza de gravedad terrestre que alcanza hasta laLuna.Y es, por otraparte,conformea la razónelquedichafuerzaseextiendaa tangrandesdistancias,dadoqueningunadisminucióndedichafuerzaesposibledetectarnisiquieraenlasmásaltascimasdelasmontañas.Gravita,pues,laLunahacialaTierrasinque,yenacción mutua, la Tierra a su vez deje de gravitar igualmente hacia la Luna. Cosaampliamenteconfirmadaenestetratado,dondesetratadelmovimientodelasmareasydelaprecesióndelosequinoccios,originadostantodelaaccióndelaLunacomodeladelSolsobrelaTierra.Portodoestovemos,finalmente,deacuerdoconquéleydecrece la fuerza de la gravedad a mayores distancias de la Tierra. Puesto que lagravedadnoesdistintadelafuerzacentrípetalunaryéstaesasuvezinversamenteproporcionalalcuadradode ladistancia, también lagravedaddisminuirá segúnesamismarazón.

Pasemosahoraalosdemásplanetas.PuestoquelasrevolucionesdelosprimariosentornoalSolydelossecundariosalrededordeJúpiterydeSaturnosonfenómenosdelmismogéneroquelarevolucióndelaLunaentornoalaTierraypuestoqueestádemostradoquelasfuerzascentrípetasdelosprimariossedirigenhaciaelcentrodelSol y las de los secundarios hacia los centros de Júpiter ySaturno, al igual que lafuerzacentrípetade laLunasedirigehaciaelcentrode laTierrayademás,puestoque todas las susodichas fuerzas son inversamente como los cuadrados de lasdistanciasaloscentros,aligualquelafuerzadelaLunaloesrespectoalcuadradodeladistanciaa laTierra,sehabrádeconcluirquees lamismalanaturalezadetodasellas.YasídelmismomodoquelaLunagravitahacialaTierraylaTierraasuvezhacialaLuna,delmismomodogravitarántodoslossecundarioshaciasusprimariosyasuvezlosprimarioshaciasussecundarios,aligualquetodoslosprimarioshaciaelSolyelSolhacialosprimarios.

Por consiguiente, el Sol gravita hacia todos los planetas y todos hacia el Sol.


Puesto que los secundarios, al acompañar a sus primarios, giran mientras tantotambién en torno al Sol a la vez que los primarios. Por lamisma razón, pues, losplanetas de una y otra clase gravitan hacia el Sol y el Sol hacia ellos.Además, sesiguequelosplanetassecundariosgravitanhaciaelSolpormásrazones,talescomolas desigualdades lunares; de ellas tenemos una exposición exacta, realizada conadmirablesutileza,enelLibrotercerodeestaobra.

Que la fuerza atractiva del Sol se propaga por doquier hasta las más enormesdistancias y que se difundepor cada rincóndel espacio circundante se deduce contoda claridad del movimiento de los cometas, los cuales, partiendo de distanciasinmensas, llegan hasta las inmediaciones del Sol, incluso algunas veces llegan tancercadelmismoalalcanzarsusperihelios,quepareceríaqueibanacaerensuglobo.Lateoríadeéstosseladebemosanuestroilustreautor,envanobuscadahastaahorapor losastrónomos,descubiertacon todoéxitoenestesigloydemostradacon todaexactitudporlosfenómenos.Sesigue,pues,queloscometassemuevenenseccionescónicasquetienensusfocosenelcentrodelSolyqueconlosradiosquelleganalSoldescribenáreasproporcionalesa los tiempos.Deestos fenómenossededuce,ymatemáticamentesecomprueba,quelasfuerzasporlasqueloscometassonretenidosen susórbitasestándirigidasalSoly son inversamentecomo loscuadradosde lasdistanciasalcentrodelmismo.Gravitan,portanto,loscometasrespectoalSol;yportanto, la fuerza de atracción del Sol no sólo alcanza a los cuerpos de los planetassituadosaunasdistanciasdadasycasienelmismoplano,sinoquetambiénalcanzaaloscometassituadosenloslugaresmásdistintosyalasmásdiversasdistancias.Tales,pues,lanaturalezadeloscuerposquegravitan,quesusfuerzaslleganatodaslasdistancias hasta todos los cuerpos en gravitación. De aquí se sigue que todos losplanetas y cometas se atraen mutuamente y gravitan mutuamente entre sí; estotambiénsehallaconfirmadoporlaperturbacióndeJúpiterySaturno,nodesconocidade losastrónomos,yoriginadade lasaccionesmutuasdeestosplanetas,y tambiénpor el lento movimiento, mencionado antes, de los ápsides y cuya causa es muysimilar.

Porello, finalmente tenemosque llegaradecirque laTierra,elSoly todos loscuerposcelestesqueacompañanalSolseatraenmutuamente.Porconsiguiente,aúnlas más mínimas partículas de cada uno tendrán sus propias fuerzas de atracciónsegún la cantidad de materia que tengan, tal como se vio antes de las partículasterrestres.Paradistanciasdistintas también serán sus fuerzas inversamentecomoelcuadradodelasdistancias;puessedemuestramatemáticamentequedepartículasquese atraen, según dicha ley deben formarse los globos que, a su vez, se atraenconformealamismaley.

Las conclusiones que anteceden se basan en el siguiente axioma que todos losfilósofosaceptan:lascausasylaspropiedadesdelosefectosqueaúnnoseconocen,yquesondelmismogéneroquelosqueseconocen,soncausasypropiedadesigualesalasdelosefectosqueseconocen.¿Quiéndudadequesilagravedadeslacausade


lacaídadeunapiedraenEuropa,tambiénserálacausadelacaídaenAmérica?Sisediese mutua gravitación entre una piedra y la Tierra enEuropa, ¿quién negará lamutuagravitaciónenAmérica?Si la fuerzadeatracciónde lapiedray laTierra secompone enEuropa de las fuerzas atractivas de las partes, ¿quién negará que enAméricalacomposiciónserásemejante?SilaatracciónterrestrealcanzaatodaclasedecuerposyacualquierdistanciaenEuropa,¿porquénodiremosquesepropagadeigual modo en América? Toda la ciencia se basa en esta regla, puesto que si lasuprimimos nada podríamos afirmar universalmente. La constitución de las cosassingularessehacepatentepormediodelasobservacionesylosexperimentos,y,portanto,sólomedianteestareglapodemoshablardelanaturalezadetodaslascosas.

Puesto que son graves todos los cuerpos que se hallan en la Tierra o en elfirmamentoysobreloscualesesposiblehacerexperimentosuobservaciones,habráquedecirdeunavezportodasquelagravedadafectaatodosloscuerpos.Yaligualquenosedebeconcebircuerpoalgunoquenoseaextenso,móvileimpenetrable,delmismomodo tampoco debe concebirse un cuerpo que no sea grave. La extensión,movilidad e impenetrabilidad de los cuerpos no se revelan si no esexperimentalmente;exactamentedelmismomodoocurreconlagravedad.Todosloscuerposdelosquetenemosobservacionessonextensos,móvileseimpenetrables;deello concluimos que todos los cuerpos, incluso aquellos de los que no tenemosobservaciónninguna, sonextensos,móviles e impenetrables.De igualmodo, todoslos cuerpos de los que tenemos observación son graves; de aquí concluimos quetodosloscuerpos,inclusoaquellosdelosquenotenemosobservación,songraves.Sialguien dijera que no son graves los cuerpos de las estrellas fijas, dado que sugravedadaúnnohasidoobservada,porlamismarazónseríaposibledecirquenisonextensos,nimóviles,ni impenetrables,dadoque talespropiedadesaúnnohansidoobservadasenlasestrellasfijas.¿Quénecesidadhaydemáspalabras?Olagravedadtieneunlugarentrelascualidadesprimariasdetodosloscuerposonolatienennilaextensión, ni la movilidad, ni la impenetrabilidad. Y por tanto, o se explicacorrectamentelanaturalezadelascosaspormediodelagravedaddeloscuerposonose explica correctamente por medio de la extensión, la movilidad y laimpenetrabilidaddeloscuerpos.

Estoyoyendoyaaalgunosrechazarestaconclusiónycuchichearnoséquésobrelascualidadesocultas.Suelenargumentarsiemprequelagravedadesalgooculto;yhayqueapartardelafilosofíalascausasocultas.Aéstosfácilmenteseresponde:noson causas ocultas aquellas cuya existencia se demuestra claramente pormedio deobservaciones, sino sólo aquellas cuya existencia es oculta, imaginaria y aún nodemostrada. La gravedad no será, pues, causa oculta de losmovimientos celestes,dadoquesehademostradoapartirdelosfenómenosquetalfuerzarealmenteexiste.Estos tales son más bien los que acuden a causas ocultas y establecen comodeterminantes de dichosmovimientos a no sé qué vórtices de una ficticiamateriacompletamentedesconocidaparalossentidos[4].


¿Acaso la gravedad se llama causa oculta, y por esta razón se desecha de laciencia,simplementeporserocultalacausadedichagravedadynohabersidoaúndescubierta?Losquetaldicencuídense,noseaquediganalgoabsurdoquevengaaarruinar los fundamentos de toda filosofía. Puesto que las causas suelen procedermedianteencadenamientocontinuodelasmáscomplejasalasmássimples,cuandolleguemosalacausamássimpleyanonosseráposibleirmásallá.Portanto,delacausamássimplenosepodrádarunaexplicaciónmecánica,puessisepudieradarnosetrataríadelacausamássimple.¿Llamaríamosocultasaestascausassimplicísimasylassuprimiríamostambién?Entoncessuprimiríamostambiénalasinmediatamentesiguientesyalassiguientes,hastaquelafilosofíaenteraresultasevacíaylimpiadetodacausa.

Hay quienes afirman que la gravedad es algo preternatural y la consideran unmilagro perpetuo. Por tanto, también quieren rechazarla, dado que las causaspreternaturales no tienen cabida en la física. Apenas vale la pena detenerse enresponderaestaburdaobjeciónqueminaademásatodalafilosofía.Obiennieganlagravedad inherente a todos los cuerpos, cosaqueno sepuededecir; o bien, por lamisma razón, sostendrán que es preternatural lo que no tiene su origen en otraspropiedades corpóreas y, por tanto, en causas mecánicas. Ciertamente, se dan laspropiedades primarias de los cuerpos, las cuales, puesto que son primarias, nodependendeotras.Observen,pues,sitodaséstassontambiénpreternaturalesono,y,porconsiguiente,recusables,ypiensenenconsecuenciaquéfilosofíapodríaseguirsedespués.

Otroshayparalosquetodaestafísicacelesteestantomenosgratacuantopareceoponersealosdogmascartesianosoapenaspuedecasarseconellos.Ensuderechoestánsilesgustaestaopinión;perojustoseráqueseconduzcanconsecuentementeynonieguenalosdemáslalibertadqueparasípiden.Portanto,serálícitodefenderyabrazarlafilosofíanewtoniana,quenosparecemásverdaderaymantenerlascausascomprobadas por medio de fenómenos, más bien que las ficticias y aún nocomprobadas.Competealaverdaderafilosofíaderivarlanaturalezadelascosasdecausas realmente existentes; esto es, buscar aquellas leyes con las que el mismoartíficequisoestablecerelmaravillosoordendeestemundo,noaquéllasconlasquepudo hacerlo si así le hubiese parecido. Pues no es contradictorio el que muchascausas, distintas entre sí, produzcan losmismos efectos.Pero aquella será la causaverdaderaquerealmenteydehechoproduceelefecto,mientraslasdemásnotienensitio en la verdadera filosofía. En los relojesmecánicos elmismomovimiento delíndicehorariopuedeprovenirbiendeunapesa,biendeunmuelleincorporado.Perosiunrelojdado,dehechoestádotadodeunapesa,caeráenridículoelquesupongaunmuelle y, de acuerdo con la hipótesis, pretenda explicar así el movimiento delíndice horario; es preciso investigar previamente conmás atención la construccióninterna de la máquina para poder determinar el verdadero origen del movimientopropuesto. Y no merecen un juicio muy distinto los filósofos aquellos que han


considerado a los cielos repletos de unamateria sutil y en perpetua acción en losvórtices.Pues,aunquepudierandarcuentadelosfenómenosapartirdesushipótesisdelmodomásexacto,aúnnosepodríadecirquehanofrecidounaverdaderafilosofíaniquehanhallado lascausasverdaderasde losmovimientoscelestes,anoserquehayan demostrado que tales causas existen realmente, o que no existen otras. Portanto, si se demostrase que la atracción de todos los cuerpos tiene verdaderamentelugaren lanaturalezade lascosas,yademássehubiesedemostradoporqué razóntodoslosmovimientoscelestespuedenexplicarseapartirdeella,entoncesseríavanay en verdad ridícula la objeción del que dijese que estos mismos movimientosdeberían explicarse por medio de vórtices, si esto fuese posible o incluso loconcediésemos. Pero no lo hemos concedido; pues de ningún modo puedenexplicarse los fenómenos por los vórtices, cosa que nuestro autor demuestraampliamenteyconclarosargumentos,paraque,losquesostienentaldesafortunadaopinión, tanto reconstruyendo el inútil engendro como adornándolo con nuevoscomentarios,seanmásdignosdeindulgenciaporsussueños.

SilosplanetasyloscometasfuesenarrastradosentornoalSolporlosvórtices,sería preciso que los astros arrastrados y las partes de los vórtices circundantes semoviesenconlamismavelocidadyconlamismadirecciónyquetuvieranlamismadensidady lamismafuerzade inerciaque lamasade lamateria.Sinembargo,nosconsta que los planetas y cometas, mientras caminan por las mismas regiones delcielo, se mueven con distintas velocidades y distintas direcciones. Se sigue, pues,necesariamentequeaquellaspartesdelfluidocelestequeestánalamismadistanciadel Sol, se mueven a la vez en direcciones distintas y con velocidades distintas,puestoqueunas serán lavelocidadydirecciónnecesariasparaquepuedancircularlosplanetasyotrasparaquepuedanhacerloloscometas.Peroalnopoderexplicaresto,osehabrádereconocerqueningúncuerpocelesteestransportadoporlamateriadelosvórtices,osehabrádesostenerquesusmovimientossonproducidos,noporunosoloe idénticovórtice, sinopormuchosquesondistintosentre síyocupanelmismoespacioalrededordelSol.

Si se suponen muchos vórtices contenidos en el mismo espacio penetrándosemutuamente y girando con diferentes movimientos, puesto que tales movimientosdebenserconformesconlosmovimientosdeloscuerpostransportados,movimientosquesonaltamenteregularesyseproducenenseccionescónicas,oramuyexcéntricas,oramuypróximasauncírculo,con toda razónunosehabrádepreguntaraquésedebeelqueseconservenintactosynosehayan,encambio,desajustadoniunpocoalolargodel tiempoporobradelamateriaquelesoponeresistencia.Enrealidad,siestosmovimientosficticiossonmáscompuestosyseexplicanmásdifícilmentequelos verdaderos movimientos de los planetas y de los cometas, me parece inútilaceptarlos en filosofía, pues toda causa debe ser más simple que su efecto.Concediendoveníaalasfantasías,alguienafirmaríaquetodoslosplanetasycometasestán rodeados de atmósferas similares a la de nuestra Tierra; hipótesis que, sin


embargo,parecerámás racionalque lade losvórtices.Afirmaríadespuésque talesatmósferas por su naturaleza se mueven en torno al Sol y describen seccionescónicas,movimientosqueenrealidadpuedenconcebirsemuchomásfácilmentequeel movimiento similar de los vórtices mutuamente permeables. Por último,estableceríaqueesprecisocreerquelospropiosplanetasycometassonarrastradosalrededor del Sol por sus respectivas atmósferas y cantará victoria por haberencontrado lascausasde losmovimientoscelestes.Peroquiencreaqueesta fábuladeberechazarse,tambiénrechazarálaotra,puestoquelahipótesisdelasatmósferasyladelosvórticesnosedistinguenmásqueunhuevodeotrohuevo.

Galileomostróqueeldesvíodelatrayectoriarectadeunapiedralanzadayquesemueveparabólicamente tiene suorigenen lagravedadde lapiedrahacia laTierra,esto es, en una cualidad oculta. Sin embargo, podría ocurrir que otro filósofocualquierademásfinoolfatopropongaotracausa.Imagina,pues,eltalfilósofoqueciertamateria sutil, que no puede percibirse ni por la vista, ni por el tacto, ni porsentidoalguno,actúaenzonasinmediatasalasuperficiedelaTierra.Perosostieneque estamateria es llevada hacia direcciones diversas pormovimientos distintos ymuchasvecescontrariosa lavezquedescribelíneasparabólicas.Yasídescribiráapartirdeaquíconpulcritudeldesvíodelapiedraeinclusomereceráelaplausodelvulgo.Lapiedra,dirá,flotaenaquelHuidosutilysiguiendoelcursodelmismonopuededejardedescribira lavez lamismasenda.Perocomoelfluidosemueveenlíneas parabólicas, entonces también será necesario que la piedra se muevaparabólicamente. ¿Quién no sentirá admiración ante el sutil ingenio de nuestrofilósofo, que deduce con claridad y al alcance del vulgo los fenómenos de lanaturalezadecausasmecánicastalescomolamateriayelmovimiento?¿Quiénnosereirá del bueno de Galileo viéndole sostener con un gran aparato matemático lanecesidadde recuperar á las cualidadesocultasexcluidasyaafortunadamentede lafilosofía?Peromesonrojagastarmástiempoenbagatelas.

El resultado finalmente viene a ser: el número de cometas es enorme, susmovimientos son altamente regulares y cumplen las mismas leyes que losmovimientos de los planetas. Se mueven en curvas cónicas, curvas que son muyexcéntricas. Recorren cualquier lugar del firmamento en cualquier dirección yatraviesan libremente losespaciosplanetariosy frecuentementecaminanen sentidocontrarioalordendelZodíaco.Lasobservacionesastronómicasconfirmansindudatodosestosfenómenosquenopuedenexplicarseporlosvórticeseinclusonopuedencoexistir con los vórtices de los planetas. A no ser que la tal materia imaginariadesaparezcadelcielo,nohabrálugarparalosmovimientosdeloscometas.

SilosplanetassonarrastradosentornoalSolporlosvórtices,laspartesdeéstosquerodeaninmediatamenteacadaunodelosplanetastendrálamismadensidadqueéstos, como se ha dicho más arriba; y por tanto, toda aquella materia que estáinmediatamentecontiguaalperímetrodelorbemagnotendráunadensidadsemejantealadelaTierra,mientrasquelaquesehalladentrodelorbemagnoodeldeSaturno


será igual o mayor. Pero para que la estructura del vórtice pueda constituirse ypermaneceresprecisoquelaspartesmenosdensasocupenelcentroylasmásdensasse alejen delmismo.Mas como los períodos de los planetas están en razón de lapotencia 3⁄2de lasdistanciasalSol,esprecisoque losperíodosde laspartesde losvórtices conserven la misma proporción. Y de aquí se sigue que las fuerzascentrífugas de estas partes habrán de estar en razón inversa a los cuadrados de lasdistancias. Por tanto, las que distan más del centro pugnan conmenos fuerza poralejarsedeél;porende,sifuesenmenosdensasesnecesarioquecedanantelamayorfuerzaconquelaspartesmáscercanasalcentropugnanporalejarse.Ascenderán,portanto, lasmásdensasydescenderán lasmenosdensasycambiaránentresídesitiohastaquelamateriatodadelvórticeestéordenadaydispuestadetalmodoquepuedareposarenequilibrio.Sidosfluidosdedensidadesdistintassecolocanenelmismovasoocurriráqueelfluidodemayordensidadsedirigiráallugarmásbajo,dadasumayorgravedad;yporunarazónsemejantehayquedecirquelaspartesmásdensasdeunvórticeseiránhacialoslugaresmásalejadosporsumayorfuerzacentrífuga.Por consiguiente, toda la parte del vórtice, que es con mucho la mayor, que seextiendefueradelgloboterrestre,tendráunadensidadyfuerzainercialporcantidadde materia no menor que la densidad o inercia de la materia del mismo. De ahísurgiráunaresistencia tangrandeyostensiblea las trayectoriasdeloscometasqueyo diría que es capaz de frenar y hasta detener sus movimientos. Nos consta, sinembargo, por el movimiento altamente regular de los cometas, que no sufrenresistenciaalgunayportantonoatraviesanmateriaalgunaqueofrezcaresistenciayque,por tanto, tengadensidado fuerzade inerciaalguna,pues la resistenciade losmediosprocedebiendelainerciadelamateriafluida,biendelafaltadelubricidad.Laqueprocededelafaltadelubricidadesmuypequeñayapenaspuededetectarseenlos fluidosconocidoscomúnmente, salvoque fuesendeunaviscosidadsimilara ladelaceiteolamiel.Laresistenciaobservableenelaire,enelagua,enelmercuriooen fluidos semejantes no viscosos, es casi toda del primer tipo y apenas puededisminuirseporcualquiergradoulteriordeenrarecimientosipermaneceladensidadylafuerzadeinerciadelfluidoalasquesiempreesproporcionalestaresistencia,comodemostróclaramentenuestroautorensubrillanteteoríadelasresistencia,queahora,en esta segunda edición, se expone un poco más rigurosamente a la vez que seconfirmaconexperimentosdecuerposquecaen.

Los cuerpos al moverse comunican poco a poco su movimiento al fluidocircundante, y al comunicarlo lo van perdiendo, y al perderlo se desaceleran. Ladesaceleración es proporcional almovimiento comunicado, y éste, cuando se da lavelocidaddelmóvil,escomoladensidaddelfluido;portanto,ladesaceleraciónolaresistenciaserácomoladensidaddelfluido;yestonohaymododeevitarlo,anoserqueelfluidoquellenelaparteposteriordelmóvilrestituyaelmovimientoperdido.Peroestoseríaimposibledemantenersalvoqueelempujedelfluidosobrelaparteposteriorfueseigualalempujedelapartedelanterasobreelfluido,estoes,salvoque


lavelocidadrelativaconqueelfluidoirrumpecontraelcuerpopordetrásfueseigualalavelocidadconqueelcuerpoirrumpecontraelfluidoo,loqueeslomismo,quelavelocidad absoluta del fluido que irrumpepor detrás delmóvil sea el doble que lavelocidadabsolutadel fluido impactadoporelmóvil, loquees imposible.Nohay,pues,mododeevitarlaresistenciadelosfluidosprocedentedesudensidadeinercia.Hayqueconcluir,portanto,queelfluidocelestenotienefuerzainercialalgunadadoquenoofrece resistencia alguna,quenohay fuerza algunaquecomunicar amóvilalguno, dado que no hay inercia ninguna; que no hay fuerza alguna que produzcacambioalgunoenloscuerposnisingularesnienconjunto,puestoquenohayfuerzaalguna que comunique movimiento a los cuerpos; que no existe la más mínimacapacidad de obrar al no existir la menor facultad de producir cualquier tipo demutación.Porqué,pues,nollamarinútileindignadeunsabioaunahipótesisque,sobrecarecerdefundamento,nosirveenlomásmínimoparaexplicarlanaturalezade lascosas.Losquequierenverelcielo llenodemateria inertesuprimenelvacíosólodepalabra,peroenlarealidadlomantienen.Puestoquenopuedehallarserazónalgunaquepermitadistinguirsemejantemateriadelespaciovacío,todalapolémicase reduce a cuestión de nombres y no de cosas. Pero si hay además algunos tanadictosalamateria,quedeningúnmodopodríanadmitirespaciovacíodecuerpos,veamoshastaquépuntoesobligadohacerlo.

Yelloporque,o sostienenqueesta constituciónque imaginandelmundo llenopor todas partes procede de la voluntad de Dios con el fin de dar apoyo a lasoperacionesde lanaturalezamedianteunétersutilque todo lo llenayen todoestápresente, cosa que no se puede sostener, puesto que, como se hamostrado por losfenómenosdeloscometas,laeficaciadetaléteresnula,osostienenqueprocededela voluntad deDios para algún fin desconocido, cosa que no debe decirse, ya quesemejanteargumentollevaríaigualmenteaestablecerotraconstitucióncualquieradelmundo,o,finalmente,sostienenquenoprocededelavoluntaddeDios,sinodeciertanecesidadnatural.Yasí,finalmenteesprecisovenirapararalasfilasdeunagreydeindeseables.Sontaleslosquecreenqueelhadoynolaprovidencialogobiernatodo,quelamaterianecesariamentehaexistidosiempreyentodaspartes,queesinfinitayeterna.Supuestoestotambién,seráuniformeentodolugar,puestoqueladiversidaddeformasnocuadraenabsolutoconlanecesidad.Tambiénseráinmóvil,puestoquesisemovieranecesariamenteenunadireccióndadaconunadeterminadavelocidad,conigualnecesidadsemoveríaendireccióndistintayconvelocidaddistinta;peroalnoserposiblemoverseendireccionesdistintasyconvelocidadesdistintas,esprecisoqueseainmóvil.Portanto,estemundollenodelasmásbellasformasydelamayorvariedaddemovimientos,nohapodidotenerotroorigenquelalibrevoluntaddeundiosprovidenteygobernante.

Deestafuente,salierontodas lasasí llamadasleyesde lanaturaleza,enlasquetantas muestras de sabiduría y no de necesidad aparecen. Por tanto, hay queencontrarlas observando y experimentando y no a partir de conjeturas inciertas.


Quiencreequepuedeencontrarporsusolarazónyconlaayudadesusolacapacidadmental los principios de la Física y las leyes de la naturaleza, necesita, o bienestablecerqueelmundoprocededelanecesidadyquesiguelasleyesnacidasdeella,obien,sielordendelmundohasidocreadoporlavoluntaddeDios,queél,humanamiseria, ha comprendido qué es lo mejor que puede ser creado. La verdadera yauténticafilosofíasebasaenlosfenómenos,loscuales,sinosinducenanosotros,oaotrosmenosdispuestos,aaceptartalesprincipiosenlosquesetrasluceelgransaberylasupremapotestaddeunsersabioytodopoderoso,nodebenserrechazadosbajoel pretexto de que tal vez sean menos aceptables para otros hombres. Ya llamenmilagrosocualidadesocultasalosprincipiosquerechacen,nodebenatribuirsealascosas nombres maliciosamente puestos, a no ser que al fin se desee confesar queefectivamentelafilosofíadebedescansarenelateísmo.Porcausadeestoshombresnodebedegradarselafilosofíasinosequierecambiarelordendelascosas.

Gozará de crédito, pues, ante los más exigentes y equitativos jueces aquellamanera de hacer filosofía que se basa en experimentos y observaciones. Apenaspodemosdecirenquégradoiluminaycuántodignificaaestemododehacerfilosofíalameritísimaobradenuestroilustreautor,cuyotalentoalresolverlosmásdifícilesproblemas, hasta el punto de que no era dado esperar su solución de la mentehumana, con razónadmiranyalabanquienesconocenconciertaprofundidadestostemas. Rotos los arcanos, nos abrió paso hacia los más bellos misterios de lanaturaleza.Detalmodonosesclareciólaarmoniosabellezadelsistemadelmundo,que ni el propio rey Alfonso, si resucitase, desearía en él mayor simplicidad ygraciosaarmonía.Detalmodo,pues,queesyamásfácilcomprenderlamajestaddelanaturaleza,gozardelamásdulcecontemplación,venerarydarcultosinesfuerzoal fundador y señor del universo, cosas todas que son, con mucho, el fruto máslogradodelafilosofía.Esprecisoestarciegoparanoveral instantea travésdelasóptimasysabiasestructurasdelascosaslasabiduríaybondadinfinitasdeunautoromnipotente;esprecisoestarlocoparanoreconocerlo.

Seerguirá,pues,laadmirableobradeNewtoncomounformidablecastillocontralos ataques de los ateos y en ningún otro sitio se hallarán más fácilmente dardoscontralacatervaimpíaqueenestaaljaba.Asílovioyaelprimero,ylopublicótantoenlatíncomoeningléselilustreyadmirableentodoslosgénerosdelsaberRicardoBentley, eximio protector de las artes, gloria de su siglo y de nuestraUniversidad,digno y conspicuo maestro de nuestro colegio de la Santísima Trinidad. A él mesiento obligado por muchas razones. Incluso tú, amable lector, no le negarás tuagradecimiento;pueshabiendodisfrutadodurantemuchotiempodelaíntimaamistaddelilustreautor(amistadquepiensaquenodebetenerseenmenosporlaposteridadquelospropiosescritosquebrillanenelmundoliterario)seocupóalavezdelafamadelamigoydelcrecimientodelasciencias.Yasí,alseryararosysumamentecaroslosejemplaresquequedabandelaanterioredición,persuadióconsuslamentacioneseinclusosinviolenciaempujófinalmenteaaquelilustrevarón,insignenomenospor


sumodestiaqueporsuenormeerudición,aqueautorizaseestanuevaedicióndesuobra, revisada y aumentada con añadidos importantes, a sus expensas y bajo sucuidado;amímepidió,erasuderecho,algonodemasiado ingrato:quecuidasedehacerlosinerratasenloquepudiese.

RogerioCotesMiembrodelcolegiodelaSantísimaTrinidad,

ProfesorPlumianodeAstronomíayFilosofíaexperimental.

Cambridge,12demayode1712


Prólogodelautoralaterceraedición

Enestaterceraedición,debidaaloscuidadosdeHenryPemberton,muydoctoenestas cuestiones, se explican con algunamayor extensión ciertos experimentos delLibroIIsobrelaresistenciaalosgravesquecaenenlaatmósferahacialaTierra.EnelLibroIIIseexponeconmásamplitudelargumentoconquesepruebaquelaLunapermanece en su órbita a causa de la gravedad y se añaden nuevas observacionessobre laproporciónmutuade losdiámetrosde Júpiter realizadosporD.Pound.Seañaden también algunas observaciones del cometa de 1680, hechas por Kirk ennoviembreenAlemaniayrecién llegadasanuestrasmanos,con lasquesemuestracuáncercaestánlasórbitasparabólicasdelastrayectoriasdeloscometas.TambiénseprecisaunpocomásqueanteslaelipsedelaórbitadelcometaquereseñóHalley.Ysemuestraquedichaórbitaelípticaatravésdelosnuevesignoscelestesnorealizósugiro con menor exactitud que lo suelen hacer los planetas a través de sus órbitaselípticas descritas en astronomía. Además, se añade la órbita del cometa de 1723,observadoporBradley,profesordeastronomíadeOxford.

IsaacNewtonLondres,12deenerode1725-26.


DEFINICIONES

DEFINICIÓNPRIMERA

Lacantidaddemateriaeslamedidadelamismaoriginadadesudensidadyvolumenconjuntamente.

El aire dos vecesmás denso, en también doble espacio, es cuádruple, en tripleespacio, séxtuple.Lomismosedebeentenderde lanieveodelpolvocondensadosporcompresiónolicuefacción.Yestamismaeslarazónparatodosloscuerposquepor cualquier causa se condensan de modos diversos. No tengo, en cambio, aquírazón ninguna para un medio, si hubiere alguno, que atraviese libremente losintersticiosdelaspartes.Aestacantidadllamoenlosucesivocuerpoomasa.Sehacemanifiesta por el peso de cualquier cuerpo, pues, pormedio de experimentosmuyexactos con péndulos, hallé que era proporcional al peso, como después semostrará[5].

DEFINICIÓNII

Lacantidaddemovimientoeslamedidadelmismoobtenidadelavelocidadydelacantidaddemateriaconjuntamente.

Elmovimientodeltodoeslasumadelosmovimientosdecadapartey,portanto,eseldobleenuncuerpoeldoblemayorconigualvelocidadycuádruplecondoblevelocidad[6].

DEFINICIÓNIII

Lafuerzaínsitadelamateriaesunacapacidadderesistirporlaquecualquiercuerpo,porcuantodeéldepende,perseveraensuestadodereposoomovimiento

uniformeyrectilíneo.


Estaessiempreproporcionalalcuerpoynosediferenciaennadadelainerciadelamasa,anoserenelmododeconcebirla.Por la inerciade lamateriaocurrequetodocuerpodifícilmenteseapartadeunestadodereposoomovimiento.Dedondelafuerzaínsitatambiénpuedellamarsecontodapropiedadfuerzadeinercia[7].Ejerceelcuerpoestafuerzasolamenteenelcambiodesuestadohechoporotrafuerzaimpresaen él y es su ejercicio, bajo diverso aspecto, tanto resistencia como ímpetu:resistencia,entantoenqueelcuerpo,paraconservarsupropioestado,seoponealafuerza impresa; ímpetu, en tanto que el mismo cuerpo, cediendo difícilmente a lafuerzadelobstáculoresistente,intentacambiarelestadodeéste.Elvulgoatribuyelaresistenciaaloscuerposenreposoyelímpetualoscuerposenmovimiento;peroelmovimiento y el reposo, tal como el vulgo los concibe, sólo se distinguenrelativamente uno de otro, y no siempre verdaderamente reposan las cosas que elvulgoconsideraenreposo.

DEFINICIÓNIV

Lafuerzaimpresaeslaacciónejercidasobreuncuerpoparacambiarsuestadodereposoomovimientouniformeyrectilíneo.

Consiste esta fuerza en la sola acciónynopermaneceenel cuerpodespuésdeella,pueselcuerpopermaneceenelnuevoestadoúnicamenteporinercia.Lafuerzaimpresa tiene diferentes orígenes, tales como un golpe, una presión, la fuerzacentrípeta.

DEFINICIÓNV

Lafuerzacentrípetaesaquellaenvirtuddelacualloscuerpossonatraídos,empujados,odealgúnmodotiendenhaciaunpuntocomoauncentro.

DeestaclaseeslagravedadporlaqueloscuerpostiendenalcentrodelaTierra;elmagnetismoporelqueelhierrotiendehaciael imán;ylafuerza,cualquieraquesea, por la que constantemente los planetas se ven apartados de las trayectoriasrectilíneas y se ven obligados a permanecer girando en líneas curvas. Una piedravolteada en una honda intenta escapar de la mano del hondero y su intento haceestirarselahondaymáscuantomásrápidamentegira,yencuantosesueltasealeja.Llamo centrípeta a la fuerza contraria al mencionado intento; por ella, la hondaretiene constantemente la piedra hacia lamano y lamantiene en el círculo, y, portanto,sedirigehacialamanoohaciaelcentrodelcírculo.Igualocurrecontodosloscuerposquegiranencírculo.Todosintentanalejarsedelcentrodélcírculoy,anoser


porunafuerzacontrariaaesteintento,queloscohíbaylosobligueensusórbitasyala que por ello llamo centrípeta, se alejarían todos en línea recta conmovimientosuniformes.Sisedespojasedelafuerzadegravedad,unproyectilnocaeríaa tierra,sinoquesealejaríapor loscielosenlínearectayestoconmovimientouniformesiademássuprimimoslaresistenciadelaire.LagravedadloapartacontinuamentedelatrayectoriarectilíneaylodoblegacontinuamentehacialaTierra,yestomásomenossegúnseasugravedadysuvelocidaddemovimiento.Cuantomenorseasugravedadporlacantidaddemateriaolavelocidadconquesedispara,tantomenossedesviarádelatrayectoriarectilíneaymáslejosllegará.Siunaboladeplomodisparadaconlafuerzadelapólvoradesdeloaltodeunmonteaunadeterminadavelocidadyenladireccióndeunalíneahorizontalrecorriese,describiendounacurva,dosmillasantesdecaeralsuelo,convelocidaddoblellegaríacasieldoblemáslejosycondiezvecesla velocidad llegaría también casi diez veces más lejos, supuesto que no hayaresistencia del aire. Y, aumentando la velocidad, puede aumentarse a voluntad ladistanciadelanzamientoydisminuirlacurvaturadelatrayectoriahastaelpuntodealcanzardiez, treintaonoventagradoseinclusocircundarlaTierrayhastaalejarsehacialoscielosyconelmovimientodeidaescaparalinfinito.YporlamismarazónporlaqueunproyectilpodríagirarenuncírculoporlafuerzadelagravedadydarvueltaatodalaTierra,asimismolaLunaporlafuerzadelagravedad,supuestoqueseagrave,uotrafuerzacualquieraporlaqueseaempujadahacialaTierra,puedeserdesviadahacialaTierracontinuamentedelatrayectoriarectilíneaygirarensuórbita;ysintalfuerza,laLunanopodríaretenerseensuórbita.Estafuerza,sifuesesólounpocomenor,nopodría apartar a laLunade su curso rectilíneo,y si fueseunpocomayor, la apartaría demasiado y la precipitaría de su órbita hacia la Tierra. Serequiere,pues,que seadeunamagnitudexacta.Yescometidode losmatemáticoscalcularlafuerzaconlaqueuncuerpoenunaórbitadeterminadayaunavelocidaddadapodríamantenerseexactamente,yalainversa,determinarlatrayectoriacurvaaque es empujado un cuerpo que es lanzado con una fuerza dada y desde un puntodado. Además, la magnitud de esta fuerza centrípeta es de tres clases: absoluta,acelerativaymotriz.

DEFINICIÓNVI

Magnitudabsolutadelafuerzacentrípetaeslamedidamayoromenordelamismasegúnlaeficaciadelacausaquelaexpandedesdeuncentroentodaslas

direccionesentorno.

Como ocurre con la fuerza magnética, según la masa del imán o según laintensidaddelafuerzamagnética,queesmayorenunosimanesqueenotros.


DEFINICIÓNVII

Lamagnitudacelerativadelafuerzacentrípetaessumedidaproporcionalalavelocidadquegeneraenuntiempodado.

Así,lafuerzadelimánesmayoramenordistanciaymenoramayordistancia,ola fuerza gravitacional esmayor en los valles ymenor en las cimas de losmontesmuy altos, y menor todavía (como luego se mostrará) a mayores distancias de lasuperficieterrestre,mientraspermaneceigualadistanciasiguales,puestoqueacelerapor igual a todos los cuerpos que caen (graves o leves, grandes o pequeños) si sesuprimelaresistenciadelaire.

DEFINICIÓNVIII

Lamagnitudmotrizdelafuerzacentrípetaeslamedidadelamismaproporcionalalmovimientoquegeneraenuntiempodado.

Así,elpesoesmayorenuncuerpomayorymenorenuncuerpomenor;yenelmismocuerporesultamayorcercadelaTierraymenorenelcielo.Dichacantidadeslacentripetenciaotendenciaalcentrodetodoelcuerpoy(porasídecirlo)supeso;seponesiempredemanifiestopormediodeunafuerzacontrariaaellayequivalenteporlaqueseaposibleimpedirlacaídadelcuerpo.

Es conveniente, para ser breves, llamar a estas magnitudes fuerzas motrices,acelerativasyabsolutas;yparadistinguirlas,referirlasaloscuerposquetiendenauncentro,aloslugaresdeloscuerposyalcentrodefuerzas:asaber,lafuerzamotrizaun cuerpo, como si se tratara del impulso de un todo hacia un centro, impulsocompuesto de los impulsos parciales de todas las partes; y la fuerza aceleratriz allugardelcuerpo,comosi se trataradeciertaeficaciadifundidadesdeelcentroporcada punto en torno para mover los cuerpos situados en él; la fuerza absoluta alcentro,comosiestuvieradotadodeunacausasin laque lasfuerzasmotricesnosepropagarían por las regiones entorno, ya sea tal causa un cuerpo central (como elimán en el centro de la fuerzamagnética o la Tierra en el centro de la fuerza degravitación)uotracausaoculta.Talconceptoesmeramentematemático,puestoquenoconsideroaquílascausasylasbasesfísicasdelasfuerzas.

La fuerza acelerativa es a la fuerza motriz como la velocidad al movimiento.Puesto que surge la cantidad de movimiento de la velocidad y de la cantidad demateriay la fuerzamotrizsurgede la fuerzaacelerativayde lamismacantidaddemateriaconjuntamente.Pues la sumade los impulsosde la fuerzaaceleratriz sobrecadaparterepresentalafuerzamotrizdeltodo.Porconsiguiente,enlasuperficiedela Tierra, donde la gravedad aceleratriz o fuerza de gravitación es la misma para


todosloscuerpos,lagravedadmotrizopesoesidénticoalcuerpo;perosisesubeporelespacio,dondelagravedadaceleratrizesmenor,elpesodisminuirátambiényserásiempre igual a la gravedad aceleratriz y al cuerpo conjuntamente. Así, en sitiosdonde la gravedad aceleratriz es dos vecesmenor, el pesode un cuerpodos o tresvecesmenorserácuatrooseisvecesmenor.

Por cierto, que llamoen elmismo sentido fuerzas acelerativasymotrices a lasatraccionesyalosimpulsos.Utilizounasporotras,eindiferentemente,laspalabrasatracción,impulso,tendenciadecualquiertipoauncentro,ylohagoconsiderandoatalesfuerzas,noensuaspectofísico,sinosóloenelmatemático.Deahíquecuideellectordenocreerqueconestaspalabrasyoestédefiniendoalgúngéneroomododeacción o causa o propiedad física, o que estoy atribuyendo a los centros (que sonpuntosmatemáticos)verdaderasfuerzasfísicas,simehallarediciendoqueloscentrosatraenoquelasfuerzassoncentrales.

ESCOLIO[8]

Noshaparecidooportunoexplicarhastaaquílostérminosmenosconocidosyelsentidoenque sehande tomarenel futuro.Encuantoal tiempo, espacio, lugarymovimiento,sondesobraconocidosparatodos.Hayqueseñalar,sinembargo,queelvulgo no concibe estasmagnitudes si no es con respecto a lo sensible.De ello seoriginan ciertos prejuicios para cuya destrucción conviene que las distingamos enabsolutasyrelativas,verdaderasyaparentes,matemáticasyvulgares.

I. El tiempo absoluto, verdadero ymatemático en sí y por su naturaleza y sinrelaciónaalgoexterno,fluyeuniformemente,yporotronombresellamaduración;elrelativo,aparenteyvulgar,esunamedidasensibleyexternadecualquierduración,medianteelmovimiento(sealamedidaigualodesigual)ydelaqueelvulgousaenlugardelverdaderotiempo;así,lahora,eldía,elmes,elaño.

II.Elespacioabsoluto,porsunaturalezaysinrelaciónacualquiercosaexterna,siempre permanece igual e inmóvil; el relativo es cualquier cantidad o dimensiónvariable de este espacio, que se define por nuestros sentidos según su situaciónrespecto a los cuerpos, espacio que el vulgo toma por el espacio inmóvil: así, unaextensiónespacialsubterránea,aéreaocelestedefinidaporsusituaciónrelativaalaTierra.Elespacioabsolutoyelrelativosonelmismoenespecieyenmagnitud,peronopermanecensiempreelmismonuméricamente.PuessilaTierra,porejemplo,semueve, el espacio de nuestra atmósfera que relativamente y respecto a la Tierrasiemprepermanece elmismo, ahora seráunapartedel espacio absolutopor laquepasa el aire, después otra parte y así, desde un punto de vista absoluto, siemprecambiará.

III.Lugareslapartedelespacioqueuncuerpoocupayes,entantoqueespacio,absoluto o relativo. Digo parte del espacio, no situación del cuerpo ni superficie


externa. Pues los sólidos iguales siempre tienen lugares iguales; las superficies, encambio,porladesemejanzadelasfigurassonmuchasvecesdesiguales.Lasituación,hablandopropiamente,notienecantidadynoestantounlugarcuantounapropiedaddellugar.Elmovimientodeltodoeselmismoquelasumadelosmovimientosdelaspartes, esto es, la traslación del todo de su lugar es lamisma que la suma de lastraslacionesdesus lugaresde laspartes,ypor tanto,el lugardel todoes iguala lasuma de los lugares de las partes y, por consiguiente, interno y solidario con elcuerpo.

IV.Movimientoabsolutoeselpasodeuncuerpodeunlugarabsolutoaotrolugarabsoluto, el relativo de un lugar relativo a otro lugar relativo. Así, en una naveempujadaporlasvelasdesplegadas,ellugarrelativodeuncuerpoesaquellaregiónde lanaveenqueestáelcuerpo,osea, lapartede lacavidad totalque llenadichocuerpoyque,porconsiguiente,semuevealavezquelanave:mientrasqueelreposorelativoes lapermanenciadelcuerpoenlamismaregióndelanaveoenlamismaparte de su cavidad. Pero el reposo verdadero es la permanencia del cuerpo en lamismapartedelespacioinmóvilenquesemuevelanavemismajuntoconsucavidady todos sus contenidos. De donde si la Tierra verdaderamente está en reposo, elcuerpo que en la nave permanece relativamente en reposo se moverá verdadera yabsolutamenteconlamismavelocidadconquelanavesemuevesobrelaTierra.SilaTierra también semueve, constará elverdaderoy absolutomovimientodel cuerpo,parte del verdadero movimiento de la Tierra en el espacio inmóvil, parte de losmovimientos relativosde la nave sobre laTierra: y si el cuerpo también semueverelativamente a la nave, constará su verdadero movimiento, parte del verdaderomovimientode laTierra en el espacio inmóvil, partede losmovimientos relativos,tantodelanaverespectoalaTierracomodelcuerporespectoalanave,ydeestosmovimientosrelativosconstaráeltotalmovimientorelativodelcuerporespectoalaTierra.Así,silapartedeTierraocupadaporlanavesemueveverdaderamentehaciaOrienteconvelocidadde10010partesylanaveesempujadahaciaOccidenteporelvientoylasvelasconvelocidadde10partesyunmarinocaminaporlanavehaciaOrienteconvelocidadde1parte,elmarinosemoveráabsolutamenteenelespacioinmóvilhaciaOrienteconlavelocidadde10001partes,yrelativamentealaTierrasemoveráhaciaOccidenteconlavelocidadde9partes.

El tiempo absoluto se distingue del relativo enAstronomía por la ecuación deltiempovulgar.Puesdesigualessonlosdíasnaturales,quesontenidosporigualesporelvulgoalmedireltiempo.Losastrónomoscorrigenestadesigualdadalmedircontiempos más exactos los movimientos celestes. Es posible que no haya ningúnmovimiento igual conelquemedir exactamente el tiempo.Todos losmovimientospuedenacelerarseyretardarse,peroelflujodeltiempoabsolutonopuedealterarse.La duración o permanencia de las cosas en la existencia es lamisma, tanto si losmovimientosson rápidos,comosi son lentos,comosino loshubiese;por tanto, laduraciónsedistingueclaramentedesusmedidassensibles,a lavezquedeellas se


deduce por la ecuación astronómica. La necesidad de esta ecuación para ladeterminación de los fenómenos se patentiza tanto por el experimento del relojoscilatoriocomoporloseclipsesdelossatélitesdeJúpiter.

Delmismomodoqueelordendelaspartesdeltiempoesinmutable,asíloeselordendelaspartesdelespacio.Siéstassemovierandesuslugares,semoverían(porasí decirlo) de sí mismas. Pues el tiempo y el espacio son los cuasilugares de símismosydetodaslascosas.Todaslascosassesitúaneneltiempoencuantoalordende la sucesióny en el espacio en cuanto al ordende lugar.Esde su esencia el serlugaresyesabsurdopensarqueloslugaresprimerossemuevan.Portanto,estossonlugaresabsolutosyúnicamentelastraslacionesdesdeestoslugaressonmovimientosabsolutos.

Mascomoestaspartesdelespacionopuedenverseydistinguirseunasdeotraspor medio de nuestros sentidos, en su lugar utilizamosmedidas sensibles. Por lasposiciones y distancias de las cosas a un cierto cuerpo que consideramos inmóvil,definimostodosloslugares;posteriormenteinterpretamostodoslosmovimientosporrespecto a los antedichos lugares, en tanto que los concebimos como pasos de loscuerpos por estos lugares. Así, usamos de los lugares y movimientos relativos enlugardelosabsolutosycontodatranquilidadenlascosashumanas:paralaFilosofía,encambio,esprecisoabstraerdelossentidos.Puesesposiblequeenlarealidadnoexistaningúncuerpoqueestéentotalreposo,alquereferirlugarymovimiento.

Se distinguen el reposo y movimiento absolutos y relativos entre sí por suspropiedades, causas y efectos. Es propiedad del reposo que los cuerposverdaderamente quietos están en reposo entre sí. Por tanto, al ser posible que uncuerpo cualquiera en la región de las estrellas fijas, o más lejos, permanezca enreposo absoluto y no se pueda saber por las situaciones respectivas de los cuerposentre sí en nuestras cercanías si alguno de ellos conserva su posición constanterespectoalcuerpo lejano,porendenosepuededefinirel reposoverdaderopor lasposicionesrelativasdeestoscuerpos.

Es propiedad del movimiento que las partes que conservan su posición dadarespectoal todoparticipande losmovimientosde losmismos todos.Pues todas laspartesdeloscuerposquegirantiendenasepararsedelejedelmovimientoylafuerzadelosmóvilesquesedesplazansurgedelafuerzaconjuntadelaspartessingulares.Asíque, almover los recipientesde loscuerpos, semueven también lascosasquereposan relativamente dentro de esos recipientes. Y por tanto, el movimientoverdaderoyabsolutonopuededefinirseporlatraslaciónrespectoalascercaníasdelcuerpoquesonconsideradascomoen reposo.Porque loscuerposexterioresdeben,nosóloserconsideradosenreposo,sinotambiénreposarverdaderamente.Puesdelocontrario,todoloincluido,ademásdeparticipardeldetraslacióndelascercaníasdelosrecipientes,participarátambiéndelosmovimientosverdaderosdelosrecipientes,ysuprimidaaquellatraslación,noreposaráverdaderamente,sinoquesolamenteseráconsideradocomoenreposo;puessonlosrecipientesrespectoaloscontenidoscomo


laparteexteriordel todoalaparte interior,ocomolacortezaalnúcleo.Movidalacorteza se mueve el núcleo también, como parte del todo, sin traslación de lascercaníasdelacorteza.

Es afín a la anterior propiedad el que, movido el lugar, se mueva también locontenido en él: por tanto, el cuerpo que semueve de un lugarmovido, participatambiéndelmovimientode su lugar.Por consiguiente, todos losmovimientos, quesurgendelmovimientodesuslugares,sonpartessolamentedemovimientostotalesyabsolutos,ytodomovimientocompletosecomponedelmovimientodelcuerpodesulugarprimero,ydelmovimientodeestelugardelsuyo,yasísucesivamentehastaquesellegueal lugar inmóvil,comoenelejemplodelnavegantepropuestomásarriba.Dedonde losmovimientos completosy absolutosnopuedendefinirse si no esporlugaresinmóvilesyporesomásarribalosrelacionéconloslugaresinmóviles,ylosrelativosencambioconloslugaresmóviles.Lugaresinmóvilesnosonotracosaquelasposicionesconstantesqueconservanentresítodaslascosasdesdeelinfinitohastael infinitoyque,por tanto,siemprepermaneceninmóvilesyconstituyenelespacioquellamoinmóvil.

Lascausas,porlasquelosmovimientosverdaderosylosrelativossedistinguenmutuamente, son fuerzas impresas en los cuerpos para producir elmovimiento. Elmovimientoverdaderoniseengendranisecambia,anoserporfuerzasimpresasenel mismo cuerpo movido; en cambio, el movimiento relativo puede generarse ycambiarsesinfuerzasimpresasentalcuerpo.Bastaconimprimirlassolamenteenlosotroscuerposrespectoalosquesedalarelaciónparaque,cediendoéstos,cambielarelacióndadaenqueconsisteelreposoomovimientorelativodeaquelcuerpo.Porotra parte, elmovimiento verdadero siempre se cambia por fuerzas impresas en elcuerpomovido,mientras que elmovimiento relativo no se cambia necesariamentepor estas fuerzas impresas.Pues si dichas fuerzas se aplicande talmodohacia losdemáscuerposrespectoalosquesedalarelaciónqueseconserveellugarrelativo,se conservará la relación en que consiste el movimiento relativo. Puede, pues,cambiarse todo el movimiento relativo mientras se conserva el verdadero, yconservarlomientras se cambia el verdadero y absoluto; por tanto, el movimientoverdaderoenabsolutopuedeconsistirentalesrelaciones.

Losefectospor losque losmovimientosabsolutosy los relativos sedistinguenmutuamentesonlasfuerzasdeseparacióndelejedelosmovimientoscirculares.Puesen el movimiento circular meramente relativo estas fuerzas son nulas, pero en elverdaderoyabsolutosonmayoresomenoressegúnlacantidaddemovimiento.Sisecuelgauncubodeunhilomuylargoysegiraconstantementehastaqueelhiloporeltorcimientosepongamuyrígidoydespuéssellenadeaguaysedejaenreposoalavezqueelagua,yentoncesconunempujónsúbitosehacegirarcontinuamenteensentido contrario y, mientras se relaja el hilo, persevera durante un tiempo en talmovimiento, la superficie del agua será plana al principio, al igual que antes delmovimientodelvaso,perodespués,altransmitiréstesufuerzapocoapocoalagua,


hacequeéstatambiénempieceagirarsensiblemente,sevayaapartandopocoapocodelcentroyasciendahacialosbordesdelvaso,formandounafiguracóncava(comoyomismoheexperimentado)yconunmovimientosiemprecrecientesubemásymáshasta que efectuando sus revoluciones en tiempos iguales que el vaso, reposerelativamente en él. Muestra este ascenso el intento de separarse del centro delmovimiento, y por tal intento se manifiesta y se mide el movimiento circularverdaderoyabsolutodelagua,yaquícontrariototalmentealmovimientorelativo.Alprincipio, cuando mayor era el movimiento relativo del agua en el vaso, esemovimientonoengendrabaningúnintentodeseparacióndeleje;elaguanobuscabaelbordesubiendoporloscostadosdelvaso,sinoquepermanecíaplana,yportantosu movimiento circular verdadero no había aún empezado, pero después cuandodecreció el movimiento relativo del agua, su ascensión por los costados del vasoindicaba el intento de separarse del eje y este conato mostraba su movimientocircular, verdadero y siempre creciente y al final convertido enmáximo cuando elagua reposaba relativamente en el vaso. Por tanto, este conato no depende de latraslacióndelaguarespectodeloscuerposcircundantesy,portanto,elmovimientocircularverdaderonopuededefinirseportalestraslaciones.Únicoeselmovimientocircularverdaderodecualquiercuerpoquegira,yrespondeaunconatoúnicocomoun verdadero y adecuado efecto; los movimientos relativos, en cambio, por lasmúltiples relaciones externas, son innumerables, pero como las relaciones carecenporcompletodeefectosverdaderos,anoserentantoqueparticipandeaquelúnicoyverdadero movimiento. De donde, incluso en el sistema de los que quieren quenuestrocielogirebajoelcielodelasestrellasfijasyarrastreconsigoalosplanetas,los planetas y cada una de las partes del cielo que reposan relativamente a suscercaníascelestes,semuevenverdaderamente.Puescambiansusposicionesrelativas(al revés de lo que ocurre con las verdaderamente en reposo) y a la vez que sonarrastradosconsuscielosparticipandesusmovimientosy,comopartesdetodosquegiran,intentanalejarsedesuscentros.

Asípues,lascantidadesrelativasnosonlascantidadesmismasquelosnombresindican,sinolasmedicionessensiblesdeellas(verdaderasoerróneas)delasquesesirveelvulgoenlugardelascosasmedidas.Perosilossignificadosdelaspalabrassehandedefinirporeluso,porlosnombresdetiempo,espacio,lugarymovimiento,más propiamente hay que entender estas mediciones sensibles; y el discurso seráinsólitoypuramentematemático si se entiendenaquí las cosasmedidas.Por tanto,violentan las palabras consagradas los que interpretan aquí estos vocablosrefiriéndolos a las cantidadesmedidas. Y nomenos dañan a laMatemática y a laFilosofía quienes confunden las verdaderas cantidades con sus relaciones y lasmedidasvulgares.

Esmuydifícilconocerlosmovimientosverdaderosdecadacuerpoydistinguirlosdehechodelosaparentes;además,porquelaspartesdeaquelespacioinmóvil,enqueloscuerpossemuevenverdaderamente,nosecaptanporlossentidos.Sinembargo,


no es el caso desesperado. Pues surgen argumentos, parte de los movimientosaparentes,que sondiferenciasde losmovimientosverdaderos,partede las fuerzas,quesoncausasyefectosdelosmovimientosverdaderos.Así,siadosesferas,unidasentre sí por un hilo de determinada longitud, se las hace girar en torno al comúncentro de gravedad, aparecerá por la tensión del hilo el conato de las esferas dealejarse del eje de giro, y de ello se puede calcular la cantidad de movimientocircular.Después,siseaplicanalavezdosfuerzasigualesenlascarasalternasdelasesferasparaaumentarodisminuirelmovimientocircular,aparecerá,porelaumentoodisminuciónde la tensióndel hilo, el aumento o disminucióndelmovimiento; ydespués,porfin,sepodríanhallarlascarasdelasesferasenquedeberíanimprimirselas fuerzas para que el movimiento aumentase al máximo, esto es, las carasposteriores,olasquesiguenenelmovimientocircular.Pero,conocidaslascarasquesiguen y las caras opuestas que preceden, se conocerá la determinación delmovimiento.Deestemodosepodríaaveriguarlacantidadyladeterminacióndeestemovimiento circular en un cierto vacío inmenso, donde nada hubiese externo ysensibleconloquesepudiesencompararlasesferas.Siahoraseestablecenendichoespacioalgunoscuerposlejanosqueguardenentresíciertaposicióndada,talescomolasestrellasfijasennuestrofirmamento,entoncesnoesposiblesaberapartirde latraslaciónrelativadelasesferasentreloscuerpossiesaéstosoaaquéllosaquieneshayqueatribuirelmovimiento.Perosiseatiendealhiloyseencuentraquelatensióndelmismoeslamismaquelarequeridaporelmovimientodelasesferas,serálícitoconcluir que el movimiento es de las esferas y entonces también deducir ladeterminacióndeestemovimientodelatraslacióndelasesferasentreloscuerpos.Ainferir, sin embargo, los movimientos verdaderos de sus causas, de sus efectos ydiferencias con los aparentes y, al revés, sus causas y efectos a partir de losmovimientosyaverdaderos,ya aparentes, se enseñarámás extensamente en loquesigue.Puesparaestefincompuseeltratadosiguiente.


AXIOMASOLEYESDELMOVIMIENTO[9]

LEYPRIMERA

Todocuerpoperseveraensuestadodereposoomovimientouniformeyrectilíneoanoserentantoqueseaobligadoporfuerzasimpresasacambiarsuestado.

Losproyectilesperseveranensusmovimientosanoserencuantosonretardadospor laresistenciadelaireysonempujadoshaciaabajopor lagravedad.Unarueda,cuyaspartesencohesióncontinuamenteseretraendelosmovimientosrectilíneos,nocesadedarvueltassinoentantoenqueelairelafrena.Loscuerposmásgrandesdelo$cometasyde losplanetasconservanpormás tiemposusmovimientos, tantodeavancecomoderotación,realizadosenespaciosmenosresistentes.

LEYII

Elcambiodemovimientoesproporcionalalafuerzamotrizimpresayocurresegúnlalínearectaalolargodelacualaquellafuerzaseimprime.

Siunafuerzacualquieraproduceunmovimientodado,dobladaproduciráeldobley triplicadael triple, tanto si seaplicadeuna solavezcomosi seaplicagradualysucesivamente. Este movimiento (dado que se determina siempre en la mismadirección que la fuerza motriz) si el cuerpo se movía antes, o bien se añadesumándoseaél,oserestasiescontrario,oseañadeoblicuamente,siesoblicuo,ysecomponeconélsegúnambasdeterminaciones.

LEYIII

Contodaacciónocurresiempreunareacciónigualycontraria:Osea,lasaccionesmutuasdedoscuerpossiempresonigualesydirigidasendirecciones

opuestas.


El que empuja o atrae a otro es empujado o atraído por el otro en la mismamedida.Sialguienoprimeunapiedraconeldedo,tambiénsudedoesoprimidoporla piedra. Si un caballo arrastra una piedra atada con una soga, el caballo esretroarrastrado (por así decirlo) igualmente, pues la soga estirada en ambasdireccionesyconelpropioimpulsodecontraersetirarádelcaballohacialapiedraydelapiedrahaciaelcaballoytantoseopondráalprogresodeunocuantoayudealavance del otro. Si un cuerpo cualquiera golpeando sobre otro cuerpo cambiara elmovimientodeéstedealgúnmodoconsupropiafuerza,élmismoalavezsufriráelmismocambioensupropiomovimientoyensentidocontrarioporlafuerzadelotrocuerpo(porlaigualdaddelapresiónmutua).Atalesaccionessonigualesloscambiosdemovimientos,nodevelocidades,ysiemprequesetratedecuerposnofijadosporotraparte.Igualmenteloscambiosdevelocidadensentidocontrario,puestoquelosmovimientoscambianigualmente,soninversamenteproporcionalesaloscuerpos.Secumple esta ley también para las atracciones como se comprobará en un escoliopróximo.

COROLARIOPRIMERO

Uncuerporecorreladiagonaldeunparalelogramobajodosfuerzasconjuntasenelmismotiempoenquelosdosladosbajolasdosaccionesporseparado.

Siuncuerpo,enuntiempodado,conlasolafuerzaMimpresaenelpuntoAestransportadoconmovimientouniformedeAaByconlasolafuerzaNimpresaenelmismopunto es transportadodeAaC, complétese el paralelogramoABDCy conambasfuerzaselcuerposerátransportadoenelmismotiempoendiagonaldeAaD.Porque,puestoquelafuerzaactúasegúnlalíneaACparalelaaBD,estafuerza,porlaLeyII,ennadamodificarálavelocidaddeacercamientoalalíneaBDgeneradaporotrafuerza.Portanto,uncuerpollegaráenelmismotiempohastalalíneaBD,tantosiseimprimelafuerzaNcomosinoseimprime;portanto,alcabodetaltiemposehallaráalcuerpoenalgúnlugardelalíneaBD.PorlamismarazónalfinaldedichotiemposehallaráenalgúnpuntoenlalíneaCDy,portanto,esnecesarioencontrarlaen la unión D de ambas líneas al cabo del mismo tiempo. Seguirá, pues unmovimientorectilíneodeAaDporlaLeyI[10].


COROLARIOII

AsíseevidencialacomposicióndelafuerzadirectaADdelasfuerzasoblicuasAByBD,yalavezlaresolucióndecualquierfuerzadirectacomoADenfuerzasoblicuascomo AB y BD. Tales composición y resolución se confirman ampliamente por lamecánica.

Supongamos los radios desiguales OM y ON que parten del centro O de unaruedaysostienenlospesosAyPmedianteloshilosMAyNPysetratadehallarlasfuerzasdelospesosparamoverlarueda:TráceselarectaKOLporelcentroO,quecorteperpendicularmenteloshilosenKyenL.TráceseuncírculoconcentroenOyconladistanciamayorOLdelasdelos intervalosOKyOL,círculoquecortaráalhiloMAenD;yque seanACparalelaa la recta trazadaOD,yDCperpendicular.Puestoquenadaimportasi losextremosdeloshilosestánfijosonoalplanodelaruedaenK,LyD,lospesostendránelmismovalorsisesuspendendelospuntosKyLoDyL.ExpréseseahoratodalafuerzadelpesoAporlalongituddetodalalíneaADyéstaseresolveráenlasfuerzasACyCDdelascualesAC,atrayendoelradioODdirectamente hacia el centro, en nada influyeparamover la rueda;mientras laotra fuerza DC, atrayendo el radio DO perpendicularmente, equivale a atraerperpendicularmentealradioOLigualalpropioOD;estoes,igualalpesoP,dadoquedichopesoesalpesoAcomolafuerzaDCalafuerzaDA,esdecir(porlasemejanzadelostriángulosADC,DOK)comoOKaODoaOL.Portanto,lospesosAyP,queson inversamente como los radios OK y OL, puesto uno a continuación de otro,tendrán el mismo valor y permanecerán en equilibrio lo que es una propiedadconocidaenlabalanza,enlapalancayenlapolea.Sielpesodeunodelosdosesmayor que el del otro, según esta razón su fuerza paramover la rueda será tantomayor.


PuestoquesielpesopigualaPsesuspendeparcialmentedeunhiloNpydeotraparteseapoyaenelplanooblicuopGysetrazanpHyNH,laprimeraperpendiculara la horizontal y la segunda perpendicular al planopG, la fuerza del pesop haciaabajopuederepresentarseporlalíneapHypuederesolverseenlasfuerzaspN,HN.SiunplanopQfueseperpendicularalhilopNcortandoalplanopGsegúnunalíneaparalela al horizonte y el peso p solamente reposara sobre estos planos pQ, pGpresionaráaestosplanosperpendicularmentecon las fuerzaspN,HN;de talmodoque al plano pQ le afectaría la fuerza pN y al plano pG la fuerza HN. Y enconsecuencia,sisesuprimeelplanopQdemodoqueelpesotiredelhilo,puestoqueelhilososteniendoalpesohaceahoraelpapeldelplanosuprimido,tirarádeélconlamismafuerzapNconlaqueanteserapresionadoelplano.Dedondela tensióndelhilooblicuo será a la tensióndelotrohiloperpendicularPNcomopNapHy, portanto,silasrazonesdelospesospyAsoncomolarazóncompuestadelasrazonesinversas de las distanciasmínimas al centro de la rueda de sus hilospN,AMy larazón directa pH a pN, los pesos tendrán el mismo valor para mover la rueda ymutuamenteseequilibrarán,comopuedeexperimentarcualquiera.

Elpesop,porotraparte,alcaersobredichosdosplanosoblicuostieneelcarácterdecuñaentrelasdoscarasinternasdeuncuerpohendidoydeestemodoseponendemanifiestolasfuerzasdelacuñaydelmazo:AsíocurrequelafuerzaconlaqueelpesoppresionaalplanopQesalafuerzaconqueélmismoesempujadocontralosplanossegúnlalíneapHporlagravedadoporelgolpedelmazo,comopNapH,yala fuerzaconquepresionaalotroplanopG,comopNaNH. Incluso sededucedeaquí,porpuradivisiónsemejantedefuerzas,lafuerzadeltornillosinfin,salvoquelacuña es empujadapor unapalanca.Lautilizaciónde este corolario esmuy clara yponedemanifiestosuverdad,aldependerdelodichotodalamecánicademostradapor los autores de diversosmodos. Fácilmente también se derivan de lo dicho lasfuerzas de las máquinas que suelen hacerse con ruedas, tomos, poleas, palancas,correasypesasque subendirectauoblicuamenteuotras energíasmecánicas, tales


comolasfuerzasdelostendonesparamoverlosesqueletosdelosanimales.

COROLARIOIII

La cantidad de movimiento que se obtiene tomando la suma de los movimientoshechos en una dirección y la diferencia de los realizados en sentido contrario, nocambiaporlaaccióndeloscuerposentresí.

PuestoqueunaacciónysureaccióncontrariasonigualesporlaLeyIIIy,porlaLey II, producen en los movimientos cambios iguales en dirección contraria. Portanto,silosmovimientosocurrenhacialamismadirección,loqueseañadealcuerpoqueseseparasedetraedelmovimientodelcuerpoquelesigue,detalmodoquelasumapermaneceigualquealprincipio.Ysiloscuerposvanalencuentroseráiguallacantidad detraída de cada móvil y, por ende, la diferencia de los movimientos ensentidoopuestopermaneceráconstante.

Así,siuncuerpoesféricoAeseltriplemayorqueuncuerpoesféricoB,ytienedos unidades de velocidad, y B le sigue en la misma recta con diez unidades develocidady,por tanto,elmovimiento totaldeAseráconrespectoaBcomoseisadiez:supongamosquetienenseisydiezunidadesdemovimiento,lasumatotalserádedieciséisunidades.Portanto,enelencuentrodeambossielcuerpoAobtienetreso cuatro o cinco unidades, el cuerpo B pierde otras tantas y saldrá el cuerpo Adespuésdelchoqueconnueve,diezuonceunidadesyelcuerpoBconsiete,seisocinco, permaneciendo siempre la suma total de dieciséis como al principio. Si elcuerpoAobtuviese nueve o diez u once o doce unidades y, por ende, después delchoque sale con quince o dieciséis o diecisiete o dieciocho, el cuerpoB al perdertantasunidadescomoaumentaA,obiensaleconunaunidadalhaberperdidootrasnueve, o bien reposa al haber perdido sus diez unidades de movimiento, o bienregresaalhaberperdidosumovimiento(porasídecirlo)conunapartemás,obienregresa con dos unidades por haber perdido doce unidades de movimiento haciaadelante. Así las sumas de los movimientos concurrentes 15 + 1 ó 16 + 0 y lasdiferencias de los contrarios 17 - 1 y 18 - 2 siempre darán dieciséis unidades demovimiento como antes del choque y la reflexión. Conocidos, por tanto, losmovimientosconquesalenloscuerposdespuésdelchoquesehallalavelocidaddecualquiera de ellos suponiendo que es a la velocidad anterior al choque como elmovimiento posterior es al anterior. Como en el ejemplo anterior, donde elmovimiento del cuerpo A era de seis unidades antes del choque y de dieciochodespuésylavelocidaddedosunidadesantesdelchoque:sehallaráquesuvelocidadserádeseisdespuésdelchoque,diciendoqueelmovimientodeseisunidadesesalmovimiento de dieciocho unidades después del choque como la velocidad de dosunidadesantesdelchoqueesseisunidadesdespuésdelchoque.


Porquesisetratadecuerposnoesféricosoquesemuevensegúnrectasdistintasqueseincidenoblicuamenteysepreguntaporsusmovimientosdespuésdelchoque,hayqueconocerlasituacióndelplanoenelqueconcurrenloscuerposenelpuntodereunión;después(porelCorolario II)hayquedistinguirendos losmovimientosdecada cuerpo, uno perpendicular a ese plano y otro paralelo al mismo; losmovimientosparalelos,dadoqueloscuerposactúanentresímutuamentesegúnunalíneaperpendicularadichoplano,handeconservarseidénticosantesydespuésdelareflexión.Ya losmovimientosperpendiculareshayqueatribuirlescambios igualesensentidocontrario,detalmodoquelasumadelosmovimientosconcurrentesyladiferencia de los contrarios permanezca igual que antes. De tales choques suelenoriginarsetambiénmovimientoscircularesdeloscuerposentornoasucentro,peronoconsideraréenloquesigueestoscasos,yaqueseríademasiadoprolijodemostrartodolorelativoaestascuestiones[11].

COROLARIOIV

Elcentrocomúndegravedaddedosomáscuerposnocambiasuestadodemovimientooreposoporlasaccionesdeloscuerposentresí;portanto,elcentrode

gravedadcomúndeloscuerposeninteracción(excluidaslasaccionesoimpedimentosexternos)oreposaosemueveuniformementeenlínearecta.

Pues si los puntos se mueven con movimiento uniforme en línea recta, y ladistanciaentreellossedividesegúnunarazóndada,elpuntodedivisiónoreposaosemueveuniformementeenlínearecta.DespuésenelLemaXXIIIyensuCorolariose demostrará esto, si elmovimiento de los puntos ocurre en elmismo plano; delmismomodosepuededemostrarsitalesmovimientosnoocurrenenelmismoplano.Luegosicualesquieracuerpossemuevenuniformementeen líneas rectas,elcentrocomúndegravedaddedoscualesquieraoestáenreposoosemueveen línearectaconmovimientouniforme;elloporelhechodequelalíneaqueuneloscentrosdeloscuerpos que se mueven uniformemente en línea recta es dividida según unadeterminada razóndesde el centro común.Demodo semejante el centro comúndeestosdosyuntercercuerpocualquieraoreposaosemueveuniformementeenlínearectayelloporquedesdedichocentrosedivideladistanciaentreelcentrocomúndelosdoscuerposyel centrodel tercero, segúnuna razóndada.Delmismomodoelcentro común de estos tres y el de un cuarto cualquiera o reposa o se mueveuniformemente en línea recta, puesto que desde dicho centro se divide la distanciaentreelcentrocomúnde los tresyelcentrodelcuartosegúnunarazóndadayasíhasta el infinito. Por tanto, en un sistema de cuerpos que ejercen accionesmutuamenteentresíycarecenporcompletodeotrosinflujosexterioresy,portanto,semuevecadaunouniformementeenunalínearectaelcentrocomúndegravedadde


todosoestáenreposoosemueveuniformementeenlínearecta.Ademásenunsistemadedoscuerposqueactúanentresímutuamente,siendolas

distanciasdeloscentrosdecadaunorespectoalcentrocomúndegravedadinversasalos cuerpos, losmovimientos relativos de los propios cuerpos tanto al acercarse adichocentrocomoalsepararseseránigualesentresí.

Por tanto, tal centro ni se adelanta ni se atrasa, ni sufre cambio alguno en suestado de movimiento o reposo por causa de cambios iguales de movimientorealizadosensentidoscontrarios,nitampocoporinteraccionesdeesoscuerpos.Peroen un sistema demuchos cuerpos, dado que el centro común de gravedad de doscuerposcualesquieraenmutuainteracciónnoseveafectadoenabsolutoensuestadopor dicha acción, y el centro común de gravedad de los demás, con los que dichaacciónnotienerelaciónalguna,nadasufreporella,encambioladistanciadeestosdos centros se divide desde el centro común de todos los cuerpos en partesinversamente proporcionales a las sumas totales de los cuerpos de los que soncentros; y en consecuencia, al conservar aquellos dos centros su estado demovimiento o reposo, el centro común de todos también conserva el suyo: esevidente que el centro común de todos nunca cambia su estado de movimiento oreposopor laaccióndedoscuerposentre sí.Ensemejante sistema,pues, todas lasaccionesdecuerposentresí,osonaccionesentredososoncompuestasdeaccionesentredoscuerposy,portanto,nuncaproducencambioenelestadodemovimientooreposodelcentrocomúndetodos.Portanto,comoaquelcentro,cuandoloscuerposno se influyen mutuamente, o reposa o discurre uniforme y rectilíneamente,persevera,pues, idéntico,sinque lo impidan lasaccionesde loscuerposentresí,osiempreenreposoosiempreenmovimientouniformeyrectilíneo,anoserqueseaapartadodedichoestadoporfuerzasimpresasextrínsecamentealsistema.Asípues,laleydeunsistemademuchoscuerposeslamismaqueladeunsolocuerpoenloque se refiere a la permanencia en estado de movimiento o reposo, pues elmovimientoprogresivo, tantodeuncuerpoaisladocomodeunsistemadecuerpos,debeapreciarsesiempreporelmovimientodelcentrodegravedad.

COROLARIOV

Losmovimientosentresídeloscuerposincluidosenundeterminadoespaciosonlosmismos,yaestédichoespacioenreposo,yasemuevarectayuniformementesin

movimientocircular.

Pues lasdiferenciasde losmovimientos tendentesaun ladoy las sumasde lastendentesal ladocontrario, son lasmismasdesdeelprincipioenamboscasos (porhipótesis)ydetalessumasydiferenciasprocedenloschoquesyfuerzasconlosqueloscuerposmutuamenteseafectan.Portanto,envirtuddelaLeyII,seránigualeslos


efectosdeloschoquesenamboscasos;yportantolosmovimientosdeloscuerpospermaneceránigualesentresíenuncasoalosmovimientosentresíenelotro.Estosecompruebaconunexperimentoclarísimo:todoslosmovimientossecomportandemodo igual entre sí en una nave tanto si se halla en reposo como si se halla enmovimientouniformeyrectilíneo.

COROLARIOVI

Siloscuerpossemoviesenentresídecualquiermodoyfuesenempujadosporfuerzasacelerativasigualessegúnlíneasparalelas,todosellosseseguiránmoviendo

entresídelmismomodoquesinoestuviesenempujadosportalesfuerzas.

Puesalactuartalesfuerzasdemodoigual(segúnlasmagnitudesdeloscuerposamover) y según líneas paralelas, todos los dichos cuerpos se moverán igual (encuanto a la velocidad) en virtud de la Ley II y, por tanto, nunca cambiarán susposicionesymovimientosentresí.

ESCOLIO

Hasta ahora he ofrecido los principios aceptados por los matemáticos yconfirmados por muy amplia experiencia. Por las dos leyes primeras y los dosCorolarios primeros,Galileo descubrió que la caída de los graves ocurre según larazóncuadradadeltiempoyqueelmovimientodelosproyectilesocurreenparábola,de acuerdo con la experiencia, a no ser en lamedida en que talesmovimientos seretardan un poco por la resistencia del aire. Para un cuerpo que cae la gravedaduniforme,actuandodemodoigualencadaunidaddetiemposobrepartículasiguales,imprime fuerzas iguales en dicho cuerpo y genera velocidades iguales. Y en latotalidaddeltiempoimprimetodalafuerzaygeneralavelocidadtotalproporcionalal tiempo. Y los espacios recorridos en tiempos proporcionales son como lasvelocidades y los tiempos conjuntamente; esto es como la razón cuadrada de lostiempos.Yenuncuerpolanzadohaciaarribalagravedaduniformeimprimefuerzasydisminuyelavelocidadenproporciónaltiempo;ylostiemposdeascensiónhastaelpuntomásaltosoncomosonlasvelocidadesadisminuir,ylaalturamáximaescomolostiemposylasvelocidadesconjuntasoenrazóncuadradadelasvelocidades.Yelmovimientodeun cuerpoproyectado segúnuna línea recta cualquiera se componedelmovimientoprocedentedelaproyecciónconelprocedentedelagravedad.Asísiun cuerpo A con el solo movimiento de proyección pudiese en un cierto tiemporecorrer la recta AB y con el movimiento de caída en el mismo tiempo pudieserecorrerlalíneadecaídaAC;compléteseelparalelogramoABCDydichocuerpoal


finaldel tiempodadoconelmovimiento compuesto sehallará en el puntoD;y lalíneacurvaAEDquedescribedichocuerposeráunaparábolaalaquelarectaABestangente en A y cuya ordenada BD es como AB cuadrado[12]. De dichas leyes ycorolariosdependenlasdemostracionesacercadelospéndulososcilantes,deacuerdoconlaexperienciadiariadelosrelojes.ApartirdeestosprincipiosydelaterceraLeyhallaronsirChristopherWren,JohnWallisS.T.D.yelcaballeroChristianHuygens,príncipesdelosgeómetrasdelaépocaúltima,lasreglasdelchoqueyreflexiónmutuadedoscuerpos,ycasialavezlacomunicaronalaSociedadRealcolaborandoentreellosplenamente(encuantoaestasleyes);primero,enverdad,WallisydespuésWrenyHuygensofrecieronsuhallazgo.PeroademásestaverdadfuecorroboradaporWrenantelaRoyalSocietypormediodelexperimentodelospéndulos;tambiénelpreclaroMariotte se dignó exponer enseguida todo esto en un libro completo[13]. Pero esciertoqueparaqueesteexperimentoconcuerdecon las teoríasdemodoaceptable,hay que tener en cuenta tanto la resistencia del aire cómo la fuerza elástica de loscuerpos concurrentes. Suspendamos dos cuerpos esféricos AB de hilos paralelosiguales, AC, BD de los centros C,D.Desde dichos centros y con tales intervalostracemoslossemicírculosEAF,GBHbisecadosporlosradiosCA,CB.Empujemosel cuerpo A hasta el punto R del arco EAF y (apartando el cuerpo B) soltémosledesde allí y tras una oscilación regresará al puntoV.RV es el retardo debido a laresistenciadelaire.SeaSTlacuartapartepuestaenmediodeesteRV,detalmodoqueRSseaigualaTVyRSseaaSTcomo3a2.PorotrapartedichoSTrepresentarámuy aproximadamente el retardo en el descenso desde S a A. Pongamos B en sulugar. Dejemos caer el cuerpo A desde el punto S y su velocidad en el punto dereflexiónAserásingranerrormuysimilaralaquetendríasicayeseenvacíodesdeelpuntoT.RepresentemospuesdichavelocidadporlacuerdadelarcoTA,puestoquees de sobra conocido para los geómetras el enunciado de que la velocidad de unpéndulo en el punto más bajo es como la cuerda del arco que describe al caer.Despuésde lareflexiónelcuerpoAalcanzaráelpuntos,yelcuerpoBelpuntok.ApartemoselcuerpoByhallemoselpuntov.SielcuerpoAse lanzadesdedichopunto y tras una oscilación vuelve al punto r, sea st la cuarta parte del propio rv,situada enmedio, de talmodo que rs y tv sean iguales y esté representada por lacuerda del arco tA la velocidad alcanzada por el cuerpo A en el punto Ainmediatamentedespuésdelareflexión.PuestseráelpuntoverdaderoycorrectoalquedeberíallegarelcuerpoA,suprimidalaresistenciadelaire.Delmismomodohayquecorregirelpuntok,hastaelquellegaelcuerpoB,yhallarelpuntol,hastaelcualdebióascenderdichocuerpoenelvacío.Deestemodopodríaexperimentarse todocomosiestuviésemosenunmediovacío.Finalmentehabríaquemultiplicar(porasídecirlo) al cuerpo A por la cuerda del arco TA que representa su velocidad paraobtenersumovimientoenelpuntoAinmediatamenteantesdelareflexión;despuésporlacuerdadelarcotAparaobtenersumovimientoenelpuntoAinmediatamentedespuésde la reflexión.YdelmismomodoelcuerpoBhabríadesermultiplicado


porlacuerdadelarcoBIparaobtenersumovimientoinmediatamentedespuésdelareflexión. Y de modo semejante cuando dos cuerpos son lanzados a la vez desdelugares diversos, hay que hallar los movimientos de cada uno, tanto antes comodespuésde lareflexión,ysóloentoncessecomparanentresí losmovimientosysededucenlosefectosdelareflexión.Conexperimentossobrelamateriaenpéndulosdediezpies, lomismoqueconpesos igualesodesigualeso tirandocuerposdesdedistancias grandes comode ocho, doce o dieciséis pies, siempre he encontrado sinerrordemedidadetrespulgadasqueloscambiosdemovimiento,cuandoloscuerposse encontraban directamente, eran siempre iguales a los inferidos a los cuerpos ensentidocontrarioy,portanto,quelaacciónylareacciónsiempreeraniguales.Así,sielcuerpoAcaíasobreelcuerpoBenreposoconnueveunidadesdemovimientoy,perdidas siete, partíadespuésdel choquecondos, el cuerpoB retrocedía conestasotrassiete.Siestoscuerposibanalencuentro,AcondoceunidadesyBconseis.

A retornaba con dos,B regresaba con ocho, efectuada la resta de catorce entreunoyotro.QuítensedoceunidadesdelmovimientodelcuerpoAynoquedaránada;quítense otras dos más y se obtendrá un movimiento de dos unidades en la otradirección;ydelmismomododelmovimientodeBquetieneseisunidadesquítensecatorce y se obtendrán ocho en sentido contrario.Y cuando los cuerpos iban en lamismadirección,Amásrápidoconcatorceunidadesdevelocidad,Bmáslentoconcinco,despuésdelchoquesalíaAconcincoyBconcatorcealhaberse transferidonueveunidadesdeAaB.Ylomismoenelresto.Jamássealterabaenlareuniónocolisióndecuerposlacantidaddemovimientosconcurrentesydelasdiferenciasdelos movimientos contrarios pues el error de una pulgada o dos en las medidas loatribuía a ladificultadde llevar a cabocadaunademodo suficientementepreciso.Era difícil tanto soltar a la vez los péndulos de tal modo que los cuerpos seencontraran en los puntos más bajos AB, como registrar los puntos s, k a queascendíanloscuerposdespuésdelencuentro.Yporotraparte,lospropioscuerposdelospénduloscondensidadesdesigualesendiversospuntosycontexturairregularporotrascausas,llevabaaerror.


Peronoseaquealguienobjetequelareglaparacuyapruebasehaaducidoesteexperimento presupone que los cuerpos son absolutamente duros o por lo menosperfectamente elásticos, casos que no se hallan en lo más mínimo entre las cosasnaturales;añadoquelosexperimentosdescritosacontecentantoencuerposblandoscomoduros,sindependerenlomásmínimodelgradodedureza.Puessidichareglahubiese de ensayarse en cuerpos no completamente duros, la reflexión deberádisminuir sólo en cierta cantidad proporcional a la fuerza elástica. En la teoría deWrenyHuygensloscuerposabsolutamentedurossereflejanconlamismavelocidaddelchoque.Masciertamentesepuedeafirmarestodelosperfectamenteelásticos.Enelcasodelosimperfectamenteelásticoslavelocidadderetornohadededucirsejuntoconlafuerzaelástica;porcuantotalfuerza(salvocuandolaspartessedoblanconelchoque, o se expanden como lo hacen bajo la acción de un martillo) es cierta ydeterminada (según creo) y hará que los cuerpos se separen convelocidad relativaqueestaráenunarazóndadaconlavelocidadrelativadechoque.Estoloensayéconpelotas de lana bien prensadas. Primero dejando caer el péndulo y midiendo lareflexiónhallélafuerzaelástica;despuésmedianteestafuerzacalculélasreflexionesenotrosejemplosdechoquey losexperimentosconcordaban.Retrocedíansiemprelaspelotasconunavelocidadrelativatalqueserelacionabaconlavelocidadrelativadechoque,aproximadamentecomo5a9.

Lasdeaceroretrocedíancasiconlamismavelocidad,lasdemaderaconunpocomenos,mientras que en las de vidrio la proporción era casi 15 a 16.Y así de estemodo se ha comprobado la terceraLey, en cuanto a las accionesy reacciones, pormediodeunateoríaqueseadecúaplenamenteconlosexperimentos.

Enlasatraccionesmuestroestobrevementecomosigue:ImaginemosdoscuerposcualesquieraA,B que se atraenmutuamente; imaginemos un obstáculo cualquierainterpuestoentreellosqueimpidasuchoque.SiunodelosdoscuerposAesatraídohaciaBmásqueBhaciaA,elobstáculoseráempujadomásporlapresióndelcuerpoAqueporlapresióndelcuerpoBy,enconsecuencia,nopermaneceráenequilibrio.Prevalecerá la presión más fuerte y hará que el sistema de los dos cuerpos y elobstáculo se mueva hacia B en línea recta y, con un movimiento continuamenteacelerado,enespacioslibresiríahastaelinfinito.LocualesabsurdoycontrarioalaprimeraLey,puesporlaprimeraLeyelsistemadeberápermanecerensuestadode


reposoodemovimientouniformeyrectilíneoy,portanto,amboscuerposempujaránigualmente al obstáculoy, por tanto, se atraeránmutuamente con igualdad.Ensayéestoconhierroeimán.Sisecolocanéstosaparteenvasijasadecuadasycontiguasyflotan juntas en un baño de agua, ninguno de ellos impulsará al otro sino quemutuamente con iguales atracciones cada uno sostendrá los impulsos del otro yfinalmentepuestosenequilibrioreposarán.

AsimismolagravedadentrelaTierraysuspartesesmutua.DivídaselaTierraFIconunplanocualquieraEGendospartesEGFyEGI:Lospesosdeestasdospartesseránmutuamente iguales. Pues si con otro planoHK, paralelo al anterior EG, sedividelapartemayorEGIendospartesEGKHyHKIdelascualesAKIesigualalaprimeramenteseparadaEFG,esevidentequelaparteintermediaEGKHporsupesono se inclinará a ninguna de las dos partes, sino que, por así decirlo, quedarásuspendida y en equilibrio entre ambas y reposará. Pero la parte extremaHKI contodosupesocaerásobrelapartemediaylaempujaráhaciaelotroextremoEGFy,portanto,lafuerzaconlaqueEGIsumadelasdospartesHKIyEGKH,tiendehaciala tercera zona EGF, es igual al peso de la parteHKI, esto es al peso de la parteterceraEGF.Ypor tanto lospesosde lasdospartesEGI,EGF,sonigualesentresícomopretendídemostrar.Yanoserquedichospesosfuesen iguales toda laTierraflotandoeneléterlibrecederíaalmayorpesoyhuyendodeélsealejaríaperdiéndoseenelinfinito[14].

Al igual que son equivalentes en los choques y reflexiones los cuerpos cuyasvelocidades son inversamente como las fuerzas ínsitas, del mismo modo sonequivalentes y se sostienen mutuamente con empujes contrapuestos en el uso deinstrumentos mecánicos aquellos agentes cuyas velocidades calculadas según ladeterminaciónde las fuerzas son inversamentecomo las fuerzas.Así lospesos sonequivalentesalmoverlosbrazosdelabalanza,loscualescuandosemuevelabalanzasoninversamentecomosusvelocidadeshaciaarribaohaciaabajo;estoes,lospesos,si suben y bajan en línea recta, son equivalentes y son inversamente como lasdistanciasdesdelospuntosdelosquesesuspendenhastaelejedelabalanza;perosisuben o bajan oblicuamente impedidos por planos inclinados u otros obstáculos


interpuestos,entoncessoninversamentecomolosascensosydescensosrealizadosdeacuerdoconlaperpendicular;yestoporladireccióndelagravedadhaciaabajo.

Delmismomodoenlapoleaoenelpolipastolafuerzadelamanoquetiradelacuerda directamente y que sea al peso, ascendiendo éste directa u oblicuamente,comolavelocidaddelascensoperpendicularalavelocidaddelamanoquetiradelacuerda,sostendráelpeso.

Enlosrelojeseinstrumentossimilaresqueesténhechosderuedasconectadas,lasfuerzas contrarias para promover o impedir el movimiento de las ruedas, si soninversamente como las velocidades de las partes de las ruedas en que actúan, sesostendránmutuamente.Lafuerzadeuntornoparaapretaruncuerpoesalafuerzadelamanoquemanejalamanivelacomolavelocidadcirculardelamanivelaenellugar donde se aplica lamano a la velocidad de avance del torno hacia el cuerpooprimido.Lasfuerzasconlasqueunacuñaobligaalasdospartesdeunmaderofijosonalafuerzadelmazoenlacuñacomoelavancedelacuñasegúnladireccióndelafuerzaimpresaenellaporelmazoesalavelocidadconquelaspartesdelmaderoceden a la cuña según líneas perpendiculares a las caras de la cuña. E igual es laexplicacióndetodaslasmáquinas.

La eficacia y utilidad de éstas consiste únicamente en que disminuyendo lavelocidadaumentamoslafuerzayviceversa;dedondeseresuelveparatodotipodemáquinas apropiadas el problema de mover un determinado peso con unadeterminadafuerzaodesuperarconunafuerzadadaotraresistencia tambiéndada.Pues si se hicieran lasmáquinas de talmodo que las velocidades del agente y delresistentefueseninversamentecomolasfuerzas,elagentesostendrálaresistencia;yla vencerá con una mayor disparidad de velocidades. Hasta el punto de que si ladisparidaddevelocidadesestangrandequequedevencidatodaresistencia,tantolaprocedentedelacontigüidadodelrozamientodeloscuerposcomodelacohesióndelos cuerpos continuos o que han de ser separados o de los pesos que han de serelevados,superadatodaesaresistencia,lafuerzasobranteproduciráunaaceleracióndelmovimiento proporcional a ellamisma, parte en lamáquina parte en el cuerporesistente. Por lo demás no es el intento presente tratar de mecánica. Hasta aquísolamentepretendímostrarenquémedidaesevidenteycuánciertaeslaterceraLeydelmovimiento.Puessiseconsideralaaccióndeunagentecomoelproductodesufuerzayvelocidad,y,demodosemejante,lareaccióndelresistente,comoelproductodelasvelocidadesdesuspartessingularesydelasfuerzasderesistenciaprocedentesdesufricción,cohesión,pesoyaceleración,acciónyreacciónenelusodetodaclasede instrumentossiempreserán igualesentresí.Y,en lamedidaenque laacciónsepropaga pormedio del instrumento y al fin incide en todo el cuerpo resistente, sudeterminaciónúltimasiempreserácontrariaaladeterminacióndelareacción.


LibroprimeroDELMOVIMIENTODELOSCUERPOS


SecciónprimeraDELMÉTODODELASRAZONESPRIMERASYÚLTIMASPORCUYOMEDIOSEDEMUESTRALOQUESIGUE

LEMAPRIMERO

Lascantidades,asícomolasrazonesdecantidades,quetiendenalaigualdadconstantementeenunciertotiempofinitoyantesdellímitededichotiemposeaproximanmutuamentemásqueunadiferenciadada,alfinalsehaceniguales.

Siloniegas,seanalfinaldesigualesyseasudiferenciafinalD.LuegonopuedenacercarsealaigualdadmásquehastaunadiferenciadadaD.Contralahipótesis.

LEMAII

Si en una figura AacE comprendida entre las rectas Aa, AE, y la curva acE seinscribenvariosparalelogramosAb,Bc,Cd,etc.construidossobrebasesigualesAB,BC, CD, etc. y con lados Bb, Cc, Dd paralelos al lado Aa de la figura; y secompletan losparalelogramosaKbl,bLcm,cMdn,etc., si entonces sedisminuye laanchuradeestosparalelogramosyseaumentainfinitamenteelnúmerodeellos:digoque las razones últimas que se dan entre la figura inscrita AKbLcMdD, lacircunscritaAalbmcndoEylacurvilíneaAabcdEsonrazonesdeigualdad.


Pues la diferencia de las figuras inscritas y circunscritas es la suma de losparalelogramosKl,Lm,Mn,Do,estoes(debidoalaigualdaddelasbasesdetodosellos) al rectángulo construido sobre la base de uno de ellosKb y la suma de lasalturasAa,estoes,elrectánguloABla.Peroesterectángulo,dadoquesuanchuraABdisminuyeininfinitum,devienemenorqueunodadocualquiera.Luego(porelLemaI)lafigurainscritaylacircunscrita,ymuchomáslacurvilíneaintermedia,alfinalsehaceniguales.Q.E.D.

LEMAIII

LasmismasrazonesúltimassontambiénrazonesdeigualdadcuandolasanchurasAB,BC,CD,etc.,delosparalelogramossondesigualesytodasdisminuyen

ininfinitum.

SeaAF igual a la anchuramáxima, y complétese el paralelogramoFAaƒ. Esteserámayorqueladiferenciadelafigurainscritaydelafiguracircunscrita;peroaldisminuir suanchuraAF infinitamente seharámenorqueun rectángulocualquieradado.Q.E.D.


COROLARIO 1. De aquí que la suma última de paralelogramos evanescentescoincideentodopuntoconlafiguracurvilínea.

COROLARIO2.Ymuchomáslafigurarectilínea,comprendidaporlascuerdasdelosarcosevanescentesab,bc,cd,etc.,coincidiráalfinconlafiguracurvilínea.

COROLARIO 3. Lo mismo que la figura rectilínea circunscrita comprendida portangentesdelosmismosarcos.

COROLARIO4.Porello,estasfigurasúltimas(encuantoalosperímetrosacE)nosonrectilíneas,sinolímitescurvilíneosdefigurasrectilíneas.

LEMAIV

SiendosfigurasAacE,PprTsehallaninscritas(comoantes)dosseriesdeparalelogramosyelnúmeroesidénticoenambasyalirdisminuyendolasanchurasininfinitumlasrazonesúltimasdelosparalelogramosenunafigurarespectoalosparalelogramosdelaotra,unoauno,permaneceniguales;digoquelasdosfiguras

AacEyPprTestánmutuamenteenesamismarazón.

Puestalcomolosparalelogramossonunoauno,así(porcomposición)eslasumadetodosalasumadetodos,yasíserálafiguraalafigura;puesestán(porelLemaIII)laprimerafiguraalasumaprimera,ylafiguraposterioralasumaposterior,enrazóndeigualdad.Q.E.D.


COROLARIO.Deaquíquesidoscantidadesdecualquierclasesedividendealgúnmodoenelmismonúmerodepartes;y talespartes, al ir aumentandosunúmeroydisminuyendo su tamaño in infinitum, alcanzanuna razóndada entre sí, la primeracon laprimera, la segundacon la segunda,y lasdemáspor suordencon lasotras,estarán todasentresíenaquella razóndada.Puessien las figurasdeesteLemasetomanlosparalelogramosentresícomopartes,lassumasdelaspartessiempreseráncomo la suma de los paralelogramos; y por esto al ir aumentando el número deparalelogramos y de partes y disminuyendo el tamaño de losmismos in infinitum,estaránenrazónúltimadeparalelogramoaparalelogramo,estoes(porhipótesis)enrazónúltimadeparteaparte.

LEMAV

Todoslosladoshomólogosdefigurassemejantessonproporcionalesentresítantosisonrectilíneascomosisoncurvilíneas;ylasáreassoncomoelcuadradode

loslados.

LEMAVI

SiunarcoACBdadoenposiciónessubtendidoporlacuerdaAB,yenelpuntoA,enmediodelacurvaturacontinua,estocadoporlarectatangenteADprolongadahaciaambosladosydespuéslospuntosAyBseacercanycoinciden,digoqueelánguloBAD,contenidoentrelacuerdaylatangente,disminuyeininfinitumy

finalmentedesaparece.


Pues si dicho ángulo no desapareciera, el arco ACB contendría junto con latangenteADunángulo igualaun rectoy,por tanto, lacurvaturaenelpuntoAnoseríacontinua,contralahipótesis.

LEMAVII

Conlosmismossupuestos,digoquelarazónúltimaentrelacuerda,elarcoylatangenteentresí,eslarazóndeigualdad.

Pues mientras el punto B se aproxima al punto A, imagínese a AB y ADprolongadasalospuntoslejanosbyd,mientrassetrazabdparalelaalasecanteBD.SeaelarcoAcbsiempresemejantealarcoACB.SilospuntosAyBseaproximan,porelLemaanteriorelángulodAbsedesvanece,ylaslíneasrectasfinitasAbyAdyelarcointermedioAcbcoincidirány,portanto,serániguales.Dedondesesiguequelas rectas AB y AD y el arco ACB siempre proporcionales a aquéllas tambiéndesapareceránytendráncomorazónúltimalaigualdad.Q.E.D.

COROLARIO1.DedondesiporBsetrazaBFparalelaalatangente,quesiemprecorteaunarectaAFtrazadaporA,estaBFsiempretendráalfinrazóndeigualdadrespecto al arco evanescenteACB, dado que en el paralelogramo completoAFBDsiempretendrárazóndeigualdadconAD.

COROLARIO 2. Y si por B y A se trazaran muchas rectas, BE, BD, AF, AG,secantesdelatangenteADytambiéndesuparalelaBF,larazónúltimadetodaslasabscisas, AD, AE, BF, BG, de la cuerda y del arco AB será entre sí la razón deigualdad.

COROLARIO3.Y,portanto,todasestaslíneaspuedensustituirseentresíentodos


losrazonamientossobrerazonesúltimas.

LEMAVIII

SilasrectasdadasAR,BR,juntoconelarcoACB,lacuerdaABylatangenteAD,constituyentrestriángulosRAB,RACB,RADylospuntosA,Bseaproximanmutuamente,digoquelaformaúltimadelostriángulosevanescenteseslade

semejanzaylarazónúltimadeigualdad.

Pues mientras se aproxima B a A imagínese siempre que AB, AD y AR seprolonganhastalospuntosmáslejanosb,dyr,yquesetrazarbdparalelaaRDyqueelarcoAcbpermanecesiempresemejantealarcoACB.AlcoincidirlospuntosAyBelángulobAddesapareceráy,portanto,lostriángulossiemprefinitosrAb,rAcbrAdcoincidirányporesomismoseránsemejanteseiguales.Yporello,sussiempresemejantes y proporcionalesRAB,RACB,RAD serán también al fin semejantes eigualesentresí.Q.E.D.

COROLARIO. Y por ello, tales triángulos pueden ser sustituidos uno por otro entodaargumentaciónsobrerazonesúltimas.

LEMAIX

SilarectaAEylacurvaABCdeposicióndadasecortanmutuamenteenunángulodadoAyseaplicanordenadamenteadicharectaenunángulodadolasrectasBD,CE,queasuveztocanlacurvaenB,C,ydespuéslospuntosB,C,seacercanalavezhaciaelpuntoA,digoquelasáreasdelostriángulosABD,ACE

seránalfinalentresícomoloscuadradosdeloslados.


Enefecto,mientraslospuntosB,CseacercanalpuntoA,imaginemossiempreaAD prolongada hacia los puntos lejanos d y e, de modo que Ad, Ac seanproporcionalesaADyAEytracemoslasordenadasdh,ec,paralelasalasordenadasDB,ECyquecortena lasprolongacionesdeAB,ACenbyc.Supóngaseque setraza la curvaAbc semejante a la curvaABC así como la rectaAg tangente a lascurvas enA y que corta a las ordenadasDB, EC,db, ec en F, G, ƒ, g. Entonces,manteniendo la longitud Ae, que los puntos B, C se aproximen al punto A y aldesaparecer el ángulo cAg las áreas curvilíneas Abd, Ace coincidirán con lasrectilíneasAƒd,Age;yporello(porelLemaV)seránentresícomoelcuadradodelos ladosAd,Ae.Peroadichasáreassiempreseránproporcionales lasáreasABD,ACEyatalesladossiempreseránproporcionaleslosladosAD,AE.LuegotambiénlasáreasABD,ACEseránalfinalcomoelcuadradodelosladosAD,AE.Q.E.D.

LEMAX

Losespaciosqueuncuerporecorreempujadoporunafuerzacualquierafinitatantosidichafuerzaesdeterminadaysiemprelamisma,comosiescontinuamentecrecienteodecreciente,soncomoloscuadradosdelostiemposalcomienzodel

movimiento.

RepreséntenselostiemposporlaslíneasAD,AEylasvelocidadesoriginadasporlasordenadasDB,EC; losespaciosdescritosconestasvelocidades seráncomo lasáreasABD,ACEdescritasporestasordenadas,estoes(porelLemaIX)alcomienzodelmovimientocomoelcuadradodelostiemposAD,AE.Q.E.D.

COROLARIO1.Ydeaquísededucefácilmentequelosrecorridosdeloscuerposque describen partes semejantes de figuras semejantes en tiempos proporcionales,recorridosquesonoriginadosporfuerzasigualesaplicadasdemodosemejantealoscuerposyquesonmedidosporlasdistanciasdeloscuerposrespectoaloslugaresde


las figuras semejantes a los que hubiesen llegado dichos cuerpos en los mismostiemposproporcionalessin tales fuerzas,sonaproximadamentecomoloscuadradosdelostiemposenquesehangenerado.

COROLARIO2.Perolosrecorridosquesonoriginadosporfuerzasproporcionalesalaspartessemejantesdefigurassemejantesaplicadassemejantemente,soncomolasfuerzasmultiplicadasporelcuadradodelostiempos.

COROLARIO3.Lomismohadeentendersedecualesquieraespaciosquedescribanlos cuerpos bajo la acción de distintas fuerzas. Serán, respecto al comienzo delmovimiento,comolasfuerzasmultiplicadasporelcuadradodelostiempos.

COROLARIO 4. Y por tanto, las fuerzas están, al comienzo del movimiento, enrazón directa a los espacios descritos y en razón inversa a los cuadrados de lostiempos.

COROLARIO5.Yloscuadradosdelostiempossondirectamentecomolosespaciosdescritoseinversamentecomolasfuerzas.

ESCOLIO

Sisecomparanentresícantidadesindeterminadasdediversosgénerosyunadeellassedicequeescomootra,directaoinversamente,estosignificaquelaprimeracreceodisminuyesegúnlamismarazónquelasegundaosegúnlainversa.Ysiunadeellassedicequeescomootrasdosomásdirectao inversamente,estosignificaquelaprimeraaumentaodisminuyesegúnlarazóncompuestadelasrazones,segúnlascualeslasotrasolasinversasdelasotrasaumentanodisminuyen.Así,sisedicequeAesdirectamentecomoBydirectamentecomoCeinversamentecomoD,estosignificaqueAaumentaodisminuyeen larazóndeBxCx1/D,estoes,queAyBC/Dsonmutuamentesegúnunarazóndada.

LEMAXI

Lasubtensaevanescentedelángulodecontacto,entodaslascurvasquetienencurvaturafinitaenelpuntodecontacto,esalfincomoelcuadradodelasubtensa

delarcocontiguo.

CASO1.SeadichoarcoAB, la tangenteAD, seaBD la subtensadelángulodecontactoperpendicularalatangente,yABlasubtensadelarco.TrácenseAGyBGperpendicularesalatangenteADyalasubtensaAByqueseencuentrenenG.


MuévansedespuéslospuntosD,B,Ghaciad,b,g,yseaIlaúltimainterseccióndeBGyAGcuandoDyBseacercanhaciaA.EsevidentequeladistanciaGIpuedesermáspequeñaqueunadistanciadada.Porotraparte(porlanaturalezadeloscírculosquepasanporlospuntosABG,Abg)AB2esigualaAGxBDyAb2esigualaAgxbd;yportantolarazóndeAB2aAb2secomponedelasrazonesdeAGaAgyBDabd. Pero comoGI puede tomarse comomenor que cualquier longitud dada, puedehacersequelarazónAGaAgdistemenosde la igualdadqueunacantidaddaday,por tanto, que la razón AB2 aAb2 diste menos de la razón de BD a bd que unacantidaddada.Luego,porelLema I, la razónúltimaentreAB2yAb2 es lamismaquelarazónúltimadeBDabd.Q.E.D.

CASO2.InclíneseBDsobreADenunángulodadocualquieraylarazónúltimadeBDaBdsiempreserálamismaqueantesy,portanto,lamismaqueAB2aAb2.Q.E.D.

CASO3.YaunquenoestédadoelánguloD,sinoquelarectaBDconverjaenunpuntodadoobienseconstruyaconotrareglacualquiera,sinembargolosángulosD,dseconstruiránconunaleycomúnysiempretenderánalaigualdadyseacercaránentresímásqueunadiferenciadaday,portanto,alfinserániguales,porelLemaI,yportantolaslíneasBD,bdestánentresíenlamismarazónqueantes.Q.E.D.

COROLARIO1.Dedonde,comolastangentesAD,Ad,delosarcosAB,AbysussenosBC,bcseanal final igualesa lascuerdasAB,Ab;suscuadradosseránalfincomolassubtensasBD,bd.

COROLARIO 2. Tales cuadrados serán asimismo al final como las sagitas de losarcos que bisecan a las cuerdas y convergen en un punto dado. Puesto que dichassagitassoncomolassubtensasBD,bd.


COROLARIO 3. Por tanto, la sagita es como el cuadrado del tiempo en que uncuerpodescribeelarcoaunavelocidaddada.

COROLARIO4.LostriángulosrectilíneosADB,AdbestánalfinenrazóncúbicadelosladosAD,Adyenrazónde lapotencia 3⁄2 (sesquiplicada)de los ladosDB,db;porcuantoquesedalaexistenciadelarazóncompuestadelosladosADyDB,AdyDb.IgualmentelostriángulosABC,AbcestánalfinalenrazóncúbicadelosladosBC, bc. Llamo razón sesquiplicada a la subduplicada de la triplicada, que secompone,pues,delasimpleylasubduplicada[15].

COROLARIO5.YpuestoqueDB,dbsonalfinalparalelasyenrazóncuadradadelasmismasAD,Ad,lasáreascurvilíneasúltimasADB,Adbserán(porlanaturalezadelaparábola)dosterciosdelostriángulosrectilíneosADB,Adb,y lossegmentosAB,Abterceraspartesdedichostriángulos.Yenconsecuencia,dichasáreasydichossegmentosestaránenrazóntriplicada,yadelastangentesAD,Ad,yadelascuerdasyarcosAB,Ab.

ESCOLIO

Por lo demás, en todo esto suponemos que el ángulo de contacto no es niinfinitamentemayor que los ángulos de contacto contenidos por los círculos y sustangentes, ni infinitamentemenor que los mismos; esto es, que la curvatura en elpuntoAnoesni infinitamentepequeña,ni infinitamentegrande,o también,queelintervaloAIesdemagnitudfinita.Puede,enefecto,tomarseaDBcomoAD3:entalcasoningúncírculopuedetrazarseporelpuntoAentrelatangenteADylacurvaABy por consiguiente el ángulo de contacto será infinitamente menor que los de loscírculos. Y por un argumento semejante si DB se hace sucesivamente comoAD4,


AD5, AD6, AD7, etc., se tendrá una serie de ángulos de contacto que va hasta elinfinito y de los cuales cualquiera de los siguientes es infinitamentemenor que suantecesor.Y siDB sehiciera sucesivamente comoAD2,AD3⁄2, AD

4⁄3, AD5⁄4, AD

6⁄5,AD

7⁄6,etc.,setendráotraserieinfinitadeángulosdecontactodeloscualeselprimeroes del mismo género que los de los círculos, el segundo infinitamente mayor, ycualquier siguiente infinitamentemayorque el anterior.Además, entredos ánguloscualesquiera de éstos puede intercalarse una serie, también tendente al infinito, deángulos intermedios de los cuales cualquier posterior será infinitamente mayor omenorque el anterior.Como si entre los términosAD2yAD3 se intercala la serieAD

13⁄6,AD11⁄5,AD

9⁄4,AD7⁄3,AD

5⁄2,AD8⁄3,AD

11⁄4,AD14⁄5,AD

17⁄6,etc.Ydenuevoentredoscualesquieraángulosdeestaseriesepuedeintercalarunanuevaseriedeángulosintermedios,distantesentresíinfinitosintervalos.Noconocelanaturalezaunlímite.

Loquesehademostradodelaslíneascurvasydelassuperficiescomprendidas,puedeaplicarsefácilmentealassuperficiescurvasdelossólidosyaloscontenidos.HeadelantadoestosLemasparaevitartediosasylargasdeduccionesadabsurdumalestilodelosantiguosgeómetras.Pueslasdemostracionessehacenmásbrevesporelmétododelosindivisibles.Perocomolahipótesisdelosindivisiblesesmásdifícilyademás, tal método se considera menos geométrico, he preferido reducir lasdemostracionesdelascosasquesiguenalassumasyrazonesúltimasdecantidadesevanescentes,yalassumasyrazonesprimerasdecantidadesnacientes,estoes,aloslímites de las sumas y de las razones y, por tanto, he preferido anteponer, con labrevedad que he podido, las demostraciones de dichos límites. Por este medio seconsiguelomismoqueconelmétododelosindivisiblesyasípodremosutilizarconmayorseguridadprincipiosyademostrados.Portanto,enloquesigue,cuantasvecesconsiderecantidadescomosiconstarandepartículas,ocuantasvecestomepequeñascurvasporlíneasrectas,noquieroentendernuncaquesetratadeindivisibles,sinodedivisiblesevanescentes,nitampocodesumasorazonesdepartesdeterminadas,sinodeloslímitesdelassumasydelasrazones;ylafuerzadetalesdemostracionesdebeatribuirsesiemprealmétododelosLemasprecedentes.

Pudiera objetarse que no hay proporción última alguna entre cantidadesevanescentes, ya que antes de que desaparezcan no son últimas, y, después dedesaparecidas,nopuededarseninguna.Peroporlamismarazónpodríadecirsequeun cuerpo que llega a un punto en el que se acaba sumovimiento no tendría unavelocidad última, puesto que dicha velocidad no sería última antes de que dichocuerpoalcanceelpunto finaldesumovimiento,ycuando lehayaalcanzadoyanotendrá velocidad alguna. La respuesta es fácil: por velocidad última se entiendeaquellaconlaqueelcuerposemueve,noantesdealcanzarelpuntofinalycesa,porconsiguiente,elmovimiento,nitampocodespuésdehaberloalcanzado,sinoaquellacon la que se mueve cuando lo alcanza, esto es, aquella velocidad con la que elcuerpo alcanza el punto final y aquella con la que cesa el movimiento. De igual


manera ha de entenderse por razón última de cantidades evanescentes la razón decantidades,noantesdequedesaparezcan,nidespuésdedesaparecidas,sinoaquellacon la que desaparecen.De igualmodo ocurre con la razón primera de cantidadesnacientes,queesaquellaconlaquenacen.Ylasumaprimerayúltimaesaquellaconlaqueempiezanoacabanlaexistencia(otambiénaaumentarodisminuir).Existeunlímite que puede alcanzar la velocidad al final del movimiento, pero no puedetraspasarlo.Estaeslavelocidadúltima.Ysemejanteeslarazóndel límitedetodaslas cantidades y proporciones nacientes y evanescentes. Y dado que tal límite escierto y definido, el problema de determinarlo es puramente geométrico. Por lodemás es legítimo utilizar medios geométricos para determinar y demostrar cosastambiéngeométricas.

También pudiera objetarse que si se dan razones últimas de cantidadesevanescentes, tambiénsedaránmagnitudesúltimas;yasí todacantidadconstarádeindivisibles,contraloquedemostróEuclidessobrelosinconmensurablesenellibrodécimo de los elementos. Pero esta objeción se apoya en una hipótesis falsa. Lasrazonesúltimasconlasquetalescantidadesdesaparecenenrealidadnosonrazonesdecantidadesúltimas,sinolímitesalosquetiendenaacercarsesiemprelasrazonesde cantidades continuamente decrecientes, límites a los que pueden acercarsemásqueunadiferenciadada,peronuncatraspasarlo,nitampocoalcanzarloantesdequelascantidadesdisminuyanininfinitum.Eltemasevemejorenlascosasinfinitamentegrandes. Si dos cantidades con una diferencia dada aumentan infinitamente, habráunarazónúltimadedichascantidades,asaber,larazóndeigualdad,sinqueporellosedentambiénlascantidadesúltimasomáximasdelascualeseraestalarazón.Portanto,cuandoenloquesiguediga,conelfindefacilitarlacomprensióndelascosas,cantidadesmínimasoevanescentesoúltimas,noseentiendaquesoncantidadesdedeterminadamagnitud sino que debe pensarse siempre en cantidades infinitamentedecrecientes.


SecciónII[16]

SOBREELDESCUBRIMIENTODELASFUERZASCENTRÍPETAS

PROPOSICIÓNI.TEOREMAI

Lasáreas,descritasporcuerposquegiransujetosauncentrodefuerzasinmóvilporradiosunidosadichocentro,estánenelmismoplanoinmóvilyson

proporcionalesalostiempos.

DivídaseeltiempoenpartesigualesyenlaprimerapartedetiempoelcuerpoporsufuerzaínsitarecorralarectaAB.Enlasegundapartedetiempo,sinadaloimpide,larectallegaráhastac(porlaLeyI)describiendolalíneaBcigualalamismaAB;demodoque lasáreasASB,BScdescritasporel trazadode los radiosAS,BS,cS,alcentro habrán de ser iguales. Pero cuando el cuerpo llega aB, supóngase que unafuerzacentrípetaproduceunúnicoygranimpulsoyhagaqueelcuerposeseparedelalíneaBcysigalarectaBC.TráceselaparalelacCaBSquetocaaBCenC;yalcompletarselasegundapartedetiempoelcuerpo(porelCorolarioIdelasLeyes)sehallaráenC,enelmismoplanoqueeltriánguloASB.ÚnaseSC,yeltriánguloSBC,porserparalelasSB,Cc,seráigualaltriánguloSBcy,portanto,tambiénaltriánguloSAB.Y,porargumentossemejantes,siunafuerzacentrípetaactúasucesivamenteenC,D,E,etc.,haciendoqueelcuerpoencadapartedetiempodescribacadarectaCD,DE,EF,etc.,estarántodasellasenelmismoplanoyeltriánguloSCDseráigualaltriánguloSBC,ySDEalpropioSCD,ySEFaSDE.Portanto,entiemposigualessedescriben áreas iguales en un plano inmóvil; y, por composición, las sumas decualesquieraáreasSADSySAFSsonentresícomolostiemposenquesedescriben.Auménteseahoraelnúmerode triángulosydisminúyasesualtura in infinitumysuperímetroúltimoADFseráunalíneacurva[17](porelCorolario4delLemaIII);yportanto la fuerza centrípeta, por la que un cuerpo es continuamente separado de latangentededichacurva,actúacontinuamente;yáreascualesquieradescritasSADS,SAFSproporcionalessiemprealostiemposenquesedescriben,serán,enestecaso,proporcionalesalosmismostiempos.Q.E.D.


COROLARIO1.Lavelocidaddeuncuerpoatraídohaciauncentro inmóvilenunespacionoresistenteesinversamentecomolaperpendiculartrazadadesdetalcentroalatangentedelacurva.PueslavelocidadenlospuntosA,B,C,D,E,escomolasbasesAB,BC,CD,DE,EF,delostriángulosiguales;yestasbasessoninversamentecomolasperpendicularestrazadasaellas.

COROLARIO 2. Si las cuerdasAB,BC, de dos arcos descritos sucesivamente entiemposigualesporelmismocuerpoenespaciosnoresistentessecompletanenunparalelogramoABCV,yladiagonalBVdedichoparalelogramoenlaposiciónquealfinaltienecuandoelarcodisminuyeininfinitumesprolongadaenambasdirecciones,pasaráporelcentrodefuerzas.

COROLARIO 3. Si las cuerdasAB, BC yDE, EF de arcos descritos en tiemposiguales y en espacios no resistentes se completan en los paralelogramos ABCV,DEFZ,lasfuerzasenByEseránentresíenrazónúltimadelasdiagonalesBV,EZ,cuando dichos arcos disminuyan in infinitum. Pues losmovimientos BC y EF delcuerpo(porelCorolarioIdelasLeyes)estaráncompuestosdelosmovimientosBe,BVyEƒ,EZ.Ahorabien,BVyEZ,igualesaCcyFƒ,en lademostracióndeestaProposición se originaban por impulsos de la fuerza centrípeta en B y E, y porconsiguiente,sonproporcionalesatalesimpulsos.


COROLARIO 4. Las fuerzas, por las que cualesquiera cuerpos en espacios noresistentes son desviados de trayectorias rectilíneas y constreñidos a trayectoriascurvas,sonentresícomolassagitasconvergentesalcentrodefuerzas;sagitasdelosarcos descritos en tiempos iguales y bisecantes de las cuerdas de dichos arcosmientras éstos disminuyen in infinitum. Pues tales sagitas son las mitades de lasdiagonalesdelasquehemoshabladoenelCorolario3.

COROLARIO5.Y,portanto,estasfuerzassonalafuerzadelagravedadcomotalessagitas son a las sagitas perpendiculares al horizonte de los arcos parabólicos quedescribenlosproyectilesenlosmismostiempos.

COROLARIO6.Lomismovale(porelCorolarioVdelasLeyes)cuandolosplanosenquesemuevenloscuerposjuntoconelcentrodefuerzassituadoenlosmismosnoestánenreposo,sinoquesemuevenuniformementeyenlínearecta.

PROPOSICIÓNII.TEOREMAII

Todocuerpoquesemueveenunacurvadescritaenunplano,yconunradiotrazadoaunpunto,inmóviloenmovimientorectilíneoyuniforme,describeáreasentornoadichopuntoproporcionalesalostiempos,esempujadoporunafuerza

centrípetatendenteadichopunto.

CASO 1. Pues todo cuerpo que se mueve en una curva es desviado de sutrayectoriarectaporalgunafuerzaactuantesobreél(porlaLeyI).Yestafuerzaqueapartaalcuerpodela trayectoriarectilíneay leobligaadescribiren tornoalpuntoinmóvil S los triángulos iguales e infinitamente pequeños SAB, SBC, SDC, etc.,


actúaenelpuntoBsegúnunalíneaparalelaacC(porlaProposiciónXLdelLibroIdelosElementosylaLeyII),estoes,segúnladireccióndelalíneaBS;yenelpuntoCactúasegúnlalíneaparalelaadD,estoes,segúnlalíneaSC,etc.Portanto,actúasiempresegúnlíneastendentesalmencionadopuntoSinmóvil.Q.E.D.

CASO2.Y,porelCorolarioVdelasLeyes,esindiferentequelasuperficieenqueun cuerpo describe una línea curva esté en reposo o que se mueva, junto con elcuerpo,lafiguradescritaysupuntoS,uniformementeyendirecto.

COROLARIO 1. En espacios o medios no resistentes, si las áreas no sonproporcionales a los tiempos, las fuerzas no tienden al punto donde concurren losradiossinoqueseadelantanhacialaregiónhacialaquesedirigeelmovimiento,casodequeladescripcióndelasáreasseacelere,oseatrasan,casodequeseretarde.

COROLARIO 2. Incluso enmedios resistentes, si se acelera la descripción de lasáreas, lasdireccionesdelasfuerzasseapartandelpuntodeencuentrodelosradioshacialadirecciónhacialaquevaelmovimiento.

ESCOLIO

Un cuerpo puede ser urgido por una fuerza centrípeta compuesta de muchasfuerzas.En talcasoelsentidode laProposiciónesquedichafuerza,compuestadetodas las demás, tiende al punto S.Además si alguna fuerza actúa constantementesegúnunalíneaperpendicularalasuperficiedescrita,obligaráalcuerpoasepararsedel plano de su movimiento; pero no aumentará ni disminuirá la cantidad desuperficiedescritay,portanto,hadedespreciarsealcomponerlasfuerzas.

PROPOSICIÓNIII.TEOREMAIII

Todocuerpoque,unidoporunradioalcentrodeotrocuerpoquesemuevedecualquiermodo,describealrededordedichocentroáreasproporcionalesalostiemposesurgidoporunafuerzacompuestadelafuerzacentrípetatendenteaeseotrocuerpoydetodalafuerzaaceleratrizconlaqueesurgidoeseotrocuerpo.

SeaLelprimercuerpo,y seaTelotro;y (porelCorolarioVI de lasLeyes) siambos cuerpos son urgidos según líneas paralelas por una fuerza nueva, igual ycontrariaaaquellaqueurgealotrocuerpoT,elprimercuerpoLdescribiríaalrededordel otro cuerpo T lasmismas áreas que antes: en cambio la fuerza por la que eraurgidoelotrocuerpoTseráahoradestruidaporuna fuerza igualycontrariay,portanto(porlaLeyI),eseotrocuerpoTabandonadoyaasímismoobienquedaráenreposoobienenmovimientouniformeydirecto:yelcuerpoprimeroLurgidoporlafuerzarestantepasaráadescribirentornoalotrocuerpoTáreasproporcionalesalos


tiempos. Por tanto (por elTeorema II) la diferencia de fuerzas tiende hacia el otrocuerpoTcomoasucentro.Q.E.D.

COROLARIO 1. Por tanto, si un cuerpoL, unido por un radio a otroT, describeáreasproporcionalesalostiemposydelafuerzatotal(tantosiessimplecomosiestácompuestademuchasfuerzassegúnelCorolarioIIdelasLeyes)porlaqueesurgidoel primer cuerpo L se resta (por el mismo Corolario de las Leyes) toda la fuerzaaceleratrizpor laqueesurgidoelotrocuerpo, toda la fuerzarestantepor laqueesurgidoelprimercuerpotenderáalotrocuerpoTcomoasucentro.

COROLARIO2.Ysiesasáreassonaproximadamenteproporcionalesalostiempos,lafuerzarestantetenderáaproximadamentealotrocuerpoT.

COROLARIO3.Yviceversa, si la fuerza restante tiendeaproximadamentealotrocuerpoT,esasáreasseránaproximadamenteproporcionalesalostiempos.

COROLARIO4.SiuncuerpoL,unidoporunradioaotrocuerpoT,describeáreasque,comparadasconlostiempos,sonmuydesigualesyelotrocuerpoToreposaosemueveuniformementeendirecto,laaccióndelafuerzacentrípetatendentehaciaeseotrocuerpoToesnulaosemezclaysecomponeconaccionesmuypotentesdeotras fuerzas, y la fuerza total compuesta de todas ellas, si sonmásde una, tiendehacia otro centro (móvil o en reposo). Lomismo ocurre cuando el otro cuerpo semueveconcualquierclasedemovimientosisetomalafuerzacentrípetaqueresultadespuésderestartodalafuerzaqueactúasobreelotrocuerpoT.

ESCOLIO

Puestoquelaigualdescripcióndeáreasesíndicedelcentrohaciaelquetiendelafuerzaporlaquemásafectadoesuncuerpoyporlaqueesapartadodelmovimientorectilíneo ymantenido en su órbita, ¿por qué no podemos en lo sucesivo tomar laigualdadenladescripcióndeáreascomouníndicedelcentroentornoalqueocurretodomovimientocircularenlosespacioslibres?

PROPOSICIÓNIV.TEOREMAIV

Lasfuerzascentrípetasdeloscuerposquedescribencírculosdistintosconmovimientosigualestiendenaloscentrosdelosmismoscírculos;ysonentresícomoloscuadradosdelosarcosdescritosentiemposigualesdivididosrespectivamente

porlosradiosdeloscírculos.

Estasfuerzastiendenaloscentrosdeloscírculos,porlaProposición IIyporelCorolario2,ProposiciónI,ysonentresícomolossenosversosdelosarcosdescritosen tiempos igualesmuy pequeños, por el Corolario 4 de la Proposición I, esto es,


comoloscuadradosdelosmismosarcosdivididosporlosdiámetrosdeloscírculos,porelLemaVII;yportanto,comoestosarcossoncomolosarcosdescritosenunostiempos iguales y los diámetros son como los radios, las fuerzas serán como loscuadradosdelosarcosdescritosenelmismotiempodivididosporlosradiosdeloscírculos.Q.E.D.

COROLARIO1.Puestoqueestosarcossoncomolasvelocidadesdeloscuerpos,lasfuerzascentrípetasestaránenrazóncompuesta,directamentedelarazóncuadradadelasvelocidadeseinversamentedelarazónsimpledelosradios.

COROLARIO 2. Y, como los tiempos periódicos están en razón compuestadirectamentedelarazóndelosradioseinversamentedelarazóndelasvelocidades,las fuerzas centrípetas están en razón compuesta directamente de la razón de losradioseinversamentedelarazóncuadradadelostiemposperiódicos.

COROLARIO 3. De donde, si se igualan los tiempos periódicos y, por tanto, lasvelocidades son como los radios, también las fuerzas centrípetas serán como losradios;yalcontrario.

COROLARIO4.Sitantolostiemposperiódicoscomolasvelocidadesestánenrazónde la raízcuadradade los radios; las fuerzascentrípetas serán igualesentresí;yalcontrario.

COROLARIO 5. Si los tiempos periódicos son como los radios y, por tanto, lasvelocidadesiguales,lasfuerzascentrípetasseráninversamentecomolosradios;yalcontrario.

COROLARIO 6.Si los tiemposperiódicos estánen razónde lapotencia 3⁄2 de losradiosy,portanto, lasvelocidadesestánenrazóndelaraízcuadradadelosradios,las fuerzas centrípetas serán inversamente como los cuadrados de los radios; y alcontrario.

COROLARIO 7. Y, en general, si el tiempo periódico es como una potencia Rn

cualquieradelradioRy,portanto,lavelocidadesinversamentecomolapotenciaRn-1delradio,lafuerzacentrípetaseráinversamentecomolapotenciaR2n-1delradio;yalcontrario.

COROLARIO8.Con respectoa los tiempos, lasvelocidadesy las fuerzascon losqueloscuerposdescribenpartessemejantesdecualesquierafigurassemejantesyquetienenloscentroscolocadosenposiciónsemejantedentrodedichasfigurassesiguenlasmismascosasdelademostracióndeloscasosprecedentesaplicadaaestasotras.Seaplicasustituyendoladescripciónigualdelasáreasporlosmovimientosigualesytomandolasdistanciasdeloscuerposaloscentroscomoradios.

COROLARIO9.Sesiguetambiéndeestademostraciónqueelarcoquedescribeuncuerpo que gira uniformemente en círculo con una fuerza centrípeta dada en untiempocualquieraesmediaproporcionalentreeldiámetrodelcírculoyeldescensorealizado por el cuerpo con la misma fuerza dada y cayendo durante el mismotiempo[18].


ESCOLIO

ElcasodelCorolario6sedaenloscuerposcelestes(comoyaobservaronporsupartenuestrosWren,HookeyHalley);porello,enloquesiguehedecididoexponermásampliamentelorelativoalafuerzacentrípetaquedecreceenrazóndelcuadradodelasdistanciasaloscentros.

Además, como resultado de la Proposición precedente y de sus Corolarios, sepuede deducir también la proporción entre una fuerza centrípeta y otra fuerzacualquiera conocida, tal como la de la gravedad, pues si un cuerpo gira en círculoconcéntrico a la Tierra por la fuerza de su gravedad, esta gravedad es la fuerzacentrípetadelmismo.Pues,eltiempodeunarevolución,asícomoelarcodescritoenuntiempodado,vienendadosapartirdeldescensodelosgraves,porelCorolario9de dicha Proposición. Y por medio de tales proposiciones. Huygens comparó lafuerza de la gravedad con las fuerzas centrífugas de los cuerpos que giran, en sucélebretratadodeHorologioOscillatorio.

Lo que antecede puede también demostrarse de estemodo: imagínese descritodentro de un círculo a un polígono de los lados que se quiera. Si un cuerpomoviéndose conunavelocidaddadapor los ladosdelpolígonoencada ángulodelmismoesrechazadoporelcírculo,lafuerzaconlacualencadaocasiónchocacontraelcírculoserácomosuvelocidad;ypor tanto lasumade las fuerzasenun tiempodadoserácomodichavelocidadyelnúmeroderechazosconjuntamente;estoes(sisedalaclasedelpolígono)comolalongituddescritaeneltiempodadoaumentadaodisminuida en razón de lamisma, longitud al radio del círculo predicho; es decir,comoelcuadradodedichalongituddivididoporelradio;yportanto,sielpolígono,acortando sus lados in infinitum, coincidiese con el círculo, como el cuadrado delarcodescritoenuntiempodadodivididoporelradio.Estaeslafuerzacentrífugaconlaqueelcuerpoempujacontraelcírculo;eigualaellaeslafuerzacontrariaconlacualelcírculorepelecontinuamentealcuerpohaciaelcentro.

PROPOSICIÓNV.PROBLEMAI[19].

Hallarelcentrodeunafiguradada,descritaporuncuerpoconfuerzastendentesadichocentrocomúnyconunavelocidaddadaenunlugarcualquiera.

SeanlastresrectasPT,TQV,VRtangentesalafiguradescritaenlospuntosP,Q,RyquesecortenenTyV.TrácensePA,QB,RCperpendicularesalastangenteseinversamenteproporcionalesalasvelocidadesdelcuerpoenlosdichospuntosP,Q,Rdesdelosqueparten;estoes,detalmodoquePAseaaQBcomolavelocidadenQalavelocidadenPyQBseaaRCcomolavelocidadenRalavelocidadQ.TrácenseenángulorectoporlosextremosA,B,CdelasperpendiculareslaslíneasAD,DBE,


ECquesecortanenDyE.YtrazadasTD,VEsecortaránenelcentrobuscadoS.

PueslasperpendicularestrazadasdesdeelcentroSalastangentesPT,QT(porelCorolario1de laProposición I) son inversamenteproporcionales a las velocidadesdel cuerpo en los puntos P y Q y, por ello, por construcción, directamenteproporcionales a las perpendiculares AP, BQ, esto es, como las perpendicularestrazadas a las tangentes desde el punto D. De donde se sigue fácilmente que lospuntosS,D,TestánenunamismarectayporunargumentosemejantelospuntosS,E,Vestántambiénenlamismarecta;yportantoelcentroSsehallaenelcrucedelasrectasTD,VE.Q.E.D.

PROPOSICIÓNVI.TEOREMAV[20]

Sienunespaciosinresistenciauncuerpogiraenunaórbitaalrededordeuncentroinmóvilydescribeenuntiempomuypequeñounarconacienteeneseinstanteeimaginamostrazadalasagitadelarcoqueasuvezdividaendoslacuerday,

prolongada,paseporelcentrodefuerzas:lafuerzacentrípetaenelpuntomediodelarcoserádirectamentecomolasagitaeinversamentecomoelcuadradodeltiempo.

Pues la sagita en un tiempo dado es como la fuerza (por el Corolario 4 de laProposiciónI)yalaumentarel tiemposegúnunarazóncualquiera, lasagita,porelaumentodelarcosegúnladicharazón,aumentasegúnlamismarazóncuadrada(porlosCorolarios2y3delLemaXI)y,por tanto,escomola fuerzayelcuadradodeltiempo.Divídaseporelcuadradodel tiempoaambosy la fuerzaserádirectamentecomolasagitaeinversamentecomoelcuadradodeltiempo.Q.E.D.


TambiénsepuededemostrarestofácilmenteporelCorolario4delLemaX.

COROLARIO1.SiuncuerpoPgirandoentornoauncentroSdescribelacurvaAPQ;hágasequelarectaZPRseatangenteadichacurvaenunpuntocualquieraPytrácesehastalatangentedesdeotropuntocualquieraQunaparalelaaSPcondistanciaQRytrácese QT perpendicular a la línea SP; entonces la fuerza centrípeta será

inversamentecomoelsólido SP2xQP2

QR;siemprequeseconsidere lamagnituddel

sólidoalcanzadaenelúltimomomento,cuandocoincidenlospuntosPyQ.PuesQRes igual a la sagitadeldobledel arcoQPencuyamitad sehalla.P,y eldobledeltriánguloSQPoSPxQTesproporcionalal tiempoenqueesdescritodichodoblearco;portanto,puedetomarsecomorepresentacióndeltiempo.

COROLARIO2.Porunargumentosemejantelafuerzacentrípetaesinversamentecomo

elsólido SP2xQP2

QR,siemprequeSYseaperpendiculardesdeelcentrodefuerzaa

PRtangentealaórbita.PueslosrectángulosSYxQPySPxQTsoniguales.

COROLARIO 3.Siunaórbita es, ouncírculo,o toca concéntricamenteuncírculo,ocorta concéntricamente a un círculo, esto es, contiene un ángulomuy pequeño decontactoodesecciónconelcírculoytienelamismacurvaturayelmismoradiodecurvaturaenelpuntoP;ysilacuerdaPVdelcírculoestrazadadesdeelcuerpoporelcentrode fuerzas; la fuerzacentrípeta será inversamentecomoel sólidoSY2 xPV.

PuesPVes QP2

QR.

COROLARIO 4. Supuesto esto, la fuerza centrípeta es como el cuadrado de lavelocidad directamente, y dicha cuerda inversamente. Pues la velocidad esinversamentecomolaperpendicularSY,porelCorolario1delaProposiciónI.

COROLARIO5.Deaquíque,sisedaunafiguracurvilíneaAPQysedatambiénenella


elpuntoSalquesedirigecontinuamentelafuerzacentrípetasepuedehallarlaleydelafuerzacentrípetaporlaqueuncuerpoPesretenidoenelperímetrodedichafigura,desviadocontinuamentedelatrayectoriarecta,figuraqueresultarádescritaalgirar.

Efectivamente se puede hallar calculando, o bien el sólido SP2xQT2

QR, o bien el

sólido SY2 x PV inversamente proporcional a dicha fuerza. Daremos ejemplos deestoenlosproblemassiguientes.

PROPOSICIÓNVII.PROBLEMAII[21].

Siuncuerpogiraenlacircunferenciadeuncírculo,hálleselaleydelafuerzacentrípetatendenteaunpuntodadocualquiera.

SeaVQPAlacircunferenciadelcírculo;yseaSelpuntodadohaciaelquetiendelafuerzacomohaciasucentro;seaPelcuerpoquesemueveenlacircunferenciayQelpuntoinmediatohaciaelcualsemueveyseaPRZlatangentedelcírculoenelpuntoprecedente.TráceseporelpuntoSlacuerdaPV;ytrazadoeldiámetrodelcírculoVAúnanse AP y trácese sobre SP la perpendicular QT que prolongada cortará a latangentePRenZy,finalmente,tráceseporelpuntoQlarectaLRparalelaaSPquecorteelcírculoenLyalatangentePZenR.PorlasemejanzadelostriángulosZQR,ZTP,VPA tendremos queRP2, esto es,QRL será aQT2 comoAV2 a PV2. Y, por

tanto,QRLxPV2

AV2=QT2.Multiplíquenseestosdosmiembros igualespor SP

2

QRy al

coincidirlospuntosPyQsustitúyansePVporRL.TendremosasiqueSP2xPV3

AV2=

SP2xQT2

QR.Luego(porlosCorolarios1y5delaProposiciónVI)lafuerzacentrípeta

esinversamentecomoSP2xPV3

AV2;estoes(porestardadoAV2)inversamentecomo

elproductodelcuadradodeladistanciaodelaalturaSPporelcubodelacuerdaPV.Q.E.I.


Lomismodeotromodo

Trácese la perpendicular SY sobre la prolongación de la tangente PR; y, porsemejanzadelostriángulosSYP,VPA,tendremosqueAVseráaPVcomoSPaSY:

portantoSPxPVAV

=SY,ySP2xPV3

AV2=SY2xPV.Yportanto(porloscorolarios3y

5delaProposiciónVI)lafuerzacentrípetaesinversamentecomoSP2xPV3

AV2estoes,

porestardadaAV,inversamentecomoSP2xPV3Q.E.I.COROLARIO1.DeaquíquesielpuntodadoShaciaelquetiendecontinuamentela

fuerzacentrípetaseubicaenlacircunferenciadelcírculo,porejemploenV,lafuerzacentrípetaseráinversamentecomolaquintapotenciadelaalturaSP.

COROLARIO2.LafuerzaporlaqueuncuerpoPgiraenuncírculoAPTVentornoauncentrodefuerzaSesalafuerzaporlaqueelmismocuerpoPpuedegirarenelmismocírculoyenelmismotiempoperiódicoentornoaotrocentrodefuerzacomoRP2xSPalcubode la rectaSG trazadadesdeelcentrode fuerzaprimitivoSa latangente PG de la circunferencia y paralela a la recta que une el cuerpo P con elsegundo centro de fuerza. Pues por la construcción de esta proposición la fuerzaprimeraesalasegundacomoRP2xPT3esaSP2xPV3,estoescomoSPxRP2SP3

xPV3esaSP3xPV3

PT3también(porsemejanzadelostriángulosPSG,TPV)aSG3.


COROLARIO3.LafuerzaporlaquegirauncuerpoPenunaórbitaentornoauncentrodefuerzasSesalafuerzaporlaqueelmismocuerpoPgiraríaenlamismaórbita en elmismo tiempo periódico en torno a otro centro de fuerzasR, como elsólidoSPxRP2,contenidoasuvezpor ladistanciadelcuerpoalprimercentrodefuerzasSyporelcuadradodesudistanciaalsegundocentrodefuerzasR,esalcubodelarectaSGtrazadadesdeelprimercentrodefuerzasSalatangentealaórbitaPGyparalelaalarectaRPqueuneelcuerpoPconelsegundocentrodefuerzasR.PueslasfuerzasenestaórbitaparaunpuntoPsonigualesqueenuncírculodelamismacurvatura.

PROPOSICIÓNVIII.PROBLEMAIII.

SiuncuerposemueveenelsemicírculoPQA:hálleselaleydelafuerzacentrípetatendenteaunpuntoStanlejanoquetodaslaslíneasPS,RSdirigidasaélpuedanserconsideradascomoparalelas.

Desde el centro C del semicírculo trácese el semidiámetro CA que corteperpendicularmente dichas paralelas enM y N y únase CP. Por semejanza de lostriángulosCPM,PZTyRZQtenemosqueCP2esaPM2comoPR2aQT2ypor lanaturaleza del círculo PQ2 es igual al rectángulo QR x (RN x QN) o, cuando lospuntosPyQtiendenajuntarse,igualalrectánguloQRx2PM.LuegoCP2esaPM2

comoQRx2PMaQT2yportanto QT2

QR=2PM3

CP2,y QT

2xSP2

QR=2PM3xSP2

CP2.Así

pues (por los Corolarios 1 y 5 de la Proposición VI) la fuerza centrípeta es

inversamentecomo2PM2xSP2

SP2,estoes despreciandolarazóndada

2SP2xSP2

CP2

inversamentecomoPM2.Q.E.I.

( )


EstomismosededucefácilmentetambiéndelaProposiciónprecedente.

ESCOLIO

Yporunargumentonomuydistintosehallaráqueuncuerposemoveríaenunaelipseo tambiénenunahipérbolaoenunaparábola,poruna fuerzacentrípetaquesería a su vez inversamente como el cubo de la ordenada dirigida a un centro defuerzasinfinitamentelejano.

PROPOSICIÓNIX.PROBLEMAIV.

SiuncuerpogiraenunaespiralPQSquecortaatodoslosradiosSP,SQ,etc.,enunángulodado,hálleselaleydelafuerzacentrípetatendentealcentrodelaespiral.

SeadadoelánguloinfinitamentepequeñoPSQyporestardadostodoslosángulosse

obtendráuna figurade la formaSPRQT.Luegoestádada la razónQTQR

,y QT2

QRes

comoQT,estoes (por la formade la figuradada)comoSP.AltéresecuantoseaelánguloPSQy la rectaque subtiendeal ángulodecontactoQRTsealterará (por el

LemaXI)enrazóncuadradadelpropioPRoQT.Luego QT2

QRpermaneceráigualque

antes,estoescomoSP.Porlotanto QT2xSP2

QRescomoSP3yporlomismo(porlos

Corolarios1y5delaProposiciónVI),lafuerzacentrípetaesinversamentecomoelcubodeladistanciaSP.Q.E.I.


Lomismodeotromodo

LaperpendicularSYtrazadaalatangenteylacuerdaPVdelcírculoconcéntricosecantedelaespiralestánenrazonesdadasconrespectoalaalturaSP.PortantoSP3

es como SY2 x PV, esto es (por los Corolarios 3 y 5 de la Proposición VI)inversamentecomolafuerzacentrípeta.

LEMAXII

Todoslosparalelogramosdescritosentornoacualesquieradiámetrosconjugadosdeunaelipseodeunahipérboladadassonigualesentresí.

Constaporlascónicas.

PROPOSICIÓNX.PROBLEMAV

Siuncuerpogiraenunaelipse,hallarlaleydelafuerzacentrípetatendentealcentrodelaelipse.

SeanCA,CB los semiejes de la elipse:GP,DKdiámetros conjugados;PF,QT lasperpendicularesalosdiámetros,QVunaordenadadeldiámetroGP,ysisecompletaelparalelogramoQvPR,elrectánguloPvGserá(porlascónicas)aQv2comoPC2ACD2Y(porsemejanzadelostriángulosQvT,PCF)Qv2esaQT2comoPC2aPF2ymultiplicandolasrazones,elrectánguloPvGaQT2comoPC2aCD2,yPC2aPF2,

estoesvGa QT2

PvcomoPC2a

CD2xPF2

PC2.SustitúyaseQRporPvy(porelLemaXII)

BC x CA por CD x PF, así como (al acercarse los puntos P y Q) 2PC por vG

tendremosque,multiplicandoextremosymediosentresí, QT2xPC2

QR= 2BC

2xCA2

PC. Así pues (por el Corolario 5 de la Proposición VI) la fuerza centrípeta es


inversamente como 2BC2xCA2

PC; esto es (por estar dados 2BC2 x CA2)

inversamentecomo1PC

;oloqueeslomismodirectamentecomoladistanciaPC.Q.

E.I.

Lomismodeotromodo

EnlarectaPGyenlaotrapartedelpuntoTtómeseelpuntoudetalmodoqueTuseaigualalpropioTv;despuéstómeseuVdemodoqueseaavGcomoDC2aPC2.YpuestoqueporlascónicasQv2esaPvGcomoDC2aPC2,Qv2seráigualaPvxuV.AñádaseaamboselrectángulouPvyelcuadradodelacuerdadelarcoPQresultaráigual al rectánguloVPv y, por tanto, el círculo tangente a la sección cónica en elpuntoP,yquepaseporelpuntoQ,pasará tambiénporelpuntoV.Acérquense lospuntosPyQ,ylarazónuVavGqueeslamismaqueladeDC2aPC2,vendráaser

lamismaqueladePVaPGoladePVa2PC;yportantoPVseráiguala 2DC2

PC.Por

ello la fuerza por la que un cuerpo P gira en una elipse será inversamente como2DC2

PCxPF2(porelCorolario3delaProposiciónVI),estoes(porestardado2DC2x

PF2)directamentecomoPC.Q.E.I.COROLARIO1.Lafuerzaes,portanto,comoladistanciadelcuerpoalcentrodela

elipse;yviceversa, si la fuerzaescomo ladistancia,elcuerpogiraráenunaelipseque tienesucentroenelcentrode fuerzas,osino, talvezenuncírculoenelquetambiénpuedeconvertirselaelipse.


COROLARIO2.Yseránigualestambiénlostiemposperiódicosdelasrevolucionesefectuadas en torno al mismo centro en todas las elipses. Pues los tiemposmencionadosenlaselipsessemejantesserániguales(por losCorolarios3y8delaProposiciónIV),encambioenlaselipsesquetienenelejemayorcomúnestánentresídirectamentecomoeláreatotaldelaselipseseinversamentecomolaspartesdeáreadescritas en el mismo tiempo; esto es directamente como sus ejes menores einversamente como las velocidades de los cuerpos en los vértices principales; o loque es lo mismo, directamente como los ejes menores e inversamente como lasordenadas almismo punto del eje común; en consecuencia (por la igualdad de lasrazonesdirectaseinversas)enrazóndeigualdad.

ESCOLIO

Siunaelipse,poralejarsesucentroinfinitamente,seconvierteenunaparábola,elcuerpo se moverá en esta parábola; y la fuerza ahora tendente a un centroinfinitamente distante resultará constante. Este es el teorema de Galileo. Y si lasecciónparabólicadeuncono(alcambiarlainclinacióndelplanosecantedelcono)seconvierteenunahipérbola,elcuerposemoveráenelperímetrodeéstaconunafuerzacentrípetatransformadaencentrífuga.Ydelmismomodoquesienuncírculoo una elipse las fuerzas tienden al centro de la figura situado en la abscisa, estasfuerzas,aumentandoodisminuyendolasordenadassegúnunarazóndadaotambiénalterandoelángulodeinclinacióndelasordenadasalaabscisa,siempreaumentanodisminuyen en razón a las distancias al centro, mientras los tiempos periódicospermanezcaniguales,delmismomodoentodaslasfigurassilasordenadasaumentano disminuyen en una razón dada, o el ángulo de inclinación se altera en cualquiersentido permaneciendo igual el tiempo periódico, las fuerzas tendentes a cualquiercentrosituadoenlaabscisaaumentanodisminuyenencadaordenadaenrazónalasdistanciasalcentro.


SecciónIIIDELMOVIMIENTODELOSCUERPOSENSECCIONESCÓNICASEXCÉNTRICAS

PROPOSICIÓNXI.PROBLEMAVI

Siuncuerpogiraenunaelipse,hallarlaleydelafuerzacentrípetatendentealfocodelaelipse.

SeaSelfocodelaelipse.TráceseSPsecantetantodeldiámetroDKdelaelipseenEcomodelaordenadaQvenxycompléteseelparalelogramoQxPR.EsevidentequeEPesigualalsemiejemayorACdadoquetrazadadesdeelotrofocoHlalíneaHIparalelaalapropiaEC,porserigualesCS,CH,sonigualesES,El,igualqueEPeslasemisumadePS,PI,estoes(porserparalelasHI,PReigualeslosángulosIPR,HPZ)dePS,PHqueconjuntamentesonigualesatodoeleje2AC.Tráceselaperpendicular

QT sobre SP y llamandoL al «latus rectum» principal de la elipse (o sea 2BC2

AC),

L·QRseráaL·PvcomoQRaPv,estoescomoPEoACaPC;yL·Pv seráaGvPcomoLaGv;yGvPseráaQv2comoPC2aCD2y(porelCorolario2delLemaVII),alcoincidirQyP,ocurriráqueQv2seráigualaQx2;yQx2oQv2esaQT2comoEP2

aPF2, esto es, comoCA2 aPF2 o también (por el LemaXII) comoCD2 a CB2, ymultiplicandotodasestasrazonesL·QRseráaQT2comoAC·LPC2·CD2otambiéncomo2CB2·PC2·CD2aPC·Gv·CD2·CB2,obien,como2PCaGv.PeroalcoincidirlospuntosQyPocurreque2PCes igualaGv.Luego tambiénse igualanL·QRy

QT2 por ser proporcionales a aquéllos.Multiplicando ahora estos iguales por SP2

QR

tendremosqueL·SP2 es igual a SP2·QT2

QR.Luego (por losCorolarios1y5de la

Proposición VI) la fuerza centrípeta es inversamente como L·SP2, esto es,inversamentecomoelcuadradodeladistanciaSP.Q.E.I.


Lomismodeotromodo[22].

Puestoquelafuerzatendentealcentrodeunaelipse,porlaqueuncuerpoPpuedegirarendichaelipse,es(porelCorolario1delaProposiciónX)comoladistanciaCPdelcuerpoalcentrodelaelipse;tráceseCEparalelaalatangentedelaelipsePR;ylafuerzaporlaqueelcuerpoPpuedegirarentornoaotropuntocualquieraS,siCE

yPSsecruzanenE,serácomoPE3

SP2(PorelCorolario3delaProposiciónVII),esto

es,sielpuntoSesfocodelaelipsey,por tanto,PEestádado,comoel inversodeSP2.Q.E.I.

Conlamismabrevedadconqueaplicábamoselproblemaquintoalaparábolayalahipérbolapodríamoshacerloaquí.Perodadaladignidaddelproblemaysuutilidadenlosucesivonohayinconvenienteenconfirmarmediantedemostraciónlosdemáscasos.

PROPOSICIÓNXII.PROBLEMAVII

Siuncuerposemueveenunahipérbola,hálleselaleydelafuerzacentrípetatendentealfocodelafigura.

SeanCA,CBlossemiejesdelahipérbola;seanPG,KDotrosdiámetrosconjugados;PFunaperpendicularaldiámetroKD;yQvunaordenadaaldiámetroGP.TráceseSPsecante del diámetro DK en E y de la ordenada Qv en x, y complétese elparalelogramoQRPx.EsevidentequeEPes igualal semieje transversoAc,puestoque trazada la líneaHI,paralelaaEC,desdeelotro focoHde lahipérbola,por la


igualdaddeCSyCHseránigualesESyEI;ademásporqueEPeslasemidiferenciadePS, PI esto es (por el paralelismo de IH, PRy la igualdad de los ángulos IPR,HPZ) de PS, PH, cuya diferencia es igual a todo el eje 2AC. Trácese QT

perpendicularaSP.LlamandoLal«latusrectum»principaldelahipérbola o 2BC2

AC

tendremosLxQRLxPv

=QRPv

=PxPv

esto es (por la semejanza de los triángulos Pxv,

PEC)PEPC

=ACPC

.YtambiénLxPvGvxPv

=LGv

;y (por lanaturalezade lascónicas),el

rectánguloGvxvPQv2

=PC2

CD2; y (por el corolario 2 del lema VII) cuando P y Q

coincidenQx2=Qv2; yQx2

QT2, o

Qv2

QT2=

EP2

PF2=

CA2

PF2 o (por el lema XII)=

CD2

CB2 y

multiplicando (ordenadamente) todas estas razones resultara queLxQRQT2

=

ACxLxPC2xCD2

PCxGvxCD2xCB2=

2CB2xPC2xCD2

PCxGvxCD2xCB2=

2PCGv

. Pero al coincidir P y Q

resultaque2PC=Gv.Luegotambiénse igualanLxQRyQT2proporcionalesa los

anteriores. Multiplicando estas igualdades por SP2

QR tendremos que L x SP2=

SP2xQT2

QR.Luego(porlosCorolarios1y5delaProposiciónVI)lafuerzacentrípeta

es inversamente como L x SP2, es decir, inversamente como el cuadrado de ladistanciaSP.Q.E.I.

()


Lomismodeotramanera

HálleselafuerzaquepartedesdeelcentroCdelahipérbola.Seráproporcionalaladistancia CP. Por ello la fuerza tendente al foco S será (por el Corolario 3 de la

ProposiciónVIII)comoPE3

SP2estoes,porestardadaPE,inversamentecomoSP2.Q.E.

I.Delmismomodosedemuestraqueuncuerpocuyafuerzacentrípetasecambiaen

centrífugasemoveráenunahipérbolaopuesta.

LEMAXIII

El«latusrectum»correspondienteaunvérticecualquieradeunaparábolaescuatrovecesladistanciadedichovérticealfocodelafigura.

Esevidenteporlascónicas.

LEMAXIV


Laperpendicularquesetrazadesdeelfocodeunaparábolaasutangenteesmediaproporcionalentrelasdistanciasdesdeelfocoalpuntodecontactoyal

vérticeprincipaldelafigura.

SeaAPlaparábola,Ssufoco,Aelvérticeprincipal,Pelpuntodecontacto,POlaordenadaaldiámetroprincipal,PMlatangentealdiámetroprincipalconcurrenteenM,ySNlaperpendiculardesdeelfocoalatangente.ÚnanseA,NyporlaigualdaddeMSySP,MNyNP,MAyAO;lasrectasANyOPseránparalelas;yportantoeltriánguloSANserárectánguloenAysemejantealostriángulosigualesSNM,SNP;luegoPSesaSNcomoSNaSA.Q.E.D.

COROLARIO1.PS2esaSN2comoPSaSA.COROLARIO2.YporestardadaSA,SN2escomoPS.COROLARIO3.YelcrucedeunatangentecualquieraPMconlarectaSNquelees

perpendiculardesdeelfoco,incidesobrelarectaANqueestangentealaparábolaenelvérticeprincipal.

PROPOSICIÓNXIII.PROBLEMAVIII

Siuncuerposemueveenelperímetrodeunaparábola,hálleselaleydelafuerzacentrípetatendentealfocodedichafigura.

SealamismafiguraconstruidaparaelLema,yseaPelcuerpoenelperímetrodelaparábola,ydesdeelpuntoQ,haciaelqueelcuerposemueve,tracemosQRparalelaaSPasícomo laperpendicularQTy la rectaQvparalelaa la tangenteyquecortatanto al diámetro PG en v como a SP en x. Ahora bien por la semejanza de lostriángulosPxv,SPM,yporlaigualdaddelosladosSM,SPdeuno,sonigualeslosladosPxoQRyPudelotro.Pero(porlascónicas)elcuadradodelaordenadaQvesigualalrectángulobajoel«latusrectum»yelsegmentoPvdeldiámetro;estoes(porelLemaXIII)alrectángulo4PSxPvo4PSxQR;yalcoincidirPyQlarazónQvaQx (por elCorolario 2 delLemaVII) es una razón de igualdad.LuegoQx2, en tal


caso,esigualalrectángulo4PSxQR.Portanto(porlasemejanzadelostriángulos

QxT,SPN)Qx2

QT2=

PS2

SN2(estoes,porelCorolario1delLemaXIV)

PSSA

=4PSxQR4SAxQR

,

ydeaquí (por laProposición IX delLibroV de losElementos),QT2 = 4SAxQR.

Multiplicandoestasigualdadespor SP2

QRobtendremosque SP

2xQT2

QR=SP2x4SA;y

por esto (por los Corolarios 1 y 5 de la Proposición VI) la fuerza centrípeta esinversamentecomoSP2x4SA,estoes,porestardado4SA, inversamentecomoelcuadradodeladistanciaSP.Q.E.I.

COROLARIO1.SesiguedelastresúltimasproposicionesquesiunciertocuerpoPpartedelpuntoPconunavelocidadcualquierasegúnladireccióndeciertalínearectaPRybajolaacciónsimultáneadeunafuerzacentrípetainversamenteproporcionalalcuadradodeladistanciadeloslugaresalcentro,dichocuerposemoveráenalgunadelasseccionescónicasquetengasufocoenelcentrodefuerzasyviceversa.Puesconocidos el foco, el punto de contacto y la posición de la tangente, se puededescribir la cónica que tendrá en dicho punto una curvatura dada. Pero se da lacurvatura si se da la fuerza centrípeta y la velocidad del cuerpo; y dos órbitastangentes entre sí con lamisma fuerza centrípeta y lamisma velocidad no puedendescribirse.

COROLARIO 2. Si la velocidad con que un cuerpo parte de su lugar P es tal que elsegmento PR puede ser recorrido en una parte infinitésima de tiempo y la fuerzacentrípetaestalqueenelmismotiempopuedemoveralcuerpoalolargodelespacioQR,dichocuerposemoveráenunaseccióncónicacuyo«latusrectum»principales

la susodicha cantidad QT2

QR en el último instante cuando las líneas PR, QR,

disminuyenininfinitum.EnestosCorolariosconsideroalcírculocomounaelipse;yexceptúoelcasoenqueelcuerpodesciendehaciaelcentrosegúnunalínearecta.


PROPOSICIÓNXIV.TEOREMAVI

Si varios cuerpos giran en torno a un centro común y la fuerza centrípeta esinversamentecomoelcuadradodeladistanciadeloslugaresalcentro,digoquelos«latera recta» principales de las órbitas son como los cuadrados de las áreasdescritasentiemposigualesporlosradiostrazadosalcentro.

Pues (por el Corolario 2 de la Proposición XIII) el «latus rectum» L es igual a la

magnitud QT2

QR en el último instante cuando P y Q tienden a coincidir. Pero la

pequeñalíneaQRenuntiempodadoescomolafuerzacentrípetageneratriz,estoes

(porhipótesis)inversamentecomoSP2.Luego QT2

QRescomoQT2xSP2,estoes,el

«latusrectum»LporelcuadradodeláreaQTxSP.Q.E.D.

COROLARIO. De aquí que el área total de la elipse así como la del rectángulo,proporcional a ella, comprendido entre los ejes es como el producto de la raízcuadradadel«latusrectum»yeltiempoperiódico.PueseláreatotalescomoeláreaQTxSP,descritaenuntiempodado,multiplicadaporeltiempoperiódico.

PROPOSICIÓNXV.TEOREMAVII

Supuestoesto,digoquelostiemposperiódicosenlaselipsessoncomolosejesmayoreselevadosalapotencia3⁄2.

Puesto que el eje menor es media proporcional entre el eje mayor y el «latusrectum»yportantoelrectángulocomprendidoentrelosejesescomoelproductode


la raíz cuadrada del «latus rectum» y del eje mayor elevado a 3⁄2. Pero dichorectángulo (por elCorolario de laProposiciónXIV) es como el producto de la raízcuadradadel«latusrectum»ydeltiempoperiódico.Dividamosunoyotroporlaraízcuadradadel«latusrectum»ytendremosqueeltiempoperiódicosigueenlamismarazónquelapotencia3⁄2delejemayor.Q.E.D.

COROLARIO. Los tiempos periódicos en las elipses son iguales a los de loscírculos,cuyosdiámetrossonigualesalosejesmayoresdelaselipses.

PROPOSICIÓNXVI.TEOREMAVIII

Supuesto lo dicho y trazadas a los cuerpos líneas rectas tangentes también en esepunto a la órbita, y trazadas perpendiculares desde el foco común a dichastangentes: digo que las velocidades de los cuerpos están en razón compuesta,inversamente, de las perpendiculares y, directamente, de la raíz cuadrada de los«laterarecta»principales.

Tracemosdesdé el focoS a la tangentePR la perpendicularSYy la velocidaddel

cuerpoPseráinversamentecomolaraízdelacantidad SY2

L.Puesdichavelocidades

como el arco infinitamente pequeño PQ descrito en una partícula instantánea detiempo, estoes (por elLemaVII) como la tangentePR, loquees lomismo,por la

proporcionalidaddePRaQTydeSPaSY,comoSPxQTSY

,otambién,inversamente

comoSYydirectamentecomoSPxQT;ySPxQTescomoeláreadescritaenuntiempo dado, esto es (por la Proposición XIV) como la raíz cuadrada del «latusrectum».Q.E.D.


COROLARIO 1. Los «latera recta» principales están en razón compuesta de loscuadradosdelasperpendicularesydelcuadradodelasvelocidades.

COROLARIO 2. Las velocidades de los cuerpos en las distancias máximas ymínimasal fococomúnestánen razóncompuesta inversamentede lasdistanciasydirectamente de la raíz cuadrada de los «latera recta» principales. Pues lasperpendicularessonahoralasdistanciasmismas.

COROLARIO 3.Y, por tanto, la velocidad en una sección cónica, en la distanciamáximaomínimaalfoco,esalavelocidadenuncírculo,alamismadistanciadelcentro,comolaraízcuadradadel«latusrectum»principalaldoblededichadistancia.

COROLARIO 4. Las velocidades de los cuerpos que giran en elipses a distanciasmediasdel fococomúnson igualesa lasde loscuerposquegiranencírculosa lasmismas distancias; esto es (por el Corolario 6 de la Proposición IV) inversamentecomolaraízcuadradadelasdistancias.Puesahoralasperpendicularessonsemiejesmenoresyéstossoncomolasmediasproporcionalesentrelasdistanciasylos«laterarecta».Multiplíquenselainversadeestarazónporlaraízcuadradadelarazóndirectade los «latera recta» y obtendremos la raíz cuadrada de la razón inversa de lasdistancias.

COROLARIO 5. En lamisma figura, o incluso en figuras distintas, cuyos «laterarecta» principales son iguales, la velocidad del cuerpo es inversamente como laperpendiculartrazadadesdeelfocoalatangente.

COROLARIO 6. En una parábola la velocidad es inversamente como la raízcuadradadeladistanciadelcuerpoalfocodelafigura;enunaelipsevaríamásyenunahipérbolamenosquelarazónsusodicha.Pues(porelCorolario2delLemaXIV)laperpendicular trazadadesde el foco a la tangentede laparábola es como la raízcuadradadeladistancia.Enlahipérbolalaperpendicularvaríamenosyenlaelipsevaríamás.

COROLARIO7.Enunaparábolalavelocidaddeuncuerpoacualquierdistanciadelfocoesalavelocidaddeuncuerpoquegiraenuncírculoalamismadistanciadelcentro, como la raíz cuadradade la razónde2 a1; en la elipse esmenorque estarazónyenlahipérbolamayor.Pues,porelCorolariosegundodeestaProposición,lavelocidadenelvérticedelaparábolaestáenestarazón,y,porelCorolario6deestaProposiciónyporlacuarta,seconservalamismaproporciónentodaslasdistancias.Y por tanto también, en una parábola, la velocidad es en todas partes igual a lavelocidaddeuncuerpoquegireenuncírculoalamitaddedistancia,yesmenorenunaelipseymayorenunahipérbola.

COROLARIO 8. La velocidad de un cuerpo que gira en una sección cónicacualquiera es a la velocidaddeun cuerpoquegira enun círculo a la distancia delsemi «latus rectum» principal de la sección como dicha distancia es a laperpendicular trazada desde el foco a la tangente de la sección.Es evidente por elCorolarioquinto.


COROLARIO 9.De donde, dado que (por elCorolario 6 de la Proposición IV) lavelocidaddeuncuerpoquegiraenestecírculoesalavelocidaddeotrocuerpoquegiraencualquierotrocírculo inversamentecomolaraízcuadradade lasdistancias,porlomismoseseguiráquelavelocidaddeuncuerpoquegiraenunaseccióncónicaseráalavelocidaddeuncuerpoquegiraenuncírculoalamismadistanciacomoesla media proporcional entre dicha distancia común y la mitad del «latus rectum»principaldelasección,alaperpendiculartrazadadesdeelfococomúnalatangentedelasección.

PROPOSICIÓNXVII.PROBLEMAIX

Supuesto que la fuerza centrípeta es inversamente proporcional al cuadrado de ladistancia de los lugares al centro y que la cantidad absoluta de dicha fuerza esconocida, hállese la línea descrita por el cuerpo desde un punto dado, con unavelocidaddadaypartiendoenladireccióndeunarectadada.

SealafuerzacentrípetatendenteaunpuntoSlafuerzaconlaquegirauncuerpopenunaórbitadadapqysupongamosconocidasuvelocidadenelpuntop.Partaelcuerpo P desde el punto P según la línea PR con una velocidad dada, einmediatamente,obligadoporlafuerzacentrípeta,desvíeseporlaseccióncónicaPQ.LarectaPRserátangentealasecciónenP.Delmismomodo,larectaprseatangentea laórbitapqenp y si se suponeque se trazanperpendiculares adichas tangentesdesde S, ocurrirá (por elCorolario 1 de la ProposiciónXVI) que el «latus rectum»principaldelaseccióncónicaestará,respectoal«latusrectum»principaldelaórbita,en razón compuesta de la razón cuadrada de las perpendiculares y de la razóncuadrada de las velocidades y, por ello, está dada. Sea L el «latus rectum» de lasección.SedatambiénelfocoSdelamismaseccióncónica.SeaelánguloRPHelsuplementariodeRPSytendremosdadaenposiciónlalíneaPHenlaqueestáelotrofocoH.UnaveztrazadalaperpendicularSKsobrePH,supongamosquesetrazaelsemiejeconjugadoBCytendremosque:

SP2-2PHxPK+PH2=SH2=4CH2=4(BH2-BC2)=(SP+PH)2-L(SP+PH)=

SP2+2PSxPH+PH2-L(SP+PH)

añádaseaambosmiembros

2PKxPH-SP2-PH2+L(SP+PH)

yresultará


L(SP+PH)=2PSxPH+2PKxPH,

otambién

(SP+PH)PH

=2(SP+KP)

L

Dedonde tenemosdada tantoen longitud,comoenposición,PH.Estoes, si lavelocidaddelcuerpoenPestalqueel«latusrectum»Lfueramenorque2SP+2KPentoncesPHcaerá,conlalíneaPS,delmismoladodelatangentePRy,portanto,lafiguraseráunaelipse,yvendrádada,porestardadoslosfocosS,HyelejeprincipalSP+PH.Perosilavelocidaddelcuerpoestalqueel«latusrectum»Lfueseiguala2SP+2KPlalongituddePHseráinfinita;yportantolafiguraseráunaparábolaquetiene por eje a SH paralelo a la línea PK, por tanto, también estará dada. Y si elcuerpopartedePconunavelocidadaúnmayor,lalongitudPHestaráalotroladodela tangentey,por tanto, la tangentepasaporentreambos focos, siendoentonces lafiguraunahipérbolaquetienecomoejeprincipalladiferenciadelaslíneasSPyPH;y por eso estará dada. Pues si el cuerpo en todos estos casos gira en una seccióncónica así hallada, está demostrado en las Proposiciones XI, XII, XIII que la fuerzacentrípetaseráinversamentecomoelcuadradodeladistanciadelcuerpoalcentrodefuerzasS;yportantolalíneaPQrepresentacorrectamentelatrayectoriadescritaporel cuerpo con semejante fuerza, partiendo de un punto dado P, con una velocidaddadaysegúnunarectaPRdadaenposición.Q.E.F.


COROLARIO 1.De aquíque en toda sección cónica, dados el vérticeprincipalD, el«latusrectum»LyelfocoS,seobtieneelotrofocoH,tomandoDHaDScomoel«latus rectum» a la diferencia entre el «latus rectum» y 4DS. Pues la proporciónSP+PHPH

=2SP+2KP

LseconvierteparaesteCorolarioen

DS+DHDH

=4DSL

yDSDH

=

4DS-LL

.

COROLARIO2.Dedonde,dadalavelocidaddeuncuerpoenelvérticeprincipalD,sehallarádirectamente laórbita,asaber, tomandosu«latus rectum»aldoblede ladistanciaDS,enrazóncuadradadeestavelocidaddadaalavelocidaddelcuerpoquegira en el círculo a la distancia DS (por el Corolario 3 de la Proposición XVI), ytomando despuésDH aDS como el «latus rectum» a la diferencia entre el «latusrectum»y4DS.

COROLARIO3.Deaquítambiénque,siuncuerposemueveencualquierseccióncónicayesexpulsadodesuórbitaporcualquierimpulso,sepuedeconocerlaórbitaenlaquecontinuarádespuéssucurso.Pues,componiendoelmovimientopropiodelcuerpo con aquel movimiento que generaría el mero impulso, se tendrá elmovimientoconquepartióelcuerpoimpulsadodeunlugardadoysegúnunarectadadaenposición.

COROLARIO 4. Y si dicho cuerpo es perturbado continuamente por una fuerzaimpresa desde fuera, podemos conocermuy aproximadamente su curso calculandoloscambiosqueenalgunospuntosproducedicha fuerzayestimandoapartirde laanalogíadelaserieloscambioscontinuosenloslugaresintermedios[23].

ESCOLIO

SiuncuerpoP,conunafuerzacentrípetatendenteaunpuntodadocualquieraR,se


mueveenelperímetrodeunaseccióncualquieradadacuyocentroseaC,ysedeseahallarlaleydelafuerzacentrípeta,tráceseGCparalelaalradioRPycortandoalatangente PG en G; y entonces la fuerzamencionada será (por el Corolario 1 y el

EscoliodelaProposiciónX,yporelCorolario3delaProposiciónVII)comoCG3

RP2[24].


SecciónIVDECOMOHALLARÓRBITASELÍPTICAS,PARABÓLICASEHIPERBÓLICASAPARTIRDEUNFOCODADO

LEMAXV

SidelosdosfocosS,H,deunaelipseodeunahipérbolatrazamoshastauntercerpuntoVlasrectasSV,HV,unadelascualesHVesigualalejeprincipaldelafigura,estoes,alejeenqueestánsituados los focosy laotraSVesbisecadaenTpor laperpendicular TR trazada sobre ella, dicha perpendicular TR tocará a la seccióncónicaenalgúnpunto;yalcontrario,silatoca,HVseráigualalejeprincipaldelafigura.

CortelaperpendicularTRalarectaHV,prolongadasiespreciso,enR,yúnanseSyR.PorserigualesTSyTVserántambiénigualeslasrectasSR,VR,ylosángulosTRSyTRV.DedondeelpuntoRestaráenlaseccióncónicaylaperpendicularTRserátangenteaella;«etcontra».Q.E.D.

PROPOSICIÓNXVIII.PROBLEMAX

Dadoselfocoylosejesprincipalestrazartrayectoriaselípticasehiperbólicasquepasenporpuntosdadosytoquenarectasdadasenposición.


SeaSelfococomúndelasfiguras;seaABla longituddelejeprincipaldeunatrayectoria cualquiera; P el punto por el que debe pasar la trayectoria y sea TR larectaquedebetocar.ConcentroenPyradioAB-SP,silaórbitaesunaelipse,AB+SPsifuereunahipérbola,tráceseelcírculoHG.TráceselaperpendicularSTsobrelatangenteTRyprolóngueseaquellahastaV,demodoqueTVsea igualaSTyconcentroenVyradioABtráceseelcírculoFH.Deestamanera,yasedendospuntosP,p, ya dos tangentes, TR, tr, ya un punto P y la tangente TR, hay que trazar doscírculos. SeaH su intersección, y desde los focos S,H, con el eje dado trácese latrayectoria.Digoqueestádada.Pues la trayectoriadescrita (dadoquePH+SPenunaelipseyPH-SPenunahipérbola,esigualaleje)pasaráporelpuntoPy(porelLemaanterior)serátangentealarectaTR.YporelmismoargumentoopasaráporlosdospuntosP,p,oserátangentealasdosrectasTR,tr.Q.E.F.

PROPOSICIÓNXIX.PROBLEMAXI

Trazarentornoaunfocodadounatrayectoriaparabólicaquepaseporunospuntosdadosyseatangentearectasdadasenposición.

SeaSel foco,P el puntoyTR la tangente a la trayectoriaque sehade trazar.TráceseelcírculoFG,concentroenPyradioPS.


TrácesedesdeelfocoalatangentelaperpendicularSTyprolónguesehastaVdetalmodoqueTVseaigualaST.Delmismomodohabríaquetrazarelotrocírculoƒgsise diera otro punto p, o también hallar otro punto v si se diera otra tangente tr;despuéstráceselarectaIF,tangentealosdoscírculosFG,ƒgsisedandospuntosP,p,oquepaseporlospuntosV,v,sisedandostangentesTR,tr,oqueseatangentealcírculoFGypaseporelpuntoVsisedaelpuntoPylatangenteTR.TrácesesobreFI la perpendicular SI, bisecándola en K; y con eje SK y vértice principal en K,tráceselaparábola.Digoqueestáresuelto.Pueslaparábola,porserigualesSK,IKentresíySP,FP,también,pasaráporelpuntoP;y(porelLemaXIV,Corolario3)alserigualesSTyTVyserrectoelánguloSTR,serátangentealarectaTR.Q.E.F.

PROPOSICIÓNXX.PROBLEMAXII

Trazarentornoaunfocodadounatrayectoriadadadecualquiergéneroquepaseporpuntosdadosyseatangentearectasdadasenposición.

CASO1.DadoelfocoS,trazarlatrayectoriaABCporlosdospuntosB,C.Puestoqueseda laclasede trayectoria tambiénsedará larazónentreelejeprincipaly ladistanciaentrefocos.

SegúnesarazóntómenseKBaBSyLCaCS.ConcentrosenByC,yradiosBKy


CL, trácensedoscírculosy, sobre la rectaKLtangenteaellosenKyL, trácese laperpendicularSGycórteseéstaenAyade talmodoqueGAseaaASyGaaaScomoKBesaBSyconejeAayvérticesenA,a, trácese la trayectoria.Digoqueestáresuelto.PuesseaHelotrofocodelafiguratrazadayalserGAaAScomoGaaaS,restandotambiénestaráGa-GA(oseaAa)aaS-AS(oseaSH)enlamismarazóny,portanto,enlamismarazónenqueestáelejeprincipaldelafiguraquedebesertrazadaconladistanciaentresusfocos;yportantolafiguratrazadaesdelmismotipoquelaquehabíaquetrazar.Y,dadoqueKBrespectoaBSyLCrespectoaCSestánenlamismarazón,estafigurapasaráporB,C,comosesabeporlascónicas.

CASO2.DadoelfocoStrazarlatrayectoriaqueseatangentealasrectasTR,tr,encualquierpunto.TrácensedesdeelfocoalastangenteslasperpendicularesST,st,yprolónguensehastaV,v,detalmodoqueTV,tv,seanigualesrespectivamenteaTSy ts. Bisecando Vv en O trácese desde ésta una perpendicular infinita OH yprolónguesealinfinitolarectaVScortándolaenlospuntosK,kdetalmodoqueVKsea aKS yVk a kS como el eje principal de la figura que ha de hallarse es a ladistanciaentrefocos.SobreeldiámetroKktráceseelcírculoquecorteaOHenH;yconlosfocosS,H,yelejeprincipaligualaVHtráceselatrayectoria.Digoqueestáresuelto.PuesbiséqueseKkenxyúnanseHX,HS,HV,Hv.PuestoqueVKesaKScomoVkakS;ysumandocomoVK+VƒcaKS+kSyrestandocomoVk-VKakS-KS,estoes,como2VXa2KXy2KXa2SX,yportantocomoVXaHXyHXaSX,lostriángulosVXHyHXSseránsemejantesy,enconsecuencia,VHseráaSHcomoVXaXHy,portanto,comoVKaKS.Porconsiguiente,elejeprincipalVHdela trayectoriadescritaestáenlamismarazónrespectoa ladistanciaentre losfocosque ladelejeprincipal respectoa ladistanciaentre sus focosen la trayectoriaquehabíaquehallary,enconsecuencia,sondelamismaespecie.AdemásalserVH,uH,igualesal ejeprincipalyestarVS,vS,bisecadasperpendicularmentepor las rectasTR,tr,esevidente(porelLemaXV)quedichasrectassontangentesalatrayectoriadescrita.Q.E.F.

CASO3.DadoelfocoStrazarunatrayectoriaqueseatangenteenelpuntodadoR


alarectaTR.TráceselaperpendicularSTalarectaTRyprolóngueseaquéllahastaV, de tal modo que TV sea igual a ST. Únase VR, y con la recta VS prolongadainfinitamenteycortadaenKyk,detalmodoqueVKseaaSKyvkseaaSkcomoeleje principal de la elipse que hay que describir es a la distancia entre sus focos, ytrazado un círculo sobre el diámetroKk, corte aquél enH a la prolongación de larecta VR, y con los focos S, H, y el eje principal igual a la recta VH trácese latrayectoria.Digoqueestáresuelto.PuesqueVHesaSHcomoVKesaSKy,portanto,comoelejeprincipaldelatrayectoriaquehayquetrazaresaladistanciaentresus focos, esevidentepor lasdemostracionesdelcaso segundoy,por tanto,que latrayectoriadescritaesde lamismaespecieque laquehabíaquedescribir,mientrasquelarectaTR,bisectrizdelánguloVRS,estangentealatrayectoriaenelpuntoR,esevidenteporlascónicas.Q.E.F.

CASO4.TráceseahoraentornoalfocoSla trayectoriaAPBtangentea larectaTR y que pase por un punto cualquiera P dado fuera de la tangente. Y que seasemejante a la figura apb cuyo eje principal es ab y trazada con los focos s, h.Trácese sobre la tangenteTR, laperpendicularSTyprolónguesehastaVdemodoqueseaTVigualaST.Constrúyanselosánguloshsq,shq,igualesaVSP,SVP;concentroenqyconradiotalqueseaaabcomoSPaVStráceseuncírculoquecortelafiguraapbenp.ÚnasespyhágasequeSHseaashcomoSPaspyéstasconstruyanasíelánguloPSHigualalángulopshyelánguloVSHigualalpsq.PorfinconlosfocosS,H, el eje principalAB, igual a la distanciaVH, trácese la sección cónica.Digo que está resuelto. Pues si se hace que sv sea a sp como sh es a sq, y que el


ángulovspseaigualalángulohsqyelángulovshigualalángulopsq,entonces lostriángulossvhyspqseránsemejantesy,portanto,vhseráapqcomoshesasq,estoes(porlasemejanzadelostriángulosVSP,hsq),comoVSesaSPocomoabesapq.Sonpues,igualesvhyab.Pero,porlasemejanzadelostriángulosVSH,vsh,ocurrequeVHesaSHcomovhesash,estoes,elejedelaseccióncónicadescritaesaladistanciaentresusfocos,comoelejeabaladistanciashentresusfocos;yportanto,lafiguradescritaessemejantealafiguraapb.Pasará,pues,dichafiguraporelpuntoP,dadoqueeltriánguloPSHessemejantealtriángulopsh;ydadoqueVHesigualasu eje y que VS es bisecada perpendicularmente por la recta TR, también serátangenteadicharectaTR.Q.E.F.

LEMAXVI

Trazardesdetrespuntosdadosaotrocuartopuntonodadotresrectascuyasdiferenciasosedanosonnulas.

CASO 1. Sean los puntos dadosA,B,C, y el cuarto puntoZ, que es necesariohallar;porladiferenciaconocidadelaslíneasAZ,BZ,elpuntoZsesituaráenunahipérbolacuyos focossonAyB,yelejeprincipal lamencionadadiferenciadada.SeatalejeMN.TómesePMaMAcomoMNaABytrácesePRperpendicularaABytambiéntíreseZRperpendicularaPR;porlanaturalezadeestahipérbolaocurriráqueZResaAZcomoMNesaAB.PorunrazonamientosimilarelpuntoZestaráubicadoenotrahipérbolacuyos focossonACycuyoejeprincipales ladiferenciaentreAZyCZ,ypuedeahoratrazarseQSperpendicularaACysidespuéssetrazaZS, normal aQS, desde el punto Z de la hipérbola, dicha ZS será aAZ como ladiferenciaentreAZyCZesaAC.Setienendadas,pues,lasrazonesentreZRyZSconAZy,portanto,tambiénlasdeZRyZSentresí;porlocualsilasrectasRP,SQ,seencuentranenT,ysetrazanTZyTAlafiguraTRZSestarádadaenespecieylarectaTZenlaqueestarácontenidoenalgúnlugarelpuntoZestarádadaenposición.También estará dada la rectaTA lomismoque el ánguloATZ; y puesto que estándadaslasrazonesdeAZyTZaZS,estarándadassusrazonesentresí;ydeaquísetendrádadoeltriánguloATZcuyovérticeeselpuntoZ.Q.E.I.


CASO2.Sidosdelastreslíneas,porejemplo,AZyBZseigualan,tráceselarectaTZ, de tal modo que biseque la recta AB; después hállese el triángulo ATZ «utsupra».

CASO3.Si las tresson iguales,elpuntoZestáubicadoenelcentrodelcírculoquepaseporlospuntosA,B,C.Q.E.I.

Este Lema problemático se resuelve también por el «Liber tactionum» deApolonio,restituidoporVieta[25].

PROPOSICIÓNXXI.PROBLEMAXIII

Trazarunatrayectoriaentornoaunfocotalquepaseporunospuntosdadosytoquearectasdadasenposición.

SupóngaseelfocoS,elpuntoPylatangenteTRyhálleseelotrofocoH.Trácesesobrelatangente,laperpendicularSTyprolónguesehastaY,detalmodoqueTYseaigualaSTyocurriráqueYHseráigualalejeprincipal.ÚnaseSPyPH,ySPseráladiferenciaentreHPyelejeprincipal.DeestemodosisedieranvariastangentesTR,o varios puntos P, se llegará siempre a líneas tales comoYHoPH trazadas desdedichospuntosYoPalfocoH,lascualesosonigualesalosejesosediferenciandeellossegúnlas longitudesdadasSPyque,por tanto,osonigualesentresío tienenentresídiferenciasdadas;enconsecuencia,porelLemaanterior,elotrofocoHestádado.Halladoslosfocosylalongituddeleje(elcualoesYH,o,silatrayectoriaesunaelipse,PH+SP,o,siesunahipérbola,PH-SP)setendrálatrayectoria.Q.E.I.


ESCOLIO

Cuandolatrayectoriaesunahipérbolanoincluyobajoladefinicióndeéstaasuhipérbolaopuesta.Puesuncuerpo,permaneciendoensumovimiento,nopuedepasaralahipérbolaopuesta.

Elcasoenquesedantrespuntosseresuelvemásrápidamenteasí.SeanlostrespuntosB,C,D.ÚnanseBC,CD,yprolónguensehastaE,F,demodoqueEBseaaECcomoSCaSDyFCaFDcomoSCaSD.TrácensesobreEFysuprolongaciónlasrectasnormalesSG,BH,ysobre laprolongaciónal infinitodeGStómenseGArespectoaASyGarespectoaaScomoHBesaBSyAseráelvértice,mientrasAaseráelejeprincipaldelatrayectoria;lacual,segúnqueGAseamayor,igualomenorqueAS,seráelipse,parábolaohipérbola;enelprimercasoelpuntoacaeráalmismoladodelalíneaGFqueelpuntoA,enelsegundocasosealejaráalinfinitoyeneltercero caerá al lado opuesto que la línea GF. Pues si se trazan sobre GF lasperpendicularesCI,DK,entoncesICseráaHBcomoECaEB,estoes,comoSCaSB; y al revés, IC a SC como HB a SB o como GA a Sa. Y por un argumentosemejanteseprobaríaqueKDestáenlamismarazónconSD.Estánsituados,pues,lospuntosB,C,D,enlaseccióncónicadescritaentornoalfocoS,detalmodoquetodas las rectas trazadas desde el foco S a cada punto de la sección estén en lasusodicharazónconrespectoalasperpendicularestrazadasdesdedichospuntosala


rectaGF.El ilustre geómetra de la Hire resuelve este problema por un método no muy

distintoensulibroVIIIdelascónicas,ProposiciónXXV.


SecciónVLAOBTENCIÓNDEÓRBITASCUANDONOSEDANINGUNODELOSFOCOS

LEMAXVII

SideunpuntocualquieraPdeunaseccióncónicadadasetrazanlaslíneasrectasPQ,PR,PSyPTsegúnángulosdadossobrelosladosprolongadosinfinitamenteAB,CD,AC,DBdeuntrapecioABDCquesehallainscritoenladichaseccióncónicaytrazadaslaslíneasunaacadauno;ocurriráqueelrectángulodelasrectastrazadassobre los dos lados opuestos PQ x PR estará con respecto al rectángulo de lastrazadassobrelosotrosdosladosopuestosPSxPTenunarazóndada.

CASO 1. Supongamos, en primer lugar, que las líneas trazadas sobre los ladosopuestossonparalelasaotrodelosrestanteslados,porejemploPQyPRalladoAC,yPSyPTal ladoAB.Además,seandosde los ladosopuestos,porejemploACyBD,paralelos entre sí.Entonces también la rectaquebisecadichos ladosparalelosserá unode los diámetros de la sección cónicaybisecará también aRQ.SeaOelpuntoenqueRQesbisecada,yPOseráordenadaaplicadaaldiámetro.ProlónguesePO hasta K de talmodo queOK sea igual a PO yOK será ordenada aplicada aldiámetroen sentidoopuesto.Dadoque lospuntosA,B,PyKestánen la seccióncónicayquePKcortaaABenunángulodado,tendremos(porlasprop.17,19,21y23 del Lib. III de las cónicas de Apolonio) que el rectángulo PQK está con elrectángulo AQB en una razón dada. Pero QK y PR son iguales, por cuanto sondiferenciasigualesdeOK,OPyOQ,OR,yportantotambiénlosrectángulosPQKyPQxPRsoniguales;yenconsecuenciaelrectánguloPQxPRestáconelrectánguloAQB,estoes,conelrectánguloPSxPTenunarazóndada.Q.E.D.


CASO2.SupongamosahoraquelosladosopuestosdeltrapecioACyBDnoseanparalelos.TracemosBdparalelaaACyquecortetantoalarectaSTentcomoalaseccióncónicaend.UnamosCd,secantedePQenr,ytracemosDMparalelaaPQysecantedeCdenMydeABenN.Ahora,por lasemejanzade los triángulosBTt,DBN,ocurrequeBtoPQesaTtcomoDNaNB.YasítambiénRresaAQoaPScomoDMesaAN.

Luego multiplicando antecedentes por antecedentes y consecuentes porconsecuentes,comoelrectánguloPQxRresalrectánguloPSxTtdelmismomodoelrectánguloNDMesalrectánguloANB,y(porelCaso1)elrectánguloPQxPresalrectánguloPSxPty,dividiendo,tambiéneselrectánguloPQxPRalrectánguloPSxPT.Q.E.D.


CASO 3. Supongamos, por fin, que las cuatro líneas PQ, PR, PS, PT, no sonparalelasalosladosAC,AB,sinoquesoninclinadasrespectoaellos.Tracemosensu lugarPq,Pr, paralelas al ladoAC; y tracemosPs,Pt, paralelas aAB; por estardadoslosángulosdelos triángulosPQq,PRr,PSS,PTt, sedarán las razonesPQaPq,PRaPr,PSaPs,yPTaPt;yportantolasrazonescompuestasPQxPRaPqxPryPSxPTaPsxPt.Perosegúnlodemostradomásarriba,larazónPqxPraPsxPtestádada:luegotambiénloestarálarazónPQxPRaPSxPT.Q.E.D.

LEMAXVIII

Con losmismos supuestos, si el rectángulo de las dos líneas trazadas a dos ladosopuestosdeltrapecio,PQxPR,estáalrectánguloPSxPTdelastrazadassobrelosotrosdosladosenunarazóndada,entonceselpuntoPdesdeelquesetrazandichaslíneasestangentealaseccióncónicadescritaentornoaltrapecio.

Supongamosuna sección cónicadescrita por lospuntosA,B,C,D, e infinitospuntos P como por ejemplo p: digo que el punto P siempre será tangente a estasección.Silonegaras,únaseAPsecantealaseccióncónicaenunpuntodistintodeP,sielloesposible,comoporejemploenb.Porconsiguiente,sideestospuntospybsetrazansobrelosladosdeltrapeciosegúnángulosdadoslasrectaspq,pr,ps,pt,ybk,bn,bƒ,bd;tendremosquebkxbnseráabƒxbdcomo(porelLemaXVII)pqxpra ps x pt y por tanto (por hipótesis) como PQ x PR a PS x PT. Y debido a lasemejanzadelostrapeciosbkAƒ,PQAS,comoesbkabƒasíesPQaPS.Porlocual,dividiendolostérminosdelaprimeraproporciónporloscorrespondientesdeésta,bnserá a bd como PR a PT. Por tanto los trapecios equiángulos Dnbd, DRPT sonsemejantes y sus diagonales Db, DP coinciden. Y de este modo b cae en lainterseccióndelaslíneasAP,DPyportantocoincideconP.PorelloseacualseaelpuntodondesesupongaPcaeráenlaseccióncónicasupuesta.Q.E.D.


COROLARIO.Deaquíque,sidesdeunpuntocomúnPsetrazantresrectasPQ,PR,PS sobre otras tres dadas en posición, una a cada una y según ángulos dados y elrectánguloformadopordosdelastrazadasPQxPResalcuadradodelaterceraPSsegúnunarazóndada,elpuntoPdesdeelquefueron trazadasestaráubicadoen laseccióncónicatangentealaslíneasAB,CDenAyC;yviceversa.Puesaproxímesehasta juntarse la líneaBDa la líneaACmanteniendosuposición las tresAB,CD,AC;despuéshagamoslomismoconPThaciaPS;yentonceselrectánguloPSxPTdevendráPS2ylasrectasAB,CDquecortabanlacurvaenlospuntosAyB,CyDya no pueden cortar más la curva en aquellos puntos coincidentes, sino sólo sertangentesenellos.

ESCOLIO

EnesteLemaelnombredeseccióncónicasetomaensentidoamplio,demodoquesecomprendabajoelmismotantolasecciónrectilíneaquepaseporelvérticedelconocomolacircularparalelaalabase.Puessielpuntopcaeenlarectaconqueseunen lospuntosAyBo lospuntosCyD la sección cónica se transformaendosrectasdelascualesunacoincideconlarectaenlaquecaeelpuntopylaotraeslarectaconlaquequedanunidosentresídosdelosotroscuatropuntos.Sidosángulosopuestos del trapecio tomados conjuntamente son iguales a dos rectos y las cuatrolíneasPQ,PR,PS,PT, se trazan sobre sus ladosyaperpendicularmenteya conungradodeinclinacióndadoyelrectángulocomprendidoentredosdeellasPQxPResigualaPSxPTcomprendidoentrelasotrasdos,entonceslaseccióncónicaresultaráuncírculo.Ylomismoocurresisetrazancuatrolíneasconánguloscualesquierayelrectángulo PQ x PR comprendido entre dos de ellas es al rectángulo PS x PTcomprendidoentrelasotrasdoscomoelrectángulocomprendidoentrelossenosde


los ángulos S, T, en los que inciden las dos últimas PS, PT es al rectángulocomprendidoentrelossenosdelosángulosQ,R,enqueincidenlasdosprimerasPQ,PR.En todos losdemáscasosel lugardelpuntoP seráunade las tres figurasquecomúnmente se denominan secciones cónicas. Pero en lugar del trapecio ABCDpuede colocarse un cuadrilátero cuyos dos lados opuestos se crucen mutuamentecomodiagonales.Yunoodosde loscuatropuntosA,B,C,D,pueden llevarsealinfinitoconloquelosladosdelafiguraqueconvergenendichospuntosresultaránparalelos;yentalcasolaseccióncónicapasaráporlosdemáspuntosmientrasqueenladireccióndelasparalelasiráhaciaelinfinito.

LEMAXIX

Hallar el puntoPapartir del cual, si se trazan las cuatro rectasPQ,PR,PS,PTsobre otras cuatro en posición dada AB, CD, AC, BD, una a una y con ángulosdados,elrectánguloPQxPRcomprendidoentredosdeaquéllasseaalrectánguloPSxPTcomprendidoentrelasotrasdossegúnunarazóndada.


HagamosquelaslíneasAB,CD,sobrelasquesetrazanlasrectasPQ,PR,quecontienenunodelosrectángulos,secrucenconlasotrasdoslíneasdeposicióndadaenlospuntosA,B,C,D.DesdecualquieradeellosAtracemoslarectaAHenlaquequeremoshallarelpuntoP.CorteestalíneaalasopuestasBD,CD,asaber,aBDenH y a CD en I y por estar dados todos los ángulos de la figura estarán dadas lasrazonesdePQaPAydePAaPSyportantoladePQaPS.RestandoéstadelarazóndadadePQxPRaPSxPTtendremoslarazóndePRaPT,ysumandolasrazonesdadasPIaPRyPTaPHtendremoslarazónPIaPH,yporendeelpuntoP.Q.E.I.

COROLARIO 1. De aquí que también se pueda trazar una tangente a un puntocualquieraDdellugardelosinfinitospuntosP.PueslacuerdaPD,cuandocoincidenlospuntosPyD,estoes,cuandodiscurreAHporelpuntoD,resultaunatangente.EntalcasolarazónúltimadelasevanescentesIPyPH,sehallacomosehavistomásarriba.TracemosCF,paralelaalapropiaAD,talquecorteaBDenFycortadaenEsegún la dicha razón última, y también de DE será tangente dado que CF y laevanescenteIHsonparalelaseigualmentecortadasenEyenP.


COROLARIO 2. De aquí también puede definirse el lugar de todos los puntos P.Tracemosporunocualquierade lospuntosA,B,C,D,porejemploA, la tangenteAEallugardetodoslospuntosyporotropuntocualquieraBtracemosunaparalelaBF a la tangente y que corte al lugar enF. Por elLemaXIX se hallará el punto F.Bisecando a BF en G y siendo indefinida la línea AG, ésta será la posición deldiámetroalquevienenaplicadasordenadamenteBGyFG.CorteahoraAGallugarenHyentoncesAHseráeldiámetroo«latustransversum»alcualel«latusrectum»será como BG2 a AG x GH. Si AG nunca cortase el lugar de los puntos,permaneciendola líneaAHinfinita,entoncesel lugarseráunaparábolaysu«latus

rectum» perteneciente al diámetro AG será BG2

AG. Pero si corta al lugar en algún

punto,entoncesellugarseráunahipérbolacuandolospuntosAyHesténsituadosalmismoladodelpuntoG;yunaelipsecuandoGestéentreAyH,salvocuandoporcasualidadsedéqueAGBsea rectoypor tantoBG2 sea igualal rectánguloAGH,casoenelquetendremosuncírculo.

Y de este modo tenemos resuelto en el corolario, no por cálculo sino porcomposicióngeométricacomoqueríanlosantiguos,elproblemaporellosplanteadodelascuatrolíneas,sugeridoporEuclidesyreplanteadoporApolonio.

LEMAXX

Sea un paralelogramo cualquiera ASPQ cuyos dos ángulos opuestos A y P sontangentesaunaseccióncónicacualquieraenlospuntosAyP;yprolónguenselosladosAQ,ASdeunodeellosalinfinito,hastacortaradichasecciónenByC;desdelospuntosdecruceByCtrácensehastaunquintopuntoDdelasecciónotrasdosrectasBD,CDque corten enT yRa losotrosdos ladosPS,PQprolongadosdelparalelogramo:lasabscisasparcialesPRyPTdelosladosestaránsiempreenunarazón dada. Y al contrario, si tales abscisas parciales están entre sí en una razóndada,elpuntoDserá tangentea laseccióncónicaquepasepor losdichoscuatropuntosA,B,C,P.

CASO1.ÚnanseBP,CPytrácensedesdeelpuntoDlasdosrectasDG,DE,delasquelaprimeraDGseaparalelaaABycorteaPB,PQ,CA,enH,I,G;ylaotraDEseaparalelaaACycorteaPC,PS,AB,enF,K,E:(porelLemaXVII)elrectánguloDExDFseráalrectánguloDGxDHsegúnunarazóndada.PeroPQesaDE(oIQ)comoPBaHB,yportantocomoPTaDH;ymiembroamiembro,PQesaPTcomoDEaDH.YademásPResaDFcomoRCesaDC,yportantocomoPS(oIG)aDG, y alternativamente PR es a PS comoDF aDG; y conjugando las razones, elrectángulo PQ x PR es al rectángulo PS x PT como el rectángulo DE x DF al


rectánguloDGxDH,ypor endeen razóndada.PeroPQyPSestándados, luegotambiénestádadalarazónPRaPT.Q.E.D.

CASO2.PerosisesuponequePRyPTestánentresíenunarazóndada,entoncesrazonandode igualmodoensentido inversoseseguiráqueel rectánguloDExDFestáconel rectánguloDGxDHenunarazóndada,ypor tantoelpuntoD(porelLemaXVIII)caeenlaseccióncónicaquepasaporlospuntosA,B,C,P.Q.E.D.

COROLARIO1.DeaquíquesisehaceaBCsecantedePQenr,ysetomaPtsobrePTenrazónaPr precisamenteen lamismaqueguardaPTaPR:entoncesBt serátangentealaseccióncónicaenelpuntoB.PuesimaginemosalpuntoDacercándosealpuntoBdemodoque,altenderadesaparecerlacuerdaBD,BTresultetangente;yCDlomismoqueBTcoincidiríanconCByBt.

COROLARIO2.Yviceversa,siBtestangenteyBD,CDcoincidenenunpuntoDcualquiera de una sección cónica, entonces PR será a PT como Pr a Pt. Y, por elcontrario, si PR es a PT como Pr a Pt entonces BD, CD coinciden en un puntocualquieraDdeunaseccióncónica.

COROLARIO 3. Una sección cónica no corta a otra sección cónica más que encuatropuntos.Pues,siposiblefuera,pasendosseccionescónicasporcincopuntosA,B,C,P,O,ycórtelaslarectaBDenlospuntosD,d,mientrasquelarectaCdcortaaPQenq.Enconsecuencia,PResaPTcomoPqaPT;dedondePRyPqsonigualesentresí,contralahipótesis.

LEMAXXI

SidosrectasBM,CM,móvileseinfinitastrazadasporpuntosdadosB,C,amododepolos, describenmediante el puntoMen que se cruzanuna rectaMNde posicióndada,ysiotrasdosrectasinfinitasBD,CD,sontrazadasdemodoqueconstituyan


conlasprimerasenlospuntosB,C,losángulosdadosMBD,MCD,digoestasdosBD,CD,medianteelpuntoenque secruzanD,describenuna seccióncónicaquepasaporlospuntosB,C.Yviceversa,silasrectasBD,CD,medianteelpuntoenquese cruzan D describen una sección cónica que pasa por los puntos B, C, A, y elánguloDBMessiempreigualalángulodadoABCyelánguloDCMessiempreigualalángulodadoACBentonceselpuntoMcaeenunarectadeposicióndada.

PuestrácesesobrelarectaMNelpuntoNycuandoelpuntomóvilMcoincideconelinmóvilN,coincidatambiénelpuntomóvilDconelinmóvilP.ÚnanseCN,BN,CP,BP,ydesdeelpuntoPtrácenselasrectasPT,PR,quecortanaBD,CD,enTyRyqueformanelánguloBPTigualalángulodadoBNMyelánguloCPRigualtambiénalángulodadoCNM.Dado(porhipótesis)quelosángulosMBD,NBPsonigualesasícomo losángulosMCD,NCP,si se restan losánguloscomunesNBDyNCD,permaneceránigualeslosángulosNBMyPBT,NCMyPCR:YportantolostriángulosNBM,PBTsonsemejanteslomismoquelostriángulosNCM,PCR.PorlocualPTesaNMcomoPBaNB,yPRaNMcomoPCaNC.PerolospuntosB,C,N,Psoninmóviles.EnconsecuenciaPTyPRestánenrazóndadaaNMyporendeen razón dada entre sí; consecuentemente (por el LemaXX) el puntoD, en el queconstantementeconcurrenlasrectasmóvilesBTyCR,coincideconlosdelaseccióncónicaquepasaporlospuntosB,C,P.Q.E.D.

Yporelcontrario,sielpuntomóvilDcoincidecon laseccióncónicaquepasaporlospuntosB,C,A,yelánguloDBMessiempreigualalángulodadoABCyelánguloDCM también es siempre igual al ángulo dadoACB, y cuando el puntoDcoincidesucesivamenteendospuntoscualesquiera inmóvilesp,Pde la sección,elpuntomóvilMcoincidetambiénsucesivamenteendospuntosinmóvilesn,N:trácesepor dichos puntosn,N la rectan,N y ella será el lugar constante de dicho puntomóvilM.Pues,sifueraposible,hágasecorreralpuntoMporunacurva.ElpuntoDserátangenteaunaseccióncónicaquepaseporcincopuntosB,C,A,p,P,mientrasel punto M es tangente constantemente a una línea curva. Pero, según lo ya


demostrado,elpuntoDtocatambiénlaseccióncónicaquepasaporlosmismoscincopuntosB,C,A,p,P,mientraselpuntoMtocaconstantementeunalínearecta.Luegolasdosseccionescónicaspasanpor losmismoscincopuntos,contraelCorolario3delLemaXX.PortantohaceralpuntoMrecorrerunalíneacurvaesabsurdo.Q.E.D.

PROPOSICIÓNXXII.PROBLEMAXIV

Trazarunatrayectoriaporcincopuntosdados.

SeanloscincopuntosA,B,C,P,D,dados.DesdeunodeelloscualquieraAhastaotrosdoscualesquieraB,C,consideradoscomopolos,tracemoslasrectasAB,AC,así como las paralelas a estasTPS,PRQ,por el cuarto puntoP.TracemosdespuésdesdelosdospolosB,C,porelquintopuntoD,lasdosrectasinfinitasBDT,CRD,quecortenalasúltimamentetrazadasTPS,PRQ(laprimeraalaprimeraylasegundaalasegunda)enTyR.Porfin, trazada trparalelaaTR,córtense las líneasPt,Pr,talesqueseanproporcionalesaPT,PR;ysiporlosextremost,r,detaleslíneasyporlospolosB,C,setrazanlaslíneasBƒ,Crconcurrentesend,entoncesdichopuntodestará situado en la trayectoria buscada. Pues (por el Lema XX) dicho punto estásituadoenlaseccióncónicaquepasaporloscuatropuntosA,B,C,P;yaltenderadesaparecerlaslíneasRr,Tt,tiendeacoincidirelpuntodconelpuntoD.LuegolaseccióncónicapasaporloscincopuntosA,B,C,P,D.Q.E.D.


Lomismodeotramanera

Únansetresdeentrelospuntosdados,A,B,C;yentornoadostomadoscomopolos,B,C,hágansegirarlosángulosABC,ACB,demagnituddadayaplíquenselosladosBA,CAprimeroalpuntoDydespuésalpuntoPyseñálenselospuntosM,NenlosquesecruzanentresílosotrosdosladosBL,CL.TráceselarectainfinitaMNyhágansegirar losmencionadosángulosmóvilesentornoasuspolosB,C,conlacondicióndequela interseccióndelosladosBL,CLodeBM,CM,supongámoslam,caigasiempresobrelarectainfinitaMN;ylainterseccióndelosladosBA,CAoBD,CD,supongámoslad,definirálatrayectoriabuscadaPADdB.Pues(porelLemaXXI) el punto d coincidirá con la sección cónica que pase por los puntos B, C: ycuandoelpuntomllegaalospuntosL,M,N,elpuntod(porconstrucción)llegaráalospuntosA,D,P.DescribirápuesunaseccióncónicaquepaseporloscincopuntosA,B,C,P,D.Q.E.F.


COROLARIO1.Deaquíque,confacilidad,sepuedatrazarunarectaquetoquealatrayectoriaenunpuntodadoBcualquiera.LléveseelpuntodhastaelpuntoBylarectaBdserálatangentebuscada.

COROLARIO2.Dedondetambiénpuedenhallarseloscentrosdelas trayectorias,losdiámetrosylos«laterarecta»,comoenelCorolario2delLemaXIX.

ESCOLIO

LaconstrucciónprimeraresultaunpocomássimpleuniendoBPytomandosobreella,prolongadasiesmenester,BpaBPcomoPResaPT;ytrazandoporplarectainfinita pe paralela a SPT, tomando además sobre ella a pe siempre igual a Pr yhaciendo que las rectas Be, Cr, concurran en d. Pues dado que serán iguales lasrazonesdePraPt,PRaPT,pBaPB,peaPt, también loseránpeyPr.Con estemétodo lospuntosde la trayectoriasehallanmuyfácilmente, salvoqueseprefieradescribirlacurvamecánicamente,comoenlasegundaconstrucción.

PROPOSICIÓNXXIII.PROBLEMAXV

Trazarunatrayectoriaquepaseporcuatropuntosyseatangenteaunarectadadaenposición.

CASO1.SupóngasedadalatangenteHB,elpuntodecontactoB,ylosotrostrespuntosC,D,P.ÚnanseBC,procurandoquePSseaparalelaalarectaBHyquePQloseaalarectaBC;compléteseelparalelogramoBSPQ.TráceseBDsecantedeSPenT,yCDsecantedePQenR.Finalmente,trazadalalíneatrparalelaaTR,tomemossobre PQ, PS los segmentos Pr, Pt, respectivamente proporcionales a PR, PT; ytrazadaslaslíneasCr,Bt,elpuntodenquesecortan(porelLemaXX)caerásiempreenlatrayectoriaquehayquedescribir.


Deotromodo

HágasegirartantoelángulodemagnituddadaCBHentornoalpoloB,comoelradiorectilíneoprolongadoenambasdireccionesDCentornoalpoloC.SeñálenselospuntosM,Nen loscualesel ladoBCdelángulocortaadicho radiocuandoelotro lado BH del ángulo coincide con el susodicho radio en los puntos P y D.Después haciendo que el radio dichoCPoCDy el ladoBCdel ángulo coincidansiempreconlarectainfinitaMN,elcrucedelotroladoBHconelradiodescribirálatrayectoriabuscada.

PuessienlaconstruccióndelproblemaanteriorelpuntoAalcanzaelpuntoB,laslíneasCAyCBcoincidiránylalíneaABensuúltimasituaciónseconvertiráenlatangenteBH;yportantolasconstruccioneshechasantesvienenaserlasmismasquelas hechas ahora. En consecuencia, la concurrencia del lado BH con el radiodescribirálaseccióncónicaporlospuntosC,D,PylarectaBHserátangenteenelpuntoB.Q.E.F.

CASO2.SeanloscuatropuntosdadosB,C,D,PsituadosfueradelatangenteHI.ÚnansedosadosconlaslíneasBD,CPconcurrentesenGyquecortanalatangenteenHeI.CórteselatangenteenAdetalmodoqueHAseaaIAcomoeselrectángulobajolamediaproporcionalentreCGyGPylamediaproporcionalentreBHyHDalrectángulobajolamediaproporcionalentreDGyGBylamediaproporcionalentrePI e IC; y será A el punto de contacto. Pues si HX, paralela a PI, cortase a latrayectoriaencualesquierapuntosXeY,habráquecolocar(porlascónicas)alpuntoAde talmodoqueHA2 seríaaAI2 en razóncompuestade la razóndel rectánguloXHYalrectánguloBHD,odelrectánguloCGPalrectánguloDGB,ydelarazóndelrectánguloBHDalrectánguloPIC.Asípues,unavezhalladoelpuntodecontactoA,


sedescribirálatrayectoriacomoenelcasoprimero.Q.E.F.

Sinembargo,puedetomarseelpuntoAentrelospuntosHeYofueradeellos;y,enconsecuencia,describirporduplicadolatrayectoria.

PROPOSICIÓNXXIV.PROBLEMAXVI

Trazarunatrayectoriaquepaseportrespuntosdadosyseatangenteadosrectasdeposicióndada.

Sean las tangentes dadas HI, KL y los puntos B, C, D. Trácese por doscualesquierapuntosB,DlarectainfinitaBDquecruzaalastangentesenlospuntosH,K.DespuésporotrosdospuntoscualesquieraC,D, trácese la recta infinitaCDquecrucealastangentesenlospuntosI,L.CórtesealasrectasasítrazadasenRySde talmodoqueseaHRaKRcomoes lamediaproporcionalentreBHyHDa lamediaproporcionalentreBKyKD,eISaLScomolamediaproporcionalentreCIeIDalamediaproporcionalentreCLyLD.Perocórteseporunpuntoarbitrario,yaentrelespuntosKyH,IyL,yafueradeellos;tráceseRSsecantedelastangentesenAyPyseránAyPlospuntosdecontacto.PuessisesuponequeAyPfuesenpuntosdecontactosituadosenotrospintosdelastangentesyporunodelospuntosH,I,K,L,porejemplo,I,situadoenotratangenteHI,setrazalarectaIYparalelaalaotratangenteKLyquecortealacurvaenXeY,enlacualrectasetomaademásIZcomomediaproporcionalentre IXe IYel rectánguloXIY,o IZ2 (por lascónicas),seráaLP2comoelrectánguloCIDalrectánguloCLD,estoes(porconstricción)comoSI2aSL2yportantoIZaLPcomoSIaSL.LospuntosS,P,Z,pertenecen,portanto,aunamismarecta.Ahorabien,alconcurrirlastangentesenG,ocurriráporlascónicasqueelrectánguloXIYoIZ2seráaIA2comoGP2aGA2yporUntoIZaIAcomoGPaGA.PertenecenpueslospuntosP,Z,yAalamismarectayportantolospuntosS,


P yA están en lamisma recta.Y con un argumento semejante se probará que lospuntosR,PyAestánenlamismarecta.Pertenecen,pues,lospuntosdecontactoAyPa la rectaRS.Yunavezhalladoséstos, la trayectoriase trazarácomoenelcasoprimerodelproblemaanteriorQ.E.F.

Enestaproposición,yenelcasosegundodelaanterior,lasconstriccionessonlasmismas,tantosilarectaXYcortaalatrayectoriaenXeYcomosinolacorta;talesconstrucciones no dependan de dicha sección. Sino que, una vez demostradas lasconstricciones cuando la recta corta a la trayectoria, quedan también patentes lasconstrucciones cuando no la corta; y por amor a la brevedad no me detengo endemostrarlasmásprofusamente.

LEMAXXII

Transformarunasfigurasenotrasdelmismogénero.

SealafiguraatransformarunafiguracualquieraHGI.TrácensesegúnplazcadosrectasparalelasOA,BLsecantesaunaterceraABenlospuntosAyByenposicióndada,ydesdeunpuntocualquieraGdelafiguratráceseunalíneaGD,paralelaalamismaOA.DespuésdesdeunpuntoO,dadoenlalíneaOA,trácesehastaelpuntoDlarectaODquecortealarectaBLend,ydesdeelpuntodecruceeléveselarectadgde modo que contenga con la recta BL un ángulo dado, y además tal que tengarespecto aOd lamisma razón queDG tiene respecto aOD; serág entonces en lanueva figurahgi el punto correspondiente aG.Delmismomodo cada punto de laprimera figura vendrá a dar cada punto de la nueva figura. Pues imagínese que elpuntoGrecorreconunmovimientocontinuotodoslospuntosdelaprimerafigura,yqueelpuntogtambiénconmovimientocontinuorecorretodoslospuntosdelanuevafiguradescribiéndoladepaso.ParadistinguirlasllamemosDGalaprimeraordenada,


dgalaordenadanueva;llamemosADalaabscisaprimerayadalaabscisanueva;llamemosOalpoloyODalradioabscindente,OAalradioordenadoprimeroyOa(conelquesecierraelparalelogramoOABa)alradioordenadonuevo.

DigoahoraquesielpuntoGtocaalalínearectaenposicióndada,elpuntogtocarátambién a la línea recta de posición dada. Si el puntoG toca la sección cónica, elpuntogtocarátambiénlaseccióncónica.Incluyoaquíelcírculoentrelasseccionescónicas.PuessielpuntoGtocaunalíneadetercerordenanalítico,elpuntogtocaráunalíneadelmismoorden;ylomismoparacurvasdeordensuperior.DoslíneasqueseantocadasporlospuntosG,gseránsiempredelmismoordenanalítico.Puestoque

adesaOAcomosonOdaOD,dgaDGyABaAD;portanto,ADesOAxAB

ad,y

DGesigualaOAxdgad

.AhorasielpuntoGtocauna línearectaypor tantoen la

ecuación que contenga la relación entre la abscisa AD y la ordenada DG, dichaslíneas indeterminadas AD y DG no alcanzan más que una única dimensión,

escribiendoenestaecuaciónOAxAB

adenlugardeAD,y

OAxdgad

enlugardeDG,

seobtendráunanuevaecuaciónenlaquelaabscisanuevaadylanuevaordenadadgnoalcanzaránmásqueunasoladimensión,yprecisamente laquedapor resultadouna línearecta.PerosiADyDG,ounadeellas,alcanzaseen laprimeraecuaciónuna segunda dimensión, también ad y dg alcanzarán segundas dimensiones en lasegundaecuación.Ylomismoparatresomásdimensiones.Lasindeterminadasad,dg en la segunda ecuación yAD,DG en la primera alcanzarán siempre elmismonúmerodedimensiones,ypor tantolas líneasa lasquetoquenlospuntosG,g sondelmismoordenanalítico.

Digo además que si una recta tocase una línea curva en la primera figura; esta


recta trasladadadelmismomodocon lacurvaa lanueva figura tocaráaesta líneacurvaenlanuevafigura;yviceversa.Puessidospuntoscualesquieradelacurvaseacercan entre sí y llegan a coincidir en la primera figura, los mismos puntostrasladadosseacercaránentresíyllegaránacoincidirenlanuevafigura;yportanto,lasrectasconlasqueestospuntosestuvieronunidosresultaránalaveztangentesdelascurvasenambasfiguras.

Pueden construirse demostraciones de estas afirmaciones de modo másgeométrico.Peroprefierolabrevedad.

Portanto,sisehadetransformarunafigurarectilíneaenotrabastarátrasladarlasintersecciones de las rectas que constituyen la primera figura y por ellas trazar lasrectasdelanueva.Sisehadetratar,encambio,detransformarunafiguracurvilínea,hayquetrasladarlospuntos,lastangentesydemásrectasencuyavirtudsedefinelacurva.Sirveasíestelemapararesolverlosproblemasmásdifíciles,trasformandolasfiguraspropuestasenotrasmássencillas.Portanto,cualesquierarectasconvergentespueden trasformarse enparalelas si se tomacomoprimer radioordenadouna línearectacualquieraquepasaporelpuntodeconvergencia;yestoporquedichopuntodeconvergencia cae de este modo en el infinito; y líneas paralelas son aquellas quenuncaseencuentran.Pero,despuésqueseresuelveelproblemaenlanuevafigura,sirealizandooperacionesinversas,estafigurasetrasformaenlaprimitiva,setendrálasoluciónbuscada.

TambiénesútilesteLemaparalasolucióndeproblemasdesólidos.Puescuantasvecessepresentendosseccionescónicasconcuyaintersecciónsepuedaresolverelproblema, se puede transformar cualquiera de ellas, si es una hipérbola o unaparábola en una elipse: después la elipse se transforma fácilmente en un círculo.Tambiénunarectayunaseccióncónica,enlaconstruccióndeproblemasdeplanos,setransformanenunarectayuncírculo[26].

PROPOSICIÓNXXV.PROBLEMAXVII

Describirunatrayectoriaquepasepordospuntosdadosyseatangenteatresrectasdeposicióndada.

Trácese una recta infinita por el punto de intersecciónmutua de dos tangentescualesquierayporelpuntodeinterseccióndeunaterceratangenteconlarectaquepase por los dos puntos dados; tomando como primer radio ordenado la recta asítrazada, transfórmese la figura, por el lema anterior, en una nueva figura. En estanueva figura las dos tangentes aquéllas resultarán entre sí paralelas, y la tangenteterceravendráaserparalelaalarectaquepaseporlosdospuntosdados.Seanhi,kldichas tangentesparalelas, ik la tercera tangenteyhl la rectaparalelaaesta terceratangenteyquepasaporlospuntosab,porlosqueenestanuevafiguradebepasarla


seccióncónica,yquecompletaelparalelogramohikl.Córtenselasrectashi,ik,klenc,d,e,demodoqueheseaalladocuadradodelrectánguloahb,queicseaaid,ykeakdcomolasumadelasrectashiyklesalasumadelastreslíneasdelascualeslaprimeraeslarectaik,ylasotrasdossonlosladoscuadradosdelosrectángulosahbyalb;yseránc,d,elospuntosdecontacto.Pues,porlascónicas,hc2esalrectánguloahbcomoic2esaid2ycomoke2esakd2ycomoel2esalrectánguloalb;yportantoestánendicharazónsubduplicadahealladocuadradodelrectánguloahb,icaid,keakd yel al lado cuadradodel rectánguloalb, y sumando estarán en la razóndadatodos los antecedentes hi y kl respecto a todos los consecuentes que son el ladocuadrado del rectánguloalb[27]. Se tienen, pues, a partir de aquella razón dada lospuntosdecontactoc,d,e,enlanuevafigura.PorlasoperacionesinversasdelúltimoLematrasládenseestospuntossobrelaprimerafigura,yenella(porelProb.XIV)setrazarálatrayectoria.Q.E.F.Porlodemás,comolospuntosa,b,biencaeránentrelospuntosh,l,bienfuera,lospuntosc,d,e,deberáncaeroentrelospuntosh,i,k,l,o fuera.Siunode lospuntosa,b, cae entre lospuntosh, l, y el otro cae fuera, elproblemaesimposible.

PROPOSICIÓNXXVI.PROBLEMAXVIII

Trazarunatrayectoriaquepaseporunpuntodadoyseatangenteacuatrorectasdeposicióndada.

Trácese desde la intersección de dos tangentes cualesquiera una recta infinitahasta la intersecciónde lasotrasdos tangentes;ypor tanto tambiénestánendicharazón subduplicada tomando dicha recta por primer radio ordenado, trasfórmese lafigura (por el Lema XXII) en una nueva figura, y los dos pares de tangentes, que


concurríanenelprimerradioordenado,resultaránparalelas.Seanéstashiykl,ikyhlquecompletanelparalelogramohikl.Seap elpuntocorrespondiente enestanuevafiguraalpuntodadoenlaprimera.TráceseporelcentroOdelafiguralalíneapq,ysiendoOqigualaOpseráqelotropuntoporelquepasarálaseccióncónicaenestanuevafigura.PorlaoperacióninversadelLemaXXIItrasládeseestepuntoalafiguraprimeraysetendránenelladospuntosporlosquedebetrazarselatrayectoria.Porellos,enefecto,porelProblemaXVII,puedetrazarsedichatrayectoria.Q.E.F.

LEMAXXIII

SidosrectasdeposicióndadaAC,BDterminanendospuntosdadosA,B,yestánentre sí en una razón dada y la recta CD con la que se unen los puntosindeterminadosC,D,escortadaenKenunarazóndada:digoqueelpuntoKestáenunarectadeposicióndada.

Concurran,pues,lasrectasAC,BD,enE,ysobreBEtómeseBGaAEcomoesBDaAC,yseaFDsiempreigualaladistanciadadaEG;yporconstrucciónECseráaGD,estoes,aEFcomoACaBD,yportantoenrazóndada,yportantoestarádadoeltipodetriánguloEFC.CórteseCFenLdemodoqueCLestéenrazónaCFcomoCKaCD;yporlarazóndadaanterior,sedarátambiénel tipodetriánguloEFL;yportanto,elpuntoLestarásituadoenlarectaELdeposicióndada.ÚnaseLK,ylostriángulosCLK,CFDseránsemejantes;yporestardadasFDylarazóndeLKaFD,estará dada también LK. Igual a ésta tómese EH y ELKH será siempre unparalelogramo.Sehalla pues el puntoK en el ladode posicióndadaHKdedichoparalelogramo.Q.E.D.


COROLARIO.PorestarlafiguraEFLCdadaenespecie,lastresrectasEF,ELyEC,estoes,GD,HKyECestánentresíenunarazóndada.

LEMAXXIV

Si tres rectas fuesen tangentesacualquier seccióncónicade las cualesdos fuesenparalelasydeposicióndada,digoqueelsemidiámetrodelasecciónparaleloaestasdosserámediaproporcionalentrelossegmentosdelasmismascomprendidosentrelospuntosdecontactoylaterceratangente.

SeanAF,GBdosparalelastangentesalaseccióncónicaADBenlospuntosAyB;seaEFunatercerarectatangentealaseccióncónicaenI,yquesecorteconlasdostangentesanterioresenFyG;yseaCDelsemidiámetrodelafiguraparaleloalastangentes:digoqueAF,CD,BG,estánenproporcióncontinua.

PuessilosdiámetrosconjugadosAB,DMcortasenalatangenteFGenEyHy


secortasenmutuamenteenCysecompletaseelparalelogramoIKCL;ocurriráporlanaturaleza de las cónicas que EC será a CA comoCA a CL, y también como lasdiferenciasEC-CAaCA-CL,estoescomoEAaALysumando,EAaEA+AL,oseaELcomoECaEC+CA,oseaEB;yportanto,porlasemejanzadelostriángulosEAF,ELI,ECH,EBG,AFesaLIcomoCHesaBG.Aligualque,porlanaturalezade las cónicas, LI o CK es a CD como CD es a CH; y por tanto permutadasadecuadamenteAFesaCDcomoCDesaBG.Q.E.D[28].

COROLARIO 1. De aquí que si dos tangentes FG, PQ cortasen a las tangentesparalelas AF, BG en F y G, P y Q y se cortasen entre sí en O; permutadasadecuadamenteocurriríaqueAFesaBQcomoAPesaBG,yporseparacióncomoFPaGQ,yportantocomoFOaOG.

COROLARIO2.DedondetambiéndosrectasPG,FQtrazadasporlospuntosPyG,FyQconcurrenenlarectaACBquepaseporelcentrodelafigurayporlospuntosdecontactoA,B.

LEMAXXV

Siloscuatroladosdeunparalelogramo,prolongadosinfinitamente,fuesentangentesauna seccióncónicay soncortadosa su vezporunaquinta tangente cualquiera;tomandolasabscisasdedosladoscualesquieracontiguosyterminadasellasenlosángulosopuestosdelparalelogramo:digoquecadaunadelasabscisasseráalladodelqueesabscisacomolapartedelotroladocontiguocomprendidaentreelpuntodecontactoyeltercerladoesalaotrapartedelasabscisas.

Sean los cuatro ladosML, IK,KL,MIdelparalelogramoMLIK tangentes a laseccióncónicaenA,B,C,D,ycortelaquintatangenteFQadichosladosenF,Q,HyE;tómesesobrelosladosMI,KI,lasabscisasME,KQ,osobrelosladosKL,ML,lasabscisasKH,MF:digoqueMEseráaMIcomoBKaKQ;yKHaKLcomoAMaMF.Pues,porelcorolarioprimerodelLemaanteriorMEesaElcomoAMoBKaBQ,ysumandoMEaMIcomoBKaKQ.Q.E.D.YtambiénKHaHLcomoBKoAMaAF,ydividiendoKHaKLcomoAMaMF.Q.E.D.


COROLARIO1.Deaquíquesise tienedadoelparalelogramoIKLM,descritoentornoaunaseccióncónicadada,setendrádadotambiénelrectánguloKQxME,aligualqueelrectánguloigualaesteKHxMF.PuesdichosrectángulossonigualesporlasemejanzadelostriángulosKQH,MFE.

COROLARIO2.Ysisetrazaunasextatangenteeqqueincidasobrelas tangentesKI,MIenqye;elrectánguloKQxMEseráigualalrectánguloKqxMe;yKQseráaMecomoKqaMEysustrayendocomoQqaEe.

COROLARIO3.Dedondetambién,siseunenysebisecanEqyeQysetrazaunarectaporlospuntosdelasbisecciones,pasaráestarectaporelcentrodelaseccióncónica.PuestoquealserQqaEecomoKQaMedicharectapasaráporlamitaddetodaslasrectasEq,eQ,Mk(porelLemaXXIII)yelmediodelarectaMKeselcentrodelasección.

PROPOSICIÓNXXVII.PROBLEMAXIX

Describirunatrayectoriaqueseatangenteacincorectasdeposicióndada.

Supónganse dadas en posición las tangentes ABG, BCF, GCD, FDE, EA.Biséquense en M y N las diagonales AF, BE, contenidas entre cuatro tangentescualesquieraABFEy(porelCorolario3delLemaXXV)larectaMNtrazadaporlospuntosdelasbiseccionespasaráporelcentrodelacónica.DespuésbiséquenseenPyQ las diagonales (digamos) BD,GF, de la figura cuadrilátera BGDF contenidasentreotrascuatrotangentescualesquiera,ylarectaPQtrazadaporlospuntosdelabisecciónpasaráporelcentrodelatrayectoriacónica.Setendrápueselcentroenelpunto de concurso de las bisecantes. Sea O dicho punto. Trácese a cualquieratangenteBCunaparalelaKL, talqueestésituadaa ladistanciaprecisaparaqueelcentroOquedeenelpuntomedioentrelasparalelas,ytrazadaKLserátangentealatrayectoriaadescribir.PorlospuntosdecontactoCyK,FyLdeestastangentesno


paralelasCL,FK,conlasparalelasCF,KL,trácenseCK,FL,concurrentesenR,ylarectaORtrazadayprolongadacortaráalastangentesparalelasCF,KL,enlospuntosdecontacto.EstoesevidenteporelCorolario2delLemaXXIV.Delmismomodoesposible hallar los demás puntos de contacto y finalmente, por la construcción delprob.XIV,describirlatrayectoria.Q.E.F.

ESCOLIO

Los problemas en que se dan o los centros o las asíntotas de las trayectoriasquedanincluidosenloqueprecede.Puesdadosalavezloscentrosylospuntosylastangentes, estándados también todos losdemáspuntosy tangentesde laotraparteequidistantes del centro. Una asíntota debe ser considerada como si fuera unatangente y su término infinitamente distante (por decirlo así) como el punto decontacto. Imagínesequeelpuntodecontactodeuna tangentecualquiera sealejasehastaelinfinito,entalcasolatangentesetransformaenasíntotaylasconstruccionesdelosproblemasprecedentessetransformanenconstruccionesenlasquesedaunaasíntota.


Unavezdescritalatrayectoriaesposiblehallarlosejesylosfocosdelamismaporestemétodo.EnlaconstrucciónyfiguradelLemaXXIhágasequelosladosBP,CP, de los ángulos móviles PBN, PCN, con cuya intersección se describía latrayectoria,seanentresíparalelosy,conservandosumismaposición,girensobresuspolosB,C,endichafigura.Entretanto,losotrosladosCN,BN,dedichosángulosdescribiránconsu intersecciónenKok el círculoBGKC.SeaOelcentrodeestecírculo.DesdeestecentrotrácesesobrelareglaMN,enlaqueconcurríanlosladosCN,BN,mientrassetrazabalatrayectoriacónica,lanormalOHquecortaelcírculoenKyL.YcuandolosotrosladosCK,BK,concurrenenelpuntosusodichoKqueestámáscercadelaregla,losladosprimerosCP,BP,seránparalelosalejemayor,yperpendicularesalmenor;ylocontrarioocurrirásilosmismosladosconcurrenenelpuntomásdistanteL.Dedondesisedaelcentrodelatrayectoriasedarántambiénlosejes.Ydadoséstos,losfocosestánaunpaso.

Pero loscuadradosde losejesestánentresícomoKHaLH,ydeaquíes fácildescribirunacónicadeunaespeciedadaporcuatropuntosdados.PuessidosdelospuntosdadossetomancomolospolosC,B,eltercerodarálosángulosmóvilesPCK,PBK; dados éstos se puede trazar el círculo BGKC. Entonces, por estar dada laespeciedetrayectoriacónica,setendrálarazónOHaOKyportantolapropiaOH.Concentro enOycondistanciaOH tráceseotro círculoy la recta tangente a estecírculoquepasaporelcrucedelosladosCK,BK,cuandolosladosprimerosCP,BP,concurrenenelcuartopuntodado,serálareglaaquellaMNconcuyaayudasetrazalatrayectoria.Dedondetambiénavecesuntrapeciodeespeciedada(siseexceptúanalgunoscasosimposibles)puedeinscribirseencualquieraseccióncónicadada.


HayotrosLemasencuyavirtudpuedentrazarsetrayectoriasdeunaespeciedada,sisedanlospuntosylastangentes.Deestegéneroeseldequesisetrazaunalínearecta por un punto de posición dada que corte a una sección cónica dada en dospuntosysebisecael intervalocomprendidoentre las intersecciones,elpuntode labisección es tangente a otra sección cónica de lamisma especie que la anterior ycuyosejessonparalelosalosejesdelaanterior.Peropasoacosasmásútiles.

LEMAXXVI

Situarunoaunolostresángulosdeuntriángulodeespecieymagnituddadassobretresrectasdadastambiénenposiciónyquenoseanentresíparalelasninguna.

Se tienen en posición tres rectas infinitasAB,AC,BC y es preciso colocar eltriánguloDEFdetalmaneraquesuánguloDtoquelalíneaAB,elánguloEtoquelalíneaAC y el ángulo F la línea BC. SobreDE,DF y EF trácense tres segmentoscircularesDRE,DGF,EMF,quecomprendanángulosrespectivamenteigualesa losángulos BAC, ABC, ACB. Pero se han de trazar estos segmentos sobre aquellaspartesdelaslíneasDE,DF,EF,detalmodoquealgirarlasletrasDRFDlohaganenelmismoordenquelasletrasBACByquelasletrasDGFEgirenenelmismoordenquelasletrasACBA;despuéscomplétenseestossegmentoscircularesensuscírculoscompletos. Sea G el punto en que se corten los dos primeros círculos y sean suscentrosPyQ.UnidosGP,PQ,tómeseGaaABcomoGPaPQy,concentroenGycondistanciaGatráceseuncírculoquecortealcírculoprimeroDGEena.ÚnaseporunaparteaDsecantedelcírculosegundoDFGenbyporotraaEsecantedelcírculoterceroEMFenc.Yyaes factible la figuraABCdeƒ semejante e igual a la figuraabcDEF.Conlocualsecompletaelproblema.


Trácese, pues, Fc que toque a aD en n, y únanse aG, bG, QG, QD, PD. Porconstrucción,elánguloEaDesigualalánguloCAB,yelánguloacFigualalánguloACB,yportantoeltriánguloancequiánguloconeltriánguloABC.LuegoelánguloancoFnD,esigualalánguloABCyportantoalánguloFbD,yporesoelpuntoncoincideconelpuntob.Además,elánguloGPQ,queeslamitaddelángulocentralGPD,esigualalángulonilacircunferenciaGaD,yelánguloGQP,queeslamitaddel ángulo centralGQD, es igual al complementoparados rectosdel ángulo en lacircunferenciaGbDyportantoigualalánguloGba;vasílosángulosGPQ,Gabsonsemejantes;yGaesrespectoaabcomoGPesaPQ;estoes(porconstrucción)comoGa a AB. Pero son iguales ab y AB y por tanto los triángulos abc y ABC, queacabamos de probar que son semejantes, son también iguales. En consecuencia,puesto que los ángulosD, E, F, del triánguloDEF caen respectivamente sobre losladosab,ac,bc,deltriánguloabc,lafiguraABCdeƒpuedesercompletadasemejanteeigualalafiguraabcDEF,yconstruyéndolaquedaráresueltoelproblema.Q.E.F.

COROLARIO.Ahorapuedetrazarseunarectacuyaspartesdelongituddadaquedeninterceptadasentretresrectasdeposiciónduda.SupongamoseltriánguloDEF,cuyopuntoDseacercaalludoEF,ycuyosladosDE,DF,estáncolocadossobreunarecta,convirtiéndose en una línea recta cuya parte dada DE estará interceptada por lasrectasdeposicióndadaAB,ACy laotrapartedadaDFestará interceptadapor lasrectasdeposicióndadaAB,BC;yaplicandolaconstrucciónprecedenteaestecaso


quedaráelproblemaresuelto.

PROPOSICIÓNXXVIII.PROBLEMAXX

Describir una trayectoria dada en cuanto a forma ymagnitud cuyas partes dadasquedeninterceptadasportresrectasdeposicióndada.

La trayectoria que se ha de describir habrá de ser semejante e igual a la curvaDEFyhabrádeestarcortadaportresrectasAB,AC,BC,deposicióndadaenpartessemejanteseigualesalaspartesdadasdeestaDEyEF.

Tracemos las rectas DE, EF, DF y hagamos que los ángulo D, E, F, de estetriánguloDEFcaigansobrelasrectasdeposicióndada(porelLemaXXVI)ydespuéstracemoslatrayectoriaentornoaltriángulosemejanteeigualalacurvaDEF.Q.E.F.

LEMAXXVII

Describiruntrapeciodeformadadacuyosángulostoquencadaunoacadaunadecuatrorectasdadasenposicióntalesquenitodaseanparalelasniconverjanenunpuntocomún.

Sean las cuatro rectas dadas en posición ABC, AD, BD, CE de las cuales, laprimera corta a la segunda en A, a la tercera en I y a la cuarta en C; y hay quedescribiruntrapecioƒghi,queseasemejantealtrapecioFGHI;ycuyoánguloƒigualalángulodadoF,toquealarectaABCyelrestodelosángulosg,h,i,igualesalosángulos también dados G, H, I, toquen a las otra líneas AD, BD, CE,respectivamente. Únase FH y sobre FG, FH FI, trácense otros tantos segmentoscircularesFSG,FTH,FVI,deloscualeselprimeroFSGcomprendaunánguloigualal ángulo BAD, el segundo FTH comprenda un ángulo igual al ángulo CBD y eltercero FVI comprenda un ángulo igual al ángulo ACE Pero deben trazarse lossegmentoshaciaaquellaspartesdela:líneasFG,FH,FI,demodotalqueelordendelasletrasFSGIseaelmismoordencircularqueeldelasletrasBADByqueeorden


delasletrasFTHFseaelmismoqueeldelasletrasCBDCyqueeldelasletrasFVIFseaelmismoensugiroqueelde las letrasACEA.Complétense lossegmentosencírculos completos y sea P el centro del primer círculo FSG, y Q el centro delsegundo ITH. Únanse y prolónguese PQ y tómese sobre ella QR en la mismaproporciónaPQquetieneBCaAB.PerotómeseQRhaciaelladodelpuntoQtalqueelordende las letrasP,Q,R,seaelmismoqueelde las letrasA,B,C;yconcentro enR y con distanciaRF trácese un cuarto círculo FNc que corte al círculotercero FVI en c. Únase Fe cortando al círculo primero en a y al segundo en b.Trácense aG, bH, cI, y puede obtenerse la figura ABCƒghi semejante a la figuraabcFGHI. Una vez hecho esto el trapecio ƒghi será el mismo que era precisoconstruir.


Pues, losdos círculosprimerosFSG,FTH,córtensemutuamente enK.ÚnansePK, QK, RK, aK, bK, cK, y prolónguese QP hasta L. Los ángulos en lascircunferencias FaK, FbK, FdC, son mitades de los ángulos centrales FPK, FQK,FRK,yportantoigualesalosángulosquesonmitaddeellos,LPK,LQK,LRK.Portanto,lafiguraPQRKesequiángulaysemejantealafiguraabcKyporelloabesabccomoPQesaQR,estoes,comoABaBC.YademásporconstrucciónlosángulosƒAg,ƒBh,ƒCisonigualesalosángulosFaG,FbH,Fel.LuegopuedeconstruirselafiguraABCƒghi semejante a la figura abcFGHl. Hecho esto se tendrá el trapecioƒghi, semejante al trapecio FGHI, y con sus ángulos ƒ, g, h, i, tocará a las rectasABC,AD,BD,CE.Q.E.F.

COROLARIO. Ahora se puede trazar una recta cuyas partes, interceptadas porcuatrorectasdadasenposiciónsegúnunciertoorden,tendránentresíunaproporción


dada.AuméntenselosángulosFGH,GHI,hastaelpuntoquelasrectasFG,GH,HI,sehallensobreunamismarectayparaconstruirelproblemaenelpresentecasosetrazará la rectaƒghi cuyas partesƒg, gh, hi, interceptadas por las cuatro rectas deposicióndadaAByAD,ADyBD,BDyCE,seránentresícomolaslíneasFG,GH,HI,ymantendránentresíelmismoorden.Peroestomismosehallamásdirectamentecomosigue.

ProlóngueseABhastaKyBDhastaL,demodoqueBKseauABcomoHIaGH,yDLaBDcomoGIaFG,yúnanseKLconlaprolongacióndeCEpasandopori. Prolónguese iLhastaMdemodoqueLMsea a iMcomoGHes aHI y tráceseahoraMQparalelaaLByquecortealarectaADengasícomogiquecorteaAB,BDenƒ,h.Ydigoqueestáhecho.

PuescorteMgalarectaABenQ,yADalarectaKLenS,ytráceseAPqueseaparalelaaBDytoqueaiLenP,yestaránenidénticarazóngMaLh(giahi,MiaLi,GIaHI,AKaBK)yAPaBL.CórteseDLenRdemodoqueDLseaaRLen lamismadicharazón;yporserproporcionalesgSagM,ASaAPyDSaDL,por lomismo,comogSesaLhseráASaBLyDSaRL;yconjuntamenteBL-RLaLh-BLcomoAS-DSagS-AS.Estoes,BRaBhcomoADaAg,yportanto,comoBDa gQ. Y alternativamente BR a BD como Bh a gQ, o sea ƒh a ƒg. Pero porconstrucciónlalíneaBLfuecortadaenrazónidénticaenDyenRacomolofuelalíneaFIenGyenH:porelloBResaBDcomoFHesaFG.LuegoƒhesaƒgcomoFHesaFG.PerocomotambiénseagiahicomoMiaLi,estoes,comoGIaHI,esevidentequelaslíneasFI,ƒiestáncortadasdemodoigualenG,Hyeng,h.Q.E.F.

EnlaconstruccióndeesteCorolario,despuésdetrazarLKsecantedeCEeni,sepuedeprolongariEhastaVdemodoqueEVseaaEicomoFHesaHI,ytrazarVƒparalela a BD. Lomismo ocurre si con centro en i y distancia IH se describe uncírculoquecorteaBDenXyseprolongaiXhastaYdemodoqueiYseaigualaIF,ysetrazaYƒparalelaaBD.

DeesteproblemayadieronotrassolucionesWrenyWallishacetiempo.

PROPOSICIÓNXXIX.PROBLEMAXXI

Describirunatrayectoriadeformadadaqueestécortadaenpartesdadasenorden,formayproporciónporcuatrorectasdadasenposición.

Hadetrazarseunatrayectoriaqueseasemejantea la líneacurvaFGHIycuyaspartes, semejantes y proporcionales a las partes de aquella FG, GH, HI, esténinterceptadasentre las rectasAByAD,ADyBD,BDyCEdadasenposición, laprimeraentrelasprimeras,lasegundaentrelassegundas,laterceraentrelasterceras.Trazadas las rectas FG, GH, HI, FI, trácese (por el Lema XXVII) el trapecio ƒghi,semejante al trapecio FGHI, y tal que sus ángulos ƒ, g, h, i, toquen las rectas de


posición dadaAB,AD,BD,CE, cada uno a cada una en el orden dicho.DespuéstráceselatrayectoriaentornoaestetrapecioyserásemejantealalíneacurvaFGHI.

ESCOLIO

Tambiénsepuedeconstruiresteproblemacomosigue.UnidosFG,GH,HI,FI,prolóngueseGFhastaV,yúnanseFH,IG,yháganselosángulosCAK,DALigualesalosángulosFGH,VFH.SeanconcurrentesAKyALconlarectaBDenKyenL,ydesdeaquítrácenseKMyLNtalesque,KMformeelánguloAKMigualalánguloGHIyseacomoHIesaGH,yLNformeelánguloALNigualalánguloFHIyseaaALcomoHIesaFH.PerohandetrazarseAK,KM,AL,LNhaciaaquelladodelaslíneasAD,AK,ALquepermitaquelasletrasCAKMC,ALKA,DALNDgirenenelmismoordenquelasletrasFGHIF;ytrazadaMNvayaaencontraraCEeni.HágaseelánguloiEPigualalánguloIGF,yseaPEaEicomoFGaGI;y tráceseporP larectaPQƒquecontengaconlarectaADEalánguloPQEigualalánguloFIG,ycortealarectaABenƒ,yúnaseƒi.PerotrácensePEyPQhacialosladosdelaslíneasCE,PEdemodoqueladisposicióncirculardelasletrasPEiPyPEQPsealamismaqueladelasletrasFGHIF,ysisobrelalíneaƒi,tambiénconelmismoordendelasletras,seformaeltrapecioƒghi,semejantealtrapecioFGHI,ysecircunscribelatrayectoriadeformadada,sehabráresueltoelproblema.

Hastaaquíhemostratadodecómohallarlasórbitas.Faltaahoraquetratemosdecómodeterminarlosmovimientosdeloscuerposenlasórbitasdescubiertas.


SecciónVISOBRECOMOHALLARLOSMOVIMIENTOSENORBITASDADAS

PROPOSICIÓNXXX.PROBLEMAXXII

Hallarellugar,enunmomentodado,deuncuerpoquesemueveenunatrayectoriaparabólicadada.

SeaSelfocoyAelvérticeprincipaldelaparábola,y4ASxMseaigualaláreadelasección parabólicaAPS que ha sido descrita por el radio SP, bien sea después delpaso del cuerpo por el vértice, bien se haya de describir hasta su llegada al dichovértice.Seconocelamagnituddeláreadedichasecciónporsuproporcionalidadaltiempo.EléveselaperpendicularGHtalquecorteendospartesigualesaASenGyseaiguala3M,yelcírculotrazadoconcentroenHyradioHScortaráalaparábolaenellugarbuscadoP.Pues,trazadaPOperpendicularalejeytrazadaPH,ocurrequeAG2+GH2[=HP2=(AO-AG)2+(PO-GH)2]=A02+P02-2GAO-2GHxPO+AG2+GH2.Dedonde2GHxPO[=AO2+PO2-2GAO]=AO2+¾P02.Enlugarde

AO2póngaseAOx PO2

4AS,dividiendotodoslostérminospor3POymultiplicándolos

por2AS resultará 4⁄3GHxAS [=⅙AOxPO+½ASxPO=AO+3AS

6xPO=

4AO-3506

xPO=áreade(APO-SPO)]=aláreadeAPS.


PeroGHera3Myportanto4⁄3GHxASes4ASxM.LuegoeláreacomprendidaenlasecciónAPSesigualaladelasecciónquecorrespondea4ASxM.Q.E.D.

COROLARIO 1. De aquí que GH es a AS como el tiempo en el que el cuerpodescribeelarcoAPaltiempoenqueelcuerpodescribeelarcocomprendidoentreelvérticeAylaperpendicularalejeelevadaporelfocoS.

COROLARIO 2. Y, en el círculo ASP que pasa perpetuamente por el cuerpo enmovimientoP,lavelocidadenelpuntoHesalavelocidadqueteníaelcuerpoenelvérticeAcomo3a8;yportantolalíneaGHestáenesamismarazónrespectoalarectaquepodríadescribireneltiempodesumovimientodesdeAhastaPOG,conlavelocidadqueteníaenelvérticeA.

COROLARIO3.Yviceversa,tambiénpuedehallarse,apartirdeaquí,eltiempoenqueuncuerpodescribeunarcocualquieradeterminadoAP.ÚnaseAPyporsupuntomedioeléveseunaperpendicularquetoquealarectaGHenH.

LEMAXXVIII[29]

Noexiste figuraovalalgunacuyaárea, seccionadaporrectascualesquiera,puedahallarse de modo general mediante ecuaciones finitas en cuanto al número detérminosydimensiones.

Desedentrodelcírculoovalunpuntocualquiera,entornoalcualcomopologireperpetuamente una línea recta, con movimiento uniforme, y mientras tanto, sobredicha línea, salga desde el polo un punto móvil que camine siempre con unavelocidad que sea como el cuadrado de la recta dentro del óvalo. Con estemovimiento dicho punto describirá una espiral de infinitos giros. Ahora bien, sipudiesehallarsemedianteunaecuaciónfinitalapartedeáreaovalcortadaporlatalrecta,tambiénsehallaríamedianteesamismaecuaciónladistanciadesdeelpoloalpuntoyaqueesproporcionaladichaárea,yenconsecuencia,podríanhallarsetodoslos puntos de la espiral mediante una ecuación imita; y por tanto también podríahallarse mediante una ecuación imita la intersección de cualquier recta dada en


posiciónconlaespiral.Perotodarectaprolongadainfinitamentecortaalaespiraleninfinitos puntos, y la ecuación por la que se halla la intersección de dos líneascontienetodaslasinterseccionesentreellasmedianteotrastantasraícesyalcanzaportantotantasdimensionescomointerseccioneshaya.Puestoquedoscírculossecortanmutuamente en dos puntos, una intersección no se halla más que mediante unaecuacióndedosdimensiones,mediantelacualtambiénpuedehallarselaotra.Puestoquelasinterseccionesdedosseccionescónicaspuedensercuatro,nopodráhallarsedemodogeneralunadeellasmásquemedianteunaecuacióndecuatrodimensiones,lacualpermitiráhallarlastodasalavez.Puessisebuscanseparadamentecadaunade dichas intersecciones, dado que la ley y condición de cada una es lamisma, elcálculo será elmismo en todos los casos y por ello la conclusión será siempre lamisma, la cual deberá ademáspor ello contener a la vez todas las interseccionesyexpresarlasindistintamente.Dedondetambiénsesiguequelasinterseccionesdelassecciones cónicas con las curvas de tercer grado, dado que pueden ser seis, seresolverán conjuntamente mediante ecuaciones de seis dimensiones, y lasintersecciones de dos curvas de tercer grado, puesto que pueden ser nueve, seresolveránalavezmedianteecuacionesdenuevedimensiones.Siestonofueseasídemodonecesario,seríaposiblereducirtodoslosproblemasdesólidosaproblemasdeplanosylosdeordensuperioralossólidosaproblemasdesólidos.Habloaquídecurvas de grado irreductible. Pues si la ecuación por la que se define la curva sepuedereduciraungrado inferior,noseríaunasolacurvasinocompuestadedosomás cuyas interseccionespuedenhallarsepor separadomediante cálculosdistintos.Del mismo modo las dos intersecciones de las rectas y las secciones cónicas seresuelvensiempremedianteecuacionesdedosdimensiones;lastresinterseccionesdelas rectas con las curvas irreductibles de tercer gradomediante ecuaciones de tresdimensiones, las cuatro intersecciones de rectas con curvas irreductibles de cuartogradomedianteecuacionesdecuatrodimensionesyasíhastaelinfinito.Portanto,lasinfinitasinterseccionesentreunarectayunaespiral,dadoqueestacurvaessimpleynosepuedereduciraotrasvariascurvas,requierenecuacionesdeinfinitonúmerodedimensionesyraícesmediantelascualespuedanresolversetodaslasinterseccionesala vez.Ello porque la ley y el cálculo de todas son idénticos. Pues si se traza unaperpendicular desde el polo sobre dicha recta secante y se hace girar dichaperpendicularentornoalpolojuntoconlasecante,lasinterseccionesdelaespiralsesucederánmutuamenteunaaotray laqueestaba laprimeraomáscercana será lasegundaalcabodeuna revolución, la terceradespuésdedos,yasí sucesivamente;peromientrastantonocambiarálaecuaciónsalvoenlamedidaenquecambienlasmagnitudesdelascantidadesporcuyomediosedeterminalaposicióndelasecante.Porlocual,dadoquedichascantidadesvuelvenaser,despuésdecadarevolución,lasmismasqueeranalprincipio,laecuacióntambiénvuelveaserdelamismaformayportanto,unaylamismaecuaciónofrecerátodaslasinterseccionesyporellotendráel infinito número de raíces por medio de las cuales sería posible ofrecer todas


aquellas.Enconsecuencia,nosepuedehallardemodogenerallainterseccióndeunarectayuna espiralmedianteuna ecuación finita, ypor esomismono existe figuraoval cuyo área cortada por rectas cualesquiera pueda ser determinada de modogeneralpormediodeecuaciónalgunadeestetipo.

Medianteelmismoargumentopuedeprobarseque,sielintervaloentreelpoloyelpuntoconelquesedescribelaespiralsetomaseproporcionalmentealperímetrodelafiguraovalabscindida,tampocoesposiblehallarlalongituddelperímetrodeunmodogeneralmedianteunaecuaciónfinita.Peroaquíhablodeóvalosalosquenosontangentesfigurasconjugadasqueevadenalinfinito.

COROLARIO.Deaquíqueeláreadeunaelipsedescritaporelradiotrazadodesdeunfocohastauncuerpoenmovimiento,nopuedehallarseapartirdel tiempodadopor medio de una ecuación finita; y por eso no se podrá determinar mediante ladescripción de curvas racionales geométricamente. Denomino racionalesgeométricamentealascurvascuyospuntostodospuedenserestablecidospormediode longitudes definidas mediante ecuaciones, esto es, por razones complejas delongitudes;alasdemás(espirales,cuadráticas,trocoides)lasdenominoirracionales.Pues las longitudes que son o que no son como número a número (según el librodécimodelosElementos)sonracionalesoirracionalesaritméticamente.Asípues,deuna elipse segrego el área proporcional al tiempo mediante una curvageométricamenteirracionaldelmodosiguiente.

PROPOSICIÓNXXXI.PROBLEMAXXIII

Hallarellugarenunmomentodadodeuncuerpoquesemueveenunatrayectoriaelípticadada.

SeaAelvérticeprincipal,Sel focoyOelcentrode laelipseAPB,yseaPellugarahallardelcuerpo.ProlóngueseOAhastaGdemodoqueOGseaaOAcomoOAaOS.EléveselaperpendicularGH,yconcentroenOydistanciaOGtráceseelcírculo GEF, y sobre la regla GH a modo de base hágase avanzar la rueda GEFgirandosobresuejeymientrastantovadescribiendoconsupuntoAlatrocoideALI.Hechoesto,tómeseGKenrazónalperímetrodelaruedaGEFGcomoeltiempoenqueelcuerpopartiendodeAdescribióelarcoAPaltiempodeunarevoluciónenlaelipse.EléveselaperpendicularKLqueseencuentraconlatrocoideenL,ytrazadaLPparalelaalapropiaKG,encontraráalaelipseenellugarbuscado,P,delcuerpo.


Pues con centro en O y distancia OA trácese el semicírculo AQB y LP,prolongadasiespreciso, toqueenQalarcoAQ,yúnanseSQyOQ.ToqueOQalarcoEFG en F y sobre la propiaOQ trácese la perpendicular SR.El áreaAPS escomoeláreaAQS,estoes,comoladiferenciaentreelsectorPQAyeltriánguloOQSotambiéncomoladiferenciaentrelosrectángulos½OQxAQy½OQxSR,estoes,porestardado½OQ,comoladiferenciaentreelarcoAQylarectaSR,yportanto(alserigualeslasrazonesdadasSRalsenodelarcoAQ,OSaOA,OAaOG,AQaGF,ydividiendo,AQ-SRaGF-senodelarcoAQ)comoGK,diferenciaentreelarcoGFyelsenodelarcoAQ.Q.E.D.

ESCOLIO[30]

Porlodemás,comoladescripcióndeestacurvaseadificultosa,esmejordarunasolución aproximada. Hállese entonces un cierto ángulo B que sea al ángulo de57,29578grados,queeselquesubtiendeunarcoigualalradio,comoladistanciaSHentre focos al diámetro AB de la elipse; a continuación hállese una determinadalongitudLqueestéinversamenteenlamismarazónalradio.Unavezhalladasambascosas, puede resolverse el problema mediante el análisis siguiente. SupóngaseconocidoellugarPdelcuerpo,próximoasuverdaderolugarp,atravésdecualquieraconstrucción,o inclusomedianteunaconjetura.Trazadasobreelejede laelipse laordenada PR, por la proporción de los diámetros de la elipse, tendremos dada laordenadaRQdelcírculocircunscritoAQB,lacualeselsenodelánguloAOQ,siendoelradioAO,ycortatambiénalaelipseenP.Hastahallardichoánguloconuncálculorudimentario en valor aproximado. Supóngase también conocido el ángulo que esproporcionalaltiempo,estoes,elqueseaacuatrorectoscomoeltiempoenelqueelcuerpo describe el arco Ap al tiempo de una revolución en la elipse. Sea N esteángulo.Tómense ahoraun ánguloDque sea al ánguloBcomoel senodel ánguloAOQalradio,yunánguloEqueseaalánguloN-AOQ+DcomolalongitudLalapropialongitudL,disminuidaoaumentadaenelensenodelánguloAOQsegúnesteángulo seamenor omayor queun recto.Después tómenseun ánguloFque sea alánguloBminoelsenodelánguloAOQ+EalradioyunánguloGqueseaalánguloN - AOQ - E + F como la longitud L es a la propia longitud L disminuida o


aumentadaenelcosenodelánguloAOQ+Esegúnesteánguloseamenoromayorqueunrecto.PorterceraveztómenseunánguloHqueseaalánguloBcomoelsenodelánguloAOQ+E+GesalradioyunánguloIqueseaalánguloN-AOQ-E-G+ H como la longitud L es a la propia longitud L disminuida o aumentada en elcosenodelánguloAOQ+E+Gsegúnesteánguloseamenoromayorqueunrecto.Vasíesposibleseguirhastaelinfinito.TómeseporfinelánguloAOqigualalánguloAOQ+E+G+I+etc.YapartirdesucosenoOrydesuordenadapr,queesasusenoqrcomoeselejemenordelaelipsealejemayor,setendráellugarcorrectopdelcuerpo.CuandoelánguloN-AOQ+Dresultanegativo,el signo IdeEdebecambiarsesiempreen-yelsigno-en+.LomismohadeentenderseparalossignosdeGeI,cuandoresultannegativosN-AOQ-E+FyN-AOQ-E-G+H.PerolaserieinfinitaAOQ+E+G+I,etc.,convergetanrápidamentequemuyescasamenteseránecesariopasardelsegundotérminoE.Yelcálculosebasaenelteoremadequeel área APS es como la diferencia entre el arco AQ y la recta trazadaperpendicularmentedesdeelfocoSalradioOQ.

Conuncálculosimilarseresuelveelproblemaenlahipérbola.SeaOsucentro,Asuvértice,Sel focoyOKlaasíntota.Seaconocida lacantidaddeláreaasegregarproporcionalaltiempo.SeaéstaA,yhágaselaconjeturasobrelaposicióndelarectaSP que segrega muy aproximadamente el área verdadera de APS. Únase OP ytrácensedesdeAyPhastalaasíntotaAI,PKparalelasalaotraasíntota,ysetendrá,porlatabladelogaritmoseláreaAIKPyeláreaigualaéstadeOPA,lacualrestadadeláreadeltriánguloOPSdacomorestoeláreasegregadaAPS.Aplicandoeldoblede la diferencia del área a segregarA y de la segregadaAPS, 2APS - 2A o 2A -2APS,alalíneaSN,queesperpendiculardesdeelfocoSalatangenteTP,resultarálalongituddelacuerdaPQ.PeroestacuerdaPQhadeinscribirseentreAyPsieláreasegregadaAPSesmayorqueeláreaasegregarA,denoserasíhadeinscribirsehacia el otro lado de P: y el punto Q será un lugar más exacto del cuerpo. Yrepitiendoelcálculosehallarásiempreconmayorexactitud.


Asípues,conestoscálculoselproblemaalcanzaunasoluciónanalíticageneral.Peroparausosastronómicosesmáscómodoelcálculoparticularsiguiente.SeanAO,OB,ODlossemiejesdelaelipse,Lel«latusrectum»delamisma,Dladiferenciaentre el semiejemenorODy lamitad del «latus rectum»,½L; hállese entonces elánguloY cuyo seno sea al radio como el rectángulo bajo dicha diferencia D y lasemisumadelosejesAO+ODesalcuadradodelejemayorAB;despuéshálleseelánguloZcuyosenoseaal radiocomoeldobledel rectángulobajo ladistanciaSHentrelosfocosydichadiferenciaDaltripledelcuadradodelsemiejemayorAO.Unavez hallados éstos, el lugar del cuerpo se determinará a continuación del modosiguiente.TómeseelánguloTproporcionalal tiempoenquesehadescritoelarcoBP,oigualalmovimientomedio(comosedice);yunánguloV,primeraecuacióndelmovimientomedio,alánguloY,primeraecuaciónmáxima,comoeselsenodeldobledel ángulo T al radio; y un ángulo X, segunda ecuación, al ángulo Z, segundaecuaciónmáxima,comoelcubodelsenodelánguloTesalcubodelradio.DelosángulosT,V,X,tómeseelánguloBHP,ecuacióndelmovimientomedio,talqueseaigualoalasumadeT+X+VsielánguloTesmenorqueunrecto,oaladiferenciadeT+X-Vsifuesemayorqueunrectoymenorquedos;ysiHPtocaalaelipseenP, trazadaSP,segregaráeláreaBSPmuyaproximadamenteproporcionalal tiempo.Esta fórmulaparecebastante fácil, habidacuentadequebastahallar lasdoso tresprimeras figurasde losángulosmuypequeñosVyXestablecidos, si sequiere, enminutossegundos.Yademásessuficientementeexactaparalateoríadelosplanetas.Puesen laórbitadeMarte, cuyaecuaciónmáximadel centroesdediezgrados, elerrorapenasserámayorqueunminutosegundo.PerounavezhalladoelánguloBHP,ecuación del movimiento medio, ya se tiene inmediatamente por un método bienconocidotantoelángulodelmovimientorealBSPcomoladistanciaSP[31].


Hasta aquí sobre el movimiento de los cuerpos en líneas curvas. Pero puedeocurrirqueunmóvilasciendaodesciendaporunalínearecta,ypasoaexponerahoraloqueserefiereaestosmovimientos.


SecciónVIIDELASCENSOYDESCENSORECTILÍNEODELOSCUERPOS

PROPOSICIÓNXXXII.PROBLEMAXXIV

Supuestoque la fuerzacentrípetasea inversamenteproporcionalalcuadradode ladistancia de los lugares al centro, determinar los espacios que, en tiempos dados,recorreuncuerpocayendoenlínearecta.

CASO1.Siuncuerponocaeperpendicularmentedescribirá(porelCorolario1delaProposiciónXIII)unacierta seccióncónicacuyo fococoincidiráconelcentrodefuerzas.SeaARPBdichaseccióncónicaySsufoco.Primeroenelcasodequedichafiguraseaunaelipse;sobresuejemayorABtráceseelsemicírculoADB,ypaseporelcuerpoquecaelarectaDPCperpendicularaleje;ytrazadasDS,PS,eláreaASDseráproporcionalaláreaASP,asícomoaltiempo.ManteniendoelejeAB,disminuyala latitud de la elipse continuamente y el área ASD seguirá siendo continuamenteproporcional al tiempo.Disminúyase infinitamente aquella latitud y, al coincidir laórbitaAPBconelejeAByelfocoSconelextremoBdeleje,tambiénresultaráel


áreaABDproporcionalaltiempo.YasísetendráelespacioACqueseráeldescritoporelcuerpoquecaeperpendicularmentedesdeAenuntiempodado,siemprequesetomeeláreaABDproporcionalaltiempoysetracedesdeelpuntoDhastalarectaABlaperpendicularDC.Q.E.I.

CASO2.SidichafiguraRPBesunahipérbola,trácesesobresudiámetroprincipalABlahipérbolarectangularBED;ypuestoquelasáreasCSP,CBƒP,SPƒBsonalasáreasCSD,CBED,SDEB,cadaunaacadauna,comolarazóndadadelasalturasCP,CD;ycomoeláreaSPƒBesproporcionalaltiempoenelqueelcuerposemoveráalolargodelarcoPƒB,eláreaSDEBserátambiénproporcionalaesemismotiempo.Disminúyaseel«latusrectum»delahipérbolaRPBhastaelinfinitomanteniendoelladotransverso,yelarcoPBcoincidiráconlarectaCByelfocoSconelvérticeBylarectaSDconlarectaBD.Portanto,eláreaBDEBseráproporcionalaltiempoenelqueelcuerpoCencaídarectadescribelalíneaCB.Q.E.I.


CASO 3. Y con similar argumento si la figura RPB es una parábola, y por elmismovértice principalB se describe otra parábolaBEDque siempre permanezcadada, mientras la primera parábola, en cuyo perímetro se mueve el cuerpo P, vadisminuyendosu«latus rectum»hastaqueseanula, llegaráacoincidircon la líneaCB;haráentoncesqueelsegmentoparabólicoBDEBseaproporcionalaltiempoenquedichocuerpoPoCcaehastaelcentroSoB.Q.E.I.

PROPOSICIÓNXXXIII.TEOREMAIX

Supuestoloyadescubierto,digoquelavelocidaddeuncuerpoquecaeenunlugarCesa lavelocidaddeuncuerpoquegiraencírculoconcentroBydistanciaBC,comolaraízcuadradadelarazóndeAC,distanciadelcuerpoalvérticeAulteriordelcírculoodelahipérbolarectangular,respectoa½AB,semidiámetroprincipaldelafigura.

Hágase enO la biseccióndeAB,diámetro comúnde ambas figurasRPB,DEB;ytrácese la recta PT, tangente a la figura RPB en P, y que corte también a dichodiámetro común AB (prolongado si es necesario) en T; y sea SY perpendicular adicharecta,lomismoqueBQalsusodichodiámetro,ysupóngasequeLseael«latusrectum»de la figuraRPB.Se sabeporelCorolario9de laProposiciónXVIque lavelocidaddeuncuerpoquesemuevesobrelalíneaRPBentornoalcentroSenunlugarcualquieraPseráalavelocidaddeuncuerpoquesemueveentornoalmismocentrodescribiendouncírculoaladistanciaSP,comolaraízcuadradadelarazóndelrectángulo½LxSP aSYal cuadrado.Pues, por las cónicas,ACBes aCP2como

2AO aL, y por tanto, 2CP2xAOACB

es igual a L. Por tanto dichas velocidades son

entresícomolaraízcuadradade CP2xAOxSPACxCB

esaSY2.Además,porlascónicas,

COes aBOcomoBOes aTOy, componiendoodividiendo, comoCBaBT.Dedonde,dividiendoocomponiendo,seráBO±COaBOcomoCTaBT,estoes,ACa

AO como CP a BQ; y de aquí que CP2xAOxSPACB

sea igual a BQ2xACxSPAOxBC

.

DisminúyaseahoralaanchuraCPdelafiguraRPBhastaelinfinitodemodoqueelpuntoPcoincidaconelpuntoCyelpuntoSconelpuntoBylalíneaBQ;yahoralavelocidaddelcuerpoquecaeporlalínearectaCBseráalavelocidaddeuncuerpoquedescribeuncírculodecentroBydistanciaBCcomolaraízcuadradadelarazón


BQ2xACxSPAOxBC

aSY2,estoes(despreciandolasrazonesdelaigualdaddeSPaBCy

BQ2aSY2),comolaraizcuadradadelarazóndeACaAOode½AB.Q.E.D.

COROLARIO1.AlcoincidirlospuntosByS,TCseráaTScomoACaAO.COROLARIO2.Siuncuerpogiraenuncírculodedeterminadadistanciaalcentro,

aldesviarsumovimientohaciaarribasubiráhastaduplicarsudistanciaalcentro.

PROPOSICIÓNXXXIV.TEOREMAX

Si la figuraBEDesunaparábola,digoque lavelocidaddeuncuerpoquecaeencualquier punto C es igual a la velocidad con la que un cuerpo puede describiruniformementeuncírculodecentroByconlamitaddesuintervaloBC.


PueslavelocidaddeuncuerpoquedescribeunaparáboladecentroSsiendolaparábolaRPB será en un punto P cualquiera (por elCorolario 7 de la ProposiciónXVI) igual a la velocidad de un cuerpo que describe un círculo uniformemente entorno almismo centro S a lamitad del intervalo SP.Disminúyase infinitamente laanchuraCPdelaparábolahastaqueelarcoparabólicoPƒBcoincidaconlarectaCB,elcentroSconelvérticeByel intervaloSPconel intervaloBC,y laproposiciónseráevidente.Q.E.D.

PROPOSICIÓNXXXV.TEOREMAXI

Con losmismos supuestos, digo que el área de la figuraDES, descrita con radioindefinidoSD,seráigualaláreaquepuededescribirenelmismotiempouncuerpogirandouniformementeentornoalcentroSyconradioigualalamitaddel«latusrectum»delafiguraDES.

Pues imagínese que un cuerpo C describe al caer en la mínima partícula detiempoelsegmentoCc,mientrasotrocuerpoK,girandouniformementeenelcírculoOKkentornoalcentroS,describeelarcoKk.ElévenselasperpendicularesCD,cdqueseencuentranconlafiguraDESenDyend.ÚnanseSD,Sd,SK,Sky tráceseDdqueencuentraalejeASenTysobreellahágasedescenderlaperpendicularSY.

CASO1.SiahoralafiguraDESesuncírculoounahipérbolarectangulartráceseen O la bisección de su diámetro transverso AS, y SO será lamitad de su «latusrectum».YpuestoqueTCesaTDcomoCcaDdyTDaTScomoCDaSY,tambiénseráTCaTScomoCDxCcaSYxDd.Pero(porelCorolario1delaProposiciónXXXIII)TCesaTScomoACesaAOsialconfundirselospuntosD,dsetomanlasrazonesúltimasdelaslíneas.LuegoACesaAOoSKcomoCDxCcesaSYxDd.AdemáslavelocidaddeuncuerpoquecaeenCesalavelocidaddeuncuerpoquedescribeuncírculodeintervaloSCycentroScomolaraízcuadradadelarazónde


ACaAOoSK(porlaProposiciónXXXIII).YestavelocidadesalavelocidaddeuncuerpoquedescribaelcírculoOKk como la raízcuadradade la razóndeSKaSC(por el Corolario 6 de la Proposición IV) y por lanío la velocidad primera es a laúltima,estoeselsegmentoCcalarcoKk,comolaraízcuadradadelarazóndeACaSC,estoes,enrazóndeACaCD.PorlocualCDxCcesigualaACxKk,yportantoACesaSKcomoACxKkaSYxDd,ydeaquíqueSKxKkseaigualaSYxDd,y½SKxKk iguala½SYxDd,estoes,eláreaKSk igualaláreaSDd.Por lotantoencadapartículadetiemposegeneranpartículasdedosáreasKSkySDdquesidisminuyenenmagnitudyaumentanennúmeroinfinitamente,lleganaseriguales,yporconsiguiente (porelCorolariodelLema IV), todas las áreasgeneradasa lavezsonsiempreiguales.Q.E.D.

CASO2.PerosilafiguraDESfueseunaparábola,hallaremoscomoantesqueCDxCcesaSYxDdcomoTCaTS,estoes,como2a1,yportanto¼CDxCcesiguala½SYxDd.PerolavelocidaddeuncuerpoquecaeenCesigualalavelocidadconque puede describir un círculo uniformemente con intervalo de ½SC (por laProposiciónXXXIV).Yestavelocidadesalavelocidadconlaquepuededescribiruncírculo de radio SK, esto es, el segmentoCc al arcoKk (por el Corolario 6 de laProposiciónIV)comolaraízcuadradadelarazóndeSKa½SC,estoes,enlarazóndeSKa½CD.Porlocual½SKxKkesiguala¼CDxCc,yportantoiguala½SYxDd,estoes,eláreaKSkigualaláreaSDd,comoantes.Q.E.D.


PROPOSICIÓNXXXVI.PROBLEMAXXV

DeterminarlostiemposdedescensodeuncuerpoquecaedesdeunpuntodadoA.

SobreeldiámetroAS,distanciainicialdelcuerpoalcentro,tráceseelsemicírculoADS,y tambiénel semicírculoOKHigualal anterioryconcentroenS.DesdeC,lugarcualquieradelcuerpo,elévese laordenadaCD.ÚnaseSD,yhágaseel sectorOSKigualaláreaASD.PorlaProposiciónXXXVesevidentequeuncuerpoalcaerrecorre el espacio AC en el mismo tiempo en que otro cuerpo, girandouniformementeentornoalcentroS,puededescribirelarcoOK.Q.E.F.


PROPOSICIÓNXXXVII.PROBLEMAXXVI

Determinarlostiemposdeascensoocaídadeuncuerpolanzadohaciaarribaohaciaabajodesdeunpuntodado.

SeaGelpuntodepartidadelcuerposiguiendolalíneaGSyconunavelocidadcualquiera.TómeseGAa½AScomoelcuadradodelarazóndedichavelocidadalavelocidaduniformeconqueuncuerpopuedegirarenuncírculodeintervalodadoGycentroS.Sidicharazónesde2a1,elpuntoAdistainfinitamente,encuyocasohadetrazarseunaparábolaconvérticeS,ejeSG,y«latusrectum»cualquiera.EstoesevidenteporlaProposiciónXXXIV.Perosidicharazónesmenoromayorque2a1,enelprimercaso,debedescribirseuncírculosobreeldiámetroSAyenelsegundounahipérbolarectangular.EsevidenteporlaProposiciónXXXIII.AhoraconcentroSe intervalo igual a lamitad del «latus rectum» trácese el círculoHkK, y desde elpuntoGdelcuerpoqueasciendeocaeydesdeotropuntocualquieraCelévenselasperpendiculares GI, CD que tocan a la sección cónica o al círculo en I y en D.Después, unidasSI,SD, iguálense los segmentosSEIS,SEDSa los sectoresHSK,HSk,ypor laProposiciónXXXV, el cuerpoG recorreráelespacioGCenelmismotiempoenqueelcuerpoKpuededescribirelarcoKk.Q.E.F.

PROPOSICIÓNXXXVIII.TEOREMAXII

Supuesto que la fuerza centrípeta sea proporcional a la altura o distancia de loslugares al centro, digo que los tiempos de caída, las velocidades y los espaciosrecorridossonrespectivamenteproporcionalesalosarcos,alossenosrectosyalossenosversosdelosarcos.


SeauncuerpoquecaedesdeunlugarcualquieraAysegúnlalíneaAS;ydesdeelcentrodefuerzasS,yconintervaloAS,tráceseelcuadrantecircularAE,yseaCDelsenorectodeunarcocualquieraAD;yelcuerpoA,enel tiempoAD,recorreráalcaerelespacioAC,yenelpuntoCalcanzarálavelocidadCD.

SedemuestraestopartiendodelaProposiciónXdelmismomodoquepartiendodelaProposiciónXIsedemostrólaProposiciónXXXII.

COROLARIO 1.De aquí que sean iguales los tiempos en que un cuerpo que caedesdeelpuntoAllegahastaSyotrocuerpogirandorecorreelarcocuadrantalADE.

COROLARIO2.Porlotanto,lostiempostodosenqueloscuerposquecaendesdeunlugarcualquierahastaelcentrosoniguales.Puestodoslostiemposperiódicosdecuerposenrevoluciónsoniguales(porelCorolario3delaProposiciónIV).

PROPOSICIÓNXXXIX.PROBLEMAXXVII

Supuestaunafuerzacentrípetadecualquierclase,yconcedidaslascuadraturasdelasfigurascurvilíneas,sepidelavelocidaddeuncuerpoqueasciendeocaesegúnunarectaencadapuntodelamisma,ytambiéneltiempoenquellegaráacadaunodelospuntos;yviceversa.

Sea el cuerpo E que cae desde el punto cualquieraA según la rectaADEC, ydesde su lugar E elévese la perpendicular EG, proporcional siempre a la fuerzacentrípeta tendente en ese lugar hacia el centro C: sea BFG una línea curvacontinuamentetangentedelpuntoG.AlcomienzodelmovimientocoincidaEGconlaperpendicularAB,ylavelocidaddelcuerpoenunpuntocualquieraEserácomolarectaqueelevadaalcuadradoseaigualaláreacurvilíneaABGE.Q.E.I.

Tómese sobre EG la distancia EM, inversamente proporcional a la recta queelevadaalcuadradoseaigualaláreaABGE,yseaVLMunalíneacurvaalaqueelpuntoMseacontinuamentetangente,ycuyaasíntotasealaprolongacióndelarecta


AB;yel tiempoenqueuncuerpoalcaer recorreelespacioAEserácomoeláreacurvilíneaABTVME.Q.E.I.

PuessobrelarectaAEtómeseelsegmentomínimoDEdeunalongituddada,yseaDLF el lugar de la línea EMG, cuando el cuerpo pasaba por D; y si la fuerzacentrípetafuesetalquelarecta,cuyocuadradoesigualaláreaABGE,seacomolavelocidaddelcuerpoquecae,eláreamismaserácomoelcuadradodelavelocidad,estoes,siserepresentanlasvelocidadesenDyEporVyV+I,eláreaABFDserácomoVV,yeláreaABGEcomoVV+2VI+IIy,restando,eláreaDFGEcomo2VI

+II,porlocualDFGEDE

como2VI+IIDE

,estoes,sisetomanlasrazonesprimerasde

estas cantidades en su momento inicial, la longitud DF es como2VIDE

, y en

consecuenciatambiéncomolamitaddeestacantidadIxVDE

.Peroeltiempoenelque

elcuerpocaerrecorreelsegmentoaquelDEesdirectamentecomodichosegmentoeinversamentecomolavelocidadV,ylafuerzaesdirectamentecomoelincremento1delavelocidadeinversamentecomoeltiempo,yportanto,sisetomanlasrazones

primeras iniciales, como,IxVDE

, esto es, como la longitud DF. Luego una fuerza

proporcionalaDFotambiénaEGharáqueelcuerpocaigaconunavelocidadtalqueseacomolarectacuyocuadradoseaeláreaABGE.Q.E.D.

Porlodemás,comoeltiempoenquepuederecorrerseunsegmentomínimoDEdelongituddada,seainversamentecomolavelocidadyporendeinversamentecomo


lalínearectacuyocuadradoseaeláreaABFD;y,porotraparte,seaDL,ytambiéneláreanacienteDLME, inversamentecomodicha línea recta, el tiempo será comoeláreaDLME,ylasumadetodoslostiemposcomolasumadetodaslasáreas,estoes(porelCorolariodelLemaIV),latotalidaddelostiemposenqueserecorrelalíneaAEcomoeláreatotalATVME.Q.E.D.

COROLARIO1.SifuesePellugardesdeelquedebiesecaeruncuerpourgidoporunafuerzacentrípetauniformeconocida(comosesuponegeneralmentelagravedad)demodoqueenelpuntoDadquieraunavelocidadigualaladeotrocuerpoenesepunto D que la ha adquirido al caer merced a otra fuerza cualquiera, y sobre laperpendicularDFsetomaraDRtalqueseaaDFcomodichafuerzauniformeesalaotrafuerzaenD,ysecompletaseelrectánguloPDRQ,ysesegregaseeláreaABFDigual almismo; entoncesA será el lugar desde el cual cayó el otro cuerpo. Pues,completandoelrectánguloDRSE,comoeláreaABFDseaaláreaDFGEcomoVVa2VI,ypor lomismocomo½Va I, esto es, como lamitadde lavelocidad total alincrementodelavelocidaddelcuerpoquecaeempujadoporlafuerzanouniforme;ysimilarmenteeláreaPQRDesaláreaDRSEcomolamitaddetodalavelocidadalincrementodelavelocidaddelcuerpoquecaeconfuerzauniforme,ycomodichosincrementos (por la igualdad de los tiempos nacientes) son como las fuerzasgeneratrices, esto es, como las ordenadas DF, DR, y por tanto, como las áreasnacientesDFGE,DRSE;enconsecuencia,lasáreastotalesABFD,PQEDseránentresícomolasmitadesdelasvelocidadestotales,yporlotanto,seránigualesporserlasvelocidadesiguales.

COROLARIO2.DeaquíquesiuncuerpoeslanzadodesdecualquierpuntoDhaciaarriba o hacia abajo con una velocidad dada, y se supone la ley de la fuerzacentrípeta, su velocidad en otro punto e se hallará elevando la ordenada eg, y


tomandodichavelocidadalavelocidadenelpuntoDcomolarecta,cuyocuadradoequivalga al rectánguloPQRDaumentado en el área curvilíneaDFge si el puntoeestá por debajo del punto D y disminuido si está por arriba, es a la recta cuyocuadradoequivalgasóloalrectánguloPQRD.

COROLARIO3.Tambiénsehallaeltiempoelevandolaordenadaeminversamenteproporcional al lado cuadrado de PQRD ± DFge, y tomando el tiempo en que elcuerpohubiesedescritolalíneaDealtiempoenqueotrocuerpocayendoconfuerzauniformedesdePllegahastaD,comoeláreacurvilíneaDLmealrectángulo2PDxDL.Puestoqueeltiempo,enelquecayendoconfuerzauniformeuncuerpodescribelalíneaPDesaltiempoenelqueelmismocuerpodescribelalíneaPE,comolaraízcuadradadelarazóndePDaPE,estoes(considerandoelsegmentoDEenelinstantede su nacimiento), como la razón de PD a PD +½DE o como 2PD +DE, y porpartes,altiempoenquedichocuerporecorrióelsegmentoDEcomo2PDaDE,yportanto como el rectángulo 2PDxDLal áreaDLME;y el tiempo en que un cuerpodescribió el segmento DE es al tiempo en que el otro describió con movimientovariablelalíneaDecomoeláreaDLMEaláreaDLme,yporconsiguienteelprimertiempoesalúltimocomoelrectángulo2PDxDLaláreaDLme.


SecciónVIIIDECÓMOHALLARÓRBITASENLASCUALESGIRASENCUERPOSSUJETOSAFUERZASCENTRÍPETASCUALESQUIERA

PROPOSICIÓNXL.TEOREMAXIII

Si un cuerpo se mueve de cualquier forma sujeto a la acción de una fuerzacentrípeta, y otro cuerpo sube o baja por una línea recta, y en algúnmomento dealturasigualesfuesenigualessusvelocidades,seránigualessusvelocidadesentodaslasalturasiguales.

Caiga un cuerpo desdeA a través deD, E hacia un centroC, ymuévase otrocuerpodesdeVsegúnlalíneacurvaVIKk.ConcentroenCydistanciascualesquieratrácense loscírculosconcéntricosDI,EKque tocana la rectaACenDyEya lacurva VIK en I y K. Únase IC que cortará a KE en N; y sobre IK trácese laperpendicularNT;seatambiénmuypequeñoelintervaloentrecircunferenciasDEoIN,yseanigualeslasvelocidadesdeloscuerposenDyI.PuestoquelasdistanciasCD,CIsoniguales,lasfuerzascentrípetasenDyenIserániguales.RepresentenaestasfuerzaslossegmentosigualesDE,IN;siunadelasfuerzasIN(porelCorolarioIIdelasLeyes)sedescomponeendosNTyIT,lafuerzaNT,actuandosegúnlalíneaNT,perpendiculara la trayectoria ITKdelcuerpo,ennadaalterará lavelocidaddedichocuerpoensucurso,sinoquesolamentelodesviarádesucursorectilíneoyharáque dicho cuerpo, apartándose continuamente de la tangente de la órbita, caminesegúnlatrayectoriacurvaITKk.Todadichafuerzaseconsumiráenlaproduccióndeesteefecto:mientrasquelaotrafuerzaIT,actuandosegúnlamarchadelcuerpo,todaellaloacelerará,yenuntiempomínimodadogeneraráunaaceleraciónproporcionala ella misma. Por tanto las aceleraciones de los cuerpos en D e I alcanzadas entiempos iguales (si se consideran las razones primeras de los segmentos nacientesDE,IN,IK,IT,NT)soncomolaslíneasDE,IT:mientrasqueentiemposdesigualessoncomoelproductodedichaslíneasporlostiempos.Porlodemás,lostiemposenquesedescribiránDEeIK,porlaigualdaddevelocidades,soncomolastrayectoriasdescritasDEeIK,yportantolasaceleracionesenelpasodeloscuerposporDEeIK, son como el producto de DE e IT, DE e IK, esto es comoDE cuadrado y el


rectánguloITxIK.PeroelrectánguloITxIKesigualaINcuadrado,estoesigualaDEcuadradoyportantolasaceleracionesgeneradasenelpasodeloscuerposdesdeDel hasta E yK son iguales. Luego las velocidades de los cuerpos en E yK soniguales: y por el mismo argumento siempre resultarán iguales a distanciassubsiguientesiguales.Q.E.D.

Yademásporelmismoargumentocuerposconvelocidades igualesya igualesdistanciasdelcentrosedesaceleraránigualalascenderadistanciasiguales.Q.E.D.

COROLARIO 1. De aquí que, si un cuerpo oscila colgado de un hilo o se veobligado a girar en círculo mediante un impedimento completamente pulido ylubrificado,yotrocuerposubeobajaporunarecta,yaunaalturacualquieraigualson sus velocidades iguales, también serán iguales sus velocidades en cualesquieraotras alturas iguales. Pues con el hilo del cuerpo pendular o con la paredcompletamentelubrificadadelrecipienteseconsigueexactamentelomismoqueconla fuerza transversalNT.Porellaelcuerponoseaceleranisedesacelera,sinoquesolamenteesobligadoaapartarsedelatrayectoriarecta.

COROLARIO2.Deaquítambiénque,silacantidadPfueselamáximadistanciaalcentro que puede alcanzar un cuerpo, tanto oscilando como girando en cualquiertrayectoria, y la que alcanzaría por tanto lanzado hacia arriba desde un puntocualquiera de la trayectoria con la velocidad que tiene en ese punto; y fuese lacantidadAladistanciadelcuerpoalcentroenotropuntocualquierade laórbita,ysiendo siempre la fuerza centrípeta comounapotenciadeA tal comoAn − 1, cuyoíndicen−1escualquiernúmerondisminuidoenunaunidad;acualquieralturaAlavelocidaddelcuerposerácomo Pn-An ,yportantoestarádada.Pueslavelocidad√


rectadeascensoodescenso(porlaProposiciónXXXIX)estáenestamismarazón.

PROPOSICIÓNXLI.PROBLEMAXXVIII

Dada una fuerza centrípeta de cualquier clase y supuestas las cuadraturas de lasfigurascurvas,hállensetantolastrayectoriasenquesemuevenloscuerposcomolostiemposdelosmovimientosenlastrayectoriashalladas.

Tienda una fuerza cualquiera hacia el centro C y hállese la trayectoria VIKk. SeadadoelcírculoVRconcentroenCytrazadoconunadistanciacualquieraCV,yconelmismocentrotrácenseotroscírculosID,KEquecortenalatrayectoriaenIyKyalarectaCVenDyE.TrácesetantolarectaCNIXquecortaaloscírculosKE,VRenNyX,comolarectaCKYquetocaalcírculoVRenY.YseanlospuntosIyKmuypróximosentresíyqueelcuerposemuevadesdeVporIyKhastak;sea,asímismoAelpuntodesdeelcualotrocuerpodebecaerparaqueadquieraenelpuntoDunavelocidad igual a la del cuerpo anterior en I. Y, dado lo dicho en la ProposiciónXXXIX,elsegmentoIK,descritoenelmenortiempodado,serácomolavelocidady,portanto,comolarectacuyocuadradoseaigualaláreaABFD,ysí tendrádadoeltriánguloICKproporcionalaltiempo,yporlomismoKNseráinversamentecomolaalturaIC,estoes,sisedaunacantidadQcualquierayalaalturaICladenominamos

A,comoQA.Aestacantidad

QAllamémoslaZysupongamosquelamagnitudQes

tal que en algúncaso ABFDes aZ como IKaKN, entonces en todos los casosABFDseráaZcomoIKaKN,yABFDaZZcomoIK2aKN2yrestandoABFD-

ZZ:ZZ=IN2:KN2,

portanto ABFD-ZZ:ZoQA=IN:KN

yporelloAxKN=QxIN

ABFD-ZZ=IN:KN

dedonde,comoYXxXC:AxKN=CX2:AA

seráelrectánguloXYxXC=QxYNxCX2

AA ABFD-ZZPor tanto, si en la perpendicular DF se toman siempre Db, Dc iguales

respectivamentea

√√

√

√

√


Q2 ABFD-ZZ

yaQxCX2

2AA ABFD-ZZ

ysetrazanlascurvasab,ac,alascualessonsiempretangenteslospuntosb,c;yseeleva hasta la líneaAC desde el puntoV la perpendicular Va que corta las áreascurvilíneas VDba, VDca y se elevan también las ordenadas Ez, Ex: dado que elrectánguloDbxINoDbzEesigualalamitaddelrectánguloAxKNoaltriánguloICK;yelrectánguloDexINoDcxEesigualalamitaddelrectánguloYXxXC,osea,altriánguloXCY;estoes,puestoquelaspartículasnacientesDbzE,ICKdelasáreasVDba,VICsonsiempre iguales,y laspartículasnacientesDcxE,XCYde lasáreasVDca,VCXsonsiempreiguales,eláreageneradaVDbasiempreseráigualaláreageneradaVICyportantoproporcionalaltiempo,yeláreageneradaVDcaigualalsectorgeneradoVCX.Asípues,dadoeltiempodepartidadeuncuerpodesdeV,setendrádadatambiéneláreaVDbaproporcionalaél,ydeaquísetendrátambiénlaalturadelcuerpoCDoCI,asícomoeláreaVDcaysuigualelsectorVCXalavezquesuánguloVCI.UnavezdadoselánguloVCIylaalturaCIsetieneelpuntoIenelquealcompletaresetiemposehallaráelcuerpo.Q.E.I.

COROLARIO1.Deaquíquelasalturasmáximasymínimasdeloscuerpos,estoes,losápsidesdelastrayectoriassepuedanhallarfácilmente.PuestoquelosápsidessonlospuntosenlosquelarectaICtrazadaporelcentrocaeperpendicularmentesobrelatrayectoriaVIK:cosaqueocurrecuandolasrectasIKyNKseigualan,yportantocuandoeláreaABFDesigualaZZ.

COROLARIO 2. Y también, partiendo de la altura dada del cuerpo IC, se hallafácilmenteelánguloKINconelcualcortalatrayectoriaencualquierpuntoadichalíneaIC;asaber,tomandoelsenodelánguloalradiocomoKNaIK,estoes,comoZalladocuadradodeláreaABFD.

COROLARIO3.SiconcentroenCyvérticeprincipalenVsedescribeunaseccióncónica cualquiera VRS, y desde un punto malquiera R dé la misma se traza unatangente que corte al eje principal CV prolongado infinitamente en un punto T;

√ √


después, uniendoCR, se traza la rectaCP igual a la abscisaCT, y el ánguloVCPproporcional al sector VCR; y si además una fuerza centrípeta inversamenteproporcionalalcubodelasdistanciasdeloslugaresalcentrotiendehaciaelcentroC,yuncuerposaleconunavelocidadprecisadesdeVsegúnunalíneaperpendiculara la recta CV: dicho cuerpo circulará por la trayectoria VPQ siempre tangente alpunto P; y por lo tanto, si la sección cónicaVRS fuese una hipérbola, descenderáhaciaelcentro:perosifueseunaelipse,ascenderácontinuamenteymarcharáhaciaelinfinito.Yporelcontrario,siuncuerpoconvelocidadcualquierapartedeVydesdeallí empieza bien a descender oblicuamente hacia el centro o bien a ascenderoblicuamentedesdeél,segúnsealafiguraVRSunahipérbolaounaelipse,sepuedehallar la trayectoria aumentando o disminuyendo el ángulo VCP según una razóndada. Por lo demás, al convertirse la fuerza centrípeta en centrífuga, el cuerpoascenderáoblicuamentepor la trayectoriaVPC, la cual sehalla tomandoel ánguloVCPproporcional al sector elípticoVRCy la longitudCP igual aCTcomoantes.Todas estas cosas se siguen de la proposición anterior, mediante la cuadratura dedeterminada curva cuyo hallazgo, por ser fácil, en aras de la brevedad, doy porhecho[32].

PROPOSICIÓNXLII.PROBLEMAXXIX

Dadalaleydelafuerzacentrípeta,hallarlosmovimientosdeuncuerpoquepartedeunlugardado,conunavelocidaddadaysegúnunarectadada.

Supuesto lo dicho en las tres proposiciones precedentes; parta un cuerpo de IsegúnelsegmentoIKconlavelocidadqueotrocuerpopuedeadquirirenDcayendodesdePcon fuerza centrípetauniforme:y sea esta fuerzauniformea la fuerzaqueactúaenIsobreelcuerpoanterior,comoDRaDF.Diríjasepueselcuerpohaciak;y


concentroenCydistanciaCk tráceseelcírculokequecortaa la rectaPDeneyelévense eg, ev, ew ordenadas a las curvasBFg, abv, acw. A partir del rectángulodadoPDRQyde la leydadade la fuerzacentrípetacon laquesemueveelprimercuerpo, se tiene dada la curva BFg, por construcción del Problema XXVII y suCorolario 1. De aquí, por estar dado el ángulo CIK, se tiene la proporción de laslíneasnacientesIK,KN,ydespués,porlaconstruccióndelProblemaXXVIIIsetienela cantidad Q junto con las líneas curvas abv, acw: y por lo tanto, al cumplirsecualquier tiempoDbve, se tiene, tanto la altura del cuerpoCe o Ck, como el áreaDcweyelsectorigualaellaXZy,asícomoelánguloICKyelpuntokenelcualsehallaráelcuerpoenesemomento.Q.E.I.

En estas proposiciones estamos suponiendo que la fuerza centrípeta varía alalejarsedel centro segúnuna ley cualquiera, quepuede imaginarse cada cual, peroque permanece igual a iguales distancias del centro. Además hasta ahora hemosconsiderado el movimiento de los cuerpos en órbitas inmóviles. Falta añadir algosobre el movimiento de los cuerpos en órbitas que giren en torno a un centro defuerzas.


SecciónIXDELMOVIMIENTODECUERPOSENÓRBITASMÓVILESYDELMOVIMIENTODEAPSIDES

PROPOSICIÓNXLIII.PROBLEMAXXX

Hágasequeun cuerpo,que sehalla enuna trayectoria cualquiera la cualgira entornoauncentrode fuerzas, sepuedamover igualqueotro cuerpoen esamismatrayectoriaenreposo.

Gire el cuerpo P en la órbita de posición dada VPK partiendo de V hacia K.DesdeelcentroC tráceseCp,queseasiempre igualaCP,yelánguloVCp resulteproporcionalalánguloVCP;yeláreadescritaporlalíneaCpseráaláreaVCPqueresulta simultáneamente descrita por la línea CP como la velocidad de la líneadescriptoraCpalavelocidaddelalíneadescriptoraCP;estoes,comoelánguloVCpalánguloVCP,yportantoenunarazóndada,yportantoproporcionalaltiempo.Alserproporcionalal tiempoeláreadescritaporCpenunplano inmóvil,esevidentequeuncuerpobajolaaccióndeunaadecuadafuerzacentrípetapuedegirarjuntoconelpuntopenlalíneacurvaqueporlarazónexpuestadescribeelpuntopenelplanoinmóvil.HáganseigualeselánguloVCuyelánguloPCp,lalíneaCuylalíneaCVylafigurauCpconlafiguraVCP,yelcuerposiemprepresenteenpsemoveráenelperímetrodelafiguraenrevoluciónuCp,ademásdescribiráelarcodelamismaupenelmismotiempoenqueotrocuerpoPpodríadescribirelarcoVPigualalanteriorsobre la figura en reposoVPK.Hállese por consiguiente, por el Corolario 5 de laProposiciónVI,lafuerzacentrípetaconlaqueuncuerpopuedegirarenlacurvaquedescribeelpuntopenelplanoinmóvil,yquedaráresueltoelproblema.Q.E.F.


PROPOSICIÓNXLIV.TEOREMAXIV

Ladiferenciaentrelasfuerzasporlasquedoscuerpospuedenmoverseigualmente,elunoenunaórbita fijayelotroenunaórbita igualenrevolución,estáenrazóninversadelcubodelasalturascomunes.

Seansemejanteseigualeslaspartesup,pkdelaórbitaenrevoluciónalaspartesVP,PK de la órbita fija; supóngase que es mínima la distancia entre los puntos P, K.TrácesedesdeelpuntoksobrelarectapClaperpendicularkr,prolongándolahastam,demodoquemrseaakrcomoelánguloVCpalánguloVCP.DadoquelasalturasdeloscuerposPCypC,KCykCsiempresoniguales,esevidentequelosincrementosydecrementosdelaslíneasPCypCseránsiempreiguales,yporellosielmovimientodecadaunodeloscuerpossituadosrespectivamenteenPyenpsedivideendos(porelCorolarioIIdelasLeyes)unodeloscualestiendealcentro,osea,segúnlaslíneasPC,pC,yelotro, transversalalanterior, tieneunadirecciónperpendicularadichaslineas PC, pC; el movimiento hacia el centro será igual en ambos, mientras elmovimiento transversal del cuerpo p será al movimiento transversal del cuerpo Pcomoelmovimiento angularde la líneapCalmovimiento angularde la líneaPC,estoes,comoelánguloVCpalánguloVCP.Porconsiguiente,enelmismotiempoenel que el cuerpo P con sus dosmovimientos alcanza el punto K, el cuerpo p conmovimientoigualhaciaelcentrosemoveráigualmentedesdephaciaC,yportanto,al cumplirse dicho tiempo, se hallará en algún lugar sobre la línea mkr que esperpendicularapCpasandopork;yconelmovimientotransversalhabráadquiridounadistanciadepCqueseráaladistanciaadquiridaporelotrocuerpoPrespectoa


PC como el movimiento transversal del cuerpo p al movimiento transversal delcuerpop.Porlocual,alserkrigualaladistanciaadquiridaporelcuerpoPrespectoala líneaPC,yalsermrakrcomoelánguloVCp al ánguloVCP,estoes, comoelmovimiento transversal del cuerpo p al movimiento transversal del cuerpo P, esevidentequealcumplirsedichotiempoelcuerpopsehallaráenelpuntom.EstoseráasísiemprequeloscuerpospyPsemuevanigualmentesegúnlaslíneaspC,PC,yportantosiemprequesehallenbajolaaccióndefuerzasigualessegúndichaslíneas.TómeseencambioelángulopCnalángulopCkcomoelánguloVCpalánguloVCPyseanCigualakC,yelcuerpopalcumplirseeltiemposehallarárealmenteenn;ypor tantosehallabajo laaccióndeuna fuerzamayorqueelcuerpoP, siel ángulonCp es mayor que el ángulo kCp, esto es, si la órbita upk, o se mueveprogresivamenteosemueveregresivamente,convelocidadmayorqueeldobledelavelocidad con que la línea CP se mueve progresivamente; y es urgido con fuerzamenor en el caso de que la órbita semueva regresivamentemás lentamente. Y ladiferencia de las fuerzas es como la distancia de los puntos mn la cual deberíarecorrerdichocuerpopeneltiempodadobajolaaccióndeesadiferenciadefuerzas.ImagíneseuncírculoconcentroenCydistanciaCnoCkquecortasealaslíneasmr,mnprolongadasensyƒ,yelrectángulomnxmtseráigualalrectángulomkxmsy

portantomnigualamkxmsmt

.Como,porotraparte,lostriángulospCk,pCnparaun

tiempodadoalcancenmagnitudesdadas,krymr,ysudiferenciamkysusumamssoninversamentecomolaalturapC,portanto,elrectángulomkxmsesinversamentecomoelcuadradodelaalturapC.Yademás,mtesdirectamentecomo½mt,estoes,comolaalturapC.Estassonlasrazonesprimerasdelaslineasnacientes;yporello

ocurrequemkxmsmt

,estoes,queelsegmentonacientemn,yladiferenciadefuerzas

proporcionalaellaseacomoelinversodelcubodelaalturapC.Q.E.D.


COROLARIO1.DeaquíqueladiferenciadefuerzasenlospuntosPyp,oKyk,esalafuerza con que un cuerpo podría girar conmovimiento circular desdeR aK en elmismo tiempo en que el cuerpo P describe en la órbita fija el arco PK, como el

segmentonacientemnalsenoversodelarconacienteRK,estoes,comomkxmsmt

a

rk2

2kC,ocomomkxmsark cuadrado; esto es, si se toman cantidadesdadas,F,G,

mutuamenteenlamismaproporciónquetienenentresíelánguloVCPaVCp,comoGG-FFaFF.Yportanto,siconcentroenCydistanciacualquieraCPoCpsetrazaunsectorcircularigualaláreadetodoVPC,elcualhasidodescritoporelcuerpoPgirandoenlaórbitainmóvilenmitiempocualquieraconelradiotrazadoalcentro,ladiferenciadefuerzas,conlasqueelcuerpoPenlaórbitainmóvilyelcuerpopenlaórbitaenrevoluciónestángirando,seráalafuerzacentrípetaconlaqueotrocuerpocon radio trazado al centro puede describir uniformemente ese sector en elmismotiempoenquesedescribeeláreaVPC,comoGG-FFaFF.PuesdichosectoryeláreapCksonentresícomolostiemposenquesondescritos.

COROLARIO2.SilaórbitaVPKfueseunaelipseconsufocoenCysuápsidesuperiorenV;ysesuponelaelipseupksemejanteeigualaellademodoquepCseasiempreigualaPCyelánguloVCprespectoaVCPenunarazóndadaGaF,yporlaalturaPCopCseescribeA,yporel«latusrectum»delaelipse2R:lafuerza,conlaqueun


cuerpopuedegirar en la elipsemóvil, sera comoFFAA

+RGG-RFF

A3 y viceversa.

Represéntese la fuerza con la cual un cuerpo puede girar en una elipse fija por la

cantidadFFAA

ylafuerzaenVseráFFCV2

.Perolafuerzaconlaqueuncuerpopuede

girar en un círculo a la distancia CV con la velocidad que tiene un cuerpo en Vgirandoenunaelipse,esalafuerzaconlaqueuncuerpogirandoenunaelipseseveurgidoenelápsideV,comolamitaddel«latusrectum»delaelipsealsemidiámetro

CVdelcírculo,siendoportantoRFFCV3

;ylafuerzaqueseaaéstacomoGG-FFaFF

valeRGG-RFF

CV3; y esta fuerza (por el Corolario 1 de esta Proposición) es la

diferenciadefuerzasenVconlascualesgiranelcuerpoPenlaelipseinmóvilVPKyelcuerpopenlaelipsemóvilupk.Dedonde,puestoque(porestaProposición)dicha

diferenciaenotraalturacualquieraAesasímismaen laalturaCVcomoa1A3

a

1CV3

,dichadiferenciaparatodaalturaAvaldráRGG-RFF

A3.Porlotantoañádasea

la fuerzaFFAA

con lacualuncuerpopuedegirarenunaelipse fijaVPKelexceso

RGG-RFFA3

y se tendrá la fuerza totalFFAA

+RGG-RFF

A3 con la cual puede un

cuerpogirarenlaelipsemóvilupkentiemposiguales.


COROLARIO3.DeigualmodosehallaráquesilaórbitainmóvilVPKfueseunaelipsecuyo centro está en el centro de fuerzas C; y si se supone la elipse móvil upksemejante, igual y concéntrica a ella; y fuese2Rel «latus rectum»principal de talelipse,y2Tel«latustransversum»oejemayor,yelánguloVCpesconstantementeaVCPcomoGaF;lasfuerzas,conlascualesloscuerpospuedengirarenlaelipsefija

y en la móvil en tiempos iguales, serán respectivamente comoFFAT3

yFFAT3

+

RGG-RFFA3

.


COROLARIO 4. Y, en general, si llamamos T a la altura máxima del cuerpo CV, yllamamosRalradiodelacurvaturaquetieneenVlaórbitaVPK,estoes,alradiode

uncírculodecurvaturaigual,ysedenominaFFATT

alafuerzacentrípetaconqueun

cuerpopuedegirarencualquiertrayectoriainmóvilVPKnielpuntoV,mientrasenotrospuntosPsedenominaindeterminadamenteX,ysedenominaAalaalturaCP,yse lomaGrespectoaFen la razóndadadelánguloVCpalánguloVCP: la fuerzacentrípetaconlacualelmismocuerpopodríaoalizarlosmismosmovimientosenlosmismostiempossobre lamismatrayectoriamovidacircularmenteupk serácomola

sumadelasfuerzasX+VRGG-VRFF

A3.

COROLARIO5.Por lo tanto,dadoelmovimientodeuncuerpoenunaórbita fijacualquiera,sumovimientoangularentornoalcentrodefuerzaspuedeaumentarseodisminuirseenunarazóndada,dedondesepuedenencontrarórbitasfijasnuevasenlascualesgirenloscuerposconnuevasfuerzascentrípetas.


COROLARIO 6. Así pues, si sobre la recta CV de posición dada se eleva laperpendicularVP de longitud indeterminada y se une CP y se traza Cp igual a laanteriorformandoelánguloVCptalqueseaalánguloVCPsegúnunarazóndada;lafuerzaconqueuncuerpopuedegirarenlacurvaVpk,quedescribecontinuamenteelpuntop, será inversamente como el cubo de la alturaCp. Pues el cuerpoP, por lafuerza de inercia, no actuando ninguna otra fuerza, continuará por la recta VP.AñádaselafuerzatendentehaciaelcentroCinversamenteproporcionalalcubodelaalturaCPoCpy(porloqueseacabadedemostrar)elmovimientoaquelrectilíneosedesviarásegúnlalíneacurvaVpk.PeroestacurvaVpkeslamismaqueaquellacurvaVPK hallada en el Corolario 3 de la Proposición XLI por la cual, dijimos allí,asciendenoblicuamenteloscuerposatraídosporfuerzascomoéstas.

PROPOSICIÓNXLV.PROBLEMAXXXI[33]

Hallarelmovimientodeápsidesenórbitasmuypróximasacírculos.

Se resuelve aritméticamente este problema haciendo que la órbita descrita en unplanofijoporuncuerpoquegiraenunaelipsemóvil(comoenlosCorolarios2y3de la Proposición anterior) se convierta en la figura de la órbita cuyos ápsides sebuscan,ycalculandodespuéslosápsidesdelaórbitadescritaporbichocuerpoenelplanofijo.Perolasórbitasdevienendeformasigualessilasfuerzascentrípetasconlasquesondescritas,comparadasentresí,resultanproporcionalesaalturasiguales.SeaelpuntoVelápsidesuperior,yescríbaseTpor laalturamáximaCV,Apor laaltura cualquieraCP oCp, yX por la diferencia de alturasCV -CP; entonces, lafuerza con la que un cuerpo semueve en la elipse que gira en torno a su focoC

(comoenelCorolario2)yqueenelCorolario2eracomoFFAA

+RGG-RFF

A3,esto

es, comoFFA+RGG-RFF

A3, sustituyendo T - X por A, sera como


RGG-RFF+TFF-FFXA3 .Demodosemejantehadereducirseotrafuerzacentrípeta

aunafraccióncuyodenominadorseaA3y losnumeradoreshabrándeseranálogosmediante la correlación de términos homólogos entre sí. Resultará más claro conejemplos.

EJEMPLO I. Supongamos que la fuerza centrípeta es uniforme y, por consiguiente,

comoA3

A3, o (escribiendo T - X por A en el numerador) como

T3-3TTX+3TXX-X3

A3; y al poner en correspondencia los términos de los

numeradores, a saber, los valores dados con los dados y los no dados con los nodados,resultaráRGG-RFF+TFFaT3como-FFXa-3TTX+3TXX-X3ocomo-FFa - 3TT+3TX -XX.Al suponer ahoraque laórbita se aproximamuchoauncírculo,hágasecoincidirconél,yalhacerse igualesRyT,ydisminuirXa lavezhastael infinito, las razonesúltimasseránRGGaT3 como-FFa -3TT,o también,GGaTTcomoFFa3TTy,viceversa,GGaFFcomoTTa3TT,estoes,como1a3;yportantoGaF,estoes,elánguloVCpalánguloVCPcomo1a√3.Portanto,dadoque un cuerpo en una elipse inmóvil completa al caer desde el ápside superior alinferiorunángulo(porasídecirlo)de180grados;elotrocuerpoenunaelipsemóvil,perotambiénenlaórbitainmóvildequetratamos,alcaerdesdeelápsidesuperioral

inferiorcompletaráunángulode180√3

grados:estotambiéngraciasalasemejanzade

estaórbita,descritaporuncuerpobajolaaccióndeunafuerzacentrípetauniforme,con la órbita descrita por un cuerpoquegira enuna elipse en revolución sobreunplanofijo.Porlacorrelacióndetérminosanteriordevienendichasórbitassemejantes,no universalmente sino sólo cuando se aproximan muy sensiblemente a la formacircular.Portanto,cuandouncuerpobajolaaccióndeunafuerzacentrípetagiraenuna órbita casi circular completará siempre entre los ápsides superior e inferior un

ángulode180√3

grados,osea,de103.º,55′,23″enelcentro;cadavezquepasadel

ápside superior al inferior completa dicho ángulo, y al volver desde aquí hasta elápsidesuperiordenuevocompletaelmismoángulo;yasísiemprehastaelinfinito.

EJEMPLOII.Supongamosquelafuerzacentrípetafuesecomounapotenciacualquiera

delaalturaAtalcomoAn -3,oAn

A3,donden-3ynsignificanexponentesenteroso

fraccionarios cualesquiera, racionales o irracionales, positivos o negativos. Dicho


numeradorAn-3o(T-X)nconvertidoenserieindeterminadapornuestrométodode

seriesconvergentesdevendráenTn-nXTn-1+nn-n2

XXTn,etc.Ycomparadossus

términos con losdelotronumeradorRGG -RFF+TFF -FFX resultaqueRGG-

RFF+TFFesaTncomo-FFa-nTn-1+nn-n2

XTn-2,etc.Ytomandolasrazones

últimasenelmomentoenquelasórbitasseaproximanalaformadecírculosRGGserá a Tn como -FF a -nTn - 1 o también GG a Tn - 1 como FF a nTn - 1 yalternativamente,GGaFFcomoTn-1anTn-1,estoes,como1an;yportantoGesaF,estoes,elánguloVCpesalánguloVCP,como1a√n.Porlocual,alserde180grados el ángulo descrito por el cuerpo en su descenso desde el ápside superior alinferior de una elipse, el ánguloVCp, descrito en el descenso del cuerpo desde elápsidesuperioralinferiordeunaórbitacuasicircularlacualesdescritaporelcuerpoquegireconunafuerzacentrípetaproporcionalalapotenciaAn−3,seráigualaun

ángulo de180√n

grados, y al repetirse este ángulo el cuerpo regresará al ápside

superior y así hasta el infinito.Demodo que si la fuerza centrípeta fuese como la

distanciadelcuerpoalcentro,estoes,comoAocomoA4

A3entoncesnseráiguala4,

y√niguala2;yporlotanto,elánguloentreápsidessuperioreinferioriguala1802

grados, o sea, de 90 grados. Por consiguiente, al completar la cuarta parte de unarevoluciónelcuerpollegaráalápsideinferior,yalcompletarotracuartapartellegaráalápsidesuperior,yasícadavezhastaelinfinito.LocualestambiénevidenteporlaProposiciónX.Puesuncuerpobajolaaccióndedichafuerzacentrípetagiraenunaelipseinmóvilcuyocentroestáenelcentrodefuerzas.Perosilafuerzacentrípetaes

inversamentecomoladistancia,estoes,como1Aocomo

A2

A3,nseráiguala2,ypor

tantoelánguloentreápsidessuperioreinferiorserade180√2

oseade127.º,16′,45″y

por lomismo, el cuerpo que gire con semejante fuerza semoverá desde el ápsidesuperior al inferior y de éste al superior repitiendo siempre este ángulo. Pero si lafuerzafuesecomoelinversodelaraízcuartadelaonceavapotenciadelaaltura,esto

es, inversamente como A11⁄4, y por tanto, directamente como

1

A11⁄4

, o comoA¼

A3,

entoncesnseraiguala¼y180√n

gradosseraiguala360gradosyportantoelcuerpo


quedesciendadesdeelápsidesuperiorensudescensocontinuodesdeélalcanzaráelápside inferior cuando complete una revolución completa, y después, al cumplirdesde allí en su ascenso continuo otra revolución completa, regresará al ápsidesuperior;yasísucesivamenteparasiempre.

EJEMPLOIII.Sisetomanmynporcualesquieraíndicesdepotenciasdelaalturayb,c,pornúmerosdadoscualesquiera,supongamosquelafuerzacentrípetafuesecomobAm+cAn

A3,estoes,como

b(T-X)m+c(T-X)n

A3

o(pornuestrométododeseriesconvergentes)como

bTm+cTn-mbXTm-1-ncXTn-1+mm-m⁄2bXXTm-2+nn-n⁄2cXXTn-2…

A3,

yalcompararlostérminosdelosnumeradoresocurriráqueRGG-RFF+TFFseráa

bTm+cTncomo-FFa-mbTm-1-ncTn-1+mm-m

2bXTm-2+

nn-n2

cXTn-2,etc.

Ytomandolasrazonesúltimasresultantescuandolasórbitasseaproximanalaformacircular resultará queGGes abTm - 1 +cTn - 1 comoFF ambTm - 1 +ncTn - 1 y,viceversa,GGaFFcomobTm-1+cTn-1ambTm-1+ncTn-1.ExpresandolaalturamáximaCYoTaritméticamenteporlaunidad,estaproporciónsetransformaenGG

aFFcomob+camb+ncy,portanto,como1amb+ncb+c

.DedondeGesaF,esto

es,elánguloVCpalánguloCVP,como1amb+ncb+c

.Yportanto,alserde180

gradoselánguloVCPentrelosápsidessuperioreinferiorenlaelipsefija,elánguloVCp entre los mismos ábsides en la órbita descrita por un cuerpo con fuerza

centrípetaproporcionalabAm+cAn

A3,seráigualaunángulode180.º

b+cmb+nc

.Y

por el mismo argumento si la fuerza centrípeta fuese comobAm-cAn

A3, el ángulo

entreábsidesresultaráde180.ºb-cmb-nc

.Yelproblemaseresuelvedeigualmodo

√

√

√


en casosmás difíciles. La cantidad, a la cual es proporcional la fuerza centrípeta,debe descomponerse siempre en series convergentes cuyo denominador sea A3.Despuéshayquesuponerenlamismarazónlapartedadadelnumeradorprovenientede dicha operación respecto a la parte no dada del mismo, la parte dada de estenumerador RGG - RFF + TFF - FFX a su otra parte no dada: eliminando lascantidadessuperfluasytomandocomounidadaT,seobtienelaproporciónGaF.

COROLARIO1.Deaquíque,silafuerzacentrípetafuesecomocualquierpotenciadelaaltura, podría hallarse dicha potencia a partir del movimiento de los ápsides yviceversa.Efectivamente,silatotalidaddelmovimientoangularconelcualelcuerporetorna almismo ápside es almovimiento angular de una sola revolución o a 360gradoscomounnúmeromaotronúmeronysedenominaAalaaltura:entoncesla

fuerzaserácomoaquellapotenciadelaalturaAnn⁄mm-3cuyoíndicees

nnmm

-3.Locual

estáclaroporelsegundoejemplo.Dedondeesevidentequedichafuerzaalalejarsedel centro no puede decrecer en razónmayor que el cubo de la altura: un cuerpogirandocontalfuerzaypartiendodelápsidesiempiezaadescender,nuncallegaráalapsideinferioroalturamínima,sinoquecaeráhastaelcentro,describiendoaquellalíneacurvaquehemosvistoenelCorolario3delaProposiciónXLI.Perosialpartirdel ápside, éste fuese el inferior y comenzase a ascendermínimamente, ascenderáhastael infinitoy jamás llegaráalápsidesuperior.Puesdescribiráaquellacurvadequese tratóenelmismoCorolarioyenelCorolario6de laProposiciónXLIV.Asícuando la fuerza, al alejarse del centro, decrece en razónmayor que el cubo de laaltura, el cuerpo que parte de un ápside, en cuanto comience a descender o aascender,obiendesciendehastaelcentroobienasciendehastaelinfinito.Perosilafuerza, al alejarsedel centro,odecreceen razónmenorqueel cubode laaltura,ocreceenunarazóncualquieradelaaltura,elcuerponuncadescenderáhastaelcentro,sino que en algúnmomento alcanzará el ápside inferior; y por el contrario, si uncuerpoasciendeydesciendealternativamentedesdeunápsideaotroyjamásalcanzael centro, la fuerza o bien crece con la lejanía al centro, o bien decrece en razónmenorqueelcubode laaltura;ycuantomás rápidamente retorneuncuerpodeunápside aotro,más se aleja la razónde las fuerzasde la razóncúbica.Si el cuerpohubiesederetornardesdeyhastaelápsidesuperiormedianteascensosydescensosalternosen8revoluciones,oen4,oen2,oen1½,estoes,simfueseancomo8ó4

ó2ó1½sona1,ynnmm

-3valieseentonces164

-3,o116

-3,o14-3,o

49-3,la

fuerzaserácomoA1⁄64-3,oA

1⁄16-3,oA1⁄4-3,oA

4⁄9-3,estoes,inversamentecomoA3

-1⁄64,oA3-

1⁄16,oA3-1⁄4,oA3-

4⁄9.Sidespuésdecadarevoluciónelcuerporegresaalmismoápsideyéstepermaneceinmóvil,entoncesmseráancomo1a1yporello


Ann⁄mm - 3 será igual aA−2, o también

1AA

; de donde el decremento de las fuerzas

estará en razón cuadrada de la altura, como antes se ha demostrado. Si el cuerpoalcanzaseelmismoápsideen trescuartos,oendos tercios,oenuntercio,oenun

cuartode revolucióncompleta, entoncesm sera an como34, o

23, o

13, o

14, a 1

respectivamente,yporlotantoAnn⁄mm-3seráigualaA16⁄9-3,oA

9⁄4-3,oA9-3,oA16-3,de talmodoque lafuerzaobienes inversamentecomoA

11⁄9,oA¾,odirectamentecomoA6oA13.Por fin,sielcuerpoensurecorridodesdeelápsidesuperiorhastaalcanzardenuevoelmismoápsidehicieseunarevolucióncompletaytresgradosmásy,portanto,encadarevolucióndelcuerpodichoápsideavanzatresgrados,entoncesmseráa363gradosa360grados,ocomo121a120,yportantoAnn⁄mm-3seráigualaA-29523⁄14641;yenconsecuencialafuerzacentrípetaseráinversamentecomoA29523⁄14641

o inversamente como A2 4243 aproximadamente. La fuerza centrípeta decrece, por

tanto, en razón algomayorque la del cuadrado, pero esta razón es59¾ vecesmáspróximaalarazóncuadradaquealarazóncúbica.

COROLARIO 2. De aquí también que, si un cuerpo bajo la acción de una fuerzacentrípetaqueseacomoelinversodelcuadradodelaalturagiraseenunaelipsecuyofocosehallaseenelcentrodefuerzas,yadichafuerzacentrípetaseañadieseosequitase otra fuerza externa cualquiera, podría conocerse (por el ejemplo tercero) elmovimientodelosápsidesoriginadopordichatuerzaexterna:yviceversa.Puessila

fuerza con la cualgira el cuerpoen la elipse fuese como1AA

,y la fuerza externa

aplicadafuesecomocA,ypor tanto la fuerza restante fuesecomoA-cA4

A3; (en el

ejemplotercero)bseráiguala1,miguala1yniguala4,yporlotantoelángulode

revoluciónentreápsidesseráigualaunangulode1801-c1-4c

grados.Supongamos

quelafuerzaexternafuese357,45vecesmenorquelaotrafuerzaconqueelcuerpo

se mueve en la elipse, esto es,10035745

, siendo A o T igual a 1, y 1801-c1-4c

resultarávaler1803564535345

osea180,7623,estoes,180.º,45′,44″.Porlotanto,el

cuerpoquepartedelápsidesuperiorconunmovimientoangularde180.º,45′,44″,llegará al ápside inferior, y repitiendo estemovimiento regresará al superior: y enconsecuenciaelápsidesuperiorvendráaprogresarencadarevolución1.º,31′,28″.

√

√√


AproximadamentedosvecesmásvelozeselápsidedelaLuna.Hastaaquísobreelmovimientodecuerposenórbitascuyosplanospasanporel

centrodefuerzas.Faltadeterminar también losmovimientosenplanosexcéntricos.Pues los autores que tratan el movimiento de los graves suelen considerar losascensos y descensos de los pesos tanto perpendicular como oblicuamente encualesquieraplanosdados:yconigualrazónsehadeconsideraraquíelmovimientodecuerpostendentesauncentrobajocualesquierafuerzasymoviéndoseenplanosexcéntricos.Suponemosquedichosplanos sonperfectamente lisos y lubricadosdemodoqueno retardena loscuerpos.Además,enestasdemostraciones,en lugardeplanos sobre los que se deslizan los cuerpos y a los que tocan al deslizarse,utilizaremos planos paralelos a ellos, en los cuales se mueven los centros de loscuerposydescribenórbitasalmoverse.Yporlamismaleydeterminamosdespuéslosmovimientosdeloscuerposrealizadosensuperficiescurvas.


SecciónXDELMOVIMIENTODECUERPOSENSUPERFICIESDADAS,YDELMOVIMIENTODEVAIVÉNDELOSPÉNDULOS

PROPOSICIÓNXLVI.PROBLEMAXXXII

Supuestauna fuerzacentrípetadecualquier tipo,ydado tantoelcentrode fuerzascomounplanocualquieraenelquegiraelcuerpo,yconcedidaslascuadraturasdelasfigurascurvas:hálleseelmovimientodeuncuerpoquepartedeunlugardado,convelocidaddadaysegúnunarectadadaendichoplano.

SeaSelcentrodefuerzas,SCladistanciamínimadesdeesecentroalplanodado,PuncuerpoquepartedelpuntoPsegúnlarectaPZ,Qelmismocuerpogirandoensutrayectoria, y PQR dicha trayectoria descrita en dicho plano y que ha de hallarse.ÚnanseCQ,QS,ysisobreQSsetomaSVproporcionalalafuerzacentrípetaconlacualelcuerpoesatraídohaciaelcentroS,ysetrazaVTparalelaaCQcortandoaSCenT:lafuerzaSV(porelCorolarioIIdelasLeyes)sedescomponeenlasfuerzasST,TV, de las cuales ST atrayendo al cuerpo según la línea perpendicular al plano ennadacambiasumovimientoenesteplano.PerolaotrafuerzaTV,actuandosegúnlaposicióndelplano,atraealcuerpodirectamentehaciaelpuntoCdadoenelplanoy,portanto,hacequeporellodichocuerposemuevaeneseplanocomosilafuerzaSTdesaparecieseyelcuerpogiraseúnicamenteconlafuerzaTVentornoalcentroCenunespacio libre.Mas,estandodadalafuerzacentrípetaTVconlaqueelcuerpoQgiraenunespaciolibreentornoalcentrodadoC,estádada(porlaProposiciónXLII)también la trayectoria PQR, descrita por el cuerpo, así como el puntoQ donde sehallaráelcuerpoenuntiempocualquieradadoy,finalmente,lavelocidaddelcuerpoendichopuntoQ.Yviceversa.Q.E.I.


PROPOSICIÓNXLVII.TEOREMAXV

Supuestoquelafuerzacentrípetaseaproporcionalaladistanciadesdeelcuerpoalcentro, todos los cuerpos que giren en planos cualesquiera describirán elipses ycompletarán sus revoluciones en tiempos iguales; mientras que aquellos que semuevan según líneas rectas, alternativamente hacia adelante y hacia atrás,completaránsusdiferentesperíodosdeidayvueltaenlosmismostiempos.

Puestoque,manteniendo lossupuestosde laProposiciónanterior, la fuerzaSV,porlaqueelcuerpoQquegiraenunplanocualquieraPQResatraídohaciaelcentroS,escomoladistanciaSQ;ypuestoqueSVySQ,TVyCQsonproporcionales,lafuerzaTV,con lacualelcuerpoesatraídohaciaelpuntodadoCenelplanode laórbita, es como la distanciaCQ.Consecuentemente, las fuerzas, por las cuales loscuerpos que se hallan en el plano PQR son atraídos hacia el punto C, sonproporcionales,adistanciasiguales,alasfuerzasporlasquelosmismoscuerpossonatraídos en dondequiera hacia el centro S; y por tanto, los cuerpos semoverán enigualestiemposyconigualesfiguras,encualquierplanoPQRquerodeealpuntoC,talycomoloharíanenespacioslibresentornoalcentroS;yenconsecuencia(porelCorolario2delaProposiciónXyelCorolario2delaProposiciónXXXVIII)siempreentiemposiguales,obiendescribiránelipsesendichoplanoentornoalcentroC,obiencompletaránperíodosmoviéndoseadelanteyatrássegúnlíneasrectas trazadasendichoplanoporelcentroC.Q.E.D.


ESCOLIO

Afinesaéstossonlosascensosydescensosdeloscuerposensuperficiescurvas.Imagínenselíneascurvasdescritasenunplanoquegiranluegoentornoaciertosejesdados que pasan por el centro de fuerzas y, mediante esa revolución, describensuperficiescurvas;ytambiénqueloscuerpossemuevendetalformaquesuscentrosse encuentren siempre en dichas superficies. Si tales cuerpos ascendiendo ydescendiendo oblicuamente marchan hacia adelante y hacia atrás, realizarán susmovimientosenplanosquepasanporelejey,por tanto,en líneascurvasporcuyarevolución segeneraronaquellas superficies.Enestoscasos,por consiguiente, serásuficienteconsiderarelmovimientoendichaslíneascurvas.

PROPOSICIÓNXLVIII.TEOREMAXVI

Siunaruedaseapoyaenelexteriordeungloboformandoángulorectoy,girandocomouna rueda, describieseun círculomáximo, la longituddel camino curvilíneodescritoporunpuntocualquieradadoenelperímetrodelaruedadesdequetocaalglobo(quesepuedellamarcicloideoepicicloide)seráaldobledelsenoversodelamitad del arco que ha tocado al globo al ir recorriéndolo desde aquel momento,comolasumadelosdiámetrosdelgloboylaruedaalsemidiámetrodelglobo.

PROPOSICIÓNXLIX.TEOREMAXVII

Siunaruedaseapoyaenel interiordeunglobocóncavoformandoángulorectoy


avanza rodandoporuncírculomáximo, la longituddel caminocurvilíneodescritoporunpuntocualquieradadoenelperímetrode laruedadesdeque tocaalgloboserá al doble del seno verso de la mitad del arco que ha tocado al globo al irrecorriéndolodurantetodoesetiempo,comoladiferenciadelosdiámetrosdelgloboylaruedaalsemidiámetrodelglobo.

SeaABLelglobo,Csucentro,BPVlaruedaqueseapoyaenél,Eelcentrodelarueda, B el punto de contacto y P el punto dado en el perímetro de la rueda.Imaginemosaesta ruedamoviéndosesobreelcírculomáximoABLdesdeAporBhaciaL, y girando de talmodo al desplazarse que los arcosAB, PB sean siempreiguales entre sí y mientras tanto el punto P dado en el perímetro de la rueda vadescribiendoelcaminocurvilíneoAP.SeaAPeltotaldelcaminocurvilíneodescritodesdequelaruedatocóalgloboenA,ylalongitudAPdeestecaminoseráaldobledelsenoversodelarco½PBcomo2CEaCB.PuestoquelarectaCE(prolongadasiespreciso)alaruedaenV,yúnanseCP,BP,EP,VPydesciendaVFnormalsobrelaprolongacióndeCP.SeanPH,VHtangentesalcírculoenPyVyconcurrentesenH,ycortePHaVFenG,ysobreVPcaiganlasperpendicularesGI,HK.DenuevoconcentroenCeintervalocualquieradescríbaseelcírculonomquecortealarectaCPenn,alperímetroBPdelaruedaeno,yalcaminocurvilíneoAPenm;yconcentroenVeintervaloVodescríbaseelcírculoquecortaenqaVPprolongada.

PuestoquelaruedaalmoversegirasiempreentornoalpuntodecontactoB,esevidente que la rectaBP es perpendicular a aquella línea curvaAP descrita por elpuntoPdelarueday,porlanío,quelarectaVPestangenteadichacurvaenelpuntoP.Elradiodelcírculonomaumentadoodisminuidogradualmenteigualesiempreala


distancia CP; y por la semejanza de la figura evanescente Pnomq y de la figuraPFGVI, la razón última de los segmentos evanescentesPm,Pn,Po, Pq, esto es, larazóndelasvariacionesinstantáneasdelacurvaAP,delarectaCP,delarcocircularBP,ydelarectaVPserárespectivamentelamismaqueladelaslíneasPY,PF,PG,PI.PerocomoVFesperpendicularaCFyVHaCVy,portanto,losángulosHYG,VCFsoniguales;y(puestoquelosángulosdelcuadriláteroHVEPsonrectosenYyP) el ángulo VHG es igual al ángulo CEP, los triángulos VHG y CEP seránsemejantes;dedondeocurriráqueEP:CE=HG:HV,oHP=KI:PKysumandoorestando,CB:CE=PI:PK,yduplicandodenominadores,CB:2CE=PI:PV=Pq:Pm.Eldecremento,portanto,delalíneaVP,estoes,elincrementodelalíneaBV-VP,está respectoal incrementode lacurvaAPen la razóndadaCBa2CE,por locual(porelCorolariodelLemaIV)laslongitudesBV-VPyAPgeneradaspordichosincrementosestánenlamismarazón.Pero,siendoBVelradio,VPeselcosenodelánguloBVP o½BEP, y por tantoBV -VP es el seno verso delmismo ángulo; yconsecuentemente en esta rueda cuyo radio es½BV, ocurrirá queBV -VP será eldoble del seno verso del arco½BP.LuegoAP es al doble del seno verso del arco½BPcomo2CEaCB.Q.E.D.

EnlaprimeradeestasProposicionesllamaremosalalíneaAPlacicloideexterioral globo, y a la otra, para distinguirlas, la llamaremos, en la segunda, la cicloideinterioralglobo.

COROLARIO1.DeaquíquesisedescribieralacicloidecompletaASL,albisecarlaenS, la longitudde lapartePSseráa la longitudVP(queeseldobledelsenodelánguloVBP,siendoEBelradio)como2CEaCB,yportantoenrazóndada.

COROLARIO2.Y la longituddel semiperímetrode lacicloideASserá iguala larectaqueseaaldiámetroBVdelaruedacomo2CEaCB.

PROPOSICIÓNL.PROBLEMAXXXIII

Haceroscilarauncuerpopendularenunacicloidedada.

Dentro del globo QVS, descrito con centro en C, sea dada la cicloide QRSbisecadaenRyquetocaaambosladosconsuspuntosextremosQySalasuperficiedelglobo.TráceseCRbisecantedelarcoQSenOyprolónguesehastaA,demodoqueCAseaaCOcomoCOaCR.YconcentroenCe intervaloCAdescríbaseelgloboexteriorDAF,ydentrodeesteglobodescríbansepormediodeunaruedacuyodiámetroseaAOlastíossemicicloidesAQyAStangentesalglobointeriorenQySyque toquen al globo exterior enA.DesdedichopuntoA,medianteunhiloAPTigual en longitud a AR, suspéndase el cuerpo T y hágasele oscilar entre lassemicicloides AQ, AS de modo tal que, cuantas veces se aparta el péndulo de laperpendicularAR,lapartesuperiordelhiloAPseaplicaalasemicicloideAPShacia


la cual se dirige el movimiento, plegándose en torno a ella como si fuera unobstáculo, y la parte restante PT a la cual no obstaculiza la cicloide permanezcaextendidaenlínearecta;yelpesoToscilaráenlacicloidedadaQRS.Q.E.F.

Hágase, pues, que el hilo PT se encuentre con la cicloideQRS en T, y con elcírculoQOSenV,ytráceseCV;yelévenselasperpendicularesBP,TWhastalaparterectadelhiloPTdesdelospuntosextremosPyT,talesqueencuentrenalarectaCVenByW.Por construcción y por la génesis de las figuras semejantesAS,SR, esevidente que las perpendicularesPB,TWcortan sobreCV las longitudesVB,VWigualesalosdiámetrosOA,ORdelasruedas.PorlotantoTPesaVP(dobledelsenodel ánguloVBP, siendoV el radio) comoBWaBV, oAO4+ORaAO, esto es(siendoproporcionalesCAaCO,COaCRypordivisiónAOaOR)comoCA+COaCA,o,bisecandoaBYenE,como2CEaCB.Porconsiguiente(porelCorolario1delaProposiciónXLIX) la longitudde laparterectadelhiloPTessiempre igualalarcoPSdelacicloide,yelhilocompletoAPTessiempreigualalamitaddelarcocicloideAPS,estoes(porelCorolario2delaProposiciónXLIX)alalongitudAR.Ypor lomismo a la inversa, si el hilo permanece siempre igual a la longitudAR elpuntoTsemoveráenlacicloidedadaQRS.Q.E.D.

COROLARIO.ElhiloARes iguala lasemicicloideASy,por lo tanto,estáen lamismarazónrespectoalsemidiámetroACdelgloboexterior,quelasemicicloideSRsemejanteaaquéllatieneconrespectoalsemidiámetroCOdelglobointerior.

PROPOSICIÓNLI.TEOREMAXVIII

SiunafuerzacentrípetatendenteportodaspartesalcentroCdeunglobofueseen


cadapuntosingularcomoladistanciadecadalugardesdeelcentro,ybajolaaccióndeestasolafuerzaelcuerpoToscilase(delmodoyadescrito)enelperímetrodelacicloideQRS:digoqueseránigualeslostiemposdelasoscilacionesdesigualesbajootroaspecto.

Pues,sobrelatangenteTWdelacicloide,prolongadaindefinidamente,desciendalaperpendicularCXyúnaseCT.PuestoquelafuerzacentrípetaporlaqueelcuerpoT es impulsado haciaC es como la distanciaCT y ésta (por elCorolario II de lasLeyes) se descompone en las partes CX, TX, de las cuales CX empujandodirectamente al cuerpo desde P estira al hilo PT y se agota íntegramente en esaresistenciasinproducirningúnotroefecto;mientrasquelaotraparteTX,alempujartransversalmentealcuerpo,osea,haciaX,aceleradirectamentesumovimientoenlacicloide; es evidente que la aceleración del cuerpo, proporcional a esta fuerzaaceleratriz, esencadamomentocomo la longitudTX,estoes,porestardadasCV,WV y las proporcionales a ellas TX, TW, como la longitud TW, esto es (por elCorolario1delaProposiciónXLIX)comolalongituddelarcocicloideTR.Portanto,si se desvían desigualmente de la perpendicular AR dos péndulos APT, Apt y sedejancaera lavez,susaceleracionesseránsiemprecomolosarcosadescribirTR,tR.Perolaspartesdescritaseneliniciosoncomolasaceleraciones,estoes,comoeltotaladescribirdesdeelprincipioy,porlotanto,laspartesquerestanpordescribirylas aceleraciones subsiguientes, proporcionales a estas partes, son también comoeltotal; y así sucesivamente. Por tanto las aceleraciones, así como las velocidadesgeneradas y las partes descritas con estas velocidades y las partes a describir sonsiemprecomoeltotal;yenconsecuencia,laspartesadescribir,alconservarentresíunarazóndada,evanescenalavez,estoes,losdoscuerpososcilantesllegaránalavezalaperpendicularAR.YpuestoqueelrespectivoascensodelospéndulosdesdeelpuntoinferiorR,realizadoatravésdelosmismosarcoscicloidesconmovimientoretrógrado, es retardado en cada lugar por las mismas fuerzas por las que eranaceleradoslosdescensos,esevidentequelasvelocidadesdelosascensosydescensosrealizadosporlosmismosarcossonigualesyque,portanto,secumplenentiemposiguales;yporlomismo,comolasdospartesRSyRQdelacicloidesituadasacadaladodelaperpendicularsonsemejanteseiguales,losdospéndulosrealizarán,tantolasoscilacionescompletascomolasmitades,siempreenlosmismostiempos.Q.E.D.


COROLARIO. La fuerza por la que el cuerpo T es acelerado o retardado encualquierpuntoTdelacicloideesalpesototaldeesecuerpoenellugarmáselevadoSoQcomoelarcoTRdelacicloidealarcodelamismaSRoQR.

PROPOSICIÓNLII.PROBLEMAXXXIV

Definirlasvelocidadesdepéndulosencadalugarasícomolostiemposenquesecompletantantolasoscilacionescomocadapartedeellas.

ConcentrocualquieraG,conradioGHigualalarcodelacicloideRS,tráceseelsemicírculo HLM bisecado por el semidiámetro GK. Y si una fuerza centrípetaproporcionalalasdistanciasdeloslugaresalcentrotendierahaciaelcentroGyfueraenelperímetroHIKigualalafuerzacentrípetatendenteIniciaelmismocentroenelperímetrodelgloboQOS,yalavezquesedejacaerelpéndulodesdeelpuntomásaltoSsedejacaerotrocuerpoLdesdeHhastaG,dadoquelasfuerzasqueactúansobre los cuerpos son iguales desde el principio y proporcionales siempre a losespaciosarecorrerTRyLGyporlomismo,siTRyLGsoniguales,tambiénlosonenloslugaresTyL,esevidentequedichoscuerposdescribenalprincipioespaciosiguales ST yHL y continúan desde allí igualmente urgidos y recorriendo espaciosiguales. Por lo tanto (por la Proposición XXXVIII) el tiempo en el cual el cuerpodescribeelarcoSTesaltiempodeunaoscilacióncomoelarcoHI,tiempoenelcual


elcuerpoHvahastaL,esalsemiperímetroHKM,tiempoenelcualelcuerpoHvahastaM.Y la velocidad del péndulo en el punto T es a su velocidad en el puntoínfimoR(estoes,lavelocidaddelcuerpoHenelpuntoLasuvelocidadenelpuntoG,otambiénelincrementomomentáneodelalíneaHLalincrementomomentáneodelalíneaHG,siendoconstantelavelocidaddecrecimientodelosarcosHIyHK)comolaordenadaLIal radioGK,o tambiéncomo (SR2 -TR2) aSR.Dedonde,como para oscilaciones desiguales los arcos descritos en tiempos iguales sonproporcionalesalosarcosenterosdelasoscilaciones,sisetienendadoslostiemposse tendrán tanto las velocidades como los arcos descritos en cualquiera oscilación.Queeraloprimeroquehabíaquehallar[34].

Oscilenahoraloscuerpospendularesencicloidesdistintasdescritasenelinteriordeglobosdiferentescuyasfuerzasabsolutassontambiéndistintas;y,sisedenominaValafuerzaabsolutadeunglobocualquieraQOS,lafuerzaaceleratrizqueactúasobreel péndulo en la circunferencia de dicho globo cuando empieza a moversedirectamente hacia su centro será como la distancia del cuerpo pendular a dichocentroconjuntamenteconlafuerzaabsolutadelglobo,estoes,comoCOxV.Y,portanto,elsegmentoHY,queescomolafuerzaaceleratrizCOxV,serádescritoenuntiempodado:ysiseelevalaperpendicularYZquetoquealacircunferenciaenZ,elarconacienteHZdenotarádichotiempodado.PeroestearconacienteHZescomolaraízcuadradadelrectánguloGHYy,portanto,como GHxCOxV.DeaquíqueeltiempodeunaoscilacióncompletaenlacicloideQRS(siendodirectamentecomoelsemiperímetroHKM, que denota esa oscilación completa; e inversamente como elarcoHZ, que análogamente denota el tiempo dado) será directamente comoGH einversamentecomo GHxCOxV,estoes,puestoqueGHySRsoniguales,como

SRCOxV

o (por el Corolario de la Proposición L) comoAR

ACxV. Por

consiguiente, las oscilaciones en todos los globos y cicloides, efectuadas concualesquiera fuerzas absolutas, están en razón compuesta directamente de la raízcuadrada de la longitud de la cuerda e inversamente de la raíz cuadrada de la

√

√

√

√ √


distanciaentreelpuntodesuspensiónyelcentrodelgloboytambiéninversamentedelaraízcuadradadelafuerzaabsolutadelglobo.Q.E.I.

COROLARIO 1.De aquí también que puedan compararse entre sí los tiempos de loscuerposenoscilación,encaídaoengiro.Puessieldiámetrodelaruedaconlacualsedescribelacicloidedentrodelglobosesuponeigualalsemidiámetrodelglobo,lacicloideresultaráunalínearectaquepasaporelcentrodelglobo,ylaoscilaciónseráahoraundescensoyposteriorascensoendicharecta.Dedondeestándadostantoeltiempodeldescensodesdecualquierlugarhastaelcentrocomoeltiempoigualaésteenelcualelcuerpo,girandouniformementeentornoalcentrodelgloboyacualquierdistancia,describeelarcocuadrante.Puesdichotiempo(porelCaso2)esaltiempo

deunasemioscilaciónentodacicloideQRScomo1aARAC

.

COROLARIO 2. De aquí se siguen también los descubrimientos deWren y deHuygenssobrelacicloidecomún.Puessiseaumentainfinitamenteeldiámetrodeunglobo, la superficie esférica del mismo se convertirá en un plano y la fuerzacentrípeta actuará uniformemente en la dirección de las líneas perpendiculares adichoplano,conloquenuestracicloidevieneaserunacicloidecomún.Enestecasolalongituddelarcodelacicloideentreeseplanoyelpuntodescriptorresultarásercuatro veces el seno verso del semiarco de la rueda entre dicho plano y el puntodescriptor,comolomostróWren:yelpénduloentredoscicloidessemejantesoscilarácon tiempos igualesenunacicloidesemejantee igual, comodemostróHuygens.YtambiéneldescensodelosgraveseneltiempodeunaoscilaciónseráelindicadoporHuygens.

Seadaptan lasproposicionesquehemosdemostradoa laconstituciónrealde laTierraenlamedidaenqueruedascirculantessobresuscírculosmáximosdescribirán,conelmovimientodeclavosfijadosensusperímetros,cicloidesexterioresalglobo;mientras que por debajo los péndulos suspendidos en minas y cavernas terrestresdeben oscilar en cicloides interiores al globo para que resulten isócronas todas lasoscilaciones. Pues la gravedad (como se mostrará en el Libro tercero) decrece alalejarse de la superficie terrestre; hacia arriba como el cuadrado de la distancia alcentroyhaciaabajoenrazónsimple.

PROPOSICIÓNLIII.PROBLEMAXXXV

Concedidas las cuadraturas de figuras curvas, hallar las fuerzas con las cualescuerposquesemuevanencurvasdadasrealicensiempresusoscilacionesentiemposiguales.

OscileelcuerpoTenunacurvacualquieraSTRQ,cuyoejeseaARquepasapor

√


elcentrodefuerzasC.TráceseTX,queloqueadichacurvaenunlugarcualquieraTdelcuerpo,yenesatangenteTXtómeseTYigualalarcoTR.Lalongituddedichoarcoesconocidaporlosmétodosusualesparalacuadraturadefiguras.Trácesedesdeel puntoY la rectaYZ perpendicular a la tangente. TráceseCT que corte a dichaperpendicularenZylaFuerzacentrípetaseráproporcionalaTZ.Q.E.I.

YaquesilafuerzaconlacualesatraídoelcuerpodesdeThaciaCseexpresaporla rectaTZ tomadaproporcionalmente a ella, dicha fuerza se descompondrá en lasfuerzasTYeYZ,delascualesYZ,atrayendoelcuerposegúnlalongituddelhiloPT,en nada cambia su movimiento, mientras la otra fuerza TY acelera o retardadirectamentesumovimientoenlacurvaSTRQ.Portanto,alseréstacomoelespacioa recorrer TR, las aceleraciones o retardos del cuerpo al recorrer partes (mayor ymenor) proporcionales de dos oscilaciones, siempre serán como esas partes, y porendeharánqueesaspartessiempreseandescritassimultáneamente.Peroloscuerposquesiempredescribenalavezpartesproporcionalesaltodo,describiránlostodosalavez.Q.E.D.


COROLARIO1.Deaquíquesiel cuerpoTpendedelhilo rectilíneoATdesdeelcentroAydescribeelarcocircularSTRQ,yentretantoesurgidohaciaabajosegúnlíneasparalelasporunafuerzaqueseaalafuerzauniformedelagravedadcomoelarcoTRasusenoTN,lostiemposdecadaoscilaciónserániguales.PuestoqueTZyARsonparalelas,lostriángulosATNyZTYseránsemejantesy,portanto,TZseráaATcomoTYaTN;estoes, si la fuerzauniformede lagravedadseexpresapor lalongituddadaAT,lafuerzaTZ,porlaquelasoscilacionesresultanisócronas,seráalafuerzaATdelagravedadcomoelarcoTR,igualaTY,esaTN,senodelmismo.

COROLARIO 2. Y por tanto en los relojes, si las fuerzas impresas por algunamáquinasobreelpénduloparaconservarelmovimientosepuedencomponerconlafuerzadelagravedaddetalmodoquelafuerzatotalhaciaabajoseasiemprecomolalíneaqueseobtengaaldividirelproductodelarcoTRyelradioARporelsenoTN,todaslasoscilacionesseránisócronas.

PROPOSICIÓNLIV.PROBLEMAXXXVI

Concedidas las cuadraturas de figuras curvas, hallar los tiempos en que concualquierfuerzacentrípetaloscuerposdescenderánoascenderánporcualesquieralíneascurvasdescritassobreunplanoqueatraviesaelcentrodefuerza.

Descienda un cuerpo desde un lugar cualquiera S a través de una cierta líneacurva STtR dada en un plano que pasa por el centro de fuerzas C. Únase CS ydivídaseen innumerablespartes iguales,y seaunadeellasDd.Concentro enCydistanciasCDyCdtrácenseloscírculosDTdtqueencuentranalacurvaSTrRenTyt.Yestandodadas tanto la leyde lafuerzacentrípetacomolaalturaCSdesde laquecayóelcuerpo,estarádadalavelocidaddelcuerpoencualquieraotraalturaCT(porlaProposiciónXXXIX).PeroeltiempoenqueelcuerpodescribeelsegmentoTtes como la longitud de este segmento, esto es, directamente como la secante del


ángulo tTC; e inversamente como la velocidad. Sea proporcional a este tiempo laordenadaDNperpendicularaCSenelpuntoD,y,porestardadaDd,el rectánguloDd xDN, esto es el áreaDNnd, seráproporcional adicho tiempo.Por lo tanto, siPNnfueseaquellalíneacurvaalaquesiempreestangenteelpuntoNysuasíntotafueselarectaSQquecaeperpendicularmentesobrelarectaCS,eláreaSQPNDseráproporcional al tiempo en que el cuerpo al caer ha descrito la línea ST; por tanto,halladaestaáreaestarádadoeltiempo.Q.E.I.

PROPOSICIÓNLV.TEOREMAXIX

Siuncuerposemueveencualquiersuperficiecurvacuyoejepasaporelcentrodefuerzasysetrazaunaperpendiculardesdeelcuerpoaleje;ydesdecualquierpuntodadodelejesetrazaotralíneaigualyparalelaalaanterior,digoquedichaparaleladescribiráunáreaproporcionalaltiempo.

Sea BKL la superficie curva, T el cuerpo que gira en ella, STR la trayectoriadescrita en ella por el cuerpo, S el comienzo de la trayectoria, OMK el eje de lasuperficiecurva,TNlaperpendiculardelcuerpoaleje,OPlaparalelaeigualaéstatrazada desde el punto dado O en el eje; sea AP la proyección de la trayectoriadescritaporelpuntoPdelalíneagiratoriaOPsobreelplanoAOP;seaAelcomienzodel trazocorrespondientealpuntoS,TC la recta trazadadesdeelcuerpoalcentro,TGunapartedelamismaproporcionalalafuerzacentrípetaconqueelcuerpoesutraídohaciaelcentroC,TMunarectaperpendicularalasuperficiecurva,TIunapartede lamisma que es proporcional a la presión con la que el cuerpo actúa sobre lasuperficieyalavezesrepelidoporellahaciaM;PTFunaparalelaalejeyquepasa


(porelCorolarioIIdelasLeyes)sedescomponeenlasfuerzasTF,desdelospuntosGeIsobredichaparalelaPHTF.DigoahoraqueeláreaAOP,descritaporelradioOPdesdeel iniciodelmovimiento,esproporcionalal tiempo.Puestoque la fuerzaTG (por el Corolario 2 de las Leyes) se descompone en las fuerzas TF, FG; y lafuerzaTI en las fuerzasTH,HI: ahorabien, las fuerzasTF,THal actuar según lalíneaPFperpendicularalplanoAOPsólocambianelmovimientodelcuerporespectoalaperpendicularadichoplano.Yportantosumovimiento,entantoquerealizadosegúnlaposicióndelplano,estoes,elmovimientodelpuntoP,conelquesedescribeel trazode la trayectoriaAPendichoplano,eselmismoquesi sesuprimiesen lasfuerzasTF,THyelcuerpofueseúnicamenteurgidoporlasfuerzasFG,HI;estoes,elmismoquesielcuerpodescribiese lacurvaAPenelplanoAOPconunafuerzacentrípeta tendentealcentroOe iguala la sumade las fuerzasFGyHI.Peroconsemejante fuerza (por la Proposición I) se describirá el área AOP proporcional altiempo.Q.E.D.

COROLARIO. Por el mismo argumento, si un cuerpo, urgido por fuerzas quetiendenadosomáscentrosen lamisma rectadadaCO,describieseenunespaciolibreunacurvacualquieraST,eláreaAOPsiempreseráproporcionalaltiempo.

PROPOSICIÓNLVI.PROBLEMAXXXVII

Concedida la cuadratura de figuras curvilíneas y supuesto que tanto la ley de la


fuerzacentrípetatendenteauncentrodadocomolasuperficiecurvacuyoejepasapordichocentroestándadas,hallarlatrayectoriaqueenesasuperficiedescribiráuncuerpoquepartedeunlugardado,conunavelocidaddadayhaciaunadireccióndadaenesasuperficie.

ManteniendolaconstruccióndelaProposiciónanterior,salgaelcuerpoTdesdeel lugardadoSsegúnunarectadeposicióndadahacia la trayectoriaahallarSTR,cuyaproyecciónenelplanoBDOseaAP.Yalestardadalavelocidaddelcuerpoenla altura SC estará dada su velocidad en cualquier otra altura TC. Con dichavelocidaddescribaenuntiempodadomínimolaparte17desutrayectoria,yseaPpla proyección de la misma descrita sobre el plano AOP. Únase Op y trazado unpequeño círculo en la superficie curva con centro en T e intervalo Tt sea suproyección en el planoAOP la elipsepQ.Y puesto que está dado enmagnitud elpequeño círculo Tt, y está dada su distancia TN o PO del eje CO, estará dada enmagnituddichaelipsepQtantoenespecieymagnitudcomoenposiciónrespectoalarectaPO.YdudoqueeláreaPOpesproporcionalaltiempoyestádadaalestardadoeltiempo,estarádadoelánguloPOp.Y,porconsiguiente,estarádadop,interseccióncomúndelaelipseyde larectaOp,asícomoelánguloOPp,ánguloconelque laproyección APp de la trayectoria corta a la línea OP. Y de aquí (aplicando laProposición XLI y su Corolario 2) se ve fácilmente el modo de determinar APp.Entonces,apartirdecadapuntoPdelaproyección,elevandosobreelplanoAOPlasperpendicularesPTquecortenalasuperficiecurvaenT,quedarádadocadapuntoTdelatrayectoria.Q.E.I.


SecciónXIDELMOVIMIENTODECUERPOSQUETIENDENUNOSAOTROSCONFUERZASCENTRÍPETAS

He expuesto hasta aquí los movimientos de cuerpos atraídos hacia un centroinmóvil,aunquepuedequetalcosanoexistaenlanaturalezadelascosas.Pueslasatraccionessuelendarsehacialoscuerpos,ylasaccionesdeloscuerposatrayentesyatraídossonsiempremutuaseiguales,porlaLeyTercera:hastaelpuntodeque,sifuesen dos cuerpos, ni el atrayente ni el atraído podrían estar en reposo, sino queambos (por el Corolario IV de las Leyes) girarán en torno a un centro común degravedad, como con atracción mutua; y, si fuesen varios los cuerpos, bien seanatraídosporunoyéstepor losotros,bienseatraigantodosmutuamente,habrándemoverseentresídetalmodoqueobienestéenreposoelcentrocomúndegravedadobien semueva uniformemente en línea recta. Por lo cual paso ahora a exponer elmovimiento de cuerpos que se atraen mutuamente, considerando a las fuerzascentrípetas como atracciones, aunque quizá, si hablásemos en términos físicos, sedenominaríanmáspropiamente impulsos.Peroahoranosmovemosenmatemáticasy,portanto,dejandodeladodisputasfísicas,hacemosusodeunlenguajecomúnenelcualpodemossercomprendidosmásfácilmenteporlectoresmatemáticos[35].

PROPOSICIÓNLVII.TEOREMAXX

Doscuerposqueseatraenmutuamentedescribenfigurassemejantestantoentornoasucentrocomúndegravedadcomounoentornoalotromutuamente.

Pues las distancias de los cuerpos a su centro común de gravedad soninversamenteproporcionalesaloscuerpos,ysehallan,portanto,enunarazóndadaentresí,ycomponiendorazones,enunarazóndadarespectoaladistanciatotalentrecuerpos. Tales distancias se desplazan en torno a su extremo común con igualmovimientoangular,puestoquealestarsobreunarectajamáscambiansuinclinaciónmutua.Maslaslíneasrectasqueguardanentresíunarazóndadaygiranentornoasusextremoscon igualmovimientoangularenplanosque,obien reposana lavez


que dichos extremos, o bien se mueven con cualquier movimiento no angular,describenentornoatalesextremosfigurastotalmentesemejantes.Porconsiguiente,lasfigurasdescritasconlosgirosdeestasdistancias,sonsemejantes.Q.E.D.

PROPOSICIÓNLVIII.TEOREMAXXI

Sidoscuerposseatraenmutuamentecon fuerzascualesquiera,ygiran tambiénentornoalcentrocomúndegravedad,digoqueconlasmismasfuerzasyentornoaunocualquierade losdoscuerposenrepososepuededescribiruna figurasemejanteeigualalasfigurasquedescribenloscuerposunoentornoaotroconlosmovimientosmencionados.

GirenloscuerposS,PentornoalcentrocomúndegravedadC,progresandodeSaTydePaQ:desdeelpuntodadostrácensesp,sqsiempreigualesyparalelasaSP,TQ;ylacurvapqv,descritaporelpuntopalgirarentornoalpuntoinmóvils,serásemejanteeigualalascurvasdescritasporloscuerposS,Palgirarmutuamenteunoentornoaotro:portanto(porelTeoremaXX)serásemejantealascurvasSTyPQVdescritas por losmismos cuerpos en torno al centro común de gravedadC: y estoporquelasproporcionesdelaslíneasSC,CP,ySPospentresíestándadas.

CASO1.DichocentrocomúndegravedadC,porelCorolario IVdelasLeyes,oestáen reposoo semueveuniformementeen línea recta.Primero supongamosquereposa y que en s yp se sitúan dos cuerpos, uno inmóvil en s y otromóvil enp,semejanteseigualesaloscuerposSyP.HágasedespuésquelasrectasPRyprseantangentesalascurvasPQypqenPypyprolónguenseCQysqhastaRyr.YporlasemejanzadelasfigurasCPRQ,RQseráargcomoCPaspy,portanto,enunarazóndada.Enconsecuencia,silafuerzaconlacualesatraídoelcuerpoPhaciaelcuerpoSy,portanto,haciaelcentrointermedioC,sehallaserespectoalafuerzaconlacualel cuerpop es atraído hacia el centro s en esamisma razón dada, esas fuerzas entiemposigualesatraeránsiemprealoscuerposdesdelastangentesPRyprhacialosarcosPQypqatravésdelosintervalosRQyrqproporcionalesadichasfuerzas;porello,lasegundafuerzaharáqueelcuerpopgireenlacurvapqv,semejantealacurvaPQVenlacuallaprimerafuerzaharágiraralcuerpoP;ycompletaránrevolucionesenlosmismostiempos.PerocomodichasfuerzasnosonentresícomoCPaspsinoque (por la semejanza e igualdadde los cuerposSy s,Pyp, y la igualdad de lasdistanciasSP, sp) son iguales entre sí, los cuerpos en tiempos iguales son atraídosigualmentedelastangentes;yportanto,paraqueelcuerposegundopseaatraídoatravés de un intervalomayor rq, se requiere un tiempomayor y esto como la raízcuadradadelosintervalos,porcuantoque(porelLemaX)losespaciosrecorridosenel mismo comienzo del movimiento son como el cuadrado de los tiempos.Supóngase,pues,quelavelocidaddelcuerpopesalavelocidaddelcuerpoPcomo


laraízcuadradadeladistanciaspaladistanciaCP,detalmodoqueentiemposqueesténenestamismarazónsedescribanlosarcospq,PQqueestánenrazónsimple:los cuerpos P, p atraídos siempre por fuerzas iguales describirán alrededor de loscentrosenreposoCyslasfigurassemejantesPQV,pqv,delascualeslasegundapqvessemejanteeigualaladescritaporelcuerpoPalgirarentomoalcuerpomóvilS.Q.E.D.

CASO2.Ahorasupongamosqueelcentrocomúndegravedadjuntoconelespacioenelcualloscuerpossemuevenentreellos,avanzauniformementeenlínearecta;y(porelCorolarioVIdelasLeyes)todoslosmovimientosentalespacioseproduciránigualqueantesy,por tanto, loscuerposdescribiránentresí lasmismasfigurasqueantes,yconsecuentementeigualesysemejantesalafigurapqv.Q.E.D.

COROLARIO 1. De aquí que dos cuerpos que se atraigan entre sí con fuerzasproporcionalesasudistancia(porlaProposiciónX)describenalrededordesucentrocomúndegravedadyunoalrededordelotroelipsesconcéntricas;yviceversa,silasfigurasdescritassontales,entonceslasfuerzassonproporcionalesaladistancia.

COROLARIO 2. Y dos cuerpos, con fuerzas inversamente proporcionales alcuadrado de la distancia entre ellos, describirán (por las ProposicionesXI, XII, XIII)tanto alrededor de su centro común de gravedad como el uno en torno al otrosecciones cónicasque tienen su foco en el centro en torno al cual se describen lasfiguras.Yviceversa,silasfigurasdescritassontales,entonceslasfuerzascentrípetassoninversamenteproporcionalesalcuadradodeladistancia.

COROLARIO 3. Dos cuerpos cualesquiera girando en torno al centro común degravedaddescribenáreasproporcionalesalostiemposconlosradiostrazadosadichocentroyasímismos.

PROPOSICIÓNLIX.TEOREMAXXII

EltiempoperiódicodedoscuerposSyPengiroalrededordesucentrocomúndegravedadCesaltiempoperiódicodeunodeloscuerposPengiroalrededordelotroSenreposoydescribiendounafigurasemejanteeigualalasfigurasqueresultanalgirarunoentornoaotrocomolaraízcuadradadeuncuerpoSalaraízcuadradadelasumadeloscuerposS+P.

Pues, por la demostración de la Proposición anterior, los tiempos en que son


descritoscualesquieraarcossemejantesPQypqsoncomolasraícescuadradasdeCPySPosp,estoes,comolaraízcuadradadelcuerpoSaladelasumadeloscuerposS+P.Ycomponiendo,lassumasdelostiemposenquesondescritostodoslosarcossemejantesPQypq,estoes,lostiempostotalesenquesondescritastodaslasfigurassemejantes,sehallanenlasusodicharazónsubduplicada.Q.E.D.

PROPOSICIÓNLX.TEOREMAXXIII

Si dos cuerpos S y P que se atraen mutuamente con fuerzas inversamenteproporcionalesalcuadradodesusdistanciasgiranen tornoasucentrocomúndegravedad:digoqueelejeprincipaldelaelipsequeunodeloscuerpos,P,describeconsumovimientoen tornoalotro,S, seráal ejeprincipalde laelipsequedichocuerpoPpudieradescribirenelmismotiempoperiódicoentornoalotrocuerpoSenreposocomo lasumade losdoscuerposS+Pa laprimerade lasdosmediasproporcionalesentreestasumayelotrocuerpoS.

Puessilaselipsesdescritasfuesenigualesentresí,lostiemposperiódicos(porelTeoremaanterior)seráncomolaraízcuadradadelarazóndelcuerpoSalasumadeloscuerposS+P.Disminúyaseeltiempoperiódicoenlaúltimaelipsesegúnladicharazónylostiemposperiódicosseharániguales;peroelejeprincipaldelaelipse(porlaProposiciónXV)disminuiráenunarazón,delacualéstaessesquiplicada,estoes,enunarazónrespectoalacuallarazónSaS+Pescúbica,porlocualseráalejeprincipaldelaotraelipsecomolaprimeradedosmediasproporcionalesentreS+PySaS+P.Y,alainversa,elejeprincipaldelaelipsedescritaentornoalcuerpomóvilseráalejeprincipaldeladescritaentornoalinmóvilcomoS+PalaprimeradedosmediasproporcionalesentreS+PyS.Q.E.D.

PROPOSICIÓNLXI.TEOREMAXXIV

Si dos cuerpos se atraenmutuamente con cualquier fuerza y no son empujados niobstruidosexternamenteysemuevendecualquiermodo;susmovimientosvienenaserlosmismosquesinoseatrajesenentreellos,sinoqueambosfuesenatraídosporuntercerosituadoenelcentrocomúndegravedadconlasmismasfuerzas;yla,leyde tales fuerzas de atracción será lamisma tanto respecto a la distancia a dichocentrocomúncomorespectoaladistanciatotalentrecuerpos.

Pueslasfuerzasconlascualesloscuerposseatraenmutuamente,altenderhacialos cuerpos, tienden al centro intermedio común de gravedad; y por eso son lasmismasquesiprocediesendelcuerpointermedio.Q.E.D.


Ycomoestádadalarazóndeladistanciadecadacuerporespectoadichocentrocomúnaladistanciaentrecuerpos,estádadalarazónentrecualquierpotenciadeunadistanciay lamismapotenciade laotradistancia; y también la razónde cualquiercantidadderivadadecualquierformadeunadistanciaydecantidadesdadas,respectoa otra cantidad derivada similarmente de la otra distancia y de cuantas cantidadesdadasqueposeanrespectoalaprimeraladicharazóndadadedistancias.Porlocual,si la fuerza por la que un cuerpo es atraído por otro fuese directa o inversamentecomoladistanciamutuaentrecuerpos,ocomocualquierpotenciadeestadistancia,o,finalmente,comocualquiercantidadderivadadecualquierformadeestadistanciay cantidadesdadas: la fuerzapor la cual el dichocuerpoes atraídohacia el centrocomúndegravedadserátambiéndirectaoinversamentecomoladistanciadelcuerpoatraídoalcentrocomúndegravedad,ocomo ladichapotenciadeestadistanciao,porfin,comolacantidadderivadadeestadistanciaydeanálogascantidadesdadas.Estoes,laleydelafuerzadeatracciónserálamismaparaunayotradistancia.Q.E.D.

PROPOSICIÓNLXII.PROBLEMAXXXVIII

Determinar los movimientos de dos cuerpos que atrayéndose mutuamente confuerzas inversamenteproporcionalesa loscuadradosde ladistanciaentreellos,sedejancaerdesdelugaresdados.

Loscuerpos(porelúltimoTeorema)semoverándemodosemejanteacomoloharíansiendoatraídosporuntercerosituadoenelcentrocomúndegravedad;dichocentro,porhipótesis,estaráenreposoenelcomienzomismodelmovimiento,yporlotanto(porelCorolarioIVdelasLeyes)siempreestaráenreposo.Porlotanto,losmovimientosdeloscuerpos(porelProblemaXXV)handeserdeterminadoscomosifuesenimpelidosporfuerzastendentesaesecentro;ysetendránlosmovimientosdeloscuerposqueseatraenmutuamente.Q.E.I.

PROPOSICIÓNLXIII.PROBLEMAXXXIX

Determinar losmovimientosdedoscuerposqueseatraenmutuamentecon fuerzasinversamente proporcionales a los cuadrados de su distancia y parten de lugaresdados,segúnrectasdadasyconvelocidadesdadas.

Alestardadoslosmovimientosdeloscuerposenelinicio,tambiénestádadoelmovimientodelcentrocomúndegravedad,asícomoelmovimientodelespacioquesemueve uniformemente en línea recta junto con dicho centro, lomismo que los


movimientosinicialesdeloscuerposrespectoadichoespacio.Perolosmovimientossiguientes(porelCorolarioVdelasLeyesyelTeoremaanterior)tendránlugareneseespaciocomosiéstereposasejuntoconelcentrocomúndegravedadyloscuerposnoseatrajesenmutuamente,sinoquefuesenatraídosporuntercercuerposituadoendichocentro.Porlotanto,elmovimientodecadacuerpo,partiendodeunlugardado,segúnunarectadadayconunavelocidaddadayafectadoporunafuerzacentrípetatendente a dicho centro, en semejante espacio móvil, ha de determinarse por losProblemasIXyXXVI:yalavezsetendráelmovimientodelotrocuerpoalrededordelmismocentro.Conestemovimientohadecomponerseaquelmovimientouniformedel sistema espacial y de los cuerpos que giran en él y se tendrá el movimientoabsolutodeloscuerposenelespacioinmóvil.Q.E.I[36].

PROPOSICIÓNLXIV.PROBLEMAXL

Siloscuerposseatraenmutuamenteconfuerzasquecrecenenrazónsimpledesusdistanciasaloscentros,hállenselosmovimientosdevarioscuerposentresí.

PrimerosupóngansedoscuerposTyLquetienensucentrocomúndegravedadenD.Describirán(porelCorolarioIdelTeoremaXXI)elipsesconcentroenD,cuyasmagnitudessonconocidasporelProblemaV.

Ahora un tercer cuerpo S atraiga a los dos primeros T y L con las fuerzasaceleratricesST,SLyseaalavezatraídoporellos.LafuerzaST(porelCorolarioIIdelasLeyes)sedescomponeenlasfuerzasSDyDT;ylafuerzaSLenlasfuerzasSDyDL.PerolasfuerzasDT,DL,quesoncomosusumaTLy,portanto,comolasfuerzasaceleratricesconlascualesloscuerposTyLseatraenmutuamente,añadidasalasfuerzasdeloscuerposTyL,laprimeraalaprimeraylasegundaalasegunda,componenfuerzasproporcionalesa lasdistanciasDTyDLcomoalprincipio,peroahoraconfuerzasmayoresqueantes;yportanto(porelCorolarioIdelaProposiciónXyporlosCorolarios1y8delaProposiciónIV)hacenquedescribanelipsescomoantes,peroconmovimientomásrápido.LasrestantesfuerzasaceleratricesSDySD,por lasaccionesmotricesSDxTySDxL,que soncomo loscuerpos, al atraeradichoscuerposigualmenteysegúnlaslíneasTI,LKparalelasalapropiaDS,ennadacambiansusposicionesrelativas,sinoquehacenqueseacerquenalalíneaIK,lacualhadeimaginarsetrazadaporelcentrodeSyperpendicularaDS.


PeroestaaproximaciónaIKseimpediráprocurandoqueelsistemadecuerposTyLporunaparte,yelcuerpoSporotra,pirenconvelocidadesprecisasentornoalcentrocomúndepravedadC.Contalmovimiento,dadoquelasumadelasfuerzasmotricesSDxTySDxLproporcionalaladistanciaCStiendealcentroC,elcuerpoSdescribeunaelipseentornoalcentroC;yelpuntoD,alserproporcionalesCSyCD,describiráensuzonatinaelipsesimilar.PeroloscuerposTyL,atraídosporlasfuerzasmotrices SDxT ySDxL, el primero por la primera y el segundo por lasegunda,igualmenteysegúnlasparalelasTIyLK,comosedijoantes,continuarándescribiendo(por losCorolariosVyVIde lasLeyes) suselipsesen tornoal centromóvilD,comoanteriormente.Q.E.I.

AñádaseahorauncuartocuerpoVy,conunrazonamientosemejanteseconcluiráquedichocuerpojuntoconelpuntoCdescribiráelipsesentornoalpuntocomúndegravedadB;losmovimientosdeloscuerposT,LySentornoaloscentrosDyC,permanecerán, pero acelerados.Y con elmismométodo podríamos añadirmuchoscuerpos.Q.E.I.

Estoesasí,auncuando loscuerposTyLseatrajesenmutuamentecon fuerzasaceleratrices mayores o menores que aquellas con las cuales atraen a los demáscuerpos en razón de las distancias. Sean las atracciones aceleratrices de todosmutuamente como las distancias multiplicadas por los cuerpos atrayentes, y de lodichosedesprendefácilmentequetodosloscuerposdescribiránelipsesdistintaseniguales tiemposperiódicos en torno a su centro comúndegravedadB, en el planoinmóvil.Q.E.I.

PROPOSICIÓNLXV.TEOREMAXXV

Varioscuerpos,cuyasfuerzasdecrecencomoelcuadradodelasdistanciasdesdesuscentros,puedenmoverseentresíenelipses,ydescribirmedianteradios trazadosalosfocosáreasmuyaproximadamenteproporcionalesalostiempos.

Sehademostradoen laProposiciónanteriorelcasoenelcual losmovimientosocurrenexactamenteenelipses.Cuantomásseapartelaleydelasfuerzasdelaleyallípropuesta,tantomásperturbaránloscuerpossusmutuosmovimientos;ytampocoes posible que los cuerpos, con atracción mutua según la ley aquí supuesta, se


muevanenelipsesexactas,salvoquemantenganentresídeterminadaproporcióndedistancias. En los casos siguientes, no obstante, no nos apartaremosmucho de laselipses.

CASO 1. Imagínese que varios cuerpos pequeños giran en torno de uno muygrande a distancias diferentes, y fuerzas absolutas, proporcionales a cada uno deellos,tendiendohaciacadauno.Ypuestoqueelcentrocomúndegravedaddetodos(por elCorolario IV de las Leyes) o está en reposo o semueve uniformemente enlínearecta,imaginemosqueloscuerpospequeñoslosontantoqueelcuerpomayorjamásdistasensiblementededichocentro:ydichocuerpomayoroestáenreposoosemueveuniformementeenlínearectasindesvíoapreciable: loscuerpospequeñosgirarán en elipses en torno delmayor y con radios trazados hasta éste describiránáreasproporcionalesalostiempos,salvoenlamedidaenquepuedanocurrirdesvíosprocedentesdelaseparacióndelcuerpomayordelcentrocomúndegravedadodelasinteracciones mutuas de los cuerpos menores. Pero los cuerpos pequeños puedendisminuirse tanto que, tanto dicho desvío, como las interacciones mutuas, seanmenoresqueunasdadasy,portanto,hastaquelasórbitascoincidanconelipsesylasáreasrespondanalostiempossinerrormayorqueunodado.Q.E.O.

CASO2.Supongamosahoraunsistemadecuerpospequeñosquegiranentornoaunomuygrandedelmodoantesdescrito;uotrosistemacualquieradedoscuerpos,quegiranunoentornoalotro,quesedesplazaconmovimientouniformeyrectilíneo,yquealavezesinfluidolateralmenteporlafuerzadeotrocuerpomuchomayorysituadoagrandistancia.Y,puestoquelasfuerzasaceleratricesigualesqueinfluyenenloscuerpossegúnlíneasparalelasnocambianlasituacióndeloscuerposentresí,sinoquehacenquetodoelsistemacambiedelugarpreservándoselosmovimientosdelaspartesentreellas,esevidentequeenesosmovimientosdeloscuerposatraídosnopuedeocurrirningúncambioprocedentede laatraccióndelmayor,sinosólodelasdesigualdadesdelasatraccionesaceleratricesodelasinclinacionesdelaslíneassegúnlascualesocurrenlasrespectivasatracciones.Supóngase,pues,quetodaslasatracciones aceleratriceshacia el cuerpomayor seanentre sí inversamente comoelcuadradodelasdistancias;aumentando,entonces,ladistanciadelcuerpomayorhastaquelasdiferenciasentrelongitudesdelasrectastrazadasdesdeélhastalosotros,ylas inclinaciones respectivas de dichas líneas sean menores que unas dadas, losmovimientos de las partes del sistema entre sí proseguirán sin errores que no seanmenores que unos dados. Y como la distancia mutua entre dichas partes es muypequeña,elsistemaentero,comosifueraunsolocuerpo,esatraídoysemoverábajodicha atracción como si de un solo cuerpo se tratara; esto es, con su centro degravedad describirá alrededor del cuerpo mayor alguna sección cónica (i. e. unahipérbolaounaparábolasilaatracciónessuaveyunaelipsesiesmásfuerte)yconunradiotrazadohastaelcuerpomayordescribirááreasproporcionalesalostiempossin más errores que los originados de las distancias de las partes, desde luegopequeñas,ydisminuíblescuantosequiera.Q.E.O.


Conargumentossimilarespuedentratarsecasosmáscomplejoshastaelinfinito.COROLARIO 1. En el Caso segundo, cuanto más se acerca el cuerpo mayor al

sistemadedosomáscuerpos,tantomásresultaránperturbadoslosmovimientosdelas partes del sistema cutre sí; puesto que mayores serán las inclinaciones de laslíneas trazadas desde este cuerpo mayor hasta los otros y también será mayor ladesigualdaddelaproporción.

COROLARIO 2. Pero resultará máxima la perturbación suponiendo que lasatraccionesaceleratricesdelaspartesdelsistemahaciaelcuerpomayornosonentresí comoel inversodel cuadradode lasdistanciasdesdedichocuerpomayor; sobretodo si la desigualdad de dicha proporción es mayor que la desigualdad de laproporción de las distancias desde dicho cuerpo mayor. Porque si la fuerzaaceleratriz, al actuar igualmente y según líneas paralelas, no produce perturbaciónalgunaentrelosmovimientosdelsistema,esnecesarioquesurjaalgunaperturbacióndebida a la desigualdad de acción, y que sea mayor o menor según sea mayor omenor dicha desigualdad. El exceso de impulsos mayores actuando sobre algunoscuerpos y no sobre otros cambiará necesariamente su situación respectiva. Y estaperturbación, añadida a la que surge de la inclinación y desigualdad de las líneas,aumentalaperturbacióntotal.

COROLARIO3.Por tanto,si laspartesdeestesistemasemuevenenelipsesoencírculossinperturbacionesnotables,esevidentequeonosehallan impelidashaciaotros cuerpospor fuerzas aceleratricesmásquedemodo insensibleo lo sondeunmodouniformeysegúnlíneasparalelasmuyaproximadamente.

PROPOSICIÓNLXVI.TEOREMAXXVI

Sitrescuerpos,cuyasfuerzasdecrecencomoelcuadradodelasdistancias,seatraenmutuamenteylasatraccionesaceleratricesdedoscualesquierasobreeltercerosonentre ellas inversamente como el cuadrado de las distancias, y los más pequeñosgiranentornoalmayor,digo:queel interiormáspróximoalcentralymayor,conradios trazados hasta él describirá áreasmás proporcionales a los tiempos, y unafiguramás cercanaa la de una elipse con foco en el punto de intersecciónde losradios, tanto si el cuerpo mayor es perturbado por dichas atracciones, como sipermaneceenreposonosiendoatraídopor lospequeñososi, siendoatraídounasvecesmuchoyotraspoco,resultaseperturbadounasvecesmuchoyotraspoco.

Casi se sigue de la demostración del segundo Corolario de la Proposiciónanterior; pero se pruebamediante una demostraciónmás clara y estricta delmodosiguiente.

CASO1.SupongamosqueentornoalcuerpomayorTgiranloscuerposmenoresP y S en el mismo plano, de los cuales P describe la órbita interior PAB, y S la


exteriorESE. Sea SK la distanciamedia entre los cuerpos P y S, y valga tambiéncomoexpresióndelaatracciónaceleratrizdePhaciaSaesadistanciamedia.TómeseSLaSKcomoelcuadradodelarazóndeSKaSP,ySLserálaatracciónaceleratrizdePhaciaSacualquierdistanciaSP.ÚnasePT,yparalelaaellatráceseLMquetocaaSTenM;ylaatracciónSLsedescompondrá(porelCorolario IIdelasLeyes)enlasatraccionesSM,LM.ElcuerpoPseráurgidodeestemodoporunatriplefuerzaaceleratriz.Unafuerza tiendehaciaT,yseoriginapor laatracciónmutuaentre loscuerposTyP.ConestafuerzasolaelcuerpoPdeberíadescribir,entornoalcuerpoTyconelradioPT,áreasproporcionalesalostiemposasícomounaelipsecuyofocose halla en el centro del cuerpoT, y esto tanto siT permanece en reposo como sioscilapor causadeesta atracción, listo es evidentepor laProposiciónXI ypor losCorolarios2y3delTeoremaXXLLaotrafuerzaesladelaatracciónLM,queporquetiendedePhaciaTsesuperponea la fuerzaanteriorycoincideconella,ydeestemodoharáquelasáreassigansiendoproporcionalesalostiempos,porelCorolario3delTeoremaXXLPero,puestoquenoesproporcionalal inversodelcuadradode ladistanciaPT,alserañadidaalaanteriorcompondráconellaunafuerzaqueseapartadedichaproporción;yestotantomáscuantomayorsealaproporcióndeestafuerzarespecto a la anterior, permaneciendo igual el resto. Por tanto, ya que (por laProposiciónXIyporelCorolario2delTeoremaXXI)lafuerzaconlacualsedescribela elipse en torno al foco T ha de tender hacia dicho foco y ser inversamenteproporcionalalcuadradodedichadistanciaPT,talfuerzacompuesta,alapartarsededichaproporción,haráquelaórbitaPABseapartedelaformaelípticaconfocoenT,yesto tantomáscuantomayorsea ladiferenciaconrespectoadichaproporción;yporlotantotambiéncuantomayoreslaproporcióndelasegundafuerzaLMrespectoalaprimera,manteniendoelrestoigual.Pero,ahora,latercerafuerza,SM,alatraeralcuerpoPenunadirecciónparalelaaST,componeconlasfuerzasanterioresunafuerza que ya no se dirige deP haciaT; y que diverge tantomás de esa direccióncuantomayoreslaproporcióndeestatercerafuerzarespectoalasanteriores,caeterisparibus; lacual,por tanto,hacequeelcuerpoP,con radioTP,yanodescribamásáreas proporcionales a los tiempos, y que la aberración con respecto a estaproporcionalidad seamayor cuantomayor sea la proporción de esta tercera fuerzarespecto de las otras. Pero esta tercera fuerza aumentará la aberración de la órbitaPAB respecto a la mencionada forma elíptica por doble causa, bien porque no sedirijadePhaciaT,bienporquenoseainversamenteproporcionalalcuadradodeladistancia PT. Comprendido esto, es evidente que las áreas se tornan másproporcionalesalostiempos,permaneciendolasdemásfuerzas,cuantomáspequeñasealatercerafuerza;yquelaórbitaPABseaproximamáximamentealamencionadaformaelípticacuandotantolasegundacomolatercerafuerza,ysobretodolatercera,sehacenmínimas,permaneciendolaprimera.


RepreséntesemediantelalineaSNlaatracciónaceleratrizdelcuerpoThaciaS;ysilasatraccionesaceleratricesSM,SNfueseniguales,alatraeréstasaloscuerposT,P,igualmenteysegúnlíneasparalelas,ennadacambiaránsussituacionesrespectivas.Losmovimientosdedichoscuerposentresíseríaniguales(porelCorolarioVIdelasLeyes)quesidesapareciesendichasatracciones,Yporsimilarrazón,silaatracciónSN fuesemenor que la SM, la propia SN restará una parte de la atracción SM, yquedarásólolaparteMNconlaqueresultaránperturbadastantolaproporcionalidadde tiempos y áreas como la susodicha forma elíptica de la órbita. De manerasemejante si la atracción SN fuese mayor que la atracción SM, surgirá de la soladiferenciaMNlaperturbacióndelaproporcionalidadydelaórbita.AsílaatracciónSN siempre reduce la atracción SM, tercera de antes, a la atracción MN,permaneciendoigualeslaprimeraylasegunda;yporlotantolasáreasylostiemposse aproximan demodomáximo a la proporcionalidad, y la órbita PAB a la figuraelípticamencionada, cuando la atracciónMNesnulao lamínimaposible; esto es,cuando las atracciones aceleratrices de los cuerpos P y T realizadas hacia S seaproximancuantoseaposiblealaigualdad;osea,cuandolaatracciónSNniesnulaniesinferioralamáspequeñadetodaslasatraccionesSM,sinocomolamediaentrelamáximay lamínimade las atraccionesSM, esto es, nimuchomayor nimuchomenorquelaatracciónSK.Q.E.D.

CASO2.AhorasupóngasequeloscuerposmenoresS,PgiranendistintosplanosentornoaotromayorT;ylafuerzaLM,alactuarsegúnlalíneaPTsituadasobreelplanodelaórbitaPAB,produciráelmismoefectoqueantes,ynodesviaráalcuerpoPdelplanodesuórbita.Pero,laotrafuerzaMN,alactuarsegúnunalíneaparalelaaST(yportanto,cuandoelcuerpoSsemuevefueradelalíneanodal,inclinadahaciael plano de la órbita PAB) produce, además de la perturbación delmovimiento yamencionadadesentidolongitudinal,otradesentidolatitudinal,alatraeralcuerpoPfueradesuplanoorbital.Yestaperturbación,paracualquiersituaciónmutuadadadeloscuerposPyT,serácomolafuerzageneradoraMN;yresultará,portanto,mínimacuandoMN sea mínima, esto es (como ya dije) cuando la atracción SN no es nimuchomayornimuchomenorquelaatracciónSK.Q.E.D.


COROLARIO1.Deestosesiguefácilmentequesivarioscuerpospequeños,P,S,R,etc., giran en torno a otromayor T, elmovimiento del cuerpomás interior P seráperturbadomínimamenteporlasatraccionesdelosexteriores,todavezqueelcuerpomayor T es atraído y perturbado en igual medida por los demás, ch razón de lasfuerzasaceleratrices,quelosotrosentresí.

COROLARIO 2. Pero en un sistema de tres cuerpos, T, P, S, si las atraccionesaceleratrices de dos cualesquiera sobre un tercero son entre sí como el inverso delcuadradode lasdistancias;elcuerpoP,con radioPT,describiráeláreaen tornoalcuerpoTmásrápidamenteenlasinmediacionesdelaconjunciónAydelaoposiciónB,queenlasinmediacionesdelascuadraturasC,D.Puestodafuerzaqueactúasobreel cuerpo P y no actúa sobre el cuerpo T, puesto que no actúa según la línea PT,aceleraoretardaladescripcióndelárea,segúnactúepordelanteopordetrás.Talesla fuerzaMN.Esta fuerza,al irelcuerpoPdesdeChaciaAatraehaciaadelanteyacelera el movimiento; después hasta llegar a D actúa por detrás y retarda elmovimiento,despuéspordelantehastaB,yfinalmentepordetrásalirdesdeBhastaC.

COROLARIO 3. Y por el mismo razonamiento es claro que el cuerpo P,permaneciendoigualeslasdemáscosas,semuevemásrápidamenteenlaconjunciónyenlaoposiciónqueenlascuadraturas.

COROLARIO 4. La órbita del cuerpo P, permaneciendo igual lo demás, es máscurvaen lascuadraturasqueen laconjunciónyen laoposición.Puestoquecuantomásrápidamentesemueveuncuerpomenossedesvíadelalínearecta.Yademás,lafuerzaKL,oMN,enlaconjunciónyenlaoposiciónescontrariaalafuerzaconlacual el cuerpoT atrae al cuerpoP, y por lo tanto hace disminuir a la tal fuerza; yentonces el cuerpo P se desviará de la línea recta tanto menos cuanto menos esatraídohaciaelcuerpoT.

COROLARIO5.Dedonde,elcuerpoP,permaneciendoelrestoigual,sealejarámásdel cuerpo T en las cuadraturas que en la conjunción y la oposición. Esto es así


excluyendoelmovimientodeexcentricidad.PuestoquesilaórbitadelcuerpoPfueseexcéntrica, su excentricidad (como se verá en el siguiente Corolario 9) resultarámáximacuandolosápsidessehallenenlassicigias;yporellopuedeocurrirqueelcuerpoP,alalcanzarelápsidemáximo,sealejemásdelcuerpoTenlassicigiasqueenlascuadraturas.

COROLARIO6.DadoquelafuerzacentrípetadelcuerpocentralT,mediantelacualel cuerpoP es retenido en suórbita, aumenta en las cuadraturas por la sumade lafuerza LM y disminuye en las sicigias por la resta de la fuerza KL, y, dada lamagnituddelafuerzaKL,disminuyemásqueaumenta;yademás,puestoquedichafuerzacentrípeta (porelCorolario2de laProposición IV) estáen razóncompuestadirectamente como el radio TP e inversamente como el cuadrado del tiempoperiódico,esevidentequedicharazóncompuestaesdisminuidapor laaccióndelafuerzaKL; y por lomismo que el tiempo periódico aumenta, si el radio TP de laórbita permanece constante, y ello como la raíz cuadrada de la razón en quedisminuyedichafuerzacentrípeta;y,portanto,alaumentarodisminuiresteradio,eltiempo periódico aumentará más o disminuirá menos que la potencia 3⁄2 de dichoradio (por el Corolario 6 de la Proposición IV). Si la fuerza del cuerpo centraldisminuyerapaulatinamente,elcuerpoPsealejaríasiempremásdelcentroTalestarcadavezmenosatraído;y,porelcontrario,sidichafuerzaaumentaseacercarácadavezmás.Por tanto, si laaccióndelcuerpo lejanoS,mediante lacuáldisminuye lasusodicha fuerza, aumenta y disminuye alternativamente, aumentará y disminuiráalternativamenteelradioTP;ytambiéneltiempoperiódicoaumentaráydisminuirásegúnuna razón compuesta de la potencia 3⁄2 del radio y de la raíz cuadrada de lacantidadenquedisminuyóoaumentó la fuerzacentrípetadelcuerpocentralTporcausadelaumentoodisminucióndelaaccióndelcuerpolejanoS.

COROLARIO 7. De lo antedicho se desprende también que el eje de la elipsedescritaporelcuerpoP,olíneadelosápsides,encuantoasumovimientoangular,avanza y retrocede alternativamente, aunque los avances sonmayores, y gracias aestosexcesos,enconjuntosedesplazahaciaadelante.Pues la fuerzacon lacualelcuerpoPesatraídohaciaelcuerpoTenlascuadraturas,momentoenquelafuerzaMNsedesvanece,secomponedelafuerzaLMydelafuerzacentrípetaconlacualelcuerpo T atrae al cuerpo P. Si se aumenta la distancia PT la primera fuerza LMaumentacasienlamismaproporciónqueladistancia,mientraslasegundadisminuyecomoelcuadradodedichadistancia;conlocuallasumadeambasfuerzasdecreceenuna razón menor que la del cuadrado de la distancia PT, y por lo mismo (por elCorolario 1 de la Proposición XLV) el auge, o ápside superior, resultará retrasado.PeroenlaconjunciónyenlaoposiciónlafuerzaconlacualelcuerpoPesatraídohaciaelcuerpoTesladiferenciaentrelafuerzaconlacualelcuerpoatraealcuerpoP y la fuerza KL; y esta diferencia, por cuanto que la fuerza KL aumenta muyaproximadamenteenrazóndeladistanciaPT,disminuyeenrazónmayorqueladel


cuadradode ladistanciaPT,ypor tanto (porelCorolario1de laProposiciónXLV)haráqueelaugeseadelante.Enlospuntoscomprendidosentresicigiasycuadraturasel movimiento del auge depende conjuntamente de ambas causas, de modo queavanzaoretrocedesegúnelexcesodeunaodeotra.PuestoquelafuerzaKLenlassicigias es casi el doble que la fuerza LM en las cuadraturas, el exceso se hallaráhaciaelladodelafuerzaKLyempujaráhaciaadelantealauge.SecomprenderámásfácilmentelaverdaddeesteCorolarioyladelprecedenteimaginandoelsistemadelos dos cuerpos T y P rodeado por todas partes de muchos cuerpos S, S, S, etc.colocadossobrelaórbitaESE.Puestoqueporlaaccióndeéstosdisminuyeportodaspartes la accióndelpropioT,disminuiráéstamásqueen razóndel cuadradode ladistancia.

COROLARIO 8. Pero como el progreso o retroceso de los ápsides depende de ladisminuciónde la fuerza centrípeta, según resulte aquélla en razónmayoromenorqueelcuadradodeladistanciaTP,alirpasandoelcuerpodesdeelápsideinferioralsuperior;lomismoquedelincrementoanálogoalregresaralápsideinferior;yesportantomáximocuandolaproporcióndelafuerzaenelápsidesuperioralafuerzaenelápside inferior resulte más alejada de la razón del inverso del cuadrado de lasdistancias:esevidenteque losápsidesensussicigiasprogresaránmás rápidamente—gracias a la fuerza sustractiva KL o NM - LM— mientras en sus cuadraturasregresaránmáslentamentegraciasalafuerzaaditivaLM.Alsertanlargoelperíodode tiempo en el cual ocurren tanto la velocidad del progreso como el retardo delregreso,dichadesigualdadsetornamáximaalalarga.

COROLARIO9.Siuncuerpogiraenunaelipseentornoauncentrodesdeelcualesatraídoporuna fuerza inversamenteproporcional al cuadradode ladistanciadesdedicho centro; y después, al caer desde el ápside superior o auge hacia el ápsideinferior,dichafuerza,porlapresenciacontinuadeotrafuerzanueva,aumentasehastasermayorque la razóndelcuadradode ladistanciadisminuida;esevidentequeelcuerpo, empujado siempre hacia el centro por la presencia continua de la nuevafuerza, tenderá más hacia dicho centro que si solamente se viese afectado por lafuerza creciente según el cuadrado de la distancia disminuida; y por lo tantodescribirá una órbita interior a la órbita elíptica, a la vez que el ápside inferior seacercará más al centro que antes. Pues la órbita, con la presencia de esta nuevafuerza, se tornarámás excéntrica. Pero si la fuerza, al retornar el cuerpo desde elápsideinferiorhastaelsuperior,decrecieseenlasmismasproporcionesenqueantes


crecía, el cuerpo retornará a su distancia anterior, y por consiguiente, si la fuerzadecreceenunarazónmayor,elcuerpoatraídoahoraenmenorgradoascenderáhastaunadistanciamayor,conlocualseaumentarámásaúnlaexcentricidaddelaórbita.Porlocual,silarazóndelincrementoodecrementodelafuerzacentrípetaaumentaencadarevolución, laexcentricidadserásiemprecreciente;y,porelcontrario,serádecrecientesidicharazóndisminuye.Ahorabien,enelsistemadecuerposT,P,S,cuando los ápsides de la órbita PAB están en las cuadraturas, dicha razón deincrementos y decrementos es mínima, y máxima cuando los ápsides están en lassicigias.Cuandolosápsidessehallanenlascuadraturas,larazónesmenorjuntoalascuadraturasymayorjuntoalassicigiasqueelcuadradodelarazóndelasdistancias;ydedicharazónmayorsurgeelmovimientodirectodelauge,comoyasehadicho.Perosiseconsideraglobalmentelarazóndeaumentoydisminuciónenelrecorridoentre ápsides, ésta resultamenor que el cuadrado de la razón de las distancias. Lafuerzaenelápsideinferioresalafuerzaenelápsidesuperiorenrazónmenorquelarazónentreloscuadradosdeladistanciaentreelápsidesuperioryelfocodelaelipsey la distancia entre el ápside inferior y el mismo foco; y al contrario, cuando losápsidessehallanen lassicigias la fuerzaenelápside inferiorestáenrazónmayor,conrespectoa la fuerzaenelápsidesuperior,que la razónde loscuadradosde lasdistancias.Puestoqueen las cuadraturas las fuerzasLMsumadas a las fuerzasdelcuerpoTcomponenfuerzasenmenorrazón,ylasfuerzasKLrestadasenlassicigiasde lasdel cuerpoTdejan fuerzasque están en razónmayor.Por lo tanto, la razónglobal de incremento y decremento en el recorrido entre ápsides esmínima en lascuadraturas ymáxima en las sicigias: por lomismo en el recorrido de los ápsidesdesdelascuadraturashastalassicigiasaumentacontinuamente,yaumentadepasolaexcentricidad de la elipse;mientras que en el recorrido desde las sicigias hasta lascuadraturasdisminuyecontinuamentealavezquedecrecelaexcentricidad.

COROLARIO 10. Para poder calcular los errores de latitud, supongamos quepermanece inmóvilelplanode laórbitaEST;ysupuesta lacausade loserroresyaexplicada, es evidente que de las dos fuerzas NM y ML que son la causa totalantedicha, la fuerzaML actuando siempre según el plano PAB de la órbita jamásperturbalosmovimientosenlatitud;yquelafuerzaNM,cuandolosnodosestánenlassicigias,alactuar tambiénsegúnelmismoplanode laórbita, tampocoperturbaestosmovimientos;perocuandoestánenlascuadraturas,losperturbamáximamentey,alatraercontinuamentealcuerpoPdelplanodesuórbita,disminuyelainclinación


delplanoduranteeltránsitodelcuerpodelascuadraturasalassicigiasylaaumentacuandopasadelassicigiasalascuadraturas.Dedondevieneaocurrirquecuandoelcuerposehallaenlassicigiaslainclinaciónresultemínimaentretodas,mientrasquevuelveaalcanzar lamagnitudanterioraproximadamente,cuandoelcuerpo llegaalnodosiguiente.Perosilosnodossesitúanenlosoctantestraslascuadraturas,estoes,entreCyA,DyB,delodichoseentiendequealpasarelcuerpoPdesdecualquiernodo hasta el grado nonagésimo siguiente la inclinación del plano disminuyecontinuamente;yapartirdeaquídurantelossiguientescuarentaycincogradoshastallegar a la siguiente cuadratura, la inclinación aumenta, para disminuir de nuevomientrastransitaporlossiguientescuarentaycincogradoshastaelnodosiguiente.Yasí la inclinacióndisminuyemásque aumenta, por lo cual es siempremenor en elnodo siguiente que en el anterior.Ypor un razonamiento semejante, la inclinaciónaumentamásquedisminuyecuandolosnodosestánenlosotrosoctantes,entreAyD,ByC.Yporellolainclinaciónesmáximacuandolosnodosestánenlassicigias.Al ir pasando los nodos de las sicigias a las cuadraturas la inclinación vadisminuyendoconcadaaproximacióndelcuerpoa losnodos;y llegaasermínimacuandolosnodosestánenlascuadraturasyelcuerpoenlassicigias;despuéscrecedenuevo al mismo paso que antes decreció; y al acercarse los nodos a las sicigiassiguientes,alcanzalaanteriormagnitud.

COROLARIO11.PuestoqueelcuerpoPesatraídocontinuamentedelplanodesuórbitacuandolosnodossehallanenlascuadraturas,yelloendirecciónaSdurantesu tránsito del nodo C hasta el D pasando por la conjunción A; y en direccióncontrariadurantesutránsitodelnodoDalCpasandoporlaoposiciónB:esevidenteque en su movimiento desde el nodo C el cuerpo se separa continuamente delprimitivo plano de su órbita CD hasta su llegada al nodo siguiente; y por esto, aldistanciarse mucho en este nodo del plano primitivo CD, pasa por el plano de laórbitaESTnoporelotronodoDcorrespondienteadichoplano,sinoporunpuntosituadohaciael ladodeS,puntoqueseconvierte,por tanto,enelnuevo lugardelnodoenretroceso.Y,porunrazonamientosimilar,losnodoscontinúanretrocediendocu cada tránsito del cuerpo de este nodo al siguiente. Por consiguiente los nodossituados en las cuadraturas retroceden continuamente; en las sicigias, donde losmovimientosnoseperturbanenabsolutoenelsentidodelalatitud,estánenreposo;en los puntos intermedios, al participar de ambas condiciones, retroceden máslentamente: y por lo tanto, al ser siempre o retrógrados o estacionarios, resultaránadelantadosconcadarevolución.

COROLARIO12.TodosloserroresdescritosenestosCorolariossonalgomayoresen las conjunciones de los cuerpos P, S que en sus oposiciones; y esto por sermayoreslasfuerzasgeneradorasNMyML.

COROLARIO13.PeseaquelasrazonesdadasenestosCorolariosnodependandela magnitud del cuerpo S, todo lo que antecede se cumple cuando se atribuye alcuerpoSunamagnitudtangrandecomoparaqueelsistemadeloscuerposTyPgire


entornoaél.YalaumentareltamañodelcuerpoSyconellosufuerzacentrípetadelaque surgen los erroresdel cuerpoP, resultaránmayores, adistancias iguales, lossusodichoserroresenestecasoqueenelotro,cuandoelcuerpoSgiraen tornoalsistemadecuerposPyT.

COROLARIO14.PerocomolasfuerzasNMyML,cuandoelcuerpoSsehallaagran distancia, son aproximadamente como la fuerza SK y la razón PT a STconjuntamente,estoes,sisediesentantoladistanciaPTcomolafuerzaabsolutadeS,comoelinversodeST3;ysontambiénlasdichasfuerzasNMyMLlascausasdetodosloserroresyefectosvistosenlosanterioresCorolarios:esevidentequetodoslosefectosmencionados,permaneciendoel sistemadecuerposPyT,ycambiandosolamente la distancia ST y la fuerza absoluta del cuerpo S, estarán muyaproximadamente en razóncompuestade la razóndirectade la fuerza absolutadelcuerpoSydelarazóninversadeladistanciaSTalcubo.Dedondesesigueque,sielsistemadecuerposTyPgiraentornoalcuerpolejanoS,lasfuerzasNMyML,asícomosusefectos,serán(porlosCorolarios2y6delaProposiciónIV)inversamentecomo el cuadradodel tiempoperiódico.Y además, si lamagnitud del cuerpoS esproporcionalasufuerzaabsoluta,lasfuerzasNMyMLysusefectosseránenrazóndirectadelcubodeldiámetroaparentedelcuerpolejanoSvistodesdeT,yviceversa.Yaqueestasrazonessonlasmismasquelaanteriorrazóncompuesta.

COROLARIO 15. Y aunque si las órbitas ESE y PAB, conservando sus formas,proporciones e inclinación mutua, alterasen su magnitud y si las fuerzas de loscuerpos S y T permaneciesen constantes o cambiasen en una razón dada, estasfuerzas (estoes, la fuerzadelcuerpoTquehacealcuerpoPdesviarsede sucursorecto para seguir la órbita PAB, y la fuerza del cuerpoS que obliga al cuerpoP adesviarse de dicha órbita) siempre actuarán del mismo modo y en la mismaproporción, necesariamente todos los efectos serán semejantes y proporcionales,como también serán proporcionales los tiempos de los efectos; esto es, todos loserrores lineales serán como los diámetros de las órbitas, mientras los erroresangularesseráncomoantes,ylostiemposdeerroreslinealessemejantes,odeerroresangularesigualesseráncomolostiemposperiódicosdelasórbitas.

COROLARIO 16. De donde, si están dadas las formas de las órbitas y susinclinaciones mutuas, y se alteran de cualquier modo las magnitudes, fuerzas ydistanciasdeloscuerpos,deloserroresdadosydelostiemposdeloserroresenuncasosepuedeninferirloserroresylostiemposdeloserroresdeotrocasocongran


aproximación;peromásbrevementeaúnconelmétodosiguiente.LasfuerzasNMyML,permaneciendoconstanteelresto,soncomoelradioTP;ysusefectosperiódicos(porelCorolario2delLemaX)comolasfuerzasyelcuadradodeltiempoperiódicodelcuerpoPconjuntamente.EstossonloserroreslinealesdelcuerpoP;ydeaquíqueloserroresangularesvistosdesdeelcentroT(estoes,tantoelmovimientodelaugeydelosnodoscomotodosloserroresaparentesenlongitudyenlatitud)sonparacadarevolución del cuerpo P aproximadamente como el cuadrado del tiempo de larevolución.AlcomponerestasrazonesconlasrazonesdelCorolario14resultaqueentodosistemadecuerposT,P,S,endondePgiraentornoaTmuycercanoaél,yTgiraentornoaSmuydistante,loserroresangularesdelcuerpoPvistodesdeTserán,encadarevolucióndelcuerpoP,directamentecomoelcuadradodeltiempoperiódicodelcuerpoP,einversamentecomoelcuadradodeltiempoperiódicodelcuerpoT.Yportantoelmovimientomediodelaugeestaráenunarazóndadaconelmovimientomedio de los nodos; y ambos movimientos serán directamente como el tiempoperiódico de P, c inversamente como el cuadrado del tiempo periódico de T.Aumentandoodisminuyendo la excentricidade inclinaciónde laórbitaPABno sealteran los movimientos del auge y de los nodos de manera sensible, salvo queaquellosseandemasiadograndes.

COROLARIO17.DadoquelalíneaLMresultaunasvecesmayoryotrasmenorqueelradioPT,represénteseelvalormediodelafuerzaLMpordichoradioPT;yestevalorseráalafuerzamediaSKoSN(quepuederepresentarsetambiénporST)comola longitudPTa la longitudST.Pero la fuerzamediaSNoST,mediante lacualelcuerpoT es retenido en su órbita en torno a S, es a la fuerza,mediante la cual elcuerpoPes retenidoensuórbitaen tornoaT,en razóncompuestade la razóndelradioST al radioPTy de la razón cuadrada del tiempoperiódico del cuerpoP entornoaTal tiempoperiódicodelcuerpoTen tornoaS.Ypor lomismo la fuerzamediaLMesalafuerzaqueretienealcuerpoPensuórbitaentornoaT(otambiénporlaqueelsusodichocuerpoPpodríagirarenelmismotiempoperiódicoentornoal punto móvil T a la distancia PT) en dicha razón cuadrada de los tiemposperiódicos. Por tanto, dados los tiempos periódicos y la distancia PT, está dada lafuerzamediaLM;ydadaésta,tambiénestádadamuyaproximadamentelaMN,porlaanalogíadelaslíneasPT,MN.

COROLARIO18.SupongamosquemuchoscuerposfluidossemuevenentornoalmismoTadistanciasigualesybajolasmismasleyesconlasqueelcuerpoPgiraentornoalcuerpoT;yquealllegarasercontiguosacabanformandounanillofluido,redondoyconcéntricoconelcuerpoT;ycadapartedelanillo,realizandotodossusmovimientossegúnlaleydelcuerpoP,seacercarámásalcuerpoT,ysemoverámásrápidamenteenlasconjuncionesyoposicionesdelamismaydelcuerpoS,queenlascuadraturas.Losnodosdedichoanillo,osea,sus interseccionesconelplanode laórbitadelcuerpoSoT,estaránenreposoenlassicigias;perofueradelassicigias,semoverán hacia atrás, y en las cuadraturas muy rápidamente, en otros puntos más


lentamente. La inclinación del anillo también variará y su eje oscilará en cadarevolución,yalcompletarseéstaretornaráasuestadoanterior,salvoenlamedidaenqueseadesplazadacircularmenteporlaprecesióndelosnodos.

COROLARIO 19. Imaginemos ahora que la esfera del cuerpo T, constituida demateria no fluida, se expande y se extiende hasta alcanzar dicho anillo, y que hayagua en un foso excavado a lo largo de toda su circunferencia mientras girauniformementesobresuejeconelmismomovimientoperiódico.Alserestelíquidoaceleradoyretardadoalternativamente(comoenelCorolarioanterior)serámásvelozen las sicigias ymás lento en las cuadraturas que la superficie de la esfera, y asíexperimentará flujo y reflujo dentro del foso como el mar. Si se suprimiese laatraccióndelcuerpoS,elaguanoadquiriríaningúnmovimientodeflujooreflujoalgirarentornoalcentroenreposodelaesfera.Larazóneslamismaparaunaesferaquesedesplazauniformementeenlínearectamientrasgiraentornoasucentro(porelCorolarioVde lasLeyes)yparaunaesferauniformementedesviadadesucursorectilíneo(porelCorolarioVIdelasmismasLeyes).PerosiseacercaelcuerpoS,porsudesigualatracción,elaguaseráperturbadainmediatamente.Yseráefectivamentemayorlaatraccióndelaguamáscercanaymenorladelamáslejana.PueslafuerzaLM atraerá el agua en las cuadraturas hacia abajo, y la hará descender hasta lassicigias;ylafuerzaKLlaatraeráhaciaarribaenlassicigias,detendrásudescensoylaharáascenderhastalascuadraturas,salvoenlamedidaenqueelflujoyreflujodelaguaesobligadoporelfoso,yresultaalgoretardadoporelrozamiento.

COROLARIO20.Siahoraelanillosetornarígidoyelglobodisminuye,cesaráelmovimiento de flujo y reflujo; pero permanecerá el movimiento oscilatorio de lainclinación así como la precesión de los nodos. Supóngase que el globo tiene elmismoejeque el anilloyque completa sus revoluciones en elmismo tiempo,quetoca por dentro al anillo con su superficie y esté adherido a él; al compartir elmovimientodelanillo,elconjuntodelosdososcilará,ylosnodosretrocederán.Puesel globo, comodiremos ahora, es indiferente para recibir todas las impresiones.Elángulomáximode inclinación para el anillo que rodea al globo ocurre cuando losnodossehallanenlassicigias.Alpasarlosnodosdesdeaquíhacialascuadraturas,intenta reducir su inclinacióny con este intento comunicaunmovimiento al globoentero.Elgloboretieneestemovimientoimpresohastaqueelanilloconunintentocontrariosuprimeestemovimientoeimprimeotroensentidocontrario:deestemodoelmovimientomáximodeinclinacióndecrecienteocurrecuandolosnodossehallanenlascuadraturas,yelángulomínimodeinclinaciónenlosoctantesposterioresalascuadraturas; y de nuevo elmáximomovimiento de reclinación en las sicigias y elángulomáximoenlosoctantessiguientes.Igualeselcasoparaelglobodespojadodeanillocuandoenlasregionesecuatorialesesalgomásaltooconstedemateriaalgomásdensaqueenlospolos.Puesesteexcesodemateriaenlaparteecuatorialhacelasvecesdeanillo.Yaunquesesupongaque,alaumentarlafuerzacentrípetadeestegloboencualquierforma,todassuspartestenderíanhaciaabajo,comolaspartesen


gravitacióndelaTierra,apenascambiaríanporellolosfenómenosdeesteCorolarioydelprecedente;salvoenloquevariasenloslugaresdemáximasymínimasalturasdel agua. Pues el agua en su órbita ya no se sostiene y permanece por su fuerzacentrífuga,sinoporelfosodondefluye.YademáslafuerzaLMatraeelaguahaciaabajoenmáximogradoenlascuadraturas,ylafuerzaKLoNM-LMlaatraeenelmayorgradohaciaarribaenlassicigias.Ylasdosfuerzasconjuntasdejandeatraerelaguahacia abajoy empiezana atraerlahacia arriba en losoctantes anteriores a lassicigias;ydejandeatraerelaguahaciaarribayempiezanaatraerlahaciaabajoenlosoctantes posteriores a las sicigias. De aquí que la máxima altura del agua puedaocurrirenlosoctantesposterioresalassicigias,ylamínimaaproximadamenteenlosoctantes siguientes a las cuadraturas; salvo en lamedida en la que elmovimientoascendente o descendente impresopor dichas fuerzas pueda continuar unpocoporcausadelafuerzaínsitadelagua,odetenerseunpocomásprontoporcausadelosobstáculosenelfoso.

COROLARIO21.Porlamismarazónesporlaqueelexcesodemateriadelgloboen el ecuador hace que los nodos sean retrógrados, y también que el aumento dedichoexcesoaumentetalregreso,yqueporsudisminucióndisminuyayqueconlasupresióndesaparezca.Sisesuprimieselamateriaredundante,estoes,sielgloboenel ecuador fuesemenos abultadoomenosdensoque en lospolos, seoriginaríaunmovimientodelosnodoshaciaadelante.

COROLARIO 22. Y de aquí, a su vez, que del movimiento de los nodos sedesprendalaconstitucióndelglobo.Yaquesielgloboconservalosmismospolosdemodo constante y elmovimientode los nodos es retrógrado, en el ecuador hayunexceso de materia; pero si se mueven hacia adelante entonces hay falta de ella.Supóngase que un globo uniforme y perfectamente redondo se halle primero enreposoenunespaciolibre;despuésesempujadoporunimpulsocualquieraejercidooblicuamentesobresusuperficie,yadquiereasíunmovimientoenpartecircularyenparterectilíneo.Puestoquesemejantegloboescompletamenteindiferenterespectoatodoslosejesquepasanporsucentro,niesmáspropensohaciauneje,ohaciaunaposición del eje, que hacia otra; es evidente que jamás cambiará ni de eje ni deposición del eje por su propia fuerza. Sea empujado ahora con un nuevo impulsooblicuamenteejercidosobrelamismapartedelasuperficieenqueseejercióantes;ycomoelantesoeldespuésennadacambiaelefectodeunimpulso,esevidentequeestosdosimpulsosejercidossucesivamenteproducenelmismomovimientoquesise


hubiesen ejercido a la vez, esto es, elmismo que tendría el globo si hubiese sidoempujadoporunasolafuerzacompuestadelasdos(porelCorolarioIIdelasLeyes),estoes,unmovimiento simpleen tornoaunejede inclinacióndada.E igual es elcaso si el segundo impulso se diese en cualquier lugar del ecuador del primero, lomismoqueocurriría si el primer impulso se aplicase sobreun lugar cualquieradelecuador del movimiento generado por el segundo impulso sin el concurso delprimero; y por tanto, el de ambos impulsos ejercidos sobre cualesquiera lugares:dichos impulsos generarán elmismomovimiento circular que si se efectuasen a lavezy cadavez en el lugar de la intersecciónde los ecuadoresde losmovimientosgeneradosporcadaunodeellos.Portanto,unglobohomogéneoyperfectonoretienemuchos movimientos diferenciados, sino que compone todos los movimientosimpresos y los reduce a uno, y en tanto depende de él, gira siempre con unmovimiento simple y uniforme en torno a un único eje dado y de inclinacióninvariable.Ynisiquieralafuerzacentrípetapodrácambiarlainclinacióndelejeolavelocidadderotación.Puessisuponemoselglobodivididoendoshemisferiosporunplanoquepaseporsucentroyporelcentroalquesedirigelafuerza,dichafuerzaurgirá siemprepor igual a amboshemisferiosy, por tanto, el globono se inclinaráhacianingúnladoencuantoasumovimientoderotación.Peroañádaseencualquierlugarentreelpoloyelecuadornuevamateriaacumuladaenformademonte,yésta,con el intento continuo de alejarse de su centro de movimiento, perturbará elmovimiento del globoy hará que sus polos vaguenpor su superficie, describiendocírculos en tornode símismosyde suspuntosopuestos continuamente.Y tamañadesviaciónnosecorregiráhastaquedichomontenosesitúe,bienencualquieradelospolos,encuyocaso(porelCorolario21) losnodosecuatorialesseadelantarán;bien en el ecuador, y por esta causa (por el Corolario 20) retrocederán; o bien,finalmente, añadiendomateria nueva al otro lado del eje que venga a equilibrar elmovimientodelmonte,ydeestemodolosnodosseadelantaránoretrocederánsegúnsehallenelmonteyestanuevamateriamáscercadelpoloodelecuador.

PROPOSICIÓNLXVII.TEOREMAXXVII

Supuestas lasmismas leyes de las atracciones, digo que el cuerpo exterior S, conradios trazados al centro común de gravedad O de los cuerpos interiores P, T,describeentornoadichocentroáreasmásproporcionalesalostiemposyunaórbitamáscercanaalaformadeunaelipseconfocoendichocentro,quelaquedescribiríaentornoalcuerpomayorymásinteriorTconradiostrazadosaél.

Puesto que las atracciones del cuerpo S hacia T y P componen su atracciónabsoluta,quesedirigemáshaciaO,centrocomúndegravedaddeTyP,quehaciaelcuerpomayorT,yesmásproporcionalalinversodelcuadradodeladistanciaSOque


aldelcuadradodeladistanciaST;comofácilmenteveráquienpienseenello.

PROPOSICIÓNLXVIII.TEOREMAXXVIII

Supuestas lasmismas leyes de las atracciones, digo que el cuerpo exterior S, conradios trazados al centro común de gravedad O de los cuerpos interiores P y T,describeáreasmásproporcionalesalostiemposentornoadichocentroyunaórbitamássemejantealaformadeunaelipseconfocoendichocentro,sielcuerpomayorymás interior fuese perturbado por tales atracciones igual que los demás, que siéste, o bien reposa sin atracción alguna, o bien es atraído mucho más o muchomenosoperturbadomuchomásomuchomenos.

Se demuestra casi del mismo modo que la Proposición LXVI, pero con unargumentomásprolijo,delcualprescindoporeso.Bastaráconsiderarlocomosigue.DelaúltimaProposiciónsesiguequeelcentrohaciaelqueseveurgidoelcuerpoSporlastuerzasconjuntasestápróximoalcentrocomúndegravedaddelosotrosdos.Siaquelcentrocoincideconestecentrocomúnyelcentrocomúndegravedaddelostresestuvieseenreposo,elcuerpoSporunaparte,yelcentrocomúndelosotrosdosporoirá,describiránelipsesexactasentornoalcentrocomúnenreposodelostres.EstosesiguedelCorolario2delaProposiciónLVIII,alcompararloconlodemostradoenlasProposicionesLXIVyLXV.Estemovimientoelípticoesuntantoperturbadoporladistanciaentreelcentrodelosdoscuerposyelcentrohaciaelcualesatraídoeltercer cuerpo S. Añádase además un movimiento al centro común de los tres, yaumentarálaperturbación.Porlotanto,laperturbaciónserámínimacuandoelcentrocomúndelostresestáenreposo;estoes,cuandoelcuerpomayorymásinteriorTesatraído con lamisma ley de los otros: y se hacemayor cada vez cuando el centrocomúndelostres,aldisminuirelmovimientodelcuerpoT,empiezaamoverseysevaagitandomásymás.


COROLARIO. Y de aquí que, si varios cuerpos pequeños giran en torno a unomayor, sepueda inferirque lasórbitasdescritas seaproximaránmásaelipses,y ladescripcióndelasáreasserámásuniformesitodosloscuerposseatraenyperturbanmutuamente con fuerzas aceleratrices directamente proporcionales a sus fuerzasabsolutaseinversamenteproporcionalesaloscuadradosdelasdistancias,yelfocodecadaórbitasehallaenelcentrocomúndegravedaddetodosloscuerposinteriores(a saber, si el foco de la órbita primera y más interior se halla en el centro degravedaddelcuerpomayorymásinterior;elfocodelasegundaenelcentrocomúndegravedaddelosdoscuerposmásinteriores;eldelaterceraenelcentrocomúndegravedad de los tres interiores, y así sucesivamente) que si el cuerpo interiorestuvieseenreposoyseconvirtieraenelfococomúndetodaslasórbitas.

PROPOSICIÓNLXIX.TEOREMAXXIX

EnunsistemadevarioscuerposA,B,C,D,etc., siuncuerpoAatraea todos losotros B, C, D, etc., con fuerzas aceleratrices que son inversamente como loscuadradosdelasdistanciasalcuerpoatrayente;yotrocuerpoBatraetambiénalosotroscuerposA,C,D,etc.,confuerzasquesoninversamentecomoelcuadradodelasdistanciasalcuerpoatrayente:lasfuerzasabsolutasdeloscuerposatrayentesA,B, serán entre sí como los propios cuerpos A, B, a quienes corresponden dichasfuerzas.

PueslasatraccionesaceleratricesdetodosloscuerposB,C,D,etc.,haciaAsoniguales entre sí a distancias iguales, por hipótesis; y de igualmodo las atraccionesaceleratrices de todos los cuerpos haciaB son iguales a distancias iguales. Pero lafuerzaatractivaabsolutadelcuerpoAesalafuerzaatractivaabsolutadelcuerpoBcomolaatracciónaceleratrizdetodosloscuerposhaciaAesalaatracciónaceleratrizdetodosloscuerposhaciaB,adistanciasiguales;yasíeslaatracciónaceleratrizdelcuerpoBhaciaAa laatracciónaceleratrizdelcuerpoAhaciaB.Pero laatracciónaceleratrizdelcuerpoBhaciaAesa laatracciónaceleratrizdelcuerpoAhaciaB,comolamasadelcuerpoAalamasadelcuerpoB;puestoquelasfuerzasmotrices,que (por las Definiciones segunda, séptima y octava) son como las fuerzasaceleratrices y los cuerpos atraídos conjuntamente, son en este caso (por la Ley


terceradelmovimiento)igualesentresí.Porlotanto,lafuerzaatractivaabsolutadelcuerpoAesalafuerzaatractivaabsolutadelcuerpoBcomolamasadelcuerpoAesalamasadelcuerpoB.Q.E.D.

COROLARIO1.Portanto,sicadacuerpodelsistema,A,B,C,D,etc.,consideradoindividualmente, atrae a todos los otros con fuerzas aceleratrices que soninversamentecomoloscuadradosdelasdistanciasalatrayente;lasfuerzasabsolutasdetodosestoscuerposseránunasaotrascomolospropioscuerpos.

COROLARIO2.Por lamismarazón,sicadacuerpodelsistema,A,B,C,D,etc.,considerado individualmente atrae a lodos los otros con fuerzas aceleratrices queestánen razóndirectao inversadealgunapotenciade lasdistanciasalatrayente,oquevienendefinidasporlasdistanciasdesdecadacuerpoatrayentesegúnalgunaleycomún;estáclaroquelasfuerzasabsolutasdedichoscuerpossoncomoloscuerpos.

COROLARIO 3. En un sistema de cuerpos cuyas fuerzas decrecen en razón delcuadradodelasdistancias,siloscuerposmenoresgiranentornoalmayorenelipsesque tienen el foco común en el centro del cuerpo mayor y se aproximan lo másposible a dicha figura, a la vez que con radios trazados a dicho cuerpo mayordescribenáreaslomásproporcionalesposiblealostiempos:lasfuerzasabsolutasdedichoscuerpos seránentre sí en razónexactaomuyaproximadade los cuerpos;yviceversa.EsevidenteporelCorolariodelaProposiciónXLVIIIjuntoconelCorolarioprimerodeestaProposición.

ESCOLIO

Estas proposiciones nos conducen a la analogía entre fuerzas centrípetas ycuerpos centrales, hacia los cuales suelen dirigirse dichas fuerzas; pues parecerazonablequelasfuerzasquesedirigenhacialoscuerposdependandelanaturalezaymagnituddedichoscuerpos,comoocurreconlosimanes.Ycuantasvecesocurrenestoscasossetendránquecalcularlasatraccionesdeloscuerposatribuyendoacadaunadesuspartículas las fuerzasadecuadasyobteniendo lasumadefuerzas.Tomoaquílapalabraatraccióndemodogenéricoparacualquierconatodeloscuerposdeacercarsemutuamente,tantositalconatoaconteceporlaaccióndeloscuerpos,quesebuscanunosaotrososeagitanmutuamentemedianteemisióndeespíritus,comosi surge de la acción del éter o del aire o de cualquier otro medio corpóreo oincorpóreo que empuje de alguna forma a los cuerpos inmersos en él unos haciaotros.Yenelmismosentidogenéricoutilizoeltérminoimpulso,ocupándomeenestetratado no de las especies de fuerzas y cualidades físicas, sino de las cantidades yproporcionesmatemáticas,comoexpliquéenlasdefiniciones.Enmatemáticassehande investigar las magnitudes de las fuerzas y las razones que se siguen encualesquiera condiciones supuestas: después, al descender a la física, hay quecompararestasrazonesconlosfenómenos;paraqueaparezcacuálescondicionesde


esas fuerzas corresponden a cada clase de cuerpos atractivos. Y sólo después seráposiblediscutirconmásseguridadsobrelasclasesdefuerzas,delascausasyrazonesfísicas. Veamos, pues, con qué fuerzas deberán interaccionar entre sí los cuerposesféricos constituidos de partículas atractivas de la manera ya dicha y quémovimientosvanaseguirsedeello.


SecciónXIIDELASFUERZASATRACTIVASDECUERPOSESFÉRICOS

PROPOSICIÓNLXX.TEOREMAXXX

Si hacia cada punto de una superficie esférica se dirigiesen fuerzas centrípetasiguales y decrecientes en razóndel cuadradode la distancia desde dichos puntos:digoqueuncorpúsculosituadoenelinteriordedichasuperficienoesatraídohacianingúnladoportalesfuerzas.

SeaHIKLlasuperficieesféricayPelcorpúsculoubicadoenelinterior.TrácenseporPhastaesasuperficielasdoslíneasHK,IL,queinterceptenarcosHI,KL,muypequeños; y, por la semejanza de los triángulosHPI, LPK (por el Corolario 3 delLemaVII),dichosarcosseránproporcionalesalasdistanciasHP,LP;ylaspartículasubicadasenHI,KL,delasuperficieesféricadelimitadaporrectasquepasenporPencualquier dirección se hallarán bajo la susodicha razón del cuadrado. Luego lasfuerzasdedichaspartículasejercidashaciael cuerpoPson igualesentre sí.Puestoque sondirectamente como las partículas, e inversamente comoel cuadradode lasdistancias.Yesasdosrazonescomponenunarazóndeigualdad.Perolasatraccionesiguales hechas en sentido contrario se destruyenmutuamente. Por lamisma razóntodas las atracciones de toda la superficie esférica son destruidas por atraccionescontrarias. Por consiguiente, el cuerpo P no será impelido hacia parte alguna pordichasatracciones.Q.E.D.


PROPOSICIÓNLXXI.TEOREMAXXXI

Con losmismossupuestos,digoqueuncorpúsculosituado fueradeunasuperficieesférica es atraído hacia el centro de la esfera con una fuerza inversamenteproporcionalalcuadradodesudistanciaalcentrodelaesfera.

SeanAHKB,ahkb,dossuperficiesesféricasigualesdescritasconcentrosenS,s,ydiámetros AB, ab, y sean P, p, corpúsculos situados en el exterior sobre laprolongación de dichos diámetros.Desde los corpúsculos trácense las líneas PHK,PILyphk,pil,seccionandodeloscírculosmáximosAHB,ahb,losarcosigualesHK,hk,eIL,il:desciendansobreellaslasperpendicularesSD,sd;SE,se;IR,ir;talesqueSD, sd, corten a PL, pl, en F y ƒ; caigan también sobre los diámetros lasperpendiculares IQ, iq.Desvanézcanse los ángulosDPE,dpe; y por ser iguales laslíneasDSyds,ESyes,puedenconsiderarseigualeslaslíneasPE,PF,ype,pƒ,asícomolospequeñossegmentosDF,dƒ;puestoquesurazónúltimaesdeigualdadaldesvanecersealavezlosángulosDPE,dpe.Unavezhechoesto,PIseráaPFcomoRIaDF,ypƒapicomodƒoDFari;yportantoPIxpƒaPFxpicomoRIari,estoes (porelCorolario3delLemaVII)comoelarco IHalarco ih.DenuevoPIaPScomoIQaSE,ypsapicomoseoSEaiq;yportantoPIxpsaPSxpicomoIQaiq.YelproductodelasrazonesPI2xpƒxpsesapz2xPFxPS,comoIHxIQaihxig; esto es, como la superficie circular que describiría el arco IH al girar elsemicírculoAKBsobreeldiámetroABesalasuperficiecircularquedescribiríaelarcoihalgirarelsemicírculoakbsobreeldiámetroab.YlasfuerzasconlascualesestassuperficiesatraensegúnlíneastendenteshaciaellasaloscorpúsculosPypson(por hipótesis) directamente como dichas superficies e inversamente como elcuadradodelasdistanciasentreloscuerposylassuperficies,estoes,comopƒxpsaPFxPS.Yestas fuerzassonasuspartesoblicuasque (unavezdescompuestas lasfuerzassegúnelCorolario IIdelasLeyes)tiendenalcentrosegúnlaslíneasPS,ps,comoPIaPQ,ypiapq;estoes(porlasemejanzadelostriángulosPIQyPSF,piqypsƒ) comoPS aPFyps apƒ.Dedonde resulta que la atraccióndel corpúsculoP

haciaSesalaatraccióndelcorpúsculophaciascomoPFxpƒxps

PSapƒxPFxPS

ps,

estoes,comops2aPS2.YporigualrazónlasfuerzasconlascualeslassuperficiesdescritasporlarevolucióndelosarcosKLyklatraenaloscorpúsculosseráncomo


ps2aPS2.hallándosesiempreenestaproporciónlasfuerzasdetodaslassuperficiesesféricasenquepuedandividirseambassuperficiesesféricas,siemprequesetomensdigualaSDyseigualaSE.Y,porcomposición,lasfuerzasdetodaslassuperficiesesféricasejercidassobreloscorpúsculossehallaránenlamismaproporción.Q.E.D.

PROPOSICIÓNLXXII.TEOREMAXXXII

Sihaciacadapuntodeunaesferatiendenfuerzascentrípetasigualesydecrecientescomo el cuadrado de las distancias desde dichos puntos; y si está dada tanto ladensidadcomolarazóndeldiámetrodelaesferaaladistanciadesdesucentrohastael corpúsculo: digo que la fuerza con la cual el corpúsculo es atraído seráproporcionalalsemidiámetrodelaesfera.

Pues supongamos que dos corpúsculos son atraídos cada uno de ellos por dosesferas,unoporunayotroporotra,yquesusdistanciasaloscentrosdelasesferasson respectivamenteproporcionales a losdiámetrosde las esferas, a lavezque lasesferas se hallan compuestas de partículas semejantes y semejantemente dispuestasrespecto a los corpúsculos.En tal caso las atraccionesdeuncorpúsculo respecto acada partícula de una esfera serán a las atracciones del otro corpúsculo respecto acadapartículade laotraesferacomo la razóncompuestade la razóndirectade laspartículasydelarazóninversadelcuadradodelasdistancias.Perolaspartículassoncomolasesferas,estoes,comoelcubodelosdiámetros,ylasdistanciassoncomolosdiámetros;y laprimerarazóndirectamente juntoconelcuadradodelasegundainversamenteeslarazóndediámetroadiámetro.Q.E.D.

COROLARIO1.Deaquíquesigiranunoscorpúsculosencírculosentornoaesferasque constan demateria igualmente atractiva, y las distancias a los centros de esasesferas son proporcionales a los diámetros de las mismas; los tiempos periódicosserániguales.

COROLARIO 2.Y viceversa, si los tiempos periódicos son iguales, las distanciasserán proporcionales a los diámetros. Estos dos constan por el Corolario 3 de laProposiciónIV.

COROLARIO 3. Si hacia cada punto de dos sólidos cualesquiera semejantes eigualmente densos tienden fuerzas centrípetas iguales y decrecientes según elcuadradodelasdistanciasadichospuntos,lasfuerzas,porlascualesloscorpúsculosson atraídos hacia tales sólidos desdeposiciones semejantes respecto a ellos, seránentresícomolosdiámetrosdelossólidos.

PROPOSICIÓNLXXIII.TEOREMAXXXIII


Si hacia cada punto de una esfera dada tienden fuerzas centrípetas iguales ydecrecientes según el cuadrado de la distancia a dichos puntos, digo que uncorpúsculosituadodentrodelaesferaesatraídoconunafuerzaproporcionalasudistanciaalcentro.

En la esfera ABCD, trazada con centro en S, póngase el corpúsculo P; y concentroenelmismoSydistanciaSPsupóngasetrazadalaesferaPEQF.Esevidente(porlaProposiciónLXX)quelassuperficiesesféricasconcéntricasdequesecomponeladiferencia entre esferasAEBFennada actúa sobre el cuerpoP, al destruirse susatraccionesporlascontrarias.SóloquedalaatraccióndelaesferainteriorPEQF.Y(porlaProposiciónLXXII)éstaescomoladistanciaPS.Q.E.D.

ESCOLIO

Las superficies de que se componen los cuerpos no son aquí puramentematemáticas, sino orbes tan tenues que su espesor es casi nulo; o sea, orbesevanescentesdeloscualesconstalaesferaalfinalcuandoelnúmerodedichosorbesaumentay su espesor disminuyehasta el infinito. Igualmentehayque entender lospuntos, de los que se dice que constituyen las líneas, las superficies y los sólidos,comopartículasigualesdemagnituddespreciable.

PROPOSICIÓNLXXIV.TEOREMAXXXIV

Conlosmismossupuestos,digoqueuncorpúsculosituadofueradeunaesferaesatraídoconunafuerzainversamenteproporcionalalcuadradodesudistanciaal

centrodelamisma.

Puesdivídase laesferaen innumerablessuperficiesesféricasconcéntricas,y lasatracciones sobre el corpúsculo resultantes de cada una de las superficies serán


inversamenteproporcionalesalcuadradodeladistanciadelcorpúsculoalcentro(porlaProposiciónLXXI).Yalcomponerresultarálasumadelasatracciones,estoes,laatraccióndelcorpúsculohaciatodalaesfera,enlamismarazón.Q.E.D.

COROLARIO 1. De aquí que a iguales distancias de los centros de esferashomogéneaslasatraccionessoncomolasesferas.Pues(porlaProposiciónLXXII)silas distancias son proporcionales a los diámetros de las esferas, las fuerzas seráncomo los diámetros. Disminúyase en esa razón la distancia mayor; y al ser ahoraigualeslasdistancias,laatracciónaumentarácomoelcuadradodedicharazón;y,porlotanto,seráalaotraatraccióncomoelcubodedicharazón,estoes,comolarazóndelasesferas.

COROLARIO 2. A distancias cualesquiera las atracciones son como las esferasdivididasporelcuadradodelasdistancias.

COROLARIO3.Siuncorpúsculosehallafueradeunaesferahomogénea,esatraídocon una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de su distancia al centro deaquélla y la esfera está constituida de partículas atractivas; la fuerza de cualquierpartículadecrecerácomoelcuadradodeladistanciadesdelapartícula.

PROPOSICIÓNLXXV.TEOREMAXXXV

Si hacia cada punto de una esfera dada tienden fuerzas centrípetas iguales ydecrecientessegúnelcuadradodelasdistanciasacadapunto;digoqueotraesferacualquierasemejanteseráatraídaporellaconunafuerzainversamenteproporcionalalcuadradodelasdistanciasentreloscentros.

Pues la atracción de cada partícula es inversamente como el cuadrado de sudistancia al centro de la esfera atrayente (por la Proposición LXXIV) y, por tanto,resultaserlamismaquesitodalafuerzaatractivaprocediesedeunúnicocorpúsculosituadoenelcentrode la talesfera.Perodichaatracciónes tantacuanta,a suvez,seríalaatraccióndelmismocorpúsculosifueseatraídoporcadapartículadelaesferaatraídaconunafuerzaigualaaquéllaconlaqueélmismoatrae.Perodichaatraccióndel corpúsculo (por la Proposición LXXIV) sería inversamente proporcional alcuadradode sudistancia al centrode la esfera; y, por lo tanto, la atraccióndeunaesferaigualaellasehallatambiénenlamismarazón.Q.E.D.

COROLARIO 1. Las atracciones de esferas hacia otras esferas homogéneas soncomo las esferas atrayentes divididas por el cuadrado de las distancias entre suscentrosylosdelasatraídas.

COROLARIO 2. Lomismo ocurre cuando la esfera atraída también atrae. Puestoquecadapuntodeéstaatraeacadapuniódelaotraconlamismafuerzaconqueasuvezsonatraídos;porlotanto,dadoqueentodaatracción(porlaLeyIII)sonurgidos


tantoelpuntoatrayentecomoelatraído,seigualaránlasfuerzasdeatracciónmutua,manteniéndoselasproporciones.

COROLARIO 3. Todo lo anteriormente demostrado sobre el movimiento de loscuerposentornoalfocodelasseccionescónicasvalecuandolaesferaatrayentesesitúaenelfocoyloscuerpossemuevenfueradelamisma.

COROLARIO4.Ylascosasquesedemostraronsobreelmovimientodeloscuerposentornoalcentrodelasseccionescónicasvalencuandoelmovimientoocurradentrodelaesfera.

PROPOSICIÓNLXXVI.TEOREMAXXXVI

Si las esferas fueren desiguales de forma continua desde el centro hasta lacircunferencia (en cuanto a densidad demateria y fuerza atractiva), mientras sonigualesentodolodemás,entodosuperímetroyparacadadistanciadadaalcentro;y la fuerza atractiva de cadapunto decrece según el cuadradode la distancia delcuerpoatraído:digoquelafuerzatotalconlacualunaesferadeeste tipoatraeaotraseráinversamenteproporcionalalcuadradodeladistanciaentrecentros.

Seanvariasesferasconcéntricas semejantesAB,CD,EF,etc.,queal añadir lasinteriores a las exteriores compongan una materia más densa hacia el centro y alsuprimirlas la dejen más tenue; éstas (por la Proposición LXXV) atraerán acualesquieraotrasesferasconcéntricassemejantes,GH,IK,LM,etc.,cadaunaacadauna,confuerzas inversamenteproporcionalesalcuadradode ladistanciaSP.Yporsumaoresta,eltotaldetodasesasfuerzasoelexcesodeunassobreotras,estoes,lafuerzaconlacualtodalaesferaAB,compuestadetodaslasconcéntricasodetodaslas diferencias de las concéntricas, atrae a toda la esfera GH, compuesta de lasconcéntricas o de las diferencias de las concéntricas, estará en la misma razón.Auméntese hasta el infinito el número de esferas concéntricas de modo que ladensidaddelamateriaalavezquelafuerzaatractivacrezcaodecrezcasegúnalgunaley desde la periferia hacia el centro; y añadiendomateria no atractiva complétesedonde sea preciso la falta de densidad hasta que las esferas adquieran la forma


deseada; y la fuerza con la cual una atraerá a la otra también ahora estará, por elargumentoanterior,enesamismarazóninversadelcuadrado.Q.E.D.

COROLARIO1.Deaquíquesimuchasesferasdeéstas,mutuamentesemejantesentodo,seatraenentresí,adistanciasigualescualesquieraentrecentros,susatraccionesaceleratricesunaaunaseráncomolasesferasatrayentes.

COROLARIO 2. Y a distancias desiguales cualesquiera, serán como las esferasatrayentesdivididasporloscuadradosdelasdistanciasentrecentros.

COROLARIO 3. Y las atracciones motrices o los pesos de una esfera hacia otraserán,adistancias igualesde loscentros, como lasesferasatrayentesy lasatraídasconjuntamente, esto es, como el contenido de las esferas resultante de sumultiplicación.

COROLARIO4.Yadistanciasdesiguales,directamentecomodichoscontenidoseinversamentecomoloscuadradosdelasdistanciasentrecentros.

COROLARIO5.Lomismovalecuandolaatracciónprocededelafuerzaatractivade ambas esferas atrayéndosemutuamente una a otra. Pues la atracción se duplicaconambasfuerzas,guardandolaproporción.

COROLARIO 6. Si esferas de esta clase giran en torno a otras en reposo, una entornoacadauna,ylasdistanciasentreloscentrosdelasquegiranylosdelasqueestánenreposofuesenproporcionalesalosdiámetrosdelasqueestánenreposo,lostiemposperiódicosserániguales.

COROLARIO 7.Yviceversa, si los tiemposperiódicos son iguales; las distanciasseránproporcionalesalosdiámetros.

COROLARIO 8.A estomismo se atienen todas las cosas demostradasmás arribasobreelmovimientodecuerposentornoafocosdeseccionescónicas,cuandoenelfocosesitúalaesferaatractivadecualquieraformaocondicióndelasdescritas.

COROLARIO9.Ydeigualmodocuandoloscuerposquegiransontambiénesferasatractivasdecualquiercondiciónyadescrita.

PROPOSICIÓNLXXVII.TEOREMAXXXVII

Sihaciacadaunodelospuntosdeesferastiendenfuerzascentrípetasproporcionalesalasdistanciasdelospuntosaloscuerposatraídos:digoquelafuerzacompuestaconlacualseatraenmutuamentedosesferasescomoladistanciaentreloscentrosdelasesferas.


CASO1.SealaesferaAEBF,Ssucentro,Puncorpúsculoatraído,PASBelejedelaesferaquepasaporelcentrodelcorpúsculo,EF,eƒ,dosplanosperpendicularesalejeyquecortanlaesferayequidistantesaunladoyotrodelcentrodelaesfera;G,g,lasinterseccionesdelosplanosyelejeyHunpuntocualquieraenelplanoEF.Lafuerza centrípeta del puntoH sobre el corpúsculo P ejercida según la línea PH escomo ladistanciaPH;y (porelCorolario IIde lasLeyes)según la líneaPG,oseahaciaelcentroS,escomolalongitudPG.Porlotanto,lafuerzadetodoslospuntosdelplanoEF,estoes,lafuerzadetodoelplano,conlacualelcorpúsculoPesatraídohaciaelcentroSescomoladistanciaPGmultiplicadaporelnúmerodepuntos,estoes, como el sólido contenido bajo el plano EF y la distancia PG. E igualmente lafuerzadelplanoeƒ,porlacualelcorpúsculoPesatraídohaciaelcentroS,escomodichoplanomultiplicadopor sudistanciaPg, o comoelplanoEF igual al anteriormultiplicadoporesadistanciaPg;ylasumadelasfuerzasdeambosplanosescomoelplanoEFmultiplicadoporlasumadelasdistanciasPG+Pg,estoes,comodichoplanomultiplicadoporeldoblede ladistanciaPSdelcentrohastaelcorpúsculo,ocomoeldobledelplanoEFmultiplicadoporladistanciaPS,ocomolasumadelosplanos igualesEF+eƒmultiplicada por esamismadistancia.Ypor un argumentosimilar,lasfuerzasdetodoslosplanosentodalaesfera,equidistantesdelcentrodelamisma, son como la suma de los planosmultiplicada por la distancia PS, esto es,comotodalaesferayladistanciaPSconjuntamente.Q.E.D.

CASO2.ElcorpúsculoPatraigaahoraalaesferaAEBF.PorelmismoargumentoseprobaráquelafuerzaporlaquedichaesferaesatraídaserácomoladistanciaPS.Q.E.D.

CASO3.SeaahoraotraesferacompuestadeinnumerablescorpúsculosP;ypuestoque la fuerza por la que es atraído cada corpúsculo es como la distancia delcorpúsculoalcentrodelaprimeraesferaylaesferaconjuntamente,yporlotantoeslamismaquesitodaellaprocedieradeuncorpúsculoúnicosituadoenelcentrodelaesfera;lafuerzatotalconlacualtodosloscorpúsculossonatraídoshacialasegundaesfera,estoes,conlacualesatraídatodaladichaesfera,serálamismaquesidichaesferafueraatraídaporunafuerzaprocedentedeunúnicocorpúsculoenelcentrodela primera esfera, y por tanto proporcional a la distancia entre los centros de las


esferas.Q.E.D.CASO 4. Si las esferas se atraen mutuamente se duplicarán las fuerzas

manteniéndoselaproporción.Q.E.D.

CASO5.SitúeseahoraelcorpúsculopdentrodelaesferaAEBF;ypuestoquelafuerzadelplanoeƒsobreelcorpúsculoescomoelsólidocontenidobajodichoplanoyladistanciapg,ylafuerzacontrariadelplanoEFescomoelsólidocontenidobajodichoplanoyladistanciapG,lafuerzacompuestadeambasserácomoladiferenciade los sólidos, esto es, como la suma de los planos iguales multiplicada por lasemidiferencia de las distancias, esto es, como dicha suma multiplicada por ladistancia pS, distancia del corpúsculo al centro de la esfera. Y, por un argumentosimilarlaatraccióndetodoslosplanosEF,eƒ,detodalaesfera,estoes,laatraccióndetodalaesferaesconjuntamentecomolasumadetodoslosplanos,osealaesferatoday,comopS,distanciadelcorpúsculoalcentrodelaesferaQ.E.D.

CASO 6. Y si se compone una nueva esfera con innumerables corpúsculos psituadadentrode la esfera anteriorAEBF, seprobará comoantesque la atracción,tantosimpledeunaesferahaciaotra,comomutuaentreambasunahaciaotra,serácomoladistanciaentrecentrospS.Q.E.D.

PROPOSICIÓNLXXVIII.TEOREMAXXXVIII

Si al pasar del centro hacia la circunferencia las esferas son constantementedesiguales y heterogéneas, pero en cada círculo a distancias dadas del centro soncontinuamenteiguales;y la fuerzaatractivadecadapuntofuesecomoladistanciadelcuerpoatraído:digoque la fuerza totalcon lacualdosesferasdeeste tiposeatraerán mutuamente será proporcional a la distancia entre los centros de lasesferas.

EstosedemuestraapartirdelaProposiciónprecedente,delmismomodoquelaProposiciónLXXVIsedemostróapartirdelaProposiciónLXXV.

COROLARIO.LoquesedemostrómásarribaenlasProposicionesXyLXIVsobreel


movimientode los cuerposen tornoa los centrosde seccionescónicas, tienevalorcuando todas las atracciones surgende fuerzasde cuerpos esféricosdel tipo reciéndescrito,yloscuerposatraídossonesferastambiéndelmismotipo.

ESCOLIO

Acabodeexponerlosdoscasosmásnotablesdeatracciones;asaber,cuandolasfuerzascentrípetasdecrecenenrazóndelcuadradodelasdistancias,ocuandocrecensegún la razón simple de las distancias, haciendo en ambos casos que los cuerposgirenenseccionescónicas,ycomponiendocondicha ley las fuerzascentrípetasdeloscuerposesféricosal separarsedelcentrohaciéndolascrecerodecrecer segúnelcaso.Locualesdignodetenerseencuenta.Resultaríademasiadoprolijocontemplaruno a uno los demás casos que ofrecen soluciones menos elegantes. Prefieroincluirlosydeterminarlosalavezatodosjuntosconelmétodogeneralsiguiente.

LEMAXXIX

Si en torno a un centro S se describe un círculo cualquiera AEB y se trazan concentroenPdoscírculosEF,eƒ,quecortanalprimeroenE,e,yalalíneaPSenF,ƒ;y sobre PS descienden las perpendiculares ED, ed: digo que, si se supone quedisminuyen infinitamente las distancias de los arcos EF, eƒ, la razón última de lalíneaevanescenteDdalalíneaevanescenteFƒserálamismaqueladelalíneaPEalalíneaPS.

PuessilalíneaPecortaalarcoEFenq;ylarectaEe,quecoincideconelarcoevanescenteEe,prolongada,cortaalarectaPSenT;ydesdeSsetrazasobrePElanormalSG:porlasemejanzadelostriángulosDTE,dTe,DES;DdseráaEecomoDTaTE,ocomoDEaES;ypor lasemejanzade los triángulosEeq,ESG(porelLemaVIIIyelCorolario3delLemaVII),EeseráaeqoFƒcomoESaSG;y,porconsiguiente,DdesaFƒcomoDEaSG;estoes(porlasemejanzadelostriángulosPDE,PGS)comoPEaPS.Q.E.D.


PROPOSICIÓNLXXIX.TEOREMAXXXIX

SiunasuperficieEFƒellegaaserevanescentealdisminuircontinuamentehastaelinfinito su anchura y con su giro en torno al eje PS describe un sólido esféricocóncavo-convexo hacia cada una de cuyas partículas iguales tienden fuerzascentrípetasiguales:digoquelafuerzaconlacualdichosólidoatraeauncorpúsculosituadoenPestáenrazóncompuestadelarazóndelsólidoDE2xFƒylarazóndelafuerzaconlacuallapartículadadaenellugarFƒatraeríaalmismocorpúsculo.

PuessiconsideramosprimerolafuerzadelasuperficieesféricaFEgeneradaporelgirodelarcoFEycortadaenunpuntocualquierarporlalíneade;laparteanulardela superficie, generada por el giro del arco rE, será como el segmento Dd,manteniéndoseelradioPEdelaesfera(comodemostróARQUÍMEDESenel libroDeSpheraetCylindro).Ylafuerzade talsuperficie,ejercidasegúnlas líneasPEoPrcolocadas en la superficie cónica en cualquier punto, será como dicha superficiecónica anular; esto es, como el segmento Dd o, lo que es lo mismo, como elrectángulo comprendido por el radio de la esfera PEy el segmentoDd: pero si seejercesegúnlalíneaPStendentehaciaelcentroSserámenorenlarazóndePDaPE,y por tanto como PD x Dd. Supóngase ahora que la línea DF se divide eninnumerablespartículasiguales,cadaunadelascualessedenominaDd;entonceslasuperficie FE quedará dividida en otros tantos anillos iguales, cuyas fuerzas serán

como la sumade todos losPDxDd, estoes, como12PF2 -

12PD2 y, por lo tanto,

comoDE2.AhoramultiplíqueselasuperficieFEporlaalturaFƒyresultarálafuerzadelsólidoEFƒeejercidasobreelcorpúsculoPcomoDE2xFƒ,estocuandosedélafuerzaqueunapartículadadaFƒejercesobreelcorpúsculoPaladistanciaPF.Perosinosedadichafuerza,lafuerzadelsólidoEFƒeserácomoelsólidoDE2xFƒylafuerzanodadaconjuntamente.Q.E.D.


PROPOSICIÓNLXXX.TEOREMAXL

Sihaciacadapartícula igualdeunaesferaABE,descritaconcentroenS, tiendenfuerzascentrípetasiguales,ydesdecadapuntoDsobreelejedelaesferaAB,enelquesehallasituadouncorpúsculoP,seelevanlasperpendicularesDEquetocanala esfera en E, y sobre ellas se toman las longitudes DN, que son conjuntamente

como DE2xPSPE

y la fuerza que la partícula de la esfera situada en el eje a la

distanciaPE ejerce sobre el corpúsculoP: digo que la fuerza total con la cual elcorpúsculoPesatraídohacialaesferaescomoeláreaANBcomprendidabajoelejeABdelaesferaylalíneacurvaANB,delacualelpuntoNessiempretangente.

Pues,manteniendolasconstruccionesdelLemaydelTeoremaanteriores,imagíneseal eje de la esferaABdividido en innumerables partículas igualesDd, y a toda laesferadivididaenotrastantasláminasesféricascóncavo-convexasEFFe;yeléveselaperpendiculardn.PorelTeoremaanterior,lafuerzaconlacuallaláminaEFƒeatraeal corpúsculo P es comoDE2 x Fƒ y la fuerza de una sola partícula ejercida a ladistanciaPEoPFconjuntamente.Pero(porelLemaanterior)DdesaFƒcomoPEa

PS,yportantoFƒesigualaPSxDdPE

,yDE2xFƒesigualaDdx DE2xPSPE

,ypor

tantolafuerzadelaláminaEFƒeescomoDdx DE2xPSPE

ylafuerzadelapartícula

ejercidaaladistanciaPFconjuntamente,estoes(porhipótesis),comoDNxDd,oeláreaevanescenteDNnd.Portanto,lasfuerzasdetodaslasláminasejercidassobreelcuerpoPsoncomotodas lasáreasDNnd,estoes, la fuerza totalde laesferacomotodaeláreaANB.Q.E.D.

COROLARIO 1. De aquí que si la fuerza centrípeta tendente hacia cada partícula


permanece siempre la misma a todas las distancias y DN es como DE2xPSPE

, la

fuerzatotalconlaqueelcorpúsculoesatraídoporlaesferaserácomoeláreaANB.

COROLARIO 2. Si la fuerza centrípeta de las partículas es inversamente como la

distanciadelcorpúsculoatraídoporellasyDNcomoDE2xPS

PE2lafuerzaconlacual

elcorpúsculoPesatraídoportodalaesferaserácomoeláreaANB.

COROLARIO3.Silafuerzacentrípetadelaspartículasesinversamentecomoelcubo

de ladistanciadelcorpúsculoatraídoporellasyDNescomoDE2xPS

PE4, la fuerza

conlacualelcorpúsculoesatraídoportodalaesferaserácomoANB.

COROLARIO4.Y,engeneral,sisesuponequelafuerzacentrípetatendentehaciacada

partículadelaesferaesinversamentecomolacantidadVyDNcomo DE2xPS

PExV, la

fuerzaconlaqueelcorpúsculoesatraídoportodalaesferaserácomoeláreaANB.

PROPOSICIÓNLXXXI.PROBLEMAXLI

Suponiendoloanterior,mídaseeláreaANB.

DesdeelpuntoP trácese la rectaPH tangentea laesferaenH,ysobreelejePABdesciendalanormalHIybiséquesePIenL;y(porlaProposiciónXIIdellibro IIdelos[Elementos])PE2=PS2+SE2+2PSD.PeroSE2oSH2(porlasemejanzadelostriángulosSPH,SHI)esigualalrectánguloPSI.Portanto,PE2esigualalcontenidobajoPSyPS+SI+2SD,estoes,bajoPSy2LS+2SD,estoes,bajoPSy2LD.


Además,DE2esigualaSE2-SD2,osea,SE2-LS2+2SLD-LD2,estoes,2SLD-LD2 -ALB.PuesLS2 - SE2 oLS2 - SA2 (por laProposiciónVI del libro II de los[Elementos])esigualalrectánguloALB.SiporDE2seescribe2SLD-LD2-ALB;y

lacantidad DE2xPS

PExV,quesegúnelCorolario4delaProposiciónanteriorescomola

longitud de la ordenada aplicada en DN, quedará descompuesta en tres partes2SLDxPSPExV

- LD2xPS

PExV-

ALBxPSPExV

: donde si en lugar deV escribimos la razón

inversa de la fuerza centrípeta, y en lugar dePE lamedia proporcional entrePSy2LD, dichas tres partes resultan ordenadas de las curvas correspondientes, cuyasáreasseobtienenpormétodosyacomunes.Q.E.F.

EJEMPLO 1. Si la fuerza centrípeta tendente hacia cada partícula de la esfera fueseinversamente como ladistancia; escríbaseporV ladistanciaPEyen lugardePE2

escríbase2PSxLD,yDNserácomoSL-12LD-

ALB2LD

.SupóngaseaDNigualasu

doble2SL-LD-ALBLD

;ytransportandoalolargodelalongitudABlapartedadade

laordenada2SLdescribiráelárearectangular2SLxAB;mientraslaparteindefinidaLD, transportadanormalmentepor lamisma longitud,conunmovimientocontinuotalquealmoversecrezcaodecrezcaparapermanecersiempreigualalalongitudLD,

describirá el área LB2-LA2

2, esto es, el área SL x AB; la cual restada del área

anterior 2SL x AB deja el área SL x AB. Y la tercera parteALBLD

, transportada

tambiénconunmovimientolocalnormalsobrelamismalongitud,describiráunáreahiperbólica;lacual,restadadeláreaSLxABdejaráeláreabuscadaANB.Dedondesurge la construcción siguiente del problema.Elévense por los puntosL,A,B, las


perpendicularesLl,Aa,Bb,haciendoqueAaseaigualaLByBbigualaLA.SiendoasíntotasLl,LB,tráceseporlospuntosa,b,lahipérbolaab.YtrazadalacuerdabacerraráeláreaabaigualaláreabuscadaANB.

EJEMPLO 2. Si la fuerza centrípeta tendente hacia cada partícula de la esfera fuereinversamente como el cubo de la distancia, o (lo que es igual) como dicho cubo

divididoporunplanodado;escríbasePE2

2AS2enlugardeV,yatambién2PSxLDen

lugar de PE2, y DM será como SLxAS2

PSxLD - AS

2

2PS -

ALBxAS2

2PSxLD2, esto es (por la

proporcionalidadcontinuadePS,AS,SI)comoLSILD

-½SI-ALBxSI2LD2

.Sisellevan

estas tres partes sobre la longitud AB, la primera de ellasLSILD

generará un área

hiperbólica; la segunda ½SI el área ½AB x SI; la terceraALBxSI2LD2

el área

ALBxSI2LA

-ALBxSI2LB

,estoes,½ABxSI.Réstesedelaprimerasumadelasegunda

ylatercerayquedaráeláreabuscadaANB.Dedondelaconstruccióndelproblemaresultacomosigue.Por lospuntosL,A,S,B,elévense lasperpendicularesLl,Aa,Ss, Bb, de las cuales Ss sea igual a SI y por el punto s con las asíntotas Ll, LB,trácese la hipérbola asb que encuentre a las perpendicularesAa y Bb en a y b; yrestando el rectángulo 2ASI del área hiperbólica AasbB quedará el área buscadaANB.


EJEMPLO3.Silafuerzacentrípetatendentehaciacadapartículadelaesferadecrece

comolacuartapotenciadeladistanciadelaspartículas,escríbasePE4

2AS3enlugarde

V,después (2PSxLD)enlugardePE,yDNvendráasercomoSI2xSL

2SIx

1LD3

-SI2

2 2SI x

1LD

-SI2xALB2 2SI

x1LD5 ; y al llevar estas tres partes sobre la

longitudABproducenotras tantasáreas,a saber:2SI2xSL

2SIen

1LA

-1LB

;

SI2

2SIen( LB - LA); y

SI2xALB3 2SI

en1LA3 -

1LB3 .Y tras la reducción

debidadan 2SI2xSLLI

,SI2, ySI2 + 2SI3

3LI.De estas, a su vez, después de resta las

últimasdelaprimera,resulta 4SI3

3LI.Portantolafuerzatotalconlacualelcorpúsculo

Pesatraídohaciaelcentrodelaesferaescomo SI3

PIestoes,comoelinversodePS3

xPI.Q.E.I.Conelmismométodopodemosdeterminarlaatraccióndeuncorpúsculoubicado

dentrodelaesfera,peroesmásdirectoporelTeoremasiguiente.

PROPOSICIÓNLXXXII.TEOREMAXLI

En una esfera descrita con centro en S y radio SA, si se toman SI, SA, SP,continuamenteproporcionales:digoquelaatraccióndeuncorpúsculodentrodela

√√ √

√ √ √ √

√ ( √ √ )

√√ √

√ ( √ √ )


esferaenunlugarcualquieraIesalaatraccióndelmismojueradelaesferaenellugar P en razón compuesta de la raíz cuadrada de la razón de las distancias alcentroIS,PS,ydelaraízcuadradadelarazóndelasfuerzascentrípetastendentesalcentroendichoslugaresP,I.

Puesto que si las fuerzas centrípetas de las partículas de la esfera fueseninversamentecomoladistanciaalcorpúsculoatraídoporellas,lafuerza,conlacualelcorpúsculosituadoenIesatraídoportodalaesfera,seráalafuerzaconlacualesatraídoenP,enrazóncompuestadelaraízcuadradadelarazóndelasdistanciasSIaSP, y de la raíz cuadrada de la razón de la fuerza centrípeta en el lugar I de unapartículaquelaproducedesdeelcentro,respectoalafuerzacentrípetaenPgeneradatambiénpor lamismapartículadesdeel centro, estoes, inversamentecomo la raízcuadradadelasdistanciasrespectivasSI,SP.Estasdosrazonesderaleescuadradascomponenrazóndeigualdad,yportanto,lasatraccionesenIyPproducidasportodalaesferasoniguales.Conuncálculosimilarseencontraráque,silasfuerzasdelaspartículas de la esfera son inversamente como el cuadrado de la razón de lasdistancias, la atracción en I es a la atracción en P como la distancia SP alsemidiámetro SA de la esfera; si dichas fuerzas son inversamente como la razóncúbicade lasdistancias, lasatraccionesen IyPseránentre sícomoSP2 aSA2; sifuesencomolacuartapotencia,comoSP3aSA3.Portanto,comolaatracciónenP,enesteúltimocaso, resulta ser inversamentecomoPS3 xPI, la atracciónen I seráinversamentecomoSA3xPI,estoes(porestardadoSA3)inversamentecomoPI.Yasísucesivamentehastaelinfinito.Elteorema,pues,sedemuestraasí:

Manteniendo las construcciones anteriores, y existiendo un corpúsculo en un lugar

cualquiera P, la ordenada DN resultó ser como DE2xPS

PExV. Luego si se traza IE,

ordenadapara otro lugar I del corpúsculo, «mutatismutandis», resultará ser comoDE2xISIExV

.


Supóngase que las fuerzas centrípetas procedentes de un punto E cualquiera de laesfera sonentre sí a lasdistancias IEyPEcomoPEna IEn (donden representa la

potenciadePEydeIE)ydichasordenadasresultaráncomoDE2xPSPExPEn

yDE2xISIExIEn

,

cuya razón mutua es como PS x IE x IEn a IS x PE x PEn. Por ser SI, SE, SP,continuamenteproporcionales,lostriángulosSPE,SEI,sonsemejantes,yporelloIEesaPEcomoISaSEoSA;enlugardelarazónIEaPEescríbaselarazónISaSA;ylarazóndelasordenadasresultaráserPSxIEnaSAxPEn.PerolarazóndePSalaraízcuadradadeSAeslarazóndelasdistanciasPS,SI;ylarazóndeIEna la raízcuadradadePEn(porserIEaPEcomoISaSA)eslarazóndelasfuerzasparalasdistanciasPS,IS.Luegolasordenadas,ylasáreasquedescribenlasordenadas,ylasatraccionesproporcionalesaéstas,estánenrazóncompuestadelasraícescuadradasdeaquellasrazones.Q.E.D.

PROPOSICIÓNLXXXIII.PROBLEMAXLII

Hallarlafuerzaconlacualuncorpúsculosituadoenelcentrodeunaesferaesatraídohaciacualquiersegmentodelamisma.

SeaPuncuerpoenelcentrode laesferayRBSDelsectorde lamismacontenidoentre el plano RDS y la superficie esférica RBS. Con la superficie esférica EFGdescrita con centro en P córtese DB en F, y distínganse las dos partes del sectorBREFGSyFEDG.Seadichasuperficienoalgopuramentematemático,sinofísico,quetieneunaprofundidadmínima.LlámeseaestaprofundidadO,yestasuperficieserá (por las demostraciones de ARQUÍMEDES) como PF x DF x O. Supongamosademás que las fuerzas atractivas de las partículas de la esfera son inversamentecomo lapotenciade lasdistanciasde índicen;y la fuerzacon lacual la superficie

EFGatraealcuerpoPserá(porlaProposiciónLXXIX)comoDE2xOPFn

,estoes,como

2DFxOPFn-1

-DF2xOPFn

.SealaperpendicularFNmultiplicadaporOproporcionalaesta

cantidad;yeláreacurvilíneaBDI,descritaporlaordenadaFNalseraplicadasobrelalongitudDBconunmovimientocontinuo,serácomolafuerzatotalconlacualelsegmentocompletoRBSDatraealcuerpoP.Q.E.I.


PROPOSICIÓNLXXXIV.PROBLEMAXLIII

Hallarlafuerzaconlacualuncorpúsculosituadosobreelejedecualquiersegmentodeunaesferayfueradelcentrodelamismaesatraídopordicho

segmento.

AtraigaelsegmentoEBKalcorpúsculoPsituadosobresuejeADB.Concentroen P y distancia PE descríbase la superficie esférica EFK mediante la cual sesegreganlasdospartesdelsegmentoEBKFEyEFKDE.HálleselafuerzadelaparteprimeraporlaProposiciónLXXXIylafuerzadelasegundaporlaProposiciónLXXXIII;ylasumadelasfuerzasserálafuerzadelsegmentocompletoEDKDE.Q.E.I.


ESCOLIO

Explicadaslasatraccionesdeloscuerposesféricos,esyahoradepasaralasleyesdelasatraccionesdeotroscuerposqueconstantambiéndepartículasatractivas;perotratarlasminuciosamenteesmenosnecesarioparamipropósito.Serásuficiente,porsuescasousoentemasfilosóficos,añadiralgunasProposicionesmásgeneralessobrelasfuerzasdetalescuerposydelosmovimientosresultantes.


SecciónXIIISOBRELASFUERZASATRACTIVASDECUERPOSNOESFÉRICOS

PROPOSICIÓNLXXXV.TEOREMAXLII

Si la atracción padecida por un cuerpo es muchomayor cuando está contiguo alatrayente que cuando están separados aunque sea por un intervalo mínimo; lasfuerzas de las partículas del cuerpo atrayente decrecen al separarse del cuerpoatraídoenrazónmayorqueelcuadradodelasdistanciasdelaspartículas.

Pues si las fuerzas decrecen en razón del cuadrado de las distancias de laspartículas,laatracciónhaciauncuerpoesférico,dadoque(porlaProposiciónLXXIV)esinversamentecomoelcuadradodeladistanciaalcuerpoatraídodesdeelcentrodela esfera, no aumentará sensiblemente por el contacto; y todavía aumentarámenospor el contacto si la atracción decrece en una proporción menor al retroceder elcuerpoatraído.LaProposiciónresulta,pues,evidentetratándosedeesferasatractivas.Y lomismoocurre con orbes esféricos cóncavos que atraen a cuerpos externos.Ytodavíaesmásclaroparaorbesqueatraenacuerposubicadosensuinterior,dadoquelasatraccionesdifundidasporlascavidadesdelosorbesentodasdireccionesson(porla Proposición LXX) destruidas por las atracciones contrarias, y por ello son nulashasta en elmismo contacto. Pero si de estas esferas y orbes esféricos se suprimenpartescualesquieradistantesdellugardecontactoyseañadenpartesnuevasenotroslugares,puedencambiarseavoluntadlasfigurasdeloscuerposatractivos,sinquelaspartes suprimidas o añadidas, al estar alejadas del lugar de contacto, aumentennotablemente el exceso de atracción que procede del contacto. Por tanto laProposiciónsemantieneparacuerposdecualesquierafiguras.Q.E.D.

PROPOSICIÓNLXXXVI.TEOREMAXLIII

Si las fuerzas de las partículas de que consta un cuerpo atractivo decrecen, alalejarseelcuerpoatraído,enrazóncúbicaomayordeladistanciadelaspartículas,la atracción en el lugar de contacto será mucho mayor que cuando los cuerpos


atrayenteyatraídosehallanseparadosporunintervaloaunqueseamínimo.

Pues,que laatracciónaumentahastael infinitocuandoelcorpúsculoatraídoseaproximaaunaesferaatractivadeeste tipoconstapor lasoluciónalProblemaXLI,mostradaenlosejemplossegundoytercero.LomismoseinfierefácilmenteapartirdedichosejemploscomparadosconelTeoremaXLIparaelcasodelasatraccionesdecuerposhaciaorbescóncavo-convexos, tantosi loscuerposatraídossesitúan fueracomodentrodedichascavidades.Yañadiendooquitandoaestasesferasyorbespordoquiermenosenel lugardecontactocuantamateriaatractivaseprecisehastaqueadquieranlafigurarequerida,laProposiciónsemantendráparatodosloscuerpos.Q.E.D.

PROPOSICIÓNLXXXVII.TEOREMAXLIV

Si dos cuerpos entre sí semejantes que constan de materia igualmente atractivaatraencadaunoauncorpúsculoque leesproporcionalyestáubicadorespectoaellosdemodosemejante, lasatraccionesaceleratricesdeloscorpúsculoshacialoscuerpos enteros seráncomo lasatraccionesaceleratricesde los corpúsculoshaciapartículasdeaquelloscuerposproporcionalesalostodosyubicadossemejantementeenlostodos.

Pues,siloscuerpossedividenenpartículasqueseanproporcionalesalostodosyubicadassemejantementeenlostodos,laatracciónhaciaunapartículacualquieradeuncuerposeráalaatracciónhacialacorrespondientepartículadelotrocuerpocomolasatraccioneshaciacadapartículadelprimercuerposonalasatraccioneshaciacadapartículacorrespondientedelotro;ycomponiendo,tambiénesasílaatracciónhaciatodoelprimercuerporespectoalaatracciónhaciatodoelsegundo.Q.E.D.

COROLARIO 1. Luego si las fuerzas atractivas de las partículas, al aumentar lasdistanciasdeloscorpúsculosatraídos,decreciesenenrazóndealgunapotenciadelasdistancias, lasatraccionesaceleratriceshacialoscuerposenterosserándirectamentecomoloscuerposeinversamentecomolasdichaspotenciasdelasdistancias.Ysilasfuerzasdelaspartículasdecrecenenrazóndelcuadradodelasdistanciasrespectoaloscorpúsculosatraídos,yloscuerpossoncomoA3yB3yporello tantolos ladoscúbicos de los cuerpos como las distancias de los corpúsculos atraídos hasta loscuerpossoncomoAyB,lasatraccionesaceleratriceshacialoscuerposseráncomoA3

A2 y

B3

B3, esto es, como los lados cúbicos aquellosA y B de los cuerpos. Si las

fuerzasdelaspartículasdecrecenenrazóncúbicadelasdistanciasaloscorpúsculos


atraídos,lasatraccionesaceleratriceshacialoscuerposcompletosseráncomoA3

A3y

B3

B3, esto es, iguales. Si las fuerzas decrecen en razón de la cuarta potencia, las

atraccioneshacialoscuerposseráncomoA3

A4y

B3

B4,estoes,inversamentecomolos

ladoscúbicosAyB.Yasíparalosdemás.COROLARIO 2. De donde, a la inversa, de las fuerzas con las cuales cuerpos

semejantesatraenacorpúsculosubicadossemejantementerespectoaellos,sepuedeinferirlarazóndeldecrementodelasfuerzasatractivasdelaspartículasalalejarseelcorpúsculoatraído,siemprequedichodecrementosehalleenalgunarazóndirectaoinversarespectoalasdistancias.

PROPOSICIÓNLXXXVIII.TEOREMAXLV

Silasfuerzasatractivasdepartículasigualesdeuncuerpocualquierafuesencomolas distancias de los lugares a las partículas, la fuerza del cuerpo entero tenderáhacia sucentrodegravedad;y será lamismaque ladeungloboqueconstasedemateriasemejanteeigual,yquetuviesesucentroenelcentrodegravedad.

LaspartículasA,B,delcuerpoRSTVatraenauncorpúsculocualquieraZconfuerzasque,silaspartículassonigualesentresí,soncomolasdistanciasAZ,BZ;ysisondesiguales,seráncomodichaspartículasysusdistanciasAZ,BZ,conjuntamente,otambién(porasídecirlo)comodichaspartículasmultiplicadasrespectivamenteporsusdistanciasAZ,BZ.Expresemosestasfuerzasmediantedichosproductos,AxAZy B x BZ. Únase AB y córtesela en G de tal modo que AG sea a BG como lapartículaBesalapartículaA;yGseráelcentrocomúndegravedaddelaspartículasAyB.LafuerzaAxAZ(porelCorolario IIdelasLeyes)sedescompondráenlasfuerzasAxGZyAxAG,mientraslafuerzaBxBZsedescompondráenBxGZyBxBG.PerolasfuerzasAxAGyBxBG,alserproporcionalesArespectoaByBGrespecto a AG, son iguales; y como tienen direcciones contrarias se anulanmutuamente.Quedan lasfuerzasAxGZyBxGZ.Estas tiendendesdeZhaciaelcentroGy componen la fuerza (A+B) xGZ; esto es, lamisma fuerza que si laspartículas atractivasA,B, estuviesenubicadas en su centro comúndegravedadG,formandoallíunglobo.


Por elmismoargumento, si se añadeuna tercera partículaC, y se compone sufuerzaconlafuerza(A+B)xGZtendentehaciaelcentroG;lafuerzaresultantedeello tenderáalcentrocomúndegravedaddedichogloboenGyde lapartículaC;estoes,haciaelcomúncentrodegravedadde las trespartículasA,B,C;yserá lamismaquesielgloboylapartículaCsehallasenendichocentrocomún,formandoallíunglobomayor.Yasísepuedeseguirhastaelinfinito.Porlomismo,lafuerzatotaldetodaslaspartículasdeuncuerpocualquieraRSTVeslamismaquesidichocuerpo,manteniendoelcentrodegravedad,tomaselaformadeunglobo.Q.E.D.

COROLARIO.DeaquíqueelmovimientodelcuerpoatraídoZseráelmismoquesielcuerpoatrayenteRSTVfueseesférico;yportantolomismosielcuerpoatrayentereposacomosisemueveuniformementeenlínearecta,elcuerpoatraídosemoveráenunaelipsequetienesucentroenelcentrodegravedaddelcuerpoatrayente.

PROPOSICIÓNLXXXIX.TEOREMAXLVI

Sisetienenvarioscuerposqueconstandepartículasiguales,cuyasfuerzassoncomolas distancias de los lugares hasta cada uno: la fuerza compuesta de todas lasfuerzasconlacualesatraídouncorpúsculocualquieratenderáalcentrocomúndegravedad de los atrayentes; y será la misma que si dichos cuerpos atrayentes,manteniendoelmismocentrocomúndegravedad,sereuniesenyformasenunglobo.

SedemuestradeigualmodoquelaProposiciónanterior.COROLARIO.Portanto,elmovimientodelcuerpoatraídoseráelmismoquesilos

cuerpos atrayentes, manteniendo el centro común de gravedad, se reuniesen yformasenunglobo.Y,porlomismo,sielcentrocomúndegravedaddeloscuerposatrayentes reposa o progresa uniformemente en línea recta, el cuerpo atraído semoveráenunaelipsecuyocentroestáenelcentrocomúndegravedaddeloscuerposatrayentes.


PROPOSICIÓNXC.PROBLEMAXLIV

Si hacia cada punto de un círculo cualquiera tienden fuerzas centrípetas iguales,crecientesodecrecientessegúnalgunarazóndelasdistancias,hálleselafuerzaconla que es atraído un corpúsculo situado en un punto cualquiera de una rectalevantadaperpendicularmentedesdeelplanodelcírculoyensupuntocentral.

Imagíneseuncírculodescrito concentro enAyun radio cualquieraADenunplanoalqueesperpendicular la rectaAP;yhayquehallar la fuerzacon lacualesatraídohaciaéluncorpúsculocualquieraP.Desdeunpuntocualquieradelcírculo,talcomoE,trácesehastaelcorpúsculolarectaPE.SobrelarectaPAtómesePFigualaPEy elévese lanormalFK,que sea como la fuerza con laque el puntoEatrae alcorpúsculo P y sea IKL una línea curva a la que el punto K es continuamentetangente.YtoqueéstaalplanodelcírculoenL.SobrePAtómesePHigualaPD,yelévese la perpendicular HI que se encuentra con la curva antedicha en I; y laatraccióndelcorpúsculoPhaciaelcírculoserácomoeláreaAHILmultiplicadaporlaalturaAP.Q.E.I.

Efectivamente,tómesesobreAEelsegmentomínimoEe.ÚnasePe,ysobrePE,PA,tómensePC,Pƒ,igualesaPe.YpuestoquelafuerzaconlacualunpuntocualquieraEdelanillodescritoconcentroenAyradioAEsobreelplanoantedichoatraehaciasíalcuerpoPsupongamosqueescomoFK,yportantolafuerzaconlaqueeldicho

puntoatraealcuerpoPhaciaAescomoAPxFK

PE,ylafuerzaconlacualelanillo

completoatraealcuerpoPhaciaAescomoelanilloyAPxFK

PEconjuntamente;pero


dichoanilloescomoelrectángulocomprendidobajoelradioAEylaanchuraEe,yesterectángulo(porlaproporcionalidaddePEyAE,EeyCE)esigualalrectánguloPExCEoPExFƒ;lafuerzaconlacualesteanilloatraeráalcuerpoPhaciaAserá

comoPExFƒyAPxFK

PEconjuntamente,estoes,comoelcontenidobajoFƒxFKx

AP,o tambiéncomoeláreaFKkƒmultiplicadaporAP.Ypor tanto la sumade lasfuerzasconlascualestodoslosanillossobreelcírculoquesedescribeconcentroenAyradioAD,atraenalcuerpoPhaciaAescomotodaeláreaAHIKLmultiplicadaporAP.Q.E.D.

COROLARIO 1. De aquí que si las fuerzas de los puntos decrecen en razón del

cuadradodelasdistancias,estoes,siFKsehacecomo1PF2

yporlomismoelárea

AHIKLcomo1PA

-1PH

;laatraccióndelcorpúsculoPhaciaelcírculoserácomo1-

PAPH

,estoes,comoAHPH

.

COROLARIO 2.Y, en general, si las fuerzas de los puntos a las distanciasD fueseninversamentecomounapotenciacualquieraDndelasdistancias;estoes,siFKfuese

como1Dn

, y por tanto el área AHIKL como1

PAn-1 -

1PHn-1

, la atracción del

corpúsculoPhaciaelcírculoseracomo1

PAn-2-

PAPHn-1

.

COROLARIO3.Ysieldiámetrodelcírculoseaumentasehastaelinfinitoyelnúmeronesmayorquelaunidad,laatraccióndelcorpúsculoPhaciaelplanoenteroinfinito

seráinversamentecomoPAn-2,yaqueelotroterminoPA

PHn-1sedesvanece.

PROPOSICIÓNXCI.PROBLEMAXLV


Hallar laatraccióndeuncorpúsculosituadoenelejedeunsólidoredondo,haciacadaunode cuyos puntos tienden fuerzas centrípetas iguales y decrecientes segúnunarazóncualquieradelasdistancias.

ElcorpúsculoPseaatraídohaciaelsólidoDECGyestésituadosobresuejeAB.Córteseel sólidoconuncírculocualquieraRFSperpendicular adichoeje,yen susemidiámetroFS,sobreunplanocualquieraPALKBquepasaporeleje,tómese(porlaProposiciónXC)lalongitudFKproporcionalalafuerzaconlaqueelcorpúsculoPesatraídohaciadichocírculo.SeaelpuntoKtangentea la líneacurvaLKIqueseencuentra con los planos más exteriores de los círculos AL y BI en L e I; y laatraccióndelcorpúsculoPhaciaelsólidoserácomoeláreaLABI.Q.E.I.

COROLARIO 1. De donde, si el sólido es un cilindro descrito por el paralelogramoADEBalgirarsobresuejeAB,ylasfuerzascentrípetastendenteshaciacadaunodesus puntos fuesen inversamente como los cuadrados de las distancias hasta lospuntos;laatraccióndelcorpúsculoPhaciadichocilindroserácomoAB-PE+PD.


YaquelaordenadaFK(porelCorolario1delaProposiciónXC)serácomo1-PFPR

.

Elmiembro1deestacantidadmultiplicadoporlalongitudABdescribeelárea1x

AB:yelotromiembroPFPR

multiplicadoporlalongitudPBdescribeelárea1x(PE-

AD)(fácildemostrarapartirdelacuadraturadelacurvaLKI);ydemodosimilar,aquelmismomiembromultiplicadoporlalongitudPAdescribeelárea1x(PD-AD)ymultiplicadoporAB,queesladiferenciaentrePB,PA,describeladiferenciadelasáreas1x(PE-PD).Réstesedelprimervalor1xABeldelúltimo1x(PE-PD)yelrestoseráeláreaLABIiguala1x(AB-PE+PD).LuegolafuerzaproporcionalaestaáreaescomoAB-PE+PD.

COROLARIO2.DeaquítambiénseobtienelafuerzaconlacualelesferoideAGBCatraeauncorpúsculocualquieraPsituadoexternamenteensuejeAB.SeaNKRMlaseccióncónicacuyaordenadaER,perpendicularaPE,seasiempreigualalalongitudPDquesetrazahastaelpuntoDenelcuallasusodichaordenadacortaalesferoide.DesdelosvérticesdelesferoideA,B,elévense,perpendicularesalejeAB,laslíneasAK,BM,respectivamenteigualesaAP,BP,que,portanto,encontraránalaseccióncónicaenKyM;yúnanseKM,separandoelsegmentoKMRK.

SeaSelcentrodelesferoideySCelsemidiámetromáximo;ylafuerzaconlacualelesferoide atrae al cuerpoP será a la fuerza con la cual atrae almismo cuerpo una

esfera descrita condiámetroABcomoASxCS2-PSxKMRK

PS2+CS2-AS2 a

AS3

3PS2.Y con la

mismabasedecálculoesposiblehallarlasfuerzasdelossegmentosdelesferoide.COROLARIO3.Ysielcorpúsculosecolocasesobreelejedentrodelesferoide,la

atracción será como su distancia al centro. Cosa que se infiere fácilmente con elargumento siguiente, tanto si la partícula se halla en el eje como en otro diámetrodadocualquiera.SeaAGOFelesferoideatrayente,SsucentroyPelcuerpoatraído.


Trácese por dicho cuerpo P tanto el semidiámetro SPA como las dos rectascualesquieraDE,FG,quecortanalesferoideaunoyotroladoenDyE,yFyG;ysean PCM, HLN, las superficies de dos esferoides interiores, semejantes yconcéntricasdelaexterior,delascualeslaprimerapasaporelcuerpoPycortaalasrectasDE y FG enB yC y la segunda corta a lasmismas rectas enH, I yK,L.Tengantodoslosesferoideselejecomúnyseránlaspartesdelasrectasinterceptadasaunoyotroladoigualesentresí,DPyBE,FPyCG,DHeIE,FKyLG:porcuantoquelasrectasDE,PByHIsonbisecadasenelmismopunto,aligualquelasrectasFG,PCyKL.SupóngaseahoraqueDPF,EPG,designanconosopuestos,descritosporlosángulosverticalesinfinitamentepequeñosDPF,EPG,yquelaslíneasDH,El,son también infinitamente pequeñas; y las partículas de los conosDHKF yGLIE,separadasporlassuperficiesdelosesferoides,seránentresí,debidoalaigualdaddelas líneas DH, El, como los cuadrados de sus distancias al cuerpo P, y por elloatraeránigualmenteadichocorpúsculo.Yporlamismarazón,silosespaciosDPF,EGCB,sedividenenpartículasmediantelassuperficiesdeinnumerablesesferoidessemejantes, concéntricos y con eje común, todas ellas a ambos lados atraeránigualmentealcuerpoPensentidoscontrarios.Portanto,lasfuerzasdelconoDPFylas del segmento cónico EGCB son iguales, y por ser contrarias se destruyenmutuamente.Ylomismoocurreconlasfuerzasdetodamateriaexterioralesferoidemás interior PCBM. En consecuencia, el cuerpo P es atraído únicamente por elesferoide interiorPCBM,yporello (porelCorolario3de laProposiciónLXXII)suatracciónesalafuerzaconlaqueelcuerpoAesatraídoporelesferoidetotalAGOD,comoladistanciaPSaladistanciaAS.Q.E.D.

PROPOSICIÓNXCII.PROBLEMAXLVI

Dadouncuerpoatrayente,hallarlarazóndeldecrecimientodelasfuerzascentrípetastendenteshaciacadaunodesuspuntos.


Delcuerpodadohayqueobtenerunaesferaouncilindrouotra figura regularcualquiera cuya ley de atracción concuerde con alguna razón de decrecimientocalculable (por las Proposiciones LXXX, LXXXI y XCI). Después, medianteexperimentoshayquehallarlafuerzadeatracciónadistintasdistancias,ydescubiertaasílaleydelaatracciónhaciaeltodo,permitiráhallarlarazóndeldecrecimientodelasfuerzasdecadaparte,queeraprecisohallar.

PROPOSICIÓNXCIII.TEOREMAXLVII

Siunsólido,planoporunladoeinfinitoportodoslosdemás,constasedepartículasiguales e igualmente atrayentes, cuyas fuerzas al alejarse del sólido decrecen enrazóndeunapotenciadelasdistanciasmayorqueelcuadradodelasmismas,yuncorpúsculosituadoaunauotrapartedelplanoesatraídoporlafuerzadelsólidoentero;digoquelatalfuerzaatractivadelsólido,alalejarsedesusuperficieplana,decreceenrazóndeunapotenciacuyabaseesladistanciadelcorpúsculoalplanoysuíndicees3unidadesmenosqueelíndicedelapotenciadelasdistancias.

CASO1.SeaLGlelplanoenqueterminaelsólido.Extiéndaseéstehaciaelladodel plano quemira hacia I, y descompóngase en innumerables planosmHM, nlN,oKO,etc.,paralelosaGL.YcolóqueseprimeroelcuerpoatraídoCfueradelplano.Trácese CGHI perpendicular a esos innumerables planos, y decrezcan las fuerzasatractivasde lospuntosdel sólidoen razóndeunapotenciade lasdistancias,cuyoíndicennoseamenorque3.Entonces(porelCorolario3de laProposiciónXC) lafuerzaconlaquecualquierplanomHMatraealpuntoCesinversamentecomoCHn-2.SobreelplanomHMtómeselalongitudHM,inversamenteproporcionalaCHn-2,ydichafuerzaserácomoHM.Eigualmenteparacadaplano lGL,nIN,oKO,etc.,tómenselongitudesGL,IN,KO,etc.,inversamenteproporcionalesaCGn-2,CIn -2,CKn-2,etc.;ylasfuerzasdetalesplanosseráncomolaslongitudestomadas,yporlomismolasumadelasfuerzascomolasumadelaslongitudes,estoes,lafuerzadelsólido entero como el áreaGLOK prolongada infinitamente haciaOK. Pero dichaárea(porelconocidométododelascuadraturas)esinversamentecomoCGn-3,yportantolafuerzadelcuerpoenteroesinversamentecomoCGn-3.Q.E.D.


CASO2.AhoracolóqueseelcorpúsculoCalotro ladodelplano lGLdentrodelsólido, y tómese la distancia CK igual a la distancia CG. Y la parte del sólidolGLoKO,delimitadapor los planosparalelos lGL, oKO, no atraerá hacia ningunaparte al corpúsculo C, al estar situado en el medio, por cuanto que las accionescontrariasde lospuntosopuestos seanulanen razónde su igualdad.Por locualelcorpúsculoCseráatraídoporlasolafuerzadelsólidoquesehallamásalládelplanoOK.Peroestafuerza(porelCaso1)esinversamentecomoCKn-3,estoes(porserigualesCGyCK)inversamentecomoCGn-3.Q.E.D.

COROLARIO1.DeaquíquesielsólidoLGINestuviesedelimitadoacadaladopordosplanosparalelosinfinitosLG,IN,sufuerzaatractivaresultaderestardelafuerzaatractiva de todo el sólido infinito LGKO la fuerza atractiva de la parte posteriorNIKOprolongadainfinitamentehaciaKO.

COROLARIO2.Sisedespreciaselaparteposteriordeestesólidoinfinito,porque,alcompararlacon laatracciónde laparteanterior,suatracciónes insignificante, laatraccióndedichaparteanteriordecrecerá,alaumentarlasdistancias,enunarazónmuypróximadelapotenciaCGn-3.

COROLARIO3.Ydeaquíque,siuncuerpofinitoyplanoporunladoatraeauncorpúsculodesdelaregiónmediadedichoplanoyladistanciaentreelcorpúsculoyelplanofuesemuypequeñacomparadaconlasdimensionesdelcuerpoatrayente,yésteconstasedepartículashomogéneascuyasfuerzasatractivasdecrecenenrazóndealgunapotenciadelasdistanciasmayorquelacuarta;lafuerzaatractivadelcuerpoentero decrecerá muy aproximadamente en razón de una potencia cuya base esaquella distancia muy pequeña y el índice 3 unidades menor que el índice de lapotencia anterior. La afirmación no vale para un cuerpo compuesto de partículascuyas fuerzas atractivas decrezcan en razón del cubo de las distancias; por cuantoque, en tal caso, la atracciónde laparteposterior del cuerpo infinitodelCorolariosegundoessiempreinfinitamentemayorquelaatraccióndelaparteanterior.


ESCOLIO

Siuncuerpocualquieraesatraídoperpendicularmentehaciaunplanodadoy,apartirdeunaleydeatraccióndada,sepideelmovimientodelcuerpo,elproblemaseresuelve buscando (por la Proposición XXXIX) el movimiento del cuerpodescendiendo en línea recta hacia ese plano, y (por el Corolario II de las [Leyes])componiendodichomovimientoconunmovimientouniforme,realizadosegúnlíneasparalelasadichoplano.Yviceversa, si sebusca la leydeatracciónhaciaunplanosegúnlíneasparalelasyconlacondicióndequeelcuerpoatraídosemuevaenunalíneacurvacualquieradada,elproblemaseresuelveoperandoalmododelProblematercero.

Pero las operaciones pueden reducirse descomponiendo las ordenadas en seriesconvergentes.Así,siaunabaseAseaplicaconunángulodadolalongitudordenadaB,queseacomounapotenciacualquieradelabaseA

m⁄n;ysebuscalafuerzaconlacualuncuerpo,tantosiesatraídocomorepelidorespectoalabasesegúnlaposicióndelaordenada,puedemoverseenunalíneacurvaalaquesiempretocalaordenadacon su extremo superior: supongo que la base aumenta en una partemínimaO, ydescompongolaordenada(A+O)

m⁄nenlaserieinfinita:

Am⁄n+

mnOA

m-n⁄n+mm-mn2nn

OOAm-2n⁄n,etc.,

ysupongoquelafuerzaesproporcionalaltérminoenqueOtienedosdimensiones,

esto es, al terminomm-mn2nn

OOAm-2n2n

. La fuerza buscada es, pues, como

mm-mnnn

Am - 2n⁄no,loqueeslomismo,como

mm-mnnn

Bm - 2n⁄n.Ysi laordenadaes

tangenteaunaparábola,siendom=2yn=1lafuerzaserácomo2Bºyadado,yportanto resultará dada. Por tanto, con una fuerza dada el cuerpo se moverá en unaparábolacomodemostróGalileo.Ysilaordenadaestangenteaunahipérbola,siendom=0-1yn=1,lafuerzaserácomo2A-3ocomo2B3;yportantoconunafuerzaqueseacomoelcubodelaordenadaelcuerposemoveráenunahipérbola.Perounavez dadas éstas, paso a otras Proposiciones sobre el movimiento que aún no hetocado[37].


SecciónXIVSOBREELMOVIMIENTODECUERPOSMÍNIMOSQUESONSOMETIDOSAFUERZASCENTRÍPETASTENDENTESHACIACADAPARTEDEOTROCUERPOMUYGRANDE

PROPOSICIÓNXCIV.TEOREMAXLVIII

Sidosmediossemejantessehallasenseparadosentresíporunespaciodelimitadoaambosladosporplanosparalelosyuncuerpoalpasarporesteespacioesatraídooimpelidoperpendicularmentehaciaunouotromediosinserniagitadoniimpedidoporningunaotrafuerza,ylaatracciónfueselamismaentodaspartesadistanciasigualesdeunoyotroplano tomadashacia lamismapartedelmismo:digoqueelseno de incidencia en uno u otro plano estará respecto al seno de emergencia delotroplanoenunarazóndada.

CASO 1. SeanAa y Bb dos planos paralelos. Incida el cuerpo sobre el primerplanoAasegúnla líneaGH,yentodosurecorridoa travésdelespacio intermedioseaatraídooimpelidohaciaelmediodeincidencia,yseaobligadoporesaacciónadescribirlalíneacurvaHI,yemerjasegúnlalíneaIK.EléveseIM,perpendicularalplanodeemergenciaBb,yqueseencuentretantoconlaprolongacióndelalíneade


incidencia enM como con el plano de incidencia Aa en R; a su vez la línea deemergenciaprolongadaencuentreaHMenL.ConcentroenLyradioLItráceseuncírculosecantedeHMenPyenQ,asícomodelaprolongacióndeMIenN;y,enprimer lugar, si la atraccióno el impulso se suponeuniforme, la curvaHI (por lasdemostraciones de Galileo) será una parábola que tiene la propiedad de que elrectángulocomprendidobajounlatusrectumdadoylalíneaIMesigualaHM2;perolalíneaHMserábisecadaenL.DedondesisetrazasobreMIlaperpendicularLO,resultaránigualesMOyOR;yañadiéndoleslasigualesON,OI,lostotalesMN,IR,resultarániguales.Portanto,alestardadoIR,tambiénestádadoMN;yelrectánguloNMIesalrectángulocomprendidobajoellatusrectumyIM,estoesaHM2,enunarazón dada. Pero el rectángulo NMI es igual al rectángulo PMQ, esto es, a ladiferenciadeloscuadradosML2yPL2oLI2,yHM2guardaunarazóndadaconsucuarta parte ML2: luego está dada la razón de ML2 - LI2 respecto a ML2, yconvirtiendo,larazóndeLI2aML2yladelaraízcuadradadeLIaML.Peroentodotriángulo LMI los senos de los ángulos son proporcionales a los lados opuestos.LuegosedalarazóndelsenodelángulodeincidenciaLMRalsenodelángulodeemergenciaLIR.Q.E.D.

CASO 2. Pase ahora el cuerpo sucesivamente a través de varios espaciosdelimitadosporplanosparalelosAabB,BbcC,etc.,yseaafectadoporunafuerzaqueesuniformeencadaunodeellosporseparado,perodistintaencadauno;yporloqueacabamosdedemostrar,elsenodeincidenciasobreelprimerplanoAaseráalsenodeemergenciadelsegundoplanoBbenunarazóndada;yesteseno,queessenodeincidenciaenelplanosegundoBb,seráalsenodeemergenciadelplanoterceroCcenuna razóndada; y este seno al senode emergencia del cuarto planoDd en unarazóndada;yasíindefinidamente:y,portanto,elsenodeincidenciasobreelprimerplano está en una razón dada respecto al seno de emergencia del último plano.Disminúyanseahoralos intervalosentre losplanosyauméntesesunúmerohastaelinfinito, para que la acción de atracción o impulso que obedezca a cualquier leyasignada sehagacontinua;y la razóndel senode incidencia sobreelprimerplanorespectoalsenodeemergenciadelúltimoplano,alestarsiempredada,tambiénahoraestarádada.Q.E.D.


PROPOSICIÓNXCV.TEOREMAXLIX

Conlosmismossupuestosdigoquelavelocidaddelcuerpoantesdesuincidenciaesa su velocidad después de la emergencia como el seno de emergencia al seno deincidencia.

TómenseAH,Id,igualesyelévenselasperpendicularesAG,dK,quecortenalaslíneasdeincidenciayemergenciaGH,IKenGyK.SobreGHtómeseTHigualaIK,ysobreelplanoAacaigalaperpendicularTv.Y(porelCorolarioIIdelas[Leyes])descompóngaseelmovimientodelcuerpoendos,unoperpendicularalosplanosAa,Bb,Cc,etc.,yelotroparaleloaellos.Lafuerzadeatracciónodeimpulsoactuandosegúnlaslíneasperpendicularesennadacambiaalmovimientosegúnlasparalelas,ypor tanto con ese movimiento el cuerpo recorre en tiempos iguales los intervalosigualessegúnlasparalelasqueestánentrelalíneaAGyelpuntoH,yentreelpuntoIy la líneadK;esto es, en tiempos igualesdescribe las líneasGH, IK.Por tanto, lavelocidadantesdelaincidenciaesalavelocidaddespuésdelaemergenciacomoGHaIKoTH,estoes,comoAHoIdapH,estoes(respectoalradioTHOIK)comoelsenodeemergenciaalsenodeincidencia.Q.E.D.

PROPOSICIÓNXCVI.TEOREMAL

Supuesto lo anterior y que elmovimiento antes de la incidencia esmás veloz quedespués: digo que el cuerpo, inclinando la línea de incidencia, acabará por serreflejado,yelángulodereflexiónseráigualaldeincidencia.

PuesimagíneseelcuerpodescribiendoarcosparabólicosalpasarentrelosplanosparalelosAa, Bb, Cc, etc., como antes; y sean tales arcos HP, PQ, QR, etc. Y laoblicuidaddelalíneadeincidenciaGHseatalrespectoalprimerplanoAaquehaga


queelsenodeincidenciaseaalradiodelcírculodelqueessenoenlamismarazónenquesehallaelpropiosenodeincidenciarespectoalsenodeemergenciadelplanoDdenelespacioDdeE:alserahoraelsenodeemergenciaigualalradio,elángulodeemergenciaserárecto,yportantolalíneadeemergenciacoincidiráconelplanoDd.Alcanceel cuerpoaesteplanoenelpuntoR;ypuestoque la líneadeemergenciacoincidecondichoplano,esevidentequeelcuerponopuedepasarmásalláhaciaelplanoEe. Pero tampocopuedeproseguir por la líneade emergenciaRd, ya que esatraídooimpelidocontinuamentehaciaelmediodeincidencia.Regresará,portanto,entrelosplanosCc,Dd,describiendoelarcodeparábolaQRq,cuyovérticeprincipal(comodemostróGALILEO)estáenR;cortaráalplanoCcconelmismoánguloenqque antes en Q; después, continuando por los arcos parabólicos qp, ph, etc.,semejantes e iguales a los primeros QP, PH, cortará a los demás planos con losmismosángulosenp,h,etc.,queantesenP,H,etc.,yporfinemergeráenhconlamismaoblicuidad conque incidió enH. Imagínese ahora que los intervalos de losplanosAa,Bb,Cc,Dd,Ee,etc., se reducenysunúmeroaumenta infinitamente,demodo que la atracción o impulso aplicados según una ley cualquiera determinadaresulten continuos; y al permanecer siempre iguales el ángulo de emergencia y elángulodeincidencia,tambiénaquíloseguiránsiendo.Q.E.D.

ESCOLIO

Lasreflexionesyrefraccionesdelaluznodifierenmuchodeestasatracciones,alefectuarseaquéllassegúnunarazóndadadelassecantes,comodescubrióSNELL,y,porconsiguiente,segúnunarazóndadadelossenos,comoexplicóDESCARTES.Pues


constapor losfenómenosdelossatélitesdeJúpiter,confirmadosporobservacionesdediferentesastrónomos,que la luzsepropagasucesivamenteyvienedelSola laTierraenunespaciodesieteuochominutos.Ylosrayosexistentesenelaire(comorecientementedescubrióGrimaldialintroducirluzenuncuartooscuroatravésdeunorificio,yyomismoheexperimentado)alpasarjuntoaángulosdecuerposopacosotransparentes(talescomolosbordesrectangularesdeloscírculosdemonedasdeoro,plataobronce,ydelosfilosdecuchillosodeláminasdepiedraodevidriosrotos)securvanhacialoscuerpos,comosifueranatraídosporellos;ydeesosrayos,losquepasanmáscercadeloscuerpos,alpasarsecurvanmás,comosifueranmásatraídos,como yo mismo he observado con todo cuidado. Y los que pasan a distanciasmayores se curvanmenos; y adistancias aúnmayores, se curvanun tantohacia ellado contrario, y forman tres haces de colores. En la figura sea s el corte de uncuchilloocuñacualquieraAsB;ygowog,ƒnunƒ,emtme,dlsld, sonrayoscurvadoshaciaelcuchilloconarcosowo,nun,mtm,lsl,yestomásomenossegúnsudistanciaal cuchillo. Pero como dicha curvatura de los rayos ocurra en el aire fuera delcuchillo,deberántambiénlosrayosincidentesenelcuchillocurvarseenelaireantesde alcanzar el cuchillo.Y lomismo ocurre para los que inciden en un cristal. Portanto, la refracción no ocurre en el punto de incidencia, sino paulatinamente porincurvacióncontinuadelosrayos,partedelacualocurreenelaireantesdealcanzarelcristalyparteenelcristal(sinomeequivoco)despuésdehaberpenetradoenél:comoaparecediseñadoen los rayosckzc,biyb,ahxa, incidiendo sobre r, q, p,etc.,curvadosentrekyz,iey,hyx.Porconsiguiente,dadalaanalogíaexistenteentrelapropagación de los rayos de luz y elmovimiento de los cuerpos, parece oportunoañadirlasproposicionessiguientesparausosópticos,sindiscutircosaalgunasobrelanaturalezadelosrayos(sisoncuerposono)determinandotansólolastrayectoriasdecuerposmuysemejantesalastrayectoriasdelosrayos.

PROPOSICIÓNXCVII.PROBLEMAXLVII


Supuestoqueelsenodeincidenciasobreunasuperficiecualquieraestérespectoalsenodeemergenciaenunarazóndada,yquelaincurvacióndelatrayectoriadeloscuerpos junto a dicha superficie ocurra en un espacio muy breve, que puedeconsiderarse un punto; determinar la superficie que haga converger a todos loscorpúsculosprocedentesdeunlugardadosobreotrolugardado.

SeaA el lugar desde el cual los corpúsculos divergen;B el lugar sobre el cualdeben converger; CDE la línea curva que, al girar sobre el eje AB, describa lasuperficie buscada; D, E, dos puntos cualesquiera de esa curva; y EF, EG,perpendiculares que descienden sobre las trayectorias del cuerpo AD, DB.AproxímeseelpuntoDalpuntoE;y la razónúltimade la líneaDF,con laqueseincrementaAD,a la líneaDG,con laqueDBdisminuye,será lamismaque ladelsenodeincidenciaalsenodeemergencia.LuegoestádadalarazóndelincrementodelalíneaADaladisminucióndelalíneaDB;y,portanto,sisobreelejeABsetomaunpuntocualquieraC,porelcualdebapasar lacurvaCDE,yse tomaparaACelincrementoCM,queestérespectoaldecrementoCNdelalíneaBCenlarazóndada,y con centros en A, B, e intervalos AM, BN, se trazan dos círculos mutuamentesecantesenD;dichopuntoDserátangentealacurvabuscadaCDEymanteniéndosetangenteaellacontinuamenteladeterminará.Q.E.I.

COROLARIO 1. Haciendo que los puntos A o B ya se alejen al infinito, ya seacerquenhaciaelpuntoC, se tendrán todas las figurasqueDescartesexpusoen laOptica y en laGeometría sobre las refracciones.Me pareció oportuno explicar enestaProposición,yaqueDESCARTESseloreservó,lamaneradehallarlas.

COROLARIO2.Siuncuerpo incidesobreunasuperficiecualquieraCD,según ladirecciónAD,ylasuperficieobedeceaunaleycualquiera,yelcuerpoemergesegúnotrarectacualquieraDKyporelpuntoCseimaginantrazadasdoscurvasCP,CQ,siempreperpendicularesaADyaDK:losincrementosdelaslíneasPD,QDy,por


tanto,laspropiaslíneasPD,QD,resultantesdeesosincrementos,seránentresícomolossenosdeincidenciayemergenciarespectivamente,yviceversa.

PROPOSICIÓNXCVIII.PROBLEMAXLVIII

Con losmismos supuestos, y trazando en tornoal ejeAB,una superficie atractivaCD cualquiera, sea regular o irregular, a cuyo través deben pasar los cuerposprocedentes de un lugar dado A: hallar una segunda superficie atractiva EF quehagaconvergeradichoscuerposenotrolugardadoB.

Trazada la líneaAB corte a la primera superficie enC y a la segunda enE, yfíjeseDenunpuntocualquiera.Supuestoqueelsenodeincidenciasobrelaprimerasuperficierespectoalsenodeemergenciadelamisma,yelsenodeemergenciadelasegundaalsenodeincidenciasobrelamisma,seacomounacantidaddadaMaotracantidaddadaN:prolóngueseentoncestantoABhastaGdemodoqueBGseaaCEcomoM -N aN, comoAD hastaH demodo queAH sea igual aAG, así comotambiénDFhastaK,demodoqueDKseaaDHcomoNesaM.ÚnaseKB,yconcentro en D y distancia DH descríbase un círculo que encuentre en L a KBprolongada,ytráceseBFparalelaaDL:yelpuntoFtocaalalíneaEFquealgirarsobreelejeABdescribelasuperficiebuscada.Q.E.F.

PuesimagínesequelaslineasCPyCQrespectoaADyaDF,ylaslíneasERyESrespectoaFByaFDsonsiempreperpendiculares,yporelloQSessiempreigualaCE;y(porelCorolario2delaProposiciónXCVII)PDseráaQDcomoMaN,yportantocomoDLaDKoFBaFK;yporpartes,comoDL-FBoPH-PD-FBaFDoFQ-QD;yconjuntamente,comoPH-FBaFQ,estoes(porserigualesPHyCG,QSyCE),comoCE+BG-FRaCE-FS.Y(porserproporcionalesBGaCEyM-NaN)tambiénocurrequeCE+BGesaCEcomoMaN;yparcialmentetambiénFResaFScomoMaN;yporello(porelCorolario2de laProposiciónXCVII) lasuperficie EF obliga al cuerpo incidente sobre ella según la línea DF a proseguirsegúnlalíneaFRhastaellugarB.Q.E.D.

ESCOLIO


Conelmismométodopodríamosproseguirhastatresomássuperficies.Peroparausosópticoseslaesféricalafiguramásadecuada.Silosobjetivosdelostelescopiosestuviesen construidos con dos cristales esféricos que encerrasen agua entre ellos,pudieraserqueloserroresderefracciónqueocurrenenlosextremosdeloscristales,pudieran corregirse con bastante exactitud mediante las refracciones del agua.Semejantesobjetivosdebenpreferirsealoscristaleselípticosehiperbólicos,nosólopor ser más fáciles de construir con precisión, sino también porque refractanmásexactamente los haces de rayos situados fuera del eje del cristal. No obstante, ladiversa refrangibilidad de los distintos rayos es el verdadero obstáculo con el quetropiezalaópticaparaperfeccionarse,tantoconformasesféricascomoconotras.Ano ser que se corrijan los erroresquede ahí proceden, el esfuerzopor corregir losdemásnotendráéxito.


LibrosegundoDELMOVIMIENTODELOSCUERPOS


SecciónprimeraDELMOVIMIENTODELOSCUERPOSALOSQUESERESISTEENRAZÓNDELAVELOCIDAD


Lapérdidademovimiento,debidaalaresistencia,deuncuerpoalqueseresisteenrazóndelavelocidadescomoelespaciorecorridoenelmovimiento.

Puesto que como el movimiento perdido en cada partícula igual de tiempo escomolavelocidad,estoes,comolapartículadeespaciorecorrido:componiendo,elmovimientoperdidoeneltiempototalserácomoelespaciototalrecorrido.Q.E.D.

COROLARIO.Porlotanto,siuncuerpodesprovistodetodagravedadsemueveenlosespacioslibresconlasolafuerzaínsitaenél;ysedantantoelmovimientototalinicial como el movimiento restante tras recorrer algún espacio, quedará dadotambién el espacio total que puede recorrer el cuerpo en un tiempo infinito. Puesdichoespacioseráalespaciorecorridoyacomoelmovimientototalinicialalaparteperdidadedichomovimiento.

LEMAI

Lascantidadesproporcionalesasusdiferenciassoncontinuamenteproporcionales.

SeaA:A-B,comoB:B-C,comoC:C-D,etc.;y,alconvertir,AseráaBcomoBaC,comoCaD,etc.Q.E.D.


Siseresisteauncuerpoenrazóndelavelocidadysemueveenunmediohomogéneocon su sola fuerza inercial y se toman tiempos iguales, las velocidades en los


momentos iniciales de cada tiempo están enprogresióngeométrica, y los espaciosrecorridosencadatiemposoncomolasvelocidades.

CASO1.Divídaseeltiempoenpartículasiguales;ysienloscomienzosdecadauna de esas partículas actúa la resistencia con un único impulso que es como lavelocidad: eldecrementode lavelocidadencadapartículade tiemposerácomo lavelocidad.Luegolasvelocidadessonproporcionalesasusdiferencias,y(porelLemaI del Libro II) por ello continuamente proporcionales. Por consiguiente, si con unnúmero igual de partículas se componen cualesquiera tiempos iguales, lasvelocidades en los comienzos de esos tiempos serán como los términos de unaprogresión continua, tomados salteadamente, siempre que en cada salto se omitanigual número de términos intermedios. Pero las razones de tales términos secomponen de las razones mutuas mismas de los términos intermedios repetidasigualmente,yportantotambiéndichasrazonescompuestassonigualesentresí.Porlo cual, las velocidades proporcionales a dichos términos están en progresióngeométrica.Disminúyanseahora aquellaspartículas igualesde tiempoyauméntesesunúmerohastaelinfinitodemodoqueelimpulsodelaresistenciaresultecontinuo;y las velocidades al principio de tiempos iguales, siempre continuamenteproporcionales,serántambiénenestecasocontinuamenteproporcionales.Q.E.D.

CASO 2.Y, por partes, las diferencias de velocidades, esto es, las partes de lasmismasperdidasencadatiempo,soncomolostodos;yaquelosespaciosrecorridosencadatiemposoncomolaspartesperdidasdelasvelocidades(porlaProposiciónIdelLibroII)yportantotambiéncomolostodos.Q.E.D.

COROLARIO. De aquí que si se traza una hipérbola BG con las asíntotasrectangulares AC, CH y AB, DG son perpendiculares a la asíntota AC, y serepresentatantolavelocidaddelcuerpocomolaresistenciadelmedio,alcomienzodelmovimiento,mediante una línea dadaAC, y un tiempo transcurrido cualquieramediantelalíneaindefinidaDC:eltiempopuederepresentarseporeláreaABGDyelespaciorecorridoendichotiempoporlalíneaAD.PuessidichaáreaseaumentaporelmovimientodelpuntoDuniformementeconeltiempo,larectaDCdecreceráen razón geométrica al modo de la velocidad, mientras las partes de la recta AC,


descritasentiemposigualesdecreceránenlamismarazón.

PROPOSICIÓNIII.PROBLEMAI

Definirelmovimientodeuncuerpoalcual,mientrasasciendeodesciendeenlínearectaenunmediohomogéneo,seresisteenrazóndelavelocidadyesurgidoporunagravedaduniforme.

Paraelcuerpoascendente,represénteselagravedadporunrectángulocualquieradadoBACH, y la resistencia delmedio al comienzo del ascenso por el rectánguloBADEtomadoalladocontrariodelarectaAB.ConlasasíntotasrectangularesAC,CH,tráceseporelpuntoBunahipérbolaquecortealasperpendicularesDE,de,enG,g;yelcuerpoalascendereneltiempoDGgdrecorreráelespacioEGge,yeneltiempoDGBAelespaciodetodoelascensoEGB;eneltiempoABKIelespaciodedescensoBFKyeneltiempoIKkielespaciodedescensoKFƒk;ylasvelocidadesdelcuerpo(proporcionalesalaresistenciadelmedio)enesosperíodosdetiemposeránABED,ABed,nula,ABFI,ABƒi,respectivamente;ylavelocidadmáximaquepuedeadquirirelcuerpoaldescenderseráBACH.

Pues,descompóngaseelrectánguloBACHeninnumerablesrectángulos,Ak,Kl,Lm,Mn, etc.,queseancomo los incrementosde lasvelocidadesproducidosen loscorrespondientestiemposiguales;yentonces,cero,Ak,Al,Am,An,etc.,seráncomolasvelocidadestotalesy,portanto(porhipótesis)comolasresistenciasdelmedioalprincipiodecadatiempoigual.HágaseACaAKoABHCaABkKcomolafuerzadelagravedadalaresistenciaalcomienzodelsegundotiempo,yréstesedelafuerzadegravedad las de las resistencias, y ABHC, KkHC, LlHC, MmHC, etc., seguiránsiendocomolasfuerzasabsolutasconlascualeselcuerpoesurgidoalcomienzodecada uno de los tiempos, y por tanto (por la Ley II del movimiento) como losincrementosdelasvelocidades,estoes,comolosrectángulosAk,Kl,Lm,Mn,etc.,y


porello(porelLemaIdelLibroII)enprogresióngeométrica.Porlocual,silasrectasKk,Ll,Mm,Nn,etc.,alprolongarsecortanalahipérbolaenq,r,s,t,etc., lasáreasABqK,KgrL, LrsM,MstN, etc., serán iguales y, por tanto, análogas a tiempos yfuerzasgravitatoriasiguales.PeroeláreaABqK(porelCorolario3delLemaVII,yelLemaVIIIdelLibro I)esaláreaBkqcomoKqa½kqocomoACa½AK,estoes,comolafuerzadelagravedadalaresistenciaenlamitaddeltiempoprimero.Yporunargumentosimilar lasáreasgKLr,rLMs,sMNt, etc., son a las áreasqklr,rlms,smnt,etc.,comolasfuerzasdegravedadalasresistenciasenlamitaddelostiempossegundo,tercero,cuarto,etc.Porlotanto,puestoquelasáreasigualesBAKg,gKLr,rLMs,sMNt,etc.,sonanálogasalasfuerzasdegravedad,lasáreasBkq,qklr,rlms,smnt,etc.,seránanálogasalasresistenciasenlamitaddecadatiempo,estoes(porhipótesis)alasvelocidadesy,porello,análogasalosespaciosrecorridos.Tómenselas sumas de las cantidades análogas y las áreas Bkq, Blr, Bms, Bnt, etc., seránanálogas a los espacios totales recorridos; lo mismo que las áreas ABqK, ABrL,ABsM,ABrN,etc.,alostiempos.Portanto,uncuerpomientrasdesciendedescribeenuntiempocualquieraABrLelespacioBlr,yenuntiempoLrtNunespaciorlnt.Q.E.D.Semejanteeslademostraciónparaunmovimientoascendente.Q.E.D.

COROLARIO1.Portanto,lamayorvelocidadquepuedeadquiriruncuerpoalcaeresalavelocidadadquiridaenuntiempodadocomolafuerzadadadelagravedadporlaqueesurgidocontinuamenteesalafuerzaderesistenciaqueseleoponealfinaldedichotiempo.

COROLARIO2.Ysieltiempoaumentaenprogresiónaritmética,lasumadedichavelocidadmáximaydelavelocidadenascenso,asícomosudiferenciaendescenso,decreceenprogresióngeométrica.

COROLARIO 3. Y también las diferencias de los espacios recorridos en igualesdiferenciasdetiemposdecrecenenlamismaprogresióngeométrica.

COROLARIO4.Elespaciorecorridoporelcuerpoesladiferenciadedosespacios,unode los cuales es comoel tiempo tomadodesde el iniciode la caída, y el otro,


comolavelocidad,loscuales,porcierto,sonigualesentresíaliniciodeldescenso.

PROPOSICIÓNIV.PROBLEMAII[1]

Supuesto que la fuerza de la gravedad sea uniforme en un medio homogéneocualquiera y que tienda perpendicularmente hacia el plano horizontal; definir endichomedioelmovimientodeunproyectilquesufreunaresistenciaproporcionalalavelocidad.

Parta un proyectil desde un lugar cualquiera D según una recta cualquiera DP, yrepresentelalongitudDPsuvelocidadalcomienzodelmovimiento.DesdeelpuntoPsobre lahorizontalDCdescienda laperpendicularPC,ycórteseDCenAdemodoque DA sea a AC como la resistencia del medio originada al comienzo delmovimiento hacia arriba es a la fuerza de la gravedad; o (lo que es lomismo) demodoqueelrectángulocomprendidoentreDAyDPseaalrectánguloentreACyCPcomolaresistenciatotalalcomienzodelmovimientoesalafuerzadelagravedad.Con asíntotasDC,CP, trácese una hipérbolaGTBS secante de las perpendicularesDG,AB,enGyB;ycompléteseelparalelogramoDGKC,cuyoladoGKcorteaABenQ.TómeseunalíneaNqueestéenrazónaQBcomoDCaCP;ydesdeunpuntocualquieraRdelarectaDCeléveselaperpendicularRT,queencuentrealahipérbolaenTyalasrectasEH,GK,DP,enI,tyV;sobreestaperpendiculartómeseVrigual

atGHN

o,loqueeslomismo,tómeseRrigualaGTIEN

;yelproyectil,eneltiempo

DRTGalcanzaráelpuntordescribiendolacurvaDraF,quesiempretocaelpuntor,alcanzando la alturamáxima a en la perpendicular AB, y aproximándose despuéssiemprealaasíntotaPC.YsuvelocidadenunpuntocualquierarescomolatangentedelacurvarlQ.E.I.


PuesNesaQBcomoDCaCPoDRaRV,yportantoRVesigualaDRxQB

N,yRr

esto es Rr - Vr oDRxQB-tGT

N es igual a

DRxAB-RDGTN

. Ahora

represénteseeltiempomedianteeláreaRDGTy(porelCorolario IIdelas[Leyes])descompóngaseelmovimientodelcuerpoendos,unodeascensoyotrohaciaellado.Ypuestoquelaresistenciaescomoelmovimiento,descompóngaseéstatambiénendospartescontrariasyproporcionalesalasdospartesdelmovimiento:yporello,lalongituddescritaporelmovimientohaciael ladoserá(porlaProposición IIdeesteLibro)comoeláreaDRxAB-RDGT,estoes,comolalíneaRr.PeroalcomienzomismodelmovimientoeláreaRDGTes igualal rectánguloDRxAQ,ypor tanto

dichalíneaRr oDRxAB-DRxAQ

NesentoncesaDRcomoAB-AQoQBa

N, esto es, como CP a DC, y por ende como el movimiento hacia arriba almovimientohaciael ladoal inicio.PuestoqueRr es siempre como la alturayDRsiemprecomolalongitud:sesiguenecesariamentequeRrseasiempreaDRcomolaalturaalalongitud,yporlotantoqueelcuerposemuevaenlalíneaDraF,alacualtocasiempreelpuntor.Q.E.D.

COROLARIO1.Portanto,RresigualDRxAB

N-

RDGTN

;yporello,siseprolonga

RT hasta X de modo que RX sea igual aDRxAB

N; esto es, si se completa el

( )

( )


paralelogramoACPY, seuneDYcortando aCPenZ, y seprolongaRThastaque

toqueaDYenX:XrseráigualaRDGTN

,yporlomismoproporcionalaltiempo.

COROLARIO 2.De donde, si se toman innumerablesCR o, lo que es lomismo,innumerables ZX, en progresión geométrica; habrá otras tantas Xr en progresiónaritmética.YdeaquíquelacurvaDraFsepuedadelinearfácilmenteporlatabladelogaritmos.

COROLARIO 3. Si se construye una parábola con vértice en D, con diámetro DCprolongadohaciaabajoyconunlatusrectumqueseaa2DPcomolaresistenciatotalenelmismocomienzodelmovimientoalafuerzadelagravedad:lavelocidadconlaqueuncuerpodebepartirdesdeelpuntoDsegúnlarectaDP,paraquedescribaenunmediouniformementeresistentelacurvaDraF,serálamismaqueaquellaconlaquedebe partir desde elmismo puntoD y según lamisma líneaDP, para describir laparábola en un espacio sin resistencia. Pues el latusrectum de esta parábola en el

momentoinicialdelmovimientoes DV2

Vr;yVres

tGTN

otambiénDRxTt2N

.Perosi

setrazaseunarectaquefuesetangentealahipérbolaGTSenG,seríaparalelaaDK

y,portanto,TtesCKxDR

DC,yNera

QBxDCCP

.YportantoVresDR2xCKxCP2DC2xQB

esto es (por ser proporcionales DR y DC, DV y DP)DV2xCKxCP2DP2xQB

, y el latus

rectum DV2

Vrresultaser 2DP

2xQBCKxCP

estoestoes(porserproporcionalesQByCK,

DAyAC) 2DP2xDA

ACxCPyporlotantoesa2DPcomoDPxDAaCPxAC;estoes

comolaresistenciaalagravedad.Q.E.D.


COROLARIO 4. De aquí que si se lanza un cuerpo desde un punto D con unavelocidaddada,segúnunarectadeposicióndadaDP,ysedalaresistenciadelmedioal comienzo mismo del movimiento: puede hallarse la curva DraF que describirádichocuerpo.Pues,comoessabido,aldarlavelocidadsedatambiénellatusrectumdelaparábola.Ytomando2DPadicholatusrectumcomolafuerzadelagravedadaladeresistencia,DPestádado.CortandoentoncesDCenAdemodoqueCPxACesté respecto aDP xDA en la susodicha razón de la gravedad a la resistencia, setendrádadoelpuntoA.YconelloestádadalacurvaDraF.

COROLARIO5.Y,alcontrario,silacurvaDraFestádada,tambiénestarándadaslavelocidaddelcuerpoylaresistenciadelmedioencadalugarr.PuestoqueporestardadalarazónCPxACaDPxDA,vienedadatambiéntantolaresistenciadelmedioalcomienzodelmovimientocomoellatusrectumdelaparábola:yconellotambiénsedalavelocidadalcomienzodelmovimiento.Ydespués,apartirdelalongituddelatangenterL,vienedadatantolavelocidadproporcionalaellacomolaresistenciaproporcionalalavelocidadenunpuntocualquierar.


COROLARIO6.Perocomolalongitud2DPesallatusrectumdelaparábolacomolagravedada la resistenciaenD,yal aumentar lavelocidadaumentaen lamismarazónlaresistencia,mientrasellatusrectumdelaparábolaaumentaenelcuadradodedicharazón:esevidentequelalongitud2DPaumentaendicharazónsimple,yporlotantosiempreresultaproporcionalalavelocidad,ytampocoaumentaodisminuyealcambiarelánguloCDP,anoserquetambiénsecambielavelocidad.

COROLARIO7.DedondesetieneelmétodoparadeterminarapartirdelosfenómenoslacurvaDraFmuyaproximadamente,ydespuéshallar laresistenciay lavelocidadconlaqueesproyectadoelcuerpo.Láncensedoscuerpossemejanteseigualesconlamisma velocidad desde el puntoD, según los ángulos distintosCDP,CDp, y seanconocidos los puntos F, ƒ, donde inciden en el plano horizontal DC. Entonces,supuestaunalongitudcualquieraparaDPoDp,imagínesequelaresistenciaenDseaa lagravedadenuna razóncualquiera,y represéntesedicha razónporuna longitudcualquieraSM.Después,porcálculo,hállenseapartirdelalongitudsupuestaDPlas

longitudesDFyDƒ;yde la razónFƒDF

halladapor cálculo réstese lamisma razón

hallada experimentalmente, y represéntese la diferencia mediante la perpendicularMN.Hágase lomismo por segunda y tercera vez, imponiendo siempre una nuevarazón SMde la resistencia a la gravedad, y obteniendo una nueva diferenciaMN.TrácenselasdiferenciaspositivashaciaunladodelarectaSMylasnegativashaciaelotro,yporlospuntosN,N,N,tráceselacurvaregularNNNquecortealarectaSMMMenX, ySX será la verdadera razónde la resistencia a la gravedadque setratabadehallar.LalongitudDFhayqueobtenerlaporcálculoapartirdeestarazón;y una longitud, que sea a la longitud supuesta DP como la longitud DF conocidaexperimentalmente es a la longitudDF así hallada, será la verdadera longitudDP.


HalladaéstasetienetantolacurvaDraFdescritaporelcuerpocomolavelocidaddelcuerpoylaresistenciaencadalugar.

ESCOLIO

Por lodemás,que laresistenciade loscuerposestéenrazónde lavelocidadesmás una hipótesis matemática que natural. En medios libres de toda rigidez, lasresistencias de los cuerpos están en razón cuadrada de la velocidad. Pues con laacción de un cuerpomás veloz se comunica a lamisma cantidad de unmedio, enmenortiempo,mayormovimientoenrazóndelamayorvelocidad;yentiempoigual,alsermayorlacantidaddemedioperturbada,secomunicaunmovimientomayorenrazóncuadrada;yaquelaresistencia(porlasLeyes IIy III)escomoelmovimientocomunicado.Veamos,pues,quémovimientossesiguendeestaleyderesistencia.


SecciónIIDELMOVIMIENTODELOSCUERPOSALOSQUESERESISTEENRAZÓNDELCUADRADODELASVELOCIDADES

PROPOSICIÓNV.TEOREMAIII

Siseresisteauncuerpoenrazóndelcuadradodelavelocidad,yelmismosemuevesóloporlafuerzainsitaatravésdeunmediohomogéneo;ylostiempossetomanenprogresióngeométricaquevadesde los términosmenoresa losmayores:digoquelasvelocidadesalcomienzodecadatiemposoncomoelinversodedichaprogresión;yquelosespaciosdescritosencadaunodelostiempossoniguales.

Puesalserlaresistenciadelmedioproporcionalalcuadradodelavelocidadyeldecremento de la velocidad proporcional a la resistencia, si se divide el tiempo eninnumerables partículas iguales, los cuadrados de las velocidades al comienzo decada tiempo serán proporcionales a las diferencias de las mismas velocidades.Tómense dichas partículas de tiempo AK, KL, LM, etc., sobre la recta CD, yelévense las perpendicularesAB,Kk,Ll,Mm, hasta que encuentren a la hipérbolaBklmG,descritaconcentroenCylasasíntotasrectangularesCD,CH,enlospuntosB,k,l,m,etc.,yABseráaKkcomoCKaCA,yporpartesAB-KkaKkcomoKkaCAy,enconsecuencia,comoABxKkaABxCA.Por locual,comoestándadosAKyABxCA,AB-KkserácomoABxKk;yporfin,cuandoAByKkcoinciden,comoAB2.Yporunargumentosimilar,Kk-Ll,Ll-Mm,etc.,seráncomoKk2,Ll2,etc.Por tanto, loscuadradosde las líneasAB,Kk,Ll,Mm, etcétera, soncomosusdiferencias y, por eso, al ser también los cuadrados de las velocidades como lasdiferenciasdelasmismas,laprogresióndeambasserásemejante.Demostradoesto,tambiénsesiguequelasáreasdescritasconestaslíneasestánenprogresiónigualquelosespaciosdescritosporlasvelocidades.LuegosilavelocidadaliniciodelprimertiempoAKserepresentaporlalíneaAB,ylavelocidadaliniciodelsegundoKLserepresenta por la líneaKk, y la longitud descrita en el primero por el áreaAKkB;todas lasvelocidades subsiguientes serán representadaspor las líneas siguientesLl,Mm,etc.,ylas longitudesdescritasporlasáreasKl,Lm,etc.Ycomponiendo,sieltiempototalserepresentaporlasumadesuspartesAM,lalongitudtotaldescritase


representaporlasumadesuspartesAMmB.ImagíneseahoraqueeltiempoAMsedivideenpartesAK,KL,LM,etc.,detalmodoqueCA,CK,CL,CM,etc.,esténenprogresión geométrica; aquellas partes también estarán en lamisma progresión, lomismoquelasvelocidadesAB,Kk,Ll,Mm,etc.,estaránendichaprogresióninversa,ylosespaciosdescritosAk,Kl,Lm,etc.,serániguales.Q.E.D.

COROLARIO1.Portanto,esevidentequesiserepresentaeltiempoporunapartecualquieraADdelaasíntota,ylavelocidadaliniciodeltiempoporlaordenadaAB,lavelocidadalfindeltiemposerepresentaráporlaordenadaDG,yelespaciototaldescritoporeláreahiperbólicaadyacenteABDG;lomismoqueelespacioquepuederecorrer un cuerpo en el tiempoADcon la primeravelocidadABenunmedionoresistente,medianteelrectánguloABxAD.

COROLARIO2.Dedonde,elespaciorecorridoenunmedioresistentevienedadosiselotomarespectoalespacioquepuederecorrerseconvelocidaduniformeABenelmismotiempoyenmedionoresistente,enlaproporcióndeláreahiperbólicaABGDalrectánguloABxAD.

COROLARIO 3. También está dada la resistencia del medio estableciéndola, alcomienzo mismo del movimiento, igual a una fuerza centrípeta uniforme, la cualpudiese generar en un cuerpo en descenso a través de un medio no resistente lavelocidadABenel tiempoAC.Pues,sisetrazaBTtangentealahipérbolaenByencuentraalaasíntotaenT,larectaATseráigualalapropiaAC,yrepresentaráaltiempo,enelcuallaresistenciainicialcontinuadauniformementeanularíaatodalavelocidadAB.

COROLARIO4.Ydeaquíquetambiénestédadalaproporcióndeestaresistenciarespectoalagravedadoaotracualquierafuerzacentrípetadada.

COROLARIO5.Yviceversa, si seda laproporciónde la resistenciaauna fuerzacentrípeta dada; viene dado el tiempoAC en el que la fuerza centrípeta igual a laresistenciapuedegenerarunavelocidadABcualquiera:ydeaquívienedadoelpuntoBporelcualdebepasarlahipérbolaconasíntotasCH,CD;aligualqueelespacioABGD que puede recorrer un cuerpo que inicia su movimiento con la susodichavelocidadAB,enuntiempocualquieraADyenunmediohomogéneoresistente.


PROPOSICIÓNVI.TEOREMAIV

Loscuerposesféricoshomogéneoseigualesalosqueseoponenresistenciascomoelcuadrado de las velocidades y que se mueven por su sola fuerza ínsita describenespacios iguales siempre en tiempos que sean inversamente como las velocidadesiniciales,ypierdenpartesdelasvelocidadesproporcionalesalostodos.

ConasíntotasrectangularesCD,CH,tráceseunahipérbolacualquieraBbEequecorte a las perpendiculares AB, ab, DE, de, en B, b, E, e, y representen lasvelocidades iniciales lasperpendicularesAB,DE,etc.,y los tiempos las líneasAa,Dd.Pero(porhipótesis)DEesaABcomoAaesaDd,ytambién(porlanaturalezadelahipérbola)comoCAaDC;yporcomposición,comoCaaCd.LuegolasáreasABba,DEed, esto es, los espacios descritos son iguales entre sí, y las velocidadesinicialesAB,DE, sonproporcionales a lasúltimasab,de, ypor ello, pordivisión,tambiénproporcionalesasuspartesperdidasAB-ab,DE-de.Q.E.D.

PROPOSICIÓNVII.TEOREMAV

Los cuerpos esféricos a los que se resiste en razón cuadrada de la velocidad entiemposquesondirectamentecomo losmovimientos inicialese inversamentecomolas resistencias iniciales, perderánpartes de susmovimientos proporcionales a lostodos, y describirán espacios proporcionales al producto de esos tiempos por lasvelocidadesiniciales.

Puesto que las partes perdidas de losmovimientos son como el producto de laresistenciaylostiempos.Portanto,alserdichaspartesproporcionalesalostodos,elproductodelaresistenciayeltiempodeberásercomoelmovimiento.Porlocual,eltiempo será directamente como elmovimiento e inversamente como la resistencia.Por lo tanto, tomadas las partículas de tiempo según dicha razón, los cuerposperderán siempre partículas de movimiento proporcionales a los todos, y por lomismo,retendránvelocidadessiempreproporcionalesasusvelocidadesiniciales.Y,


por la razón de velocidades dada, siempre describirán espacios que son como lasvelocidadesinicialesmultiplicadasporlostiempos.Q.E.D.

COROLARIO1.Por tanto, siacuerpos igualmentevelocesse los resisteen razóndelcuadradodelosdiámetros:losgloboshomogéneosquesemuevenconcualquiervelocidad, al describir espaciosproporcionales a susdiámetros, perderánpartesdelmovimientoproporcionalesa los todos.Pueselmovimientodeunglobocualquieraserá como el producto de su velocidad y masa, esto es, como el producto de lavelocidadyelcubodeldiámetro;laresistencia(porhipótesis)serácomoelproductodel cuadrado del diámetro y el cuadrado de la velocidad; y el tiempo (por estaProposición) estará en razón directa de la primera razón y en razón inversa de lasegunda,estoes,directamentedeldiámetroeinversamentedelavelocidad;yporelloelespacio,proporcionalaltiempoyalavelocidad,escomoeldiámetro.

COROLARIO 2. Si a cuerpos igualmente veloces se los resiste en razón de lapotencia 3⁄2 del diámetro: los globos homogéneos que se muevan a cualquiervelocidad,aldescribirespaciosenrazóndelapotencia3⁄2delosdiámetros,perderánpartesdemovimientoproporcionalesalostodos.

COROLARIO 3. Y en general, si a cuerpos igualmente veloces se los resiste enrazóndeunapotenciacualquieradeldiámetro:losespaciosenloscualeslosgloboshomogéneos, al moverse con una velocidad cualquiera, perderán partes demovimiento proporcionales a los todos, serán como los cubos de los diámetrosaplicadosadichapotencia.SeandichosdiámetrosDyE;ysilasresistencias,cuandosesuponenlasvelocidadesiguales,sonDnyEn,losespaciosenloscualeslosglobos,almoverseconcualquiervelocidad,perderánpartesdemovimientoproporcionalesalos todos serán como D3-n y E3-n. Y por lo tanto, los globos homogéneos quedescriban espacios proporcionales a dichosD3-n yE3-n retendrán velocidades en lamismamutuaproporciónquealprincipio.

COROLARIO4.Perosilosglobosnofuesenhomogéneos,elespaciodescritoporelglobomás denso debe aumentarse en razón de la densidad. Pues elmovimiento, aigualvelocidad,esmayorenrazóndeladensidad,yeltiempo(porestaProposición)aumentaenrazóndirectadelmovimiento,yelespaciorecorridoenrazóndeltiempo.

COROLARIO 5.Y si los globos semueven en distintosmedios, el espacio, si elmedio es más resistente, «caeteris paribus», habrá de disminuirse en razón de laresistencia.Pueseltiempo(porestaProposición)disminuiráenrazóndelaumentodelaresistencia,yelespacioenrazóndeltiempo.

LEMAII[2]

El momento de una generada es igual a los momentos de cada lado generadormultiplicados por los índices de las potencias de dichos lados y sus coeficientes


continuamente.

Llamo generada a cualquier cantidad que se engendra, en aritmética pormultiplicación,divisiónyextracciónde raícesde ladoso términoscualesquiera;engeometríadel cálculode áreasy lados, ode extremosymediosproporcionales sinsumarnirestar.Estetipodecantidadessonproductos,cocientes,raíces,rectángulos,cuadrados,cubos,ladoscuadrados,ladoscúbicosysimilares.Consideroaquíadichascantidadescomoindeterminadasyvariablesycomosicreciesenydecreciesenconunmovimientooflujocontinuo;yasusincrementosodecrementosmomentáneosesalo que llamomomentos: de modo que los incrementos pueden considerarse comomomentos añadidos o positivos y los decrementos como negativos o substraídos.Perocuídesedenoentenderlocomopartículas finitas.Laspartículas finitasnosonmomentos, sino las cantidades mismas generadas por los momentos. Han deentenderse como los mismos principios nacientes de las magnitudes finitas. Y nisiquierasecontemplaenestelemalamagnituddelosmomentos,sinolaproporciónprimeraentremomentosnacientes.Lomismoocurresienlugardemomentossetratade las velocidades de los incrementos (que también pueden llamarsemovimientos,mutaciones,fluxionesdecantidades)obiendecualquiercantidadfinitaproporcionaladichasvelocidades.Elcoeficientedecualquier ladogeneradores lacantidadqueresultaalaplicarlageneradaadicholado.

Porlocualelsentidodellemaesquesi losmomentosdeunascantidadesA,B,C,etc., que aumentan o disminuyen en flujo continuo, o las velocidades de lasmutacionesproporcionalesaaquellossellamana,b,c,etc.,elmomentoomutacióndelrectángulogeneradoABseríaaB+bA,elmomentodeláreageneradaABCseríaaBC+bAC+cAB:ylosdelaspotenciasgeneradasA2,A3,A4,A½,A3⁄2,A⅓,A2⁄3,A-

1,A-2yA-½seránrespectivamente:2aA,3aA2,4aA3,½aA-½,2⁄3aA½,⅓aA-2⁄3,2⁄3aA-⅓,-aA-2, -2aA-3y -½aA-3⁄2; y, engeneral, que elmomentodeunapotencia cualquieraAn⁄m sería n⁄maA

n - m⁄m. También que el momento de la cantidad generada A2B será2aAB+bA2,queelmomentodelageneradaA3B4C2será3aA2B4C2+4bA3B3C2+

2cA3B4C,ydelageneradaA3

B2odeA3B-2será3aA2B-2-2bA3B3,etc.YelLemase

demuestradelsiguientemodo:CASO 1.Un rectángulo cualquieraAB que crece con unmovimiento continuo,

cuandodesusladosAyBfaltabanlamitaddelosmomentos½ay½b,eraA-½aporB-½b,otambiénAB-½bA+¼ab;yenelmomentoenqueambosladosAyBquedanaumentadosconlasotrasmitadesdelosmomentosresultaA+½aporB+½b,oAB+½aB+½bA+¼ab.DeesterectángulorésteseelanterioryquedaráunexcesodeaB+bA.Portanto,contodoslosincrementosaybdelosladossegeneraelincrementoaB+bAdelrectángulo.Q.E.D.


CASO 2. Supóngase queAB es siempre igual aG y elmomento del contenidoABC,osea,deGC(porelcaso1)serágC+cG,estoes(sisesustituyenGygporAB y aB + bA), aBC + bAC + cAB. Y lo mismo para cualquier contenido bajocualquiernúmerodelados.Q.E.D.

CASO 3. Supóngase que los lados A, B, C, son siempre iguales entre sí, y elmomentodelrectánguloAB,estoes,deA2,queseríaaB+bA,vendráaser2aA;yeldeA3,estoes,eldelcontenidoABC,queseríaaBC+bAC+cAB,3aA2.YporlamismarazónelmomentodeunapotenciacualquieraAnseránaAn-1.Q.E.D.

CASO4.Dedonde,como1AporAsea1,elmomentode

1AmultiplicadoporA,junto

con1A multiplicado por a, será el momento de 1, es decir, nulo. Por tanto, el

momento de1A o de A-1 es

-aA2

. Y, en general, puesto que1An

por An es 1, el

momentode1An

multiplicadoporAnjuntocon1An

pornaAn -1seránulo.Yporlo

mismoelmomentode1An

odeAnserá-na

An+1.Q.E.D.

CASO5.Y,puestoqueA½porA½esA,elmomentodeA½multiplicadopor2A½será

aporelcaso3:porlomismoelmomentodeA½seráa

2A½o½aA-½.Y,engeneral,

siendoAm⁄nigualaB,entoncesAmseráigualaBny,portanto,maAm-1igualanbBn-

1,onbA-m⁄ny,porello,mnaA

m-n⁄nesigualab,esdecir,igualalmomentodeAm⁄n.Q.

E.D.CASO 6. Por tanto, el momento de cualquier cantidad generada AmBn es el

momentodeAmmultiplicadoporBn, juntoconelmomentodeBnmultiplicadoporAm,estoes,maAm-1Bn+nbBn-1Am;yestotantosilosíndicesdelaspotenciasm,n,sonnúmerosenterosofraccionarios,positivosonegativos.Ylomismoocurreparacontenidosbajomuchaspotencias.Q.E.D.

Corolario1.Deaquíque,cuandosoncantidadescontinuamenteproporcionales,sise da un término, los momentos de los otros términos serán como los mismostérminos multiplicados por el número de intervalos entre ellos y el término dado.SeanA,B,C,D,E, F, continuamente proporcionales; y si se da el términoC, losmomentosdelrestodelostérminosseránentresícomo-2A,-B,D,2E,3F.


COROLARIO2.Ysiencuatroproporcionalessedanlosdosmedios,losmomentosde los extremos serán como los propios extremos. Lo mismo hay que entenderrespectoalosladosdeunrectángulodadocualquiera.

COROLARIO3.Ysisedalasumaoladiferenciadedoscuadrados,losmomentosdelosladosseráninversamentecomoloslados.

ESCOLIO

EnunacartaqueescribíalSr.Collinsel10dediciembrede1672unavezquedescribí elmétodo de tangentes que sospechaba ser elmismo que el de Sluse, nopublicado todavía en aquella fecha, añadí: «Esto es un caso particular omejor unCorolariodeunmétodogeneralque seextiende sin farragososcálculos,no sóloaltrazadodetangentesacualquierlíneacurvageométricaomecánica,orelacionadasdecualquierformaaotras líneasrectasocurvas,sinotambiénalaresolucióndeotrasclases de problemas más abstrusos sobre curvaturas, áreas, longitudes, centros degravedad de curvas, etc., y tampoco (como el método de máximos y mínimos deHudden) se limita a las solas ecuaciones que se hallan libres de cantidadesirracionales.Hecombinadodichométodoconesteotromedianteelcualresuelvolasecuaciones reduciéndolas a series infinitas». Hasta aquí la carta. Y estas últimaspalabrasserefierenauntratadoquehabíaescritosobreestostemasenelaño1671.Mas,elfundamentodedichométodogeneralsehallacontenidoenelLemaanterior.

PROPOSICIÓNVIII.TEOREMAVI[3]

Si un cuerpo, en un medio uniforme, bajo la acción uniforme de la gravedad,asciendeodesciendeenlínearecta,ysedividelatotalidaddelespaciorecorridoenpartesiguales,yseaveriguanlasfuerzasabsolutasalprincipiodecadaunadelaspartes(sumandolaresistenciadelmedioalafuerzadelagravedadcuandoelcuerpoasciendeyrestándolacuandodesciende),digoquedichasfuerzasabsolutassehallanenprogresióngeométrica.

Represéntese lafuerzade lagravedadporuna líneadadaAC; laresistenciaporuna línea indefinida AK; la fuerza absoluta en el descenso del cuerpo por ladiferenciaKC; lavelocidaddelcuerpopor la líneaAP,queseamediaproporcionalentreAKyAC,yportantocomolaraízcuadradadelaresistencia;elincrementodela resistenciaproducido enunapartículade tiempodadapor el segmentoKL,y elincrementosimultáneodevelocidadporelsegmentoPQ;yconcentroenCyconlasasíntotas rectangulares CA, CH trácese una hipérbola BNS que corte a lasperpendicularesAB,KN,LO,enlospuntosB,N,O.PuestoqueAKescomoAP2,el


momentoKLdeésteserácomoelmomento2APQdeaquél,estoes,comoAPxKC;pueselincrementoPQdelavelocidad(porlaLeyIIdelmovimiento)esproporcionalalafuerzageneratrizKC.MultiplicandolarazóndeKLporlarazóndeKNsetendráel rectánguloKL xKNque será comoAP xKC xKN; esto es, por estar dado elrectánguloKCxKN,comoAP.PerolarazónúltimadeláreahiperbólicaKNOLalrectánguloKLxKN cuando coinciden los puntosKyL es la de igualdad.Luegodicha áreahiperbólica evanescente es comoAP.Por tanto, toda el áreahiperbólicaABOLsecomponedepartículasKNOLsiempreproporcionalesalavelocidadAP,yen consecuencia es proporcional al espacio descrito con dicha velocidad.Divídaseahora la susodicha área en partes iguales ABMI, IMNK, KNOL, etcétera, y lasfuerzasabsolutasAC,IC,KC,LC,etc.,estaránenproporcióngeométrica.Q.E.D.Yporelmismoargumento,cuandoelcuerpoasciende,tomando,haciaelladocontrariodelpuntoA,lasáreasigualesABmi,imnk,knol,etc.,severáquelasfuerzasabsolutasAC, iC, kC, lC, etc., son continuamente proporcionales. Y por lo tanto, si en elascenso y en el descenso se toman iguales todos los espacios, todas las fuerzasabsolutaslC,kC,iC,AC,IC,KC,LC,etc., seráncontinuamenteproporcionales.Q.E.D.

COROLARIO1.DeaquíquesiserepresentaelespaciorecorridomedianteeláreahiperbólicaABNK,lafuerzadelagravedad,lavelocidaddelcuerpoylaresistenciadel medio pueden representarse respectivamente por las líneas AC, AP y AK; yviceversa.

COROLARIO2.YlalíneaACvieneaserlarepresentacióndelavelocidadmáximaquepuedealcanzaruncuerpoenundescensoinfinito.

COROLARIO3.Portanto,siseconocelaresistenciadeunmedioaunavelocidaddada,sehallarálavelocidadmáximatomandoaéstaconrelaciónadichavelocidaddadacomolaraízcuadradadelarazónentrelafuerzadelagravedadylaresistenciadadadelmedioyaconocida.

PROPOSICIÓNIX.TEOREMAVII


Supuesto lo ya demostrado, digo que si las tangentes de los ángulos de un sectorcircular y de un sector hiperbólico se tomanproporcionalmente a las velocidades,siendo el radio de unamagnitud determinada, el tiempo total de ascenso hasta elpuntomásaltoserácomoelsectordelcírculo,yeltiempototaldedescensodesdeelpuntomásaltocomoelsectordelahipérbola.

TráceseADperpendiculareigualalarectaACquerepresentaalafuerzadelagravedad.ConcentroenDysemidiámetroAD,trácesetantoelcuadrantedecírculoAtE,comolahipérbolarectangularAVZquetienecomoejeAX,elvérticeprincipalenAylaasíntotaDC.ÚnanseDp,DPyelsectorcircularAtDserácomoeltiempototaldeascensoalpuntomásalto;yelsectorhiperbólicoATDcomoeltiempototaldedescensodesdeelpuntomásalto,mientras las tangentesAp,APdelossectoresseancomolasvelocidades.

CASO1.TráceseDvqdemodoquecortelosmomentosdelsectorADtydeltriánguloADp, o partículas mínimas descritas al mismo tiempo tDv, y qDp. Como dichaspartículas, por tener el mígalo D común, son como el cuadrado de los lados, la

partículatDvserácomoqDpxtD2

pD2,estoes,porestardadatD,como

qDppD2

.PeropD2

esAD2+Ap2,esdecir,AD2+ADxAk,o,ADxCk,yqDpes½ADxpq.Porlotanto, tDv, la partícula del sector, es como pq/Ck; esto es, directamente como eldecrementomínimodelavelocidadpq,einversamentecomolafuerzaCkquehacedisminuir la velocidad; y por tanto como la partícula de tiempo correspondiente aldecrementodelavelocidad.Y,componiendo,lasumadetodaslaspartículastDvenel sector ADt vendrá a resultar como la suma de las partículas de tiempocorrespondientes a cadapartículapq perdida de la velocidad decrecienteAp, hastaque dicha velocidad, disminuyendo hasta anularse, desaparezca; esto es, el sectorcompletoADtescomoeltiempototaldeascensohastaelpuntomásalto.Q.E.D.


CASO 2. TráceseDQV tal que corte las partículasmínimas TDV y PDQ tanto delsectorDAVcomodeltriánguloDAQ;ydichaspartículasseránentresícomoDT2aDP2,estoes(siTXyAPsonparalelas)comoDX2aDA2oTX2aAP2y,porpartes,comoDX2-TX2aDA2-AP2.Pero,porlanaturalezadelahipérbola,DX2-TX2esAD2,yporhipótesis,AP2esADxAK.Luego,laspartículassonentresícomoAD2

aAD2-ADxAK;estoes,comoADaAD-AK,otambién,ACaCK;yporellola

partículaTDVdelsectoresPDQxAC

CK;yporestardadasACyAD,comoPQ/CK,

esto es, directamente como el incremento de la velocidad e inversamente como lafuerzaquegeneraelincremento.Y,componiendo,setendrálasumadelaspartículasde tiempoen lascualessegeneran todas laspartículasPQde lavelocidadAP,quevendráasercomolasumadelaspartículasdelsectorATD,estoes,eltiempototalcomoelsectortotal.Q.E.D.

COROLARIO 1.De aquí que, siAB es igual a la cuarta parte deAC, el espaciorecorridoporuncuerpoquecaeenun tiempocualquieraseráalespacioquepuederecorrer dicho cuerpo con la velocidad máxima AC, moviéndose uniformementeduranteelmismotiempo,comoeláreaABNK,querepresentaelespaciorecorridoenlacaída,aláreaATD,querepresentaeltiempo.Pues,dadoqueACesaAPcomoAPaAK,LKserá(porelcorolario1delLema IIdeestelibro)aPQcomo2AKaAP,estoes,como2APaAC,yporelloLKa½PQcomoAPa¼ACoAB;peroKNesaACoADcomoABaCK;yportanto,«exaequo»,LKNOesaDPQcomoAPaCK.PeroDPQeraaDTVcomoCKaAC.Luego«exaequo»otravez,LKNOesaDTVcomoABaAC;estoes,comolavelocidaddelcuerpoquecaealavelocidadmáximaquepuedeadquirirelcuerpoalcaer.PuestoquelosmomentosLKNOyDTVdelasáreas ABNK y ATD son como las velocidades, todas las partes de dichas áreasgeneradasenlosmismostiempos,seráncomolosespaciosrecorridosenlosmismos


tiemposy,porlomismo,lasáreastotalesABNKyATDgeneradasdesdeelprincipioseráncomolosespaciostotalesrecorridosdesdeelcomienzodeldescenso.Q.E.D.

COROLARIO 2.Y lomismo se sigue para el espacio recorrido en el ascenso.Asaber,quedichoespaciototalesalespaciorecorridoconvelocidaduniformeACenelmismotiempo,comoeláreaABnkalsectorADt.

COROLARIO 3. La velocidad del cuerpo que cae en el tiempo A I D es a lavelocidadqueadquiriríaenelmismotiempoenunespaciosinresistencia,comoeltriángulo APD al sector hiperbólico ATD. Pues la velocidad en un medio noresistente seríacomoel tiempoATD,mientrasenunmedio resistenteescomoAP,estoes, comoel triánguloAPD.Yestasvelocidadesal comienzodeldescensosonigualesentresí,comolosonlasáreasATD,APD.

COROLARIO4.Porlamismarazónlavelocidadenelascensoesalavelocidadconla cual un cuerpo en un espacio no resistente perdería todo su movimientoascendente,comoeltriánguloApDalsectorcircularAtD,ocomolarectaApalarcoAt.

COROLARIO5.Porlotanto,eltiempoenelcualuncuerpo,cayendoenunmedioresistente,adquiriría lavelocidadAPesal tiempoenelcualadquiriría lavelocidadmáximaACcayendoenunespaciono resistente, comoel sectorADTal triánguloADC:yeltiempoenelcualperderíaascendiendoenunmedioresistentelavelocidadAp será al tiempo en el cual puede perder lamisma velocidad ascendiendo en unespacionoresistente,comoelarcoAtasutangenteAp.

COROLARIO6.Deaquíque,dadoel tiempo,estádadoelespaciorecorridoenelascenso o en el descenso. Pues la velocidad máxima de un cuerpo que desciendehastaelinfinitoestádada(porlosCorolarios2y3delTeoremaVIdelLibroII)yconellosedaeltiempoenelcualelcuerpopuedealcanzardichavelocidadcayendoenunespacionoresistente.YtomandoelsectorADToADtrespectoaltriánguloADC


enlarazóndeltiempodadoaltiemporeciénhallado,setendrántantolavelocidadAPoAp como el áreaABNK oABnk que es al sectorADT oADt como el espaciobuscado al espacio que, en un tiempo dado, y con la velocidad máxima ya anteshallada,podríarecorreruniformemente.

COROLARIO7.Yensentido inverso,apartirde losespaciosdadosdeascensoodescensoABnkoABNK,setendráeltiempoADtoADT.

PROPOSICIÓNX.PROBLEMAIII[4]

Suponiendoquelafuerzauniformedelagravedadtiendedirectamentehaciaelplanodel horizonte, y que la resistencia del medio es como la densidad del mismo y elcuadradodelavelocidadconjuntamente:hallartantoladensidaddelmedioencadapuntocapazdeobligaralcuerpoamoverseenunacurvadadacualquiera,comolavelocidaddelcuerpoylaresistenciadelmedioencadapunto.

SeaPQunplanoperpendicularalplanodelafigura;PFHQunalíneacurvaquecortaadichoplanoenlospuntosPyQ;G,H,I,K,cuatrolugaresdelcuerpoquerecorredichacurvadesdeFhaciaQ;yGB,HC,ID,KE,cuatroparalelasordenadastrazadasdesdedichospuntossobreelplanohorizontalyquecaensobrelalíneahorizontalPQen lospuntosB,C,D,E;ysean iguales lasdistanciasBC,CD,DE,comprendidasentreesasordenadas.DesdelospuntosGyHtrácenselasrectasGL,HN,tangentesalacurvaenGyH,ycortandoalasordenadasCH,DI,prolongadashaciaarribaenLyN,ycompléteseelparalelogramoHCDM.Y los tiemposen loscualesel cuerpodescribe los arcosGH,HI, serán como la raíz cuadrada de las alturasLH,NI quedescribiría el cuerpo en dichos tiempos, cayendo desde las tangentes; y lasvelocidades serán como las longitudes recorridas GH, HI, directamente einversamente como los tiempos. Represéntense los tiempos por T y t y lasvelocidadesporGH/TyHI/t;yeldecrementodelavelocidadocurridoeneltiempot

represénteseporGHT

-HIt.Estedecremento surgede la resistenciaque retarda al

cuerpoydelagravedadqueloacelera.Lagravedadgenera,enuncuerpoquecaeyalcaerrecorreelespacioNI,unavelocidadcapazdehaceralcuerporecorrerunespaciodobledeaquelenelmismotiempo,comodemostróGALILEO;estoes,2NI/t;peroenelcuerpoquedescribeelarcoHIsolamenteaumentaendichoarcolalongitudHI-

HNoMIxNIHI

;y,por lomismo, tan sólogenera lavelocidad2MIxNItxHI

.Añádase

esta velocidad al decremento antedicho, y se tendrá el decremento de la velocidad


debidoalasolaresistencia,asaber,GHT

-HIt+

2MIxNItxHI

.Yportanto,puestoque

enelmismotiempolagravedadgeneraenuncuerpoquecae lavelocidad2NIt, la

resistenciaseráalagravedadcomoGHT

-HIt+

2MIxNItxHI

a2NItocomo

txGHT

-

HI+2MIxNI

HIa2NI.

Yahora,enlugardelasabscisasCB,CD,CE,escríbase-o,o,2o.PorlaordenadaCHescríbaseP,yporMIunaseriecualquieracomoQo+Roo+So3+etc.Ytodoslostérminosdelaserieposterioresalprimero,asaber,Roo+So3+etc.,seránNI,ylasordenadasDI,EKyBGseránP-Qo-Roo-So3-etc.,P-2Qo-4Roo-8So3-etc.,yP+Qo-Roo+So3-etc.,respectivamente.Elevandoalcuadradolasdiferenciasdelas ordenadas BG - CH y CH - DI y sumando a los cuadrados resultantes loscuadradosde laspropiasBC,CDseobtendránoo+QQoo -2QRo3 + etc., yoo +QQoo + 2QRo3 + etc., cuadrados de los arcosGH,HI, cuyas raíceso 1+QQ -QRoo1+QQ

y o 1 + QQ +QRoo1+QQ

son los arcos GH y HI. Además, si de la

ordenadaCHserestalasemisumadelasordenadasBGyDI,ydelaordenadaDIserestalasemisumadelasordenadasCHyEKquedaránRooyRoo+3So3,sagitasdelos arcosGIyHK.Pero éstas sonproporcionales a los segmentosLHyNIy, portanto,comoelcuadradodelostiemposinfinitamentepequeñosTyt;ydeaquíquela

razóntTes

R+3SoR

oR+3⁄2So

R;mientrasque

txGHT

-HI +2MIxNI

HI,una

vez sustituido los valores de t/T,GH,HI,MI yNI por los ahora hallados, resulta

√

√√

√

√


3Soo2R

x 1+QQ.Ypuestoque2NIes2Roo,laresistenciaseráahoraalagravedad

como3Soo2R

x 1+QQa2Roo,estoes,como3S 1+QQa4RR.

YlavelocidadesaquellaconlacualuncuerpopartiendodeunpuntocualquieraHsegúnlatangenteHNpodríamoversedescendiendoenelvacíoporunaparábolade

diámetroHCy«latusrectum» HN2

NIo

1+QQR

.

Y la resistencia es como la densidad del medio y el cuadrado de la velocidadconjuntamente,yportantoladensidaddelmedioesdirectamentecomolaresistencia

e inversamente como el cuadrado de la velocidad, esto es, como3S 1+QQ

4RR

directamentey1+QQ

Rinversamente,estoes,como

SR 1+QQ

.Q.E.I.

COROLARIO 1.Si la tangenteHNseprolonga a ambos ladosdemodoque llegue a

cortaraunaordenadacualquieraAFenT,HTAC

seráiguala 1+QQ,yportantoen

loqueantecedesepuedeescribirenlugarde 1+QQ.Porlocuallaresistenciaserá

a la gravedad como 3S x HT a 4RR x AC, la velocidad será comoHT

AC√R y la

densidaddelmediocomoSxACRxHT

.

COROLARIO2.Yporello,sisedefinieselalíneacurvaPFHQmediantelarelación

√

√ √

√

√

√

√


entre la base o abscisa AC y la ordenada CH, como es habitual, y el valor de laordenadaseresuelveenunaserieconvergente,elproblemaseresuelverápidamentemediantelosprimerostérminosdelaserie,comoenlosejemplossiguientes.

EJEMPLO 1.Sea la líneaPFHQun semicírculodescrito sobreeldiámetroPQ,yhálleseladensidaddelmedioqueobligueaunproyectilamoverseendichalínea.

BisecadoeldiámetroPQenA,llámeseaAQ,n;aAC,a;aCH,e;yaCD,o:yDI2oAQ2-AD2seráiguala:nn-aa-2ao-oo,otambién,ee-2ao-oo,yalextraerlaraízsegúnnuestrométodo,resultará

DI=e- aoe- oo2e

-aaoo2e3

- ao3

2e3- a

3o3

2e5-etc.

Aquísustituyaseee+aapornnyresultará

DI=e- aoe-nnoo2e3

- anno3

2e5-etc.

Enestaseriedistingoentrelostérminossucesivosdelmodosiguiente.Llamotérminoprimeroaaquelenelquenosedalacantidadpequeñao;segundoaaquelenelquedichacantidadesdeunasoladimensión;terceroalquelacontienecondos;cuartoalquelacontienecontres;yasíindefinidamente.Yeltérminoprimero,queaquíese,denotará siempre la longitud de la ordenada CH incidente en el comienzo de la

cantidad indefinida o. El término segundo, que aquí esaoe, denotará la diferencia

entre CH y DN, esto es, el segmento MN, que queda cortado al completar elparalelogramoHCDM,ypor lo tantodetermina siempre laposiciónde la tangente

HN;comoenestecasotomandoMNaHMcomoaoeao,otambiénaae.Eltercer


términoqueesaquínnoo2e3

,denotaraelsegmentoINquesehallaentrelatangenteyla

curva,ypor tantodeterminael ángulodecontacto IHNo lacurvaturaque tiene lalíneacurvaenH.SidichosegmentoINesdemagnitudfinitaserádesignadaporeltérminotercerojuntoconlosquelesiguenhastaelinfinito.Perosidichosegmentodisminuye hasta el infinito, los términos siguientes resultarán infinitamente máspequeños que el tercero y, por tanto, pueden despreciarse. El término cuartodetermina la variación de la curvatura, el quinto la variación de la variación y asísucesivamente.Delocual,depaso,sedesprendelautilidadnodesdeñabledeestasseriesenlasolucióndeproblemasquedependendetangentesydelacurvaturadelascurvas.

Compáreseahoralaserie

e- aoe-nnoo2e3

- anno3

2e5-etc.

conlaserieP-Qo-Roo-So3-etc.ydespuésenlugardeP,Q,RySescríbase

e,ae,nn2e3

,ann2e5

yenlugarde 1+QQescríbase 1+aaeeone,yladensidaddel

medioresultarácomoane

,estoes(porestarndada)comoaeocomo

ACCH

,esdecir,

comolalongituddelatangenteHTqueterminaenelsemidiámetroAFqueseelevaperpendicularmentesobrePQ;mientras la resistencia seráa lagravedadcomo3aa2n,estoes,como3ACaldiámetrodelcírculoPQ;lavelocidadencambioserá CH.Por tanto, si el cuerpopartedel puntoF, con lavelocidadprecisa, segúnuna líneaparalelaaPQ,yladensidaddelmedioencadapuntoHescomolalongitudHTdelatangente, y la resistencia es también en cada punto H respecto a la fuerza de lagravedadcomo3ACaPQ,dichocuerpodescribiráelcuadranteFHQdelcírculo.Q.E.I.

Pero si dicho cuerpo partiese del punto P según una línea perpendicular a PQ, ycomenzaseamoverseenelarcodelsemicírculoPFQ,habríaquetomarACoahaciaelotroladodelcentroAyportantohabríaquecambiarsusignoyescribir-aenlugar

de +a. Con ello resultaría la densidad del medio como -ae. Pero la naturaleza no

admiteunadensidadnegativao,loqueeslomismo,queacelereelmovimiento:yporlo tanto no puede acontecer naturalmente que un cuerpo ascendiendo desde PdescribaelcuadrantePFdelcírculo.Paraestoelcuerpotendríaqueseraceleradoporunmedioimpelente,noserretardadoporunmedioresistente.

√ √

√


EJEMPLO2.SealalíneaPFQunaparábolaquetienesuejeAFperpendicularalalíneadelhorizontePQ,yhálleseladensidaddelmedioquehagaqueunproyectilsemuevaporella.

DelanaturalezadelaparábolasesiguequeelrectánguloPDQesigualalrectángulocomprendidobajolaordenadaDIyunaciertarectadada:estoes,sillamamosadicharectab,aPC,a;aPQ,c;aCH,e;yaCD,o;elrectángulo(a+o)x(c-a-o),o,ac-

aa-2ao+co-ooesigualabxDI,yportanto,DIesigualaac-aab

+c-2ab

o-

oob.

Ahora habrá que escribir el segundo término de esta seriec-2ab

x o, por Qo,

mientraseltercerooob,loseraenlugardeRoo.Perocomonohaymástérminos,el

coeficienteSdelcuartodesaparecerá,conlocuallacantidadS

R 1+QQalaquees

proporcionalladensidad,seanula.Yporconsiguiente,unproyectilsemoveráenunaparábolacuandoladensidaddelmedioseanula,comoyademostróGalileo.Q.E.I.

EJEMPLO 3. Sea la línea AGK una hipérbola que tiene como asíntota a NXperpendicularalplanohorizontalAK;ysetratadehallarladensidaddelmedioquehagaaunproyectilmoverseendichalínea.

√


SeaMXlaotraasíntotaquecortaalaprolongacióndelaordenadaDGenV;yporlanaturalezadelahipérbolavendrádadoelrectánguloXVxVG.TambiénestarádadalarazóndeDNaVX,yportantoestádadotambiénelrectánguloDNxVG.Seaéstebb:ycompletandoelparalelogramoDNXZ,escríbaseporBN,a;porBD,o;porNX,

c;y la razóndadadeVZaZXoDNsupongamosqueesmn.YentoncesDNserá

igualaa-o,VGigualbba-o

,VZigualamn(a-o)yGDoNX-VZ-VGiguala

c- mna+m

no- bb

a-o,

Resuélvaseeltérminobba-o

enlaserieconvergente

bba+ bbaa

o+bba3

oo+bba4o3,etc.;

yGDresultaráiguala

c-mna- bb

ao+ m

no- bb

aao-

bba3

o2-bba4

o3,etc.

Elsegundotérmino,mno-

bbaao,deestaseriehadetomarseporQo,elterceroconel


signocambiado,bba3o2,porRo2,elcuartotambiénconelsignocambiado,

bba4o3por

So3,ysuscoeficientesmn-bbaa

,bba3ybba4debenponerseenlareglaanteriorenlugar

deQ,RyS.Unavezhechoesto,ladensidaddelmedioresultarácomo

bb⁄a4bb⁄a3 1+mm⁄nn-2mbb⁄naa+

b4⁄a4

ocomo,1

aa+mm⁄nnaa-2mbb⁄n+b4⁄aa

,estoes,sisobreVZsetomaVYigualaVG,

como1XY

.Porqueaaymmnn

aa -2mbbn

+ b4

aa son los cuadradosdeXZydeZY.

Luegolarazóndelaresistenciaalagravedadeslade3XYa2TG;ylavelocidadesaquella con la que un cuerpo recorrería una parábola que tuviese el vértice G, el

diámetroDG,yel«latusrectum» XY2

VG.Supóngasetambiénquelasdensidadesdel

medioencadapuntoGsoninversamentecomolasdistanciasXY,yquelaresistenciaen un puntoG es a la gravedad como 3XY a 2YG; y un cuerpo lanzado desde elpuntoAconlavelocidadadecuadadescribirálahipérboladichaAGK.Q.E.I.

EJEMPLO 4.Supóngase indefinidamenteque la líneaAGKesunahipérbola concentro en X, descrita entre las asíntotasMX, NX, de tal modo que, construido elrectánguloXZDN,cuyo ladoZDcorte a lahipérbola enGy a su asíntota enV,yfueseVGinversamentecomoZXoDNaunapotenciacualquieraDNn,cuyoíndicees el númeron; y se busca la densidad delmedio con la cual un proyectil recorradichacurva.

√

√


EscríbanseA,O,C,enlugardeBN,BD,NXrespectivamente,yseaVZaXZoDN

comodae,yVGigualabbDN3

;yDNseráigualaA-O,VG=bb

(A-O)n,VZ=

de(A-

O),yGDoNX-VZ-VGigualaC-deA+

deO-

bb(A-O)n

.Resuélvaseeltermino

bb(A-O)n

enlaserieinfinita

bbAn

+nbbAn+1

O+nn+n2An+2

bbO2+ n3+3nn+2n6An+3

bbO3,etc.

yGDseráiguala

C- deA-

bbAn

+ deO-

nbbAn+1

O

-+nn+n2An+2

bbO2-+n+3nn+2n

6An+3bbO3

etcétera.Elsegundotérmino,deO-

nbbAn+1

O,deestaseriehabrádetomarseporQo,

mientraseltercero,nbb+n2An+2

bbO2,loseráporRo2,elcuarto,n3+3nn+2n

6An+3bbO3,por


So3.Y de aquí que la densidad delmedio,S

R 1+QQ, en un puntoG cualquiera

resulte

n+2

3 a2+dd⁄eeA2-2dnbb⁄eAnA+nnb4⁄A2n

y por lo tanto, si sobre VZ se toma VY igual a n x VG, dicha densidad es

inversamentecomoXY.PorqueA2yddee

A2-2dnbbeAn

A+nnb4

A2nsonloscuadradosde

las propiasXZ y ZY.Y la resistencia en elmismo puntoG se hace respecto a la

gravedadcomo3SxXYA

a4RR,esdecir,comoXYa2nn+2nn+2

VG.Ylavelocidad

esallílamismaqueaquellaconlacualelcuerpolanzadosemoveríaenunaparábola

convérticeenG,diámetroGDy«latusrectum»1+QQ

Ro 2XY2

(nn+n)xVG.Q.E.I.

ESCOLIO

PorlamismarazónporlaqueenelCorolarioprimeroresultaladensidaddelmedio

comoSxACRxHT

, si la resistencia se supone como una potencia cualquieraVn de la

velocidadV, la densidad delmedio resultará comoS

R4-n⁄2

xACHT

n - 1. Y por lo

tanto,silacurvapuedeserestablecidademodoquerespondaalarazóndeS

R4-n⁄2

a

HTAC

n-1,oS2

R4-na(1+QQ)n-1,elcuerposemoveráendichacurvaenunmedio

uniformeconresistenciaqueseacomolapotenciaVndelavelocidad.Perovolvamosacurvasmássencillas.

√

√

( )

(

)


Puestoqueelmovimientonoocurreenparábolassalvoenmediosnoresistentes,mientras que en las hipérbolas descritas aquí ocurre con resistencia continua, esevidentequelalíneadescritaporunproyectilenunmediouniformementeresistentese acerca más a estas hipérbolas que a una parábola. La línea es ciertamente denaturalezahiperbólica,pero talqueenelvérticedistamásde lasasíntotasyen laspartes lejanas del vértice se acercamás a las asíntotas de lo que se refleja en lashipérbolasaquídescritas.Sinembargo, ladiferenciaentreéstasyaquéllanoes tanacusadacomoparaimpedirelusoadecuadodeunasporotraenlapráctica.Yquizáseanmásútileséstasqueunahipérbolamásexactayalavezmáscompleja.Porlodemáspuedenutilizarsecomosigue.

CompléteseelparalelogramoHYGT,ylarectaGTtocaráalahipérbolaenG,yportanto la densidad del medio en G es inversamente como la tangente GT, y la

velocidadenesepuntocomo GT2

GV,laresistencia,encambio,respectoalafuerzade

lagravedadescomoGTa2nn+2nn+2

xGV.

Por tanto, siuncuerpo lanzadodesdeelpuntoA, según la líneaAHdescribiere lahipérbola AGK, y prolongada AH cortase a la asíntota NX en H, y trazada AIparalelaalaanteriorcortasealaotraasíntotaMXenI;ladensidaddelmedioseráen

AinversamentecomoAH,ylavelocidaddelcuerpocomo AH2

AI,ylaresistencia

respectoalagravedadenesepuntocomoAHa2nn+2nn+2

xAI.Dedondesededucen

lassiguientesreglas.REGLA1.SisemantienentantoladensidaddelmedioenAcomolavelocidadcon

que se lanza el cuerpo, y se cambia el ánguloNAH, semantendrán las longitudesAH,AI,HX.Yportanto,sidichaslongitudesfuesenhalladasenalgúncaso,podrá

√


determinarselahipérbolasindificultadapartirdeunánguloNAHcualquieradado.

REGLA2.SisemantienenelánguloNAHyladensidaddelmedioenA,perosecambialavelocidadconqueseproyectaalcuerpo,semantendrála longitudAH,yvariaráIAenrazóninversadelcuadradodelavelocidad.

REGLA3.SisemantienenelánguloNAH,lavelocidaddelcuerpoenAylagravedadaceleratriz,mientras se aumenta la proporción de la resistencia enA respecto a lagravedadmotrizsegúnunarazóncualquiera,laproporcióndeAHaAIaumentaráenlamisma razón,pero semantendráel«latus rectum»de laparábola susodichay la

proporcionalidad a él de la longitud AH2

AI; y por tanto, AH disminuye en esa

proporción, mientras AI disminuye como el cuadrado de dicha razón. Pero laproporción de la resistencia al peso aumenta, tanto si a igual tamaño la gravedadespecífica esmenor, comosi ladensidaddelmedioesmayor,o si la resistencia, amenortamaño,disminuyeenmenorrazónqueelpeso.

REGLA 4. Puesto que la densidad del medio es mayor cerca del vértice de lahipérbolaqueenelpuntoA,paraobtenerladensidadmediadebehallarselarazóndelamenordelastangentesGTalatangenteAH,yaumentarladensidadenAenunarazónalgomayorqueladelasemisumadeestastangentesrespectoalamenordelastangentesGT.


REGLA 5. Si se dan las longitudes AH, AI y hay que trazar la figura AGK;prolóngueseHNhastaX,demodoqueHXseaaAIcomon+1a1,yconcentroenXyasíntotasMX,NXtráceselahipérbolaporelpuntoA,detalsuertequeAIseaacualquieraVGcomoXVnaXIn.

REGLA6.Cuantomayoreselnúmeron,tantomásexactassonestashipérbolasalascender el cuerpo desde A y tanto menos exactas en su descenso hacia K; yviceversa. La hipérbola cónica goza de una razónmedia y es más simple que lasotras.Porlocual,silahipérbolaesdeestetipoyhayquehallarelpuntoK,enelcualelcuerpolanzadoincidesobreunarectacualquieraANquepasaporelpuntoA:larectaANprolongadacortealasasíntotasMX,NX,enMyN,ytómeseNKigualaAM.

REGLA 7.Y de aquí se sigue unmétodo expeditivo para determinar esta hipérbolapartiendode fenómenos.Láncensedoscuerpos semejantese iguales, con lamismavelocidad,conángulosdistintosAHK,hAk,quecaigansobreelplanohorizontalenKyk;yanótese laproporcióndeAKaAk.Seaéstad ae.LevantandoahoraunaperpendicularAIdeunalongitudcualquiera,señáleseencualquierformalalongitudAHoAh,ydesdeesto,mediantelaRegla6,obténgasegráficamentelalongituddeAKydeAk.SilarazóndeAKaAkeslamismaqueladedae,lalongitudAHsetomó correctamente. Pero si es menor, tómese sobre la recta indefinida SM lalongitudSMigualalalongitudasumidaAHyeléveselaperpendicularMNigualala

diferenciadelasrazonesAKAk

-demultiplicadaporunarectadadacualquiera.Con

métodosemejante,apartirdelaasuncióndevariaslongitudesAHsetendránvariospuntosN,yportodosellosseharápasarunacurvaregularNNXNquecortaenXalarecta SMMM. Asúmase por fin AH igual a la abscisa SX; de nuevo determínese


desdeaquílalongitudAK;ylaslongitudes,queseanrespectoalaasumidalongitudAI y a esta última AH como la longitud AK conocida experimentalmente a lalongitudAKúltimamentehallada,seránlasverdaderas longitudesAIyAHqueeraprecisohallar.Perounavezdadaséstas,tambiénestarádadalaresistenciadelmedioenellugarA,todavezqueéstaseráalafuerzadelagravedadcomoAHa2AI.Yaumentando la densidad del medio según la Regla 4, si la resistencia así halladaaumentaenlamismaproporción,seráaúnmásexacta.

REGLA 8.Halladas las longitudesAH,HX; si ahora se busca la posición de larectaAH,segúnlacual,unproyectillanzadoconaquellavelocidad,incidirásobreunpuntocualquieraK,elévenseporlospuntosAyKlasrectasAC,KFperpendicularesalhorizonte,deellasACendirecciónhaciaabajoyqueseaigualaAIoa½HX.ConasíntotasAK,KF tráceseunahipérbolacuyaconjugadapaseporelpuntoC,yconcentroenAydistanciaAHtráceseuncírculoquecorteadichahipérbolaenelpuntoH;yelproyectil lanzadosegúnlarectaAHcaeráenelpuntoK.Q.E.I.PorqueelpuntoH,debidoalalongituddadaAH,estáubicadoenunpuntodelcírculodescrito.TráceseCHdemodoqueencuentreaAKyKFenEyFrespectivamente;yporserparalelasCHyMX, y por ser igualesACyAI,AE será igual aAM, y por tantotambiénaKN.PeroCEesaAEcomoFHaKN,yportantoCEyFHsoniguales.Luego el punto H cae sobre la hipérbola descrita con asíntotas AK, KF, cuyaconjugada pasa por el punto C, y por lo tanto se halla en la intersección de estahipérbola y el círculo descrito.Q.E.D.Pero hayque observar que esta operaciónresulta lo mismo, tanto si la recta AKN es paralela al horizonte, como si estáinclinadarespectoaélenalgúnángulo;yquedelasdosinterseccionesH,h, surgendosángulosNAH,NAh;yqueen laprácticamecánicabastacondescribirun solocírculoydespuésaplicarunalíneaindefinidaCHsobreelpuntoCdemodoquesusección comprendida entre el círculo y la rectaFK sea igual a la parteCE situadaentreelpuntoCylarectaAK.

Lodichosobrelashipérbolasseaplicafácilmentealasparábolas.Efectivamente,si


XAGK representa una parábola a la cual XV es tangente en el vértice X, y lasordenadasIA,VGfuesencomounaspotenciascualesquieraXIn,XVndelasabscisasXI,XV;trácenseXT,GT,AH,delascualesXTseaparalelaaVG,yGT,AHseantangentesdelaparábolaenGyA:yuncuerpolanzadodesdeunlugarcualquieraA,segúnlalíneaAHprolongada,yconlavelocidadadecuada,describiráestaparábola,siempre que la densidad del medio en cada lugar G sea inversamente como latangenteGT.LavelocidadenGseráaquellaconlacualsedesplazaríaelproyectilenunespaciono resistente enunaparábola cónicadevérticeG,diámetroprolongado

hacia abajo VG, y «latus rectum» 2GT2

(nn-n)xVG. Y la resistencia en G será a la

fuerzade lagravedadcomoGTa2nn-2nn-2

VG.Dedonde siNAK representauna

líneahorizontalysemantienentantoladensidaddelmedioenAcomolavelocidadconlacualselanzaalcuerpo,mientrasvaríaelánguloNAH,laslongitudesAH,AI,HX,permanecerán,ydeaquísetienedadoelvérticeXdelaparábola,laposicióndelarectaXI,y,tomandoVGaIAcomoXVnaXIn,setienendadoslospuntostodosGdelaparábolaporloscualespasaráelproyectil.


SecciónIIISOBREELMOVIMIENTODELOSCUERPOSALOSQUESERESISTEPARTEENRAZÓNDELASVELOCIDADESYPARTEENRAZÓNDELCUADRADODEDICHARAZÓN

PROPOSICIÓNXI.TEOREMAVIII

Si se resiste a un cuerpo parte en razón de su velocidad y parte en razón delcuadradodesuvelocidad,ysemueveenunmediouniformeconsusolafuerzaínsita,mientraslostiempossetomanenprogresiónaritmética;lascantidadesinversamenteproporcionales a las velocidades, aumentadas en una cantidad dada, estarán enprogresióngeométrica.

ConcentroenCyasíntotasrectangularesCADdyCH,tráceselahipérbolaBEe,yAB,DE,de,seanparalelasalaasíntotaCH.SobrelaasíntotaCDseandadoslospuntos A, G: y si el tiempo se representa por el área hiperbólica uniformementecrecienteABED,digoquelavelocidadsepuederepresentarporlalongitudDF,cuyainversa GD junto con la línea dada CG compone la longitud CD que crece enprogresióngeométrica.

PuesseaDEedeláreamínimacorrespondienteaunincrementomínimodetiempo,yDdseráinversamentecomoDE,ytantodirectamentecomoCD.Peroeldecremento


1GD

delmismo, que (por el Lema II de este Libro) esDdGD2 , sera como

CDGD2 o

CG+GDGD2 ,estoes,como

1GD

+CGGD2 .Portanto,alcreceruniformementeeltiempo

ABED por la adición de las partículas dadas EDde, decrece1GD

junto con la

velocidad en la misma razón. Pues el decremento de la velocidad es como laresistencia,estoes(porhipótesis),comolasumadedoscantidades,unadelascualesescomolavelocidadylaotracomoelcuadradodelavelocidad;yeldecrementodel

propio1GD

escomolasumadelascantidades1GD

yCGGD2 ,delascualeslaprimera

eslamisma1GD

,ylaotra,CGGD

,escomo1

GD2 :portanto,1GD

,portenerelmismo

decremento,escomolavelocidad.YsilacantidadGD,inversamenteproporcionala1GD

,esaumentadaenunacantidaddadaCG;lasumaCD,creciendouniformemente

eltiempoABED,creceráenprogresióngeométrica.Q.E.D.

COROLARIO1.Porlotanto,sidadoslospuntosA,G,serepresentael tiempoporel

áreahiperbólicaABED,lavelocidadpuederepresentarsepor1GD

,inversodeGD.

COROLARIO2.YtomandoGAaGDcomoelinversodelavelocidadalcomienzoalinversodelavelocidadalfinaldeuntiempocualquieraABED,sehallaráelpuntoG.Halladoéste,sepuedehallarlavelocidadparacualquierotrotiempodado.

PROPOSICIÓNXII.TEOREMAIX

Conlosmismossupuestos,digoquesilosespaciosdescritossetomanenprogresiónaritmética,lasvelocidades,aumentadasenunacantidaddadacualquiera,estaránenprogresióngeométrica.


Sobre la asíntota CD sea dado el punto R, y elevada la perpendicular RS queencuentre a la hipérbola en S, represéntese el espacio descrito mediante el áreahiperbólica RSED; y la velocidad será entonces como la longitudGD, que con lacantidad dada CG compone la longitud CD decreciente en progresión geométrica,mientraselespacioRSEDcreceenprogresiónaritmética.

Puestoque,alestardadoelincrementoEDdedelespacio,elsegmentoDd,queeseldecrementodelapropiaGD,serácomoelinversodeEDyportantodirectamentecomoCD,estoescomo lasumadelmismoGDyde la longituddadaCG.Peroeldecrementodelavelocidad,eneltiempoinversamenteproporcionalaella,enelcuales descrita la partícula dada de espacio DdeE, es una cantidad que es como laresistencia y el tiempo conjuntamente, esto es, directamente como la suma de doscantidades,delascualeslaunaescomolavelocidad,laotracomoelcuadradodelavelocidad, e inversamente como lavelocidad;ypor lo tanto,directamentecomo lasumadedoscantidades,delascualeslaunaestádadaylaotraescomolavelocidad.Por consiguiente, tanto el decremento de la velocidad como el de la línea GD escomounacantidaddadayunacantidaddecrecienteconjuntamente,yalseranálogoslos decrementos, las cantidades decrecientes siempre serán análogas; a saber, lavelocidadylalíneaGD.Q.E.D.

COROLARIO1.Si lavelocidadse representapor la líneaGD,elespaciodescritoserácomoeláreahiperbólicaDESR.

COROLARIO2.YsisesuponeencualquierparteelpuntoR,sehallaráelpuntoGtomandoGRaGDcomoeslavelocidadinicialalavelocidadtrasrecorrerunespaciocualquieraRSED.HalladoelpuntoG,seobtieneelespacioapartirdeunavelocidaddadayviceversa.

COROLARIO 3. De donde, puesto que (por la Proposición XI) se obtiene lavelocidadapartirdeuntiempodado,yporestaProposiciónseobtieneelespacioapartirdeunavelocidaddada;deuntiempodadoseobtendráelespacioyviceversa.

PROPOSICIÓNXIII.TEOREMAX

Supuestoqueuncuerpo,atraídohaciaabajoporunagravedaduniforme,asciendeo


desciende por una recta, y que sufre una resistencia en parte proporcional a lavelocidadyenparteproporcionalalcuadradodelavelocidad:digoque,sisetrazanrectasparalelasalosdiámetrosdeuncírculoydeunahipérbola, lascualespasenporlosextremosdelosdiámetrosconjugados,ylasvelocidadesfuesencomociertossegmentosde lasparalelas trazadosdesdeunpuntodado; los tiempos seráncomolos sectores de las áreas separados por rectas trazados desde el centro hasta losextremosdelossegmentos;yviceversa.

CASO 1. Supongamos primero que el cuerpo asciende, y con centro enD y unsemidiámetrocualquieraDB,tráceseelcuadrantedelcírculoBETF,yporelextremoBdelsemidiámetroDBtráceselarectaindefinidaBAPparalelaalsemidiámetroDF.SobreellaseadadoelpuntoA,ytómeseelsegmentoAPproporcionalalavelocidad.Ypuestoqueunapartede la resistenciaescomo lavelocidadyotrapartecomoelcuadradodelavelocidad,laresistenciatotalserácomoAP2+2BAP.ÚnanseDA,DPcortando al círculo enE yT, y represéntese la gravedad porDA2 demodo que lagravedad sea a la resistencia como DA2 a AP2 + 2BAP: y el tiempo de todo elascensoserácomoelsectorEDTdelcírculo.

Pues,tráceseDVQ,separandoelmomentoPQdelavelocidadAPyelmomentoDTV del sector DET correspondiente a un momento dado de tiempo; y estedecrementoPQdelavelocidadserácomolasumadelasfuerzasdelagravedadDA2

yde la resistenciaAP2 + 2BAP, esto es (por la ProposiciónXII delLibro II de losElementos),comoDP2.LuegoeláreaDPQ,proporcionalaPQ,escomoDP2,yeláreaDTV,queesaláreaDPQcomoDT2aDP2,escomoDT2yadada.Portanto,eláreaEDTdecreceuniformemente,almododeltiempofuturo,mediantelapérdidadepartículasDTVdadas,yportantoesproporcionalaltiempodeascensototal.Q.E.D.

CASO2.SilavelocidadenelascensodelcuerposerepresentaporlalongitudAPcomoantes,ysesuponelaresistenciacomoAP2+2BAP,ylagravedadfuesemenorquelarepresentableporDA2,tómeseentonceslalongituddeBDtalqueAB2-BD2


seaproporcionalalagravedad,yDFseaperpendiculareigualaDB,trazandoporelvérticeFlahipérbolaFTVE,decuyosemidiámetroseanconjugadasDByDF,lacualhipérbolacortaaDAenE,yaDP,DQ,enTyV;yeltiempodetodoelascensoserácomoelsectorTDEdelahipérbola.

PueseldecrementoPQdelavelocidad,ocurridoenunapartículadadadetiempo,es como la sumade la resistenciaAP2+2BAPy lagravedadAB2 -BD2, esto es,comoBP2-BD2.PeroeláreaDTVesaláreaDPQcomoDT2aDP2;yportanto,sisobreDFcaeunaperpendicularGT,comoGT2oGD2 -DFaBD2,ycomoGD2aBP2,yporpartes,comoDF2aBP2-BD2.Porlocual,dadoqueeláreaDPQescomoPQ, esto es, como BP2 - BD2, el área DTV será como la ya dada DF2. Porconsiguiente,eláreaEDTdecreceuniformementeencadapartículaigualdetiempoporsustraccióndeotrastantaspartículasdadasDTV,yporlomismoesproporcionalaltiempo.Q.E.D.

CASO 3. Sea AP la velocidad de descenso de un cuerpo, y AP2 + 2BAP laresistencia,yBD2-AB2lafuerzadelagravedad,siendorectoelánguloDBA.YsiconcentroenD,vérticeprincipalF,setrazalahipérbolarectangularBETVquecortealasprolongacionesdeDA,DPyDQenE,TyV;elsectorDETdeestahipérbolaserácomoeltiempototaldedescenso.

PueselincrementoPQdelavelocidad,yeláreaDPQproporcionalaél,escomoelexcesodelagravedadsobrelaresistencia,estoes,comoBD2-AB2-2BAP-AP2,oBD2-BP2.YeláreaDTVesaláreaDPQcomoDT2aDP2,yportanto,comoGT2

oGD2-BD2aBP2ycomoGD2aBD2yporpartescomoBD2aBD2-BP2.Porlotanto,dadoqueeláreaDPQescomoBD2-BP2,eláreaDTVserácomoelyadadoBD2. Crece, pues, el área EDT uniformemente en cada partícula igual de tiemposegún se vaya añadiendo cada partícula dada DTV, y por tanto es proporcional altiempodedescenso.Q.E.D.


COROLARIO.SiconcentroenDysemidiámetroDAse trazaporelvérticeAelarco At, semejante al arco ET, que subtienda similarmente al ángulo ADT: lavelocidad AP será a la velocidad, que podría perder subiendo o adquirir bajandodicho cuerpo en el tiempo EDT en un espacio no resistente, como el área deltriánguloDAPaláreadelsectorDAt;yportantoestarádadaparauntiempodado.Pueslavelocidad,enunmedionoresistente,esproporcionalaltiempoy,porello,adichosector;enunmedioresistenteescomoeltriángulo;yenambos,cuandoesmuypequeña,seacercaalarazóndeigualdad,comoocurreconelsectoryeltriángulo.

ESCOLIO

Elcasopodríademostrarselomismoenelascensodeuncuerpo,cuandolafuerzadelagravedadesmenorquelaqueesrepresentableporDA2oAB2+BD2ymayorquelarepresentableporAB2-BD2,ydeberepresentarseporAB2.Perovayamosaotrascosas.

PROPOSICIÓNXIV.TEOREMAXI[5]

Conlosmismossupuestosdigoqueelespaciodescritoenelascensoodescensoescomo ladiferenciadeláreacon laqueserepresentael tiempo,yalgunaotraáreaaumentada o disminuida en progresión aritmética, siempre que las fuerzascompuestasdelaresistenciaylagravedadsetomenenprogresióngeométrica.

TómeseAC (en las tres figurasúltimas)proporcional a lagravedad,yAKa laresistencia.PerotómensehaciaelmismoladodelpuntoAsielcuerpodesciende,yde no ser así en lados opuestos. EléveseAb demodo que sea aDB comoDB2 a


4BAC:VunaveztrazadalahipérbolabNrespectoalasasíntotasrectangularesCK,CH, y elevadaKN perpendicular a CK, el áreaAbNK aumentará o disminuirá enprogresión aritmética, siempre que las fuerzas CK se tomen en progresióngeométrica.PortantodigoqueladistanciadelcuerporespectoasumáximaaltitudescomoelexcesodeláreaAbNKsobreeláreaDET.

Pues,dadoquelaresistenciaescomoAK,estoes,comoAP2+2BAP,supuestauna

cantidaddadacualquieraZ,supongamosqueAKesiguala AP2+2BAPZ

;y(porel

LemaIIdeesteLibro),elmomentoKLdeAKseráiguala2APQ+2BAxPQ

Zoa

2BPQZ

, y el momento KLON del área AbNK será igual a2BPQxLO

Z o a

BPQxBD3

2ZxCKxAB.

CASO 1.Ahora si el cuerpo está ascendiendo, sea la gravedad comoAB2 +BD2 ysiendoBETuncírculo (en laprimera figura), la líneaACqueesproporcional a la

gravedad,será AB2+BD2

Z,yDP2oAP2+2BAP+AB2+BD2seráAKxZ+ACx

ZotambiénCKxZ;yportanto,eláreaDTVseráaláreaDPQcomoDT2oDB2aCKxZ.

CASO2.PerosielcuerpoasciendeylagravedadescomoAB2-BD2,lalíneaAC(en


lasegundafigura)será AB2-BD2

Z,yDT2seráaDP2comoDF2oDB2aBP2-BD2

oAP2+2BAP+AB2-BD2,estoes,comoaAKxZ+ACxZ,oCKxZ.Yportanto,eláreaDTVseráaláreaDPQcomoDB2aCKxZ.

CASO 3.Y, por lamisma razón, si el cuerpo desciende, y por tanto la gravedad es

comoBD2-AB2,ylalíneaAC(enlatercerafigura)esiguala BD2-AB2

Z,elárea

DTVseráaláreaDPQcomoDB2aCKxZ,comoantes.

Ahorabien,alestarestasáreassiempreendicharazón,siel;áreaDTV,mediantelacual se representa elmomentode tiempo siempre igual a ella, es sustituidapor unrectángulocualquieradeterminado,talcomoBDxm,eláreaDPQ,estoes,½BDxPQ,seráaBDxmcomoCKxZaBD2.YdeaquíquePQxBD3seaiguala2BDx

mxCKxZ,yelmomentoKLONdeláreaAbNK,halladoantes,seaBPxBDxm

AB.

Réstese del áreaDETelmomentoDTV,o sea,BDxm, y quedaráAPxBDxm

AB.

Luego,ladiferenciadelosmomentos,estoes,elmomentodeladiferenciadeáreas,

esigualaAPxBDxm

AB,yportanto,porestardado

BDxmAB

,comolavelocidadAP,

esto es, como elmomento de espacio descrito por el cuerpo en el ascenso o en eldescenso. Y, en consecuencia, la diferencia de áreas y dicho espacio, al crecer odecrecerenmomentosproporcionalesquecomienzanysedesvanecenalavez,sonproporcionales.Q.E.D.

COROLARIO.SisellamaMalalongitudqueresultadedividireláreaDETporlalíneaBD,ysetomaotralongitudVqueestéenrazóndelalongitudMcomoladelalíneaDAalalíneaDE:elespaciodescritoporuncuerpoentodoelascensooeldescensoen unmedio resistente será al espacio descrito por un cuerpo en elmismo tiempocayendodesdeunestadodereposo,comoladiferenciadelasáreasmencionadasaBDxV2

AB;yportanto,parauntiempodado,estádado.Pues,elespacioenunmedio

no resistenteescomoelcuadradodel tiempo,ocomoV2;y,porestardadasBDy

AB,como BDxV2

AB.Estaáreaesigualalárea

DA2+BDxM2

DE2xAB,yelmomentodeM


es n; y por tanto el momento de dicha área esDA2xBDx2Mxm

DE2xAB. Pero este

momentoesalmomentodeladiferenciadelasáreasantedichasDETyAbNK,osea,

aAP+BDxm

AB,como

DA2xBDxMDE2

a½BDxAP,ocomoDA2

DE2xDETaDAP,

por consiguiente, cuando las áreas DET y DAP son mínimas, están en razón de

igualdad.Pueselárea BDxV2

ABy ladiferenciade lasáreasDETyAbNK,cuando

todasestasáreassonmínimas,tienenigualesmomentos,yporlomismo,soniguales.De donde las velocidades, y por tanto también los espacios recorridos en ambosmediosenelmismotiempotiendenaserigualesalprincipiodeldescensooalfinal

delascenso,yportantosonentoncesentresícomoelárea BDxV2

AByladiferencia

delasáreasDETyAbNK;yademás,puestoqueelespacioenunmedionoresistente

es siempre como BDxV2

ABmientras el espacio es unmedio resistente es siempre

comoladiferenciadelasáreasDETyAbNK:esprecisoquelosespaciosenambosmedios, descritos en tiempos iguales cualesquiera, sean entre sí como dicha áreaBDxV2

AByladiferenciadelasáreasDETyAbNK.Q.E.D.

ESCOLIO[6]

En los fluidos la resistencia de los cuerpos esféricos procede en parte de la


tenacidad,enpartedelrozamientoyenpartedeladensidaddelmedio.Ylapartedelaresistenciaprocedentedeladensidaddelfluidoescomodijimos,comoelcuadradode la velocidad; la parte procedente de la tenacidad del fluido es uniforme, o sea,como el momento del tiempo; por lo mismo se podría pasar a considerar elmovimientodeloscuerposaloscualesseresisteenparteconunafuerzauniforme,osea,enrazóndelosmomentosdetiempo,yparteenrazóncuadradadelavelocidad.PerobastahaberabiertolapuertaparaestaespeculaciónenlasProposicionesVIIIyIXprecedentes y sus Corolarios. Efectivamente, en dichas Proposiciones se puedesustituir laresistenciauniformeauncuerpoascendentedebidaa lagravedadpor laresistencia uniforme procedente de la tenacidad del medio, cuando el cuerpo semueveporlasolafuerzaínsita;ycuandoelcuerpoasciendeporunarectahabráqueañadir esta resistencia uniforme a la fuerza de gravedad; mientras que habrá querestarla, cuando el cuerpo desciende por una recta. También se podría pasar almovimientodecuerposalosqueseresisteenparteuniformemente,parteenrazóndelavelocidadyparteentazóncuadradadelavelocidad.HeabiertouncaminoenlasProposiciones precedentes XIII y XIV, en las que también puede sustituirse laresistencia uniforme debida a la tenacidad del medio en lugar de la fuerza de lagravedad,ocomponerseconellacomoantes.Peropasoaotrascosas.


SecciónIVDELMOVIMIENTOCIRCULARDELOSCUERPOSENMEDIOSRESISTENTES

LEMAIII

SeaPQRunaespiralquecortetodoslosradiosSP,SQ,SR,etc.,enángulosiguales.TráceselalínearectaPTtangentealaespiralenunpuntocualquieraPyquecortealradioSQenT;y,elevadaslasperpendicularesPO,QOalaespiralqueconcurrenenO,únaseSO.DigoquesilospuntosPyQseaproximanhastacoincidir,elánguloPSOresultarecto,ylarazónúltimadelrectánguloTQx2PSaPQ2serálarazóndeigualdad.

PuestoquealrestardelosángulosrectosOPQ,OQR,losángulosigualesSPQ,SQR, quedarán los ángulos iguales OPS, OQS. Luego el círculo que pasa por lospuntosO,S,Ppasará tambiénpor el puntoQ.Coincidan lospuntosPyQ, y estecírculoserátangentealaespiralenellugardecoincidenciadePQ,yportantocortaráperpendicularmentea larectaOP.Resultará,pues,OPdiámetrodeestecírculoyelánguloOSPrectosobreelsemicírculo.Q.E.D.

SobreOPtrácenselasperpendicularesQD,SEylasúltimasrazonesdelaslíneasseráncomosigue:TQaPDcomoTSoPSaPE,osea,2POa2PS;ytambiénPDaPQcomoPQa2PO;ypermutando,TQaPQcomoPQa2PS.Dedonderesultaque


PQ2esigualaTQx2PS.Q.E.D.

PROPOSICIÓNXV.TEOREMAXII

Si la densidad de unmedio en cada punto es inversamente como la distancia delpuntoauncentroinmóvil,ylafuerzacentrípetaescomoelcuadradodeladensidad:digoqueuncuerpopuedegirarenunaespiralquecorteenunángulodadoatodoslosradiostrazadosdesdedichocentro.

DenselossupuestosdelLemaanterior,yprolóngueseSQhastaV,demodoqueSVseaigualaSP.Enuntiempocualquierayenmedioresistente,describaelcuerpoelarcomínimoPQ,yendobletiempoelarcomínimoPR;ylosdecrementosdeestosarcos procedentes de la resistencia, o las diferencias respecto a los arcos quedescribiríanenlosmismostiemposenunmedionoresistente,seránentresícomoloscuadradosdelostiemposenquesegeneran:portanto,eldecrementodelarcoPQeslacuartapartedeldecrementodelarcoPR.Dedondetambién,sisetomaeláreaPSQigualaláreaQSr,eldecrementodelarcoPQseráigualalamitaddelsegmentoRr;yportanto,lafuerzaderesistenciaylafuerzacentrípetasonentresícomolosmismossegmentos½RryTQquegeneranalavez.Puestoquelafuerzacentrípeta,conlaqueelcuerpoesurgidoenP,esinversamentecomoSP2,y(porelLemaXdelLibroI)elsegmento TQ, generado por dicha fuerza, está en razón compuesta de la razón dedicha fuerza y de la razón del cuadrado del tiempo en que se describe el arco PQ(puesenestecasodespreciolaresistenciaporserinfinitamentemáspequeñaquelafuerzacentrípeta),TQxSP2,estoes(porelLemaanterior),½PQ2xSP,serácomoelcuadradodel tiempo,ypor tantoel tiempoescomoPQx SP; y la velocidaddel

cuerpo con la que describe en dicho tiempo el arcoPQcomoPQ

PQx SPo

1SP

,

estoes,comoelinversodelaraízcuadradadeSP.Yporlamismarazón,lavelocidadconlaquesedescribeelarcoQRescomoelinversodelaraízcuadradadelpropioSQ.PerodichosarcosPQyQRsoncomolasvelocidadesdescriptorasentreellas,esdecir, como la raíz cuadrada de SQ a SP, o sea, comoSQ a SPxSQ, y por serigualeslosángulosSPQ,SQrylasáreasPSQ,QSrtambiéniguales,elarcoPQesalarcoQr comoSQ aSP.Tómense las diferencias de consecuentes proporcionales yresultaráelarcoPQalarcoRrcomoSQaSP- SPxSQ,esdecir,½VQ.Pues,alcoincidir los puntos P y Q, la razón última de SP - SP x SQ a ½VQ es la deigualdad.DadoqueeldecrementodelarcoPQoriginadoporlaresistencia,oeldobledelmismoRr, es como la resistencia y el cuadrado del tiempo conjuntamente, la

√

√ √

√

√√


resistenciaserácomoRr

PQ2xSP.PeroPQeraaRrcomoSQa½VQ,ydeaquíque

RrPQ2xSP

seacomo½VQ

PQxSPxSQocomo

½OSOPxSP2

.

Pues cuando los puntosP yQ coinciden, coinciden tambiénSP ySQ, y el ánguloPVQsehacerecto;yporsersemejanteslostriángulosPVQ,PSO,resultaPQa½VQ

comoOPa½OS.LuegoOS

OPxSP2es,entonces,comolaresistencia,estoes,comola

densidaddelmedioenPycomoelcuadradodelavelocidadconjuntamente.Réstese

larazóndelcuadradodelavelocidad,osea,1SP

yquedaráladensidaddelmedioen

PcomoOS

OPxSP.Dése,pues,unaespiral,yporestardadalarazóndeOSaOP,la

densidaddelmedioenPserácomo1SP

.Por tanto,enunmediocuyadensidadsea

inversamenteproporcionalaladistanciaalcentroSP,uncuerpopuedegirarendichaespiral.Q.E.D.

COROLARIO1.EnunpuntocualquieraPlavelocidadserásiempreaquellaconlaqueuncuerpo,enunmedionoresistenteylamismafuerzacentrípeta,giraríaenuncírculoalamismadistanciaSPdelcentro.

COROLARIO2.SiladistanciaSPestádada,ladensidaddelmedioescomoOSOP

,pero

si no se da dicha distancia es comoOS

OPxSP. Y por ello una espiral puede


acomodarseacualquieradensidaddemedio.

COROLARIO 3. La fuerza de resistencia en un punto cualquiera P es a la fuerzacentrípetaenelmismopuntocomo½OSaOP.Puestalesfuerzassonentresícomo

½RryTQ,ocomo¼VQxPQ

SQy ½PQ

2

SP,esdecir,como½VQyOP.Dada,pues,una

espiral, está dada la proporción de la resistencia respecto a la fuerza centrípeta y,viceversa,dadadichaproporción,estádadalaespiral.

COROLARIO4.Porconsiguiente,elcuerponopuedegirarenestaespiralanoserque la fuerza de resistencia seamenor que lamitad de la fuerza centrípeta. Sea laresistenciaigualalamitaddelafuerzacentrípeta,ylaespiralcoincidiráconlalínearectaPS,y el cuerpodescenderáhacia el centropordicha recta conunavelocidadque será a la velocidad con la que, según hemos probado antes para una parábola(TeoremaXdelLibro I)ocurreeldescensoenunmedionoresistente,comola raízcuadradade la razónde launidadalnúmerodos.Y los tiemposdedescensoseránaquícomoelinversodelasvelocidades,yportantoestándados.

COROLARIO5.YpuestoqueadistanciasigualesdelcentrolavelocidadesigualenlaespiralPQRyenlarectaSP,ylalongituddelaespiralalalongituddelarectasehallaenunarazóndada,asaber,enlarazóndeOPaOS,eltiempodedescensoporlaespiral será al tiempodedescensopor la rectaSPen esamisma razóndaday, portanto,tambiéndado.

COROLARIO6.SiconcentroenSycondosdistanciasdadascualesquierase trazandoscírculos,ymanteniendoestoscírculossehacecambiarenalgunaformaelánguloqueformalaespiralconelradioPS,elnúmeroderevolucionesquepuedecompletarun cuerpo en el interior de las circunferencias de dichos círculos caminando en

espiraldeunacircunferenciaaotraescomoPSOS

,ocomolatangentedelánguloque


formalaespiralconelradioPS,mientraseltiempodedichasrevolucionesserácomoOPOS

,esdecir,comolasecantedelmismoángulo,o inversamenteproporcionala la

densidaddelmedio.COROLARIO7.Siuncuerpo,enunmediocondensidadinversamenteproporcional

aladistanciadecadapuntoalcentro,giraporunacurvacualquieraAEBentornoadichocentro,ycortaalprimerradioASenBconelmismoánguloconquelohicieseantesenA,yestoconunavelocidadqueseaa lavelocidadanteriorenAenrazóninversadelaraízcuadradadelasdistanciasalcentro(estoes,comoASalamediaproporcional entre AS y BS) dicho cuerpo describirá innumerables revolucionessemejantesBFC,CGD,etc.yconsus interseccionesdividiráel radioASenpartescontinuamente proporcionales AS, BS, CS, DS, etc. Mas, los tiempos de lasrevolucionesserándirectamentecomolosperímetrosdelasórbitasAEB,BFG,CGD,etc.einversamentecomolasvelocidadesenA,B,C;estoes,comoAS3⁄2,BS3⁄2,CS3⁄2.Yel tiempo totalempleadoporelcuerpopara llegaralcentro seráal tiempode laprimerarevolucióncomolasumadetodaslascontinuamenteproporcionaleshastaelinfinitoAS3⁄2,BS3⁄2,CS3⁄2alprimertérminoAS3⁄2;estoes,comodichoprimertérminoAS3⁄2 a la diferencia de los dos primeros AS3⁄2 - BS3⁄2, o como 3⁄2AS a AB, muyaproximadamente.Dedondedichotiempototalpuedehallarsesindificultad.

COROLARIO8.Delocualpuedeobtenerseconrelativafacilidadelmovimientodecuerpos en medios de densidad uniforme o que se atenga a cualquiera otra leydeterminada. Con centro en S, y distancias continuamente proporcionales SA, SB,SC,etc.,trácensecírculoscualesquiera,yestablézcasequelostiemposderevoluciónentrelosperímetrosdedoscualesquieradeestoscírculosenelmediodelquehabléantes es al tiempo de revolución en elmedio propuesto entre losmismos círculos,como la densidadmedia delmedio propuesto entre los dos círculos a la densidad


media del medio del que se trató más arriba entre los mismos círculos muyaproximadamente: y asimismo que la secante del ángulo con que la espiral antesdeterminadacortaalradioASenelmedioarribaconsideradoestáenlamismarazónrespectoalasecantedelánguloconqueestanuevaespiralcortaalmismoradioenelmedio ahora propuesto; y también que los números totales de revoluciones entredichosdoscírculossonmuyaproximadamentecomolastangentesdesusángulos.Siestoocurrecontinuamenteentrecadapardecírculos,elmovimientosecontinuaráatravésdetodosloscírculos.Ydeestemodonoserádifícilimaginarcómoyenquétiemposdeberángirarloscuerposencualquiermedioregular.

COROLARIO 9. Y aunque los movimientos excéntricos ocurran en espiralespróximas a la forma oval, no obstante, si imaginamos cada revolución de dichasespiralesdistantedelassiguientesconlosmismosintervalosyacercándosealcentroenlosmismosgradosquelaespiralanteriormentedescrita,comprenderemostambiéncómoocurrenlosmovimientosdeloscuerposensemejantesespirales.

PROPOSICIÓNXVI.TEOREMAXIII

Si la densidad de un medio es en cada punto inversamente proporcional a ladistanciadeesospuntosauncentroinmóvil,ylafuerzacentrípetaesinversamenteproporcional a una potencia cualquiera de dicha distancia: digo que un cuerpopuedegirarenunaespiralquecortaatodoslosradiostrazadosdesdedichocentroconunángulodado.

Se demuestra del mismo modo que la Proposición anterior. Pues si la fuerzacentrípeta es en P inversamente proporcional a cualquiera potencia SPn + 1 de ladistanciaSP,cuyoíndiceesn+1,sededuce,comomásarriba,queeltiempoenelcualelcuerpodescribeunarcoPQserácomoPQxPS½nylaresistenciaenPcomo

RrPQ2xSPn

,otambién,como(1-½n)xVQPQxSPnxSQ

y,portanto,como(1-½n)xOSOPxSPn+1

,esto

es, por estar dado(1-½n)xOS

OP, inversamente como SPn + 1. Y, por lo mismo,

puesto que la velocidad es inversamente como SP½n, la densidad en P seráinversamenteproporcionalaSP.


COROLARIO1.Laresistenciaesalafuerzacentrípetacomo(1-½n)xOSaOP.COROLARIO2.Si la fuerzacentrípeta fuesecomoSP3,entonces(1 -½n)=0;y,

portanto,laresistenciayladensidaddelmedioseránnulas,comoenlaProposiciónIXdelLibroI.

COROLARIO 3. Si la fuerza centrípeta es inversamente como una potenciacualquiera del radio SP cuyo índice sea mayor que 3, la resistencia positiva setransformaennegativa.

ESCOLIO

Por lo demás, esta Proposición y las anteriores, que se refieren a medios condensidades desiguales, deben entenderse referidas al movimiento de cuerpos tanpequeños que la densidad delmediomayor hacia un lado del cuerpo que hacia elotro, no venga a ser digna de consideración. También supongo que la resistencia,«caeteris paribus», es proporcional a la densidad. Por lo cual, para medios cuyafuerza de resistencia no sea como la densidad, deberá la densidad aumentarse odisminuirsedemodoquequedesuprimidoelexcesoderesistenciaosuplidasufalta.

PROPOSICIÓNXVII.PROBLEMAIV

Hallartantolafuerzacentrípetacomolaresistenciadelmedioquepermitanauncuerpo,dadalaleydelavelocidad,girarenunaespiraldada.

Sea dicha espiral PQR. De la velocidad con la cual el cuerpo recorre el arcomínimo PQ se tendrá dado el tiempo, y de la altura TQ, que es como la fuerzacentrípeta y el cuadrado del tiempo, se tendrá dada la fuerza. Después, de ladiferenciaRSrdeáreasPSQ,QSR,completadasenpartículas igualesdetiempo,se


obtendrá la retardacióndel cuerpo, y a partir de ésta se hallarán la resistencia y ladensidaddelmedio.

PROPOSICIÓNXVIII.PROBLEMAV

Dadalaleydelafuerzacentrípeta,hallarladensidaddelmedioencadapunto,conlacualdescribauncuerpounaespiraldada.

Hay que hallar la velocidad en cada punto a partir de la fuerza centrípeta, ydespués, hay que hallar la densidad del medio a partir de la retardación de lavelocidad,comoenlaProposiciónanterior.

PeroyaindiquéelmétodoparatratarestosproblemasenlaProposicióndécimade este Libro y en el Lema segundo; y no deseo entretenermás al lector en estasabstrusasdisquisiciones.Ahorahabráqueañadiralgosobrelasfuerzasdeloscuerposquesedesplazanysobreladensidadyresistenciadelosmediosenloscualesocurrenlosmovimientosvistoshastaahorayotrossimilaresaellos.


SecciónVSOBRELADENSIDADYCOMPRESIÓNDELOSFLUIDOS,YSOBREHIDROSTÁTICA

DEFINICIÓNDEFLUIDO

Fluidoestodocuerpocuyaspartescedenalaaplicacióndecualquierfuerza,y,alceder,semuevenentresíconfacilidad.

PROPOSICIÓNXIX.TEOREMAXIV

Todaslaspartesdeunfluidohomogéneoeinmóvilencerradoenunvasocualquierainmóvilycomprimidoportodoslados(sintomarencuentanilacondensaciónnilagravedad ni fuerza centrípeta alguna) soportan igual presión por todas partes ypermanecenensuslugaressinquedichapresiónoriginemovimientoalguno.

CASO 1. Introdúzcase un fluido en el vaso esférico ABC y comprímaseuniformementeportodaspartes:digoqueningunapartedelmismosemoverádebidoalatalpresión.Pues,siunaparteDsemoviese,seríaprecisoquetodaslaspartesdelmismo situadas a la misma distancia del centro se moviesen a la vez con unmovimientosimilar,yestoporsersemejanteeiguallapresióndetodas,ysesuponeexcluido todo otromovimiento, salvo el procedente de la presión. Pero no puedenacercarsemás hacia el centro, salvo que el fluido sea condensado hacia el centro;contra la hipótesis. Tampoco pueden alejarse de élmás, a no ser que el Huido secondense hacia la circunferencia; también contra la hipótesis. Tampoco pueden,manteniendo su distancia al centro, moverse en dirección alguna, porque, por lamisma razón, se moverían en dirección contraria; pues la misma parte no puedemoverse en direcciones opuestas en el mismomomento. Luego ninguna parte delfluidosemoverádesulugar.Q.E.D.


CASO 2. Ahora digo que todas las partes esféricas de este fluido soportanpresionesigualesportodoslados.Pues,seaEFunaparteesféricadelfluido,ysinorecibieseigualpresiónportodaspartes,auménteselapresiónmenorhastaqueresultepresionadaigualportodaspartes;ysuspartes,porelCasoprimero,permaneceránensulugar.Peroantesdeaumentarlapresión,tambiénpermanecíanensulugar,porelmismo primer Caso, y con la presión añadida se moverían de su lugar, por ladefinicióndefluido.Peroestasdosafirmacionessoncontradictorias.LuegoerafalsalaafirmacióndequelaesferaEFnopadecíaigualpresiónportodoslados.Q.E.D.

CASO3.Ademásdigoquelapresióndelasdiversaspartesesféricasesigual.Pueslaspartesesféricascontiguassepresionanmutuamenteeigualmenteenlospuntosdecontacto,por laLey III delMovimiento.Pero, por elCaso segundo, soportan igualfuerzadepresiónportodoslados.Luegodospartesesféricasnocontiguassoportaránlamismafuerza,todavezqueunaparteesféricaintermediapuedetocaraambas.Q.E.D.

CASO4.Ahoradigoque todas laspartesdeunfluidosoportan igualpresiónentodaslaspartes.Puesdospartescualesquierapuedensertocadasporpartesesféricasen cualquier punto, y ahí dichas partes esféricas presionan por igual, por el Casotercero,yalainversasonpresionadasporaquéllasporigual,porlaLeyterceradelMovimiento.Q.E.D.

CASO5.PuestoqueunapartecualquieraGHIdelfluidoestáencerradaenelrestodelfluidocomoenunrecipienteyespresionadaporigualportodaspartes,mientraslas partes delmismo se presionan entre sí por igual y están entre sí en reposo; esevidentequelaspartesdecualquierGHIdeunfluido,alestarigualmentepresionadasportodoslados,sepresionanentresíporigualyreposanentresí.Q.E.D.

CASO6.Portanto,sidichofluidoestáencerradoenunvasonorígido,ynofuesepresionado por igual por todos lados, cederá ante la presión más fuerte, por ladefinicióndefluidez.

CASO 7.Ypor lomismo,un fluidoenunvaso rígidono soportaráunapresiónmás fuerte por un lado que por otro, sino que cederá ante ella, y esto


instantáneamente,porqueelladorígidodelvasonosigueallíquidoquecede.Peroalcederpresionarásobreelladoopuesto,yasílapresióntiendeaigualarsepordoquier.Ypuestoqueelfluidotratadeapartarseinstantáneamentedelapartemáspresionada,mientrases soportadopor la resistenciadelvasoenel ladocontrario, lapresión serestablece instantáneamentepor todos ladospor igual sinmovimiento local, con loquelaspartesdelfluido,porelCasoquintó,sepresionanentresíporigualyreposanentresí.Q.E.D.

COROLARIO.Dedonde,tampocopodrácambiarseelmovimientodelaspartesdelfluidoentresí,medianteunapresiónefectuadasobrelasuperficieexternadelfluido,salvoenlamedidaenquelasuperficiecambiedeformaenalgúnpunto,oenquelaspartesdelfluidooprimiéndoseentreellasmásomenosintensamentesedeslicenentreellasconmayoromenorfacilidad.

PROPOSICIÓNXX.TEOREMAXV

Sicadapartedeunfluidoesférico,homogéneoadistanciasigualesdelcentro,quedescansa sobre un fondo esférico concéntrico, gravita hacia el centro del todo, elfondosoportaráelpesodeuncilindrocuyabasefueseigualalasuperficiedelfondoycuyaalturafueseigualalaalturadelfluidosobrepuesto.

Sea DHM la superficie del fondo, y AEI la superficie superior del fluido.Divídase el fluido en esferas concéntricas de igual grosor, mediante innumerablessuperficies esféricas BFK, CGL; imagínese que la fuerza de la gravedad actúeúnicamentesobrelasuperficieexteriordecadaesferayquelasaccionessonigualessobre cadaparte igual de todas las superficies.Entonces, la superficiemás externaAE sufre la sola presión de su fuerza de gravedad, que presiona no sólo sobre laspartes todas de la superficie superior sino que también (por la Proposición XIX)presionaigualmenteenrazóndesuextensiónsobrelasuperficiesegundaBFK.EstasegundasuperficieBFKsufrelapresióndesupropiafuerzadegravedad,ademásdelapresiónañadidadelaprimera,loqueduplicalapresión.LatercerasuperficieCGLpadece una presión triple, esto es, la de su propia fuerza de gravedad junto con lapresióndelaanteriorquepadeceenfuncióndesupropiaextensión.Ydeigualmodo,la superficie cuarta padece una presión cuádruple, la quinta quíntuple, y asísucesivamente.Porconsiguiente,lapresiónquepadececadasuperficie,noescomoelvolumendefluidoquereposaencimadeella,sinocomoelnúmerodeesferasquehayhastalasuperficiesuperiordelfluido;yesigualalagravedaddelorbeinferiormultiplicadapor el númerodeorbes: esto es, a la gravedaddeun sólidoque tienerazónúltimadeigualdadconelcilindrosusodicho(siemprequeaumenteelnúmerodeorbesydisminuyasugrosorinfinitamente,demaneraquelaaccióndelagravedaddesde la superficie inferiorhasta la superior sehaga continua).Luego la superficie


inferiorsoportaelpesodelcilindrodefinidoarriba.Q.E.D.Y,porlamismarazón,será evidente la proposición cuando la gravedad decrece en una razón cualquieradadadesdeelcentro,lomismoquecuandoelfluidoesmásraroarribaymásdensoabajo.Q.E.D.

COROLARIO 1. Por tanto, el fondo no soporta todo el peso del fluido que hayencima, sino sóloaquellapartedelpesoque sedescribeen laProposición; elpesorestanteessoportadoporlaformaabovedadadelfluido.

COROLARIO2.Adistanciasigualesdelcentrolacantidaddepresiónessiemprelamisma, tanto si la presión sobre la superficie es paralela al horizonte como si esperpendicular u oblicua; tanto si el fluido, rebosando por encima de la superficiepresionada,asciendeperpendicularmenteenlínearectacomosiserpeaoblicuamenteporsinuosascavidadesycanales,seanregularesoirregulares,anchosoangostos.Seinfiere que la presión en nada cambia por estas circunstancias al aplicar lademostracióndeesteTeoremaacadaunodeloscasosdefluidos.

COROLARIO3.Porlamismademostraciónseinfieretambién(porlaProposiciónXIX) que las partes de un fluido pesado no adquieren, por la presión del peso quesoportan, ningúnmovimiento entre ellas; si se excluye elmovimiento debido a lacondensación.

COROLARIO4.Y,porlotanto,siotrocuerpodelamismagravedadespecífica,quenoadmitacondensación,sesumergieseenestefluido,tampocoadquirirámovimientoalgunoporcausadelpesoqueincidesobreél:nodescenderá,noascenderániseveráobligadoacambiarsuforma.Siesesféricopermaneceráesférico,pesealapresión;sies-cuadradopermanecerácuadrado:yestotantosiesblandocomosiesmuyfluido,tanto si flota libremente en el fluido como si reposa en el fondo. Pues toda parte


pertenecientealfluidoposeelamismarazónqueelcuerposumergido,ylarazóndetodos los cuerpos sumergidos, que tengan la misma figura y gravedad específicasiendo de la misma magnitud, es la misma también. Si un cuerpo sumergido,conservando su peso, se licuase y tomase la forma del fluido, tal cuerpo, si antesascendíaodescendíaotomabaunaformanuevadebidoalapresión,tambiénahoraascenderá o descenderá o habrá de tomar una forma nueva: y esto precisamenteporquepermanecensugravedadylasdemáscausasdelosmovimientos.Pero(porelCaso5delaProposiciónXIX)ahorareposaríayconservaríasufigura.Luegotambiénantes.

COROLARIO 5. Por consiguiente, el cuerpo específicamente más grave que elfluidocontiguoaélsehundiráyelespecíficamentemásleveascenderá,yseseguiráel movimiento y cambio de figura que puedan deberse al exceso o defecto degravedadsusodichos.Puestalesexcesoodefectosonlarazóndelimpulsoqueurgealcuerpo, que de otro modo está en equilibrio con las partes del fluido; y puedecompararseconelexcesoodefectodepesoenunodelosdosplatillosdelabalanza.

COROLARIO6.Por tanto,hayunadoblegravedadenloscuerposubicadosenunfluido;unaverdaderayabsoluta,otraaparente,comúnyrelativa.Gravedadabsolutaes la fuerza total con la que el cuerpo tiende hacia abajo; relativa y común es elexcesodegravedadconelcualelcuerpotiendehaciaabajomásqueelfluidoquelorodea.Conelprimertipodegravedadlaspartesdelosfluidosydetodosloscuerposgravitanhacialoslugaresqueocupan;yporellocomponen,consuspesosjuntos,elpesodeltodo.Pueseltodocompletoesgrave,comosepuedeverenlosvasosllenosdelíquido;yelpesodeltodoesigualalospesosdetodaslaspartesy,portanto,secompone de ellas. Con el otro tipo de gravedad los cuerpos no gravitan hacia suslugares, esto es, al concurrir no se sobrecargan, sino que impidiendo los mutuosintentos de descenso reposan en sus lugares. Las cosas que están en el aire y nosobrecargancomúnmentenosejuzganpesadas.Lasquesobrecargansíloson,enlamedidaenquenosonsostenidasporelpesodelaire.Paraelcomúndelagentelospesos no son sino los excesos de pesoverdaderopor encimadel pesodel aire.Deaquíquevulgarmentese llamen levesa lascosasquesonmenosgravesy,alcederante lasobrecargadelaire,seelevanhaciaarriba.Sonrelativamente leves,peronoabsolutamente,todavezqueenelvacíodescienden.Asícomoenelagualoscuerpos,que por su mayor o menor gravedad descienden o ascienden, son relativa yaparentemente graves o leves, y su gravedad o levedad relativa y aparente es elexcesoodefectoconelquesuverdaderagravedadosuperaalagravedaddelaguaoes superadapor ella.Pero las cosasquenodescienden sobrecargandoni asciendencediendoaunasobrecarga,peseaqueconsuspesosverdaderosaumentenelpesodeltodo, no gravitan en el agua relativamente y para el sentir común. Pues lademostracióndeestoscasosessimilar.

COROLARIO 7. Lo demostrado para la gravedad, tiene valor para otras fuerzascentrípetascualesquiera.


COROLARIO 8. Por consiguiente, si el medio, en el cual se mueve un cuerpocualquiera, estuviese sometido a la acción de su propia gravedad o de otra fuerzacentrípeta cualquiera, y el cuerpo padece esta misma acción más fuertemente, ladiferencia de fuerzas es aquella fuerza motriz que hemos considerado en lasProposicionesanteriorescomo fuerzacentrípeta.Si, encambio, el cuerpo sufreesaacción más levemente, la diferencia de fuerzas debe considerarse como fuerzacentrífuga.

COROLARIO9.Perocomolosfluidos,alpresionarsobreloscuerposinmersosenellos, no cambian sus figuras externas, también se sigue (por el Corolario de laProposiciónXIX)quenocambiaránlaubicacióndelaspartesinternasentresí:yporende, si se sumergen animales, y toda sensación procede del movimiento de laspartes, ni sufrirán daño los cuerpos sumergidos ni tendrán excitación sensorialalguna,salvoenlamedidaenqueestoscuerpospudieranserobjetodecondensaciónporcompresión.Ylomismoocurreconcualquiersistemadecuerposcontenidoenunfluido que lo comprima. Todas las partes del sistema sufrirán los mismosmovimientos que si se hallasen en el vacío y retuviesen únicamente su gravedad,salvoenlamedidaenqueelfluidoobienresistaalgoasusmovimientosobienlasobligueconsucompresiónaaglutinarse.

PROPOSICIÓNXXI.TEOREMAXVI

Sea la densidad de un fluido cualquiera proporcional a la compresión y sean suspartesatraídashaciaabajoporuna fuerzacentrípeta inversamenteproporcionalalas distancias de esas partes al centro: y digo que, si tales distancias se tomancontinuamente proporcionales, las densidades del fluido a esas mismas distanciastambiénseráncontinuamenteproporcionales.

RepresenteATVel fondoesféricosobreelquedescansael fluido,Selcentro,SA,SB, SD, SE, SF, etc., distancias continuamente proporcionales. Elévense lasperpendicularesAH,BI,CK,DL,EM,FN, etc., que seancomo lasdensidadesdelmedioen los lugaresA,B,C,D,E,F;y lasgravedadesespecíficasenesospuntos

seráncomoAHAS

,BIBS

,CKCS

,etc.,o,loqueeslomismo,comoAHAB

,BIBC

,CKCD

,etc.

Imaginemos,enprimerlugar,queestasgravedadessonuniformementecontinuasdeAaB,deBaC,deCaD,etc.,ocurriendolosdecrementosporgradosenlospuntosB, C, D, etc.Multiplicadas estas gravedades por las alturas AB, BC, CD, etc., seobtendrán laspresionesAH,BI,CK,etc., con lascualesestáurgidoel fondoATV(segúnelTeoremaXV).Portanto,lapartículaAsoportatodaslaspresionesAH,BI,CK,DL,yasísucesivamentehastaelinfinito;ylapartículaBsoportarátodasmenos


laprimeraAH;lapartículaCsoportaráatodasmenoslasdosprimerasAH,BI;yasísucesivamente:yenconsecuencia,ladensidadAHdelapartículaprimeraAesaladensidadBIdelasegundapartículaBcomolasumadetodoslosAH+BI+CK+DL,hastaelinfinito,alasumadetodoslosBI+CK+DL,etc.YladensidadBIdelasegundapartículaBesaladensidadCKdelaterceraCcomolasumadeBI+CK+DL,etc.,alasumadeCK+DL,etc.Portanto,dichassumassonproporcionalesasus diferencias AH, BI, CK, etc., y por ello continuamente proporcionales (por elLemaIdeestelibro)y,portanto,lasdiferenciasAH,BI,CK,etc.,proporcionalesalas sumas, son también continuamente proporcionales. Por lo cual, al ser lasdensidadesenlospuntosA,B,C,etc.,comoAH,BI,CK,etc.,éstasserántambiéncontinuamente proporcionales. Procédase por tramos, y por corresponder a lasdistanciasSA,SC,SE,continuamenteproporcionales,serán tambiénlasdensidadesAH,CK,EM,continuamenteproporcionales.Yporlamismarazón,paradistanciascualesquiera SA, SD, SG, continuamente proporcionales, las densidades AH, DL,GO, seráncontinuamenteproporcionales. Júntenseahora lospuntosA,B,C,D,E,etc.,demodoquelaprogresióndelasgravedadesespecíficasdesdeelfondoAhastala cima del fluido resulte continua, y para distancias cualesquiera SA, SD, SG,continuamente proporcionales, las densidades AH, DL, GO, al ser siemprecontinuamente proporcionales, permanecerán también ahora continuamenteproporcionales.Q.E.D.

COROLARIO.Deaquíquesisetienedadaladensidadendospuntos,comoAyE,puedeinferirseladensidaddelfluidoenotropuntocualquieraQ.Trácese,concentroenSy asíntotas rectasSQ,SX, unahipérbola que corte a las perpendicularesAH,EM,QT,ena,e,q,lomismoquealasperpendicularesHX,MY,TZ,trazadassobrelaasíntotaSX,enh,m,t.SeaeláreaYmtZrespectoaláreadadaYmhXcomoelárea


dada EeqQ al área dada EeaA; y la línea Zt prolongada cortará a la línea QTproporcional a la densidad. Pues si las líneas SA, SE, SQ, son continuamenteproporcionales, las áreas EeqQ, EeaA serán iguales y, por tanto, las áreasproporcionalesaellas,YmtZ,XhmY,seránigualestambién,ylaslíneasSX,SY,SZ,estoes,AH,EM,QT,necesariamente seráncontinuamenteproporcionales.Ysi laslíneas SA, SE, SQ, adquieren otro orden cualquiera en la serie de proporcionescontinuas,laslíneasAH,EM,QT,porlaproporcionalidaddelasáreashiperbólicas,adquiriránelmismoordenenotraseriedeproporcionalidadescontinuas.

PROPOSICIÓNXXII.TEOREMAXVII

Sea ladensidaddeun fluidocualquieraproporcionala lacompresiónysuspartessean atraídas hacia ahajo por una gravedad inversamente proporcional a loscuadrados de sus distancias al centro: digo que si las distancias se toman enproporción armónica, las densidades del fluido a esas distancias estarán enprogresióngeométrica.

Sea S el centro y SA, SB, SC, SD, SE las distancias en progresión geométrica.ElévenselasperpendicularesAH,BI,CK,etc.,queseancomolasdensidadesdelosfluidosenlospuntosA,B,C,D,E,etc.,ysusgravedadesespecíficasenesospuntos

serán comoAHSA2

,BISB2

,CKSC2

, etc. Supongamos que estas gravedades son

uniformementecontinuas,laprimeradesdeAhastaB,lasegundadesdeBhastaC,laterceradesdeChastaD,etc.YéstasmultiplicadasporlasalturasAB,BC,CD,DE,etc., o, lo que es lo mismo, por las distancias SA, SB, SC, etc., proporcionales a


dichasalturas,daránlasrepresentacionesdelaspresionesAHSA

,BISB

,CKSC

,etc.Porlo

cual,yaquelasdensidadessoncomolassumasdeestaspresiones,lasdiferenciasde

lasdensidadesAH-BI,BI-CK,etc.,seráncomolasdiferenciasdelassumasAHSA

,

BISB

,CKSC

,etc.ConcentroenSyasíntotasSA,Sx,tráceseunahipérbolaquecortea

las perpendiculares AH, BI, CK, etc., en a, b, c, etc., así como a Ht, Iu, Kw,perpendiculares trazadas sobre la asíntota Sx, en h, i, k; y las diferencias de

densidadestu,uw,etc.,seráncomo,AHxthSA

,BIxuiSB

,etc.Ylosrectángulostuxth,

uwxui,etc.,otp,uq,etc.,seráncomoAHxthSA

,BIxuiSB

,etc.,estoes,comoAa,Bb,

etc.Pues,por lanaturalezade lahipérbola,SAesaAHoStcomo th aAa, y por

tantoAHxthSA

es igualaAa.Ypor igual razonamientoBIxuiSB

es igualaBb,etc.

PeroAa,Bb,Cc,etc.,soncontinuamenteproporcionalesy,portanto,proporcionalesasusdiferenciasAa-Bb,Bb-Cc,etc.;yporello, los rectángulos tp,uq,etcétera,son proporcionales a las susodichas diferencias; al igual que las sumas de losrectángulostp+uqotp+uq+wrlosonalassumasdelasdiferenciasAa-CcoAa-Dd. Si se suponen muchos términos de éstos, la suma de todas las diferencias,pongamosAa-Fƒ,seráproporcionalalasumadetodoslosrectángulos,pongamoszthn.AuménteseelnúmerodetérminosydisminúyanselasdistanciasdelospuntosA. B, C etc., hasta el infinito, y dichos rectángulos resultarán iguales al áreahiperbólicazthny,portanto,ladiferenciaAa-Fƒesproporcionalaestaárea.Ahoratómenseunasdistanciascualesquiera,comoSA,SD,SFenprogresiónarmónica,ylas diferencias Aa - Dd, Dd - Fƒ serán iguales; y por ello, las áreas thlx, xlnzproporcionalesadichasdiferencias,seránigualesentresí,ylasdensidadesSt,Sx,Sz,estoes,AH,DL,FN,continuamenteproporcionales.Q.E.D.


COROLARIO.Deaquíque,sisedandosdensidadescualesquiera,AHyBI,deunfluido,estarádadaeláreathiu,correspondienteasudiferenciatu;ydeahísehallarála densidad FN para cualquier altura SF, tomando el área thnz respecto al áreasusodichadadathiucomoesladiferenciadeAa-FƒaladiferenciadeAa-Bb.

ESCOLIO

Porunrazonamientosimilarsepuedeprobarque,silagravedaddelaspartículasdeunfluidodisminuyeenrazóncúbicadelasdistanciasalcentromientraslosinversos

delcuadradodelasdistanciasSA,SB,SC,etc. osea,SA3

SA2,SA3

SB2,SA3

SC2setoman

en progresión aritmética, las densidades AH, BI, CK, etc., estarán en progresióngeométrica. Y si la gravedad disminuye en razón de la cuarta potencia de las

distanciasylosinversosdeloscubosdelasdistancias como,SA4

SA3,SA4

SB3,SA4

SC3,

etc. se tomanenprogresiónaritmética, lasdensidadesAH,BI,CK,etc., estaránenprogresión geométrica. Y así hasta el infinito. Y también, si la gravedad de laspartículasdeun fluido es lamismaa todas lasdistancias, y lasdistancias están enprogresión aritmética, las densidades estarán en progresión geométrica, comodescubrió el eminente EdmundHalley. Si la gravedad es como la distancia y loscuadradosdelasdistanciassehallanenprogresiónaritmética,lasdensidadesestaránenprogresióngeométrica.Yasíhastaelinfinito.Estoocurreasícuandoladensidaddelfluidocondensadoporcompresiónescomolafuerzadecompresión,o,loqueesigual,cuandoelespacioocupadoporelfluidoesinversamentecomodichafuerza.Sepuedenimaginarotrasleyesdecondensación,talescomoqueelcubodelafuerzadecondensaciónescomolacuartapotenciadeladensidad,oqueelcubodelafuerzaesigual que la cuarta potencia de la densidad. En tal caso, si la gravedad esinversamente como el cuadrado de la distancia al centro, la densidad seráinversamente como el cubo de la distancia. Imagínese que el cubo de la fuerza decompresión sea como la quinta potencia de la densidad, y si la gravedad esinversamente como el cuadrado de las distancias, la densidad será inversamenteproporcional a la potencia 3⁄2 de la distancia. Supongamos que la fuerza decompresión sea como el cuadrado de la densidad, y la gravedad inversamenteproporcional al cuadrado de la distancia, la densidad será entonces inversamenteproporcional a la distancia. Sería demasiado prolijo repasar todos los casos. Peroconstaexperimentalmentequeladensidaddelaireescomolafuerzadecompresiónexacta o al menosmuy aproximadamente: y, por tanto, la densidad del aire en la

( )

( )


atmósferadelatierraescomoelpesodetodoelairequesobrecarga,estoes,comolaalturadelmercurioenelbarómetro.

PROPOSICIÓNXXIII.TEOREMAXVIII[7]

Siladensidaddeunfluidocompuestodepartículasquehuyenunasdeotrasescomola compresión, las fuerzas centrífugas de las partículas son inversamenteproporcionales a las distancias de sus centros. Y viceversa, las partículas que serehuyen con fuerzas inversamente proporcionales a las distancias de sus centroscomponenunfluidoelásticocuyadensidadesproporcionalalacompresión.

Supongamosqueel fluidoestácontenidoenunespaciocúbicoACE,ydeéste,porcompresión,sereduceaotroespaciocúbicomenorace;ylasdistanciasentrelaspartículasquetienenUbicaciónsemejanteentresíenunoyotroespacio,seráncomolos lados AB, ab de los cubos; y las densidades de uno y otro medio seráninversamenteproporcionales a los espaciosque los contienen,AB3yab3. Sobre ellado planoABCDdel cubomayor tómese el cuadradoDP, igual al lado plano delcubomenordb;yporhipótesis,lapresiónconlacualactúaelcuadradoDPsobreelfluidocontenidoseráalapresiónconlaqueelsusodichocuadradodbactúasobreelfluidocontenidocomolasdensidadesdelosmediosentresí,estoescomoab3aAB3.Pero lapresión con la cual el cuadradoDBactúa sobre el fluido contenido es a lapresiónconlacualelcuadradoDPactúasobreelmismocontenidocomoelcuadradoDBalcuadradoDP,estoes,comoAB2aab2.Porconsiguiente,lapresiónconlacualelcuadradoDBactúasobreelfluidoesalapresiónconlacualactúasobreelfluidoelcuadradodbcomoabaAB.TrazandoporelinteriordeloscuboslosplanosFGH,ƒgh, quede el fluido separado en dos partes, y éstas se oprimirán entre sí con lasmismasfuerzasconlascualessonpresionadasporlosplanosAC,ac,estoes,enlaproporción de ab a AB: y por ello, las fuerzas centrífugas que responden a estaspresiones, están en lamisma proporción, puesto que el número de partículas es elmismoyladisposiciónsemejanteenamboscubos,lasfuerzasconlascualestodaslaspartículasactúansobre todassegúnlosplanosFGH,ƒgh,soncomolasfuerzasquecadaunaejercesobrecadauna.LuegolasfuerzasquecadaunaejercesobrecadaunasegúnelplanoFGHenel cubomayor sona las fuerzasquecadaunaejerce sobrecadaunasegúnelplanoƒghenelcubomenorcomoabaAB,estoes,inversamenteproporcionalesalasdistanciasmutuasdelaspartículas.Q.E.D.


Yviceversa,silasfuerzasdecadapartículasoninversamenteproporcionalesaladistancia,esdecir,inversamenteproporcionalesalosladosAB,ab,deloscubos;lassumasdelasfuerzasestaránenlamismaproporción,ylaspresionesdelosladosDB,db, serán como las sumas de las fuerzas; y la presión del cuadrado DP será a lapresióndelladoDBcomoab2aAB2.Y,porconsiguiente,lapresióndelcuadradoDPseráalapresióndelladodbcomoab3aAB3,esdecir,lafuerzadecompresiónalafuerzadecompresióncomoladensidadaladensidad.Q.E.D.

ESCOLIO

Yporunrazonamientosemejante,silasfuerzascentrífugasdelaspartículassoninversamenteproporcionalesaloscuadradosdelasdistanciasentrecentros,loscubosdelasfuerzasdecompresiónseráncomolacuartapotenciadelasdensidades.Silasfuerzascentrífugassoninversamenteproporcionalesalaterceraocuartapotenciadelasdistancias, loscubosde las fuerzasdecompresiónseráncomolaquintaosextapotencia de las densidades. Y demodo general, si D representa la distancia, E ladensidad del fluido comprimido y las fuerzas centrífugas son inversamenteproporcionales a una potencia cualquiera de la distancia D cuyo índice sea n lasfuerzasdecompresiónseráncomolas raícescúbicasde lapotenciadeEn + 2,cuyoíndice sea n + 2: y viceversa. Pero esto ha de entenderse respecto a fuerzascentrífugasdepartículasque limitanconpartículaspróximasoquenoseexpandenmucho más allá. Tenemos un ejemplo en los cuerpos magnéticos. El poder deatraccióndeloscualesterminacasienloscuerposcontiguosdesupropiogénero.Lafuerza magnética disminuye por la interposición de una lámina de hierro, y casiterminaenlalámina.Puesloscuerposulterioressonatraídosmásporlaláminaquepor el imán. Del mismomodo, si unas partículas repelen a otras partículas de suespecie que están próximas, mientras que no ejercen fuerza alguna sobre otraspartículasmás lejanas, es de partículas de este género de las que se componen losfluidos sobre los que se ha tratado en estaProposición.Porque si la fuerza de unapartícula cualquiera se propagase hasta el infinito, se necesitaría una fuerzamayorparaalcanzarunacondensaciónigualdeunamayorcantidaddefluido.Peroesunacuestión física la de si los fluidos elásticos constan de partículas que se repelen


mutuamente.Pornuestrapartehemosdemostradomatemáticamentelapropiedaddelosfluidoscompuestosdetalespartículas,paradaralosfilósofosunasideroaltratarestacuestión.


SecciónVIDELMOVIMIENTOYRESISTENCIADECUERPOSPENDULARES

PROPOSICIÓNXXIV.TEOREMAXIX

Lascantidadesdemateriadecuerpospendularescuyoscentrosdeoscilaciónestánaigualdistanciadelcentrodesuspensiónsehallanenrazóncompuestadelarazóndelpesoydelarazóndelcuadradodelostiemposdeoscilaciónenelvacío.

Pueslavelocidadquesobreunamateriadadapuedeengendrarunafuerzadadaenuntiempodado,esdirectamentecomolafuerzayeltiempoeinversamentecomolamateria.Cuantomayoressonlafuerzaoeltiempo,omenorlamateria,tantomayorserá la velocidad generada. Esto es evidente por la segunda Ley delMovimiento.Ahora bien, si los péndulos son de igual longitud, las fuerzas motrices en puntosequidistantes de la perpendicular son como los pesos: y por ello, si dos cuerpososcilandodescribenarcosigualesydichosarcossedividenenpartesiguales,porserlos tiempos en que los cuerpos describen cada parte de los arcos correspondientescomolostiempostotalesdeoscilación,lasvelocidadesencadapartecorrespondientede oscilación serán entre sí como las fuerzas motrices y los tiempos totales deoscilacióndirectamenteeinversamentecomolascantidadesdemateria:yportanto,las cantidades de materia serán directamente como las fuerzas y los tiempos deoscilación e inversamente como las velocidades. Pero las velocidades soninversamente como los tiemposy,por consiguiente, los tiemposdirectamentey lasvelocidades inversamente son como los cuadrados de los tiempos, por lo cual lascantidadesdemateriasoncomolasfuerzasmotricesyloscuadradosdelostiempos,esdecir,comolospesosyelcuadradodelostiempos.Q.E.D.

COROLARIO1.Portanto,silostiempossoniguales,lascantidadesdemateriaencadacuerposeráncomolospesos.

COROLARIO2.Silospesossoniguales,lascantidadesdemateriaseráncomoloscuadradosdelostiempos.

COROLARIO 3. Si las cantidades de materia son iguales, los pesos seráninversamenteproporcionalesaloscuadradosdelostiempos.

COROLARIO4.Dedonde,alser,«caeterisparibus»,loscuadradosdelostiempos


comolas longitudesde lospéndulos,sison iguales los tiemposy lascantidadesdemateria,lospesosseráncomolalongituddelospéndulos.

COROLARIO 5. Y en general, la cantidad de materia pendular es directamenteproporcional al peso y al cuadrado del tiempo, e inversamente a la longitud delpéndulo.

COROLARIO 6. Pero en medio no resistente la cantidad de materia pendular esdirectamentecomoelpesorelativoyelcuadradodeltiempoeinversamentecomolalongituddelpéndulo.Pueselpesorelativoeslafuerzamotrizdelcuerpoenunmediogravecualquiera,comoexpliquémásarriba;yportanto,cumpleelmismopapelenunmedionoresistentequeelpesoabsolutoenelvacío.

COROLARIO7.Ydeaquíseobtienelarazóntantoparacompararloscuerposentresíencuantoalacantidaddemateriaencadauno,comoparacompararlospesosdelmismocuerpoendistintoslugares,paraconocerlasvariacionesdelagravedad.Pero,mediante experimentos realizados con la mayor precisión siempre hallé que lacantidaddemateriaencadacuerpoesproporcionalasupeso.

PROPOSICIÓNXXV.TEOREMAXX

Loscuerpospendularesaloscuales,enunmediocualquiera,seresisteenrazóndelosmomentos de tiempo y los cuerpos pendulares que semueven en unmedio noresistente de la misma gravedad especifica, completan en el mismo tiempo lasoscilacionesenunacicloideydescribenentiemposigualespartesproporcionalesdearcos.

SeaABelarcode lacicloidequeelcuerpoDdescribealoscilarenun tiempocualquiera y enmedio no resistente. Sea bisecado enC demodo queC resulte supuntoinferior;ylafuerzaaceleratrizqueempujaalcuerpoenunpuntocualquieraD,od,oE,serácomolalongituddelarcoCD,oCd,oCE.Represénteseesafuerzapordichoarco,yalserlaresistenciacomoelmomentodetiempo,yporelloestardada,represéntese ésta por una parte dada del arco cicloide CO, y tómese el arco Odrespectoal arcoCDen lamismaproporciónque tieneel arcoOB respectoal arcoCB:ylafuerzaqueempujaalCuerpoendenmedioresistente,alserelexcesodelafuerzaCdsobrelaresistenciaCO,vendrárepresentadaporelarcoOd,yporesoseráalafuerzaqueempujaalcuerpoDenunmedionoresistenteenelpuntoD,comoelarcoOdalarcoCD;portanto,tambiénenelpuntoBcomoelarcoOBalarcoCB.DesuertequesidoscuerposD,d,partendelpuntoBempujadosporestasfuerzas,alserlasfuerzasalcomienzocomolosarcosCByOB,lasvelocidadesinicialesylosarcosinicialmentedescritosestaránenlamismarazón.SeandichosarcosBDyBdylos arcos restantes CD,Od, estarán en lamisma proporción. Por consiguiente, lasfuerzas proporcionales a los propios CD,Od seguirán siendo proporcionales en la


misma razónque al principio y, por tanto, los cuerpos seguirán describiendo arcossimultáneamenteenlamismaproporción.Porlocual, lasfuerzas,lasvelocidadesylosrestantesarcosCD,Od,siempreseráncomolosarcostotalesCB,OB,yportantodichosarcos restantessiempreserándescritossimultáneamente.Por locual losdoscuerposD,d,llegaránalavezalospuntosCyO,uno,enunmedionoresistente,alpunto C, mientras el otro, en un medio resistente, al punto O. Mas, como lasvelocidades en C y O son como los arcos CB, OB, los arcos que describen loscuerposdespués,almarcharalavez,seránarcosqueesténenlamismarazón.SeanestosCE,Oe.LafuerzaqueretardaalcuerpoDenunmedionoresistenteenelpuntoEescomoCE,ylafuerzaqueretardaalcuerpodenunmedioresistenteenelpuntoe es como la sumade la fuerzaCe y de la resistenciaCO, es decir, comoOe;portanto, las fuerzas que retardan a los cuerpos son como los arcos CB, OB,proporcionalesalosarcosCE,Oe;yporlomismolasvelocidades,retardadasenesarazóndada,semantienenenesamismarazóndada.Porconsiguiente,lasvelocidadesy los arcos descritos con ellas siempre están entre sí en la susodicha razón de losarcosCByOB;yporello,sisetomanlosarcostotalesAB,aB,enlamismarazón,los cuerpos D, d, describirán esos arcos simultáneamente, y en los puntos A, a,perderán a la vez todo sumovimiento.Y, por consiguiente, las oscilaciones totalessonisócronasycualesquierapartesdearcos,BD,Bd,oBE,BedescritasalavezsonproporcionalesalosarcostotalesBA,Ba.Q.E.D.

COROLARIO. Por lo cual, el movimiento más rápido en un medio resistente noocurre en el puntomásbajoC, sinoque se encuentra en el puntoO, en el cual esbisecadoelarcototaldescritoaB.YelcuerpoalirdesdeallíhastaasevaretardandoenelmismogradoenqueantesseacelerabaaldescenderdesdeBhastaO.

PROPOSICIÓNXXVI.TEOREMAXXI

Lasoscilacionesenunacicloidedeloscuerpospendulares,alosqueseresisteenrazóndelasvelocidades,sonisócronas.


Puessidoscuerposigualmentedistantesdesuscentrosdesuspensióndescribenoscilandoarcosdesigualesylasvelocidadesenlaspartescorrespondientesdearcossonentresícomolosarcostotales,lasresistencias,proporcionalesalasvelocidades,serán también entre sí como los propios arcos. Por lo cual, si estas resistencias sesumanorestana las fuerzasmotricesoriginadaspor lagravedadquesoncomolospropios arcos, las sumas o las diferencias serán entre sí en lamisma razón de losarcos: y como los incrementos o decrementos de las velocidades son como estassumas o diferencias, las velocidades serán siempre como los arcos totales: porconsiguiente, las velocidades, si en una ocasión son como los arcos totales,permaneceránsiempreenesaproporción.Peroalprincipiodelmovimiento,cuandolos cuerpos comienzan a descender y describir dichos arcos, las fuerzas, al serproporcionalesalosarcos,generaránvelocidadesproporcionalesalosarcos.Luegolasvelocidadessiempreseráncomolosarcostotalesadescribir,yporconsiguiente,dichosarcosserándescritosenelmismotiempo.Q.E.D.

PROPOSICIÓNXXVII.TEOREMAXXII

Siseresistealoscuerpospendularesenrazóndelcuadradodelasvelocidades,lasdiferencias entre los tiemposdeoscilaciónenunmedio resistente y los tiemposdeoscilación en un medio no resistente de la misma gravedad específica seránaproximadamenteproporcionalesalosarcosdescritosaloscilar.

Pues, si con péndulos iguales se describen en un medio resistente los arcosdesigualesA,B;laresistenciadelcuerpoenelarcoAseráalaresistenciadelcuerpoenlapartecorrespondientedelarcoBcomoelcuadradodelasvelocidades,estoes,aproximadamentecomoAAaBB.SilaresistenciaenelarcoBfuesealaresistenciaenelarcoAcomoABaAA, los tiemposen losarcosAyBserían iguales,por laProposición anterior. Por consiguiente, la resistenciaAAen el arcoA, oAB en elarco B, produce el exceso de tiempo en el arco A sobre el tiempo en medio noresistente; y la resistencia BB produce el exceso de tiempo en el arco B sobre eltiempoenmedionoresistente.Perotalesexcesossoncomolasfuerzasproductorasmuyaproximadamente,estoes,comolosarcosAyB.Q.E.D.

COROLARIO1.Porello,apartirdelostiemposdeoscilacionesrealizadasenarcosdesiguales y enmedios resistentes se puede conocer el tiempode oscilación enunmedionoresistentede lamismagravedadespecífica.Pues ladiferenciade tiemposserá al exceso de tiempo en el arcomenor sobre el tiempo enmedio no resistentecomoladiferenciadelosarcosalarcomenor.

COROLARIO2.Lasoscilacionesmáscortassonmásisócronas,ylasmuycortasserealizan aproximadamente en los mismos tiempos que en un medio no resistente.Pero los tiempos de aquellas que se realizan en arcos más grandes son un poco


mayores,debidoaquelaresistenciaaldescenderelcuerpo,porlaqueeltiemposealarga,esmayorconrelaciónalalongituddescritaeneldescensoquelaresistenciaenelascensosubsiguientegraciasalacualeltiemposeacorta.Perolostiemposdeoscilación, tantobreves como largas, parecen alargarseunpocopor elmovimientodelmedio.Puesaloscuerposqueseretardanlosresistealgomenosenrazóndesuvelocidad,mientrasquealosqueseaceleranlosresistealgomásqueaaquellosqueseproducenuniformemente: y esto por cuantoque elmedio, desplazándose con elmovimientorecibidodeloscuerposhaciaelmismolado,seagitamásenelprimercaso ymenos en el segundo; y por ello colaboramás omenos con los cuerpos enmovimiento.Desuertequeeneldescensoresistemásalospéndulosyenelascensomenosqueenrazóndesuvelocidad,conloqueporunayotracausaeltiemporesultaprolongado.

PROPOSICIÓNXXVIII.TEOREMAXXIII

Si a un cuerpo pendular que oscila por una cicloide se le resiste en razón de losmomentosdetiempo,suresistenciaseráalafuerzadelagravedadcomoelexcesodel arco descrito en el descenso total sobre el arco de ascenso descritosubsiguientementealdobledelalongituddelpéndulo.

SeaBCelarcodescritoeneldescenso,Caelarcodescritoenelascenso,yAaladiferenciaentre losarcos:ymanteniendo lascosasconstruidasydemostradasen laProposición XXV, la fuerza que actúa sobre el cuerpo en oscilación en un puntocualquieraDseráa la fuerzaderesistenciacomoelarcoCDalarcoCO,quees lamitad de la dicha diferencia Aa. Y por ello, la fuerza que actúa sobre el cuerpooscilante al principiode la cicloideo en el puntomás alto, esto es, la fuerzade lagravedadseráalaresistenciacomoelarcocicloidecomprendidoentreelpuntomásaltoyelpuntomásbajoCalarcoCO;esdecir(silosarcosseduplican)comoelarcodetodalacicloide,oeldobledelalongituddelpéndulo,alarcoAa.Q.E.D.


PROPOSICIÓNXXIX.PROBLEMAVI

Supuestoqueauncuerpooscilanteenunacicloideseleresisteenrazóndelcuadradodelavelocidad,hallarlaresistenciaencadapunto.

SeaBaelarcodescritoconlaoscilacióncompleta,yseaCelpuntomásbajodelacicloide y CZ la mitad del arco cicloide total, igual a la longitud del péndulo; ytratemosdehallarlaresistenciadelcuerpoenunpuntocualquieraD.Córteselarectainfinita OQ en los puntos O, S, P, Q, con la condición de que (si se elevan lasperpendicularesOK,ST,PI,QE,yconcentroenOyasíntotasOK,OQse traza lahipérbolaTIGEquecortealasperpendicularesST,PI,QE,enT,I,E,yporelpuntoIse traza KF paralela a la asíntota OQ y que corte a la asíntota OK en K y a lasperpendicularesSTyQEenLyF)eláreahiperbólicaPIEQseaaláreahiperbólicaPITScomoelarcoBCdescritoeneldescensodelcuerpoalarcoCadescritoenelascenso,yeláreaIEFaláreaILTcomoOQaOS.Después,conlaperpendicularMNsepáreseeláreahiperbólicaPINMqueseaaláreahiperbólicaPIEQcomoelarcoCZalarcoBCdescritoeneldescenso.YsiconlaperpendicularRGsesegregaeláreahiperbólica PIGR que sea al área PIEQ como un arco cualquiera CD al arco BCdescritoeneldescensocompleto; laresistenciaenelpuntoDseráalafuerzadela

gravedadcomoeláreaOROQ

IEF-IGHaláreaPINM.

YsilasfuerzasprocedentesdelagravedadqueactúansobreelcuerpoenlospuntosZ,B,D,a,soncomolosarcosCZ,CB,CD,Ca,ydichosarcossoncomolasáreasPINM,PIEQ,PIGR,PITS;entonces,represéntensetantolosarcoscomolasfuerzasporestasáreas.Además,seaDdunespaciomuypequeñorecorridoporelcuerpoendescensoy represéntese por el áreamínimaRGgr, comprendida entre las paralelasRG,rg;yprolóngueserghastahdesuertequeGHhgyRGgrseanlosdecrementos

simultáneosde lasáreasIGH,PIGR.El incrementoGHhg -RrOQ

IEF,oRrxHG-

RrOQ

IEFdeláreaOROQ

IEF-IGHseráaldecrementoRGgr,oRrxRGdeláreaPIGR


comoHG-IEFOQ

aRG;yportanto,comoORxHG-OROQ

IEFaORxGR,oOPxPI,

esdecir (porser igualesORxHG,ORxHR-ORxGR,ORHK-OPIK,PIHRy

PIGR+IGH)comoPIGR+IGH-OROQ

IEFaOPIK.Luego,sieláreaOROQ

IEF-IGH

sellamaY,yeldecrementoRGgrdeláreaPIGRsehallasedado,elincrementodeláreaYseríacomoPIGR-Y.

PorquesiVdesignaselafuerzaprocedentedelagravedadproporcionalalarcoadescribirCDy que actúa sobre el cuerpo enD, y se escribeR para representar laresistencia, V - R será la fuerza total que actúa sobre el cuerpo en D. Y así elincrementodelavelocidadescomoV-Rylapartículadetiempoenqueseproduceconjuntamente: pero la propia velocidad es directamente como el incrementocontemporáneo de espacio recorrido e inversamente como la misma partícula detiempo. De donde, al ser, por hipótesis, la resistencia como el cuadrado de lavelocidad,elincrementodelaresistencia(porelLemaII)serácomolavelocidadyelincrementodelavelocidadconjuntamente,esdecir,comoelmomentodeespacioyV-Rconjuntamente;yporconsiguiente,sisedaelmomentodeespacio,comoV-R;desuerteque,siporlafuerzaVescribimossurepresentaciónPIGR,ylaresistenciaRserepresentaporotraáreacualquieraZ,vendráasercomoPIGR-Z.

Por tanto, al decrecer continuamente el área PIGR por la sustracción demomentosdados,crecenlasáreas,Y,enrazóndePIGR-Y,yZenrazóndePIGR-Z. Y por consiguiente, si las áreas Y y Z comienzan a la vez y son iguales alprincipio, continuarán siendo iguales por la adición demomentos iguales, de igualmodo que después desaparecerán a la vez al decrecer por momentos iguales. Yviceversa,siempiezanysedesvanecena lavez, tendránmomentos igualesyseránsiempreiguales:yestoademásporque,silaresistenciaZaumenta,lavelocidadjuntocon el arco aquel Ca, que se describe en si ascenso del cuerpo, disminuirán; y alacercarse el punto en que cesan todomovimiento y toda resistencia al puntoC, laresistenciasedesvanecemásrápidamentequeeláreaY.Locontrariohabrádeocurrircuandosedisminuyelaresistencia.

Ahora bien, el área Z comienza y acaba cuando la resistencia es nula, es decir, alprincipio delmovimiento, cuando el arco CD se iguala al arco CB y la recta RG


incidesobrelarectaQE,yalfinaldelmovimiento,cuandoelarcoCDseigualaal

arcoCayRGincidesobrelarectaST.YeláreaY,oseaOROQ

EIF-IGH,comienzay

acabatambiéncuandoesnula,yporellocuandoOROQ

IEFyIGHsoniguales:esdecir

(porconstrucción)cuandolarectaRGincidesucesivamentesobrelasrectasQEyST.Yportanto,dichasáreascomienzanysedesvanecenalavez,porloquesiempreson

iguales. En consecuencia el áreaOROQ

IEF - IGH es igual al área Z, por la cual se

representa la resistencia, y por ello es al área PINM por la que se representa lagravedad,comolaresistenciaalagravedad.Q.E.D.

COROLARIO 1. Por tanto, la resistencia en el puntomásbajoC es a la fuerza de la

gravedadcomoeláreaOPOQ

IEFaláreaPINM.

COROLARIO 2. En cambio se hacemáxima cuando el área PIHR es al área IEFcomoORaOQ.Puesentalcasosumomento(asaberPIGR-Y)resultanulo.

COROLARIO3.Deaquíseobtienetambiénlavelocidadencadapunto:yaqueescomolaraízcuadradadelaresistencia,yalcomienzomismodelmovimientoesigualalavelocidaddelcuerpooscilanteenlamismacicloidesinresistenciaalguna.

Por otra parte, dada la dificultad del cálculo para hallar la resistencia y lavelocidadpormediodeestaproposición,pareceoportunoañadirlasiguiente.

PROPOSICIÓNXXX.TEOREMAXXIV

SilarectaaBfueseigualalarcodelacicloidedescritoporuncuerpooscilante,yporcadaunodesuspuntosDseelevanlasperpendicularesDK,talesqueseanalalongituddelpéndulocomolaresistenciadelcuerpoenlospuntoscorrespondientesdelarcoalafuerzadelagravedad:digoqueladiferenciaentreelarcodescritoentodoeldescensoyelarcodescritoentodoelascensosubsiguientemultiplicadaporla semisuma de ambos arcos será igual al área BKa ocupada por todas lasperpendicularesDK.

Represéntese, pues, el arco de la cicloide descrito en una oscilación completamediante la susodicha rectaaB, igual a él, y el arco que se hubiere descrito en elvacíomediantelalongitudAB.AlbisecarABenC,elpuntoCrepresentaráelpuntoinferiordelacicloide,yCDserácomolafuerzaprocedentedelagravedadqueactúasobreelcuerpoenDsegúnlatangentedelacicloide,ytendrárespectoalalongituddel péndulo la misma razón que tiene la fuerza en D respecto a la fuerza de la


gravedad. Represéntese, pues, dicha fuerza por la longitud CD y la fuerza de lagravedadmediantelalongituddelpéndulo,ysisobreDEsetomaDKenlamismarazón respecto a la longitud del péndulo que la de la resistencia respecto a lagravedad,DK representará a la resistencia.Con centro enC y distanciaCA oCBconstrúyase el semicírculo BEeA. Y el cuerpo recorra en un tiempo mínimo elespacioDd,yelevandolasperpendicularesDE,dequetoquenalacircunferenciaenEye,éstasseráncomolasvelocidadesqueadquiriríaelcuerpocayendoenelvacíodesdeelpuntoBalalcanzarlospuntosDya.Estoesevidente(porlaProposiciónLIIdel Libro I). Represéntense, pues, estas velocidades por las susodichasperpendicularesDE,de;yseaDFlavelocidadqueadquiereenDalcaerdesdeBenunmedioresistente.YsiconcentroenCydistanciaCFsetrazaelcírculoFƒMquecortealasrectasdeyABenƒyM,seráMelpuntohastaelqueascenderíasinrestode resistencia, y dƒ la velocidad que alcanzaría en d. De donde también, si Fgrepresenta elmomentode velocidadquepierde el cuerpoD al describir el espaciomínimoDdporcausadelaresistencia,ysisetomaCNigualaCg,seráNelpuntohastaelcualasciendaelcuerposinrestoderesistencia,yMNseráeldecrementodeascensodebidoalapérdidaantedichadevelocidad.SobredƒtráceselaperpendicularFm, y el decremento Fg de la velocidad DF debido a la resistencia DK será alincremento ƒm de la misma velocidad debido a la fuerza CD como la fuerzageneratrizDKalafuerzageneratrizCD.PeroporsersemejanteslostriángulosFmƒ,Fhg,FDC,resultaqueƒmesaFmoDdcomoCDaDF;yportantoFgaDdcomoDKaDF.Yademás,FhaFg comoDFaCF;ypor transposición,FhoMNaDdcomoDKaCFoCM;yporconsiguiente,lasumadetodoslosMNxCMseráigualalasumade todos losDdxDK.EnelpuntomóvilMsupóngase siempre levantadauna ordenada rectangular igual a la indeterminada CM, que moviéndosecontinuamente esmultiplicada por toda la longitudAa; y el trapecio resultante dedichomovimiento,osuigual,elrectánguloAax½aBseráigualalasumadetodoslosDdxDK,esdecir,aláreaBKVTa.Q.E.D.

COROLARIO.Deaquíque,delaleydelaresistenciaydeladiferenciaAaentrelosarcosCa,CB,sepuedainferirlaproporcióndelaresistenciarespectoalagravedadmuyaproximadamente.

Pues si la resistencia DK es uniforme, la figura BKTa será un rectángulo


comprendido entre Ba y DK, y DK será igual a ½Aa. Por lo cual, al ser DK larepresentación de la resistencia, y la longitud del péndulo la de la gravedad, laresistenciaseráalagravedadcomo½Aaesalalongituddelpéndulo;talycomosedemostróenlaProposiciónXXVIII.

Si la resistencia fuese como la velocidad, la figura BKTa será muyaproximadamenteunaelipse.Puessielcuerpo,enunmedionoresistente,describieraconunaoscilacióncompletalalongitudBA,lavelocidadenunpuntocualquieraDsería como la ordenada DE aplicada al diámetro AB del círculo descrito. Porconsiguiente,dadoqueBaenunmedioresistenteyBAenunmedionoresistentesondescritascasienlosmismostiempos,poresomismolasvelocidadesencadapuntodeBasonmuyaproximadamentealasvelocidadesenlospuntoscorrespondientesdelalongitudBAcomoBaaBA;lavelocidadenelpuntoDenunmedioresistenteserácomolaordenadaaplicadaaldiámetroBadelcírculooelipsedescritosconél;yporello, la figuraBKVTa será aproximadamente una elipse.Al suponer la resistenciaproporcional a lagravedad,OVserá la representaciónde la resistencia en el puntomedio O; y la elipse BRVSa, descrita con centro en O y semiejes OB, OV, seráaproximadamente iguala la figuraBKVTa, o a su igual rectangularAa xBO.Portanto,AaxBOesaOVxBOcomoeláreadedichaelipseaOVxBA;esdecir,AaesaOVcomoeláreadelsemicírculoalcuadradodelradio,otambién,como11a17aproximadamente: y por consiguiente 7⁄11Aa es a la longitud del péndulo como laresistenciaenOdelcuerpooscilanteasugravedad.

Pero si la resistencia DK fuese como el cuadrado de la velocidad, la figuraBKVTa sería casi una parábola de vértice en V y eje OV, y, por tanto, igual alrectángulocomprendidoentre 2⁄3BayOVmuyaproximadamente.Porconsiguiente,elrectángulo2⁄3BaxAaesigualalcomprendidoentre2⁄3BayOV,yporello,OVesiguala¼Aa:porlocuallaresistenciaenOdeuncuerpooscilanteesasugravedadcomo¼Aaalalongituddelpéndulo.

Y considero que estas conclusiones sonmás que suficientemente exactas en lapráctica.Porque,alcoincidirlaelipseolaparábolaBRVSaconlafiguraBKVTaenelpuntomedioV,siestafiguraexcedehaciaunaparteBRVohaciaotraVSaalaotrafigura,serámáspequeñaqueellahacialaotraparte,ydeesemodoseigualarámuyaproximadamenteconella.

PROPOSICIÓNXXXI.TEOREMAXXV

Si la resistencia de un cuerpo oscilante en cada parte proporcional de los arcosdescritosesaumentadaodisminuidaenunarazóndada,ladiferenciaentreelarcodescrito en el descenso y el descrito en el subsiguiente ascenso aumentará odisminuiráenlamismarazón.


Puesdichadiferenciaprocededelaretardacióndelpéndulodebidaalaresistenciadelmedio,yes,portanto,comolaretardacióntotalycomolaresistenciaretardante,proporcionalaaquélla.EnlaProposiciónanteriorelrectángulocomprendidobajolarecta½aByladiferenciaAadelosdichosarcosCB,CaeraigualaláreaBKTa.Ydicha área, si se mantiene la longitud aB, aumenta o disminuye en razón de lasordenadasaplicadasDK;esdecir,enrazónde la resistenciay,porello,escomolalongitud aB y la resistencia conjuntamente. Y por lo mismo, el rectángulocomprendidoentreAay½aBescomoaBy la resistencia conjuntamente y, por lotanto,Aaescomolaresistencia.Q.E.D.

COROLARIO1.Dedonde,si la resistenciaescomolavelocidad, ladiferenciadearcosenelmismomedioserácomoelarcototaldescrito,yviceversa.

COROLARIO 2. Si la resistencia fuese como el cuadrado de la velocidad, dichadiferenciaseríacomoelcuadradodelarcototal,yviceversa.

COROLARIO 3. Y en general, si la resistencia es como el cubo u otra potenciacualquiera de la velocidad, la diferencia será como esa potencia del arco total, yviceversa.

COROLARIO4.Ysilaresistenciaesenparteproporcionalalavelocidadyenparteproporcional al cuadrado de la velocidad, la diferencia será en parte como el arcototalyenpartecomoelcuadradodelmismo:yviceversa.Lamismaserálaleyylarazón de la resistencia respecto a la velocidad que la ley y razón de la dichadiferenciaconrespectoalalongituddelarco.

COROLARIO5.Y,porconsiguiente,siparaunpénduloquedescribesucesivamentearcos desiguales es posible hallar la razón del incremento o decremento de estadiferenciaconrespectoalalongituddelarcodescrito,setendrátambiénlarazóndelincrementoodecrementodelaresistenciarespectoaunavelocidadmayoromenor.

ESCOLIOGENERAL[8]

De estas proposiciones, a través de oscilaciones de péndulos en medioscualesquiera,sepuedehallarlaresistenciadelosmedios.Pormiparteheinvestigadolaresistenciadelaireconlosexperimentossiguientes.Suspendíconunhilodelgado


deunclavobienfirmeaunabolademaderade577⁄22onzasRomanasdepesoydeundiámetro de 6⅞pulgadas deLondres y demodo que entre el clavo y el centro deoscilacióndelabolaladistanciafuesede10½pies.Sobreelhiloseñaléunpuntoadiezpiesyunapulgadadelcentrodesuspensión,yalaalturadedichopuntosituéuna regla dividida en pulgadas que permitiesen anotar las longitudes de los arcosdescritosporelpéndulo.Despuéscontélasoscilacionesenlasquelabolaperdíalaoctavapartedesumovimiento.Sielpénduloseapartabade laperpendicularhastaunadistanciadedospulgadasydesdeallí se soltaba,demodoqueensudescensototalrecorrieseunarcodedospulgadasycontodalaprimeraoscilaciónunarcodecasicuatropulgadas,aquél,alcabode164oscilaciones,habíaperdidolaoctavapartedesumovimiento,desuertequeenelúltimoascensorecorríaunarcodeunapulgadaytrescuartos.Sienelprimerdescensodescribióunarcodecuatropulgadas,perdióla octava parte de sumovimiento en 121 oscilaciones, de suerte que en la últimaascensióndescribióunarcode3½pulgadas.Sienelprimerdescensodescribióunarcodeochopulgadas,odieciséis,otreintaydos,osesentaycuatro,perdiólaoctavapartedesumovimientocon69oscilaciones,o35½,o18½,o92⁄3, respectivamente.Por tanto, ladiferenciaentre losarcosdescritosconelprimerdescensoyelúltimoascensoeraenelcasoprimero,segundo,tercero,cuarto,quinto,sextode¼,½,1,2,4, 8, pulgadas, respectivamente. Divídanse estas diferencias por el número deoscilacionesencadacasoy,paraunaoscilaciónmediaenlaquesedescribióunarcode 3¾, 7½, 15, 30, 60 y 120 pulgadas, la diferencia de los arcos descritos en eldescensoyelsubsiguienteascensoseráde1⁄656,1⁄242,1⁄69,4⁄71,8⁄37,24⁄29partesdepulgada,respectivamente. Ahora bien, estas diferencias, en las oscilaciones mayores, sonaproximadamente como los cuadrados de los arcos descritos, mientras que en lasmenores,sonunpocomayoresqueendichaproporción;yportanto(porelCorolario2de laProposiciónXXXIdeesteLibro), la resistenciade labola,cuandosemuevecon mayor celeridad, es aproximadamente como el cuadrado de la velocidad; ycuandosemuevemáslentamenteesalgomayorqueendichaproporción.

AhorallamemosValavelocidadmáximaenunaoscilacióncualquiera,yseanA,B,Cunascantidadesdadas,ysupongamosqueladiferenciadelosarcosseaAV+BV3⁄2

+CV2.Puestoquelasvelocidadesmáximassonenlacicloidecomolasmitadesdelosarcosdescritosenlaoscilación,mientrasenelcírculosoncomolascuerdasdelosdichossemiarcosy,portanto,aigualesarcosseanmayoresenlacicloidequeenelcírculoy ello en razónde los semiarcos a sus cuerdas;mientrasporotraparte, lostiempos en el círculo sonmayores que en la cicloidey ello en razón inversade lavelocidad,esevidentequelasdiferenciasdelosarcos(quesoncomolaresistenciayelcuadradodel tiempoconjuntamente)handeser lasmismasaproximadamenteenunayotracurva:puesdeberánlassusodichasdiferenciasaumentarenlacicloide,alavez que la resistencia, casi como la razón cuadrada del arco a la cuerda, por estaraumentadalavelocidadendicharazónsimple;ydisminuir,juntoconelcuadradodel


tiempo,enlamismarazóncuadrada.Paratrasladarestoalacicloide,sehandetomarlasmismasdiferenciasdearcosquefueronobservadasenelcírculo,ylasvelocidadesmáximasanálogasalosarcosmediosoenteros,esdecir,análogosalosnúmeros½,1,2,4,8,16.Entonces,paraloscasossegundo,cuartoysexto,escribamosenlugar

deVlosnúmeros1,4y16;yladiferenciadearcosresultará½121

=A+B+C,para

elsegundocaso;2

35½=4A+8B+16C,paraelcuartocaso;y

892⁄3

=16A+64B+

256C, para el sexto caso. Una vez que estas ecuaciones han sido resueltas por ladebida reducción, resultaráA= 0,0000916,B= 0,0010847, yC= 0,0029558. Portanto, la diferencia de los arcos es como 0,0000916V + 0,0010847V3⁄2 +0,0029558V2;yporconsiguiente,dadoque(porelCorolariodelaProposiciónXXXaplicado a este caso) la resistencia del globo en la mitad del arco de oscilación,cuandolavelocidadesV,esasupesocomo7⁄11AV+7⁄10BV

3⁄2+¾CV2esalalongituddelpéndulo,siseescribenenlugardeA,B,yClosnúmeroshallados,laresistenciadel globo será a su peso como 0,0000583V + 0,0007593V3⁄2 + 0,0022169V2 a lalongituddelpénduloentreelcentrodesuspensiónylaregla,esdecir,a121pulgadas.YpuestoqueVenelsegundocasorepresentaa1,enelcuartoa4yenelsextoa16,laresistenciaseráalpesodelgloboenelsegundocasocomo0,0030345a121,enelcuartocomo0,041748a121yenelsextocomo0,61705a121.

Elarcodescritoporelpuntomarcadoenelhiloeraenelcasosextode120-892⁄3

,o

1195⁄29pulgadas.Ypuestoqueelradioesde121pulgadasylalongituddelpénduloentre el punto de suspensión y el centro de la bola era de 126 pulgadas, el arcodescrito por el centro del globo era de 1243⁄31 pulgadas. Dado que la velocidadmáxima del cuerpo oscilante, por la resistencia del aire, no coincide con el puntoinferiordelarcodescrito,sinoqueocurrecasienelpuntomediodelarcototal,éstaserá casi lamisma que si el globo en todo su descenso en unmedio no resistentedescribieselamitaddedichoarco,mitadequivalentea623⁄62pulgadas,yestoenunacicloide, a la que antes hemos reducido el movimiento del péndulo: y porconsiguiente, dicha velocidad será igual a la velocidad que adquiriría el globocayendoperpendicularmenteydescribiendoensucaídaunaalturaigualalsenoversodeaquelarco.Peroen lacicloidedichosenoversoesaestearcode623⁄62comoelpropio arco a 252, doble de la longitud del péndulo y, por tanto, igual a 15,278pulgadas. Por lo cual, la velocidad es la misma que la que adquiriría el cuerpocayendo y describiendo en su caída un espacio de 15,278 pulgadas. Luego asemejantevelocidadelcuerposufreunaresistenciaqueesasupesocomo0,61705a121,o (si se tieneencuenta solamenteaquellapartede resistenciaquees comoel


cuadradodelavelocidad)como0,56752a121.

Pormediodeexperimentoshidrostáticoshalléqueelpesodeestabolademaderaeraalpesodeunglobodeaguadelamismamagnitudcomo55a97:yportanto,alestar121respectoa213,4enlamismaproporción,laresistenciadelglobodeaguaquesedesplazaconlavelocidadantedichaseráasupesocomo0,56752a213,4,esdecir,como1a3761⁄50.Yportanto,dadoqueelpesodelglobodeaguageneraríatodaesavelocidad en el globo que cae en el mismo tiempo en el cual dicho globo convelocidad uniformemente continua describiría un espacio de 30,556 pulgadas, esevidente que la fuerza de resistencia uniformemente continua durante ese mismo

tiempopodríaquitarunavelocidadmenoren razónde1a3761⁄50, esdecir,1

3761⁄50parte de la velocidad total. Y por consiguiente, en el tiempo en que el globodescribiría, con dicha velocidad uniformemente continua, la longitud de susemidiámetro, o sea 37⁄16 pulgadas, en ese tiempo perdería 1⁄3342 parte de sumovimiento.

Tambiéncontabalasoscilacionesenlasqueelpénduloperdíalacuartapartedesumovimiento.Enlatablasiguientelosnúmerossuperioressignificanlalongituddelarcodescritoenelprimerdescenso,expresadaenpulgadasypartesdepulgada;losnúmerosintermediossignificanlalongituddelarcodescritoenelúltimoascenso;enúltimo lugaraparecen losnúmerosde lasoscilaciones.He reseñadoelexperimentopor resultar más exacto que el que sólo cuenta la pérdida de la octava parte demovimiento.Tratedecalcularloelquequiera.

Primerdescenso……………………………… 2 4 8 16 32 64

Últimoascenso……………………………… 1½ 3 6 12 24 48

Númerodeoscilaciones……………………… 374 272 162½ 83⅓ 412⁄3 222⁄3

Suspendídespuésdelmismohilounaboladeplomodedospulgadasdediámetroyde26¼onzasromanasdepeso,desuertequeentreelcentrodelgloboyelpuntodesuspensión hubiese una distancia de 10½ pies, y conté las oscilaciones en que seperdíaunapartedadadelmovimiento.Laprimeratabladelassiguientesmuestraelnúmero de oscilaciones en que se perdió la octava parte del movimiento total; lasegunda muestra el número de oscilaciones en que se perdió la cuarta parte delmismo.

Primerdescenso……………………………… 1 2 4 8 16 32 64

Últimoascenso……………………………… ⅞ 7/4 3½ 7 14 28 56

Númerodeoscilaciones


……………………… 226 228 193 140 90½ 53 30

Primerdescenso……………………………… 1 2 4 8 16 32 64

Últimoascenso……………………………… ¾ 1½ 3 6 12 24 48

Númerodeoscilaciones……………………… 510 518 420 318 204 121 70

Seleccionando en la tabla primera las observaciones tercera, quinta y séptima yexpresandolasvelocidadesmáximasenestasobservacionesporlosnúmeros1,4,16,

respectivamente,yengeneralporVcomoantes,resultará½193

=A+B+Cparala

tercera;2

90½=4A+8B+16C,paralaquinta;y

830

=16A+64B+256C,parala

séptima.Unavezresueltasestasecuacionesdan,A=0,001414,B=0,000297,yC=0,000879. Y de ello se desprende que la resistencia del globo moviéndose con lavelocidadVestarárespectoasupesode26¼onzasenlamismarazónquelaquehayentre 0,0009V + 0,000208V3⁄2 + 0,000659V2 y la longitud de 121 pulgadas delpéndulo.Y si consideramos solamente aquella parte de resistencia que es como elcuadrado de la velocidad, ésta será al peso del globo como 0,000659V2 a 121pulgadas. Pero esta parte de resistencia era en el experimento primero respecto alpesode labolademaderade577⁄22 onzascomo0,002217V2 a 121: de aquí que laresistenciadelglobodemaderaa la resistenciadelglobodeplomo(siendo igualessusvelocidades)seacomo577⁄22multiplicadopor0,002217a26¼multiplicadopor0,000659,esdecir, como7⅓a1.Losdiámetrosde losdosgloboserande6⅞y2pulgadas, y los cuadrados de éstos son entre sí como 47¼ y 4, o 1113⁄16 y 1 muyaproximadamente. Luego la resistencia de los globos a igual velocidad estaba enmenor proporción que la razón del cuadrado de los diámetros. Pero no hemosconsiderado aún la resistencia del hilo, que ciertamente era grande, y que deberestarsedelaresistenciahalladaparalospéndulos.Nopudedefinirlaconprecisión,peroencontréqueera,noobstante,mayorquelatercerapartedelaresistenciatotaldelpéndulomenor;ydeelloinferíquelasresistenciasdelosglobos,descontadalaresistenciadelhilo,estánaproximadamentecomoelcuadradodelosdiámetros.Pues,la razón 7⅓ -⅓ a 1 -⅓, o 10½ a 1 no distamucho de la razón cuadrada de losdiámetros1113⁄16a1.

Puestoquelaresistenciadelhiloenglobosmayoresesdemenor importancia, tratétambién de probar con un globo de 18¾ pulgadas de diámetro. La longitud delpénduloentreelpuntodesuspensiónyelcentrodeoscilaciónerade122½pulgadas,yentreelpuntodesuspensiónyelnudodelhilode109½pulgadas.Elarcodescrito


porelnudoenelprimerdescensodelpéndulofuede32pulgadas.Elarcodescritopor elmismonudo en el último ascenso, después de cinco oscilaciones, fue de 28pulgadas.Lasumadearcos,oelarcototaldescritoenunaoscilaciónmediafuede60pulgadas.Ladiferenciadearcosde4pulgadas.Sudécimaparteoladiferenciaentreeldescensoyelascensoenunaoscilaciónmedia fuede⅖depulgada.Ycomoelradio109½esalradio122½asítambiénelarcototalde60pulgadasdescritoporelnudoenunaoscilaciónmediaesalarcototalde67⅛descritoporelcentrodelgloboenunaoscilaciónmedia;yasítambiénladiferenciadeyesalanuevadiferenciade0,4475. Si se aumentase la longitud del péndulo,manteniendo la longitud del arcodescrito, en la razón de 126 a 122½, el tiempo de oscilación aumentaría y lavelocidaddelpéndulodisminuiríacomola raízcuadradadeaquella razón,pero,encambio,seconservaríaladiferenciade0,4475entrelosarcosdescritoseneldescensoyconsiguienteascenso.Perosielarcodescritoaumentaseenrazónde1243⁄31a67⅛,ladiferenciade0,4475aumentaríacomoelcuadradodedicharazónyvendríaaserde 1,5295. Esto sería así, bajo la hipótesis de que la resistencia del péndulo fuesecomoelcuadradodelavelocidad.Luego,sielpéndulodescribieseunarcototalde1243⁄31pulgadasysulongitudentreelpuntodesuspensiónyelcentrodeoscilaciónfuesede126pulgadas,ladiferenciadearcosdescritoseneldescensoyconsiguienteascenso sería de 1,5295 pulgadas. Y esta diferencia multiplicada por el peso delglobo-péndulo,queerade208onzas,daunproductode318,136.Ahorabien,cuandoel péndulo primero, hecho de una bola de madera, describía con su centro deoscilación,quedistabadelpuntodesuspensión126pulgadas,unarcototalde1243⁄31

pulgadas,ladiferenciadearcosdescritoseneldescensoyelascensofuede126121

x

892⁄3

quemultiplicadaporelpesodelglobo,queerade577⁄22onzasdaunproductode

49,396. Multipliqué estas diferencias por los pesos de los globos para hallar susresistencias. Pues, las diferencias proceden de las resistencias y son directamentecomolasresistenciaseinversamentecomolospesos.Lasresistenciasson,portanto,como losnúmeros318,136y49,396.Pero lapartede resistenciadelglobomenor,queescomoelcuadradodelavelocidad,resultabaserconrespectoalaresistenciatotalcomo0,56752a0,61675,esdecir,como45,453a49,396;mientrasquelapartederesistenciacorrespondientedelglobomayorveníaasercasiigualalaresistenciatotal del mismo y, por tanto, dichas partes son como 318,136 y 45,453 muyaproximadamente,esdecir,como7y1.Perolosdiámetrosdelosglobosson18¾y6⅞;ysuscuadrados3519⁄16y4717⁄64soncomo7,438y1,esdecir,aproximadamentecomolasresistencias7y1delosglobos.Ladiferenciaderazonesnoesmayorquelaquepudoprovenirdelaresistenciadelhilo.Porconsiguiente,aquellaspartesdelasresistencias que, a globos iguales, son como los cuadrados de las velocidades, sontambién,avelocidadesiguales,comoloscuadradosdelosdiámetrosdelosglobos.


también,avelocidadesiguales,comoloscuadradosdelosdiámetrosdelosglobos.Por lo demás, elmayor de los globos que utilicé en estos experimentos no era

perfectamenteesféricoyporelloenelcálculoaquípresentadoprescindídeminuciasenrazóndelabrevedad,sinponermayorempeñoenlaexactitudenunexperimentoquenoerabastanteexacto.Yporesoquisiera,aldependerdeestolademostracióndel vacío, que se realizaran estos experimentos con globos más numerosos, másgrandes y más exactos. Si se toman los globos en progresión geométrica, cuyosdiámetrossean,pongamosde4,8,16,32,pulgadas,seinferirádelaprogresióndelosexperimentosquéesloquedeberíaacontecerconglobosaúnmayores.

Ahora bien, para comparar las resistencias de distintos fluidos entre sí, hice losiguiente.Preparéunacajademaderadecuatropiesdelargaydeunpiedeanchayotro de alta. Desprovista de tapa la llené de agua de la fuente, e hice que unospéndulos sumergidos en ella semoviesen oscilando.Un globo de plomo de 166⅙onzasdepesoyde3⅝pulgadasdediámetrosemovíacomoseexponeen la tablasiguiente,siendoademáslalongituddelpéndulodesdeelpuntodesuspensiónhastaunpuntoseñaladoenelhilode126pulgadas,hastaelcentrodeoscilaciónde134⅜pulgadas.

Arcodelprimerdescensodescritoporelpuntoseñaladoenelhilo,enpulgadas

64 32 16 8 4 2 1 ½ ¼

Arcodelúltimoascenso,enpulgadas

48 24 12 6 3 1½ ¾ ⅜ 3⁄16

Diferenciadearcosproporcionalalmovimientoperdido,enpulgadas

16 8 4 2 1 ½ ¼ ⅛ 1⁄16

Númerodeoscilacionesenelagua

39⁄60 1⅕ 3 7 111⁄14 122⁄3 13⅓

Númerodeoscilacionesenelaire

85½ 287 535

En el experimento de la cuarta columna se perdieron igualesmovimientos con535oscilacionesenelaireycon1⅕enelagua.Ciertamentelasoscilacionesenelaire eran algomás veloces que en el agua. Pero si las oscilaciones en el agua seacelerasendemodoquelosmovimientosdelospéndulosfuesenigualmentevelocesenambosmedios,semantendríaelmismonúmerodeoscilacionesde1⅕enelagua,en las cuales se perdería el mismo movimiento que antes, por el hecho de haberaumentadolaresistenciayalavezhaberdisminuidoelcuadradodeltiemposegúnelcuadradodeesamismarazón.Luegoconigualesvelocidadesdelospéndulossehanperdido igualesmovimientoscon535oscilacionesenelaireycon1⅕ enel agua;


a1⅕.Estaeslaproporcióndelasresistenciasenelcasodelacolumnacuarta.

Ahora llamemos AV + CV2 a la diferencia de arcos descritos en el descenso ysubsiguienteascensoporelglobomoviéndoseconlamáximavelocidad;ypuestoquelavelocidadmáximaenelcasodelacolumnacuartaesalavelocidadmáximaenelcasodelacolumnaprimeracomo1a8,ylasusodichadiferenciadearcosenelcasode la columna cuarta es a la diferencia de arcos en el caso de la columna primera

como2535

a1685¼

, o como 85½ a 4280, escribamos en estos casos 1 y 8 por las

velocidades,y85½y4280porlasdiferenciasdearcos,yresultaráA+C=85½,y8A+64C=4280,oA+8C=535;yresolviendolasecuacionesresultarádeaquíque7C=449½,yC=643⁄14,yA=212⁄7;yportanto,laresistencia,alsercomo7⁄11AV+¾V2,serácomo136⁄11+489⁄56V2.Porlocual,enelcasodelacuartacolumna,dondelavelocidadera1,laresistenciatotalesalapartedeellamismaqueesproporcionalal cuadrado de la velocidad como 136⁄11 + 489⁄56, o 6112⁄17 a 489⁄56; y por esto, laresistenciadelpénduloenelaguaesalasusodichapartederesistenciaenelairequeesproporcionalalcuadradodelavelocidadyquesolamenteentraenconsideraciónenlosmovimientosmásveloces,como6113⁄17a489⁄56y535a1⅕conjuntamente,esdecir,como571a1.Sisehubiesesumergidoelhiloenterodelpénduloqueoscilabaen el agua, su resistencia aún habría sido mayor; hasta el punto que aquellaresistencia del péndulo oscilante en el agua que es proporcional al cuadrado de lavelocidadyquesolamentemerececonsideraciónenloscuerposmásveloces,seráalaresistenciadelpéndulomismocompleto,moviéndoseconlamismavelocidadenelaire,aproximadamentecomo850a1,esdecir,aproximadamentecomoladensidaddelaguaaladensidaddelaire.

En este cálculo también se debería considerar aquella parte de resistencia delpénduloenelaguaquefuesecomoelcuadradodelavelocidad,pero(aunqueparezcaextraño) la resistencia en el agua aumentabamás que en razón del cuadrado de lavelocidad. Buscando la causa de ello, vine a dar en que la caja era demasiadopequeñaparael tamañodelglobodelpénduloe impedíademasiadoelmovimientodelaguaenretrocesoporsuestrechez.Pues,sisesumergíaunglobopendulardeunapulgadadediámetro,laresistenciaaumentabaaproximadamentecomoelcuadradodelavelocidad.Ensayabaestoconstruyendounpéndulodedosglobos,deloscualeselmenorymásbajooscilaseenelagua,mientraselmayorymásaltoestabasujetoporelhiloencimadeella,yoscilandoenelaireayudabaalmovimientodelpénduloylohacíamásrápido.Ylosexperimentosrealizadosdeestemodotuvieronlosresultadosrecogidosenlatablasiguiente.

Arcodescritoenelprimerdescenso………… 16 8 4 2 1 ½ ¼

Arcodescritoenelúltimoascenso………………… 12 6 3 1½ ¾ ⅜ 3⁄16


Diferenciadearcosproporcionalesalmovimientoperdido………………………

4 2 1 ½ ¼ ⅛ 1⁄16

Númerodeoscilaciones……………………… 3⅜ 6½ 12½ 21⅕ 34 53 62⅕

Tambiénhice,comparandoentresí las resistenciasde losmedios,quepéndulosdehierrooscilasenenmercurio.Lalongituddelhilodehierroeradecasitrespiesyel diámetro del globo pendular de casi un tercio de pulgada.Otro globo de plomoestabasujetoalhiloinmediatamenteencimadelmercurioparaqueelmovimientodelpéndulocontinuasedurantemástiempo.Entoncesllenabaunrecipiente,decasitreslibrasdecapacidaddemercurio,alternativamenteconmercurioyaguacomún,parahallarasí laproporciónderesistenciasalpéndulooscilantesucesivamenteenunoyotrofluido:ylaresistenciaenelmercurioresultóseraladelaguaaproximadamentecomo13 ó 14 a 1, es decir, como la densidad delmercurio a la del agua.Cuandoponíaunglobopendularalgomayor,comodeuntercioodedosterciosdepulgadadediámetro,laresistenciadelmercurioveníaaseraladelaguacasicomolade12ó10a1.Peroesmásfiableelexperimentoanterior,yaqueenesteúltimoelvasoerademasiado pequeño para el tamaño del globo sumergido.Al aumentar el globo sedeberíaampliartambiénelvaso.Habíapensadoenrepetirexperimentosdeestetipoutilizando recipientesmayoresycon líquidosdemetales fundidosobienconotrostantocalientescomofríos:peronohaytiempodehacertodoslosexperimentos,yporlosyadescritosconstasuficientementequelaresistenciadeloscuerposvelozmentemovidos es proporcional aproximadamente a la densidad de los fluidos en que semueven.Nodigoexactamente.Pues, los fluidosmás tenaces, a igualdensidad, sinduda resistenmásque losmás líquidos, comoel aceite fríomásqueel caliente, elcalientemásqueelaguade lluvia,elaguamásqueelespíritudevino.Peroenloslíquidosquesuelenserbastantefluidos,comoenelaire,enaguadulceosalada,enespíritusdevino, trementina,y sales, enaceitecalientey limpiopordestilaciónderesiduos,enaceitedevitrioloyenmercurio,enmetalesfundidosyotrosporelestiloquesontanfluidosquepermiten,alseragitadosenlosvasos,conservardurantelargotiempoelmovimiento, y cuando sederraman seproducengotas fácilmente, nomecabedudadequelaregladadaresultebastanteexacta:sobretodosilosexperimentossehicierenconcuerpospendularesmayoresymovidosmásvelozmente.

Yporfin,dadalaopinióndealgunos,segúnlacualexisteunciertomedioetéreoymuysutilqueimpregnalosporoseintersticiosdetodosloscuerposyademásdebedar origen a alguna resistencia debida al tal medio fluyente por los poros de loscuerpos,conelfindeaveriguarsilaresistenciaqueexperimentamosenloscuerposenmovimiento se halla toda en la superficie externa de losmismos o también laspartes internas en sus propias superficies la experimentan de modo perceptible,diseñéel siguiente experimento.Conunhilodeoncepiesde largo suspendídeungancho de acero, con un anillo de acero también, una caja redonda de abeto paraconstruirunpéndulodedichalongitud.Elganchosuperiorestabamuyafiladoporsu


construirunpéndulodedichalongitud.Elganchosuperiorestabamuyafiladoporsucara cóncava, para que el anillo con su arco superior fijado al filo semoviese contodalibertad.Elhiloestabaatadoalarcoinferior.Unavezhechoelpéndulodeestamanera, lo separé de la perpendicular hasta una distancia de casi seis pies, y estosegún un plano perpendicular al filo del gancho, para que el anillo, al oscilar elpéndulo, no resbalase sobre el filo del gancho hacia un lado o hacia otro. Pues elpuntodesuspensiónenqueelanillotocaalgancho,debepermanecerinmóvil.Señaléexactamenteellugarhastaelcualseparéalpéndulo,ydespuésdesoltarlo,señalélostres puntos hasta los que regresó al final de las oscilaciones primera, segunda ytercera.Repetíestomuchasvecesparadeterminarlomásexactamenteposibledichospuntos. Después llené la caja de plomo y de losmetalesmás pesados que tenía amano.Peroantespesélacajavacía,lomismoqueelhiloquelarodeabaylamitaddelrestodelhiloqueseextendíaentreelganchoy lacajasuspendida.Pueselhilotendido actúa siempre con la mitad de su peso sobre el péndulo separado de laperpendicular.Aestepesoañadíelpesodelairecontenidoen lacaja.Elpeso totalvinoaseraproximadamentecomounasetentayochavapartedelpesodelacajallenade metales. Entonces, como la caja llena de metales estiraba el hilo con su peso,aumentando la longitud del péndulo, reduje el hilo para que, al oscilar, tuviese lamisma longitud que antes. Después, separando el péndulo hasta el primer puntoseñaladoydejándolocaer, conté lasoscilaciones,unas setentay siete,hastaque lacaja regresóalpuntoseñaladoensegundo lugar,yotras tantashastaque llegóa laterceraseñal,ydenuevootrastantashastaquellegóalacuarta.Dedonde,concluyoquelaresistenciatotaldelacajallenanoguardamayorproporciónrespectoalacajavacía que 78 a 77. Pues si las resistencias de ambas fuesen iguales, la caja llena,debidoaquesufuerzaínsitaessetentayochovecesmayorquelafuerzaínsitadelacajavacía,deberíaconservarsumovimientodeoscilacióndurantetantomástiempoy,portanto,retornarhastalospuntosseñaladostras78oscilacionescompletas.Peroregresóaellostras77oscilacionescompletas.

RepresenteAlaresistenciadelacajaensusuperficieexternayBlaresistenciadela caja vacía en sus partes interiores; y si la resistencia de los cuerpos igualmenteveloces en sus partes internas es como la materia o el número de partículas queresisten,78Bserálaresistenciadelacajallenaensuspartesinternasy,portanto,laresistenciatotalA+BdelacajavacíaseráalaresistenciatotalA+78Bdelacajallenacomo77a78,yparcialmente,A+Ba77B,como77a1,yporello,A+BaBcomo 77 x 77 a 1, y parcialmente, A a B como 5928 a 1. Por consiguiente, laresistenciade lacajavacíaensuspartes internasesmásdecincomilvecesmenorquesuresistenciaenlasuperficieexterna.Argumentamosasíbajolahipótesisdequelamayor resistencia de la caja llena no obedece a otra causa oculta sino sólo a laacciónsobreelmetalincluidodealgúnfluidosutil.

Heexpuestoesteexperimentodememoria.Puesheperdidolospapelesenquelohabía anotado. Por ello he tenido que omitir algunas fracciones numéricas que


Peroahoranohaytiempodeintentarlootravez.Laprimeravez,porutilizarungancho no seguro, la caja llena se retardabamás rápidamente.Al buscar la causa,halléqueelgancho,débil,cedíaalpesodelacajaycediendoasusoscilacionessedoblaba hacia todas partes. Preparé entonces un gancho firme, que garantizase lainmovilidad del punto de suspensión, y después todo ocurrió como arriba quedadescrito.


SecciónVII[9]

SOBREELMOVIMIENTODEFLUIDOSYLARESISTENCIADEPROYECTILES

PROPOSICIÓNXXXII.TEOREMAXXVI

Sidossistemassemejantesdecuerposconstande igualnúmerodepartículasy laspartículas correspondientes son semejantes y proporcionales una a una en cadasistemayestánsituadasdemanerasemejanteentresíyademástienenentresíunarazóndadadedensidad,yademásempiezanamoversedemanerasemejanteentresíentiemposproporcionales(lasdeunsistemaentresíylasdelotroentreellas)ylasque pertenecen a un sistema no se tocan entre ellas más que en el momento dereflexión, ni se atraen ni repelen más que con las fuerzas aceleratrices que seaninversamente proporcionales al diámetro de las partículas correspondientes ydirectamentealcuadradodelasvelocidades:digoquelaspartículasdelossistemascontinuarán moviéndose de manera semejante entre ellas y con tiemposproporcionales.

Digo que cuerpos iguales en sitios semejantes se mueven de modo semejanteentre ellos en tiempos proporcionales, si sus situacionesmutuas al final de dichosmovimientossonsiempresemejantes:talycomosisecomparasenlaspartículasdeunsistemaconlaspartículascorrespondientesdeotro.Dedondelostiempos,enloscuales se describen por las partículas correspondientes partes semejantes yproporcionales de figuras semejantes, serán proporcionales también. Porconsiguiente,sisediesendossistemasdeestaclase,laspartículascorrespondientes,debido a la semejanza de los movimientos iniciales, continuarán moviéndose conmovimientos semejantes hasta que choquen entre sí. Pues si no actúa sobre ellasfuerza alguna, proseguirán uniformemente en línea recta, por la Ley I delMovimiento.Siseperturbanmutuamenteconalgunafuerza,yéstaesinversamentecomoeldiámetrodelaspartículascorrespondientesydirectamentecomoelcuadradodelasvelocidades,puestoquelassituacionesdelaspartículassonsemejantesylasfuerzas proporcionales, las fuerzas totales que actúan sobre las partículascorrespondientes,queresultancompuestasdelasfuerzassingularesenacción(porelCorolario II de las Leyes) tendrán lasmismas direcciones, como si se dirigiesen a


centrossimilarmentesituadosentrelaspartículas;ydichasfuerzastotalesseránentresí, como las fuerzas componentes singulares, es decir, inversamente como losdiámetrosde laspartículas correspondientesydirectamente como los cuadradosdelas velocidades: por lo cual, harán que las partículas correspondientes continúendescribiendo figuras semejantes. Esto será así (por los Corolarios 1 y 8 de laProposiciónIVdelLibroI)siloscentrossusodichosestánenreposo.Perosiestánenmovimiento,graciasa lasemejanzade las traslaciones, sussituacionespermanecensemejantesentre laspartículasdelossistemas,yproduciráncambiossemejantesenlas figuras que describen las partículas. Por tanto, los movimientos de partículascorrespondientesysemejantesseránsemejanteshastasusprimeroschoquesy,porsersemejantesloschoques,ysemejanteslasreflexiones,tambiéndespuésserán(porloyamostrado)semejanteslosmovimientosentresíhastaquedenuevochoquenentreellas,yasísucesivamentehastaelinfinito.Q.E.D.

COROLARIO 1. De aquí que si dos cuerpos cualesquiera, semejantes entre sí ysemejantemente situados respecto a las partículas correspondientesde los sistemas,empiezanamoverseentreéstasdemodosemejanteyentiemposproporcionalesysusmagnitudesydensidadessonmutuamentecomolasmagnitudesydensidadesdelaspartículas correspondientes, continuarán moviéndose semejantemente en tiemposproporcionales.Pueslarazóndelaspartesmayoresdeunoyotrosistemaeslamismaqueladelaspartículasdelosmismos.

COROLARIO2.Ysitodaslaspartessemejantesysemejantementedispuestasdelossistemas reposan entre ellas, y dos de ellas,mayores que las otras, ymutuamentecorrespondientes entre sí en uno y otro sistema, empiezan amoverse según líneassemejantemente situadas y con movimientos semejantes en cualquiera dirección,produciránenlasotraspartesdelossistemasmovimientossemejantes,movimientosque continuarán de modo semejante entre las partes en tiempos proporcionales; ydescribirán,porello,espaciosproporcionalesasusdiámetros.

PROPOSICIÓNXXXIII.TEOREMAXXVII

Conlosmismossupuestos,digoquelaspartesmayoresdelossistemaspadecenunaresistencia que está en razón compuesta del cuadrado de sus velocidades, delcuadradodesusdiámetrosydelarazónsimpledeladensidaddelaspartesdelossistemas.

Pueslaresistenciaprocedeenpartedelasfuerzascentrípetasocentrífugas,conlascualeslaspartículasdelossistemasseagitanmutuamente,partedelascolisionesy reflexiones de las partículas y las partes mayores. Las resistencias del primergénerosonentresícomolasfuerzastotalesmotricesquelasproducen,esdecir,comolas fuerzas totales aceleratrices y las cantidades de materia en las partes


correspondientes; es decir (por hipótesis), directamente como el cuadrado de lasvelocidadese inversamentecomolasdistanciasdelaspartículascorrespondientesydirectamentecomolascantidadesdemateriaenlaspartículascorrespondientes;yporlomismo, como las distancias de las partículas de un sistema son a las distanciascorrespondientesdelaspartículasdelotrocomoeldiámetrodelapartículaodeunaparteenelprimer sistemaaldiámetrode lapartículaopartecorrespondienteenelotro,ylacantidaddemateriaescomolasdensidadesdelaspartesyelcubodelosdiámetros, las resistenciassonentresícomoloscuadradosde lasvelocidadesy loscuadradosde losdiámetrosy lasdensidadesde laspartesde lossistemas.Q.E.D.Las resistencias de la segunda especie son como el número de reflexionescorrespondientes y sus fuerzas conjuntamente. Pero el número de reflexiones sonentre sí directamente como las velocidades de las partes correspondientes, einversamentecomolosespaciosentrelasreflexionesdelasmismas.Ylasfuerzasdelas reflexiones son como las velocidades, las magnitudes y las densidades de laspartescorrespondientesconjuntamente,esdecir,comolasvelocidades,loscubosdelos diámetros y las densidades de las partes. Y reunidas todas estas razones, lasresistencias de las partes correspondientes son entre sí como los cuadrados de lasvelocidades y los cuadrados de los diámetros y las densidades de las partesconjuntamente.Q.E.D.

COROLARIO 1. Por consiguiente, si tales sistemas fuesen dos fluidos elásticos,como el aire, y sus partes están en reposo entre ellas, y dos cuerpos semejantes yproporcionalesenvolumenydensidadalaspartesdelosfluidosy,además,situadossemejantementeentreesaspartes,fuesenlanzadosencualquierdirecciónsegúnlíneassemejantementedispuestas,mientraslasfuerzasaceleratricesconlascualesseagitanmutuamentelaspartículasdelosfluidossoninversamentecomolosdiámetrosdeloscuerpos lanzados y directamente como los cuadrados de las velocidades, dichoscuerposentiemposproporcionalesexcitaránmovimientossemejantesenlosfluidosydescribiránespaciossemejantesyproporcionalesasusdiámetros.

COROLARIO2.Porlocual,endichofluidounproyectilvelozsufreunaresistenciaqueesaproximadamentecomoelcuadradodesuvelocidad.Puessilasfuerzasqueagitan entre sí a las partículas distantes se aumentasen como el cuadrado de lavelocidad,laresistenciaestaríaendicharazóncuadradaexactamente;yportanto,enunmediocuyaspartesdistantesentresínoseagitanconfuerzaalguna,laresistenciaesexactamentecomoelcuadradodelavelocidad.Sean,pues,A,B,C, tresmediosqueconstandepartessemejanteseigualesydispuestasregularmentesegúndistanciasiguales. Las partes de los medios A y B repélanse entre sí con fuerzas que seantambién entre sí como T y V, mientras que las partes del medio C carecen porcompletodeestasfuerzas.YsicuatrocuerposigualesD,E,F,Gsemovieranenestosmedios,losdosprimerosDyEenlosdosmediosprimerosAyB,ylosotrosdosFyGeneltercermedioC,ylavelocidaddelcuerpoDesalavelocidaddelcuerpoE,ylavelocidaddelcuerpoFaladelcuerpoGcomolaraízcuadradadelasfuerzasTa


las fuerzas V, la resistencia del cuerpo D será a la resistencia del cuerpo E, y laresistenciadelcuerpoFaladelcuerpoG,comoelcuadradodelasvelocidades;yportanto,laresistenciadelcuerpoDseráalaresistenciadelcuerpoFcomolaresistenciadelcuerpoEaladelcuerpoG.TenganloscuerposDyFlasmismasvelocidades,asícomoloscuerposEyG;yaumentandolasvelocidadesdeloscuerposDyFenunarazóncualquiera,ydisminuyendolasfuerzasdelaspartículasdelmedioBsegúnelcuadradodelamismarazón,elmedioBseaproximarácuantosequieraalaformaycondicióndelmedioC,ypor lomismo, las resistenciasde los cuerpos igualesy aiguales velocidades E y G en tales medios se aproximarán constantemente a laigualdad,desuertequesudiferenciaresultealfinalmenorqueunadadacualquiera.Por tanto, cuando las resistencias de los cuerpos D y F sean entre sí como lasresistenciasdeloscuerposEyG,tambiénéstasseaproximanalarazóndeigualdad.PueslasresistenciasdeloscuerposDyF,cuandosemuevenmuyvelozmente,sonaproximadamenteiguales:yporello,cuandolaresistenciadelcuerpoFseacomoelcuadradodelavelocidad,laresistenciadelcuerpoDestaráaproximadamenteenesarazón.

COROLARIO 3. La resistencia de un cuerpomoviéndosemuy velozmente en unfluidoelásticoescasilamismaquesilaspartesdelfluidocareciesendesusfuerzascentrífugasynoserepeliesenentresí;ellosiemprequelafuerzaelásticadelfluidoprocedadelasfuerzascentrífugasdelaspartículasylavelocidadseatangrandequelasfuerzasnotengantiemposuficienteparaactuar.

COROLARIO 4. Puesto que las resistencias de cuerpos semejantes y convelocidadesiguales,enmedioscuyaspartesdistantesnoserepelenentresí,soncomolos cuadrados de los diámetros; las resistencias de cuerpos a iguales velocidades yconmovimientomuyvelozenunfluidoelásticosontambiénmuyaproximadamentecomoloscuadradosdelosdiámetros.

COROLARIO 5. Y puesto que cuerpos semejantes, iguales y con velocidadesiguales, en medios de la misma densidad y cuyas partículas no se repelen unas aotras,tantosidichaspartículassonmuchasypequeñascomosisonpocasygrandes,tropezaránconigualcantidaddemateriaentiemposiguales,ytrasmitiránaéstaigualcantidaddemovimiento,yasuvez(porlaLeyterceradelMovimiento)padecerándeella lamisma cantidad de reacción, es decir, serán resistidos por igual: también esevidenteque,enfluidoselásticosdeigualdensidad,cuandosemuevenagrandísimavelocidad,susresistenciasseránaproximadamentelasmismas;tantosidichosfluidosestán formados de partículas más gruesas como si lo están de las más sutilesimaginables. La resistencia de los proyectiles con movimientos muy rápidos nodisminuyemuchoporlasutilezadelmedio.

COROLARIO 6. Todas estas cosas son así en fluidos cuya fuerza elástica tieneorigenenlasfuerzascentrífugasdelaspartículas.Perosidichafuerzaobedecieseaotra causa, como la expansión de partículas almodode la lana o las ramas de losárboles,oaotracausacualquiera,porlacuallosmovimientosdelaspartículasentre


sí resultenmenos libres, la resistencia,por lamenorfluidezdelmedio,seríamayorqueenlosCorolariosanteriores[10].

PROPOSICIÓNXXXIV.TEOREMAXXVIII[11]

Siungloboyuncilindrodediámetrosigualessemuevenconigualesvelocidadesenladireccióndelejedelcilindro,enunmedioraroyqueconstadepartículasigualesy libremente dispuestas a distancias mutuas iguales entre ellas: la resistencia delgloboserálamitaddelaresistenciadelcilindro.

Puestoquelaaccióndelmediosobreuncuerpoesidéntica(porelCorolarioVdelasLeyes)tantoenelcasodequeelcuerposemuevaenunmedoenreposocomosilaspartículas del medio chocan a la misma velocidad contra el cuerpo en reposo,consideremosalcuerpoenreposoyveamosconquéfuerzaesurgidoporelmedioenmovimiento. Sea, pues, ABKI un cuerpo esférico descrito con centro en C ysemidiámetroCA,eincidansobredichocuerpoesféricolaspartículasdelmedioconuna velocidad dada y según rectas paralelas a AC; y sea FB una recta de éstas.TómesesobreellaLB,igualalsemidiámetroCB,ytráceseBDtangentealaesferaenB.SobreKCyBDcaigan lasperpendicularesBE,LD,y la fuerzacon lacualunapartículadelmedio,incidiendooblicuamentesegúnlarectaFB,golpearáalgloboenB,seráalafuerzaconlaquelamismapartículagolpearíaperpendicularmenteenbalcilindroONGQdescritoconejeACIentornoalglobo,comoLDaLB,oBEaBC.Efectivamente,laeficaciadeestafuerzaparamoverelglobosegúnladirecciónFBoACde su incidencia es a su eficaciaparamoverlo según ladirecciónde supropiadeterminación, es decir, según la dirección de la recta BC con la que actúadirectamente sobre el globo como BE a BC. Y, por ambas razones conjuntas, laeficacia de una partícula incidente oblicuamente según la recta FB sobre un globoparamoverloenladireccióndesuincidenciaesalaeficaciadelamismapartículaincidenteperpendicularmentesegúnlamismarectasobreuncilindroparamoverloenlamismadirección,comoBE2aBC2.Porlotanto,sisobrebE,queesperpendicular

a la base circularNAOdel cilindro e igual al radioAC se tomabH igual a BE2

CB,

resultaráquebHesabEcomoelefectodelapartículasobreelgloboalefectodelapartículasobreelcilindro.Yporlomismo,elsólidoquecomprendeatodaslaslíneasbHseráalsólidoquecomprendea todas las líneasbE,comoelefectode todas laspartículas sobre el globo al efecto de todas las partículas sobre el cilindro. Pero elprimersólidoesunparaboloidedescritoconvérticeenC,ejeCAy«latusrectum»CA;mientraselsegundoesuncilindrocircunscritoalparaboloide:yessabidoqueunparaboloideeslamitaddelcilindrocircunscrito.Luegolafuerzatotaldelmedio


sobreelgloboeslamitaddelafuerzatotaldelmediosobreelcilindro.Yporello,silas partículas del medio reposasen y el globo y el cilindro se moviesen convelocidades iguales, la resistencia del globo sería la mitad que la resistencia delcilindro.Q.E.D.

ESCOLIO

Conelmismométodopuedencompararseentresíotrasfigurasenlorelativoalaresistencia y encontrar aquellas que sean más adecuadas para mantener susmovimientosenmediosresistentes.Así,sihubiesequeconstruir,conlabasecircularCEBH,quetienesucentroenOyradioOC,yconlaalturaOD,untroncodeconoCBGFquefueseeldemenorresistenciadetodoslostroncosdeconoconstruidosconlamismabaseyalturaaldesplazarsesegúnladireccióndesuejehaciaD,biséqueselaalturaODenQyprolóngueseOQhastaSdemodoqueQSseaigualaQC,ySseráelvérticedelconocuyotroncosebusca.

Y,depaso,puestoqueelánguloCSBsiempreesagudo,seinfierequesielsólidoADBEfuesegeneradoporcircunvolucióndelafiguraelípticauovalADBEentornoasuejeAB,mientraslafigurageneratrizestocadaportresrectasFG,GH,HI,enlos


puntosF,BeI,bajolacondicióndequeGHseaperpendicularalejeenelpuntodecontactoB,yFG,HIylapropiaGHencierrenángulosFGB,BHIde135grados,elsólidogeneradoporlacircunvolucióndelafiguraADFGHIEsobresumismoejeABsufrirámenorresistenciaqueelsólidoanterior;siemprequeambossemuevanenladireccióndesuejeAByvayapordelanteelextremoBdeambos.Proposiciónestaquenocreohayadeserinútilparalaconstruccióndenaves.

Perosi la figuraDNFGfueseunacurva talque,sidesupuntoNcualquierasehace descenderNMperpendicular al ejeAB, y desde un punto dadoG se traza larectaGRqueseaparalelaalatangentedelafiguraenN,ycortealaprolongacióndelejeenR,MNvendríaaseraGRcomoGR3a4BRxGB2;elsólido,descritoporlarevolucióndeesta figura sobre suejeAB,moviéndoseenel susodichomedio rarodesdeAhaciaB,sufremenor resistenciaquecualquierotrosólidocirculardescritoconlasmismaslongitudyanchura.

PROPOSICIÓNXXXV.PROBLEMAVII

Si un medio raro está constituido de partículas mínimas en reposo y colocadaslibrementea igualesdistanciasentreellas,hallar laresistenciadeungloboquesedesplazauniformementeendichomedio.

CASO 1. Imagínesequeuncilindrodescrito conelmismodiámetroy lamismaalturasedesplazaalamismavelocidadsegúnlalíneadesuejeenelmismomedio.Ysupongamosquelaspartículasdelmediosobrelasqueincidenelglobooelcilindroretrocedanconlamáximafuerzadereflexión.Y,puestoquelaresistenciadelglobo(porlaúltimaProposición)eslamitaddelaresistenciadelcilindroyelgloboesalcilindrocomodosatresyelcilindroalchocarperpendicularmenteconlaspartículasyreflejándolasasídemodomáximo,lescomunicaeldobledesupropiavelocidad,elcilindro,eneltiempoenquerecorredesplazándoseuniformementelalongituddesusemieje,comunicaráalaspartículasunmovimientoqueseráalmovimientototaldel


cilindro como la densidad del medio a la densidad del cilindro; y el globo, en eltiempoenquerecorretodalalongituddesudiámetrodesplazándoseuniformemente,comunicaráelmismomovimientoalaspartículas;yeneltiempoenquerecorrelosdos tercios de su diámetro, comunicará a las partículas unmovimiento que será almovimiento totaldelglobocomoladensidaddelmedioa ladensidaddelglobo.Ypor tanto, el globo sufre una resistencia que será a la fuerza con la cual puedesuprimirse o generarse todo su movimiento en el tiempo en que puede recorrer,desplazándose uniformemente, las dos terceras partes de su diámetro, como ladensidaddelmedioaladensidaddelglobo.

CASO 2. Supongamos que las partículas delmedio incidentes sobre el globo osobreelcilindronosonreflejadas;entonceselcilindro,alincidirperpendicularmentesobrelaspartículas,lescomunicarásimplementesupropiavelocidad,yporellosufreuna resistencia que será lamitad de la del caso anterior, y la resistencia del globotambiénserálamitadquelaanterior.

CASO3.Supongamosquelaspartículasdelmediosereflejendelgloboconunafuerzaquenoes lamáximani tampoconula, sinouna fuerzamedia;en talcaso laresistenciadelgloboestaráen lamismarazónmediaentre laresistenciadelprimercasoyladelsegundo.Q.E.I.

COROLARIO1.Deaquíquesiladurezadelgloboydelaspartículasesinfinitay,portanto,estándesprovistosdetodafuerzaelásticay,portanto,tambiéncarecendetoda fuerzade reflexión, la resistenciadelglobo seráa la fuerzacon lacualpuedesuprimirse o generarse todo su movimiento en el tiempo en que recorre cuatroterceraspartesdesudiámetro,comoladensidaddelmedioaladensidaddelglobo.

COROLARIO2.La resistenciadelglobo,«caeterisparibus»,escomoelcuadradodelavelocidad.

COROLARIO3.La resistenciadelglobo,«caeterisparibus»,escomoelcuadradodeldiámetro.

COROLARIO 4.La resistenciadelglobo,«caeterisparibus», es como ladensidaddelmedio.

COROLARIO5.Laresistenciadelgloboestáenrazóncompuestadelcuadradodelavelocidad,delcuadradodeldiámetroydeladensidaddelmedio.


COROLARIO6.Yelmovimientodelgloboconsuresistenciapuederepresentarsecomosigue:seaABeltiempoenelcualelglobopuedeperdertodosumovimientoacausa de su resistencia uniformemente continua. Sobre AB elévense lasperpendicularesAD,BC.YseaBCdichomovimientototal,mientrasporelpuntoCy con asíntotasAD,AB se traza la hipérbolaCF. ProlóngueseAB hasta un puntocualquieraE.EléveselaperpendicularEFquetoquealahipérbolaenF.Compléteseel paralelogramo CBEG, y trácese AF que corte a BC enH. Y si el globo en untiempo cualquiera BE, con su movimiento inicial BC continuado uniformemente,recorre en un medio no resistente el espacio representado por el área delparalelogramoCBEG, elmismoglobo enunmedio resistentedescribirá el espacioCBEF representado por el área de la hipérbola, y sumovimiento al final de aqueltiempovendrárepresentadopor laordenadade lahipérbolaEF,unavezperdidasuparte FG de movimiento. Y su resistencia, al final del mismo tiempo, vendrárepresentadapor la longitudBH, unavez perdida la parteCHde resistencia.TodoestoesevidenteporlosCorolarios1y3delaProposiciónVdelLibroII.

COROLARIO 7. De aquí que si un globo, debido a su resistencia uniformementecontinuaR, perdiese todo sumovimientoMen el tiempoT, elmismoglobo en eltiempo t en unmedio resistente debido a una resistencia decreciente en razón del

cuadradodelavelocidad,perderádesumovimientoMlapartetMT+t

,reteniendola

parteTMT+t

;ydescribiráunespacioqueseráalespaciodescritoconelmovimiento

uniformeMeneltiempotcomoellogaritmodelnumeroT+tT

multiplicadoporel

número2,302585092994esalnúmerotTdadoqueel áreahiperbólicaBCFEesal

rectánguloBCGEenestamismaproporción.

ESCOLIO

En esta Proposición he expuesto la resistencia y retardación de proyectilesesféricosenmediosnocontinuos,yhemostradoqueesta resistenciaesa la fuerzaconlacualpodríasuprimirseogenerarsetodoelmovimientodelgloboeneltiempoen que el globo describiría con velocidad uniformemente continua las dos terceraspartesdesudiámetro,comoladensidaddelmedioaladensidaddelglobo,contaldequetantoelglobocomolaspartículasdelmedioseansumamenteelásticasygocendelamáximafuerzadereflexión:ytambiénqueestafuerzaeseldoblemenorcuando


elgloboylaspartículasdelmediosoninfinitamentedurasyprácticamentecarentesdefuerzadereflexión.Peroenmedioscontinuoscomoeselagua,elaceitecaliente,el mercurio, en los cuales el globo no incide inmediatamente sobre todas laspartículasdelfluidogeneradorasderesistencia,sinoquemásbienpresionasolamentesobre las partículas más próximas y éstas presionan a las siguientes y éstas a lassiguientes,laresistenciaestodavíaotramitadmenor.Efectivamente,enestaclasedemediosmuyfluidoselglobopadeceunaresistenciaqueesalafuerzaconlacualsepodría suprimir o generar todo su movimiento en el tiempo en el cual, con elsusodicho movimiento continuo uniforme, recorrería ocho terceras partes de sudiámetro,comoladensidaddelmedioaladensidaddelglobo.Esloquetrataremosdemostrarenloquesigue.

PROPOSICIÓNXXXVI.PROBLEMAVIII[12]

Definirelmovimientodelaguaquefluyeporunorificiohechoenelfondodeunvasocilíndrico.

SeaACDBunvasocilíndrico,ABsuorificiosuperior,CDel fondoparaleloalhorizonte,EFunorificiocircularenmitaddelfondo,GelcentrodelorificioyGHelejedel cilindroperpendicular al horizonte.Y supongamosqueun cilindrodehieloAPQBde lamismaanchuraque lacavidaddelvasoyconelmismoejedesciendeconmovimientouniformeycontinuoyquesuspartesencuantotocanlasuperficieABselicúanyconvertidasenaguadiscurrenenelvasoporsugravedadyformanalcaerunacatarataocolumnadeaguaABNFEMyatravesandoelorificioEFlollenancompletamente.LavelocidaduniformedelhieloquecaeyladelaguacontiguaenelcírculoAB sea lamisma que la que tendría el agua cayendo y describiendo en sucaídalaalturaIH;yesténIHyHGsobrelamismalínea,yporelpuntoItráceselarecta KL paralela al horizonte y que toca a los lados del hielo en K y L. Y lavelocidad del agua que cae por el orificio EF será aquella que adquiriría el aguacayendodesdeIydescribiendoensucaídalaalturaIG.Yporconsiguiente,porlosteoremasdeGalileo,IGseráaIHcomoelcuadradodelavelocidaddelaguaquecaeporelorificioalavelocidaddelaguaenelcírculoAB,esdecir,comoelcuadradodelcírculoABalcírculoEF;puesestoscírculossoninversamentecomolasvelocidadesdelasaguasquellenándoloscompletamentepasanasutravésenelmismotiempoyenigualcantidad.Setrataaquídelavelocidaddelaguahaciaelplanohorizontal.Ylosmovimientosparalelosalhorizonteconloscualesseaproximanmutuamentelaspartesdelaguaquecae,alnoprocederdelagravedad,nocambiaránelmovimientoperpendicularalhorizontesurgidodelagravedad,ynoseconsideran,portanto,aquí.Ciertamente suponemosque las partesde agua cohesionan entre sí un tantoyque,mientras caen, por esa cohesión, se aproximan unas a otrasmediantemovimientos


horizontalesdemodoqueconstituyanunasolacatarataynosedividanenmuchas.Peroelmovimientoparaleloalhorizonte,provenientedelasusodichacohesión,noloconsideramosaquí.

CASO1.AhorasupongamosquetodalacavidaddelvasoalrededordelaguaquecaeABNFEMestállenadehielo,demodoqueelaguacaigaatravésdelhielocomosifueraatravésdeunembudo.Sielaguanisiquieratocasealhielo,oloqueeslomismo, si lo tocapero,por lo sumamentepulidode la superficiedelhielo, resbalalibrementeysinresistenciaalguna,caeráporelorificioEFconlamismavelocidadqueantes,ytodoelpesodelacolumnadeaguaABNFEMpresionaráparagenerarsucaídacomoantes,mientraselfondodelvasosoportaráelpesodelhieloquerodeaalacolumna.

Ahora licúese el hielo del vaso, y el flujo del agua, en cuanto a la velocidad,permanecerácomoantes.Noserámenor,porqueelhielohechoaguatratarádesalir:tampocomayor,porqueelhielohechoaguanopuededescendersinoesimpidiendoeldescensodeotraaguaigualasupropiodescenso.Lamismafuerzadebegenerarlamismavelocidaddelaguaquefluye.

Pero el orificio del fondo del vaso, debido a los movimientos oblicuos de laspartículasdelaguaquefluye,debeseralgomayorqueantes.Pueslaspartículasdeagua ya no pasan todas por el orificio discurriendo perpendicularmente, sino que,


concurriendo por doquier desde los costados del vaso y convergiendo sobre elorificio, lo atraviesan con movimientos oblicuos, y curvando su trayectoria haciaabajoconfluyenenlavenadeaguaquecae,queesalgomásdelgadabajoelorificioqueenelorificiomismo,siendosudiámetro,respectoaldiámetrodelorificiocomo5a6,ocomo5½a6½aproximadamente,sihemedidobienlosdiámetros.Preparéunaláminaplanaymuydelgadaperforadaenelcentro,siendoelorificiocirculardeundiámetro de cinco octavos de pulgada. Para que la vena de agua fluyente no seacelerasealcaeryalacelerarsesehiciesemásestrecha,coloquéestalámina,noenelfondosinoenuncostadodelvaso,detalmodoquelasusodichavenabrotasesegúnunalíneaparalelaalhorizonte.Después,unavezllenoelvasodeagua,abríelorificiopara que saliese el agua; y el diámetro de la vena, a una distancia de casi mediapulgada del orificio,medido con lamáxima exactitud, vino a ser de 21⁄40 partes depulgada.Portanto,eldiámetrodelorificiocirculareraaldiámetrodelavenadeaguaaproximadamente como25 a 21.Por consiguiente, el agua, al atravesar el orificio,convergedesdetodaspartes,ydespuésdesalirdelvaso,sehacemásestrechaconlaconvergencia, y por el estrechamiento se hace más rápida, hasta alcanzar unadistancia demedia pulgada del orificio, y a esa distancia se tornamás acelerada yestrecha que en el orificiomismo en la razón de 25 x 25 a 21 x 21 o de 17 a 12aproximadamente, es decir, aproximadamente como la raíz cuadrada de dos a launidad. Pero consta experimentalmente que la cantidad de agua que fluye en untiempodadoporelorificiocircularefectuadoenelfondodelvasoesaquellaqueconlavelocidadantedichadeberíafluirenelmismotiempo,noporaquelorificio,sinoporelorificiocircularcuyodiámetroesaldiámetrodeaquelorificiocomo21a25.Ypor tanto, la susodicha agua que cae tiene una velocidad hacia abajo en elmismoorificioqueeslamismaqueadquiriríaungravecayendoydescribiendoensucaídalasemialturadelaguacontenidaenelvasomuyaproximadamente.Pero,despuésdesalirdelvaso,seaceleraconvergiendohastaquellegaaunadistanciadelorificiocasiigualaldiámetrodelorificio,yadquiereunavelocidadmayorcasienlaproporcióndelaraízcuadradadedosauno;velocidadque,ciertamente,casiadquiriríaungravecayendoyrecorriendoensucaídalaalturatotaldelaguacontenidaenelvaso.

En lo sucesivo, por tanto, designemos al diámetro de la vena mediante aquelorificiomenor, al cualhemos llamadoEF.Y supóngaseque se trazaunplanoVWencimayparaleloaldelorificioEFyaunadistanciaigualaldiámetrodelorificio,dotadotambiéndeunorificioSTmayorqueelprimero,yasícaigaporélunavenade agua que llene completamente el orificio inferior EF y que además tenga undiámetro de una proporción respecto al del orificio inferior como 25 a 21aproximadamente.Deestemodo lavenadeaguapasaráperpendicularmenteporelorificioinferior,ylacantidaddeaguafluyente,segúneltamañodeesteorificio,seráaproximadamenteaquellaqueexigelasolucióndelproblema.Encambio,elespaciocomprendidoentrelosdosplanosylavenadeaguaquecaepuedeconsiderarsecomofondo del vaso. Pero para que la solución del problema sea más simple y más


matemática,esmásconvenienteconsiderar solamentealplano inferiorcomofondodelvasoysuponerqueelagua,quecaíaporelhielooporelembudoysalíadelvasopor el orificio EF practicado en el plano inferior, conserva continuamente sumovimiento,mientras el hielo está en reposo. Por tanto, sea en lo sucesivo ST eldiámetrodelorificiodescritoconcentroenZacuyotravésfluyedelvasolacataratacuando el agua toda del vaso es fluida. Y sea EF el diámetro del orificio que elchorro, al pasar, llena completamente, tanto si el agua sale del vaso a través delorificio superior ST, como si cae a través del hielo a modo de embudo. Y sea eldiámetrodelorificiosuperiorSTaldelinferiorEFaproximadamentecomo25a21,yladistanciaperpendicularentre losplanosde losorificiossea igualaldiámetrodelorificiomenorEF.Entalcaso,lavelocidaddelaguaquesaledelvasoporelorificioSTseráenelmismoorificiohaciaabajo lamismaque laqueadquiriríauncuerpocayendodesdelamitaddelaalturaIZ:mientrasquelavelocidaddelacatarataquecaedeambosseráenelorificioEFlaqueadquiriríauncuerpoquecayesedelaalturatotalIG.

CASO2.SielorificioEFnoestuvieseenelcentrodelfondodelvaso,sinoqueelfondoestuvieseperforadoenotro lugar,elaguasaldrácon lamismavelocidadqueantes, siempre que el orificio sea del mismo tamaño. Pues, un grave desciendeciertamente en un tiempo mayor hasta la misma profundidad siguiendo una líneaoblicuaquesiguiendolaperpendicular,peroalbajaradquierelamismavelocidadenunoyotrocaso,comodemostróGalileo.

CASO3.Lamismaeslavelocidaddelaguaquefluyeporunorificioabiertoenuncostadodelvaso.Puessielorificiofuesepequeño,demodoqueladistanciaentrelassuperficiesAByKLseaimperceptibleparalossentidosylavenadeaguaquesalehorizontalmente venga a tener una forma parabólica, del «latus rectum» de estaparábolaseinfierequelavelocidaddelaguaquediscurreseráaquellaqueadquiriríaun cuerpo al caer desde la altura HG o IG del agua retenida en el vaso.Efectivamente, hecho el experimento, hallé que si la altura del agua retenida en elvaso era de veinte pulgadas sobre el orificio y la altura del orificio sobre el planohorizontal era también de 20 pulgadas, la vena de agua que fluía caía sobre dichoplanoaladistanciadecasi37pulgadasdelaperpendiculartrazadadesdeelorificiosobreelplanohorizontal.Pues,sinresistencia, lavenadeberíahabercaídosobreelplanoaunadistanciade40pulgadas,siendoel«latusrectum»delavenaparabólicade80pulgadas.

CASO4.Einclusosielaguafluyenteseorientahaciaarriba,saldráconlamismavelocidad. Pues la pequeña vena de agua fluyente asciende con un movimientoperpendicularhastalaalturaGHoGIdelaguaretenidaenelvaso,salvoenlamedidaenquesuascensoesuntanto impedidopor laresistenciadelaire;ypor tanto,saleconlavelocidadqueadquiriríacayendodesdedichaaltura.Cadapartículadelaguaretenidasufreigualpresiónportodaspartes(porlaProposiciónXIXdelLibroII)yalcederalapresión,sedesplazahaciatodaspartesconigualimpulso,tantosicaeporel


orificioenel fondodelvaso,comosi fluyehorizontalmentea travésdeunorificiolateral,osipenetraenuncanalydespuésasciendeporunpequeñoorificioabiertoenlaparte superiordel canal.Que lavelocidadconque fluyeel aguaes laque sehaestablecidoenestaProposiciónnosóloseinfiereracionalmente,sinoquetambiénseevidenciamediantelosbienconocidosexperimentosqueacabamosdedescribir.

CASO5.Lavelocidaddelflujodeaguaeslamismatantosilaformadelorificioescircularcomosiescuadrada,triangularuotracualquieraigualalacircular.PorquelavelocidaddelaguafluyentenodependedelafiguradelorificiosinoquesurgedesualturapordebajodelplanoKL.

CASO 6.Si laparte inferiordelvasoABDCse sumergeenaguaestancaday laalturadelaguaestancadasobreelfondodelvasofueraGR,lavelocidadconlaqueelaguaque está en el vaso saldríapor el orificioEFhacia el agua estancada sería lamismaquelaqueadquiriríaelaguacayendodesdelaalturaIRyrecorriéndolaensucaída.Pueselpesodetodaelaguadelvasoqueestápordebajodelasuperficiedelaguaestancada,serásostenidoenequilibrioporelpesodelaguaestancada,yporelloennadaaceleraráelmovimientodelaguaquedesciendeenelvaso.Tambiénpuedemostrarseestecasomedianteexperimentos,midiendoeltiempoenqueelaguafluye.

COROLARIO1.Porello,silaalturaCAdelaguaseprolongahastaK,demodoqueAK sea a CK como el cuadrado de la razón del área de un orificio abierto encualquierpartedelfondoaláreadelcírculoAB;lavelocidaddelaguafluyenteseráigualalavelocidadqueadquiriríaelaguacayendoyrecorriendoensucaídalaalturaKC.

COROLARIO 2.Y la fuerzacon la cual sepuedegenerar elmovimiento totaldelagua fluyente es igual al peso de la columna cilíndrica de agua cuya base es elorificioEFycuyaalturaes2GIo2CK.Pueselaguaquesale,eneltiempoenqueigualaadichacolumna,adquiriríacayendoporsupropiopesodesdelaalturaGIlavelocidadconquesale.

COROLARIO3.ElpesodetodaelaguacontenidaenelvasoABDCesa lapartedelpesoquepresionaparaquesalgaelaguacomolasumadeloscírculosAByEFaldobledelcírculoEF.PuesseaIOlamediaproporcionalentreIHeIG;yelaguaquesaleporelorificioEFeneltiempoenqueunagotacayendodesdeIpuederecorrerlaalturaIG,esigualauncilindrocuyabaseeselcírculoEFycuyaalturaes2IG,esdecir,auncilindrocuyabaseeselcírculoABycuyaalturaes210,pueselcírculoEFesalcírculoABcomolaraízcuadradadelaalturaIHaladelaalturaIG,esdecir,enrazónsimpledelamediaproporcionalIOalaalturaIG;yeneltiempoenquelagotacayendodesdeIdescribiríalaalturaIH,elaguaquesaleseráigualauncilindrocuyabaseeselcírculoABycuyaalturaes2IH;yenel tiempoenque lagotacayendodesdeIporHhastaGdescribeladiferenciadealturasHG,elaguaquesale,esdecir,toda el agua contenida en el sólido ABNFEM, será igual a la diferencia de loscilindros, es decir, al cilindro cuya base es AB y cuya altura es 2HO. Y porconsiguiente, toda el agua contenida en el vaso ABDC es al agua toda que cae


contenidaenelsólidoABNFEMcomoHGa2HO,esdecir,comoHO+OGa2HO,o IH + IO a 2IH. Pero el peso de toda el agua contenida en el sólido ABNFEMpresionaparaquesalgaelagua;yportanto,elpesodetodaelaguacontenidaenelvasoesalapartedepesoquepresionaparaquesalgaelaguacomoIH+IOa2H,yportanto,comolasumadeloscírculosEFyABaldobledelcírculoEF.

COROLARIO4.YporelloelpesodetodaelaguacontenidaenelvasoABDCesaaquellapartedelpesoquesoportaelfondodelvaso,comolasumadeloscírculosAByEFaladiferenciadelospropioscírculos.

COROLARIO5.Ylapartedepesosoportadaporelfondodelvasoesalapartedepesoquepresionasobrelasalidadelagua,comoladiferenciadeloscírculosAByEFaldobledelcírculomenor,ocomoeláreadelfondoaldobledelorificio.

COROLARIO6.Mas,lapartedepesoquepresionasolamentesobreelfondoesalpesodetodaelaguaquedescansaperpendicularmentesobreelfondocomoelcírculoABalasumadeloscírculosAByEF,ocomoelcírculoABalexcesodelduplodelcírculoABsobreelfondo.Pueslapartedepeso,quepresionasolasobreelsuelo,esal peso de toda el agua del vaso, como la diferencia de los círculosAByEF a lasumadeesoscírculos,porelCorolario4;yelpesodetodaelaguacontenidaenelvasoesalpesodetodaelaguaquedescansaperpendicularmentesobreelfondocomoel círculo AB a la diferencia de los círculos AB y EF. Y por tanto, permutandoadecuadamente,lapartedepesoquesólourgesobreelfondo,esalpesodetodaelaguaquedescansasobreelfondoperpendicularmente,comoelcírculoABalasumadeloscírculosAByEFoexcesodelduplodelcírculoABsobreelfondo.

COROLARIO 7. Si en el centro del orificioEF se coloca el pequeño círculo PQ,descritoentornoalcentroGyparaleloalhorizonte,elpesodelaguasostenidapordichopequeñocírculoesmayorqueelpesodelatercerapartedelcilindrodeaguacuyabasefueseelpequeñocírculoylaalturaGH.Pues,seaABNFEMlacatarataocolumnadeaguaquecaeconejeGHcomomásarriba,eimagínesequetodaelaguacontenida en el vaso se congelase, tanto en torno de la catarata como sobre elpequeñocírculo,pornosernecesariasufluidezparaundescensoinmediatoyrápidodel agua.Y seaPHQ la columnade agua congelada sobre el pequeño círculo, con


vérticeenHyalturaGH.Imagínesequesemejantecataratacaecontodosupeso,ynoseapoyasobrePHQnipresionaenabsoluto,sinoquelibrementeysinfricciónseva deslizando, salvo acaso en el vértice mismo del hielo donde la catarata alcomenzaracaerpuedesercóncava.Y,puestoque,elaguacongeladaAMEC,ANFDque rodea a la catarata es convexa en su superficie interior AME, BNF hacia lacatarataquecae,tambiénlacolumnaPHQseráconvexahacialacatarata,yportanto,mayorqueelconocuyabaseeselpequeñocírculoPQylaalturaGH,esdecir,mayorquelatercerapartedelcilindrodescritocontalesbaseyaltura.Sostiene,pues,dichopequeñocírculoelpesodeestacolumna,esdecir,unpesoqueesmayorqueelpesodelconoomayorquelatercerapartedeaquelcilindro.

COROLARIO8.ElpesodeaguaqueelcírculomuypequeñoPQsoportaparecesermenorqueelpesodelasdosterceraspartesdelcilindrodeaguacuyabaseesdichocírculoy la alturaHG.Pues, supuesto loquehemosdichoantes, imagíneseque sedescribeunsemiesferoidecuyabaseeselsusodichopequeñocírculoycuyosemiejeo altura es HG. Esta figura será igual a dos terceras partes de aquel cilindro ycomprenderá a la columnade agua congeladaPHQcuyopeso sostiene el pequeñocírculo.Pues,comoelmovimientodelaguaseadirectoengranmedida,lasuperficieexternadeladichacolumnaconcurriráconlabasePQenángulountantoagudo,todavezque el agua se acelera continuamente al caery, debidoa esa aceleración sevahaciendomás estrecha.Por tanto, puesto que el ángulo esmenor que un recto, laspartes inferiores de la columna estarán dentro del semiesferoide. Y en sus partessuperiores también será aguda o puntiaguda, pues de lo contrario el movimientohorizontal del agua habría de ser infinitamente más veloz en el vértice que sumovimientohaciaelplanohorizontal.YcuantomenorseaelcírculoPQ,másagudoserá el vértice de la columna, y si el círculo disminuye hasta el infinito, el ánguloPHQ disminuirá hasta el infinito, por lo cual la columna estará dentro delsemiesferoide.Porconsiguiente,lacolumnaesmenorqueelsemiesferoide,oquelas


dosterceraspartesdelcilindrocuyabaseeselpequeñocírculoycuyaalturaesGH.Así el pequeño círculo soporta una fuerza de agua igual al peso de la columna,mientraselpesodelaguaquelarodeapresionaparaqueelaguasalgaporelorificio.

COROLARIO9.ElpesodeaguaquesoportaelpequeñocírculoPQmuyreducidoes aproximadamente igual al peso de un cilindro de agua cuya base fuese dichopequeñocírculoysualtura½GH.Puesestepesoesunamediaaritméticadelospesosdel cono y el semiesferoidemencionadomás arriba. Pero si el pequeño círculo nofuesemuyreducido,sinomásbienaumentasehastaigualaralorificioEF,soportaríaelpesodetodaelaguaquereposaperpendicularmentesobreél,esdecir,elpesodelcilindrodeaguacuyabaseeselpequeñocírculoycuyaalturaesGH.

COROLARIO10.Y(hastadondemeesposibleprecisarlo)elpesoquesoportaestepequeñocírculoessiemprealpesodeuncilindrodeaguacuyabaseseaelpequeñocírculoysualtura½GHcomoEF2esaEF2-½PQ2,ocomoelcírculoEFalexcesodedichocírculosobrelamitaddelpequeñocírculo,muyaproximadamente.

LEMAIV

Si un cilindro se desplaza uniformemente en la dirección de su longitud, laresistenciaquesufrenocambiaenabsolutoaumentandoodisminuyendolalongitudy,por tanto,es iguala laresistenciaquesufriríauncírculodescritoconelmismodiámetro y que se desplazase a la misma velocidad según una línea rectaperpendicularasuplano.

Pues los lados no se oponen en absoluto al movimiento y un cilindro setransformaenuncírculocuandosulongituddisminuyehastaelinfinito.

PROPOSICIÓNXXXVII.TEOREMAXXIX[13]

Si un cilindro se desplaza uniformemente según la dirección de su longitud en unfluidocomprimido,ilimitadoynoelástico,laresistenciadebidaalamagnituddesusección transversal es a la fuerza con la cual se generaría o anularía todo sumovimiento en el tiempo en que recorre el cuádruplo de su longitud como ladensidaddelmedioaladensidaddelcilindromuyaproximadamente.

Pues sea ABDC un vaso que toca con su fondo CD la superficie del aguaestancada; hágase que el agua salga de dicho vaso hacia el agua estancada por elcanal cilíndrico EFTS, perpendicular al horizonte, sitúese el pequeño círculo PQparaleloalhorizonteenunaposicióncualquieraenmediodelcanalyprolóngueseCAhastaKdemodoqueAKseaaCKcomoelcuadradodelexcesodelorificiodelcanal


EFsobreelpequeñocírculoPQalcírculoAB.Yesevidente(porelCaso5,elCaso6yelCorolario1delaProposiciónXXXVI)quelavelocidaddelaguaquepasaporelanillocomprendidoentreelpequeñocírculoyloscostadosdelrecipienteseráaquellaqueadquiriríaelaguacayendoydescribiendoensucaídalaalturaKCoIG.

Y(porelCorolario10delaProposiciónXXXVI)silaanchuradelvasoesinfinita,demodoquelabrevelíneaHIdesapareceylasalturasIG,HGsehaceniguales, lafuerzadelaguaquecaesobreelpequeñocírculoseráalpesodelcilindrocuyabasees elmismopequeño círculo y cuya altura es½IG, comoEF2 aEF2 -½PQ2muyaproximadamente.Pues la fuerzadel aguaque fluyeconmovimientouniformeportodoelcanalserásiempreigualsobreelpequeñocírculoencualquierpartedelcanalenquesehallecolocado.

CiérrenseahoralosorificiosEF,STdelcanal,hágaseascenderalpequeñocírculoen el fluido comprimido por doquier y obligue con su ascenso al agua de arriba adescenderporelespacioanularcomprendidoentreelpequeñocírculoyloscostadosdel canal: y la velocidad de ascenso del pequeño círculo será a la velocidad dedescensodelaguacomoladiferenciaentreloscírculosEFyPQalcírculoPQ,ylavelocidaddeascensodelpequeñocírculoalasumadelasvelocidades,esdecir,alavelocidad relativa de descenso del agua con la cual discurre al lado del pequeñocírculoascendente,comoladiferenciadeloscírculosEFyPQalcírculoEF,osea,comoEF2-PQ2aEF2.Seadichavelocidadrelativaigualalavelocidadconlacualseviomásarribaqueelaguapasabaporelmismoespacioanularmientraselpequeñocírculopermanecíainmóvil,esdecir,alavelocidadqueadquiriríaelaguacayendoydescribiendoensucaídalaalturaIG:entalcaso,lafuerzadelaguasobreelpequeñocírculo ascendente será lamismaque antes (por elCorolarioV de estasLeyes), es


decir,laresistenciadelpequeñocírculoascendenteseráalpesodelcilindrodeaguacuya base sea el pequeño círculo y su altura ½IG como EF2 a EF2 - ½PQ2muyaproximadamente. Pero la velocidad del pequeño círculo será a la velocidad queadquiriríaelaguacayendoydescribiendoconsucaídalaalturaIG,comoEF2-PQ2aEF2.

Auméntese laanchuradelcanalhastael infinito,y lassusodichasrazonesentreEF2-PQ2yEF2yentreEF2yEF2-½PQ2llegaránenúltimotérminoaserrazonesdeigualdad.Y,porconsiguiente,lavelocidaddelpequeñocírculoseráahoraaquellaqueadquiriríaelaguacayendoydescribiendoconsucaídalaalturaIG,mientrassuresistenciavendráaserigualalpesodelcilindrocuyabaseseaelpequeñocírculoysualturalamitaddelaalturaIG,desdelacualdeberácaerelcilindroparaadquirirlavelocidadconqueasciendeelpequeñocírculo;yaestavelocidad,eneltiempodesucaída,describiráelcuádruplodesulongitud.Encambio, laresistenciadelcilindro,desplazándose a esta velocidad en la dirección de su longitud, es lamisma que laresistencia del pequeño círculo (por el Lema IV) y en consecuencia, es igual a lafuerzaconlacualsegeneraríasumovimientomientrasdescribeelcuádruplodesulongitudmuyaproximadamente.

Si la longituddel cilindro se aumentaseodisminuyese, sumovimientoal igualqueeltiempoenquedescribeelcuádruplodesulongitud,aumentaránodisminuiránenlamismaproporción;yportanto,lafuerzaconlacualsegeneraríaosuprimiríaelmovimiento aumentado o disminuido, en tiempo correlativamente aumentado odisminuido, no sufrirá cambio alguno; y por ende, también ahora es igual a laresistenciadelcilindro,puestambiénestapermanecesincambiossegúnelLemaIV.

Siladensidaddelcilindroaumentaodisminuye,sumovimiento,aligualquelafuerza con la cual en el mismo tiempo se generaría o suprimiría el movimiento,aumentaráodisminuiráen lamismaproporción.Porconsiguiente, la resistenciadetodo el cilindro será a la fuerza con la cual se generaría o se suprimiría todo sumovimientoeneltiempoquetardaenrecorrerelcuádruplodesulongitud,comoladensidaddelmedioaladensidaddelcilindromuyaproximadamente.Q.E.D.

Perounfluidohadesercomprimidoparaqueseacontinuo,ydebesercontinuoyno elástico para que toda la presión debida a su compresión pueda propagarseinstantáneamenteynocambielaresistenciaactuandoparaellodemodoigualsobretodas laspartesdelcuerpomovido.Lapresióndebidaalmovimientodelcuerposeconsumeengenerarelmovimientodelaspartesdelfluidoycrealaresistencia.Perola presión que surge de la compresión del fluido, aunque sea fuerte, si se propagainstantáneamente,nogeneramovimientoalgunoenlaspartesdeunfluidocontinuo,no provoca cambio alguno demovimiento; y por ello ni aumenta ni disminuye laresistencia.Ciertamente,laaccióndelfluidodebidaasucompresiónnopuedeserenlaspartesposterioresmásfuertequeenlasanterioresdeuncuerpomovido,yporellolaresistenciadescritaenestaProposiciónnopuededisminuirse:ynoserámásfuerteen las partes anteriores que en las posteriores, siempre que la propagación de la


mismaseainfinitamentemásrápidaqueelmovimientodelcuerpopresionado.Peroseráinfinitamentemásrápidaysepropagaráinstantáneamentesiemprequeelfluidoseacontinuoynoelástico.

COROLARIO 1. Las resistencias que sufren cilindros que se desplazan en ladirección de sus longitudes uniformemente y en medios infinitos están en razóncompuesta del cuadrado de las velocidades, del cuadrado de los diámetros y de ladensidaddelmedio.

COROLARIO2.Silaanchuradelcanalnoseaumentahastaelinfinito,sinoqueelcilindroavanzasegún ladireccióndesu longitudenelmediocontenidoen reposo,coincidiendoademáselejedelcilindroconelejedelcanal,suresistenciavendráaser,respectoalafuerzaconlacualsegeneraríaosuprimiríatodosumovimiento,eneltiempoenquedescribeelcuádruplodesulongitud,comolarazóncompuestadelarazónEF2aEF2-½PQ2,delcuadradodelarazónEF2aEF2-PQ2ydelarazóndeladensidaddelmedioaladensidaddelcilindro.

COROLARIO 3. Con los mismos supuestos y también que la longitud L sea alcuádruplo de la longitud del cilindro en la razón compuesta de la razón de EF2 -½PQ2aEF2ydelcuadradodelarazóndeEF2-PQ2aEF2,laresistenciadelcilindroseráalafuerzaconlaquesegeneraríaosuprimiríatodosumovimientoeneltiempoenquedescribelalongitudL,comoladensidaddelmedioaladensidaddelcilindro.

ESCOLIO

EnestaProposiciónhemosinvestigadolaresistenciaqueprocedesolamentedela


magnitud de la sección transversal del cilindro, prescindiendo de la parte deresistenciaquepuedesurgirdelaoblicuidaddelosmovimientos.Yaque,aligualqueen el Caso 1 de la Proposición XXXVI, la oblicuidad de los movimientos, con loscualeslaspartesdelaguaenelvasoconvergíandetodosladossobreelorificioEF,impedía la salida del agua por el orificio, delmismomodo en estaProposición, laoblicuidaddelosmovimientosconloscualeslaspartesdelaguapresionadasporelextremo anterior del cilindro ceden a la presión y divergen en todas direcciones,retardan sus traslaciones por los alrededores de dicho extremo anterior hacia laspartes posteriores del cilindro y hace que el fluido se remueva hasta distanciasmayoresyaumentelaresistencia,yestocasienlamismarazónenlaquedisminuyelasalidadeaguadelvaso,esdecir,casicomoelcuadradodelarazónde25a21.Y,aligualqueenelcasoprimerodelasusodichaProposición,hacíamosquelaspartesdeaguapasasenacañollenoyperpendicularmenteporelorificioEF,suponiendoquetoda el agua del vaso en torno a la catarata estaba congelada, y cuyomovimientooblicuo e inútil permanecía inmóvil, del mismo modo en esta Proposición, paraeliminarlaoblicuidaddelosmovimientos,yparaquelaspartesdelagua,cediendocon un movimiento directo y breve, faciliten al máximo el tránsito del cilindro yúnicamentepermanezcalaresistenciadebidaalamagnituddelaseccióntransversal,resistencia que sólo puede disminuir disminuyendo el diámetro del cilindro,habremosdesuponerquelaspartesdelfluidocuyosmovimientosoblicuoseinútilescrean resistencia, están en reposo entre sí en ambos extremos del cilindro,cohesionadasentresíyunidasalcilindro.SeaABCDunrectánguloyseanAEyBEdos arcos parabólicos descritos con ejeABy conun«latus rectum» tal que sea alespacioHG, que habría de ser descrito por el cilindro en su caída para adquirir lavelocidadconquesemueve,comoHGa½AB.YseantambiénCFyDFotrosdosarcosparabólicosdescritosconejeCDycon«latusrectum»cuatrovecesmayorqueelanterior;yporrevolucióndelafiguraentornoalejeEFsegeneraráunsólidocuyaparteintermediaABDCseráelcilindrodelquetratamos,ylaspartesextremasABEy CDF contienen las partes del fluido en reposo entre sí, y condensadas en doscuerposrígidosadheridosalcilindroporambaspartescomosifuerancabezaycola.Entalcaso,laresistenciadeestesólidoEACFDB,desplazándosesegúnlalongitudde su eje FE en dirección aE, será aproximadamente lamisma que la que hemosdeterminadoenestaProposición,esdecir,aquellaqueestaríarespectoalafuerzaconlacualsegeneraríaosuprimiríatodoelmovimientodelcilindroeneltiempoenquecondichomovimientouniformementecontinuorecorreríalalongitud4AC,comoladensidad del fluido a la densidad del cilindro, muy aproximadamente. Y, por elCorolario7delaProposiciónXXXVI,estaresistencianopuedesermenorrespectoadichafuerzaquelarazónde2a3.


LEMAV

Siunaesfera,uncilindroyunesferoidedeigualanchurasecolocansucesivamenteenmediodelcanalcilíndricodetalmodoqueelejedelosmismoscoincidaconelejedelcanal,dichoscuerposimpediránporigualelflujodelaguaatravésdelcanal.

Pueslosespaciosentreelcanalyelcilindro,laesferayelesferoide,atravésdeloscualespasaelagua,soniguales:yelaguapasaigualporespaciosiguales.

Estoesasíbajolahipótesisdequetodaelaguaqueestásobreelcilindro,sobrelaesferaosobreelesferoideycuyafluideznoesnecesariaparaqueelaguapasecontodarapidez,secongele,comoyaexpuseenelCorolario7delaProposiciónXXXVI.

LEMAVI

Conlosmismossupuestos,lossusodichoscuerpossonigualmenteurgidosporelaguaquefluyeporelcanal.

SesiguedelLemaVydelaterceraLey.Pueselaguayloscuerposactúanentresímutuaeigualmente.

LEMAVII

Si el agua del canal está en reposo y los susodichos cuerpos se desplazan por elcanalavelocidadesigualesyendireccionesopuestas,susresistenciasseránigualesentresí.

SesiguedelLemaanterior,pueslosmovimientosrelativossiguensiendoigualesentresí.

ESCOLIO

El mismo es el caso para los cuerpos todos convexos y redondos cuyos ejes


coincidenconelejedelcanal.Algunadiferenciapodríasurgirdelafricciónmayoromenor, pero en estosLemas suponemos que los cuerpos son sumamente pulidos yquelatenacidaddelmedioylafricciónsonnulasytambiénquelaspartesdelfluido,queconsusmovimientosoblicuosysuperfluospudieranperturbar,impediryretardarel flujo del agua por el canal, reposan entre ellas como constreñidas por lacongelaciónypegadasalaspartesanterioresyposterioresdeloscuerpos,talycomoheexpuestoenelEscoliodelaProposiciónanterior.Puesenloquesiguesetratadela resistencia mínima que pueden tener los cuerpos redondos descritos con unaseccióntransversalmáximadada.

Loscuerposflotantesenfluidos,cuandosedesplazanenlínearecta,hacenqueelfluidoasciendaporlapartedelanteraydesciendaporlaparteposterior,sobretodosilas figuras son obtusas; y por ello, padecen una resistencia algo mayor que si lacabezaylacolafuesenagudas.Yloscuerposquesemuevenenfluidoselásticos,sisonobtusospordelanteypordetrás,condensanelfluidounpocomáspordelanteylorelajanalgomásporlapartedeatrás;yporellosufrenunaresistenciaalgomayorquesi fuesenagudospor lacabezaypor lacola.PeronosotrosenestosLemasnotratamos de fluidos elásticos, sino de los no elásticos, tampocode los cuerpos queflotan en los fluidos, sino de los hundidos en losmismos.Y cuando se conoce laresistenciade loscuerposenfluidosnoelásticos,hayqueaumentarestaresistenciaunpoco, tantopara losfluidoselásticos,comoelaire,comopara lassuperficiesdefluidosestancados,comolosmaresyloslagos.

PROPOSICIÓNXXXVIII.TEOREMAXXX

Laresistenciadeunglobo,quesedesplazauniformementeenunfluidocomprimido,infinitoynoelástico,esalafuerza,quegeneraríaosuprimiríatodosumovimientoen el mismo tiempo en que recorre ocho terceras partes de su diámetro, como ladensidaddelfluidoaladensidaddelglobomuyaproximadamente.

Pues el globo es al cilindro circunscrito como dos a tres; y por tanto aquellafuerza que suprimiese todo el movimiento del cilindro en el tiempo en que ésterecorreunalongituddecuatrodiámetros,suprimirátodoelmovimientodelgloboenel tiempo en que éste recorra dos terceras partes de dicha longitud, es decir, ochoterceraspartesdelpropiodiámetro.Pero la resistenciadel cilindro es a esta fuerzamuyaproximadamentecomoladensidaddel fluidoa ladensidaddelcilindroodelgloboporlaProposiciónXXXVII,ylaresistenciadelgloboesigualalaresistenciadelcilindro,porlosLemasV,VIyVIII.Q.E.D.

COROLARIO 1.Las resistencias de los globos, enmedios comprimidos infinitos,estánenrazóncompuestadelcuadradodelavelocidad,delcuadradodeldiámetroydeladensidaddelosmedios.


COROLARIO2.Lamáximavelocidadconlacualunglobopuededescenderporsupeso relativoenun fluido resistenteesaquellaquepuedeadquirir elmismoglobo,conelmismopeso,cayendosinresistenciaydescribiendoensucaídaunespacioquesea a las cuatro terceras partes de su diámetro como la densidad del globo a ladensidad del fluido. Pues el globo en el tiempo de su caída, con la velocidadadquirida al caer, describirá un espacio que resultará ser a ocho tercios de sudiámetro,comoladensidaddelgloboa ladensidaddel fluido;y la fuerzadelpesogeneradoradeestemovimientoseráalafuerzaquegeneraríaestemismomovimientoenel tiempoenqueelgloborecorrería lasocho terceraspartesdesudiámetroa lamisma velocidad, como la densidad del fluido a la densidad del globo: y porconsiguiente, por esta Proposición, la fuerza del peso será igual a la fuerza deresistenciay,porello,nopuedeaceleraralglobo.

COROLARIO 3. Dadas la densidad del globo y su velocidad al principio delmovimiento,asícomoladensidaddelfluidocomprimidoenreposoenqueelglobose mueve, están dados en todo momento, tanto la velocidad del globo como suresistencia,aligualqueelespaciodescritoporél,porelCorolario7delaProposiciónXXXV.

COROLARIO4.Unglobomoviéndoseenunfluidocomprimidoenreposoydesumismadensidad,perderálamitaddesumovimientoantesdequehayarecorridounalongituddedosdiámetrospropios,porelmismoCorolario7.

PROPOSICIÓNXXXIX.TEOREMAXXXI

La resistencia de un globo que se desplaza por un fluido encerrado en un canalcilíndrico y uniformemente comprimido, es a la fuerza con la cual se generaría osuprimiríatodosumovimientoeneltiempoenquerecorreríaochoterceraspartesdesudiámetro,comolarazóncompuestadelarazóndelorificiodelcanalalexcesodeesteorificiosobrelamitaddelcírculomáximodelglobo,delcuadradodelarazóndelorificiodelcanalalexcesodeesteorificiosobreelcírculomáximodelgloboydelarazóndeladensidaddelfluidoaladensidaddelglobo,muyaproximadamente.

Es evidente por el Corolario 2 de la Proposición XXXVII, mientras que lademostraciónsiguelospasosdelademostracióndelaProposiciónanterior.

ESCOLIO

EnlasdosúltimasProposiciones(lomismoqueenelLemaV)hesupuestoquetodaelaguaqueprecedealgloboycuyafluidezaumentalaresistenciadelglobo,sehalla congelada. Pero si toda dicha agua está líquida, aumentará la resistencia un


tanto. Aunque dicho aumento en estas Proposiciones será pequeño y puededespreciarse,dadoquelasuperficieconvexadelgloboproducecasitodoelefectodelhielo.

PROPOSICIÓNXL.PROBLEMAIX

Hallarapartirdelosfenómenoslaresistenciadeungloboquesedesplazaenunmediocomprimidomuyfluido.

Sea A el peso del globo en el vacío, B su peso en un medio resistente, D eldiámetro del globo, F el espacio que sea a 4⁄3D como la densidad del globo a ladensidad del medio, es decir, como A a A - B, G el tiempo en el cual el globocayendo sin resistencia con el pesoB describe el espacio F, yH la velocidad queadquiereelgloboconestasucaída.YHserálavelocidadmáximaconqueelglobo,con su peso B, puede descender en un medio resistente, por el Corolario 2 de laProposición XXXVIII, y la resistencia que sufre el globo, descendiendo con dichavelocidad, será igual a su peso B, mientras que la resistencia que sufre a otravelocidad cualquiera será al pesoBcomo la razóncuadradade estavelocidad a lasusodichavelocidadmáximaH,porelCorolario1delaProposiciónXXXVIII.

Estaeslaresistenciaquesedebealainerciadelamateriadelfluido.Perolaquesedebealaelasticidad,tenacidadyfriccióndesuspartessehallarácomosigue.

Déjesecaerelglobodemodoquedesciendaenel fluidoporsupesoB;yseaPeltiempo de caída y seamedido en segundos si el tiempoG está dado en segundos.

HálleseelnúmeroabsolutoNcorrespondienteallogaritmo0,43429448192PG,ysea

LellogaritmodelnúmeroN+1N

,ylavelocidadadquiridaalcaerseráN-1N+1

H,yla

altura descrita será2PFG

- 1,3862943611F + 4,605170186LF. Si el fluido es

suficientementeprofundo,sepuededespreciareltérmino4,605170186LF,ylaaltura

descritaserámuyaproximadamentelade2PFG

-1,3862943611F.Todoestosesigue

delaProposiciónnovenadelLibrosegundoydesusCorolariosenlahipótesisdequeel globo no sufra otra resistencia que la debida a la inercia de lamateria. Pero sisufriese otra resistencia además de ésta, el descenso será más lento, y de laretardaciónseinferirálacantidaddeesaresistencia.

Paraconocermásfácilmentelavelocidadyeldescensodeuncuerpoquecaeenun


fluido,hecompuestolasiguientetabla,cuyaprimeracolumnaexpresalostiemposdecaída,lasegundalasvelocidadesadquiridasenlacaída,siendolavelocidadmáxima100000000, la tercera representa los espacios descritos al caer en dichos tiempos,siendo 2F el espacio descrito por el cuerpo en el tiempo G y con la velocidadmáxima,ylacuartarepresentalosespaciosdescritosenlosmismostiemposmáxima.

Losnúmerosde lacuartacolumnason2PFG

,ysustrayendoelnúmero1,3862944 -

4,6051702L,sehallarán losnúmerosde la terceracolumna,númerosestosquehayquemultiplicar por el espacio F para hallar los espacios descritos al caer. A estasanterioressehaañadidounaquintacolumnaquecontienelosespaciosdescritosporelcuerpoenestosmismostiemposcayendoenelvacíoconlafuerzadesupesodecomparaciónB.

TiemposP

Velocidadesdecaídaenelfluido

Espaciosdescritoscayendoenelfluido

Espaciosdescritosconmovimientomáximo

Espaciosdescritoscayendoenelvacío

0,001G 9999929/30 0,000001F 0,002F 0,000001F0,01G 999967 0,0001F 0,02F 0,0001F0,1G 9966799 0,0099834F 0,2F 0,01F0,2G 19737532 0,0397361F 0,4F 0,04F0,3G 29131261 0,0886815F 0,6F 0,09F0,4G 37994896 0,1559070F 0,8F 0,16F0,5G 46211716 0,2402290F 1,0F 0,25F0,6G 53704957 0,3402706F 1,2F 0,36F0,7G 60436778 0,4545405F 1,4F 0,49F0,8G 66403677 0,5815071F 1,6F 0,64F0,9G 71629787 0,7196609F 1,8F 0,81F1G 76159416 0,8675617F 2F 1F2G 96402758 2,6500055F 4F 4F3G 99505475 4,6186570F 6F 9F4G 99932930 6,6143765F 8F 16F5G 99990920 8,6137964F 10F 25F6G 99998771 10,6137179F 12F 36F7G 99999834 12,6137073F 14F 49F8G 99999980 14,6137059F 16F 64F9G 99999997 16,6137057F 18F 81F10G 99999999⅗ 18,6137056F 20F 100F

ESCOLIO

Conobjetodeinvestigarmedianteexperimentoslasresistenciasdelosfluidosmeprocuré un vaso de madera cuadrado y con longitud y latitud interiores de nuevepulgadasdepielondinenseyconunaprofundidaddenuevepiesymedio,ylollenédeaguadelluvia;ycongloboshechosdeceraconteniendoplomo,anotélostiemposde descenso de los globos, siendo la altura del descenso de 112 pulgadas. El pie


cúbicosólidolondinensecontiene76librasromanasdeaguadelluvia,ylapulgadasólidacúbicadeestepiecontiene19⁄36onzasdeesalibra,otambién253⅓granos;yunglobodeaguadeunapulgadadediámetro132,645granosenelaire,o también132,8granosenelvacío;yotroglobocualquieraserácomoelexcesodesupesoenelvacíosobresupesoenelagua.

EXPERIMENTO 1. Un globo, cuyo peso era de 156¼ granos en el aire y de 77granos en el agua describió la altura completa de 112 pulgadas en un tiempo decuatro segundos. Y repetido el experimento, el globo de nuevo cayó en elmismotiempodecuatrosegundos.

Elpesodelgloboenelvacíoesde15613⁄38granos,yelexcesodeestepesosobreelpesodelgloboenelaguaesde7913⁄18granos.Deellosesiguequeeldiámetrodelgloboesde0,84224partesdepulgada.Peroladensidaddelaguaa ladensidaddelgloboescomodichoexcesoalpesodelgloboenelvacío,igualquelasochoterceraspartesdeldiámetrodelglobo(esdecir,2,24597pulgadas)alespacio2F,queserá,portanto,de4,4256pulgadas.

Elgloboenunsegundo,contodosupesode15613⁄38granoscayendoenelvacío,describe 193⅓ pulgadas; y en el tiempo G, que es a un segundo como la raízcuadradadelespacioF,esdecir,como2,2128pulgadasa95,219pulgadas,describirá2,2128pulgadas,yadquirirálavelocidadmáximaHconlaquepuededescenderenelagua. Por tanto, el tiempoG es de 0,15244 segundos.Y en este tiempoG, con lasusodichavelocidadmáximaH,elglobodescribiráelespacio2Fde4,4256pulgadas;yportanto,enuntiempode4segundosdescribiráunespaciode116,1245pulgadas.Réstese el espacio de 1,3862944F o de 3,0676 pulgadas, y quedará un espacio de113,0569pulgadas,quedescribiráelglobocayendoenaguaenunvasomuyanchoyen un tiempo de 4 segundos. Este espacio, por la estrechez del vaso de maderaantedicho,debedisminuirseenunarazónqueestácompuestadelarazóndelaraízcuadradadelorificiodelvasoalexcesodeesteorificiosobreelsemicírculomáximodel globo y de la razón simple del mismo orificio a su exceso sobre el círculomáximodelglobo,osea,enlarazónde1a0,9914.Hechoesto,setendráunespaciode112,08pulgadas,quesegúnlateoríadeberíahaberdescritoelglobocayendoenelaguaendichovasodemaderaenuntiempode4segundos,muyaproximadamente.Ysegúnelexperimentodescribió112pulgadas.

EXPERIMENTO2.Tresglobosiguales,cuyospesoserande76⅓granoscadaunoenelaire,yde51⁄16granosenelagua,sedejaroncaersucesivamente;ycadaunocayóen el agua en el tiempode15 segundos, describiendo en su caída la altura de112pulgadas.

Haciendo un cálculo, resulta un peso del globo en el vacío de 765⁄12 granos, elexcesodeestepesosobreelpesoenelaguade7117⁄48granos,eldiámetrodelglobode0,81296pulgadas,lasochoterceraspartesdeestediámetro2,16789pulgadas,elespacio 2F de 2,3217pulgadas, el espacio que describirá el globo cayendo con un


peso de 51⁄16 granos sin resistencia en el tiempo de un segundo será de 12,808pulgadas,yeltiempoGserá0″,301056.Portanto,elglobo,conlamáximavelocidadquepuederecibirde lafuerzadeunpesode51⁄16granosycon lacualdescendería,recorreráunespaciode2,3217pulgadaseneltiempode0″,301056,yenuntiempode15″,recorreráunespaciode115,678pulgadas.Résteseelespacio1,3862944F,osea,1,609pulgadasyquedaráunespaciode114,069pulgadas,quedeberíarecorrerel globo en el mismo tiempo al caer en un vaso muy ancho. Por la estrechez denuestro vaso debe restarse un espacio de aproximadamente 0,895 pulgadas. Yentonces quedará un espacio de 113,174 pulgadas, que es lo que, según la teoría,debió recorrer cayendo en este vaso en un tiempo de 15 segundos. Pero describiósegúnelexperimento112pulgadas.Ladiferenciaesinapreciable.

EXPERIMENTO3.Tresglobosiguales,cuyospesoserande121granoscadaunoenelaire,yde1granoenelagua,sedejaroncaersucesivamente;ycaíanenelaguaentiemposde46,47y50segundos,describiendolaalturade112pulgadas.

Según la teoría estos globos debieron caer en un tiempo de 40 segundosaproximadamente.Creoquenoesdeterminableporquécayeronmáslentamente,sifuedebidoalamenorproporciónderesistenciaquesesiguedelafuerzadeinerciaenlosmovimientoslentosrespectoalaresistenciaquesurgedeotrascausas,osimásbienhadeatribuirseaalgunasburbujasadheridasalglobo,oa lararefaccióndelacera por el calor tanto del ambiente como de lamano que dejaba caer el globo, oquizátambiénaerroresinsensiblesalpesarlosglobosenagua.Portodoelloelpesodel globo en agua debe ser de varios granos para que el experimento sea cierto ydignodeconfianza.

EXPERIMENTO 4. Inicié los experimentos descritos hasta aquí, con el fin deinvestigar las resistenciasde los fluidos, antesdeelaborar la teoría expuesta en lasProposicionesreciénexpuestas.Después,paraexaminarlateoríareciénhallada,meprocuré un vaso de madera de una anchura interna de 82⁄3 pulgadas y de unaprofundidadde15⅓pies.Acontinuaciónconstruícuatroglobosdeceraconplomoincluido,cadaunodeunpesode139¼granosenelaire,yde7⅛granosenelagua.Ylosdejecaerdemodoquepudieramedirlostiemposdecaídaenelaguamedianteun péndulo oscilante ajustado a oscilaciones de medios segundos. Los globos,mientraslospesabaydespuéscaían,estabanfríosypermanecíanfríosdurantealgúntiempo; porque el calor enrarece un tanto la cera y por esa rarefacción el peso delgloboenelaguadisminuye,ylaceraenrarecidanosereduceinstantáneamenteporelfríoaladensidadanterior.Antesdedejarloscaerlossumergíacompletamenteenelagua,paraquesudescensoinicialnosevieseaceleradoporelpesodealgunapartesituada fuera del agua. Y cuando estaban completamente sumergidos y en reposo,eransoltadoscontodocuidadoparaquenorecibiesenimpulsoalgunoprocedentedelamanoquelossoltaba.Cayeron,pues,sucesivamenteenlostiemposde47½,48½,50 y 51 oscilaciones, describiendo una altura de 15 pies y 2 pulgadas. Pero elambienteestabaunpocomás fríoquecuando sepesaban losglobos,demodoque


repetíelexperimentootrodía,ylosgloboscayeronentiemposde49,49½,50y53oscilaciones,yun terceroen tiemposde49½,50,51y53oscilaciones.Y repetidovarias veces el experimento, los globos cayeron en lamayor parte de las veces entiempos de 49½ y 50 oscilaciones. Cuando cayeronmás lentamente sospecho quefueronretardadosporloschoquesconloscostadosdelvaso.

Haciendoahoraelcálculosegúnlateoría,resultaunpesodelgloboenelvacíode139⅖granos.Elexcesodeestepesosobreelpesodelgloboenelaguade13211⁄40granos. El diámetro del globo de 0,99868 pulgadas. Las ocho terceras partes deldiámetro 2,66315 pulgadas. El espacio 2F de 2,8066 pulgadas. El espacio quedescribeelglobocayendosinresistenciaconelpesode7⅛granoseneltiempodeunsegundode9,88164pulgadas.Yel tiempoGde0″,376843.Por lo tanto, elglobo,conlavelocidadmáximaconquepuededescenderenelaguaconlafuerzadelpesode7⅛granoseneltiempode0″,376843describeunespaciode2,8066pulgadas,yenel tiempode1″unespaciode7,44766pulgadas,yenel tiempode25″,ode50oscilaciones, un espacio de 186,1915 pulgadas. Réstese el espacio 1,386294F, o1,9454pulgadas,yquedaráunespaciode184,2461pulgadas,quedescribiráelgloboen el mismo tiempo en un vaso muy ancho. Por la estrechez de nuestro vasodisminúyaseesteespacioenunarazónqueestécompuestacelaraízcuadradadelarazóndelorificiodelvasoalexcesodeesteorificiosobreelsemicírculomáximodelglobo,ydelarazónsimpledelmismoorificioasuexcesosobreelcírculomáximodelglobo;y se tendráunespaciode181,86pulgadas,quedebiódescribir elgloboaproximadamente,segúnla teoría,enel tiempode las50oscilaciones.Ydescribió,segúnelexperimento,182pulgadaseneltiempode49½ode50oscilaciones.

EXPERIMENTO 5. Cuatro globos de 154⅜ granos de peso en el aire y de 21½granosenel agua, soltadosmuchasveces, caíanen tiemposde28½,29,29½y30oscilaciones,yalgunasvecesde31,32y33,describiendounaalturade15piesy2pulgadas.

Según la teoría debieron caer en un tiempo de 29 oscilaciones muyaproximadamente.

EXPERIMENTO6.Cincoglobosde212⅜granosdepesoenelaireyde79½enelagua,soltadosmuchasveces,caíanentiemposde15,15½,16,17y18oscilaciones,describiendounaalturade15piesy2pulgadas.

Según la teoría debieron caer en un tiempo muy aproximado al de 15oscilaciones.

EXPERIMENTO 7. Cuatro globos de 293⅜ granos de peso en el aire y de 35⅞granosenelagua,soltadosmuchasveces,caíanentiemposde29½,30,30½,31,32y33oscilacionesdescribiendounaalturade15piesy1½pulgadas.

Según la teoría debieron caer en un tiempo muy aproximado al de 28oscilaciones.

Indagandolacausadequeglobosdelmismopesoymagnitudcayeranunosmáslentos y otros más rápidos, di con la siguiente; los globos, tan pronto como se


soltabanyempezabanacaer,oscilabanentornoasuscentros,cayendopordelanteelladoqueporcasualidadfuesemáspesado,generandounmovimientodeoscilación.Pero, el globopor susoscilaciones comunica al aguaunmovimientomayorque sidescendiesesinoscilar;yalcomunicarlopierdeunapartedesupropiomovimientoconelcualdebíadescender:ysegúnlamayoromenoroscilación,seretardamásomenos. Pero además, el globo siempre se desvía del lado que desciende poroscilación,ydesviándoseseaproximaaloscostadosdelvasoy,aveces,chocaconellos.Yestaoscilaciónesmásfuerteenlosglobosmásgraves,yenlosmásgrandesagita más el agua. Por lo cual, para que la oscilación de los globos fuese menor,construí nuevos globos de cera y plomo, incrustando el plomo en un costado delglobocercadesusuperficie;ysoltéelglobodetalformaqueelladomásgraveenlamedida de lo posible, estuviese debajo desde el principio del descenso. Así, lasoscilaciones resultantes son mucho menores que antes, y los globos cayeron entiemposmuchomenosdesiguales,comoenlosexperimentossiguientes.

EXPERIMENTO8.Cuatroglobosde139granosdepesoenelairey6½enelagua,soltadosmuchasveces,cayeronentiemposdenomásde52oscilacionesynomenosde50,ylamayorpartedelasvecesentiemposdecasi51,describiendounaalturade182pulgadas.

Segúnlateoríadebieroncaerenuntiempodecasi52oscilaciones.EXPERIMENTO9.Cuatroglobosde273¼granosenelaireyde140¾enelagua,

soltados muchas veces, cayeron en tiempos, no menores de 12 oscilaciones y nomayoresde13,describiendounaalturade182pulgadas.

Segúnlateoríaestosglobosdebieroncaerenuntiempomuyaproximadoa11⅓oscilaciones.

EXPERIMENTO10.Cuatroglobosdeunpesode384granosenelairey119½enelagua, soltadosmuchasveces,caíanen tiemposde171⁄7,18,18½y19oscilaciones,describiendo una altura de 181½ pulgadas.Y cuando cayeron en un tiempo de 19oscilaciones,pudeoíralgunasvecessugolpearsobreloscostadosdelvasoantesdequellegasenalfondo.

Pero según la teoría debieron caer en un tiempo de 155⁄9 oscilaciones muyaproximadamente.

EXPERIMENTO11.Tresglobosigualesdeunpesode48granosenelairey329⁄32enel agua, soltados muchas veces, cayeron en tiempos de 43½, 44, 44½, 45 y 46oscilaciones, y lamayor parte de las veces 44 y 45 oscilaciones, describiendo unaalturade182½pulgadasaproximadamente.

Según la teoría debieron caer en un tiempo de 465⁄9 oscilaciones muyaproximadamente.

EXPERIMENTO12.Tresglobosigualesdeunpesode141granosenelaireyde4⅜en el agua, soltados algunas veces, cayeron en tiempos de 61, 62, 63, 64 y 65oscilaciones,describiendounaalturade182pulgadas.


Y según la teoría debieron caer en un tiempo de 64½ oscilaciones muyaproximadamente.

Conestosexperimentosseponeenevidenciaquecuandolosgloboscayeronmáslentamente,comoenlosExperimentossegundo,cuarto,quinto,octavo,undécimoyduodécimo,lateoríarepresentacorrectamentelostiemposdecaída;perocuandolosgloboscayeronmásvelozmente,comoenlosExperimentossexto,novenoydécimo,sedaunaresistenciaalgomayorqueenrazóndelcuadradodelavelocidad.Pueslosglobos,mientrascaen,oscilanuntanto;yestaoscilaciónenlosglobosmásligerosyquecaenmáslentamentecesamuypronto,porserlosmovimientosmásdébiles;peroenlosmásgravesymayoresduramástiempoporserlosmovimientosmásfuertes,ysolamente trasmuchas oscilaciones puede ser detenido por el agua que los rodea.Además,cuantomásvelocessonlosglobostantomenossonpresionadosensuparteposterior por el fluido; y si la velocidad se aumentase continuamente, al finalacabarían por dejar a sus espaldas un espacio vacío, salvo que la compresión delfluido se aumentase a la vez.Pues la compresióndel fluido (por lasProposicionesXXXIIyXXXIII)debeaumentarse en razóndel cuadradode lavelocidadparaque laresistencia siga en la misma razón cuadrada. Al no ocurrir esto, los globos másvelocessonpresionadospordetrásunpocomenos,yporlafaltadeestapresión,suresistenciasetornaunpocomayorqueenrazóndelcuadradodelavelocidad.

Porconsiguiente, la teoríaseajustaa losfenómenosdecaídasdecuerposenelagua,ysólofaltaexaminarlosfenómenosdelascaídasenelaire.

EXPERIMENTO13.EnlaciudaddeLondresenelmesdejuniodelaño1710desdela cúpula de la iglesia deSanPablo se soltaron dos globos a la vez, uno lleno demercurio y el otro lleno de aire; y al caer describían una altura de 220 pieslondinenses. Una tabla demadera estaba suspendida por uno de sus extremos porunasbisagrasdehierroyporelotroseapoyabaenunsoportedemadera;ylosdosgloboscolocadosencimadelatablasedejabancaeralavez,tirandodelsoportedemaderamediante un cable de hierro lanzado hasta el suelo, de suerte que la tablasostenida solamente por las bisagras de hierro girase sobre ellas, y en el mismoinstanteunpénduloqueoscilabaalsegundoconuntirónsobreelsusodichocabledehierrolahacíacaeryempezabaaoscilar.Losdiámetrosylospesosdelosglobosylostiemposdecaídaseexponenenlatablasiguiente.

Por lo demás, los tiempos observados deben corregirse. Pues los globos demercurio (por la teoría de Galileo) describirán en cuatro segundos 257 pieslondinenses,y220piesensólo3″42‴.Efectivamentelatablademadera,alquitarelsoporte, girabamás lentamente que lo que se requería y con la lentitud de su giroimpedía lacaídade losglobosenel iniciode lamisma.Pues losglobosreposabancasienelcentrodela tablayhastaestabanunpocomáscercadelejedelamismaquedelsoporte.Yporeso,lostiemposdecaídasealargaroncasi18minutosterceros,yahorahayquecorregirrestandodichosminutosterceros,sobretodoenlosglobosmayoresqueporcausadesumayordiámetroreposabanunpocomássobrelatabla


giratoria.Unavezhecho esto, los tiempos enque cayeron los seis globosmayoresresultanser8″12‴,7″42‴,7″42‴,7″57‴,8″12‴y7″42‴.

Globosllenosdemercurio GlobosllenosdeairePesos Diámetros Tiemposdecaída Pesos Diámetros Tiemposdecaídagranos pulgadas segundos granos pulgadas segundos908 0,8 4 510 5,1 8½983 0,8 4- 642 5,2 8866 0,8 4 599 5,1 8747 0,75 4+ 515 5,0 8¼808 0,75 4 483 5,0 8½784 0,75 4+ 641 5,2 8

Portanto,elquintodelosglobosllenosdeaire,construidoconundiámetrodecincopulgadasyunpesode483granos, cayóenun tiempode8″12‴,describiendounaalturade220pies.Elpesodelaguaigualaestegloboesde16600granos;yelpeso

del aire igual al dichoglobo es de16600860

granos o también de 193⁄6 granosy,por

tanto,elpesodelgloboenelvacíoesde5023⁄10granos,yestepesoesalpesodelaireigualalglobocomo5023⁄10a193⁄10,ycomo2Falasochoterceraspartesdeldiámetrodelglobo,esdecir,a13⅓pulgadas.Dedonde2Fresultaserde28piesy11pulgadas.Elglobocayendoenelvacíocontodosupesode5023⁄10granoseneltiempodeunsegundo describirá 193⅓ pulgadas, como antes, y con el peso de 483 granosdescribirá185,905pulgadas,yconelmismopesode483granostambiéndescribiráenelvacíoelespacioF,o14piesy5½pulgadaseneltiempode57‴58″″,yadquierelamáximavelocidadconquepuededescenderenelaire.Conestavelocidadelglobo,en el tiempo de 8″ 12‴, describirá un espacio de 245 pies y 5⅓pulgadas.Réstese1,3863F,o20piesy½pulgada,yquedarán225piesy5pulgadas.Por lo tanto,elglobo, en un tiempo de 8″ 12‴ debió describir en su caída, según la teoría, elsusodicho espacio. Y describió, según el experimento, un espacio de 220 pies. Ladiferenciaesinapreciable.

Aplicando cálculos análogos a los otros globos llenos de aire, construí la tablasiguiente.

Pesosdelosglobos Diámetros Tiempodecaídadesde220pies

Espaciosadescribirsegúnteoría Excesossobrecálculo

granos pulgadas segundos terceros pies pulgadas pies pulgadas510 5,1 8 12 226 11 6 11642 5,2 7 42 230 9 10 9599 5,1 7 42 227 10 7 10515 5 7 57 224 5 4 5483 5 8 12 225 5 5 5641 5,2 7 42 230 7 10 7

EXPERIMENTO14.Enelaño1719,enelmesdejulio,elSr.Desaguliersdenuevoinicióexperimentosdeéstosconstruyendoesferasconvejigasdepuercosmediante


unaesferacóncavademaderaen laquese introducíanhumedecidasy luego teníanquellenar inflándolasconaire;unavezsecasyextraídasse lasdejócaerdelpuntomásaltodelalinternadelacúpuladelsusodichotemplo,oseadeunaalturade272pies,ya lavezsesoltabaunglobodeplomodecasidos librasromanas.Mientrastanto, algunas personas situadas en lomás alto del templo, donde los globos eransoltados,anotabanlostiempostotalesdecaída,alavezqueotraspersonasenelsueloanotabanladiferenciadetiemposentrelacaídadelglobodeplomoylacaídadelavejiga.Lostiempossemedíanmediantepéndulosqueoscilabanenmediossegundos.Delosqueestabanenelsuelo,unoteníaunrelojconmuellequevibrabacuatrovecespor segundo; otro tenía otramáquina de péndulo hecha con precisión que tambiénvibraba cuatro veces por segundo. Y una máquina similar tenía uno de los queestaban en lo alto del templo. Y estasmáquinas estaban hechas demodo que susmovimientosseiniciabanoseparabanavoluntad.Puesbien,elglobodeplomocaíaenuntiempodecuatrosegundosycuartoaproximadamente.Añadiendoestetiempoaladiferenciaantedichadetiempos,seobteníaeltiempototaldecaídadelavejiga.Los tiempos en los cuales cayeron las cinco vejigas la primera vez después de lacaídadelglobodeplomoeran,14¾segundos,12¾segundos,14⅝segundos,17¾segundosy16⅞segundos,mientrasqueenlasegundavezfueronde14½segundos,14¼ segundos, 14 segundos, 19 segundos y 16¾ segundos. Añádase el tiempo decuatrosegundosycuartoenelcualcayóelglobodeplomoylostiempostotalesenloscualeslascincovejigasvinieronacaerfueron,enlaprimeravez19,17,18⅞,22y 21⅛ segundos respectivamente, y en la segunda vez 18¾, 18½, 18¼, 23¼ y 21segundos.Lostiemposobservadosenloaltodeltemploeranlaprimeravezde19¾,17¼,18¾,22⅛y21⅝segundos,mientrasquelasegundavezerande19,18⅝,18⅜,24y21¼segundos.Por lodemás, lasvejigasnocaíansiempreen línearecta,sinoquealgunasvecesrevoloteabanyoscilabandeaquíparaallámientrascaían.Yconestosmovimientoslostiemposdecaídasealargaronyaumentaron,aveces,enmediosegundo y, a veces, en un segundo completo. Caían más directamente las vejigassegundaycuartalaprimeravez;ylaprimeraylaterceralasegundavez.Lavejigaquintaera rugosayporcausade las rugosidadesse retardabaun tanto.Obtenía losdiámetros de las vejigas de sus circunferenciasmedidas con un hilomuy fino quedaba dos vueltas. Y comparé la teoría con los experimentos en la tabla siguiente,suponiendo que la densidad del aire es a la del agua de lluvia como 1 a 860 ycalculandolosespaciosquelosglobosdebíanrecorrerensucaídasegúnlateoría.

Pesodelasvejigas

Diámetrodelasvejigas

Tiempodecaídadesde272pies

Espaciosarecorrersegúnteoría

Diferenciasentreteoríayexperimentos

granos pulgadas segundos pies pulgadas pies pulgadas128 5,28 19 271 11 -0 1156 5,19 17 272 0½ +0 0½

137½ 5,3 18½ 272 7 +0 797½ 5,26 22 277 4 +5 499⅛ 5 21⅛ 282 0 +10 0


Portanto,laresistenciadelosglobosenmovimiento,tantoenelairecomoenelagua,esadecuadaycorrectamenterepresentadapornuestrateoríayesproporcionalaladensidaddelosfluidosaigualesvelocidadesymagnitudesdelosglobos.

En el Escolio subsiguiente a la Sección sexta hemos mostrado mediante losexperimentos con péndulos que las resistencias de globos iguales e igualmenteveloces en el aire, en el agua, y en el mercurio son como las densidades de losfluidos.Aquímostramoslomismodemodomásprecisomedianteexperimentosconcuerpos que caen en el aire y en el agua. Pues los péndulos en cada oscilaciónsuscitanunmovimientoenelfluidosiemprecontrarioalmovimientoderegresodelpéndulo,yconlaresistenciadebidaaestemovimientoasícomoconlaresistenciadelhilodelquesesuspendíaelpéndulo,laresistenciatotaldelmismoveníaasermayorquelaresultantedelosexperimentosdecuerposcayendo.PuesporlosexperimentosdepéndulosexpuestosendichoEscolio,unglobodelamismadensidadqueelagua,describiendoenelaire la longituddesumovimiento,sólo tendríaqueperderdesu

movimiento1

3342 parte. Pero según la teoría expuesta en esta Sección séptima

confirmadaconlosexperimentosdecuerposquecaen,elmismoglobodescribiendo

lamismalongitudsólodeberíaperderdesumovimiento1

4586parte,enelsupuesto

de que la densidad del agua fuese a la densidad del aire como 860 a 1. Porconsiguiente, las resistencias resultaron mayores por los experimentos de lospéndulos(porlascausasyadichas)queporlosexperimentosdelosglobosquecaen,y esto casi en una razón de 4 a 3. Sin embargo, puesto que las resistencias de lospéndulos oscilantes en aire, agua omercurio se ven incrementadas igualmente porigualescausas,laproporcióndelasresistenciasentalesmediossepodrárepresentarcon bastante exactitud tanto mediante experimentos con péndulos como conexperimentosconcuerposquecaen.Ydeahísepuedeconcluirquelaresistenciadelos cuerpos en cualesquiera fluidos, incluso en losmás fluidos, siendo iguales lasdemáscircunstancias,soncomolasdensidadesdelosfluidos.

Una vez establecido esto, se puede ahora tratar de qué parte de su movimientoperderáaproximadamenteungloboenuntiempodado,siseproyectaatravésdeunfluido cualquiera. Sea D el diámetro del globo, V su velocidad al inicio delmovimiento,yTel tiempoenelcualelglobo,con lavelocidadV,describiráenelvacíounespacioqueseaalespacio8⁄3Dcomoladensidaddelgloboaladensidaddelfluido:yelgloboproyectadoendichofluido,enotrotiempocualquierat,perderála

partetVT+t

,manteniendolaparteTVT+t

,ydescribiráunespacioqueseráaldescrito


en el mismo tiempo con velocidad uniforme en el vacío como el logaritmo del

númeroT+tT

, multiplicado por el número 2,302585093, es al númerotT, por el

Corolario7delaProposiciónXXXV.Enlosmovimientoslentoslaresistenciapuedeser algo menor, por cuanto la figura del globo resulte algo más apta para elmovimientoque ladeuncilindrodescritoconelmismodiámetro.Enmovimientosveloces, la resistencia puede ser algo mayor, toda vez que la elasticidad y lacompresióndel fluidonoaumentanenrazóndelcuadradode lavelocidad.Peronomedetengoenestosdetalles.

Y aunque el aire, el agua, elmercurio y otros fluidos semejantes, por divisiónhasta el infinito de sus partes, se hiciesen más sutiles y viniesen a ser mediosinfinitamentefluidos,noporesoresistiríanmenosalosglobosproyectados.PueslaresistenciadequesetrataenlasProposicionesanterioresprocededelainerciadelamateria;ylainerciadelamateriaesesencialaloscuerposyproporcionalsiemprealacantidaddemateria.Ciertamentesepuededisminuirlaresistenciaqueprocededelatenacidadyfriccióndelaspartesmedianteladivisióndelaspartesdeunfluido:pero la cantidad de materia no disminuye por la división de sus partes; ymanteniéndose lacantidaddemateria,semantienesufuerzade inerciaa lacualessiempreproporcionallaresistenciadelaqueaquísetrata.Paraquedicharesistenciadisminuya debe disminuir la cantidad demateria en los espacios a cuyo través semueven loscuerpos.Yporeso, losespacioscelestes,por losque losglobosde losplanetas y los cometas se mueven siempre libremente en todas direcciones y sinningunadisminuciónsensibledemovimiento,carecendetodofluidocorpóreo,salvoacasoalgunosvaporessumamentetenuesylosrayosdeluz.

Tambiénlosproyectilesaldesplazarsesuscitanmovimientoenlosfluidos,yestemovimiento surge del exceso de presión del fluido en las partes anteriores delproyectilsobrelapresiónensuspartesposterioresynopuedesermenorenmediosinfinitamentefluidosqueenelaire,enelagua,yenelmercuriosegúnladensidaddelamateriadecadauno.Ahorabien,esteexcesodepresión,enrazóndesucantidad,no sólo suscitamovimiento en el fluido, sino que también actúa sobre el proyectilretardando su movimiento: y por eso, la resistencia en todo fluido es como elmovimientosuscitadoenelfluidoporelproyectil,ynopuedesermenorenelétermássutilenrazóndeladensidaddeléter,queenelaire,enelagua,oenelmercurio,enrazóndelasdensidadesdedichosfluidos.


SecciónVIIISOBREELMOVIMIENTOQUESEPROPAGAPORLOSFLUIDOS

PROPOSICIÓNXLI.TEOREMAXXXII

Lapresiónnosepropagaatravésdeunfluidosegúnlíneasrectassalvocuandolaspartículasdelfluidoestáncolocadasdirectamenteentalsentido.

Silaspartículasa,b,c,d,e,sehallasencolocadasenlínearecta,lapresiónpuede,ciertamente,propagarsedirectamentedesdeahastae;perolapartículaeurgiráalaspartículascolocadasoblicuamenteƒygdemodooblicuo,ydichaspartículasƒygnomantendrán la presión recibida, salvoque sean soportadaspor las partículash yk;peroentantoenquesonsostenidas,presionansobrelasquesostienen;yéstas,asuvez,nosoportaránlapresiónanoserqueseansostenidasporlassiguienteslymylaspresionentambién,yasísucesivamentehastaelinfinito;yunavezqueempiezaapropagarse oblicuamente, si incidiere en partículas ulteriores que no se hallancolocadas en línea recta, de nuevo divergirá; y esto tantas veces cuantas incidiesesobrepartículasnosituadasexactamenteenlínearecta.Q.E.D.

COROLARIO.Siunapartecualquieradelapresiónquesepropagadesdeunpunto


dado fuese obstruida por un obstáculo, la parte restante que no es interceptada,divergirápor el espacioulterior al obstáculo.Cosaquepuede tambiéndemostrarsecomosigue.SeaunapresiónquesepropagadesdeelpuntoAhaciacualquierparteyello,siesposible,segúnlíneasrectas,yconelobstáculoNBCK,perforadoenBC,obstrúyasetodaella,salvolaparteconiformeAPQ,quepasaporelorificiocircularBC.SepáreseentroncoselconoAPQmediantelosplanostransversalesde,ƒg,hi;ental caso,mientras el conoABC, propagando la presión, impulsa al tronco de conoulteriordegƒ sobre la superficiede, y el troncoanterior empuja al tronco siguienteƒghi sobre la superficie ƒg, y dicho tronco empujará sobre el tercer tronco, y asísucesivamentehastaelinfinito;estáclaro(porlaLeyterceradelMovimiento)queelprimertroncodeƒg,debidoalareaccióndeltroncosegundoƒghi,sufriráunapresiónsobrelasuperficieƒg iguala lapresiónqueefectúasobreeldicho troncosegundo.LuegoeltroncodegƒescomprimidoporambosladosentreelconoAdeyeltroncoƒhig, y por consiguiente (por el Corolario 6 de la Proposición XIX) no puedeconservar su figura a no ser que sea comprimido por todas partes con la mismafuerza.Luegointentarácederhacialosladosdƒ,egconunímpetuigualaaquelconqueescomprimidoenlassuperficiesde,ƒg;yenesoslugares(alnoserrígido,sinocompletamentefluido)sesaldráyseexpandirá,salvoqueelfluidodeentornoseatalque impida este intento. Por lo cual, con este intento de salir, presionará sobre elfluidodeentornotantosobrelosladosdƒ,egcomosobreeltroncoƒghiconidénticoímpetu;yporello,lapresiónnosepropagarámenoshacialosladosdƒ,egporambosespaciosNO,KLqueloquesepropaguedesdelasuperficieƒghaciaPQ.Q.E.D.

PROPOSICIÓNXLII.TEOREMAXXXIII

Todomovimientopropagadoatravésdeunfluidodivergedelatrayectoriarectaenespaciosinmóviles.


CASO1.PropágueseelmovimientodesdeelpuntoAa travésdelorificioBC,yvaya, si es posible, hacia el espacio cónico BCQP según líneas rectas divergentesdesdeelpuntoA.Ysupongamosenprimerlugarqueestemovimientofuesedeondasenlasuperficiedeaguaestancada.Yseande,ƒg,hi,kl,etc.,lascrestasdecadaunade lasondas, separadasentresípor losvallescorrespondientes.En talcaso,puestoqueelaguaenlascrestasdelasondasestámásaltaqueenlaspartesenreposoLK,NOdelfluido,descenderádesdelascrestase,g,i,l,etc.,d,ƒ,h,k,etc.,porunladoyporotrohaciaKL,NO;ytambiéndescenderádesdedichoslugaresenreposohacialosvallesde lasondas.Conelprimerode losdescensos lascrestasde lasondas,yconelsegundolosvallesseexpandenhaciaunoyotroladoysepropaganhaciaKLyNO.YpuestoqueelmovimientodelasondasdesdeAhaciaPQocurremedianteeldescensocontinuodelascrestashacialosvallessiguientes,yporlomismo,noocurreconmayorvelocidadquelavelocidaddedescenso;y tambiéneldescensodelaguaporunladoyporotrohaciaKLyNOdebeocurrirconesamismavelocidad;yasíladilataciónde lasondasporunoyotro ladohaciaKLyNOavanzarácon lamismavelocidadconqueavanzalapropiaondadesdeAhaciaPQenlínearecta.Portanto,todoelespaciodeambosladoshaciaKLyNOseráocupadoporlasondasdilatadasrƒgr,skis,tklt,vmnv,etc.Q.E.D.Cualquierapuedeexperimentarenaguaestancadaqueestoesasí.

CASO 2. Ahora supongamos que de, ƒg, hi, kl, mn, representan impulsospropagados desde el punto A a través de un medio elástico sucesivamente.Imaginemosquelosimpulsossepropaganpormediodesucesivascondensacionesyrarefaccionesdelmedio,comosilapartemásdensadelimpulsoocupaselasuperficieesféricadescritaentornoalcentroA,yentreimpulsossucesivosmediasenintervalosiguales. Las líneas de, ƒg, hi, kl, etc., representan las partes más densas de losimpulsos, propagadas a través del orificio BC.Y puesto que es allí elmediomásdenso que en los espacios laterales hacia KL y NO, se dilatará tanto hacia esosespaciosKLyNOporambosladoscomohacialosintervalosmásenrarecidosdelas


pulsaciones; de este modo el medio que va resultando cada vezmás raro tras losintervalosymásdensotraslaspulsaciones,participarádesusmovimientos.Ydadoqueelmovimientoprogresivode los impulsosprocedede la relajacióncontinuadelas partes más densas que anteceden a los valles más enrarecidos; y los impulsosdebenrelajarsehaciaambos ladosde laspartesdelmedioenreposoKLyNOcasiconlamismavelocidad;ydichosimpulsossedilataráncasiconlamismavelocidadpor todas partes en los espacios inmóviles KL y NO, con la que se propagan endirectodesdeelcentroA;portanto,ocuparántodoelespacioKLON.Q.E.D.Estoloexperimentamosenlossonidos,queseoyentantoconunmonteinterpuestocomo,sientran en una habitación por una ventana y se extienden por todas partes de lahabitación,seoyenentodaslasesquinas,ynoporreflexiónenlasparedesopuestas,sinopropagándosedirectamentedesdelaventana;entantoqueesposiblejuzgarporlossentidos.

CASO 3. Finalmente, supongamos que un movimiento de cualquier clase sepropagadesdeAatravésdelorificioBC:ypuestoqueestapropagaciónnoocurresino es en lamedida en que las partes delmediomás cercanas al centroA urgen yagitana laspartessiguientes,y laspartesquesonagitadassonfluidasy,por tanto,retrocedenpordoquierhacialasregionesenquesonmenospresionadas:talespartesretrocederánhacialaspartesdelmedioqueestántodasenreposo,tantolaslateralesKL yNO, como las frontales PQ, y de estemodo todo elmovimiento, tan prontocomohayapasadoporelorificioBC,empezaráadilatarseyapropagarsedesdeallídirectamentehaciatodaspartes,comosifueradesdeunprincipioycentro.Q.E.D.

PROPOSICIÓNXLIII.TEOREMAXXXIV

Todo cuerpo vibrante en un medio elástico propagará el movimiento de suspulsaciones en directo hacia todas partes; en cambio, en un medio no elástico,


excitaráunmovimientocircular.

CASO 1. Por cuanto que las partes del cuerpo vibrante que van y vienenalternativamente, con su ida urgirán y empujarán a las partes delmedio que estáninmediatasaellas,yalurgiríaslaspresionaránylascondensarán;ydespuésconsuretornodejaránalaspartespresionadasretrocederyexpandirse.Portanto,laspartesdelmediopróximasalcuerpovibranteirányregresaránalternativamente,alapardelas partes del dicho cuerpo vibrante: y por la misma razón que las partes de estecuerpoagitabanaestaspartesdelmedio,éstasasuvezperturbadasporvibracionessemejantes agitarán a las partes inmediatas a ellas, y éstas agitadas igualmenteagitarán a las siguientes y así, sucesivamente, hasta el infinito. Y al igual que lasprimeraspartesdelmedio,alirsecondensanyalregresarserelajan,deigualmodolasrestantespartessecondensancuandovanyseexpandencuandovuelven.Y,portanto,no todas irányvolverána lavez(puesasíconservaríandistanciasfijasentreellasynopodríanenrarecerseycondensarsealternativamente)sinoqueacercándoseentre ellas cuando se condensan y separándose cuando se enrarecen, unas de ellasiráncuandolasotrasvuelvan:yestoalternativamentehastaelinfinito.Perolaspartesquevanyalirsecondensan,porsumovimientoprogresivo,conelcualcoincidenenlosobstáculos,sonlosimpulsos;yporello,losimpulsosucesivossepropagandesdetodocuerpovibranteendirecto;yestocasiconigualesintervalosentreellos,porseriguales los intervalos de tiempo en los cuales el cuerpo con sus vibraciones excitacada impulso. Y aunque las partes del cuerpo vibrante vayan y vengan según unadirección cierta y fija, no obstante los impulsa propagados desde allí a través delmedioseextenderánhacialo:ladosporlaProposiciónanterior;ydesdedichocuerpovibrantecomodesdeuncentrocomúnybajolaformadesuperficiescaiesféricasyconcéntricas se irán propagando en todas direcciones. Cosa de la que tenemos unejemploenlasondas,quealserexcitadasporundedovibrando,nosólopartendeallíhaciaunoyotoladosegúnladireccióndelmovimientodeldedo,sinoque,enformade círculos concéntricos, ciñen inmediatamente al dedo y se propagan en todasdirecciones.Pueslagravedaddelasondassupleenlugardelafuerzaelástica.

CASO2.Queelmedionoseaelástico:puestoquesuspartespresionadasporlaspartes vibrantes del cuerpo vibrante no pueden condensarse, el movimiento sepropagará instantáneamente hacia las partes donde elmedio cede con facilidad, esdecir,alaspartesqueelcuerpovibrantedejasevacíastrasélporelotrolado.Eselmismocasequeeldelcuerpoproyectadoenunmediocualquiera.Elmedio,alcedera los proyectiles, no retrocedehasta el infinito; sinoque lloviéndose en círculo, sedirigehacia losespaciosqueelcuerpoabandonaa susespaldas.Por tanto,cuantasveceselcuerpovibrantevahaciaun ladocualquiera,elmediocedeysemueveencírculohacialaspartesqueabandonaelcuerpo;ycuantasveceselcuerporegresaállugar inicial, el medio es expulsado dí allí para que retorne a su primer lugar. Yaunqueel cuerpovibranteno seaduro, sino flexible en todasdirecciones,mientras


conserveunamagnituddada,ypuestoquetampocopuedeurgironsusvibracionesalmedio en un sentido sin que a la vez ceda ante él en otro, resultará que elmedio,cediendo por los lugares por donde es presionado, se dirigirá continuamente encírculohacialaspartesquecedenanteél.Q.E.D.

COROLARIO.Desvarían,pues,quienescreenquelaagitacióndelallamaconduceauna propagación de la presión según líneas rectas a través del medio ambiente.Semejantepresiónsedeberáderivarnosólodelaagitacióndelaspartesdelallama,sinotambiéndeladilatacióndetodo.

PROPOSICIÓNXLIV.TEOREMAXXXV

SielaguaalternativamenteasciendeydesciendeportubosdebrazoselevadosKL,MN, y se construyese un péndulo cuya longitud entre el punto de suspensión y elcentrodeoscilaciónseaigualalamitaddelalongituddelaguaquihayeneltubo:digoqueelaguaascenderáydescenderáenlosmismostiemposenlosqueoscileelpéndulo.

Midolalongituddelaguasegúnlosejesdeltuboydelosbrazos,igualándolaalasuma de dichos ejes, y no tengo aquí en cuenta la resistencia del agua debida alrozamientodeltubo.RepresentenentoncesAByCDlaalturamediadelaguaencadaunode los brazos, y cuando el agua en el brazoKL subehasta la alturaBF, en elbrazoMNelaguadescenderáhasta laalturaGH.SeaPuncuerpopendular,VPelhilo,Velpuntodesuspensión,RPQSlacicloidequedescribaelpéndulo,Psupuntoinferior,PQunarco iguala laalturaAE.La fuerza,con lacualelmovimientodelaguaseacelerayseretardaalternativamente,eselexcesodelpesodelaguaenunodelosdosbrazossobreelpesoenelotro,yporello,cuandoelaguaasciendeenelbrazoKLhastaBF,yenelotrodesciendehastaGH,dichafuerzaeseldobledelpesodelagua EABF, y por tanto, es al peso de toda el agua como AE o PQ a VP o PR.También la fuerza con la que el peso P, en un punto cualquieraQ, es acelerado yretardadoenlacicloide(porelCorolariodelaProposiciónLI)esasupesototalcomosudistanciaPQdesdeellugarínfimoPalalongituddelacicloidePR.Porlocual,las fuerzasmotricesdelaguaydelpénduloquedescriben losespacios igualesAE,PQ, son como los pesos a mover; y por consiguiente, si el agua y el pénduloinicialmente están en reposo, dichas fuerzas los moverán igualmente en tiemposigualesyharánquevayanyvuelvanalavezconunmovimientorecíproco.Q.E.D.


COROLARIO 1. Por consiguiente, todas las subidas y bajadas del agua sonisócronas,tantosielmovimientoesmásintensocomosiesmássuave.

COROLARIO2.Silalongitudtotaldelaguaeneltuboesde61⁄9piesparisinos,elagua descenderá en un segundo de tiempo y ascenderá en otro segundo; y asísucesivamente en veces alternas hasta el infinito. Pues un péndulo de 31⁄18 pies delongitudoscilaeneltiempodeunsegundo.

COROLARIO 3.Y si la longituddel agua aumentaseodisminuyese, aumentaráodisminuiráeltiempodereciprocaciónenrazóndelaraízcuadradadelalongitud.

PROPOSICIÓNXLV.TEOREMAXXXVI

Lavelocidaddelasondasescomolaraízcuadradadelasanchuras.

SesiguedelaconstruccióndelaProposiciónsiguiente.

PROPOSICIÓNXLVI.PROBLEMAX

Hallarlavelocidaddelasondas.

Constrúyaseunpéndulocuyalongitudentreelpuntodesuspensiónyelcentrodeoscilaciónseaigualalaanchuradelasondas:yeneltiempoenelcualdichopéndulocompletacadaunadesusoscilaciones,enesemismotiempolasondasrecorreráncasisuanchuraaldesplazarse.

Denominoanchuradelasondasalamedidatransversalcomprendida,bienentrelospuntosmásbajosde losvalles,obienentre lospuntosmásaltosde lascrestas.SeaABCDEF la superficie de agua estancada, que asciende y desciende en ondassucesivas; y sean A, C, E, etc. las cimas de las ondas y B, D, F, etc., los vallesintermedios.Ypuestoqueelmovimientodelasondasocurreporelsucesivoascensoydescensodelagua,delmismomodosuspartesA,C,E,etc.,queahoraestánenlomásaltodespuésestaránenlomásbajo;ylafuerzamotrizporlacuallaspartesdearribadesciendenylasdeabajoascienden,eselpesodelaguaelevada;dichoascensoydescensoalternativoseráanálogoalmovimientorecíprocodelaguaeneltuboyse


atendrá a las mismas leyes de tiempo: y por ello (por la Proposición XLIV) si lasdistanciasentrelospuntosmásaltosdelasondasA,C,E,ylospuntosmásbajosB,D,F, son igualesaldoblede la longituddelpéndulo, laspartesmásaltasA,C,E,vendránaserlasínfimaseneltiempodeunaoscilación,ydenuevoascenderáneneltiempodelaoscilaciónsiguiente.Porconsiguiente,eltiempoquetranscurremientraspasacadaunadelasondasseráeldedososcilaciones;esdecir,laondadescribesuanchura en el tiempo en que el susodicho péndulo oscila dos veces; pero en esetiempounpéndulocuyalongitudseacuatrovecesmayory,portanto,seaigualalaanchuradelasondas,oscilaráunasolavez.Q.E.I.

COROLARIO 1. Por lo tanto, las ondas que tengan una anchura de 31⁄18 piesparisinos recorrerán al desplazarse la distancia de su anchura en él tiempo de unsegundo;yporello,enuntiempodeunminutorecorrerán183⅓pies,yenunahorarecorreránunespacioaproximadode11000pies.

COROLARIO 2. Y la velocidad de ondas mayores o menores aumentará odisminuirácomolaraízcuadradadesuanchura.

Todo lo cual es así bajo la hipótesis de que las partes del agua ascienden ydesciendenenlínearecta;peroesmásverosímilqueelascensoyeldescensotenganlugar circularmente y, por tanto, mantengo que el tiempo hallado mediante estaProposiciónessóloaproximado.

PROPOSICIÓNXLVII.TEOREMAXXXVII

Al propagarse los impulsos a través de un fluido, cada una de las partículas delfluido que van y vienen con unmovimiento recíprocomuy breve, se aceleran y seretardansiempredeacuerdoconlaleydeoscilacióndelpéndulo.

RepresentenAB,BC,CD,etc.distanciasigualesdeimpulsossucesivos;ABCladirección del movimiento de los impulsos propagados desde A hacia B; E, F, G,represententrespuntosfísicosdelmedioenrepososituadosadistanciasigualessobrela recta AC; sean Ee, Fƒ, Gg, espacios iguales muy breves por los cuales lossusodichospuntosvanyvienenencadavibraciónconunmovimientorecíproco;Ɛ,φ,γ, sean unos lugares intermedios entre dichos puntos; yEF, FGunas breves líneasfísicas o partes lineales del medio situadas entre dichos puntos y trasladadassucesivamentealoslugaresƐφ,φγyeƒ,ƒg.TráceselarectaPSiguala larectaEe.BiséquesedicharectaenOyconcentroenOeintervaloOPtráceseelcírculoSIPi.Represénteseconestacircunferenciaysusparteseltiempototaldeunavibracióny


sus partes proporcionales; de suerte que para un tiempo completo cualquieraPHoPHSh,sisetrazasobrePSlaperpendicularHLohlysetomaEƐigualaPLoPl,elpuntofísicoEsehallaráenƐ.UnpuntocualquieraE,bajoestacondición,quevayadesdeEporƐhastaeydesdeaquíregreseporƐhastaEcompletarácadavibracióncon losmismosgradosdeaceleracióny retardaciónqueunpéndulooscilante.Hayque probar que cada punto físico del medio deberá agitarse con semejantemovimiento. Supongamos, pues, que elmedio es excitado con talmovimiento porunacausacualquierayveamosquésesiguedeello.

EnlacircunferenciaPHShtómenselosarcosigualesHl,IK,ohi,ikqueesténenlamismarazónrespectoa lacircunferenciaenteraque laque tienen lasrectas igualesEF, FK respecto al intervalo completo BC de los impulsos. Trácense lasperpendiculares IM,KN, o im, kn; y, puesto que los puntos E, F, G, son agitadossucesivamentepormovimientos semejantesy completan susvibracionesenterasdeidayvueltaenel tiempoenqueel impulsopasadeBaC, siPHoPHSh fueraeltiempodesdeelcomienzodelmovimientodelpuntoE,entoncesPIoPHSi será eltiempodesdeelcomienzodelmovimientodelpuntoF,yPKoPHSkeltiempodesdeel comienzo del movimiento del punto G; y por ello, EƐ, Fφ, Gγ, seránrespectivamenteigualesaPL,PM,PNenlaidadelospuntosyenelretornodelosmismos,aPl,Pm,Pn.Porconsiguiente,cuandolospuntosvan,ƐγoEG+Gγ -EƐseráigualaEG-LNy,cuandolospuntosretornan,seráigualaEG+ln.PeroƐγeslaanchura o expansión de la parte EG del medio en el lugar Ɛγ; y por tanto, laexpansióndedichaparteenlaidaesasuexpansiónmediacomoEG-LNaEG;encambioenelretornoescomoEG+lnoEG+LNaEG.Portanto,alserLNaKHcomoIMalradioOPyKHaEGcomolacircunferenciaPHShPaBC,esdecir,siVrepresentaseelradiodeuncírculoquetuvieseporcircunferenciaunintervaloigualaldelimpulsoBC,comoOPaV;y«exaequo»LNaEGcomoIMaV:laexpansióndelaparteEGodelpuntofísicoFenel lugarƐγseráalaexpansiónmediaquedichapartetieneensuprimerlugarEGcomoV-IMaValaidaycomoV+imaValavuelta.DedondelafuerzaelásticadelpuntoFenellugarƐγesasufuerzaelástica

mediaenellugarEGcomo1

V-IMa

1Venlaida,ycomo

1V+im

a1Venlavuelta.

YporlamismarazónlasfuerzaselásticasdelospuntosfísicosEyGenlaidason

como1

V-HLy

1V-KN

a1V;y ladiferenciade las fuerzasesa la fuerzaelástica

mediadelmediocomo

HL-KNVV-VxHL-VxKN+HLxKN

a 1V1


Osea, comoHL-KNVV

a1V, o también comoHL -KNaV, siempre que (por los

estrechos límites de las vibraciones) supongamos que HL y KN sean un tantomenoresquelacantidadV.Porlocual,comolacantidadVestádada,ladiferenciadefuerzasescomoHL-KN,estoes(porserproporcionalesHL-KNaHKyOMaOIoOP,yestardadasHKyOP)comoOM;esdecir,sisebisecaseFƒenΩ,comoΩφ.YporlamismarazónladiferenciadelasfuerzaselásticasdelospuntosfísicosƐyγen el retorno de la pequeña línea física Ɛγ es comoΩφ. Pero dicha diferencia (esdecir,elexcesodefuerzaelásticadelpuntoƐsobrelafuerzaelásticadelpuntoγ)eslafuerzaconlaquelapequeñalíneafísicaintermediadelmedioƐγseaceleraenlaiday se retardaenel regreso;ypor tanto, la fuerzaaceleratrizde lapequeña líneafísicaƐγescomosudistanciaallugarmedioΩdelavibración.Porconsiguiente,eltiemposerepresentacorrectamente(porlaProposiciónXXXVIIIdelLibroI)medianteelarcoPI;ylapartelinealdelmedioƐγsemueveconformealaleyenunciadaantes,es decir, conforme a la ley del péndulo oscilante: e igual razón hay para todas lasparteslinealesdelasquesecomponeelmedioentero.Q.E.D.



COROLARIO.Deaquísesiguequeelnúmerodeimpulsospropagadoseselmismoque el de vibraciones del cuerpo vibrante, y que no se multiplica con sudesplazamiento.PueslalíneapequeñafísicaƐγtanprontoregresaasulugarinicial,reposa;ydespuéstampocosemoverá,anoserquenuevamenteseaempujada,oporelímpetudelcuerpovibrante,oporelímpetudepulsacionesprocedentesdelcuerpovibrante. Por tanto, reposará tan pronto cesen los impulsos propagados desde elcuerpovibrante.

PROPOSICIÓNXLVIII.TEOREMAXXXVIII

Las velocidades de los impulsos propagados en un fluido elástico están en razóncompuestadirectamentedelaraízcuadradadelafuerzaelásticaeinversamentedela raíz cuadrada de la densidad; siempre que la fuerza elástica se supongaproporcionalalacondensacióndelfluido.

CASO1.Silosmediossonhomogéneosylasdistanciasdelosimpulsosenestosmediossonigualesentreellas,peroelmovimientoesmásintensoenunmedio, lascontracciones y dilataciones de partes análogas serán como susmovimientos. Peroesto no es una proporción exacta. No obstante, salvo que las contracciones ydilatacionesseanmuyintensas,elerrornoseráapreciabley,portanto,puedetenersepor físicamente exacta. Pues las fuerzas elásticas motrices son como lascontracciones y las dilataciones; y las velocidades generadas a la vez de partesigualessoncomolasfuerzas.Porconsiguiente,laspartesigualesycorrespondientesde impulsos correspondientes completarán su ida y su vuelta a la vez por espaciosproporcionalesalascontraccionesydilatacionesyconvelocidadesquesoncomolosespacios:porlocuallosimpulsosqueeneltiempodeunaidayunavueltacompletandesplazándose su propia longitud y alcanzan continuamente los lugares de losimpulsos inmediatamente anteriores, por la igualdadde las distancias, avanzan convelocidadigualenunoyotromedio.

CASO2.Perosilasdistanciasolaslongitudesdelosimpulsossonmayoresenunmedioqueenotro,supongamosquelaspartescorrespondientesdescriben,ensuidayvuelta,espaciossiempreproporcionalesalasamplitudesdelosimpulsoscadaunadelasveces:entoncessuscontraccionesydilatacionesserániguales.Yportanto,silosmedios son homogéneos también las fuerzas motrices elásticas por las que sonagitadasconunmovimientorecíproco,serániguales.Perolamateria,quehadesermovidaporestasfuerzas,escomolaamplituddelosimpulsos,yenlamismarazónsehallaelespacioacuyotravésdebenmoversecadavezenlaidayenlavuelta.Yeltiempodeunaidayvueltaestáenrazóncompuestadelaraízcuadradadelamateriaydelaraízcuadradadelespacio,yporendeescomoelespacio.Perolosimpulsosrecorrenelespaciodesusamplitudesenlostiemposdeunaidayunavuelta,esdecir,


recorrenespaciosproporcionalesalostiempos;yportanto,sonigualmenteveloces.CASO3.Porconsiguiente,enmediosdeigualesdensidadyfuerzaelástica,todos

los impulsos son igualmente veloces. Pero si la densidad del medio o la fuerzaelásticaaumentasen, todavezque la fuerzamotrizaumentaráenrazónde la fuerzaelástica y la materia a mover en razón de la densidad, el tiempo, en el cual secompletenlosmismosmovimientosqueantes,aumentarácomolaraízcuadradadeladensidad, y disminuirá como la raíz cuadrada de la fuerza elástica. Y por ello lavelocidad de los impulsos estará en razón compuesta de, inversamente, la raízcuadradadeladensidaddelmedioy,directamente,de laraízcuadradadelafuerzaelástica.Q.E.D.

EstaProposiciónestaráaúnmásclaraporlaconstruccióndelasiguiente.

PROPOSICIÓNXLIX.PROBLEMAXI

Dadasladensidaddelmedioysufuerzaelástica,hallarlavelocidaddelosimpulsos.

Imaginemosqueunmediosehallacomprimidoporunpesosuperpuestoalmododeldenuestroaire;yseaAlaalturadeunmediohomogéneoycuyopesoseaigualalpesosuperpuestoycuyadensidadseaigualaladelmediocomprimidoenelcualsepropaganlosimpulsos.SupongamosqueseconstruyeunpéndulocuyalongitudentreelpuntodesuspensiónyelcentrodeoscilaciónseaA:yeneltiempoenquedichopéndulo completa una oscilación entera compuesta de ida y vuelta, en ese mismotiempoelimpulso,desplazándose,completaráunespacioigualalacircunferenciadelcírculodescritoconradioA.

Pues,manteniendolasconstruccionesdelaProposiciónXLVII,siunalíneafísicacualquieraEFdescribiendoencadavibraciónelespacioPSesurgidaenlosextremosPySdecadaidayvueltaporunafuerzaelásticaigualasupeso,completarádichalíneacadaunadesusvibracioneseneltiempoenqueoscilaríaenunacicloidecuyoperímetro fuese igual a la longitud PS: esto, además, porque fuerzas iguales, entiemposiguales,empujanacuerposigualesatravésdeespaciosiguales.Porlocual,yaquelostiemposdelasoscilacionessoncomolaraízcuadradadelalongituddelospéndulos,ylalongituddelpénduloesigualalamitaddelarcodelacicloideentera,el tiempodeunavibración será al tiempodeoscilacióndelpéndulode longitudAcomolaraízcuadradadelalongitud½PSoPOalalongitudA.



PerolafuerzaelásticaporlaquelapequeñalíneafísicaEGesurgidacuandoestáenlospuntosextremosP,S,era(enlademostracióndelaProposiciónXLVII)atodasufuerzaelásticacomoHL-KNaV,esdecir(porcaerahoraelpuntoKenP)comoHKaV:ytodaaquellafuerza,osea,elpesosuperpuestoconelcualescomprimidala pequeña línea EG, es al peso de la pequeña línea como la altura A del pesosuperpuestoalalongituddelapequeñalíneaEG;yportanto«exaequo»,lafuerzaqueurgealapequeñalíneaEGenloslugaresPySesalpesodedichalíneacomoHKxAaVxEG,ocomoPOxAaVV,puesHKeraaEGcomoPOaV.Portanto,todavezque los tiempos en los cuales cuerpos iguales son impulsados a través deespaciosigualessoninversamenteproporcionalesalaraízcuadradadelasfuerzas,eltiempo de una vibración generada por dicha fuerza elástica será al tiempo devibracióngeneradaporlafuerzadelpesocomolaraízcuadradadeVVaPOxAy,porconsiguiente,altiempodeoscilacióndeunpéndulodelongitudA,comolaraízcuadrada deVV a PO xA y como la raíz cuadrada de PO aA conjuntamente; esdecir,comolarazónenteradeVaA.Peroeneltiempodeunavibracióncompuestadeidayvuelta,elimpulsodesplazándosecompletasuanchuraBC.LuegoeltiempoenelcualelimpulsorecorreelespacioBCesaltiempodeunaoscilacióncompuestadeidayvueltacomoVaA,esdecir,comoBCalacircunferenciadelcírculocuyoradioesA.PeroeltiempoenqueelimpulsorecorreelespacioBCestáenlamismarazónconrespectoaltiempoenquerecorreunalongitudigualadichacircunferencia;y por lomismo, en el tiempo de dicha oscilación el impulso recorre una longitudigualadichacircunferencia.Q.E.D.

COROLARIO1.LavelocidaddelosimpulsosesaquellaqueadquierenlosgravescayendoconmovimientoigualmenteaceleradoydescribiendoensucaídalamitaddelaalturaA.Puesenel tiempodeestacaída,cayendoconlavelocidadadquirida,elimpulso recorre un espacio que será igual a toda la alturaA; y por lo tanto, en eltiempodeunaoscilacióncompuestade idayvuelta recorreráunespacio iguala lacircunferenciadelcírculotrazadoconradioA:porqueeltiempodecaídaesaltiempodeoscilacióncomoelradiodelcírculoasucircunferencia.

COROLARIO 2. De donde, al ser dicha altura A directamente como la fuerzaelástica del fluido e inversamente como su densidad, la velocidad de los impulsosestaráenrazóncompuestadelaraízcuadradadeladensidad,inversamente,ydelaraízcuadradadelafuerzaelástica,directamente.

PROPOSICIÓNL.PROBLEMAXII

Hallarlasdistanciasdelosimpulsos.

Hállese el número de vibraciones del cuerpo cuya oscilación produce losimpulsosenuntiempodado.Divídaseporesenúmeroelespacioquepuederecorrer


elimpulsoenesemismotiempoyelresultadoserálaamplituddeunimpulso.Q.E.I.

ESCOLIO[14]

LasúltimasProposiciones tienen relaciónconelmovimientode la luzyde lossonidos.Puestoquelaluzsepropagaenlínearectanopuedeconsistirenmeraacción(por las Proposiciones XLI y XLII). Y los sonidos, en tanto que se producen porcuerpos vibrantes, no son otra cosa que impulsos de aire propagados, por laProposiciónXLIII.Seconfirmaestopor lasvibracionesque,sisonfuertesygraves,suscitan en los cuerpos inmediatos, como los sonidos de los tambores. Pues lasvibraciones rápidas y breves no se excitan con facilidad. Y es bien sabido quecualesquiera sonidos lanzados contra las cuerdas de cuerpos sonoros generavibraciones.Y tambiénseconfirmapor lavelocidadde lossonidos.Puestoque lospesos específicos del agua de lluvia y delmercurio son entre sí aproximadamentecomo 1 a 132⁄3, y cuando el mercurio alcanza en el barómetro una altura de 30pulgadas inglesas, el peso específico del aire y del agua de lluvia se halla en larelación de 1 a 870 aproximadamente, entonces el peso específico del aire y delmercurioseráaproximadamentecomo1a11890.Y,portanto,cuandolaalturadelmercurioesde30pulgadas, laalturadeaireuniformecuyopesopudieraoprimiranuestroairesubyacenteseríade356700pulgadas,ode29725piesingleses.Yéstaes la altura misma que denominábamos A en la construcción precedente. Lacircunferenciadel círculodescrito con radiode29725pies es de186768pies.Ypuesto que un péndulo de 39⅕ pulgadas de largo completa como es sabido, suoscilaciónenteradeidayvueltaeneltiempodedossegundos,unpéndulode39⅕pulgadasdelargocompleta,comoessabido,sucompletarunaoscilaciónsemejanteen un tiempo de 190¾ segundos. Por tanto, en ese mismo tiempo el sonidodesplazándosecompletará186768pies,yeneltiempodeunsegundo979pies.

Porlodemásenestecálculonosehatomadoencuentaelgrosordelaspartículassólidasdeaireacuyotravéselsonidosepropagainstantáneamente.Comoelpesodelaireesalpesodelaguacomo1a870,ylassalessoncasidosvecesmásdensasqueelagua,sisuponemosquelaspartículasdeairesoncasidelamismadensidadquelaspartículas de agua o de sal y la rareza del aire obedece a los intervalos de laspartículas, entonces el diámetro de las partículas de aire será al intervalo entre loscentros de las partículas como 1 a 9 ó 10 aproximadamente, y al intervalo entrepartículas como 1 a 8 ó 9. Por ello, a los 979 pies que el sonido recorrerá en unsegundosegúnelcálculoanteriorhabráqueañadir979⁄9pies,oaproximadamente109pies,porelgrosordelaspartículasdeaire:ydeestemodoelsonido,eneltiempodeunsegundo,recorreráaproximadamente1088pies.

Añádaseaestoquelosvaporespresentesenelaire,alserdediferenteelasticidad


ytono,pocoonadaparticiparánenelmovimientodelverdaderoaireconelquesepropagan los sonidos. Permaneciendo, pues, éstos en reposo, dichomovimiento sepropagará por el solo verdadero aire, y esto en razón de la raíz cuadrada de ladisminución de materia. De suerte que si la atmósfera constase de diez partes deverdaderoaireyunadevapores,elmovimientode lossonidosseríamásrápidoenrazóndelaraízcuadradade11a10,ocasienlarazónenterade21a20,quesisepropagaseporoncepartesdeaireverdadero:yporelloelmovimientodelossonidoshallado antes ha de aumentarse en esta proporción. Con lo cual el sonido, en eltiempodeunsegundo,recorrerá1142pies.

Asíseránestascosasenprimaverayotoño,cuandoalairetempladoporelcalorseenrareceysufuerzaelásticaaumentauntanto.Peroeninvierno,cuandoelairesecondensa por el frío y disminuye su fuerza elástica, elmovimiento de los sonidosdebesermáslentoenrazóndelaraízcuadradadeladensidad;yviceversa,enveranodebesermásveloz.

Porotraparte,experimentalmenteconstaquelossonidosenunsegundorecorrenmásomenos1142pieslondinensesó1070parisinos.

Unavezconocidalavelocidaddelossonidosseobtienentambiénlosintervalosdelosimpulsos.ElSr.Sauveurhallómedianteexperimentoshechosporél,queunaflautaabiertademásomenoscincopiesparisinosde largoproducíaunsonidodelmismotonoqueelsonidodeunacuerdaquevibracienvecesporsegundo.Portanto,enelespaciode1070piesparisinosquerecorreunsonidoenunsegundohaymásomenoscien impulsos;por locualunapulsaciónocupaunespaciodecasi l07⁄10piesparisinos,esdecir,casieldobledela longituddelaflauta.Por loqueesverosímilque lasamplitudesde los impulsos,en lossonidosde todas lasflautasabiertas,seaigualadosveceslalongituddelasflautas.

Yporlodemás,estáclaroporelCorolariodelaProposiciónXLVIIdeestelibroporquécesanlossonidoscuandocesaelmovimientodelcuerposonoro,ynoseoyenpor más tiempo cuando estamos muy lejos de los cuerpos sonoros que cuandoestamosmuycerca.Yporquélossonidosaumentantantoenlostubosamplificadoresestá claro por los principios expuestos. Pues todo movimiento recíproco en cadaregresosueleaumentargraciasalacausageneradora.Yelmovimientoenlostubosque impiden la dilatación de los sonidos se pierdemás tarde y se repite conmásfuerza y, por tanto, es incrementado por el nuevo movimiento impreso en cadaretorno.Yéstossonlosprincipalesfenómenosrelativosalossonidos.


SecciónIXSOBREELMOVIMIENTOCIRCULARDELOSFLUIDOS

HIPÓTESIS

La resistencia queprocedede la falta de lubricidadde las partes de un fluido, enigualdaddecondiciones,esproporcionalalavelocidadconquelaspartesdelfluidoseseparanentresí.

PROPOSICIÓNLI.TEOREMAXXXIX

Siuncilindrosólidoinfinitamentelargogiraconunmovimientouniformeentornoasuejedeoposicióndadaenunfluidouniformeeinfinito,yporsusoloimpulsordelfluidoesobligadoagirarencírculoycadapartedelfluidoperseverauniformementeensumovimiento;digoquelostiemposperiódicosdelaspartesdelfluidosoncomosusdistanciasdelejedelcilindro.

SeaAFLuncilindroqueerauniformementeentornodesuejeSymedianteloscírculos concéntricos BGM, CHN, DIO, EKP, etcétera, divídase el fluido eninnumerablesorbescilíndricos,concéntricos, sólidosydelmismogrosor.Y,puestoqueel fluidoeshomogéneo, las impresionesdeunosorbescontiguosenotros (porhipótesis)seráncomosustraslacionesrespectivasylasuperficiesobrelacualrecaela impresión. Si una impresión sobre un orbe cualquiera esmayor omenor por lapartecóncavaolaparteconvexa,prevalecerálaimpresiónmásfuerte,yaceleraráoretardaráelmovimientodelorbesisedirigehaciaelmismoladoohaciaelcontrarioque elmovimiento delmismoorbe. Por tanto, para que cada orbe persevere en sumovimiento uniformemente, las impresiones en una y otra parte deben ser igualesentresíyproducirseendireccionesopuestas.Porconsiguiente,comolasimpresionesson como las superficies contiguas y como sus traslaciones respectivas, lastraslacionesseráninversamentecomolassuperficies,esdecir,inversamentecomolasdistancias de las superficies desde el eje. Pero las diferencias de los movimientosangularesen tornoal eje soncomodichas traslacionesaplicadasa lasdistancias,o


comolastraslacionesdirectamenteylasdistanciasinversamente;esdecir,conjuntasambasrazones,comoelinversodelcuadradodelasdistancias.Porlocual,sisobrecadapartedelarectainfinitaSABCDEQseelevaunaperpendicularAa,Bb,Cc,Dd,Ee,etc.,inversamenteproporcionalaloscuadradosdelaspropiasSA,SB,SC,SD,SE, etc., y por los extremos de esas perpendiculares se imagina trazada una líneacurvahiperbólica, lassumasde lasdiferencias,esdecir, losmovimientosangularestotalesseráncomolassumascorrespondientesde las líneasAa,Bb,Cc,Dd,Ee,esdecir,siseaumentaelnúmerodeorbesysedisminuyesuanchurahastael infinitoparaqueelfluidoresulteunmediouniforme,comolasáreashiperbólicasAaQ,BbQ,CcQ,DdQ,EeQ,etc.,análogasalassusodichassumas.Ylostiemposinversamenteproporcionales a los movimientos angulares serán también inversamenteproporcionales a estas áreas. Por tanto, el tiempo periódico de una partículacualquieraDesinversamenteproporcionalaláreaDdQ,esdecir(porlasconocidascuadraturasdecurvas)directamentecomoladistanciaSD.Q.E.D.

COROLARIO1.Deaquíquelosmovimientosangularesdelaspartículasdelfluidoseaninversamentecomosusdistanciasalejedelcilindro,ysusvelocidadesabsolutasiguales.

COROLARIO 2. Si un fluido está contenido en un vaso cilíndrico de longitudinfinita que contiene en su interior a otro cilindro, y ambos giran en torno al ejecomún,y los tiemposde revolución son como sus semidiámetros, y cadaparte delfluido permanece con su movimiento: los tiempos periódicos de cada parte seráncomosusdistanciasalejedeloscilindros.

COROLARIO3.Siauncilindroyaunfluidomovidosdeestemodoselesañadeoquitaalgúnmovimientoangularcomún,puestoqueconestenuevomovimientonosealtera el rozamientomutuo de las partes del fluido, losmovimientos de las partesentre ellas no sufrirán alteración. Porque las traslaciones de las partes entre ellasdependendelrozamiento.Unapartecualquieraperseveraráenaquelmovimientoque,


alaplicarelrozamientoporambaspartesyensentidoscontrarios,noseaceleremásqueseretarde.

COROLARIO4:Dedonde,siatodoelsistemadecilindrosyfluidoselesuprimetodoelmovimientoangulardelcilindroexterior,setendráelmovimientodelfluidoenelcilindroenreposo.

COROLARIO5.Sipermanecenenreposoelcilindroyelfluidoexterioresmientrasel cilindro interior gira uniformemente, se comunicará el movimiento circular alfluidoypocoapocosepropagaráatodoelfluido;ynodejarádeaumentarhastaquecadapartedelfluidoadquieraelmovimientodefinidoenelCorolariocuarto.

COROLARIO6.Ypuestoqueelfluidointentapropagarsumovimientohastamásallá,elcilindroexteriorsepondráagirarporcausadeaquelempuje,salvoqueseledetenga por la fuerza; y su movimiento se irá acelerando hasta que los tiemposperiódicosdeamboscilindrosseanigualesentreellos.Perosielcilindroexteriorsefrenaseviolentamente,estetrataráderetardarelmovimientodelfluido;ysalvoqueel cilindro interior conserve sumovimientomediante alguna fuerza impresa desdefuera,acabaráporhacerlocesarpocoapoco.

Todoestosepuedeexperimentarenaguaprofundaestancada.

PROPOSICIÓNLII.TEOREMAXL[15]

Si una esfera sólida gira conmovimiento uniforme en torno a un eje de posicióndada en un fluido uniforme e infinito y el fluido es obligado a girar por el soloimpulsodelaesfera,ycadapartedelfluidoperseveraensumovimientouniforme:digoquelostiemposperiódicosdelaspartesdelfluidoseráncomoloscuadradosdelasdistanciasalcentrodelaesfera.

CASO1.SeaAFLunaesferagirandouniformementeentornoalejeSyconloscírculosconcéntricosBGM,CHN,DIO,EKP,etc.,divídaseelfluidoeninnumerablesorbesconcéntricosdeigualgrosor.Supongamosquedichosorbesfuesensólidos;y,alserelfluidohomogéneo,lasimpresionesmutuasdelosorbescontiguosserán(porhipótesis)comosustraslacionesrespectivasylassuperficiescontiguassobrelasqueocurren las impresiones. Si la impresión sobre un orbe cualquiera fuese mayor omenorpor lapartecóncavaopor laconvexa,prevalecerá la impresiónmayor,y lavelocidaddelorbeseaceleraráose retardará,segúnsedirijahacia ladireccióndelmovimiento o hacia la dirección contraria. Por consiguiente, para que cada orbepersevere en su movimiento uniformemente, las impresiones de una y otra partedeberán igualarse entre sí yproducirse endirecciones contrarias.Dedonde,puestoquelasimpresionessoncomolassuperficiescontiguasysustraslacionesrespectivas,lastraslacionesseráninversamentecomolassuperficies,esdecir,comoelinversodelcuadrado de la distancia de las superficies al centro. Pero las diferencias de los


movimientos angulares en torno al eje son como estas traslaciones aplicadas a lasdistancias,odirectamentecomolastraslacioneseinversamentecomolasdistancias;es decir, juntas ambas razones, como el inverso del cubo de las distancias. Por locual,sisobrecadapartedelarectainfinitaSABCDEQseelevanlasperpendicularesAa,Bb,Cc,Dd,Ee,etc.,inversamenteproporcionalesaloscubosdelaspropiasSA,SB, SC, SD, SE, etc., las sumas de las diferencias, es decir, los movimientosangulares totales serán como las correspondientes sumas de las líneasAa, Bb, Cc,Dd,Ee,etc.,esdecir(siparaobtenerunmediouniformementefluidoseaumentaelnúmero de órbitas y se disminuye su grosor hasta el infinito) como las áreashiperbólicas. AaQ, BbQ, CcQ, DdQ, EeQ, etc., análogas a dichas sumas. Y lostiemposperiódicos inversamenteproporcionales a losmovimientos angulares serántambién inversamente proporcionales a esas arcas. Por consiguiente, el tiempoperiódicodeunorbecualquieraDIOes inversamenteproporcionalaláreaDdQ,esdecir, por las va conocidas cuadraturas de las curvas, directamente proporcional alcuadradodeladistanciaSD.Queesloprimeroquequeríademostrar.

CASO 2. Desde el centro de la esfera trácense muchas rectas indefinidas queformen con el eje ángulos dados y que se superen unos a otros con diferenciasiguales; e imagínesequecon losgirosdeestas rectas en tornoal eje losorbes soncortadosen innumerablesanillos;ycadaanillo tendrácuatroanilloscontiguos,unopordentro,otroporfueraydosaloslados.Conelrozamientodelosanillosinterioryexterior un anillo cualquiera no puede ser urgido igualmente hacia direccionescontrarias,salvoqueelmovimientoseatengaalaleydelcasoprimero.Estosesiguedelademostracióndelprimercaso.Yportanto,unaseriecualquieradeanillosquesealejeen línea rectadelglobohastael infinito, semoverádeacuerdocon la leydelcasoprimero,salvoqueseloimpidaelrozamientodelosanilloslaterales.Peroenunmovimientorealizadosegúnlasusodichaleyelrozamientodelosanilloslateralesesnulo y por lomismo en nada impedirá almovimiento realizado de acuerdo con la


dicha ley. Si los anillos equidistantes del centro girasen más velozmente o máslentamente en lospolosque en la eclíptica, losmás lentos se acelerarány losmásveloces se retardarán gracias al mutuo rozamiento y así los tiempos periódicossiempre llegarán a ser iguales, de acuerdo con la ley del primer caso. Porconsiguiente,este rozamientono impediráqueelmovimientose realicedeacuerdoconlaleydelcasoprimeroy,portanto,dichaleysecumplirá:esdecir,lostiemposperiódicos de cada anillo serán como los cuadrados de sus distancias al centro delglobo.Queesloquequeríademostrarensegundolugar.

CASO 3. Divídase ahora cada anillo, mediante secciones transversales, eninnumerablespartículasqueconstituyanunasustanciatotalyuniformementefluida,ycomo estas secciones no afectan a la ley del movimiento circular sino que sirvensolamentepara la constitucióndel fluido, elmovimiento circularperseverará comoantes. Con estas secciones los minúsculos anillos no cambiarán su aspereza y surozamientomutuo,olocambiarántodosporigual.Ypermaneciendolaproporcióndelas causas permanecerá la proporción de los efectos, es decir, la proporción de losmovimientos y de los tiempos periódicos. Q. E. D. Por lo demás, como elmovimientocircular,ylafuerzacentrífuganacidadelmismo,esmayorenlaeclípticaqueenlospolos,tendráquehaberunacausaporlacualcadapartículasemantengasiempre en su círculo, paraque lamateriaque sehalla en la eclípticano se apartecontinuamentedelcentroyporlaparteexteriordelvórticesevayahastalospolosydesdeallíatravésdelejeregresealaeclípticaenunasuertedecirculacióncontinua.

COROLARIO1.Porlotanto,losmovimientosangularesdelaspartesdelfluidoentornoalejedelglobosoninversamenteproporcionalesalcuadradodelasdistanciasal centro del globo y las velocidades absolutas son inversamente proporcionales aesoscuadradosaplicadosalasdistanciasaleje.

COROLARIO2.Siunglobogiraenun fluidoen reposo,uniformee infinito,conmovimientouniformeentornoaunejedeposicióndada,comunicaráelmovimientoalfluidoenformadevórtice,ydichomovimientosepropagarápocoapocohastaelinfinito;ynodejarándeacelerarselasdistintaspartesdelfluidohastaquelostiemposperiódicosde cadaunano seancomo los cuadradosde susdistancias al centrodelglobo.

COROLARIO 3. Puesto que las partes interiores del vórtice rozan y urgen a laspartesexterioresylescomunicancontinuamenteelmovimientocondichaacción,alavezqueesasexteriorestransfierenesamismacantidaddemovimientoaotrastodavíamás exteriores y con esa acción conservan invariante su propia cantidad demovimiento; es evidente que elmovimiento es transferido continuamente desde elcentro hacia la circunferencia del vórtice y es absorbido por la infinitud de lacircunferencia. La materia contenida entre dos superficies esféricas cualesquieraconcéntricasalvórticejamásseacelerará,porcuantoquetransfieresiempretodoelmovimientorecibidodelamateriainteriorhacialaexterior.

COROLARIO4.Porlotanto,paraqueunvórticeconservecontinuamenteelmismo


estado demovimiento, es necesario algún principio activo del cual reciba el globocontinuamentelamismacantidaddemovimientoquetransfierehacialamateria.Enausenciadetalprincipioesnecesarioqueelgloboylaspartesinterioresdelvórtice,alestarpropagandosiempresumovimientohaciaelexteriorsinrecibirningúnotromovimientonuevo,acabenporretardarsepocoapocoydejendegirar.

COROLARIO 5.Siotroglobo se situase enestevórtice aunaciertadistanciadelcentrogirandoconunafuerzacontinuamenteentornoaunejedeinclinacióndada,sumovimiento arrastraría al fluido en formadevórtice: y primeramente este nuevoypequeñovórticegirará a lavezqueelgloboen tornoal centrodelotroymientrastanto sumovimiento se irá alejandopropagándosepocoapocohasta el infinito, aligualqueeldelvórticeprimero.Yporlamismarazónporlaqueelmovimientodeeste globo era arrastrado por el movimiento del otro, el movimiento del otro seráahoraarrastradoporelmovimientodeéste,de suertequeambosglobosgiraránentorno a un cierto punto intermedio, alejándose uno de otro a causa de dichomovimiento circular, salvoque alguna fuerza se lo impida.Después, si cesasen lasfuerzas constantes impresas, gracias a las cuales los globos perseveran en susmovimientos,ytodoseremitiesealasleyesmecánicas,elmovimientodelosglobosiríalanguideciendopocoapoco(porlasrazonesdadasenlosCorolarios3y4)hastaquejuntoconlosvórticesquedenfinalmenteenreposo.

COROLARIO6.Sivariosglobosgirasencontinuamenteenlugaresdadosentornoaejes de posición dada y con unas velocidades determinadas, surgirían otros tantosvórtices expandiéndose hasta el infinito. Pues por la misma razón que un globocualquierapropaga sumovimientohasta el infinito, cualquierotroglobopropagarátambién sumovimientohastael infinito,hastaquecadapartedel fluido infinito sehalleagitadaporelmovimientoresultantedelasaccionesdetodoslosglobos.Porlocual,no sepodrándefinir losvórtices con límites ciertos, sinoquepocoapoco sedesplazarán entre ellos; y los globos por las mutuas interacciones de los vórticescambiaráncontinuamentedelugar,comosehaexplicadoenelCorolarioanterior;ytampococonservaránentreellosunaposicióndeterminada,salvoquealgunafuerzalosretenga.Yalcesarlasfuerzasimpresasconstantessobrelosglobosgraciasalascuales conservaban sus movimientos, la materia, por las razones dadas en losCorolarios3y4,entraráenreposopocoapocoydejarádegirarenvórtice.

COROLARIO7.Siunfluidosemejanteestuviesecontenidoenunvasoesféricoy,por la rotaciónuniformedeunglobosituadoenelcentro, se lehiciesegirarenunvórtice,mientraselgloboyelvasogiranhaciaelmismoladosobreunmismoejeysustiemposperiódicossoncomoloscuadradosdelossemidiámetros:laspartesdelfluido no perseverarán en sus movimientos sin aceleración o retardación más quehastaquesustiemposperiódicosseancomoloscuadradosdelasdistanciasalcentrodelvórtice.Yningunaotraconstitucióndelvórticepuedeserpermanente.

COROLARIO 8. Si el vaso, el fluido contenido y el globo conservan estemovimientoyademásgirasenconunmovimientoangularcomúnen tornoauneje


dado,puestoqueconestenuevomovimientonosecambiaelrozamientodelaspartesdelfluidoentreellas,tampocosecambiaránlosmovimientosdelaspartesentreellas.Pues las traslaciones de las partes entre ellas dependendel rozamiento.Cada parteperseverará en aquel movimiento que resulta de no estar más retardada por elrozamientodeunladoqueaceleradaporelrozamientodelotrolado.

COROLARIO 9. Por consiguiente, si el vaso está en reposo y elmovimiento delgloboestádado, estarádadoelmovimientodel fluido.Pues, imaginemosunplanoquepaseporelejedelgloboyquegireensentidocontrario,ysupongamosque lasumadel tiempode revolucióndeesteplanoydel tiempode revolucióndelglobofuesealtiempoderevolucióndelglobocomoelcuadradodelsemidiámetrodelvasoalcuadradodelsemidiámetrodelglobo:entonceslostiemposperiódicosdelaspartesdelfluidoconrespectoadichoplanoseráncomoloscuadradosdesusdistanciasalcentrodelglobo.

COROLARIO 10. Por consiguiente, si el vaso gira en torno al mismo eje que elglobooalrededordeotrodistintoconunavelocidaddada,estarádadoelmovimientodelfluido.Porquesialsistemacompletoselerestaelmovimientoangulardelvaso,todos los movimientos permanecerán entre ellos los mismos que antes, por elCorolario8.Yestosmovimientos,porelCorolario9,estarándados.

COROLARIO11.Sielvasoyelfluidoestánenreposomientrasqueelglobogiraconmovimientouniforme,elmovimientosepropagarápocoapocoportodoelfluidohaciaelvaso,ypondráengiroalvaso salvoque se ledetengapor la fuerza,ynodejaránnivasonifluidodeacelerarsehastaquesustiemposperiódicoslleguenaserigualesalostiemposperiódicosdelglobo.Perosielvasoesdetenidoporunafuerzaogiraconunmovimientoconstanteyuniforme,elmediopaulatinamentellegaráalestadodemovimientoestablecidoenlosCorolarios8,9y10,ynuncapermaneceráenotroestadocualquiera.Perosidespuéscesasenaquellasfuerzasconlascualeselvaso y el globo giran con movimientos determinados, y el sistema entero quedaremitidoalasleyesmecánicas,elvasoyelgloboactuaránunosobreotropormediodel fluido y no dejarán de propagar sus movimientos uno hacia otro a través delfluidohastaquesustiemposperiódicosseanigualesentresíyelsistemaenterogirealavezalmododeunúnicocuerposólido.

ESCOLIO

En todoestodoyporsupuestoqueel fluidoconstadeunamateriauniformeencuanto a densidad y fluidez. Es así aquel en que el mismo globo, con el mismomovimiento, en el mismo espacio de tiempo, podría propagar movimientossemejanteseiguales,siempreadistanciasiguales,dondequieraqueelglobosehallesituado. Ciertamente la materia, con su movimiento circular, trata siempre deapartarsedelejedelvórticey,porlomismo,presionasiemprealamateriasiguiente.


Deestapresiónnaceunmayor rozamientode laspartesymayordificultadparasumutuaseparacióny,porconsiguiente,disminuyelafluidezdelamateria.Además,sipartesdelfluidosonmásgruesasenalgúnsitioomayores,lafluidezseráallímenor,porsermenoresennúmerolassuperficiesenlascualeslaspartessesepararíanentreellas. En tales casos supongo que la deficiencia de fluidez se compensa con lalubricación de las partes o la lisura u otra condición cualquiera. De no ser así, lamateriacuandoesmenosfluidasecohesionarámás,serámáslentayrecibiráporelloconmayorlentitudelmovimientoylopropagarámásqueenlarazónestablecidamásarriba.Silafiguradelvasonofueseesférica,laspartículassemoveránenlíneasnocircularessinoadaptadasalafiguradelvasoylostiemposperiódicosseráncomoloscuadradosde lasdistanciasmediasalcentromuyaproximadamente.En los lugaresmásampliosentreelcentroy lacircunferencia losmovimientosseránmáslentosymásrápidosdondesonmásangostos,ylaspartículasmásrápidastampocotenderánhacialacircunferencia.Puesdescribenarcosmenoscurvosyelintentodesepararsedel centro no disminuye menos por el decremento de esta curvatura de lo queaumentaporel incrementode lavelocidad.Alsalirde losespaciosmásangostosalosmásampliossealejanunpocodelcentroperoconeste retrocesose retardan,ypasando después de losmás amplios a losmás angostos se acelerarán, y así cadapartículaseretardaráyseaceleraráalternativamentedemodocontinuo.Estoesasíenun vaso rígido. Pues en un fluido infinito la constitución de vórtices se atiene alCorolariosextodeestaProposición.

HetratadodeinvestigarenestaProposiciónlaspropiedadesdelosvórticesconelfindeensayarlaposibilidaddeexplicardesemejantemodolosfenómenoscelestes.PuesunfenómenoesquelostiemposperiódicosdelosplanetasquegiranentornoaJúpitersoncomolapotencia3⁄2desudistanciaalcentrodeJúpiter;ylamismareglavalepara losplanetasquegiranen tornoalSol.Secumplenestas reglasenunosyotros planetas con lamayor exactitud, hasta donde las observaciones astronómicashanpodidollegar.Yporlomismo,sidichosplanetasfuesenarrastradosporvórticesquegirasenentornoaJúpiteryalSol,tambiéndeberíanestosvórticesatenerseaestaley.Perolostiemposperiódicosdelaspartesdelvórticehanresultadoestarenrazóndel cuadrado de las distancias al centro del movimiento y dicha razón no puededisminuirsenireducirsealarazóndelapotencia3⁄2anoserquelamateriadelvórticeseamásfluidacuantomásalejadadelcentro,oquelaresistenciadebidaalafaltadelubrificacióndelaspartesdelfluido,porelaumentodelavelocidadconlacuallaspartesdelfluidoseseparanentreellas,aumenteenmayorproporciónqueaquellaconqueaumentalavelocidad.Nadadelocualparecerazonable.Laspartesmásgruesasymenosfluidastenderánhacialacircunferencia,salvoquegravitenhaciaelcentro;y,aunquepropusealprincipiodeestaSecciónparafacilidaddelasdemostraciones lahipótesis de que la resistencia es proporcional al cuadrado de la velocidad, esverosímil,sinembargo,quedicharesistenciasehalleenunaproporciónrespectoalavelocidad menor que ésa. Supuesto esto, los tiempos periódicos de las partes del


vórticeestaránenunarazónmayorqueladelcuadradodelasdistanciasalcentrodelmismo.Ysilosvórtices(comoalgunoscreen)semuevenmásrápidamentecercadelcentro,despuésmáslentamentehastaunlímite,ydenuevomásrápidamentecercadelacircunferencia,enverdadquenilarazóndelapotencia3⁄2niotraalgunaciertaydeterminada puede hallarse. Que vean pues los filósofos de qué manera podríaexplicarsemediantevórticeselsusodichofenómenodelarazóndelapotencia3⁄2.

PROPOSICIÓNLIII.TEOREMAXLI

Los cuerpos que arrastrados por un vórtice giran en órbita, tienen la mismadensidadqueel vórticey semuevenbajo lamisma leyque suspartesencuantoavelocidadydireccióndelrecorrido.

Puessisuponemosqueunapequeñapartedelvórtice,cuyaspartículasopuntosfísicosconservanentreellosunasituacióndada,secongelase,dichaparte,porcuantoqueniensudensidad,niensufuerzaínsita,niensufigurasufrecambioalguno,semoveráconlamismaleyqueantes;yalcontrario,siunapartecongeladaysólidadelvórticeesdelamismadensidadqueelrestodelmismo,yseconvierteenfluido,semoveráconlamismaleyqueantes,salvoenlamedidaenquesuspartículasahorahechas fluidas se muevan entre ellas. Pero despreciando el movimiento de laspartículasentreellas,comosinoafectasealmovimientototaldeprogresiónennada,elmovimientototalseráelmismoqueantes.Yelmovimientoseráelmismoqueelde las otras partes del vórtice equidistantes del centro por cuanto que el sólidoresueltoenfluidoseconvierteenpartedelvórticesemejantealasdemáspartesdelmismo.Luego el sólido, si es de lamisma densidad que lamateria del vórtice, semoveráconelmismomovimientoque laspartesdeéste,permaneciendoen reposorelativorespectoalamateriaquelorodea.Sifuesemásdenso,entoncesyatratarádealejarsemásqueantesdelcentrodelvórtice,yporellosuperandoahoraalafuerzadel vórtice la cual lo retenía antes en su órbita como si estuviese en equilibrio, sealejarádelcentroygirandodescribiráunaespiral, sinvolveryamásasuórbita.Yporlamismarazón,sifuesemásraroseacercaráalcentro.Portanto,noregresaráalamismaórbitasalvoqueseadelamismadensidadqueelfluido.Yenesecasoyasehamostradoquegirarácon lamisma leyque laspartesdel fluidoequidistantesdelcentrodelvórtice.Q.E.D.

COROLARIO 1. Luego un sólido que gira en un vórtice y vuelve siempre a lamismaórbitareposarelativamenteenelfluidoenelqueflota.

COROLARIO 2.Y si el vórtice es de densidad uniforme elmismo cuerpo puedegiraracualquierdistanciadelcentrodelvórtice.


ESCOLIO

Poresto,esevidentequelosplanetasnosonarrastradosporvórticescorpóreos.Pueslosplanetas,deacuerdoconlahipótesisdeCopérnico,arrastradosentornoalSol giran en elipses que tienen su foco en el Sol, y con radios trazados al Soldescriben áreas proporcionales a los tiempos. Pero las partes de los vórtices nopueden girar con unmovimiento semejante. RepresentenAD,BE,CF, tres órbitasdescritasen tornoalSolS,de lascuales, laexteriorCFseauncírculoconcéntricoconelSol,ylosafeliosdelasdosinterioresseanA,BylosperiheliosD,E.Luegoun cuerpo que gire en la órbita CF al describir con un radio trazado al Sol áreasproporcionalesalostiempos,semoveráconunmovimientouniforme.Mientrasqueelcuerpoquegireen laórbitaBEsemoverámás lentamenteenelafelioBymásvelozmenteenelperihelioE,segúnlasleyesastronómicas;mientrasque,segúnlasleyesmecánicas,lamateriadelvórticeenelespaciomásangostoentreAyChabrádemoversemásvelozmentequeenelespaciomásanchoentreDyF;esdecir,enelafeliomásvelozmentequeenelperihelio.Cosasestasdosquesecontradicen.Así,alcomienzodelsignoVirgo,dondeahorasehallaelafeliodeMarte,ladistanciaentrelasórbitasdeMarteyVenusesaladistanciaentrelasmismasórbitasalprincipiodelsigno Piscis casi como tres a dos, y por tanto la materia del vórtice entre dichasórbitasalprincipiodePiscisdebesermásvelozquealprincipiodeVirgoenrazóndetresados.Puescuantomásestrechoeselespacioporelcualpasalamismacantidaddemateriaenelmismo tiempodeuna revolución,con tantamayorvelocidaddebepasar.Porconsiguiente,silaTierrareposandorelativamenteenestamateriacelesteesarrastradaporellaygiraseentornoalSoljuntoconella,suvelocidadalprincipiodePiscisseríaasuvelocidadalprincipiodeVirgoenrazóndetresados.Dedonde,elmovimiento diurno aparente del Sol al principio de Virgo sería superior a setentaminutos; y al principio de Piscis inferior a los cuarenta y ocho. Pero, puesto que(testigolaexperiencia)dichomovimientoaparentedelSolesmayoralprincipiodePiscisquealprincipiodeVirgo,poresolaTierraesmásvelozalprincipiodeVirgoque al principio de Piscis. De suerte que la hipótesis de los vórtices está en totaldesacuerdo con los fenómenos y no lleva tanto a explicar cuanto a perturbar losmovimientos celestes. Pero, sobre el modo de entender cómo se efectúan estosmovimientos sin vórtices en espacios libres puede verse el Libro primero, y demaneramáscompletasemostraráahoraenelSistemadelMundo.



LibroterceroSOBREELSISTEMADELMUNDO


He ofrecido en los Libros anteriores principios de filosofía, aunque no tantofilosóficos cuantomeramentematemáticos, a partir de los cuales tal vez se puedadisputar sobre asuntos filosóficos. Tales son las leyes y condiciones de losmovimientos y las fuerzas, que engranmedida atañen a la filosofía. Sin embargo,paraquenoparezcanestériles,losheilustradoconalgunosEscoliosfilosóficosenlosquehetratadosobreaquellascosasquesonmásgeneralesyenlascualeslafilosofíaparecehallarmayorfundamento,talescomoladensidadyresistenciadeloscuerpos,losespaciosvacíosdecuerposyelmovimientodelaluzydelossonidos.Nosfaltamostrar,apartirdeestosmismosprincipios, laconstitucióndelsistemadelmundo.Sobreestohabíacompuestountercerlibrosegúnunmétodopopularparaquefueseleído por muchos. Pero quienes no hubiesen comprendido suficientemente losprincipios propuestos, escasamente comprenderían la fuerza de los argumentos ytampocoabandonaríanlosprejuiciosenloscualesandabaninstaladosdesdemuchosañosatrás:porlocual,paraqueeltemanoentraseencontroversias,trasladélasumade aquel libro a proposiciones, al estilomatemático, de suerte que sean leídas porsólo aquellos que antes hubiesen manejado los principios. Pero, dado que allíaparecen muchas proposiciones que hasta para un lector matemáticamentedocumentado podrían significar una gran demora, no pido a nadie que las estudietodas; será suficiente para cualquiera leer las definiciones, las leyes de losmovimientos y las tres primeras seccionesdelLibroprimero con atención, y pasardespués a este Libro sobre el sistema delmundo, y consultar según le parezca lasrestantesproposicionesdeloslibrosanteriorescitadasenéste.


REGLASPARAFILOSOFAR[1]

REGLAPRIMERA

Nodebenadmitirsemáscausasdelascosasnaturalesqueaquellasqueseanverdaderasysuficientesparaexplicarsusfenómenos.

Ya dicen los filósofos: la naturaleza nada hace en vano, y vano sería hacermediantemucholoquesepuedehacermediantepoco.PueslaNaturalezaessimpleynoderrochaensuperfluascausasdelascosas.

REGLAII

Porello,entantoqueseaposible,hayqueasignarlasmismascausasalosefectosnaturalesdelmismogénero.

Comoenelcasodelarespiraciónenelhombreyenelanimal;delacaídadelaspiedrasenEuropayenAmérica;delaluzenelfuegodelacocinayenelSol;delareflexióndelaluzenlaTierrayenlosplanetas.

REGLAIII

Han de considerarse cualidades de todos los cuerpos aquellas que no puedenaumentarnidisminuiryqueafectanatodosloscuerpossobreloscualesesposiblehacerexperimentos.

Pues lascualidadesde loscuerpos sólomedianteexperimentos seesclarecen,yporlomismosehandeestablecercomogeneralescuantascuadrangeneralmenteconlos experimentos; y aquellas que no pueden disminuir, tampoco pueden sersuprimidas.Ciertamentenohayquefantaseartemerariamentesueñosencontradelaseguridadde los experimentos,ni alejarsede la analogíade lanaturaleza, todavezqueellasuelesersimpleycongruenteconsigomisma.Laextensióndeloscuerposno


senosrevelasinoesporlossentidos,ynosesienteportodos,perocomoconciernea todos los sensibles, se atribuye universalmente. Experimentamos que muchoscuerpossonduros.Peroladurezadeltodoseoriginadeladurezadelaspartes,ydeaquí concluimos con razón que son duras las partículas indivisas no sólo de loscuerposquesentimossinotambiénlasdetodoslosdemás.Quetodosloscuerpossonimpenetrables lo inferimos no de la razón sino de la sensación. Los cuerpos quemanejamosresultanserimpenetrables,ydeaquíconcluimosquelaimpenetrabilidadesunapropiedaddetodosloscuerpos.Inferimosquetodosloscuerpossonmóvilesyperseveran en reposo o en movimiento gracias a ciertas fuerzas (que llamamosfuerzas de inercia) a partir de estas propiedades de los cuerpos observados. Laextensión,ladureza,laimpenetrabilidad,lamovilidadylafuerzadeinerciadeltodosurgendelaextensión,dureza,impenetrabilidad,movilidadyfuerzadeinerciadelaspartes:yde ahí concluimosque todas laspartesmínimasde todos los cuerpos sonextensas,duras, impenetrables,móvilesydotadasde fuerzade inercia.Yesteeselfundamento de toda la filosofía. Además, hemos visto por los fenómenos, que laspartesdivididasdeloscuerposycontiguasentresípuedensepararseunasdeotrasyquelaspartesindivisaspuedendividirseconlarazónenpartesmenoresesciertoporla matemática. En cambio, si esas partes distinguidas matemáticamente, pero nodivididas todavía, pudieran dividirse y separarse unas de otras mediante fuerzasnaturales,escosaincierta.Pero,aunquesolamenteconstaseporunsoloexperimentoqueunapartícula indivisa sufrieseunadivisiónal romperuncuerpoduroy sólido,concluiremos, en virtud de esta regla, que no sólo serían separables las partesdivididas,sinotambiénquelasindivisaspodríanserdivididashastaelinfinito.

Finalmente, si mediante experimentos y observaciones astronómicas constauniversalmentequetodosloscuerposalrededordelaTierragravitanhaciaella,yestosegún la cantidad demateria contenida en cada uno, que la Luna gravita hacia laTierra según su cantidad demateria, y viceversa que nuestromar gravita hacia laLuna,quetodoslosplanetasgravitanmutuamenteentresíyquelagravedaddeloscometashaciaelSolessimilar,habráquedecir,envirtuddeestaregla,quetodosloscuerposgravitanentresí.E inclusoserámásfuerteelargumentosobre lagravedaduniversalapartirdelosfenómenos,quesobrelaimpenetrabilidaddeloscuerpos:yaque de ésta no tenemos ninguna experiencia en los cuerpos celestes y tampocoobservaciónalguna.Sinembargonoafirmoenabsolutoquelagravedadseaesenciala los cuerpos. Por fuerza ínsita entiendo solamente la fuerza de inercia. Esta esinmutable.LagravedaddisminuyealalejarsedelaTierra.

REGLAIV

Las proposiciones obtenidas por inducción a partir de los fenómenos, pese a lashipótesis contrarias, han de ser tenidas, en filosofía experimental, por verdaderas


exactaomuyaproximadamente,hastaqueaparezcanotrosfenómenosquelashaganomásexactasoexpuestasaexcepciones.

Debehacerseestoparaevitarqueelargumentode inducciónseasuprimidoporlashipótesis.


FENÓMENOS

FENÓMENOPRIMERO[2]

LosplanetascircunjovialesconradiostrazadosalcentrodeJúpiterdescribenáreasproporcionales a los tiempos, y sus tiempos periódicos, estando en reposo lasrestrellasfijas,estánenrazóndelasdistanciasaloscentroselevadasalapotencia3⁄2.

Consta por las observaciones astronómicas. Las órbitas de estos planetas no sediferenciansensiblementedecírculosconcéntricosconJúpiter,ysusmovimientosseperciben uniformes en dichos círculos. Y los astrónomos coinciden en que lostiemposperiódicossehallanenrazónde lapotencia 3⁄2de lossemidiámetrosde lasórbitas;locualtambiénsehacepatenteporlatablasiguiente.

TiemposperiódicosdelossatélitesdeJúpiter

ld18h27′34″;3d13h13′42″;7d3h42′36″;16d16h32′9″

DistanciasdelossatélitesalcentrodeJúpiter.

Segúnobservacionesde: 1 2 3 4Borelli 52⁄3 82⁄3 14 242⁄3

SemidiámetrosdeJúpiter

Townly,conmicrómetro 5,52 8,78 13,47 24,72Cassini,contelescopio 5 8 13 23

Cassini,poreleclipsedelossatélites 52⁄3 9 1423⁄60 253⁄10

Segúnlostiemposperiódicos… 5,667 9,017 14,384 25.299

ConexcelentesmicrómetroselSr.Poundhalogradodeterminarlaelongacióndelos satélites de Júpiter y el diámetro de éste del modo siguiente. La máximaelongación heliocéntrica del cuarto satélite desde el centro de Júpiter se tomó conmicrómetro en un telescopio de quince pies de largo, y resultó ser a la distanciamediaentrelaTierrayJúpiterdeaproximadamente8′,16″.Ladeltercersatélitesetomó conmicrómetro en un telescopio de 123 pies de largo y resultó a lamismadistanciaentrelaTierrayJúpiterde4′.42″.Laselongacionesmáximasdelosotrossatélitesaesamismadistanciaentre laTierrayJúpiter resultanserpor los tiempos


periódicosde2′56″47‴yde1′.51″.6‴.El diámetro de Júpiter que se ha tomadomuchas veces conmicrómetro en un

telescopio de 123 pies de largo y reducido a la distancia media entre la Tierra yJúpiter o éste y el Sol nunca ha sido mayor de 40″ ni menor que 38″ y lo másfrecuentede39″.Entelescopiosmáspequeñosestediámetroesde40″ode41″.Puesla luz de Júpiter, debido a la refrangibilidad desigual, se dilata un poco, y estadilataciónestáenunarazónmenorrespectoaldiámetrodeJúpiterenlostelescopiosmáslargosyperfectosqueenlosmáscortoseimperfectos.Lostiemposenloscualeslos dos satélites primero y tercero discurrían por el cuerpo de Júpiter, desde elcomienzodelaentradahastacomienzodelasalidaydesdelaentradacompletahastala salida completa fueron observados gracias al mismo telescopiomás largo. Y eldiámetrodeJúpiterasudistanciamediadelaiTierraresultóporelpasodelprimersatélitede37⅛″yporeltránsitodeltercerode37⅜″.TambiénseobservóeltiempodetránsitodelasombradelprimersatéliteporelcuerpodeJúpiterydeelloresultaundiámetrodeJúpiterasudistanciamediadelaTierradecasi37″.Supongamosquesudiámetroseamuyaproximadamentede37¼″,ylaselongacionesmáximasdelossatélites primero, segundo, tercero y cuarto serán respectivamente iguales a 5,965;9,494;15,141y26,63semidiámetrosdeJúpiter.

FENÓMENOII

Los planetas circunsaturnales con radios trazados al centro de Saturno describenáreasproporcionalesalostiempos,ysustiemposperiódicos,estandoenreposolasestrellasfijas,estánenrazóndelapotencia3⁄2delasdistancias;alcentrodelmismo.

Efectivamente,CassiniestablecióensusobservacioneslasdistanciasdeaquéllosalcentrodeSaturnoylostiemposperiódicosdelmodosiguiente:

TiemposperiódicosdelossatélitesdeSaturno.

1d.21h.18′.27″;2d.17h.41″.22″;4d.12h.25′.12″;15d.22h.41′.14″;79d.7h.48′.00″.

DistanciasdelossatélitesalcentrodeSaturnoensemidiámetrosdelanillo

Porobservaciones……………………………… 119⁄20 2½ 3½ 8 24

Porlostiemposperiódicos……………………………… 1,93 2,47 3,45 8 23,35

LamáximaelongacióndelcuartosatélitedesdeelcentrodeSaturnoheinferidodelasobservacionesquesueleserdeaproximadamenteochosemidiámetros.Perola


máximaelongacióndeestesatélitedesdeelcentrodeSaturnotomadaconelmejormicrómetro en el telescopio de Huygens de 123 pies de largo resultó de 8,7semidiámetros. Y de esta observación y de los tiempos periódicos, las distanciasresultantesdelossatéliteshastaelcentrodeSaturnoensemidiámetrosdeanilloson2,1. 2,69. 3,75. 8,7 y 25,35.En elmismo telescopio el diámetro deSaturno era aldiámetrodelanillocomo3a7,yeldiámetrodelanillolosdías28y29demayode1719resultabade43″.Yporlomismo,eldiámetrodelanilloaladistanciamediadela Tierra y Saturno es de 42″ y el diámetro de Saturno de 18″. Esto es así en lostelescopiosmás largos ymejores, por cuanto que lasmagnitudes aparentes de loscuerposcelestesenlostelescopiosmáslargostienenmayorproporciónrespectoaladilataciónde la luzen losextremosdedichoscuerposqueen losmáscortos.Siseeliminasetodalaluzdifusa,eldiámetrodeSaturnonoserámayorde16″.

FENÓMENOIII

Loscincoplanetasprimarios,Mercurio,Venus,Marte,JúpiterySaturno,ciñenconsusórbitasalSol.

QueMercurioyVenusgiranentornoalSolsedemuestraporsusfaseslunares.Cuando brillan con la faz llena se hallan situados al otro lado del Sol; cuandomuestranmediafazsehallanalaalturadelSol,ycuandosufazesanularsehallanmásacádelSol,pasandoavecesporsudiscoenformademanchas.TambiéndelafazplenadeMartejuntoalaconjunciónconelSolycurvadaenlascuadraturassesigueconcertezaquegiraen tornoalSol.Lomismose infiere también respectoaJúpiteryaSaturnoapartirdesusfasessiemprellenas:pues,queéstosbrillanconluzparticipadadelSolestáclarograciasalassombrasdelossatélitesproyectadassobreellos.

FENÓMENOIV

Supuestasenreposolasestrellas fijas, los tiemposperiódicosdeloscincoplanetasprimariosy eldelSol en tornoa laTierraode laTierraen tornoalSol estánenrazóndelapotencia3⁄2delasdistanciasmediasalSol.

Esta razón hallada por Kepler está reconocida por todos. Enes, los tiemposperiódicossonlosmismosylasmagnitudesdelasórbitaslasmismastantosielSolgiraentornoalaTierracomosilaTierragiraentornoalSol.Ysobrelamedidadelos tiempos periódicos hay acuerdo entre todos los astrónomos.Kepler yBoulliaudeterminaron mediante observaciones las magnitudes de todas las órbitas con la


mayorprecisión:ylasdistanciasmediascorrespondientesalostiemposperiódicosnodifieren sensiblemente de las distancias que ellos hallaron, y a lo sumo sonintermediasentreellas,comosepuedeverenlatablasiguiente.

TiemposperiódicosdelosplanetasydelaTierraentornoalSolenrelaciónconlasestrellasfijas,endíasydécimasdedía.

♄ ♃ ♂ ♁ ♀ ☿10759,275 4332,514 686,9785 365,2565 224,6176 87,9692

DistanciasmediasdelosplanetasylaTierraalSol.

♄ ♃ ♂SegúnKepler………………………………… 951000 519650 152350SegúnBoulliau……………………………… 954198 522250 152350Segúnlostiemposperiódicos……………… 954006 520096 152369

♁ ♀ ☿SegúnKepler………………………………… 100000 72400 38806SegúnBoulliau……………………………… 100000 72398 38585Segúnlostiemposperiódicos……………… 100000 72333 38710

No ha lugar disputa alguna sobre las distancias de Mercurio y Venus al Sol,puesto que éstas se determinan mediante sus elongaciones del Sol. Así mismodesaparecetodadisputasobreladistanciaalSoldelosplanetassuperioresgraciasalos eclipses de los satélites de Júpiter. Efectivamente, por dichos eclipses sedetermina la posición de la sombra proyectada por Júpiter, y con ello se tiene lalongitud heliocéntrica de Júpiter. Y comparando las longitudes heliocéntrica ygeocéntricaentresí,sedeterminaladistanciadeJúpiter.

FENÓMENOV

Los planetas primarios con radios trazados a la Tierra describen áreas en nadaproporcionales a los tiempos; pero con radios trazados al Sol describen áreasproporcionalesalostiempos.

Pues respecto a la Tierra, ya avanzan, ya son estacionarios o bien hasta sonretrógrados:perorespectoalSolsonsiempreprogresivos,yelloconmovimientocasiuniforme,aunqueunpocomásrápidoenelperihelioyunpocomáslentoenelafelio,de suerte que la descripción de las áreas resulta igual. La Proposición esarchiconocidaparalosastrónomos,ysedemuestraenJúpitermuybienmedianteloseclipsesde los satélites,mediante loscualesacabamosdedecirque secalculan las


distanciasylongitudesheliocéntricasdeeseplanetaalSol.

FENÓMENOVI

LaLunaconunradiotrazadoalcentrodelaTierradescribeunárea,proporcionalaltiempo.

Es evidente al comparar el movimiento aparente de la Luna con su diámetroaparente.Peroelmovimientolunarseperturbauntantoporcausadelafuerzasolar,masenestosfenómenosdejoaunladoestasinsensiblesminuciasdeerrores.


PROPOSICIONES


Las fuerzaspor lascuales losplanetascircunjovialessoncontinuamentedesviadosdemovimientos rectilíneos y retenidos en sus órbitas se dirigenhacia el centrodeJúpiter y son inversamente como los cuadrados de las distancias de los lugares adichocentro.

LaprimerapartedelaProposiciónesevidenteporelfenómenoprimeroyporlaProposición segunda o tercera del Libro primero; y la otra parte por el fenómenoprimeroyelCorolariosextodelaProposicióncuartadelmismolibro.

Lomismoseentiende respectoa losplanetasqueacompañanaSaturno,por elfenómenosegundo.


Las fuerzas por las cuales los planetas primarios son continuamente desviados demovimientos rectilíneos y retenidos en sus órbitas se dirigen hacia el Sol y soninversamentecomoloscuadradosdelasdistanciasalcentrodelmismo.

La primera parte de la Proposición es evidente por el fenómeno quinto y laProposición segunda del Libro primero: la otra parte por el fenómeno cuarto y elCorolario sexto de la Proposición cuarta del mismo Libro. Pero esta parte de laProposición sedemuestracon lamayorprecisiónpor la inmovilidadde losafelios.Puesunamínimaaberracióndelarazóndelcuadradodeberíahacer(porelCorolario1 de la Proposición XLV del Libro I) que el movimiento de los ápsides fueseperceptibleencadarevolución,ymuygrandeenmuchasrevoluciones.

PROPOSICIÓNIII.TEOREMAIII

LafuerzaconlacuallaLunaesretenidaensuórbitasedirigehacialaTierrayes


inversamentecomoelcuadradodeladistanciadeloslugaresalcentrodelaTierra.

La primera parte de la afirmación es evidente por el fenómeno sexto y laProposición segunda o tercera del Libro primero: y la segunda parte por la granlentitud del apogeo lunar. Pues estemovimiento, que es en cada revolución de tansólo tres grados y tresminutos hacia adelante, puede despreciarse. Pues está claro(porelCorolario1delaProposiciónXLXdelLibroI)quesiladistanciadelaLunaalcentrodelaTierraesalsemidiámetrodelaTierracomoDa1,lafuerzadelaquetalmovimiento se originaría será inversamente proporcional a D24⁄243, es decir,inversamente como aquellamisma potencia de D cuyo índice es D24⁄243, o sea, enrazóninversadeunpocomásqueelcuadradodeladistancia,peroquees59¾máspróximaalarazóncuadradaquealacúbica.YpuestoqueseoriginadelaaccióndelSol(comosedirámástarde)puede,porello,serignoradaahora.LaaccióndelSol,en tanto que separa a la Luna de la Tierra, es muy aproximadamente como ladistanciadelaLunaalaTierra;yporlomismo(porloexpuestoenelCorolario2delaProposiciónXLV delLibro I) es a la fuerza centrípeta de laLuna casi como2 a357,45,ocomo1a17829⁄40.YdespreciandoestaminúsculafuerzadelSol,lafuerzarestantecon lacual laLunaesretenidaenórbitaserá inversamentecomoD2.Cosaquequedarámásclaraalcompararestafuerzaconladelagravedad,comosehaceenlaProposiciónsiguiente.

COROLARIO.SilafuerzacentrípetamediaporlaquelaLunaesretenidaenórbitaaumentaseprimeroenlarazónde17729⁄40a17829⁄40ydespuéstambiénenlarazóndelcuadradodel semidiámetrode laTierraa ladistanciamediaentre loscentrosde laTierraylaLuna,setendrálafuerzacentrípetalunarsobrelasuperficiedelaTierra,supuesto que dicha fuerza descendiendo hacia la superficie de la Tierra aumentecontinuamenteenrazóninversaalcuadradodelaaltura.

PROPOSICIÓNIV.TEOREMAIV[3]

LaLunagravitahacialaTierrayescontinuamentedesviadadelmovimientorectilíneoyretenidaensuórbitaporlafuerzadelagravedad.

LadistanciamediadelaLunaalaTierraesenlassicigiassegúnPtolomeoylosmásdelosastrónomosde59semidiámetrosterrestres,segúnVendelinyHuygens60,segúnCopérnico60⅓,segúnStreet60⅖,ysegúnTycho56½.PeroTycho,ycuantossiguensustablasderefracciones,alestablecerlasrefraccionesdelSolydelaLuna(totalmentecontralanaturalezadelaluz)mayoresquelasdelasestrellasfijas,yestoenunoscuatroocincominutos,aumentaronenotrostantoslaparalajedelaLuna,esdecir,casien laduodécimaodecimoquintapartede laparalaje total.Corríjaseesteerrory resultaráunadistanciadeunos60½semidiámetros terrestres,casi lamisma


asignadapor losotros.Supongamosque ladistanciamediaen las sicigiasesde60semidiámetros;yelperíodolunarcompletorespectoalasestrellasfijasesde27días,7horas,43minutos,comoestablecenlosastrónomos,ytambiénquelacircunferenciade la Tierra es de 123249600 pies parisinos, como han establecido losmedidoresfranceses: y si se imagina que la Luna es desposeída de todo movimiento yabandonadaa símisma,demodoque,bajo la acciónde todaaquella fuerzapor lacual(porelCorolariodelaProposiciónIII)esretenidaensuórbita,desciendehacialaTierra, describirá al caer en el tiempo de un minuto un espacio de 151⁄12 piesparisinos.Esto se infieredel cálculo realizadoapartirde laProposiciónXXXVI delLibro I o (lo que es lomismo) del Corolario noveno de la Proposición cuarta delmismolibro.PueselsenoversodelarcoquelaLunaconsumovimientomedioaladistanciadesesentasemidiámetrosterrestresdescribiríaeneltiempodeunminutoesaproximadamentede151⁄12piesparisinos,omásexactamentede15pies,1pulgada,y14⁄9líneas.Porlocual,todavezquedichafuerzaaumentaalacercarsealaTierraenrazóninversadelcuadradodeladistancia,yporlomismoenlasuperficieterrestreserá60x60vecesmayorqueenlaLuna,dichocuerpocayendoconlamencionadafuerza en nuestras inmediaciones deberá describir en el tiempo de un minuto unespacio de 60 x 60 x 151⁄12, y en un tiempo de un segundo 151⁄12 pies, o másexactamente,15pies,1pulgada14⁄9líneas.Yconesafuerzadesciendendehecholosgraves en la Tierra. Pues la longitud de un péndulo oscilante al ritmo de unaoscilaciónpor segundoen la latituddeParís esde trespiesparisinos y8½ líneas,comoobservóHuygens.Ylaalturaquerecorreungravecayendoeneltiempodeunsegundoesalamitaddelalongituddelpéndulomencionadocomoelcuadradodelarazóndelacircunferenciadelcírculoasudiámetro(comotambiénindicóHuygens)y,portanto,de15piesparisinos,1pulgaday17⁄9líneas.Y,porlotanto,lafuerzaconla cual laLunaes retenidaen suórbita, si descendierahasta la superficie terrestre,resultaigualalafuerzadelagravedadentrenosotros,yporlomismo(porlasReglasIy II)esesamisma fuerza, a lacual solemos llamargravedad.Pues si lagravedadfuera distinta de ella, los cuerpos descenderían en dirección a la Tierra con doblevelocidad bajo la acción de ambas fuerzas juntas, y en el tiempo de un segundorecorreríanalcaerunespaciode30⅙piesparisinos,contratodalaexperiencia.

SebasaestecálculoenlahipótesisdequelaTierraestáenreposo.PorquesilaTierraylaLunasemuevenentornoalSolymientrastantoademásgiranentornoasucentrocomúndegravedad,manteniéndoselaleydelagravedad,ladistanciaentrelos centros de la Luna y la Tierra será de aproximadamente 60½ semidiámetrosterrestres,comohallaráquienhagaelcálculo.ElcálculosepuedehacermediantelaProposiciónLXdelLibroI.

ESCOLIO


La demostración de la Proposición puede explicarse más ampliamente comosigue.SigirasenmuchaslunasentornoalaTierraaligualqueocurreconelsistemade Saturno o de Júpiter, sus tiempos periódicos (por un argumento de inducción)observarían la ley de los planetas hallada por Kepler, y por lomismo sus fuerzascentrípetasseríaninversamentecomoloscuadradosdelasdistanciasalcentrodelaTierra,segúnlaProp.IdeesteLibro.Ysilamásbajadetodasesaslunasfuesemuypequeña,ycasillegaseatocarlascimasdelosmontesmásaltos,lafuerzacentrípetaencuyavirtudsemantieneensuórbitavendríaasercasiigualalagravedaddeloscuerpos en las cimas de dichosmontes (por el cálculo precedente) y haría que esapequeñaluna,siperdieratodoelmovimientoconelquesedesplazaensuórbita,alfaltarlelafuerzacentrífugaconlaquehabíapermanecidoensuórbita,caeríahacialaTierrayestoconlavelocidadconlaquecaenlosgravesenesascrestasmontañosas,dadalaigualdaddefuerzasconquedescienden.Ysilafuerzaconlaquedesciendedichapequeñalunamásbajafuesedistintadelagravedad,ydichalunafueragravetambiénhacia laTierra como los cuerpos en lo alto de losmontes, dicha luna conambas fuerzas juntas descendería doblementemás veloz. Por lo cual, como ambasfuerzas, éstasde loscuerposgravesyaquéllasde las lunas, tiendanal centrode laTierrayseansemejantesentreellaseiguales,lastalesfuerzas(porlasReglasIy II)tendránlamismacausa.Yporconsiguiente,lafuerzaporlaquelaLunaesretenidaensuórbitaseráaquellamismaalacualsolemosllamargravedad:sobretodoporquesino,lapequeñalunaenlacimadelamontañaocareceríadegravedadocaeríadosvecesmásrápidaqueloquesuelenhacerloscuerposgraves.

PROPOSICIÓNV.TEOREMAV

Los planetas circunjoviales gravitan hacia Júpiter, los circunsaturnales haciaSaturno, y los circunsolares hacia el Sol, y por la fuerza de su gravedad soncontinuamente desviados de movimientos rectilíneos y retenidos en órbitascurvilíneas.

Pues las revoluciones de los planetas circunjoviales en torno a Júpiter, de loscircunsaturnales en torno a Saturno, y de Mercurio, Venus y el resto de loscircunsolaresentornoalSolsonfenómenosdelmismogéneroquelarevolucióndelaLunaentornoalaTierra;yporello(porlaReglaII)dependendecausasdelmismogénero:sobretodosisehademostradoquelasfuerzas,delascualesdependendichasrevoluciones,sedirigenhacialoscentrosdeJúpiter,SaturnoyelSol,yalapartarsede Júpiter, Saturnoy elSol decrecen con lamisma leyyproporción con la que lafuerzadelagravedaddecrecealalejarsedelaTierra.

COROLARIO1.Luegolagravedadsedaentodoslosplanetas.PuesnadiedudadequeVenus,MercurioylosdemásplanetasseancuerposdelmismogéneroqueJúpiter


ySaturno.YpuestoqueporlaTerceraLeydelmovimientotodaatracciónesmutua,Júpitergravitaráhaciatodossussatélites,Saturnohacialossuyos,laTierrahacialaLuna,yelSolhaciatodoslosplanetasprimarios.

COROLARIO 2. La gravedad que se dirige hacia cada planeta es inversamenteproporcionalalcuadradodelasdistanciasdeloslugaresalcentrodelplaneta.

COROLARIO3.Todoslosplanetasgravitanentresí,porlosCorolarios1y2.Ydeaquí que Júpiter y Saturno en la proximidad de su conjunción, atrayéndosemutuamente, perturben sus movimientos sensiblemente, el Sol perturbe losmovimientos lunares,elSoly laLunaperturbennuestrosmares,comoseexplicarámásadelante.

ESCOLIO

Hemos llamadohastaaquícentrípetaa la fuerzapor laque loscuerposcelestesson retenidos en sus órbitas. Ahora ya consta que es la gravedad, y por ello lallamaremosenlosucesivogravedad.Pueslacausadeaquellafuerzacentrípetaporlaque la Luna es retenida en órbita debe ser extendida a todos los planetas por lasReglasI,IIyIV.

PROPOSICIÓNVI.TEOREMAVI[4]

Todosloscuerposgravitanhaciacadaplanetaysuspesoshaciaunmismoplaneta,aiguales distancias del centro del planeta, son proporcionales a la cantidad demateriaexistenteencadauno.

HaceyatiempoqueotrosobservaronqueeldescensodetodoslosgraveshacialaTierra (al menos si se elimina la retardación desigual que se debe a la mínimaresistenciadelaire)ocurreen tiempos iguales;ysepuede registraresa igualdaddelostiemposdelamaneramásexactamediantelospéndulos.Hetratadodeexaminarestoconoro,plata,plomo,vidrio,arena,salcomún,madera,agua,trigo.Meservíadedos vasijas de madera, redondas e iguales. Llenaba una de madera y colgaba elmismopesodeoro(tanexactocomopodía)enelcentrodeoscilacióndelotro.Lasvasijas colgandodehilos iguales deoncepies constituíanpéndulos completamenteigualesencuantoalpeso, la figuray la resistenciadelaire: situados juntos, ibanyveníanalavezconoscilacionesigualesdurantelargotiempo.Portanto,lacantidaddemateriaeneloroera(porlosCorolarios1y6delaProposiciónXXIVdelLibroII)alacantidaddemateriaenlamaderacomolaaccióndelafuerzamotrizsobretodoeloroalaaccióndelafuerzamotrizsobretodalamadera;esdecir,comounpesoaotropeso.Ylomismoenlosdemás.Encuerposdelmismopesoladiferenciademateria


podíadetectarseconestosexperimentosaunquefuesedeunamilésimadelamateriatotal.YporotrapartenohaydudadequelanaturalezadelagravedadeslamismaenlosplanetasqueenlaTierra.Imagínese,pues,queestoscuerposterrestresseelevasenhasta la órbita de la Luna y se los dejase caer junto con la Luna privada de todomovimiento,demodoquecaiganalavezhacialaTierra;y,porloyaexpuestoantes,esciertoqueentiemposigualesdescribiránespaciosigualesjuntoconlaLunayporlomismoquesonrespectoalacantidaddemateriaenlaLunacomosuspesosalpesodelamisma.Además,todavezquelossatélitesdeJúpitergiranentiemposquesoncomo la potencia 3⁄2 de las distancias al centro de Júpiter, por lomismo, a igualesdistancias de Júpiter sus gravedades aceleratrices resultarán iguales. Por tanto,cayendodealturasigualesentiemposigualesdescribiránespaciosiguales;lomismoque ocurre con los graves en nuestra Tierra. Y por la misma razón los planetascircunsolares,lanzadosdesdeigualesdistanciasdelSol,ensudescensohaciaelSoldescribiránespacios igualesen tiempos iguales.Encambio, las fuerzaspor lasquecuerpos desiguales son acelerados igualmente, son como los cuerpos, es decir, lospesossoncomolascantidadesdemateriaenlosplanetas.Además,quelospesosdeJúpiter y de sus satélites hacia el Sol son proporcionales a la cantidad demateriaexistenteenellosesevidenteporelmovimientosumamenteregulardelossatélites,porelCorolario3de laProposiciónLXV delLibro I. Pues si algunode ellos fueraatraídohaciaelSolengradomayorqueeldebidoasucantidaddemateriadeloquelosonlosotros,elmovimientodelossatélites(porelCorolario2delaProposiciónLXVdelLibroI)resultaríaperturbadoporladesigualdaddelaatracción.Si,aigualesdistanciasdelSol,unsatéliteresultasemásgravehaciaelSolenrazóndesucantidaddemateriaqueJúpiterenrazóndelasuyaenunarazóncualquieradada,talcomodaeporejemplo,ladistanciaentreelcentrodelSolyelcentrodelaórbitadelsatélitesiempre seríamayor que la distancia entre el centro del Sol y el centro de Júpiteraproximadamentecomolaraízcuadradadeesarazóncomohalléconuncálculoquehice.YsielsatélitefuesemenosgravehaciaelSolenlaproporcióndichadedae,ladistanciadel centrode la órbita del satélite alSol seríamenorque la distanciadelcentro de Júpiter al Sol en razón de dicha raíz cuadrada. Por tanto, si a igualesdistanciasdelSol,lagravedadaceleratrizdeunsatélitecualquierahaciaelSolfuesemayor omenor que la gravedad aceleratriz de Júpiter hacia el Sol tan sólo en unamilésimaparte de la gravedad total, la distancia del centro de la órbita del satélitehastaelSolseríamayoromenorqueladistanciadeJúpiterhastaelSolen1/2000dela distancia total, es decir, una quinta parte de la distancia del satélite exterior alcentrodeJúpiter:excentricidaddelaórbitaqueseríabiensensible.PerolasórbitasdelossatélitessonconcéntricasaJúpiter,yporlomismolasgravedadesaceleratricesdeJúpiterydelossatéliteshaciaelSolsonigualesentreellas.YporlamismarazónlospesoshaciaelSoldeSaturnoysuscompañeros,aigualesdistanciasdelSol,soncomolascantidadesdemateriaquehayenellos;ylospesoshaciaelSoldelaLunaylaTierraobiensonnulososonmuyexactamenteproporcionalesasusmasas.Pero


algunoeselpeso,porlosCorolarios1y3delaProposiciónV.Ytambiénlospesosdecadaunadelaspartesdeunplanetacualquierahaciaotro

sonentresícomolamateriaquehayencadaparte.Porque,siunaspartesgravitasenmásyotrasmenosqueenrazóndesucantidaddemateria,elplanetaentero,segúnelgénero de partes en que abunde más, gravitará más o menos que en razón de sucantidaddemateriatotal.Ynoimportasidichaspartessoninternasoexternas.Puessi, por ejemplo, los cuerpos terrestres que están a nuestro alrededor los elevamosimaginariamentehastalaórbitadelaLunaysecomparanconelcuerpodelamisma,sisuspesosfuesenalospesosdelaspartesexternasdelaLunacomolascantidadesdemateriaenunosyotra,perorespectoalospesosdelaspartesinterioresenrazónmayor o menor, tales cuerpos estarían respecto al peso total de la Luna en unaproporciónmayoromenor:contralomostradomásarriba.

COROLARIO1.Deaquíquelospesosdeloscuerposnodependandesusformasytexturas.Puessipudieranvariarconlasformas,seríanmayoresomenoressegúnlavariedaddelasformas,aigualdaddemateria,encontratotalmentedelaexperiencia.

COROLARIO2.TodosloscuerposqueestánalrededordelaTierrasongraveshaciaella;y lospesosde todos losquedistan igualdel centrode laTierra soncomo lascantidadesdemateriaencadaunodeellos.Estaesunacualidaddetodosaquellosenlos que es posible hacer experimentos, y en consecuencia, por la Regla III, ha deafirmarse de todos. Si el éter u otro cuerpo cualquiera estuviese desprovisto porcompleto de gravedad o gravitasemenos que en razón de su cantidad demateria:puestoqueéste(enopinióndeAristóteles,Descartesyotros)nosediferenciadelosdemás cuerpos sino sólo en la forma de lamateria, tal cuerpo podríamediante elcambio gradual de forma transformarse en un cuerpo de la misma condición queaquellosquegravitan lomásposiblesegúnsucantidaddemateria,yviceversa, loscuerpos sumamente graves, adquiriendo gradualmente la forma de aquél, podríanperder su gravedad gradualmente. Y de esta suerte los pesos dependerían de lasformasdeloscuerposypodríanvariarconlasformas,contraloquesehaprobadoenelCorolarioanterior.

COROLARIO 3.Todos los espacios no están igualmente llenos. Pues si todos losespaciosestuviesenigualmentellenos,lagravedadespecíficadelfluidoconelcualsellena la región del aire, por la gran densidad de su materia, en nada cedería a lagravedadespecíficadelmercurio,deloroodeotrocuerpocualquieramuydenso;ypor ello ni el oro, ni otro cuerpo cualquiera podría descender en el aire. Pues loscuerposenlosfluidos,salvoqueseanespecíficamentemásgraves,nodesciendenenabsoluto. Pero si la cantidad de materia en un espacio dado puede disminuir poralgunararefaccióncualquiera¿porquénopodríadisminuirinfinitamente?

COROLARIO4.Sitodaslaspartículassólidasdetodosloscuerpossondelamismadensidad, y sin poros no son susceptibles de rarefacción, se da de hecho el vacío.Digoquesonde lamismadensidadaquellascuyas fuerzas inerciales soncomo lasmagnitudes.


COROLARIO 5. La fuerza de la gravedad es de distinta naturaleza que la fuerzamagnética.Pueslaatracciónmagnéticanoescomolamateriaatraída.Unoscuerpossonmásatraídos,otrosmenos,muchosnoloson.Ylafuerzamagnéticaenunoyelmismocuerpopuedeaumentarydisminuiryesbastantemayoravecesrespectoalacantidaddemateriaque la fuerzade lagravedad,yalalejarsedel imándecreceenuna razón de la distancia no cuadrada sino casi cúbica, en cuanto he podidocomprobarconalgunosexperimentosuntantorudimentarios.

PROPOSICIÓNVII.TEOREMAVII[5]

Lagravedadocurreentodosloscuerposyesproporcionalalacantidaddemateriaexistenteencadauno.

Hemos probado ya que todos los planetas gravitan entre sí, y también que lagravedad hacia cada uno de ellos considerado individualmente es inversamenteproporcionalalcuadradodeladistanciadesdecadalugaralcentrodelplaneta.Delocualsesigueque(porlaProposiciónLXIXdelLibro IysusCorolarios)lagravedadhaciatodosesproporcionalalamateriaexistenteenellos.

Por lo demás, dado que todas las partes de un planeta A gravitan hacia otroplanetaB,y lagravedaddeunapartecualquieraesa lagravedaddel todocomolamateriadelapartealamateriadeltodo,yparatodaacciónhayaigualreacción(porla tercera Ley delmovimiento), el planetaB gravitará a la inversa hacia todas laspartesdelplanetaA,ysugravedadhaciacadaparteseráasugravedadhaciaeltodocomolamateriadelapartealamateriadeltodo.Q.E.D.

COROLARIO 1. Por consiguiente, la gravedad hacia todo el planeta surge y secompone de la gravedad hacia cada parte. De lo cual tenemos ejemplos en lasatraccionesmagnéticasyeléctricas.Pueslaatracciónenterahaciaeltodosurgedelasatracciones hacia cada parte. Para la gravedad esto se entenderá imaginando quemuchosplanetasmenores se reúnen enungloboy constituyenunomayor.Pues lafuerzadeltododeberáoriginarsedelasfuerzasdelaspartescomponentes.Sialguienobjetaquetodosloscuerposquenosrodeandeberíangravitarentresísegúnestaley,mientrasquenopercibimosenabsolutounagravedaddeesteestilo,deboresponderquelagravedadenestoscuerposalserrespectoalagravedaddetodalaTierracomoson estos cuerpos al cuerpo de la Tierra entera, es bastante menor que la que esobservable.

COROLARIO 2. La gravitación hacia cada partícula igual de un cuerpo esinversamenteproporcionalalcuadradodeladistanciadeloslugaresalaspartículas.EsevidenteporelCorolario3delaProposiciónLXXIVdelLibroI.


PROPOSICIÓNVIII.TEOREMAVIII[6]

Silamateriadedosglobosquegravitanentresíeshomogéneaentodosloslugaresqueequidistandeloscentrosportodosloslados,elpesodecadaunodeelloshaciaelotroseráinversamentecomoelcuadradodeladistanciaentreloscentros.

Despuésdequehubehalladoquelagravedadhaciaelplanetaenterosurgeysecomponedelasgravedadeshacialaspartes,yqueeshaciacadaparteinversamenteproporcional a los cuadrados de las distancias a las partes, dudaba de si la dichaproporción inversa del cuadrado se cumpliría exactamente en la fuerza enteracompuestademuchasfuerzasosisólodemodoaproximado.Puespodríaocurrirquelaproporción,queenlasdistanciasmásgrandessecumplíaconbastanteexactitud,enlas inmediacionesde lasuperficiedelplaneta,debidoa lasdistanciasdesigualesdelaspartículasyalasdesemejanzasdeloslugares,variasenotablemente.Masalfin,porlasProposicionesLXXVyLXXVIdelLibroIysusCorolarios,comprendílaverdaddelaProposicióndequeaquísetrata.

COROLARIO1.Deaquísepuedenhallarycompararentresílospesosdeloscuerposenlosdistintosplanetas.Pueslospesosdecuerposigualesquegiranencírculosentorno a los planetas son (por el Corolario 2 de la Proposición IV del Libro I)directamentecomolosdiámetrosdeloscírculoseinversamentecomoloscuadradosdelostiemposperiódicos,ylospesossobrelassuperficiesdelosplanetasoaotrasdistanciascualesquieradelcentrosonmayoresomenores(porestaProposición)enrazón inversadelcuadradode lasdistancias.Deestemodo,apartirde los tiemposperiódicosdeVenusentornoalSolde224díasy16¾horas,delsatéliteexteriordeJúpiteralrededordeJúpiterde16díasy168⁄15horas,delsatélitedeHuygensentornoaSaturnode15díasy222⁄3horasydelaLunaentornoalaTierrade27días7horasy 43 minutos, comparados con la distancia media de Venus al Sol y con laselongacionesheliocéntricasmáximasdelsatéliteexteriordeJúpiterrespectoalcentrodeéstede8′,16″,delsatéliteHuygensdelcentrodeSaturnode3′,4″,ydelaLunadelcentrodelaTierrade10′,33″,haciendouncálculohalléquelospesosdecuerposigualesa igualesdistanciasdelcentrodelSol,deJúpiter,deSaturnoyde laTierra

eranhacia elSol, hacia Júpiter, haciaSaturnoy laTierra como1,1

1067,

13021

y

1169282

, respectivamente, y aumentando o disminuyendo las distancias, los pesos

aumentabanodisminuíanenrazóndelcuadrado:lospesosdecuerposigualeshaciaelSol,Júpiter,SaturnoylaTierraalasdistanciasde10000,997,791,y109desuscentros, y por ende en sus superficies, serán como 10 000, 943,529, y 435respectivamente. Cuánto pesan los cuerpos en la superficie de la Luna se verá


después.

COROLARIO 2. También se sigue la cantidad de materia en cada planeta. Pues lascantidadesdemateriaenlosplanetassoncomosusfuerzasaigualesdistanciasdesus

centros, esto es, en el Sol, Júpiter, Saturno y la Tierra como 1,1

1067,

13021

y

1169282

,respectivamente.Silaparalajesolarseestablecieramayoromenorque10″

30‴, la cantidad demateria en laTierra deberá aumentarse o disminuirse en razóncúbica.

COROLARIO3.Tambiénaparecenasílasdensidadesdelosplanetas.Pueslospesosdecuerposigualesyhomogéneoshaciaesferashomogéneassonenlassuperficiesdeéstascomolosdiámetrosdelasmismas,porlaProposiciónLXXIIdelLibroI,yporlomismolasdensidadesdeesferasheterogéneassoncomoaquellospesosdivididosporlosdiámetrosdelasesferas.LosdiámetrosverdaderosdelSol,deJúpiter,deSaturnoyde laTierra eran entre si como10000, 997, 791, y 109, y los pesos hacia elloscomo10000,943,529,y435respectivamente,yportantolasdensidadessoncomo100,94½,67y400.LadensidaddelaTierraresultantedeestecálculonodependedelaparalajesolar,sinoqueseobtienedelaparalajelunar,conlocualaquíseestablececon exactitud. Por consiguiente el Sol es algo más denso que Júpiter y éste queSaturno,mientraslaTierraescuatrovecesmásdensaqueelSol.Yaqueéste,porsuenormecalor,seenrarece.LaLunaencambio,esmásdensaquelaTierra,comosemostrarámástarde.

COROLARIO4.Son,por tanto,másdensos losplanetasquesonmáspequeños,aigualdaddecondicionesrestantes.Deestemodo la fuerzade lagravedadseacercamásalaigualdadensussuperficies.Pero,aigualdaddecondiciones,sonmásdensoslosplanetasmáspróximosalSol;JúpitermásqueSaturnoylaTierramásqueJúpiter.Efectivamente,habíaquesituaradistintasdistanciasdelSolalosplanetasparaquecada uno según su densidad disfrutase de unmayor omenor grado de calor solar.Nuestraagua,silaTierraestuviesesituadaenlaórbitadeSaturnosesolidificaríayenla órbita de Mercurio se evaporaría al instante. Pues la luz del Sol, a la cual esproporcionalelcalor,essietevecesmásdensaenlaórbitadeMercurioqueaquíentrenosotros:yconeltermómetrohehalladoqueconsieteveceselcalorestivaldelSolalaguahierve.YnohaydudadequelamateriadeMercurioestáacomodadaalcalor,ypor lomismo, seamásdensaque lanuestra, todavezque lamateriamásdensa,exijamayorcalorpararealizarlasoperacionesnaturales.

PROPOSICIÓNIX.TEOREMAIX


Lagravedad,apartirdelasuperficiedelosplanetashaciaabajo,decreceenrazónmuyaproximadadeladistanciaalcentro.

Silamateriadelplanetaesuniformeencuantoaladensidad,estaProposiciónsecumpleexactamente,porlaProposiciónLXXIIIdelLibroI.Porlotantonohabrámáserrorqueelquesesigadeladesigualdaddeladensidad.

PROPOSICIÓNX.TEOREMAX

Elmovimientodelosplanetasenloscielospuedeconservarsedurantemuchotiempo.

SehamostradoenelEscoliode laProposiciónXLdelLibro IIqueunglobodeagua congelada, moviéndose libremente en nuestra atmósfera y describiendo lalongitud de su semidiámetro, perdería por la resistencia del aire 1⁄4586 parte de sumovimiento. Pero la misma proporción resulta para cualquier globo muyaproximadamente de cualquier tamañoy a cualquier velocidad.Ahora bien, que elglobodenuestraTierraesmásdensoquesifueradeagualoinfierocomosigue.Siesteglobofueratododeagua,lascosastodasquefuesenmenosdensasqueelagua,por sumenor gravedad específica, emergerían y flotarían. Por esa razón, un globoterroso cubierto de agua por todas partes, si fuese de mayor rareza que el agua,emergería por un lado, y toda el agua discurriendodesde allí se concentraría en laregiónopuesta.E igualeselcasodenuestraTierra rodeadademarespor lamayorparte.Siellanofueremásdensa,emergeríadelosmaresyconunapartedelamismadeacuerdoconsugradodelevedadsobresaldríadelagua,concentrándosetodoslosmareshacialaregiónopuesta.Porlamismarazónlasmanchassolaressonmáslevesquelamaterialuminosasolaralaquesesobreponen.Yalformarsecualquieradelosplanetas, cuando lamasa era fluida, todamateriamás grave tendía desde lamasalíquidahaciaelcentro.Por locual,alser laTierracomúnperiféricacasidosvecesmásgravequeelagua,yunpocomásabajoenlasminastres,cuatroyhastacincovecesmásdensa,esprobablequetodalamateriadelaTierrajuntaseacincooseisvecesmáspesadaquesifueradeagua;sobretodoporque,comosehamostrado,laTierraescasicuatrovecesmásdensaqueJúpiter.PorellosiJúpiterfueraalgomásdensoqueelagua,enel tiempodetreintadíasenelquerecorrelalongitudde459semidiámetros suyos,perderíaenunmediode ladensidaddenuestroairecasiunadécimapartedesumovimiento.Perocomolaresistenciadelosmediosdisminuyeenrazóndelpesoydeladensidad,comoenelcasodelaguaquealser13⅗máslevequeelmercurioesmenosresistenteenesaproporción;yelairequees860vecesmásleve que el agua es también menos resistente en esa misma proporción, y si seconsidera en los cielos donde el peso delmedio en el que semueven los planetas


disminuyeenormemente, la resistenciacasivendráadesaparecer.Hemosmostrado,enefecto,enelEscoliodelaProposiciónXXIIdelLibroII,quesiascendemoshastaunaalturadedoscientasmillassobrelaTierraelaireseríaallímásraroquesobrelasuperficieterrestreenunaproporciónde30a0,0000000000003998ytambiéncomo75000000000000a1aproximadamente.Porconsiguiente,elplanetaJúpitergirandoenunmediodeladensidaddeeseairemásaltoeneltiempode1000000deañosnoperderíadesumovimientoporlaresistenciadelmedioniunamillonésimaparte.EnlosespaciospróximosalaTierranadahayqueproduzcaresistenciasalvolosvaporesyexhalacionesdelaire.Siéstossonextraídoscontodocuidadodeunvasodecristalcilíndricocerrado,losgravescaendentrodelvasocontodalibertadysinresistenciasensiblealguna;elmismooroyunaplumamuylevesoltadosalavezcaenconigualvelocidad,ydescribiendoensucaídaunaalturadecuatro,seisuochopiestocanelsueloalavez,comosehavistoexperimentalmente.Yportanto,sinostrasladamosaloscielos,vacíosdeaireydeexhalaciones,losplanetasyloscometassinresistenciasensiblealgunasemoveránporesosespaciosdurantelarguísimotiempo.

HIPÓTESISI

Elcentrodelsistemadelmundoestáenreposo.

Esto lo conceden todos, si bienunos sostienenque laTierrayotrosque elSolreposanenelcentrodelsistema.Veamosquésesiguedeaquí.

PROPOSICIÓNXI.TEOREMAXI

ElcentrocomúndegravedaddelaTierra,elSolytodoslosplanetasestáenreposo.

Pues(porelCorolarioIVdelasLeyes)dichocentrooestáenreposoosedesplazauniformementeenlínearecta.Perositalcentrosedesplazacontinuamente,elcentrodelmundotambiénsemoverá,contralaHipótesis.

PROPOSICIÓNXII.TEOREMAXII

ElSolesagitadoporunmovimientopermanente,perojamássealejamuchodelcentrocomúndegravedaddetodoslosplanetas.

Puestodavezque(porelCorolario2delaProposiciónVIII)lamateriaenelSoles a la materia en Júpiter como 1067 a 1, y la distancia de Júpiter al Sol es al


semidiámetro solar en razón ligeramente mayor, el centro común de gravedad deamboscaeenunpuntomuypocodistantefueradelasuperficiedelSol.Porlamismarazón,puestoquelamateriadelSolesaladeSaturnocomo3021a1,yladistanciade Saturno al Sol es ligeramente menor respecto al semidiámetro solar, el puntocomúndegravedaddeamboscaeráenunpuntoligeramenteinterioralasuperficiesolar.Yrepitiendoloselementosdeestecálculo,silosplanetastodosylaTierrasesituaran a un lado del Sol, el centro común de gravedad de todos ellos apenas sealejaría del centro del Sol el valor de un diámetro solar. En los demás casos ladistancia entre esos centros siempre seríamenor.Por consiguiente, dadoquedichocentro de gravedad siempre está en reposo, el Sol a tenor de las diferentesubicaciones de los planetas, se moverá hacia todas partes, pero jamás se apartarámuchodedichocentro.

COROLARIO.De aquí que el centro comúndegravedadde laTierra, elSol y elrestodelosplanetas,hayadeserconsideradocomoelcentrodelmundo.PuestoquelaTierra,elSolytodoslosdemásplanetasgravitanmutuamenteentresíy,portanto,se mueven siempre según las leyes del movimiento en razón de sus fuerzas degravedad, es evidente que sus centros móviles no se pueden tomar por el centroinmóvildelmundo.Sihubieraquesituarendichocentroalcuerpohaciaelquetodoslosotrosgravitanengradomáximo(cualeslaopinióncorriente)talprivilegiohabríaque concedérselo al Sol.Mas como el Sol se mueve, hay que elegir un punto enreposo,respectoalcualelcentrodelSolseseparamuypoco,ydelcualsealejaríaaúnmenossielSolfueramásdensoymásgrandedesuertequesemovieramenos.

PROPOSICIÓNXIII.TEOREMAXIII

LosplanetassemuevenenelipsesquetienenunfocoenelcentrodelSol,yconradiostrazadosadichocentrodescribenáreasproporcionalesalostiempos.

Yahemosconsideradoestosmovimientosmásarribapartiendodelosfenómenos.Ahoraqueseconocenlosprincipiosdelmovimiento,deellosdeducimos«apriori»los movimientos celestes. Puesto que los pesos de los planetas hacia el Sol soninversamente como los cuadrados de las distancias al centro del Sol, si el Solreposaseylosdemásplanetasnoactuasenmutuamenteentreellos,susórbitasseríanelípticas,teniendoalSolenelfococomún,ydescribiríanáreasproporcionalesalostiempos(porlasProposicionesIyXIyelCorolario1delaProposiciónXIIIdelLibroI),pero lasaccionesde losplanetasentreellos sonmínimas (de suertequepuedendespreciarse)yperturbanmenoslosmovimientosenelipsesdelosplanetasentornoalSol(porlaProposiciónLXVIdelLibroI)quesitalesmovimientosserealizasenentornoaunSolenreposo.


No se puede despreciar enteramente la acción de Júpiter sobre Saturno. Pues lagravedadhaciaJúpiteresalagravedadhaciaelSol(aigualesdistancias)como1a1067;porello,enlaconjuncióndeJúpiterySaturno,alserladistanciadeSaturnoaJúpiter respecto a la distancia de Saturno al Sol casi como 4 a 9, la gravedad deSaturnohaciaJúpiterseráalagravedaddeSaturnohaciaelSolcomo81a16x1067,ocomo1a211aproximadamente.Yaestosedebe laperturbaciónde laórbitadeSaturnoencadaconjuncióndeesteplanetaconJúpiter, lo suficientemente sensiblecomoparaextrañaralosastrónomos.Segúnladiferentesituacióndelplanetaenestasconjunciones su excentricidad aumenta o disminuye y su afelio se adelanta o seretrasanotablemente,yelmovimientomedioseaceleraoseretardaalternativamente.SinembargoelerrortotalensumovimientoentornoalSoldebidoatamañafuerza(ademásdelmovimientomedio)puedecasi evitarse situandoel foco inferiorde suórbitaenelcentrocomúndegravedaddeJúpiteryelSol(por laProposiciónLXVIIdelLibro 1) y por tanto cuando resultamayor no sobrepasa los dosminutos.Y elerrormáximoenelmovimientomedioapenassupera losdosminutosporaño.Porotraparte,enlaconjuncióndeJúpiterySaturnolasgravedadesaceleratricesdelSolhacia Saturno, de Júpiter hacia Saturno y de Júpiter hacia el Sol vienen a ser casi

como16,81,y16x81x3021

25,o sea,156609,por lo cual ladiferenciade las

fuerzasdegravedaddelSolhaciaSaturnoydeJúpiterhaciaSaturnoesalafuerzadegravedaddeJúpiterhaciaelSolcomo65a156609ytambiéncomo1a2409.PeroelpodermáximodeSaturnoparaperturbarelmovimientodeJúpiteresproporcionalaestadiferencia,desuertequelaperturbacióndelaórbitadeJúpiteresmuchomenorque la deSaturno.Lasperturbacionesde las demásórbitas son aúnmáspequeñas,salvo la de la Tierra sensiblemente perturbada por la Luna. El centro común degravedaddelaTierraylaLunadiscurreporunaelipseentornoalSolsituadoenelfocodelamismay,conunradiotrazadoalSol,describeenellaáreasproporcionalesalostiempos,perolaTierragiraconunmovimientomensualentornoadichocentrocomún.

PROPOSICIÓNXIV.TEOREMAXIV

Losafeliosynodosdelasórbitasestánenreposo.

Los afelios están en reposo, por la ProposiciónXI delLibro I, al igual que losplanosde lasórbitas,por laProposición IdelmismoLibro,yal reposar losplanostambiénreposanlosnodos.Noobstante,debidoalasaccionesmutuasdelosplanetasycometasenrevoluciónseoriginanalgunasdesigualdades,pero tan insignificantesqueaquípuedendespreciarse.

( )


COROLARIO1.Tambiénestánenreposolasestrellasfijas,todavezqueconservanlasposicionesdadasrespectoalosafeliosyalosnodos.

COROLARIO2.Ypor tanto,alnopercibirseparalajealgunade lasmismascomoconsecuencia del movimiento anual de la Tierra, sus fuerzas no producen efectoalgunosensibleennuestrosistemaporlaenormedistanciaaquesehallan.Ademásde que las estrellas fijas, esparcidas igualmente por todas las partes del cielo,destruyen sus fuerzasmutuas con atracciones opuestas, por la ProposiciónLXXdelLibroI.

ESCOLIO[7]

PuestoquelosplanetasmáspróximosalSol(esdecir,Mercurio,Venus,TierrayMarte)debidoalapequeñezdesuscuerposinfluyenmuypocounossobreotros,susafeliosynodosestánenreposo,salvoenlamedidaenqueseanperturbadosporlasfuerzasdeJúpiter,Saturnoyloscuerpossuperiores.Ydeaquísesigue,porlateoríadelagravedad,quesusafeliossemuevenunpocohaciaadelanterespectoalasfijasyestoenunaproporcióndelapotencia3⁄2desusdistanciasalSol.DesuertequesielafeliodeMarteencienañosseadelantarespectoalasfijas33′20″,losafeliosdelaTierra,deVenusydeMercurioencienañosseadelantarán17′40″;10′53″y4′16″respectivamente. Estos movimientos, por su insignificancia, se deprecian en estaProposición.

PROPOSICIÓNXV.PROBLEMAI

Hallarlosdiámetrosprincipalesdelasórbitas.

Han de tomarse en razón de la potencia 2⁄3 de los tiempos periódicos, por laProposiciónXVdelLibroI,ydespuéshayqueaumentarcadaunoenrazóndelasumade lasmasasdelSol y cadaplaneta a la primerade las dosmediasproporcionalesentredichasumayelSol,porlaProposiciónLXdelLibroI.

PROPOSICIÓNXVI.PROBLEMAII

Hallarlasexcentricidadesylosafeliosdelasórbitas.

ElproblemaseresuelveporlaProposiciónXVIIIdelLibroI.


PROPOSICIÓNXVII.TEOREMAXV

Losmovimientosdiariosdelosplanetassonuniformesylalibraciónlunarsedebeasumovimientodiario.

EsevidenteporlaLeyIdelmovimientoyporelCorolario22delaProposiciónLXVI delLibro I. Ciertamente Júpiter gira respecto a las estrellas fijas en 9 h. 56′,Marteen24h.39′,Venusencasi23h.,laTierraen23h.56′,elSolen25½díasylaLunaen27d.7h.43′.Estáclaroporlosfenómenosqueestoesasí.Lasmanchasenel cuerpo solar vuelven almismo sitio en el disco tras 27½días aproximadamenterespectoalaTierra;yportanto,respectoalasfijaselSolgiraaproximadamenteen25½días.Ydadoqueeldíalunargirandouniformementesobresuejeesdeunmes,la misma cara de ella mirará siempre hacia el otro foco de su órbita muyaproximadamente,yporconsiguientesedesviaráhaciaacáohaciaalládelaTierrasegúnsehalleelsitiodedichofoco.EstaeslalibraciónlongitudinaldelaLuna;pueslalatitudinalsedebealalatituddelaLunayalainclinacióndesuejehaciaelplanodelaeclíptica.Esta teoríade la libración lunarfueexpuestaporN.Mercatorensuastronomíaeditadaalprincipiode1676condetalleygraciasalascartasqueleenvié.ConunmovimientosemejanteparecequegiraalrededordesuejeelsatéliteexteriordeSaturno,mirandosiemprehaciaéstecon lamismacara.Puesalgiraren tornoaSaturno, cada vez que llega a la parte oriental de su órbita se ve escasamente ymuchasvecesdejadeverse,cosaquepuededeberse,comohahechonotarCassini,aalgunasmanchasenesapartedelcuerpoqueentoncesseorientahacia laTierra.Ytambién el satélite exterior de Júpiter parece girar en torno a su eje con unmovimientosemejante,todavezqueenlapartedelcuerpoopuestaaJúpitertieneunamanchaqueaparececomosiestuvieraenJúpitercadavezquepasaentreJúpiterynuestrosojos.

PROPOSICIÓNXVIII.TEOREMAXVI

Losejesdelosplanetassonmenoresquelosdiámetrostrazadosperpendicularmenteadichosejes.

Los planetas, si se suprime todo movimiento circular diario, deberían adoptarfiguraesféricadebidoalaigualgravedaddelaspartesportodoslados.Graciasaesemovimiento circular ocurre que las partes que se apartan del eje intentan ascenderjuntoalecuador.Porlocual,silamateriafuesefluidaaumentaríaconsuascensolosdiámetros ecuatoriales, mientras haría disminuir el eje con su descenso hacia lospolos. Y así el diámetro de Júpiter (coincidiendo las observaciones de losastrónomos) se vemás corto entre los polos que de oriente a occidente. Y por la


mismarazón,anoserquenuestraTierrafueraalgomásaltaenelecuadorqueenlospolos, los mares se hundirían hacia los polos, y elevándose junto al ecuador loinundaríanallítodo.

PROPOSICIÓNXIX.PROBLEMAIII[8]

Hallarlaproporcióndelejedeunplanetarespectoalosdiámetrosperpendicularesalmismo.

NuestroNorwood,midiendohacia1635ladistanciade905751pieslondinensesentreLondresyYork,yobservandounadiferenciadelatitudde2.º28′dedujoqueelvalor de un grado era de 367 196 pies londinenses, es decir, de 57 300 toesasparisinas.

Picard,midiendounarcodeungradoy22′55″sobreelmeridianoentreAmiensyMalvoisine,hallóqueelgradodearcoequivalíaa57060toesasparisinas.Cassini,padre,midióladistanciasobreelmeridianodesdeCollioure,enelRosellón,hastaelobservatoriodeParís,ysuhijoañadióladistanciadesdeelobservatoriohastalatorredelaciudaddeDunquerque.Ladistanciaenteraresultóserde486156½toesas,yladiferencia de latitudes entreCollioure yDunquerque de 8 grados, 31′ 11⅚″. Porconsiguiente, el arco de un grado resulta ser de 57 061 toesas parisinas. De esasmedidas se sigue que el perímetro de la Tierra viene a ser de 123 249 600 piesparisinosysusemidiámetrode19615800piesparisinos,en lahipótesisdeque laTierraseaesférica.

EnlalatituddeParísungraveeneltiempodeunsegundorecorrealcaer15pies,1pulgaday17⁄9líneas,comosedijoantes,esdecir,21737⁄9líneas.Elpesodelcuerpodisminuyeporelpesodelaireambiente.Ysupongamosqueestadisminuciónesdelorden de 0,0011 del peso total, de suerte que dicho grave, cayendo en el vacío,recorrerá2174líneaseneltiempodeunsegundo.

En cada día sideral de 23 h. 56′ 4″, un cuerpo que gire uniformemente en uncírculo a la distancia de 19 615 800 pies del centro describirá en el tiempo de unsegundo un arco de 1433, 46 pies, cuyo seno verso es de 0,0523656 pies, o de7,54064líneas.Porlotanto,lafuerzaconqueloscuerposdesciendenenlalatituddeParís es a la fuerza centrífuga de los cuerpos en el ecuador debida almovimientodiurnodelaTierracomo2174a7,54064.

LafuerzacentrífugadeloscuerposenelecuadoresalafuerzacentrífugaconqueloscuerpostiendenadespegarsedelaTierraenlalatituddeParísde48grados,50′,10″,comoelcuadradodelradioalsenodelcomplementodelasusodichalatitud,estoes,como7,54064a3,267.Añádaseestafuerzaalafuerzaconlaquecaenlosgravesadicha latituddeParísyelcuerpoenesa latitudcayendocon toda la fuerzade lagravedadeneltiempodeunsegundorecorrerá2177,267líneas,o15piesparisinos,1


pulgada y 5,267 líneas. Y toda la fuerza de la gravedad en dicha latitud será a lafuerzacentrífugadeloscuerposenelecuadordelaTierracomo2177,267a7,54064ocomo289a1.

Porello,siserepresenta la figurade laTierraporAPBQ,ahorayanoesférica,sinoengendradaporlarotacióndeunaelipseentornoalejemenorPQ,yACQqcaesun canal lleno de agua que va desde el polo Qq al centro Cc y después hasta elecuadorAa,elpesodelaguaenelbrazodelcanalACca tendráqueseralpesodelagua en el otro brazo del canal QCcq como 289 a 288, debido a que la fuerzacentrífuga generada por elmovimiento circular soportará una parte de las 289 delpesoylasuprimemientrasqueelpesodelas288partesdelotrobrazosostienealasrestantes.Además,haciendouncálculo(apartirdelCorolario2delaProposiciónXCIdelLibroI)halloquesilaTierraconstasedemateriauniformeyquedasedesprovistadetodomovimiento,ysuejePQfuesealdiámetroABcomo100a101,lagravedaden el puntoQde laTierra sería a la gravedad en elmismopuntoQdeuna esferadescritaconcentroenCyradioPCoQCcomo126a125.Yporlamismarazón,lagravedadenelpuntoAhaciaunesferoidedescritoentornoalejeABporrotacióndelaelipseAPBQeslagravedadenelmismopuntoAdeunaesferadescritaconcentroenCyradioAC,como125a126.PueslagravedadhacialaTierraenelpuntoAeslamedia proporcional entre las gravedades hacia la esfera y hacia el susodichoesferoide;porcuantoquelaesfera,disminuyendoeldiámetroPQenlarazónde101a100,tiendealafiguradelaTierra,aligualqueestafigura,aldisminuirenlamismarazónun tercerdiámetroque fueseperpendicular a losdosanterioresAByPQ, seconvierteenelsusodichoesferoide;ylagravedadenelpuntoA,enunoyotrocaso,disminuye en la misma proporción muy aproximadamente. Por consiguiente, lagravedadenelpuntoAhaciaunaesferadescritaconcentroenCyradioACesalagravedadenelpuntoAhacialaTierracomo126a125½,ylagravedadenelpuntoQhaciaunaesferadescritaconcentroenCyradioQCesalagravedadenelpuntoAhacialaesferadescritaconcentroenCyradioAC,enrazóndelosdiámetros(porlaProposición LXXII del Libro I), es decir, como 100 a 101. Únanse ahora estas tresrazones,126a125,126a125½,y100a101;resultaráquelagravedadenQhacialaTierraesalagravedadenAhacialaTierracomo126x126x100a125x125½x101,ocomo501a500.


Ahora,dadoque(porelCorolario3delaProposiciónXCIdelLibroI)lagravedadencadabrazodeunoyotrocanalACcayQCcqescomoladistanciadecadalugaralcentrode laTierra,sidichosbrazosseseparanmediantesuperficies transversalesyequidistantesenpartesproporcionalesalostodos,lospesosdecadaparteenelbrazoACcaseránalospesosdecadaotraparteenelotrobrazocomolasmagnitudesylasgravedadesaceleratricesconjuntamente;esdecir,como101a100y500a501,osea,como505a501.Yporconsiguiente,silafuerzacentrífugadeunapartecualquieraenelbrazoACcageneradaporelmovimientodiurnofueseasupropiopesocomo4a505,desuertequerestasecuatropartesdelpesototaldecadaunadivididaen505,lospesosenunoyotrobrazopermaneceríanigualesyportantoelfluidopermaneceríaenequilibrio.Sinembargolafuerzacentrífugadecadaunadelaspartesesasupeso

como1a289,esdecir, lafuerzacentrífugaquedeberíaser4505

partesdelpesoes

solamente1289

partedelmismo.Yporlomismodigo,porlareglaáurea,quesi la

fuerzacentrífuga4505

hacequelaalturadelaguaenelbrazoACcasuperealaaltura

delaguaenelbrazoQCcqen1100

partedelaalturatotal,lafuerzacentrífuga1289

haráqueelexcesodealturaenelbrazoACcaseasolamente1289

partedelaaltura

del otro brazo QCcq. Por lo tanto, el diámetro de la Tierra en el ecuador es aldiámetro de la misma en los polos como 230 a 229. De suerte que, siendo elsemidiámetro medio terrestre, según la medición de Picard, de 19 615 800 piesparisinos, o de 3923,16millas (suponiendo para lamilla 5000 pies), laTierra serámás alta en el ecuador que en los polos en un exceso de 85 472 pies, o de 171⁄10millas.Ysualturaenelecuadorserácaside19658600pies,mientrasenlospolos


seráde19573000pies.

SiunplanetafueramayoromenorquelaTierra,manteniendosumismadensidadysumismo tiempo periódico de revolución diaria, semantendrá la proporción de lafuerzacentrífugaa lagravedady,porello, semantendrá también laproporcióndeldiámetroentrepolosrespectoaldiámetroenelecuador.Perosielmovimientodiarioseaceleraseoretardaseenunaproporcióncualquiera,lafuerzacentrífugaaumentaráodisminuiráenrazóncuadradadeaquellaproporcióny,porlomismo,ladiferenciaentrediámetrosaumentaráodisminuirámuyaproximadamenteenrazóndelcuadradodelasusodichaproporción.Ysiladensidaddelplanetaaumentaseodisminuyeseenuna razón cualquiera, también la gravedad tendente hacia el mismo aumentará odisminuiráenlamismarazón,yladiferenciaentrediámetros,alainversa,disminuiráenlarazóndelaumentodelagravedadoaumentaráenlarazóndeladisminucióndelagravedad.Dedonde, al girar laTierra respecto a las fijas en23h. 56′,mientrasJúpiterlohaceen9h.56′yserloscuadradosdelostiemposcomo29a5,mientraslasdensidadesdeloscuerposengirosoncomo400a94½,ladiferenciadediámetros

deJúpiterseráasudiámetromenorcomo295x

40094½

x1229

a1,osea,como1a9⅓,

aproximadamente.De donde, al ser su diámetromayor de 37″, su diámetromenorentre polos será de 33″ 25‴. Auméntese casi 3″ por la luz difusa, y los diámetrosaparentesdeesteplanetaresultanser40″y36″25‴;queresultanserentresícomo11⅙a10⅙,aproximadamente.Estoresultaasíen lahipótesisdequeelcuerpodeJúpiterseauniformementedenso.Perosisucuerpofuesemásdensohaciaelplanoecuatorial que hacia los polos, sus diámetros podrían hallarse entre ellos en larelaciónde12a11,ode13a12,oquizáde14a13.Cassinielaño1691observóqueeldiámetrodeJúpiterdeesteaoestesuperabaencasiunadecimoquintapartedesulongitudalotrodiámetro.YnuestroPound,conuntelescopiode123piesdelargoyun buen micrómetro, midió los diámetros de Júpiter en 1719 con los resultadossiguientes:

Tiempo Diámetromáximo Diámetromínimo RelaciónmutuaDía Hora Partes Partes

Enero 28 6 13,40 12,28 Como12a11Febrero 6 7 13,12 12,20 Como13¾a12¾Marzo 9 7 13,12 12,08 Como122⁄3a11

2⁄3Abril 9 9 12,32 11,48 Como14½a13½

Lateoríacuadrabastantebienconlosfenómenos.Pueslosplanetassecalientanalgomáspor la luzdelSolhaciaelecuador,por loqueallíseendurecenalgomásquehacialospolos.

Por otra parte, que la gravedad disminuye en el ecuador debido a la rotacióndiariadenuestraTierra,yportantoquelaTierraasciendeallímásqueenlospolos(siemprequeseauniformementedensa)severáporlosexperimentosconpéndulosde


losquesedacuentaenlaProposiciónsiguiente.

PROPOSICIÓNXX.PROBLEMAIV[9]

HallarycompararentreelloslospesosdeloscuerposenlasdistintasregionesdeestaTierra.

Puesto que los pesos de los brazos desiguales del canal de agua ACQqca soniguales, y los pesos de las partes, proporcionales a los brazos enteros y colocadassemejantementeenellos, sonentresícomo lospesosde los todos,ypor lomismosonigualesentresí,lospesosdelaspartesigualesysituadassemejantementeenlosbrazosseráninversamentecomolosbrazos,esdecir,inversamentecomo230a229.E igual es la razón entre cuerpos homogéneos e iguales cualesquiera situadossemejantementeenlosbrazosdelcanal.Suspesossoninversamentecomolosbrazos,esdecir,inversamentecomoladistanciadeloscuerposalcentrodelaTierra.Porlotanto, si los cuerpos se hallan en las partes superiores del canal, esto es, en lasuperficiedelaTierra,suspesosseránentresícomolosinversosdesusdistanciasalcentrodelaTierra.YporlamismarazónlospesosenotrasregionescualesquieraportodalasuperficiedelaTierrasonentresícomolosinversosdelasdistanciasdeesoslugaresalcentro,yportanto,bajolahipótesisdequelaTierraesunesferoide,estándadosenproporción.

De donde se viene a concluir en el Teorema de que el incremento del peso,caminandodesdeelecuadorhacialospolos,esaproximadamentecomoelsenoversodeldobledelalatitud,o,loqueeslomismo,comoelcuadradodelsenorectodelalatitud.Ycasienesamismarazónsehallael incrementodelarcode losgradosdelatitudsobreelmeridiano.Yporlomismo,puestoquelalatituddeParísesde48.º50′,ladeloslugaresdelecuadorde00.º00′yladelospolosde90.ºylosduplosdelossenosversosson11134,00000,y20000,siendoelradio10000,ylagravedadenlospolosesalagravedadenelecuadorcomo230a229,mientraselexcesodelagravedad en el polo es a la gravedad en el ecuador como1 a 229, el excesode lagravedadenlalatituddeParísseráalagravedadenelecuadorcomo1x(11334/20000)a229,otambiéncomo667a2290000.Porconsiguiente,lasfuerzastotalesdela gravedad en esos lugares serán entre ellas como2295667 a 2 290000.Por lotanto,dadoquelalongituddelospéndulosqueoscilanentiemposigualesescomolas gravedades, y en la latitud deParís la longitud de un péndulo que oscile cadasegundoesde3piesparisinosy8½líneas,omejor,debidoalpesodelaire,de85⁄9líneas, la longitud del péndulo en el ecuador se verá superada por la longitud delpéndulosincrónicodeParísconunexcesode1,087líneas.Yconcálculossimilaresseconstruyelatablasiguiente.


Latituddel

lugar

Longituddel

péndulo

Medidadeungradoenelmeridiano

Latituddel

lugar

Longituddel

péndulo

Medidadeungradoenelmeridiano

grados pieslíneas toesas grados pieslíneas toesas0 3·7,468 56637 46 3·8,461 570225 3·7,482 56642 7 3·8,494 5703510 3·7,526 56659 8 3·8,528 5704815 3·7,596 56687 9 3·8,561 5706120 3·7,692 56724 50 3·8,594 5707425 3·7,812 56769 55 3·8,756 5713730 3·7,948 56823 60 3·8,907 5719635 3·8,099 56882 65 3·?,044 5725040 3·8,261 56945 70 3·9,162 572951 3·8,294 56958 75 3·9,258 573322 3·8,327 56971 80 3·9,329 573603 3·8,361 56984 85 3·9,372 573774 3·8,394 56997 90 3·9,387 5738245 3·8,428 57010

Porestatablaseveconclaridadqueladesigualdaddelosgradosestanpequeñaqueenasuntosgeográficos la figurade laTierrapuedeconsiderarseesférica:sobretodosilaTierraesalgomásdensahaciaelplanoecuatorialquehacialospolos.

Ahora bien, algunos astrónomos enviados a lejanas tierras para hacerobservacionesastronómicas,hanobservadoquelosrelojesdepéndulooscilabanmáslentamentecercadelecuadorqueennuestrasregiones.ElprimerofueelseñorRicherqueloobservóelañode1672enlaisladeCayena.Pues,mientrasobservabaelpasode las fijas por elmeridiano en elmesde agosto, se dio cuenta deque su reloj semovíamáslentamentequeelmovimientomediodelSolconunadiferenciade2′28″por día. Después preparó un péndulo simple que oscilaba al segundo, medidomedianteunbuenrelojyanotó la longituddelpéndulosimpleunavezporsemanadurantediezmeses.Después,vueltoaFrancia,comparóesalongituddelpénduloconlalongituddelpénduloenParís(queerade3piesparisinosy8⅗líneas)yhallóqueresultabamáscortaen1¼líneas.


Más tarde nuestro Halley hacia 1677, navegando hacia la isla de Sta. Elena,observóquesurelojdepéndulosemovíaallímáslentamentequeenLondres,peronoanotóladiferencia.Peroacortólalongituddelpénduloenmásdeunaoctavapartede pulgada, o sea, en una línea y media. Para hacer esto, como no alcanzaba eltornillodelaparteinferiordelpéndulo,interpusounanillodemaderaentrelatuercadeltornilloyelpesodelpéndulo.

Después,enelaño1682losseñoresVarinyDesHayeshallaronquelalongituddelpéndulooscilantealsegundoenelRealObservatoriodeParíserade3piesy85⁄9líneas.ConelmismométodohallaronqueenlaisladeGorelalongituddelpénduloisócronoerade3piesy65⁄9líneas,conunadiferenciade2líneasrespectoalanterior.Y esemismo añonavegando a las islas deGuadalupe yMartinica hallaron que lalongituddelpénduloisócronoenesasislaserade3piesy6½líneas.

PosteriormenteelseñorCouplet,hijo,enjuniode1697,ajustósurelojdepénduloal movimiento medio del Sol en el Real Observatorio de París de manera queconcordaseduranteuntiempolargoconelmovimientodelSol.Después,navegandohasta Lisboa halló que en el mes de noviembre siguiente el reloj marchaba máslentamentequeantessiendoladiferenciade2′13″cada24horas.YalsiguientemesdemarzonavegandohastaParaibaobservóqueallísurelojmarchabamásdespacioque enParís siendo la diferencia de 4′ 12″ cada 24 horas.Afirma que el péndulooscilandoalsegundoeraenLisboa2½líneasmáscortoyenParaiba32⁄3máscortoqueenParís.Máscorrectashubieransidolasdiferenciassilashubieraestablecidoen1⅓y25⁄9.Yaqueestasdiferenciascorrespondenalasdiferenciasdetiemposde2′13″y4′12″.Nohayquefiarsedesustoscasobservaciones.

En los años siguientes (1699 y 1700)DesHayes viaja de nuevo a América ydeterminóqueenlasislasdeCayenayGranadalalongituddelpéndulooscilandoalsegundoeraalgomenorde3piesy6½líneas,yqueenlaisladeSanCristóbaldichalongituderade3piesy6¾líneasmientrasqueenlaisladeSto.Domingoerade3piesy7líneas.

Yenelaño1704,FueilledeterminóenPortoBelloenAméricaque la longituddelpéndulooscilantealsegundoeradetrespiesparisinosysólo57⁄12líneas,esdecir,casitreslíneasmáscortaqueenParís,perolaobservacióneserrónea.Pues,pasandodeallíalaislaMartinica,hallaquelalongituddelpénduloisócronoerasolamentedetrespiesparisinosy510/12líneas.

Ahorabien,lalatituddeParaibaesde6.º38′sur,ladePortoBello,9.º33″nortey las latitudes de las islas deCayena,Gore,Guadalupe,Martinica,Granada,SanCristóbalySantoDomingo,sonrespectivamente,4.º55′,14.º40′,14.º00′,14.º44′,12.º6′,17.º19′y19.º48′.YelexcesodelalongituddelpénduloenParíssobrelaslongitudesdelospéndulosisócronosobservadasenesaslatitudesesunpocomayorqueelcorrespondientea tenordela tabladelongitudesdelpéndulocalculadapocomásarriba.YportantolaTierraesalgomásaltaenelecuadorqueloprevistoenelcálculo anterior y algomás densa hacia el centro que en los pozos próximos a la


superficie, salvoque loscaloresde lazona tórridaaumentasenun tanto la longituddelpéndulo.

Picard ha observado, efectivamente, que una varilla de hierro que en inviernomedíaunpiedelargaconelfríodeloshielos,calentadaalfuegoresultabadeunpieyuncuartodelínea.Después,DelaHireobservóqueunavarilladehierroqueentiempoigualmenteinvernaleradeseispiesdelongitud,cuandoseexponíaalSoldelverano resultaba de seis pies y dos tercios de línea.En el primer caso el calor eramayorqueenelsegundoperoenésteelcalorfuemayorqueeldelaspartesexternasdelcuerpohumano,pueslometalesconelcalordelsolestivalsecalientanengranmedida.Perolavarilladelpénduloenelrelojoscilatorionuncaseexponealcalordelsol estival, nunca recibe un calor igual al calor de la superficie externa del cuerpohumano.Por lomismolavarilladelpéndulodelrelojdetrespiesdelarga,seráunpocomáslargaenveranoqueeninvierno,peroelexcesoescasamentesuperará¼delínea.Porconsiguiente,ladiferenciatotaldelongituddepéndulosqueseanisócronosenlasdiferenteslatitudes,nopuedeatribuirsealasdiferenciasdecalor.TampocoaloserroresdelosastrónomosenviadosporFrancia.Pues,aunquesusobservacionesnoconcuerdanexactamenteentreellas,sinembargoloserroressontanpequeñosquesepuedendespreciar.Ytodosconvienenenalgo,enquelospéndulosisócronossonmáscortosenelecuadorqueenelRealObservatoriodeParís,siendoladiferencianomenor de una línea y cuarto y no mayor de 22⁄3 líneas. Por las observaciones deRicherenCayenaladiferenciaresultabadeunalíneaycuarto.PorlasobservacionesdeDesHayesdichadiferenciacorregidaresultabadeunalíneaymediaodeunalíneaytrescuartosdelínea.Porlasobservacionesmenosexactasdeotrosdichadiferenciaresultaba de casi dos líneas. Esta diferencia pudo deberse en parte a errores deobservación, en parte a la desemejanzade las partes interiores de laTierra y de laalturadelosmontesyenpartealosdistintoscaloresdelaire.

Enmiopinión,unavarilladehierrodetrespiesdelargaesenInglaterraeninviernounsextodelíneamáscortaqueenverano.Porloscaloresecuatoriales,résteseestacantidaddeladiferenciadeunalíneaycuartoobservadaporRicheryquedará11⁄12

líneas;cosaqueconcuerdabastantebiencon1871000

líneasestablecidasantesporla

teoría.Richer repitió cada semana durante diezmeses las observaciones hechas enCayenaycomparólaslongitudesdelavarilladehierrodelpénduloanotadasallíconlas anotadas de igualmodo enFrancia.Diligencia y cautela que parecen faltar enotros observadores. Si sus observaciones son de fiar, la Tierra serámás alta en elecuador que en los polos con un exceso de casi 17 millas, como la teoría habíadeterminadomásarriba.

PROPOSICIÓNXXI.TEOREMAXVII


LospuntosequinoccialesretrocedenyelejedelaTierraencadarevoluciónanualsebalancea inclinándose dos veces hacia la eclíptica y retornando dos veces a laposicióninicial.

Se sigue del Corolario 20 de la Proposición LXXI del Libro I. Pero estemovimientodenutacióndebesermuypequeño,yapenaso,niapenas,sensible.

PROPOSICIÓNXXII.TEOREMAXVIII[10]

Todoslosmovimientoslunares,ytodaslasdesigualdadesdelosmovimientossesiguendelosprincipiosexpuestos.

De la ProposiciónLXV delLibro I se sigue que los planetasmayores,mientrasgiranen tornoalSol,puedenarrastrar aotrosplanetasmenoresgirandoen tornoaellos mismos, y estos menores deben girar en elipses que tienen sus focos en loscentros de los mayores. Pero por la acción del Sol sus movimientos resultaránperturbadosdediversas formas,y sufriránde lasdesigualdadesqueseobservanennuestraLuna.Esta,enefecto(porlosCorolarios2,3,4y5delaProposiciónLXVIdelLibro I) semueve rápidamente y conun radio trazado a laTierra describe un áreamayorquelacorrespondientealtiempoytieneunaórbitamenoscurvayporelloseacercamása laTierraen lassicigiasqueen lascuadraturas,salvoen lamedidaenque la excentricidad lo impide. Ahora bien, la excentricidad es máxima (por elCorolario 9 de la Proposición LXVI) cuando el apogeo de la Luna ocurre en lassicigias,mientrasqueesmínimacuandoaconteceenlascuadraturas;ydeaquíquelaLunaesmásvelozymáspróximaanosotrosenelperigeoymáslentayremotaenelapogeo, en las sicigias que en las cuadraturas.Además, el apogeo avanzamientrasque los nodos retroceden, pero conmovimiento desigual. Pues el apogeo (por losCorolarios 7 y 8 de la Proposición LXVI) avanzamás velozmente en las sicigias yregresamáslentamenteenlascuadraturas,yelexcesodelprogresosobreelregresotieneunaresultanteanualhaciaadelante.Losnodos,encambio(porelCorolario2dela Proposición LXVI) reposan en las sicigias y retroceden muy rápidamente en lascuadraturas.Pero la latitudmáximade laLunaesmayorensuscuadraturas(porelCorolario10delaProposiciónLXVI)queen lassicigias,yelmovimientomedioesmáslentoenelperihelioterrestrequeensuafelio.Yéstassonlasdesigualdadesmásnotablesregistradasporlosastrónomos.

Pero hay también otras desigualdades no observadas por los anterioresastrónomospormediode las cuales losmovimientos lunares sufrenperturbacionestales que hasta la fecha no han podido ser reducidas a regla cierta alguna. Lasvelocidades o los movimientos horarios de los apogeos y nodos lunares y susecuaciones así como las excentricidadesmáximas en las sicigias ymínimas en las


cuadraturas,oladesigualdadllamadavariación,aumentanydisminuyenanualmente(porelCorolario14delaProposiciónLXVI)enrazóndelcubodeldiámetroaparentedel Sol. Y la variación, además, aumenta o disminuye en razón del cuadrado deltiempoentrecuadraturasmuyaproximadamente(porlosCorolarios1y2delLemaXyelCorolario16de laProposiciónLXVIdelLibro I),peroestadesigualdad,en loscálculosastronómicos,sueleincluirseenlaprostaféresislunaryconfundirseconella.

PROPOSICIÓNXXIII.PROBLEMAV

DerivarlosmovimientosdesigualesdelossatélitesdeJúpiterydeSaturnoapartirdelosmovimientoslunares.

Partiendo de los movimientos de nuestra Luna se derivan los movimientosanálogosdelaslunasosatélitesdeJúpiterdelmodosiguiente.ElmovimientomediodelosnodosdelsatéliteexteriordeJúpiteresalmovimientomediodelosnodosdenuestraLunaenunarazóncompuestadelarazóncuadradaentreeltiempoperiódicodelaTierraentornoalSolyeltiempoperiódicodeJúpiterentornoalSol,ydelarazón simple entre el tiempo periódico del satélite en torno a Júpiter y el tiempoperiódicodelaLunaentornoalaTierra(porelCorolario16delaProposiciónLXVIdelLibro I)ypor tantoencienañosdichonodoavanza8.º24′haciaadelante.Losmovimientosmedios de los nodosde los satélites interiores son almovimientodelanteriorcomosustiemposperiódicosaltiempoperiódicodelexterior(porelmismoCorolario)yportantoestándados.Encambioelmovimientodelápsidedeunsatélitecualquiera hacia adelante es al movimiento regresivo de sus nodos como elmovimientodelapogeodenuestraLunaasumovimientodelosnodos(porelmismocorolario)ypor tantoestándados.Peroestemovimientode losápsidesasíhalladodebedisminuirseenrazónde5a9ode1a2aproximadamente,porrazonesquenohayespacioaquídeexponer.Lasecuacionesmáximasdelosnodosydelápsidedeunsatélitecualquieracasisonalasecuacionesmáximasdelosnodosyelápsidedela Luna respectivamente como el movimiento de los nodos y del ápside de lossatéliteseneltiempodeunarevolucióndelasecuacionesprimerasaltiempodelosnodos y del apogeo de la Luna en el tiempo de una revolución de las ecuacionessegundas.LavariacióndeunsatélitevistodesdeJúpiteresalavariacióndelaLunacomosonentresí todos losmovimientosde losnodosenlos tiemposenlosqueelsatéliteylaLunaregresanhaciaelSol,porelmismoCorolario;yportanto,paraelsatéliteexterior,nopasade5″12‴.

PROPOSICIÓNXXIV.TEOREMAXIX


ElflujoyreflujodelmarprocedendelasaccionesdelSolydelaLuna.

Cadadía,tantolunarcomosolar,debecrecerydecrecerelmardosvecescomosedesprendedelosCorolarios19y20delaProposiciónLXVIdelLibroI,lomismoquesedesprendequelamáximaalturadelaguaenlosmaresprofundosyabiertossigueenunespaciomenordeseishorasalpasode losastrosporelmeridianodel lugar,comoocurreentodoelrecorridodelmarAtlánticoyEtiópicodesdeFranciaalCabodeBuenaEsperanzaaligualqueenelmarPacíficoenlacostachilenayperuana;entodosloscualeslitoraleslamareaocurrealasdos,tresocuatrohoras,salvocuandoel movimiento se propaga desde el océano profundo a través de fondos de pococaladoyseretardahastalahoraquinta,sexta,séptimaomás.Cuentolashorasdesdelallegadadeambosastrosalmeridianodellugar,tantobajocomosobreelhorizonte,yentiendoporhorasdeldíalunarlasvigesimocuartaspartesdeltiempoenelcuallaLunaconelmovimientoaparentediurnoregresaalmeridianodellugar.LafuerzadelSol o de laLuna para elevar elmar esmáxima en elmismopaso del astro por elmeridiano del lugar. Pero la fuerza impresa en elmar en esemomento permanecedurantealgúntiempoyaumentaporcausadelanuevafuerzaimpresadespués,hastaque elmar alcanza la alturamáxima, cosa que ocurre al cabo de una o dos horasaunquemásfrecuentementeseaalcabodetrescuandoalcancelascostas,oinclusomás, si el mar es poco profundo. Pero los dos movimientos que los dos astrosprovocan, no se ven separadamente, sino que constituyen un cierto movimientomixto.Enlaconjuncióndelosastrosoenlaoposicióntambiénsejuntansusefectos,y se componen el flujo o reflujo máximos. En las cuadraturas el Sol aporta aguacuandolaLunalaretrae,ylaretraecuandolaLunalaaporta;ydeladiferenciadelosefectossurgirálamareamáspequeñadetodas.Ypuestoque,bajoeltestimoniodelaexperiencia,esmayorelefectodelaLunaqueeldelSollaalturamáximadelaguaocurre aproximadamente en la tercera hora lunar. Fuera de las sicigias y de lascuadraturas,lamareamáximaqueporlasolafuerzalunardeberíasiempreocurrirenla tercera hora lunar y con la sola fuerza solar en la tercera hora solar, con lacomposición de ambas fuerzas ocurre en un tiempo intermedio más próximo a latercera hora lunar; por ello al pasar la Luna de las sicigias hacia las cuadraturas,cuandolatercerahorasolarprecedealaterceralunar,laaltitudmáximadelasaguasprecedetambiénalatercerahoralunar,yestoconintervalomáximopocodespuésdelosoctanteslunares;yconintervalosparecidoslamareamáximaseguiráalatercerahora lunaralpasar laLunade lascuadraturashacia lassicigias.Estoesasíenmarabierto. Pues en las desembocaduras de los ríos las mareas máximas, en igualescircunstancias,alcanzanmástardesu«ἁκμíα»(acmé).

Pero los efectos de los astros dependen de sus distancias a la Tierra. Pues amenoresdistanciassonmayoressusefectos,ymenoresamayoresdistancias,yestoen razón del cubo de sus diámetros aparentes. Por tanto, el Sol, en invierno,hallándose en el perigeo, produce efectos mayores, y hace que las mareas en las


sicigias sean algo mayores y en las cuadraturas algo menores (en circunstanciasiguales) que en verano; y la Luna en el perigeo de cada mes genera mareas másgrandesquequincedíasantesodespués,cuandosehallaenelapogeo.Dedondesesigue que dos mareas absolutamente máximas no se sigan una a otra en sicigiasinmediatamentesucesivas.

Tambiéndependen los efectosde ambos astrosde sudeclinaciónodistancia alecuador.Puessielastrosesituaseenelpolo,atraeríahaciaallíacadapartedeaguademodoconstante,sinaumentoydisminucióndelaacción,conloquenoprovocaríaninguna reciprocacióndemovimientos.Porconsiguiente, losastrosalapartarsedelecuador hacia los polos, pierden gradualmente sus efectos, y por ello generaránmenoresmareasen las sicigias solsticialesqueen lasequinocciales.Encambio,enlas cuadraturas solsticiales provocarán mayores mareas que en las cuadraturasequinocciales,debidoaquelaLunasituadaahoraenelecuadorsuperaensuefectoaldelSolmásquenunca.Por tantoocurren lasmareasmáximasen las sicigiasy lasmínimas en las cuadraturas de los astros, en torno a las fechas de uno y otroequinoccio.Yaunamareamáximaenlassicigiasacompañasiempre,comomuestralaexperiencia,unamareamínimaenlascuadraturas.Mas,porlamenordistanciadelSolalaTierraeninviernoqueenverano,ocurrequelasmareasmáximasymínimasprecedan más frecuentemente que sigan al equinoccio de primavera y másfrecuentementelesiganqueleprecedanenelotoño.

También dependen los efectos de los astros de la latitud de los lugares.RepresenteApEPalaTierracubiertadeaguaprofundaportodaspartes;Csucentro;P,plospolos;AEelecuador;Funpuntocualquierafueradelecuador;Fƒelparalelodelpunto;Dd el paralelo correspondiente al anterior al otro ladodel ecuador;L ellugar ocupado por la Luna tres horas antes; H el lugar de la Tierraperpendicularmentedebajo;hel lugaropuestoalanterior;K,k los lugaresdistantesdelosanteriores90.º,CH,ChlasalturasmáximasdelmarmedidasdesdeelcentrodelaTierra; yCK,Ck las alturasmínimas: y si con los ejesHh,Kk, se describe unaelipseyconlarevolucióndedichaelipseseobtieneelesferoideHPKhpk,estafigurarepresentarámuyaproximadamentealadelmar,yCF,Cƒ,CD,Cd,seránlasalturasdelmarenloslugaresF,ƒ,D,d.Además,enlasusodicharevolucióndelaelipseunpuntocualquieraN,describiráuncírculoNMsecantedelosparalelosFƒ,DdenunoslugarescualesquieraR,T,ydelecuadorAEenS;CNseráentonceslaalturadelmarentodosloslugaresR,S,T,situadosenestecírculo.Deaquíque,enlarevolucióndiariadecualquierpuntoF,elaflujoserámáximoenF,enlatercerahoradespuésdelpasodelaLunaporelmeridianosobreelhorizonte;después,elreflujomáximoenQtreshorasdespuésdelocasodelaLuna;despuéselaflujomáximoenƒalatercerahorasiguientealpasodelaLunaporelmeridianobajoelhorizonte;porfinelreflujomáximoenQenlatercerahoradespuésdelortolunar;yelaflujoposteriorenƒserámenor que el aflujo anterior en F. Pues el mar entero se divide en dos flujoscompletamentehemisféricos,unoenelhemisferioKHkvertidohaciaelladoborealy


elotroenelhemisferioKhk,aloscualessepuedellamarflujoborealyflujoaustral.Estos flujos oponiéndose entre ellos y alternativamente acuden siempre a losmeridianosdecadalugar,mediandoentreellosuntiempodedocehoras lunares.Ypuesto que las regiones boreales participan en mayor grado del flujo boreal y lasaustralesdelaustral,deellosesiguequesurjanmareasalternativamentemayoresymenoresencadaunodeloslugares,fueradelecuador,porlosquenacenoseponenlos astros. Pero lamareamayor, cuando laLuna declina hacia el vértice del lugar,ocurrecasienlahoraterceradelpasodelaLunaporelmeridianosobreelhorizonte,yalcambiarladeclinacióndelaLunaempiezaadisminuir.Ylamáximadiferenciadeflujosocurreenlaépocadelossolsticios;sobretodosielnodoascendentedelaLunavieneaocurriralprincipiodeAries.Asíatestigualaexperienciaquelasmareasmatutinaseninviernosuperanalasvespertinasylasvespertinassuperanenveranoalasmatutinas,diferenciaqueenPlymouthalcanzaunpiedealtura,mientrasqueenBristolllegaaquincepulgadas,segúnlasobservacionesdeColepressydeSturmy.

Pero los movimientos descritos hasta aquí cambian un tanto debido a aquellafuerzadereciprocacióndelasaguas,porlaquelamareadelmar, inclusohabiendocesado las acciones de los astros, podría continuar durante algún tiempo. Estaconservacióndelmovimientoimpresodisminuyeladiferenciademareasalternas;yhace mayores las mareas inmediatamente posteriores a las sicigias, mientras hacedisminuira las inmediatamenteposterioresa lascuadraturas.De loque resultaquelasmareasalternasenPlymouthyBristolnodifierenentresímásdeunpieoquincepulgadas de altura; y que lasmareasmayores de todas en esosmismos puertos noseanlasprimerasdesdelassicigias,sinolasterceras.Tambiénseretrasantodoslosmovimientosporsutránsitoporlosvados,hastaelpuntodequelasmareasmayoresde todas en determinados estrechos y desembocaduras de ríos, sean las cuartas oinclusolasquintasdespuésdelassicigias.

Ademáspuedeocurrirquelamareasepropaguedesdeelocéanohaciaunmismopuerto por estrechos diferentes, y llegue primero por un estrecho que por otro; encuyo caso la misma marea, dividida en dos arribadas o más, podría componermovimientosnuevosdedistintasclases.Imaginemosquedosmareasigualeslleganal


mismopuertodesdelugaresdistintos,delascualeslaprimeraprecedealasegundaen seis horas, y acontezca en la tercera hora después del paso de la Luna por elmeridiano del puerto. Si la Luna en este paso por el meridiano se hallare en elecuador, vendrán cada seis horas aflujos iguales, los cuales incidiendo sobre losreflujosmutuoslosigualaránalosaflujos,haciendodeestemodoqueenelespaciodeesedíaelaguareposetranquila.SienesemomentolaLunadeclinasedelecuador,lasmareasocurriránenelocéanoalternativamentemayoresymenores,comosehadicho; y de aquí se propagarán hacia el dicho puerto dos aflujos mayores y dosmenores, en veces alternas. Pero los dos aflujos mayores compondrán una muygrandeelevacióndeaguaenelmedioentreambos, el aflujomayorymenorharánque el agua ascienda a una alturamedia en elmedio entre ambos, y entre los dosaflujosmenoreselaguaascenderáalaalturamínima.Deestemodo,enelespaciodeveinticuatro horas, el agua alcanzará la máxima altura no dos veces como sueleocurrir,sinosolamenteunavezyunasolavez lamínima;y laalturamáxima,si laLunadeclinahaciaelpolosobreelhorizontedellugar,ocurriráenlahorasextaoenlatreintadespuésdelpasodelaLunaporelmeridiano,yalcambiarladeclinacióndelaLunasetornaráenreflujo.UnejemplodetodolocualhaofrecidoHalleyapartirdelasobservacionesdelosnavegantesenelpuertodeBatshaeenelreinodeTonquinconunalatitudborealde20.º50′.AllíelaguaaldíasiguientedelpasodelaLunaporelecuadorseestanca,después,aldeclinar laLunahaciaelNorteempiezaa fluiryrefluir,nodosvecescomoenotrospuertos,sinounasolavezcadadía;y lamareaocurrealocasodelaLunamientraslabajamarmáximaocurrealortolunar.ConladeclinacióndelaLunaaumentaestamareahastaeldíaséptimouoctavo,ydespuésduranteotrossietedíasdecrecegradualmentecomoanteshabíacrecido;ycesaconelcambio de declinación de la Luna, y al fin se torna en reflujo. A partir de esemomentoel reflujocoincideconelocasode laLunayelaflujoconelnacimiento,hastaquedenuevocambieladeclinación.Doblees laentradaaestepuertoya losestrechos próximos, una desde el océano chino entre el continente y la isla deLeucomaylaotradesdeelmarIndicoentreelcontinenteylaisladeBorneo.DejoparaobservacionesdelascostasvecinaseldeterminarsilamareaprocedentedelmarIndico en doce horas y la procedente delmar deChina en seis a través de dichosestrechos, incidiendo así en las horas lunares tercera y novena, llegan a componermovimientosdeestegénero,osimásbienesotralacondicióndeaquellosmares.

HastaahoraheexpuestolascausasdelosmovimientosdelaLunaydelosmares.Ahoraseráconvenienteañadiralgosobrelacantidaddelosmovimientos.

PROPOSICIÓNXXV.PROBLEMAVI

HallarlasfuerzasdelSolparaperturbarlosmovimientosdelaluna.


RepresenteSelSol,TlaTierra,PlaLuna,CABDlaórbitadelaLuna.SobreSPtómeseSKigualaST;yseaSLaSKenrazóncuadradadeSKaSP,ytráceseLMparalelaaPT;ysilagravedadaceleratrizdelaTierrahaciaelSolserepresentaporladistanciaSToSK,seráSLlagravedadaceleratrizdelaLunahaciaelSol.EstafuerzasecomponedelaspartesSMyLM,delascualesLMylaparteTMdeSMperturbanelmovimientodelaLuna,comoseexpusoenlaProposiciónLXVIysusCorolariosdelLibro I.En tantoque laTierra y laLunagiran en torno a un centro comúndegravedad,tambiénseráperturbadoelmovimientodelaTierraentornoadichocentroporfuerzassimilares;perolassumas,tantodelasfuerzascomodelosmovimientossonsusceptiblesdeserreferidosalaLuna,yrepresentarlassumasdelasfuerzaspormediodelaslíneasTMyMLanálogasaellas.LafuerzaMLensuvalormedioesalafuerzacentrípeta,conlaquelaLunapuedegirarentornoalaTierraenreposoaladistanciaPT,comolarazóncuadradadelostiemposdelaLunaentornoaJaTierraydelaTierraentornoalSol(porelCorolario17delaProposiciónLXVIdelLibroI),esdecir,comolarazóncuadradade27d.7h.43′a365d.6h.9′,osea,como1000a178725otambiéncomo1a17829⁄40.PerohemoshalladoenlaProposiciónCuartaquesilaTierraylaLunagiran;entornoasucentrocomúndegravedad,sudistanciamutuamedia será de 60½ semidiámetros medios terrestres muy aproximadamente. Y lafuerzaconlaquelaLunapuedegirarentornoalaTierraenreposoaladistanciaPTde60½semidiámetros terrestresesa la fuerzacon laquepuedegirar,enelmismotiempo a la distancia de 60 semidiámetros, como 60½ a 60; y esta fuerza es a lafuerzadelagravedadentrenosotroscomo1a60x60,muyaproximadamente.Porconsiguiente,lafuerzamediaMLesalafuerzadelagravedadenlasuperficiedelaTierracomo1x60½a60x60x60x17829⁄40, o también como1 a638092,6.DesuertequeporlaproporcióndelaslíneasTM,MLestádadatambiénlafuerzaTM;yéstassonlasfuerzasdelSolporlasqueresultanperturbadoslosmovimientosdelaLuna.Q.E.I.

PROPOSICIÓNXXVI.PROBLEMAVII

Hallarelincrementohorariodeláreaque,conunradiotrazadoalaTierra,describelaLunaenunaórbitacircular.


Hemos dicho que el área que describe laLuna con un radio trazado a laTierra esproporcionalaltiempo,salvoenlamedidaenqueelmovimientolunaresperturbadoporlaaccióndelSol.Nosproponemosinvestigaraquíladesigualdaddelmomento,odelincrementohorario.Paraqueelcálculoresultemássencillo,supongamosquelaórbita de la Luna es circular, despreciemos todas las desigualdades, con la solaexcepcióndelaquetratamosaquí.PeroporlaenormedistanciadelSol,supongamostambiénquelas líneasSP,STsonparalelasentresí.DeestemodolafuerzaLMsereducesiempreasuvalormedioTP,aligualquelafuerzaTMsereduceasuvalormedio3PK.Estasfuerzas(porelCorolarioIIdelasLeyes)componenlafuerzaTL;yesta fuerza, si se hace descender la perpendicular LE sobre el radio TP, sedescomponeenlasfuerzasTE,EL,delascualesTE,actuandosiempresegúnelradioTPniaceleraniretrasaladescripcióndeláreaTPCrealizadaporelsusodichoradioTP; mientras que EL actuando según la perpendicular, la acelera o retarda, en lamedidaenqueaceleraoretardaalaLuna.EstaaceleracióndelaLuna,asupasodelacuadraturaCalaconjunciónA,realizadaencadamomentodetiempo,escomola

misma fuerzaaceleratriz,esdecir, como3PKxTK

TP.Represénteseel tiempoporel

movimientomedio lunaro (loquecasies lomismo)porelánguloCTP,o tambiénporelarcoCP.SobreCTeléveselanormalCGigualalapropiaCT.Ydividiendoelarco cuadrantal AC en innumerables partículas iguales Pp, etc., por las que serepresentasenotrastantaspartículasigualesdetiempo,ytrazadapkperpendicularaCT,únanseTGconlasprolongacionesdeKP,kpcortándoseenFyƒ;yFKseráigualaTK,yKkseráaPKcomoPpaTp,esdecir,enunarazóndada,yporconsiguiente

FKxKkoeláreaFKkƒseracomo3PKxTK

TP,estoes,comoEL;y,componiendo,el

áreatotaldeGCKFcomolasumadetodaslasfuerzasELimpresasenlaLunaeneltiempototalCP,yportantotambiéncomolavelocidadgeneradaconesasuma,osea,comolaaceleracióndeladescripcióndeláreaCTP,o incrementodelmomento.LafuerzaconlaquelaLunapodríagirarentornoalaTierraenreposoaladistanciaTP,ensu tiempoperiódicoCADBde27d.7h.43′,haríaqueuncuerpo,cayendoeneltiempoCT, describiese la longitud½CT, y adquiriríamientras tanto una velocidadigual a aquella con la que la Luna semueve en su órbita. Esto es evidente por elCorolario 9 de laProposición IV delLibro I. Pero, puesto que la perpendicularKdabatidasobreTPeslatercerapartedelapropiaEL,ylamitaddeTPodeMLenlosoctantes,lafuerzaELenlosoctantes,cuandomayorresulta,superaráalafuerzaMLenrazónde3a2,yporlomismo,seráalafuerzaconlacuallaLunapuedegirarentornoalaTierraenreposoensutiempoperiódico,como100a2⁄3x17872½,osea,11915,yeneltiempoCTdeberágenerarunavelocidadquefuesela100⁄11915partedelavelocidadlunar,mientrasqueeneltiempoCPAgeneraríaunavelocidadmayoren


laproporcióndeCAaCToTP.Represéntese lafuerzamáximaenlosoctantesELpormediodel áreaFKxKk, igual al rectángulo½TPxPp.Y la velocidad que lafuerzamáximapuede generar en un tiempo cualquieraCP, será a la velocidad quetodafuerzamenorELgeneraenelmismotiempo,comoelrectángulo½TPxCPaláreaKCGF: en cambio, en el tiempo enteroCPA, las velocidades generadas seránentresícomoelrectángulo½TPxCAyeltriánguloTCG,ocomoelarcocuadrantalCAyelradioTP.Porlotanto(porlaProposiciónIXdelLibroVdelosElementos)laúltimavelocidad,generadaentodoeltiemposerá100⁄11915partesdelavelocidaddelaLuna. A esta velocidad de la Luna, que es análoga al momento medio del área,añádaseorésteselamitaddelaotravelocidad;ysiserepresentaelmomentomedioporelnúmero11915,lasuma11915+50,osea,11965representaráelmomentomáximodeláreaenlasicigiaA,mientrasqueladiferencia11915-50,osea,11865el momento mínimo de la misma en las cuadraturas. Por consiguiente, las áreasdescritasentiemposigualesenlassicigiasyenlascuadraturassonentresícomo11965 a 11 865. Añádase al momento mínimo 11 865 un momento que sea a ladiferencia100delosmomentoscomoeltrapecioFKCGaltriánguloTCG(oloqueeslomismo,comoelsenocuadradodePKalcuadradodelradioTP,estoes,comoPdaTP)ylasumarepresentaráelmomentodeláreacuandolaLunasehallaenunlugarPintermedio.

Todoestoes así, en lahipótesisdequeelSoly laTierra estánen reposo,y laLunagiraeneltiemposinódicode27d.7h.43′.Perocomoelperíodosinódicolunarseaenrealidadde29d.12h.44′,debenaumentarselosincrementosdelosmomentosen razóndel tiempo,estoes,en razónde1080853a1000000.Deestemodoelincremento total, que era 100⁄11915 partes del momento medio será ahora de 100⁄11023partesdelmismo.PorelloelmomentodeláreaenlacuadraturadelaLunaseráasumomentoenlasicigiacomo11023-50a11023+50,osea,como10973a11073;yasumomento,cuandolaLunasehallaenotrolugarintermediocualquieraP,como10973a10973+Pd,siendoTPiguala100.

Porlotanto,eláreaquedescribelaLunaconunradiotrazadoalaTierraencadaunadelaspartículasigualesdetiempo,esmuyaproximadamentecomolasumadel


número219,46yelsenoversodeldoblede ladistanciade laLunaa lacuadraturapróxima,enuncírculocuyoradioeslaunidad.Todoestoesasícuandolavariaciónenlosoctantesesdevalormedio.Perosilavariaciónesallímayoromenor,dichosenoversodebeaumentarseodisminuirseenlamismarazón.

PROPOSICIÓNXXVII.PROBLEMAVIII

HallarladistanciadelaLunaalaTierraapartirdelmovimientohorariodelaLuna.

EláreaquelaLuna,conunradiotrazadoalaTierra,describeencadaunodelosmomentosdetiempo,escomoelmovimientohorariodelaLunayelcuadradodeladistanciadelaLunaalaTierraconjuntamente;yportanto,ladistanciadelaLunaalaTierraestáenrazóncompuestade la raízcuadradadeláreadirectamenteyde laraízcuadradadelmovimientohorarioinversamente.Q.E.I.

COROLARIO1.DeaquíquevengadadoeldiámetroaparentedelaLuna,todavezque es inversamente como su distancia a la Tierra. Intenten los astrónomoscomprobarlamedidaenqueestareglaconcuerdaconlosfenómenos.

COROLARIO2.Deaquítambiénquelaórbitalunarpuedadefinirseapartirdelosfenómenosmásexactamentequeantes.

PROPOSICIÓNXXVIII.PROBLEMAIX

HallarlosdiámetrosdelaórbitaenquedebemoverselaLunasinexcentricidad.

La curvatura de la trayectoria que describe un móvil, si es atraído según laperpendicularadichatrayectoria,esdirectamentecomolaatraccióneinversamentecomoelcuadradodelavelocidad.Supongoquelascurvaturasdelaslíneassonentresícomolasrazonesúltimasdelossenosodelastangentesdelosángulosdecontactopertenecientesaradiosiguales,cuandotalesradiosdisminuyeninfinitamente.PerolaatraccióndelaLunahacialaTierraenlassicigiaseselexcesodesugravedadhacialaTierra sobre la fuerzadelSol2PK(véase figura,ProposiciónXXV)por laque lagravedad aceleratriz de laLuna hacia el Sol supera a la gravedad aceleratriz de laTierrahaciaelSoloessuperadaporella.PeroenlascuadraturasdichaatraccióneslasumadelagravedaddelaLunahacialaTierraydelafuerzasolarKT,conlaquela

Luna es atraída hacia la Tierra. Si llamamos N aAT+CT

2 estas atracciones son

como


178725AT2

- 2000CTxN

y178725CT2

+ 1000ATxN

muy aproximadamente; o también como 178 725N xCT2 - 2000AT2 x CT y 178725NxAT2 + 1000CT2 xAT.Pues, si la gravedad aceleratriz de laLuna hacia laTierra se representa por el número 178 725, la fuerza media ML, que en lascuadraturasesPToTKyatraealaLunahacialaTierra,será1000,mientrasquelafuerzamediaTMenlassicigiasserá3000;delacual,siserestalafuerzamediaML,quedará2000,fuerzaconlaqueenlassicigiasesatraídalaLunaporlaTierra,yalacualyahedenominadoantes2PK.PerolavelocidaddelaLunaenlassicigiasAyBesasuvelocidadenlascuadraturasCyD,comoCTaATyelmomentodeláreaquedescribe laLuna conun radio trazado a laTierra en las sicigias almomento de lamismaáreaenlascuadraturasconjuntamente,estoes,como11073CTa10973AT.

Tómeseinversamenteelcuadradodeestarazónydirectamentelaprimerarazónyresultarálacurvaturadelaórbitalunarenlassicigiasalacurvaturadelamismaenlascuadraturascomo120406729x178725AT2xCT2xN-120406729x2000AT4

xCTa122611329x178725AT2xCT2xN+122611329x1000CT4xAT,estoes,como2151969ATxCTxN-24081AT3a2191371ATxCTxN+12261CT3.

Puestoquelafiguradelaórbita lunarsedesconoce,supongamosensulugarlaelipseDBCA,encuyocentroTsehallelaTierra,ycuyoejemayorDCyaceentrelascuadraturas,mientraselmenorAByaceentrelassicigias.Peropuestoqueelplanode esta elipse se mueve con un movimiento angular en torno a la Tierra, y latrayectoria cuya curvatura consideramos debe ser descrita en un plano carente por


completodemovimientoangular,debemosconsiderarlafiguraquedescribelaLunaalgirarenelipsesobreesteplano,estoes,lafiguraCpa,cadaunodecuyospuntospse halla tomando un punto cualquiera P en la elipse que represente el lugar de laLuna,ytrazandoTp igualaTPconlacondicióndequeelánguloPTp sea igualalmovimientoaparentedelSolefectuadodesdeelmomentode lacuadraturaC;o(loquevieneaser lomismo)demodoqueelánguloCTp seaalánguloCTPcomoeltiempode la revoluciónsinódicaal tiempode la revoluciónperiódica,o sea, como29d. 12h. 44′ a 27d. 7h. 43′. Tómese, pues, el ángulo CTa en la misma razón alánguloCTA,ysealalongitudTaigualalalongitudTA,yaseráelápsideinferioryC el superior de esta órbita Cpa. Estableciendo proporciones encuentro que ladiferenciaentrelacurvaturadelaórbitaCpaenelvérticeaylacurvaturadelcírculocon centro enT y radioTA es a la diferencia entre la curvatura de la elipse en elvérticeAylacurvaturadeesemismocírculocomolarazóncuadradadelánguloCTPal ánguloCTp; y también que la curvatura de la elipse enA es a la curvatura delantedichocírculocomolarazóncuadradadeTAaTC;ytambiénquelacurvaturadelcírculo antedicho es a la curvatura del círculo trazado con centro enT y radioTCcomoTCaTA;mientrasquelacurvaturadeesteúltimoesalacurvaturadelaelipseen C como la razón cuadrada de TA a TC; y también que la diferencia entre lacurvaturadelaelipseenelvérticeCylacurvaturadelsegundocírculomencionadoesaladiferenciaentrelacurvaturadelafiguraTpaenelvérticeCylacurvaturadelmismoreciénmencionadocírculocomolarazóncuadradadelánguloCTpalánguloCTP.Razonesque,porlodemás,sonfácilesdeobtenerapartirdelossenosdelosángulosdecontactoydelasdiferenciasdeángulos.Ycomparándolasentresí,resultaquelacurvaturadelafiguraCpaenaesasumismacurvaturaenCcomoAT3+16824/100 000CT2 xAT aCT3 + 16 824/100 000AT2 x CT.Donde el número 16824/100 000 representa la diferencia de los cuadrados de los ángulos CTP y CTpdivididaporelcuadradodelángulomenorCTP,o(loqueeslomismo),ladiferenciadeloscuadradosdelostiempos27d.7h.43′y29d.12h.44′divididaporelcuadradodeltiempo27d.7h.43′.

Porconsiguiente,dadoquearepresentalasicigiadelaLunayCsucuadratura,laproporciónhalladadebeserlamismaquelaproporcióndelacurvaturadelaórbitadela Luna en las sicigias a su curvatura en las cuadraturas, proporción hallada másarriba.Portanto,parahallarlaproporcióndeCTaAT,multiplicoentresímediosyextremos.YlostérminosresultantesdivididosporATxCTproducen2062,79CT4-2151969NxCT3+368676NxATxCT2+36342AT2xCT2-362047NxAT2xCT+2191371NxAT3+4051,4AT4=0.Aquí,porlasemisumaNdelostérminosATyCTescribo1,ypor su semidiferenciaescribox, resultaCT=1+x, yAT=1 -x;trasladandoéstosalaecuaciónyresolviendolaecuaciónresultanteseobtienexiguala 0,00719, y por tanto el semidiámetroCT resulta 1,00719, y el semidiámetroAT0,99281, números que son como 701⁄14 y 691⁄14 muy aproximadamente. Luego ladistancia de laLuna a laTierra en las sicigias es a su distancia en las cuadraturas


(dejando de lado la consideración de la excentricidad) como 691⁄14 a 701⁄14, o ennúmerosredondoscomo69a70.

PROPOSICIÓNXXIX.PROBLEMAX

HallarlavariacióndelaLuna.

Procede esta desigualdad en parte de la forma elíptica de la órbita lunar, y enpartedeladesigualdaddelosmomentosdeláreaquedescribelaLunaconunradiotrazadoalaTierra.SilaLunaPsemovieraenlaelipseDBCAentornoalaTierraenreposoenelcentrode laelipse,yconelradioTPtrazadoa laTierradescribieraeláreaCTPproporcionalaltiempo,yelsemidiámetromayorCTfuesealsemidiámetromenorTAcomo70a69,latangentedelánguloCTPseríaalatangentedelángulodelmovimientomediocalculadodesdelacuadraturaCcomoelsemidiámetroTAdelaelipseasusemidiámetroTC,ocomo69a70.Pues ladescripcióndeláreaCTP,alpasar laLunade la cuadratura a la sicigia, debe acelerarse enuna razón tal que elmomentoenlasicigiadelaLunaseaasumomentoenlacuadraturacomo11073a10973,ydemodoqueelexcesodelmomentoenunlugarintermediocualquieraPsobreelmomentocu lacuadraturaseacomoelcuadradodel senodelánguloCTP.Cosa que ocurre con bastante exactitud si la tangente del ángulo CTP disminuyecomolaraízcuadradadelarazóndelnúmero10973alnúmero11073,esdecir,enlarazóndelnúmero68,6877alnúmero69.Deestemodo,latangentedelánguloCTPseráahoraalatangentedelmovimientomediocomo68,6877a70yelánguloCTPenlosoctantes,dondeelmovimientomedioesde45.º,resultaráde44.º27′28″,querestadodelángulodelmovimientomediode45.ºdejaunrestodevariaciónmáximade32′32″.EstoseríaasísilaLuna,alpasardelacuadraturaalasicigia,recorrieraun ángulo de sólo 90.º. Pero por el movimiento de la Tierra, por el cual el Solaparentementeseadelanta,laLuna,hastaquealcanzaalSol,describeunánguloCTamayor que un ángulo recto en la proporción del tiempo de la revolución sinódicalunar al tiempode la revoluciónperiódica, esdecir, en la razónde29d.12h.44′ a27d.7h.43′.YdeestamaneratodoslosángulosentornoalcentrodeTsedilatanenesaproporción,con loque lavariaciónmáxima,queenotrocasoseríade32′32″,aumentadaahoraenesarazón,setornade35′10″.


EsteessuvaloraladistanciamediadelSolalaTierra,ignorandolasdiferenciasque puedan surgir de la curvatura delOrbeMáximo o de lamayor acción del SolsobrelaLunamenguanteynuevaquecrecienteyllena.AotrasdistanciasdelSolalaTierra,lavariaciónmáximaestáenrazóncompuestadelarazóncuadradadeltiempoderevoluciónsinódicalunardirectamente(dadoeltiempodelaño)einversamentedelarazóncúbicadeladistanciadelSolalaTierra.Porconsiguiente,enelapogeodelSol, la variaciónmáxima es de 33′ 14″,mientras que en su perigeo es de 37′ 11″,siempre que la excentricidad del Sol sea al semidiámetro transversal del OrbeMáximocomo1615⁄16a1000.

Hemos investigado hasta ahora la variación en una órbita no excéntrica, en lacual,porcierto,laLunaestásiempreensusoctantesaladistanciamediadelaTierra.SilaLuna,debidoasuexcentricidad,distamásomenosdelaTierraquesisehallasesituadaendichaórbita, lavariaciónpuedeserentoncesalgomayoromenorqueloestablecido con la regla aquí dada; pero dejo para los astrónomos la tarea dedeterminarmediantelosfenómenoselexcesooeldefecto.

PROPOSICIÓNXXX.PROBLEMAXI

HallarelmovimientohorariodelosnodosdelaLunaenunaórbitacircular.

RepresentenSalSol,TalaTierra,PalaLuna,NPnlaórbitadelaLuna,Npnlaproyeccióndelaórbitasobreelplanodelaeclíptica;Nn,losnodos,nTNmlalíneadelosnodosprolongadainfinitamente;PI,PK,perpendicularestrazadassobreelplano


de la eclíptica; A, B, las sicigias de la Luna en el plano de la eclíptica; AZ, unaperpendicular sobre la líneade losnodosNn;Qq, las cuadraturasde laLuna en elplano de la eclíptica, y pK una perpendicular sobre la línea Qq situada entre lascurvaturas.LafuerzadelSolparaperturbarelmovimientodelaLuna(porlaProp.XXV)esdoble,unaproporcionalalalíneaLMdelesquemadedichaProposición,ylaotraproporcionalalalíneaMT.YlaLunaesatraídahacialaTierraconlaprimeradelasfuerzasyhaciaelSolconlasegundasegúnunalínearectaparalelaalarectaSTtrazadade laTierraalSol.LaprimerafuerzaLMactúasegúnelplanode laórbitalunar,yporelloennadacambialasituacióndelplano.Portanto,éstadebeignorarse.LasegundafuerzaMT,conlaqueseperturbaelplanodelaórbitalunar,eslamismaque3PKoque3IT.Yestafuerza(porlaPropos.XXV)esa lafuerzaconlacual laLunapodríagiraruniformementeensutiempoperiódicoyenuncírculoentornoalaTierraenreposocomo3ITalradiodelcírculomultiplicadopor178,725,ocomoITalradiomultiplicadopor59,575.Porlodemás,enestecálculoyentodoloquesigue,consideroa todas las líneas trazadasdesde laLunaalSolcomoparalelasa la líneaqueunelaTierrayelSol,debidoaquelainclinacióndisminuyelosefectosenunoscasoscasilomismoquelosaumentaenotros;ytratamosdehallarlosmovimientosmediosdelosnodos,ignorandoestasmenudencias,queharíanalcálculodemasiadopesado.

RepresenteahoraPMalarcodescritoporlaLunaenuntiempodadomínimoyMLun pequeño segmento cuya mitad podría recorrer la Luna en ese tiempo bajo laaccióndelafuerza3IT.ÚnansePL,MP,yprolónguensehastamyZ,dondecortanálplanodelaeclíptica;ysobreTmhágasedescenderlaperpendicularPH.YpuestoquelarectaMLesparalelaalplanodelaeclíptica,yportantonopuedeencontrarseconlarectamlquesehallaendichoplano,ysinembargoambasrectasestánenelplanocomúnLMPml,estasrectasseránparalelas,yporlomismolostriángulosLMPylmPseránsemejantes.PerocomoMPmestáenelplanodelaórbitaporlacualsemovía


laLunacuandoestabaenP,elpuntomcaerásobrelalíneaNntrazadaporlosnodosNn,dedichaórbita.YpuestoquelafuerzaporlaquesegeneralamitaddelpequeñosegmentoLM,siseimprimiesetodayalavezenelpuntoP,generaríatodaladichalínea,yharíaquelaLunasemovieseenunarcocuyacuerdafueseLP,y,portanto,trasladaríaa laLunadelplanoMPmTalplanoLPlT,elmovimientoangularde losnodosgeneradopordichafuerzaseráigualalángulomTl.PeromiesamPcomoMLaMP, y, por tanto, comoMP está dada por estar dado el tiempo,ml es como elrectánguloMLxmP,esdecir,comoelrectánguloITxmP.YelángulomTl,siempre

queelánguloTmlsearecto,escomomlTm

y,portanto,comoITxPmTm

,esdecir(por

serproporcionalestmymP,TPyPH)comoITxPHTP

,yportanto,porestardadoTP,

comoITxHP.PerosielánguloTml,oSTN,fueraoblicuoelángulomTlseráaúnmenor,enrazóndelsenodelánguloSTNalradio,otambiénenrazóndeAZaAT.Porconsiguiente,lavelocidaddelosnodosescomoITxPHxAZotambiéncomoelproductodelossenosdelostresángulosTPI,PTN,ySTN.

Siestosángulosfuesenrectos,estandolosnodosenlascuadraturasylaLunaenlassicigias, lapequeñalíneamise iráal infinito,yelángulomTl resultará igualalángulomPl.Enestecaso,elángulomPlesalánguloPTM,elcualdescribelaLunaen lomo a la Tierra en el mismo tiempo con su movimiento aparente, como 1 a59,575.PueselángulomPlesigualalánguloLPM,esdecir,alángulodedeflexióndelaLunadelatrayectoriarecta,ánguloquelaantedichafuerzasolarde3ITpodríagenerarendichotiempodado,sientoncescesaselagravedaddelaLuna;yelánguloPTMes igualalángulodedeflexiónde laLunade la trayectoria recta,ánguloquepodríagenerar en elmismo tiempo la fuerza, con laque laLuna es retenida en suórbita, si cesare entonces la fuerza solar3IT.Yestas fuerzas sonentre ellas, comohemosdichoantes,como1a59,575.Luego,comoelmovimientomediohorariodelaLunarespectoalasfijasseade32′56″27‴12½″″,elmovimientohorariodelosnodos en este caso será 33″ 10‴ 33″″ 12‴″. Pero en otros casos este movimientohorarioseráa33″10‴33″″12‴″comoelproductodelossenosdelos tresángulosTPI,PTNySTN(odelasdistanciasdelaLunaalacuadratura,alnodoyalSol)alcubodelradio.Ycuantasveceselsignodeunángulocualquierapasedepositivoanegativo,ydenegativoapositivo,deberápasarelmovimientoregresivoaprogresivoyelprogresivoaregresivo.DedondeseseguiráquelosnodosprogresaránsiemprequelaLunasehalleentreunadelascuadraturasyelnodopróximoalacuadratura.Enlosdemáscasosregresan,yporelexcesodelregresosobreelprogresoencadamesvanresultandoretrógrados.

COROLARIO1.Deaquíque,sidesdelosextremosPyMdeunarcomuypequeñodado y sobre la línea Qq que une las cuadraturas se hacen descender sendasperpendicularesPK,MkyselasprolongahastaquecortenlalíneadelosnodosNn


enDyd,elmovimientohorariodelosnodosserácomoeláreaMPDdyelcuadradodelalíneaAZconjuntamente.PuesseanPK,PHyAZlostressenosantedichos.Asaber,PKelsenodeladistanciadelaLunaalacuadratura,PHelsenodeladistanciadelaLunaalnodo,yAZelsenodeladistanciadelnodoalSol;ylavelocidaddelnodoserácomoelproductoPKxPHxAZ.PuesPTesaPKcomoPMaKk,yportanto,porestardadasPTyPM,KkesproporcionalaPK.YATesaPDcomoAZaPH,yportantoPH,proporcionalalrectánguloPDxAZ,ymultiplicandolasrazones,PKxPHescomoelproductoKkxPDxAZ,yPKxPHxAZcomoKkxPDxAZ2,estoes,comoeláreaPDdMyAZ2conjuntamente.Q.E.D.

COROLARIO 2. En una posición dada cualquiera de los nodos, el movimientohorariomedioes lamitaddelmovimientohorarioen las sicigiasde laLuna,yportantoesa16″35‴16″″36‴″comoelcuadradodelsenodeladistanciadelosnodosalassicigiasalcuadradodelradio,otambiéncomoAZ2aAT2.Puessi laLuna,conmovimientouniforme,circulaseporelsemicírculoQAq, lasumadetodaslasáreasPDdM,eneltiempoenquelaLunapasadeQaM,seráeláreaQMdE,queterminaenQEtangentedelcírculo;yeneltiempoenquelaLunaalcanzaelpunton,dichasumaseráeláreacompletaEQAnquedescribelalíneaPD,despuésalpasarlaLunadenaq,lalíneaPDcaeráfueradelcírculoydescribiráeláreanqelimitadaporqetangente al círculo; la cual, puesto que antes los nodos regresaban,mientras ahoraprogresan,deberestarsedeláreaprimera,ypuestoqueesigualaláreaQENdejaráelsemicírculoNQAn.Portanto,lasumadetodaslasáreasPDdM,eneltiempoenquelaLunadescribeunsemicírculo,eseláreadelsemicírculo;ylasumadetodaseneltiempoenquelaLunadescribeelcírculoeseláreadetodoelcírculo.PeroeláreaPDdM,cuando laLunaandapor las sicigias, es el rectángulocomprendidobajoelarcoPMyelradioPT;ylasumadetodaslasáreasigualesaésta,eneltiempoenquelaLunadescribeelcírculo,eselrectángulocomprendidobajotodalacircunferenciayelradiodelcírculo;yesterectángulo,alserigualadoscírculos,eseldoblemayorqueelrectánguloanterior.Portanto,losnodos,conlamismavelocidadcontinuaquetienenen lassicigias lunares,describiríanunespaciodoblementemayordelquedehechodescriben;yportanto,elmovimientomedio,conelcualpodríandescribir,sisecontinuaseuniformemente,unespaciodesigualdeporsídelrealmentedescrito,eslamitaddelmovimientoquetienenenlassicigiasdelaLuna.Dedonde,puestoqueelmovimientohorariomáximo,si losnodossehallanenlascuadraturas,esde33″10‴33″″12‴″,elmovimientohorariomedio,enestecaso,será16″,35‴,16″″,36‴″.Y, puesto que elmovimiento horario de los nodos es siempre comoAZ2 y el áreaPDdMconjuntamente, y por lomismo, elmovimiento horario de los nodos en lassicigiasdelaLunaescomoAZ2yeláreaPDdMconjuntamente,esdecir(porestardadaPDdMdescritaen las sicigias)comoAZ2,elmovimientomedioserá tambiéncomo AZ2, y por consiguiente este movimiento, cuando los nodos se encuentranfueradelascuadraturas,seráa16″,35‴,16″″,36‴″comoAZ2aAT2.Q.E.D.


PROPOSICIÓNXXXI.PROBLEMAXII

HallarelmovimientohorariodelosnodosdelaLunaenunaórbitaelíptica.

RepresenteQpmaqunaelipsetrazadaconelejemayorQqyelmenorab,QAqBuncírculocircunscrito,TlaTierraenelcentrocomúndeambos,SelSol,plaLunamoviéndose en la elipse, y pm el arco que describe en una mínima partícula detiempo dada, N y n los nodos unidos por la línea Nn, pK ymk perpendicularestrazadas sobreel ejeQq y desde él prolongadas a ambos ladoshastaque corten elcírculoenPyM,yalalíneadelosnodosenDyd.YsilaLuna,conradiotrazadoalaTierra,describeunáreaproporcionalaltiempo,elmovimientohorariodeunnodoenlaelipseserácomoeláreapDdmyAZ2conjuntamente.


Pues,siPFestangentealcírculoenP,yprolongadacortaaTNenF,ypƒestangentea la elipse en p y prolongada corta a la misma TN en ƒ, y si ambas tangentesconcurrensobreelejeTQenY;ysiMLrepresentaelespadoquelaLuna,girandoenelcírculoyeneltiempoenquedescribeelarcoPM,puededescribirconmovimientotransversalbajolaaccióndelaantedichafuerza3ITo3PK,ymirepresentaelespacioque laLuna, girando en elmismo tiempo en la elipse, bajo la acciónde lamismafuerza 3IT o 3PK, pudiera también describir y se prolongan LP y lp hasta queencuentren al plano de la eclíptica enG yg, y se unen FG yƒg, de las cuales laprolongación de FG corta a pƒ, pg y TQ en c, e y R, respectivamente, y laprolongacióndeƒgcortaaTQenr.Entonces,puestoquelafuerza3ITo3PKenelcírculo es a la fuerza 3IT o 3PK en la elipse comoPK apK,o comoAT aaT,elespacio ML generado por la primera fuerza será al espacio ml generado por lasegundacomoPKapK,esdecir,porlasemejanzadefigurasPYKpyFYRc,comoFRacR.PeroMLesaFG(porlasemejanzadelostriángulosPLM,PGF)comoPLaPG,esdecir(porserparalelasLk,PK,GR)comoplape,esdecir(porlasemejanzadelostriángulosplm,cpe)comolmace;einversamente,comoLMesalm,oFRacR,asíesFGace.Yporlomismo,siƒgfueseacecomoƒYacY,esdecir,comoƒracR(estoes,comoƒraFRyFRacRconjuntamente,esdecir,comoƒTaFTyFGace conjuntamente) comoal suprimir la razóndeFGa ce enunoyotroquedan lasrazonesdeƒgaFGyƒTaFT,seráƒgaFGcomoƒTaFT;yporconsiguiente,losángulosquesubtenderíanFGyƒgalaTierraTseríanigualesentreellos.Peroesosángulos(porloexpuestoenlaproporciónanterior)sonlosmovimientosdelosnodoseneltiempoenquelaLunarecorreenelcírculoelarcoPMyenlaelipseelarcopm:ypor tanto losmovimientosde losnodosenel círculoyen laelipse serán igualesentreellos.TodoestoseráasísiemprequeƒgseaacecomoƒYacY,estoes,siƒg

fueseigualacexƒYcY

.Peroporlasemejanzadelostriángulosƒgp,cep,ƒgesace

comoƒp escp; y por tanto,ƒg es igualcexƒpcp

; y por lo tanto, el ángulo que en

realidadsubtiendeƒgesalánguloanteriorquesubtiendeFG,estoes,elmovimientodelosnodosenlaelipsealmovimientodelosnodosenelcírculocomoesteƒg,ocexƒpcp

alanteriorƒgocexƒYcY

,estoes,comoƒpxcYaƒYxcp,oƒpaƒYycYa

cp,esdecir,siphparalelaaTNcortaaFPenh,comoFhaFYyFYaFP;estoes,comoFh a FP oDp aDP, y por tanto, como el áreaDpmd al áreaDPMD.Y porconsiguiente,puestoque(porelCorolario1delaProposiciónXXX)eláreasegundayAZ2 conjuntamente son proporcionales al movimiento horario de los nodos en elcírculo, el área primera y AZ2 conjuntamente serán proporcionales al movimientohorariodelosnodosenlaelipse.Q.E.D.

COROLARIO.Por locual,comoparaunaposicióndadadelosnodos, lasumade


todaslasáreaspDdm,eneltiempoenquelaLunavadesdeunacuadraturahastaunlugarcualquieram,vieneasermpQEd,queestádelimitadaporlatangentealaelipseQE;ylasumadetodasesasáreasenlarevolucióncompleta,vengaasereláreadelaelipse entera, el movimiento medio de los nodos en la elipse será al movimientomediodelosnodosenelcírculo,comolaelipsealcírculo;estoes,comoTaaTA,ocomo69a70.Yportanto,puestoque(porelCorolario2delaProposiciónXXX)elmovimientohorariomediodelosnodosenelcírculoesa16″,35‴,16″″,36‴″comoAZ2aAT2,sisetomaunángulode16″,21‴,3″″,30‴″alángulode16″,35‴,16″″,36‴″como69a70,elmovimientohorariomediodelosnodosenlaelipseseráa16″,21‴,3″″,30‴″comoAZ2aAT2;estoes,comoelcuadradodelsenodeladistanciadelnodoalSolalcuadradodelradio.

Peroporotraparte,laLunaconunradiotrazadoalaTierradescribeeláreaconmayor velocidad en las sicigias que en las cuadraturas, y por eso el tiempo en lassicigias se acorta mientras en las cuadraturas se alarga, y junto con el tiempo elmovimiento de los nodos aumenta y disminuye. Pero el momento del área en lascuadraturasdelaLunaeraalmomentodeláreaenlassicigiascomo10973a11073,yporello,elmomentomedioenlosoctantesesalexcesoenlassicigiasyaldefectoenlascuadraturascomolasemisumadeambascantidades11023asusemidiferencia50.Dedonde,puestoqueeltiempodelaLunaencadaunadelaspartículasigualesdelaórbitaesinversamentecomosuvelocidad,eltiempomedioenlosoctantesseráalexcesodetiempoenlascuadraturasyaldefectodetiempoenlassicigias,debidosaestascausas,como11023a50muyaproximadamente.Peromarchandodesdelascuadraturashacialassicigias,encuentroqueelexcesodelosmomentosdeláreaencadalugarporencimadelmomentomínimoenlascuadraturasescomoelcuadradodelsenodeladistanciadelaLunahastalascuadraturasmuyaproximadamente;yporello, ladiferenciaentreelmomentoenunlugarcualquierayelmomentomedioenlos octantes es como la diferencia entre el cuadrado del seno de la distancia de laLuna hasta las cuadraturas y el cuadrado del seno de 45 grados, o la mitad delcuadradodelradio;yelincrementodeltiempoencadalugarentrelosoctantesylascuadraturas y su decremento entre los octantes y las sicigias se halla en lamismarazón.Peroelmovimientodelosnodos,eneltiempoenquelaLunarecorrecadaunadelaspartículasigualesdesuórbita,seaceleraoretardaenrazóndelcuadradodeltiempo.Puesestemovimiento,mientras(«caeterisparibus»)laLunarecorrePM,escomoML,yMLestáenrazóndelcuadradodeltiempo.Porlocual,elmovimientodelos nodos en las sicigias, realizado en el tiempo en que la Luna recorre partículasdadasdelaórbita,disminuyecomoelcuadradodelarazónde11073a11023;yeldecrementoesalrestodelmovimientocomo100a10973,mientrasquerespectoalmovimientoenteroescomo100a11073muyaproximadamente.Peroeldecrementoenloslugaresentrelosoctantesylassicigias,yelincrementoentreloslugaresdelosoctantes y las cuadraturas es aproximadamente a este decremento como elmovimientototalendichoslugaresalmovimientototalenlassicigiasyladiferencia


entreelcuadradodelsenodeladistanciadelaLunahastalacuadraturaylamitaddelcuadradodelradio,alamitaddelcuadradodelradioconjuntamente.Dedonde,silosnodossehallanenlascuadraturasysetomandoslugaresequidistantesaunladoyotro del octante, y otros dos a esamisma distancia uno de la sicigia y otro de lacuadratura,ydelosdecrementosdemovimientosenlosdoslugaresentrelasicigiayeloctanteserestanlosincrementosdemovimientosenlosotrosdoslugaressituadosentreeloctanteylacuadratura,eldecrementorestanteseráigualaldecrementoenlasicigia,comoveráfácilmentequienhagaelcálculo.Porconsiguiente,eldecrementomedio,quedeberestarsedelmovimientomediodelosnodos,es lacuartapartedeldecremento en la sicigia. Elmovimiento horario total de los nodos en las sicigias,cuando la Luna con un radio trazado a la Tierra se suponía que describía un áreaproporcionalal tiempo,erade32″42‴7″″.Yeldecrementodelmovimientodelosnodos, en el tiempo en que la Luna,más veloz ahora, describe elmismo espacio,hemosdichoqueeraaestemovimientocomo100a11073;yporconsiguiente,dichodecremento es de 17″ 43″″ 11‴″, cuya cuarta parte 4‴ 25″″ 48‴″ restada almovimiento horariomedio halladomás arriba deja un resto de 16″ 16‴ 37″″ 42‴″comomovimientohorariomediocorregido.

Si los nodos están fuera de las cuadraturas y se contemplan dos lugaresequidistantes de las sicigias, uno a cada lado, la suma de los movimientos de losnodos,cuandolaLunasehallaendichoslugares,seráalasumadelosmovimientoscuandolaLunasehallaenesoslugaresylosnodossehallanenlascuadraturascomoAZ2aAT2.Y losdecrementosde losmovimientos,debidos a las causas expuestasmás arriba, serán entre sí como los movimientos mismos, y por tanto, losmovimientos restantes serán entre sí comoAZ2 aAT2, y losmovimientosmediosserán como los movimientos restantes. Por consiguiente, el movimiento horariomedio corregido en cualquier situación dada de los nodos es a 16″ 16‴ 37″″ 42‴″comoAZ2aAT2;esdecir,comoelcuadradodelsenodeladistanciadelosnodosalassicigiasalcuadradodelradio.

PROPOSICIÓNXXXII.PROBLEMAXIII

HallarelmovimientomediodelosnodosdelaLuna.

Elmovimientomedioanualeslasumadetodoslosmovimientoshorariosmediosdelaño.ImagínesequeelnodosehallaenNyencadaunadelashorasregresaasulugarinicial,desuerteque,noobstantesumovimientopropio,conservesiempresulugarrespectoalasestrellasfijas.Pero,mientrastanto,elSolS,porelmovimientodela Tierra, se desplaza desde el nodo y completa uniformemente su curso anualaparente.YseaAaarcomínimodadoquelarectaTStrazadacontinuamentealSoldescribe con su intersección con el círculoNAn en un tiempomínimo dado: y el


movimientohorariomedio (por lo queya se hamostrado) será comoAZ2, esto es(porserproporcionalesAZ,ZY),comoelrectánguloAZyZY,esdecir,comoeláreaAZYa.YlasumadetodoslosmovimientoshorariosmediosdesdeelprincipioserácomolasumadetodaslasáreasaYZA,esdecir,comoeláreaNAZ.PerolamáximaAZYa es igual al rectángulobajo el arcoAa y el radio del círculo, y por tanto, lasuma de todos los rectángulos en el círculo entero es a la suma de otros tantosrectángulos máximos, como el área de todo el círculo al rectángulo bajo lacircunferenciayelradio,esdecir,como1a2.Peroelmovimientocorrespondientealrectángulomáximoerade16″16‴37″″42‴″.Yestemovimiento,enunañosidéreocompletode365d.6h.9′resultade39.º38′7″50‴.Yporconsiguiente,sumitad19.º49′3″55‴eselmovimientomediodelosnodosquecorrespondealcírculoentero.YelmovimientodelosnodoseneltiempoenqueelSolpasadeNhastaAesa19.º49′3″55‴comoeláreaNAZalcírculoentero.

EstoesasíenlahipótesisdequeelnodotrascadahoraregresaseallugarinicialydequeelSoltraselrecorridoanualcompletoregresasealmismonododelquehabíapartido.PeroporcausadelmovimientodelnodoocurrequeelSol regresaantesalnodo,yahorahayquecalcularlaabreviacióndeltiempo.PuestoqueelSolenelañoentero completa 360 grados y el nodo con movimiento máximo completa en esemismotiempo39.º38′7″50‴,o39,6355grados,yelmovimientomediodelnodoenunlugarcualquieraNesasumovimientomedioensuscuadraturascomoAZ2aAT2;el movimiento del Sol al movimiento del nodo en N será como 360AT2 a39,6355AZ2; es decir, como 9,0827646AT2 a AZ2. De donde, si la circunferenciaNAndelcírculoenterosedivideenpartículasigualesAa,eltiempoenelqueelSolrecorreunapartículaAasielcírculoestáenreposo,seráaltiempoenquerecorreesamisma partícula, si el círculo junto con los nodos gira en torno al centro T,inversamente como 9,0827646AT2 a 9,0827646AT2 + AZ2. Pues el tiempo esinversamentecomolavelocidadconlaqueserecorrelapartícula,yestavelocidadeslasumadelasvelocidadesdelSolydelnodo.Portanto,sieltiempo,enelqueelSolsinelmovimientodelnodorecorreríaelarcoNA,serepresentaporelsectorNTA,y


la partícula de tiempo en que recorrería el arco mínimo Aa, se representa por lapartículaATa del sector; y (trazada la perpendicularnYsobreNn) si sobreAZ setomadZdeunalongitudtalqueelrectángulodZporZYseaalapartículaATadelsectorcomoAT2a9,0827646AT2+AZ2,esdecir,demodoquedZseaa½AZcomoAT2a9,0827646AT2+AZ2,elrectángulodZporZYrepresentaráeldecrementodetiempodebidoalmovimientodelosnodos,durantetodoeltiempoenqueserecorreelarcoAa.YsielpuntodestangentealacurvaNdGn,eláreacurvilíneaNdZseráeldecremento total en el tiempo en que se recorre el arco entero NA; y por ello elexcesodel sectorNATsobreel áreaNdZserádicho tiempo total.Y,puestoqueelmovimientodelnodoenmenortiempoesmenorenrazóndeltiempo,tambiéneláreaAaYZdeberádisminuirenesaproporción.CosaqueocurrirásisobreAZsetomalalongitudeZtalqueseaalalongitudAZcomoAZ2a9,0827646AT2+AZ2.PuesdeestemodoelrectánguloeZporZYseráaláreaAZYacomoeldecrementodeltiempoenqueserecorreelarcoAa,altiempototalenqueserecorreríasielnodoestuvieseen reposo: y por lo tanto, dicho rectángulo corresponderá al decremento delmovimientodelnodo.YsielpuntoefueratangentealacurvaNeFn,eláreaenteraNeZ,queeslasumadetodoslosdecrementos,corresponderáaldecrementototalenel tiempoenque es recorridoel arcoAN;y el área restanteNAe corresponderá almovimientorestante,queeselverdaderomovimientodelnodo,eneltiempoenqueel arco enteroNA es recorrido por losmovimientos conjuntos del Sol y del nodo.Ahora bien, el área del semicírculo es al área de la figura NeFn, hallada por elmétodo de las series infinitas, como 793 a 60 muy aproximadamente. Pero elmovimientoquecorrespondíaalcírculoenteroerade19.º49′3″55‴yporlomismo,elmovimientocorrespondientealdobledelafiguraNeFnes1.º29′58″2‴.Elcualrestadodelmovimientoanteriordejaunrestode18.º19′5″53‴movimientototaldelnodo respecto a las fijas entre sus propias conjunciones con el Sol; y restado estemovimientodelos360gradosdelmovimientoanualdelSol,dejaunrestode341.º40′54″7‴movimientodelSolentreesasmismasconjunciones.Peroestemovimientoesalmovimientoanualde360gradoscomoelmovimientodelnodoyahalladode18.º19′5″53‴asumovimientoanual,queseráportantode19.º18′1″23‴.Esteesel movimiento medio de los nodos en el año sidéreo. El mismo, por las tablasastronómicas es es de 19.º 21′ 21″ 50‴. La diferencia es menor que 1⁄300 delmovimiento total, y parece deberse a la excentricidad de la órbita lunar y a lainclinaciónhaciaelplanodelaeclíptica.Porcausadelaexcentricidaddelaórbitaelmovimientodelosnodosseacelerademasiado,mientrasque,porcontra,debidoasuinclinaciónseretardaunpoco,reduciéndoseasíasujustavelocidad.

PROPOSICIÓNXXXIII.PROBLEMAXIV

HallarelmovimientoverdaderodelosnodosdelaLuna.


En un tiempo que sea como el áreaNTA -NdZ (de la figura precedente) estemovimiento es como el área NAe, y por tanto está dado. Pero por la excesivadificultaddelcálculoesconvenientepresentarlaconstruccióndelproblemadelmodosiguiente.ConcentroenCyunadistanciacualquieraCDtráceseelcírculoBEFD.ProlóngueseDChastaAdemodoqueABseaaACcomoelmovimientomedioalamitaddelmovimientomedioverdadero,cuandolosnodosestánenlascuadraturas,esdecir, como 19.º 18′ 1″ 23‴ a 19″ 49′ 3″ 55‴ y por tanto BC será a AC como ladiferenciademovimiento0.º31′2″32‴esalmovimientoposterior19″49′3″55‴,esdecir,como1a383⁄10;trácesedespuésporelpuntoDlarectainfinitaGg,tangentealcírculoenD;ysisetomaelánguloBCEoBCFigualaldobledeladistanciaentreellugardelSolyelnodo,halladopormediódelmovimientomedio,ysetrazaAEoAFsecantede la perpendicularDGenG,y se tomaun ánguloque sea almovimientototaldelnodoentréésteylassicigias(esdecir,a9.º11′3″)comolatangenteDGalacircunferenciaenteradelcírculoBED,yesteángulo(encuyolugarpuedetomarseelánguloDAG)seañadealmovimientomediodelosnodoscuandoéstospasandelascuadraturasalassicigiasosesustraedeldichomovimientomediocuandopasandelas sicigias a las cuadraturas, se tendrá su movimiento medio verdadero. Pues elmovimiento verdadero así obtenido concuerda muy aproximadamente con elmovimientoverdaderoqueresultarepresentandoeltiempoporeláreaNTA-NdZ,yelmovimientodelnodoporeláreaNAe;comocomprobaráquienseintereseyhagaloscálculos.Estaeslaecuaciónsemestraldelmovimientodelosnodos.Tambiénhayuna ecuaciónmensual, perono esnecesaria en absolutoparahallar la latitudde laLuna.Pues,dadoquelavariacióndelainclinacióndelaórbitalunarhaciaelplanodelaeclípticaestásometidaaunadobledesigualdad,unasemestralyotramensual,su desigualmensual y la ecuaciónmensual de los nodos se compensan y corrigenentreellasde talmodoqueambaspueden ser ignoradasa lahoradedeterminar lalatituddelaLuna.

COROLARIO.Deéstaydelaproposiciónprecedentesedesprendequelosnodosensus sicigias reposan, mientras en las cuadraturas retroceden con un movimientohorario de 16″ 19‴ 26″″ y que la ecuación del movimiento de los nodos en losoctantes es de 1.º 30′. Todo lo cual concuerda adecuadamente con los fenómenoscelestes.


ESCOLIO[11]

J.Machín,profesordeAstronomíaenCreshamyHenryPemberton,D.M.cadaunoporsupartehallaronotraformadedeterminarlosmovimientosdelosnodos.Sehahechoalgunamencióndeestemétodoenotraparte.Ylascartasquehevistodeambos contenían dos proposiciones que concordaban entre ellas. Añadiré aquí lacartadelSr.Machín,primeraquellegóamismanos.


«SOBREELMOVIMIENTODELOSNODOSDELALUNA

»PROPOSICIÓNI

»Elmovimientomedio del Sol desde el nodo se define por unamedia geométricaproporcionalentreelmovimientomediodelmismoSolyaquelmovimientomedioconelcualelSolseseparavelozmentedelnodoenlascuadraturas.

»SeaTellugardelaTierra,NnlalíneadelosnodosdelaLunaparauntiempodadocualquiera,KTMunaperpendicularaella,TAunarectaquegiraalrededordelcentroconlamismavelocidadangularconqueelSolyelnodosealejanunodeotro,demodoqueelángulocomprendidoentrelarectaenreposoNnylarectaengiroTA,siempreresulteigualaladistanciaentreloslugaresdelSolydelnodo.Ahora,sisedivide una recta cualquiera TK en partes TS y SK que sean como elmovimientohorariomediodelSolalmovimientohorariomediodelnodoenlascuadraturas,ysetomaalalíneaTHcomomediaproporcionalentrelaparteTSylalíneaenteraTK,estarectaserá,entrelasdemás,proporcionalalmovimientomediodelSoldesdeelnodo.

»Pues,descríbaseelcírculoNKnMconcentroenTyradioTK,yconelmismocentroyconlasejesTHyTNtráceselaelipseNHnL,yeneltiempoenqueelSolsesepara del nodo por el arco Na, si se traza la recta Nba, el área del sector NTarepresentará la sumade losmovimientosdelnodoydelSol enesemismo tiempo.Sea, pues, el arco mínimo Aa un arco que describe la recta Tba girandouniformemente según la antedicha ley enunapartículadadade tiempo,y el sectormínimoTAa será como la suma de las velocidades con que el Sol y el nodo sedesplazanenese tiempo.Pero lavelocidaddelSolescasiuniforme,porcuantosupequeñadesigualdadapenasproducevariaciónenelmovimientomediodelosnodos.Laotrapartedeestasuma,osea,lavelocidaddelnodoensuvalormedio,aumentaalapartarse de las sicigias como el cuadrado del seno de su distancia al Sol; por elCorolario de la Proposición XXXI del Libro III de los PRINCIPIA, y cuando esmáxima en las cuadraturas con el Sol enK, alcanza lamisma razón respecto a lavelocidaddelSolqueSKaTS,estoes,como(diferenciadeloscuadradosdeTKyTH o) el rectánguloKHM a TH al cuadrado. Pero la elipseNBH divide al sector


ATa,representacióndelasumadeestasdosvelocidades,endospartesABbayBTbproporcionalesalaspropiasvelocidades.Prolónguese,pues,BThastaelcírculoβydesde el punto B hágase descender sobre el eje mayor la perpendicular BG, queprolongadaaambosladostoquealcírculoenlospuntosFyƒypuestoqueelespacioABba es al sector TBb como el rectángulo ABβ a BT cuadrado (pues dichorectángulo es igual a la diferencia de cuadrados deTAyTBpor estar la rectaAβcortada igualmente en T y desigualmente en B). Por tanto esta razón, cuando elespacioABbaesmáximoenK,serálamismarazónqueladelrectánguloKHMaHTalcuadrado,perolavelocidadmediamáximadelnodoestabaalavelocidaddelSolenestamismarazón.Porconsiguiente,enlascuadraturas,elsectorATasedivideenpartes proporcionales a la velocidad. Y, puesto que el rectángulo KHM es a HTcuadradocomoFBƒaBGcuadrado,yelrectánguloABβesigualalrectánguloFBƒ,el área pequeña ABba, cuando esmáxima, será al resto del sector TB b como elrectánguloABb aBGcuadrado.Pero la razóndeestaspequeñasáreasera siemprecomoelrectánguloABβaBTcuadrado;yporlotantolapequeñaáreaABbaenellugarAesmenorqueeláreasemejanteenlascuadraturas,enrazóncuadradadeBGaBT,estoes,enrazóncuadradadelsenodeladistanciadelSolalnodo.Yportanto,lasuma de todas las áreas pequeñas ABba, o sea, el espacio ABN será como elmovimientodelnodoeneltiempoenqueelSolseseparadelnodoporelarcoNA.Yelespaciorestante,osea,elsectorelípticoNTBserácomoelmovimientomediodelSol en ese tiempo.Ypor lomismo, comoelmovimientomedio anualdel nodoesaquelqueocurreenel tiempoenelqueel solcompleta superíodo,elmovimientomediodelnododesdeelSolseráalmovimientomediodelpropioSolcomoeláreadel círculo al áreade la elipse, esdecir, como la rectaTKa la rectaTHque es lamedia proporcional entre TK y TS; o lo que da lo mismo, como la mediaproporcionalTHalarectaTS.


»PROPOSICIÓNII

»DadoelmovimientomediodelosnodosdelaLuna,hallarelmovimientoverdadero.

»SeaelánguloAladistanciadelSolal lugarmediodelnodo,oelmovimientomediodelSoldesdeelnodo.SisetomaentoncesunánguloBcuyatangenteseaalatangentedelánguloAcomoTHaTK,estoes,comolaraízcuadradadelarazóndelmovimiento horario medio del Sol al movimiento medio horario del Sol desde elnodocuandoéstesehallaenlascuadraturas,esteánguloBseráladistanciadelSolalverdadero lugar del nodo. Pues únaseFT y, por la demostración de la Proposiciónanterior,elánguloFTNseráladistanciadelSoldellugarmediodelnodo,mientrasqueelánguloATNseráladistanciadellugarverdadero,ylastangentesdeestosdosángulossonentreellascomoTKaTH.

»COROLARIO.DeaquíqueelánguloFTAeslaecuacióndelosnodosdelaLuna,yelsenodeesteángulocuandoesmáximoenlosoctantes,esalradiocomoKHaTK+ TH. En cambio el seno de esta ecuación en otro lugar cualquiera A es al senomáximocomoelsenodelasumadelosángulosFTN+ATNalradio:estoes,casicomoelsenodeldobledeladistanciadelSolallugarmediodelnodo(osea2FTN)alradio.

»ESCOLIO

»Sielmovimientohorariomediode losnodosen lascuadraturasesde16″16‴37″″42‴″,esdecir,enelañosidéreocompleto39.º38′7″50‴,THseráaTKcomolaraíz cuadrada de la razón del número 9,0827646 al número 10,0827646, esto es,como18,6524761a19,6524761.Yporlotanto,THaHKcomo18,6524761a1,es


decir,comoelmovimientodelSolenelañosidéreoalmovimientomediodelnodode19.º18′1″232⁄3‴.

»PerosielmovimientomediodelosnodosdelaLunaen20añosJulianosesde386.º50′15″comosededucedelasobservacionesaportadasporlateoríadelaLuna,elmovimientomediodelosnodosenelañosidéreoseráde19.º20′31″58‴.YTHseráaHKcomo360.ºesa19.º20′31″58‴,estoes,como18,61214a1,dedondeelmovimientohorariomediodelosnodosenlascuadraturasresultade16″18‴48″″.Ylaecuaciónmáximadelosnodosenlosoctantes,de1.º29′57″».

PROPOSICIÓNXXXIV.PROBLEMAXV

Hallarlavariaciónhorariadelainclinacióndelaórbitalunarhaciaelplanodelaeclíptica.

RepresentenAyalassicigias;Qyqlascuadraturas;Nynlosnodos;PellugardelaLunaensuórbita;plaproyeccióndedicholugarsobreelplanodelaeclíptica,ymTlelmovimientomomentáneodelosnodoscomomásarriba.YsisobrelalíneaTmsehacedescenderlaperpendicularPG,únasepG,yprolónguesehastaquecorteaTl eng y únanse también Pg; el ánguloPGp será la inclinación de la órbita lunarhaciaelplanodelaeclípticacuandolaLunasehalleenP;yelánguloPgpserásuinclinaciónalcompletarunmomentodetiempo;yporlotanto,elánguloGPgserálavariación momentánea de la inclinación. Pero este ángulo GPg es al ángulo GTgcomo TG a PG y PG y Pp a PG conjuntamente. Y por consiguiente, si por unmomentodetiemposetomaunahora,puestoqueelánguloGTg(porlaProposiciónXXX)esalángulode33″10‴33″″comoITxAZaATalcubo,elánguloGPg(olavariaciónhorariadelainclinación)seráalángulode33″10‴33″″como

ITxAZxTGx PpPG

aAT3.Q.E.I.

Esto es así bajo la hipótesis de que la Luna girase en una órbita circularuniformemente.Perosidichaórbitafueseelíptica,elmovimientomediodelosnodosdisminuyeenlarazóndelejemenoralejemayor;comosehaexpuestomásarriba.Yenesamismarazóndisminuyetambiénlavariacióndelainclinación.

COROLARIO 1. Si sobre Nn se eleva la perpendicular TF, y pM es el movimientohorariodelaLunaenelplanodelaeclíptica;ylasperpendicularespK,MktrazadassobreQTyprolongadasambasencuentranaTFenHyh:seráITaATcomoKka

Mp,yTGaHpcomoTZaATyporlomismoITxTGseráigualaKkxHpxTZ

Mp,


esto es, igual al áreaHpMhmultiplicada por la razónTZMp

: y en consecuencia, la

variaciónhorariade la inclinaciónesa33″10‴33″″comoHpMhmultiplicadapor

AZxTZMp

xPpPG

esaAT3.

COROLARIO 2. Y por tanto, si la Tierra y los nodos en cada hora completada seretirasen de sus nuevos lugares y regresaren en un instante siempre a sus lugaresiniciales, demodo que su posición durante unmes periódico entero permaneciesedada;todalavariacióndelainclinacióndurantedichomesseríaa33″10‴33″″comolareunióndetodaslasáreasHpMhgeneradasconlarevolucióndelpuntoPunidas

porlossignoscorrespondientes+y-,multiplicadadichareuniónporAZxTZxPpPG

aMpxAT3,esdecir,comoelcírculoenteroQAqamultiplicadoporAZxTZxPpPG

aMpxAT3,osea,comolacircunferenciaDAqamultiplicadaporAZxTZxPpPG

a

2MpxAT2.

COROLARIO 3. Por consiguiente, en una posición dada de los nodos, la variaciónhorariamediaque,continuadauniformementeduranteunmes,podríageneraraquella

variaciónmensual,esa33″10‴33″″comoAZxTZxPpPG

a2AT2,ocomoPpx

AZxTZ½AT

aPGx4AT,esdecir(puestoquePpesaPGcomoelsenodelainclinación

susodichaalradio,yAZxTZ½AT

ATseaa4ATcomoelsenodeldobledelánguloATn

alcuádruplodelradio)comoelsenodelamismainclinaciónmultiplicadoporelsenodeladobledistanciaentrelosnodosyelSolalcuádruplodelcuadradodelradio.

COROLARIO4.Puestoquelavariaciónhorariadelainclinación,cuandolosnodossehallanenlascuadraturas,es(porestaProposición)alángulode33″10‴33″″como

ITxAZxTGPpPG

aAT3,esdecir,comoITxTG½AT

xPpPG

a2AT;estoes,comoelseno

deladobledistanciadelaLunaalascuadraturasmultiplicadoporPpPG

aldobledel

radio:lasumadetodaslasvariacioneshorariaseneltiempoenquelaLunaenesta


situaciónde losnodos, pasade la cuadratura a la sicigia (esto es, en el espaciode1776⅙horas)seráalasumadeotrostantosángulosde33″10‴33″″osea,5878″,comolasumade todos lossenosde ladobledistanciade laLunaa lascuadraturas

multiplicadaporPpPG

alasumadeotrostantosdiámetros;estoes,comoeldiámetro

multiplicadoporPpPG

a la circunferencia; es decir, si la inclinación fuesede5.º 1′,

como7x874⁄10000a22,o278a10000.Yporlomismo,lavariacióntotalprocedentedelasumadetodaslasvariacioneshorariasesde163″,ode2′43″.

PROPOSICIÓNXXXV.PROBLEMAXVI

HallarlainclinacióndelaórbitadelaLunahaciaelplanodelaeclípticaenuntiempodado.

SeaAD el seno de la inclinaciónmáxima, y seaAB el seno de la inclinaciónmínima.BisecandoaBDenC,yporcentroenCydistanciaBCtráceseelcírculoBGD.SobreACtómeseCEenlamismarazónrespectoaEBenqueestáEBrespectoa2BA:ysiparaeltiempodadoseformaelánguloAEGigualaldobledeladistanciadelosnodosalascuadraturas,ysobreADsehacedescenderlaperpendicularGH:seráAHelsenodelainclinaciónbuscada.

Pues,GE2esigualaGH2+HE2=BHD+HE2=HBD+HE2-BH2=HBD+BE2 -2BHxBE=BE2+2ECxBH=2ECxAB+2ECxBH=2ECxAH.Porconsiguiente,alestardado2EC,GE2escomoAH.RepresenteahoraAEgaldobledela distancia de los nodos a las cuadraturas después de completado unmomento detiempodado,yelarcoGg,porestardadoelánguloGEg,serácomoladistanciaGE.PeroHhesaGgcomoGHaGC,yportantoHhescomoelproductoGHxGg,oGHxGE;esdecir,como

GHGE

xGE2o GHGE

xAH,

esdecir,comoAHyelsenodelánguloAEGconjuntamente.Porconsiguiente,siAHenalgúncasofueseelsenodelainclinación,éstaaumentaráconincrementosigualesalosdelsenodelainclinación,porelCorolario3delaProposiciónanterior,yporlomismosiemprepermaneceráigualadichoseno.PeroAH,cuandoelpuntoGcaeenunodelospuntosBoD,esigualadichoseno,yporconsiguientesiemprepermaneceigualaél.Q.E.D.

En esta demostración he supuesto que el ángulo BEG, que es el doble de la


distanciadelosnodosalascuadraturas,aumentauniformemente.Puesnohaytiempode examinar todas las minucias de las desigualdades. Imaginemos ahora que elánguloBEGesrecto,yenestecasoGgseríaelaumentohorariodeladobledistanciaentrelosnodosyelSol;ylavariaciónhorariadelainclinaciónendichocaso(porelCorolario3delaanteriorproposición)seráa33″10‴33″″comoelproductodelsenodelainclinaciónAHporelsenodelángulorectoBEG,queeseldobledeladistanciadelosnodosalSol,alcuádruplodelcuadradodelradio;esdecir,comoelsenodelainclinaciónmediaAHal cuádruplodel radio; estoes (puestoquedicha inclinaciónmediavieneaserdecasi5.ºy8½′)comosuseno896alradiocuadruplicado40000,ocomo224a10000.Esportantolavariaciónentera,correspondientealadiferenciaBDde los senos respectoa la susodichavariaciónhorariacomoeldiámetroBDalarcoGg;esdecir,conjuntamentecomoeldiámetroBDalasemicircunferenciaBGDyeltiempode20797⁄10horasenqueelnodopasadelascuadraturasalassicigiasaunahora;o también,como7a11y20797⁄10 a1.Por locual, si secombinan todasestasrazones,lavariacióntotalBDresultaráserrespectoa33″10‴33″″como224x7x20797⁄10 a 110 000, es decir, como 29 645 a 1000, y de aquí que la susodichavariaciónBDresultaráde16′23½″.

EstaeslavariaciónmáximadelainclinaciónentantonoseconsideraellugardelaLuna en su órbita. Pues la inclinación, si los nodos se hallan en las sicigias, nocambiaennadaporloscambiosdelugardelaLuna.Perosilosnodosseencuentranenlascuadraturas,lainclinaciónesmenorcuandolaLunasehallaenlassicigiasquecuandosehallaenlascuadraturas,condiferenciade2′43″,comoyaheindicadoenel Corolario cuarto de la Proposición anterior. Y restando 1′ 21½, mitad de estadiferencia,delavariaciónmediatotalBdenlascuadraturaslunaressetiene15′2″,ysumadaenlassicigiassetiene17′45″.Asípues,silaLunasehallaseenlassicigias,lavariaciónenteraenelpasodelosnodosdesdelascuadraturasalassicigiasseráde17′45″:ypor lo tanto,si la inclinación,cuandolosnodossehallanenlassicigias,fuesede5.º17′20″,lamisma,cuandolosnodosestánenlascuadraturasylaLunaenlassicigias,seráde4.º59′35″.Yqueestoesasí,seconfirmaporlasobservaciones.

Perosiahorasedesearelainclinacióndelaórbita,cuandolaLunasehallaenlassicigiasylosnodosenunlugarcualquiera,seaABaADcomoelsenodelángulode4.º59′35″alsenodelángulode5.º17′20″,ytómeseelánguloAEGigualaldoblede la distancia de los nodos a las cuadraturas; yAH será el senode la inclinaciónbuscada.A la inclinación de esta órbita viene a ser igual su inclinación cuando laLunadista90.ºdelosnodos.ParaotroslugaresdelaLuna,ladesigualdadmensualqueadmitelavariacióndelainclinaciónsecompensaenelcálculodelalatituddelaLuna,yhastaenciertomodoseanula,porladesigualdadmensualdelmovimientodelos nodos (como dijemás arriba) y por tanto puede despreciarse al calcular dichalatitud.


ESCOLIO[12]

Con estos cálculos de los movimientos lunares he queridomostrar que dichosmovimientos pueden calcularse mediante la teoría de la gravedad a partir de suscausas. Mediante la misma teoría he hallado, además, que la ecuación anual delmovimientomediodelaLunasedebíaaladiferentedilatacióndelaórbitalunarporlafuerzadelSol,segúnelCorolario6delaProposiciónLXVIdelLibroI.EstafuerzaenelperigeodelSolesmayorydilatalaórbitadelaLuna;ensuapogeoesmenorypermiteadichaórbitacontraerse.LaLunagiramáslentamenteenlaórbitadilatada,ymásrápidamenteenlacontraída;ylaecuaciónanual,porlaquesecompensaestadesigualdad, es nula en el apogeo y perigeo solares, mientras que en la distanciamediadelaTierrayelSolasciendecasia11′50″,yenotroslugaresesproporcionalalaecuacióndelcentrodelSol;ysesumaalmovimientomediodelaLunacuandolaTierra pasa de su afelio a su perihelio,mientras se resta en la parte opuesta de laórbita.Suponiendoel radiodelOrbeMagnode1000y laexcentricidadde la tierra16⅞, esta ecuación, cuando es máxima, resulta de 11′ 49″ por la teoría de lagravedad.PerolaexcentricidaddelaTierrapareceseralgomayor,yalaumentarlaexcentricidad esta ecuación debe aumentarse en la misma proporción. Sea laexcentricidadde1611⁄12,ylaecuaciónmáximaseráde11′51″.

Tambiéndescubríqueenelperiheliode laTierra,debidoa lamayorfuerzadelSol,elapogeoylosnodosdelaLunasemuevenmásrápidamentequeensuafelio,yelloenrazóninversadelcubodeladistanciadelaTierraalSol.Ydeaquísurgenlasecuaciones anuales de estos movimientos proporcionales a la ecuación del centrosolar. Pero el movimiento del Sol es inversamente proporcional al cuadrado de ladistancia de la Tierra al Sol, y la máxima ecuación del centro generada por estadesigualdad es de 1.º 56′ 20″, que se corresponde con la excentricidad del Sol de1611⁄12 mencionada más arriba. Pero si el movimiento del Sol se hallase en razóninversadelcubodeladistancia,estadesigualdadgeneraríaunaecuaciónmáximade2.º54′30″.Yporlotanto,lasecuacionesmáximasgeneradasporlasdesigualdadesdelapogeoydelosnodosdelaLuna,sona2.º54′30″comoelmovimientomediodiario del apogeo y el movimiento medio diario de los nodos de la Luna son almovimiento diario medio del Sol. De donde resulta la ecuación máxima delmovimiento medio del apogeo de 19′ 43″ y la ecuación máxima del movimientomedio de los nodos de 9′ 24″. La primera ecuación se suma y la última se restacuandolaTierrapasadelperihelioalafelio;yalcontrarioocurreenlaparteopuestadelaórbita.

TambiénsehaestablecidomediantelateoríadelagravedadquelaaccióndelSolsobre laLunaesalgomayorcuandoeldiámetro transversalde laórbita lunarpasaporelSolquecuandosehallaenángulorectoconla líneaqueunealaTierrayelSol:yporellolaórbitalunaresalgomayorenelprimercasoqueenelsegundo.Ydeaquí surge otra ecuación del movimiento medio lunar, que depende del lugar del


apogeo de la Luna respecto al Sol, la cual resulta máxima cuando coincide en eloctanteconelSol;yesnulacuandoelapogeollegaalascuadraturasoalassicigias:yseañadealmovimientomedioalpasarelapogeodelaLunadesdelacuadraturadelSol a las sicigias mientras que se resta cuando el apogeo pasa de la sicigia a lascuadraturas.Estaecuación,quellamarésemestral,enlosoctantesdelapogeo,cuandoes máxima, asciende a casi 3′ 45″, en la medida en que pude inferirlo de losfenómenos.EsteessuvaloraladistanciamediadelSolalaTierra.PeroaumentaodisminuyeenrazóninversadelcubodeladistanciadelSol,yporendealamáximadistanciadelSolesde3′34″yalamínimade3′56″aproximadamente:perocuandoelapogeodelaLunasehallasituadofueradelosoctantes,resultamenor;yesalaecuaciónmáximacomoelsenodeladobledistanciadelapogeodelaLunahastalasinmediatassicigiasolacuadraturaalradio.

PorlamismateoríadelagravedadlaaccióndelSolsobrelaLunaesalgomayorcuandolalínearectaquepasaporlosnodosdelaLunapasatambiénporelSolquecuandodichalíneaformaángulorectoconlalíneaqueunealaTierrayelSol.Ydeaquísurgeotraecuacióndelmovimientomediolunar,quellamarésegundasemestral,y que esmáxima cuando los nodos se encuentran en los octantes delSol y que sedesvanececuandosehallanenlassicigiasoenlascuadraturas,mientrasenlasdemásposiciones de los nodos es proporcional al seno de la doble distancia de unocualquieradelosnodosalasicigiaocuadraturapróxima;yseañadealmovimientomediodelaLunasielSolestáantesdelnodoinmediatoalaLunayserestasiestádelante,yenlosoctantes,cuandoesmáxima,asciendea47″aladistanciamediadelSoly laTierra,como infierode la teoríade lagravedad.AotrasdistanciasdelSolesta ecuación máxima en los octantes es inversamente proporcional al cubo de ladistanciadelSolalaTierra,yporendeenelperigeodelSolasciendecasia49″yensuapogeoacasi45″.

PorlamismateoríadelagravedadelapogeodelaLunaprogresamáximamentecuando,obiensehallaenconjunciónconelSol,obienenoposiciónaél,yretrocedecuandoformacuadraturaconelSol.Ylaexcentricidadsetornamáximaenelprimercasoymínimaenelsegundo,porlosCorolarios7,8y9delaProposiciónLXVIdelLibro I. Y estas desigualdades, por los mismos Corolarios, son muy grandes ygeneranlaecuaciónprincipaldelapogeo,a laquellamarésemestral.Ylaecuaciónmáxima del semestre es de 12.º 18′ aproximadamente, en la medida en que pudeinferirlo de las observaciones.NuestroHorrox fue el primero en establecer que laLuna gira en una elipse en torno a la Tierra que está situada en su foco inferior.Halleysituóelcentrodelaelipseenunepiciclocuyocentrogirauniformementeentorno a la Tierra. Y del movimiento en el epiciclo surgen las desigualdades yamencionadasenelprogresoy regresodelapogeoyenelvalorde laexcentricidad.ImaginemosqueladistanciamediadelaLunaalaTierrasedivideen100000partes,y T represente a la Tierra, TC la excentricidadmedia de la Luna de 5505 partes.Prolónguese Te hasta B, de modo que CB sea el seno de la ecuación máxima


semestralde12.º18′paraelradioTC,yelcírculoBDAtrazadoconcentroenCyradioCBseráelsusodichoepicicloenelquesehallasituadoelcentrode laórbitalunarygirasegúnelordendelasletrasBDA.TómeseelánguloBCDigualaldobledelargumentoanual,oaladobledistanciadelverdaderolugardelSolalapogeodelaLunaigualadounavez,yCTDserálaecuaciónsemestraldelapogeolunaryTDlaexcentricidad de la órbita de la Luna que se dirige hacia el apogeo igualado porsegunda vez. Pues bien, una vez conocidos elmovimientomedio de la Luna y elapogeoylaexcentricidad,asícomoelejemayordelaórbitadelaLunade200000partes; a partir de esto se obtiene el verdadero lugar de la Luna en la órbita y sudistanciaalaTierra,yestopormétodosmuyconocidos.

En el perihelio de la Tierra, debido a lamayor fuerza del Sol, el centro de laórbitalunarsemuevemásvelozmenteentornoalcentroCqueenelafelio,yestoenrazón inversadelcubode ladistanciadelSola laTierra.Porestar laecuacióndelcentrodelSolcomprendidaenelargumentoanual,elcentrodelaórbitadelaLunasemueve más velozmente en el epiciclo BDA en razón inversa del cuadrado de ladistancia de la Tierra al Sol. Para que pueda moverse aún más deprisa en razónsimpleinversadeladistancia,trácesedesdeelcentroDdelaórbitahaciaelapogeode laLuna la rectaDE,paralelaaTC,y tómeseelánguloEDFigualalexcesodelargumentoanualantedichosobre ladistanciahaciaadelantedel apogeode laLunahasta el perigeo del Sol; o lo que es lo mismo, tómese el ángulo CDF igual alcomplementodelaverdaderaanomalíadelSolrespectoa360grados.YseaDFaDCcomoeldobledelaexcentricidaddelOrbeMagnorespectoaladistanciamediadelSolalaTierrayelmovimientodiariomediodelSoldesdeelapogeodelaLunaalmovimiento diariomedio del Sol desde su propio apogeo conjuntamente, es decir,como 33⅞ a 1000 y 52′ 27″ 16‴ a 59′ 8″ 10‴ conjuntamente, o como 3 a 100. EimaginemosqueelcentrodelaórbitadelaLunasesitúaenelpuntoFy,mientrasgiraenelepiciclodecentroDyradioDF,elpuntoDprogresaporlacircunferenciadelcírculoDABD.Puesconestaproporción,lavelocidadconlaqueelcentrodelaórbita lunarsemoveráporunacierta líneacurvadescritaentornoalcentroC,seráinversamentecomoelcubodeladistanciadelSolalaTierramuyaproximadamente,comoespreciso.

Es difícil el cálculo de este movimiento, pero se torna más fácil mediante la


aproximaciónsiguiente.Si ladistanciamediade laLunaa laTierraesde100000partesylaexcentricidadesde5505partes,comoantes,larectaCBoCDresultaráde1172¾ partes yDF de 35⅕ partes.Y esta recta, a la distancia TC, subtiende a laTierraelángulogeneradoporlatraslacióndelcentrodelaórbitadesdeelpuntoDalpuntoFdebidoalmovimientodedichocentro:yeldobledeesa líneaenposiciónparalelayaladistanciadelfocosuperiordelaórbitadelaLunaalaTierrasubtiendeelmismoángulotambiéngeneradoenelmovimientodelfocopordichatraslaciónyquepor ello puede ser llamado segunda ecuacióndel centro.Y esta ecuación, a ladistanciamediadelaLunaalaTierra,escomoelsenodelángulocomprendidoentrela susodicha recta DF y la trazada desde el punto F hasta la Luna muyaproximadamente, y cuando es máxima resulta de 2′ 25″. Pues el ángulocomprendido entre la rectaDFy la recta trazada desdeF hasta laLuna se obtienetantorestandoelánguloEDFde laanomalíamediade laLuna,comoañadiendoladistanciadelaLunaalSolaladistanciadelapogeodelaLunahastaelapogeodelSol.Ycomoel radioesel senodelánguloasíhallado,así son también2′25″a lasegundaecuación,quehadesumarsesiaquellasumafuesemenorqueelsemicírculoyrestarsesi fuesemayor.Asíseobtendrásu longitudenlassicigiasmismasdelosastros.

PuestoquelaatmósferadelaTierrahastaunaalturade35ode40millasrefractalaluzdelSol,yalrefractarlaladispersaporlasombradelaTierra,yaldispersarlaenloslímitesdelasombradilataalasombra,aldiámetrodelasombraresultantedelaparalaje,añadounminutoenloseclipsesdelaLuna,oacasounminutoyuntercio.

PerolateoríadelaLunadebeexaminarseyestablecersemediantelosfenómenos,primero en las sicigias, después en las cuadraturas y por último en los octantes.YquienabordeestatareanosufriráinconvenientesalutilizarlosmovimientosmediosdelSolydelaLunaparaeltiempodelRealObservatoriodeGreenwichelúltimodíadediciembredelaño1700,calendarioantiguo,asaber:elmovimientomediodelSol♑20.º43′40″ysuapogeo♋7.º44′30″yelmovimientomediodelaLuna♒15.º21′ 00″, y su apogeo♓ 8.º 20′ 00″, y del nodo ascendente☊ 27.º 24′ 20″, y ladiferencia demeridianos entre este observatorio y el Real deParís es de 0h. 9m.20sg.,peroelmovimientomediodelaLunaydesuapogeonosetienentodavíaconsuficienteexactitud.

PROPOSICIÓNXXXVI.PROBLEMAXVII

HallarlafuerzadelSolparamoverelmar

LafuerzaMLdelSol,oPT,enlascuadraturaslunares,alahoradeperturbarlosmovimientos lunares,erarespectoa laFuerzade lagravedadentrenosotros(por laProposiciónXXVdeesteLibro)como1a638092,6.YlafuerzaTM-LM,o2PKen


las sicigias lunares era el doblemayor. Pero estas fuerzas, si descendiéramos a lasuperficiedelaTierra,disminuiránenrazóndelasdistanciasalcentrodelaTierra,esdecir,enrazónde60½a1;yporconsiguiente,lafuerzaanteriorenlasuperficiedelaTierraesalafuerzadelagravedadcomo1a38604600.Conestafuerzaelmarsedeprime en los lugares que distan 90 grados del Sol.Con la otra fuerza, que es eldoblemayor,seelevaelmartantobajoelSolcomoenlaparteopuesta.Lasumadelasfuerzasesalafuerzadelagravedadcomo1a12868200.Ypuestoquelamismafuerzainduceelmismomovimiento,tantosiconelladeprimealaguaenlasregionesquedistan90gradosdelSol,comosilaelevaenlasregionesbajoelSoluopuestasaél,estasumaserálafuerzatotaldelSolparaagitarelmar;ytendráelmismoefectoque si toda ella elevase elmar en las regiones bajo el Sol y opuestas al Sol, y encambionoactuaseenabsolutoenlasregionesquedistan90gradosdelSol.

EstaeslafuerzadelSolparamoverelmarenunlugardadocualquiera,cuandoelSolsehalla,tantoenelvérticedellugar,comoasudistanciamediadelaTierra.EnotrasposicionesdelSolsufuerzaparamoverelmarescomoelsenoversodeldobledelaalturadelSolsobreelhorizontedellugar,directamente,einversamentecomoelcubodeladistanciadelSolalaTierra.

COROLARIO.Puestoque la fuerzacentrífugade laspartesde laTierraoriginadaporelmovimientoterrestrediario,queesa lafuerzadelagravedadcomo1a289,hagaquelaalturadelaguaenelecuadorsuperelaaltituddelamismasobrelospolosen 85 472 piesparisinos, como se viomás arriba en la ProposiciónXIX, la fuerzasolardequehemostratado,alseralafuerzadelagravedadcomo1a12868200yportantoalasusodichafuerzacentrífugacomo289a12868200,osea,como1a44527,haráquelaalturadelaguaenlasregionesbajoelSolysusopuestassuperealaalturade lamismaenlos lugaresquedistan90gradosdelSolensolamenteunpieparisinoyoncepulgadascondepulgada.Pueséstaeslacantidadque,respectoa85472pies,escomo1a44527.

PROPOSICIÓNXXXVII.PROBLEMAXVIII[13]

HallarlafuerzadelaLunaparamoverelmar.

La fuerza de la Luna para mover el mar hay que inferirla de su proporción


respectoalafuerzadelSol,yestaproporciónhayqueinferirladelaproporcióndelosmovimientosdelmargeneradosporestasfuerzas.AntesdeladesembocaduradelríoAVON,enlaterceramillamásabajodeBristol,enprimaverayotoñoelascensototaldelaguaenlaconjunciónyenlaoposicióndelosastros,segúnlaobservacióndeSamuelSturmy,esdeunos45pies,mientrasqueenlascuadraturasestánsólode25.Laalturaprimeraesdebidaalasumadelasfuerzas,ylasegundaasudiferencia.Por consiguiente, sean S y L las fuerzas del Sol y de la Luna situados sobre elecuadoryadistanciasmediasdelaTierra,yL+SseráaL-Scomo45a25,ocomo9a5.

La subida del mar en el puerto ce Plymouth según observación de SamuelColepress alcanza unos dieciséis pies de altura media, y en primavera y otoño laalturadelamareaenlassicigiaspuedesuperarasualturaenlascuadraturasensieteuochopiesmás.Siladiferenciamáximadeestasalturasfuesedenuevepies,L+SseráaL-Scomo20½a11½,ocomo41a23.Proporciónquecoincidebastantebiencon laanterior.Por lamagnitudde lasmareasenelpuertodeBristol,parecenmásfiableslasobservacionesdeSturmy,yporellonosatendremosalaproporciónde9a5hastaquehayaconstanciadealgomásseguro.

Por lo demás, debido a los movimientos de reciprocación de las aguas, lasmáximasmareasnocoincidenconlassicigiasdelosastrossinoquesonlasterceraspost-sicigias, como se ha dicho, o son inmediatas al tercer paso de la Luna por elmeridianodellugardespuésdelassicigias,omejor(comoobservaSturmy),sonlastercerasdespuésdeldíadenoviluniooplenilunio,otambiénmásomenosdocehorasdespuésdelnoviluniooplenilunio,yporellovienenaincidirmásomenosenlahoracuarenta y tres desde el novilunio o plenilunio. En el puerto susodicho vienen aocurrirunassietehorasdespuésdelpasodelaLunaporelmeridianodellugar;yportanto siguen inmediatamente al paso de la Luna por elmeridiano, cuando la LunadistadelSol,odelaoposicióndelSol,másomenosdieciochoodiecinuevegradoshacia adelante. Verano e invierno son de gran importancia, no en los mismossolsticios,sinocuandoelSoldistadelossolsticiosunadécimapartedelcursoentero,esdecir,unos36ó37grados.Eigualmente,lamáximasubidadelmarseoriginaporelpasodelaLunaporelmeridianodellugar,cuandolaLunadistadelSolcasiunadécimapartedelmovimientototaldemareaamarea.Seaesadistanciamásomenosde18½grados.YlafuerzadelSolaestadistanciadelaLunadelassicigiasydelascuadraturasserámenorparaaumentarodisminuirelmovimientodelmardebidoalafuerzalunarqueenlaspropiassicigiasycuadraturasenlarazóndelradioalsenodelcomplementodeldobledeesadistanciaoseadelángulode37grados,esdecir,enrazónde10000000a7986355.Yporlomismo,enlaproporcióndemásarribahayqueescribir0,7986355SenlugardeS.

PerotambiénhayquedisminuirlafuerzadelaLunaenlascuadraturas,debidoaladeclinaciónlunardelecuador.Puesenlascuadraturas,omásbienenelgrado18½despuésdelascuadraturas,tieneunadeclinaciónaproximadade23.º13′.Ylafuerza


paramoverelmardelastroendeclinaciónecuatorialdisminuyeen razóncuadradadelsenodelcomplementode ladeclinaciónmuyaproximadamente.Ypor tanto, lafuerzadelaLimaenestascuadraturasestansolode0,8570327L.Porlotanto,L+0,7986355Sesa0,8570327L-0,7986355Scomo9a5.

Además los diámetros de la órbita en que debería moverse la Luna sinexcentricidadsonentresícomo69a70;yporelloladistanciadelaLunaalaTierraenlassicigiasesasudistanciaenlascuadraturascomo69a70,enigualesrestantescondiciones.Ysusdistanciasenelgrado18½desdelassicigiascuandosegeneralamareamáxima,yenelgrado18½desdelascuadraturas,cuandosegeneralamareamínima, son a su distancia media como 69,098747 y 69,897345 a 69½. Pero lasfuerzas de la Luna para mover el mar están en razón inversa del cubo de lasdistancias, y por ello las susodichas fuerzas en la máxima y mínima de estasdistanciassonalafuerzaenladistanciamediacomo0,9830427y1,017522a1.Dedonde resulta que 1,017522L + 0,7986355S es a 0,9830427 x 0,8570327L -0,7986355Scomo9a5.YSaLcomo1a4,4815.DesuertequesiendolafuerzadelSolaladelagravedadcomo1a12868200,lafuerzadelaLunaseráadichafuerzadelagravedadcomo1a2871400.

COROLARIO 1.Dadoqueel aguabajo la acciónde la fuerzadelSol subeaunaalturadeunpie,oncepulgadasy 1⁄30depulgada, laLunacon lapropia fuerzaharáque ascienda hasta una altura de ocho pies y 75⁄22 pulgadas, y con ambas fuerzasjuntashastaunaalturade10½pies,ycuandolaLunaestáenelperigeohasta12½piesymás,sobretodocuandoelvientocolaboraconsuempuje.Semejantefuerzaesbastanteparaprovocartodoslosmovimientosdelmar,yrespondeadecuadamenteala cantidad de movimiento. Pues en los mares que se extienden ampliamente deorienteaoccidente,comoenelPacíficoyenlaszonasextratropicalesdelosmaresAtlánticoyEtiópico,elaguasuelealcanzaralturasdeseis,nueve,doceoquincepies.PeroenelmarPacífico,másprofundoymásextenso,seaseguraquelasmareassonmayoresqueenelAtlánticoyenelEtiópico.Yesqueparaquelamareaseamásalta,laanchuradelmardeesteaoestenodebesermenordenoventagrados.EnelmarEtiópico la subidadelaguaentre los trópicosesmenorqueen laszonas templadasdebidoalaestrechezdelmarentreÁfricaylaAméricaaustral.Enelmediodelmarelaguanopuedeascender,salvoquedesciendaalavezenlasdosorillasorientalyoccidental, pese a que en nuestros estrechos mares haya de descender por vecesalternasendichascostas.Porestarazónelflujoyreflujo,enlasislasmuydistantesdelascostas,suelesermuypequeño.Enlospuertosenlosqueelaguaseveobligadaallenaryvaciaralternativamentelascuencaspasandocongranímpetuporestrechosypocoprofundoscanales,losflujosyreflujoshandeserporfuerzamayores,comoenPlymouthyenelpuentedeChepstow,enInglaterra;enelMontS.Micheleoenlaciudad deAvranches enNormandía, enCambaya y Pegu en la India oriental. Endichos lugares el mar, entrando y saliendo con gran velocidad, tanto inunda loslitoralescomodejamillasenterasdearenales.Yel ímpetude lasentradasyde las


salidasdeaguanocesahastaqueelaguasubeodesciende30,40,yhasta50pies,omás. Y lo mismo ocurre con los estrechos largos y poco profundos, como el deMagallanes o los que rodean Inglaterra. Las mareas, en semejantes puertos yestrechosporlafuerzadelosaccesosyrecesosaumentanengranmedida.Mientrasqueenlascostascondescensorápidohaciaunmarprofundoyabierto,enlascualeselaguasin fuerzaen la llegadayenel retrocesopuedesubirybajar libremente, lamagnituddelamarearespondealasfuerzasdelSolydelaLuna.

COROLARIO2.DadoquelafuerzadelaLunaparamoverelmaresalafuerzadelagravedadcomo1a2871400,esevidentequedichafuerzaesmuchomenorquelaqueesperceptiblemedianteexperimentosconpéndulosocualesquieraotrosestáticosohidrostáticos.Únicamentedichafuerzamuestraunefectosensibleenlasmareas.

COROLARIO 3. Toda vez que la fuerza de la Luna para mover el mar es a lacorrespondientefuerzadelSolcomo4,4815a1,ydichasfuerzas(porelCorolario14delaProposiciónLXVIdelLibroI)soncomolasdensidadesdeloscuerposdelaLunaydelSolyelcubodelosdiámetrosaparentesconjuntamente;ladensidaddelaLunaseráaladensidaddelSoldirectamentecomo4,4815aleinversamentecomoelcubodeldiámetrodelaLunaalcubodeldiámetrodelSol:estoes(siendolosdiámetrosmediosaparentesdelaLunaydelSolde31′,16½yde32′,12″),como4891a1000.PeroladensidaddelSoleraaladensidaddelaTierracomo1000a4000;yportanto,ladensidaddelaLunaesaladensidaddelaTierracomo4891a4000,ocomo11a9.LuegoelcuerpodelaLunaesmásdensoyterrosoquenuestraTierra.

COROLARIO 4. Y puesto que el verdadero diámetro de la Luna obtenido de lasobservacionesastronómicasesalverdaderodiámetrodelaTierracomo100a365,lamasadelaLunaseráalamasadelaTierracomo1a39,788.

COROLARIO5.Ylagravedadaceleratrizen lasuperficiede laLunaserácasiuntriplomenorquelagravedadaceleratrizenlasuperficiedelaTierra.

COROLARIO6.YladistanciadelcentrodelaLunaalcentrodelaTierraseráaladistanciadelcentrode laLunaalcentrocomúndegravedadde laTierray laLunacomo40,788a39,788.

COROLARIO7.YladistanciamediadelcentrodelaLunaalcentrodelaTierraenlosoctantesdelaLunaseráaproximadamentede60⅖semidiámetrosmáximosdelaTierra.PorqueelsemidiámetromáximodelaTierraerade19658600piesparisinos,yladistanciamediaentrecentrosdeLunayTierraconstade60⅖deestosmismossemidiámetros y es igual a 1 187 379 440 pies. Esta distancia (por el Corolarioanterior)esa ladistanciadelcentrode laLunaalcentrocomúndegravedadde laTierraylaLunacomo40,788a39,788:porlotanto,ladistanciaúltimaesde1158268534pies.Y,puestoquelaLunagirarespectoalasfijasen27días,7horasy434⁄9minutos,elsenoversodelángulodescritoporlaLunaenunminutoesde12752341paraunradiode1000000000000000.Yelradioesaestesenoversocomo1158268 534 pies son a 14,7706353 pies. Por consiguiente, la Luna, cayendo hacia la


Tierra con la fuerza con la que es retenida en órbita describirá en el tiempode unminuto 14,7706353 pies.Y aumentando dicha fuerza en una razón como17829⁄40 a17727⁄40setendrálafuerzatotaldegravedadenlaórbitadelaLuna,porelCorolariodelaProposiciónIII.YcayendolaLunaconestafuerzadescribiráeneltiempodeunminuto14,8538067pies.Ya 1⁄60deesadistanciade laLunaalcentrode laTierra,estoes,aladistanciade197896573piesdelcentrodelaTierra,ungravecayendoen el tiempo de un segundo describe también 14,8538067 pies. Por lo cual a ladistanciade19615800pies,quesonelsemidiámetromediodelaTierra,ungravecayendodescribirá15,11175pies,osea,15pies,1pulgaday41⁄11líneas.Esteseráeldescenso de los cuerpos a la latitud de 45 grados. Y según la tabla precedenteexpuestaenlaProposiciónXX,eldescensoseráalgomayorenlalatituddeParís,conunexcesodecasi2⁄3delínea.PuessegúnestecálculolosgravesenlalatituddeParíscayendoenelvacíodescribiránenunsegundocasi15piesparisinos,1pulgaday44⁄25líneas.Ysilagravedaddisminuyese,suprimiendolafuerzacentrífugadebidaenesalatitud a la rotacióndiaria de laTierra, los graves cayendo allí en el tiempodeunsegundo describirán 15 pies, 1 pulgada y 1½ líneas. Y ya más arriba, en lasProposicionesIVyXIX,sehamostradoqueenlalatituddeParíslosgravescaenconestavelocidad.

COROLARIO8.LadistanciamediaentreloscentrosdelaTierraylaLunaenlassicigiasdelaLunaesde60semidiámetrosmáximosterrestres,restadaunatreintavaparte del semidiámetro aproximadamente. Pero en las cuadraturas de la Luna lasdistanciasmediasentrelosdichoscentrosesde60⅚semidiámetrosterrestres.PuesestasdosdistanciassonalasdistanciasmediasdelaLunaenlosoctantescomo69y70a69½,porlaProposiciónXXVIII.

COROLARIO 9. La distancia media del centro de la Tierra al de la Luna en lassicigiasdelaLunaesde60,1semidiámetrosmediosterrestres.Yenlascuadraturasde la Luna la distancia media entre esos mismos centros es de 61 semidiámetrosterrestresmenosuntreintavodesemidiámetro.

COROLARIO10.EnlassicigiasdelaLunasuparalajehorizontalmediaalatitudesde0,30,38,45,52,60,90gradosesde57′20″;57′16″;57′14″;57′12″;57′10″;57′8″;57′4″,respectivamente.

NohetenidoencuentaenestoscálculoslaatracciónmagnéticadelaTierra,cuyacantidadesciertamentemuypequeñaysedesconoce.Perosialgunavezsellegaseaconocerestaatracción,ylasmedidasengradossobrelosmeridianos,laslongitudesdelospéndulosisócronosenlosdistintosparalelos,lasleyesdelmovimientodelmar,laparalajelunarjuntoconlosdiámetrosaparentesdelSolydelaLunapudieranserdeterminadosconmayorexactitudsobrelabasedelosfenómenos,sepodríanrepetirestoscálculosconmayorprecisión.


PROPOSICIÓNXXXVIII.PROBLEMAXIX

Hallarlafiguradelcuerpolunar.

Sielcuerpolunarfuesefluidocomoloesnuestromar,lafuerzadelaTierraparaelevardichofluidotantoenlaspartesmáscercanascomoenlasmáslejanasseríaalafuerzadelaLuna,porlacualnuestromareselevadoenlaspartesqueestánbajoellay en las opuestas, como la gravedad aceleratriz de la Luna hacia la Tierra es a lagravedadaceleratrizdelaTierrahacialaLuna,yeldiámetrodelaLunaaldiámetrodelaTierraconjuntamente;esdecir,como39,788a1y100a365conjuntamente,ocomo1081a100.Porlocual,dadoquelafuerzalunarelevanuestromarhasta83⁄2pies, la fuerza terrestre elevaría el fluido lunar hasta 93 pies. En consecuencia, lafiguralunarseríaunesferoide,cuyodiámetromayorprolongadopasaríaporelcentrodelaTierra,ysuperaríaalosdiámetrosperpendicularesconunexcesode186pies.Portanto,esaeslafiguraqueposeelaLuna,ydebióadoptarladesdeelprincipio.Q.E.I.

COROLARIO.YestohacequelamismacaradelaLunaestésiemprevueltahacialaTierra.Yelcuerpolunarnopodríapermanecerenotraposición,sinoqueoscilandoretornaría siempre a esta posición. Sin embargo, las oscilaciones, debido a lapequeñezdelasfuerzasquelasprovocan,seríanmuylentas,hastaelpuntodequelacaradelaLunaquedeberíamirarsiemprehacialaTierrapodríamirarhaciaelotrofocode laórbita lunar (por lodichoen laProposiciónXVII), sinque se apartase alinstantededichaposiciónysevolviesehacialaTierra.

LEMAI[14]

SiAPEprepresentaalaTierrauniformementedensa,trazadaconcentroenCypolosP,p,yecuadorAE,ysiconcentroenCseimaginaquetrazamosunaesferaPapederadioCP; y seaQRunplano sobre el cual incide normalmente una recta trazadadesdeelcentrodelSolalcentrodelaTierra,mientrasquecadapartículadetodalaTierraexteriorPapAPepEquesobresaledelaesferadescritadelmododichotratadealejarse hacia un lado y otro del planoQR, y los impulsos de cadaunade laspartículas es como su distancia al plano, digo, primero que la fuerza y eficaciatotalesdetodaslaspartículassituadasenelcírculoAEdelecuadoryuniformementedispuestasenanilloalrededordelgloboenordenahacerrotaralaTierraentornoasucentroesatodalafuerzayeficaciadeotrastantaspartículassituadasenelpuntoAsobreelecuador,puntomáximamentedistantedelplanoQR,yenordenaproducirunmovimientocirculardelaTierrasimilaryentornoasucentro,comounoados.YelsusodichomovimientocirculartendrálugarentornoaunejesituadoenlaseccióncomúndelecuadoryelplanoQR.


Pues,concentroenKysemidiámetroILtráceseelsemicírculoINLK.ImagínesequelasemicircunferenciaINLsedivideeninnumerablespartesiguales,ydesciendansobreeldiámetro ILdesdecadaparteN los senosNM.En tal caso la sumade loscuadradosdetodoslossenosNMseráigualalasumadeloscuadradosdelossenosKM,yunayotrasumajuntasseráigualalasumadeloscuadradosdeotrostantossemidiámetrosKN;yporconsiguiente, lasumade todos loscuadradosNMserá lamitaddelasumadeloscuadradosdeotrostantossemidiámetrosKN.

Ahora divídase el perímetro del círculoAE en otras tantas partículas iguales ydesdecadaunadeellasFsehacedescendersobreelplanoQRlaperpendicularFG,ylomismodesdeelpuntoAlaperpendicularAH.YlafuerzaconquelapartículaFsealejadelplanoQRserácomolasusodichaperpendicularFG,porhipótesis,ydichafuerzamultiplicadaporladistanciaCGserálaeficaciadelapartículaFenordenahacergiraralaTierraentornoasueje.Yporlomismo,laeficaciadelapartículaenelpuntoFseráalaeficaciadelapartículaenelpuntoAcomoFGxGCaAHxHC,esdecir,comoFC2aAC2;yportanto,laeficaciaenteradetodaslaspartículasensuslugaresFseráalaeficaciadeotrastantaspartículasenellugarAcomolasumadetodoslosFC2alasumadeotrostantosAC2,esdecir(por loyademostrado)comounoados.Q.E.D.

Y toda vez que las partículas actúan apartándose perpendicularmente del planoQR,yestoigualmenteaunoyotroladodelplano,harángiraralacircunferenciadelcírculoecuatorialyalaTierraanexaaélentornoaunejesituadotantosobredichoplanoQRcomosobreelplanodelecuador.

LEMAII

Conlosmismossupuestos,digo,ensegundolugar,quelafuerzayeficaciatotalesdetodas laspartículas situadaspor todaspartes fuerade laesfera,enordenahacergiraralaTierraentornoalmismoejeesalafuerzatotaldelasmismaspartículas,uniformemente dispuestas alrededor del círculo ecuatorial en formade anillo y enordenamoveralaTierraconunmovimientocircularsemejante,comodosacinco.

PuesseaIKuncírculomenorcualquieraparaleloalecuadorAE,yseanL,ldos


partículascualesquiera iguales situadasendichocírculo fueradelgloboPape.Y sisobre el plano QR, que es perpendicular a un radio trazado al Sol, se trazan lasperpendicularesLM,lm, lasfuerzastotalesconquetalespartículashuyendelplanoQRseránproporcionalesadichasperpendicularesLM,lm.TráceseentonceslalíneaLlparalelaalplanoPapeybiséqueseenX,yporelpuntoXtráceseNnparalelaalplanoQRyqueencuentrealasperpendicularesLM, lmenNyn,ysobreelplanoQRhágasecaerlaperpendicularXY.YlasfuerzasopuestasdelaspartículasLylenordenahacergirara laTierraendireccionesopuestassoncomoLMxMCy lmxmC,esdecir,comoLNxMC+NMxMCyInxmC-nmxmC,osea,LNxMC+NMxMCyLNxmC-NMxmC,yladiferenciaentreambas,LNxMm-NMx(MC+mC),eslafuerzadeambaspartículasjuntasparamoverlaTierraengiro.LapartepositivadeestadiferenciaLNxMm,o sea,2LNxNXesa la fuerzadedospartículasdeigualmagnitud,2AHxHC,situadasenA,comoLX2aAC2.Ylapartenegativa,NMx(MC+mC),osea,2XYxCYesalafuerzadelasmismaspartículassituadasenA,2AHxHC,comoCX2aAC2.Yporello,ladiferenciadelaspartes,esdecir,lafuerzadelasdospartículasLyltomadasconjuntamenteparahacergiraralaTierraesalafuerzadedospartículasigualesaellasysituadasenelpuntoAenordenahacergirarigualmentealaTierracomoLX2-CX2aAC2.PerosilacircunferenciaIKdelcírculoIKsedivideeninnumerablespartículasigualesL,todoslosLX2seránaotrostantosIX2como1a2(porelLemaI)yaotrastantasAC2comoIX2a2AC2;y todas las CX2 a otras tantas AC2 como 2CX2 a 2AC2. Por lo tanto, las fuerzasreunidasdetodaslaspartículasalrededordelcírculoIKsonalasfuerzasreunidasdeotrastantaspartículasenelpuntoAcomoIX2-2CX2a2AC2,yporlomismo(porelLema I) son respecto a las fuerzas reunidas de otras tantas partículas en torno alcírculoAEcomoIX2-2CX2aAC2.


PerosiahorasedivideeldiámetroPpdelaesferaeninnumerablespartesigualessobre las que se sitúan otros tantos círculos IK, la materia en el perímetro de uncírculocualquieraIKserácomoIX2:yporlomismo,lafuerzadedichamateriaparamover la Tierra en giro será como IX2 por IX2 - CX2. Y la fuerza de esa mismamateria si se hallase en el perímetro del círculoAE sería como IX2 xAC2. Y portanto,lafuerzadetodaslaspartículasdetodalamateria,situadafueradelgloboenlosperímetrosdetodosloscírculos,esalafuerzadeotrastantaspartículassituadasenelperímetrodelcírculomáximoAE,comotodoslosIX2x(IX2-2CX2)aotrostantosIX2xAC2,esdecir,comotodaslasAC2-CX2porAC2-3CX2aotrastantasAC2,esdecir,comotodaslasAC2-CX2porAC2-3CX2aotrastantasAC2-CX2

porAC2,estoes,comotodaslasAC4-4AC2xCX2+3CX4aotrastantasAC4-AC2

xCX2,esdecir,comotodalacantidadfluyentecuyafluxiónesAC4-4AC2xCX2+3CX4, a toda la cantidad fluyente cuya fluxión es AC4 - AC2 x CX2; y enconsecuencia,porelmétododelasfluxiones,comoAC4xCX-4⁄3C2xCX3+⅗X5

esaAC4xCX-⅓AC2xCX3,osea,sien lugardeCXseescribe todoCpoAC,como4⁄15AC5a2⁄3AC5,loqueescomodosacinco.Q.E.D.

LEMAIII

Conlosmismossupuestos,digo,entercerlugar,queelmovimientodetodalaTierraentornoalejeantedicho,resultantedelosmovimientosdetodaslaspartículas,seráalmovimientodelanillosusodichoentornoalmismoejeenunarazóncompuestadela razónde lamateria en laTierraa lamateria en el anillo yde la razónde trescuadrados del cuadrante de cualquier círculo a dos cuadrados de su diámetro; esdecir,enrazóndelamateriaalamateriaydelnúmero925275alnúmero1000000.

Pues el movimiento de un cilindro que gira en torno a su eje inmóvil es almovimiento de la esfera inscrita que gira a la vez, como cuatro cuadrados igualescualesquierasonatresdeloscírculosinscritosenellos:yelmovimientodelcilindroesalmovimientodeunanillomuydelgadoquerodeaseellugarcomúndecontacto,comoeldobledelamateriaenelcilindroaltripledelamateriaenelanillo;yestemovimientodelanillo,continuadouniformementeen tornoalejedelcilindro,esalmovimientouniformedeésteen tornoasupropiodiámetro, realizadoenelmismotiempoperiódico,comolacircunferenciadelcírculoaldobledeldiámetro.

HIPÓTESISII

Si,suprimiendotodoelrestodelaTierra,elanillopredicho,sóloenderredordela


Tierra, girase en torno al Sol con movimiento anual, mientras que en torno a supropio eje, inclinado éste sobre el plano de la eclíptica con un ángulo de 23½grados, girase también con movimiento diario: el movimiento de los puntosequinocciales sería el mismo, tanto si el susodicho anillo fuera fluido, como siestuvieseconstituidodemateriafirmeyrígida.

PROPOSICIÓNXXXIX.PROBLEMAXX[15]

Hallarlaprecesióndelosequinoccios

El movimiento medio horario de los nodos de la Luna en una órbita circular,cuandolosnodosestánencuadraturas,erade16″35‴16″″36‴″,ysumitad8″17″38″″18‴″,es(porlasrazonesdadasantes)elmovimientomediohorariodelosnodosendichaórbita.Yelañosidéreoenteroseade20.º11′46″.PuestoqueensemejanteórbitalosnodosdelaLunacompletaríancadaañolos20.º11′46″haciaadelante,ysihubiesevariaslunas,losmovimientosdelosnodosdecadauna(porelCorolario16delaProposiciónLXVIdelLibroI)seríancomolostiemposperiódicos,silaLunaenel tiempodeundía sidéreogirase juntoa la superficiede laTierra, elmovimientoanual de los nodos sería a 20.º 11′ 46″ como el día sidéreo de 23h. 56′ al tiempoperiódicode laLunade 27d. 7h. 43′; es decir, como1436 a 39343.E igual es larazóndelosnodosdeunanillodelunasrodeandoalaTierra,tantosidichaslunasnosetocan,comosifueranlíquidasyformasenunanillocontinuo,osieseanillofueserígidoysehicieseinflexible.

Supongamos, pues, que dicho anillo es igual, en cantidad demateria, a toda laTierraPapAPepEquesobresalede laesferaPape, (vde. fig.delLema II);ypuestoquedichaesferaesaladichaTierraquesobresalecomoaC2aAC2-aC2,estoes(alserPC semidiámetromenor de laTierra o tambiénaC al semidiámetromayorACcomo229a230)como52441a459;siesteanillociñesealaTierraporelecuadoryambosgirasenalavezentornoaldiámetrodelanillo,elmovimientodelanilloseríaalmovimientodelaesferainterior(porelLema IIIdeéste)como459a52441y1000 000 a 925 275 conjuntamente, es decir, como 4590 a 485 223; y por tanto elmovimientodelanilloseríaalasumadelmovimientodelanilloydelmovimientodelglobocomo4590a489813.Dedonde,sielanilloseadhiriesealgloboycomunicasea éste el movimiento con el cual regresan sus nodos o puntos equinocciales, elmovimientorestanteenelanilloseráasumovimientoanteriorcomo4590a489813;yporlomismo,elmovimientodelospuntosequinoccialesdisminuiráenlamismarazón.Porconsiguiente,elmovimientoanualdelospuntosequinoccialesdelcuerpocompuestodelanilloydelgloboseráalmovimientode20.º11′46″como1436a39343y4590a489813conjuntamente,esdecir,como100a292369.Perolasfuerzaspor las cuales retroceden los nodos de las lunas (como expuse antes) y por tanto


tambiénretrocedenlospuntosequinocciales(estoes,lasfuerzas3IT,enlafiguradelaProposiciónXXX) son en cadapartícula como lasdistanciasde cadaunade esaspartículasalplanoQR,yconesasfuerzashuyenlaspartículasdelplano;yporello(por el Lema II), si la materia del anillo se distribuyera por toda la superficie delgloboalmodode la figuraPapAPepEparadar lugar a la parte sobresalientede laTierra,todalafuerzayeficaciadetodaslaspartículasparahacergiraralaTierraentorno de un diámetro ecuatorial, y por tanto paramover los puntos equinocciales,resultarámenorqueantes,yelloenrazónde2a5.Yporesoelregresoanualdelosequinoccios sería ahora respecto a 20.º 11′ 46″, como 10 a 73 092; y por tantoresultaríade9″56‴50‴.

Además, estemovimiento, debido a la inclinación del plano ecuatorial hacia elplanodelaeclíptica,debeserdisminuido,yestoenlarazóndelsenode91706(quees el seno del complemento de 23½ grados) al radio 100 000. Con lo cual elmovimiento resultará ahora de 9″ 7‴ 20″″. Esta es la precesión anual de losequinocciosdebidaalafuerzadelSol.

Pero la fuerzade laLunaparamover elmar era a la delSol como4,4815a1aproximadamente.YlafuerzadelaLunaparamoverlosequinocciosesaladelSolenlamismaproporción.YdeaquíresultaquelaprecesiónanualdelosequinocciosdebidaalafuerzadelaLunaseade40″52‴52″″,ylaprecesióndelosequinocciostotalanualdebidaaambasfuerzasesde50″00‴12″″.Estemovimientoconcuerdacon los fenómenos. Pues la precesión de los equinoccios según las observacionesastronómicasesdecincuentasegundosalañomásomenos.

SilaalturadelaTierraenelecuadorsuperasealaalturaenlospolosenmásde17⅙millas,lamateriaterrestreseríamásraraenlacircunferenciaqueenelcentro,yla precesión de los equinoccios debería aumentar debido a dicha altura, mientrasdeberíadisminuirdebidoalarareza.

YahemosdescritoelsistemadelSol,laTierra,laLunaylosplanetas;restasóloañadiralgunascosassobreloscometas.

LEMAIV

LoscometasestánmásarribadelaLunaycirculanporlasregionesplanetarias.

Aligualquelafaltadeparalajediurnaalejóaloscometasfueraymásalládelasregionessublunares,deigualmodoporlaparalajeanualsellegaalaconviccióndesudescensoalasregionesplanetarias.Puesloscometas,queavanzansegúnelordendelossignoszodiacales,sontodosalfinaldesuapariciónomuylentosoretrógradoscuando laTierra se halla entre ellos y elSol; ymuchomásveloces si laTierra sehallaenoposición.Yporelcontrario,losquecaminancontraelordendelossignossonmásvelocesalfinaldesuapariciónsilaTierrasehallaentreellosyElSol;pero


sonmuchomáslentosyhastaretrógradossilaTierrasehallaenlaspartesopuestas.EstosucedesobretodoporeldiferentemovimientodelaTierrasegúnsusitio,comoocurre con losplanetas, que segúnelmovimientode laTierravaya en lamismaocontrariadirección,ahoraparecenretrógrados,despuésmuylentosyotrasvecesmuyrápidos.SilaTierramarchaenlamismadireccióndelcometayestransportadoporunmovimientoangularentornoalSoltanvelozquehacequeunarectaquepaseporlaTierrayporelcometasiempreconverjaenlasregionesulterioresalcometa,éste,visto desde la Tierra, aparecerá siempre retrógrado por su movimiento más lento;perosilaTierraestransportadaconmovimientomáslentoelmovimientodelcometa(descontadoelmovimientodelaTierra)resultaporlomenosmáslento.Perocuandola Tierra camina en dirección contraria, el cometa parece por ello más veloz. Ladistancia del cometa, en cambio, se obtiene a partir de la aceleración, de laretardaciónodelmovimientoretrógradodelmodosiguiente.

Sean♈QA,♈QB,♈QC,treslongitudesdelcometaobservadasalprincipiodelmovimiento y sea♈ QF la última longitud observada, cuando el cometa deja deverse.TráceselarectaABC,cuyaspartesAB,BCestánsituadasentrelasrectasQAyQB,QByQC,ysonademásentresícomolostiemposcomprendidosentrelastresprimerasobservaciones.ProlóngueseAChastaG,demodoqueAGseaaABcomoeltiempocomprendidoentrelaprimeraylaúltimaobservacióne$altiempoentrelaprimeray la segunda, y únanseQG.Y si el cometa semoviese en línea recta y laTierraoestuvieseenreposooavanzaseconmovimientouniformetambiénenlínearecta, el ángulo♈ QC sería la longitud del cometa en el momento de la últimaobservación. Pues el ángulo FQG, que es la diferencia de longitudes, se debe a ladesigualdad de losmovimientos del cometa y de la Tierra. Pero este ángulo, si laTierrayelcometasemuevenensentidoscontrarios,sesumaalángulo♈QG,ydeestemodo convierte almovimiento aparente del cometa enmás rápido; pero si elcometamarcha hacia lamisma dirección que laTierra, se resta de dicho ángulo yconvierteconelloalmovimientodelcometaoenmáslentoo,incluso,enretrógrado,comoyaheexplicado.Surge,pues,esteánguloprincipalmentedelmovimientodelaTierra, y por ello ha de considerarse con toda razón como la paralaje del cometa,dejandodeladotalvezalgúnincrementoodecrementodelmismoquepuedadeberse


a algúnmovimiento desigual del cometa en su propia órbita.Mas la distancia delcometa se infiere de dicha paralaje como sigue. Represente S al Sol, acT a laeclíptica,aellugardelaTierraenlaprimeraobservación,cellugardelaTierraenlaobservacióntercera,TellugardelaTierraenlaobservaciónúltima,yT♈unalínearectatrazadaalprincipiodeAries.Tómesealángulo♈TVigualalángulo♈QF,esdecir, igual a la longitud del cometa cuando la Tierra se halla en T. Únanse ac yprolónguesehastagdemodoqueagseaaaccomoAGaAC,ygseráellugarqueocuparía la Tierra en el momento de la última observación con un movimientouniformementecontinuoporlarectaac.Porello,sisetrazag♈paralelaaT♈ysetoma al ángulo♈gV igual al ángulo♈ QG, dicho ángulo♈ gV será igual a lalongituddelcometavistodesdeelpuntog;yelánguloTVgserálaparalajedebidaalatraslacióndelaTierradesdeelpuntoghastaelpuntoT:yporconsiguiente,Vseráellugardelcometaenelplanodelaeclíptica.PeroestepuntoVsuelehallarsemásbajoquelaórbitadeJúpiter.

Y lo mismo se infiere de la curvatura de la trayectoria de los cometas. Estoscuerpossedesplazanporcírculosmáximosprácticamente,cuandosumovimientoesmásrápido;peroalfinaldesucurso,cuandolapartedemovimientoaparentedebidaalaparalajeestáenmayorproporciónalmovimientoaparente,seseparandedichoscírculos,ysiemprequelaTierrasemuevehaciaunadirección,ellossedesvíanhaciaotra.Semejantedeflexiónsedebesobretodoalaparalaje,encuantoquerespondealmovimiento de la Tierra; y su notable magnitud, según mis cálculos, sitúa a loscometasenelmomentodedesaparecerbastantepordebajodeJúpiter.Dedondesesiguequeen losperigeosyperihelios,cuandoestánmáscerca,desciendenmuchasvecesmásabajodelaórbitadeMarteydelosplanetasinferiores.

Tambiénseconfirmalaproximidaddeloscometasporlaluzdesuscabezas.Puesel brillo de un cuerpo celeste iluminado por el Sol y que se va alejando hacia lo


remotodelcielodisminuyeenrazóndelacuartapotenciadeladistancia:asaber,enrazón cuadrada por el aumento de la distancia del cuerpo al Sol y en otra razóncuadradaporladisminucióndeldiámetroaparente.Dedonde,sisedalacantidaddela luz y el diámetro aparente de un cometa se tendrá dada también la distancia,diciendo que su distancia será a la distancia de un planeta, directamente como larazóndeundiámetroaotroeinversamentecomolarazóndelaraízcuadradadelaluz de uno a la raíz cuadrada de la luz del otro. Así, el diámetro mínimo de lacabelleradelcometade1682,observadoporFlamsteedconuntelescopiode16piesymedidoconmicrómetroerade2′0″;peroelnúcleooestrellacentraldelacabezaapenasocupabaunadécimapartedeesalatitud,desuertequesudiámetrosóloerade11″ó12″.Peroen luzyclaridaddesucabezasuperabaa lacabezadelcometade1680,ycompetíaconlasestrellasdeprimeraysegundamagnitud.SupongamosqueSaturno,consuanillo,fuesecuatrovecesmásbrillante:ypuestoquelaluzdelanillocasiigualaalaluzdelglobointerioryeldiámetroaparentedelglobovieneaserde21″aproximadamente,laluz,portanto,delgloboydelanillojuntasigualaránalaluzdeungloboquefuesede30″dediámetro:ladistanciadelcometaseráaladistanciadeSaturnocomo1a√4inversamenteycomo12″a30″directamente,esdecir,como24a30ocomo4a5.Además,elcometadelaño1665,comoloatestiguaHewelcke,superaba en brillo a casi todas las estrellas fijas, incluso almismoSaturno, quizásporque su color eramuchomás vivo.Resultaba este cometamuchomás luminosoqueelaparecidoafinalesdelañoanterioryqueeracomparadoconlasestrellasdeprimeramagnitud.Laanchuradelacabezaeracaside6′,peroelnúcleo,comparadocon los planetasmediante el telescopio era claramentemenor que Júpiter y ora sejuzgaba menor que el cuerpo interior de Saturno, ora igual a dicho cuerpo. Porconsiguiente,alsereldiámetrodelacabezadeloscometasmuyraramentesuperiora8′ó12′yeldiámetrodelnúcleooestrellacentralsersólounadécimaodecimoquintapartedeldiámetrode lacabeza,esevidentequeestasestrellassona losumode lamismamagnitud aparente que los planetas. Por lo cual, dado que su luz se puedacompararavecesconladeSaturno,yhastaalgunavezsuperarla,estáclaroquetodoslos cometas en los perihelios se hande situarmás abajodeSaturnoonomuyporencima. Y se equivocan por completo quienes los alejan hasta las regiones de lasfijas:puesconsemejantesoluciónnodeberíanseriluminadospornuestroSolmásdeloquenuestrosplanetaslosonporlasestrellasfijas.

Hemostratadodeestascosassintenerencuentaeloscurecimientodeloscometasdebido a ese humo abundante y espeso que rodea a la cabeza, apareciendo éstasiemprecomoveladaporunanube.Puescuantomásoscurosetornaelcuerpodebidoadichanube,tantomásnecesarioesqueestémáscercadelSolparaquelacantidadde luzque refleja emulea losplanetas.Por ello esmuyverosímilque los cometasdesciendanbastantepordebajodelaórbitadeSaturno,comohemosobservadoporlaparalaje.Yestomismoseconfirmamagníficamenteporlascolas.Estas,oseoriginanporlareflexiónproducidaporelhumoesparcidoporeléter,oseoriginandelaluzde


lacabeza.Enelprimercasohayquedisminuirladistanciadeloscometas,paraqueel humo que sale continuamente de la cabeza no se halle propagado por espaciosdemasiado amplios y con una velocidad increíble. En el segundo caso hay queatribuir toda la luz, tanto de la cola como de la cabellera, al núcleo de la cabeza.Ahora bien, si imaginamos toda esa luz reunida y encerrada dentro del disco delnúcleo con certeza, siempre que emita una colamáxima y luminosa, superará conmuchoalbrillode Júpiter.Pues, conundiámetroaparentemenoremitemás luz,yporendeserámuchomásiluminadoporelSol,conloqueestarátambiénmuchomáscercadelmismoSol.Eincluso,poresteargumento,debensituarsebajolaórbitadeVenuslascabezasqueseocultanbajoelSolyque,aveces,emitencolasenormesymuybrillantesamododetizonesencendidos.Puestodaesaluz,sisesuponereunidaenlaestrella,superaríaalapropiaVenus,pornodeciramuchasVenus.

Ylomismo,finalmente,sesiguedelaluzdelascabezasquecrecealalejarseloscometasdesdelaTierrahaciaelSolydecrecealapartarsedelSolhacialaTierra.Demodo que el último cometa del año 1665 (según las observaciones deHewelcke)desdeelmomentodesuapariciónperdíacontinuamentemovimientoaparenteyporelloyahabíapasadodesuperigeo;peroelbrillodesucabezacrecíanomenosdedíaendía,hastaqueelcometadejódeversecubiertoporlosrayossolares.Elcometade1683 (observadopor elmismoHewelcke) a fines delmes de julio, al aparecer porprimeravez,semovíamuylentamente,recorriendoensuórbitaunos40ó45minutosaldía.Desdeesasfechassumovimientodiarioaumentócontinuamentehastael4deseptiembre,enquealcanzócasi5grados.LuegodurantetodoestetiempoelcometaseacercabaalaTierra.Cosaquetambiénseinfieredeldiámetrodelacabezamedidocon micrómetro: toda vez queHewelcke lo fijó el 6 de agosto en tan sólo 6′ 5″,incluidalacabellera,mientrasqueen2deseptiembreerade9′7″.Porconsiguiente,lacabezaalprincipioaparecíamuchomenorqueal finaldelmovimiento,mientrasquesinembargoalprincipio,enlasproximidadesdelSol,eramuchomásluminosaque hacia el final, como dice el mismoHewelcke. Por lo tanto, durante todo estetiempo,debidoasualejamientodelSol, ibadecreciendoen luminosidad,peseasuacercamientohacialaTierra.Elcometade1618,haciaelmesdediciembre,yéstede1680, hacia finales del mismomes, semovíanmuy rápidamente, y por lomismoestaban entonces en los perigeos. Pero el máximo resplandor de sus cabezasaconteció casi dos semanas antes, cuando acababan de salir de los rayos solares;mientras que el máximo resplandor de las colas un poco antes, en la mayorproximidadalSol.Lacabezadelcometaprimero,segúnlasobservacionesdeCysatde1dediciembre(ahorayaenelperigeo)conpocamenosmagnitud,habíadecrecidomuchoenbrilloonitidezluminosa.El7deenero,Kepler,inseguroyadelacabezadelcometa,pusofinalaobservación.El12dediciembrevioyobservóFlamsteedlacabeza del segundo cometa a una distancia de nueve grados del Sol; cosa apenasconcebibleparaunaestrellade terceramagnitud.El15y17sepresentócomounaestrelladeterceramagnitud,aunquedisminuidosubrilloporlasnubesquebrillaban


junto al Sol poniente. El 26 de diciembre, moviéndose muy rápidamente, y casihallándose en el perigeo, brillaba menos que la estrella de la boca de Pegaso, deterceramagnitud.El3deeneroparecíaunaestrelladecuartamagnitud,el9deenero,de quinta magnitud, el 13 de enero desapareció por el resplandor de la Lunacreciente.El25deeneroapenasigualabaalasestrellasdeséptimamagnitud.Siaunladoyotrodelperigeosetomantiemposiguales,lascabezas,queendichostiempossehallanenregionesdistantes,deberíanbrillarigualporsusdistanciasigualesdelaTierra,ybrillabansinembargomáximamentehaciaelladodelSolmientrasquehacialaotrapartedelperigeosedesvanecían.Por tanto,por lagrandiferenciade luzenuno y otro lugar, se infiere la gran proximidad del Sol y del cometa en el primerlugar. Pues la luz de los cometas suele ser regular, y parece máxima cuando lascabezassemuevenmuyvelozmenteysehallan,portanto,enlosperigeos;salvoenlamedidaenqueesmayorenlascercaníasdelSol.

COROLARIO 1. Por consiguiente, los cometas brillan con la luz que reflejan delSol.

COROLARIO2.Tambiéndelodichosesigueelmotivoporelqueloscometassontan frecuentes en la región del Sol. Si se viesen en las regiones de más allá deSaturno,deberíanaparecerfrecuentementeen lasregionesopuestasalSol.Pues losqueanduviesenporestoslugaresseríanmáspróximasalaTierray,encambio,elSolocultaría a los demás interponiéndose ante ellos. Pero al repasar la historia de loscometas encuentro que se han visto cuatro o cinco veces más hacia el lado delhemisferio solar que hacia el opuesto, además de otros, sin duda no pocos,obscurecidosporlaluzdelSol.Peroademás,aldescenderhacianuestrasregionesniemitencolas,nisoniluminadosporelSollobastanteparaquepuedanserobservadosasimplevistaantesdequesehallenmáscercaqueelmismoJúpiter.PerolamayorpartedelespaciodescritocontancortoradioentornoalSolcaedelladodelaTierraque mira hacia el Sol, y los cometas, en dicha mayor parte y como mucho máspróximosalSol,suelenseriluminadosenmayorgrado.

COROLARIO3.Conellotambiénesevidentequeloscielossehallandesprovistosderesistencia.Puesloscometas,quesiguentrayectoriasoblicuasyavecescontrariasalcursodelosplanetas,semuevenlibrementeentodasdirecciones,yconservansusmovimientosportiempomuylargo,inclusocontraelcursodelosplanetas.Sinomeengaño, son una especie de planetas y retornan en órbita con un movimientoperpetuo.Pueslaafirmacióndealgunosautoresdequesetratademeteoros,basandosuargumentoenloscambioscontinuosdelascabezas,parececarecerdefundamento.Lascabezasdeloscometasestánrodeadasdeenormesatmósferas,ylasatmósferasmásbajasdebensermásdensas.Dedonde,lasnubesnosonlosmismoscuerposdeloscometasenlosqueseobservandichoscambios.AsítambiénlaTierra,vistadesdelosplanetas,brillarásindudaconlaluzdesusnubes,mientrasqueelcuerposólidoapenasserávisiblebajolasnubes.TambiénloscinturonesdeJúpiterseformanenlasnubesdeaquelplanetaycambianentresíde lugar,dejandoapenasverseelcuerpo


sólidodeJúpiteratravésdeellas.Muchomásloscuerposdeloscometashabrándeescondersebajosusatmósferasmásgrandesymásdensas.

PROPOSICIÓNXL.TEOREMAXX[16]

LoscometassemuevenenseccionescónicasquetienenlosfocosenelcentrodelSol,yconradiostrazadosalSoldescribenáreasproporcionalesalostiempos.

EsevidenteporelCorolario1de laProposiciónXIIIdelLibro IcomparadoconlasProposicionesVIII,XIIyXIIIdelLibroIII.

COROLARIO 1. De aquí que, si los cometas giran en órbita, las órbitas seránelipses, y los tiempos periódicos serán a los tiempos periódicos de los planetas enrazónde lapotencia 3⁄2de losejesprincipales.Yporello loscometasquehacen lamayorpartedesurecorridoenregionesultraplanetariasydescribenporelloórbitasconejesmayoresgiranconmayorlentitud.Desuertequesielejedelaórbitadeuncometa es cuatro veces mayor que el eje de la órbita de Saturno, el tiempo derevolucióndelcometaseráal tiempoderevolucióndeSaturno,esdecir,a30años,como4√4(osea,8)a1,yportantoseráde240años.

COROLARIO 2. Pero las órbitas serán tan próximas a parábolas que en su lugarpuedenutilizarseparábolassinerroressensibles.

COROLARIO3.Y,porlomismo(porelCorolario7delaProposiciónXVIdelLibroI),lavelocidaddetodocometaseráalavelocidaddeunplanetacualquieraquegireencírculoentornoalSolcomolaraízcuadradadeladobledistanciadelplanetaalcentro del Sol a la distancia del cometa al centro del Sol muy aproximadamente.SupongamosqueelradiodelOrbeMáximo,osea,queelsemidiámetromáximodelaelipse enquegira laTierra tiene100000000partes: laTierra con sumovimientodiariomediodescribirá1720212deestaspartes,yconsumovimientohorario71675½partes.Portanto,uncometaalamismadistanciaquelaTierradelSol,conunavelocidad que fuese a la velocidad de la Tierra como √2 a 1, describirá con sumovimientodiario2432747partes,yconsumovimientohorario101364¼partes.Peroadistanciasmayoresomenores,tantoelmovimientodiariocomoelhorarioserárespectoaestemovimientodiarioyhorario inversamentecomola raízcuadradadelasdistancias,yportantoestádado.

COROLARIO 4. Por consiguiente, si el «latus rectum» de la parábola es cuatrovecesmayorqueelradiodelOrbeMáximo,yelcuadradodedichoradiosesuponequeesde100000000partes,eláreaqueelcometadescribecadadíaconunradiotrazadoalSolseráde1216373½partes,yencadahoradichaáreaseráde5068½partes.Perosiel«latusrectum»fueramayoromenorenunarazóncualquiera,eláreadiariayhorariaserámayoromenorenrazóndelaraízcuadradadeesarazón.


LEMAV

Hallarunalíneacurvadeespecieparabólicaquepaseporcuantospuntosdadossequiera.

SeantalespuntosA,B,C,D,E,F,etc.,ydesdeelloshastaunarectacualquieradeposicióndadaHNhágansedescenderotras tantasperpendiculares,AH,BI,CK,DL,EM,FN.

CASO1.SilosintervalosHI,IK,KL,etc.,entrelospuntosH,I,K,L,M,N,soniguales, tomemos lasprimerasdiferenciasde lasperpendicularesAH,BI,CK,etc.,comob,2ƒe,3b,4b,5b,etc.,lassegundascomoc,2c,3c,4c,etc.,lastercerascomod,2d,3d,etc.,estoes,demodoqueAH-BI=b,BI-CK=2b,CK-DL=3b,DL+EM=4b,-EM+FN=5b,etc.,entonces,b-2b=c,etc.,hastallegarasíalaúltimadiferenciaqueaquíesƒ.ElevandodespuésunaperpendicularcualquieraRSqueseríauna ordenada aplicada a la curva que se busca: con el fin de hallar su longitudsupongamosquelosintervalosHI,IK,KL,LM,etc.,sonunidades,yescribeAH=a,-HS=p,½px-IS=q,⅓qx+SK=r,¼rx+SL=s,⅕sx+SM=t,siguiendoasíhastalapenúltimaperpendicularqueesMEyanteponiendolossignosnegativosalostérminosHS,IS,etc.,situadoshaciaelladoAdelpuntoS,ylossignospositivosalostérminos SK, SL, etc., que están situados hacia el otro lado del punto S. Y si lossignosestánbienrespetados,seráRS=a+bp+cq+dr+es+ƒt,etcétera.

CASO2.Perosi los intervalosHI, IK,etc., entre lospuntosH, I,K,L,etc., fuesendesiguales,tomaab,2b,3b,4b,5b,comoprimerasdiferenciasdelasperpendicularesAH,BI,CK,etc.,separadasporlosintervalosentreperpendiculares;yac,2c,3c,4c,etc.,comosegundasdiferenciasseparadasporcadadosintervalos,yad,2d,3d,etc.,comotercerasdiferenciasseparadasporintervalosdetresentres,ae,2e,etc.,comocuartas diferencias divididas por los intervalos de cuatro en cuatro, y así

sucesivamente;esdecir,demodoqueb=AH-BIHI

,2b=BI-CKIK

3b=CK-DLKL

,etc.,

después c=b-2bHK

, 2c=2b-3bIL

3c = c=3b-4bKM

, etc., y luego d=c-2cHL

, 2d=


2c-3cIM

etc.Halladaslasdiferencias,escribeAH=a,-HS-p,px-IS-q,qx+SK=r,

r x +SL = s, s x +SM= t; siguiendo así hasta la penúltima perpendicularME, laordenadaRSseráigualalasumaa+bp+cq+dr+es+ƒt,etc.

COROLARIO. De aquí que las áreas de todas las curvas puedan calcularse muyaproximadamente.Puessisehallanunospuntosdelacurvaacuadrar,yseimaginaqueporesospuntospasaunaparábola,eláreadeesaparábolaserálamismaquelade la curva a cuadrar muy aproximadamente. Y una parábola se puede cuadrarsiempregeométricamentepormétodosbienconocidos.

LEMAVI

Apartirdealgunoslugaresobservadosdeuncometa,hallarsulugarenunmomentocualquieraintermediodado.

SeanHI,IK,KL,LMlostiemposentreobservaciones(enlafiguraanterior),seanHA, IB,KC,LD,MEcinco longitudesobservadasdel cometa,HSel tiempodadoentrelaobservaciónprimeraylalongitudbuscada.YsiporlospuntosA,B,C,D,E,se supone trazada la curva regular ABCDE, y por el Lema anterior se halla suordenadaRS,seráRSlalongitudbuscada.

Con el mismométodo sobre la base de cinco latitudes, observadas se halla lalatitudenunmomentodado.

Silasdiferenciasdelongitudesobservadassonpequeñas,talescomo4ó5gradossolamente, bastarán treso cuatroobservacionesparahallar las nuevas longitudesolatitudes.Perosilasdiferenciassonmayores,porejemplode10ó20grados,habráquedisponerdecincoobservaciones.

LEMAVII

PorunpuntodadoPtrazarunarectaBCcuyaspartesPB,PC,cortadaspordosrectasAB,ACdeposicióndada,sehallenentresíenunarazóndada.

DesdedichopuntoPhastaABunacualquieradelasdosrectastráceseotrarectacualquieraPD,yprolóngueseéstahacialaotrarectaAChastaE,demodoquePEseaa PD en la dicha razón dada. Sea EC paralela a la recta AD; y si se traza CPB,entoncesPCseráaPBcomoPEaPD.Q.E.F.


LEMAVIII[17]

SeaABCunaparábolacon focoenS.ConlacuerdaACbisecadaenIsepáreseelsegmentoABCI,cuyodiámetroesIμycuyovérticeesμ.SobrelaprolongacióndeIμtómeseμOigualalamitaddelapropiaIμ.ÚnaseOSyprolóngueseéstahastaξdemodoqueSξseaiguala2SO.YsielcometaBsemueveporelarcoCBA,ysetrazaξBsecantedeACenE:digoqueelpuntoEsepararádelacuerdaACelsegmentoAEmuyaproximadamenteproporcionalaltiempo.

PuesúnaseEOcortandoal arcoparabólicoABCenY,y tráceseμXtangenteadicho arco en el vértice μ y que se encuentre con la línea EO en X; y el áreacurvilíneaAEXμAseráaláreacurvilíneaACYμAcomoAEaAC.Porlotanto,dadoqueeltriánguloASEesaltriánguloASCenesamismarazón,eláreatotalASEXμAseráaláreatotalASCYμAcomoAEaAC.PerocomoξOesaSOcomo3a1,yEOa XO en la misma razón, SX será paralela a EB, y por tanto, si se une BX, eltriángulo SEB será igual al triángulo XEB. Por lo cual, si al área ASEXμA se leañade el triánguloEXB, y de la suma se resta el triángulo SEB, el áreaASBXμApermaneceráigualaláreaASEXμA,yporlomismoseguirásiendoaláreaASCYμAcomo AE a AC. Pero el área ASBYμA es muy aproximadamente igual al áreaASBXμA,yeláreaASBYμAesaláreaASCYμAcomoel tiempodelarcodescritoABaltiempodelarcototaldescritoAC.Yportanto,AEesaACenlarazóndelostiemposmuyaproximadamente.Q.E.D.


COROLARIO.CuandoelpuntoBcaeenelvérticepdelaparábola,AEestáaACexactamenteenlarazóndelostiempos.

ESCOLIO

SiunimosμξcortandoaACenδ,ysobreellasetomaξndetalmodoqueseaaμBcomo27MI a 16Mμ, trazandoBn, ésta cortará a la cuerdaACen razónde lostiemposmásexactamentequeantes.Peroelpuntondebeestarmásalládelpuntoξ,si el puntoBdistamásdel vérticeprincipal de la parábolaque el puntoμ; y debeestarmásacásidistamenosdedichovértice.

LEMAIX

LasrectasIμyμMylalongitudAIC4Sμ

sonigualesentresí.

Pues4Sμesel«latusrectum»delaparábolacorrespondientealvérticeμ.

LEMAX

SiSμseprolongahastaNyPdemodoqueμNsealatercerapartedeμI,ySPseaaSN como SN a Sμ, un cometa, en el tiempo en que describe el arco AμC ydesplazándoseconunavelocidadqueseasiempreigualalaqueposeealaalturaSP,describiráunalongitudigualalacuerdaAC.

Puessiuncometa,enelmencionado tiempoycon lavelocidadque tieneenμ,avanza uniformemente sobre una recta tangente a la parábola en μ, el área quedescribiríaconunradiotrazadoalpuntoSseríaigualaláreaparabólicaASCμ.Porconsiguiente,elcontenidobajolalongituddescritaenlatangenteybajolalongitudSμseríaalcontenidobajolaslongitudesACySM,comoeláreaASCμaltriánguloASC,esdecir,comoSNaSM.Porlocual,ACesalalongituddescritaenlatangentecomoSμaSN.PeroalserlavelocidaddelcometaalaalturaSP(porelCorolario6delaProposiciónXVIdelLibroI)respectoasuvelocidadalaalturaSμinversamentecomo la raíz cuadradadeSPaSμ, esto es, como la razóndeSμ aSN, la longituddescritaconesavelocidadyenlosmismostiemposseráalalongituddescritaenlatangentecomoSμ aSN.Por consiguiente, dadoqueACy la longituddescrita conestanuevavelocidadsehallanenlamismarazónrespectoalalongituddescritaenlatangente,sonigualesentresí.Q.E.D.


COROLARIO. Luego un cometa con la velocidad que tiene a la altura Sμ + 2⁄3IμrecorreráenelmismotiempolacuerdaAC,muyaproximadamente.

LEMAXI

SiuncometaprivadodetodomovimientosedejarecaerhaciaelSoldesdelaalturaSN, o Sμ+⅓Iμ, y fuese urgido hacia el Sol siempre uniformemente por lamismafuerza que le urgía al principio; el tal cometa, en la mitad de tiempo en el quedescribíaensuórbitaelarcoAC,describiráahoraensudescensounespacioigualalalongitudIμ.

Pueselcometa,enel tiempoenquedescribaelarcoparabólicoAC,enesemismotiempo y con la misma velocidad que tiene a la altura SP (por el Lema anterior)describirá la cuerdaAC, y por tanto (por elCorolario 7 de la ProposiciónXVIdelLibroI)enelmismotiempo,girandoconlafuerzadesugravedadenuncírculo,cuyodiámetro fueseSP, describiría un arco cuya longitud sería a la cuerdaACdel arcoparabólico,comolaraízcuadradadeunoaladedos.Yporconsiguiente,conelpesoque tiene hacia el Sol a la altura SO y cayendo hacia el Sol desde esa altura,describiráen lamitaddedicho tiempo (porelCorolario9de laProposición IV delLibroI)unespacioigualalcuadradodelasemicuerdadivididoporelcuádruplodela

alturaSP,esdecir,elespacio AI2

4SP.Ahorabien,comoelpesodelcometahaciaelSol

a la altura SN es al peso delmismo hacia el Sol a la altura SP como SP a Sμ, elcometaconelpesoque tienea laalturaSN,enelmismotiempo,cayendohaciael

Sol,describiráelespacio AI2

4Sμ,esdecir,unespacioigualalalongitudIμoMμ.Q.E.

D.


PROPOSICIÓNXLI.PROBLEMAXXI

Determinarlatrayectoriadeuncometaquesemueveenunaparábolaapartirdetresobservacionesdadas.

Heabordadoesteproblemaverdaderamentedifícildemuchasformasypropuseen el Libro Primero algunos problemas relativos a su resolución.Más tarde semeocurriólasiguientesoluciónunpocomássencilla.

Elíjanse tres observaciones separadas entre sí por espacios de tiempoaproximadamenteiguales.Perodemodoqueelintervalodetiempoenqueelcometasemuevemáslentamenteseaalgomayorqueelotro,quizádemodoqueladiferenciaentrelostiemposseaalasumadelosmismoscomolasumadelosdichostiemposaseiscientosdíasmásomenos;otambiéncomosielpuntoE(enlaFiguradelLemaVIII)cayesesobreelpuntoM,ydesdeallísedesplazasehaciaImásbienquehaciaA.Sitalesobservacionesnoestándisponibles,hayquehallarunnuevolugardelcometapormediodelLemaVI.

RepresentenSalSol,T,t,τ treslugaresdelaTierrasobreelorbemáximo,TA,tB, τC, tres longitudes observadas del cometa, V el tiempo entre la primera y lasegunda observación,W el tiempo entre la segunda y la tercera observación,X lalongitud que el cometa puede alcanzar a describir en todo el tiempo dicho con lavelocidadquetienealadistanciamediadelaTierraalSol,yquetendráquehallarse(porelCorolario3delaProposiciónXLdelLibroIII),ytVunaperpendicularsobrelacuerdaTτ.SobrelalongitudmediaobservadatBtómeseunlugarcualquieraBcomolugardelcometaenelplanodelaeclípticaydesdeéltrácesehastaelSolSlalíneaBEqueseaalasagitatVcomoelproductodeSBporSt2esalcubodelahipotenusadeltriángulorectángulocuyosladossonSBylatangentedelalatituddelcometaenla segundaobservación a un radio tB.Trácese por el puntoE (por elLemaVII) larectaAEC,cuyaspartesAEyECterminanenlasrectasTAyτCydebenserentresícomolostiemposVyW:yentoncesAyCseránloslugaresdelcometaenlaprimera


yterceraobservaciónsobreelplanode laeclípticamuyaproximadamente,siemprequeBseasulugardelasegundaobservaciónasumidocorrectamente.

SobreAC,bisecadaen I, elévese laperpendicular Ii.Trácesepor el puntoB lalíneainvisibleBzparalelaalapropiaAC.ÚnaselalíneainvisibleSzsecantedeACenλycompléteseelparalelogramoiIλμ.TómeseIσiguala3Iλ,yporelSolStráceselalíneatambiénocultaσξ iguala3Sσ+3iλYahora,borrandolasletrasA,E,C,I,tracemosdesdeelpuntoBhaciaelpuntoξunanuevalíneainvisibleBE,queseaalaprimeraBEenrazóncuadradadeladistanciaBSalacantidadSμ+⅓iλ.DenuevotráceseporelpuntoElarectaAECenlamismaproporciónqueantes,osea,demodoquesuspartesAEyECesténentresícomolostiemposVyWentreobservaciones.YAyCseránloslugaresdelcometamásexactamente.

SobreAC,bisecadaenI,elévenselasperpendicularesAM,CN,IO;delascualesAMyCNseantangentesdelaslatitudesenlasobservacionesprimerayterceraconradiosTAyτC.ÚnaseMNcortandoaIOenO.ConstrúyaseelrectánguloiIλμ,comoantes.SobrelaprolongacióndeIAtómeseIDigualaSμ+2⁄3iλ.Después,sobreMNhacia N tómeseMP, que sea respecto a la longitud X hallada antes, como la raízcuadradadeladistanciamediadelaTierraalSol(osemidiámetrodelOrbeMagno)aladistanciaOD.SielpuntoPcaeenelpuntoN,seránA,B,C,lostreslugaresdelcometaporlosquedebecircularsuórbitaenelplanodelaeclíptica.PerosielpuntoPnocaeenelpuntoN,sobre la rectaACtómeseCGigualaNPdemodoque lospuntosGyPcaiganhaciaelmismoladodelarectaNC.


ConelmismométodoconelquesehallaronlospuntosE,A,C,G,partiendodeunpuntoBsupuesto,hállense,partiendodeotrospuntossupuestoscualesquierabyβ, unos nuevos puntos e, a, c, g y ε, α, χ, γ. Después, si por G, g, γ, se traza lacircunferenciadelcírculoCgγ,secantedelarectaτCenZ,seráZellugardelcometaen el plano de la eclíptica. Y si sobre AC, ac, αχ se toman AF, aƒ, αϕ,respectivamente iguales a CG, cg, χγ y por los puntos F, ƒ, ϕ, se traza lacircunferenciadelcírculoFƒϕsecanteenXdelarectaAT,seráelpuntoXotrolugardelcometaenelplanodelaeclíptica.EnlospuntosXyZelévensetangentesdelaslatitudesdelcometaconradiosTXyτZ;ysetendrándoslugaresdelcometaensupropiaórbita.Finalmente(porlaProposiciónXIXdelLibroI),confocoenStrácesepordichosdoslugaresunaparábolayéstaserálatrayectoriadelcometa.Q.E.I.

LademostracióndeestaconstrucciónsesiguedelosLemas:todavezquelarectaACescortadaenEenrazóndelostiempos,porelLemaVII,comoseexigeporelLemaVIII:yBE,porelLemaXI,sealapartedelarectaBSoBξqueyaceenelplanodelaeclípticaentreelarcoABCylacuerdaAEC;yMP(porelCorolariodelLemaX) es la longitud de la cuerda del arco que debe describir el cometa en su órbitapropia entre la primera y la tercera observación, y que debería ser igual a MN,siemprequeBfuereelverdaderolugardelcometaenelplanodelaeclíptica.

Porlodemás,noconvieneelegirparaB,b,β,unospuntoscualesquiera,sinomásbienunospuntoscercanosalverdadero.SielánguloAQt,enelcualcortaalarectatB la proyección de la órbita sobre el plano de la eclíptica, se conocieseaproximadamente,endichoángulohayquetrazarlarectainvisibleAC,lacualhadesera 4⁄3Tτ como la raíz cuadradadeSQa ladeST.Y trazando la rectaSEB, cuyaparteEBseaigualalalongitudVt,sehallaráelpuntoBquehabríamosdemanejarlaprimera vez. Después, borrando la recta AC y trazándola de nuevo según laprecedenteconstrucciónyademáshalladalalongitudMP,tómesesobretBelpuntob,demodo tal que, si TA y τC son secantes entre sí en Y, la distancia Yb sea a ladistanciaYBenunarazóncompuestade larazóndeMPaMNyde larazónde laraízcuadradadeSBa ladeSb.Yconelmismométodohabrádehallarseel tercerpuntoβ,y,siespreciso,repetirporterceravezlaoperación.Peroconestemétodo,


bastarán dos operaciones como mucho. Pues si la distancia Bb resultase muypequeña, una vez hallados los puntos F, ƒ, y G, g, trazando las rectas Fƒ y GgcortaránaTAyτCenlospuntosbuscadosXyZ.

EJEMPLO[18]

Propóngaseelcometadelaño1680.Sumovimiento,observadoporFlamsteedycalculadoapartirdelasobservacionesycorregidoporHalleyapartirdelasmismasobservaciones,ofrecelasiguientetabla.

TiempoLongituddelSol

ElcometaAparente Verdadero Longitud Latitudnorte

hm hms º′″ º′″ º′″1680,dic.12 4,46 4,46,00 ♑1,51,23 ♑6,32,30 8,28,00

21 6,32½ 6,36,59 11,06,44 ♒5,08,12 21,42,1324 6,12 6,17,52 14,09,26 18,49,23 25,23,526 5,14 5,20,44 16,09,22 28,24,13 27,00,5229 7,55 8,03,02 19,19,43♓13,10,41 28,09,5830 8,02 8,10,26 20,21,09 17,38,20 28,11,53

1681,ene.5 5,51 6,01,38 26,22,18 ♈8,48,53 26,15,79 6,49 7,00,53 ♒0,29,02 18,44,04 24,11,5610 5,54 6,06,10 1,27,43 20,40,50 23,43,5213 6,56 7,08,55 4,33,20 25,59,48 22,17,2825 7,44 7,58,42 16,45,36 ♉9,35,00 17,56,3030 8,07 8,21,53 21,49,58 13,19,51 16,42,18

feb.2 6,20 6,34,51 24,46,59 15,13,53 16,04,15 6,50 7,04,41 27,49,51 16,59,51 15,27,3

Aestasobservacionesañádansealgunasnuestras.Tiempoaparente

ElcometaLongitud Latitudnorte

hm º′″ º′″1681,feb.25 8,30♉26,18,35 12,46,46

27 8,15 27,04,30 12,36,12mar.1 11,0 27,52,42 12,23,40

2 8,0 28,12,48 12,19,385 11,30 29,18,0 12,03,167 9,30 ♊0,04, 11,57,09 8,30 0,43,4 11,45,52

Estas observaciones fueron hechas con un telescopio de siete pies y conmicrómetroehiloscolocadosenelfocodeltelescopio;mediantedichosinstrumentosdeterminamos tanto las posiciones de las fijas entre ellas como las posiciones delcometa respecto a las fijas. Represente A la estrella de cuarta magnitud del talónizquierdodePerseo(Bayer,o),B laestrellade terceramagnitudsiguienteenelpieizquierdo (Bayer, ζ), y C la estrella de sexta magnitud (Bayer, η) en el talón del


mismopie,E,F,G,H,I,K,L,M,N,O,Z,α,β,γ,δ,lasotrasestrellasmenoresdelmismopie.Yseanp,P,Q,R,S,T,V,X,loslugaresdelcometaenlasobservacionesdescritasmásarriba;ysiendoladistanciaABde807⁄12partes,ACerade52¼,BCde58⅚,ADde575⁄12,BDde826⁄11,CDde232⁄3AEde294⁄7,CEde57½DEde4911⁄12,AIde277⁄12,BIde52⅙,CIde367⁄12,DIde535⁄11,AKde382⁄3BKde43,CKde315⁄9FKde29,FBde23,FCde36¼,AHde186⁄7,DHde50⅞,BNde465⁄12,CNde31⅓,BLde455⁄12,NLde 315⁄7.HO era aHI como 7 a 6 y prolongada pasaba por entre lasestrellasDyE,desuertequeladistanciadelaestrellaDdesdeesarectaresultaráde⅙CD.LMeraaLNcomo2a9y,prolongada,pasabaporlaestrellaH.Conéstassedeterminabanlasposicionesdelasfijasentreellas.

MástardePound,deentrelosnuestros,haobservadodenuevolasposicionesdeestasfijasentreellasyconsignóenlasiguientetablasuslongitudesylatitudes.

Estrellasfijas Longitudes Latitudnorteº′″ º′″

A 26,41,50 12,8,36B 28,40,23 12,17,54C 27,58,30 12,40,25E 26,27,17 12,52,7F 28,28,37 11,52,22G 26,56,08 12,4,58H 27,11,45 12,2,1I 27,25,2 11,53,26K 27,42,7 11,53,26L 29,33,34 12,7,48M 29,18,54 12,7,20N 28,48,29 12,31,9Z 29,44,48 11,57,13α 29,52,3 11,55,48β 0,8,23 11,48,56γ 0,40,10 11,55,18δ 1,3,20 11,30,42

Puesbien,lasposicionesqueobservédelcometarespectoaestasfijaserancomosigue.


Elviernes25defebrero,calendarioantiguo,alas8½p.m.,elcometahallándoseen p distaba de la estrella E menos de 3⁄13AE y más de ⅕AE, por lo cual,aproximadamentedistaba3⁄14AE;yelánguloApEeraunpocoobtuso,perocasirecto.Pues si se abatía una perpendicular sobre pE desde A, la distancia del cometa dedichaperpendicularerade⅕pE.

Esamismanoche,alas9½h.ladistanciadelcometasituadoenPalaestrellaEera

mayor que14½

AE, y menor que15¼

AE y por tanto igual a14⅞

AE, ó839

AE

aproximadamente.PuesladistanciadelcometadesdelaperpendiculartrazadadesdelaestrellaAsobrelarectaPEerade⅘PE.

Eldomingo27de febreroa las8¼p.m.estandoel cometaenQdistabade laestrellaOunadistanciaigualaladelasestrellasOyH,ylarectaQO,prolongada,pasaba entre las estrellas K y B. No pude, debido a las nubes, determinar másexactamentelaposicióndedicharecta.

El martes 1 de marzo a las 11 p. m., con el cometa en R, se hallaba situadoexactamenteentrelasestrellasKyC,ylaparteCRdelarectaCRKeraalgomayorque⅓CK,yunpocomenorque⅓CK+1⁄16CR,yportantoiguala⅓CK+1⁄16CR,otambién16⁄45CK.

Elmiércoles2demarzo,alas8p.m.,conelcometaenSladistanciaalaestrellaCerade4⁄9FCaproximadamente.LadistanciadelaestrellaFalaprolongacióndelarectaCSerade½4FC;yladistanciadelaestrellaBdedicharectaeracincovecesmayor que la distancia de la estrella F.Asimismo, la prolongación de la rectaNSpasabaentrelasestrellasHyI,pasandocincooseisvecesmáscercadeHquedeI.

Elsábado5demarzo,alas11½p.m.,conelcometaenT,larectaMTeraiguala½ML,ylaprolongacióndelarectaLTpasabaentreByF,cuatroocincovecesmáscercadeFquedeB,separandodeBFunaquintaosextapartedelamismahaciaF.YlaprolongacióndeMTpasabaporfueradelespacioBFhaciaelladodelaestrellaB,cuatrovecesmáscercadeBquedeF.Meraunaestrellamuypequeñaqueapenassedivisabaporeltelescopio,yLeraunaestrellamayor,comodeoctavamagnitud.

El lunes7demarzo,a las9½p.m.,conelcometaenV, laprolongaciónde larectaVαpasabaentreByF,segregandohaciaF½deBF,yerarespectoalarectaVβcomo5a4.Yladistanciadelcometadelarectaαβera½Vβ.

Elmiércoles9demarzo,alas8½p.m.,conelcometaenX,larectaγXeraiguala¼γδ,ylaperpendiculartrazadadesdelaestrellaδalarectaγXera⅖γδ.

Esamismanoche,alas12,conelcometaenY,larectaγYeraiguala⅓γδ,ounpocomenor,quizá5⁄16γδ,ylaperpendiculartrazadadesdelaestrellaδhastalarectaγYeraiguala⅙γδó1⁄7γδmuyaproximadamente.Peroporlacercaníaalhorizonteapenas se podía ver el cometa, ni tampoco su lugar se podía determinar con tantaprecisióncomoenlasobservacionesanteriores.


Conbaseenestasobservacionesmediantelaconstruccióndefigurasymediantecálculos obtuve las longitudesy latitudesdel cometa, y nuestroPound corrigió loslugaresdelcometaapartirdelascorreccionesdeloslugaresdelasfijas,ymásarribahemos dado los lugares corregidos.Me serví de unmicrómetro construido con nomucha delicadeza, pero los errores de longitud y latitud (en la medida en que sedeban a nuestras observaciones) escasamente superanunminuto.Por otra parte, elcometa(segúnnuestrasobservaciones)alfinaldesumovimientoempezóadesviarsenotablementehaciaelnortedesdeelparaleloenquehabíaestadodesde finalesdelmesdefebrero.

Pero ahora vayamos a la determinación de la órbita del cometa; de lasobservaciones descritas hasta aquí seleccioné tres, realizadas por Flamsteed endiciembre21,enero5,yenero25.ApartirdeellashalléqueSíera9842,1partesyVt455 partes de 10 000 en que estuviera dividido el semidiámetro del OrbeMagno.Entonces,suponiendopara laprimeraoperacióna tBde5657partes,halléparaSB9747,paraBElaprimeravez412,paraSμ9503,paraiλ413:paraBElasegundavez421,paraOD10186,paraX8528,4,MP8450,MN8475,NP25.Dedonde,obtuvepara la segunda operación tb 5640. Y mediante esta operación hallé por fin lasdistancias TX 4775 y τZ 11 322. Definiendo la órbita con estos datos, hallé susnodos,eldescendienteen♋yelascendenteen♑1.º53′;lainclinacióndesuplanorespectoaldelaeclípticade61.º20⅓;suvértice(operiheliodelcometa)distabadelnodo8.º38′,ysehallabaen♐27.º43′latitudsur;mientrassu«latusrectum»erade236,8 y el área descrita cada día con un radio trazado al Sol era de 93 585,suponiendo el cuadrado del semidiámetro del Orbe Magno de 100 000 000; y elcometacaminóporestaórbitasiguiendoelordendelossignosysehallóenelvérticedelaórbitaoperihelioel8dediciembrea lasOh.4′p.m.Todoesto lodeterminémedianteescaladepartesigualesycuerdasdeángulosobtenidasdelatabladesenosnaturalesgráficamente,construyendoundibujolobastantegrandecomoparaqueelsemidiámetrodelOrbemáximo(de10000partes)fuesecasiiguala16⅓pulgadasdepieinglés.

Finalmente,paracerciorarmedesielcometasemovíaporunaórbitaasíhallada,dedujemedianteoperaciones,enpartearitméticasyenpartegráficas,loslugaresdelcometaendichaórbitaenlosmomentosdealgunasobservaciones,comosepuedenverenlatablasiguiente.

ElcometaDist.al

SolLong.calc.

Latit.calc.

Long.observ.

Latit.observ.

Difer.delong.

Difer.delatit.

Dic. 12 2792 6.º32′ 8.º18½ 6.º31½ 8.º26 +1 -7½29 8403 13,132⁄3 28,00 13,11¾ 28,101⁄12 +2 -101⁄12

Feb. 5 16669 17,00 15,292⁄3 16,59⅞ 15,27⅖ +0 +2¼

Mar. 5 21737 29,19¾ 12,4 29,206⁄7 12,03½ -1 +½


Pero,más tarde,nuestroHalleydeterminómediantecálculoaritmético laórbitaconmayor exactitud que la permitida por las descripciones de líneas; y en verdadvinoamantenerellugardelosnodosen♋y♑1.º53′,lainclinacióndelplanodelaórbitarespectoalaeclípticade61.º20⅓yelmomentodelperiheliodelcometaendiciembre,8d.0h.4′:porotraparte,ladistanciadelperihelioalnodoascendentealmedirlahallóqueerade9.º20′,yel«latus rectum»de laparábolade2430partes,siendo la distanciamedia de la Tierra al Sol de 100 000 partes. A partir de estosdatos,haciendouncálculoaritméticomuyexacto,calculóloslugaresdelcometaenlosmomentosdelaobservacióncomosigue.

Tiempoverdadero

ElcometaDistanciaal

SolLongitudcalculada

Latitudcalculada

ErroresdeLongitud·Latitud

d,h,m º′″ º′″ º′″ ′″Dic.12,04,46 28028 ♑6,29,25 8,26,00 -3,05 -2,00

21,06,37 61076 ♒5,06,30 21,43,20 -1,42 +1,0724,06,18 70008 18,48,20 25,22,40 -1,03 -0,2526,05,20 75576 28,22,45 27,01,36 -1,28 +0,4429,08,03 84021 ♓13,12,40 28,10,10 +1,59 +0,1230,08,10 86661 17,40,05 28,11,20 +1,45 -0,33

Ene.5,06,1½ 101440 ♈8,49,49 26,15,15 +0,56 +0,089,07,00 110959 18,44,36 24,12,54 +0,32 +0,5820,06,06 113162 20,41,00 23,44,10 +0,10 +0,1813,07,09 120000 26,00,21 22,17,30 +0,33 +0,0225,07,59 145370 ♉9,33,40 17,57,55 -1,20 +1,2530,08,22 155303 13,17,41 16,42,07 -2,10 -0,11

Feb.2,06,35 160951 15,11,11 16,04,15 -2,42 +0,145,07,4½ 166686 16,58,55 15,29,13 -0,41 +2,0025,08,41 202570 26,15,46 12,48,00 -2,49 +1,10

Mar.5,11,39 216205 29,18,35 12,05,40 +0,35 +2,14

También apareció este cometa en el mes de noviembre precedente y fueobservadoenCoburgodeSajoniaporGottfriedKirchlosdíascuatro,seis,yoncededichomes,calendarioantiguo;ydelasposicionesdelmismorespectoalasestrellasfijascercanas,posicionesobservadasconbastanteexactitudgraciasauntelescopioaveces de dos pies y a veces de diez, junto con la diferencia de diez grados entreCoburgo y Londres y los lugares de las fijas observados por nuestro Pound,determinónuestroHalleyloslugaresdelcometacomosigue.

Nov.3d.17h.2′,eneltiempoaparentedeLondres,elcometaestabaen☊29.º5Tconlatitudboreal1.º17′45″.

Nov.5d.15h.58′,elcometaestabaen♍3.º23′conlat.boreal1.º6′.Nov.10d.16h.3T,elcometadistabaigualdelasestrellasdeLeoσyτdeBayer,

peroaúnnoalcanzabalalíneaqueuneaambasestrellas,aunquedistabapocodeella.En el catálogo de estrellas deFlamsteedσ estaba entonces♍ 14.º 15′, con latitudborealde1.º41′,casi,mientrasτestaba♍17.º3½,conunalatitudaustralde0.º34′.


Elpuntomedioentreestasestrellas♍15.º39¼conlatitudborealde0.º33½.Sealadistancia del cometa a la susodicha línea de 10′ ó 12′ aproximadamente, y ladiferencia de las longitudes del cometa y de dicho punto medio será de 7′, y lasdiferenciasdelatitudesdecasi71′⁄2.Yporendeelcometaestabaen♍15.º32′,conunalatitudborealdecasi26′.

Laobservaciónprimeradelasituacióndelcometahastaalgunasfijasmenoresfuemásquesuficientementeexacta.Tambiénlasegundafuesuficientementeexacta.Enlatercera,quefuemenosexacta,pudoserelerrordemenosdeseisosieteminutos,yescasamentemayor.Lalongitud,enlaprimeraobservación,quefuelamásexactadetodas,estabacalculadaenlasusodichaórbitaparabólicaen♌29.º30′22″,ylatitudborealde1.º25′7″,ysudistanciaalSolde115546.

MasheaquíqueHalley,dándosecuentadequeungrancometahabíaaparecidocuatrovecesconintervalode575años,asaber,elmesdeseptiembreposterioralamuerte de Julio César, el año de Jesucristo, 531, siendo Cónsules Lampadio yOreste,elañodeCristo1106enelmesdefebreroyafinesdelaño1680,yelloconuna cola larga y brillante (salvo el de la muerte deCésar en el que por la malaposicióndelaTierralacolabrillómenos),sepropusohallarunaórbitaelípticacuyoejemayorfuerade1382957partes,siendoladistanciamediadelaTierraalSolde10000partes,órbitaenlacualhubierapodidogirardehechoelcometaen575años.Y situando el nodo ascendente en♋ 2.º 2′, la inclinación del plano de la órbitarespectoaldelaeclípticaen61.º6′48″,elperiheliodelcometaendichoplanoen♐22.º44′25″,elmomentoexactodelperihelioendiciembre7d.23h.9′, ladistanciadelperihelio al nodoascendente en el planode la eclíptica en9.º 17′ 35″, y el ejeconjugadoen1848,2,calculóelmovimientodelcometaenestaórbitaelíptica.Suslugares,tantolosderivadosdelasobservacionescomolosresultantesdeloscálculosaparecenenlatablasiguiente.

Lasobservacionesde este cometadesde el principio al final concuerdan con elmovimientodelcometaen laórbita reciéndescritanomenosquesuelenconcordarlosmovimientosdelosplanetasconsusrespectivasteorías,yalconcordarvienenaprobarquesetratadeunoyelmismocometaqueaparecióentodoesetiempoycuyaórbitafuecorrectamenteestablecidaaquí.

Enlatablaprecedenteomitimoslasobservacionesdelosdías16,18,20y23denoviembre por ser menos precisas. Pero también en esos días el cometa fueobservado. Efectivamente, Ponthio y sus compañeros, el 17 de nov. (calendarioantiguo)enRomaalas6h.delamañana,esdecir,alas5h.10′deLondres,conhilostiradosa lasestrellasfijas,observaronelcometaen♎8.º30′conlatitudsurde0.º40′. Aparecen sus observaciones en un tratado que publicó Ponthio sobre estecometa. Celtio, que estaba presente y comunicó a Cassini por carta susobservaciones,vioelcometaaesahoraen♎8.º30′conlatitudaustralde0.º30′.AlamismahoraGalletenAvignon(esdecir,alas5h.42′delamañanadeLondres)vioelcometaen♎8gradossinlatitud.Aunqueelcometa,porlateoría,estabaahoraen


♎8.º16′45″conlatitudaustralde0.º53′7″.El18denoviembrealas6h.30′delamañanaenRoma(esdecir,alas5h.40′de

Londres)Ponthiovioelcometaen♎13.º30′conlatitudaustralde1.º20′.Cellioen♎13.º30′,conlatitudaustralde1.º00′.Gallet,porsuparte,enAvignonalas5,30′vio al cometa en♎ 13.º 00′ con latitud austral de 1.º 00′. Y el R. P.Ango, en elColegio de La Fleche, en Francia, a las 5 de la mañana (es decir, a las 5,9′ enLondres)vioelcometaenmediodedospequeñasestrellas,unade lascualeses lacentralde tres en línea rectade lamanoaustraldeVirgo,Bayer♆, y laotra es laúltima del ala,Bayer θ. Por lo cual el cometa estaba entonces en♎ 12.º 46′ conlatitudaustralde50′.Elmismodía,enBostonenNuevaInglaterra,a42½gradosdelatitudalascincodelamañana(esdecir,alas9h.44′delamañanadeLondres)fuevistoelcometacercade♎14gradosconlatitudaustralde1.º30′,comomehahechosaberelIlustreHalley.

El19denov., a las4½de lamañanaenCambridge, el cometa (observadoporcierto joven) distaba de Spica♍ casi 2 grados hacia el noroeste. Pero Spica seencontraba en♎ 19.º 23′ 47″ con latitud austral de 2.º 1′ 59″. El mismo día enBoston,Nueva Inglaterra, a las 5h. a. m. el cometa distaba de Spica♍ 1 grado,siendoladiferenciadelatitudes40′.ElmismodíaenJamaica,elcometadistabadeSpicacasi1grado.ElmismodíaelseñorArthurStorer enel ríoPatuxent, juntoaHunting-Creek,enMarylandenlosconfinesdeVirginia,a38½gradosdelatitudyalascincodelamañana(estoes,alaslOh.deLondres)vioelcometasobreSpica♏ycasijuntoconella,siendoladistanciaentreellosdecasi¾degrado.Ycomparandoestasobservacionesentresíinfieroquealas9h.44′deLondreselcometaestabaen♎18.º50′conlatitudaustraldecasi1.º25′.Yelcometasegúnlateoríaestabaahoraen♎18.º52′15″,conlatitudaustralde1.º26′54″.

El 20 de nov.,Montenari, profesor de astronomía en Padua, a las seis de lamañanaenVenecia(esdecir,alas5h.10′enLondres)vioalcometaen♎23gradosconlatitudaustralde1.º30′.ElmismodíaenBoston,elcometadistabadeSpica♍4gradosdelongitudaorienteyportantoestabaen♎23.º24′aproximadamente.

El21denov.,Ponthioysuscolegasalas7¼delamañanaobservaronelcometaen♎27.º50′conlatitudaustral1.º16′.Cellioen♎28grados.Angoalascincodelamañanaen♎27.º45′.Montenarien♎27.º51′.ElmismodíaenlaisladeJamaicase vio cerca del principio de Escorpio, y tuvo casi la misma latitud que Spica deVirgo,esdecir,2.º2′.ElmismodíaalascincodelamañanaenBallasoreenlaIndiaOriental (es decir, a las 11h. 20′ de la noche precedente enLondres) se tomó unadistanciadel cometadeSpica♍ de7.º 33′ haciaoriente.Sehallaba en línea rectaentreSpicayLibra,yporendesehallabaen♎26.º58′,conlatitudaustraldecasi1.º11′;ydespuésdelas5h.40′(hacialascincodelamañanadeLondres)estabaen♎28.º 12′ con latitud sur de 1.º 16′. Según la teoría el cometa se hallaba en esemomentoen♎28.º10′36″,conlatitudaustralde1.º53′35″.

El22denoviembreelcometafuevistoporMontenarien♍2.º33′.EnBoston,


en Nueva Inglaterra, apareció en ♏ 3 grados casi y con la misma latitudprácticamentequeantes,estoes,1.º30′.Elmismodíaa lascincode lamañanaenBallasoreseobservabaelcometaen♏1.º50′;yportanto,alascincodelamañanaenLondreselcometaestabaen♏3.º5′aproximadamente.ElmismodíaenLondres,alas6½delamañana,nuestroHookevioelcometaen♏3.º30′aproximadamente,yesto en una línea recta que pasa por Spica deVirgo yCorazón deLeo, si bien noexactamente,sinoseparándoseunpoquitohaciaelnorte.Montenaritambiénobservóque la línea trazadadesdeel cometa aSpica esedíay los siguientespasabapor ellado sur deCorazóndeLeo,mediandounmuypequeño espacio entreCorazóndeLeoyesalínea.LalínearectaquepasaporCorazóndeLeoySpicadeVirgocortóalaeclípticaen♏3.º46′,conunángulode2.º51′.Ysielcometahubieseestadoenesalíneaen♏3grados,sulatitudhubierasidode2.º26′.Perocomoelcometa,deacuerdo conHooke yMontenari, distaba un poco de esa línea hacia el norte, sulatitudfueunpocomenor.Eldía20,porlaobservacióndeMontenari,sulatituderasensiblemente iguala ladeSpica♍yeradecasi1.º30′,ydeacuerdoconHooke,Montenari yAngo, aumentaba continuamente, y por tanto ahora era sensiblementemayorque1.º30′.Entreloslímitesestablecidosde2.º26′y1.º30′,lalatitudconunvalormedioestaríaaproximadamenteen1.º58′.Lacoladelcometa,deacuerdoconHookeyMontenari sedirigíahaciaSpica♍,declinandoun tantodedichaestrella,segúnHooke hacia el sur, segúnMontenari hacia el norte; por ello la declinaciónapenasfuesensible,ysiendolacolacasiparalelaalecuador,seapartabauntantodelaoposicióndelSolhaciaelnorte.

El 23 de nov., calendario antiguo, a las cinco de lamañana enNuremberg (esdecir,alas4½enLondres)elseñorZimmermanvioelcometaen♏8.º8′,conlatitudaustral2.º31′,tomandosusdistanciasdelasestrellasfijas.

El24denov.,antesdelasalidadelSolMontenarivioelcometaen♏12.º52′alladonortedelarectaquepasaporCorazóndeLeoySpicadeVirgo,yportanto,lalatituderaalgomenorque2.º38′.Comohemosdichoestalatitud,deacuerdoconlasobservaciones deMontenari, Ango yHooke, aumentaba continuamente; por tantoahoraeraalgomayorque1.º58′;yportantopuedeestablecersesinmayorerrorenunvalor medio de 2.º 18′. Ponthio yGallet, pretenden que a estas alturas ya habíadecrecidolalatitud,mientrasCellioyelobservadordeNuevaInglaterraretienencasiel mismo valor, a saber un grado o un grado y medio. Más inexactas son lasobservacionesdePonthioyGallet,sobretodolasquerealizabantomandoacimutsyalturas, como las deGallet; mejores resultan las realizadas por las posiciones delcometa respecto a las fijas porMontenari,Hooke,Ango y el observador deNuevaInglaterrayavecesporPonthioyCellio.ElmismodíaalascincodelamañanaenBallasoreelcometaseveíaen♏11.º45′;ypor tantoa lascincode lamañanaenLondresestabacasien♏13grados.Peroporlateoríaelcometaestabaahoraen♏13.º22′42″.

El25denov.,antesdelasalidadelSol,Montenarivioalcometacasien♏17¾º.


YCellioobservóenesemomentoqueelcometaestabaenlínearectaentrelaestrellabrillantedelfémurderechodeVirgoyelplatoaustraldeLibra,yestarectacortalatrayectoriadelcometaen♏18.º36′.Encambio,porlateoríaelcometaahoraestabaencasi♏183⅓.º.

Porconsiguiente,estasobservacionesconcuerdanconla teoría,enlamedidaenque concuerdan entre ellas, y, al concordar, prueban que fue uno y el mismo elcometaqueseviodurantetodoeltiempodesdeeldíacuatrodenoviembrehastaeldía nueve demarzo. La trayectoria de este cometa cortó dos veces el plano de laeclíptica,yporlotantonofuerectilínea.Cortóalaeclípticanoenpartesopuestasdelcielo,sinoalfinaldeVirgoyalprincipiodeCapricornio,conunintervalodecasi98grados;yporlomismoelcursodelcometasedesviabamuchodelCírculoMáximo.Puesenelmesdenoviembresucursodeclinabadelaeclípticaalmenostresgradosalsury,después,enelmesdediciembreseapartabadelaeclípticahaciaelnorteen29grados,declinando,comoobservóMontenari, lasdospartesde laórbitacon lascualeselcometatendíahaciaelSolyseapartabadelmismo,conunánguloaparentedemásdetreintagrados.Estecometacaminabaalolargodenuevesignos,asaber,desdeelúltimogradodeLeoalPrincipiodeGéminis,apartirdelsignodeLeoporelquepasabaantesdeempezaraservisto;ynoexisteningunaotrateoríaporlacualuncometarecorratangranporcióndelcieloconunmovimientoregular.Sumovimientofuemuydesigual.Puesentornoaldía20denoviembrerecorriócasi5gradoscadadía;después,conunmovimientoretardado,entreel26denov.yel12dediciembre,en un tiempo de 15½, sólo recorrió 40 grados: después conmovimiento de nuevoacelerado,recorriócasi15gradoscadadía,antesdequeelmovimientoempezasedenuevoa retardarse.Y la teoríaquemejor respondeaunmovimiento tandesigualatravésdelamayorpartedelcieloyqueobedecelasmismasleyesquelateoríadelosplanetasyconcuerdaexactamentecon lasobservacionesastronómicasmásexactas,nopuedenoserverdadera.

Porlodemás,mehaparecidooportunorepresentareneldibujoanexo,dibujadassobreelplanode la trayectoria, tanto la trayectoriadescritapor el cometacomo lacola verdadera que proyectó en cada uno de los lugares: en él,ABC representa latrayectoriadelcometa,DelSol,DEelejedelatrayectoria,DFlalíneadelosnodos,GHla intersecciónde la trayectoriayde laesferadelOrbeMáximo, Iel lugardelcometael4denov.de1680,Ksulugarel11denov.,Lellugardel19denov.,Mellugardel12dedic.,Nellugardel21dedic.,Oellugardel29dedic.,Pellugardel5deenerosiguiente,Qellugardel25deenero.Rellugardel5defebrero,Sellugardel25defebrero,Tellugardel5demarzo,yVellugardel9demarzo.Paradefinirlacolahicelasobservacionessiguientes.


El4y6denov.lacolaaúnnoapareció.El11denov.empezándoseaveryalacola,noparecíamayordemediogradodelargaconuntelescopiodediezpies.El17denov.Ponthioobservóunacolademásde15gradosdelargo.El18denov.seveíaenNuevaInglaterraunacolademásde30gradosdelargo,directamenteopuestaalSolysealargabahastalaestrella♂,quesehallabaentoncesen♍9.º54′.El19denov. enMaryland se vio una cola de 15ó 20grados de largo.El 10de diciembre(observador,Flamsteed) lacolapasabapormediodeladistanciaentrelacoladelaserpiente deOfíuco y la estrella δ del ala sur deÁguila, y terminaba cerca de lasestrellasA,ω,b,delastablasdeBayer.Porconsiguiente,elfinalestaba♑19½ºconunalatitudborealdecasi34¼º.El11dediciembrelacolasubíahastacasilacabezadeSagitario(Bayerα,β)acabandoen♑26.º43′,conunalatitudborealde38.º34′.El12dediciembrelacolapasabapormediodeSagitario,nosobrepasandomucho,acabandoen♒4gradosconuna latitudborealdecasi42½º.Entiéndaseestode lalongitud de la colamás brillante. Pues con luzmás oscura, quizá en un cielomástransparente, la cola fue observada en Roma el 12 de diciembre a las 5h. 40′(observadorPonthio)extendiéndosehasta10gradosporencimadelacoladelCisne;y partiendo desde esta estrella hacia elNoroeste su borde sobresalía 45′. En estosdías,portanto,lacolaeradeancha3grados,enelladodearriba,yporconsiguiente,sucentrodistabadedichaestrella2.º15′haciaelsur,yelextremosuperiorsehallabaen♓22gradosconunalatitudborealde61grados.Ydeaquíquelacolaeradecasi70gradosdelargo,el21dediciembre.SubíacasihastalasilladeCasiopea,distandoigualmente de β y de Schedir,manteniendo una distancia igual de una y otra a ladistanciamutuaentreellas,acabando,portanto,en♈24gradosconunalatitudde47½º.El29dediciembrelacolatocabaaScheatsituadaalaizquierda,yelintervalodelasdosestrellasdelpieborealdeAndrómeda locubríaexactamente,yerade54gradosdelarga;porlotantoacababaen♉19grados,conunalatitudde35grados.El5deenero,lacolatocólaestrellaπdelpechodeAndrómedaenelladoderecho,yalaestrellaμdelcinturónenelladoizquierdo;y(segúnmisobservaciones)erade40grados de larga; estaba curvada y su lado convexomiraba al sur. Formaba con uncírculoquepasaseporelSolylacabezadelcometaunángulode4gradosjuntoalacabezadelcometa;perohaciaelotroextremoseinclinabahaciadichocírculoenunángulode10u11gradosylacuerdadelacolacondichocírculoconteníanunángulode8grados.El13deenero,lacola,conunaluzbastanteperceptible,terminabaentreAlamech yAlgol y con luz muy débil se acababa en la zona de la estrella ҡ delcostadodePerseo.Ladistanciadelfinaldelacolahastaelcírculoquepasabaporel


Soly el cometaerade3.º50′, y la inclinaciónde la cuerdade la colahaciadichocírculoerade8½º.En25y26deenero,lacolaconluzmuytenuesealargabahastaunalongitudde6ó7grados;ylasdosnochessiguientesconuncielomuysereno,conluzmuytenueyapenasperceptiblealcanzabaunalongitudde12gradosypocomás.SuejesedirigíaalaestrellabrillantedelhombroorientaldelAuriga,contodaexactitud,yporellodeclinabadelaoposiciónalSolhaciaelnorteenunángulode10grados.Finalmente,el10defebrero,coninstrumentosocularesobservéunacolade 2 grados de longitud. Pues la antedicha luz tenue con gafas no se veía. PeroPonthio,el7defebrero,escribequeviolacolade12gradosdelongitud.El25defebreroysiguienteselcometaseviosincola.

Aquienconsiderelaórbitareciéndescritaymediteenlosfenómenosrestantesdeestecometanolecostarámuchoconcluirqueloscuerposdeloscometassonsólidos,compactos, fijosyduraderos, almodode loscuerposde losplanetas.Pues sinadamás fuesen que vapores o exhalaciones de la Tierra, del Sol o los planetas, estecometa,asupasoporlasinmediacionesdelSol,debiódisiparsealinstante.PueselcalordelSolescomoladensidaddelosrayos,esdecir,comoelinversodelcuadradodeladistanciadellugarhastaelSol.Yporlomismo,comoladistanciadelcometahastaelcentrodelSoleldía8dediciembre,cuandoseencontrabaenelperihelio,eraaladistanciadelaTierraalcentrodelSolcasicomo6a1000,elcalordelSoljuntoalcometaenesemomentoeraalcalordelSolestivalentrenosotroscomo1000000a36,ocomo28000a1.Peroelcalordelaguaenebulliciónescasitresvecesmayorqueelcalorquealcanzalatierrasecaalcalordelverano,comohecomprobado:yelcalordelhierrocandente (sinoesmalamiconjetura)es tresvecesmayorocuatroqueeldelaguaenebullición;yporesoelcalorquelaarenasecaenlasuperficiedelcometaalpasarésteporelperiheliorecibiódelosrayossolaresseríaunas2000vecesmayor que el calor del hierro candente. Con semejante calor los vapores y lasexhalaciones, así como toda materia volátil, deberían consumirse y disiparse alinstante.

Por consiguiente, el cometa en su perihelio recibió del Sol un enorme calor, ypuedeconservardichocalorpormuchotiempo.Puesunglobodehierrocandentedeuna pulgada de diámetro apenas pierde todo su calor en el espacio de una horaexpuestoalaire.Perounglobomayorconservaráelcalormás tiempoenrazóndeldiámetro,todavezquelasuperficie(encuyaproporciónserefrigeraporcontactoconelaireambiente)esmenorendicharazónrespectoalacantidaddemateriacalientecontenida.Porlocual,unglobodehierrocandenteigualaestaTierra,esdecir,de40000000depiesdeancho,másomenos,tardaríaenenfriarseotrostantosdías,ounos50 000 años. Pero sospecho que la duración del calor, por causas desconocidas,aumenta en razón menor que la del diámetro: y quisiera que se investigase laverdaderarazónmedianteexperimentos.

Por lo demás, hay que notar que el cometa en elmes de diciembre, cuando sehabíacalentadoalSolhastaesepunto,emitíaunacolamuchomayorymásbrillante


queantes,ennoviembre,cuandoaúnnohabíaalcanzadoelperihelio.Ygeneralmentetodas las colas máximas y resplandecientes salen de los cometas inmediatamentedespuésde supasopor la región solar.El calentamientodel cometa comporta, portanto,elcrecimientodelacola.Ydeellomepareceinferirquelacolanoesotracosaqueunvaporsumamentetenuequeemitelacabezaonúcleodelcometadebidoasucalor.

Porotraparte,sobre lascolasde loscometas tresson lasopiniones;obienqueson resplandor del Sol que se propaga a través de la cabeza transparente de loscometas, o bien que se originan de la refracción de la luz en su camino desde lacabezadelcometahastalaTierra,obien,finalmente,quesonunanubeovaporquesurgeconstantementedelacabezadelcometaysealejahacialaspartesopuestasalSol.Laprimeraopiniónespropiadequienesaúnnosehanadentradoenlacienciadelaóptica.PueselresplandordelSolenunahabitaciónoscuranosevemásqueenlamedida en que la luz es reflejada por partículas de polvo y de humo suspendidassiempreenelaire:ypor lomismoesmásbrillanteenunairemás llenodehumosgruesos,yhiereconmásfuerzaalavista;enunairemásenrarecidoesmuchomástenue y se percibe con mayor dificultad: de suerte que en los cielos sin materiareflectanteninguna reflexiónesposible.La luznoseveen tantoenqueestáenelresplandor,sinoentantoenquedeallíesreflejadahacianuestrosojos.Pueslavisiónnoocurremásqueporlosrayosqueincidensobrelosojos.Porlotantoserequierealguna materia en la región de la cola, a no ser que el cielo entero brilleuniformemente iluminadopor la luzdelSol.Lasegundaopiniónseveacosadapormúltiples dificultades. Las colas jamás tienen varios colores: cosa que sueleacompañarinseparablementealasrefracciones.Laluzdelasfijasydelosplanetastransmitidahastanosotrosconperfectadistincióndemuestraqueelmediocelestenogoza de ningún poder de refracción. Pues, que losEgipcios vieran algunas veces,comosedice,estrellasfijasconcola,esto,ademásdesermuyraro,debeachacarseauna refracción fortuita de las nubes. Pues la radiación y los destellos de las fijasdeben achacarse a refraccionesbiende losojos, biendel aire enmovimiento, todavezquedesaparecentanprontocomosearrimanlosojosaltelescopio.Eltemblordelaire y de los vapores que ascienden hace que los rayos se descoloquen de vez encuandodelestrechoespaciodelapupila,mientrasnoocurreenelespaciomásanchodelobjetivodeltelescopio.Deaquí,queelcentelleotengalugarenelprimercasoynoenelsegundo,yqueceseenestesegundocasomuestralaregulartrasmisióndelaluzporloscielossinningunarefracciónsensible.Sialguiensostienequelascolasdelos cometas no suelen verse cuando su luz no es suficientemente fuerte porqueentonceslosrayossecundariosnotienenfuerzasbastantesparaheriralosojos,yporesarazónnosevenlascolasdelasfijas,sehadetenerpresentequelaluzdelasfijaspuedeaumentarseconlostelescopiosmásdecienveces,ynientoncessevencolas.Ylaluzdelosplanetasesmásabundante,perocolasninguna;mientrasloscometasfrecuentementetienenlarguísimascolas,cuandolascabezastienenluzmuytenuey


velada.Yasí, el cometade1680,endiciembre,cuando la luzde sucabezaapenasigualaba a la de las estrellas de segunda magnitud, emitía una cola de notableresplandoryunalongitudde40,50,60ó70ymásgrados.Mástarde,enenero27y28,lacabezaparecíaunaestrelladeséptimamagnitud,mientraslacola,conunaluzbastante tenue, aunque suficientemente sensible, alcanzaba una longitud de 6 ó 7grados, y con una luzmuy difusa que apenas sí se podía ver, alcanzaba hasta 12gradosomás:comosehadichoantes.Peroel9y10defebrero,cuandolacabezahabíadejadodeverseasimplevista,hevisto lacoladedosgradosde largoconeltelescopio.Además, si la cola se originase de la refraccióndemateria celeste y seinclinasedelaoposiciónalSoldeacuerdoconlafiguradeloscielos,talinclinación,en lasmismasregionesdelcielo,deberíaocurrirsiemprehacia lamismadirección.Peroelcometade1680,el28dediciembrealas8½p.m.enLondres,sehallabaen♓8.º41′conunalatitudborealde28.º6′,estandoelSolen♑18.º26′.Yelcometade1577el29dediciembresehallabaen♓8.º41′conunalatitudborealde28.º40′,estandotambiénelSolen♑18.º26′aproximadamente.EnamboscasoslaTierrasehallabaenelmismolugaryelcometaaparecíaenelmismositiodelcielo,peroenelprimercasolacoladelcometa(segúnobservacionesmíasydeotros)declinabadelaoposicióndelSolconunángulode4½gradoshaciaelnorte;enelsegundocaso,encambio(segúnlasobservacionesdeTychó) ladeclinaciónerade21gradoshaciaelsur. Descartada, por tanto, la refracción de los cielos, sólo queda derivar losfenómenosdelascolasdealgunamateriaquereflejalaluz.

QuelascolasseoriginandelascabezasyasciendenhacialasregionesopuestasalSolseconfirmaporlasleyesqueobservan.Como,p.e.,quesituadasenlosplanosdelasórbitasde loscometasquepasanporelSol, sedesvíande laoposicióndelSolsiemprehaciaaquellaspartesque,alavanzar,vandejandoatráslascabezasendichasórbitas. Que para un espectador situado en esos planos aparecen en las partesdirectamente opuestas al Sol; pero al separarse de esos planos el espectador notaenseguida la desviación, y poco a poco aparecemayor.Que la desviación, con lasdemás condiciones iguales, es menor cuando la cola es más oblicua respecto a laórbitadelcometa,lomismoquecuandolacabezadelcometaseacercamásalSol;sobretodosielángulodeladesviaciónsetomajuntoalacabezadelcometa.Ademásdequelascolasquenosedesvíanaparecenrectas,mientrasquelasquesedesvíanaparecencurvadas.Quelacurvaturaesmayorcuandoladesviaciónesmayor,ymássensible,enigualdaddecircunstancias,cuandolacolaesmáslarga:pues,enlasmuycortas,lacurvaturadifícilmentesedistingue.Queelángulodedesvíoesmenorjuntoalacabezadelcometa,ymayorjuntoalextremoopuestodelacola,yportantoquelacolaconsuladoconvexomiraalaspartesdelasquesedesvía,lascualesestánenlarecta infinita, trazadadesdelacabezadelcometaalSol.Yquelascolasquesonmáslargasyextensasybrillanconluzmásviva,sonalgomásresplandecientesporelladoconvexoyperfiladasalgomenosimprecisamentequeporelladocóncavo.Porconsiguiente,losfenómenosdelaseoliasdependendelmovimientodelacabezayno


de la región del cielo en que se ve la cabeza; y por lomismo, no ocurren por larefraccióndeloscielos,sinoqueseoriginandelacabezaqueproporcionamateria.Pues,aligualqueennuestroaireelhumodeuncuerpocualquieraardiendosedirigehacia arriba, y esto perpendicularmente si el cuerpo está en reposo o bienoblicuamente si el cuerpo semueve hacia un lado: delmismomodo en los cielos,dondeloscuerposgravitanhaciaelSol,loshumosyvaporesdebenascenderdesdeelSol(comoyasehadicho)ydirigirsehaciaarribaoendirecciónrectasiloscuerposhumeantes están en reposo; o bien oblicuamente, si el cuerpo avanzandocontinuamentevadejandosiempreatrásloslugareshacialoscualeshabíanascendidolaspartessuperioresdelvapor.Ylaoblicuidadesasiempreserámenorcuandomásvelozseaelascensodelvapor:osea,enlasproximidadesdelSolyjuntoalcuerpofumante. Pero por la diversidad de oblicuidad se curvará la columna de vapor: ydebidoaqueenelladoanteriordelacolumnaelvaporesalgomásreciente,poresomismoesallítambiénalgomásdensoyporelloreflejaunaluzmásabundantealavezqueseperfilaconun límitemenos impreciso.Sobre losmovimientossúbitoseinciertosde lascolasosobresus figuras irregulares,descritosavecesporalgunos,nada añado aquí, por cuanto que pudieran deberse a movimientos y cambios denuestroaireoamovimientosdelasnubesqueoscurecenenpartelascolas,oquizáapartesde lavía lácteaquepudieranconfundirsecon lascolasen tránsitoporellaycontemplarsecomopartesdelasmismas.

Apartirde la rarezadenuestroaire secomprendequede lasatmósferasde loscometaspuedansurgirvaporessuficientesparallenartanenormesespacios.PueselairejuntoalasuperficiedelaTierraocupaunespaciocasi850vecesmayorqueelmismopesodeagua,yportanto,unacolumnacilíndricadeairede850piesdealtopesaigualqueunacolumnadeaguadeunpieydelamismaanchura.Yunacolumnadeairequelleguehastalacimadelaatmósferaigualaconsupesoaunacolumnadeaguaquetenga33piesdealtoaproximadamente;yporello,sisequitasedetodalacolumnaaérealaparteinferiorde850piesdealto,laparterestantesuperiorigualaríacon supesoaunacolumnadeaguade32piesdealto.Yapartirdeello (porunaregla confirmadamediantemuchos experimentos, deque la compresióndel aire escomo el peso del aire sobrepuesto, y de que la gravedad es inversamente como elcuadradodeladistanciadeloslugaresalcentrodelaTierra),calculandodeacuerdoconelCorolariodelaProposiciónXXIIdelLibroII,hehalladoqueelaire,sisesubehastaunaalturadesdelasuperficieterrestredeunsemidiámetrodelaTierra,tendráuna rareza mayor con mucho que entre nosotros, en una razónmayor que la queexiste entre todo el espacio bajo la órbita de Saturno y un globo descrito con undiámetrodeunapulgada.Yporlomismo,unglobodenuestroairedeunapulgadadeancho, con la rareza que tendría a la altura de un semidiámetro terrestre, llenaríatodas las regiones de los planetas hasta la esfera de Saturno y más allá. Porconsiguiente, puesto que el aire amás altura todavía se enrarecemuchomás, y lacabellera o atmósfera de un cometa surgiendo desde su centro, sea casi diez veces


másaltaquelasuperficiedelnúcleo,ydespuéslacolatodavíaasciendamuchomásarriba,lacoladeberásersumamenteenrarecida.Yaunque,porsermuchomásgruesalaatmósferadeloscometasyporlaenormegravitacióndeloscuerposhaciaelSolydelaspartículasdeaireyvaporentreellas,pudieraocurrirqueelaireenlosespacioscelestesy en las colasde los cometasno se enrarezca tanto, noobstante, unamuypequeñacantidaddeaireydevaporbastaysobraparatodosestosfenómenosdelascolas,comoseveporlosdichoscálculos.Pues,hastaporlosastrosquesetraslucenatravés de ellas se puede colegir la gran rarefacción de las colas. La atmósferaterrestre,conungrosordeunaspocasmillas,iluminadaporlaluzdelSoloscureceatodos losastrosyhastacasiextinguea lapropiaLuna;mientras tanto,a travésdelinmenso grosor de las colas iluminadas igualmente por la luz del Sol se percibenhastalosmenoresastrossindetrimentodelaclaridad.YnosuelesermayorelbrillodemuchascolasqueeldenuestroairereflejandolaluzdelSolenunrayo,deunaodospulgadasdeanchodentrodeuncuartooscuro.

Encuántotiempoasciendeelvapordesdelacabezahastaelextremodelacolacasipuedeconocerse trazandouna rectadesdeelextremode lacolahastaelSolyanotandoelpuntoenquedicharectacortaalatrayectoria.Pueselvaporalfinaldelacola,sisubeenlínearectadesdeelSol,comenzóaascenderenelmomentoenquelacabezasehallabaenelpuntodela intersección.PeroelvapornoasciendeenlínearectadesdeelSol,sinoque,reteniendoelmovimientoqueteníaelcometaantesdesuascenso, y componiéndolo con el movimiento de su propio ascenso, asciendeoblicuamente.Porlocualseríamejorsolucióndelproblemaquedicharectasecantedela trayectoriafueraparalelaa la longituddelacola,omejor(porelmovimientocurvilíneodelcometa)queseadivergentedelalíneadelacola.Deestemodohalléqueelvaporquesehallabaenelextremodelacolael25deenerohabíacomenzadoa ascender de la cabeza el día 11 de diciembre anterior, y por lo mismo habíaconsumidoensuascensocompletomásde45días.Perolacolaenteraqueaparecióeldía10dediciembre,habíaascendidoenlosdosdíasquehabíansidoconsumidospor el perihelio del cometa. Por lo tanto, en las proximidades del Sol, el vapor alprincipio ascendíamuy rápidamente, y después con unmovimiento continuamenteretardado por su gravedad continuaba ascendiendo, y al ascender aumentaba lalongituddelacola,mientraslacola,cuandoapareció,constabacasidetodoelvaporquehabíaascendidoduranteelperihelio;yelprimervaporqueascendióydiolugaralextremodelacolanosedisipóhastaque,porsuexageradadistanciatantodelSoliluminantecomodenuestrosojos,dejódeverse.Poresotambién,lascolasdeotroscometas, que sonmás cortas, no ascienden con unmovimiento rápido y continuodesde lascabezasydesaparecenenseguida, sinoquesoncolumnaspermanentesdevaporesyexhalacionespropagadasdesdelacabezaconunmovimientomuylentodemuchos días, las cuales, al participar de aquellos movimientos de la cabeza querecibieroneneliniciocontinúanmoviéndoseporloscielosalavezquelascabezas.Y esto de nuevo permite inferir que los espacios están desprovistos de fuerza de


resistencia,porcuantoqueenellosnosóloloscuerpossólidosdelosplanetasydeloscometas, sino también losvapores sumamenteenrarecidosde lascolas llevanacabo con toda libertad sus rapidísimosmovimientos y los conservan durante largotiempo.

AtribuyeKepler el ascensode lascolasdesde lasatmósferasde lascabezasasícomosudirecciónhacialaspartesopuestasalSolalaaccióndelosrayosdeluzquearrastranconellosalamateriadelascolas.Ynoparecelejosdelarazónelqueunaura tan sumamente tenue y en unos espacios completamente libres cediera a laacción de los rayos, pese a que en nuestras regiones sumamente entorpecidas lasmaterias gruesas no puedan ser desplazadas por los rayos del Sol. Piensa otro quepuedendarsepartículastantolevescomograves,yquelamateriadelascolaslevitayporsulevitaciónasciendedesdeelSol.Pero,puestoquelagravedaddeloscuerposterrestres es como la cantidad de materia en ellos, y por tanto, manteniendo lacantidad demateria, no pueda aumentar ni disminuir, sospecho que el ascenso seadebidomásbienalararefaccióndelamateriadelascolas.Elhumoasciendeporlachimenea gracias al impulso del aire en el que flota.Dicho aire, enrarecido por elcalor asciende al disminuir su gravedad específica y arrastra consigo al humocontenidoenél.¿PorquénopodríanascenderdeigualmododesdeelSollascolasdeloscometas?PueslosrayosdelSolnoagitanlosmediosqueatraviesananoserenlareflexión y la refracción. Las partículas reflectantes calentadas por esa accióncalientanelauraetéreaenquesehallaninmersas.Estaseenrareceporelcalorquelehasidocomunicado,yporladisminución,debidaalenrarecimiento,desugravedadespecíficaconlacualtendíaprimerohaciaelSol,ascenderáyarrastraráconsigoalaspartículasreflectantesdelasquesecomponelacola;tambiénconducealascensodelosvaporeselhechodequeéstosgiranen tornoalSolyconestaacción tratandeapartarse del Sol, mientras la atmósfera del Sol o reposa, al igual que la materiaceleste,demodototalobiengiramáslentamenteconelsolomovimientoquehubieserecibido de la rotación solar. Estas son las causas del ascenso de las colas en lasproximidades del Sol, cuando las órbitas son más curvas y los cometas se hallandentro de la atmósferamás densa, y por ellomás grave, del Sol, y cuando emitencolas de mayor longitud. Pues las colas que nacen entonces, conservando sumovimientoygravitandoentretantohaciaelSol,semoveránenelipsesentornoalSol al igual que las cabezas, y con ese movimiento siempre acompañarán a lascabezasadhiriéndoseaellascontodalibertad.PueslagravedaddelosvaporeshaciaelSolnotendrámayoreficaciaparaquelascolasseapartendespuésdelascabezashaciaelSol,que lagravedadde lascabezasparahacerqueéstas se separende lascolas.ConlagravedadcomúnobiencaenalavezhaciaelSol,obiensonretardadasa la vez en su ascenso; por lo cual dicha gravedad no impide que colas y cabezasalcancen una posición mutua cualquiera, debida a las causas expuestas o a otrascualesquieray,después,laconservencontodalibertad.

Pero las colas que nacen en los perihelios de los cometas se alejarán a muy


distantesregionesjuntoconsuscabezas,yallíoregresantrasunalargaseriedeañoshasta nosotros junto con ellas o, más bien, enrarecidas se desvanecen allí poco apoco.Pues,luego,cuandolascabezasdesciendendenuevoalSol,unascolasnuevasyminúsculashabrándepropagarsedesdelascabezas,ymástarde,enlosperiheliosde dichos cometas, que llegan a descender hasta la atmósfera del Sol, aumentanenormemente.Pueselvapor,enaquellosespacioscompletamentelibres,seenrareceydilatacontinuamente.Poresarazónlacolaenteraenelextremosuperioresmuchomás ancha que junto a la cabeza del cometa. Y es razonable pensar que el vaporcontinuamente dilatado por esa rarificación, acaba por difundirse y dispersarse portodos los cielos, para desde allí poco a poco ser atraído por su gravedad hacia losplanetas y mezclarse con las atmósferas de ellos. Pues de igual modo quenecesariamenteserequieren losmarespara laconstitucióndeestaTierra,yestodesuerte que de ellos pueda excitar el calor del Sol abundantes y suficientes vaporesque,o acumuladosennubescaigancomo lluviay rieguenynutrana toda la tierraparalagerminacióndelosvegetales,obiencondensadosenlasfríascumbresdelosmontes (como algunos razonablemente sostienen) discurran en fuentes y ríos: asítambién,paralaconservacióndelosmaresydeloshumoresenlosplanetasparecenrequerirseloscometas,mercedacuyasexhalacionesyacuyosvaporespuedasuplirsey restaurarse cuanto licor se consume por la vegetación y la putrefacción y seconvierte en tierra árida. Pues, todo lo vegetal crece absolutamente de licores, ydespués, en sumayorparte, seconvierteporputrefacciónen tierraárida,yel limoresulta siempre de los licores putrefactos. De aquí que la materia árida terrosaaumente cada día, mientras que los licores, salvo que aumenten por aportesexteriores, deberán decrecer continuamente, hasta que por fin desaparezcan. Por lodemás, sospecho que esa parte de nuestro aire, mínima pero sutilísima y óptimaademásdenecesariaparalavidadetodaslascosas,provieneprincipalmentedeloscometas.

Las atmósfera de los cometas, en el descenso de éstos hacia el Sol,desparramándosehacialascolasdisminuyen,y(ciertamentehaciaelladoquemiraalSol) sehacenmásestrechas;yviceversa, en su regresodesdeelSol, cuandoya sedesparramanmenoshacia las colas, se ensanchan; si es queHewelcke hizobien laanotacióndesusapariencias.PuesaparecenmínimascuandolascabezascalentadasporelSolentalmodohandadolugaracolasmáximasymuybrillantes,ylosnúcleosestán rodeados de humo quizá más denso y negro en las partes inferiores de lasatmósferas.Puestodohumosuscitadoporuncalormuygrandesuelesermásgruesoynegro.Asílacabezadelcometaalquenoshemosreferido,aigualesdistanciasdelSolydelaTierraaparecíamásoscurodespuésdelperihelioqueantes.Puesenelmesde diciembre, solía compararse con estrellas de tercera magnitud, mientras ennoviembre lo era con estrellas de primera y segunda. Y quienes vieron ambos,describencomomásgrandealprimero.PuesparaunciertojovendeCambridge,el19denoviembre,estecometaconsuluzuntantoplomizayopacaigualabaaSpica


deVirgo,ybrillabamásclaramentequedespués.Yel20denoviembredelcalendarioantiguo,elcometaparecíaaMontenarimayorquelasestrellasdeprimeramagnitud,siendolacoladedosgradosdelongitud.YelseñorStorer,encartaquesehallaenmismanos,escribequelacabezadelcometaenelmesdediciembrecuandoemitíalacolamáximaymásbrillante,erapequeñoyensumagnitudvisiblemuchomenorqueel cometa que había aparecido en elmes de noviembre antes de la salida del Sol.Conjeturabaquelarazóndeelloeraquelamateriadelacabezaalprincipioeramásabundanteyquepocoapocosehabríaconsumido.

De igualmodo parece que hay que contemplar el hecho de que las cabezas deotros cometas que emitieron colas muy grandes y luminosas, aparecieran muyoscurasypequeñas.Pueselaño1668,el5demarzo,calendarionuevo,alassietedela tarde el R. P. Valentín Estancel, estando en Brasil, vio un cometa próximo alhorizontehaciaelsuroeste,conunacabezamínimayapenasdistinguible,peroconunacolasumamentebrillante,hastaelpuntodequelosquesehallabanenellitoralveíancontodafacilidadsuimagenreflejadaenelmar.Yaqueeralaimagendeunaestelabrillantede23gradosdelongitud,inclinadadesdeoccidentehaciaelsurycasiparalela al horizonte. Pero semejante resplandor solamente duró tres días,decreciendo después notablemente; y mientras decrecía el resplandor aumentó lamagnituddelacola.YenPortugaltambiénsedicequellegóaocuparcasilacuartapartedelcielo(esdecir,45grados)extendiéndosedeoccidenteaorienteconungranresplandor;ynisiquieraaparecióentera,alhallarsesiemprelacabezacirculandobajoelhorizontedeestasregiones.Esevidenteporel incrementodelacolaylamermadel resplandor que la cabeza regresaba desde el Sol, y que estuvo próxima a él alprincipio, al igual que el cometa de 1680.Y en laCrónica Sajona se lee tambiénsobreuncometasemejantedelaño1106«cuyaestrellaerapequeñayoscura»(comoeldelaño1680)«peroelresplandorquesaliódeellaeramuyluminosoycomounaestelaardientequesedirigíahaciaorienteynorte»,comorefieretambiénHewelckecitando almonjeSimeón deDurham.Apareció a principios delmes de febrero, alatardecerhaciaelsuroeste.Deaquíydelaposicióndelacolaseinfierequelacabezaestaba próxima al Sol. DiceMateo de París que «distaba del Sol casi un codo,emitiendodesíungranrayodesdelahoratercia»(másexactoseríalasexta)«hastala hora nona». Así era también aquel ardiente cometa descrito porAristóteles enMeteoros,LibroI,6,«cuyacabezanosevioelprimerdíadebidoaquesehallabaanteelSoloalmenosbajolosrayossolares,peroaldíasiguienteseviocuantofueposible. Pues se apartó unamínima distancia del Sol, y enseguida se ocultó. Porcausa del excesivo brillo» (de la cola) «todavía no aparecía el fuego difuso de lacabeza,peropasadountiempo»(diceAristóteles),«como(lacola)brillaseyamenos,selerestituyósucara (a lacabezadel)alcometa.Extendiósuresplandorhasta latercerapartedelcielo(estoes,a60grados).Yaparecióeninvierno (elaño4delaOlimpíada 101) y ascendiendo hasta el cinturón de Orión allí desapareció». Elcometadelaño1618,queemergiódeentre los rayossolaresconunaenormecola,


parecía igualar y hasta superar a las estrellas de primera magnitud, pero hanaparecidonopocoscometasmayoresqueteníancolasmásbreves.DeellosalgunosdicenqueigualaronaJúpiter,otrosaVenusoinclusoalaLuna.

HemosdichoqueloscometassonunaclasedeplanetasquegiranenórbitasmuyexcéntricasentornoalSol.Y,aligualquedelosplanetassincolasuelensermenoreslosquegiranenórbitasmenoresymáscercanasalSol,asítambiénloscometas,queensusperiheliosseacercanmásalSol,parecerazonablequeseanmuchomenores,paraqueno lleguenaperturbardemasiadoconsuatracciónalSol.Omito,pues, ladeterminacióndelosdiámetrostransversalesdelasórbitasylostiemposperiódicosapartir de la comparación de los cometas que regresan por las mismas órbitas traslargos intervalosde tiempo.Peromientras tanto, lasiguienteproposiciónpuededaralgunaluzenesteasunto.

PROPOSICIÓNXLII.PROBLEMAXXII[19]

Corregirlatrayectoriahalladadeuncometa.

OPERACIÓN1.Tómeselaposicióndelplanodelatrayectoriatalcomofuehalladapor medio de la Proposición anterior; y selecciónense tres lugares del cometadeterminadosporobservacionescuantomásexactas seaposible,y lomásdistantesentresí;yseaAeltiempoentrelaprimeraylasegundaobservación,yBeltiempoentrelasegundaylatercera.Peroconvienequeelcometasehalleenalgunodeellosenelperigeo,opor lomenosquenoandemuylejosdelperigeo.Hállesemedianteoperaciones trigonométricas, a partir de esos lugares aparentes, los tres lugaresverdaderosdelcometaenelplanoaqueldelatrayectoriaquesehatomado.Después,por los lugares hallados, en torno al Sol o foco, mediante operaciones aritméticasrealizadasconayudadelaProposiciónXXIdelLibroI,tráceseunaseccióncónica,yseanD yE sus áreas, delimitadas por los radios trazados al Sol desde los lugareshallados;asaberDeláreaentrelaobservaciónprimeraysegunda,yEeláreaentrelasegundaylatercera.YseaTeltiempototalenelqueeláreaenteraD+EdebeserdescritaconlavelocidaddelcometahalladaporlaProposiciónXVIdelLibroI.

OPERACIÓN 2. Auméntese la longitud de los nodos del plano de la trayectoria,añadiendo a aquella longitud 20′ ó 30′, que llamaremos P, pero conservando laanterior inclinación hacia el plano de la eclíptica. Después, a partir de los tresantedichos lugares observados del cometa, encuéntrense en este nuevo plano treslugares verdaderos, como antes: después, trácese también una órbita que pase poresos tres lugares, y las áreas de la misma descritas entre observaciones, que seanahoradye,aligualqueeltiempoenterot,enelquedebieradescribirseeláreaenterad+e.

OPERACIÓN 3.Manténgase la longitud de los nodos de la primera operación y


auméntese la inclinación del plano de la trayectoria hacia el plano de la eclíptica,añadiendoasuinclinacióninicial20′ó30′,quedenominaremosQ.Después,apartirde los antedichos tres lugares aparentes observados del cometa, encuéntrense treslugaresverdaderosenesteplano,ytrácenselaórbitaquepaseporesoslugaresylasdosáreascomprendidasentre lasobservacionesyqueseanéstasδyε, y el tiempototalτenelcualdebieradescribirseeláreaenteraδ+ε.

Ahorasea,Ca1comoAaB,yGa1comoDaE,yga1comodae,yγa1comoδaε;yseaSeltiempoverdaderoentrelaprimerayterceraobservación;yobservandoconcuidadolasreglasdelossignos+y-hállenselosnúmerosmyn,demodoqueocurra2G -2C=mG-mg+nG -nγ, y 2T - 2S=mT -mt +nT -nτ.Y si en laprimeraoperaciónIrepresentalainclinacióndelplanodelatrayectoriahaciaelplanodelaeclíptica,yKrepresentalalongituddeunocualquieradelosnodos,I+nQserála verdadera inclinación del plano de la trayectoria hacia el plano de la eclíptica,mientrasK+mPserálaverdaderalongituddelnodo.Yfinalmente,sienlaprimeraoperación, en la segunda y en la tercera, las cantidades R, r, yp, representan los

«latera recta» de la trayectoria,mientras las cantidades1L,1l,1λ, representan sus

ladostransversales,respectivamente:elverdadero«latusrectum»seráR+mr-mR+np-nR,mientrasqueelverdaderoladotransversodela trayectoriaquedescribeel

cometa será1

L+ml-mL+nλ-nL. Pero una vez dado el lado transverso también

estádadoeltiempoperiódicodelcometa.Q.E.F.Por lo demás, los tiempos periódicos de los cometas que giran y los lados

transversosdelasórbitasnosepodrándeterminarconbastanteexactitud,anoserporlamutuacomparacióndeloscometasqueaparecenentiemposdistintos.Simuchoscometas, despuésde iguales intervalos de tiempo, se encuentra quehandescrito lamismaórbitahabráqueconcluirquetodoséstoseranunoyelmismocometagirandoenlamismaórbita.Yentonces,porlostiemposdelasrevolucionessetendrándadoslos lados transversales de las órbitas y a partir de estos lados se determinarán lasórbitaselípticas.

Aeste finhabrá,pues,quecalcular las trayectoriasdemuchoscometas,bajo lahipótesis de que son parabólicas. Pues esta clase de trayectorias concuerdan muyaproximadamentesiempreconlosfenómenos.Estoseveclaramente,nosóloporlatrayectoria parabólica del cometa del año 1680, que antes he comparado con lasobservaciones, sino también por la de aquel célebre cometa que apareció los años1664y1665yfueobservadoporHewelcke.Estecalculó,aunqueconpocaexactitud,sus longitudes y latitudes sobre la base de sus observaciones. Con esas mismasobservaciones,nuestroHalleycalculódenuevoloslugaresdeesecometa,yasíalfin,por los lugareshalladosde esemodo,determinó la trayectoriadel cometa.Yhalló


quesunodoascendenteestuvoen♊21.º13′55″,lainclinacióndelaórbitahaciaelplanodelaeclípticade21.º18′40″,ladistanciadelperihelioalnodoenlaórbita49.º27′30″.Elperihelioen♌8.º40′30″,conlatitudheliocéntricaaustralde16.º1′45″entiempoigualadodeLondresoalas13h.8′p.m.deDantzig,calendarioantiguo,yel«latusrectum»delaparábolafuede410286,paraunadistanciamediadelaTierraalSolde100000.LamedidaenqueloslugaresdelcometacalculadosenestaórbitaconcuerdanconlasobservacionesseveráclaramenteporlasiguientetablacalculadaporHalley.

Enelmesdefebrerodeprincipiosdelaño1665,laprimeraestrelladeAries,alaquellamaréenlosucesivoγsehallabaen♈28.º30′15″,conunalatitudborealde7.º8′58″.LasegundadeAriesestabaen♈29.º17′18″,conunalatitudborealde8.º28′16″.Yunaestrelladeséptimamagnitud,quellamaréA,estabaen♈28.º24′45″,conlatitudborealde8.º28′33″.Yelcometa,el7defebreroalas0h.7′30″deParís(esdecir,eldía7defebreroalas0h.8′37″deDantzig)calendarioantiguo,formabacondichasestrellasγyAuntriángulorectánguloenγ.YladistanciadelcometaalaestrellaγeraigualaladistanciaentrelasestrellasγyA,estoes,de1.º20′26″enelparalelodelalatituddelaestrellaγ.Porlocual,sidelalongituddelaestrellaγseresta1.º20′26″,quedarálalongituddelcometa♈27.º9′49″.Auzout,basándoseenesta observación suya, situó al cometa en♈ 27.º 0′ aproximadamente.Y según eldibujo,conelqueHookerepresentósumovimiento,elcometaestabaahoraen♈26.º59′24″.Considerando lamediaentreambos lohepuestoen♈27.º4′46″.Auzoutporlamismaobservaciónsituólalatituddelcometaen7.ºy4′ó5′norte.Másexactohubiera sido en7.º 3′ 29″, puestoque ladiferenciade latitudesdel cometayde laestrellaγeraigualaladiferenciadelongitudesdelasestrellasγyA.


(TabladeHalley)

El22defebreroalas7h.30′deLondres,esdecir,el22defebreroalas8h.46′enDantzig, la distancia del cometa a la estrellaA, según las observaciones deHooke


representadasporélmismoenundibujo,ytambiénsegúnobservacionesdeAuzoutrepresentadasporPetit enotrodibujo, era unaquinta parte de la distancia entre laestrellaAylaprimeradeAries,esdecir,15′57″.YladistanciadelcometahastalalíneaqueuníalaestrellaAconlaprimeradeArieseraunacuartapartedeesaquintaparte,esdecir,4′.Portanto,elcometasehallabaen♈28.º29′46″,conlatitudnortede8.º12′36″.

Enmarzo1d.7h.0′,deLondres,estoes,marzoId.8h.16′deDantzig,elcometafueobservadocercade lasegundaestrelladeAries,aunadistanciaentreellosqueeraaladistanciaentrelaprimeraylasegundadeAries,estoes,a1.º33′como4a45segúnHooke,ycomo2a23segúnGottignies.PorloqueladistanciadelcometaalasegundadeArieserade8′16″segúnHooke,ode8′5″segúnGottignies,olamediade8′10″.Peroelcometa,segúnGottignies,yahabíarebasadolasegundadeAriesenunespaciodecasi la cuartaoquintapartedel recorridodeundía, esdecir, 1′ 35″aproximadamente (con lo que concuerda bienAuzout) o algomenos segúnHooke,quizá1′.PorlocualsialalongituddelaprimeradeAriesseañade1′yasulatitud8′10″,setendrálalongituddelcometaen♈29.º18′ylalatituden8.º36′26″norte.

Enmarzo7d.7h.30′deParís(esdecir,marzo,7d.8h.37′deDantzig)segúnlasobservacionesdeAuzoutladistanciadelcometadelasegundadeArieseraigualaladistanciade lasegundadeAriesa laestrellaA,estoes,52′29″.YladiferenciadelongitudesdelcometaydelasegundadeArieserade45′ó46′oquizálamediade45′ 30″. Por lo cual el cometa se hallaba en ♉ 0.º 2′ 48″. Del dibujo de lasobservacionesdeAzout,construidoporPetit,Hewelckededujolalatituddelcometaen8.º54′.Peroeldibujantecurvóirregularmenteelcaminodelcometahaciaelfinalde su movimiento, y en el dibujo de las observaciones de Azout construido porHewelcke, éste corrigió la curvatura irregular, y así hizo que la latitud del cometafuerade8.º55′30″.Ycorrigiendolairregularidadunpocomás,lalatitudvendríaa:resultarde8.º56′oquizá8.º57.

Estecometafuevistotambiénel9demarzo,yentoncesdebiósituarseen♉0.º18′,conlatitudborealde9.º3½aproximadamente.

Estecometafuevisibledurantetresmesesyrecorriócasiseissignos,yenundíasedesplazócasiveintegrados.SucursosedesviódelCírculoMáximo,curvándosenotablementehaciaelnorte;ysumovimientoalfinal,deretrógradopasóadirecto.Yno obstante un curso tan insólito, la teoría de principio a fin no vino a concordarmenoscon lasobservacionesde loquesuelenconcordar las teoríasde losplanetasconlasobservaciones,comoveráquienexaminelatabla.Sinembargohayquerestarcasidosminutosprimeros,cuandoelcometafuemásveloz;cosaquesepuedehacerrestandodoceminutossegundosdelánguloentreelnodoascendenteyelperihelio,oestableciendodichoánguloen49.º27′18″.Laparalajeanualdeunoyotrocometa(éste y el anteriormente mencionado) fue grande, y por ello se demuestra elmovimientoanualdelaTierraenelOrbeMagno.

Seconfirmatambiénlateoríaporelmovimientodelcometaqueaparecióelaño


1683.Estefueretrógrado,enunaórbitacuyoplanocasiformabaángulorectoconelplanodelaeclíptica.Sunodoascendente(porcálculosdeHalley)estabaen♍23.º23′;lainclinacióndelaórbitahacialaeclípticaerade83.º11′;elperihelioen♊25.º29′30″;ladistanciadelperihelioalSolde56020,paraunradiodelOrbeMagnode100000,yelmomentodelperihelioeldía2de julioa las3h.50′.Los lugaresdelcometa en esta órbita calculados porHalley y comparados con los observados porFlamsteed,semuestranenlatablasiguiente.



También se confirma la teoría por el movimiento del cometa retrógrado queaparecióelaño1682.Sunodoascendente(calculadoporHalley)sehallabaen♉21.º16′30″.Lainclinacióndelaórbitahaciaelplanodelaeclípticaerade17.º56′0″.Elperihelioen♒2.º52′50″.LadistanciadelperihelioalSolde58328paraunradiodelOrbeMagnode100000.Yeltiempoigualadodelperihelioel4deseptiembrealas7h.39′.Pero los lugarescalculados,apartirde lasobservacionesdeFlamsteed,comparadosconloscalculadosmediante la teoríasemuestranenla tablasiguiente.(Vid.página776).

Y también se confirma la teoría por el movimiento retrógrado del cometa queaparecióelaño1723.Sunodoascendente(calculadoporBradley,profesorSavilianodeastronomíaenOxford)estabaen♈14.º16′.La inclinaciónde laórbitahaciaelplano de la eclíptica de 49.º 59′. El perihelio en♉ 12.º 15′ 20″. La distancia delperihelioalSolde998651,paraunradiodelOrbeMagnode1000000,yeltiempoigualadodelperihelioel16deseptiembrealas16h.10′.YloslugaresdelcometaenestaórbitacalculadosporBradley,comparadosconlosobservadosporélmismo,porsutíoPoundyporHalleysemuestranenlatablasiguiente.(Vid.página777).

Con estos ejemplos queda harto claro que los movimientos de los cometas seponendemanifiestomediantelateoríareciénexpuestaconnomenorexactitudquelaconseguida por las teorías de losmovimientos de los planetas. Y por lo tanto, lasórbitasdeloscometaspuedensercalculadasmedianteestateoría,igualqueconocer,por fin, el tiempo periódico de un cometa que gira en una órbita cualquiera, y seconocerán entonces los lados transversales de las órbitas elípticas al igual que lasalturasdelosafelios.

El cometa retrógradoque apareció el año 1607describió una órbita cuyonodoascendente(calculadoporHalley)estabaen♉20.º21′;lainclinacióndelplanodelaórbita hacia el plano de la eclíptica era de 17.º 2′; el perihelio en♒ 2.º 16′; y ladistanciadelperihelioalSolerade58680paraunradiodelOrbeMagnode100000.Y el cometa estaba en el perihelio el 16 de octubre a las 3h. 50′. Concuerdamuyaproximadamenteestaórbitaconlaórbitadelcometaqueaparecióen1682.Siestosdoscometasfueranunoyelmismo,estecometagiraríaenunperíodode75años,yelejemayordedichaórbitaseráalejemayordelOrbeMagnocomolaraízcúbicade75x75a1,ocomo1778a100aproximadamente.Yladistanciadelafeliodeestecometa al Sol será a la distancia media de la Tierra al Sol como 35 a 1aproximadamente.Conociendo estas cosas no serámuy difícil determinar la órbitaelípticade este cometa.Yesto será así si resultaquedespuésdeun espaciode75añoselcometa regresaradenuevopor lamismaórbita.Losdemáscometasparecequegiranenperíodosmáslargosyasciendenmásarriba.




Porlodemás,loscometas,debidoasugrannúmero,yalagrandistanciadelosafelios hasta el Sol así como a su gran permanencia en los afelios, deben sufrirperturbacionesnopequeñasentreellosporcausadelasgravedadesyaumentarunasvecesodisminuirotras,tantosusexcentricidadescomosustiemposperiódicos.Porconsiguiente,nohayqueesperarqueelmismocometaregreseporlamismaórbitayen losmismos tiempos periódicos demodo exacto.Basta con que no sobrevenganmutacionesmayoresquelasquepuedandebersealascausassusodichas.

Y con esto se da cuenta de por qué los cometas no estén comprendidos en elzodíaco como los planetas, sino que salgan de él y con movimientos variados sedirijan hacia todas las regiones del cielo.Y ello con objeto de que en sus afelios,cuando semuevenmuy lentamente, disten entre ellos lomás posible y se atraiganentreelloscuantomenos.Porestacausa, loscometasquemásdesciendenypor lomismosemuevenenlosafeliosmáslentamente,deberánascendermás.

Elcometaqueaparecióelaño1680distabaensuperiheliodelSolmenosdelasextapartedeldiámetrodelSol;ydebidoalagranvelocidadenesasproximidadesyaalgunadensidaddelaatmósferasolar,debiósufriralgunaresistenciayretardarseuntantoyacercarsemásalSol:yencadaunadelasrevolucionesacercándoseunpoco,al finacabarácayendoenel cuerpo solar.Peroenel afelio, cuandosemuevemuylentamente,puedeavecesserretardadoporlaatraccióndeotroscometasydespuéscaer hacia el Sol. También de este modo las estrellas fijas, que poco a poco seextinguen en luzyvaporespueden realimentarse con cometasque caen en ellas, yrepuestasconesenuevoalimentosertenidasporestrellasnuevas.Deestaclasesonlas estrellas fijas que aparecen de repente y, al principio, brillan enormemente ydespuéspocoapocosedesvanecen.TalfuelaestrelladelasilladeCasiopeaquenovioCornelioGemma el8denoviembrede1572observandoesapartedel cieloenunanochediáfana;peroa lanochesiguiente (9denoviembre) laviomásbrillantequetodaslasfijasyapenasdemenosluzqueVenus.TychoBrahelavioeldía11delmismomescuandomásbrillaba;yapartirdeesemomentodecreciendopocoapocola vio desaparecer en el espacio de 16 meses. En el mes de noviembre, reciénaparecida, igualaba en brillo a Venus. En diciembre, un tanto disminuida, parecíaigualaraJúpiter.Elaño1573,eneneroeramenorqueJúpiterymayorqueSirio,alacualyaresultabaigualenfebreroyprimerosdemarzo.Enlosmesesdeabrilymayoparecía igual a las estrellas de segunda magnitud, en junio, julio y agosto a lasestrellasdeterceramagnitud,enseptiembre,octubreynoviembrealasdecuarta,endiciembreyenenerode1574alasdequinta,enfebreroalasdesexta,yenmarzodesapareció de vista. Al principio su color era claro, blanquecino y brillante ydespuésamarillo,yelaño1573enmarzorojizacomoladeMarteoAldebarán;enmayo adquirió una palidez blanquecina, como la que vemos enSaturno, color queconservó hasta el fin, pero haciéndose cada vez más oscura. Así fue también laestrelladelpiederechodeSerpentario,observadaporlosdiscípulosdeKeplerelaño1604 el día 30 de septiembre, calendario antiguo, cuando comenzó a aparecer, y


observaronquesuperabaaJúpiterconsuluz,siendoasíquelanocheprecedentenose veía.Desde esemomento empezó a decrecer y en el espacio de 15 ó 16mesesdesapareciódelavista.Porunaestrellanuevasemejanteyextremadamentebrillantese dice que se vio impulsado Hiparco para observar las fijas y confeccionar uncatálogo. Pero las fijas que aparecen y desaparecen alternativamente y que crecenpocoapocoyapenassuperannuncaa lasde terceramagnitud,parecenserdeotraclase,yalgirarmuestranalternativamentesuspartesoscurasysuspartesluminosas.Pero los vapores que surgen del Sol, de las estrellas fijas y de las colas de loscometas, pueden caer por su gravedad sobre las atmósferas de los planetas ycondensarse allí y convertirse en agua y espíritus húmedos y después porcalentamientolentopasarpocoapocoasales,sulfuros,tinturas,limo,barro,arcilla,arena,piedras,coralesyotrassustanciasterrestres.


ESCOLIOGENERAL[20]

Lahipótesisdelosvórticesseveacosadapormuchasdificultades.Paraquecadaplaneta, con un radio trazado hasta el Sol, describa áreas proporcionales a lostiempos, los tiempos periódicos de las partes del vórtice deberían estar en razóncuadrada de las distancias al Sol. Para que los tiempos periódicos de los planetasesténenrazóndelapotencia2⁄3delasdistanciasalSol,lostiemposperiódicosdelaspartesdelvórticedeberíanestarenrazóndelapotencia2⁄3delasdistancias.ParaquelosvórticesmenoresengiroentornoaSaturno,JúpiteryotrosplanetasseconservenyflotentranquilamenteenelvórticedelSol,lostiemposperiódicosdelaspartesdelvórticesolardebenseriguales.LasrevolucionesdelSolydelosplanetasentornoasusejes,quedeberíanconcordarcon losmovimientosde losvórtices,discrepandetodasestasproporciones.Losmovimientosdeloscometassonsumamenteregularesy observan las mismas leyes que los movimientos de los planetas, y no puedenexplicarse por los vórtices. Los cometas se desplazan con movimientos muyexcéntricoshacia todas laspartesde loscielos, cosaquenopodríaocurrir sinosesuprimenlosvórtices.

Losproyectiles, ennuestra atmósfera, sufrenúnicamente la resistenciadel aire.Suprimiendoelaire,comoocurreenelvacíodeBoyle,cesalaresistencia,desuertequeunaleveplumayeldensoorocaenenestevacíoconlamismavelocidad.Eigualeslacosaenlosespacioscelestesqueestánmásalládelaatmósferaterrestre.Todosloscuerposenestosespaciosdebenmoverseconenteralibertad;yporlomismolosplanetas y los cometas deberán girar perpetuamente según las leyes expuestasmásarribaenórbitasdeespecieyposicióndadas.Ciertamenteperseveraránensusórbitasporlasleyesdelagravedad,perodeningúnmodopudieronporestasleyesadquiririnicialmentelasituaciónregulardelasórbitas.

LosseisplanetasprincipalesgiranentornoalSolencírculosconcéntricosalSol,conlamismadireccióndemovimientoyaproximadamenteenelmismoplano.Diezlunas giran en torno a la Tierra, Júpiter y Saturno en círculos concéntricos, con lamisma dirección demovimiento, en los planos de las órbitas de los planetasmuyaproximadamente.Ytodosestosmovimientosregularesnotienenunorigendebidoacausas mecánicas; toda vez que los cometas circulan en órbitas muy excéntricaslibrementeyen todasdireccionesdel firmamento.Coneste tipodemovimiento loscometaspasan rápiday fácilmentepor lasórbitasde losplanetas,y en sus afelios,


cuandosusmovimientossonmás lentosysedetienenpormás tiempo,distanentreellos inmensamente, para que sea mínima la atracción mutua. Tan elegantecombinacióndeSol,planetasycometassólopudo tenerorigenen la inteligenciaypoder de un ente inteligente y poderoso. Y si las estrellas fijas fueren centros desistemas semejantes, todos ellos construidos con un esquema similar, estaránsometidos al dominio de Uno: sobre todo si la luz de las fijas es de la mismanaturalezaquelaluzdelSolytodoslossistemasemitenluzhaciatodosmutuamente.Yparaquelossistemasdelasfijasnocaiganporlagravedadunosobreotro,élloshabríacolocadoainmensasdistanciasunodeotro.

El lo rige todo,nocomoalmadelmundo,sinocomodueñode todos.Yporsudominio, suele ser llamado señor dios «παντοҡράτωρ[a]». Pues dios es una palabrarelativayestáenrelaciónconlossiervos:ydeidadesladominacióndedios,nosobresupropiocuerpo,comocreenaquellosparaquienesdioseselalmadelmundo,sinosobrelossiervos.Diossumoesunenteeterno,infinito,absolutamenteperfecto:peroun ente cualquiera perfecto sin dominio no es dios señor. Pues decimos, diosmío,dios vuestro, dios de Israel, dios de dioses, y señor de señores; pero no decimoseternomío, eterno vuestro, eterno de Israel, eterno de dioses; no decimos infinitomío,operfectomío.Estasdenominacionesnotienenrelaciónconlossiervos.Lavozdios[b]significaconfrecuenciadueño:perotododueñonoesdios.Ladominacióndeunenteespiritualconstituyeundios,laverdaderaalverdadero,lasumaalsumo,laficticiaal ficticio.Yde laverdaderadominaciónsesiguequeundiosverdaderoesvivo, inteligente y poderoso; de las demás perfecciones que es sumoo sumamenteperfecto. Es eterno e infinito, omnipotente y omnisciente, es decir, dura desde laeternidadhastalaeternidadyestápresentedesdeelprincipiohastaelinfinito:lorigetodo;loconocetodo,loquesucedeyloquepuedesuceder.Noeslaeternidadylainfinitud,sinoeternoeinfinito;noesladuraciónyelespacio,sinoquedurayestápresente.Durasiempreyestápresenteentodolugar,yexistiendosiempreyentodolugar, constituye a la duración y al espacio. Puesto que cada partícula de espacioexiste siempre, y cada momento indivisible de duración está en algún lugar,ciertamente el constructor y señor de todas las cosas no seránunca, ningún lugar.Todaalmasienteendistintostiemposyendiversosórganosdelossentidosydelosmovimientosyeslamismapersonaindivisible.Laspartessedansucesivamenteenladuración,coexistentesenelespacio,peroniunasniotrasenlapersonahumanaoensuprincipiopensante;ymuchomenosenlasustanciapensantededios.Todohombre,en tantoquecosa sentiente, esunoyelmismohombredurante suvidaen todosycadaunodelosórganosdesussentidos.Diosesunoyelmismodiossiempreyentodolugar.Esomnipotentenosólovirtualmentesinosustancialmente:pueslovirtualnopuedesubsistirsinlasustancia.Enél[c]sehallancontenidasysemueventodaslascosas, pero sin mutua interferencia. Dios nada sufre por el movimiento de loscuerpos:éstosnoexperimentanresistenciaalgunaporlaomnipresenciadedios.Estáreconocidoqueundiossumoexistenecesariamente:yconlamismanecesidadexiste


siempreyentodolugar.Dedondetambiénestodoélsemejanteasímismo,todoojo,todooído,todocerebro,todobrazo,todofuerzadesentir,deentender,deactuar,peroenmodo alguno a lamanera humana, o a lamanera corporal, sino de unamaneratotalmentedesconocidaparanosotros.Comoelciegonotieneideadeloscolores,deigualmodo nosotros no tenemos idea de losmodos con los que dios sapientísimosienteyentiendetodaslascosas.Absolutamentedesprovistodetodocuerpoyfiguracorporal, no puede por ello ser visto ni oído, ni tocado, ni debe ser venerado bajoforma de cosa corpórea alguna. Tenemos ideas de sus atributos, pero que sea lasustanciadealgunacosaloignoramosporcompleto.Solamentevemoslasformasycoloresdeloscuerpos,sólooímoslossonidos,sólotocamoslassuperficiesexternas,olemoslosmerosoloresygustamoslossabores:perolassustanciasinterioresnolasconocemosconningúnsentido,niconningunaacciónrefleja;muchomenostenemosunaideadelasustanciadedios.Aésteleconocemostansóloporsuspropiedadesyatributosyporlassapientísimasyóptimasestructurasycausasfinalesdelascosasyleadmiramosporlasperfecciones,peroleveneramosydamoscultoporeldominio.Peroledamoscultocomosiervos,yundiossindominio,providenciaycausasfinalesno es nada más que hado y naturaleza. De la ciega necesidad metafísica, que estambiénlamismasiempreyentodolugar,nosurgeningunavariacióndelascosas.Toda la variedadde cosas, establecidas según los lugares y los tiempos, solamentepudooriginarsedelasideasyvoluntaddeunentenecesariamenteexistente.Sédicealegóricamente que dios ve, oye, habla, ríe, ama, tiene odio, desea, da, recibe, sealegra,estáairado,lucha,fabrica,funda,construye.Puestododiscursosobrediosseproducemediante alguna semejanza a partir de las cosas humanas, ciertamente noperfecta, pero algo semejante. Esto respecto a dios de quien, efectivamente,correspondehablarenfilosofíanaturalapartirdelosfenómenos.

Hastaaquíheexpuestolosfenómenosdeloscielosydenuestromarporlafuerzadelagravedad,perotodavíanoheasignadocausaalagravedad.EfectivamenteestafuerzasurgedealgunacausaquepenetrahastaloscentrosdelSolydelosplanetassindisminucióndelafuerza;ylacualactúa,nosegúnlacantidaddelassuperficiesdelaspartículashacialascualesactúa(comosuelenhacerlascausasmecánicas)sinosegúnlacantidaddemateriasólida;ycuyaacciónseextiendeportodasparteshastadistancias inmensas, decreciendo siempre como el cuadrado de las distancias. LagravedadhaciaelSolsecomponedelasgravedadeshaciacadaunadelaspartículasdel Sol, y separándose del Sol decrece exactamente en razón del cuadrado de lasdistanciashastamásalládelaórbitadeSaturno,comoseevidenciaporelreposodelosafeliosde losplanetas,yhasta losúltimosafeliosde loscometas,sisemejantesafeliosestánenreposo.Peronohepodidotodavíadeducirapartirdelosfenómenoslarazóndeestaspropiedadesdelagravedadyyonoimaginohipótesis.Pues,loqueno se deduce de los fenómenos, ha de ser llamadoHipotesis; y las hipótesis, bienmetafísicas,bienfísicas,odecualidadesocultas,omecánicas,notienenlugardentrode laFilosofíaexperimental. En esta filosofía las proposiciones se deducen de los


fenómenos,yseconviertenengeneralespor inducción.Así, la impenetrabilidad, lamovilidad,elímpetudeloscuerposylasleyesdelosmovimientosydelagravedad,llegaron a ser esclarecidas.Y bastante es que la gravedad exista de hecho y actúesegúnlasleyesexpuestaspornosotrosyseasuficienteparatodoslosmovimientosdeloscuerposcelestesydenuestromar.

Bienpodríamosahoraañadiralgodeciertoespíritusutilísimoqueatraviesatodoslos cuerpos gruesos y permanece latente en ellos; por cuya fuerza y acciones laspartículasdeloscuerposseatraenentreellasalasmínimasdistanciasyunavezqueestán contiguas permanecen unidas; y los cuerpos eléctricos actúan a distanciasmayores, tanto repeliendo como atrayendo a los corpúsculos vecinos; y la luz seemite,serefleja,serefractaeinflexionaycalientaaloscuerpos;ytodasensaciónesexcitada,ylosmiembrosdelosanimalessemuevenavoluntad,asabermediantelasvibracionesdeeseespíritupropagadasporlosfilamentossólidosdelosnerviosdesdelos órganos externos de los sentidos hasta el cerebro y desde el cerebro hacia losmúsculos.Peroestonopuedeexponerseenpocaspalabras;ytampocoestádisponibleun número suficiente de experimentos mediante los cuales deben determinarse ymostrarseexactamentelasleyesdelasaccionesdeesteespíritu.


Sir ISAACNEWTON (Woolsthorpe, Lincolnshire; 25 de diciembre de 1642 (4 deenerode1643) -Kensington,Londres;20demarzo(31demarzode1727).Fueunfísico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista y matemático inglés. Es autor de losPhilosophiæ naturalis principia mathematica, más conocidos como los Principia,dondedescribelaleydelagravitaciónuniversalyestableciólasbasesdelamecánicaclásica mediante las leyes que llevan su nombre. Entre sus otros descubrimientoscientíficos destacan los trabajos sobre la naturaleza de la luz y la óptica (que sepresentanprincipalmenteensuobraOpticks)yeldesarrollodelcálculomatemático.

Newton comparte con Gottfried Leibniz el crédito por el desarrollo del cálculointegral y diferencial, que utilizó para formular sus leyes de la física. Tambiéncontribuyóenotrasáreasde lamatemática,desarrollandoel teoremadelbinomioylasfórmulasdeNewton-Cotes.

Entresushallazgoscientíficosseencuentraneldescubrimientodequeelespectrodecolorqueseobservacuandolaluzblancapasaporunprismaesinherenteaesaluz,en lugardeprovenirdelprisma(comohabíasidopostuladoporRogerBaconenelsigloXIII);suargumentaciónsobre laposibilidaddeque la luzestuvieracompuestaporpartículas;sudesarrollodeunaleydeconveccióntérmica,quedescribelatasadeenfriamiento de los objetos expuestos al aire; sus estudios sobre la velocidad delsonidoenel aire;y supropuestadeuna teoría sobreelorigende lasestrellas.Fuetambién un pionero de la mecánica de fluidos, estableciendo una ley sobre laviscosidad.


Newton fue el primero en demostrar que las leyes naturales que gobiernan elmovimientoen laTierray lasquegobiernanelmovimientode loscuerposcelestessonlasmismas.Es,amenudo,calificadocomoelcientíficomásgrandedetodoslostiempos,ysuobracomolaculminacióndelarevolucióncientífica.ElmatemáticoyfísicomatemáticoJosephLouisLagrange(1736-1813),dijoque«Newtonfueelmásgrandegenioqueha existidoy también elmás afortunadodadoque sólo se puedeencontrarunavezunsistemaquerijaelmundo».


Notasdelaintroducción


[1]VéanselasBiografías,reseñadasenlaBibliografía,peronoshemosceñidoalasmás destacadas. Datos menores, aunque significativos habría que tomarlos de lasbiografíasdealgunosdesuscontemporáneos,enparticulardelasdeHooke,Whiston,Flamsteed.<<


[2]Almenos16retratosy6medallasenbroncesehicierondeNewtonenvidadelmismo.EmpezóposandoparaKnelleren1689ylohizodenuevoen1702,1720y1723.ParaGandyen1706,paraJervasen1703.ParaRichteren1741,paraMurrayen 1718, para Thornhill en 1710 (bis), para Vanderbank, en 1725 (bis) y 1726,ademásde dos anónimos y un boceto deStukeley de 1719, paraSeeman en 1724.Aunque no son retratos geniales como el retratado, permiten entre todos entrevercierta altivezy fría lejanía enNewton.Peronohayqueolvidarque se encargabanparaalgúnfin.Yestoeraloprimeroquedebíaintentarelretrato.<<


[3]LosapuntesdeStukeley,William,sehanpublicadoconel títuloMemoirsofsirIsaacNewton’sLife,editadosporA.HastingsWhite,enLondres1936.LasnotasdeConduitt sehallanen losmanuscritosKeynes, en labibliotecadelKingCollegedeCambridgeynohan sidopublicadosmásque fragmentariamente en citas diversas.De esa procedencia son la mayor parte de anécdotas sobre su vida en Londres ytambiénlasnoticiasquerecibióFontenelleparasuElogio.<<


[4]ApareceenelmanuscritoKeynes,caligrafíadeConduitt.Ms.130-132,págs.17-18.<<


[5]Gracias auncuadernodenotasdeNewtondeesta épocaque seconservaen laPierpont Morgan Library de Nueva York, sabemos que uno de los libros quecentraron su interés en esta época y que inspiraron su genio mecánico comoconstructordeartefactosfueTheMysteriesofNatureandArt,deJohnBate.Vde.E.N.daC.Andrade,«Newton’sEarlyNotebook»,enNature,135(1935),pág.360.<<


[6]Cfr.Stukeley,o.c.,pág.43yConduitt,KeynesMs.130-132,pág.24.Elrelojdeagua y otro de sol junto con una reproducción a escala del molino, llamaron laatencióndetodos.<<


[7] Ibíd. Su afición por la pintura y el dibujo le valió luego en el diseño de losdiagramasdesusexperimentos.<<


[8] Entre los textos quemanejó Newton hubo uno de orientación aristotélica cuyoautor era un clásico en el siglo XVII inglés. Johannes Margirus. Su PhysiologiaeperipateticaenosatisfacíaaNewtonymenossusdatos.Entrelíneasescribe:«Galileodicequeeldiámetroaparentede lasestrellasdeprimeramagnitudesde5″…etc.yM.Azoutestimaeldiámetrode…,etc».CuandoNewtonconoceestosotrosvaloresyformasdehacerastronomíaabandonaaMargirusyconéllacosmologíaaristotélica.<<


[9]RecientementepublicadoporJ.E.McGuireyMartinTamy;CertainPhilosophicalQuestions, Newton’s Trinity Notebook, Cambridge U. Press. 1983. Con un ampliocomentarioinicialde325páginasyeltextoconlatranscripciónalinglésactual.<<


[10]LostópicosqueNewtonincluyeeneltextocitadoenlanotaanteriorson:1)lamateria prima, 2) los átomos, 3) el vacío y los átomos, 4) de la cantidad, 5) de laconjuncióndecuerpos,6)dellugar,7)deltiempoylaeternidad,8)delmovimiento,9) de la materia celeste y de los orbes, 10) del sol, las estrellas, los planetas ycometas, 11) de la rareza, la densidad, la rarefacción y condensación, 12)transparenciayopacidad,13)delafluidez,estabilidadysequedad,delablandura,ladureza, la flexibilidad y tractilidad, 14) del calor y el frío, 15) de la gravedad ylevedad,16)delcaloryfrío(bis),17)delmovimientoviolento,18)delareflexión,ondulacióny refracción,19)del fuego,20)delaire,21)delairey la sal,22)de latierra y de la atracción magnética, 23) movimiento perpetuo, 24) vegetales, 25)filtraciónyelectricidad,26)delaluz,27)delasensación,28)delaespecievisible,29)delavisión,30)deloscolores,31)delossonidosy,trasalgunossobrecuestionesde imaginacióny fantasía,vuelvea losminerales,a losmeteoros,al flujoy reflujodelmar,almovimientoviolento,denuevo,aloscometas(tablasdeSnell)ysiguensusobservacionesdelcometade1664condibujos,comoantesconelmovimiento,conunlargoestudiodelaluzydelmovimientoquealcanzaasusestudiosde1665-1666.EnesteconjuntodetextossehallaunabuenapistadeloqueestamosdiciendorespectoalosprogramasdeinvestigacióndeNewton.<<


[11]Sinduda, elmejor estudiode losdesarrollosmatemáticosdeNewton sepuedehallar en la introducción y comentarios de D. T. Whiteside, contenidos en sumonumentaledicióndeTheMathematicalPapersofIsaacNewton,8vol.CambridgeU. Press, 1967-1982, pero para una breve y, a la vez, precisa exposición de esteaspectodeloshallazgosyprogresosdeNewton,serábuenoremitirallectoralCap.IV («Resolving Problems bymotion») de la Biografía de R. S.Westfall,Never atRest,CambridgeU.Press,1980,rep.81,82,83y84.<<


[12]Confr.Westfall,o.c.,págs.135-137.<<


[13]Véaseelmanuscrito3958.5deloscomplementariosenlaBibliotecadelaU.deCambridge,yyapublicadoenTheBackgroundtoNewton’sPrincipia,Oxford,1965,págs. 195-197. Esta relación del inverso del cuadrado, que dista mucho de laformulación final, le dio pie para sostener frente a Hooke la independencia yprioridaddesuteoríadelagravitaciónydelaleydelinverso.<<


[14]UnodelosdatosmásrelevanteseslacolaboraciónentremaestroydiscípuloenlapublicacióndelasLectionesXVIII,Cantabrigiaeinscholispublicishabitae;inquibusphaenomenomopticorumgenuinae radones investigantur…, etc. deBarrow, en lascualeslamanodeNewtonintrodujoalgunasbrillantesdemostraciones,etc.Peronosólo fue en este caso cuando Newton colaboró con, o a instancias de, Barrow entrabajoseditoriales;tambiénlohizoenmatemáticas,geografía,etc.<<


[15]Esteaspectodelperfilnewtonianosevahaciendomásexplícito,alavezqueseva matizando más, en la etapa de las revisiones y reediciones. El contraste conDescartesyLeibniznodebehacerolvidaralosotrosinterlocutores,sobretodoaloscompatriotas como Locke, Boyle,More, etc. Las cartas a Bentley son de especialinterés.<<


[16] Para el lector de lengua castellana que desee una ampliación a estasconsideracionesrelacionadasconlaOptica,esposibleacudira laediciónquede lamisma hizo Carlos Solís en Madrid, Alfaguara, 1977, cuya introducción y notasofrecenmuchas pistas sobre este tema, que enNewton es una especie de cruce dehilosentresusdiferentesinvestigaciones.<<


[17] En realidad, salvo algunas insinuaciones en laOptica y unas cartas a Boyle yalgunasnotasmás comoel «Denatura acidorum» (cfr. I.B.Cohen, editor.Papersand Letters on Natural Philosophy, Harvard U. Press, 1977, págs. 259-268), casinadasehallapublicadodeloscuantiososmanuscritosalquímicosdeNewton.Perodequeno tengan interéscientíficono sedebe inferirqueno tengan interés filosófico.Paraunacercamientoaesteaspectopuedeverse,ademásdelclásicolibrodeB.J.T.Dobbs: The Foundations of Newton’s Alchemy: The Hunting ofthe Greene Lyon,Cambridge,1975,unartículodeKarinFigalaenHistoryofScience,15(1977),102-137«NewtonasAlchemist»yotrodeR.yM.BoasHallenArchivesinternationalesd’histoiredesSciences,num.11,1958:113-152«Newton’sChemicalExperiments».<<


[18]BuenejemploeselTractatusdemethodisserierumetfluxionum(véaseelvol.IIIde losMathe. Papers, págs. 32-328) que, reescrito y ampliado (sin título) en estaépoca, constituye un amplio y sistemático tratado de gran importancia para lasistematizaciónposteriordelcálculo.Peronolopublicótampoco.<<


[19] Se pueden ver estas cartas en la Correspondence, vol. I, págs. 412 y 416respectivamente.LadeHookeescortésyhastahumilde,ladeNewtoncorrectaperofirme.LlamaaDescartesyaHooke«gigantes»sobrecuyasespaldasél,Newton,sehasubido,pero,porello,havistomáslejos.<<


[20] Se publicó en Londres en 1665 y tuvo gran eco en elmundo científico de sutiempo. Es, quizá, el mejor exponente del talante científico de Hooke: su vivaimaginación hace gala de ingenio e intuición anticipandomuchas cosas que luegotendránunaconfirmaciónmásadecuada.Así,defineelcalorcomo«lapropiedaddeuncuerpoqueesproducidapor elmovimientoy agitaciónde suspartes», etc.Porotrapartesucapacidaddeobservadoryexperimentadorquedabienprobadaenestaobra.Porlodemás,puedeverseeltonodelareivindicacióndeHookeenI.B.Cohen,PapersandLetters,págs.198-199.<<


[21] Pueden verse estas cartas en el vol. II de la Correspondence, págs. 297 ysiguientes. Esta primera está fechada en «Gresham College, 24 de noviembre de1979».<<


[22]Cfr.Correspondence,pág.300.<<


[23]Sepublicóen lasPhil.Trans.,1 (1668),págs.684ysiguientes,y juntoconunestudiodelproblemayde su estadodedesarrollohistórico enesemomentopuedeverseenA.Koyré:ChutedescorpsetmouvementdelaTerre,Vrin,París,1973.<<


[24]NosreferimosaVariaOperaMathematica,Tolosa,1679.PerolosCogitatayconellospartedelproblemayaeranpúblicosdesde1644.<<


[25] Vid. Cor respóndeme, vol. II, pág. 304. Véase también un ensayo muy biendocumentadodeKoyréenÉtudesNewtoniennes,Gallimard,París,1968,págs.269-313,coneltítulo«UnelettreinéditedeRobertHookeáIsaacNewton».<<


[26]Cfr.Westfall,NeveratRest,págs.386-387ynotas142y145.Elargumentodelaimpotencia de Hooke para el tratamiento matemático de su idea ya lo esgrimióNewton, como Westfall y Cohen, por ejemplo, pero no acaba de convencer porcompleto.Einsteintampocoeraunmatemáticobrillantey,sinembargo,noseregateasugenio.<<


[27]EnCorresp.II,págs.430ysiguientes.<<


[28]Recientemente se ha creídohaber identificado elmanuscrito en el queNewtonplasmóeldescubrimientodelteoremadelaelipse.VéaseHerivel,TheBackgroundtoNewtortsPrincipia,págs.247-253.En1961,HerivelpublicóunartículoenArchivesinternationalesd’histoiredesSciences,14,págs.23-33,enelquepretendíamostrarque el manuscrito en cuestión era el originario descubrimiento de Newton:«NewtonianStudiesIII.TheOrigináisoftheTwoPropositionsDiscoveredbyNewtoninDecember1679?».EnArchives16(1963),págs.23-28,R.yM.Hallsedeclarancontrariosatalidentificación.Westfallenibíd.22(1969),págs.51-60,parecedarsuacuerdo aHerivel.Whitheside, en Id. 194 (1970), 2-3 y enMath.PapersVI, 14 y553-554seoponealosargumentosdeWestfall.Lacopianoestabaentrelospapelesde Newton solamente, sino que se hallaba entre los de Locke, copiada por suamanuenseen1689-1690.

En la correspondencia con Flamsteed de 1685-1686 (videCorresp. II, 338 y 346).Newton se fiaba de las observaciones de Flamsteed pero no tanto de susinterpretaciones. Aunque la idea del retorno desde el Sol de los cometas no eraaparentemente compatible con las velocidades y direcciones observadas, aún eramenos compatible con las ideas de Newton la explicación de Flamsteed de esecambiodedireccióntanrepentinoyviolento.Newtonnecesitótiempoyobservarporsímismoelpasodeloscometasde1680y1682paraaceptarelretornoyparatratardeextenderhastaéllateoríadelagravitación.<<


[29]DeestalecturaNewtonnodijonipalabrahastamuchodespués,peroensuWasteBook (Mss. adic. 4004, f. 103r y 103v) aparece el resumen y análisis de esteopúsculo, precisamente hacia 1681-1682. Como suele acontecer en los escritos deHooke,enestetampocohaysolucionessatisfactorias,nisiquieraparaélmismo,alosproblemas que se plantea, pero se hace tantas y tales preguntas que provoca a suslectores.Llegaadecirquesutrayectorianoesfácildedeterminarperonomásdeloquesuelecostardeterminarladelosplanetasyquesugravitaciónesparecida.<<


[30]Mss.adicionales,4007,f.107rv.BibliotecadelaUniversidaddeCambridge.<<


[31]CartadeHalleyaNewtonde29dejunio1686;Corresp.II,441-442.<<


[32]AunquelacorrespondenciadeHalleyesconHookeylaS.R.,elladapieaqueseconozcaycritiquelaobradeCassiniysuteoríadegrandesórbitascometarias.HalleyestáentreambosyNewtonleeyanotaellibrodeCassinicomosedesprendedeJ.R.Harrison,The Library of IsaacNewton, Cambridge, 1978, pág. 116. La estima deNewtonporlasobservacionesdeCassini,aunquemenorporsuideadelaTierra,desuformayfigurageométrica,esevidenteenlosPrincipia.<<


[33] I.B.Cohenen sumagnífica Introduction toNewton’sPrincipia,CambridgeU.Press,1971,pág.50,seplantealacuestióndecuálpudoserlapreguntadeHalley.Elanálisis que seguimos es similar. Elmanuscrito (f. 101) a que hacemos referenciapuedeverseenelApéndice Ide lao.c.,págs.293y294.Enelmismo(folio106)Newtonhacelaenumeraciónquesigueinmediatamenteeneltexto,pág.295.o.c.<<


[34]l.c.ennotaanterior.<<


[35]Ibíd.passim.<<


[36] El Horologium Oscilatorium sive de Motu Pendulorum ad Horologia AptatoDemostrationes Geometricae pudo estar presente en Newton, además de con sucontenido, también con su forma.La parte primera es una descripción del reloj depéndulo,perodesdelasegundaseconfiguracontresHypótesisycontinuaconXXVIPropositionesyunLema;yporsifuerapocolaparteterceraseabretambiénconIVDefinitiones yXI Propositiones y todavía la parte IV añadeXIII Definitiones y dosHypótesisantesdesusXXVPropositiones.Enlaquintapartemuybreve,describeotraformadeconstruirunrelojdepénduloyañadelos13Teorematadevicentrífugoexmotucirculori.<<


[37]HerivelincluyealgunosensayosyfragmentosdesdeestalechaypuedenseensuTheBackground…sobretodoapartirdelapág.147ytambiénpuedeseunresumendeesteinicialplanteamientoenWestfall,NeveratRest,148-150.<<


[38]PertenecealmemorándumConduitt-DeMoivreysehallatranscritoypublicadoenextractoporCohenensuIntroduction…ApéndiceI,págs.297-298.<<


[39] Hablamos del «pequeño tratado» de la S. R. por dos razones: primera porqueNewtonnolediotítuloysegundaporquemástarde,enabrilde1686ymarzo-abrilde1687haríallegartambiénelmanuscritoMdel«grantratado»,losPrincipia,estavezcontítulo.Respectoal«pequeño»cabedecirquefuehalladoporStephenPeterRigaud,quienlopublicóconeltítulo«IsaaciNewtoniPropositionesdeMotu»comoApéndice I de suHistorical Essay on the First Publication of Sir Isaac Newton’sPrincipia,Oxford,1838.DespuéshasidotraducidoalinglésypublicadoporHerivel,R.Ball,R.yM.Hall,etc.<<


[40]Rigaud,o.c.,pág.7delApéndice.<<


[41] I. B. Cohen, The Newtonian Revolution, Cambridge, 1980, pág. 242.Naturalmente Cohen no afirma que Newton fuera consciente en ese momento dedichaequivalencia;paraserlofueprecisounlargocamino.<<


[42]Rigaud,o.c.,pág.12.<<


[43]Cfr.HenryPemberton,AViewofSirIsaacNewton’sPhilosophy,Londres,1728,Prólogo. Pero es preciso añadir inmediatamente que la «leyenda»newtoniana,másalládelasnotasrecogidasporDeMoivre-Conduitt-StukeleyysinolvidarlassutilespinceladasdelpropioNewton,sobretodoconmotivodesuspolémicasdeprioridadhabidasconHookeyLeibniz,hagozadodel favorbritánico.Basta recordarqueelfamosomanzanodelaleyendaaúnproducepequeñasastillasparaturistasydevotos.Cohenen su Introduction…,Apéndices I y II, ofrece algunas notas autobiográficasdelprocesodeescrituradelosPrincipia,ylosrecuerdosdeHumphreyNewtonsobresirIsaac.<<


[44]SeconservauntextomanuscritoconcorreccionesdeotramanodistintadeladeNewton y, por supuesto, distinta de la de Humphrey, que apunta a Halley comoconsultor, aunque no haya para ello otra base que la calidad de las correccionespropuestasyelparecidodelosrasgosdelaescritura.Confer.Cohen,Introduction…,ApéndiceVII.<<


[45] La clasificación, descripción e interdependencia de todos estos borradores,ensayosoprePrincipia,sehallasuficientementeexpuestaenCohen,Introduction…,hasta el punto de que el lector puede ver el mapa temporal y ordinal de losdesarrollos,equivalenciasyampliacionesqueNewtonvahaciendodesdeque iniciasutrabajohastaqueacabalaredacción,juntoconpiezasnoincluidasyrevisionesotitubeosenlaredacción.Lomismoparalasdosreedicionesde1713y1726.<<


[46]Hacia1676MercatorpublicasusInstitutionumastronomicarumlibriduo;en lapág.286ysiguientesofreceunresumendeunacarta(hoyperdida)deNewtonenlaque se presenta una explicación de los movimientos libratorios de la Luna. Bienpuede suponersequeunaexplicaciónmáscompleta sehalla en laProposiciónXVIIdelLibroIIIdelosPrincipia.<<


[47] Rigaud, o. c., Apéndice I. Cohen, siguiendo en esto a Rigaud y a los demáseditores del tratado lo denomina «deMotu», pero al ser varios los tratados que seconservan con este título, preferimos referirnos a él con una perífrasis como«pequeñotratado»delaS.R.DelasotrascopiasdacuentaCohenenIntroduction…,pág.56.<<


[48]Cohen,porrazonesdecomodidadybrevedad,proponeensuIntroduction…,uncierto código literal con subíndices para representar las ediciones, losmanuscritos,etc.l.c.,pág.XXVII.<<


[49]LabasetextualparaanalizarestapresuntareconversióndeNewtonalclasicismogeométrico puede encontrarse en el vol. IV de losMath. Papers, aunque el editorsostienequetalreconversiónessólosuperficialydeclarativa,siatiendealcontenidodesustrabajos,particularmentelosligadosalos«loci».UnapartedeestosestudiosreapareceránenlosPrincipia,secciónV,LemasXVII-XXLProposiciónXXII.<<


[50]Seríalargoycomplejojustificarestasospecha.Nosllevaaellaunaanalogíaconlo que ocurre enmatemáticas: en el ensayo «Veterum loca sólida restituta» (Math.Papers,IV,pág.277)muestratalrechazodelasvíasanalíticasytantoaprecioporlosgriegos y susmétodos de proporciones simples que induce a considerar hasta quépuntoelmétododelas«ratios»y«proportios»nosedeberáaunaactitudsemejanteenlafísica.<<


[51]Cfr.Marginalia inNewtoniPrincipiaMathematica, editadasporE.A.FellmancontraducciónalfrancésdeJ.F.Courtine.Vrin,París.1973.Yenrelaciónconestepunto,véaseelcomentarioaM48enpág.76(versiónalemana)ypág.98(versiónfrancesa).Lanotamarginal48correspondealaProposiciónXdelLibroI.<<


[52]Paraunaexposiciónordenadadeestaselaboraciones teóricaspuedeverseRenéDugas, A History of Machanics, Neuchatel, 1955. La tercera parte, pág. 231 ysiguientes,sehallaconsagradaalosdesarrollosdelaMecánicaClásicayenellasecomprendenlosBernoulli,Euler,D’Alembert,etc.<<


[53] Sus protestas en este sentido son muchas y algunas hallará el lector en losPrincipia(lamásexplícitaenelEscolioGeneral),peroesoportunorecordaraquílafirmezadesunegativaasuscribiresaopiniónencartaaBentleyde1693dondedice:«…aveceshablausteddelagravedadcomoesencialeinherentealamateria.Ruegoquetalideanosemeatribuya,pueslacausadelagravedadescosaquenopretendoconocer y además necesitaríamuchomás tiempo para considerarla». Cfr.Corresp.III,234.<<


[54] Cohen en su Introduction… se extiende en el análisis de la generacióncronológica de cada una de las Proposiciones de los Principia a partir de estepequeñotratadoydelassucesivasextensionesqueseconservandepositadas,porlogeneral,enlaBibliotecadelaUniversidaddeCambridgecomopartedelarchivodeNewton.CongranpacienciaCohentratadeconectartodosesosmanuscritosentresí,aunqueaveceslefaltanpiezasalpuzzle.Video.c.págs.68-129.<<


[55]Se tratadelmismo fragmentocitadoen lanota33 (mss. adic.3968, f.101)encuya parte final hace una crítica de losmétodos analíticos de losmodernos y unavaloración positiva de los métodos sintéticos de los antiguos mediante los cuales«construíansusdescubrimientosparaelpúblico».<<


[56]Deespecial importanciason loscorolariosde lasProposiciones IVyXVI.Ensuconjuntoestas tresprimeras secciones respondena losorígenesdelproblemaydeltratado.Portanto,respectoalnúcleoproblemáticoinicial,sepuededecirquesonelorigenprogramático,ynosólosistemático,delosPrincipia.<<


[57]TodaestasecciónV respondea losestudiosnewtonianossobre los«loci» (videnota 49) y se desencadenaron como respuesta a algunas publicaciones reciénaparecidas en París, entre ellas, Fermat (vide nota 24), losNouveaux èléments dessectionsconiques, de laHire, así como la recuperación de los LibrosVII yVIII dePappo de Alejandría gracias a la traducción latina (incompleta) de Commandinodesde1588, cuya sutileza llamaba la atenciónde losmatemáticos.Unaparte de laGèométriedeDescartesseocupadelllamado«problemadePappo»,Wallisen1688encuentraunfragmentodelLibro IIenOxfordylotraduceypublica,yNewtonenesta secciónV, LemaXIX «construye» una nueva solución y aprovecha la ocasión(Corolario2)para aclararque esteproblema«de las cuatro líneas…semuestranocomouncálculo,sinocomounacomposicióngeométrica,comolaquebuscabanlosantiguos».<<


[58]ElcitadoLemaylaProposiciónsiguienteseenfrentanconelllamado«ProblemadeKepler» que ha resistido al análisis directo de losmatemáticos y sólomedianteaproximaciones(comoNewtonhizo)hapodidohallarsolución.Hastaelpuntodequeexistentablasdeaproximacionesparaprimeras,segundas,tercerasderivadas,etc.Elvalor más importante del Lema radica en su enunciado negativo (y consiguientedemostración) como muestra de la moderna concepción del análisis que poseíaNewton.<<


[59]Newton pensó en publicar su tratado «deQuadraturaCurvarum» junto con losPrincipia.Quizáestoexpliquequeempieceadarporsupuestoalgoque,alnoestarpublicadoniserconocidomásqueporunospocos(Craig,GregoryCollins,Halley)iniciados,exigíaunactodefeporpartedesuslectores,estoen1687;otroeraelcasoen1713conlasegundaedición.<<


[60]LacorrespondenciaconHalleydurante junio-julio1686 (yacitada) tratade losdetallesdelapublicacióndelosPrincipia,cuyoLibroIyaestádesdeabrilenpoderdeHalley,ytambiéntratadelasreclamacionesdeHookesobresupaternidaddelaleydelagravitación.NewtonenesosmomentossehallarecomponiendoyacabandoelLibroIIyempezandoareescribirelLibroIII.<<


[61]LaredondezdelaTierraofrecíavariosmodelosposibles(dadoquesólosehabíarecorrido en dirección Este-Oeste) y ya Colón había sugerido el modelo de una«pera», pero a la sazón se creía en el modelo «husiforme» de Cassini. En algúnmomentoVoltairecomentóqueMaupertuishabíaaplastadoa laveza laTierrayaCassini,perocuandosevioenredadoenunacontroversiaconMaupertuisleaderezólosingeniososversos:

«Vousavezconfirmédansleslieuxpleinsd’ennui

CequeNewtonconnutsanssortirdechezlui».

(DiscourssurlaModération)aludiendoasuviajeaLaponiade1736-1737juntoconClairautyotros.<<


[62]VéaseelestudiodeKoyréenÉtudesnewtoniennes,Gallimard,París,1968,«UnelettreinéditedeRobertHookeáIsaacNewton»,págs.269-313.<<


[63]Conf.Cohen,Introduction…,ApéndiceII,delmemorándumdeStukeleyrecogidodeHumphreyNewton.<<


[64]Aunquesonmejorconocidosestosañosdetriunfosocial,enlosquetambiénhizofilosofíaparalasprincesas,comoélmismodijeradeLeibniz,nopodemosalargarnosenellosyremitimosallectoralasbiografíasqueenumeramosenotraparte.<<


[65]Sucorrespondencia,yapublicadaporEdlestonen1850,puedeversetambiénenCorresp…. vol. V passim. Item Apéndice V de la edición Koyré-Cohen de losPrincipia,vol.II,págs.817-826,enextracto.<<


[66]Cfr.W.W.R.Ball,AnEssayonNewton’sPrincipia,Londres,1893,pág.74.<<


[67]SirDavidBrewsterenMemoirsoftheLife,Writings,andDiscoveriesofSirIsaacNewton, Edimburgo, 1855, vol. II, págs. 549 y siguientes ofrece una lista de loscambios y alteraciones más notables de la tercera edición respecto a la segunda,debidosaPembertonsobretodo.Ypeseasugrannúmero,ningunaesrelevante.VideCohen-Koyré,vol.IIdelaedicióndelosPrincipia,ApéndiceVI,págs.827-847.<<


[68] Entrando en la Abadía, en el trascoro, a la izquierda se alza un grandiosomonumentoasumemoriaerigidoporsussobrinosen1731conunepitafioresumendesuscontribucionescientíficas:

Textolatino Textocastellano

Hicsitusest Aquíyace.IsaacusNewton,EquesAuratus, IsaacNewton,Caballero,

Quianimivipropedivina, que,confuerzadeespíritucasidivina,PlanetarumMotus,Figuras, losmovimientosdelosplanetas,lasfiguras,

Cometarumsemitas,OceaniqueAestus, lassendasdeloscometas,lasmareasdelocéanoSuaMathesifacempreferente, consusmatemáticascomoantorcha

Primusdemonstravit. fueelprimeroendemostrar.RadiorumLucísdissimilitudines, Lasdiferenciasdelosrayosdeluz,

Colorumqueindenascentiumproprietates, ylaspropiedadesdeloscoloresdeellosnacientesQuasnemoanteavelsuspicatuserat,pervestigavit. queantesnadienihubiesesospechado,investigócon

rigor.Naturae,Antiquitatis,S.Scripturae, Delanaturaleza,delaantigüedad,delaS.EscrituraSedulus,sagax,fidusInterpres, asiduo,sutilyfielintérprete,

DeiOpt.Max.Majestatemphilosophiaasseruit, afirmóconlafilosofíalamajestaddeDiosOpt.Max.Evangeliisimplicitatemmoribusexpressit. expresóconsuscostumbreslasimplicidaddel

Evangelio.SibigratulenturMortales,taletantumqueextitisse Congratúlenselosmortalesdequeexistiesetalytan

grandeHUMANIGENERISDECUS. ORNAMENTODELGÉNEROHUMANO.

NatusXXV.Decemb.MDCXLII.ObiitXX.Mar. NacióelXXVdiciembreMDCXLII.MurióXXmarzoMDCCXXVII. MDCCXXVII.

<<


Notasdellibroprimero


[1]EstepoemadeHalley, enelque tratamosde reteneralgode su ritmoy sintaxislatinos, es la traducción del texto de la tercera edición. Para la segunda RichardBentleypropusoalgunasmodificacionesestilísticas(principalmente)quenoafectanalsentidoennadaimportante.MássignificativopuedeserelhechodequeHalleyseviera impulsado a este canto, y también inspirado en algunas expresiones, por laEgloga que precedía al Horologium Oscillatorium de Huygens, en la cual lasalabanzasmitológicamente enlazadas también se cierran con un «Nec Phaebum acPimplae fas est contemnere Divas»; similar al exámetro de Halley «Nec fas estpropiusmortaliattingeredivos».<<


[2]Pusofechaenlasegundaedición.Ysepuedepensarqueéstanofuelafechaenqueredactóesteprefacio.Peroen1713yasabíaquelasfechasteníansuimportancia.<<


[3]Esteargumento,casiliteral,lefuedadoaCotesporNewtonanteunaconsultadeaquél relativa a la expresión «cum attractio omnis mutua sit» del Corolario I,ProposiciónV,LibroIII.Cfr.Edleston,J.enCorresponde…,pág.154.<<


[4] Este párrafo y los siguientes están dirigidos contra Leibniz y las críticasprocedentesdesuentorno(J.Bernoulli,HuygensyWolfcuyoórganoeranlasActaeruditorumprincipalmente)yapareceaquíenunodesusepisodios.Perolaguerrayahabía empezado mucho antes. En 1703 George Cheyne, un discípulo de Gregory,habíapublicadounensayoconeltítuloOntheinversemethodoffluxionsenelqueseinsinúaquetodoelcálculoeraunacreacióndeNewton.Lafasesiguiente—1705—esunarecensiónanónima(deLeibniz)enlasActadedicadaalaprimeraedicióndelaOptica y de los tratados que la acompañaban (Ennumeario Curvarum y DeCuadratura)enlaqueLeibnizaclaraqueelmétododefluxionesesunaaplicaciónentérminosde«fluxionesyfuentes»desumétododiferencial.Perolaguerraestallaen1710 con la aparición en lasPhil. Trans. (número correspondiente a 1708) de unartículodeJohnKeill«OntheLawsofCentripetalForces»enelqueacusaaLeibnizde plagiario. Por lo demás existe otro contencioso, metafísico esta vez, sobre lanaturaleza de la fuerza, del espacio y tiempo, de Dios, etc. del que Leibniz en laPolémicaconClarkedejaconstancia,delospuntosprincipales.AesterespectovéaseA. R. Hall, Philosophers at War. The quarrel between Newton and Leibniz.CambridgeU.Press.,1980.<<


[5]Yahemosmencionadoladificultad,yposiblecircularidad,quelacríticahavistoen esta Definición. Parte del problema puede residir en el concepto de partículaelemental que manejaba Newton. A ello puede atribuirse el hecho de que sudefinicióndedensidadnotengauncaráctercuantitativosinosóloproporcional.EnelCorolario 4 de la ProposiciónVI del Libro III da una definición de densidad. Perocomo las partículas contenidas en un mismo volumen, aunque tengan la mismadensidad,notienenlamismaforma,nosepuedeasignarelmismonúmerodeellasalmismovolumen.Respectoa lanaturalezade laspartículasvéase laQuest.31de laOptica.<<


[6]Esta es unadefiniciónqueno fue siemprebien entendida.En el sentido enqueNewtonlaproponeequivalealconceptomodernode«momento»oloquesellamó«fuerzamuerta»(F=mv)encontraposiciónala«fuerzaviva»(½mv2).<<


[7] En su copia de la segunda edición añadióNewton: «No entiendo por fuerza deinercia la de Kepler por la cual los cuerpos tienden al reposo, sino la fuerza demantenerseenelmismoestadodereposoodemovimiento».Peronoloincluyóeneltextodelaterceraedición.<<


[8] Las discusiones generadas por este Escolio se iniciaron con Berkeley(principalmente en el Treatise on the Principies of Human Knowledye, 1710, DeMotu,1720)continuaronenlaPolémicaconClarkedesdeelladoleibnizianoy,conelimpulsodelasgeometríasnoeuclídeas,llegóasumayordimensiónconMachylateoría de la Relatividad. Puede verse un amplio debate en A. [Grünbaum],PhilosophicalProblemsofSpaceandTime,Reidel,Dordrecht/Boston,2.ª,1973.<<


[9]Salvocorreccionesdeestiloinsignificantes,estasLeyesnoofrecieronproblemasaNewton en las revisiones a que sometió su texto inicial. La I.ª (de «inercia») noofreció problemas debido a su eficacia práctica en un sistema inercial como el denuestra galaxia. Pero ¿se puede hablar de algún cuerpo en reposo absoluto?La II.ªdependedeladefiniciónde«cantidaddemovimiento»(m.v.).Elcambiodecantidades proporcional a la fuerza motriz impresa y la medida de ésta se obtiene por lacantidaddecambiodelvalordem.v.Perosehademostradoexperimentalmentequelamasadeunelectrónaumentacuandolavelocidaddelmismosevaacercandoalade la luz (Kaufmann, 1901). Pero esta relatividad de la masa no es relevante avelocidades alejadas de la de la luz. Por ello, la teoría de la relatividad no es deaplicación necesaria en la física ordinaria de masas y velocidades ordinarias. EncambioevidenciaelalcancelimitadodelaLeydeNewton.Hacia1692Newtonanotóenunadesuscopiasunaaclaraciónañadidaaltexto:Así,silagravedaddeuncuerpoquecaefueseuniforme,ésta,actuandoigualmenteencadapartículaigualdetiempo,imprimiráfuerzasigualessobredichocuerpo,ygenerarávelocidadesiguales;yportanto la fuerza total impresa sobre el cuerpo que cae y la velocidad total generadasiempreseráncomoeltiempototaldecaída.Yasíenlosdemás.(Tachadaestafrasefinal).<<


[10]Entrelosensayoscorrectoresde1690ysiguientes,yamencionados,destacaunorelativoaesteprimerCorolariodelasLeyes.Eltemaeradefondo:unacontradicciónaparenteentrelaideadefuerzacomosucesióndeimpulsosdiscretosocomoaccióncontinua. Este problema se hace igualmente patente en sus revisiones de la Ley II(vide, Cohen, Introduct…, pág. 163). Al final los cambios fueron insignificantes:introdujo las frases «impresa en el punto A»… «con movimiento uniforme»…«Seguirá,pues,unmovimientorectilíneodeAaDporlaLeyI».<<


[11]EsteCorolarioincorporaensíntesislosestudiosqueen1665-1666inicióNewtonsobrelateoríacartesianadelchoqueyreflexióndecuerposperfectamenteelásticos.Cfr.R.S.Westfall,ForceinNewton’sPhysics,Londres,1971,principalmenteCap.2a5.El testimoniosehallaenel«WasteBook»conel título«OnReflections»yhasido publicado porHerivel enTheBackgroundofNewton’s «Principia», pág. 132-182.<<


[12]Desde«Parauncuerpoquecae…»hasta«…ABcuadrado»aparecesóloenestaterceraediciónqueofrecemos.<<


[13] Se refiere aTraité de la percusiónouchocdes corps que apareció enParís en1673ycuyaterceraediciónde1684incluyelosexperimentoscompletos.<<


[14]Estepárrafoapareceenlaterceraedición.SutemafueexpuestoaCotescomosedijoennota3,supraytambiénlafigura,obviamente.<<


[15]Unadelascríticasprimeras(mejorintencionadaquefundada)quemerecieronlosPrincipiayalacualNewtonrespondiócontodorespeto,proveníadeunantiguoyyaretiradoprofesordematemáticasdenombreGilbertClerk(vde.Correspondencia2,152-154y490)obedecíaaqueelusodeestaterminologíaofrecíadudas.Newtonlautilizaconlossentidossiguientes:

Duplicataratio=razóncuadrada=(a/b)2.

Subduplicataratio=raízcuadradadelarazón= a/b

Triplicataratio=razóncúbica=(a/b)3.

Subtriplicataratio=raízcúbicadelarazón= a/b

Sesquiplicataratio=potencia3⁄2delarazón=(a/b)3⁄2= (a/b)3

Subsesquiplicataratio=potencia2⁄3delarazón=(a/b)2⁄3= (a/b)2

Sesquialteraratio=razónsesquiáltera=3a/2a=3⁄2a

Proportio=razón(aveces)=nuestrarazóna/b.

Conesta aclaraciónpordelantenospermitiremosusar indistintamente la expresiónarcaicaylamoderna.<<

√

√3

√2

√3


[16] Esta sección II, junto con la siguiente, merecieron gran atención por parte deNewtonensusensayosrevisionistas.LlegóaredactarunosenunciadosnuevosparalasProposicionesIyIIyproyectóCorolariosadicionalesysustituyóotros,ademásdereordenarlasProposicionesIVyV.Alfinalselimitóa1)trasladarlosCorolarios1y2delaProposiciónIallugaractualdelaProposiciónIIconalgunasvariacionessinimportancia.2)Añadir6nuevosCorolariosalaProposiciónIdeloscualesel2yel4lepermitensimplificar lapruebade laProposición IV.3)Simplificary reescribir lapruebadelaProposiciónIV.4)EnlosCorolariosdeestaProposición IVaumentasunúmerode7a9;el7delanuevaserieesdebidoaFadodeDuillierprobablemente.5) La anterior prueba de la Proposición VI se convierte en Corolario 1 de dichaProposición, y el anterior Corolario de lamisma será el 5. 6) El resultado es unanuevaProposiciónVIquepasadeunCorolarioa5.7)Pruebasalternativaspara lasProposicionesVII,IXyXcon3nuevosCorolariosparalaProposiciónVIyunanotableexpansión del Escolio final de la sección II. Pero los ensayos fueron mucho másamplios y evidencian un interés deNewton por reescribir estas secciones quizá entérminosdefuerzasynodeáreas,yalavezpresentarsulíneaargumentalconmayoreleganciaybrevedad.Vde.Cohen,Introduc.,págs.167-171.<<


[17]Pasardeunpolígonodeinfinitosladosaunacurvacontinuaespasardeunaseriea su límite y estomatemáticamente no ofrecía ya dificultad alguna, ni siquiera erapreciso acudir al Lema III. Pero esto comportaba, de paso, asimilar a la fuerzacontinualafuerzadiscretacompuestadeimpulsossucesivos.Quizáaquíestuvieralarazóndelosrepetidosensayosrevisionistasdeestasección.<<


[18]Los7Corolariosincluidosaquíenlaprimeraedicióndecíancomosigue:

COROLARIO 1. De aquí que las fuerzas centrípetas son como los cuadrados de lasvelocidadesdivididosporlosradiosdeloscírculos.

COROLARIO 2. E inversamente, las fuerzas entre sí son como los cuadrados de lostiemposperiódicosdivididosporlosradios.Estoes(hablandocomolosgeómetras),estas fuerzas están en razón compuesta directamente de la razón cuadrada de lasvelocidadesydelarazónsimpledelosradiosinversamenteytambiéninversamentedelarazóncuadradadelostiemposperiódicos.

COROLARIO 3. De donde, si los tiempos periódicos son iguales, tanto las fuerzascentrípetascomolasvelocidadesseráncomolosradios,yviceversa.

COROLARIO 4. Si los cuadrados de los tiempos periódicos son como los radios, lasfuerzascentrípetassoniguales,ylasvelocidadesestánenrazóndelapotencia1delosradios,yviceversa.

COROLARIO5.Siloscuadradosdelostiemposperiódicossoncomoloscuadradosdelosradios,lasfuerzascentrípetassoninversamentecomolosradiosylasvelocidadesiguales,yviceversa.

COROLARIO6.Siloscuadradosdelostiemposperiódicossoncomoloscubosdelosradios, las fuerzas centrípetas son inversamente como los cuadrados de los radios,mientrasquelasvelocidadessoncomolapotencia½delosradios;yviceversa.

COROLARIO7.Todas lascosassobre tiempos,velocidadesyfuerzascon losque loscuerposdescribenpartes semejantesdecualesquiera figuras semejantesconcentrossemejantementesituados,sesiguendelademostracióndelasprecedentesaplicadaaestoscasos.

Por otra parte hay que recordar que esta Proposición IV tenía otra demostraciónbasadaendoscírculosconcéntricos,demostraciónquedabapiealaanteriorseriedeCorolarios.Unavezconstruidalafigura,lademostraciónsecifraenquelafiguratkbessemejantealafiguraDCByporelLemaV,lalíneaCDseráalalíneaktcomoelarcoBDalarcobt:osea,porelLemaXI,lalíneanacientetka la líneanacientedecomobt2abd2y,portanto,lalíneaDCalalíneadccomoBD·btabd2,oloquees

igual,comoBD·btSb

a bd2

Sbyporende alserigualeslasrazones

btSb

yBDSB

como

BD2

SBa bd

2

Sb.Q.E.D.

( )


Comoconsecuenciadelasupresióndelaanteriorpruebahubodealterartambiénunpárrafo del Escolio siguiente para ponerlo en relación con el nuevo sistema deCorolarios.AlprincipiodelEscoliohayunpárrafoañadidoporNewtonconmotivodelacorrespondenciaconHalleyen1686.Enélmuestracómopuedehallarlaley(almenosparaelmovimientocircular) inclusoantesdelapublicacióndelHorologiumOscillatoriumdeHuygens.<<


[19]LoscambiosintroducidosenestaProposiciónVson(unavezabandonadalaideaderenumerarlacomoProposiciónIV,ProblemaI):Cambiarlaredaccióndelsegundopárrafo que decía «Puesto que el cuerpo en P y Q con radios trazados al centrodescribe áreas proporcionales a los tiempos, y dichas áreas descritas a la vez seancomo las velocidades en P y Q multiplicadas, respectivamente, por lasperpendiculares trazadasdesde el centrohasta las tangentesPTyQT, serándichasperpendicularescomolasvelocidadesinversamente;yportanto…».<<


[20]EnlaProposiciónVI,comoyahemosadelantado,loscambiossonmásamplios:

1)ElantiguoenunciadodelaProposiciónpasaahoraaCorolario1.

2)Lafiguraeramássimple.

3) La prueba de la anterior Proposición (ahora Corolario) era: Pues en lafigurainfinitamentepequeñaQRPTlalíneanacienteQR,enuntiempodado,es como la fuerza centrípeta (por la Ley II) y con fuerza dada como elcuadradodeltiempo(porelLemaX)y,portanto,nodadoninguno,comolafuerza centrípeta y el cuadrado del tiempo conjuntamente y, por tanto, lafuerza centrípeta directamente como la línea QR y como el cuadrado deltiempoinversamente.PeroeltiempoescomoeláreaSPQosudobleSP·QT,estoescomoSPyQTconjuntamente,yportantolafuerzacentrípetaescomo

QR directamente y SP2·QT2 inversamente, esto es, como SP2·QT2

QRinversamente.Q.E.D.

4)ElúnicoCorolariopasaconmínimoscambiosaserel5.AdemásdeestoscambiosNewtonpensóotrosmásradicalesyenpapelessueltosintercaladosensuscopiasdelaprimeraediciónllegóaredactarunaProposiciónnueva.<<


[21]Denuevo,aparecenlascorrecciones.NewtonproyectórehacerestaProposicióncomo Teorema, con el siguiente enunciado: «Si ordenadas proporcionales de dosórbitas caen sobre abscisas proporcionales y los centros de fuerzas se sitúansemejantemente en las abscisas, los cuerposdescribirán laspartes correspondientesdeórbitasentiemposproporcionales,ylasfuerzascentrípetasseráncomolasalturasdeloscuerposdirectamenteyloscuadradosdelostiemposinversamente».DehechodejóelProblematalcualyselimitóacambiarlafiguraydospárrafosdelasoluciónque lahacenmásdirecta.Peroahoraañade todo loquesiguea«Lomismodeotromodo». Varias son las interpretaciones posibles para estas indecisiones; desdeintenciones de elegancia matemática hasta titubeos en la presentación bajo formageométricaobajoformadinámica,einclusolapercepcióndequehabíaunimpasseentreplanteamientosdinámicosycinemáticosentodaesta(yotras)sección(es).<<


[22]Aunquecasitodoslospárrafosqueintroducenpruebasalternativas(«Lomismodeotromodo») sonmás elegantes, éste llama la atenciónpor su brevedady estilodirecto. Por otra parte este problema (la pregunta de Halley o la respuesta a lapregunta)fuequizálacausadesuretrasoenlarespuestaescritaprometida.EntodocasoestaProposicióndebeentendersecomoformandopartedeuntodojuntoconlaXVI; y quizá toda esta sección sea un modelo de análisis de un solo problemadesplegadoensusdiferentescasosyaspectos.TampocohayqueolvidarqueNewtonelaboró estas pruebas alternativas en la década de los noventa y primeros años de1700.Sulecturadelaprimeraredacciónlefuellevandoaformulacionesmásprecisasymásconcisas.<<


[23]Secierraestaseccióny,conella,losintentosdeNewtondemejorarlaestructurainicial de los Principia. En la primera edición no hay Escolio al final de laProposición; Newton además de añadirlo pensó, y redactó con ese fin, añadir unCorolario 5 que decía: «Puesto que en la solución de este Problema se enumerantodosloscasosenlosqueuncuerpopuedepartirdeunlugardado,conunavelocidaddadaysegúnunarectadada,yentodosellosresultaunaseccióncónicaquetienesufocoenelcentrodefuerzas(tambiénsesiguedelprimerCorolariodelaProposiciónXIII—entreparéntesisytachado—),lasfuerzascentrípetasdelcuerpoquegiraenlasección hallada (por las Proposiciones XI, XII y XIII) están en razón inversa delcuadradode ladistanciaalcentro: loscuerposconfuerzascentrípetasqueestánenrazóninversadelcuadradodeladistanciaalcentrosemoveránsiempreenseccionescónicas».Era redundante y por ello y porque elEscolio siguiente resumemejor elproblemadecidiótalvezsuprimirlo.Porotraparte,laconclusiónnecesitaríaprecisarparaquévelocidadesinicialesesválidalageneralización.<<


[24] En nota marginal añade a la última frase del Escolio: «y esta cantidadCG3

RP2

cuando el centro R de fuerzas se halla hacia la parte convexa de la órbita resultanegativa y expresa una fuerza centrífuga. Con este solo teorema se evidencia lafuerza con la cual un cuerpo en una sección cónica cualquiera puedemoverse entorno a cualquier centro de fuerzas». Otro dato interesante es seguir los sucesivosdesarrollosdelafiguraqueapareceenlaProposiciónVI,sobrelacual,conalgunasvariantes, se va desarrollando la construcción argumental de estas dos secciones.Dicha figuraadmite comocasoparticular eldelCorolario4de laProposiciónXVI,casoqueporincluirlosmismosvalorespara«radio»ypara«distanciamedia»desdeelfocopudoconstituireltropiezoconquetopóNewtoncuando«rehizo»loscálculosdespuésde la visita deHalley.El hechodeque las velocidades, en elCorolario4,Proposición IV y Corolario 4, Proposición XVI sean inversamente como las raícescuadradas de distancias iguales (solo iguales en esa situación) pudo dar lugar altropiezo.(AunqueNewtonhabledeundiagramatrazadoconpococuidado).ConlanuevaredaccióndelosCorolariosdelaProposición IVsedejamásclaroelprocesogeneralizador por el cual la Proposición se va extendiendo en su alcance desde elcírculo y su radio hasta las distanciasmedias de unpunto de una órbita al foco, ycomo hace al fin explícito en el Corolario 8 de esa Proposición IV. Por ello en elEscolio final de esta sección III parece dispuesto a generalizar el problema y lasolucióncomolohace.<<


[25] Se refiereNewton a una obra perdida deApolonio de Perga cuyo título επφαί(Tangencias) nos fue trasmitido por Pappo junto con algunas noticias sobre sucontenidoentreelcualtuvoimportanciaestetemadelos«treselementos»(líneasopuntos):elegircualquiercombinacióndetresdeellosytrazaruncírculotangentealostres.Vietaen1595alfinaldesu«Responsum»aAdrianoRomanoyrefiriéndosea «las Tangentes» propone el problema de trazar un círculo tangente a otros tresdados. Ni A. Romano ni Regiomontano creían que pudiera resolverse con regla ycompás. En 1600 Vieta da una solución euclidiana satisfactoria. PosiblementeNewtonconocíalaedicióndeSchootende(Leiden)1646.<<


[26] Este Lema ha sido objeto de estudios minuciosos por parte de estudiosos deldesarrollo de la Geometría. Sin duda, este es el primer paso en el estudio de lasconversionesgeométricas,basadoenunaideanewtonianarelacionadaconsuvisiónde las ecuaciones como expresiones de la naturaleza de las figuras. Estas sonequivalentes si las ecuaciones que las definen también lo son y viceversa. Comoaplicación inmediataNewton propone la conversión de figuras por traslado de losparámetrosquedefinenunafigurarespectoaalgunodesuselementostomadocomoejedeconversiónhastaotrolugarenelcualdichoeje,aunquecambielasdireccionesdesuposición,permitereproducirlosvaloresdelasecuacionesdelaprimerafiguraydar lugaraotraequivalente.Aunqueen lascurvasdeordensuperioresmuydifícilimaginar la evolución de cada punto para llegar a construir con procedimientosgeométricoslafiguratransformada,enesteLema,genuinamentenewtoniano,seabrelapuertaparaulterioresdesarrollosconprocedimientosanalíticos.<<


[27]Transcribimosennotaciónactuallaanteriordemostración:porlascónicas,

hc2

(ad·hb)=ic2

id2=ke2

kd2= el2

(al·lb)

yportantotambiénestánendicharazónsubduplicada

hc(ah·hb)

=icid=kekd

=el

(al·lb)=

hc+ic+ke+el(ah·hb) +id+kd+ al·lb

=ih+kl

(ah·hb) +ik+ (al·lb)»

Porotraparteconvienerecordarquelaexpresión«ladocuadradodeunrectángulo»significaraízcuadradadeláreadelmismo;siunrectánguloABxBC=M,entonces«ladocuadrado»deM=√M=L,yL2=M.<<

√ √

√ √ √ √


[28]Transcritoseríaasí:

ECCA

=CACL

yportantoECCA

=EC-CACA-CL

=EAAL

ytambién

EAEA+AL

=EC

EC+CA=EAEL

=ECEB

…<<


[29] Este Lema también ha sido objeto de discusión entre analistas. F.Cajori en elApéndicedesuedición,pág.647,mencionaaH.BroughamyE.J.Routh,AnalyticalViewofSirIsaacNewton’sPrincipia,Londres,1855,págs.72-74,yaduceelejemploo contraejemplo con el cual éstos apoyan sudesacuerdo con elLema.El punto encuestiónsecentraenlafrase«…laecuaciónporlaquesehallalainterseccióndedoslíneas contiene todas las intersecciones entre ellas mediante otras tantas raíces yalcanza, por tanto, tantas dimensiones como intersecciones haya». Pero la cuestiónplanteada por Newton recae sobre la inexistencia de una ecuación canónica queresuelva de modo general la cuadratura de cualquier sección oval valiéndose decoeficientesracionales.Encambio,elcontraejemplomencionadoporCajoripermiteafirmar que la conclusión expresada porNewton, «no existe figura oval cuya áreacortadaporrectascualesquierapuedaserdeterminadademodogeneralpormediodeecuación alguna de este tipo» está formulada imprecisamente. Quizá la aserciónhubierasidomenosfalsablesisehubieseescrito:«noexisteecuacióngeneralalgunade este tipo que pueda permitir resolver la cuadratura de cualquier figura ovalcortada…»,paralocualnobastaríaconresolveruncasosingulardado.

Por lo demás, Leibniz y Huygens también juzgaron la conclusión y el enunciadoarriesgados. Leibniz en sus «Marginaba» escribió «Error» al final del enunciadomientrasHuygens le hacíaver queNewtonnohabíadefinido conprecisión loqueentendíapor«figuraoval»yLeibnizcreíapoderofreceruncontraejemploquecitaensuMarginaba:videMarginaba,págs.101-104;yGerhardt,MathematischeSchriftenII/84.

PorotraparteNewtonomitióenlaprimeraediciónlapalabra«cuadrado»enlafrase«cuadradodelarectadentrodelovalo»,delprimerpárrafo,ysólolocambiótrasseradvertidoporFatioyGregory,aunqueLeibnizyHuygensyasehabíanpercatado.<<


[30]NewtonreescribióesteEscolioparalasegundaedición,quizáporquelaprimitivaredacciónerapocodirectae implicabaunasaproximacionesdemasiadoprolijas.Sebasaba en ella en las relaciones respecto al tiempo que existen, al pasar por losábsidesdeunaelipse,entrelasáreasbarridasporunvector—elradiodeuncírculoyelde la elipse— lasvelocidadesy los sectoresnacientesoevanescentes enambas.Pero elmétodo, que se aproximaba bastante en los ábsides, alcanzaba un error de«casilacincuentavapartedeláreatotaldelaelipseenlascuadraturas,oalgomás»;loqueexigíaunaulterioraproximación.En lanueva redacción laaproximacióndeángulosmedianteunasrelacionestrigonométricasresultamásdirectayexacta.<<


[31]Estemétodo«bienconocido»eraexplicitadoen laprimeraedición:«elmétodobienconocidodelDtr.SethWardobispodeSalisburydemimayorveneración…».<<


[32] Newton en las copias de la primera edición añadió aquí algunos párrafos queluegonotrasladóalasedicionessiguientes.PrimeropensóunCorolario4quedecía:«Concedidas lascuadraturasde lascurvas,sepuedenhallar las líneascurvassegúnlascualesloscuerposcayendoobienseacercancontinuamentealhorizonte,obienobservanotrasleyesasignadasdemovimiento».

YquizáquisoañadirunEscolioenelcualperfilabamáselproblema:Escolio:Hemosmostrado en laProposición IX delLibro I que un cuerpo conuna fuerza centrípetainversamenteproporcionalalcubodeladistancia,sepuedemoverenunaespiralquecorta todos los radios en un ángulo dado. Pero el cuerpo, según mis diferentesvelocidades,semoveráencurvasdistintas.Silavelocidadfueseaquéllaconlaqueelcuerpopudieragiraraunadistanciaentornoalcentrodefuerzas,semoveráendichaespiral.Perosilavelocidadesmenor,elcuerposemoveráenunaespiral(VPQ)quecon infinitas espirales descenderá al centro pero no ascenderá al infinito. Si lavelocidadesmayor,elcuerposemoveráenunacurva(VPQ)quetieneunaasíntota,ysegúnsubrazohiperbólicosevaalinfinito…<<


[33]EnelEjemplo II deestaProposición,ofreceNewtonunaprimeranoticiade sumétododeseriesconvergentes.Aquídejade ladoelmétodo«sintético»yacudealanálisis,aunqueseaconcarácterauxiliarytransitorio.DebetenersepresentelafiguraprincipaldelaProposiciónanterior,quenoincluíamosenestaProposiciónporquenoaparecereproducidatampocoeneloriginallatino.<<


[34]El párrafoque sigue es añadido en la segunda edición sustituyendoaotromáslargo y con razonamiento menos preciso. Incluía también algún problema detérminos;decía«ratiodimidiata»enlugarde«subduplicata».<<


[35] La introducción de esta sección XI es notable por varias razones. En primertérmino, por el reconocimiento que implica de la inadecuación de la hipótesismatemática de «un centro inmóvil» cuando se proyecta sobre puntos físicos. LainteracciónentrecuerposexigidaporlaLeytercerahacequeelmodelomatemático,relativamentelinealysencillo,sepresentenecesitadodeunacomplejidadcrecientesiesquequiereseguirdandocuentadelanaturalezadelascosas.

OtroproblemaquenoseescapaalaconsideracióndeNewtoneseldequeloscentrosde atracción se hallan a efectos cinemáticos en los centros comunes de gravedad(centrosdegiro)locualexigenuevamenteunamayorcomplejidad.

Finalmente,Newtonsehacecargodelaambivalenciaenquehademoversealhablarde atracciones al referirse a las fuerzas centrípetas. ¿Son acciones continuas oimpulsos? Newton —vide Proposición LVII y siguientes— siempre habla deatracciones, cuerpos atrayentes, etc.; pero por otra parte —Proposición LXVI ysiguientes—tambiénapareceesteproblema,juntoconeldelapluralidaddecuerpos,en lamedida en que el tratamiento de las atracciones es un tratamiento de accióncontinuaglobal, sinpoderpasar aun tratamientopor impulsos, entreotras razonesporque la Tercera Ley implicada en el juego exige simultaneidad entre acciones yreacciones.Sinembargo,losimpulsosparecenexigiruntiempoyunmecanismodetransmisión, y ello, si fueran los impulsos inversamente proporcionales a loscuadrados de las distancias, haría que unas veces llegaranmás frecuentemente—cuandoloscuerposseacercan—yotrasmásespaciadamente—cuandosealejan—,yloqueesaúnmásdurodeadmitir:suponenunintermediariofísico.Newtonafirmaque«ahoranosmovemosenmatemáticas»ynoentraendisputasfísicas.<<


[36] No sólo se plantea ahora el problema de los dos —o tres— cuerpos de laProposiciónLXVIysiguientessinoqueseadelantaunacondiciónqueaparece tomoHipótesisIenelLibroIII.NewtonnoconocemovimientosdedesplazamientodelSol,aunquesíconocemovimientososcilatoriosdelmismo.«Elmovimientoabsolutodeloscuerposenelespacioinmóvil»debe,pues,entenderseionlaperspectivahistóricapertinente, independientemente de la cuestión filosófica n ontológica sobre lanaturaleza del espacio. No obstante, en esta Proposición, en imito que condiciónmatemática no ofrece problemas filosóficos. Más bien hace posible abordar elproblema mediante la restricción que ella introduce al eliminar, aunque sea porhipótesis de trabajo—si bien aquí sea algomás que eso— otros movimientos defondo.<<


[37]EstaeslasegundavezqueNewton—laprimeraenlaProposiciónXLVanterior—aplicasumétododefluxiones.<<


Notasdellibrosegundo


[1]Newtonañadeen la segundaedición losCorolarios1y2,con locual loscincoprimitivosllevanlosnúmeros3a7.<<


[2]Newtonhacia1712,enunprefacioquepensóanteponerydelcualseconservandiferentes borradores, o estadios del borrador —videMath. Papers, VIH, 625 ysiguientes— dice que utilizó en los Principia el método de las cuadraturas muyampliamente, «eodemque plurium usus sum in componendo libro precedente dePhilosophiaeNaturalisPrincipiisMathematicis…»;peroademásdelosdoscasosdelLibroIyamencionados,sóloesposiblecitarunospocosmásenloscualesdebetratarvelocidadesinstantáneas(ProposicionesII,III,V-IXyXI-XIVdelLibroII),enlascualesseveobligadoatratarVxyVy(dx/dt)y(dy/dt).Entodoslosdemáscasos,pesealasdiferentesafirmaciones,alolargodemuchostextosaderezadoscontraLeibnizensudisputa,noquedarastroalgunodequehubieseutilizado«sumétodo»paraobtenernisusresultadosni lasdemostracionesdelosmismos.Antesbien,D.T.WhitesideenMath.Papers,8,pág.68,afirmaque«sobre labasedeunexamendel textode losPrincipiaydelosmanuscritosauxiliaresdelosmismosseapoyanuestraconclusiónde que por el contrario la mayor parte de sus Proposiciones fueron derivadasesencialmenteenlamismaformaenquefueronimpresas».

Pero esteLema II siempre fue aducido porNewton como argumento central de suprioridad y de su utilización delmétodo infinitesimal tanto en losPrincipia comoantes. En él presenta el principio fundamental del cálculo. Pero hay en torno unproblema histórico que puede ser de alguna utilidad recordar aquí. Se trata de unEscolioqueaparecióenlaprimeraediciónalfinaldelLema.Volvióaaparecerenlasegunda edición, aunqueNewton redactó algunos arreglos y versiones alternativas,que luego descartó, y que finalmente desapareció en la última edición. Ya habíamuertoLeibniz ennoviembrede1716yyahabían circuladomásquede sobra lasrazonesdeunoydeotro.Conf.A.R.HallPhilosophersatWar,CambridgeU.Press,1980. El Escolio decía: «En cartas que hace diez años mediaron entre el sabiogeómetraG.G.Leibnizyyomismo,comomanifestarequeyoeraposeedordeunmétodoparadeterminarmáximosymínimos,paratratartangentesyparahacercosassemejantes,método que servía con términos irracionales, tanto como con términosracionales, y mediante trasposiciones literales que implicaban la siguienteProposición(“dadaunaecuacióncualquieraquecontengacantidadesfluentes,hallarlas fluxiones, y viceversa”) la ocultare; me contestó el muy preclaro varón quetambién él había llegado a un método semejante, y comunicó un método apenasdiferente almíomás que en las formas verbales y de notación. El fundamento deambosmétodossehallaenesteLema».Paraelepisodiocompleto,véaseHall,o.c.yMath.Papers,VIII.<<


[3] Aparecían en la 1.a edición (E1) dos Corolarios más: «Corolario 4: pero lapartículadetiempo,enquelapartículamínimaNKLOdeespacioesdescritaescomoel rectángulo KN·PQ, pues como el espacio NKLO es como la velocidadmultiplicada por la partícula de tiempo; la partícula de tiempo será como dichoespaciodivididoporlavelocidad,esdecir,comoelrectángulomínimamentepequeñoKN·KLdivididoporAP.AnteseraKLcomoAP·PQ.LuegolapartículadetiempoescomoKN·PQoloqueeslomismo,comoPQ/CK.Q.E.D.

COROLARIO5.Porelmismoargumentolapartículadetiempoenlaquelapartículanklo de espacio es descrita en el ascenso es como PQ/CK». La figura eranotablementedistintayequivalíaalasuperposicióndeladelaProposiciónVIIIconladelaIX.<<


[4]En laprimeraediciónNewtoncometióunerrorquenodetectónicorrigióen larevisión para la segunda edición. Tampoco Cotes en su propio repaso. Cuando yaestaba impreso el cuadernillo correspondiente a esta Proposición (confer.Correspondencia,V,951,pág.347).NicolásBernuillillegódeimprovisoaLondresya primeros de octubre de 1712 hizo saber a Newton que su tío Bernuilli habíaencontrado un error en esta Proposición. Newton puso manos a la obra, paró laimpresión que Cotes estaba realizando y reconstruyó el razonamiento. Decía laversióninicial:«SeaAKelplanoperpendicularalplanodelafigura;ACKla líneacurva;Celcuerpoquesemueveenella;yFCƒ larecta tangentea lamismaenC.ImagínesequeelcuerpoCoraprogresadeAaKporlalíneaACK,oraregresaporlamismalínea;yenelprogresoesimpedidoporelmedio,aligualqueenelregresoesimpelido por él, de tal modo que en los mismos lugares siempre sea igual lavelocidad del cuerpo en la ida o en la vuelta. Pero en tiempos iguales describa elcuerpoalirunarcomínimoCGyelregresarelarcoCq;yseanCH,Ch longitudesrectasiguales,quedescribiríanloscuerpospartiendodeCendichostiemposysinlasaccionesdelmedioyde lagravedad:ydesde lospuntosC,G,g, trácensesobreelplanohorizontallasperpendicularesCB,GD,gddelascualesGD,gdquetoquenalatangenteenFyƒ.Porlaresistenciadelmedioocurrequeelcuerpoqueprogresaenlugar de la longitud CH describe solamente la longitud CF; y por la fuerza de lagravedadelcuerpoestrasladadodesdeFaG:yportanto,lapequeñalíneaHFdebidaalafuerzadelaresistenciaylapequeñalíneaFGdebidaalafuerzadelagravedadsegenerana lavez.Por lo tanto (por elLemaX delLibro I), lapequeña líneaFGescomolafuerzadelagravedadyelcuadradodeltiempoconjuntamente,y(porestardada la gravedad) como el cuadrado del tiempo; y la pequeña línea HF como laresistencia y la pequeña línea FG. Y de aquí que la resistencia sea como HFdirectamente y como FG inversamente o como HF/FG. Esto es así en segmentosnacientes.Puesensegmentosdemagnitudfinitaestasrazonesnosonexactas.

Yporunargumentosemejanteƒgescomoelcuadradodeltiempoyporserigualeslos tiempos, igual a FG; y el impulso con que es urgido el cuerpo que regresa escomohƒ/ƒg. Pero el impulso del cuerpo que regresa y del cuerpo que progresa, alcomienzomismodelmovimiento, son igualesy,por tanto, también son iguales losproporcionalesalosmismoshƒ/ƒgyHF/FG;yporlaigualdaddeƒgyFG.tambiénsonigualeshƒyHF.ytambiénCF,CH(ocH)yCƒestánenprogresiónaritmética,ydeaquíqueHFeslasemidiferenciadelaspropiascƒyCF;ylaresistenciaqueantesfuecomoHF/FGescomo(Cƒ-CF)/FG.Perolaresistenciaescomoladensidaddelmedioyelcuadradodelavelocidad.YlavelocidadescomolalongitudrecorridaCFdirectamenteyel tiempo FG inversamente,estoescomoCF/ FG,ypor tantoel√ √


cuadradodelavelocidadcomoCF2/FG.Porlocuallaresistencia,ysuproporcional(Cƒ-CF)/FGescomoladensidaddelmedioyCF2/FGconjuntamente;ydeaquíqueladensidaddelmedioescomo(Cƒ-CF)/FGdirectamenteyCF2/FGinversamente,estoes,como(Cƒ-CF)/CF2.Q.E.I.

Corolario1.DeaquísesiguequesienCƒsetomaCk igualaCFysobreelplanohorizontal AK se deja caer la perpendicular ki secante de la curva ACK en b; ladensidaddelmedioserácomo(FG-kl)/CFx(FG+kl).PuesƒCseráakCcomo ƒgode FGa kl .YporpartesfkakC,estoes,Cƒ-CFaCFcomo FG+ kl a kl ,estoes(siambostérminossemultiplicanporlarazónprimeranaciente FG+ kl)como FG - kl a kl + FG x kl o también FG + kl. Pues la razón primera de lasnacienteskl+ FGxklyFG+klesdeigualdad.Escríbase,portanto(FG-kl)/(FG+kl) en lugar de Cƒ - CF; y la densidad del medio que fue como (Cƒ - CF)/CF2resultarácomo(FG-kl)/CFxFG+kl.

Corolario2.Dedonde,puestoque2HFyCƒ-CFsoniguales,yFGykl(porlarazóndeigualdad)compongan2FG;será2HGaCFcomoFG-kla2FG;yporelloHFaFG,estoes,laresistenciaalagravedad,comoelrectánguloCFxFG-kla4FG2».

Corolario3.EselactualCorolario2.

Hemosintroducidosubrayadosparasignificarlalíneadeargumentaciónerrónea.1)«…lapequeñalíneaFGdebidaalafuerzadelagravedad…»FGnosóloesgeneradaporlagravedad,sinotambiénporlacomponente(aquínegativa)delaresistenciaalmovimientosegúnlalineaCFH.Porsernegativatiendehaciaabajocoincidiendoconlagravedadyessegundaderivadadeuntercertérminoenθ3:2)«Comolafuerzadelagravedadyelcuadradodeltiempoconjuntamente».AquíseolvidadequeFGesademás función de la componente resistencial del paso anterior, y por ello 3) laresistenciaresultaríacomoHF/2FG.Yasíen4)nosonigualesƒgyFG;ladiferenciaentreambos(eltercertérminodelaseriequenoesdespreciable)es⅓(gP/v)θ3.EstadiferenciadesconocidauolvidadaporNewtonlellevaaconsiderarlosigualesen5)dondeigualalasraíces ƒg y FG.Denoocurrirestoyhaberseguidooperandocon

√√ √ √ √ √

√ √√

√

√ √


ƒg habría llegado a un resultado exacto en este Corolario 1. Bernuilli y LeibniztomaronpieenesteerrorparamantenerqueNewtonnoconocíaen1687latécnicadiferencialpuestoquehabíatropezadoeneldesarrollodelaseriealnollegaraunaderivada segunda. Whiteside en Mat. Papers, 8, 312-419 hace una exposicióncompletadelcontencioso,a lavezquemuestrahastadónde llegaba lacompetenciaanalíticadeNewton.Porotraparte,enelEjemplo1suprimióunpequeñopárrafoenelqueintroducíalosvaloresdelproblemaporlasvariablesdelaserieporqueenellosaparecíaunerroraconsecuenciadeloanterior,peroelmétodoeselmismo.<<

√


[5] En las dos ediciones anteriores faltaban las figuras que ahora aparecen en estaProposición,peroaparecíancomofigurasdelosCasos1,2y3delaProposiciónXIII.EnlaterceraediciónsetrasladantodasalaProposiciónXIVyseintroducenlasdelaProposiciónXIIItomandosólopartedelasantiguas,comoobservaráellector.<<


[6]Escolio:seintroduceenlaterceraedición.<<


[7]En laprimeraediciónelenunciadoera:«Laspartículasquehuyenunasdeotrascon fuerzas que son inversamente proporcionales a las distancias de sus centroscomponen un fluido elástico cuya densidad es proporcional a la compresión. Yviceversa, si la densidad de un fluido compuesto de partículas que huyen unas deotras es como la compresión, las fuerzas centrífugas de las partículas soninversamenteproporcionalesalasdistanciasdeloscentros».

En el Escolio suprimido en la segunda edición, en el antepenúltimo párrafo, unfragmentodecía«Demodoquesicadapartículaconsufuerza,queseainversamentecomoladistanciaalcentrodecadalugar,repeleatodaslasotrashastaelinfinito;lasfuerzascon lascualesel fluidopuedesercomprimidoycondensado igualmenteenvasossemejantes,seráncomoloscuadradosdelosdiámetrosdelosvasos;yporellola fuerza con la cual el fluido se comprime en el mismo vaso, será inversamentecomoel“latuscubicum”alapotencia5deladensidad».<<


[8] El Escolio general con que se cierra esta Sección VI se hallaba en la primeraediciónalfinaldelaSecciónVII.EnsucorrespondenciaconCotes(Corresp.V-784,pág. 42) se limita a decir que «deseo que se imprima al final de la sexta seccióninmediatamentedespuésdelaProposiciónXXXI»yaunquehayalgunascorreccionesmínimasnohayningúncambiosustancialenelaparatoexperimental incluidoenelEscolio.Encambiosuprimióunpárrafoqueseguíainmediatamenteala4.atablaquedecía:

«Laresistenciaaquínuncaaumentamásquelarazóndelcuadradodelavelocidad.Yesverosímilqueesoocurrieraenunpéndulomayor,siemprequeeláreaaumenteenrazóndelpéndulo.Pueslaresistenciatantoenelairecomoenelagua,silavelocidadaumentaporpasoshastaelinfinito,deberáaumentaralfinenunarazónmayorqueelcuadrado,todavezqueenlosexperimentosaquídescritoslaresistenciaesmenorquela razón demostrada para los cuerpos muy veloces en las Proposiciones XXXVI yXXXVIII de este libro. Pues los cuerposmuy veloces dejan a su espalda un espaciovacío y, por tanto, la resistencia que sufren en su parte delantera, en nada esdisminuidaporlapresióndelmedioensuspartesposteriores».

Hayalgunosotrospárrafossuprimidosqueamplíanlaideadelanterioroenlosqueexplica cómo hacerla más precisa mediante péndulos cónicos, cuyas resistenciasestán más acordes con la idea principal. Y finalmente (pág. 524) suprime dospequeñospárrafos.Elprimero(acontinuaciónde«fluidosutil»)decía:«peroopinoquelacausahadesermuyotra.Pueslostiemposdeoscilacióndelacajallenasonmenoresquelostiemposdeoscilacióndelacajavacíay,portanto,laresistenciadelacaja llenaen lasuperficieexternaesmayor,según lavelocidady la longituddelespaciodescritooscilando,queladelacajavacía.Alserestoasí,laresistenciadelascajasensuspartesinternasoesnulaoclaramenteinsensible».

Elsegundopárrafo(despuésdelúltimopuntoyaparte)decía:«Conelmismométodoconelcualhemoshallado laresistenciade loscuerposesféricosenelaguayenelmercuriopuedehallarselaresistenciadecuerposconotrasfiguras;yasílasdistintasfigurasdenavesconstruidasenmodelospequeñospuedencompararseentresí,paraprobarconpocosgastoscualesseanlasnavesmásaptasparanavegar».<<


[9] La revisión de esta secciónVII tuvo su origen en las objeciones de Fatio (videProposiciónXXXVI,nota12)yseremontaalosprimerosañosdeladécadaanterior.EncartadeCotes aNewton (Corresp.V,805,pág.65) aquél acusael recibode larevisióndetodaestaparte.TambiénhayquedestacarladiscusióndeCotessobreestanueva revisión —en la carta mencionada y en las siguientes— porque aclarannotablementelasnuevasconsideracionesdeotrosexperimentosquellevanaNewtonalaformulaciónactual(Torricelli,Halley,etc.).

Lareformaconsisteen:

a)LasProposicionesXXXIIyXXXIIIsonprácticamentelasmismas.

b)EnlaProposiciónXXXIIIsesuprimenlosCorolarios6,7y8.ElCorolario9pasaaser,portanto,el6.º

c)Sesuprime laProposiciónXXXIV y laprimitivaXXXV se renumeraconelnúm.XXXIV.

d) El resto de la sección, ProposiciónXXXV aXL y Escolio, se redactan denuevo.

Noincluimosaquílatraduccióndeestelargotextosuprimido.PuedeverseenAp.IdeltomoIIdelaedicióndeKoyré-Cohen.CabeañadirqueestaredacciónjuntoconlosexperimentoscorrespondientesllevóaNewtonlargotiempoporcuantoqueCotesrehizolosexperimentosdeNewtonyhallóobjecionesquehonestamentepropuso.LarespuestadeNewton(24demarzode1711)incluyeunlargoensayorelativoaestasProposicionesXXXVIysiguientes(Corresp.V,826,pág.103,etc.).<<


[10]Corolarios:loscorolariossuprimidoseran:

Corolario6.«Mascomolaspartículasdelosfluidos,debidoalasfuerzasporlasquemutuamenteserepelen,nopuedenmoversesinquealavezagitenaotraspartículasen torno y, por tanto, semuevanmás difícilmente entre ellas que si careciesen deestasfuerzas;ycuantomayoresseansusfuerzascentrífugas,tantomásdifícilmentese muevan entre ellas: parece evidente que un proyectil en semejante fluido semoverámásdifícilmentecuantomás intensas seandichas fuerzas;ypor tanto si lavelocidad de un cuerpo muy veloz de los Corolarios anteriores se disminuyese,puestoquelaresistenciadisminuiríacomoelcuadradodelavelocidad,siemprequelasfuerzasdelaspartículasdisminuyesenenlamismarazóncuadrada;yencambiono se disminuirían las fuerzas, está claro que la resistencia disminuiría en menorrazónqueelcuadradodelavelocidad.

Corolario 7. Además, puesto que las fuerzas centrífugas llevan a aumentar laresistenciaenlamedidaenquelaspartículaspropagansumovimientoporelfluidomediantedichasfuerzasamayordistanciamutua;ypuestoquedichadistanciaestáen menor proporción respecto a cuerpos mayores; es evidente que el aumento deresistenciadebidoadichasfuerzasparacuerposmayoresseademenorimportancia;yportantocuantomayoresseanloscuerpostantomásexactamentelaresistenciadeloscuerposendesaceleracióndecreceenrazóncuadradaalavelocidad.

Corolario 8. De donde también la susodicha razón cuadrada se cumplirá másexactamente en los fluidos que, a igual densidad y fuerza elástica, consten departículas más pequeñas. Pues si se disminuyen aquellos cuerpos mayores y laspartículasdelfluido,manteniendosusdensidadesysufuerzaelástica,disminuyenendicha razón, semantendrá lamisma razónde resistenciaqueantes;comosecoligefácilmentedeloanterior».<<


[11]EralaXXXVdelaprimeraedición.LaprimitivaXXXIVdecía:

«PROPOSICIÓNXXXIV.TEOREMAXXVII.

Lo demostrado en las dos Proposiciones anteriores no se cumple cuando laspartículasdelossistemassesucedencontinuamenteunasaotras,siemprequedichaspartículasseandegranlubricidad.

Imagínesequelaspartículasmutuamenteserepelenconcualesquierafuerzasydichasfuerzas aumentenhacia la superficie de las partículas, hasta el infinito,mientras alalejarse de ellas disminuyenmuy rápidamente y desaparecen de pronto. Imagínesetambiénquelossistemassecomprimendemodoquesuspartessetoquensalvoenlamedidaenquedichasfuerzasimpidenelcontacto.Peroseanlosespaciosporlosquese difunden las fuerzas de las partículas sumamente angostos, de modo que laspartículas se acerque mutuamente lo más posible. Se deslizarán con la mismafacilidadquesi fuesensumamente lubrificadas,ysiseapoyanentreellasrebotaranunas de otras gracias a las fuerzas susodichas como si fuesen elásticas. Enconsecuencia,losmovimientosseránlosmismosenamboscasos,salvoenlamedidaen que la pequeña distancia de las partículas no contiguas entre ellas genere unadiferencia, la cual puededisminuirse hasta el infinito disminuyendo los intersticiosentrepartículas.Ahorabien, lodemostradoenlasdosProposicionesprecedentessecumple en partículas no contiguas entre sí, y esto aunque los intervalos entrepartículas,disminuyendolosespaciosporlosquesedifundenlasfuerza,disminuyeninfinitamente. Y por tanto, lo mismo se cumple en partículas que se tocan,exceptuandolasdiferenciasquealfinalresultenmenoresqueunasdiferenciasdadas.Portanto,digoquesecumplenexactamente.Siloniegasasignaunadiferenciaparauncasocualquiera.Peroyasehaprobadoqueladiferenciaesmenorquecualquieradada.Luegoladiferenciaseasignaerróneamentey,portanto,noexiste.Q.E.D.

Corolario1.Portanto,sitodaslaspartesdedossistemasreposanentreellasexceptolas que son mayores que las otras y son entre sí correspondientes y situadassemejantemente entre las demás. Estas, lanzadas de cualquier modo según líneassemejantementedispuestas suscitaránen los sistemasmovimientos semejantesy entiempos proporcionales completarán espacios semejantes proporcionales a susdiámetros;yseránresistidasenrazóncompuestadelcuadradodelasvelocidadesyelcuadradodelosdiámetrosyenrazóndeladensidaddelossistemas.

Corolario2.Dedonde,sidichossistemassondosfluidossemejantesysusdospartesmayores soncuerposproyectadosdentrodeellos:pero laspartículasde los fluidosson de gran lubricidad y proporcionales a los cuerpos en cuanto a magnitud ydensidad; los cuerpos describirán en tiempos proporcionales espacios semejantes y


proporcionalesasusdiámetros,yseránresistidosenlarazónexpuestaenelCorolarioanterior.

Corolario3.Portanto,endichofluidounproyectildadoenmagnitudesresistidoenrazóndelcuadradodelavelocidad.

Corolario4.Perosilaspartículasdelfluidonosondelamismalubricidadoseagitanmutuamenteconcualesquierafuerzasquedisminuyenlalibertaddelosmovimientos;losproyectilesmáslentossuperaránlaresistenciamásdifícilmentey,portanto,seránresistidosenrazónmayorqueladelcuadradodelavelocidad».<<


[12]EstaProposición—correspondientealaXXXVIIdelaprimeraedición—primerofue objeto de una profunda corrección y después de una total reconstrucción. Elmotivo parece haber sido la crítica que de la primitiva hizoFatio aNewton. Fatioescribióalmargenensucopiadelaprimeraedición:«NohepodidolibraraNewtonde los errores contenidos en esta Proposiciónmás quemediante el experimento; asaber,construyendounvasodestinadoaestepropósito».Conf.Cohen:Introd.,pág.182.<<


[13]Cotesdiscuteyanaliza lanuevaredaccióndeNewtoncongranpenetración.EllectorinteresadoenseguirdecercalaevolucióndetodoestetemapuedeverCorresp.V,829ysiguientes,págs.107ysiguientes,ytambiénMath.Papers,VI,págs.456ysiguientes.<<


[14]Escolio.

Denuevoaparecencorreccionesenlabaseexperimental,quizádebidoalapremuraconque inicialmentesehicieron,peroquea lavezsonsignode la«debilidad»delaparatoteóricoconqueNewtonabordótodalamecánicadefluidos.Dehechoéstanologróentrarenelbuencamino,pesealascontribucionesdeDanielBernuilli,Clairauty D’Alambert, hasta que Euler —«Mechanica sive motus scientia analityceexpósita»,en1736,ylastresmemoriasde1753-1755.«PrincipesGenerauxdel’etatd’equilibre des fluides», «Principes Generaux du moviment des fluides» y«Continuationdesreserchessurlatheoriedumovimentdesfluides»—estableciólasbasesdefinitivasdelahidrodinámica.

En este Escolio Newton había incluido unos párrafos que luego suprimió en lasegundaediciónqueseguíanalprimerpárrafoqueconcluyecon«979pies».Añadió:EscribeMersenneensuBalística,ProposiciónXXXV,queél,hechoslosexperimentosoportunos, había hallado que el sonido en cinco segundos recorre 1150 toesasfrancesas(estoes,6900piesfranceses).Dedonde todavezqueelpiefrancésesalinglés como 1068 a 1000, el sonido en un tiempo de un segundo debería recorrer1474 pies ingleses. También escribe Mersenne que Robervall, geómetra insigne,habíaobservadoenelasediodeTheodonqueelsonidodeloscañonessehabíaoído13ó14segundosdespuésdeverelfuego,cuandosehallabaapenasamedialeguadeloscañones.Laleguafrancesatiene2500toesasyportanto,eneltiempode13o14segundos según la observación deRobervall, recorrió 7500pies parisinos, y en unsegundo560piesparisinosycasi600ingleses.Estasobservacionesdifieresmuchoentre sí y nuestro cálculo se sitúa en lugar intermedio. En el pórtico de nuestrocolegiode208piesdelargo,elsonidoproducidoencualquieradelosextremosconcuatrorechazosproducecuatroecos.Perohechoslosexperimentoshalléqueencadarecurso del sonido un péndulo de seis o siete pulgadas de largo oscilaba al primerchoque con la ida y al segundo con la vuelta. No podía medir con exactitud lalongitud del péndulo pero con la longitud de cuatro pulgadas las oscilaciones erandemasiado rápidas y con nueve pulgadas parecían demasiado lentas. De donde, elsonidoyendoyviniendocompletó416piesenmenos tiempoque laoscilacióndelpéndulo de nueve pulgadas y mayor que uno de cuatro pulgadas; esto es, en untiempomenorque28¾‴ymayorque19⅙‴,yportanto,eneltiempodeunsegundocompletaenpiesinglesesmásde866ymenosque1272,yporlotantoesmásvelozque lo observado por Robervall y menos que lo observado por Mersenne. Peroademás determiné después con observaciones más exactas que la longitud delpéndulodebesermayorquecincoymediapulgadasymenorqueochopulgadas;yportantoqueelsonidoeneltiempodeunsegundorecorremásde920piesinglesesy


menos que 1085. Por tanto, los movimientos de los sonidos, según el cálculogeométrico expuesto más arriba, situado entre dichos límites, concuerda con losfenómenoshastadondefueposiblehastaahoraintentarlo.Portanto,puestoqueestemovimientodependedeladensidaddelaire,sesiguequelossonidosconsistenenlaagitacióndetodoelaireynodeléterodeotroairemássutil.

Algunosexperimentosconelsonidopropagadoenvasosvacíosdeaireparecenestarencontra,pero losvasosdifícilmentepuedenvaciarsede todoel aire;ycuandosevacíanbastantelossonidossuelendisminuirbastante;porejemplo,sidetodoelairepermanece en el vaso sólo la centésimaparte, el sonidodeberá ser cienvecesmástenuey,portanto,nodebeoírsemenosquesialguienescuchandoelmismosonidoemitidoenelairelibre,sealejasedespuésaunadistanciadiezvecesmayordelobjetosonoro. Por tanto, habrá que comparar dos cuerpos igualmente sonoros y cuyasdistancias del oyente estén en razónde lamitad de las densidades del aire; y si elsonidodelprimercuerponosuperaaldelsegundo,desaparecerálaobjeción.

Conocida la velocidad de los sonidos, se conocen también los intervalos de laspulsaciones.EscribeMersenne(LibroIdelos«deHarmonía».ProposiciónIV)queél(hechosciertosexperimentosqueallídescribe)encontróqueunacuerdatensaenunsegundovibra104vecescuandoestáalunísonoconunaflautadeórganodecuatropiesabiertaodedospiescerradaalaquelosorganistasllamanCfaut.Portanto,son104pulsacionesenelespaciode968pieslosqueelsonidodescribeeneltiempodeun segundo y, por tanto, una pulsación ocupa un espacio de 9¼ piesaproximadamente;esdecir,casieldobledelaflauta.Dedondeesverosímilquelasanchurasdelaspulsacionesenlossonidosdetodaslasflautasabiertasseanigualesaldobledelaslongitudesdelasflautas.<<


[15] Añadía en el manuscrito original un Corolario 12 que, sin duda, canceló porredundante.«Corolario12.Yporunargumento semejante es evidentequemuchosorbessólidosyconcéntricosdeloscualeslosexterioresarrastrenalosinterioresnopueden permanecer en movimiento cualquiera sin aceleración y retardación, salvoquetodosalavezgirenamododeunsolocuerposólidosintraslaciónmutuaoqueelexterioryelinterior,mercedaalgunafuerzaexternaimpuestacontinuamente,seanobligadosperseverarensusmovimientos;encuyocasolosorbesintermediosgiraránenmovimientos intermedios, salvoque con fuerzas impuestas también externas lesimpidamoverseoseleshagamoversedeotromodo.Suprímansesemejantesfuerzasexternas,ylosorbes,frenadosporelrozamientomutuo,pocoapocoreposaránentreellos».<<


Notasdellibrotercero


[1]Newton cambió notablemente este Epígrafe: se esquematizan los cambios en elcuadroadjunto.

1.aedición 1.aedición 1.aedición

Hipótesis1 ReglaI ReglaIHipótesis2 ReglaII ReglaIIHipótesis3 Suprimida Suprimida

— ReglaIII ReglaIII— — ReglaIV

Hipótesis4 HipótesisI HipótesisIHipótesis5 FenómenoI FenómenoI

— FenómenoII FenómenoIIHipótesis6 FenómenoIII FenómenoIIIHipótesis7 FenómenoIV FenómenoIVHipótesis8 FenómenoV FenómenoVHipótesis9 FenómenoVI FenómenoVI

LasHipótesis1y2 apenasdifierende lasReglas I y II.Pero laHipótesis3. únicasuprimidaporcompleto,comoseveporlatablaanterior,decía:«Todocuerpopuedetransformarseenuncuerpodeotrogénerocualquiera,yadoptarsucesivamentetodoslosgradosintermediosdecualidades».

Respectoalasdiferencias—deíndoleepistemológicasobretodo—queintroduceenlas Reglas I y II respecto a las primitivas Hipótesis cabe señalar: En la Regla Iintroducelasfrases:«Yadicenlosfilósofos:lanaturalezanadahaceenvano,yvanoseríahacermediantemucholoquesepuedehacermediantepoco…».EnlaReglaIIen el enunciadomismo hace aparecer unmatiz nuevo: la Hipótesis decía: «Y portanto las causas son las mismas para los efectos naturales del mismo género». Yrespecto a laHipótesis 4 cambia de sitio y comoHipótesis 1 la hallará el lector acontinuacióndelaProposiciónX.

Hasta qué punto esta Regla III es un «manifiesto» filosófico por una parte y un«caveat»metodológicoporotro,esunproblemadiscutido.Noobstante,yponiéndoloen relación con la introducción de Cotes, puede verse en ella una respuesta a lascríticas «continentales». Cuando afirma que «éste es el fundamento de toda lafilosofía»cabeentenderqueserefierealafilosofíanaturaldesutratado.Perosiseextendieseatodasanafilosofíafrentealaque«fantaseatemerariamentesueños»,hade verse en esta Regla una toma de posición, por parte de Newton que es más


explícitaaquíquelofueraen1685-1687.Y,contodo,ellectorsiguepreguntándosesiNewtonhahecho«principiosmatemáticos»apartirde la físicaohahechofísicaapartirde«principiosmatemáticos»,encuyocaso,parecequealgonocuadraconeldiscurso de esta Regla III. Sobre todo porque los hechos que «constan»experimentalmente y que recoge en el último párrafo, no parece que consten tanexperimentalmente como se exige en la primera parte de laRegla.Y ello además,porque«gravitar»noesunobservable, comoNewtonsabíamuybien.LaRegla IVofreceaúnmayoresmotivosparalareflexión.Lodejamosparaellector.<<


[2]Lastablasdeobservacionesvaríanbastantedelaprimeraalasotrasediciones.Lomásnotable,sinembargo,eslaeliminacióndelasobservacionesdeFlamsteedydetodareferenciaalmismoqueera,enlaprimeraedición,muyimportante.Además,losresultadosdeFlamsteederanlosmáspróximosalosqueNewtonasumealfinaldeltextodelfenómeno.<<


[3]EstecálculoparecequeeselqueNewtonrealizóhacia1666.ElEscolioseañadeenlaterceraedición.EstaProposición,deresponderaestaconjetura,habríasidolaprimerade todas lasqueNewtonseautoformuló, aunqueno fuera satisfactoriaporlos«malos»datosmanejados.Estotampocoesmuyseguro.NewtonconocíavaloresparaelsemidiámetroterrestreyparaladistanciadelaLunamuycercanosalasqueaquímaneja.Snellyaen1617habíafijadoen66jmillasinglesaselvalordelgradodelatitud.VarenenlaGeografíaqueeditóNewtondaunosdatoserróneosqueNewtoncorrigedeacuerdoconlosvaloresdeSnell.<<


[4]Convendríaadvertiral lectorqueNewtonnosólo introduceaquí lagravedad—previalalicenciaqueseautoconcedeenelEscoliodelaProposiciónanterior—sinoquetambién,aunqueenunciadocondicionalmente,introduceelvacíoentrepartículas.EnlasegundaediciónañadiólaúltimafrasedelCorolario3ytodoelCorolario4,enel que afirma que «se da de: hecho el vacío». Pero el lector puede aceptar elcondicionalono.Sinoloaceptaseveráengravesproblemas—Corolario3—ysiloacepta habrá aceptado también, junto con el vacío, unos corpúsculos, no sóloigualmente duros sino también infinitamente duros, por cuanto que su densidad, alcarecerdeporosnopuedeaumentarseytampocodisminuirseencadaunodeellos.<<


[5]Principiode laGravitaciónUniversal, formuladocomogravitaciónde todoscontodos,partescontodosypartesconpartes.DelaProposiciónanteriorydeéstacabríainferir que, puesto que se postula una unidad mínima de materia, el corpúsculo,también correlativamente habría de aparecer la unidad de acción gravitatoriacorrespondiente al corpúsculo. Y aunque no fuese empíricamente determinable(tampoco lo era el corpúsculo ni sumasa en elmomento)Newton no se atrevió apostularesaunidaddeaccióngravitatoria.Hacerlohubierasignificadoaceptarquelagravedadesunasumadeimpulsos,conlosproblemasanexos.<<


[6]Tenía5Corolariosque fueronobjetode revisionesy sucesivos cálculos.De losCorolarios1y2hizoelCorolario1ydelosotros,siempreconcorrecciones,hizolosCorolarios2,3y4delaterceraedición.Lamayorpartedeloscambiosserefierenalasdistintasmagnitudesaparentesdelosdiámetros,laselongaciones,etc.,debidasaCassini, Flamsteed, Riccioli, Vandelin, etc., y los cálculos que con esas bases lepermitíanatribuirpesos,densidades,etc.alosdiferentescuerposcelestes.Peroel5.ºCorolario,transformadoenel4.ºactual,decía:«Perolasdensidadesdelosplanetasestán entre sí casi en razón compuesta de la razón de las distancias al Sol y de larazón de las raíces cuadradas (ratio dimidiata, correg. a subduplicata) de losdiámetrosaparentesvistosdesdeelSol.Asaber, lasdensidadesdeSaturno,Júpiter,Tierra y Luna de 60, 76, 387 y 700, son casi como los inversos de las distancias1/9538, 1/5201, 1/1000 y 1/1000 multiplicado por las raíces de los diámetrosaparentes18″,39½″,40″y11″.YadijimosenelCorolario2quelagravedadenlasuperficiedelosplanetasestámuyaproximadamenteenrazóndelaraízcuadradadelasdistanciasaparentesvistasdesdeelSol;yenelLema IVquelasdensidadessoncomo dichas gravedades divididas por los diámetros verdaderos: y por tanto, lasdensidades son casi como las raíces de los diámetros aparentes divididas por losdiámetrosaparentes,estoes,inversamentecomolasdistanciasdelosplanetasalSolmultiplicadas por las raíces de los diámetros aparentes. Por tantoDios situó a losplanetas a diferentes distancias del Sol para que cada uno, según el grado dedensidad,disfrutasedeungradomayoromenordecalorsolar».NewtoneliminólareferenciadirectaaDios,aunqueno la indirecta: siguediciendoque:«…habíaquesituaradistintasdistanciasdelSolalosplanetasparaquecadauno…».<<


[7]IntroducidoJuntoconlaúltimafrasedelCorolario2,enlasegundaedición.<<


[8] Respecto a lasmedidas que aparecen en esta Proposición, y a sus autores, haycambios abundantes pero mínimamente relevantes para el argumento. Noorwood,Picard,Cassinisonmedidoresdelarcodemeridiano.Susvalorescomparadosconlosteóricos,yconlospendulares,permitenaNewtonestablecerconsuficientegarantíasusconclusionesrespectoalarelaciónentreejesterrestres.

Por otra parte es éste uno de los test a que sería sometida la teoría de Newton yoriginó las expedicionesmedidorasdel «grado» terrestre en el sigloXVIII,Clairant,MaupertuisynuestrosJorgeJuanyUlloa.<<


[9] Aunque son numerosas las correcciones introducidas por Newton tanto para lasegunda edición comopara la tercera, nomerecenmayor atención aquí por cuantoseríadescenderadetallesmínimos.

No obstante, a veces, introduce o suprime alguna frase que vale la pena tenerpresente.Acontinuacióndelpárrafoqueconcluyecon«hacialospolos»,decíaenE2:

«YqueladesigualdaddelosdiámetrosdelaTierrasepuedeinferirmásfácilymásciertamentemedianteexperimentospendularesoinclusomedianteloseclipsesdelaLuna,quemediantearcosgeográficamentemedidosenelmeridiano.

EstoesasíbajolahipótesisdequelaTierraconstademateriauniforme.Puessi lamateriafuesehaciaelcentroalgomásdensaqueenlasuperficie,lasdiferenciasdelospéndulosydelosgradosdemeridianoseránalgomayoresqueenlatablaanterior,debido a que si lamateria sobrante hacia el centro con la cual la densidad es allímayor se resta y se considera por sí misma, la gravedad hacia la Tierra restanteuniformementedensa, será inversamentecomo ladistanciadelpesoal centro;perohacia lamateria redundante será inversamente como el cuadrado de la distancia adichamateria,muyaproximadamente.LuegolagravedadenelEcuadorhaciadichamateria redundante es menor que en lo computado anteriormente; y por tanto, laTierraallí,porladisminucióndelagravedadsubeunpocomásalta,yelexcesodelaslongitudesdelospéndulosydelosgradoshacialospolosseránalgomayoresdeloquesedefinióanteriormente».

Estasyotrasconsideracionesfueronsuprimidasenlaterceraedición.

Lasdemásmodificacionesestánrelacionadasconlasmedidasysusdiferentesformasyexactitudes,peromuestranlaamplituddesuinformaciónysuinterésporlosdatosobservacionales.<<


[10]Denuevoelproblemade los trescuerpos.La teoríade laLunaesunejemplo.Pero Newton disponía de otros, Sol, Júpiter, Saturno; Júpiter y sus satélites, etc.Intentos posteriores tampoco han alcanzado una solución totalmente satisfactoria,pese a los nombres que han dado amplia bibliografía al problema: D’Alambert,Clairaut,Euler,Lagrange,Laplace,etc.<<


[11] Este Escolio y la «Carta» de Machín fueron incluidos en la tercera edición,aunque nada añaden que fuese nuevo a esas alturas de los cálculos y de lasobservaciones disponibles. Pero sus disputas con Flamsteed y otros clientelismospudierandaralgunarazóndeestainclusión.<<


[12] En la primera edición este Escolio era más breve y se detenía en mostrar laproximidadolejaníaentrevalorescalculadosyobservados.Peroambasadolecíandeinexactitudes,yporelloestenuevointento,enelqueNewtonponedemanifiestolasposibilidadesqueencierralateoríadelagravitación.Lafraseintroductorianodejadeseradmirable:«quelosmovimientoslunarespuedancalcularsemediantelateoríadelagravedadapartirdesuscausas»,esdecir,delanaturalezadelagravedadqueesuna causa de movimiento y, por tanto, más que un fenómeno cuyos valoresmatemáticossehallanrecogidosenlateoría.EnrealidadtodoesteEscolio,pesealasperífrasis y cautelas verbales, destila el convencimiento de que la gravedad es unafuerzaycausademovimientoynounameracondiciónmatemáticadelacinemáticade los cuerpos celestes. En suma, que existe, actúa como causa y semide por susefectos.Peronosesabecuálessunaturaleza.<<


[13]EntodaestateoríadelaLunadenuevoaparecenajustesenloscálculosyenlasobservacionesquevancambiandopocoapocohastalaredacciónqueaparececomotextoenlaterceraedición.Newtonsuposiemprequeelcálculodelosmovimientoseinteracciones entre Luna, Tierra y Sol no era preciso. En definitiva, se trataba delproblemadelostrescuerposenunauotraforma.Poresonuncadejódemanoestetemay,loqueellectorpuedehallarapiedepáginaenlaedicióndeKoyré-Cohen,son losrestosydeshechosdeese trabajoconstanteconesteproblema.Quizácreyóqueunasbuenasobservacionespodríanresolverelproblema(Flamsteedfueunpocovíctima de esa necesidad newtoniana), pero eramás bien la premisa de sumétodomatemático la que hubiera de haber revisado aquí. Aunque tampoco esto habríabastado.<<


[14]EnestaediciónelLema Ide laprimerasesubdividióendos (Lemas I y II).ElLemaIIpasóentoncesaLemaIII,mientraselLemaIIIseconvierteenHipótesisII.<<


[15]Hayotro largoarregloenestaProposiciónquerespondea losmismosmotivos.Newton cambió su organización argumental de acuerdo con los nuevos datosmejorados.<<


[16]SeañadeelCorolario4quenoaparecíaenlaprimeraedición.<<


[17]TantoelCorolariocomoelEscolionoaparecíanenlaprimeraedición.<<


[18] Antes de pasar a la segunda tabla en la primera edición añadía: «En estasobservaciones Flamsteed puso tanto cuidado que después de observar dos veces ladistanciadelcometaaunaestrellafija,yluegootravezporduplicadoladistanciaaotraestrellafija,volvíaalaestrellaprimerayobservabadenuevoladistanciahastaella del cometa, y esto también dos veces; y después a partir del incremento odecrementoproporcional al tiempode sudistancia, infería la distanciamedia en eltiempo intermedio, cuando observaba la distancia a la otra estrella. Flamsteedprimeroparticipóalosamigosloslugaresdelcometacalculadosrápidamenteapartirdeestasobservaciones,ydespuésreexaminadosdenuevoconcálculosmáscuidadosloscorrigió.Nosotroshemospropuestoaquíloslugarescorregidos».

Haydesdeluegoalgunasvariantesenlascolumnas2.a,4.ay5.atantoparalasegundacomoparalaterceraedición.Ytambiénhayalgunasmínimasvariantesparalatablasegunda, fruto, tanto unas como otras de correcciones introducidas en los cálculosprimitivos.

Peroesdignodenotarsequeenmediodetodasestascorreccioneshayunacuestiónhistórica de cierto interés para los historiadores. Flamsteed y Newton habíanintercambiadocartassobreloscometasysustrayectoriasdesdeantesde1648-1685yenesacorrespondenciafueFlamsteedquienadelantólaideadequesetratabadeunsolo cometa que se veía antes de y después de pasar por el Sol. Ahora Newtonaprovecha la ocasiónpara apartar aFlamsteed del centro de la historia y, por ello,diluyecuantopuedeosuprimelasreferenciasalmismo.Así,porejemplo,suprimióun párrafo que seguía a la exposición de sus propias observaciones que decía:«Además, comoel ilustreFlamsteed en cierta ocasiónme arguyópor carta, que elcometa aparecido en el mes de noviembre era el mismo cometa de los mesessiguientes y trazase una trayectoria nomuy diferente de esta órbita parabólica,mepareció oportuno calcular, los lugares del cometa en elmes de noviembre en estaórbitaycompararlosconlasobservaciones.Lasobservacionessoncomosigue».

Porlodemásrecordemosquelaunidaddelcometade1680-1681lefuesugeridaporFlamsteedvíaCrompton.Deellohaybuenaconstanciaenel«WasteBook».<<


[19] Tras este último ejercicio comprobatorio y las conclusiones a que llega, buenoseráqueellectorconozcaelfinalquecoronabaeltextoantesdelEscoliogeneralyquedecía(añadidoenlasegundaedición):

«PuesaldecrecerelcuerpodelSol,losmovimientosmediosdelosplanetasentornoalSolpocoapocoseretardan,yalcrecerlaTierraelmovimientomediodelaLunapocoapocoaumentará.Ycomparadas, enefecto, lasobservacionesbabilónicasdeloseclipsesconlasdeAl-BataniyconlasactualesHalleyconcluyó,elprimeroqueyosepa,quecomparadoelmovimientomediodelaLunaconelmovimientodiurnodelaTierra,aquélseacelerabaunpoco.»Todaslasmáquinasacabandesajustándoseo buscando equilibrios dinámicos. La filosofíamecánica encontró aquí otro de sustemasclásicos.<<


[20] Existen algunas variantes para determinados párrafos que muestran lapreocupacióndeNewtonporexpresarconpropiedad,alavezqueprevenircríticas,supensamientoacercadelanaturalezaypropiedadesdeeseUno,Dios,dominador,etc. y de sus relaciones con elmundo concebido ahora como sistemao sistemadesistemas.

Antes de «Es eterno e infinito…» decía en uno de sus borradores: «Esta era lasignificacióndelaspalabrasθεοvyDeientretodoslosgriegosylatinosantiguos[ynosotros, cambiadas las significaciones de las voces, incorrectamente(corrompidamente)hablamosensuslenguas(tachadoporNewton)].Pertenece,pues,el dominio al significado de la voz Dios. Pero el Dios Summo, del que aquíefectivamentesetrataesEternoeInfinito…».

Otropárrafoenlugarde«Todohombre…»decía:«Unoyelmismosoyyodurantelavida en todos los órganos de los sentidos.Y elmismo esDios siempre y en todaspartes…».

Pero el resultado de esas dudas iniciales fue el texto principal que permanece casiintactoenlaterceraedición,sóloconretoquesdematiz.

En una de sus copias de la segunda edición añade a la última palabra del Escolio(«espíritu»)loscalificativosde«eléctricoyelástico»quenoincluyóeneltextodelatercera edición, aunque algunas traducciones dependientes de la deMotte los hanincorporado al texto principal. Finalmente, en el penúltimopárrafo de esteEscoliogeneralaparecelacélebrefrase«ethipothesesnonfingo»sobrelacualsehandadomuchasinterpretaciones.Eneltextonoofrece,creemos,dificultad:

a)Habla en un presente la primera persona que tiene valor enfático: yo nohago ficciones,yonomededicoacontar fábulas,etc. loque llevaapensarqueotrossílohacenopuedequesílohagan.

b)Las«hipotheses»soncuentos,narraciones,discursos,propuestas,teorías,olo que se quiera de carácter imaginario. Recordamos al lector que en otropasaje (Regla 3 de este Libro III) dice: «Certe, contra experimentorumtenoremsomnia temerecontingenda non sunt»,dondea las«hipotheses» selas caracteriza como «sueños» y la fabulación o fabricación de sueños-hipótesis lo denomina con la misma raíz verbal: «con-fingere». Porconsiguiente,elcontextohistóricodelas«hypotheses»enusooendesusoesel que deberá aclarar el sentido completo de tan rotunda afirmación. Conf.tambiénKoyre:EtudesNewtoniennes,págs.60ysiguientespassim.


Lasnotassiguientes:a,b,c,sonmarginalesdeNewtonypertenecenaltexto.<<


[a]Estoes,Emperadoruniversal.<<


[b]NuestroPocockderivalavoz«dei»delavozárabe«du»(yencasooblicuo«di»)quesignificaseñor.Yconestesentidolospríncipessonllamados«dii»,enelSalmoLXXXII,ver6,yenJuan,X.45.YMoisésesllamado«dios»desuhermanoAarón,y«dios»del reyFaraón (Exod. IV, 16yVII. 1).Yconelmismo sentido losgentilesllamaban«dii»alasalmasdelospríncipesmuertos,perofalsamenteporlafaltadedominio.<<


[c]Asípensabanlosantiguos,comoPitágoras,enCicer,«deNaturadeorum»,lib.I.Tales, Anaxágoras,Virgilio, Georg., lib. IV, ver 220 y «Eneida», lib. VI, ver 721.Filón, al principio del libro I de las Alegorías, Arato, al comienzo de su«Fenómenos».Así tambiénescritoressagradoscomoPablo,en«Hechos»,XVII,27,28,Juan, en Evang.,XIV. 2.Moisés, enDeut., IV. 39, y enX. 14;David, «Salm».CXXXIX.7,8,9.Salomón,en«IReyes»,VIII.27;Job,XXII.12,13,14;Jeremías,XXIII.23,24.YlosidólatrasimaginabanqueelSol,laLunaylosastros,lasalmasdeloshombresyotraspartesdelmundoeranpartedelsumodiosyporlotantohabíandeserveneradas,peroesfalso.<<


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Principios matemáticos de la filosofía natural (Principia) · 2017. 11. 12. · Sir Isaac Newton Principios matemáticos de la filosofía natural (Principia) ePub r1.0 casc 06.02.16