PrismasMódulo 21 – Frente 4

Apostila 3Teoria – pág. 20 e 21Exercícios – pág. 30

O prisma e suas formas

O prisma e suas formas Observe os objetos abaixo. Todos têm forma de

poliedro, mas apresentam algumas características comuns. Eles estão associados a um tipo de poliedro muito especial: o prisma.

Definição Observe a animação.

r

O conjunto de todos esses segmentos é um sólido poliédrico chamado prisma.

Elementos principais do prisma

O prisma tem dois tipos de faces

AB C

D

EF

A’

B’ C’D’

E’F’

bases (polígonos congruentes).

faces laterais (paralelogramos).

Superfície total do prisma é a união da superfície lateral com as duas bases do prisma.

Elementos principais do prisma

O prisma tem dois tipos de arestas

AB C

D

EF

A’

B’ C’D’

E’F’

arestas das bases(AB, A’B’, ..., FA, F’A’).

arestas laterais(AA’, BB’, CC’, ... ,FF’ ).

Elementos principais do prisma

h

AB C

D

EF

A’

B’ C’D’

E’F’

A distância h entre as duas bases do prisma é a altura do prima.

Nomenclatura dos prismas Um prisma é classificado pelo tipo de polígono que

constitui suas bases.

P. hexagonalhexágono

P. pentagonalpentágono

P. quadrangularquadrilátero

P. triangulartriângulo

PrismaPolígonos das bases

Veja alguns desses prismas

Prisma triangular Prisma Pentagonal

Classificação dos prismas Um prisma pode ser classificado, também, pela

posição das arestas laterais em relação ao plano da base.

Dizemos que ele é:

prisma reto, se as arestas laterais são perpendicu-lares aos planos das bases;

prisma oblíquo, se as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.

Nos prismas retos, as arestas laterais são alturas e as faces laterais são retângulos.

Classificação dos prismas

Prisma triangular reto

Prisma Pentagonal

oblíquo

hh

Prisma regular Todo prisma reto cujas bases são polígonos

regulares é chamado de prisma regular.

O prisma é reto eABC é triângulo eqüilátero

⇒

A

B

C

Prisma triangular regular

O prisma é reto e aBase é hexágono regular

⇒

Prisma hexagonal regular

Prisma quadrangulares

Prismas quadrangulares Todo prisma cujas bases são paralelogramos é

chamado paralelepípedo.

Paralelepípedo

Prismas quadrangulares Se as bases de um paralelepípedo reto são

retângulos, ele é chamado paralelepípedo reto-retângulo ou paralelepípedo retângulo.

Paralelepípedo retângulo ou ortoedro

Prismas quadrangulares Se todas as arestas de um paralelepípedo

retângulo são congruentes entre si, ele é chamado cubo ou hexaedro regular.

Cubo ou hexaedro regular

Estudo geral do prisma

Estudo geral do prisma Vamos aprender a calcular áreas e volumes em

prismas quaisquer. Em geral. Vamos considerar prismas retos em que

As arestas laterais são alturas; As faces laterais são retângulos;

A

B

C

Áreas no prisma No prisma as áreas.

Área Lateral (AL) – Soma das áreas dos retângulos;

Área da base (AB) – Área do polígono da base;

Área total (AT) – Soma da área lateral com as bases

AT = AL + 2AB

Exemplo A figura a seguir mostra um prisma triangular reto,

com as dimensões indicadas. Calcular a área lateral e a área total desse prisma.

3

5

64

AL = 3.6 + 4.6 + 5.6AL = 18 + 24 + 30 = 72

AB = (3.4)/2 = 6

AT = AL + 2.AB

AT = 72 + 2.6 = 84

Exemplo Num prisma hexagonal regular, a altura mede 6 m e a

área de cada base é 24√3 m2. Achar sua área lateral.

x

6

A = 24√3 ⇒

23x2√3 = 24√3

⇒ x2 = 16

⇒ x = 4

Af = b.h ⇒ Af = 4.6 = 24

AL = 6.Af ⇒ AL = 6.24 = 144 m2

Princípio de Cavalieri

Princípio de Cavalieri Bonaventura Cavalieri nasceu na Itália, no final do

século XVI. Discípulo de Galileu, ele deixou contribuições importantes nas áreas de óptica e geometria.

Princípio de Cavalieri Dados dois ou mais sólidos apoiados em um

mesmo plano , se

Todos têm a mesma altura; Todo plano paralelo a e que corte os sólidos

determina, em todos eles, seções planas de mesma área;

Então os sólidos têm o mesmo volume.

Princípio de Cavalieri A figura abaixo ilustra o princípio de Cavalieri.

Volume do prisma Vamos deduzir uma fórmula para o cálculo do

volume do prisma. Para isso, vamos aplicar o princípio de Cavalieri.

V = AB.h

h60º

Exemplos As bases de um prisma oblíquo são retângulos cujos

lados medem 5 cm e 4 cm. Suas arestas laterais medem 6 cm e formam, com o plano da base, ângulo de 60º. Achar o volume do prisma.

6

45

Exemplos O volume de um prisma hexagonal regular é igual a

486 cm3, e sua altura é igual ao apótema da base. Calcular sua área total.

L

h

Paralelepípedos e CubosMód. 22 – Frente 4

Apostila 3Teoria – pág. 21 e 22Exercícios – pág. 31

Estudo do cubo

Estudo do cubo O cubo é o mais simples dos prismas. Ele é um

prisma quadrangular regular, cujas faces são quadrados congruentes. Por isso qualquer de suas faces pode ser considerada como base.

a → medida de cada uma das arestasa

aa

a

aa

Diagonais no cubo Num cubo, distinguimos dos tipos de diagonais.

a → medida de cada uma das arestas

d

Dd → diagonal da face

D → diagonal do cubo

Diagonais no cubo Obtendo os valores d e D em função da medida a

da aresta.

a

aa

d

D

a

d2 = a2 + a2

⇒ d = 2a2

⇒ d = a√2

Diagonais no cubo Obtendo os valores d e D em função da medida a

da aresta.

a

aa

d

Da

D2 = a2 + d2

⇒ D = a2 + 2a2

⇒ D = 3a2

⇒ D = a√3

Área da superfície total do cubo Planificando a superfície total de um cubo de

aresta a, obtemos a figura.

aa

a

a

a

a

a

AT = 6a2

Exemplo A área da superfície total de um cubo é 54 cm2. Obter

a medida da diagonal da face e da diagonal do cubo?

AT = 6a2 ⇒ 6a2 = 54 ⇒ a2 = 9 ⇒ a = 3

d = a√2 ⇒ d = 3√2

D = a√3 ⇒ D = 3√3

O cubo como unidade de volume Se considerarmos a medida da aresta de um cubo

como unidade de medida de comprimento, a medida do volume desse cubo é a unidade de volume.

V = 1 u3

1 u1 u

1 u1 u

Definida a unidade de comprimento, a unidade de volume fica automaticamente definida.

O cubo como unidade de volume Se considerarmos a medida da aresta de um cubo

como unidade de medida de comprimento, a medida do volume desse cubo é a unidade de volume.

V = 1 u3

1 u1 u

1 u1 u

Se a unidade de comprimento é 1 m, a unidade de volume é 1 m3.

Se a unidade de comprimento é 1 dm, a unidade de volume é 1 dm3.

Volume O volume de um sólido qualquer, numa certa

unidade, é um número que indica quantas vezes o cubo de volume unitário “cabe” naquele sólido.

Considerando o cubo da primeira figura como unidade de medida. Seu volume é 1 u3. qual o volume dos sólidos abaixo?

V = 1 u3 V = 9 u3 V = 11 u3

Volume do cubo Analise as três figuras a seguir.

a = 1 uV = 1 u3

a = 2 u a = 3 uV = 23 = 8 u3 V = 33 = 27 u3

De uma maneira geral, o volume de um cubo cuja aresta mede a é

V = a3

Exemplo Uma diagonal de um cubo mede 6 m. Calcular a área

da superfície total e o volume desse cubo?

D = a√3 ⇒ a√3 = 6 ⇒ a = √3

6 ⇒ a = 2√3 m

AT = 6a2 ⇒ AT = 6.(2√3)2 ⇒ AT = 72 m2

V = a3 ⇒ V = (2√3)3 ⇒ V = 24√3 m3

Estudo do Paralelepípedo retângulo

Estudo do paralelepípedo retângulo O paralelepípedo retângulo é um prisma

quadrangular. Suas faces são duas a duas congruentes.

a, b e c → As dimensões do paralelepípedo.

ac

b

Suas doze arestas são quatro a quatro congruen-tes. As medidas dessas arestas são as dimensões do paralelepípedo.

ba

Diagonal do paralelepípedo Diagonal de um paralelepípedo é todo segmento

cujos extremos são dois vértices não-pertencentes a uma mesma face.

d → diagonal da face inferior

D → diagonal do paralelepípedo

c

d

D

b

a

Cálculo da diagonal do paralelepípedo Obtendo o valor de D em função das dimensões a,

b e c do paralelepípedo.

c D

d2 = a2 + b2 e D2 = d2 + c2

d

D2 = a2 + b2 + c2 ⇒ D = √a2 + b2 + c2

Exemplo O comprimento e a largura de um paralelepípedo

medem 12 cm e 4 cm. Uma de suas diagonais mede 13. Obter a medida de sua altura?

D = √a2 + b2 + c2 ⇒ 13 = √122 + 42 + c2

⇒ 169 = 144 + 16 + c2 ⇒ c2 = 169 – 160

⇒ c2 = 9 ⇒ c = 3

Área da superfície total do paralelepípedo Planificando a superfície total de um

paralelepípedo de dimensões a, b e c obtemos a figura.

ac

b

a

b

c

ab

ab

ac

ac

bc bc

AT = 2ab + 2ac + 2bc

AT = 2(ab + ac + bc)

Exemplo A área da superfície total de um paralelepípedo é 248

cm2. suas dimensões são proporcionais a 2, 3 e 5. Calcular a medida da diagonal do paralelepípedo?

As dimensões a, b e c são proporcionais a 2, 3 e 5 indica que a = 2k, b = 3k e c = 5k.

AT = 248 ⇒ 2(ab + ac + bc) = 248

⇒ ab + ac + bc = 124

:(2)

⇒ 2k.3k + 2k.5k + 3k.5k = 124

⇒ 6k2 + 10k2 + 15k2 = 124 ⇒ 31k2 = 124⇒ k2 = 4 ⇒ k = 2

Exemplo A área da superfície total de um paralelepípedo é 248

cm2. suas dimensões são proporcionais a 2, 3 e 5. Calcular a medida da diagonal do paralelepípedo?

Logo a = 4, b = 6 e c = 10.

D = √42 + 62 + 102

D = √16 + 36 + 100

D = √152

D = 2√38

Volume do paralelepípedo retângulo Analise as duas figuras a seguir.

cubo unitárioV = 1 u3

V = 5.3.4 = 60 u3

5 u3 u

4 u

De modo geral, o volume de um paralelepípedo de dimensões a, b e c é dado por

V = a.b.c

Observação Podemos interpretar o volume de um

paralelepípedo retângulo de outra forma. Veja a figura a seguir.

V = abc

V = AB.h

ab

c

A = ab

= (ab)c = (área da base) . (altura relativa)

Exemplos Uma caixa d’água tem forma de paralelepípedo

retângulo. Suas dimensões internas são 1,2 m, 2,5 m e 0,8 m. Obter sua capacidade, em litros?

A capacidade de uma caixa é o volume de água que cabe nela.

V = abc = 1,2 . 2,5 . 0,8 = 2,4 m3

Sabemos que 1 m3 = 1 000 dm3 e que 1 L = 1 dm3.

V = 2 400 dm3 = 2 400 L

Exemplos Uma das dimensões de um paralelepípedo é

aumentada em 20%; outra, aumentada em 30%; a terceira em 10%. O que ocorre com o volume do paralelepípedo?

Suponhamos que as dimensões sejam x, y e z. Então, o volume original é V = xyz.

Se x aumenta 20%, a nova dimensão passa para 1,2 x.

Se y aumenta 30%, a nova dimensão passa para 1,3 y.Se z aumenta 10%, a nova dimensão passa para 1,1 z.

V’ = 1,2x . 1,3 y . 1,1 z = 1,404.xyz = 1,404.V

Concluímos que o volume aumenta 40,4%.