Elektrotehniki fakultet Univerziteta u Sarajevu Sarajevo, 31. 05. 2007. PRIPREMNI ZADACIZA

DRUGI PARCIJALNI ISPIT IZ PREDMETA INENJERSKA MATEMATIKA 2 Akademska 2006 / 2007. godina IME I PREZIME STUDENTA : ............................................................... BROJ INDEKSA : ................................................................................. MATINI BROJ : .................................................................................. NASTAVNA GRUPA (BROJ) : ................................................................ VLASTORUNI POTPIS STUDENTA : ....................................................

UPUTSTVO:1. Za svaki od prva etiri zadatka koja budu postavljena na prvom parcijalnom ispitu iz IM2 bit e ponuena etiri odgovora od kojih je samo jedan taan. Rijeite te zadatke, a zatim za svaki od zadataka koji budete rijeili zaokruite redni broj pod kojim je naveden taan odgovor za taj zadatak . Zaokruivanje vie od jednog odgovora vrednuje se kao i netaan odgovor. Svaki taan odgovor se boduje sa po 2,5 boda, a svaki netaan odgovor se vrednuje sa po 0 bodova. Ukoliko se ne zaokrui niti jedan od ponuena etiri odgovora, za taj zadatak student ostvaruje 0 bodova. 2. Rijeite detaljno peti zadatak ( zadatak s otvorenim odgovorom ) koji bude zadan na prvom parcijalnom ispitu iz IM2 . Tano uraen taj zadatak donosi 10 bodova. Boduju se i tano uraeni dijelovi tog zadatka (pri tom bodovanju najmanja jedinica mjere je 0,5 bodova). Rezultati drugog parcijalnog ispita iz IM2: Zad. 1. ...... ....... Zad. 2. ...... ...... Zad. 3. ...... ....... Zad. 4. ...... ....... Zad. 5. ....... ____________________________ Ukupan broj ostvarenih bodova: Sarajevo, ............ 2007. Predmetni nastavnik: _______________________ Van. Prof. Dr. Huse Fatki

2

PRIPREMNI ZADACI 1:Zad. 1. Odredite Fourierov integral i Fourierovu transformaciju funkcije f zadane formulom 0, t > 1, f (t ) = 1, t 1, pa na osnovu dobijenih rezultata izraunajte nesvojstveni Riemannov integral: sin d . 0

(Ili: Zad.1.' Odredite Fourierov integral i Fourierovu transformaciju funkcije f zadane formulom 0, t < 0, f (t ) = t e , t 0, > 0. Zad.1.'' Rijeite Cauchyjev problem: x '' y '' + y ' x = et 2, 2 x '' y '' 2 x ' + y = t , x(0) = y (0) = x '(0) = y '(0) = 0. Zad.1.''' Naite inverznu Laplaceovu transformaciju funkcije F(z): = Zad.1.'''' Naite funkciju ija je Laplaceova transformacija2z ( z + 1) 22

.

F ( z ): =

2 .) z ( z + 1) 22

Zad. 2. Izraunajte dvojni integral funkcije f zadane formulom

f ( x, y ) = 1 x 2 y 2 na oblasti D ( R2 ) ogranienoj krivom ija je jednaina x 2 + y 2 = 1 . (Ili: Izraunajte integral

D

1 x2 y2 dxdy , gdje je D = {(x, y) R2: x 2 + y 2 1, y 0 }.) 2 2 1+ x + y

Zad. 3. Izraunajte povrinu oblasti D ( R2 ) ograniene krivom zadanom jednainom (ax + by + c )2 + (dx + ey + f ) 2 = 1 , gdje je ae bd . (Ili:1 1

Izraunajte povrinu oblasti D, koja je ograniena linijom ija je jednaina (ax) 2 + (by ) 2 = 1 i pravcima ije su jednaine ax = by, 4ax = by (a > 0, b > 0) .)Zad. 4. Primjenom dvojnog ili trojnog integrala izraunajte volumen tijela V omeenog povrima: z = x 2 + y 2 , z = 2 x 2 + 2 y 2 i z = 4. (Ili: Izraunajte zapreminu oblasti, koja je ograniena s povri ija je jednaina ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 = a 2 x (a 0) . )

3Zad. 5. Neka je f * tzv. pilasta (saw-tooth) funkcija koja je 2 - periodiko proirenje fukcije y = f (x) zadane formulom

x, x ( , ), f (x) = 0, x = x = , kao na slici:

a) Pronaite Fourierov red za zadanu funkciju f*. (1) n 1 (Rezultat. f *( x) = 2 sin nx za svaki x R ). n n=1

b) Odredite Fourierovu transformaciju funkcije f koja je proirenje zadane funkcije f tako da je f (x) = 0 za svaki x R \ [ , ] . c) Odredite (ili ustanovite da se ne moe odrediti, odnosno da ne postoji) Fourierov integral zadane funkcije f*. (Ili: Zad.5.' a) Naite jedinine vektore prirodnog trijedra prostorne krive zadane parametarskim jednainama x = t, y = t 2 , z = t3 u taki odreenoj sa t = 1, a zatim napiite jednaine tangente, glavne normale i binormale zadane krive u toj taki. b) Naite jednainu oskulatorne ravnine krunice zadane jednainama x 2 + y 2 + z 2 = 6, x + y + z = 0 u njenoj taki M(1; 1; -2). Zad.5.'' a) Izraunajte krivolinijski integral 2 2 y dx + x dy,C

gdje je C gornja polovina elipse x = a cos t , y = b sin t , koja se prelazi u smislu gibanja kazaljke sata. b) Izraunajte trojni integral2 2 2 x + y + z dx dy dz , (V )

gdje je V kugla sa sreditem u taki (0,0,0) radijusa R, R > 0. (Rezultat: R 4 . Uputa. Izvriti prijelaz na sferne koordinate transformacijom: x = cos cos , y = cos sin , z = sin .)

4

PRIPREMNI ZADACI 2:Zad. 1. Rijeite sistem diferencijalnih jednaina: dx 3t 2 x y + z = 0 dt dy 2t x 3 y z = 0 dt dz 6t + x 7 y 5 z = 0. dt (Ili: Zad. 1.' Rijeite Cauchyjev problem x IV + 2 x' '+ x = t , x(0) = x' (0) = x' ' (0) = 0, x' ' ' (0) = 1.

Zad. 1.'' Naite funkciju ija je Laplaceova transformacija (Laplaceov transformat) : 4 F ( z) : = 3 z + 4z Zad. 2. Laplaceovom transformacijom rijeite Cauchyjev problem drugog reda: y ''+ y = sh x, y (0) = 1, y '(0) = 0. Zad. 3. Laplaceovom transformacijom rijeite diferencijalnu jednainu drugog reda, ija je desna strana step funkcija: y ''+ y = ( x + ) ( > 0), y (0) = 0, y '(0) = 1. gdje je (t) tzv. Heavisideova funkcija, definirana formulom: 0, za t < 0, (t ) = 1, za t 0. (Napomena. Ako posebno nije naznaeno, uvijek pretpostavljamo da za original f (jednostrane) Laplasove transformacije vrijedi da je f (x) = 0 za svaki x< 0. U suprotnom, njenu Laplaceovu transformaciju uvijek definiramo formulom L( f ( x)) ( z ) : = L(( x) f ( x))( z ), gdje je ( x) Heavisideova funkcija.) Zad. 4. Koristei razvoj funkcije f ( x) = x 2 , 0 < x < 2 , u Fourierov red, izraunajte graninu vrijednost x2 lim . 2 2 x n =1 1 + n x Zad. 5. Zadana je stepenasta periodika (square-wave) funkcija f proirenje fukcije y = f (x) definirane formulom: 1, za x ( ,0), f (x) = 0, za x = 0, 1, za x (0, ], kao na slici:*

koja je 2 - periodiko

5

yy = f* (x)

1 0

x

1

a) Razvijte zadanu funkciju f* u Fourierov red. (Rezultat: Fourierov red te funkcije je red funkcija: 4 1 1 1 4 1 (sin x + sin 3 x + sin 5 x + sin 7 x + ...) = sin (2n 1) x .) n = 1 2n 1 3 5 7 b) Odredite (ili ustanovite da ne postoji) Fourierov integral zadane funkcije f*. c) Odredite Fourierovu transformaciju funkcije f koja je proirenje zadane funkcije f tako

da je f (x) = 0 za svaki x R \ (- , ] .(Ili:Uradite kao pod a) i b) za tzv. parnu pilastu (parni saw-tooth) funkciju f* koja je 2 periodiko proirenje funkcije f zadane formulom f ( x) = x , x [ , ] , te kao pod c) za

funkciju f koja je proirenje zadane funkcije f tako da je f (x) = 0 za svaki x R \ [ - , ] . Zatim primjenom jednog od dobijenih rezultata dokaite da je 1 2 = 1 (2n 1)2 8 . ) n= (Napomena. Za funkciju f* : R R kaemo da je T periodiko proirenje/produenje funkcije f : I R ako vrijedi f* (x) = f(x) za svaki* x I i ako je f* T periodika funkcija (tj. ako je f* periodina funkcija osnovnog (temeljnog) perioda T), gdje je I : = < a, b > razmak u R, tj. I R je zatvoreni, poluzatvoreni (poluotvoreni) ili otvoreni interval u R, odnosno I je bilo koji od razmaka [ a, b], [a, b), (a, b], (a, b), a T je duina razmaka I, tj. T : = b a.)

________________________* Ako razmak I : = < a, b > sadri bar bar jednu od taaka a i b, onda se esto T periodiko proirenje f* funkcije

f : I R definira tako da u toj/tim takama ima vrijednost

f (a + 0) + f (b 0) . 2