Prob Integral Es in Defini Das

7/21/2019 Prob Integral Es in Defini Das

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INTEGRALES INDEFINIDAS. Problemas con Solucion.

Nota:En todas las soluciones hay que anadir unaconstantek ya que la primitiva es un conjuntode funciones que se diferencian entre s por una constante. Tan solo se especifica la constantek enel primer problema, en los demas se sobreentiende pero se omite por brevedad. Tambien, utilizamos

la letra c para una constante de integracion.

1)Calcula las integrales:

a)

x3dx; b)

3

x3dx; c)

(2x3 + 5

x)dx; d)

x3(2

x 3)dx.

Solucion:

1a)2x5/2

5 +k; 1b) 3

2x2+k; 1c)

10

3x3/2 +

x4

2 +k; 1d) 3

4x4 +

4

9x9/2 +k.


a)

(x3 + 1)3dx; b)

x(x2 + 1)4dx; c)

(x+ 3)2(x2 + 1)dx.

Solucion:

2a)x+3

4x4 +

3

7x7 +

1

10x10; 2b)

1

10(1 +x2)5; 2c)9x+ 3x2 +

10

3x3 +

3

2x4 +

1

5x5.


a)

1

(2x 1)3 dx; b)

x 2x3 3

x dx; c)

(2 + 3x)3

2x dx.

Solucion:

3a) 1(2x 1)2 ; 3b)

4

7x7/6 +

1

5x5/3; 3c)

1

2

9x(4 + 3x+x2) + 8 ln x

.


a) x(2 +x2)3

dx; b) cos x sen 2xdx; c) ln xx

dx.

Solucion:

4a) 14(2 +x2)2

; 4b)1

3sen 3x; 4c)

1

2ln2 x.


a)

sen x

1 + cos xdx; b)

2tan x

cos2 xdx; c)

2cosx sen xdx.

Solucion:

5a) ln(1 + cos x); 5b)12

tan2 x; 5c) 2cosxln 2

.

1


2/5

6)Calcula las siguientes integrales de modo inmediato o mediante una simple sustituci on:

a)

2x31 +x4

dx; b)

xexdx; c)

x sen(x2 )dx.

d)

x1 +x4 dx; e)

24 x2 dx; f)

x4 x2 dx.

g)

(x2 +x+ 1)/

xdx; h)

x3

6 x2 dx; i)

2x+ 4x2 + 4x+ 2

dx.

Solucion:

6a) 12

ln(1 +x4); 6b)1

2ex

2

; 6c) 12

cos(x2 ) =12

cos(x2).

6d)1

2arctan(x2); 6e)2arcsen(x/2); 6f)

4 x2.

6g)

2

315x(315 + 210x+ 189x2

+ 90x

3

+ 35x

4

); 6h) 3

4(6 x2

)

2/3

; 6i)2

x2

+ 4x+ 2.

7)Halla las siguientes integrales mediante cambio de variable o integrando por partes:

a)

x

sen 2(x2)dx; b)

ln xdx; c)

x ln xdx.

d)

ln2 xdx; e)

ex

1 +e2xdx; f)

x2exdx.

g) e2x cos xdx; h) tan x

cos2

x

dx; i) arctan xdx.

j)

1

x cos2(ln x)dx; k)

x cos xdx; l)

log2

10x

x dx.

Solucion:

7a) 12

cot(x2); 7b)x(ln x 1); 7c)14

x2(2ln x 1).

7d)x(ln2 x 2 ln x+ 2); 7e) arctan(ex); 7f)ex(2 2x+x2).

7g)1

5e2x(2cos x+ sen x); 7h)

1

2tan2 x+k =

1

2cos2 x+c; 7i)x arctan x 1

2ln(1 +x2).

7j) tan(ln x); 7k)x sen x+ cos x; 7l) ln3

x3 ln2(10)

.

8)Calcula las integrales racionales siguientes:

a)

x4 9

x+ 2dx; b)

2

2 +x+x2 dx; c)

2x+ 1

x3 x2 x+ 1 dx.

d)

x3

(x+ 2)3dx; e)

2x+ 1

x3 +xdx; f)

x3

4x3 + 8x2 x 2dx.

g)

1(x2 + 1)(x2 + 4)

dx; h)

3x+ 1x2 + 2x+ 3

dx;

2


3/5

Solucion:

8a) 100/3 8x+ 2x2 2x3/3 +x4/4 + 7 ln(2 +x); 8b) 23

(ln(x 1) ln(x+ 2)) ;

8c)

1

4

ln(x 1) ln(x+ 1) 6

x 1 ; 8d)x 4(5 + 3x)

(x+ 2)2 6ln(x+ 2);8e)2 arctan(x) + ln x 1

2ln(1 +x2); 8f)

1

240(60x 128ln(x+ 2) + 3 ln(2x 1) + 5 ln(2x+ 1)) ;

8g)1

3arctan(x) 1

6arctan(x/2); 8h)

3

2ln(x2 + 2x+ 3)

2 arctan

x+ 1

2

9)Halla las siguientes primitivas de funciones trigonometricas:

a) sen 3xdx; b) cos4(2x)sen 3(2x)dx; c) cos5 x

sen3

x

dx.

d)

tan3 xdx; e)

sen 2xdx; f)

sen 2x cos2 xdx.

g)

cos2 x

1 + sen 2xdx; h)

1

1 + 3 cos xdx; i)

1 cos x

1 + cos xdx;

Solucion:

9a) 34

cos x+ 1

12cos(3x); 9b) 1

10cos5(2x) +

1

14cos7(2x);

9c)

1

2

cos2 x

2ln(sen x)

1

2sen2

x

; 9d)1

2

tan2 x+ ln(cos x);

9e)x

21

4sen(2x); 9f)

x

8 1

32sen (4x); 9g)

2 arctan(

2tan x) x;

9h) 1

2

2

ln

2 + tan(x/2) ln 2 tan(x/2) 9i)2tan(x/2) x

10)Halla las siguientes primitivas de funciones irracionales con los cambios que se indican:

a)

r2 x2dx; x= r sen t; b)

1

x2

4 +x2dx; x= 2 tan t;

c)

x2

x2 4 dx; x= 2 sec t; d)

x22x x2 dx; x 1 = 2 sen t;

Solucion:

10a)1

2

x

r2 x2 +r2 arctan(x/

r2 x2)

; 10b)

4 +x2

4x ;

10c)1

2x

x2 4 + 2ln |x+

x2 4|; 10d) 32

arc sen(x 1) 12

(x+ 3)

2x x2;

11)Halla el valor medio de f(x) = sen xen [0, ]. Calcula el valor medio de f(x) =x2 en [0, 2].

Solucion: 11)2/; 4/4.

3


4/5

12)Demuestra que si

I =

0

dx5 + 4 sen x

, I2 =

2

0

dx5 + 4 sen x

,

entonces, se cumple /3 I /5, 2/3 I 2.13)La integral

1

0ex

2

dx no se puede hacer por metodos elementales. Demuestra que

1

0exdx

1

0ex

2

dx. Prueba que 1 1/e 10

ex2

dx 1.

14)Calcula el area comprendida entre el eje de abcisas y la parabolay = 2x x2. Demuestra sinhacer la integral que esa area esta entre 0 y 2.Solucion: 14)4/3.

15)Calcula el area entre el eje de abcisas y la hiperbola y= 1/xdesde x= 4 hasta x= 1.Solucion: 15) ln4.

16)Sea p >0, halla el area del recinto limitado por la parabolay =x2px, y las rectas tangentesa dicha parabola en los puntos en que esta corta al eje OX.Solucion: 16)p3/12.

17) Se consideran las funciones y = sen x, y = sen(2x) en el intervalo I = [0, /2]. Halla el areaencerrada entre estas dos funciones en I.Solucion: 17)1/4.

18)Halla el area encerrada por las funcionesy = x2 yx = y2. Calcula el area del primer cuadranteencerrada entre y=xn yx= yn,n natural.Solucion: 18)1/3; (n 1)/(n+ 1).

19)Halla el area comprendida entre el eje y y la curva x= 9 + 2y y2.Solucion: 19)36.

20)Calcula el area entre y = ex yy = x+ 1 desde x= 1 hasta x= 1.Solucion: 20)e+ 1/e 1 2.086.

21)Calcula el area del primer cuadrante encerrada entre las curvas y= x2,y= 2 xy y= 0.Solucion: 21)5/6.

22)Calcula el area entre y = sen x,y= cos xdesde x= 0 hasta x = /2.Solucion: 22)2(

2 1) 0.8284.

23)Halla el area limitada entre las curvasy= 2x2, y = x3 3x.Solucion: 23)71/6.

24)Calcula el area limitada entre y = sen x,y= 1 desde x= 0 hasta x = /2.Solucion: 24)/2 1 0.57.

25) Calcula el area entre el eje de abcisas y la funcion y =

ex 1 para x [0, 1]. Prueba sinhacer la integral que el area es menor que 1.32.Solucion: 25)2(e 1 arctane 1) 0.78.

4


5/5

26)Se considera la elipse de semiejesa y b,x2/a2 + y2/b2 = 1. Prueba que el area se puede expresarpor la integral

A= 4b

a

a0

a2 x2dx.

Resuelve esta integral y demuestra que el area es A= ab. Que ocurre para a=b?

Solucion: 26) Si a= b, area del crculo a2.

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